«ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Учебное пособие для студентов математических специальностей МИНСК 2008 УДК 512(075.8) ББК 22.143 Б Рекомендовано Ученым советом механико-математического факультета 27 ноября 2007 ...»

В.В. Беняш-Кривец, О.В. Мельников

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ:

ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Учебное пособие

для студентов математических специальностей

МИНСК

2008

УДК 512(075.8)

ББК 22.143

Б

Рекомендовано Ученым советом

механико-математического факультета

27 ноября 2007 г., протокол № 3 Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор О.И. Тавгень;

кандидат физико-математических наук, доцент О.А. Баркович Беняш-Кривец В.В.

Лекции по алгебре: группы, кольца, поля: учебное пособие для студентов математических специальностей / В.В. Беняш-Кривец, О.В. Мельников. Минск: БГУ, 2008. 116 с.

ISBN 978-985-518-049- В учебном пособии излагаются основы теории групп, колец и полей. Этот материал изучается в рамках курса "Алгебра и теория чисел"на математических специальностях в вузах. Кроме большого числа примеров, иллюстрирующих теорию, в книгу включено много упражнений. Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей университетов.

УДК 512(075.8) ББК 22. c Беняш-Кривец В.В., Мельников О.В., c БГУ, ISBN 978-985-518-049-

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебное пособие предназначено для завершающего этапа алгебраического образования всех студентов-математиков. Материал в нем посвящен изложению ряда понятий и результатов теории абстрактных групп, колец и полей.

Необходимость знакомства с этими абстрактными алгебраическими объектами обусловлена тем, что в последнее время процесс, связанный с переходом математики на теоретико-множественную основу и выходом на передний план аксиоматических методов исследования, изменил представления об алгебре как математической дисциплине.

Начиная со своего возникновения алгебра понималась как наука о решении уравнений или систем уравнений сначала для чисел, позднее для других конкретных математических объектов. В настоящее время основной объект исследования алгебры свойства операций, производимых над объектами произвольной природы. Возникающие на этом пути абстрактные алгебраические системы достаточно универсальны, чтобы конкретные их реализации можно было найти в разных областях как математики, так и других наук.

В пособии изложены результаты лишь о классических алгебраических системах. Группы и поля первые алгебраические системы, возникшие в математике в связи с решением алгебраических уравнений. Сегодня теория групп и теория полей наиболее развиты в алгебре, а полученные в них результаты наиболее используются в других областях математики.

Отбирая материал для пособия, авторы стремились представить широкий спектр результатов, которые можно использовать как в общих, так и в специальных курсах по другим разделам математики, а также для самостоятельного изучения студентами специальной литературы.

Пособие содержит две главы. Первая глава посвящена основам теории групп. Рассматриваются основные теоретико-групповые понятия: группы, подгруппы, факторгруппы, гомоморфизма и изоморфизма, прямого произведения групп, коммутанта. Доказываются классические теоремы Лагранжа и Кэли. Подробно изучаются два класса групп циклические группы и конечно порожденные абелевы группы.

Во второй главе изучаются кольца и поля. В теории колец вводятся такие понятия, как кольцо, подкольцо, идеал, факторкольцо, прямое произведение колец, гомоморфизм и изоморфизм колец. Изучается кольцо многочленов от нескольких переменных и доказывается основная теорема о симметрических многочленах. Рассматривается теория полей. Вводятся основные понятия теории: поле, характеристика поля, расширение полей, степень расширения, простое поле, алгебраический и трансцендентный элемент. Изучаются простые алгебраические и трансцендентные расширения полей. Значительное внимание уделяется конечным полям.

В пособии представлены лекции, читавшиеся на протяжении ряда последних лет для студентов 2-го курса механико-математического факультета БГУ. У потенциальных читателей книги предполагается наличие определенных алгебраических знаний. К их числу относятся, прежде всего, теория делимости многочленов одной переменной, исчисление матриц и основные факты об определителях, ряд элементарных понятий и результатов линейной алгебры.

Глава

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП

§ 1. МНОЖЕСТВА

С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Определение 1.1. Пусть X произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией на X называется некоторое отображение : X X X декартова квадрата X X в X.

Таким образом, любой упорядоченной паре элементов a, b X ставится в соответствие однозначно определенный элемент (a, b) того же множества X. Часто вместо (a, b) пишут ab, еще чаще бинарную операцию на X обозначают специальным символом, например, a b (или используют другой специальный символ вместо :, ·,,, +, и т.д.). Чаще всего используют две формы записи операции: аддитивная и мультипликативная. При аддитивной форме записи операцию называют сложением и вместо c = a b пишут c = a + b. При мультипликативной форме записи операцию называют умножением и вместо c = ab пишут c = a·b (или вообще опускают точку: c = ab). В дальнейшем при изложении теории будем использовать мультипликативную форму записи операции и лишь в некоторых случаях аддитивную.

На X может быть задано много разных операций. Желая выделить одну из них, используют скобки (X, ) и говорят, что операция определяет на X алгебраическую структуру или (X, ) алгебраическая структура (алгебраическая система). В направлении конструирования разных бинарных операций на множестве X открывается простор для фантазии. Но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком общая, чтобы представлять реальную ценность. По этой причине рассматривают естественные ограничения на алгебраические операции.

Определение 1.2. Бинарная операция на множестве X называется ассоциативной, если для всех a, b, c X; коммутативной, если для всех a, b X. Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре (X, ).

Требования ассоциативности и коммутативности независимы. Например, операция на Z, заданная правилом n k = n k, очевидно, коммутативна, но так что условие ассоциативности не выполняется. На множестве Mn (R) всех вещественных квадратных матриц порядка n > 1 определена операция умножения ассоциативная, но некоммутативная.

Определение 1.3. Элемент e X называется нейтральным относительно бинарной операции, если для всех x X.

Предложение 1.1. В алгебраической структуре (X, ) может существовать не более одного нейтрального элемента.

Доказательство. Пусть e1, e2 два нейтральных элемента. Тогда, как следует из определения, e1 e2 = e1, поскольку e2 нейтральный элемент, и e1 e2 = e2, поскольку e1 нейтральный элемент. Поэтому e1 = e2.

Определение 1.4. Пусть (X, ) алгебраическая структура с нейтральным элементом e. Элемент a X называется обратимым, если найдется элемент b X, для которого Элемент b называется симметричным к a.

Если b симметричный элемент к a, то и a симметричный элемент к b.

Предложение 1.2. Пусть (X, ) ассоциативная алгебраическая структура с нейтральным элементом e. Тогда для любого элемента a X может существовать не более одного симметричного элемента.

Доказательство. Пусть b1, b2 два симметричных элемента к a.

Тогда, как следует из определения, Пусть (X, ) произвольная алгебраическая структура с бинарной операцией и x1,..., xn упорядоченная последовательность элементов из X. Не меняя порядка, можно разными способами составлять произведения длины n. Пусть ln число таких способов:

Очевидно, что, перебирая все произведения x1 · · · xk, xk+1 · · · xn длин k и n k, 1 k n 1, a затем соединяя их нашей бинарной операцией в данном порядке, мы исчерпаем все ln возможностей.

Однако для ассоциативной алгебраической операции расстановка скобок оказывается излишней.

Теорема 1.1. Если бинарная операция на X ассоциативна, то результат ее последовательного применения к n элементам множества X не зависит от расстановки скобок.

Доказательство. При n = 1, 2 доказывать нечего. При n = утверждение теоремы совпадает с законом ассоциативности. Далее рассуждаем индукцией по n. Предположим, что n > 3 и что для числа элементов < n справедливость утверждения установлена. Достаточно показать, что при любом k, 1 k n 1. В левой части мы выписали только внешние пары скобок, поскольку по предположению индукции расстановка внутренних скобок несущественна. В частности, при k < n независимо от расстановки скобок в левой части имеем Рассмотрим два случая:

а) k = n 1; тогда имеем очевидное равенство б) k < n 1; ввиду ассоциативности и учитывая предположение индукции, имеем 1. Ассоциативна ли операция на множестве M, если 2. На множестве M определена операция по правилу x y = x.

Ассоциативна ли эта операция? Что можно сказать о нейтральном и обратимых элементах M ?

3. На множестве M 2, где M некоторое множество, определена операция по правилу (x, y) (z, t) = (x, t). Ассоциативна ли эта операция? Существует ли в M 2 нейтральный элемент?

§ 2. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ, ПОДГРУППЫ, ПРИМЕРЫ Определение 2.1. Непустое множество G с определенной на нем бинарной операцией называется группой, если 1) операция ассоциативна;

2) существует нейтральный элемент e;

3) любой элемент a из G имеет симметричный элемент b G.

Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, или абелевой (в честь норвежского математика Абеля).

Для обозначения групповой операции чаще всего используют два символа:

1) точку; тогда вместо a · b пишут просто ab и говорят об умножении элементов из группы; группу называют мультипликативной, для обозначения нейтрального элемента используют символ 1, а элемент, симметричный к a, называют обратным к a и обозначают a1 ;

2) знак сложения + ; тогда говорят о сложении элементов из группы; группу называют аддитивной, для обозначения нейтрального элемента используют символ 0, а элемент, симметричный к a, называют противоположным к a и обозначают a.

В дальнейшем будем использовать (если не оговорено противное) мультипликативную запись.

Удивительно, что одна из старейших и богатейших по результатам область алгебры, играющая фундаментальную роль в геометрии и в приложениях математики к вопросам естествознания, основывается на столь простых аксиомах. Идеи теории групп носились в воздухе (как это бывает с основополагающими математическими идеями) задолго до Галуа, и некоторые из теорем теории групп в наивной форме были доказаны еще Лагранжем. Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось после книги К. Жордана Курс теории перестановок и алгебраических уравнений (1870).

Порядком группы G называется мощность |G| множества G.

Благодаря ассоциативности в группе произведение любых ее элементов a1, a2,..., an в заданном порядке не зависит от расстановки скобок и поэтому может быть записано как a1 a2... an.

Определение 2.2. Пусть a элемент группы G. Для произвольного целого числа n положим n, m Z. Тогда a Определение 2.3. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой группы G (пишут H G), если H является группой относительно той же операции, которая определена на G.

Теорема 2.1 (Критерий подгруппы). Непустое подмножество H группы G является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

Доказательство. Пусть H подгруппа в G, т. е. H группа относительно той же операции, которая определена на G. На H определена алгебраическая операция, поэтому ab H для всех a, b H.

Проверим, совпадает ли единица 1H подгруппы H с единицей 1G группы G. Ясно, что поскольку 1H элемент группы G. В G для 1H имеется обратный элемент 1H, т. е. 1H 1H = 1H 1H = 1G. Так как 1H единица в H, то 1H 1H = 1H.Умножив обе части последнего равенства на 11, получим Поскольку H подгруппа, то для любого a H существует обратный элемент a H, т. е. такой, что a1 a = aa1 = 1, где единичный элемент в группе G и подгруппе H. Это означает, что элемент a1 является обратным к a в группе G.

Докажем обратное утверждение. Пусть ab H и a1 H для всех a, b H. Тогда на H задана алгебраическая операция : H H H, где (h1, h2 ) = h1 h2. Она ассоциативна, так как ассоциативность справедлива для всех элементов из G. Так как a, a1 H, то aa1 = = 1G H и H содержит единичный элемент. Значит, H подгруппа в G, что и требовалось доказать.

Если H G и H = G, то подгруппу H называют собственной подгруппой группы G и пишут H < G. Любая группа G содержит подгруппы {1} и G; их называют тривиальными. В случае {1} < H < G подгруппу H называют нетривиальной подгруппой группы G.

