«ФИЗИКА РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАН —. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ К ФИПИ ОТЛИЧНИК ЕГЭ ФИЗИКА Реш ение сложных задач Интеллект-Центр 2010 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 0-80 Авторы: Вишнякова Е. А., Макаров ...»

ОТЛИЧНИК

ФИПИ

Федеральный и н с ти т у т

педагогических измерений

ФИЗИКА

РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАН

—

.

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

К

ФИПИ

ОТЛИЧНИК ЕГЭ

ФИЗИКА

Реш ение сложных задач «Интеллект-Центр»

2010 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 0-80 Авторы:

Вишнякова Е. А., Макаров В. А., Семенов М. В., Черепецкая Е. Б., Чесноков С. С., Якута А. А.

0-80 Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред.

В. А. Макарова, М. В. Семенова, А. А. Якуты; ФИПИ.

М.: Интеллект-Центр, 2010. - 368 с.

В пособии содержится более 600 задач, которые могут быть полезными для подготовки к выполнению заданий с развернутым ответом (части С) экзамена­ ционной работы ЕГЭ по физике. В книгу вошли более 200 задач с подробными решениями и методическими рекомендациями, а также около 400 задач для са­ моподготовки (с ответами) по всем основным темам школьного курса физики.

Пособие может также использоваться для подготовки школьников к участию в различных олимпиадах по физике.

Для школьных учителей, готовящих учеников к ЕГЭ по физике, школьни­ ков 10-х -11-х классов, абитуриентов, руководителей школьных физических кружков, преподавателей заочных и вечерних физических школ и подготови­ тельных курсов.

Вишнякова Екатерина Анатольевна, Макаров Владимир Ана­ тольевич, Семенов Михаил Владимирович, Черепецкая Елена Борисов­ на, Чесноков Сергей Сергеевич, Якута Алексей Александрович Генеральный директор издательства «Интеллект-Центр»

М.Б. Миндюк Д.П. Локтионов Технический редактор: B.C. Торгашова Художественный редактор: Е.Ю. Воробьева Подписано в печать 05.04.2010 г. Формат 60x84/ Бумага офсетная. Печать офсетная.

Уел. печ. л. 23,0. Доп. тираж 5000 экз.

ISBN 978-5-89790-613-0 © Коллектив авторов, ©ФИПИ, © «Интеллект-Центр»,

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время для выпускников школ значительно рас­ ширились возможности выбора высшего учебного заведения для продолжения своего образования. Выпускники могут успешно сдать единые государственные экзамены (ЕГЭ) по ряду предме­ тов, после чего подать заявления о зачислении сразу в несколько вузов. Также школьники имеют возможность участвовать в большом числе различных олимпиад. Это Всероссийские олим­ пиады школьников по различным предметам, проводимые Феде­ ральным агентством по образованию, а также более 100 предмет­ ных и межпредметных олимпиад, проводимых под эгидой Рос­ сийского союза ректоров органами государственной власти и высшими учебными заведениями. Победа в одной или в несколь­ ких олимпиадах дает выпускнику возможность быть зачислен­ ным в избранный им вуз без сдачи вступительных испытаний, либо получить значительные льготы при участии в конкурсе. По­ лучение высокой оценки за экзаменационную работу ЕГЭ также практически гарантирует поступление в любое высшее учебное заведение.

Возможность подать заявления о зачислении сразу в не­ сколько вузов делает проходной балл на первом этапе конкурсно­ го отбора достаточно высоким. Естественное желание быть за­ численным в вуз как можно раньше может реализовать лишь тот абитуриент, который победил в одной или нескольких олимпиа­ дах, или получил на единых государственных экзаменах весьма высокие оценки. Для этого необходимо не только изучить мате­ риал, изложенный в хорошо зарекомендовавших себя учебниках и сборниках задач по физике, но и уметь правильно выполнять задания с развернутым ответом (часть С) экзаменационной рабо­ ты ЕГЭ. Настоящее пособие поможет выпускникам школы в под­ готовке к успешному решению заданий части С экзаменационной работы по физике.

На едином государственном экзамене по физике контроли­ руются знания и умения из следующих разделов школьного курса физики.

1. «Механика» (кинематика, динамика, элементы статики, законы сохранения в механике, механические колебания и волны) около 30% заданий экзаменационной работы.

2. «Молекулярная физика и термодинамика» (молекулярно­ кинетическая теория, термодинамика, свойства паров, жидкостей и твердых тел) - около 25% заданий экзаменационной работы.

3. «Электродинамика» (электростатика, законы постоянного тока, электрический ток в различных средах, магнитное поле, электромагнитная индукция, электромагнитные колебания и вол­ ны, оптика, основы специальной теории относительности) - око­ ло 30% заданий экзаменационной работы.

4. «Квантовая физика» (корпускулярно-волновой дуализм, физика атома, физика атомного ядра) - около 15% заданий экза­ менационной работы.

Предполагается, что экзаменующиеся имеют необходимые представления о применении в физике методов научного позна­ ния (о наблюдении и описании физических явлений, моделирова­ нии явлений и объектов природы, построении научных гипотез, роли физического эксперимента, измерении физических величин, формулировке физических законов и теорий и установлении гра­ ниц их применимости).

Экзаменационная работа состоит из трех частей. Первая часть (часть А) - это задания с выбором ответа (к каждому зада­ нию приводится 4 варианта ответа, из которых верен только один). Вторая часть (часть В) содержит задания с кратким отве­ том (ответ представляется в виде числа, либо в виде указания со­ ответствия между позициями вопроса и ответа). Наконец, третья часть (часть С) включает задания с развернутым ответом.

';

Экзаменационная работа может включать в себя от 35 до заданий, из них на часть С обычно приходится 5-6 заданий. Об­ щее количество заданий в экзаменационной работе по каждому из разделов приблизительно пропорционально его содержатель­ ному наполнению и учебному времени, отводимому на изучение данного раздела в школьном курсе физики. При этом задания части С являются заданиями высокого уровня сложности и про­ веряют умение использовать физические теории и законы в изме­ ненной или новой ситуации. Эти задания также позволяют про­ верить навыки комплексного использования знании и умении из различных разделов курса физики. По этой причине выполнение таких заданий требует применения знаний сразу из двух-трех разделов физики, т.е. довольно высокого уровня подготовки. За­ дания части С играют важную роль в структуре контрольной ра­ боты ЕГЭ. Они в основном отражают уровень требований к всту­ пительным испытаниям при поступлении на технические и физико-математические специальности большинства вузов нашей страны. Таким образом, включение в часть С сложных заданий разного уровня трудности позволяет дифференцировать абитури­ ентов при их дальнейшем отборе в вузы с различными требова­ ниями к уровню подготовки поступающих.

Задания в части С группируются в соответствии с их те­ матической принадлежностью (от раздела «Механика» к раз­ делу «Квантовая физика»). На решение этих заданий отводится около 2 астрономических часов (то есть в среднем около 20 минут на каждое задание). Так как на выполнение всей эк­ заменационной работы выделяется 3,5 астрономических часа, то процесс решения и оформления заданий части С занимает примерно 50% общего времени написания экзаменационной работы. В экзаменационном варианте перед заданиями части С предлагается инструкция, в которой приведены общие требо­ вания к оформлению развернутых решений. При выполнении заданий разрешается использовать линейку, а также непро­ граммируемый микрокалькулятор с возможностью вычисления тригонометрических функций.

За каждое правильно решенное задание части С экзаменую­ щийся может получить 3 первичных балла, то есть всего за вы­ полнение заданий части С можно получить 15-18 первичных баллов. Поскольку максимальное количество первичных баллов, на которое может быть оценена экзаменационная работа, равно 50, то баллы, полученные за задания части С, составляют 30-35% от максимально возможной суммы первичных баллов. Таким об­ разом, задания части С играют значительную роль в контрольной работе ЕГЭ по физике - получение высокой итоговой оценки за экзамен без решения хотя бы нескольких заданий части С невоз­ можно.

После проведения экзамена Рособрнадзором устанавливает­ ся минимальное количество баллов ЕГЭ, подтверждающее освое­ ние выпускником программы среднего (полного) общего образо­ вания по физике. Это минимальное число баллов определяется объемом знаний и умений, без которых в дальнейшем невозмож­ но продолжение образования в учреждениях среднего профес­ сионального и высшего профессионального образования.

При подготовке к ЕГЭ по физике рекомендуется использо­ вать учебники, имеющие гриф Министерства образования и нау­ ки РФ, пособия, включенные в перечень учебных изданий, допу­ щенных Министерством образования и науки РФ, а также посо­ бия, рекомендованные Федеральным институтом педагогических измерений (ФИПИ) для подготовки к единому государственному экзамену. Список некоторых таких изданий, вышедших к на­ стоящему времени, приведен в конце данной книги.

Настоящее пособие состоит из четырех основных разделов, соответствующих основным разделам школьного курса физики.

Внутри каждого раздела выделено несколько подразделов: в раз­ деле «Механика» - пять, в разделе «Молекулярная физика и тер­ модинамика» - два, в разделе «Электродинамика» - шесть, в раз­ деле «Квантовая физика» - три. В каждом из подразделов приве­ дены задачи с подробными решениями, а также задачи с ответа­ ми, предназначенные для самостоятельной подготовки. При этом решения первых трех задач в каждом подразделе написаны прак­ тически в строгом соответствии с требованиями, предъявляемы­ ми экспертами при проверке решений заданий части С экзамена­ ционной работы. Решения остальных задач в целом соответству­ ют этим требованиям (с целью сокращения объема пособия не везде упомянуто об используемых стандартных модельных пред­ положениях, а также опущены промежуточные выкладки, число­ вые расчеты и проверка размерностей полученных ответов - эти операции читателям рекомендуется воспроизвести самостоятель­ но). В конце каждого решения приведены краткие методические рекомендации, которые могут представлять собой указание на возможность применения в данном случае тех или иных физиче­ ских законов или формул, пояснения по поводу использованных в решении математических приемов, описание ошибок, часто встречающихся при решении задач данного вида. Для того чтобы получить представление о требованиях, предъявляемых к реше­ ниям заданий части С, рекомендуется перед началом работы с пособием ознакомиться с приведенной ниже методикой оценива­ ния решения заданий с развернутым ответом в экзаменационных работах ЕГЭ по физике.

Пособие содержит более 600 задач (более 200 - с решениями и около 400 - с ответами). Большинство из вошедших в пособие задач в течение ряда лет использовались в Московском государ­ ственном университете имени М.В.Ломоносова в качестве зада­ ний для различных олимпиад школьников по физике, а также при проведении устных и письменных вступительных испытаний на физический факультет, факультет вычислительной математики и кибернетики и факультет наук о материалах. Кроме того, в сбор­ ник вошло более 80 задач, которые использовались в качестве заданий экзаменационных работ ЕГЭ по физике прошлых лет (номера таких задач снабжены надстрочным индексом «Е» - на­ пример: 1.1.7.е). Многие задачи из числа приведенных в сборнике давно стали классическими; а большинство задач являются в зна­ чительной степени оригинальными. Приведённые в настоящем сборнике условия задач были отредактированы, а решения и ме­ тодические рекомендации - написаны или отредактированы ав­ торами данной книги.

