«ФИЗИКА РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАН —. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ К ФИПИ ОТЛИЧНИК ЕГЭ ФИЗИКА Реш ение сложных задач Интеллект-Центр 2010 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 0-80 Авторы: Вишнякова Е. А., Макаров ...»

3.3.4. Металлический стержень массой т = 1,5 г и длиной L = 30 см подвешен горизонтально на двух невесомых гибких проводниках длиной / = 15 см каждый. Стержень находится в однородном магнитном поле, индукция В = 57 мТл которого направлена вертикаль­ но. По стержню пропускают кратковре­ менный импульс постоянного тока силой / и длительностью т = 1 с. При каком мини­ мальном значении стержень совершит полный оборот, двигаясь по окружности вокруг оси, проходящей через точки подвеса? Считать, что смещение стержня за время т ничтожно мало.

Решение. Импульс силы Ампера за время т равен 10ВЬт.;

По второму закону Ньютона mv0 = I 0BLx, откуда скорость, кото­ рую приобретает стержень по окончании импульса тока, —-----. Уравнение движения стержня по окружности в верхV, ней точке траектории имеет вид:

ное натяжение нитей. Скорость стержня v в верхней точке ми­ нимальна, если Т = 0. Следовательно v 2 = g l. Из закона сохраmv.2, mv2 5, Отсюда v 0 = yj5gl. Объединяя записанные выражения, находим Важно отметить, что минимальная скорость стержня в верх­ ней точке не равна нулю. В противном случае стержень не будет двигаться по окружности и упадет вниз, не достигнув верхней точки.

3.3.5. Металлический стержень массой расположенных в горизонтальной плоскости, С как показано на рисунке. Рейки через ключ подсоединены к пластинам конденсатора, а вся система находит­ ся в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл, на­ правленной вертикально. В начальный момент заряд на конден­ саторе равен q0 =2 мКл, ключ разомкнут, а стержень покоится.

Затем ключ замыкают. Определить заряд q на конденсаторе в момент, когда скорость стержня достигнет величины v = см/с.

Расстояние между рейками / = 10 см. Индуктивностью цепи, а также силами трения пренебречь.

Решение. При замыкании ключа по контуру потечет ток I, и на стержень начнет действовать сила Ампера FA = IB I, в ре­ зультате чего стержень придет в движение. Поскольку I = —, импульс силы Ампера за малое время At равен FAAt = BlAq. По второму закону Ньютона mAv = FAA t. Следовательно, mAv = BlAq. Такое же равенство справедливо и для конечных приращений скорости и заряда. Полагая Av = v, Aq = q0 - q, на­ ходим, что mv = Bl(q0 - q). Выражая из последнего равенства заряд q, получаем ответ: q = q0------ = 1 мКл.

При решении этой задачи важно установить, что прираще­ ние скорости стержня пропорционально приращению заряда на конденсаторе.

А С вектора индукции которого перпендику­ лярны вектору скорости ионов. Двигаясь в этом поле, ионы попа­ дают на мишень, расположенную в точке С на расстоянии L = см от точки А (см. рисунок). Чему равна индукция магнитного поля В, если отношение массы иона к его заряду mlq = 6 1 0 кг/Кл?

Решение. На ион со стороны магнитного поля действует си­ ла Лоренца, равная по величине F = q v B. Так как эта сила всегда направлена перпендикулярно вектору скорости иона, то ион бу­ дет двигаться внутри камеры масс-спектрометра по половине ду­ ги окружности до тех пор, пока не попадет в точку С. Радиус данной окружности равен R = L/2. При этом сила F будет сообл щать иону центростремительное ускорение a = v /R. Запишем второй закон Ньютона для движения иона по окружности с поm v2 m v стояннои скоростью: та = — = Заметим, что в реальных масс-спектрометрах индукция маг­ нитного поля обычно может быть задана, и описанную выше идею используют для экспериментального определения удельно­ го заряда частиц. При этом если известен заряд частицы (напри­ мер, все ионы в пучке являются однозарядными, то есть имеют заряд, равный по модулю заряду электрона), то появляется воз­ можность измерения массы частицы. Изменяя величину индук­ ции магнитного поля, можно добиться того, чтобы в точку С по­ падали только ионы определенной массы, то есть провести разде­ ление ионов по массам. Именно поэтому описанный в условии задачи прибор называется масс-спектрометром.

3.3.7. Заряженная бусинка массой m = 1 г надета на гладкий горизонтальный стержень, который движется с горизонтальной скоростью v c = м/с, направленной перпендикулярно стержню.

Вся система находится в однородном постоянном магнитном по­ ле, индукция которого направлена вертикально. В некоторый мо­ мент времени скорость бусинки относительно стержня составляет vo = 2 м/с, а ее ускорение равно а = 3 м/с. С какой силой N действует бусинка на стержень в этот момент времени? Силу тя­ жести не учитывать, трением бусинки о стержень пренебречь.

Лоренца направлена горизонтально и перпендикулярно вектору у ; величина этой силы FR = qvB. Сила реакции перпендикуляр­ на стержню, так как трением между бусинкой и стержнем по ус­ ловию можно пренебречь. Проекции уравнения движения бусин­ ки на касательное и нормальное к стержню направления имеют tg a = —. По третьему закону Ньютона сила, с которой бусинка действует на стержень (на рисунке не показана), равна по вели­ чине силе реакции стержня: N = N '. Отсюда При решении подобных задач вызывает трудности вектор­ ное сложение скоростей. Кроме того, весьма важно отметить, что сила Лоренца перпендикулярна именно вектору скорости у.

Другой проблемой может стать правильная запись законов дви­ жения: надо понимать, что бусинка движется с ускорением вдоль стержня.

3.3.8. Горизонтально расположенный стержень равномерн вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов, с угловой скоростью со = 1 рад/с. На другом конце стержня закреплен маленький шарик массой m = г, несущий заряд q = 0,4 мКл. Вся система находится в однородном посто­ янном магнитном поле, индукция которого В = 2 Тл направлена горизонтально. Найти максимальное значение Fm силы F, с которой стержень действует на шарик в процессе движения, если известно, что минимальное значение силы F равно Fm = 250 мН. Силу тяжести не учитывать, размером шарика по сравнению с длиной стержня пренебречь.

';

Решение. Силы, действующие на шарик в некоторой точке его тра­ ектории, изображены на рисунке.

Здесь через F обозначена сила реак­ ции стержня, а через л - сила Лоренца, направленная перпендикулярно скорости стержня и вектору магнитной индукции, т.е. вертикально. Силу F удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие:

F = г + в. Тогда F = F 2 + F 2. Проекции уравнения движения шарика на горизонтальное и вертикальное направления имеют вид: moo I = Г, в = Fn =qvB coscp, где v = cо/ - скорость шари­ ка, / - длина стержня, ср - угол между стержнем и вектором В.

Отсюда F = д/(тсо2 +(дсоШcoscp)2. Минимальное значение Fm = д/(тю При решении этой задачи особые трудности вызывает опре­ деление направления силы реакции стержня. Было бы полезным нарисовать силы, действующие на шарик при максимальных и минимальных значениях силы, с которой стержень действует на шарик (при ср = 0, ср = 90°, ср= 180° и ср= 270°).

со скоростью v 0 км/с в область с постоянным и однород­ ным магнитным полем, вектор индукции которого В перпенди­ кулярен v0. На какой угол а отклонится вектор скорости части­ цы, если область, занимаемая магнитным полем, в котором дви­ жется частица, ограничена плоскостями, перпендикулярными v0, расстояние между которыми L = 10 см? Заряд частицы ^ = 3,2 10 Кл, индукция магнитного поля 5 = 0,01 Тл. Силу тяжести не учитывать.

Решение. Когда частица окажется в области, занимаемой магнитным полем, на нее будет действовать сила Лоренца, на­ правленная перпендикулярно скорости частицы. Под действием этой силы частица будет двигаться по дуге окружности, подчиняV ясь уравнению движения: m— = qv0B. Отсюда радиус дуги R < L, то частица опишет в области, занимаемой полем, полуок­ ружность, и угол а = 180°. Таким образом, ответ к задаче форму­ лируется следующим образом: а = 180° при v. При численном расчете полу­ чаем /max= 2 - /0 =201 В.

Полезно обсудить аналогию процессов, происходящих в контуре после замыкания ключа, с колебаниями пружинного ма­ ятника, прикрепленного к потолку движущегося с ускорением лифта, и провести аналогичные рассуждения. Кроме того, не сле­ дует забывать, что при записи закона изменения энергии нужно учесть работу сторонних сил источника.

ЭДС 0 =100 В и пренебрежимо малым внутренним сопротивле­ нием, а также ключа К, первоначально находящегося в разомкну­ том состоянии. В некоторый момент времени ключ замкнули и затем разомкнули. До какого максимального напряжения Um ax может зарядиться конденсатор после этого? Считать, что в мо­ мент замыкания ключа ток в цепи был равен нулю. Сопротивле­ нием катушки и соединительных проводов пренебречь.

Решение. При замыкании ключа конденсатор практически мгновенно полностью разряжается, а ток через катушку начинает нарастать. По закону Ома для замкнутой цепи имеем: L ^ - = 0.