Приведем примеры групп и их подгрупп. Далее в пособии используется следующее определение композиции двух отображений:

(f g)(x) = f (g(x)), т. е. подстановки перемножаются справа налево.

П р и м е р 1. Множества Z, Q, R, C абелевы группы относительно сложения. При этом Z < Q < R < C. Множество классов вычетов Zn по модулю n абелева группа порядка n относительно сложения.

относительно умножения. При этом Q < R < C, Cn < T < C.

П р и м е р 3. Множество всех подстановок на множестве X = = {1, 2,..., n} относительно умножения подстановок является группой. Она называется симметрической группой степени n и обозначается Sn. Все четные подстановки в Sn образуют подгруппу, которая обозначается An и называется знакопеременной группой степени n. Порядок группы Sn равен n!, а порядок группы An равен n!/2 при n 2.

Этот пример можно обобщить на бесконечное множество X. Пусть S(X) множество всех биективных отображений f : X X. Тогда S(X) группа с естественной бинарной операцией, являющейся композицией отображений. Сама по себе группа S(X) и различные ее подгруппы, называемые группами преобразований множества X, стартовая площадка, с которой начинаются всевозможные применения теории групп. Достаточно упомянуть о знаменитой Эрлангенской программе Ф. Клейна (1872), положившей понятие группы преобразований в основу классификации различных типов геометрий.

П р и м е р 4. Множество GLn (K) всех невырожденных матриц размера n n над полем K является группой относительно умножения матриц. Она называется общей линейной группой. Ее подгруппа SLn (K), состоящая из всех матриц с определителем 1, называется специальной линейной группой. Группа SLn (K) содержит подгруппу Tn (K), состоящую из всех матриц c нулями под главной диагональю, и подгруппу U Tn (K), состоящую из всех матриц с единицами на главной диагонали и нулями под ней.

Надо сказать, что группа GLn (K), будучи вместилищем многих интересных групп, является для математиков как бы нескончаемым источником новых идей и нерешенных задач.

П р и м е р 5. Множество On (R) всех ортогональных матриц порядка n (т. е. таких матриц A GLn (R), что AA = E) образует подгруппу в GLn (R), которая называется ортогональной группой.

Действительно, если A, B On (R), то Значит, AB On (R). Далее, по определению A = A1, поэтому, транспонируя обе части последнего равенства, получаем A = (A1 ).

Следовательно, A1 (A1 ) = A1 A = E и A1 On (K).

Множество SOn (R) всех ортогональных матриц порядка n c определителем 1, очевидно, образует подгруппу в On (R), которая называется специальной ортогональной группой.

П р и м е р 6. Множество Un (C) всех унитарных матриц порядка n (т. е. таких матриц A GLn (C), что AA = E) образует подгруппу в GLn (C), которая называется унитарной группой. Множество SU n (C) всех унитарных матриц порядка n c определителем 1, очевидно, образует подгруппу в Un (C), которая называется специальной унитарной группой.

П р и м е р 7. Целочисленные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе SLn (R), обозначаемую через SLn (Z).

П р и м е р 8. Множество невырожденных диагональных матриц порядка n является абелевой подгруппой группы GLn (K).

П р и м е р 9. Движением евклидовой плоскости называется любое отображение этой плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. Пусть F произвольная фигура на евклидовой плоскости.

Множество всех движений евклидовой плоскости, переводящих F на себя, с операцией композиция двух движений, есть группа. Она называется группой симметрий фигуры F. Аналогично можно рассматривать группы симметрий фигур в пространстве.

В группе симметрий правильного n-угольника имеется ровно 2n элементов: n вращений по часовой стрелке на углы, 0 k n 1, вокруг его центра и n отражений относительно прямых, проходящих через центр и одну из его вершин или середину одной из его сторон (в зависимости от четности n). Эта группа называется группой диэдра Dn порядка 2n. Все вращения в группе Dn образуют подгруппу, которая называется группой вращений данного n-угольника.

Тогда есть подгруппа группы Sn. В самом деле, пусть, Sym(f ). Положим x(i) = yi. Тогда значит Sym(f ). Другая аксиома подгруппы выполнена очевидным образом.

В частности, многочлен f является симметрическим тогда и только тогда, когда Sym(f ) = Sn. В качестве примера многочлена с менее богатой, но нетривиальной симметрией рассмотрим многочлен f = = x1 x2 + x3 x4 (от 4 переменных). Легко видеть, что группа Sym(f ) состоит из 8 подстановок, сохраняющих разбиение множества {1, 2, 3, 4} на два подмножества {1, 2} и {3, 4}. Допускается перестановка этих подмножеств и перестановка элементов в каждом из них.

Определение 2.4. Группы G и G1 называют изоморфными и пишут G G1, если существует биективное отображение f : G G1, называемое изоморфизмом, которое обладает свойством для любых a, b из G.

П р и м е р 11. Из курса линейной алгебры известно, что имеется взаимно однозначное соответствие между квадратными матрицами порядка n над полем K и линейными преобразованиями n-мерного векторного пространства V над K при выборе в V фиксированного базиса.

При этом невырожденным матрицам отвечают обратимые линейные преобразования, а умножению матриц соответствует умножение линейных преобразований. Следовательно, группа GLn (K) изоморфна группе GL(V ) невырожденных линейных преобразований пространства V.

1. Докажите, что для любого элемента a из группы G отображения la : G G, ra : G G, заданные правилами la (g) = ag, ra (g) = ga, являются биекциями. Отображение la называется левым сдвигом, а ra правым сдвигом.

2. Доказать предложение 2.1.

3. Доказать, что:

а) в любой группе(ab)l = b1 al, (a1 )1 = a;

б) для любых элементов a, b из группы G уравнение ax = b имеет единственное решение, равное a1 b, а уравнение xa = b имеет единственное решение, равное ba1.

4. Доказать, что группа симметрий правильного треугольника изоморфна группе S3.

5. Доказать, что группа вращений правильного n-угольника изоморфна группе Zn.

6. Пусть G группа относительно операции. Операцию определим так: ab = ba. Доказать, что относительно операции множество G также является группой.

Доказать, что:

KJ = I, IK = J;

б) 8 матриц ±E, ±I, ±J, ±K образуют подгруппу кватернионов Q8 в группе SL2 (C).

8. Доказать, что если Hi, i I, подгруппы группы G, то H = = Hi подгруппа группы G.

9. Доказать, что непрерывные строго возрастающие вещественные функции f, определенные на отрезке [0, 1] и имеющие значения f (0) = 0 и f (1) = 1, образуют группу относительно суперпозиции.

10. Доказать, что если в мультипликативно записанной группе квадрат любого элемента равен 1, то эта группа абелева.

11. Обозначим через G множество матриц вида Доказать, что G группа относительно матричного умножения.

12. Доказать, что квадратные матрицы n-го порядка, у которых в каждой строке и в каждом столбце один элемент равен 1, а остальные равны 0, образуют группу относительно умножения.

13. Доказать, что непустое подмножество конечной группы, произведение любых элементов которого снова содержится в нем, является подгруппой.

15. Пусть F, H G. Доказать, что F H G тогда и только тогда, когда либо F H, либо H F.

16. Группа V4 из четырех элементов задана таблицей Кэли (четверная группа Клейна). Найти все ее подгруппы.

17. Для произвольного подмножества M группы G обозначим через NG (M ) множество всех тех g G, для которых gmg 1 M для любого элемента m M . Доказать, что NG (M ) подгруппа G (нормализатор множества M в G).

18. Найти все подгруппы симметрической группы S3.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Пусть S какое-либо подмножество группы G. Обозначим через S совокупность всех конечных произведений элементов из S и обратных к ним, т. е. элементов вида группы G, содержащая S.

Доказательство. Если какая-либо подгруппа H содержит S, то она содержит и все указанные произведения, т. е. H S. С другой стороны, само множество S является подгруппой, как показывают следующие равенства:

Значит, S наименьшая подгруппа группы G, содержащая S.

Подгруппу S называют подгруппой, порожденной подмножеством S. В частности, если G = S, то группа G порождается своим подмножеством S, а S система порождающих (элементов) группы G.

Обычно для сокращения записи вместо {a1, a2,..., an } пишут a1, a2,..., an и говорят, что эта подгруппа порождается элементами a1, a2,..., an. Допустимы и другие вольности в обозначениях. Например, если A и B подмножества группы G, c ее элемент, то вместо Группа называется конечно порожденной, если она может быть порождена конечным множеством элементов.

Определение 3.1. Пусть S состоит из одного элемента a G, тогда подгруппа a называется циклической подгруппой, порожденной элементом a. Если в группе G существует такой элемент a, что G = a, то группа G называется циклической.

Конечно, любая группа G порождается подмножеством S = G, однако представляет интерес найти возможно меньшую систему порождающих.

П р и м е р 1. Группа диэдра Dn порождается поворотом на угол и (любым) отражением Dn. В самом деле, порождает цикn лическую подгруппу Cn всех поворотов, содержащихся в группе Dn ;

умножая элементы этой подгруппы на, получим все отражения, входящие в группу Dn.

П р и м е р 2. Группа Sn порождается транспозициями. Это утверждение эквивалентно тому, что любая подстановка разлагается в произведение транспозиций.

П р и м е р 3. Напомним, что элементарной матрицей называется матрица вида E + cEij, где c = 1 при i = j, Eij матрица, у которой на позиции (i, j) находится 1, а все остальные элементы равны нулю. Справедливо следующее предложение.

Предложение 3.2. Группа GLn (K) порождается элементарными матрицами.

Доказательство. Отметим, что матрица, обратная к элементарной, также элементарна. Поэтому утверждение предложения означает, что любая невырожденная матрица разлагается в произведение элементарных матриц. Умножение матрицы A GLn (K) слева на элементарную матрицу вызывает соответствующее элементарное преобразование ее строк. Мы знаем из курса линейной алгебры, что с помощью элементарных преобразований строк любую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице. Таким образом, существуют такие элементарные матрицы U1, U2,..., Us, что Значит, произведение элементарных матриц, что и требовалось доказать.

Рассмотрим циклические подгруппы данной группы G. Пусть a G. Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента a различны (в частности, ak = 1 при k = 0), либо нет.

Определение 3.2. Наименьшее натуральное число n, для которого an = 1, называется порядком элемента a G и обозначается ord a. Если такого натурального m не существует, полагают ord a = и говорят, что элемент a имеет бесконечный порядок.

откуда так что ord A = 6. Конечно, этот пример подобран специально: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы A GL2 (R) будет конечен, равна нулю.

П р и м е р 5. Порядок комплексного числа a в группе C конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы.

В случае ord a = подгруппа a бесконечна. Рассмотрим подробнее случай ord a = n <.

Предложение 3.3. Если ord a = n, то Доказательство. 1) Разделим m на n остатком:

Тогда в силу определения порядка что и требуется.

Следствие 3.1. Если ord a = n, то циклическая подгруппа a, порожденная элементом a, содержит n элементов.

Доказательство. Действительно, причем все перечисленные элементы различны. Действительно, если бы ak = as при некоторых k, s, 0 k < s < n, то тогда, умножая обе части этого равенства на ak, мы имели бы ask = 1 и 0 < s k < n.

Это противоречит тому, что ord a = n по условию.

Доказательство. Пусть Тогда (n1, k1 ) = 1 и Следовательно, ord g k = n1.