При работе над данным пособием авторы опирались на мно­ голетние традиции преподавания физики, имеющиеся в Москов­ ском государственном университете имени М.В.Ломоносова, а также на богатый педагогический опыт, накопленный многими поколениями замечательных ученых и педагогов, работавших ранее и продолжающих работать в настоящее время на физиче­ ском факультете МГУ. Многие из них известны как авторы клас­ сических учебников по физике для школы, средних специальных и высших профессиональных учебных заведений, а также как выдающиеся популяризаторы науки. Авторы считают своим дол­ гом упомянуть здесь ряд педагогов физического факультета МГУ, лекции и книги которых открыли удивительный мир физи­ ки многим поколениям школьников и студентов: это А. И. Буздин, Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев, В. И. Григорьев, В. Г. Зубов, В. А. Ильин, В. И. Иверонова, С. Г. Калашников, В. В. Керженцев, В. Д. Кривченков, И. В. Кривченков, С. С. Кротов, Г. С. Ландсберг, А. Б. Млодзеевский, А. Н. Матвеев, Г. Я. Мякишев, В. К. Петерсон, Г. Е. Пустовалов, Б. И. Спасский, Н. А. Свеш­ ников, С. П. Стрелков, К. Ф. Теодорчик, С. Э. Хайкин, В. П. Шальнов, М. П. Шаскольская, И. А. Эльцин, И. А. Яковлев.

Авторы выражают свою искреннюю благодарность профес­ сорам и преподавателям физического факультета МГУ, которые своими ценными советами и замечаниями, высказанными в ходе многочисленных обсуждений, способствовали значительному улучшению материала, использованного при подготовке данной книги. Мы благодарим В. А. Алешкевича, П. Ю. Бокова, В. М. Буханова, А. В. Грачева, А. И. Гомонову, В. А. Грибова, К. Н. Драбовича, В. Ю. Иванова, Ю. А. Кокшарова, Г. А. Миронову, С. Ю. Ни­ китина, В. И. Николаева, И. П. Николаева, К. В. Парфёнова, В. А. Погожева, Н. Б. Подымову, М. С. Полякову, И. М. Сараеву, A. В. Селиверстова, Ю. В. Старокурова, В. С. Степанову, Н. И. Чистя­ кову, В. И. Шмальгаузена и многих других.

Авторы также признательны руководству физического фа­ культета МГУ, которое постоянно уделяло и уделяет большое внимание вопросам преподавания физики школьникам. Усилиями деканов факультета профессоров В. С. Фурсова, А. П. Сухорукова, B. И. Трухина, а также профессоров Ю. Г. Пыркина, П. В. Коро­ ленко, В. А. Твердислова и доцентов А. И. Соколова, Н. А. Суха­ ревой, В. Н. Аксенова, в различные годы занимавших должности заместителей декана по учебной работе, в МГУ сформировался высокий уровень требований к задачам для олимпиад и вступи­ тельных испытаний по физике, задавший «высокую планку» при конкурсном отборе абитуриентов в высшие учебные заведения страны.

Авторы благодарны рецензенту настоящего пособия - до­ центу физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова к.ф.-м.н. Г.А. Чижову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, учет которых позволил улуч­ шить структуру и содержание книги.

Пособие предназначено для школьных учителей физики, го­ товящих своих учеников к сдаче единого государственного экза­ мена по физике, а также учеников 10-х-11-х классов, которые желают углубить свои знания в области физики и подготовиться к сдаче ЕГЭ. Оно также может быть полезно абитуриентам, окон­ чившим школу в прошлые годы и готовящимся сдавать или пере­ сдавать ЕГЭ, руководителям школьных физических кружков, преподавателям заочных и вечерних физико-математических школ и подготовительных курсов. Пособие также может исполь­ зоваться для подготовки к участию в различных олимпиадах школьников.

Авторы будут признательны за любые конструктивные замечания по содержанию пособия и за сообщения об обнару­ женных опечатках, которые можно присылать по электронной почте [email protected]. С перечнем опечаток, обнару­ женных авторами и читателями после сдачи пособия в печать, можно ознакомиться в сети Internet на странице http://genphys.phys.msu.ru/ol/egebook

МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ

В ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТАХ ЕГЭ

ПО ФИЗИКЕ

Полное правильное решение задачи с развернутым ответом (задание части С) должно включать законы и формулы, примене­ ние которых необходимо и достаточно для решения задачи, а также математические преобразования, расчеты с численным от­ ветом и, при необходимости, рисунок, поясняющий решение. За решение каждой задачи можно получить от 0 до 3 первичных баллов. При оценивании решений заданий части С в экзаменаци­ онных работах выпускников, как правило, применяются следую­ щие основные критерии.

3 первичных балла ставится в случае, если приведено пол­ ное правильное решение задачи, одновременно включающее сле­ дующие элементы:

- верно записаны формулы, выражающие физические зако­ ны, применение которых необходимо для решения задачи вы­ бранным способом;

-проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу, и пред­ ставлен ответ. При этом допускается решение «по частям»

(с проведением промежуточных вычислений).

2 первичных балла ставится в случае, если выполнено хотя бы одно из следующих требований:

- представлено правильное решение задачи только в общем виде, без каких-либо числовых расчетов;

- или правильно записаны необходимые для решения задачи формулы, записан правильный ответ, но не представлены преоб­ разования, приводящие к ответу;

- или правильно записаны необходимые для решения задачи формулы, но в математических преобразованиях или вычислени­ ях допущена ошибка, которая привела к неверному числовому ответу.

1 первичный балл ставится в случае, если - в решении содержится ошибка в необходимых математи­ ческих преобразованиях и отсутствуют какие-либо число­ - записаны все исходные формулы, необходимые для ре­ шения задачи, но в одной (только в одной!) из них допу­ - отсутствует одна из формул, необходимых для решения Во всех остальных случаях решения задачи, которые не со­ ответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2 или 3 первичных балла (использование неприменимого физиче­ ского закона, отсутствие более чем одного исходного уравнения, разрозненные записи и т.п.) ставится 0 первичных баллов.

Критерии оценивания решений заданий части С в экзамена­ ционных работах ежегодно уточняются и конкретизируются.

С критериями, действующими в данном учебном году, можно ознакомиться, обратившись к демонстрационному варианту кон­ трольных измерительных материалов ЕГЭ по физике (КИМ), ежегодно публикующемуся на официальном Интернет-сайте Фе­ дерального института педагогических измерений (www.flpi.ru).

Приведем пример задачи с развернутым ответом, содержав­ шейся в демонстрационном варианте единого государственного эк­ замена 2009 года, за решение которой может быть поставлено 3 пер­ вичных балла.

В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока равна индуктивность катушки L = 5 мГн, сопро­ тивление лампы R = 5 Ом и сопротивление К резистора г = 3 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника тока, а также сопротивлением катушки и проводов пренебречь.

Решение. При замкнутом в течение достаточно долгого времени ключе в цепи устанавливается ток через источник, сопротивление г и катушку, величина которого, согласно за­ кону Ома для полной цепи, равна: 1 = $ / г. Напряжение на конденсаторе U при этом равно ЭДС источника: U = $. Полная энергия, запасенная в системе, складывается из энергии элек­ трического поля конденсатора и энергии магнитного поля каL I2, CU2 I S 2 с$ тушки: W =------ 1-------= ---- : н-------. После размыкания ключа К в контуре, состоящем из катушки, конденсатора, резистора и лампы, возникнут затухающие электромагнитные колебания.

В процессе этих колебаний, согласно закону сохранения энергии, вся начальная энергия, запасенная в колебательном контуре, пе­ рейдет в теплоту, выделяющуюся в резисторе сопротивлением г и в лампе сопротивлением R :

Согласно закону Джоуля - Ленца, мощность N, выделяю­ щаяся в проводнике, пропорциональна сопротивлению провод­ ника и квадрату силы тока, текущего через него в данный момент времени. Поскольку через резистор и лампу течет один и тот же ток, то N r - 1 г и N r = / R ( / - мгновенное значение силы то­ ка). Поэтому N r / N R = r / R, причем это отношение не зависит от времени. Значит, такое же отношение справедливо и для коли­ честв теплоты, выделяющихся в резисторах за полное время за­ тухания колебаний в контуре. Отсюда Qr / QR = r / R. Следова­ тельно Qr Проверим размерность получившегося ответа:

Выделим важные этапы решения, выполнение которых по­ зволяет поставить за него максимальный первичный балл.

1) При помощи закона Ома для полной цепи найдена сила тока, текущего через катушку.

2) Найдена полная начальная энергия, запасенная в конден­ саторе и в катушке.

3) Применен закон сохранения энергии для процессов, про­ исходящих в колебательном контуре после размыкания ключа.

4) Применен закон Джоуля - Ленца для отыскания соотно­ шения между количествами теплоты, выделяющимися в резисто­ ре и в лампе.

5) Названы все примененные физические законы.

6) Сделаны числовые расчеты и получен правильный ответ.

7) Проверена размерность полученного ответа.

Еще раз отметим, что при записи решения задачи с развер­ нутым ответом для получения максимального первичного балла обязательно нужно указывать наименования используемых физи­ ческих законов, а в завершение решения проводить числовые расчеты.

Пловец переплывает реку шириной L по прямой, пер­ пендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время tx = 4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t2 = 5 мин. Во сколько раз а скорость пловца относительно во­ ды превышает скорость течения реки?

Решение. Для решения задачи воспользуемся неподвижной системой отсчета, связанной с берегом реки. Со­ гласно закону сложения скоростей, скорость v 0 пловца относительно этой системы отсчета равна векторной сумме его скорости v0 относительно В первом случае, когда пловец пересекает реку по прямой, перпендикулярной берегу, у ± и, и векторы v, v0 и и образуют прямоугольный треугольник (см. рисунок). Следовательно, в этом случае v = -yjvl - и 2, и время, за которое пловец переплываL ет реку туда и ооратно, равно tx = —, Во втором случае« когда пловец плывет вдоль берега, его скорость в неподвижной системе отсчета равна движении по течению и v 2 = v 0 - u при движении против тече­ ния. Следовательно, время, которое пловец затрачивает для того, чтобы проплыть вдоль берега расстояние L и вернуться обратно, равно t2 = --------+ -------- = —— —.

При решении подобных задач следует сначала определить скорость пловца относительно неподвижной системы отсчета.

Основной ошибкой в таких задачах, как правило, является непра­ вильное векторное сложение скоростей.

1.1.2. Стержень длиной / = 0,85 м дви­ рый момент времени скорости концов стержня равны v x = 1 м/с и г>2 = 1,5 м/с, причем скорость первого из них на­ правлена под углом а = 30° к стержню. Какова в этот момент вре­ мени угловая скорость со вращения стержня вокруг его центра?

Решение. Для того чтобы найти скорость центра стержня относительно неподвижной системы отсчета, воспользуемся равенством гс = —(г1+ г2), связывающим радиус-векторы г { и г концов стержня с радиус-вектором гс его центра (см. рис. (а)).

Дифференцируя это равенство по времени, находим, что в непод­ вижной системе отсчета скорость центра стержня равна Vc = | ( Vl + V2)- Скорости концов стержня в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с его центром, по закону сложения скоростей выражаются следующим образом:

Из постоянства длины стержня вытекает, что проекции скоростей его концов на направление стержня в каждый момент времени совпадают: v xcosa = v 2 cos P. Поэтому vj и \'2 перпендикулярL со = -— -------- При решении подобных задач основные трудности вызывает векторное сложение скоростей. Будет полезным решить эту зада­ чу в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с од­ ним из концов стержня, и сравнить полученные ответы.