Следовательно, через время т ток в цепи достигнет величины После размыкания ключа в контуре возникают гармоL нические колебания. Конденсатор начинает заряжаться, и в мо­ мент достижения максимального напряжения Um на нем ток через катушку обращается в нуль. За время, прошедшее после размыкания ключа до момента достижения максимального на­ пряжения на конденсаторе, источник перемещает по цепи заряд q = CUmax, совершив работу A = q0 = C0Umax. По закону сохраL I2 CU нения энергии имеем: — —+ А = ---- m L. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно Umax, которое имеет вид:

Umax- 2 0 U max-------- = 0. Условию задачи удовлетворяет поло­ При решении этой задачи было бы ошибкой не учесть рабо­ ту сторонних сил источника. Кроме того, следует обратить вни­ мание на то, что из двух полученных ответов один не удовлетво­ ряет условию задачи.

Найти эффективное значение силы тока, текущего че­ 3.5.10.

рез амперметр в цепи, схема которой изображена на рисунке.

Найти также, какая средняя мощность выделяется во всей цепи за один период изменения напряжения. Сопротивлением ампер­ метра, источника переменного напряжения и соединительных проводов пренебречь. Напряжение на клеммах источника изме­ няется по закону U = U0 sin Ш. Принять R = 50 Ом, С = 1 мкФ, со = 104 рад/с, Uo = 10 В.

Решение. Из формул для вычисления емкости последова­ тельно и параллельно соединенных конденсаторов следует, что общая емкость конденсаторов, подключенных последовательно с резистором, равна 2С. Поэтому через источник течет переменный нии симметрии следует, что токи в участках цепи распределены так, как показано на рисунке. Поэтому через амперметр течет ток с амплитудным значением 7/8, и амперметр показывает эффек­ тивное значение силы тока Средняя мощность, выделяющаяся в цепи за один период изменения напряжения источника, может быть найдена при помощи формулы: T = —/ Zcoscp, где Z - сопротивление цепи пеV ременному току, ф - сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения. Так как соБф = R I Z, то Отметим, что при решении задач, в которых требуется оты­ скать мощность, выделяющуюся на участке цепи переменного тока, следует помнить про множитель cos ф, который содержится в формуле для вычисления мощности. Но, поскольку в рассмат­ риваемом случае вся мощность выделяется в резисторе R, а сдвиг фаз между силой тока и напряжением на резисторе равен нулю, то совф = 1. Поэтому для вычисления мощности можно пользоваться формулой N = /, ф /эф = / На какую длину волны X настроен колебательны 3.5.11.

контур с индуктивностью L = 10 мкГн, если максимальный ток в контуре 1т = ОД А, а максимальное напряжение на конденсаторе Um = 6,28 В? Скорость распространения электромагнитных волн с = 3 •108 м/с. Активным сопротивлением в контуре пренебречь.

Решение. Длина электромагнитной волны, на которую на­ строен контур, Х = с Т, где Т = 2пуІЬС - период собственных колебаний в контуре. Из закона сохранения энергии в колебаLI CU тельном контуре без потерь следует равенство: — —= -----—.

катушке, в результате чего в цепи возникли гармо­ ш Ч нические колебания. В момент, когда ток через ка­ тушку обратился в нуль, с помощью ключа К отсо­ единили эту катушку, и вместо нее подсоединили катушку с вдвое большей индуктивностью. Во сколько раз изме­ нились амплитуды колебаний тока и напряжения на катушке по­ сле этого?

Ответ: после подключения катушки с удвоенной индук­ тивностью амплитуда напряжения не изменяется, амплитуда тока уменьшается в 4 раз.

Газоразрядная лампа зажигается, когда напряжение 3.5.15.

между ее электродами становится равным U0 =155 В, и гаснет, если напряжение на ней падает ниже этой величины. Какое время At в течение одного полупериода светит такая лампа, подклю­ ченная к сети переменного тока с частотой / = 50 Гц и амплиту­ дой напряжения Um =310 в?

Школьник, используя вольтметр, предназначенный 3.5.16.

для измерения как постоянного, так и переменного напряжений, обнаружил, что при подключении к розетке с обозначением «~220» вольтметр показывает напряжение U\ = 220 В, а при под­ ключении к большому аккумулятору - напряжение и 2- 100 В.

Какое напряжение покажет вольтметр, если соединить оба этих источника последовательно, то есть если соединить одну из клемм аккумулятора с одним из выводов розетки, а к другой клемме и второму выводу розетки подключить вольтметр?

3.5.17. Катушка индуктивностью L = 10 мГн, имеющая со­ противление R, соединена последовательно с конденсатором. По­ лучившаяся цепь подключена к источнику гармонического на­ пряжения частотой со = 105 рад/с. После того, как обкладки кон­ денсатора соединили друг с другом при помощи короткого про­ вода с малым сопротивлением, оказалось, что мощность, потреб­ ляемая цепью от источника, не изменилась. Пренебрегая потеря­ ми на излучение, найти емкость конденсатора.

3.5.18. В колебательном контуре конденсатор емкостью С - 1 мкФ заряжен до максимального напряжения t / m=100 В.

Определить резонансную частоту v 0 колебаний в контуре, если максимальный ток в нем / т =6,28 А. Активным сопротивлением в контуре пренебречь.

3.5.19. Какую емкость С нужно подключить к катушке ин­ дуктивностью L = 0,001 Гн, чтобы полученный колебательный контур был настроен в резонанс с электромагнитной волной, длина которой X = 300 м? Скорость света с - 3 •108 м/с.

3.6.2. Оптическая схема, изображенная на ри­ сунке, состоит из непрозрачного экрана с малень­ ким отверстием О и двух плоских зеркал 1 и 2. Луч света проходит через отверстие О, отражается от зеркал 1 и 2 и выходит обратно через это отвер­ стие, причем угол падения луча на зеркало 1 равен а = 60°, a после отражения от зеркала 2 луч рас- пространяется параллельно зеркалу 1. Когда зеркало 1 смести­ ли влево перпендикулярно самому себе на расстояние d{ =6 см в положение, показанное на рисунке пунктиром, луч перестал попадать в отверстие О. На какое расстояние d нужно сместить перпендикулярно самому себе зеркало 2, что­ бы луч снова попал в это отверстие? Размер отверстия пренеб­ режимо мал.

Решение. Пользуясь законами отражения света, построим ход светового луча при исход­ ном и смещенном положениях зеркала 1 - ход луча в этих случаях изображен на рисунке сплошной и штриховой линиями, соответствен­ но. Видно, что при перемещении зеркала 1 пер­ пендикулярно самому себе на расстояние d x от­ раженный от него луч смещается на расстояние а = 2d xsin а, где а - угол падения. По условию Р = -------. Из рисунка видно, что отраженный от зеркала 2 луч попадет в отверстие О, если сместить этот луч вправо на расстоя­ ние d2 —d\ При решении подобных задач существенную роль играет правильно выполненный чертеж. Следует обратить внимание на то, что приведенный в решении чертеж, изображающий ход лу­ чей до и после перемещения зеркала, заметно упрощает решение задачи.

кальной поверхностью, вращающуюся вокруг а( ложена тонкая собирающая линза большого диаметра. Фокусное расстояние линзы равно F = 26 см, а ее главная оптическая ось проходит через ось вращения сканера. В правой фокальной плос­ кости линзы расположен широкий экран, нижний край которого расположен на оптической оси линзы. Определите длину d от­ резка, который заметает на экране световой луч, отраженный от сканера.

такого луча изображен на рисунке. Этот луч падает на грань АС ря­ дом с ребром А призмы, чуть правее него. При повороте призмы из данного положения на малый угол грань АС уйдет из-под луча, и на ее месте окажется грань ВА, на которую луч будет падать практиче­ ски нормально и отразится назад, т.е. не попадет на экран. Луч, отра­ женный от призмы, вновь начнет попадать на нижний край экрана, когда грань ВА повернется на угол 45°. Таким образом, из рисунка и из проведенных рассуждений следует, что максимальное отклонение преломленного линзой луча достигается в момент, когда падающий на линзу луч составляет с ее главной оптической осью угол 30°. Для построения хода этого луча при преломлении в тонкой собирающей линзе изобразим побочную оптическую ось (она показана на рисунке пунктиром). Преломленный линзой луч пересечет экран в той же точ­ ке, в которой его пересекает эта побочная оптическая ось. Указанная точка соответствует смещению светового пятна от нижнего края эклп F 26 см рана на расстояние а = F tg 30° = — = — -=—» 15 см.

При решении этой задачи важно понять, что максимальное смещение луча на экране происходит в том случае, когда отра­ женный от грани призмы луч максимально отклонен от главной оптической оси линзы. В этой связи очень полезно сделать соот­ ветствующий чертеж, пояснив рассуждения графически.

3.6.4. На плоскую поверхность плоско-вогнутой линзы, во­ гнутая поверхность которой имеет радиус R = 35 см и посереб­ рена, параллельно главной оптической оси на расстоянии d = 5 см от нее падает узкий пучок света. Пучок выходит через плоскую поверхность линзы после отражения от сферической поверхности. Найти, на каком расстоянии d x от оси выходит пу­ чок из линзы, если толщина линзы на оси пренебрежимо мала.

зующих пучок, изображен на рисунке, из ко­ торого видно, что d { = d + А, где А = h tg 20, h = R ~ y j R 2 - d 2. Учитывая, что sinp = находим tgp = При решении этой задачи нужно учесть, что лучи, образую­ щие световой пучок, падают на плоскую поверхность линзы по нормали и, следовательно, не преломляются. Это обстоятельство существенным образом упрощает решение задачи.