Отметим, что ord e = 1; порядки же всех остальных элементов группы больше 1. В аддитивной группе говорят не о степенях элемента a, а о его кратных, которые обозначают через ka, т. е. ka аддитивный аналог для ak. В соответствии с этим порядок элемента a аддитивной группы G это наименьшее из натуральных чисел n (если такие существуют), для которых Пусть G = a циклическая группа, порожденная элементом a.

Тогда G состоит из всех степеней элемента a, т. е. G = {an | n Z}.

Если ord a =, то в циклической группе a элементы an и am различны при n = m (иначе мы имели бы anm = 1) и, следовательно, группа a бесконечна. Если же ord a = n, то по следствию 3.1 a = = {1 = a0, a, a2,..., an1 }. Значит, порядок группы a равен n. По предложению 3.3 элементы ak и al совпадают тогда и только тогда, когда k l делится на n.

Циклические группы наиболее простые группы, которые можно себе представить (в частности, они абелевы). Примером бесконечной циклической группы является группа Z всех целых чисел относительно обычной операции сложения (в качестве образующей a можно взять или 1). Пример конечной циклической группы порядка n группа Zn классов вычетов по модулю n (в качестве образующей a можно взять класс вычетов 1). Оказывается, с точностью до изоморфизма этими группами исчерпываются все циклические группы.

Теорема 3.1. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе Z, а любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна группе Zn.

Доказательство. Если a бесконечная циклическая группа, то отображение f : Z a, заданное правилом f (k) = ak, является изоморфизмом. Если a циклическая группа порядка n, то отображение f : Zn a, заданное тем же правилом f (k) = ak, является изоморфизмом. Сюръективность f очевидна. Проверим инъективность f. Предположим противное: f (k) = f (l), т. е. ak = al при некоторых 0 k < l n 1. Но тогда мы должны иметь k l (mod n), что невозможно.

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе a порождающими элементами являются только a и a1. Поскольку порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента, то из предложения 3.4 следует предложение 3.5.

Предложение 3.5. Элемент g k циклической группы G = g порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда n и k взаимно просты, т. е. (n, k) = 1.

П р и м е р 6. Мультипликативная группа Cn комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни есть числа Ясно, что k = (1 )k. Следовательно, группа Cn циклическая и порождается элементом 1. В частности, Cn Zn. Порождающие элементы группы Cn называются первообразными корнями n-й степени из 1.

Это корни вида k, где (n, k) = 1. Например, первообразные корни 12-й степени из 1 это 1, 5, 7, 11.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 3.2. 1. Любая подгруппа циклической группы циклическая.

2. В циклической группе G = a порядка n для любого натурального делителя d числа n существует одна подгруппа H порядка d.

Подгруппа H порождается элементом a d.

Доказательство. 1. Очевидно, единичная подгруппа циклическая. Пусть H неединичная подгруппа циклической группы a, и пусть k наименьшее натуральное число с условием ak H. Очевидно, ak H. Докажем, что ak = H. Возьмем в H произвольный элемент, он имеет вид at. Поделим t на k с остатком: t = kq + r, 0 r < k.

Тогда ar = atkq = at (ak )q H. В силу минимальности k получаем, что r = 0. Тогда at = (ak )q ak.

2. Пусть n = dn1. Тогда в силу предложения 3.4 элемент an1 имеет порядок d и порождает циклическую подгруппу порядка d. Покажем, что любая подгруппа H a порядка d совпадает с an1. В силу пункта 1 H циклическая подгруппа в a, порожденная элементом at. Нам достаточно показать, что at an1. Так как at имеет порядок d, то atd = 1. По условию a имеет порядок n, следовательно, по предложению 3.3 n|td, т. е. td = ns = dn1 s. Отсюда получаем, что t = n1 s и at = (an1 )s an1.

Следствие 3.2. В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

1. Доказать, что число решений уравнения xk = 1 в циклической группе порядка n равно наибольшему общему делителю чисел n и k.

2. Если a и b перестановочные элементы группы G, т. е. ab = ba, и их порядки взаимно просты, то ord ab = ord a ord b.

GL2 (C).

4. Выписать все элементы группы GL2 (Z2 ) и указать их порядки.

5. Доказать, что порядки ord(g) и ord(hgh1 ) элементов g и hgh группы G одинаковы.

6. Доказать, что для любого элемента g группы G ord g = ord g 1.

7. Доказать, что для любых элементов g1, g2 группы G ord(g1 g2 ) = = ord(g2 g1 ).

8. Пусть G неединичная группа, в которой все неединичные элементы имеют один и тот же порядок p. Доказать, что p простое число.

9. В группе GL2 (R) найти две матрицы a и b, имеющие конечные порядки, для которых произведение ab было бы элементом бесконечного порядка. Доказать, что в абелевой группе такое невозможно, т. е.

элементы конечного порядка в абелевой группе образуют подгруппу (подгруппу кручения).

10. Доказать, что в абелевой группе множество тех элементов, порядки которых делят фиксированное число n, является подгруппой.

Привести пример неабелевой группы, для которой это утверждение неверно.

11. Обозначим через G множество всех ненулевых вещественных чисел a, для каждого из которых an рациональное число при некотором натуральном n. Доказать, что G подгруппа R. Является ли она циклической?

12. Пусть G группа порядка n. Доказать, что группа G циклическая тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка n.

13. Пусть Zn циклическая группа порядка n. Найти количество элементов порядка pm в Zpn (0 < m < n, p простое).

§ 4. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ И ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Определение 4.1. Пусть H подгруппа в группе G, и g G.

Левым смежным классом gH называется подмножество {gh | h H} в G. Правым смежным классом Hg называется подмножество {hg | h H} в G.

П р и м е р 1. Смежными классами группы C по подгруппе T = {z C | |z| = 1} являются множества xT = {xz | |z| = 1}, где x = r(cos + z = cos + i sin, получим Эти смежные классы изображаются на комплексной плоскости окружностями с центром в начале координат.

a+bi+R = {a + bi + x | x R}. Эти смежные классы изображаются на комплексной плоскости прямыми, параллельными вещественной оси.

кативной группы C по подгруппе R+ положитель- pp VV DD 5 ''  x ных вещественных чисел являются множества pp VD 5 ' xxx ll Эти смежные классы изображаются на комплексной  ' 5 DD плоскости лучами, исходящими из начала координат.

Предложение 4.1. Пусть H подгруппа в группе G и x, y G.

Если y xH, то yH = xH. Аналогично, если y Hx, то Hy = Hx.

В частности, если x H, то xH = H = Hx.

Доказательство. Докажем предложение для левых смежных классов (для правых смежных классов доказательство проводится аналогично). По условию y = xh для некоторого h H. Тогда для любого элемента h1 H имеем yh1 = x(hh1 ) xH, значит, yH xH.

Поскольку x = yh1, то аналогично получаем xH yH. Значит, xH = yH.

Предложение 4.2 (Критерий равенства смежных классов). Пусть H подгруппа в группе G и x, y G. Тогда Доказательство. Если xH = yH, то y = y · 1 yH = xH. Следовательно, y = xh для некоторого h H, т. е. x1 y = h H. Обратно, если x1 y = h H, то y = xh и в силу предложения 4.1 xH = yH.

П р и м е р 4. В случае G = GLn (K), H = SLn (K) условия равенства смежных классов 4.1 и 4.2 означают, что det g1 = det g2. Поэтому левые смежные классы в данном случае совпадают с правыми (хотя группа GLn (K) не абелева); каждый из них представляет собой совокупность всех матриц с определителем, равным определенному фиксированному числу.

Следствие 4.1. Пусть H подгруппа в группе G. Тогда два левых (правых) смежных класса G по H либо совпадают, либо не пересекаются. В частности, группа G является объединением непересекающихся левых (правых) смежных классов G по H.

Доказательство. Предположим, что z xH yH. Тогда из предложения 4.1 следует, что xH = zH = yH.

Представление конечной группы G в виде объединения непересекающихся левых (правых) смежных классов G по H называют разложением Лагранжа.

Определение 4.2. Множество левых смежных классов группы G по подгруппе H обозначается через G/H. Мощность множества G/H называется индексом подгруппы H и обозначается через [G : H].

Мощность множества левых смежных классов группы G по подгруппе H совпадает с мощностью множества правых смежных классов (см. упражнение 1).

Теорема 4.1 (Лагранж). Если G конечная группа и H ее подгруппа, то |G| = [G : H]|H|.

Доказательство. Покажем, что |xH| = |H|. Действительно, если H = {h1,..., hs }, то xH = {xh1,..., xhs } и ясно, что xhi = xhj при i = j.

Разобьем G на левые смежные классы по H. Тогда каждый элемент x G лежит в некотором классе, а именно, в xH. Поскольку различные смежные классы не пересекаются, то порядок группы G равен произведению их числа на |H|.

Следствие 4.2. Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок группы.

Следствие 4.3. Порядок любого элемента конечной группы делит порядок группы.

Доказательство вытекает из следствия 4.2 и того, что порядок элемента равен порядку порождаемой им циклической подгруппы.

Следствие 4.4. Всякая конечная группа простого порядка является циклической.

Доказательство. В силу следствия 4.2 такая группа должна совпадать с циклической подгруппой, порожденной любым элементом, отличным от единицы.

Следствие 4.5. Если |G| = n, то g n = 1 для любого g G.

Доказательство. Пусть ord g = m. В силу следствия 4.3 имеем m | n. Значит, g n = (g m ) m = 1.

Следствие 4.6. Пусть A, B подгруппы в G, причем B A.

Тогда Доказательство. По теореме Лагранжа откуда и получаем требуемое равенство.

1. Доказать, что соответствие xH Hx1 задает биекцию между множествами левых и правых смежных классов группы G по подгруппе H.

2. Взяв какую-нибудь подгруппу второго порядка в симметрической группе S3, найти левое и правое разложение Лагранжа по этой подгруппе.

3. Найти левые и правые смежные классы симметрической группы S4 по ее подгруппе H { S4 | (1) = 1}.

4. Пусть K правый смежный класс группы G по подгруппе H.

Доказать, что для любых x, y, z K имеем xy 1 z K.

5. Доказать, что верно и обратное утверждение: если K непустое подмножество группы G и для всех x, y, z K имеем xy 1 z K, то K правый смежный класс группы G по некоторой ее подгруппе H.

6. Доказать, что если H1 и H2 подгруппы конечных индексов в группе G, то H1 H2 также подгруппа конечного индекса в G.

7. Пусть G группа, H1 и H2 ее подгруппы порядков m1 и m2, НОД(m1, m2 ) = 1. Доказать, что H1 H2 = {1}.

8. Пусть G группа порядка 2k, H ее подгруппа порядка k.

Доказать, что квадраты всех элементов G принадлежат H.

Связи между различными алгебраическими структурами одного типа устанавливаются при помощи гомоморфизмов. Понятие гомоморфизма отличается от понятия изоморфизма тем, что не требует биективности. В одном случае мы уже встречались с этим понятием. А именно, гомоморфизмы векторных пространств не что иное, как их линейные отображения. Дадим точное определение гомоморфизма групп.

Определение 5.1. Отображение групп f : G H называется гомоморфизмом, если f (xy) = f (x)f (y) для всех x, y G. Инъективный гомоморфизм называют мономорфизмом, сюръективный гомоморфизм эпиморфизмом, биективный гомоморфизм изоморфизмом, изоморфизм группы на себя автоморфизмом, гомоморфизм группы в себя ее эндоморфизмом.

Пусть f : G H гомоморфизм. Установим общие свойства гомоморфизмов групп.