Равносторонний треугольник ABC скользит плашмя по горизонтальному столу. Известно, что в некоторый момент времени л, центра треугольника направлена параллельно Решение. В поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром треугольника, он совершает вращательное движение, причем скорости его вершин u ^, u 5, u c относительно центра равны друг другу по величине ( иА = ив —ис = и ) и каждая из них перпендикулярна линии, проведенной к соответствующей v2 =^j(ucosa)2 + (v0 - u s i n a ) 2, где a = 30°. Из последнего ра­ Подставляя в эту формулу выражение и = v x - v Q, получим урав­ нение относительно v 0: Vq ~ v x 0 + —(v 2 - v \ )= 0. Корни этого уравнения v 0 = ------ ------------------ = ---------м/с дают два значения скорости центра треугольника, удовлетворяющие условию зада­ чи: vo « 1,72 м/с, Vq2 ~ 0,72 м/с.

Данная задача является классическим примером задач на сложение поступательного и вращательного движений. Читателю предлагается задуматься о том, в чем состоит физический смысл двух ответов. В качестве дополнительного упражнения предлага­ ется определить скорость точки С.

1.1.4. Узнав о готовящемся нападении неприятеля, решетку ворот замка начали опускать с постоянной скоростью и = 0,2 м/с.

Мальчик, игравший на расстоянии / = 20 м от ворот, в тот же момент бросился бежать к воротам. Сначала он двигался равно­ ускоренно, а затем, набрав максимальную скорость v 0 = 2,5 м/с, равномерно. С каким минимальным ускорением ат мог разго­ няться мальчик, чтобы успеть пробежать под решеткой ворот в полный рост, если в начальный момент нижний край решетки находился на расстоянии Н = 3 м от поверхности земли? Рост мальчика /і=1 м, мя разгона tx=— он пробежит расстояние s = ——= — гг время движения мальчика до ворот равно t0 = tx +----- = — н 1 -----.

Видно, что чем меньше ускорение мальчика на участке разгона, тем больше t 0. С другой стороны, для того чтобы мальчик успел пробежать под решеткой ворот в полный рост, t0 не должно пре­ вышать времени т движения решетки ворот от исходного поло­ жения до высоты, равной росту мальчика. Очевидно, что ускоре­ ние мальчика будет минимальным, если t0 = т. Учитывая, что т = -------, получаем ответ: am = —у---------------у = 0,625 м/с.

На примере разобранной задачи следует обратить особое внимание на дополнительные условия в формулировке задачи, в данном случае, определение минимального ускорения мальчика.

1.1.5. В момент, когда опоздавший пассажир вышел на пер рон вокзала, с ним поравнялось начало предпоследнего вагона уходящего поезда. Желая определить, на сколько он опоздал, пассажир измерил время tl, за которое мимо него прошел пред­ последний вагон, и время t2, за которое мимо него прошел по­ следний вагон. Оказалось, что t{ = 9 с, a t2 =& с. Считая, что по­ езд двигался равноускоренно и длина вагонов одинакова, найти, на какое время т пассажир опоздал к отходу поезда.

Решение. Пусть / - длина вагона, а - ускорение поезда.

В момент, когда пассажир вышел на перрон, перемещение поезда составило величину хх = ат / 2. За время т+ tx поезд переместился на расстояние х2 = а(т + tx) / 2. Следовательно, для преда(т + L )2 ат последнего вагона можно записать: 1 = х2 - х 1=----- -----------—.

шений вытекает равенство: (т + tx) - т =t2(2т + 2t{ + 1 ). Выраt 2 +2t t —t жая отсюда т, получаем ответ: т = — ------—— —= 63,5 с.

При решении этой задачи необходимо учитывать перемеще­ ние поезда в тот момент, когда пассажир вышел на перрон именно время, за которое произошло это перемещение, и есть время, на которое пассажир опоздал к отходу поезда.

1.1.6. Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединенных двумя полуок­ ружностями. Ширина дорожки d = 1 м. Линия старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутрен­ ней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и про­ бегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость г;0 = 8 м/с, одинаковую для обоих бегунов, с которой и пробегают оставшуюся часть дис­ танции. На сколько отличаются времена разгона бегунов, если, двигаясь каждый по середине своей дорожки, они финишируют одновременно?

Решение. Время, за которое бегун пробегает дистанцию, равно х = t + 1 где t = — - время разгона, t0 - время движеа ния с постоянной скоростью, а - ускорение бегуна. Из зависимо­ сти координаты точки от времени при равноускоренном движе­ нии получим время разгона, за которое бегун пробегает расстояatl v l S - S B S vn ние S = ——= — Поэтому t0 = ------ —= -------- —, где S - длина дистанции. Таким образом, х = — н-----. По условию задачи X = х2, — н L-_r_-|J_ (индексы относятся к обоим бегунам). Отсюда At = tpl —t ------ ------—• Разность длин дистанции S2 - S{ равна S2 —S{ = 2nd. Отсюда At =----- « 1,57 с.

Обратите внимание, что на первый взгляд число неизвест­ ных величин больше, чем число уравнений. Однако, выразив од­ ну неизвестную величину через другую (также неизвестную), мы приходим к правильному ответу.

1.1.7.е Тело, свободно падающее с некоторой высоты без на­ чальной скорости, за время т = 1 с после начала движения прохо­ дит путь в п = 5 раз меньший, чем за такой же промежуток вре­ мени в конце движения. Найдите полное время движения.

Решение. Пусть тело падает в течение к секунд и проходит за первую секунду путь. Тогда, в соответствии с законом пряРТ молинейного равноускоренного движения, — предпоследней v = g (к - 1)т. За последнюю к-ю секунду тело проходит путь уравнений, получим: к - ~ ~ ~ • Следовательно, искомое полное время движения t = кт = ——1 т = 3 с.

Заметим, что при решении этой задачи удобно применить следующий прием: разбить полное время движения на интерва­ лы, кратные одной секунде, и записывать закон движения для каждого из нужных интервалов по отдельности.

1.1.8. Легкий маленький шарик роняют с нулевой начальной скоростью. Когда шарик пролетает по вертикали расстояние h - 5 м, он ударяется о тяжелую горизонтальную доску, движущуюся вер­ тикально вверх с постоянной скоростью. После упругого удара о доску шарик подлетает вверх на высоту nh от точки соударения, где п = 4. С какой скоростью и двигалась доска? Сопротив­ лением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Решение. Скорость шарика, свободно падающего с высоты h, равна v - ^ 2 gh. Для того, чтобы шарик после удара о доску поднялся на высоту n h, он должен при ударе приобрести ско­ рость v ’ = -yj2gnh = vyfn, направленную вверх. В системе отсчета, связанной с доской, скорость шарика перед ударом v 0 H = v + и.

Так как удар упругий, шарик отскочит вверх с такой же по моду­ лю скоростью относительно доски: v'0 H = v + и. По закону сло­ жения скоростей скорость шарика после удара в неподвижной системе отсчета равна: г/ = v'0 H+ и = v + 2и. Объединяя записан­ ные выражения, получаем ответ: и = J — (Vn — 5 м/с.

Следует отметить, что эта задача, как правило, вызывает особые трудности: во-первых, в определении относительной ско­ рости, и, во-вторых, при переходе от движущейся системы отсче­ та к неподвижной.

1.1.9. Преследуя добычу, гепард движется по прямой гори­ зонтальной тропе прыжками длиной / = 8 м. Внезапно на пути гепарда встречается овраг глубиной Н = 4 /3 м. Отталкиваясь от края оврага точно так же, как и при движении по тропе, гепард прыгает в овраг. Найти горизонтальное перемещение гепарда L при этом прыжке, если горизонтальная составляющая его скоро­ сти v = 108 км/ч. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с, сопротивление воздуха не учитывать, дно оврага считать горизонтальным.

Решение. Длительность прыжка гепарда при движении по горизонтальной тропе равна т = —. Следовательно, высота прыжV ка над поверхностью тропы составляет Горизонтальное смещение гепарда при прыжке в овраг равно (см.

рисунок): L = — \-v x, где т, = —------- - — время свободного падения с высоты (Н + ). Объединяя записанные выражения, При решении подобных задач полезно воспользоваться принципом независимости движений точки по двум взаимно пер­ пендикулярным направлениям, который быстро приводит к пра­ вильному ответу.

1.1.10. Теннисист бьет мячом с высоты Н - 2 м в направле­ нии вертикальной гладкой стенки, находящейся на расстоянии )>\ 77.

V7/77777777777/77777// «-----------Л ----------ной начальной скорости мяча v 0 он после упругого удара о стен­ ку не перелетит через ограждение? Размером мяча пренебречь, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с.

V вующая максимальной скорости, удовлетво­ и— — составляющая скорости мяча не изменяется, а горизонтальная, оставаясь той же по величине, меняет направ­ ление на противоположное. Зависимость высоты мяча над поat верхностью земли от времени имеет вид: у = H + v 0sina - —.

Время полета мяча до ограждения t0 =----------. Мяч не перелетит через ограждение, если y(t0) < h. Исключая из записанных выра­ жений время, получаем ответ:

При решении подобных задач основные трудности связаны с изменением (в результате соударения о стенку) привычной траек­ тории движения мяча, брошенного под углом к горизонту. По­ этому может оказаться полезным сделать чертеж, расположив ограждение на расстоянии (L+1) от точки бросания мяча, и изо­ бразить на нем траекторию движения мяча.

1.1.11.ЕМаленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается от неё. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. На какое расстояние по горизонтали пере­ мещается шарик между первым и вторым ударами о плоскость?

Скорость шарика в момент первого удара направлена вертикаль­ но вниз и равна 1м/с.

Решение. Направим оси прямоугольной декартовой системы координат так, как показано на рисунке: ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y - перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Начало координат совместим с точкой, в которой шарик в первый раз соударяется с плоскостью. Так как этот удар абсо­ лютно упругий, то после него скорость шарика сохраняет свой модуль, равный v 0 = 1 м/с. При абсолютно упругом соударении проекция скорости шарика на наклонную плоскость остается не­ изменной, а проекция скорости шарика на нормаль к наклонной плоскости изменяет свой знак на противоположный. Поэтому сразу после первого удара вектор скорости шарика направлен под углом ^ - 2 а к горизонту, то есть под углом а к оси Y (угол а = 30°). Вектор ускорения свободного падения g имеет проекции на ос иХи У, равные g sin а и g cos а, соответственно.

Запишем закон равноускоренного движения шарика (в про­ межутке между первым и вторым ударами) в проекциях на оси X и Y: х(/) = v 0 sin a •t + ------------- и y(t) = v 0 cos a - t ----------------.

Пусть через время t = т после первого соударения шарик ударит­ ся о наклонную плоскость во второй раз. В этот момент времени шарик сместится вдоль оси X (то есть вдоль наклонной плоскоg sin a -т2 4г>о sin a сти) на расстояние L = *(т) = v 0 sin a •т + —----------- = — --------.

При этом перемещение шарика по горизонтали составит ния g « 10 м/с2, получим численный ответ: S « 0,17 м = 17 см.

При решении этой задачи большую роль играет удачный вы­ бор направления осей прямоугольной системы координат. Выбор, сделанный в приведенном решении, заметно упрощает формулы, необходимые для получения ответа. Если же направить оси сис­ темы координат традиционным способом - горизонтально и вер­ тикально - то решение задачи заметно усложнится, так как ис­ ходные формулы и вычисления станут гораздо сложнее.

1.1.12. Самолет летит по дуге окружности радиусом R = 1 км, сохраняя одну и ту же высоту h - 1,5 км. С интервалом времени т = 10,5 с («Ютг/З с) с него сбрасывают два мешка. На ка­ ком расстоянии S друг от друга упадут на землю эти мешки, если скорость самолета ^ = 100 м/с? Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с, сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. На рисунке изображен вид сверху на траекторию самолета.