стеклянную пластину толщиной d = 2 см под углом Трудности, возникающие при решении этой задачи, связаны, как правило, с необходимыми тригонометрическими преобразо­ ваниями. Кроме того, чтобы предотвратить другую ошибку, сле­ дует отметить, что под смещением луча /, подразумевается крат­ чайшее расстояние между продолжением падающего луча и лу­ чом, прошедшим сквозь пластинку.

3.6.7. На равнобедренную стеклянную призму падает широкий параллельный пучок света, перпен­ дикулярный грани А В, ширина которой d = 5 см. На каком расстоянии L от грани АВ преломленный призмой свет разделится на два не перекрывающих­ ся пучка? Показатель преломления стекла п = 1,5, угол при основании призмы a = 5,7°. При расчетах учесть, что для малых углов tg a « sin a « a.

Решение. Каждый из лучей света, падающих на призму, преломляется дважды: на передней и задней ее гранях (см. рису­ нок). Закон преломления на этих гранях, записанный с учетом малости углов падения и преломления, дает следующие соотношеQ ния: р = —, 5 = щ. Поскольку у = а - Р, получаем для угла преп ломления значение 5 = а(п - 1). Из рисунка видно, что пучки света, преломленные призмой, перестанут перекрываться на рас­ стоянии L, удовлетворяющем условию: L = ~ ~ ~ ~ ~ • Объединяя записанные выражения, находим ответ: L = -----—-----« 50 см.

ство можно заменить равносильным: sin a > sin 2р. Используя закон преломления sin a = п sin p и тригонометрическое тождест­ во sin2p = 2 sin р cos р, преобразуем последнее неравенство к виДУ: Д -л/«2 - s i n 2 a < 1 (для всех a ). Очевидно, что это неравенп ство должно быть выполнено прежде всего при a — 0, тогда оно будет справедливо и для всех других a. Полагая a = 0, получаем ответ: п > 2.

Главная трудность в этой задаче заключается в том, что вме­ сто традиционного единственного падающего луча, на шар пада­ ют лучи света, испущенные точечным источником во всех направлениях. В связи с этим, следует обратить внимание на предложенный в решении подход - выбор произвольного луча, удовлетворяющего условию задачи. Отметим, что наибольшее значение показателя преломления шара требуется для того, чтобы отклонить к оси те из лучей, которые падают на шар под малыми углами (почти нормально).

3.6.10. В стекле с показателем преломления пх = 1,5 имеется сферическая полость радиусом R = 4,5 см, заполненная водой. На полость падает распространяющийся в стекле широкий пучок параллельных световых лучей. Определить радиус г пучка све­ товых лучей, которые проникают в полость. Радиус падающего пучка намного превышает радиус полости. Показатель преломле­ ния воды п2 = 4 /3.

торой перемещается изображение - это прямая, проходящая че­ рез задний фокус линзы.

Расстояния от точек S и Sx до оптической оси равны, соответст­ венно, а = 20 см и Ь = 30 см, расстояние между точками А и В равно с = 15 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Решение. Поскольку Sx находится по ту же сторону от главной оптиче­ ской оси линзы, что и S, причем Ь> а, изображение объекта увеличенное и F прямое. Такое изображение может дать только собирающая линза, причем это изображение является мнимым. Соответствующий ход лучей и найденное построением положение линзы и ее фокуса показаны на рисунке. Из подобия треугольников следует, что ------; = —. Отсюда d = С другой стороны, из формулы линзы, записанной c+d = учетом того, что изображение мнимое: — Объединяя записанные выражения, получаем что F = (Ь -а) Определенные трудности при решении этой задачи пред­ ставляет геометрическое построение, дающее местоположение самой линзы и ее фокуса. Следует также отметить, что, записы­ вая формулу тонкой линзы, нужно учесть, что изображение явля­ ется мнимым, иначе ответ будет неверным. Кроме того, будет весьма полезным решить эту задачу, поменяв местами положения источника и изображения.

3.6.18. Светящаяся нить лампы в осветителе имеет форму отрезка дли­ А ной А = 1 см и расположена вдоль главной оптической оси линзы диа­ метром D = 5 см с фокусным рас­ стоянием F = 9 см таким образом, что дальний от линзы конец ни­ ти находится в фокусе линзы. Построив ход лучей, определить диа­ метр d светлого пятна на экране, расположенном на расстоянии I = 12 см от линзы перпендикулярно ее главной оптической оси.

Решение. Ход лучей, испущенных двумя точками, находя­ щимися на противоположных концах нити, изображен на рисун­ ке. Видно, что диаметр светового пятна на экране определяется лучами, выходящими из ближнего к линзе конца нити и прохо­ дящими через край линзы. Из подобия треугольников (см. рисуx Ih D / нок) имеем: —= —, — = -------. Исключая из этих выражении h, При решении этой задачи могут возникнуть трудности, свя­ занные с выбором того луча, который будет определять величину светового пятна. Это связано с тем, что можно построить множе­ ство лучей, выходящих под различными углами, как из начала, так и из конца светящейся нити. Важно понимать, что размер пятна определяется диаметром линзы, а значит, нужные лучи бу­ дут проходить через крайние точки линзы.

г, дится на главной оптической оси собирающей линзы на удвоенном фокусном расстоя­ ложен непрозрачный экран с маленьким отверстием, центр кото­ рого лежит на главной оптической оси. На какое расстояние b сместится изображение источника, если отверстие в экране пере­ крыть плоскопараллельной стеклянной пластинкой толщиной d = 1 см? Фокусное расстояние линзы F = 20 см, показатель преломления стекла п = 1,5.

Решение. В отсутствие пластинки изображение источника находится на рас­ стоянии 2F от линзы. Рассмотрим один из образующих изображение источника лу­ чей, который падает на пластинку под уг­ лом а (см. рисунок). После прохождения пластинки луч оказы­ вается смещенным параллельно самому себе на расстояние a = d -------------, где р - угол преломления. Поскольку углы паcosp щение луча на расстояние а эквивалентно смещению источника вдоль оптической оси в сторону линзы на расстояние х = —- — « — = d —- (см. рисунок). Применяя формулу тонкой линзы — !— + — 1 = —, после несложных преобразований получаем ответ: b = ----------------- « 0,34 см.

При решении этой задачи следует отметить, что условие ма­ лости отверстия в экране подразумевает тот факт, что углы паде­ ния на пластинку лучей, идущих от источника, также малы. Это существенным образом облегчает решение задачи. Кроме того, весьма полезно обратить внимание на важный момент в решении, а именно, что смещение луча эквивалентно смещению источника вдоль оси. В связи с этим рекомендуется обдумать, при каких ус­ ловиях смещение источника будет происходить в противополож­ ную сторону.

3.6.20. Человек, страдающий дальнозоркостью, рассматрива­ ет предмет, находящийся на расстоянии d = 20 см перед его гла­ зами. При этом изображение предмета оказывается смещенным за поверхность сетчатки глаза на расстояние = 2,2 мм. Опреде­ лить оптическую силу D контактной линзы, устраняющей это смещение. Считать, что оптическая система глаза - это тонкая линза с фокусным расстоянием F = 2 см, а контактная линза вплотную примыкает к ней.

Решение. Обозначим через b расстояние от хрусталика до сетчатки глаза. Учитывая, что оптическая сила системы «глаз + контактная линза» равна — + D, по формуле тонкой линзы имеF бражения предмета в отсутствие контактной линзы равно b + 5, формула тонкой линзы для этого случая имеет вид:

— + —-— = —. Исключая из этих соотношений b, получаем отd b+Ь F вет: D = --------------- --------« 5 дптр.

Чтобы избежать ошибки при решении этой задачи, необхо­ димо понимать, что формирование изображения глазом, имею­ щим дефект дальнозоркости, происходит не на сетчатке, а не­ сколько дальше. Наличие контактной линзы (в данном случае собирающей) устраняет этот недостаток.

«м и ф рм м м ские оси совпадают. Слева от системы на расстоянии 2F от ле­ вой линзы находится точечный источник света S. На какое рас­ стояние h сместится изображение источника, даваемое этой сис­ темой, если правую линзу сдвинуть перпендикулярно ее оптиче­ ской оси на расстояние H = 1 см?

Решение. Построение изображения для случая, когда правая линза смещена, приведено на рисунке. Для построения использо­ ваны два луча, идущие от источника: луч 7, совпадающий с глав­ ной оптической осью левой линзы, и луч 2, проведенный в точку пересечения преломляющей плоскости левой линзы с главной оптической осью правой линзы. Из рисунка видно, что на осно­ вании подобия треугольников h = H x / F. При вычислении вели­ чины х учтем, что изображение источника, даваемое левой лин­ зой, находится на ее главной оптической оси на расстоянии 2 F - L от правой линзы справа от нее. Используя для правой линзы ф о р м у л у :----------- + —= —, находим, что x = F ----------.

Отсюда h = H — — = 3,75 мм.

Основная трудность этой задачи заключается в том, что вме­ сто традиционного смещения линз вдоль оптической оси, проис­ ходит перемещение линзы в перпендикулярном к оси направле­ нии. В связи с этим не следует забывать, что при перемещении линзы в этом направлении произойдет перемещение ее оптиче­ ского центра и главной оптической оси.

Кроме того, надо понимать, что изображение источника, формируемое первой линзой, находится правее второй линзы.

Это обстоятельство следует учесть для правильной записи фор­ мулы тонкой линзы.

расположены на расстоянии F друг от друга так, что их главные оптические оси совпадают. Предмет находится на некотором рас­ стоянии от собирающей линзы. Чему равно увеличение системы Г, т.е. отношение размера изображения к размеру предмета, если известно, что действительное изображение предмета, показанное на рисунке штриховой линией, находится на расстоянии 6 = 30 см от рассеивающей линзы?