Предложение 5.1. Пусть a G. Тогда Доказательство. По определению гомоморфизма Умножая обе части на f (1)1 слева, получаем f (1) = 1. Далее, Значит, элемент f (a1 ) является обратным к f (a).

Предложение 5.2. Если K подгруппа в G, то множество является подгруппой в H, называемой образом K. В частности, образ Im f = f (G) гомоморфизма f является подгруппой группы H.

Доказательство следует из определения гомоморфизма и предложения 5.1.

Предложение 5.3. Множество является подгруппой группы G и называется ядром гомоморфизма f.

Если K подгруппа в H, то множество является подгруппой в G, называемой полным прообразом K, при этом Ker(f ) f 1 (K).

Доказательство. Достаточно доказать, что f 1 (K) G, поскольку Ker(f ) = f 1 ({1}) полный прообраз единичной подгруппы. Для произвольных элементов a, b f 1 (K) имеем f (a), f (b) K. Так как подгруппа, то f (ab) = f (a)f (b) K и f (a1 ) = f (a)1 K, отK куда ab, a1 f 1 (K). Следовательно, f 1 (K) G. Далее, поскольку 1 K, то f 1 (1) = Ker(f ) f 1 (K).

Таким образом, гомоморфизм f : G H является мономорфизмом (т. е. инъективен) тогда и только тогда, когда Ker(f ) = {1}; f эпиморфизм (т. е. сюръективен) тогда и только тогда, когда Im f = H;

f изоморфизм (т. е. биективен) тогда и только тогда, когда Im f = H и Ker f = {1}.

Предложение 5.4. Пусть a, b G. Тогда Доказательство. Учитывая критерий равенства смежных классов (предложение 4.2) и то, что f гомоморфизм, получаем Предложение доказано.

Предложение 5.5. Пусть f : G H изоморфизм групп.

Тогда обратное отображение f 1 : H G также изоморфизм.

Доказательство. Ясно, что f 1 биекция. Пусть x, y H и f 1 (x) = a, f 1 (y) = b. Тогда Следовательно, а это и означает, что f 1 гомоморфизм.

Приведем примеры гомоморфизмов групп.

1. Пусть G произвольная абелева группа. Тогда для любого n Z отображение f : G G, f (x) = xn является эндоморфизмом группы G (для неабелевой группы это неверно). В случае G = C отображение f является эпиморфизмом, а его ядром является группа Cn корней степени n из 1.

2. Согласно основному свойству экспоненты отображение exp является гомоморфизмом аддитивной группы R в мультипликативную группу R. Его образ это подгруппа R+ положительных чисел, а ядро тривиально.

3. Отображение x cos x + i sin x является гомоморфизмом аддитивной группы R в группу C. Его образ подгруппа T = {z C | |z| = 1} в C (окружность радиуса 1 с центром в начале координат), а ядро все вещественные числа вида 2k, k Z.

5. Формула умножения определителей означает, что отображение det : GLn (K) K, A det A, есть гомоморфизм. Его ядро это группа SLn (K) матриц с определителем 1.

6. Отображение f : Z Zn, ставящее в соответствие каждому элементу x Z соответствующий класс вычетов x по модулю n, является гомоморфизмом циклических групп Z и Zn. Его ядром является циклическая подгруппа n < Z, порожденная n. Фактически, 7. Рассмотрим отображение sgn : Sn H = {±1}, где H циклическая группа порядка 2, определенное по правилу Легко проверить, что sgn является гомоморфизмом из G в H. Ядром этого гомоморфизма является знакопеременная группа An степени n, состоящая из всех четных подстановок.

Предложение 5.6. Пусть f : G H, g : H K гомоморфизмы. Тогда 2) если f и g изоморфизмы, то gf также изомоморфизм.

Доказательство. 1) Следующее вычисление показывает, что gf гомоморфизм:

gf (xy) = g(f (xy)) = g(f (x)f (y)) = g(f (x))g(f (y)) = gf (x)gf (y).

2) Достаточно заметить, что композиция биективных отображений биективное отображение.

Рассмотрим автоморфизмы групп. Обозначим через Aut G множество всех автоморфизмов группы G.

Предложение 5.7. Aut G является группой относительно операции композиции автоморфизмов.

Доказательство немедленно следует из предложений 5.5 и 5.6.

Пусть G группа и g G. Рассмотрим отображение Предложение 5.8. ig является автоморфизмом группы G и называется внутренним автоморфизмом (или сопряжением при помощи g).

Доказательство. Справедливы равенства Следовательно, i1 = ig1 также внутренний автоморфизм.

Множество всех внутренних автоморфизмов обозначается Inn G и Inn G Aut G. Действительно, для g, h G, Aut G имеем Теорема 5.1 (Кэли). Любая конечная группа G порядка n изоморфна подгруппе симметрической группы Sn.

Доказательство. Пусть G = {g1,..., gn }. Будем рассматривать группу Sn как группу подстановок множества G. Любой элемент Sn можно записать в виде таблицы Поставим в соответствие элементу a G подстановку a действительно подстановка, так как элементы ag1,..., agn второй строки попарно различны. Пусть H = {g1,..., gn } Sn. Так как для любых элементов a, b, g G Остается проверить, что отображение является изоморфизмом. То, что f гомоморфизм, следует из (5.1).

Сюръективность f очевидна. Если же f (a) = f (b), то a = b и что доказывает инъективность f.

1. Пусть f : G H гомоморфизм групп, x G. Доказать, что f 1 (f (x)) = x Ker f = (Ker f )x.

а) если gf мономорфизм, то и f тоже мономорфизм;

б) если gf эпиморфизм, то и g тоже эпиморфизм.

3. Пусть f : G H эпиморфизм группы G на группу H. Доказать, что если G абелева, то абелева и H. Верно ли обратное утверждение?

4. Доказать, что отображение f : G G, f (x) = x2 является гоморфизмом группы в себя тогда и только тогда, когда G абелева.

5. Пусть G конечная группа, f : G H гомоморфизм групп.

Доказать, что для любого g G справедливо ord(f (g)) | ord(g).

6. Доказать, что группа Aut Z изоморфна циклической группе второго порядка.

8. Доказать, что отношение изморфизма групп является отношением эквивалентности.

§ 6. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ. ФАКТОРГРУППЫ

Пусть H подгруппа группы G и g G. Рассмотрим множество gHg 1 = {ghg 1 | g G}. Равенства показывают, что gHg 1 есть подгруппа в G.

Определение 6.1. Говорят, что H нормальная подгруппа в G и пишут H G, если gHg 1 H для любого g G.

Если H G, то в действительности gHg 1 = H для любого g G.

Достаточно убедиться в том, что H gHg 1. Для любого h H имеем h = g(g 1 hg)g 1 gHg 1, поскольку g 1 hg H в силу нормальности подгруппы H.

Рассмотрим примеры нормальных подгрупп.

1. SLn (K) GLn (K). Если g GLn (K), h SLn (K), то следовательно, ghg 1 GLn (K).

2. В абелевой группе G любая подгруппа H нормальна.

3. {1} G, G G нормальные подгруппы в любой группе G.

Предложение 6.1. Пусть f : G H гомоморфизм групп.

Тогда Ker f G.

Доказательство. Мы уже знаем, что Ker f G (см. предложение 5.3). Пусть g G, x Ker f. Тогда следовательно, gxg 1 Ker f и Ker f G.

Предложение 6.2. Пусть f : G H гомоморфизм групп и K G, T H. Тогда f (K) f (G), f 1 (T ) G.

Доказательство. Пусть g f (G), x f (K). Тогда g = f (h), x = f (y) для некоторых элементов h G, y K. Тогда поскольку в силу нормальности K элемент hyh1 K. Это доказывает, что f (K) f (G).

потому что f (z) T и T H. Поэтому aza1 f 1 (T ), что и доказывает нормальность f 1 (T ).

Предложение 6.3. Пусть H G. Тогда H G тогда и только тогда, когда левый смежный класс xH совпадает с правым смежным классом Hx для произвольного элемента x из G.

Доказательство. Для любого элемента h H справедливо xh = = (xhx1 )x = h1 x, где h1 = xhx1 H в силу нормальности H. Значит, xH Hx. Аналогично Hx xH. Следовательно, xH = Hx.

Если xH = Hx для произвольного элемента x из G, то для произвольного элемента h H имеем xh = h1 x для некоторого элемента h1 H. Следовательно, xhx1 = h1 H и H G.

Определение 6.2. Если A, B произвольные подмножества группы G, то их произведением называется множество 1. H K нормальная подгруппа в K.

2. Множество HK совпадает с KH и является подгруппой в G, а если K G, то и HK G.

Доказательство. Первое утверждение следует из определения нормальной подгруппы.

Докажем, что HK = KH. Множество HK (соответственно KH) есть объединение смежных классов Hk (соответственно kH), k K.

По предложению 6.3 kH = Hk. Значит, KH и HK состоят из одних и тех же смежных классов. Поэтому HK = KH.

Докажем, что HK G. Пусть hk, h1 k1 HK. Тогда где h2 = kh1 k 1 H в силу нормальности H. Следовательно, hh2 H, kk1 K и поэтому (hh2 )(kk1 ) HK. Кроме того, поскольку снова в силу нормальности H имеем k 1 h1 k H. Значит, HK является подгруппой в G.

Предположим теперь, что K G. Тогда для любых элементов в силу того, что H и K нормальные подгруппы по условию, а поэтому xhx1 H, xkx1 K. Значит, HK G.

Замечание 1. Если обе подгруппы H и K не являются нормальными подгруппами в G, то не всегда HK подгруппа в G.

Например, рассмотрим симметрическую группу S3 и в ней две циклические подгруппы H = (12) и K = (13). Тогда множество HK = {1, (12), (13), (132)} состоит из четырех элементов и не является подгруппой в S3, поскольку 4 не делит порядок S3, который равен 6.

Предложение 6.5. Пусть H G и a, b G. Тогда Доказательство. Из равенства abh = (a · 1)(bh) следует, что abH (aH)(bH). Пусть z (aH)(bH). Тогда Так как H нормальная подгруппа, то b1 h1 b H; значит, z abH и (aH)(bH) abH. Из двух противоположных включений следует, что (aH)(bH) = abH.

Замечание 2. Отметим, что если выполнено свойство (6.1) для любых элементов a, b G, то нетрудно доказать, что H G.

Обозначим через G/H множество левых смежных классов группы G по подгруппе H. Предложение 6.5 позволяет задать на G/H алгебраическую операцию формулой (6.1).

Теорема 6.1. Множество G/H с введенной выше операцией умножения смежных классов является группой, которая называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе H. При этом смежный класс 1H = H является единичным элементом в G/H, а смежный класс a1 H обратным элементом к aH.

Доказательство. Так как (aHbH)cH = abHcH = (ab)cH, aH(bHcH) = aHbcH = a(bc)H и умножение в группе ассоциативно, т. е. (ab)c = a(bc), то Следовательно, умножение смежных классов ассоциативно. Далее, значит, H единица в G/H. Непосредственным умножением проверяется, что a1 H обратный элемент к aH.

Определим отображение Предложение 6.6. Отображение f является сюръективным гомоморфизмом группы G на факторгруппу G/H и называется каноническим гомоморфизмом, при этом Ker f = H.

Доказательство. Равенства доказывают, что f гомоморфизм. Очевидно, f сюръективен. Найдем ядро f.

Таким образом, Ker f = H.

В предложении 6.1 мы доказали, что ядро любого гомоморфизма нормальная подгруппа. Предложение 6.6 утверждает обратное:

любая нормальная подгруппа ядро некоторого гомоморфизма, а именно, канонического гомоморфизма.