Горизонтальное перемещение мешка за время падения с высоты h равно от места падения мешка до центра про­ екции на поверхность земли окружности, по которой движется самолет, Rx = < 2 + l2. Из рисунка видно, что S = 2RX а = —. Объединяя записанные выражения, находим ответ:

При решении этой задачи надо понимать, что движение сброшенных мешков аналогично движению тела, брошенного горизонтально. Кроме того, при определении расстояния S и угла а требуются элементарные знания геометрии.

1.1.13. Колесо радиусом i = l м катится без проскальзывания по горизонтальной дороге с ус- ^ корением а - 4 м/с. Какие по модулю ускорения относительно неподвижной системы отсчета имеют точки А и В, расположенные на горизонтальном диаметре ко­ леса в тот момент, когда скорость центра колеса равна v = 1 м/с?

Решение. В поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром колеса, все точки на ободе движутся по ок­ неподвижной системе отсчета к вектору ускорения каждой точки нужно прибавить вектор ускорения центра колеса. В результате для точек А и В получаем:

Обратите внимание на определение нормального и танген­ циального ускорений в системе отсчета, связанной с центром ко­ леса. Было бы полезным решить задачу при условии движения колеса с постоянной скоростью.

Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t = 70 с. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом:

делал два шага вперёд и один шаг назад? Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна и —0,5 м/с. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

Ответ: tx = --------1= 50 с.

1.1.15. По двум пересекающимся под углом а = 30° дорогам движутся к перекрестку два автомобиля: один со скоростью v i = 10 м/с, второй - со скоростью v 2 = 17,3 м/с. Когда расстоя­ ние между автомобилями было минимальным, первый из них на­ ходился на расстоянии S[ = 200 м от перекрестка. На каком рас­ стоянии S2 от перекрестка в этот момент находился второй авто­ мобиль?

Ответ: S2 = S^ C0Sa- V^ = 115,3 м.

1.1.16. Один корабль идёт по мо­ рю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой - навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на очень малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от перво­ го корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго - на северозапад (см. рисунок). Определите модуль v скорости ветра. 1 узел = 1 морская миля в час, 1 морская миля = 1852 м. Ответ выразите в км/ч и округлите до целого числа.

Ответ: г> » 83 км/ч.

1.1.17. Стержень скользит по инерции по гладкому горизонтальному столу. В некоторый момент времени в неподвижной системе отсчета скорости концов стержня составляют с направлением стержня углы a = 30° и р = 60°. Какой угол у образует со стержнем в этот мо­ мент скорость его центра?

1.1.18.е За время t = 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло путь S = 20 м, увеличив свою скорость в п - 3 раза. Определите конечную скорость тела.

1.1.19. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъ­ езжает мотоциклист, движущийся с ускорением 3 м/с2. На каком расстоянии S от остановки мотоциклист догонит грузовик?

1.1.20. Пассажир, стоящий на перроне, заметил, что первый вагон электропоезда, приближающегося к станции, прошел мимо него в течение tx= 4 с, а второй - в течение t2 = 5 с. Определить ускорение поезда а, если передний конец поезда остановился на расстоянии L = 15 м от пассажира. Движение поезда считать равнозамедленным.

1.1.21. Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединенных двумя полуокруж­ ностями. Ширина дорожки d = 1 м. Линия старта проведена пер­ пендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с ли­ нией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не набе­ рут максимальную скорость v 0 = 8 м/с, одинаковую для обоих бе­ гунов, с которой и пробегают каждый по середине своей дорожки оставшуюся часть дистанции, финишируя одновременно. Чему рав­ но отношение п времени разгона второго бегуна ко времени разго­ на первого, если полная длина первой дорожки S{ = 400 м, а время, за которое спортсмены пробегают всю дистанцию, х = 52 с?

Ответ: п = 1-------------- « 0,61.

1.1.22. На цилиндрическую часть ка­ тушки радиусом г — 10 см, лежащей на сто­ ле, намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок АВ которой горизонтален (см. ри­ сунок). В момент времени t = 0 точку нити А начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением а, модуль которого равен 4 см/с. При этом катушка начинает дви­ гаться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей ориентации. Через какое время х длина горизонтального участка нити изменится в п = 2 раза, если длина отрезка АВ была р^вна Lq = 1 м, а внешний радиус катушки равен R = 20 см?

1.1.23. Ракета запущена вертикально вверх с поверхности Земли и на участке разгона имела постоянное ускорение < = 19,6 м/с. Какое время t0 падала ракета с ускорением g = 9,8 м/с после достижения наибольшей в полете высоты, если на участке разгона движение продолжалось в течение времени х = 1 мин?

Ответ: t0 = —-у]а(а + g) = 2,45 мин.

1.1.24. Ракета запущена вертикально вверх и во время рабо­ ты двигателя имела постоянное ускорение а - 5 g. Спустя t0 = 1 мин после старта двигатель ракеты отключился. Через ка­ кое время х после отключения двигателя ракета упала на землю?

Сопротивление воздуха не учитывать.

1.1.25. Подъемный кран опускает бетонную плиту с посто янной скоростью v = 1 м/с. Когда плита находилась на расстоя­ нии h = 4 м от поверхности земли, с нее упал небольшой камень.

Каков промежуток времени х между моментами, в которые ка­ мень и плита достигли земли? Толщиной плиты по сравнению с h пренебречь.

1.1.26. На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упру­ гий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время х = 0,6 с, а за время между двумя последовательными ударами о пол проходит путь L - 4 м относительно земли.

Ответ: и = ^ ( L - g x 2) g = 2 м/с, решение существует при 1.1.27. Небольшой камень, брошенный с ровной горизон­ тальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно на землю через время t —2 с на расстоянии s = 20 м от места бро­ ска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?

1.1.28. Из одной точки одновременно брошены два малень­ ких камушка с одинаковой начальной скоростью v 0 =10 м/с под углами а = 30° и 2 а к горизонту. Камушки смещаются в горизон­ тальном направлении в одну сторону и в течение полета все вре­ мя находятся в одной вертикальной плоскости. Найти расстояние между камушками спустя время х = 0,5 с после начала полета.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: s = 2t;0xsin— « 2,6 м.

1.1.29. Мальчик бросает мяч в направлении вертикальной стены так, чтобы мяч, отскочив от стены, упал точно к его ногам. Какова должна быть начальная скорость мяча v 0, если бросок произво­ h дится с высоты h = 1,5 м под углом а =45° к гори­ тпЬггглт»?/У/ зонту? Расстояние от мальчика до стены 1 = 6 м.

Удар мяча о стену считать абсолютно упругим. Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

1.1.30. С края бетонированного желоба, сечение которого изображено на рисунке, бросают в горизонталь­ г Какие значения может иметь модуль начальной скорости шарика v 0 для того, чтобы он, ударившись один раз о дно желоба, выпрыгнул на его противоположную сторону? При расчетах положить Н = 0,9 м, h = 0,5 м, 1 = 2 м. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с. Удар шарика о дно желоба считать абсолютно упругим, сопротивлением воздуха пренебречь.

1,75 м/с < v 0 < 3,5 м/с.

1.1.31. Маленький шарик падает с нуле­ вой начальной скоростью с некоторой высо­ ты Н на наклонную плоскость. После удара он попадает на вторую плоскость. Точка пер­ вого удара находится на расстоянии L= 1,73 м от линии соприкосновения плос­ костей (см. рисунок). С какой высоты Н упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен a = 15°.

1.1.32. Из некоторой точки плоскости, образующей с гор зонтом угол а = 30°, бросают упругий шарик, как показано на плоскость находится выше места его первого удара, найти возможные значения угла (р броса­ ния этого шарика относительно горизонта.

В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, тре­ ние отсутствует. Массы грузов равны т\ = 2 кг и т2 = 4 кг. Найдите модуль ускорения оси блока А, к которой приложена в вертикальном направлении Ц/ сила F - 16 Н. Ускорение свободного падения приу нять равным g = 10 м/с.

Ответ: а = g — --------------- f = 6 м/с" М —3 кг, лежащие на гладкой горизон­ тальной плоскости, соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через легкие блоки. В момент времени 7= к верхнему блоку прикладывают силу F = 3 Н, направленную вер­ тикально вверх. Найти зависимость относительной скорости гру­ зов от времени t. Чему будет равна относительная скорость гру­ зов через t = 2 с после начала движения?

Ответ: vотн ----------F t ; через t = 2 с после начала двит М Маленький шарик массой га = 100 г подвешен на длинной нити к потолку вагона, который равномерно движется по криволинейному участку пути со скоростью v = 72 км/час.

С какой силой Т натянута нить, если радиус закругления участка пути R = 200 м? Ускорение свободного падения g =9,8 м/с2.

/ = 1 м. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начи­ нает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с пе­ риодом обращения Г = 1,68 с. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его с нулевой начальной скоростью.

Найдите максимальное отношение к силы натяжения нити в пер­ вом случае к силе её натяжения во втором случае. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с.

жесткой тонкой проволоки, надета маленькая бусинка, к которой прикреплена невесомая нерастяжимая нить длиной R. Кольцо за­ креплено на вертикальной оси, совпадающей с одним из его диа­ метров. Если свободный конец нити прикрепить к верхней точке кольца, а затем начать медленно раскручивать кольцо вокруг оси, то нить лопнет, когда угловая скорость вращения станет равной coi = 1 рад/с. При какой угловой скорости лопнула бы эта нить, если бы она была прикреплена к нижней точке кольца?

Ответ: со2 = л l + — =9 рад/с.

1.2.24. Ракета массой га = 2 кг, стартовавшая с поверхности Земли, летит с работающим двигателем со скоростью v = 20 м/с по дуге окружности радиусом R = 100 м, лежащей в вертикальной плоскости. Найти модуль силы тяги двигателя в тот момент, когда скорость ракеты направлена под углом а = 60° к горизонту.

Ответ: F = ---------------------------------------» 17,4 H.

1.2.25. Маленькую шайбу массой га =100 г запустили со скоростью v0 = 0,6 м/с в направлении по касательной к внутрен­ ней поверхности находящейся в невесомости сферы массой М= 500 г и радиусом г - 0,5 м. Найдите модуль силы, действую­ щей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вна­ чале покоилась.

Ответ: F = ------------ - = 0,06 Н.

1.2.26.Е Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение перио­ дов обращения искусственных спутников Марса и Земли Гм/7з, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте?

Спутник движется по круговой орбите, радиус кото рой составляет п = 6 радиусов планеты. Какова плотность веще­ ства планеты р, если период обращения спутника Т - 24 часа?

Планету считать однородным шаром. Гравитационная постоянU Ответ: р = -----—« 4,1 1 0 кг/м.

жутся по окружности радиусом R = Ю1 м, располагаясь на про­ тивоположных концах диаметра окружности. Пренебрегая влия­ нием других небесных тел, определить период Т обращения звезд. Гравитационная постоянная G = 6,7-10 11------ —. Ответ выразите в сутках, округлив до целых.

Ответ: Т = 4пЯл —— «13 суток.

Период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности планеты равен Тх = 5-10 с. Если бы круговая орбита спутника проходила на высоте h = 1,27 -10 м от по­ верхности планеты, то период обращения спутника был бы равен Т2 = 2,6 •104 с. Определить ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты. Вращение планеты вокруг собственной оси не учитывать.

Ответ: g = —--------------—---- « 10 м/с.

Известно, что вес тела на высоте h = 100 км над по­ верхностью планеты на полюсе равен весу этого же тела на по­ верхности планеты на экваторе. Найти период Т вращения пла­ неты вокруг оси, если радиус планеты г = 1000 км, а ускорение свободного падения у поверхности на полюсе g = 4,76 м/с2. Пла­ нету считать однородным шаром.

1.2.31.e Автомобиль движется по выпуклому мосту. При ка­ ком значении радиуса R круговой траектории автомобиля в верх­ ней точке траектории водитель испытает состояние невесомости, если модуль скорости автомобиля в этой точке равен л v =12 км/ч? Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

Автомобиль со всеми ведущими колесами проезжает верхнюю точку моста со скоростью v = 54 км/ч. Какое макси­ мальное ускорение в горизонтальном направлении может иметь автомобиль, если коэффициент трения колес о мост равен \i = 0,4, а радиус кривизны моста у вершины равен R = 50 м. Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

Невесомая пружина скрепляет эта система подвешена за верхний груз, дли­ I >А на пружины равна 1 = 20 см. Если систему м M j поставить на подставку, длина пружины будет равна /2 =10 см. Определить длину / ненапряженной пружины.

Ответ: L =— --------— 12,5 см.

вплотную прижат брусок. Коэффициент трения между бруском и доской ц = 0,1. Доску начинают поступа­ тельно перемещать по столу с некоторым постоянным ускорением. При каком минимальном значении a m in угла a между плоскостью доски и вектором ускорения брусок не будет скользить по доске?

1.2.35. На горизонтальном диске на расстоянии R = 50 см от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Че­ рез время т = 20 с после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время х диск сделал п = 5 оборотов.

Ответ: |і = --------- -— ----------- « 0,5.

1.2.36. На стальной стержень круглого сечения плотно одето тонкое резиновое кольцо. Сила растяжения кольца равна Т = 10 Н. Какую силу F нужно приложить, чтобы сдвинуть коль­ цо вдоль стержня без вращения, если коэффициент трения между сталью и резиной равен jj, = 0,8 ? Сдвигающая сила равномерно распределена по кольцу.

ла F. При каком значении этой силы кубик начнет скользить по бруску? Коэффициент трения между кубиком и бруском ц = 0,5.

Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с.

системе, показанной на рисунке. Силами трения, за исключением силы сухого тре­ ния, действующей на груз 3, пренебречь.

Коэффициент трения этого груза о гори­ зонтальную плоскость равен ц. Нити счи­ m j m тать невесомыми и нерастяжимыми, а блоки - невесомыми. Провести численный расчет для тх - 2 кг, т2 = 1 кг, т3 =4 кг, ц = 0,5 и g = 10 м/с.

1.2.39. Наклонная поверхность непод­ вижного клина с углом а = 30° при осно­ вании имеет гладкую нижнюю и шерохова­ тую верхнюю части. Коэффициент трения между стержнем и верхней частью клина равен ц = 0,6. На верх­ ней части клина удерживают тонкий однородный стержень мас­ сой m = 100 г, расположенный в плоскости рисунка. После того, как стержень отпускают, он начинает поступательно скользить по клину. Найти максимальную силу натяжения стержня в процессе его движения. Влиянием воздуха пренебречь.

Ответ: Гтах = ^\х m g cosa « 0,13 H.

Однородный стержень лежит горизонтально на дву опорах. Расстояние от центра стержня до ближайшей опоры S = 0,3 м. Найти расстояние / между опорами, если известно, что модули сил, действующих на стержень со стороны опор, отлича­ ются друг от друга на величину, равную а = 1/5 веса стержня.

г Решение: Решение задачи будем проводить в неподвижной относительно земли сис­ тяжести, Fj и F2 - силы реакции опор. Запишем условия равно­ весия стержня. Для проекций сил на вертикальную координатную ось имеем: Fx + F2 = m g, а для моментов сил относительно оси, проходящей через центр тяжести стержня и перпендикулярной плоскости рисунка, FxS = F2( l - S ). Кроме того, по условию Fx- F 2 = am g. Исключая из этих уравнений m, Fx и 2, получаS ем ответ: / = ------ = 0,75 м.

Будет полезным решить эту задачу, записав моменты сил, действующих на тело, относительно оси, проходящей перпенди­ кулярно плоскости рисунка через одну из опор.

на шарнире в точке А и удерживается горизонталь­ ной нитью. Масса стержня т = 1 кг, угол его накло­ акции шарнира. Ускорение свободного падения прил нять равным g = 10 м/с.

Решение: Будем решать задачу в неподвиж­ ной относительно земли системе отсчета, считая ее инерциальной. Введем прямоугольную систему координат, направив ось ОХ горизонтально, а ось OY - вертикально. Стержень находится в равнове­ сии под действием сил, изображенных на рисунке, где mg - сила тяжести, Т - сила натяжения нити, х и F - со­ ставляющие силы реакции шарнира вдоль осей ОХ и О, соответ­ ственно. Условия равновесия стержня имеют вид: для проекций сил на оси координат х = Т и F = mg ; для моментов сил отно­ сительно оси, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости рисунка, m g —cosa = 77 sin a, где / - длина стержня.

Учитывая, что F = Fx + у, получаем ответ:

Поскольку линии действия сил mg и Т пересекаются в точ­ ке О, линия действия силы F также должна проходить через эту точку, что позволяет до решения задачи однозначно определить направление силы реакции шарнира.

1.3.3. Тонкостенная полусфера массой М = 20 г и радиусом R = 5 см покоится на горизонтальном столе. На какую высоту h опустится край полусферы, если на него ся­ дет муха массой m = 0,5 г? Центр тяжести полусферы располо­ жен на расстоянии a = R I 2 от ее центра.

Решение: Для решения задачи будем использовать инерциальную систему отсчета, неподвижную относительно земли. Под дей­ ствием веса мухи сфера займет наклон­ ное положение, изображенное на рисун­ ке, где через N обозначена сила реакции стола. Уравнение моментов, записанное относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку касания полусферы и стола, имеет вид: Mga sin а = mgR cos а, где а - угол, на который отклонится полусфера. Отсюда tg a = ---- = 2 —. Из рисунка видМа М но, что искомая величина h = R sin a. Отсюда Главная ошибка при решении подобных задач, как правило, встречается при записи уравнения моментов. В этой задаче сле­ дует обратить внимание на определение плеча каждой их дейст­ вующих сил.

коэффициент трения ц между лестницей и полом, чтобы она на­ ходилась в равновесии? Трением в ролике пренебречь.

зонтальное направление: = >sina, в проекции на вертикаль­ ное направление: mg = N + Q c o s a, для моментов сил относил Q тельно оси, проходящей через точку л : п — = m g—c o s a, где т масса лестницы, / - ее длина. Учитывая, что FT < \iN, из этой При решении этой задачи можно допустить ошибку, если не учесть силу реакции ролика, или неверно определить направлен ние этой силы.

1.3.5. В сосуде, вертикальное сечение которого S i изображено на рисунке, находятся в равновесии два невесомых поршня, соединенные невесомой нерас­ тяжимой нитью. Пространство между поршнями за­ полнено жидкостью, плотность которой р = 10 кг/м. Найти силу натяжения нити Г, если площади поршней S{ =0,1 м и 52 = 0,05 м, а длина нити / = 0,5 м. Тре­ нием поршней о стенки сосуда пренебречь, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с.

Решение: Поршни находятся в равнове­ сии под действием сил, модули и направле­ ния которых указаны на рисунке. Для облег­ чения анализа рисунка точки приложения некоторых сил условно смещены от их ис­ тинного положения на оси симметрии систе­ Гі ^ А ) мы. Будем использовать следующие обозна­ чения: Т - модуль силы натяжения нити, р 0 - атмосферное давление, р - давление жидкости на уровне верхнего поршня. Условия равновесия поршней имеют вид: для верхнего поршня: p 0Sx+T = p S x, для нижнего поршня: (p + pgl)S2 = p 0S2 + T. Исключая из этих вы­ ражений р 0 и p, получаем ответ: Т = Р/5А = 500 Н.

При решении этой задачи можно допустить ошибку, если не учесть силу атмосферного давления, действующую на нижний поршень.

линдра заполнены водой и закрыты поршнями с равновесия левый поршень расположен выше пра­ шень поместили гирю массой т = 2 кг, поршни в положении равновесия оказались на одной высоте. Какова будет разность высот поршней Н, если гирю перенести на правый поршень?

Решение: Пусть Sx и S2 —площади поршней, р - плотность воды. Из условия равенства давлений в воде на одном уровне следуют уравнения: — — + рgh = — — (когда поршни находятся в исходном положении), ---- ----------= — -— (когда гиря лежит на левом поршне), — - + рgH = ---- ---------- (когда гиря лежит на правом поршне). Выражая из первого и второго уравнений Sx ные Sx и S2 в третье уравнение, получаем ответ:

При решении задачи важно с самого начала учесть, что площа­ ди поршней отличаются друг от друга. Если ошибочно считать, что площади поршней одинаковы, то решение будет неверным.

В цилиндрическом сосуде уровень воды находится н высоте Н = 20 см. Когда в сосуд пустили плавать пустой стек­ лянный стакан, уровень воды поднялся на Ah = 2 см. На какой высоте Я, будет располагаться уровень воды в сосуде, если стаУ кан утопить? Плотность воды рв =1 г/см, плотность стекла рст = 2,5 г/см3.

Решение: Пусть т —масса стакана, a S —площадь сечения сосуда. Поскольку плавающий стакан вытесняет объем воды, равный SAh, условие его плавания имеет вид: mg = pB gSAh.

Следовательно, объем стекла, из которого изготовлен стакан, рат р вен V = — = SAh —. Этот объем равен объему воды, вытесненРс Pc ному утонувшим стаканом. Отсюда Н х = H + A/z— = 20,8 см.

До решения задачи полезно задуматься о том, в каком случае объем вытесненной воды будет больше и почему. Кроме того, при решении этой задачи могут возникнуть трудности в опреде­ лении высоты поднятия жидкости в сосуде при погружении в не­ го бруска.

Стеклянная бутылка вместимостью V = 0,5 л и массой М = 200 г плавает в воде. Какую массу воды т нужно налить в бутылку, чтобы она утонула? Плотность стекла р = 2,5 •10 кг/м, плотность воды рв =10 кг/м.

Решение: Наружный объем бутылки равен V0 = V + —.

Условие плавания бутылки, полностью погруженной в воду, име­ ет вид: (M + m)g = pBV0g. Отсюда находим, что бутылка утонет, если в нее налить воду массой т> pB - М Перед решением этой задачи полезно вспомнить условия, при выполнении которых: 1) тело плавает на поверхности; 2) тело плавает полностью погруженным в воду; 3) тело тонет.

двух сосудах налиты одинаковые объемы различных жидкостей. Если брусок из пластмассы поместить в первый со­ суд, то он плавает в нем, причем сторона бруска, имеющая длину а = 5 см, перпендикулярна поверхности жидкости, и высота вы­ ступающей части равна =2 см. Если этот брусок поместить во второй сосуд, то высота выступающей части станет h2 = 3 см.

Какой будет величина выступающей части /г, если жидкости слить в один сосуд?. Жидкости смешиваются без изменения сум­ марного объема.

Решение: Пусть т - масса бруска, S - площадь его гори­ зонтального сечения, pj и р2 - плотности жидкостей в первом и втором сосудах. Тогда условия плавания бруска в этих жидкостях будут иметь вид: mg = ( а - hx)Sp{g, mg = ( а - h2)Sp2g. Отсюда p, = -----------, р 2 = -------------. При сливании жидкостей в один сосуд объем образовавшейся смеси по условию равен сумме объемов компонент, которые, в свою очередь, равны друг другу. Отсюда следует, что плотность смеси в смеси имеет вид: mg = (а - h)Spg. Из последних двух соотноа( +2) - 2 х шении получаем ответ: h = ——-----— ------ = 2,6 см.

Полезно обдумать, как изменится формула р = -- - - -л в случае смешивания двух разных объемов этих жидкостей, если смешивание происходит без изменения суммарного объема.

лита вода. Длина погруженной в воду части спицы / = 10 см.

Найти силу F, с которой спица давит на дно сосуда, если извест­ но, что нить расположена вертикально. Плотность алюминия ра =2,7 г/см, плотность воды р в =1 г/см. Ускорение свободноЛ го падения принять равным g = 10 м/с.

Решение: Силы, действующие на спи­ цу, изображены на рисунке, где mg - сила тяжести, Т - сила натяжения нити, FA - си­ р» * J?A ла Архимеда, F' - сила реакции дна сосуда. % Сила тяжести приложена к центру спицы, r сила Архимеда- к центру погруженной в воду ее части. Масса спицы т и модуль силы Архимеда выражают­ ся следующим образом: m = Spa, FA = SlpB. Уравнение момен­ относительно F'L cos а + SlpBg - L cosa = SLpag —cosa. Учитывая, что При решении подобных задач не следует ошибаться с опре­ делением точки приложения действующих на тело сил. Так, на­ пример, здесь точкой приложения силы тяжести является центр масс спицы, а точкой приложения силы Архимеда - центр погру­ женной в воду части спицы.

Задачи для самостоятельного решения 1.3.11. Однородный стержень длиной / = 1 м и массой т = 0,8 кг несет на концах два маленьких шарика, массы которых тх = 0,2 кг и т2 = 0,25 кг. Стержень может поворачиваться на горизонтальной оси, находящейся на расстоянии = 0,3 м от ша­ рика меньшей массы. Чтобы стержень был расположен горизон­ тально, под шарик большей массы подставлена опора. Найти мо­ дуль силы F, действующей на опору. Ускорение свободного паУ дения принять равным g = 10 м/с.

Ответ: F = т7 + -------------------- -—- g « 3,93 Н.

Деревянная линейка выдвинута за край стола на а = 1/ часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на ее све­ шивающийся конец положить груз массой не более тх = 250 г. На какую часть длины р можно выдвинуть за край стола эту линейку, если на ее свешивающийся конец положен груз массой т2 = 125 г?

жести которой (точка О) расположен посередине сти. Расстояние между ножками А и В скамейки равно 2Ь = 2 м.

Определить отношение сил давления ножек А к силе давления ножек В. Ответ округлить до десятых.

которой висит первый из них, отклонена от вертикали на угол а = 30°, а нить, на которой висит второй, отклонена на угол р = 45°.

клоненные под углом а = 30° к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой минимальной массы т нужно прикрепить Так называемый «китайский ворот»

представляет собой два цилиндрических вала ра­ диусами г = 10 см и R = 20 см, насаженных на об­ щую ось, закрепленную горизонтально (на рисунке показан вид сбоку). На валы в противоположных направлениях намотана веревка, на которой висит подвижный блок такого радиуса, что свободные участки веревки практически вертикальны. К оси блока прикреплен груз массой т = 10 кг. Ворот снабжен ручкой, конец которой находится на расстоянии 2R от оси ворота. Какую силу необходимо прикладывать к концу ручки ворота для того, чтобы равномерно поднимать груз, если веревка и блок очень легкие, а трения в осях и проскальзывания веревки нет? Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения в осях блоков и проскальзывания нити нет. Массы грузов на концах нити равны тх = 1 кг и т2 = 3 кг. Однородная доска массой га лежит на горизонтальном столе так, что вертикальные участки нити, переброшенной через закреплённые на доске блоки, прохо­ дят вдоль её торцов. При какой массе доски она при движении грузов будет оставаться в горизонтальном положении?

Ответ: га3 > ------—— = 3 кг.

сой га лежит на полу, касаясь вертикальной стены. К нему прижимают с силой F, направ­ ( Ъ ленной горизонтально, брусок высотой h У м (h < г) так, как показано на рисунке. Пренебрегая трением, найти модуль силы давления / шара на пол. Провести численный расчет для т = 1 кг, г = 10 см, h = 5 см, F = 15 Н, g = 10 м/с2.

потолку на трех одинаковых в недеформированном состоянии легких резиновых шнурах L i = 50 c m h L 2 = 30 с м, а между первым шнуром и центром тяже­ сти балки (по горизонтали) - L = 10 см. Точки крепления шнуров к балке лежат на одной прямой. Найти отношение сил натяжения первого и второго шнуров, считая их деформации малыми.

ку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, опираясь о стенку. Нить составляет со стенкой Найти минимальное значение коэффициента трения ц между стенкой и катушкой, при котором катушка Ответ: ц = ---------= 0,2.

массой т = \ кг расположен горизонтально.

Один конец стержня может свободно вра­ щаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, перпендику­ лярной стержню, а другой опирается на маленький жесткий бру­ сок А, лежащий на горизонтальной доске (см. рисунок). Брусок начинают двигать по доске вдоль стержня в сторону оси. Найти величину силы, с которой ось действует на стержень, в моменты времени, когда эта сила оказывается направленной под углом а = 45 ° к стержню. Коэффициент трения бруска о стержень равен ц = 0,5. Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

сти на расстоянии а от закрепленной ступеньки лежит брусок. Высоты сту­ пеньки и бруска одинаковы. На ребро бруска, параллельное краю ступеньки, u опирается цилиндр (см. рисунок), кото­ У //7777777Т 77?.

рый может без трения вращаться вокруг оси О, прикрепленной к краю ступеньки. Массы бруска и цилиндра равны. Если a R, то брусок скользит, не отрываясь от плоскости. Считая коэффи­ циент трения \х между всеми трущимися поверхностями одина­ ковым, найти величину jj,.

Вертикально расположенная ^/-образная трубка частично заполнена ртутью, причем левый ко­ нец трубки выше уровня ртути на = 50,2 см, а пра­ вый - на h2 = 25 см. В оба колена трубки наливают воду так, что они оказываются полностью заполненными. На ка­ кую величину Л/г переместится уровень ртути в левом колене трубки, если известно, что ртуть из него не вытесняется полностью? Плотность ртути р = 13,6 г/см, плотность воды рв = 1 г/см3.

||§ ЩЙр сосудах находится ртуть. В левый сосуд налили сотой ъ = 228 мм. На какую величину 2 сместится уровень ртути в среднем сосуде, если известно, что ртуть из левого и пра­ вого сосудов не вытесняется водой полностью? Плотность ртути р = 13,6 г/см, плотность воды рв = 1 г/см.

лано маленькое отверстие, в которое вставлена ^ затычка. В бутылку наливают воду и закрывают её горлышко пробкой, через которую пропущена трубка. Длина трубки подобрана таким мосферой. Затычку из отверстия в боковой стенке вынимают, и из него начинает вытекать вода. Через некоторое время поток воды из отверстия устанавливается, и вода вытекает с постоянной скоростью. Найдите давление воздухар, находящегося в бутылке, в тот момент, когда нижний конец трубки находится на глубине h = 5 см от поверхности воды. Плотность воды р = 1000 кг/м, атмосферное давление ро= 105 Па.

1.3.26. В дне цистерны, заполненной нефтью, установлены два одинаковых крана Ki и К2 небольшого сечения, распо­ ложенных на равных расстояниях 1 = 5 м от оси ее горловины. Считая, что скорость вытекания нефти пропорциональна пере­ паду давлений на кране, найти отношение масс вытекающей через краны нефти при движении цистерны по прямолинейному горизонтальному участку пути с ускорением а = 1 м/с, если уровень нефти в центре горловины относительно дна равен h = 2 м, и при движении цистерны нефть не выливает­ ся из горловины. Считать ускорение свободного падения равным g = 10 м/с2.

1.3.27. Надводная часть айсберга имеет объем V = 1000 м.

Найти массу айсберга М, если плотность воды рв =10 кг/м, а плотность льда рл =0,9-10 кг/м.

1.3.28. Цилиндрическая пробирка с грузиком, имеющая площадь поперечного сечения S = 1 см2, плавает в воде верти­ кально, причем из воды высовывается часть пробирки высотой h = 5 см. Какова минимальная плотность жидкости р, в которой пробирка с грузиком не утонет, если суммарная масса пробирки и грузика М = 20 г? Плотность воды р0 = 10 кг/м.

приведенным на рисунке графиком зависимости высоты уровня h жидкости от времени t, найти массу шайбы, зная, что ее торцы все время остаются горизонтальными, а объем жидкости, нали­ ваемой в сосуд за единицу времени, постоянен и равен V= 1 л/мин. На графике /, =1 мин, hx = 8 см.

Ответ: m = 2Vtxp0 = 2 кг.

в результате чего ворот вращался, и якорная цепь наматывалась на бревно. Капитан, собираясь в дальнее плавание, приказал утя­ желить якорь, после чего выяснилось, что прежняя якорная ко­ манда с трудом поднимает якорь только до поверхности воды.

Чтобы исправить ситуацию, капитан распорядился переделать ворот. Пренебрегая трением и массой цепи, найдите, во сколько раз нужно удлинить ручки кабестана, чтобы прежняя якорная ко­ манда могла поднимать новый якорь до борта. Плотности воды и материала якоря рв = 1 г/см и ря = 8 г/см соответственно.

1.3.31. Тонкая однородная палочка опира­ ется одним концом о вершину острого камня, выступающего из воды. Другой конец палочки находится на плаву, причем погруженная в во­ ду часть палочки в п раз меньше всей ее длио о ны. Плотность воды р0 =10 кг/м, п = 3. Найти плотность р материала, из которого сделана палочка.

На дне бассейна лежит тонкий цилиндрический стер­ жень длиной L — 1м, состоящий из двух половин с одинаковыми площадями поперечного сечения и плотностями pi = 0,5 г/см и р2 = 2,0 г/см3. В бассейн медленно наливают воду плотностью ро = 1,0 г/см. При какой глубине h воды в бассейне стержень бу­ дет составлять с поверхностью воды угол а = 45°?

Ответ: h = -------- — 1 -----—» 0,66 м.

с плотностью р1 имеет герметичную сферическую полость, радиус которой вдвое меньше радиуса R шара. Центр полости находится на расстоянии R/2 от центра шара. К точкам на поверхности ша­ ра, находящимся на концах диаметра, проходящего через центры шара и полости, приклеены две оди­ наковые невесомые нерастяжимые нити, длина каждой из которых больше R. Расстояние между точками крепления других концов нитей к горизонтальному дну сосуда равно 2 R.

В сосуд наливают жидкость с плотностью р до тех пор, пока шар не окажется полностью погруженным в жидкость. При этом обе нити оказываются натянутыми (см. рисунок). При каких значениях отно­ шения p/pj возможна такая ситуация?

По условию эти величины связаны между собой соотношением:

Sc+ SK= l. Учитывая, что т/ М = р, находим величину начальной скорости кузнечика: v 0 = I------ 2--------. Эта величина минимальна при s m 2 a = l, т.е. при a = 45°. Отсюда получаем: v 0 — ' Подставляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и провем/с2 -0,5м...

ряя размерность, находим ответ: v 0 = J ------j—-------« 1,1 м/с.

Полное решение этой задачи подразумевает анализ получен­ ного ответа. Надо понимать, что скорость кузнечика будет мини­ мальной при максимальном значении sin 2 a.

Две пружины, соединенные как показано на рисунке, имеют жесткости кх =15 Н/м и к2 =10 Н/м. Пружины растянули за свободные концы в разные стороны, совершив работу А = 1 Дж. Каковы потенциальные энергии Ех и Е2 деформации каждой из пружин по отдельности?

Решение. При растяжении пружин, соединенных последова­ тельно, возникающие в них силы упругости одинаковы. Следова­ тельно, кхА1х = к2А12, где А1 и Д/2 - абсолютные удлинения пружин. Их сумма равна общему удлинению А/ системы:

А/, + А/2 = А /. Отсюда А/, = А/ ——, AL = А/ ——. Жесткх+к2 кх+к кость двух пружин, соединенных последовательно, к = — Е{ = ———, Е2 = ———. Объединяя записанные выражения, поiZ лучаем ответ: Ех = Л---- -— = 0,4 Дж, Е2 = Л---- ! = 0,6 Дж.

Было бы неправильным считать, что работа по растяжению последовательно соединенных пружин пропорциональна сумме их жесткостей. Будет полезным самостоятельно определить же­ сткость двух пружин, соединенных последовательно.

п 100 г соскальзывает по шероховатому тальную поверхность в точку D. Точка В же­ зонтальной поверхности. Расстояние между точками С и D равно 1= 2 м. Найти модуль А работы силы трения бруска о желоб.

Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с.

Решение. Согласно закону изменения механической энергии модуль работы силы трения при движении бруска по желобу ра­ вен А = ЕН- Е К, где Ен = mgR - энергия бруска в начале движе­ ния по желобу, Ек = -----энергия бруска в конце движения по желобу, v - скорость бруска в точке В. Из кинематических урав­ нений, описывающих свободное падение бруска в течение времени т, следует: / = v x, h = g* Объединяя записанные выражеr 2Л При решении этой задачи грубой ошибкой является исполь­ зование закона сохранения механической энергии, так как в сис­ теме действует сила трения, которая относится к непотенциаль­ ным силам. Напомним, что, изменение механической энергии системы равно работе непотенциальных сил.

вершины холма, склон которого составляет угол а = 30° с гори­ зонтом. Определить, какая работа А была совершена при броске, если камень упал на склон на расстоянии L = 40 м от вершины.

Считать, что бросок выполнен непосредственно от поверхности земли. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

уравнение его траектории у А = ----—, ответ имеет вид: А = —2-----------= 15 Дж.

Обратим внимание на то, что в условии задачи речь идет о работе, совершаемой при броске. Эта работа идет на сообщение камню начальной кинетической энергии.

Шарик массой т = 100 г подвешен на нити длиной / = 1 м. Его приводят в движение так, что он вращается по ок­ ружности, лежащей в горизонтальной плоскости, которая нахо­ дится на расстоянии 1/2 от точки подвеса. Какую работу А нужно совершить для реализации такого движения? Ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с2.

Решение. Шарик движется по гори­ зонтальной окружности под действием сила тяжести, Т - сила натяжения нити. В проекциях на горизонтальную и верти­ кальную оси неподвижной системы координат уравнения движе­ ния шарика имеют вид:

------= Т sin a, mg = Г cos а. Учитывая, что R = I sin а, находим кинетическую энергию шарика:

Ек = ------= ------tg a sin а. Потенциальная энергия шарика относительно положения, занимаемого им в неподвижном состоянии, Еп = -----. По закону изменения механической энергии искомая работа А = Ек + Еп = — (tg a sin a + 1). Поскольку по условию cos a = -------= —, то a = 60, и ответ имеет вид:

Было бы неверным определять кинетическую энергию ша­ рика, используя закон сохранения энергии, или же не учесть из­ менение потенциальной энергии шарика.

Развивая максимальную мощность двигателя, автобус движется по горизонтальному участку шоссе с постоянной ско­ ростью v 0 =108 км/ч. Когда автобус при неизменной мощности, развиваемой двигателем, въезжает на подъем с углом наклона а, = 5°, его скорость падает до v x =72 км/ч. С какой скоростью v 2 автобус будет преодолевать подъем с углом наклона а 2 = 2,5 ° при той же мощности, развиваемой двигателем? Про­ скальзывание ведущих колес автобуса на всех участках шоссе отсутствует. Силу сопротивления воздуха считать пропорцио­ нальной скорости автобуса.

Решение. По условию сила сопротивления воздуха F = fiv, где v - скорость автобуса, р - коэффициент сопротивления. По­ этому часть мощности двигателя, расходуемая на преодоление этой силы, равна N x= Fv = \Sv. При движении автобуса массой т по наклонному участку шоссе часть мощности двигателя расходуется также на увеличение потенциальной энергии автобуса:

N 2 = mg sin а •v. Полная мощность, развиваемая двигателем, N 0 =Рг> +mgv sin а. Из условия задачи следует система уравне­ ний: Рг?о = P^f + mgvj sin a! = + mgv2 sin a 2. Исключая из этой Следует помнить, что развиваемая двигателем автобуса мощность идет не только на преодоление силы сопротивления воздуха, но также и на увеличение потенциальной энергии авто­ буса. Если не учесть этот факт, ответ будет неверным.

скорости нижнего шарика в момент времени, когда верхнии ша­ рик находится на высоте h = 40 см над горизонтальной плоско­ стью. Считать, что при движении шарики не отрываются от плоскостей, трением пренебречь. Ускорение свободного падения при­ нять равным g = 1 0 м/с.

стержня постоянна, проекции скоростей шариков на направление стержня в каждый момент времени скорость верхнего шарика, имеем (см.

рисунок): « co sa = vcosp = и sin a, от­ куда и = v tg a, где tg a = -----------. Из закона сохранения механической энергии шариков следует равенство:

mgl = mgh -\--------------- = mgh + ------ (1 + tg a ). Объединяя записанные выражения, получаем ответ: v = у yj2g(l-h) «1,33 м/с.

Так как шарики соединены стержнем, было бы неправиль­ ным применять закон сохранения механической энергии для ка­ ждого шарика в отдельности.

1.4.10.е Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой АВ. Угол между плоскостями a = 30°.

Маленькая шайба скользит вверх по наклонной плоскости из точки А с начальной скоростью v 0 = 2 м/с, направленной под углом р = 60° к прямой АВ. Найдите максимальное расстояние, на ко­ торое шайба удалится от прямой АВ в ходе подъема по наклон­ ной плоскости. Трением между шайбой и наклонной плоскостью пренебречь.

Решение. Разложим скорость шайбы v на две составляю­ щие - горизонтальную v r и vH - вверх, вдоль наклонной плос­ кости.

Горизонтальная проекция скорости шайбы на прямую АВ, равная v r = v 0 cosp, не меняется в процессе движения, поскольку силы в этом направлении на шайбу не действуют - трения нет.

В направлении вдоль наклонной плоскости действует со­ ставляющая силы тяжести, равная m gsina. Она замедляет дви­ жение шайбы вверх, уменьшая составляющую скорости v H от начального значения i?0sinp вплоть до полной остановки ( v H= 0 ), когда шайба удалится от прямой АВ на максимальное расстояние Lm и поднимется на высоту h = Lm sin а над гори­ зонтальной плоскостью.

Запишем для этого момента времени закон сохранения ме­ ханической энергии шайбы, считая ее потенциальную энергию равной нулю на горизонтальной плоскости:

или откуда получаем ответ:

Можно решать эту задачу и из уравнений динамики и кине­ матики: поскольку ускорение шайбы вверх вдоль наклонной плоскости ан = - g sin a, то в момент максимального удаления sm p •t - ------------. Отсюда, исключая t, получаем тот же ответ.

При решении этой задачи можно допустить ошибку, опреде­ ляя проекцию силы тяжести в направлении вниз вдоль наклонной плоскости. Следует обратить внимание, что в этом направлении проекция силы тяжести не равна mg.

к = 10 Н/м и длиной L = 7,5 см подвешена на штативе за верхний конец в вертикальном положении. Нижний конец пружины перекрыт невесомой горизонтальной пластинкой, жестко прикрепленной к пружине. С вы­ соты Н = 2,5 см, отсчитываемой от верхнего края пружины, падает без начальной скорости пластилиновый шарик массой т = 25 г. Он пролетает сквозь витки пружины, ударяется о пластинку и прилипает к ней. Какую максимальную скорость v m будет иметь шарик при своем дальнейшем движении вниз?

Сопротивление воздуха не учитывать, размером шарика пренеб- Л речь, ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

Решение. После того, как шарик коснется пластинки, его движение будет происходить по закону гармонических колеба­ ний. Скорость шарика максимальна в положении, когда сила уп­ ругости и сила тяжести, действующие на шарик, уравновешены:

mg = кАх. Отсюда растяжение пружины в момент достижения шариком максимальной скорости Ах = mg / к. Согласно закону сохранения механической энергии справедливо равенство mg(H + L) = ---- + ------------- mgAx. Выражая отсюда t>max, полу­ чаем ответ: г> = 2g (H + L) + ~ ~ ~ = 1,5 м/с.

Основные трудности при решении этой задачи вызывает оп­ ределение положения шарика, при котором его скорость будет максимальной. Следует подчеркнуть, что при гармонических ко­ лебаниях тела его скорость максимальна в положении равнове­ сия. Кроме того, важно не забыть про начальную потенциальную энергию шарика.

чинают скатываться санки с нулевой начальной скоростью. Най­ ти скорость v санок у основания горки, если на верхней полови­ не горки коэффициент трения пренебрежимо мал, а на нижней половине коэффициент трения ц = 0,1.

Решение. Длина участка горки, на котором коэффициент тре­ ния отличен от нуля, S = — - —. Модуль силы трения, действуюsin а щей на санки на этом участке, FT = fxmg cos a. Работа силы трения Arp= -F T = — \imgh ctg a. По закону изменения механической энергии--------mgh = А. Ответ: v = -Jgh(2 - jjxtga) « 6,1 м/с.

Было бы неправильно использовать закон сохранения энер­ гии для всего участка пути, так как на нижней половине горки на санки будет действовать сила трения. Следовательно, в этой за­ даче следует применять именно закон изменения механической энергии.

навстречу друг другу. При столкновении тела «слипаются» и да­ лее движутся как одно целое. Найти отношение п масс тел, если максимальная высота над нижней точкой полусферы, на которую поднимаются слипшиеся тела после столкновения, h = 5 см. Тре­ ние не учитывать.

Решение. Поскольку трение отсутствует, столкновение тел произойдет в нижней точке полусферы, причем модуль скорости каждого из тел перед столкновением v = д/2gR. Обозначив через тх и т2 массы тел до столкновения, а через и - модуль скорости составного тела, по закону сохранения импульса вдоль горизон­ mx - m2v = (т{ +т2)и. Учитывая, что и = ^2gh и т1/т 2 =п, Так как по условию задачи тела имеют различные массы, возникает ошибочное впечатление, что столкновение тел про­ изойдет не в нижней точке полусферы.

столе покоится трубка массой М —90 г и Т м длиной L = 0,5 м, закрытая с одного торца. В открытый конец трубки влетает маленький шарик массой т = 10 г со скоростью, направленной вдоль оси трубки. После упругого удара о закрытый торец трубки шарик вылетает наружу.

Какой путь S относительно стола пройдет шарик за время, кото­ рое он будет находиться внутри трубки? Размером шарика и тре­ нием между всеми поверхностями пренебречь.

Решение. Пусть начальная скорость шарика v Q. Из законов сохранения импульса и кинетической энергии в системе “шарик + трубка” следует, что mv0 = MV + mv, mv0 = MV + mv, где V и v - скорости трубки и шарика после соударения. Из этой систе­ тельная скорость этих тел после удара VOH= V - v = v 0, время, которое шарик движется после соударения внутри трубки, Заметим, что как правило, особые трудности вызывает опре­ деление пути, который шарик проходит внутри трубки. Следует обратить внимание на способ нахождения этой величины, пред­ ложенный в решении этой задачи.

горизонтальном столе клин массой M = 1 кг с высоты h = 50 см падает резиновый шарик массой т = 1 0 г и отскакивает под углом а = 30° к го­ ризонту. Найти скорость клина v после удара. Соударение меж­ ду шариком и клином считать абсолютно упругим, трение между клином и столом не учитывать. Ускорение свободного падения принять g = 1 0 м/с2.

Решение. Пусть и0 и и —модули скоростей шарика до и после соударения с клином, соответственно. Для тела, падающего без начальной скорости с высоты, fu0 имеем: и0 = ^ 2 gh. Из закона сохранения проекции им­ пульса системы «шарик + клин» на горизонтальную ось, следует, что mucosa = Mv. При упругом соударении шарика и клина со­ храняется суммарная кинетическая энергия этих тел:

— —= ----- н--------. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: u = m cosa I-------- — -— «2,7 см/с.

При решении этой задачи надо понимать, что в вертикаль­ ном направлении на систему тел действуют внешние силы - сила тяжести и сила реакции стола. Значит, в данной задаче можно применять закон сохранения импульса лишь в проекции на гори­ зонтальное направление.

Человек массой М = 10 кг, неподвижно стоявший на коньках, бросил вперед в горизонтальном направлении снежный ком массой т = 3,5 кг. Какую работу А совершил человек при броске, если после броска он откатился назад на расстояние S = 0,2 м? Коэффициент трения коньков о лед ц = 0,01. Ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

Решение. Пусть v и и - скорости снежного кома и человека сразу после броска. Совершенная при броске работа потрачена на сообщение кинетической энергии как снежному кому, так и саmv2 Ми2 ^ ^ мому человеку: А = ------+ “. Считая бросок кратковременным, можно пренебречь импульсом силы трения за время броска.

Поэтому в момент броска сохраняется суммарный импульс снеж­ ного кома и человека, откуда следует, что mv = Ми. Закон изме­ нения механической энергии при движении человека после бро­ венства, получаем ответ: А = M ( 1+ — = 29,4 Дж.

Заметим, что в этой задаче можно получить неверный ответ, если ошибочно считать, что совершенная при броске работа идет на сообщение кинетической энергии только снежку.

1.4.17.е Пуля летит горизонтально со скоростью v 0 = 160 м/с, пробивает стоящую на горизонтальной шерохова­ той поверхности коробку и продолжает движение в прежнем на­ правлении со скоростью аг> о, где а = 1/4. Масса коробки в 12 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между ко­ робкой и поверхностью ц = 0,3. На какое расстояние S перемес­ тится коробка к моменту, когда её скорость уменьшится на 2 0 %?

Решение. Прежде чем начинать решать задачу, надо по­ строить модель процесса пробивания коробки пулей. Для этого надо прежде всего понять, что время At пробивания коробки пулей очень мало - размер коробки, видимо, не более 1 м, а средняя скорость пули - около 100 м/с, так что At ~ 0,01 с. За это время скорость пули массой т уменьшается на величину Av ~ 100 м /с, так что ее среднее ускорение — составляет окоАt ло 1 0 4 м/с2, а ускорение коробки массой 1 2 т под действием силы взаимодействия с пулей - примерно в десять раз меньше, то есть около 103 м/с2 ~ 1000g! Это намного больше, чем уско­ рение j-ig = 0,3g, создаваемое силой трения при дальнейшем движении коробки. Таким образом, для системы «пуля + ко­ робка» внешней силой трения коробки о шероховатую поверх­ ность во время пробивания коробки пулей можно пренебречь по сравнению с внутренними силами взаимодействия пули и коробки в этом процессе, так что система является замкнутой в направлении движения пули, и можно применить закон сохра­ нения импульса. Во время же движения коробки после удара силой трения пренебречь нельзя: приобретенная коробкой ки­ нетическая энергия расходуется на работу против силы трения коробки о шероховатую поверхность.

Таким образом, можно записать закон сохранения импульса при ударе и закон изменения кинетической энергии после удара, обозначив через и0 скорость коробки сразу после удара пули:

mv0 = am v0 + 1 2 ти0 ; -------- = ---------------- + 1 2\xmgS.

Из этих уравнений имеем:

и для расстояния S, на которое переместится коробка к моменту, когда её скорость уменьшится на 2 0 %, получаем ответ:

Следует обратить внимание на важный момент при решении этой задачи - построение модели процесса. Было бы полезным начинать решение любой задачи с подобного анализа ее условия.

движутся как одно целое. Какое количество теплоты Q выдели­ лось при столкновении, если т = 1 г, v x = 2 м/с, v 2 = 4 м/с.

v, системы, изображенной на рисунке, имеем: mv2 = 2mvx, mvl =2mvv. Здесь v x и v - проекции скорости v тела, образованного слипшимися ша­ Данная задача является классическим примером расчета из­ менения механической энергии тел в результате их абсолютно неупругого соударения. При решении таких задач, вообще гово­ ря, было бы ошибкой определять конечную скорость шариков, как векторную сумму их первоначальных скоростей.

Задачи для самостоятельного решения 1.4.19. Из пушки производится выстрел таким образом, что дальность полета снаряда в п = 2 раза превышает максимальную высоту траектории. Считая известным модуль начального импульса снаряда р 0 = 1 0 0 0 кг-м/с, определить модуль его импульса р в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: p = —j== ==== = ~= « 447 кг-м/с.

1.4.20. Граната, брошенная под углом к горизонту, разрывается в верхней точке траектории на два одинаковых осколка. Один из осколков упал на землю через время tx = 0,5 с после разрыва грана­ ты. Через какое время t2 после разрыва окажется на земле второй осколок, упавший позднее первого, если разрыв гранаты произошел на высоте h = 10 м над поверхностью земли? Сопротивлением возо духа пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

1.4.21. На прямолинейном горизонтальном участке пути сто­ ят N = 5 одинаковых вагонов. Промежутки между соседними вагонами одинаковы и равны L = 30 м. К крайнему вагону под­ катывается еще один такой же вагон, имеющий скорость v 0 = 2 м/с. В результате N последовательных столкновений, в каждом из которых сталкивающиеся вагоны сцепляются вместе, все 7V+ 1 вагонов соединяются в один состав. Найти время т между первым и последним столкновениями. Силами сопротив­ ления движению вагонов пренебречь.

Ответ: т = ------------------ = 210 с.

1.4.22. Гиря массой т = \ кг подвешена на веревке. За сво­ бодный конец веревки гирю начинают поднимать вертикально вверх. Какую работу А нужно совершить, чтобы поднять гирю на высоту h = 2 м за время т = 3 с? Считать, что сила натяжения веревки во время подъема груза постоянна. Веревку считать не­ весомой и нерастяжимой. Ускорение свободного падения приУ нять равным g = 1 0 м/с.

встали на лед друг против друга, держа слегка натянутым легкий шнур. Затем один из них начинает укорачивать шнур. Какую ра­ боту он совершит к тому моменту, когда будет двигаться относи­ тельно шнура со скоростью v = 5 м/с? При расчете трением пре­ небречь.

Ответ: А =------------ = 300 Дж.

кубика. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять груз на высоту h = 1 0 см, прикладывая к нити горизонтальную силу F = 7 Н? Считать, что трения нет, а кубик движется поступательл но. Ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

h =16 см висит внутри вертикального цилиндрического стакана на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной в центре его верхнего основания. В стакан наливают столько жидкости, что ее уровень совпадает с верхним основанием цилиндра. Плотность жидкости в 2 раза меньше плотности материала цилиндра. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы за нить вытащить цилиндр из жидкости? Радиус стакана в 2 раза больше радиуса цилиндра. Силами поверхностного натяжения пренебречь. Ускол рение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

Ответ: А = ----- - = 0,09 Дж.

1.4.26. На горизонтальном столе лежит однородное кольцо массой М= 9 г с насаженной на него маленькой бусинкой массой т = 1 г. В начальный момент времени бусинка имеет скорость v = 1 м/с, а кольцо покоится. Определите минимальное значение кинетической энергии W бусинки в процессе дальнейшего дви­ жения. Трения нет.

Двигатель автомобиля массой m = 2 т, движущегося по горизонтальной дороге со скоростью v = 72 км/ч, развивает мощность N= 14 кВт. Какую мощность должен развивать двига­ тель этого автомобиля при движении с той же скоростью по до­ роге, поднимающейся вверх под углом а = 5° к горизонту? Счи­ тать, что в обоих случаях на преодоление сил сопротивления рас­ ходуется одна и та же мощность. Ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

Две одинаковые пластины массой т каждая скрепле­ ны невесомой пружиной и установлены на горизонтальной по­ верхности. На верхней пластине лежит груз массой М При каком соотношении масс пластины и груза нижняя пластина оторвется от поверхности, если верхний груз сбить резким ударом в гори­ зонтальном направлении? Трение между пластиной и грузом от­ сутствует. Для пружины справедлив закон Гука.

Игрушечная ракета стартует с горизонтальной пло­ щадки вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 1 0 м/с и с включенным двигателем летит вдоль ветви параболы с верши­ ной в точке старта. При этом сила тяги двигателя постоянна и все время направлена под углом 45° к горизонту. Через некоторое время двигатель выключается. Найти время т работы двигателя с момента старта, если скорость ракеты в момент падения на ту же площадку направлена под углом а = 30° к вертикали. Изменени­ ем массы ракеты и влиянием воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

этой плоскости. Коэффициент сухого треL 2 3 ~х ния М на этом участке изменяется так, как чение ц равно fi0 = 0,5. Найти модуль v 0 начальной скорости шайбы, если она остановилась в точке х0 =2L = 20 м. Ускорение свободного падения принять равным g = 1 0 м/с.

удара о конек кирпич соскользнул обратно и остановился на краю крыши. Найти коэффициент трения \х между кирпичом и поверхно­ стью крыши, если конек находится на высоте h = 2,5 м от края крыши, а угол наклона крыши к горизонту а = 30°. Ускорение свол бодного падения g = 1 0 м/с.

С наклонной плоскости, составляющей угол а = 45° с горизонтом, соскальзывает без на­ чальной скорости небольшое тело и ударяется о выступ, перпендикулярный наклонной плоскости.

Считая удар о выступ абсолютно упругим, найти, на какую высо­ ту h поднимется тело после удара. Начальная высота тела Н — 1м, коэффициент трения ц = 0,5.

На горизонтальной плоскости, плавно переходящей в наклонную плоскость, составляющую угол a = 45 ° с горизонтом, на расстоянии L = 2 м от наклонной плоскости находится ма­ ленькая шайба. Коэффициент трения шайбы о плоскости равен ц=0,25, на участке сопряжения плоскостей трение отсутствует.