Решение. Ход лучей при построении изображения предмета показан на рисунке. Из подобия треугольников АА!О и ОВ'В следует, что — = —. С другой стороны, увеличение системы Г = —. Объединяя эти выражения, получаем ответ: Г = — = 1,5.

Для решения этой задачи очень важно провести правильное построение хода лучей от источника до изображения. В связи с этим будет весьма полезным решить эту задачу, расположив рас­ сеивающую линзу на расстоянии 2F от собирающей, или поме­ нять линзы местами.

3.6.23. Условимся считать изображение на пленке фотоап­ парата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на пленке получается изображение пятна диаметром не более не­ которого предельного значения. Поэтому, если объектив нахо­ дится на фокусном расстоянии от пленки, то резкими считаются не только бесконечно удаленные предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния d. Оцените предель­ ный размер пятна, если при фокусном расстоянии объектива треугольников получаем: — = -----, где R = D / 2 - радиус входb b-.

ного отверстия объектива. Решая записанные уравнения, нахог = —7 -. сл дим: Отсюда искомыи диаметр пятна на пленке уменьшении расстояния d диаметр L пятна на пленке увеличива­ ется. Поэтому минимальному расстоянию d —5 м от точечного источника до объектива соответствует максимальный размер пятна на пленке L = ----------------= 0,05 мм = 50 мкм.

Для решения этой задачи необходимо понимать, как форми­ руется изображение в простейшем фотоаппарате, и иметь пред­ ставление о том, что такое «глубина резкости». Следует отме­ тить, что для реальной фотографической пленки минимальное расстояние d (то есть глубина резкости) определяется размером частиц нанесенной на пленку фотоэмульсии. Найденная величина L дает оценку для диаметра таких частиц.

ране на равном расстоянии от источников, будет находиться пер­ вый максимум освещенности. Экран удален от источников на расстояние 1 = 3 м, расстояние между источниками / = 0,5 мм.

d 2 ~ d { = тХ, где d x и d 2 - расстояния от источников до данной точки на экране (см. рисунок), т - целое число (порядок интер­ ференционного максимума). Для волн, дающих первый максиf /Л d 2 = L 2 + f h + —. Отсюда d 2 - d x = 2h l. Преобразуем это ра­ венство к виду: ( 2F 1+ — =60 см.

3.6.50. Квадрат со стороной а = 0,5 см расположен перед линзой с фокусным расстоянием F = 10 см так, что одна пара его сторон перпендикулярна, а другая - параллельна главной оптиче­ ской оси линзы, причем эта ось проходит через центр квадрата.

Расстояние от ближайшей стороны квадрата до линзы равно Ь = 30 см. Найти площадь изображения квадрата.

3.6.51. На главной оптической оси тонкой рассеивающе линзы на расстоянии 1 = 1 м от нее находится точечный источ­ ник, излучающий свет в пределах узкого конуса с углом при вершине 2 а = 0,1 рад. Ось этого конуса совпадает с главной оп­ тической осью рассеивающей линзы. За линзой на расстоянии L от нее расположен плоский экран, параллельный линзе. Найти радиус светлого пятна на экране, если оптическая сила линзы D = - 1 дптр, и весь свет от источника проходит через линзу.

3.6.52. С помощью тонкой линзы получено изображение S{ светящейся точки S. Точка и ее изображение находятся по одну сторону от линзы. Точка располагается на расстоянии Н = 2,25 см от оптической оси линзы, а ее изображение - на рас­ стоянии Н/3 от этой оси. Расстояние между точкой и ее изобра­ жением равно Ь = 25 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Ответ: F = — JL 2 -------- « -18,7 см.

3.6.53. Человек, страдающий близорукостью, рассматривает предмет, находящийся на расстоянии d = 202 см перед его гла­ зами, с использованием контактной линзы оптической силой D = -5 дптр. При этом изображение предмета оказывается точно в плоскости сетчатки глаза. Определить, на какое расстояние сместится плоскость изображения, если человек снимет контакт­ ные линзы. Считать, что оптическая система глаза - это тонкая линза с фокусным расстоянием F = 2 см, а контактная линза вплотную примыкает к ней.

смещено в сторону хрусталика.

3.6.54. Собирающая и рассеивающая линзы имеют одинаковые по величине j»..............

фокусные расстояния F = 10 см и распо­ ложены так, что задний фокус собираю­ щей линзы совмещен с передним фокусом рассеивающей. На ка­ ком расстоянии а от собирающей линзы следует поместить то­ чечный источник света, чтобы после рассеивающей линзы полу­ чить пучок параллельных лучей?

3.6.55. Две одинаковые тонкие собирающие линзы, прижа­ тые вплотную друг к другу, дают на экране изображение предме­ та с увеличением Г = 3. Расстояние между предметом и экраном L = 80 см. Какова оптическая сила D0 каждой из линз?

Ответ: D0 = ----------« 3,3 дптр.

3.6.56. Чтобы лучше рассмотреть мелкие детали рисунка, че­ ловек берет лупу. Поднося ее к рисунку, он увидел на нем резкое изображение нити лампочки, висящей над столом под потолком комнаты, когда расстояние между лупой и рисунком стало рав­ ным Ь = 5 см. Поднеся лупу к глазу, человек рассматривает рису­ нок. Найти увеличение изображения рисунка, если оно находится на расстоянии наилучшего зрения D = 25 см.

3.6.57.е Объектив проекционного аппарата имеет оптиче­ скую силу D —5,4 дптр. Экран расположен на расстоянии b = 4 м от объектива. Определите размеры экрана, на котором должно Ответ: Н Х = 2{Db - l ), Н\ = 123,6 см, Н2 = 185,4 см.

3.6.58. Киноаппаратом со скоростью / = 24 кадра в секунду снимают колебания математического маятника. Одно полное ко­ лебание занимает JV=48 кадров. Длина маятника на плёнке /= 1 0 м м, фокусное расстояние объектива F = 7 0 мм. С какого расстояния L снимали маятник? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Ответ: L = — -—— «7,1 м.

3.6.59. Два когерентных световых пучка падают на экран: один пучок по нормали, а другой - под уг­ лом а = 0,01 рад. Найти период d интерференцион­ ной картины, т.е. расстояние между соседними свет­ лыми полосами на экране, если длина световой вол­ ны в обоих пучках равна X = 0,5 мкм.

3.6.60. На стеклянную пластинку нанесен тонкий слой про­ зрачного покрытия, показатель преломления которого и = 1, меньше показателя преломления стекла. На пластинку под углом а = 30° падает пучок белого света. Какова минимальная толщина покрытия d min, при которой в отраженном свете оно кажется зе­ леным? Длина волны зеленого света X = 0,53 мкм.

3.6.61. Покрытое толстым однородным слоем эмульсии зеркало осветили нормально падающим монохроматическим параллельным пучком света. После проявления сделали срез эмульсии под углом а = 10 рад к плоскости зеркала. Найти длину волны использованного света, если на срезе под микроскопом наблюдаются полосы с периодом b = 0,3 мм.

Усадкой эмульсии при обработке пренебречь, показатель пре­ ломления эмульсии близок к 1.

3.6.62.Е Выполняя экспериментальное задание, ученик дол­ жен был определить период d дифракционной решетки. С этой целью он направил световой пучок на дифракционную решетку через красный светофильтр, который пропускает свет длиной волны X = 0,76 мкм. Дифракционная решетка находилась от экра­ на на расстоянии L = 1 м. На экране расстояние между спектрами первого порядка получилось равным /= 15,2 см. Какое значение периода дифракционной решетки было получено учеником? От­ вет выразите в микрометрах (мкм). При малых углах sintp « tgcp.

3.6.63.Е На дифракционную решетку с периодом d = 0,01 мм нормально к поверхности решетки падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны X = 600 нм. За решет­ кой, параллельно ее плоскости, расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F = 5 см. Чему равно расстояние между максимумами первого и второго порядков на экране, рас­ положенном в фокальной плоскости линзы?

3.6.64. Дифракционная решетка с периодом d = 10~ м рас­ положена параллельно экрану на расстоянии Ь = 1,8 м от него.

Максимум какого порядка к будет наблюдаться в спектре на эк­ ране на расстоянии / = 21 см от центра дифракционной картины при освещении решетки нормально падающим параллельным пучком света с длиной волны X = 580 нм? Считать sin а « tg a.

3.6.65. На дифракционную решетку, имеющую период г/=2-10~5м, падает нормально параллельный пучок белого света.

Спектр наблюдается на экране на расстоянии L = 2 м от решетки.

Каково расстояние между красным и фиолетовым участками спектра первого порядка (первой цветной полоски на экране), если длины волн красного и фиолетового света соответственно равны ^ кр = 8-10~ м и ІЦ, = 4-10~ м? Считать sincp«tg(p. Ответ выразите в см.

3.6.66. Из стеклянных пластинок трех видов: не пропускающих свет (зачерненных), и прозрачных, п имеющих показатели преломления п\ = \,5 и п2- 1,55, п изготовлена дифракционная решетка. Эти пластинки пп имеют одинаковые размеры и чередуются так, как пока- зано на рисунке. На эту решетку нормально падает мо- Щ нохроматический параллельный пучок света с длиной П\ волны X = 500 нм. За решеткой параллельно ей располо­ жена собирающая тонкая линза. В фокальной плоскости линзы находится экран, перпендикулярный главной оптической оси линзы. На экране наблюдается дифракционная картина. При ка­ кой толщине h пластинок не будет наблюдаться свет в главном фокусе линзы?