Изучая циклические группы, мы установили в теореме 3.2, что подгруппа циклической группы циклическая. Рассмотрим теперь факторгруппы циклических групп.

Предложение 6.7. Пусть G = a циклическая группа и H G. Тогда G/H циклическая группа.

Доказательство. Так как G абелева, то H G. Любой элемент из G/H имеет вид a H = (aH) для некоторого n Z. Значит, G/H = = aH циклическая группа, порожденная смежным классом aH.

Обозначим через L(G, H) совокупность подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, L(G, 1) = L(G) совокупность всех подгрупп группы G, L(G, G) = {G}.

Теорема 6.2 (О соответствии подгрупп). Пусть f : G H сюръективный гомоморфизм групп.

1. Отображение : L(G, Ker f ) L(H), сопоставляющее подгруппе K L(G, Ker f ) подгруппу (K) = f (K) L(H), является биекцией, сохраняющей включение. В частности, f 1 (f (K)) = K.

2. Эта биекция сохраняет нормальность: если K L(G, Ker f ), 3. Эта биекция сохраняет индексы: если Ker f K G, то [G : K] = [H : f (K)].

Доказательство. 1. Отображение сюръективно, так как по предложению 5.3 полный прообраз K = f 1 (T ) подгруппы T группы H является подгруппой в G, содержащей Ker f, и очевидно, что подгруппы в G, содержащие Ker f, и K1 = K2. Предположим, что f (K1 ) = f (K2 ). Так как K1 = K2, то найдется элемент x, лежащий в одной из этих групп и не лежащий в другой. Пусть, например, x K и x K2. Тогда f (x) f (K1 ) = f (K2 ), значит, f (x) = f (y) для некоторого элемента y f (K2 ). Следовательно, 1 = f (x)f (y)1 = = f (xy 1 ), т. е. xy 1 = z Ker f. Таким образом, x = zy Ker f K противоречие, доказывающее биективность.

2. Утверждение этого пункта следует из более общего предложения 6.2.

3. Отображение из множества левых смежных классов G по K в множество левых смежных классов H по f (K), заданное правилом xK f (x)f (K), очевидно, является сюръективным отображением.

Это отображение инъективно, так как из f (x)f (K) = f (y)f (K) следует f (x)1 f (y) = f (x1 y) f (K), т. е. x1 y K в силу пункта 1 нашей теоремы. Следовательно, xK = yK.

группы G. Доказать, что C(G) нормальная подгруппа в G.

2. Знакопеременная группа An нормальная подгруппа симметрической группы Sn.

3. Пусть Hi, i I, нормальные подгруппы в группе G. Доказать, что H = Hi G.

4. Доказать, что если G абелева группа и H G, то факторгруппа G/H абелева.

5. Найти все нормальные подгруппы группы S3.

6. Верно ли, что GLn (Q) GLn (R)?

7. Доказать, что в любой группе подгруппа индекса 2 является нормальной.

8. Пусть M подмножество группы G. Положим CG (M ) = = {g G | gm = mg для любого m M } (централизатор M в G).

Доказать, что если H G, то CG (H) G.

9. Доказать, что для циклической группы G из G/A = G/B следует, что A = B.

10. Группа называется периодической, если каждый ее элемент имеет конечный порядок. Доказать, что если нормальная подгруппа H и факторгруппа G/H группы G периодические, то и сама группа G периодическая.

11. Доказать, что в факторгруппе Q+ /Z+ каждый элемент имеет конечный порядок. Конечна ли эта факторгруппа?

12. Пусть H1, H2 G, причем G/H1 и G/H2 абелевы. Доказать, что G/(H1 H2 ) также абелева.

§ 7. ТЕОРЕМЫ О ГОМОМОРФИЗМАХ

Теорема 7.1 (Основная теорема о гомоморфизмах групп).

Пусть f : G H гомоморфизм групп. Тогда Доказательство. Рассмотрим отображение Убедимся, что корректно определено, т. е. если g Ker f = h Ker f, то (g Ker f ) = (h Ker f ) или, что эквивалентно, f (g) = f (h). По предложению 4.2 равенство смежных классов g Ker f = h Ker f означает, что g 1 h Ker f. Значит, f (g 1 h) = f (g 1 )f (h) = 1, откуда f (g) = f (h). Отображение гомоморфизм, поскольку Очевидно, сюръективно, поскольку для любого элемента f (g) f (G) имеем f (g) = (g Ker f ).

И наконец, инъективно, поскольку если (g Ker f ) = (h Ker f ), то f (g) = f (h) и, следовательно, 1 = f (g)1 f (h) = f (g 1 h). Значит, g 1 h Ker f, поэтому по предложению 4.2 g Ker f = h Ker f.

Теорема 7.2 (Вторая теорема о гомоморфизмах групп).

Если H и N нормальные подгруппы группы G, причем N H, то H/N нормальная подгруппа группы G/N и Доказательство. По теореме о соответствии 6.2 подгруппа H/N нормальна в G/N. Факторгруппа (G/N )/(H/N ) состоит из смежных классов gN (H/N ), где gN элемент факторгруппы G/N. Рассмотрим отображение f : G (G/N )/(H/N ), определяемое равенством f (g) = = gN (H/N ). Очевидно, f сюръективно. Из равенств следует, что f является гомоморфизмом. Докажем, что Ker(f ) = H.

Очевидно, H Ker(f ), поскольку если h H, то f (h) = hN (H/N ) = = H/N единичный элемент группы (G/N )/(H/N ). Докажем противоположное включение. Пусть f (g) = gN (H/N ) = H/N. Тогда gN H/N, откуда gN = hN для некоторого элемента h H. Значит, по предложению 4.2 h1 g = h1 H, следовательно, g = hh1 H. Таким образом, Ker(f ) H и мы имеем равенство Ker f = H. Применяя основную теорему о гомоморфизмах, получаем G/H (G/N )/(H/N ).

Замечание 1. Отметим, что теорема 7.2 дополняет теорему 6.2.

Биекция из теоремы 6.2 сохраняет не только номальность подгрупп и индексы, но также индуцирует биекцию между множеством факторгрупп группы G по нормальным подгруппам H, содержащим N, и множеством факторгрупп группы G/N.

Теорема 7.3 (Третья теорема о гомоморфизмах групп).

Пусть H нормальная подгруппа группы G. Тогда для любой подгруппы A пересечение A H является нормальной подгруппой в A Доказательство. В силу предложения 6.4 A H A, AH G. Поскольку H G, то тем более H AH. Поэтому определены рассматриваемые в теореме факторгруппы AH/H и A/A H. Любой элемент факторгруппы AH/H имеет вид ahH = aH для некоторого a A. Зададим отображение f : A AH/H формулой f (a) = aH.

Следующее вычисление показывает, что f гомоморфизм.

Очевидно, f сюръективное отображение. Найдем ядро f. Так как Следовательно, x H, откуда получаем H = Ker f. Применяя основную теорему о гомоморфизмах, получаем AH/H A/A H.

1. Пусть E единичная подгруппа группы G. Доказать, что G/E G.

2. Пусть U обозначает мультипликативную группу комплексных чисел с модулем, равным 1. Доказать, что R+ /Z+ U.

3. Для натурального n рассмотрим отображение f : U U, x xn. Доказать, что f гомоморфизм, найти ядро f и доказать, что U/ Ker f U.

4. Пусть F = {(x1,..., xm, 0,..., 0)} подгруппа аддитивной группы Rn. Найти факторгруппу Rn /F.

5. Пользуясь основной теоремой о гомоморфизмах, доказать, что:

a) Sn /An {±1};

б) GLn (K)/SLn (K) K.

6. Пусть Mn (R) кольцо квадратных матриц n-ro порядка с элементами из кольца R. Найти фактогруппу (т. е. указать, какой из известных групп она изоморфна):

в) GLn (C)/H, где H = {a | det a = ±1};

Определение 8.1. Выражение [x, y] = xyx1 y 1 называется коммутатором элементов x, y группы G.

Коммутатор служит корректирующим множителем, необходимым для того, чтобы поменять местами x и y:

Отсюда следует простое, но полезное Предложение 8.1. Элементы x и y перестановочны тогда и только тогда, когда коммутатор [x, y] = 1.

Определение 8.2. Коммутантом группы G называют подгруппу [G, G], порожденную множеством всех коммутаторов [x, y], x, y G.

Хотя [x, y]1 = yxy 1 x1 = [y, x] снова коммутатор, однако произведение двух коммутаторов быть им уже не обязано. Таким образом, [G, G] состоит из всевозможных произведений вида Предложение 8.2. Если K G, то [K, K] G. В частности, [G, G] G.

Доказательство. Вычисление показывает, что для любых элементов xi, yi K, 1 i, j n, и любого g G поскольку по условию K всех i.

Докажем общее утверждение, вскрывающее внутренний смысл понятия коммутант.

Теорема 8.1. Факторгруппа G/[G, G] абелева. Любая подгруппа K G, содержащая коммутант [G, G], нормальна в G и факторгруппа G/K абелева. Обратно, если K G и факторгруппа G/K абелева, то [G, G] K (в частности, если G конечная группа, то максимальный порядок абелевой факторгруппы G/K равен индексу [G : [G, G]]).

Доказательство. Докажем, что факторгруппа G/[G, G] абелева.

[a[G, G], b[G, G]] = a[G, G] · b[G, G] · a1 [G, G] · b1 [G, G] = т. е. коммутатор любых двух элементов факторгруппы G/K равен единичному элементу K. По предложению 8.1 любые два элемента факторгруппы G/K перестановочны. Значит, G/[G, G] абелева группа.

Докажем, что G/K абелева. Для любых элементов aK, bK K имеем [aK, bK] = (aK)(bK)(a1 K)(b1 K) = aba1 b1 K = [a, b]K = K, (8.1) поскольку по условию [a, b] K. По предложению 8.1 G/K абелева.

Обратно, если K G и факторгруппа G/K абелева, то в силу (8.1) [a, b]K = [aK, bK] = K для всех a, b G. Значит, [a, b] K и [G, G] K, поскольку [G, G] порождается коммутаторами [a, b].

Определение 8.3. Пусть H и K подгруппы группы G. Взаимным коммутантом групп H и K называется подгруппа [H, K], порожденная всеми комутаторами вида [h, k], h H, k K.

Предложение 8.3. Пусть H G, K G и H K = {1}. Тогда [H, K] = 1. В частности, любой элемент h H перестановочен с любым элементом k K.

Доказательство. Для произвольных элементов h H, k K рассмотрим элемент [h, k] = hkh1 k 1. Так как kh1 k 1 H в силу нормальности H, то [h, k] H. С другой стороны, hkh1 K в силу нормальности K, поэтому [h, k] K. Следовательно, [h, k] H K = {1}, откуда получаем [H, K] = 1.

1. Доказать, что если H, K нормальные подгруппы группы G, то их взаимный коммутант [H, K] является нормальной подгруппой в G.

2. Найти коммутант следующих групп:

f ([G, G]) = [H, H]. Верно ли, что [G, G] = f 1 (H)?

4. Доказать, что если H подгруппа индекса 2 группы G, то H содержит коммутант [G, G].

5. Пусть коммутант группы G содержится в ее центре. Доказать, что для любых a, b, c G [ab, c] = [a, c][b, c].

§ 9. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУПП

Рассмотрим конструкцию, позволяющую строить новые группы с помощью уже известных. Пусть G1,..., Gn произвольные группы, их декартово произведение. Определим на G алгебраическую операцию формулой Теорема 9.1. Декартово произведение G = G1 · · ·Gn с введенной выше алгебраической операцией является группой, которая называется (внешним) прямым произведением групп G1,..., Gn.