4.1. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ 4.1.1.е Электромагнитное излучение с длиной волны А = 3,3-10 м используется для нагревания воды. Какую массу воды можно нагреть за время t = 700 с на А Т = 10 °С, если источник излучает N = 10 фотонов за 1 с? Считать, что излучение полностью поглощается водой.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей энергию фотона с его частотой. Энергия одного фотона, идущая на нагревание воды, равна Е0 = h v = h —. Всего за время t вода поглотит энергию Е = E0Nt = h —N t. Уравнение теплового баланса в данном случае имеет вид: h —Nt = CB A T, где Св =4200 Дж/(кг-К) - удельная теплоемкость воды. Таким образом, масса нагретой воды равна m = ----------. Подставляя числа и проверяя размерность, получаем ответ:

m = --------- ------------------------- —у --------------------- ^--------------------------- « 1 КГ.

При решении данной задачи нужно помнить о том, что заданная в условии величина N является размерной (ее размер­ ность [с-1]).

4.1.2. Катод фотоэлемента облучается светом с длиной вол­ ны Х = 0,35 мкм. Какая энергия Е передана выбитым из катода 4.1.11. Какова максимальная скорость электронов, выби­ ваемых _пиз металлической пластины светом с длиной волны X = 3-10“ м, если красная граница фотоэффекта ^ кр = 540 нм?

4.1. 12.е Фотоны, имеющие энергию Е = 5 эВ, выбивают электроны с поверхности металла. Работа выхода электронов из металла равна Авы = 4,7 эВ. Какой импульс приобретает электрон при вылете с поверхности металла?

Ответ: p = у]2т(Е - Авых) « 3 •10~25 кг -м/с.

4.1.13.е При облучении металла светом с длиной волны X = 245 нм наблюдается фотоэффект. Работа выхода электрона из металла равна Авы = 2,4 эВ. Рассчитайте величину напряжения, которое нужно приложить к металлу, чтобы уменьшить макси­ мальную скорость вылетающих фотоэлектронов в 2 раза.

4.1.14.е Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода Лых = 4,42-10-19Дж), освещается светом с длиной волны X = 300 нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в одно­ родное магнитное поле с индукцией В = 8,3-10-4 Тл перпендику­ лярно линиям индукции этого поля. Каков максимальный радиус R окружности, по которой движутся электроны?

4.1.15.е В вакууме находятся два покрытых кальцием элек­ трода, к которым подключен конденсатор емкостью С = 8000 пФ.

При длительном освещении катода светом с частотой v = 101 Гц фототок, возникший вначале, прекращается. Работа выхода элек­ тронов из кальция АВ[Х= 4,42-10“1 Дж. Какой заряд q при этом оказывается на обкладках конденсатора?

4.1.16. Две параллельные друг другу металлические пластины, расстояние между которыми d = 1 см много меньше их размеров, подключены к источнику с напря­ жением U = 12,5 В. Сначала положительно заряженную пластину облучают светом частотой у,= 7 -1 0 1 Гц, а затем - светом частотой у 2 = 4 4 Гц. На какую вели­ чину А/ изменяется минимальное расстояние, на кото­ рое электроны могут приблизиться к поверхности отрицательно заряженной пластины, при изменении частоты света от v, до v2 ?

Частота света, соответствующая красной границе фотоэффекта, меньше v 2. Модуль заряда электрона в = 1,6 -10 1 Кл, постоян­ ная Планка h = 6,62 •10~34 Д ж с.

4.1.17. Шар радиусом R = 1 см из вольфрама, покрытый тон­ ким слоем цезия, освещают аргоновым лазером, дающим излуче­ ние с длиной волны Х\ =457 нм. Какой заряд может приобрести шар, если красная граница фотоэффекта для цезия на вольфраме Х2 = 655 нм?

при Хх < Х2 ; если Хх > Х7, то Q = 0.

Определить по результатам этого опыта длину волны Хтах, соот­ ветствующую красной границе фотоэффекта для цезия.

4.1.19. Катод фотоэлемента облучается светом с длиной вол ны А = 0,35 мкм. Какова может быть максимальная величина то­ ка фотоэлемента /, если поглощаемая световая мощность со­ ставляет N = 2 мВт? Постоянная Планка h = 6,62 •10~34 Дж с, модуль заряда электрона е = 1,6 10“1 Кл, с = 3-108 м/с.

4.1.20. Кристалл рубина облучается вспышкой света дли тельностью т = 10 3 с и мощностью N = 200 кВт. Длина волны света > = 0,7 мкм, кристалл поглощает г| = 10% энергии излуче­ ния. Вычислить количество квантов света п, поглощенных крио = 6,62-10-34 Дж с.

4.1.21. Проводя облучение катода фотоэлемента пучком света мощностью T j =1,5 мВт с длиной волны X, = 400 нм, измерили величину тока насыщения. Затем катод фотоэлемента начали облу­ чать светом с длиной волны Х2 ~ 500 нм- Какой должна быть мощ­ ность N 2 падающего на катод света, чтобы ток насыщения достиг той же величины, что и в первом случае? Квантовый выход фото­ эффекта, т.е. отношение числа вырванных из катода электронов к числу падающих на его поверхность фотонов, в первом случае равен rj! —0,35, а во втором случае равен г|2 = 0,3.

Ответ: N 2 = N x.. = 1,4 мВт.

4.1.22. Космический корабль, находящийся в состоянии по­ коя, проводит сеанс связи с Землей, направляя в ее сторону ла­ зерный луч. На какое расстояние S от первоначального положе­ ния сместится корабль к окончанию сеанса связи, если мощность лазерного луча N = 60 Вт, масса корабля М = 10 тонн, продоло жительность сеанса х = \ час? Скорость света с = 3-10 м/с.

Влиянием всех небесных тел пренебречь.

S = ------ »0,13 мм.

4.1.23. При движении электрона в электрическом поле его длина волны де Бройля увеличилась от = 0,75 нм до 'к2 ~ 1,5 нм. На сколько при этом уменьшилась кинетическая энергия электрона? Ответ выразить в электронвольтах.

4.1.24. Какую кинетическую энергию нужно сообщить элек­ трону для того, чтобы его длина волны де Бройля стала равна длине волны электромагнитного излучения с энергией фотона Е = 2 кэВ? Ответ выразить в электронвольтах.

Ответ: W = ------ - « 3,9 эВ.

4.2.1. Согласно модели Дж. Дж. Томсона (1903 г.), атом во­ дорода представляет собой положительно заряженный шар, внут­ ри которого находится отрицательный точечный заряд - элек­ трон, причем в невозбужденном атоме электрон покоится в цен­ тре шара. Предположим, что электрон сместили от центра шара на некоторое расстояние, не превышающее радиус шара, и пре­ доставили самому себе. Определить период Т возникших при этом свободных колебаний электрона, считая потери на излуче­ ние малыми. Радиус шара принять равным Я = 3 10~1 м, а его заряд е = 1,6-10~1 Кл считать равномерно распределенным по объему. Масса электрона те = 9,1-10 кг, электрическая посто­ янная е0 =8,85 -10-12 Ф/м.

заряженного шара (точки О) до электрона. На электрон действует сила F = еЕ, направленная к центру шара. Здесь Е - напряженность электри­ ческого поля в точке, где расположен электрон.

Эта напряженность поля создается только той частью q полного заряда е, которая расположена внутри сферы радиусом г. Так как заряд распределен по шару Отсюда q = —- е, и Е = --------- = -------- - г. Следовательно, F(r) = eE = -------- - г. Уравнение движения электрона под дейстne0R mer = ---------- - r, или r -t------------- - r = 0. Таким образом, полуге0і?' 4тiE0meR чается уравнение гармонических колебаний. Отсюда находим круговую частоту колебаний электрона со = /----------- -. Поу 4 n e0meR значения и проверяя размерность, окончательно получаем:

«2-10-15 с.

При решении этой задачи важно понимать, что сила, воз­ вращающая электрон к положению равновесия - это сила, дейст­ вующая со стороны электрического поля заряда, находящегося внутри шара радиусом г. Поэтому основной проблемой является правильное определение напряженности электрического поля в некоторой точке внутри равномерно заряженного шара.

Рассмотренная задача показывает, что модель Дж. Дж. Том­ сона предсказывает существование в спектре излучения атома водорода одной-единственной линии с длиной волны излучения Х = сТ » 600 нм. Таким образом, данная модель не объясняет все­ го разнообразия экспериментально наблюдаемых спектральных линий и не позволяет понять, почему атом водорода излучает световые волны только строго определенных частот. Объяснение этих фактов можно получить при помощи полуклассической мо­ дели атома водорода, предложенной Нильсом Бором.

4.2.2. Пользуясь постулатами Бора, правилом частот Бора и правилом квантования Бора, найти радиус первой стационарной орбиты атома водорода и его энергию ионизации.

Решение. Согласно постулатам Бора, электрон в атоме может находиться не во всех состояниях, допускаемых классической меха­ никой, а только в некоторых состояниях с определенными значе­ ниями энергии (такие состояния называются стационарными). Если атом находится в этих состояниях, то электрон, обращаясь по соот­ ветствующей стационарной орбите, не излучает электромагнитные волны, как того требуют законы классической электродинамики.

При переходе атома из одного стационарного состояния с энергией Е2 в другое стационарное состояние с меньшей энергией Е\ (то есть при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую) атом испускает фотон, то есть излучает свет. Частота излучаемого света v определяется при помощи правила частот Бора:

hv = Е2 - Е 19 где h - постоянная Планка. Согласно правилу кванто­ вания Бора, для стационарной круговой орбиты электрона произве­ дение импульса те v электрона на радиус г орбиты пропорциональ­ но целому числу постоянных Планка: mev •г = —, где те —масnh са электрона, v - его скорость, n = 1,2,3,....

Рассмотрим атом водорода, в котором электрон находится на стационарной орбите радиусом г с номером п. Будем считать, что для описания движения электрона по этой орбите можно приме­ нять законы классической механики совместно с правилом кван­ тования Бора (такой подход к решению задачи называется полуклассическим). Отрицательно заряженный электрон притягивает­ ся к положительно заряженному ядру с силой, определяемой при помощи закона Кулона: F = ---------- Тогда уравнение движетге0 г ния электрона по орбите (второй закон Ньютона) имеет вид:

где е - модуль заряда электрона. При этом энергия Е электрона на стационарной орбите складывается из кинетической энергии W = —2 — и потенциальной энергии взаимодействия с ядром U = --------------, то есть Е = W +, и т= —2 V Привлекая правило квантования Бора, из записанных урав­ нений можно выразить радиус орбиты электрона и его энергию:

Видно, что и радиус орбиты электрона, и его энергия зависят от номера орбиты п\ поэтому величины г и Е снабжены соответ­ ствующим индексом.

Первой (наинизшей) стационарной орбите соответствует п = 1. Следовательно, радиус первой стационарной орбиты атома водорода равен (гх)н = —-—- « 0,5 •10”1 м = 0,5 ангстрем (1 ангстш0е трем - внесистемная единица измерения, равная Ю“10м; обозна­ чается ). Найденная величина называется боровским радиусом и обозначается гб.

Энергия ионизации атома водорода - это минимальная энер­ гия, которую нужно сообщить электрону, находящемуся на пер­ вой стационарной орбите, для того, чтобы он смог покинуть атом, то есть удалиться от ядра на очень большое расстояние. Так как при очень больших расстояниях между электроном и ядром по­ тенциальная энергия их взаимодействия пренебрежимо мала, то искомая энергия ионизации атома водорода равна Результаты этой задачи можно использовать и для решения других задач, в которых требуется отыскание радиусов стацио­ нарных орбит атома водорода. Также при решении различных задач часто используется значение энергии ионизации атома во­ дорода (Ef)н « 13,56 эВ, которое полезно помнить.

4.2.3. Используя результаты, полученные при решении пре­ дыдущей задачи, найти максимально возможные частоты излуче­ ния атома водорода (так называемые границы спектральных се­ рий) при переходе электрона на к-ю стационарную орбиту при * = 1,2, 3,4, 5.

Решение. Получим формулу, описывающую спектры атома водорода. Пусть электрон переходит со стационарной орбиты с номером п на стационарную орбиту с номером к < п. При этом в соответствии с правилом частот Бора атом испускает фотон, час­ тота которого равна где Хпк - длина испускаемой атомом электромагнитной волны.

Отсюда где Ru = Ридберга для водорода. Выведенная зависимость дает возмож­ ность рассчитывать длины волн в спектрах излучения (при п > к) и в спектрах поглощения (при п < к) атома водорода. Во втором случае длина волны Хп получается отрицательной, что соответ­ ствует поглощению энергии атомом, то есть отрицательному зна­ чению Еп - Е к.

Из найденной зависимости можно получить формулы для расчета длин волн излучения в спектральных сериях атома водо­ рода. Запишем такие формулы для к = \, 2, 3, 4, 5:

Границе спектральной серии (максимально возможной час­ тоте излучения v k) соответствует минимальная длина волны Хк, которая получается при п — оо. Отсюда для границы спектраль­ ной серии с данным А получаем: v к = формулу значения =1, 2, 3, 4, 5, получим: Vj »3,30-101 Гц v7 *0,83 101 Гц v5 «0Д З-101 Гц.

Отметим, что записанные выше формулы, предназначенные для расчета длин волн излучения атома водорода, часто исполь­ зуются при решении задач.

энергетические уровни атома и указаны длины волн фотонов, излучаемых и поглощаемых при переходах с одного уровня на другой. Экспериментально уста­ новлено, что минимальная длина волны X для фотонов, излучаемых при переходах Какова величина Хц, если Х32 - 545 нм, Х24 = 400 нм?

Решение. При переходе с одного энергетического уровня на другой атом излучает или поглощает фотон, длина волны X для кос торого определяется правилом частот Бора: АЕ = —. Здесь АЕ X разность энергий электрона, находящегося в атоме на конечном и на исходном энергетических уровнях, с - скорость света, h - постоян­ ная Планка. Из записанной формулы и из рисунка видно, что мини­ мальной длине волны Х0 соответствует переход между энергетиче­ скими уровнями 1 и 4. Применяя правило частот Бора для этой дли­ ны волны, а также для длин волн Х\3, Х32 и Х24, получим:

Решая полученную систему уравнений, найдем ответ:

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что в за­ писанной выше системе из четырех уравнений содержится пять неизвестных величин. Однако это не мешает получить ответ, по­ скольку при вычитании друг из друга соответствующих пар уравнений получается система из двух уравнений, которая со­ держит всего две неизвестные величины - разность энергий Ех~ Е 2 И ИСКОМУЮ ДЛИНу ВОЛНЫ Л.13г Е эВ, уровней атомов некоторого вещества имеет вид, по­ 0казанный на рисунке, и атомы находятся в состоянии -2 - - е {2) с энергией Е^х Электрон, столкнувшись с одним из таких атомов, отскочил, приобретя некоторую допол­ нительную энергию. Импульс электрона р после столкновения с покоящимся атомом оказался равным -8,5 - —Е^ 1,2- 1(Г24 кг-м/с. Определите кинетическую энергию электрона до столкновения. Возможностью испуска­ ния света атомом при столкновении с электроном пренебречь.

Решение. Вначале надо разобрать описанный в условии процесс и построить его модель. Электрон после столкновения приобрел дополнительную кинетическую энергию за счет того, что энергия атома понизилась - он перешел в наинизшее (основное) состояние с энергией (0) = -8,5 эВ из состояния АЕ = Е {1 - (0) = 3,5 эВ = 5,6-10”1 Дж.

Электрон после столкновения с атомом имеет импульс р, а его кинетическая энергия (в нерелятивистском приближении) равна Ек2 = ------= — Запишем закон сохранения энергии, учит тывая условие, что атом не испускает свет, и пренебрегая кине­ Ек1 = 2 — = Ек] + АЕ, откуда Решая подобные задачи, нужно учитывать, что масса атома намного больше массы электрона, и поэтому в результате столк­ новения атом практически не приобретает никакого импульса и кинетической энергии.

4.2.6. Найти энергию связи электрона для двухзарядного ио­ на лития Li2+ (такой ион лития является водородоподобным ато­ мом, так как у него вокруг атомного ядра обращается всего один электрон). Ядро лития содержит Z = 3 протона (Z называется за­ рядовым числом атома).

Решение. Так как двухзарядный ион лития является водородоподобным атомом, то для него можно применить полуклассический подход Бора. Все уравнения, которые были ранее записа­ ны для атома водорода, остаются справедливыми. Единственным отличием по сравнению с атомом водорода является то, что сила кулоновского взаимодействия валентного электрона с ядром ли­ тия равна F = —!— -—г-. Следовательно, мы можем воспользояе0 г ваться готовым результатом для энергии Еп электрона на п-й стационарной орбите, если заменим в ранее выведенной формуле е гия связи электрона для двухзарядного иона лития (она же энергия ионизации этого иона лития) равна Отметим, что для водородоподобных атомов справедлива следующая формула, позволяющая рассчитывать длины волн различных спектральных серий:

Она легко выводится с использованием полученного выра­ жения для энергии Е„ водородоподобного атома.

4.2.7.е На фотографии представлен спектр излучения водо­ рода в видимой части спектра. Цифры на числовой оси - длины волн в нанометрах (нм). Оцените в джоулях (Дж) энергию фотона с максимальной энергией в видимой части спектра водорода. По­ лученный результат умножьте на 1020 и округлите его до двух значащих цифр.

Ответ: Ет •Ю20 = ------* 48 Дж.

4.2.8. Найти скорость электрона, обращающегося в атоме водорода по первой стационарной орбите.

Ответ: v = ------ « 2,2 •10 м/с.

4.2.9. Найти максимальную длину волны для спектральной серии Лаймана (соответствующая линия в спектре называется резонансной линией водорода).

Ответ: X = ----- = ----- —«121 нм.

4.2.10. Атом водорода перешел из второго энергетического состояния в шестое. Как и во сколько раз изменилась при этом энергия атома?

Ответ: Увеличилась, при этом ее модуль уменьшился в 9 раз.

4.2.11. Какую минимальную скорость должен иметь элек­ трон для того, чтобы столкнувшись с атомом водорода, перевести его из первого энергетического состояния в третье? Считать, что перед столкновением атом водорода двигался с пренебрежимо малой скоростью.

4.2.12. Найти радиус наинизшей орбиты электрона в одноза­ рядном ионе гелия Не+. Ядро гелия содержит Z = 2 протона. Ион гелия является водородоподобным атомом.