Доказательство. Умножение в G, определяемое формулой (9.1), ассоциативно, поскольку фактически сводится к умножению элементов в каждой из групп Gi. Элемент e = (1G1,..., 1Gn ), где 1Gi единичный элемент группы Gi, очевидно, является нейтральным элементом относительно введенной операции. Наконец, (g1,..., gn )1 = = (g1,..., gn ) элемент, обратный к (g1,..., gn ).

При аддитивной записи групповой операции в G1,..., Gn говорят о прямой сумме групп G1,..., Gn и пишут G1 · · · Gn.

Отметим простейшие свойства прямых произведений групп.

конечная группа и Действительно, если fi : Gi Hi изоморфизм, то отображение очевидно, является требуемым изоморфизмом.

3. Для каждой группы Gi рассмотрим гомоморфизм (g находится на i-м месте). Ясно, что i инъективен и, по основной теореме о гомоморфизмах, группа Gi изоморфна подгруппе Gi = = i (Gi ) G. Кроме того, Gi G, поскольку Непосредственно из определения подгрупп Gi следует, что если i = j, то Gi Gj = {1}. Легко проверить, что при i = j любые элементы x Hi, y Hj перестановочны, т. е. xy = yx.

Предложение 9.1. Произвольный элемент x G единственным образом представляется в виде произведения y1... yn, где yi Gi.

Доказательство. Пусть x = (x1,..., xn ). Положим Непосредственное вычисление показывает, что x = y1... yn. Если бы мы имели другое разложение x = z1... zn, где то тогда откуда xi = xi, i = 1,..., n. Следовательно, yi = zi, что и доказывает единственность разложения.

Предложение 9.1 подводит нас к следующему определению.

Определение 9.1. Пусть G1,..., Gn нормальные подгруппы группы G. Говорят, что G внутреннее прямое произведение своих подгрупп G1,..., Gn, если каждый элемент g G единственным образом представляется в виде произведения g = g1... gn, где Учитывая это определение, можно сказать, что внешнее прямое произведение групп G1,..., Gn является внутренним прямым произведением своих нормальных подгрупп G1,..., Gn, причем каждая из групп Gi изоморфная копия группы Gi.

Предложение 9.2. Если G является внутренним прямым произведением своих нормальных подгрупп G1,..., Gn, то Доказательство. Пусть z Gi Gj. Элемент z можно двумя способами представить в виде произведения элементов из подгрупп (в первом случае z стоит на i-ом месте, во втором на j-ом). Из единственности такого представления следует, что z = 1.

Утверждение 2) немедленно следует из предложения 8.3.

Теорема 9.2. Если G внутреннее прямое произведение своих нормальных подгрупп G1,..., Gn, то G G1 · · · Gn.

Доказательство. Рассмотрим отображение f : G1 · · · Gn G, f ((g1,..., gn )) = g1... gn. Поскольку каждый элемент g G представляется в виде произведения g = g1... gn, то отображение f сюръективно. Из единственности такого представления следует инъективность f.

Пусть x = (g1,..., gn ), y = (h1,..., hn ). В силу пункта 2 предложения 9.2 элементы gi и hj перестановочны при i = j. Тогда следующее вычисление показывает, что f гомоморфизм:

Значит, f искомый изоморфизм.

Отличие внутреннего прямого произведения от внешнего состоит в том, что в первом случае G содержит сами нормальные подгруппы G1,..., Gn, а во втором подгруппы G1,..., Gn, которые изоморфны группам G1,..., Gn.

Теорема 9.2 показывает, что если группа G есть внутреннее прямое произведение своих нормальных подгрупп G1,..., Gn, то изучение G полностью сводится к изучению ее подгрупп G1,..., Gn.

Рассмотрим подробнее случай двух множителей.

Теорема 9.3. Группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G1 и G2 тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) подгруппы G1 и G2 нормальны;

3) G = G1 G2, т. е. каждый элемент g G представляется в Доказательство. Утверждение только тогда доказано выше.

Пусть выполнены условия 1)–3) предложения. Остается проверить единственность представления элемента g G в виде g = g1 g2, где g1 G1, g2 G2. Пусть Тогда откуда что и требуется доказать.

П р и м е р 1. Пусть G = {1, a, b, c} нециклическая группа порядка 4. Легко видеть, что квадрат любого из элементов a, b, c равен единице, а произведение любых двух из них (в любом порядке) равно третьему. Отсюда следует, что G есть прямое произведение любых двух различных циклических подгрупп второго порядка, например, П р и м е р 2. Возможность и единственность представления комплексного числа, отличного от нуля, в тригонометрической форме означает, что где T = {z C | |z| = 1}.

П р и м е р 3. Пусть G = GL+ (R) группа матриц с положительn ным определителем, G1 подгруппа скалярных матриц E с > 0 и G2 = SLn (R). Тогда G = G1 G2. В самом деле, G1 и G2 нормальные подгруппы, G1 G2 = {E} и G = G1 G2, так как каждая матрица A G может быть представлена в виде В следующей теореме описывается строение факторгрупп прямых произведений по нормальным подгруппам специального вида. Эта теорема используется в следующем параграфе при доказательстве теоремы о строении конечно порожденных абелевых групп.

1. Прямое произведение H = H1 · · · Hn подгруппа в G.

Доказательство. 1. Непосредственная проверка показывает, что Рассмотрим отображение Несложное вычисление показывает, что f гомоморфизм. Очевидно, f сюръективно. Найдем ядро f. Имеем следующие эквивалентные утверждения:

Значит, Ker f = H и по основной теореме о гомоморфизмах G/H Замечание 1. Отметим, что если H произвольная подгруппа в G = G1 · · · Gn, то не обязательно H = H1 · · · Hn для некоторых подгрупп Hi Gi. Например, если G = a циклическая группа порядка 2 и K = G G, то циклическая подгруппа H = (a, a) < K имеет порядок 2 и, очевидно, не может быть прямым произведением двух групп, порядок каждой из которых больше единицы.

В заключение исследуем вопрос, какие циклические группы раскладываются в прямое произведение своих подгрупп.

Определение 9.2. Конечная группа G называется p-группой, если |G| = pk, где p простое число.

его разложение на простые множители.

1. Если G циклическая группа порядка n, то циклическая pi -группа порядка pki, i = 1,..., s.

2. Циклическая группа G = a порядка pk, где p простое число, неразложима в прямое произведение нетривиальных подгрупп.

3. Бесконечная циклическая группа неразложима в прямое произведение нетривиальных подгрупп.

Доказательство. 1. Пусть ai образующая циклической группы Ci, i = 1,..., s. Тогда ord ai = pki. В группе H рассмотрим элемент h = (a1,..., an ) и найдем его порядок. Если то это эквивалентно тому, что ak = 1 для i = 1,..., s. Значит, k деi лится на каждое из чисел ord ai = pki и поэтому является их общим кратным. Наименьшее такое k является наименьшим общим кратным чисел pk1,..., pks и равно их произведению в силу того, что p1,..., ps попарно различные простые числа. Значит, k = n = ord h. Поскольку n это порядок группы H, то H = h циклическая группа порядка n. Так как все циклические группы одного и того же порядка изоморфны, то G H.

2. Пусть H и K нетривиальные подгруппы в G = a. По теореме 3.2 H и K циклические подгруппы в G и, согласно теореме Лагранжа, их порядки делят pk. Значит, |H| = pl, |K| = pm, где 0 < l, m < k. Снова в силу теоремы 3.2 группа H порождается элементом h = at, где t = pk /pl = pkl, а группа K элементом k = ar, где r = pk /pm = pkm. Пусть для определенности t r. Тогда l m и Значит, любые две нетривиальные подгруппы в G имеют нетривиальное пересечение и G не может быть их прямым произведением.

3. В качестве бесконечной циклической группы возьмем Z. Пусть H и K ненулевые подгруппы в Z. Тогда H и K циклические группы с образующими n и m соответственно и 0 = nm H K. Значит, любые две ненулевые подгруппы в Z имеют ненулевое пересечение и Z не может быть их прямым произведением.

1. Выяснить, при каких n 2. Элементы каких порядков встречаются в группе:

3. Найти все подгруппы в группе S3 Z2.

4. Сколько элементов порядка 2 содержится в группе Z10 Z Z10 ?

5. Найти число подгрупп в группе:

а) Zp Zq, p, q различные простые;

6. Доказать, что [G H, G H] = [G, G] [H, H].

7. Доказать, что Z(G H) = Z(G) Z(H), где Z(G) центр группы G.

8. Доказать, что если группа A B циклическая, то A и B конечные циклические.

§ 10. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

В этом параграфе описывается строение конечно порожденных абелевых групп. Все абелевы группы будут предполагаться аддитивными, т. е. групповая операция сложение, нейтральный элемент 0.

Определение 10.1. Множество элементов e1,..., en является базисом абелевой группы A, если 1) элементы e1,..., en целочисленно независимы, т. е. из того, что следует, что m1 = · · · = mn = 0;

2) элементы e1,..., en порождают группу A, т. е. каждый элемент x A можно представить в виде x = m1 e1 + · · · + mn en.

Группа A свободна, если обладает базисом. Рангом свободной абелевой группы A называется число элементов в базисе A.

Предложение 10.1. Если A свободная абелева группа c базисом e1,..., en, то A прямая сумма своих бесконечных циклических подгрупп e1,..., en, т. е.

Доказательство. Из определения свободной абелевой группы следует, что элементы ei, i = 1,..., n, имеют бесконечный порядок, т. е.

ei бесконечная циклическая группа. Каждый элемент x A можно представить единственным образом в виде при этом mi ei ei, i = 1,..., n. Значит, A является прямой суммой подгрупп e1,..., en.

абелева группа ранга n.

2. Если A свободная абелева группа ранга n, то A Zn.

Доказательство. 1. Элементарная проверка показывает, что элементы где 1 находится на i-м месте, образуют базис Zn.

если x A имеет представление (10.1), то f (x) = (m1,..., mn ). Очевидно, f является биекцией. Если y = l1 e1 + · · · + ln en, то x + y = = (m1 + l1 )e1 + · · · + (mn + ln )en, откуда Значит, f искомый изоморфизм.

Теорема 10.1. Пусть A свободная абелева группа с базисом e1,..., en. Предположим, что c1,..., cn элементы произвольной абелевой группы C. Тогда существует, и притом единственный, гомоморфизм f : A C, такой, что f (ei ) = ci, 1 i n.

Доказательство. Вначале докажем существование гомоморфизма f. Каждый элемент x A представим единственным образом в виде x = m1 e1 + · · · + mn en. Поэтому имеем корректно определенное отображение откуда Значит, f искомый гомоморфизм.

Если g : A C другой гомоморфизм со свойством g(ei ) = ci, Значит, f = g.

Следствие 10.1. Пусть A свободная абелева группа с базисом e1,..., en. Тогда число различных гомоморфизмов из A в циклическую группу порядка 2 равно 2n. В частности, ранг A определен однозначно.

Доказательство. Пусть Z2 = {0, 1} циклическая группа порядка 2. В силу теоремы 10.1 имеется взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами f : A Z2 и наборами x1,..., xn, состоящими из нулей и единиц. Количество таких наборов равно 2n, что и доказывает следствие.