Ответ: (/}) Не 4.2.13. Однократно ионизированный ион гелия Не+ перешел из четвертого энергетического состояния в третье, испустив при этом фотон с длиной волны ХНе. Атом водорода перешел из третьего энергетического состояния во второе, испустив при этом фотон с длиной волны Хн. Найти отношение А / ХНе.

4.2.14. Какую наименьшую энергию нужно сообщить триж­ ды ионизованному атому бериллия Ве3+, находящемуся в основ­ ном состоянии, для того, чтобы в спектре этого атома наблюда­ лись все возможные спектральные линии? Зарядовое число бе­ риллия Z = 4.

пературе Т= 361 К. Сколько молей газа находится в каждой части цилиндра, если поршень находится на высоте h = 20 см от дна сосуда? Толщиной поршня пренебречь.

Решение. Пусть давление в верхней части сосуда равно р \, а в его нижней части давление равно р 2. Тогда уравнение Клапей­ рона-Менделеева для v молей газа, находящегося в верхней и в p 2Sh = v R T. Так как поршень находится в равновесии, то, в со­ ответствии со вторым законом Ньютона, сумма действующих на него сил должна быть равна нулю. Сверху на поршень со сторо­ ны газа действует сила давления p {S, а снизу на поршень дейст­ вует сила давления газа p 2S. Разность этих сил уравновешивает вес поршня: Р = p 2S - p {S. Решая полученную систему уравнеР Н- нии, найдем ответ: v = -------------------» 0,022 моль.

Для решения этой задачи нужно помнить определение веса в противном случае могут возникнуть затруднения с записью ус­ ловия равновесия поршня. Также важно понимать, что указанное условие является следствием второго закона Ньютона, а не третьего, как иногда ошибочно полагают.

2.1.9. Вертикально расположенный замкнутый цилиндриче­ ский сосуд разделен на две части подвижным поршнем. В обеих частях сосуда содержится один и тот же идеальный газ. Расстоя­ ние между поршнем и дном сосуда Н х =30 см. Сосуд перевора­ чивают так, что дном становится его верхняя плоскость. В новом положении расстояние между дном сосуда и поршнем составляет Н 2 =20 см. Найти отношение а массы газа, содержавшегося в той части сосуда, которая первоначально находилась вверху, к массе газа, содержавшегося в другой части сосуда. Высота сосуда L = 60 см. Температуру считать постоянной, толщиной поршня пренебречь.

Решение. Обозначим через тх, р[ и т2, р'2 массы и давле­ ния газа, содержащегося соответственно в нижней и верхней част тях сосуда в его начальном положении. Г Г условию —- = а, или т2 = а тх. Из уравнений состояния газов в нижней и верхней часm,RT, a m,RT суд переворачивают вверх дном, в нижней его части оказывается газ массой т2 = am, под давлением р 2, а в верхней части - газ „ amxRT р2=. Из условия равновесия поршня вытекает соотно­ шение: р[ - р 2 = р 2 - р". Подставляя сюда найденные выше давa ления, получаем равенство: = -----------------. Отсюда Следует обратить внимание, что одним из главных соотно­ шений для решения этой задачи является условие механического равновесия поршня.

2.1.10. В вертикально расположенном цилинд­ ре находится кислород массой т = 64 г, отделен­ ный от атмосферы поршнем, который соединен с дном цилиндра пружиной жесткостью /г = 8,3 102 Н/м. При температуре Тх =300 К пор­ шень располагается на расстоянии h = 1 м от дна цилиндра. До какой температуры Т2 надо нагреть кислород, что­ бы поршень расположился на высоте Н = 1,5 м от дна цилиндра?

Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль К), моляр­ ная масса кислорода М = 32 г/моль.

Решение. Поскольку в условии задачи не сказано, что пор­ шень невесом, будем полагать, что он обладает некоторой мас­ сой, которую обозначим через М 0. Ничего не говорится также про атмосферное давление, поэтому будем считать, что оно су­ ществует, и обозначим его через р 0. Таким образом, на поршень действуют в общем случае четыре силы: сила тяжести M 0g, сила упругости пружины, по закону Гука равная кх (х - удлинение пружины), сила атмосферного давления p 0S, направленные вниз, и сила давления газа в цилиндре p S, направленная вверх.

Условия равновесия поршня в начальном и конечном состояниях имеют вид: M 0g + p 0S + кхх = p x, M 0g + p 0S + kx2 = p 2S. Здесь p x и p 2 - давления газа в начальном и конечном состояниях.

р 2 - р х = —(х2 - хх) = —(Н - ). С другой стороны, из уравнения Клапейрона-Менделеева, записанного для начального и конечнот т го состояний газа: p x = — RTX, p 2HS = — RT2> вытекает, что P i-P i Т - Г—н -------- -------- - « 487 К. Как и следовало ожидать, налиh mR чие атмосферного давления и конечная масса поршня не влияют на ответ.

Нужно отметить, что из условия задачи неясно, была ли рас­ тянута или сжата пружина в начальном состоянии, а также меня­ ла ли знак деформация пружины в процессе перемещения порш­ ня. Следует понимать, что при изменении знака деформации пружины изменяется знак проекции силы упругости. Будет по­ лезным самостоятельно убедиться в том, что от начального и ко­ нечного состояний пружины ответ не зависит.

2.1.11. В вертикально расположенном цилиндрическом со­ суде под поршнем находится идеальный газ. Сосуд помещается в лифт. Когда лифт неподвижен, расстояние между поршнем и дном сосуда h = 12 см. При движении лифта с постоянным уско­ рением расстояние между поршнем и дном цилиндра оказалось равным х = 10 см. Найти модуль ускорения лифта а. Температу­ ру считать постоянной, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с, атмосферное давление не учитывать.

Решение. Пусть М - масса поршня, S - его площадь. Когда лифт покоится, давление газа в сосуде р В ускоренно движущемся лифте, в соответствии со вторым законом Ньютона, для поршня справедливо уравнение: Ma = p lS - M g. СледоваM (g + а) закону Бойля-Мариотта phS = p x S, откуда вытекает равенство gh = (g + а)х. Отсюда а = g При решении этой задачи существенным моментом является запись второго закона Ньютона для поршня.

2.1.12. Горизонтальная трубка площа­ дью сечения S = 20 см2, открытая с двух концов, закреплена неподвижно. В ней на­ ходятся два поршня, один из которых со­ / единен пружиной жесткостью к = 1 кН/м с неподвижной стенкой.

В исходном состоянии давление воздуха между поршнями равно атмосферному давлению р 0 =105 Па, пружина не деформирова­ на, и расстояние между поршнями равно / = 28,3 см. Правый поршень медленно переместили вправо на расстояние /. Какое давление воздуха р х установилось при этом между поршнями?

Температуру воздуха считать постоянной, трением пренебречь.

Решение. При перемещении правого поршня вправо на расстояние / левый поршень переместится в ту же сторону на некоторое расстояние. Условие равновесия левого поршня имеет вид: p 0S - к х - p x = 0. Отсюда давление воздуха между поршнями р х = р 0 -----. Из закона Бойля-Мариотта следует равенство р 01 = р х(21 - х ). Исключая из этих соотношений х, получаем квадратное уравнение относительно р\\ этого уравнения, получаем ответ:

При решении этой задачи было бы неверным не учитывать силу, действующую на левый поршень со стороны пружины.

Другой возможной ошибкой в решении может быть неправиль­ ное определение объема, образующегося между поршнями после их передвижения.

2.1.13. В стеклянную банку объемом 1 л налили 0,5 л воды при температуре t{ = 20 °С и герметично закрыли завинчиваю­ щейся крышкой. Затем банку нагрели до температуры t2 = 100 °С.

Найти силу взаимодействия F между банкой и крышкой при достижении этой температуры. Площадь крышки S = 50 см, ат­ мосферное давление р 0 =105 Па. Влажностью атмосферного воз­ духа, а также массой крышки пренебречь.

Решение. В банке под крышкой находятся воздух и насы­ щенный водяной пар. При температуре t2 =100°С давление на­ сыщенного пара равно атмосферному давлению: р н = р 0. Таким образом, парциальное давление водяного пара компенсирует ат­ мосферное давление. Следовательно, сила, которая действует на крышку со стороны банки, равна по величине F = SpB, где р в парциальное давление воздуха в банке. Пренебрегая изменением объема воздуха, связанным с частичным испарением воды и ее тепловым расширением, для определения давления воздуха можТ но использовать закон Шарля, согласно которому р в = р 0 —. Отt + 2 1 3 °С сюда F = Sp0 ^ ------ -— » 640 Н.

При решении этой задачи существенным моментом является то, что можно пренебречь изменением объема воды в процессе нагревания. Также можно отметить, что требуется найти величи­ ну силы давления воздуха, содержащегося в банке. Кроме того, важно помнить, что в используемые формулы входит величина абсолютной температуры.

2.1.14. В вертикальном цилиндре, наполовину.

заполненном водой, под подвижным поршнем за- ключей воздух. Поршень находится в равновесии, когда давление внутри цилиндра равно утроенному атмосферному давлению. При температуре tx = 6 °С расстояние между поршнем и поверхно­ стью воды h = 10 см. На каком расстоянии Н от поверхности воды окажется поршень, если цилиндр нагреть до температуры t2 =100 °С ? Атмосферное давление считать нормальным. Давле­ нием водяных паров при температуре tx = 6 °С и изменением объема воды за счет ее испарения и теплового расширения пре­ небречь.

Решение. Давление смеси сухого воздуха и насыщенного водяного пара в цилиндре, обусловленное атмосферным давлени­ ем р 0 и весом поршня, в процессе нагревания цилиндра остается постоянным и равным 3р 0. При температуре tx = 6°С давление насыщенных паров воды пренебрежимо мало, поэтому давление сухого воздуха р й = 3р 0. При температуре t2 = 100 °С давление насыщенных паров становится равным атмосферному. Следова­ тельно, давление сухого воздуха при этой температуре р в2 = 2 р 0.

Из уравнения состояния сухого воздуха следует, что 3p0hS _ 2p0HS При решении этой задачи важно понимать, что над по­ верхностью воды, помимо воздуха, также находится и водяной пар, причем вклад давления водяного пара в суммарное давле­ ние смеси при температуре 6 °С и температуре 100 °С сущест­ венно различен.

2.1.15. Горизонтально расположенный цилиндр разделен подвижным поршнем массой т = 5 кг на две равные части объе­ мом V = 1 л каждая. С одной стороны от поршня находится на­ сыщенный водяной пар при температуре t = 100 °С, с другой воздух при той же температуре. Цилиндр поставили вертикально так, что снизу оказался пар. На какое расстояние х опустится поршень, если температуру в обеих частях цилиндра поддержил вают неизменной? Площадь основания цилиндра = 0,01 м, давление насыщенного пара при температуре t = 100 °С равно Рн = 105 Па. Ускорение свободного падения принять равным g =10 м/с2.

Решение. Когда цилиндр расположен горизонтально, давле­ ние воздуха равно давлению насыщенного водяного пара р н. За­ писывая уравнение состояния воздуха, имеем p H = v B T, откуV R да количество молей воздуха vB= —-—. Когда цилиндр поставиRT ли вертикально, давление водяного пара осталось прежним, а давление воздуха, как это следует из уравнения равновесия поршня, стало равным р н - ( mgl S ). При перемещении поршня на расстояние х объем воздуха увеличился на xS и уравнение Из последнего соотношения легко найти величину jc, а именно:

х = ----------------. Анализ этого выражения показывает, что оно теряет смысл при mg> p H I 2. Действительно, максимально воз­ можное перемещение поршня (когда он опустится до дна сосуда и весь пар сконденсируется) составляет V I S. При этом мы пре­ небрегаем объемом образовавшейся из пара воды, который, как показывает расчет, оказывается очень малым. В самом деле, под­ ставляя в уравнение начального состояния пара числовые данные из условия, находим, что масса пара равна примерно 0,6 г. Следо­ вательно, объем воды, образовавшейся при конденсации всего пара, составит около 0,06% от объема сосуда. Ответ к задаче сле­ дует сформулировать следующим образом: х = — -----— ---- при m. При данных из условия задачи x = 5,3 мм.

Следует отметить, что полное решение этой задачи подразу­ мевает анализ полученного выражения для смещения поршня.

Будет полезным задуматься, что произойдет с насыщенным па­ ром, если, поддерживая неизменной температуру, уменьшить объем сосуда, в котором находится этот пар.

2.1.16. Воздух в комнате объемом V = 50 м имеет температуру t = 27 °С и относительную влажность /j = 30%. Сколько времени т должен работать увлажнитель воздуха, распыляющий воду с производительностью \х = 2 кг/час, чтобы относительная влажность в комнате повысилась до / 2 =70% ? Давление насы­ щенных паров воды при t = 21°C равно р н =3665 Па, универ­ сальная газовая постоянная R - 8,31 Дж/(моль-К), молярная масса воды М = 18 г/моль.

Решение. Парциальное давление водяного пара при относи­ тельной влажности /j равно р х = f x H/100%. Из уравнения Клаp пейрона-Менделеева p x = —-R{t + 213 °С), находим начальную массу пара, содержащегося в комнате: т, = -------------------------г.

Аналогично, при относительной влажности / 2 масса пара ответ: т = ------— —- A ) M V Приступая к решению этой задачи, важно понимать, что изначально в воздухе содержалось некоторое количество водя­ ного пара. Если не учесть это обстоятельство, то ответ будет неверным.

2.1.17. Атмосфера некоторой сферической планеты состоит по массе на 3/4 из азота и на 1/4 из метана. Атмосферное давле­ ние вблизи поверхности планеты равно ро = 1,6-105 Па, ускорение свободного падения g = 1,4 м/с. При глобальном похолодании на планете образовался метановый океан, и у поверхности этого океана давление паров метана стало составлять г = 50% от давле­ ния его насыщенных паров. Пренебрегая вращением планеты, найти глубину океана, если плотность жидкого метана равна р = 430 кг/м, а давление его насыщенных паров при данной тем­ пературе равно р н = 40 кПа. Высота атмосферы и глубина океана намного меньше радиуса планеты.

Решение. Атмосферное давление вблизи поверхности сфе­ рической планеты и в отсутствие океана, и при его наличии опре­ деляется полной массой атмосферы. Поэтому после образования океана давление у его поверхности равно p l - p 0 - pgh, где h искомая глубина океана. С другой стороны, это давление склады­ вается из давления (3/4)/?0, которое оказывает оставшийся в атмо­ сфере азот, и из давления грн паров оставшегося в атмосфере метана: р х = —р 0 + гри. Отсюда для глубины океана получаем:

h = 1 { Ро ^ 33 м. Отметим, что решение задачи сущест­ вует при г < ——.

Для того чтобы решить эту задачу, нужно понимать, что давление на участок поверхности планеты зависит только от веса столба вещества, находящегося над этим участком, причем не­ важно, в каком состоянии - жидком или газообразном - находит­ ся вещество.

Задачи для самостоятельного решения 2.1.18.е Атмосфера Венеры состоит в основном из двуокиси углерода с молярной массой М х =44-10“ кг/моль, имеет темпе­ ратуру (у поверхности) около 7^ = 700 К и давление р\, равное девяноста земным атмосферам. Для атмосферы Земли температу­ ра у поверхности близка к Г0 = 300 К. Каково отношение п плот­ ностей атмосфер у поверхностей Венеры и Земли?

Mo « 29-10“3 кг/моль.

2.1.19. Закрытый с обоих концов горизонтальный цилиндр заполнен идеальным газом при температуре t = 27 °С и разделен подвижным теплонепроницаемым поршнем на две равные части длиной L = 50 см каждая. На какую величину At нужно повы­ сить температуру газа в одной половине цилиндра, чтобы пор­ шень сместился на расстояние / = 20 см при неизменной темпе­ ратуре газа во второй половине цилиндра?

Ответ: АТ = ------= 400 К.

2.1.20. Закрытый цилиндрический сосуд объемом V = 6,6 л разделен на две части невесомым поршнем, скользящим без тре­ ния. Одна часть содержит идеальный газ массой тх = 6,6 г, вто­ рая часть - такой же газ массой т2 =13,2 г. Температура газов одинакова и равна температуре окружающей среды. Из второй части сосуда выпускают массу газа Ат2 = 1,65 г. На какую вели­ чину AV изменится объем части сосуда, содержащей газ массой т{, когда температура газов станет равной первоначальной?

Ответ: AF = ------ ------------ -------------- = 200 см.

2.1.21. Вертикально расположенный цилиндрический сосуд, закрытый подвижным поршнем массой М = 2 кг, содержит иде­ альный газ при температуре Тх =300 К. На поршень помещают тело массой m = 100 г и нагревают газ так, чтобы поршень занял первоначальное положение. Найти температуру Т2 нагретого га­ за. Атмосферное давление не учитывать.

2.1.22. В цилиндре под подвижным поршнем находится иде­ альный газ, поддерживаемый при постоянной температуре. Когда на поршень положили груз массой M, = 1 кг, объем газа умень­ шился в п = 2 раза. Какой массы М 2 груз нужно положить на поршень дополнительно, чтобы объем газа уменьшился еще в к = Ъ раза?

2.1.23. Вертикальная цилиндрическая трубка с запаянными концами разделена на две части тонким горизонтальным порш­ нем, способным перемещаться вдоль нее без трения. Верхняя часть трубки заполнена неоном, а нижняя - гелием, причем мас­ сы газов одинаковы. При некоторой температуре поршень нахо­ дится точно посередине трубки. После того, как трубку нагрели, поршень переместился вверх и стал делить объем трубки в отно­ шении 1:3. Определить, во сколько раз а возросла абсолютная температура газов. Молярная масса неона М ш = 20 г/моль, молярная масса гелия Л/Н = 4 г/моль.

Ответ: а = ------- — 2.1.24. Ha p V - диаграмме точками отмечены два состояния некоторого количества идеального одно- ^ атм атомного газа, имеющего молярную мас­ су М = 40 г/моль. Известно, что средне­ квадратичные скорости молекул газа в этих состояниях отличаются на величину A v = 180м/с. Найти абсолютную темпе­ 2.1.25. Один моль идеального газа пе­ реводят из состояния А в состояние В так, что на p К-диаграмме этот переход при надлежащем выборе масштабов изобража­ ется дугой окружности с центром в начале координат (см. рисунок). Найти макси­ мальную температуру газа, зная значения р о = \ атм и V = 50 л, и то, что максималь­ ная температура достигается между со­ стояниями А и В.

наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении и температуре окру­ температуру t должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься?

М = 0,029 кг/моль.

2.1.27. Спортсмен-нырялыцик массой m = 80 кг прыгает в воду, набрав полные лёгкие (v = 5 литров) воздуха. При этом объём его тела составляет V= 82 л. С какой максимальной глуби­ ны Н он сможет всплыть, не совершая никаких движений? Плот-