Теорема 10.2 (О согласованных базисах ). Пусть B ненулевая подгруппа в свободной абелевой группе A ранга n. Тогда в A существует такой базис e1,..., en и такие ненулевые целые числа d1,..., dk, k n, что множество элементов d1 e1,..., dk ek образует базис B. В частности, B свободна и ранг B не больше, чем ранг A.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по рангу A. Если rank A = 1, то A = Z бесконечная циклическая группа с базисом 1, а подгруппа B является циклической и порождается некоторым элементом n = n · 1 Z, что и утверждается в теореме.

Предположим, что теорема справедлива для всех свободных абелевых групп ранга < n. Выберем в A базис Любой элемент b B можно единственным образом записать в виде b = m1 (b)v1 + · · · + mn (b)vn, где mi (b) Z. Обозначим через S(v) следующее множество натуральных чисел:

Пусть d(v) = min a и пусть d1 = min d(v), где минимум ищется по всем базисам v. Поскольку любое подмножество во множестве натуральных чисел имеет наименьший элемент, то этот минимум достигается для некоторого базиса v группы A и некоторого элемента b1 B, Доказательство. Разделим mi на d1 с остатком:

Положим e1 = v1 + q2 v2 + · · · + qn vn. Ясно, что множество элементов образует базис A (проверьте!) и в этом базисе b1 = d1 e1 + r2 v2 + · · · + +rn vn. Если хотя бы один из остатков ri, i = 2,..., n, больше нуля, то мы получим противоречие с минимальностью d1. Значит, ri = 0, i = 2,..., n, и в базисе (10.3) b1 = d1 e1.

B1 = A1 B, B2 = b1 < B. Справедлива следующая лемма.

Доказательство. Докажем вначале, что B = B1 + B2. Пусть b = = l1 e1 + l2 v2 + · · · + ln vn произвольный элемент из B. Разделим l1 на d1 с остатком: l1 = m1 q + r, 0 r < d1. Тогда Если r = 0, то мы снова имеем противоречие с минимальностью d1.

Покажем теперь, что B1 B2 = {0}. Пусть 0 = x B1 B2. Так как x B1 A1, то x = m2 v2 + · · · + mn vn. С другой стороны, x B2, поэтому x = m1 b1 = m1 d1 e1, где m1 d1 = 0. Отсюда получаем, что m2 v2 + · · · + mn vn = m1 d1 e1 нетривиальная целочисленная линейная зависимость между элементами базиса 10.3. Полученное противоречие и доказывает лемму.

Теперь завершим доказательство теоремы. По предположению индукции в A1 и B1 существуют согласованные базисы, т. е. найдется базис e2,..., en группы A1 и отличные от нуля целые числа d2,..., dk, такие, что множество элементов b2 = d2 e2,..., bk = dk ek образует базис B1. Тогда множество b1, b2,..., bk базис B.

Теорема 10.3 (О строении конечно порожденных абелевых групп). Пусть A конечно порожденная абелева группа. Тогда A изоморфна прямому произведению свободной абелевой группы и конечного числа циклических p-групп, где p пробегает некоторое множество простых чисел.

Доказательство. Пусть a1,..., an образующие группы A. По теореме 10.1 существует эпимоморфизм f : Zn A. Пусть B = Ker(f ).

По основной теореме о гомоморфизмах A о согласованных базисах в Zn существует базис e1,..., en, такой, что множество элементов d1 e1,..., dk ek образует базис B, где d1,..., dk натуральные числа, 1 k n. Положим Тогда по предложению 10. По теореме 9.4 получаем Если 1 i k, то (если di = 1, то ei /Ni Z/Z = {0} и это прямое слагаемое можно отбросить). По теореме 9.5 циклическая группа Z/di Z разлагается в прямую сумму циклических p-групп, где p пробегает множество простых делителей числа di. Если k < i n, то Ni = {0}, поэтому ei /Ni = ei Z. Таким образом получаем где C1,..., Cs циклические p-группы и p пробегает некоторое множество простых чисел.

Определение 10.2. Группа G не имеет кручения, если в ней нет отличных от нейтрального элементов конечного порядка.

Следствие 10.2. Конечно порожденная абелева группа A без кручения свободна.

Доказательство. Поскольку A без кручения, то в разложении 10. нет слагаемых C1,..., Cs. Значит, A свободна.

Следствие 10.3. Если абелева группа конечна, то она разлагается в прямую сумму циклических p-подгрупп, где p пробегает некоторое множество простых чисел.

Доказательство. Поскольку A конечна, то в разложении 10.4 нет слагаемого Znk, значит, A C1 · · · Cs, где C1,..., Cs циклические p-группы.

Замечание 1. При разложении конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических p-групп и бесконечных циклических групп набор порядков этих подгрупп определен однозначно.

1. Какие из групп Z6 Z36, Z12 Z18 и Z9 Z24 изоморфны?

2. Каков максимальный порядок элемента в группе Z42 Z78 Z36 ?

3. Сколько подгрупп шестого порядка у нециклической абелевой группы порядка 18?

4. Пусть G = a, b, c свободная абелева группа ранга 3, H подгруппа, порожденная элементами 5a + 11b + 7c и 2a + 5b + 4c. Найти в G и H согласованные базисы. Найти разложение в прямую сумму циклических слагаемых (бесконечных и примарных) факторгруппы G/H.

5. Среди всех абелевых групп порядка 72 найти группу с максимальным числом элементов порядка 18.

6. Найти все (с точностью до изоморфизма) абелевы группы порядка 300, которые не изоморфны прямому произведению группы порядка 6 и группы порядка 50.

7. Указать все абелевы группы порядка 32, в которых есть единственная подгруппа порядка 8.

8. Найти все абелевы группы порядка 64, в которых все подгруппы индекса 2 изоморфны.

9. Разложить в прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп абелеву группу G = a, b, c | A(a, b, c) = 0, где A матрица:

10. Пусть G = a | 9a = 0 b | 27b = 0. Найти разложение факторгруппы G/(3a + 9b) в прямую сумму примарных циклических слагаемых.

11. Изоморфны ли факторгруппы G/(2b) и G/(a+2b) группы G = 12. Пусть m = exp(G) экспонента группы G (т. е. наименьшее число k такое, что x = 1 для всех элементов x G). Доказать, что если G конечная абелева, то:

а) для любого g G ord(g)|m;

б) m наибольший из порядков элементов G;

в) m равно наименьшему общему кратному порядков элементов группы G.

13. Пусть G конечная абелева группа. Доказать, что равносильны два утверждения:

а) G циклическая;

б) exp(G) = |G|.

14. Доказать, что конечно порожденная абелева группа конечной экспоненты конечна.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ И ПОЛЕЙ

ПОДКОЛЬЦА, ПОДПОЛЯ, ПРИМЕРЫ

В отличие от групп кольца и поля это алгебраические структуры с двумя операциями, называемыми обычно сложением и умножением. Их аксиомы подсказаны свойствами операций над вещественными числами.

Определение 11.1. Кольцом называется непустое множество K с операциями сложения и умножения, обладающими следующими свойствами:

1) относительно сложения K есть абелева группа (называемая аддитивной группой кольца K);

(дистрибутивность умножения относительно сложения).

Выведем некоторые следствия аксиом кольца, не входящие в число следствий аксиом аддитивной абелевой группы.

В самом деле, пусть a0 = b. Тогда откуда b = b b = 0. Аналогично доказывается, что 0a = 0.

2) a(b) = (a)b = ab для любых a, b K.

В самом деле, ab + a(b) = a(b + (b)) = a0 = 0 и аналогично ab + (a)b = 0.

В самом деле, a(b c) + ac = a(b c + c) = ab и аналогично (a b)c = ac bc.

Определение 11.2. Кольцо K называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно, т. е. ab = ba для любых a, b K. Кольцо K называется ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно, т. е. (ab)c = a(bc) для любых a, b, c K. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует нейтральный элемент относительно умножения, обозначаемый обычно через 1, т. е. 1a = a1 = a для любого a K.

Так же, как в случае мультипликативной группы, доказывается, что в кольце не может быть двух различных единиц (но может не быть ни одной).

Замечание 1. Если 1 = 0, то для любого a K имеем a = = a1 = a0 = 0, т. е. кольцо состоит из одного нуля. Таким образом, если кольцо содержит более одного элемента, то 1 = 0.

П р и м е р 1. Числовые множества Z, Q, R, C являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.

П р и м е р 2. Множество 2Z четных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы.

П р и м е р 3. Множество всех функций, определенных на заданном подмножестве числовой прямой, коммутативное ассоциативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения функций.

П р и м е р 4. Множество векторов пространства R3 с операциями сложения и векторного умножения образует некоммутативное и неассоциативное кольцо. Однако в нем выполняются следующие тождества, которые в некотором смысле заменяют коммутативность и ассоциативность:

П р и м е р 5. Множество квадратных матриц Mn (K) над полем K является некоммутативным ассоциативным кольцом с единицей.

П р и м е р 6. Множество классов вычетов Zn по модулю n коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

П р и м е р 7. Множество многочленов K[x1,..., xn ], где K коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, также коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 11.3. Элемент a1 кольца с единицей называется обратным к элементу a, если aa1 = a1 a = 1 (в коммутативном кольце достаточно требовать, чтобы aa1 = 1).

Так же, как в случае группы, доказывается, что элемент ассоциативного кольца с единицей не может иметь двух различных обратных элементов (но может не иметь ни одного). Элемент, имеющий обратный, называется обратимым.

Определение 11.4. Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором всякий ненулевой элемент обратим.

Примерами полей служат поле рациональных чисел Q, поле вещественных чисел R, поле комплексных чисел C. Мы знаем, что если p простое число, то кольцо классов вычетов Zp есть поле. Кольцо Z не является полем: в нем обратимы только ±1.

Если a, b произвольные элементы поля K и b = 0, то в K определен элемент ab1. Для этого элемента часто используют запись Любое поле обладает следующим важным свойством:

В самом деле, если a = 0, то, умножая обе части равенства ab = на a1, получаем b = 0. Существуют и другие кольца, обладающие этим свойством, например, кольцо Z. Они называются кольцами без делителей нуля. В кольце без делителей нуля возможно сокращение:

В самом деле, равенство ac = bc может быть переписано в виде (a b)c = 0, откуда при c = 0 получаем a b = 0, т. е. a = b.

Определение 11.5. Ненулевые элементы a, b кольца K называются делителями нуля, если ab = 0.

Приведем пример коммутативного ассоциативного кольца с делителями нуля.

П р и м е р 8. В кольце функций на подмножестве X числовой прямой (см. пример 3) есть делители нуля, если только X содержит более одной точки. В самом деле, разобьем X на два непустых непересекающихся подмножества X1, X2 и положим при i = 1, Тогда f1 f2 = 0, но f1 = 0, f2 = 0.

Кольца Zn, где n не простое, и Mn (K) также имеют делители нуля.

Отсутствие делителей нуля в поле означает, что произведение любых двух ненулевых элементов также является ненулевым элементом.

Пусть K ассоциативное кольцо с единицей. Обозначим через K множество обратимых элементов кольца K.

Предложение 11.1. Множество K является группой. Она называется мультипликативной группой кольца K.

Доказательство. Достаточно проверить, что операция умножения определена на K. Пусть a, b K. Тогда (ab)1 = b1 a1, откуда В поле K все ненулевые элементы обратимы. Они образуют абелеву группу относительно умножения, которая называется мультипликативной группой поля K и обозначается через K.

одной переменной, то P [x] = P.

Определение 11.6. Подмножество L кольца K называется подкольцом, если 1) L подгруппа аддитивной группы кольца K;

2) L замкнуто относительно умножения, т. е. для любых a, b L элемент ab L.

Очевидно, что всякое подкольцо L кольца K само является кольцом относительно операций кольца K. При этом оно наследует такие свойства, как коммутативность и ассоциативность.

П р и м е р 11. При любом n Z множество nZ является подкольцом кольца Z.

П р и м е р 12. Множество a + b d | a, b Z, где d фиксированное целое число, является подкольцом в C.

Определение 11.7. Подмножество L = {0} поля K называется подполем, если 1) L является подкольцом кольца K;

Говорят также, что K расширение поля L.

Очевидно, что всякое подполе L поля K является полем относительно операций поля K.

П р и м е р 13. Поле Q подполе поля R, поле R подполе поля C.

П р и м е р 14. Множество {a + b d | a, b Q}, где d фиксированное целое число, является подполем в C.

подмножеств. Доказать, что 2X кольцо относительно операций симметрической разности M N = (M \ N ) (N \ M ) и пересечения, взятых в качестве сложения и умножения соответственно. Доказать, что это кольцо коммутативно и ассоциативно.

2. Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо, а какие поле относительно обычных операций сложения и умножения:

а) множество nZ, n > 1;

б) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число n N;

в) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число p;

г) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа p;

д) множество вещественных чисел вида x + y 2, где x, y Q;

е) множество вещественных чисел вида x + y 3 2, где x, y Q;

ж) множество вещественных чисел вида x + y 3 2 + z 3 4, где x, y Q;

з) множество комплексных чисел вида x + yi, где а) x, y Z;

б) x, y Q;

и) множество всевозможных сумм вида a1 z1 + · · · an zn, где ai Q, zi комплексный корень степени n из 1, 1 i n.

3. Какие из указанных множеств матриц образуют кольцо относительно матричного сложения и умножения:

а) множество вещественных симметрических (кососимметрических) матриц порядка n;

б) множество вещественных ортогональных матриц порядка n;

в) множество верхних (нижних) треугольных матриц порядка г) множество матриц порядка n 2, у которых последние две строки нулевые;

д) множество матриц вида, где D фиксированное цеDy x лое число, x, y Z;

4. Какие из множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций:

2) множество функций, имеющих вторую производную на интервале (a, b);

3) множество функций вещественного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве D R;

4) множество тригонометрических многочленов с вещественными коэффициентами, где n произвольное натуральное число.

5. Во множестве многочленов от переменной t с обычным сложением рассматривается операция умножения, заданная правилом Является ли это множество кольцом?

6. Найти все обратимые элементы и все делители нуля в кольцах:

1) верхних треугольных матриц над полем; 2) M2 (R); 3) Z; 4) Z[i].

7. Пусть K = a + b 3 | a, b Z. Доказать, что группа обратимых элементов K бесконечна.

8. Докажите, что матрицы с элементами из Z2 образуют поле относительно обычных операций сложения и умножения матриц.

9. Доказать, что все конечные подмножества множества X образуют подкольцо кольца 2X из упражнения 1 к § 11.

10. Найдите все подкольца колец Z10, Z20 и Z7.

11. Докажите, что пересечение подколец кольца K является подкольцом кольца K.

12. Докажите, что пересечение подполей поля P подполе поля P.

13. Может ли в кольце, не являющемся полем, содержаться некоторое подполе?

14. Найдите в R наименьшее подкольцо с единицей и наименьшее подполе, содержащие число: 1) 2; 2) 3 2.

§ 12. ГОМОМОРФИЗМ, ИЗОМОРФИЗМ,

ЯДРО ГОМОМОРФИЗМА

Определение 12.1. Отображение f кольца A в кольцо B называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операции, т. е. если для любых x, y A. Если гомоморфизм f является биекцией, то он называется изоморфизмом.

Изоморфизм кольца на себя называется автоморфизмом.

Отметим следующие свойства гомоморфизмов и изоморфизмов:

1. Тождественное отображение id : A A является изоморфизмом.

изоморфизм.

изоморфизм.

Доказательство. В самом деле, K подгруппа аддитивной группы кольца A, значит, f (K) подгруппа аддитивной группы кольца B.

Если y1, y2 f (K), то существуют x1, x2 K, такие, что f (x1 ) = y1, f (x2 ) = y2. Тогда Значит, f (K) подкольцо в B.

Во втором случае K1 подгруппа аддитивной группы кольца B, значит, по предложению 5.3 f 1 (K1 ) подгруппа аддитивной группы кольца A. Если x1, x2 f 1 (K1 ), то f (x1 ), f (x2 ) K1 и Значит, f 1 (K1 ) подкольцо в A.

то f (1A ) единица кольца f (A).

Действительно, Отметим, что не всегда f (1A ) будет являться единицей кольца B.

обычными операциями сложения и умножения матриц, B = M2 (R) =. Ясно, что отображение f : A B, f (x) = x, является гомоморфизмом, но f (1A ) = 1A = 1B.

Приведем два примера изоморфизмов колец.

П р и м е р 1. Отображение f : C C, f (z) = z, является изоморфизмом.

верить, что K кольцо относительно обычных операций сложения и умножения матриц. Рассмотрим отображение Тогда f изоморфизм.

Определение 12.2. Если f : A B гомоморфизм, то множество называется ядром гомоморфизма f.

Предложение 12.2. Ker f является подкольцом в A.

Доказательство. Так как f : A B гомоморфизм аддитивных групп колец A и B, то Ker f подгруппа аддитивной группы кольца A.

Если a, b Ker f, то Значит, Ker f подкольцо в A.

1. Доказать, что образ коммутативного кольца при гомоморфизме является коммутативным кольцом.

2. Пусть K поле, c K. Доказать, что отображение : K[x] K, f (x) f (c), гомоморфизм. Найти ядро.

3. Пусть K поле, f K[x] фиксированный многочлен. Доказать, что отображение : K[x] K[x], g(x) g(f (x)), является гомоморфизмом.

4. Найти все гомоморфизмы колец:

Определение 13.1. Подкольцо I кольца K называется левым идеалом, если для любого a K множество aI = {ax | x I} содержится в I.

Подкольцо I кольца K называется правым идеалом, если для любого a K множество Ia = {xa | x I} содержится в I.

Подкольцо I кольца K называется двусторонним идеалом (или просто идеалом), если I одновременно является левым и правым идеалом.

Если K коммутативное кольцо, то понятия левого, правого и двустороннего идеалов совпадают.

Предложение 13.1. Если f : A B гомоморфизм колец, то Ker f идеал в A.

Доказательство. Для любых элементов a A, x I = Ker f имеем откуда ax, xa I. Значит, I двусторонний идеал.

П р и м е р 1. {0} и K идеалы в любом кольце K. Их называют тривиальными идеалами.

Предложение 13.2. Пусть K коммутативное ассоциативное кольцо с 1. Для любых элементов a1,..., an K множество является идеалом в K. Его называют идеалом, порожденным элементами a1,..., an и обозначают (a1,..., an ).

+an yn произвольные элементы из I, z K, то откуда получаем, что I идеал.

Определение 13.2. Идеал, порожденный одним элементом a K, называют главным идеалом, порожденным элементом a, и обозначают (a) (либо aK).

Теорема 13.1 (Критерий поля). Пусть K коммутативное ассоциативное кольцо с 1 и 1 = 0. Если K не содержит нетривиальных идеалов, то K является полем.

Доказательство. Достаточно доказать, что любой ненулевой элемент a K имеет обратный a1. Рассмотрим главный идеал (a). Так как (a) = {0}, то по условию теоремы (a) = K. Значит, 1 (a), т. е.

существует элемент b K, такой, что 1 = ab. Следовательно, a обратим.

Предложение 13.3. Пусть I идеал в K, где K ассоциативное кольцо с 1. Если I содержит обратимый элемент a, то I = K.

Доказательство. Из условия следует, что 1 = aa1 I. Тогда для любого z K имеем 1z = z I, откуда I = K.

Следствие 13.1. Поле K содержит только тривиальные идеалы.

Доказательство. Если I ненулевой идеал в K, то I содержит ненулевой элемент, который обратим по определению поля. По предложению 13.3 I = K.

Пусть K кольцо, I идеал в K. Так как I подгруппа аддитивной группы K, то определена факторгруппа K/I. Элементы этой факторгруппы имеют вид a+I, a K, и называются смежными классами K по I. Определим умножение смежных классов формулой Докажем, что таким образом определенное умножение не зависит от выбора представителей в смежных классах.

Предложение 13.4. Если a + I = a1 + I и b + I = b1 + I, то ab + I = a1 b1 + I.

Доказательство. Из равенства смежных классов a + I = a1 + I и b + I = b1 + I следует по предложению 4.2, что a1 a, b1 b I. Тогда откуда снова по предложению 4.2 ab + I = a1 b1 + I.

Замечание 1. Когда мы рассматривали умножение смежных классов в факторгруппе G/N, то имели не только формально определенное равенство gN · hN = ghN. Фактически множество, состоящее из попарных произведений элементов двух смежных классов gN и hN группы G, совпадало со смежным классом ghN. Иначе обстоит дело в кольцах. В общем случае множество M = {xy | x a + I, y b + I} не совпадает со смежным классом ab+I, а лишь содержится в нем. Например, поэлементное произведение двух смежных классов 2 + 4Z и 2 + 4Z дает множество M = {4 + 8t | t Z}, и ясно, что M 4 + 4Z = 4Z.

K/I с операциями (a + I) + (b + I) = a + b + I, (aI)(bI) = abI является кольцом, которое называют факторкольцом кольца K по идеалу I.

Доказательство. Достаточно проверить дистрибутивность умножения относительно сложения. Для любых a + I, b + I, c + I K/I имеем Теорема доказана.

является сюръективным гомоморфизмом колец, и Ker f = I. Этот гомоморфизм называется каноническим.

Доказательство. Для любых a, b K имеем Сюръективность f очевидна. Кроме того, откуда Ker f = I.

Теорема 13.3 (Основная теорема о гомоморфизмах колец). Пусть f : A B гомоморфизм колец, I = Ker f. Тогда Доказательство. Так как f гомоморфизм аддитивных групп A и B, то по основной теореме о гомоморфизмах групп f (A) и A/I изоморфны как абелевы группы. Соответствующий изоморфизм :

A/I f (A) задается формулой (a + I) = f (a). Остается доказать, что сохраняет умножение. Для любых a + I, b + I A/I имеем ((a + I)(b + I)) = (ab + I) = f (ab) = f (a)f (b) = (a + I)(b + I), что и завершает доказательство теоремы.

идеал в A.

Доказательство. По предложению 12.1 f (I) и f 1 (J) подкольца в f (A) и A соответственно. Если x f (A), y f (I), то x = f (a), y = f (b) для некоторых элементов a A, b I. Тогда поскольку ab I. Значит, f (I) идеал в f (A).

Далее, если x f 1 (J), a A, то f (ax) = f (a)f (x) J, поскольку f (x) J, а J идеал. Значит, ax f 1 (J) и f 1 (J) идеал в A.

1. Доказать, что пересечение идеалов (левых, правых, двусторонних) кольца K является идеалом (соответственно левым, правым, двусторонним).

2. Будут ли следующие множества идеалами указанных ниже колец:

а) Z в кольце Z[x];

б) nZ[x] в кольце Z[x];

в) Z[x] в кольце Q[x];

г) множество In многочленов, не содержащих членов вида axk для всех k < n, где n > 1, в кольце Z[x];

д) множество I многочленов с четными свободными членами в кольце Z[x];

е) множество I многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Z[x].

3. Образуют ли идеал необратимые элементы колец: