Главная >> Методички

Pages: |

| 2 | 3 |

«Серия основана в 2010 году Гуцанович, С. А. Г93 Математика. 5—6 классы : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с белорус. и рус. яз. обучения / С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. — 2-е изд. — Минск : ...»

-- [ Страница 1 ] --

Скачано с сайта www.aversev.by

УДК 372.851.046.14

ББК 74.262.21

Г93

Серия основана в 2010 году

Гуцанович, С. А.

Г93 Математика. 5—6 классы : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с белорус. и рус. яз. обучения /

С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. — 2-е изд. — Минск : Аверсэв,

2012. — 172 с. : ил. — (Факультативные занятия).

ISBN 9789855331262.

Данное пособие входит в состав учебно-методического комплекса и предназначено для организации и проведения факультативных занятий по математике в 5—6 классах.

Адресуется учителям учреждений общего среднего образования.

УДК 372.851.046. ББК 74.262. ISBN 9789855331262 © НМУ «Национальный институт образования», © Оформление. ОДО «Аверсэв», © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by

ОТ АВТОРОВ

Данное методическое пособие призвано помочь учителям в органи зации процесса обучения учащихся 5 х и 6 х классов с использовани ем дидактических материалов факультативных занятий «Тропинками математики» и «Путешествие с математикой», разработанных: Гуцано вичем Сергеем Аркадьевичем — заведующим лабораторией матема тики и естественно научного образования НИО, доктором педагогиче ских наук, доцентом; Костюкович Натальей Владимировной — доцентом кафедры методики преподавания интегрированных школьных курсов БГПУ им. Максима Танка, кандидатом педагогических наук.

Предлагаемые факультативные занятия разработаны с учетом учеб ной программы для учреждений общего среднего образования и ориен тированы на многогранное рассмотрение содержания курса математики 5 х и 6 х классов по всем содержательным линиям программы. Факуль тативные занятия предназначены не только для учащихся, которые про являют интерес и склонность к изучению математики. Занятия могут посещать все учащиеся этих классов с любым уровнем подготовки. При проведении факультативных занятий целесообразно учитывать возрас тные и индивидуальные особенности учащихся и использовать разно уровневые задания с учетом учебной программы по математике для 5 х и 6 х классов. На занятиях желательно также иметь соответствующий наглядный материал, использовать возможности новых информацион ных технологий, технических средств обучения.

Поскольку объем учебной нагрузки в 5 х и 6 х классах не позволяет учителю в урочное время предоставить внепрограммную информацию и значительная часть разнообразного занимательного математическо го материала, способствующего развитию познавательных интересов школьников, остается невостребованной, то устранить данное несоот ветствие могут предлагаемые программы факультативных занятий.

Программа факультативных занятий «Тропинками математики»

и соответствующее пособие для учащихся разработаны для 5 х клас сов и рассчитаны на два полугодия. В рамках факультативных занятий предлагаются путешествия по различным тропинкам. Учащиеся по знакомятся с развитием нумерации и счета, некоторыми интересными приемами устных и письменных вычислений, а также математически ми задачами загадками античных времен и задачами математического содержания на основе народных сказок. В результате геометрических путешествий учащиеся познакомятся с занимательным геометриче ским материалом и простейшими увлекательными задачами. Про © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by грамма факультативных занятий и соответствующие дидактические материалы предполагают проведение математических соревнований.

Программа факультативных занятий «Путешествие с математикой»

и соответствующее пособие для учащихся разработаны для 6 х клас сов и рассчитаны на два полугодия. На факультативных занятиях уча щиеся совершат путешествия в мир десятичных дробей, в область от ношений и пропорций, в страну занимательных процентов, в страну рациональных чисел, в область длин, площадей и объемов, по дорогам денежных систем мер, по времени, в мир масс с единой системой мер, в страну геометрических фигур.

Факультативные занятия для учащихся 5 х и 6 х классов будут способствовать формированию познавательного интереса у учащихся к математике, развитию их логического и аналитического стиля мыш ления, математической интуиции, умения самостоятельно и творчески работать с научной литературой и, что особенно важно, повышению их внутренней мотивации.

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by Программа факультативных занятий

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Повышение качества школьного математического образования за счет более высокого уровня преподавания предмета является одной из актуальных проблем, стоящих перед современной школой, задачей ко торой является формирование интеллектуального потенциала уча щихся, развитие их познавательных интересов и творческой активно сти. Введение новых стандартов для изучения математики на базовом уровне требует решения двуединой задачи: с одной стороны, обеспечи вать овладение учащимися определенным программой объемом зна ний и умений, с другой — создание возможности углубленного изуче ния школьного курса математики. В настоящее время для устранения перегрузки учащихся сокращается объем теоретического материала и благодаря введению факультативных занятий школьный курс углуб ляет свое содержание с учетом возрастных особенностей обучаемых.

Поскольку объем учебной нагрузки в 5 м классе не позволяет учи телю в урочное время предоставить внепрограммную информацию и значительная часть разнообразного занимательного математическо го материала, способствующего развитию познавательных интересов школьников, остается невостребованной, то устранить данное несоот ветствие может предлагаемая программа факультативных занятий.

Программа факультативных занятий «Тропинками математики»

разработана для учащихся 5 х классов и рассчитана на два полугодия.

Она содержит восемь тем, которые могут изучаться от трех до шести часов. Основной теоретический материал факультативных занятий вхо дит в базовый курс математики с учетом действующих стандартов. Он поможет наиболее полно и осмысленно изучать программный материал и не требует специальной подготовки учащихся. В рамках факульта тивных занятий предлагаются путешествия по различным тропинкам с воображаемыми одноклассниками Катей Книжкиной, Васей Задач киным и Петей Вопросовым. Учащиеся познакомятся с развитием ну мерации и счета, некоторыми интересными приемами устных и пись менных вычислений, а также математическими задачами загадками античных времен и задачами математического содержания на основе народных сказок. В результате геометрических путешествий учащиеся © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by познакомятся с занимательным геометрическим материалом и про стейшими увлекательными задачами. Программа факультативных за нятий предполагает проведение математических соревнований.

Основная цель факультативных занятий: сформировать у уча щихся интерес к математике как науке и на основе соответствующих заданий развивать их математические способности и внутреннюю мо тивацию к предмету.

Задачи факультативных занятий:

· ознакомить учащихся с происхождением и развитием арифмети ки, историей происхождения математических знаков, некоторы ми приемами устных и письменных вычислений;

· развить познавательную и творческую активность учащихся на основе упрощенных вариантов античных задач;

· выработать у учащихся первоначальные навыки работы с мате матической литературой и последующим составлением кратких текстов прочитанной информации;

· показать учащимся исторические аспекты возникновения неко торых геометрических величин;

· рассмотреть некоторые методы решения старинных задач.

Рекомендуемые формы и методы проведения занятий. Изложе ние материала может осуществляться с использованием традицион ных словесных и наглядных методов: рассказ, беседа, демонстрация видеоматериалов, наглядного материала, различного оборудования.

При проведении занятий существенное значение имеет проведение дискуссий, выполнение учениками индивидуальных заданий, подго товка сообщений.

Ведущее место при проведении занятий должно быть уделено зада чам, развивающим познавательную активность учащихся. Однако это не исключает теоретического ознакомления учащихся с новым мате риалом при изучении каждой очередной темы. Поэтому подготовку к занятиям целесообразно начинать с рекомендуемой литературы и методических рекомендаций.

Занятия «Тропинками математики» может проводить не только учитель, работающий с данными учащимися. В процессе работы пре подаватель может с учетом математического развития учащихся со кращать или увеличивать время на изучение определенной темы.

Продолжительность проведения предлагаемых восьми занятий мо жет быть неодинаковой, возможно увеличение количества часов на не которые темы за счет сокращения часов на оставшиеся. Каждая тема предусматривает ознакомление с теоретическими сведениями. Для © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by того чтобы их всесторонне и полно понять, предлагаются различные примеры, которые в большинстве случаев включают условие задания, решение и ответ.

Особо понравившиеся факты и сведения из предлагаемой програм мы можно изучить глубже, обратившись к рекомендуемой литературе.

СОДЕРЖАНИЕ

Цифры и числа. Запись цифр у разных народов. Числа великаны.

Натуральные числа. Некоторые виды натуральных чисел и их свойст ва. Построение математиками фигурных чисел. (3 ч) Как возникла арифметика? Происхождение арифметических дей ствий. Из истории возникновения нуля. Почему на нуль делить нель зя? Интересные арифметические упражнения. (3 ч) Тропинкой в удивительный мир вычислений Интересные приемы устных и письменных вычислений. Особенно сти быстрого арифметического счета. Один из старинных способов вычисления на пальцах. Сложение нескольких последовательных чи сел натурального ряда. Вычисления посредством таблиц. Вспомога тельные средства вычислений. Простейшие электронные и счетные приборы, их историческое значение. Веселый счет. (6 ч) арифметических и геометрических игр, Арифметические закономерности. Задания на восстановление чи сел и цифр в арифметических записях. Нахождение арифметических действий в зашифрованных действиях. Волшебные квадраты. Ариф метические фокусы. Арифметические игры и головоломки. (6 ч) Тропинкой в удивительный мир деления Делимость. Различные способы деления. Признаки делимости.

Простые и составные числа. Определение числа по остатку. Совершен ные и дружественные числа. Числа близнецы. (3 ч) © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by Тропинкой с математикой во времени Математические задачи загадки античных времен. Старинные за нимательные истории по математике. Занимательные задачи. Задачи математического содержания на основе народных сказок. Некоторые задачи русских писателей. (4 ч) Геометрические путешествия. Геометрические задачи на вычерчи вание фигур без отрыва карандаша от бумаги. Задачи на разрезание.

Простейшие многогранники (прямоугольный параллелепипед, куб), изготовление моделей простейших многогранников. Простейшие за дачи прикладного характера. Геометрические соревнования. (6 ч) Тропинкой в страну обыкновенных дробей Что мы знаем об обыкновенных дробях? История возникновения обыкновенных дробей. Занимательные истории об обыкновенных дробях. Числа лилипуты. Различные способы вычисления с обыкно венными дробями. Занимательные задания по теме. (4 ч)

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В результате изучения факультативных занятий «Тропинками ма тематики» у учащихся формируется культура счета и математической речи, улучшаются вычислительные навыки и навыки работы с величи нами, они также получают навыки самостоятельной и творческой ра боты с дополнительной математической литературой.

Исторический аспект развития математики позволяет повысить интерес у учащихся к ее изучению, формирует положительное эмо циональное отношение к учебному предмету, способствует развитию их интеллектуальных и творческих способностей.

Факультативные занятия дают возможность в доступной форме раскрыть происхождение многих математических понятий и фактов, расширить математический кругозор учащихся.

Предлагаемые факультативные занятия, отвечая образовательным, воспитательным и развивающим целям обучения, усиливают при кладную направленность преподавания математики, выявление ода ренных и талантливых учащихся.

Скачано с сайта www.aversev.by Таким образом, программа факультативных занятий «Тропинками математики», имея большую информационную насыщенность, дает возможность познакомить учащихся с интересным занимательным математическим материалом, который окажется полезным не только для расширения их знаний по математике, но и для развития познава тельных интересов и творческой активности. Факультативный курс «Тропинками математики» имеет и пропедевтическую направлен ность, его изучение позволит учащимся сформировать представления о своих возможностях в области математики.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Александрова, Э. Б. Стол находок утерянных чисел / Э. Б. Алек сандрова, В. А. Левшин. — М. : Детская литература, 1988. — 63 с.

2. Аменицкий, Н. Н. Забавная арифметика / Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров. — М. : Наука, 1991. — 125 с.

3. Баврин, И. И. Старинные задачи : кн. для учащихся / И. И. Бав рин, Е. А. Фрибус. — М. : Просвещение, 1994. — 128 с.

4. Балк, М. Б. Математика после уроков / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. — М. : Просвещение, 1971. — 464 с.

5. Бендукидзе, А. Бал у принцессы арифметики / А. Бендукидзе // Квант. — 1974. — № 7. — С. 66—68.

6. Беррондо, М. Занимательные задачи / М. Беррондо ; пер. с фр.

Ю. Н. Сударева ; под ред. И. М. Яглома. — М. : Мир, 1983. — 229 с.

7. Болгарский, Б. В. Очерки по истории математики / Б. В. Бол гарский ; под ред. В. Д. Чистякова. — Минск : Вышэйшая школа, 1974. — 288 с.

8. Виленкин, Н. Я. Тайны бесконечности / Н. Я. Виленкин // Квант. — 1970. — № 3. — С. 3—13.

9. Волина, В. В. Мир математики / В. В. Волина. — Ростов н/Д. :

Феникс, 1999. — 508 с.

10. Вырежи и сложи: игры головоломки / сост. З. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая. — Минск : Народная асвета, 1992. — 179 с.

11. Ганчив, И. Математический фольклор / И. Ганчив, К. Чимев, Й. Стоянов. — М. : Знание, 1987. — 205 с.

12. Глейзер, Г. И. История математики в школе. IV—VI кл. : пособие для учителей / Г. И. Глейзер. — М. : Просвещение, 1981. — 239 с.

13. Глейзер, Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл. : посо бие для учителей / Г. И. Глейзер. — М. : Просвещение, 1982. — 240 с.

Скачано с сайта www.aversev.by 14. Гуцанович, С. А. Занимательная математика в базовой школе :

пособие для учителей / С. А. Гуцанович. — Минск : ТетраСистемс, 2004. — 96 с.

15. Депман, И. Я. История арифметики / И. Я. Депман. — М. : Про свещение, 1965. — 415 с.

16. Депман, И. Я. Рассказы о математике / И. Я. Депман. — Л. : Дет гиз, 1957. — 142 с.

17. Депман, И. Я. Рассказы о решении задач / И. Я. Депман. — Л. :

Детская литература, 1957. — 127 с.

18. Депман, И. Я. Совершенные числа / И. Я. Депман // Квант. — 1971. — № 8. — С. 1—6.

19. Дорофеева, А. В. Страницы истории на уроках математики / А. В. Дорофеева. — Львов : Журнал «Квантор», 1991. — 96 с.

20. Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. — М. : Наука, 1978. — 190 с.

21. История математики с древнейших времен до начала XIX столе тия / под ред. А. П. Юшкевича. — Т. 1. — М. : Наука, 1970. — 350 с.

22. Козлова, Е. Г. Сказки и подсказки: Задачи для математического кружка / Е. Г. Козлова. — М. : МИРОС, 1994. — 128 с.

23. Кордемский, Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордем ский. — М. : Физматлит, 1958. — 574 с.

24. Кордемский, Б. А. Удивительный мир чисел / Б. А. Кордемский, А. А. Ахадов. — М. : Просвещение, 1986. — 143 с.

25. Левинова, Л. А. Приключения Кубарика и Томика, или Веселая математика / Л. А. Левинова, Г. В. Сангир. — М. : Педагогика, 1975. — 160 с.

26. Левшин, В. А. Магистр Рассеянных Наук / В. А. Левшин. — М. :

Московский клуб, 1994. — 256 с.

27. Леман, И. 2 2 + шутка / И. Леман. — Минск : Народная асвета, 1985. — 71 с.

28. Леман, И. Увлекательная математика / И. Леман ; пер. с англ.

Ю. А. Данилова. — М. : Знание, 1985. — 270 с.

29. Лоповок, А. М. Математика на досуге / А. М. Лоповок. — М. :

Просвещение, 1981. — 158 с.

30. Мазаник, А. А. Реши сам / А. А. Мазаник. — Минск : Народная асвета, 1980. — 240 с.

31. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Про хоров. — М. : Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.

32. Нагибин, Ф. Ф. Математическая шкатулка / Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин. — М. : Просвещение, 1984. — 160 с.

Скачано с сайта www.aversev.by 33. Олехник, С. Н. Старинные занимательные задачи / С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потаров. — М. : Наука, 1985. — 160 с.

34. Перельман, Я. И. Живая математика / Я. И. Перельман. — М. :

Наука, 1978. — 160 с.

35. Перельман, Я. И. Занимательная арифметика / Я. И. Перель ман. — М. : Физматгиз, 1959. — 190 с.

36. Перли, С. С. Страницы русской истории на уроках математики :

нетрадиц. задачник : 5—6 кл. / С. С. Перли, Б. С. Перли. — М. :

Педагогика Пресс, 1994. — 287 с.

37. Русанов, В. Н. Математический кружок младших школьников :

кн. для учителя / В. Н. Русанов. — М. : Просвещение, 1990. — 77 с.

38. Русанов, В. Н. Математический кружок младших школьников :

кн. для учителя / В. Н. Русанов. — Оса : Ростаин на Каме, 1994. — 144 с.

39. Свечников, А. А. Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе / А. А. Свечников, П. И. Сорокин. — М. : Просвещение, 1977.

40. Час веселой математики: Задачи на сказочные сюжеты, смекал ку, сообразительность / авт. сост. Л. К. Круз. — Мозырь : Белый Ветер, 2001. — 28 с.

41. Чистяков, В. С. Старинные задачи по элементарной математи ке / В. С. Чистяков. — Минск : Вышэйшая школа, 1978. — 270 с.

42. Чопенко, О. П. Про счеты / О. П. Чопенко // Квант. — 1975. — № 5. — С. 72—75.

43. Шустеф, Ф. М. Материал для внеклассной работы по математике :

кн. для учителя / Ф. М. Шустеф. — Минск : Народная асвета, 1984. — 224 с.

44. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Са вин. — М. : Педагогика, 1989. — 352 с.

45. Я познаю мир : дет. энцикл. : математика / авт. сост. А. П. Савин, В. В. Стацко, А. Ю. Котова. — М. : ООО «Изд во АСТ» ; ООО «Изд во Астрель», 2002. — 475 с.

Скачано с сайта www.aversev.by © ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»

Тема 1. ТРОПИНКОЙ В МИР ЧИСЕЛ И ЦИФР Цель: систематизировать знания, умения и навыки, полученные на первой ступени общего среднего образования, ознакомить учащихся с различной записью цифр и чисел у разных народов и некоторыми ви дами натуральных чисел, их свойствами.

На изучение этой темы отводится 3 часа. Основное внимание в ней уделяется натуральным числам и их свойствам. Для проведения заня тий предлагается интересный исторический материал, который учи тель может расширить, используя прилагаемый список литературы.

Способ записи чисел называют нумерацией или системой счисления.

Для ранних периодов истории культуры характерно разнообразие числовых систем, которые постепенно совершенствовались. Употреб ляемая ныне во всех странах десятичная позиционная система нумера ции — итог реального исторического развития. Ей предшествовали:

1. Различные иероглифические непозиционные системы.

В них основу составляют так называемые узловые числа (чаще всего 1, 10, 100, 1000,...). Каждое такое число имеет индивидуальный сим вол — иероглиф. Остальные числа образуются приписыванием к этому узловому числу других узловых чисел и повторением их. Примерами таких систем являются в первую очередь римская, египетская, крит ская, старокитайская, староиндусская и др.

2. Алфавитные системы счисления.

В этих системах буквы алфавита взяты по 9, используются соответ ственно для обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве при этом дается отличительный знак, указывающий, что она используется как число. В случае, если букв алфавита недостаточно, привлекаются дополнительные буквы и знаки.

Алфавитные системы удобнее из за краткости записи, однако они малопригодны для оперирования с большими числами и требуют зна чительных усилий для запоминания. Примерами алфавитной системы являются древнеславянская, еврейская, арабская, грузинская, армян ская и др.

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Позиционные недесятичные, а затем десятичная система.

К позиционным недесятичным системам относятся вавилонская, индейская (племени майя), индийская, современная двоичная. В пози ционной записи значение каждой цифры зависит от того места, кото рое эта цифра занимает. Например, в десятеричной системе в числе 555 пятерка участвует три раза. Но самая правая из них означает пять единиц, вторая справа — пять десятков, а третья — пять сотен. Позици онные системы удобны тем, что позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем — это простота и легкость выпол нения арифметических операций над числами, записанными в этих системах. Первой известной нам позиционной системой счисления яв ляется шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2 тыс. лет до н. э. Вавилоняне записывали все числа при помощи двух знаков: прямого клина $, обозначающего единицу, и ле жачего клина &, означающего 10. Числа до 60 записывались при помо щи повторения этих двух знаков.

Однако эта система не имеет нуля, а один и тот же знак клина мо жет обозначать не только единицу, но любое число вида 60n (n N ).

Различать числа, написанные в такой системе, можно было, лишь ис ходя из условий задачи, так как если число не содержало единиц какого то разряда, то оставлялось пустое место. При письме от руки, особенно на глине, промежутки получались неодинаковой величины, а это, в свою очередь, вело к путанице в расчетах и документах. Позд нее знак разделения, соответствующий нашему нулю, появился. Но вот что любопытно. Введя знак разделения в середине чисел, вавило няне так и не додумались до того, чтобы ставить его на конце. Числа 1, 60, 3600 записывались у них одинаково.

Мнения историков по поводу того, как возникла такая система, рас ходятся. Несмотря на то, что происхождение шестидесятеричной сис темы остается неясным, caм факт ее существования и широкого рас пространения в Вавилоне достаточно хорошо установлен. Эта система в какой то степени сохранилась и до наших дней. Например, в делении часа на минуты, минуты на секунды, в измерении углов. В одном гра дусе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. В целом, однако, эта система, требующая шестидесяти различных цифр, довольно громоздка и не удобна.

В настоящее время почти все народы мира пользуются десятичной (десятеричной) системой счисления. Десятичная нумерация (деся тичная система счисления) — это споcоб счета группами по десять.

Число десять является основанием десятичной системы счисления.

Скачано с сайта www.aversev.by Счет ведется у нас десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню и т. д. Десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разря да — одну единицу третьего разряда и т. д. Десятичная система возник ла в связи со счетом с помощью десяти пальцев рук. В десятичной сис теме названия всех натуральных чисел до 999 миллионов образуются с помощью всего лишь тринадцати слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сто, тысяча, миллион. Слово «де сять» иногда сокращается в «дцать», например вместо «три десять» го ворят «тридцать».

Натуральные числа Наивысшего расцвета учение о натуральных числах достигло в школе знаменитого философа и математика Пифагора Самосского (около 580 — около 500 гг. до н. э.). До нас дошло мало биографических сведений о Пифагоре. Известно, что по политическим мотивам он ос тавил свой родной остров Самос. Предполагают, что он совершил пу тешествие в Египет и Вавилон, где приобщился к тайнам жрецов. Вер нувшись, он поселился в Кротоне — греческом городе на юге Италии — и основал там тайное общество, ставшее одновременно и политиче ской организацией, и философско научной школой. Члены общества вели строгий образ жизни, занимались музыкой и математикой. Тра диции школы Пифагора хранились его учениками и последователями в течение нескольких веков.

Пифагорейцы считали число основой всего существующего. Они создали оригинальную арифметику, где каждое число играло свою роль. Натуральными числами обозначались и боги, и космос, и люди, и их взаимоотношения. Изучению натуральных чисел пифагорейцы уделяли особое почтительное внимание, рассматривали числа, четные и нечетные, простые и составные, фигурные многоугольные и пирами дальные, дружественные и совершенные и т. д.

Фигурные числа В давние времена люди часто считали предметы с помощью камуш ков и заметили, что существуют определенные случаи, когда камушки можно сложить в виде правильной геометрической фигуры, например в виде правильного треугольника или квадрата. Строительное искус ство требовало складывания фигур треугольной, квадратной или мно гоугольной формы из кирпичей или каменных плит. Эти строительные задачи дали начало развитию в Древней Греции учения о фигурных числах. Чтобы вычислить число, изображенное таким образом с помо © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by щью камушков, достаточно умножить их количество вдоль одной сто роны на количество вдоль другой стороны. А так как у квадрата сторо ны равны, то число камушков, расположенных вдоль горизонтальной стороны квадрата, равно числу камушков, лежащих вдоль вертикаль ной черты. Следовательно, чтобы найти искомое число, нужно количе ство камушков вдоль одной стороны умножить на себя или возвести в квадрат. Поэтому полученные числа и стали называть квадратами или квадратными. Так, числа 25, 49, 100 являются квадратными, по скольку их можно получить, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат или умножить на себя. Интересен тот факт, что и сегодня на параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты.

Изобразим с помощью точек квадратные числа, меньшие 20.

Кроме квадратных чисел, известны и треугольные числа. Это такие числа, которые, если их изображать с помощью камушков, можно вы ложить в виде правильного треугольника, т. е. такого треугольника, у которого стороны одинаковы и углы равны.

Приведем примеры треугольных чисел.

Скачано с сайта www.aversev.by С помощью камушков число можно выложить и в виде прямо угольника. Число 12 в виде прямоугольника можно представить раз нообразными способами, например:

12 = 2 6; 12 = 3 4; 12 = 4 3; 12 = 6 2, а число 13 в виде прямоугольника можно представить, лишь расположив все предметы в одну линию, т. е.

число 12 является прямоугольным, а число 13 — не является.

К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше склады вали ядра около пушки.

1. Какие числа называются треугольными? Приведите примеры треугольных чисел.

2. Какие числа называются квадратными? Приведите примеры квадратных чисел.

3. Какие числа называются прямоугольными? Приведите примеры прямоугольных чисел.

4. Существуют ли числа, которые являются квадратными и тре угольными одновременно? Если существуют, то приведите примеры.

1. Укажите все треугольные числа, большие 1 и меньшие 30, и изо бразите их с помощью точек.

Скачано с сайта www.aversev.by 2. Укажите треугольные числа, не большие 50 и не меньшие 10.

3. Укажите все квадратные числа, меньшие 40, и изобразите их с по мощью точек.

4. Укажите квадратные числа: а) большие 10 и меньшие 50; б) не большие 20; в) не меньшие 10 и не большие 50.

5. Придумайте и изобразите с помощью точек 5 прямоугольных чисел.

6. Укажите прямоугольные числа, не меньшие 9 и не большие 20.

К «Дополнительным упражнениям»

Скачано с сайта www.aversev.by 4. а) 16, 25, 36, 49;

в) 16, 25, 36, 49.

5. Возможные варианты:

6. 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Скачано с сайта www.aversev.by К «Упражнениям Васи Задачкина»

1. Наименьшее двузначное число — 10, наибольшее — 99, тогда сумма — 109.

2. Наименьшее двузначное число — 10, наименьшее трехзнач ное — 100, тогда разность — 90.

3. 98 765.

4. 102 345.

9. Возможный вариант: 22 + 2 2 + 2.

10. Возможный вариант: 33 + 3 3 – 3.

11. n + 11.

Тема 2. ТРОПИНКОЙ В СТРАНУ «АРИФМЕТИКА»

Цель: ознакомить учащихся с историей возникновения арифмети ки и показать ее возможности при решении задач.

На изучение этой темы отводится 3 часа. Основное внимание в ней уделяется истории возникновения арифметики, натуральным числам и их свойствам. Для проведения занятий предлагается интересный исторический материал, который познакомит учащихся с историей возникновения нуля и знаков арифметических действий, а также с из вестными математиками древности. Учитель может расширить пред лагаемый исторический материал, используя прилагаемый список ли тературы. Рекомендуются выступления учащихся с докладами и под готовка рефератов по теме.

Аполлоний (260—170 гг. до н. э.) — обучался в Александрийской школе, а затем жил в Пергаме, был современником Архимеда и Эра тосфена. Главный его труд состоял из 8 книг, первые 4 книги сохрани лись в греческом подлиннике, а следующие 3 книги — в арабском пере воде. Восьмая книга, к сожалению, утеряна.

Скачано с сайта www.aversev.by Трудами Архимеда, Эратосфена и Аполлония заканчивается период развития греческой математики, хотя в последующие годы было много крупных ученых, но их вклад не может быть соизмерим с трудами ве ликих ученых «золотого века». Греческая наука замерла в V в. н. э., и в последующие 1000 лет народы Европы не делали существенных ус пехов в математике, и в арифметике в частности.

Римляне не продвинули вперед технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства арифметических действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.

В странах Европы математика сводилась всего лишь к скромной арифметике, которой пользовались главным образом для вычислений.

В это время высшим авторитетом среди математиков был дипломат и философ Боэций (около 480—524 гг.). Он был автором математиче ских произведений, и его авторитет сохранялся в западном мире в те чение более чем тысячи лет. Однако в литературе по истории матема тики отмечается, что они частично содержали теорию чисел пифаго рейцев.

Определенную известность приобрел уроженец Британии Алькуин (735—804 гг.). Им была написана одна из первых занимательных книг по математике «Задачи для изощрения ума юношества». Эта книга пользовалась большим успехом на протяжении почти целого тысяче летия. Из нее взяты многие, пользующиеся известностью и теперь, за нимательные задачи (см. задачи для самостоятельного решения).

Наиболее развитой частью Римской империи как экономически, так и культурно всегда был Восток. В средние века развитие арифме тики было связано с Востоком. От индийцев к нам пришли цифры, а также нуль и позиционная система счисления, которыми мы пользу емся сейчас. Восточная культура оказала влияние на развитие арифме тики в Европе.

В XII—XIII вв. за купцами на Восток, чтобы изучать науку арабов, двинулись толпы студентов. Среди них был Леонардо, вошедший в историю науки под именем Леонардо Пизанского или Фибоначчи (1180—1240 гг.). В 1202 г. он написал «Книгу абака», которую значи тельно переработал в 1228 г. Эта замечательная книга послужила важ нейшим средством распространения новой арифметики и других ма тематических знаний в Европе. Леонардо систематизировал в ней огромное количество сведений, почерпнутых из арабских трудов, гео метрии Евклида, по существу, из всего античного наследия, а также © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by присоединил ко всему этому собственные задачи и методы. «Книга абака» насчитывала 459 страниц. Заглавие труда Леонардо «Книга абака» следует понимать как «Арифметика». Всего в книге 15 глав.

Первые пять из них посвящены арифметике целых чисел на основе но вой нумерации. Чтобы показать читателю ее преимущества, Леонардо приводит таблицу, в которой некоторые числа записаны римскими и тут же индийскими (как считал он) цифрами:

МI — 1001; МММХХХ — 3030; ММХХХI — 2031 и т. д.

Главы VI и VII Леонардо посвятил действиям с дробями, а в главах VIII—X изложены приемы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях, рассмотрены задачи на смешение и другие арифметические задачи.

Пример известной задачи из «Книги абака».

Семь старух направляются в Рим. У каждой из них по 7 мулов, на ка ждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, при ка ждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. Сколько всего предметов?

Решение.

Старух — 7;

хлебов — 343 7 = 2401;

ножей — 2401 7 = 16 807;

ножен — 16 807 7 = 117 649.

Ответ: 117 649.

Вместе с изобретением книгопечатания, в середине XV в. появи лись первые математические книги. Первая печатная книга по ариф метике была издана в Италии в 1478 г.

Происхождение арифметических действий Индийские цифры по своему начертанию несколько отличались от современных цифр, но все же имели с ними некоторое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, которые изображали единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в тече ние многих веков видоизменились. В то время как у греков, евреев, си рийцев и т. д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифро вых знаков, у индийцев число таких знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля.

Скачано с сайта www.aversev.by Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения значи тельно облегчило вычислительные операции над числами.

Проходили многие века, прежде чем вырабатывался символ или математический знак, который был бы удобен. Так, знаки сложения и вычитания в виде p и m в конце XV в. употребляли математики Н. Шюке и Л. Пачолли, а немецкие ученые ввели современные знаки «+» и «–». Они появились впервые в печати в книге «Быстрый и кра сивый счет» Яна Видмана (г. Лейпциг, 1489 г.). В XVII в. и начале XVII в. в употребление вошли знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбели, 1550 г.), круглые (Н. Тарталья, 1556 г.), фигурные (Ф. Виет, 1593 г.). Знак равенства («=») ввел Р. Рекорд (1557 г.). Знак умножения («») впервые ввел в 1631 г. В. Оугред, а знак «» был вве ден Г. Гарриотом также в 1631 г. Знак деления («:») известен благодаря Джонсону с 1633 г. Обозначение деления ввел впервые Г. Лейбниц (1684 г.), хотя чертой дроби пользовался еще таджикский ученый ал Хассар в XII в.

К «Заданиям Васи Задачкина»

2. В числах, которые удовлетворяют условию и первая цифра из ко торых равна 5, вторую и третью цифру можно выбрать девятью спосо бами. Таких чисел 81. Если цифра 5 стоит на втором месте, то первую цифру можно выбрать восемью способами, а третью — девятью; тогда всего таких чисел 72. Таким же образом устанавливаем, что имеется 72 трехзначных числа, удовлетворяющие условию задачи, в которых цифра 5 стоит на третьем месте. Ответ: 225.

3. Если 7 — первая цифра, то на втором месте может стоять любая цифра от 0 до 9, итого 10 чисел. Если 7 — вторая цифра, то на первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9, кроме 7 (это число уже рас смотрено в первом случае), получаем 8 чисел. Итого: 10 + 8 = 18 (чисел).

4. Если цифра 2 стоит на первом месте, то за ней можно записать числа от 00 до 99 (100 чисел). Если цифра 2 стоит на втором месте, то первыми могут быть цифры 1, 3, 4, 5, …, 9 (цифра 2 уже учтена), послед ней — любая цифра (их 10). Получаем 8 10 = 80 (чисел). Если цифра стоит на третьем месте, то на первом месте могут стоять цифры 1, 3, 4, 5, …, 9 (8 цифр), на втором — 0, 1, 3, 4, 5, …, 9 (9 цифр), всего 8 9 = (набора).

Общее количество: 100 + 80 + 72 = 252 (числа).

Скачано с сайта www.aversev.by 5. а) Если цифра 5 стоит на первом месте, то на втором месте мо жет стоять любая цифра, получаем 10 чисел. Если цифра 5 стоит на втором месте, то на первом месте могут быть все цифры, кроме 0 и (цифра 5 уже учтена в первом случае), всего 8 чисел. Вместе: 10 + 8 = (чисел).

б) Если на первом месте 1, то на втором могут стоять 2, 3, …, (8 цифр); если 2, то 3, 4, …, 9 (7 цифр); …, если 8, то 9 (1 цифра).

в) Если на первом месте стоит 1, то на втором возможен толь ко 0 (1 цифра); если 2, то на втором только 0, 1 (2 цифры); …, если 9, то на втором только 0, 1, …, 8 (9 цифр).

6. Всего из данных цифр можно составить 24 четырехзначных чис ла с различными цифрами, половина которых (числа вида 24сd; 42cd;

c24d; c42d; cd24; dc42) не подходит по условию задачи.

7. а) К таким числам относятся числа вида aaa, а = 1, …, 9 и число 1000; всего 10 чисел.

б) Рассмотрим числа от 012 до 789. Средняя цифра в них мо жет изменяться от 1 до 8. Варианты:

Левая цифра Средняя цифра Правая цифра Количество чисел в) В каждой сотне имеется 11 чисел, которые делятся на 9, но сумму цифр, равную 9, имеют в первой сотне лишь 10, так как одно из них — 9 не рассматривается в данной задаче, во второй — 9, в третьей — 8 и т. д. Наконец, в десятой сотне — одно число 900.

8. Если повторяющаяся три раза цифра есть нуль, то, добавляя впе реди одну из 9 других цифр, получим 9 чисел. Если в числе повторяет ся цифра а 0, то чисел с разными b, b а будет 9 4 9 = 324 (9 повто ряющихся цифр, 4 места для размещения неповторяющейся цифры, 9 цифр для выбора этой неповторяющейся цифры). Итого 333.

Скачано с сайта www.aversev.by 9. Для одной нечетной цифры единиц (например, для цифры 3) существует ровно 5 соответствующих чисел: 13, 33, 53, 73, 93. Вместо цифры 3 могут стоять 1, 5, 7, 9, поэтому таких чисел 25.

10. Так как среди чисел от 1 до 81 по крайне мере одно число окан чивается нулем, то и произведение чисел оканчивается цифрой 0.

11. По одному нулю дают числа 10 и 20; один нуль дает число при умножении на какое нибудь четное число; два нуля дает число при умножении на число, кратное 4. Итого 5 нулей.

12. Множители 5, 10, 15, 20, 25,..., 100 будут давать 0 на конце (4 5 = = 20, 9 10 = 90 и т. д.). Всего 20 нулей. Кроме этого, 25, 50, 75, 100 дадут еще по одному нулю, так как содержат каждое по два множителя 5 (на пример, 75 = 3 5 5). Итого 24 нуля.

13. Приведем два решения: 1 е — с заданным условием, 2 е — когда вычеркиваются цифры, стоящие на четных местах.

1 е решение.

1 й шаг — остается 50 четных цифр:

2 й шаг — остаются цифры 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0.

3 й шаг — остаются цифры 8, 6, 4, 2, 0, 8, 6, 4, 2, 0, 8, 6.

4 й шаг — остаются цифры 6, 2, 8, 4, 0, 6.

5 й шаг — остаются цифры 2, 4, 6.

6 й шаг — остается цифра 4.

Ответ: 4.

2 е решение.

1 й шаг — остаются цифры 14. 818 + 88 = 906.

Скачано с сайта www.aversev.by 15. Наибольшее из однозначных чисел — 9, тогда число десятков — 7, а число единиц — 2.

16. Пусть большее число — ab, a или b — меньшее. По условию 10a + + b + a = 51 или 10a + b + b = 51. В первом случае 11a + b = 51; b = 51 а. Так как b — цифра, то а = 4, тогда b = 7, ab = 47.

Во втором случае 10a + 2b = 51, что невозможно, так как слева — четное число, справа — нечетное.

Ответ: 47.

17. Примем разность за одну часть, тогда сумма составит три части, большее число — 2 части, меньшее — 1 часть. Итак, меньшее число втрое меньше суммы, а сумма, по условию, вдвое меньше произведения, значит, меньшее число в 6 раз меньше произведения, т. е. второй со множитель равен шести (2 части), откуда первое число (1 часть) равно 3.

Ответ: 3 и 6.

18. Страниц с однозначными номерами 9: 1, 2, …, 9.

Страниц с двузначными номерами 99 - 9 = 90, используется 180 цифр. На трехзначные номера остается 1164 - 189 = 975 (цифр);

страниц — 975 : 3 = 325.

Страниц в книге: 99 + 325 = 424.

19. 9 цифр — для однозначных номеров, 180 цифр — для двузначных.

Для трехзначных номеров — (296 – 99) 3 = 591.

Вместе: 9 + 180 + 591 = 780.

Нулей. 29 — в конце каждого десятка; 10 — на втором месте в числах 100, 101, …, 109; 10 — на втором месте в числах 200, 201, …, 209; всего:

29 + 10 + 10 = 49.

Единиц. В числах вида 10k + 1 на последнем месте 30 единиц; в чис лах 10, 11, …, 19 на первом месте 10 единиц, по столько же единиц на втором месте в числах 110, 111, …, 119 и 210, 211, …, 219. Наконец, 100 единиц на первом месте в числах 100, 101, …, 199. Всего: 30 + 10 + + 10 + 10 + 100 = 160.

Двоек. На последнем месте — 30, по 10 — на первом месте в двузнач ных числах и на втором месте в трехзначных числах, 97 — на первом месте в числах 200, 201, …, 296. Всего: 30 + 10 + 10 + 10 + 97 = 157.

Троек: 60; четверок: 60; пятерок: 60; шестерок: 60; семерок: 59; вось мерок: 59; девяток: 56.

20. Например: 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

Скачано с сайта www.aversev.by 23. Например:

24. Например:

25. 14 211.

Тема 3. ТРОПИНКОЙ В УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР

ВЫЧИСЛЕНИЙ

Цель: научить учащихся интересным приемам устных и письмен ных вычислений, познакомить их с особенностями быстрого арифмети ческого счета и одним из старинных способов вычисления на пальцах.

На изучение этой темы отводится 6 часов. Основное внимание в ней необходимо уделить решению задач на сложение нескольких по следовательных чисел натурального ряда, а также вспомогательным средствам вычислений и вычислениям посредством таблиц. Учащихся надо познакомить с интересными приемами счета и выполнения дей ствий, с простейшими электронными и счетными приборами и их ис торическим значением (этот материал можно предложить ребятам подготовить самостоятельно с указанием необходимой литературы).

На занятиях рекомендуется провести соревнование «Веселый счет»

с использованием заданий из дидактических материалов.

Вычисления посредством таблиц Продавцы, которые торгуют небольшим количеством товаров, для каждого товара имеют специальную табличку примерно следующего содержания:

500 г — 1150 ден. ед.;

Скачано с сайта www.aversev.by Здесь, в правой колонке, записаны результаты умножения числа 230 соответственно на числа 1, 2, 3, …, 9. Продавцу не нужно каждый раз вычислять стоимость товара, достаточно лишь заглянуть в таблицу.

Такой же таблицей можно пользоваться, если нужно умножить большое количество чисел на одно и то же число. Рассмотрим следую щий пример: умножим число 246 на числа 4, 17, 24, 257.

Составим таблицу:

Результат умножения 246 на 4 берем непосредственно из таблицы, это число 984.

Чтобы умножить 246 на 17, сначала запишем результат умножения 246 на 7, а затем, со смещением на один разряд влево (это будет озна чать, что записывается число десятков), результат умножения 246 на 1.

Полученные результаты сложим. Получим:

Процесс умножения 246 на 24 приведем без пояснений:

Умножение с помощью таблиц отличается от обычного умножения столбиком только тем, что промежуточные результаты вычисляются не вручную, а берутся из таблицы.

Чтобы умножить 246 на 257, нужно записать три промежуточных результата: 246 7, 246 5, 246 2, сместив второй и третий результаты влево соответственно на одну и две позиции, и результаты сложить:

Скачано с сайта www.aversev.by Один из старинных способов вычисления на пальцах Учащимся достаточно рассказать о вычислениях с помощью паль цев и показать несколько примеров на вычисление. Так, умножение на пальцах можно было выполнять до 15 на 15.

Пусть требуется найти произведение 12 14. Загибаем на руках ко личество пальцев, равное избытку каждого из множителей над числом 10, т. е. на одной руке — 2 пальца и на другой — 4. Далее находим их сумму (2 + 4 = 6), что даст число десятков. К последнему прибавляем произведение тех же чисел (2 4 = 8). Ко всему результату прибавляем 100, получим Можно познакомить учащихся с интересным приемом устных вы числений — умножением чисел на 11.

Если умножаем двузначное число на 11, то просто раздвигаем циф ры этого числа и между ними вставляем число, равное сумме цифр данного числа.

Если сумма цифр больше девяти, то число, стоящее в разряде сотен, увеличивается на 1.

Например, 35 11 = 385; 48 11 = 628.

Если умножаем на 11 трехзначное, четырехзначное и т. д. числа, то нужно записать последнюю цифру числа, затем последовательно спра ва налево записывать суммы соседних двух цифр множимого и, нако нец, первую цифру множимого.

Например, 23 11 = 253; 76 11 = 736; 312 11 = 3432.

Тема 4. ТРОПИНКОЙ В УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР

АРИФМЕТИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИГР,

ГОЛОВОЛОМОК И ФОКУСОВ

Цель: сформировать у учащихся внутреннюю мотивацию к изуче нию математики, развивать их математические способности, а также познавательную и творческую активность.

На изучение этой темы отводится 6 часов. Основное внимание в ней уделяется заданиям на восстановление чисел и цифр в арифме тических записях, нахождению арифметических действий в зашифро ванных действиях, волшебным квадратам. Интересны будут учащимся предлагаемые в дидактических материалах арифметические фокусы, арифметические игры и головоломки.

Скачано с сайта www.aversev.by Арифметические фокусы. Арифметические игры и головоломки. Арифметические курьезы Игра с выкладыванием домино на прямоугольную доску Эта игра не может закончиться вничью, если оба участника играют рационально. Победителем оказывается участник, который делает первым свой ход, если он придерживается следующей стратегии: рас полагает первую кость домино точно в центр доски, а все последующие кости укладывает симметрично тем, которые выкладывает противник.

Таким образом, если на доске противником будет найдено свободное место, то свободным будет и симметричное ему место. Эта стратегия применима и в том случае, когда вместо костей домино используются любые другие центрально симметричные плоские фигуры.

Игра с выкладыванием монет по кругу В этой игре всегда может победить участник, который делает ход вторым, если он будет придерживаться следующей стратегии: если по сле хода первого игрока полученная изогнутая «цепь» с двумя концами содержит нечетное количество монет, то второму участнику необходи мо взять одну монету, которая равноудалена от концов «цепи» монет;

если число монет будет четным, то ему необходимо брать две монеты, которые находятся в середине «цепи». В обоих случаях образуются две «цепи» с одинаковым количеством монет, поэтому, какие бы монеты те перь ни брал противник из одной «цепи», второй игрок должен брать из другой «цепи» монеты, которые лежат на тех же местах.

Стратегии, которые используются в этих двух играх, называются пар ными стратегиями, потому что игра разбивается на парные ходы, и если один участник сделал какой нибудь ход, то ход противника (не обяза тельно симметричный) должен принадлежать к той же паре ходов.

Следующая игра также является примером игры с парной стратегией.

Игра «Ним»

В обоих вариантах добиться победы может первый игрок, если пер вым ходом он возьмет две фишки первого ряда и после его хода будут оставаться два ряда с одинаковым количеством фишек. Выиграть мож но и в том случае, когда в соответствующих рядах будут 1, 2, 3 фишки.

Игра «Так тикль»

Математики выяснили, что в этой игре можно выиграть только в том случае, если противник сделает ошибку.

Скачано с сайта www.aversev.by В приложении к дидактическим материалам для учащихся дается поле 1 для проведения игры. Можно организовать соревнование меж ду победителями каждой пары игроков.

Игра «Мельница»

В приложении к дидактическим материалам для учащихся дается поле 2 для проведения игры парами. Можно организовать соревнова ние между победителями каждой пары игроков. В каждую из предло женных игр учащиеся могут играть не только на факультативных за нятиях, но и дома с родителями.

Фокус «Угадать задуманное число»

Разгадка фокуса: когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив после довательно на 7, 11, 13, разделили его на 1001, т. е. получили задуман ное трехзначное число.

Фокус, связанный со свойствами числа Если приписать справа от задуманного числа это же число, то тем самым мы умножаем задуманное число на 1001. Но 1001 = 7 11 13, поэтому в итоге получаем задуманное число.

Дополнительные, более сложные задания 1. Задумайте однозначное число, удвойте его, прибавьте 1, умножь те на 5, вычтите 2, прибавьте 301, зачеркните среднюю цифру, к остатку прибавьте 3. Получилось 37. Запишем последовательно выполненные операции. Пусть задумали число х. Тогда получаем: х; 2х; 2х + 1; (2х + + 301 = 10х + 3 + 301 = 10х + 304 = 3х4. Если зачеркнуть среднюю цифру, получим 34. Прибавим 3, получим 37.

Задания можно усложнять.

2. Попросите своего товарища написать любое двузначное число, но пусть затем он поменяет местами в этом числе цифры и вычтет из большего числа меньшее. Если он скажет вам последнюю цифру раз ности, то вы сразу скажете, какова вся разность. Как это сделать?

Объяснение.

Двузначное число представимо в виде 10а + b. 10а + b – (10b + a) = = 9 (a – b), т. е. делится на 9.

Скачано с сайта www.aversev.by Если эта разность равна 10k + l = 9k + k + l = 9k + (k + l), то видно, что Итак, первую цифру разности можно найти, вычтя из 9 названную вам цифру.

Покажем на конкретных примерах.

Пусть задумано число 43, тогда 43 – 34 = 9. Вам сообщают цифру 9.

Вы находите 9 – 9 = 0. Итак, разность 9. Пусть теперь задумано число 72.

72 – 27 = 45. Вам сообщают цифру 5, вы из 9 вычитаете 5, получаете 4.

Итак, разность 45.

3. В своей книге «Арифметика» Л. Ф. Магницкий привел следую щий способ отгадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведе нию прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе. Если ты из ука занного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

Почему так получается?

Объяснение.

10а + b — задуманное число, тогда © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by К упражнениям из темы «Арифметические закономерности»

2. а) 33 (увеличение идет на 2, 4, 8, 16, …);

б) 13 (последовательность Фибоначчи: a1 = 1, а2 = 1, аn = аn – 2 + + аn – 1, n = 3, 4, …);

в) 48 (увеличение идет на 3, 5, 7, 9, 11, …);

г) 216 (кубы чисел).

3. а) 13 (последовательность Фибоначчи);

б) 157 (число увеличивается на 10, 20, 40, 80, 160, …, 2n 10).

К «Упражнениям Васи Задачкина»

Скачано с сайта www.aversev.by (Так как при умножении 8* на цифры второго числа получаются двузначные числа, то второй сомножитель — 111; тогда исходное чис ло — 88.) Ответ: 15 37 = 555; 21 37 = 777.

Нахождение арифметических действий в зашифрованных действиях 3. Возможный вариант: 123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100.

10. 999 + 999 - 9.

Скачано с сайта www.aversev.by 11. Подбираем последнюю цифру, начиная с 1 (0 не подходит, так как 0 не больше 0).

Ответ: 35.

12. 512 820.

13. Последняя цифра 0.

14. Надо приписать цифру 4.

Волшебные или магические квадраты 1. Сумма всех чисел равна 1 + 2 + … + 9 = 45. Тогда на каждую вертикаль и на каждую горизонталь приходится сумма 45 : 3 = 15. Далее заполнение производится авто матически.

2. С учетом предыдущей задачи получаем 2 + 3 + … + 10 = = 54; 54 : 3 = 18. В центре размещаем число 18 : 3 = 6.

Сумма по строкам, столбцам, диагоналям равна 18.

3. S = 9 = 81 (учащиеся могут просто подсчи тать сумму 5 + 6 +... + 13); S1 = 81 : 3 = 27, отсюда а13 = 10.

Далее можно заметить, что если в задаче 1 таблицу отразить сим метрично по вертикали, то по диагонали тоже получаются числа, воз растающие на 1. Следовательно, остальные числа искомой таблицы можно получить, добавив к соответствующим числам перевернутой таблицы по 4.

S1 = = 123. В центре: 123 : 3 = 41.

Скачано с сайта www.aversev.by в) Сначала дополняем недостающими числами вторую строку и второй столбец.

Далее на побочной диагонали:

27 = 16 + 11 — нельзя (16 уже есть);

27 = 14 + 13 — нельзя (13 уже есть).

Берем а41 = 12; а14 = 15 (ориентируясь на другие числа по вертикали и горизонтали). Получаем:

Рассмотрим первый столбец: 9 + 12 = 21; 34 – 21 = 13;

13 = 12 + 1 (числа уже есть);

13 = 11 + 2 (числа уже есть);

13 = 10 + 3 (числа уже есть);

13 = 9 + 4 (числа уже есть);

13 = 8 + 5 (числа уже есть);

Так как 3 + 15 > 2 + 14, берем а11 = 6; а31 = 7.

Скачано с сайта www.aversev.by Окончательно получаем:

6. Наибольшая из сумм: 13 + 6 = 19; 34 – 19 = 15.

15 = 14 + 1 – (число 1 уже есть);

15 = 13 + 2 – (число 13 уже есть);

15 = 12 + 3 + (вариант возможен);

15 = 11 + 4 – (число 11 уже есть);

15 = 10 + 5 – (число 5 уже есть);

15 = 9 + 6 – (числа 6 и 9 уже есть);

15 = 8 + 7 + (вариант возможен).

Рассмотрим сумму: 12 + 3.

Возьмем a11 = 3, a 44 = 12. (Если впоследствии окажется, что такой вариант неприемлем, возьмем a11 = 12, a 44 = 3.) Тогда a 24 = 8, a 21 = 2.

Рассмотрим первый столбец: 3 + 2 = 5; 34 – 5 = 29;

29 = 16 + 13, 29 = 15 + 14 — оба варианта невозможны.

а41 = 15 нельзя брать, так как тогда а43 = 34 – 15 – 12 – 1 = 6, а такое число уже есть. Итак, а31 = 15, а41 = 14. Далее таблица заполняется авто матически.

Скачано с сайта www.aversev.by Легко убедиться, что в качестве недостающих чисел основной диа гонали числа 8 и 7 не подходят.

Варианты заполнения квадратов судоку.

Скачано с сайта www.aversev.by К «Упражнениям Васи Задачкина»

1. 415 382 = 158 530.

2. 452 125.

3. 27 32.

4. 66 111.

5. 324 57.

6. 358 48.

7. 452 125.

8. 6547 3208.

9. 74 23.

10. 528 217.

Скачано с сайта www.aversev.by 11. Так как на конце результата цифра 0, то первый множитель окан чивается цифрой 5 или 0. По цифре 7 и множителю 2 определяем, что первый множитель начинается с 3. По второму неполному произведе нию определяем, что вторая цифра второго множителя 1.

В итоге получаем 385 412.

12. В первом неполном произведении последняя цифра 8, во вто ром — 5. Это возможно, только если последняя цифра первого множи теля 1, а второй множитель оканчивается на 58. Получим Так как второе неполное произведение трехзначное, то первая цифра первого множителя 1. Далее в первом неполном произведении при умножении первого множителя на 8 в начале получится 10. Зна чит, при умножении второй цифры в уме осталось 2. Это возможно, только если вторая цифра первого множителя 3. В третьем неполном произведении получилось больше, чем в первом. Значит, первая циф ра второго множителя больше последней. Следовательно, она равна 9.

Итак, в условии 131 958.

Тема 5. ТРОПИНКОЙ В УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР ДЕЛЕНИЯ

Цель: рассмотреть задачи на делимость, различные способы деле ния, признаки делимости, систематизировать знания, полученные по данной теме.

На изучение этой темы отводится 3 часа. Основное внимание в ней уделяется делимости, простым и составным числам, использованию НОД (а; b) и НОК (а; b) при решении задач. Для проведения занятий предлагается занимательный исторический материал, который учи тель, по желанию, может расширить, используя прилагаемый список литературы, а также интересные задания к «Веселым арифметическим соревнованиям».

Скачано с сайта www.aversev.by «Решето» Эратосфена для первой сотни натуральных чисел Алгоритм Евклида для нахождения НОД Древнегреческий ученый Евклид находил НОД своим способом, суть которого состоит в следующем: большее из двух чисел заменяется разностью большего и меньшего чисел, пока они не станут равны. По следнее число и является НОД.

Найдем методом Евклида НОД чисел 120 и 96:

24 24 Так как числа равны, то результат равен 24.

Для решения некоторых задач полезна следующая формула:

Скачано с сайта www.aversev.by Совершенные числа Рассмотрим натуральное число 6. Оно нацело делится только на 1, на 2, на 3 и на себя. Найдем сумму делителей этого числа, отличных от самого числа 6: 1 + 2 + 3 = 6.

Пифагорейцы называли совершенными те числа, которые были равны сумме всех своих собственных делителей, т. е. тех делителей, ко торые отличаются от самого числа. Примерами совершенных чисел Совершенные числа весьма почитались в древнем мире.

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали мате матики Древней Греции, было число 6. Этому числу придавалось боль шое значение. Так, в библейских преданиях утверждается, что мир был создан за шесть дней, на шестом месте на званом пиру сидел самый уважаемый, самый знаменитый и самый почетный гость.

Следующим совершенным числом, известным еще в древности, было число 28. Этому числу также придавалось большое значение, на пример египетская мера длины локоть содержала 28 «пальцев». В Ри ме в 1917 г. при подземных работах открыли оригинальное сооруже ние: вокруг большого центрального зала располагалось 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было 28 членов.

В настоящее время столько же членов, по традиции, во многих науч ных обществах.

Долгое время были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько вообще таких чисел может быть. Впоследствии Евклид обнаружил еще два таких числа, это 496 и 8128, и вывел формулу для совершен ных чисел.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершен ных числа. Следующее, пятое совершенное число было обнаружено лишь в XV в. Оказалось, что оно равно 33 550 336.

Спустя сто лет итальянский профессор математики во Флоренции и Болонье Катальди указал значения шестого и седьмого совершенных чисел: 8 589 869 056 (шестое число), 137 438 691 328 (седьмое число).

Спустя еще сто лет французский математик и музыкант Марин Мер сенн, независимо от Катальди, также смог назвать эти же совершенные числа. Затем с помощью формулы Евклида было найдено восьмое со вершенное число, которое равно 2 305 843 008 139 952 128.

С изобретением электронных счетных машин было открыто еще несколько совершенных чисел. На сегодняшний день известно более 20 совершенных чисел и их поиски продолжаются.

Скачано с сайта www.aversev.by Дружественные числа Рассмотрим пару чисел 220 и 284. Если сложить все собственные делители каждого из этих чисел, то заметим, что сумма собственных делителей числа 220 (220 = 2 2 5 11) равна В свою очередь, для числа 284 (284 = 2 2 71) соответствующая сумма равна 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Эта связь между числами дала возможность древним математикам объявить данную пару чисел сим волом дружбы. С тех пор два числа, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого числа, называются дружественными.

Благодаря применению ЭВМ найдено около 1100 таких пар. Вот пер вые 12 пар дружественных чисел:

До сих пор неизвестно, сколько пар дружественных чисел сущест вует.

В теории простых чисел существуют числа близнецы, так называ ют пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Например, парами чисел близнецов являются числа 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, и 31. Если n — натуральное простое число, то n + 2 или n – 2 может с числом n образовывать пару чисел близнецов. Первые две пары 3 и и 5 и 7 — хороший пример, если n = 5. Чем дальше продвигаться вперед по натуральному ряду чисел, тем реже встречаются простые числа во обще, а близнецы — и совсем редко.

Кроме близнецов, в последовательности простых чисел существует аналогичная тройка (3, 5, 7). Оказывается, она единственная. Кстати, в любой тройке (n – 2, n, n + 2), где n – 2 > 3, одно из чисел обязательно делится на три.

Две пары близнецов, исключая пары (3, 5) и (5, 7), могут находить ся друг от друга самое меньшее на «расстоянии», равном 4. Это, напри мер, пары (5, 7), и (11, 13), и (17, 19). Они определяют четверку (n – 4, n – 2, n + 2, n + 4) простых чисел. Таких четверок на достаточно боль шом отрезке числового ряда не так уж мало. Например, среди первых 10 миллионов натуральных чисел их насчитывается 899. Одной из © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by них является четверка (2 863 308 731, 2 863 308 733, 2 863 308 737, 2 863 308 739).

И если мы не знаем, бесконечно ли множество чисел близнецов, то тем более неизвестно, бесконечно ли множество четверок простых чи сел указанного вида.

1. Какие числа называются совершенными? Приведите примеры таких чисел.

2. Сколько совершенных чисел в первой сотне натурального ряда?

Задачи на определение числа по остатку 1. Женщина принесла яблоки для продажи, число их меньше 500.

Когда она их разложила по парам, 1 яблоко осталось. Когда разложила яблоки по 3, то опять осталось 1. Женщина раскладывала яблоки по 4, 5, 6, но каждый раз оставалось 1 яблоко. Но когда она разложила ябло ки по 7, то остатка не было. Сколько было яблок?

2. Я задумал трехзначное число. Если к нему прибавить 6, то оно разделится на 7, если к задуманному числу прибавить 7, то оно разде лится на 8, если прибавить к задуманному числу 8, то оно разделится на 9. Какое число я задумал?

3. Какое наименьшее число при делении на 2, 3, 4, 5, 6 дает соответ ствующие остатки 1, 2, 3, 4, 5, а на 7 делится без остатка?

4. Трехзначное число при делении на 13 дает остаток 11, при деле нии на 11 дает остаток 9, при делении на 7 — остаток 5. Найдите его.

5. Выберите наибольшее из тех четырехзначных чисел, которые при делении на любое однозначное число, кроме 1, дают в остатке 1?

6. Числа 4373 и 826 разделили на одно и то же число, и получилось соответственно в остатке 8 и 7. На какое число делили?

7. Брат и сестра выбрали маме подарок, но, чтобы купить его, брату не хватило 20 ден. ед., а сестре 14 ден. ед. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 ден. ед.

Сколько стоил подарок?

8. Какое наименьшее натуральное число, делящееся на 7, при деле нии на 2, 3, 4, 5, 6 дает в остатке 1?

9. Определите наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 дает в остатке 1.

Скачано с сайта www.aversev.by Задачи на нахождение остатков 1. Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получа ется то же число, что и в остатке.

2. При делении на 2 число дает в остатке 1, а при делении на 3 оста ток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?

3. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 ден. ед., а на 15 тетрадей у него не хватило 7 ден. ед. Сколько денег было у школьника?

4. Два ученика решили купить по одинаковой книге. Одному из них не хватило на покупку книги 1 ден. ед., а другому — 42 ден. ед. Когда они сложили свои деньги, им все равно не хватило денег для покупки даже одной книги. Сколько стоила книга?

5. Найдите сумму остатков от деления числа 1 872 368 154 на 2, 4, 5, 9, 10.

6. При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинако вые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе — без ос татка. Найдите это число.

7. Известна пословица «Семь раз отмерь — один раз отрежь».

Сколько раз отрезали, если сто раз отмеряли?

Задача из учебника Л. Ф. Магницкого «Арифметика»

Пришел христианин в торг и принес лукошко яиц. И торговцы его спрашивали: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» И христианин молвил им так: «Яз, господне, всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только яз помню: перекладывал яз те яйца из лу кошка по два яйца, ино одно яйцо лишне осталось на земли; и яз клал в лукошко по три яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 4 яйца, ино одно яйцо осталось; и яз клал по 7 яиц, ино все по сему пришло.

Ино сколько в том лукошке яиц было, сочти ми?»

Веселые математические соревнования В соревнованиях могут участвовать два человека или две команды, или каждый ученик может сам себе устроить «соревнование». Все за дания представлены в двух вариантах. За каждое задание начисляется определенное количество очков.

Вариант 1. Найдите сумму остатков от деления числа 623 756 431 287 на 2, 3, 4, 5, 9 (2 балла).

2. Найдите, какое частное и остаток получится при делении числа © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by 3. Дано число 99 – 97 + 95 – 93 + 91– 89 + … + 7 – 5 + 3 – 1. Найдите частное и остаток от деления этого числа на 3 (3 балла).

4. Какое натуральное число в 7 раз больше цифры его единиц (2 балла)?

5. Когда произведение двух чисел равно их частному (1 балл)?

6. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, если наи меньшее общее кратное этих чисел равно их произведению (2 балла)?

7. Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно приба вить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трех значное (2 балла)?

8. К данному трехзначному числу дважды приписали точно такое же число и полученное число разделили на данное число. Какое полу чилось частное (3 балла)?

9. Найдите сумму всех четных чисел, которые делятся на 7 и мень ше 100 (2 балла).

10. Составьте пример, используя пять раз цифру 3 и знаки арифме тических действий (+, –, :, ), ответом которого является число (2 балла).

Вариант 1. Найдите сумму остатков от деления числа 326 746 531 287 на 2, 3, 4, 5, 9 (2 балла).

2. Найдите, какое частное и остаток получится при делении числа частное и остаток от деления этого числа на 3 (3 балла).

4. Какое натуральное число в 9 раз больше цифры его единиц (2 балла)?

5. Когда делимое и частное равны между собой (1 балл)?

6. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, если наи больший общий делитель этих чисел равен 1 (2 балла)?

7. Сколько раз к наибольшему двузначному числу нужно приба вить наибольшее однозначное число, чтобы получить наибольшее трехзначное (2 балла)?

8. К данному двузначному числу дважды приписали точно такое же число и полученное число разделили на данное число. Какое получи лось частное (3 балла)?

9. Найдите сумму всех четных чисел, которые делятся на 11 и мень ше 100 (2 балла).

10. Составьте пример, используя пять раз цифру 5 и знаки арифме тических действий (+, –, :, ), ответом которого является число (2 балла).

Скачано с сайта www.aversev.by К «Упражнениям Васи Задачкина»

1. Пусть искомое число аааа, тогда его можно представить в виде произведения а 1111, но 1111 = 11 101. Следовательно, искомое чис ло будет состоять только из двух простых делителей при а = 1.

Ответ: 1111.

2. Частное увеличится в 20 раз.

3. Частное увеличится в 2 раза.

4. Частное увеличится на 1, остаток останется прежним. Пусть а = = b m + r, где а — делимое, b — делитель, m — частное, r — остаток, частное, r — остаток.

бое; если a : b = b, то а = b2, т. е. числитель является квадратом знаме нателя.

б) a : a = a, следовательно, а = 1.

6. Возможны варианты ответов:

а) 11 112; б) 11 100; в) 11 112; г) 11 115; д) 10 000.

7. а) 7 + 1 + 4 + 2 = 14. Чтобы число делилось на 3, последней циф рой должна быть или 1, или 4, или 7, тогда сумма цифр будет делиться на 3.

б) Чтобы число делилось на 4, достаточно, чтобы число, со стоящее из двух последних цифр, делилось на 4. Следовательно, по следней цифрой может быть 0, 4, 8.

в) Число заканчивается цифрой 0 или 5.

г) Число должно делиться на 2 или на 3, поэтому (см. п. а) чис ло должно заканчиваться цифрой 4.

д) Число должно заканчиваться цифрой 4.

8. а) Любую цифру.

б) 5 + 4 + 7 + 1 + 6 = 23. Следовательно, вместо знака «*» можно поставить 1, 4, 7.

в) Можно поставить 1, 3, 5, 7, 9.

г) Можно поставить 4.

Скачано с сайта www.aversev.by 9. а) Первое число, кратное 3, — 501. Далее следуют: 504, 507, 510, 513, 516, 519, 522, 525, 528, 531, 534, 537, 540, 543, 546, 549.

б) Первое число, кратное 9, — 504. Далее следуют: 513, 522, 531, 540, 549.

10. Пусть n, n + 1, n + 2 — три последовательных натуральных числа.

Тогда сумма S = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 (n + 1) делится на 3 и по этому не является простым числом.

11. Из четырех последовательных натуральных чисел 2 — четных, 2 — нечетных, поэтому сумма всех чисел — число четное и поэтому не может быть простым.

12. Найдем сумму остатков от деления каждого слагаемого на 3:

1 + 1 + 1 + 2 + 0 = 5. Так как сумма остатков не делится на 3, то и сама сумма не делится на 3.

13. Из первого условия следует, что само число также делится на 5, из второго — что оно делится на 3, из третьего — что оно делится на 4.

Следовательно, число делится на 60. Из двузначных чисел такое число только одно — 60.

14. Пусть ab — двузначное число. Тогда четырехзначное число:

т. е. это число не является простым.

15. Последовательные нечетные числа можно записать как 2n + и 2n + 3. Тогда их сумма 4n + 4 = 4 (n + 1), т. е. она делится на 4.

16. Очевидно, таким числом будет НОК (2; 3; …; 10) + 1.

17. Из первого условия следует, что число 96 делится на искомое число без остатка, из второго — что число 90 – 18 = 72 делится на иско мое число без остатка, причем делитель должен быть больше 18.

НОД (96; 72) = 24; другие делители не подходят, так как они меньше 18.

18. Пусть 2n, 2n + 2, 2n + 4 — последовательные четные натуральные числа. Разделим их на 2, получим n, n + 1, n + 2. Из трех последователь ных натуральных чисел одно обязательно делится на 3. Тогда и соот ветствующее ему четное число также делится на 3. Пусть 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 — три последовательных нечетных числа. Натуральное число n при делении на 3 может давать остатки 0, 1 или 2. Если остаток 0, то © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by число 2n + 3 делится на 3. Если остаток 1, то 2n + 1 = 2 (3k + 1) + 1 = 6k + делится на 3. Если остаток 2, то 2n + 5 = 2 (3k + 2) + 5 = 6k + 9 делится на 3.

Ответ: да.

19. Рассмотрим числа a + b и a. Пусть они не взаимно простые. То гда существует число k 1, такое, что a + b делится на k и a делится на k.

Следовательно, b делится на k. Пришли к противоречию. Аналогично показывается, что a + b и b — взаимно простые. Тогда a + b и a b — вза имно простые.

20. Воспользуемся формулой: НОД (a; b) НОК (a; b) = a b.

Получим: НОД (a; b) = 21.

21. НОК (a; b) = 21 600 : 60 = (использовали формулу: НОД (a; b) НОК (a; b) = a b).

НОК (330; 44) = 22 3 5 11 = 660; НОК (330; 44) - НОД (330; 44) = 23. 233.

24. 19 999 999 999 900 — в числе 11 девяток.

25. Выписываем все двузначные числа, которые делятся на 17: 17, 34, 51, 68, 85. Из них можно составить следующие числа, в которых ка ждые соседние цифры дают число, делящееся на 17: 17, 34, 51, 68, 85, 517, 8517, 68 517. Большее из них — 68 517.

26. Отбросим четные числа, останется 500 нечетных. В каждой пя терке следующих друг за другом оставшихся нечетных чисел ровно одно число делится на 5. Всего таких чисел 100. Остается 400.

27. а) 1 023 467 895; б) 1 234 567 980.

28. Сумма цифр такого числа должна делиться на 3, но не делиться на 9. Наибольшее такое число 996.

29. Найдем сумму разностей чисел:

Ответ: на 50.

30. Все простые числа, кроме числа 2, — нечетные. Разность двух нечетных чисел есть всегда число четное: (2n + 1) – (2k + 1) = 2 (n – k).

Скачано с сайта www.aversev.by 31. Четных цифр 5: 0, 2, 4, 6, 8. На первом месте могут стоять 4 циф ры, на остальных трех — 5. Всего чисел: 4 5 5 5 = 125 4 = 500.

32. Среди чисел 1, …, 10 нечетных — 5. При сложении или вычита нии нечетного количества получается число нечетное. Следовательно, и значение всего выражения — число нечетное.

Ответ: нет.

К дополнительным упражнениям «Задачи на определение числа по остатку»

Среди чисел 60 k + 1 найдем все, кратные 7 и меньше 500.

k = 1, 61 не делится на 7;

k = 2, 121 не делится на 7;

k = 3, 181 не делится на 7;

k = 4, 241 не делится на 7;

k = 5, 301 делится на 7;

k = 6, 361 не делится на 7;

k = 7, 421 не делится на 7;

k = 8, 481 не делится на 7.

Ответ: 301.

2. Пусть х — искомое число, тогда х – 1 делится на 7, на 8 и на 9;

7 8 9 = 504. Следовательно, х = 504 + 1 = 505.

3. Очевидно, если к искомому числу прибавить 1, то оно будет де литься на 2, 3, 4, 5, 6.

60 – 1 = 59 — не делится на 7;

Ответ: 119.

4. Очевидно, если х — искомое число, то х + 2 делится на 13, на и на 7. х + 2 = 13 11 7 = 1001, тогда х = 999.

НОК (2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) = 2520. Следовательно, k = 3, 6. Искомое число больше 8;

4373 – 8 = 4365; 826 – 7 = 819.

В качестве искомого числа можно взять НОД (4365; 819);

НОД (4365; 819) = 9.

Скачано с сайта www.aversev.by 7. х — количество денег у брата;

z — стоимость подарка.

Из двух первых уравнений:

Подставим х + у в третье уравнение:

Арифметический способ решения следует из решения системы.

8. Это число имеет вид: k НОК (2; 3; 4; 5; 6) + 1.

k подбираем так, чтобы число делилось на 7.

61 — не делится на 7;

121 — не делится на 7;

181 — не делится на 7;

241 — не делится на 7;

301 — делится на 7.

Ответ: 301.

9. Если из искомого числа вычесть единицу, то получим число, кратное 5, 8, 9. Следовательно, искомое число равно 361.

К дополнительным упражнениям «Задачи на нахождение остатков»

а может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48.

2. Так как при делении целого числа на 6 можно получить один из остатков — 0, 1, 2, 3, 4, 5, то множество целых неотрицательных чисел можно разбить на непересекающиеся подмножества чисел вида 6k; 6k + 1;

6k + 2; 6k + 3; 6k + 4; 6k + 5; k = 0, 1, 2, 3, …. Так как нечетное число при де лении на 2 дает в остатке 1, то остается рассмотреть числа вида: 6k + 1;

6k + 3; 6k + 5. Из них только числа вида 6k + 5 при делении на 3 дают остаток 2.

Ответ: 6k + 5, остаток 5.

Скачано с сайта www.aversev.by 3. у — стоимость одной тетради.

Выразим количество денег у школьника в двух случаях и прирав няем:

Количество денег у школьника тогда будет: 11 3 + 5 = 38 (ден. ед.).

4. 42 ден. ед. (у одного не было денег, у другого была 41 ден. ед.).

5. Остаток от деления на 2 — 0; на 4 — 0; на 5 — 3; на 9 — 1; на 10 — 8.

Ответ: сумма остатков от деления равна 12.

6. Пусть а — данное число, х — одинаковое частное, тогда число а можно записать:

а = 13х + 8; а = 15х; отсюда 13х + 8 = 15х; х = 4; а = 60.

7. 100 = 7 14 + 2. Ответ: 14.

К «Задаче из учебника Л. Ф. Магницкого “Арифметика”»

Количество яиц в лукошке должно быть кратно 7.

1) Пусть в лукошке 7 яиц, тогда 7 : 4 = 1 (ост. 3) — не выполняется условие задачи.

2) Пусть в лукошке 14 яиц, тогда 14 : 2 = 7 (ост. 0) — не выполняется условие задачи.

3) Пусть в лукошке 21 яйцо, тогда 21 : 3 = 7 (ост. 0) — не выполняется условие задачи.

4) Пусть в лукошке 28 яиц, тогда 28 : 2 = 14 (ост. 0) — не выполняется условие задачи.

5) Пусть в лукошке 35 яиц, тогда 35 : 3 = 11 (ост. 2) — не выполняется условие задачи.

6) Пусть в лукошке 42 яйца, тогда 42 : 2 = 21 (ост. 0) — не выполняется условие задачи.

7) Пусть в лукошке 49 яиц, тогда 49 : 7 = 7 (ост. 0) — выполняется условие задачи.

Ответ: 49 яиц.

Скачано с сайта www.aversev.by Задача допускает более короткое решение.

n = k (НОК (2; 3; 4)) + 1; k подбираем так, чтобы n делилось на 7.

Ответ: 49.

К «Веселым математическим соревнованиям»

Вариант 1. Остаток от деления на 2 — 1; на 3 — 0; на 4 — 3; на 5 — 2; на 9 — 0.

Ответ: сумма остатков равна 6.

3. Нечетных чисел от 1 до 99 будет 50, пар — 25; сумма разностей — 25 2 = 50.

Ответ: частное — 16, остаток — 2.

4. Так как 9 7 = 63 < 100, то искомое число меньше 100 (двузначное).

Пусть число имеет вид ab. Тогда 10a + b = 7b, 10a = 6b, 5a = 3b.

Двух вариантов нет.

Ответ: 35.

Если a = 0 (b — любое, не равное 0); при a 0, b2 = 1, b = ±1, а — любое.

Арифметический способ:

Скачано с сайта www.aversev.by 8. Пусть трехзначное число abc, тогда abcabcabc — девятизначное число. Если разделить уголком девятизначное число abcabcabc на трехзначное abc, то получим 1 001 001:

9. Первое число — 14.

Получаем все двузначные числа вида 14 k: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98.

Складываем эти числа, получаем 392.

10. Возможный вариант: 33 3 + 3 : 3.

Вариант 2. Остаток — 2; частное 2 3 4 6 = 144.

3. Представим выражение в виде суммы разностей:

Таких разностей получится 25, каждая разность равна 2, поэтому сумма равна 50. Тогда частное от деления этой суммы на 3 равно 16, ос таток от деления равен 2.

4. Наибольшая возможная цифра единиц 9, поэтому само число меньше или равно 9 9 = 81 < 100, т. е. двузначное.

Пусть число имеет вид ab, тогда 10a + b = 9 b; 10a = 8b; 5a = 4b.

Если b = 5, то а = 4. Других вариантов нет.

5. Когда делитель равен 1.

Арифметический способ:

Скачано с сайта www.aversev.by 8. Пусть ab — исходное число, приписав к нему такое же, получим ababab. В результате деления получим:

9. Четные числа, которые меньше 100 и делятся на 11, — это кратные числу 22: 22, 44, 66, 88. Их сумма равна 22 (1 + 2 + 3 + 4) = 22 10 = 220.

10. Возможный вариант: 5 5 5 – 5 5.

Тема 6. ТРОПИНКОЙ С МАТЕМАТИКОЙ ВО ВРЕМЕНИ

Цель: развить познавательную и творческую активность учащихся на основе упрощенных вариантов античных задач, познакомить их с задачами математического содержания на основе народных сказок.

На изучение этой темы отводится 4 часа. Основное внимание в ней уделяется математическим задачам загадкам античных времен, ста ринным занимательным историям по математике.

На занятиях учащимся предлагаются интересные занимательные задачи, а также некоторые задачи русских писателей.

В процессе проведения занятий можно кратко обсуждать с учащи мися известные им сказочные сюжеты. При этом может быть обраще но внимание на то, что на основе отдельных сказок при передаче их от одного поколения к другому возникали различные вопросы, а также задания для разрешения тех или иных проблемных ситуаций. Некото рые из них так и остались неопубликованными из за отсутствия пись менности, поэтому целесообразно рассмотреть несколько сказочных сюжетов и математических заданий, составленных на их основе.

Внимание обращается на известную сказку «Репка». Ребята вспо минают всех сказочных героев: дедку, бабку, внучку, Жучку, кошку, мышку. Затем учитель делает следующее предположение: «Пусть дед © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by ка вдвое сильнее бабки, бабка вдвое сильнее внучки, внучка вдвое сильнее Жучки, Жучка вдвое сильнее кошки, кошка вдвое сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка, кошка вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки не могут. Сколько надо позвать равных между собой по силе мышек, чтобы они смогли сами вытащить репку?»

В процессе рассуждения учащиеся устанавливают, что вместо кош ки нужно взять двух мышек, а вместо Жучки — двух кошек или четы рех мышек, вместо внучки — двух Жучек или восемь мышек, вместо бабки — двух внучек или шестнадцать мышек и, наконец, вместо дед ки — две бабки или тридцать две мышки. Таким образом, надо позвать тридцать три мышки, чтобы они вытащили репку.

Можно промоделировать и другие ситуации для этой сказки. На пример, пусть дедка втрое сильнее бабки, бабка вдвое сильнее внучки, внучка в четыре раза сильнее Жучки, Жучка вдвое сильнее кошки, кошка в пять раз сильнее мышки. Только все вместе они могут вытя нуть репку.

На основе условия учитель формулирует различные вопросы.

Сколько надо позвать мышек, чтобы они смогли сами вытащить репку?

Какое наименьшее число таких же по силе Жучек необходимо, чтобы они смогли вытащить репку? Достаточно ли еще позвать такого же по силе дедку, чтобы двое дедок смогли вытащить репку?

Следует отметить, что в зависимости от уровня подготовки группы (класса), а также задач, поставленных учителем, могут быть промоде лированы и другие ситуации с разнообразной серией вопросов.

Для развития логического мышления учащихся, что особенно важ но в младшем подростковом возрасте, следует рассмотреть и другие сказочные сюжеты.

«Илья Муромец, преследуя врагов родной земли, попал в селение, которое пылало от пожара, и никого из жителей не было. Умирая от жажды, он слез со своего коня и увидел одну Старицу. Илья Муромец попросил у Старицы воды, на что она ответила, что недавно враги по дожгли селение и разрушили колодцы. Однако, когда они здесь нахо дились, оставалось три колодца: один с чистой, другой с ядовитой и третий со смешанной водой, причем надписи на них ранее соответст вовали действительности. Уходя из селения, враги изменили все над писи так, что на каждом колодце оказалась неправильная надпись.

Старица сказала Илье Муромцу, что в случае выпитого глотка ядови той или смешанной воды он вынужден будет надолго уснуть и поэтому сама пожелала первой выпить воду. Из какого из трех колодцев с над © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by писями «чистая вода», «ядовитая вода», «смешанная вода» Старица должна была выпить воду, чтобы по ее реакции Илья Муромец мог определить, где чистая вода, для того чтобы напоить себя и своего коня и отправиться в погоню за врагами?»

Правильное рассуждение ребят будет основано на том, что Старица должна выпить воду из колодца с надписью «смешанная вода». В слу чае, если она уснет, Илья Муромец выпьет воду из колодца с надписью «ядовитая вода», а если она не уснет, то нужно напиться из колодца, где пила воду Старица.

Отметим, что на основе данной сказочной ситуации могут быть промоделированы и другие условия с различной степенью истинно сти, в частности «ядовитая вода здесь», «чистая вода в другом колод це» и т. д. Для учащихся с более высоким уровнем подготовки целесо образно усложнить условие, включив четыре, пять, шесть колодцев.

В качестве еще одной сказочной истории может быть описана си туация сражения Ивана царевича со Змеем Горынычем.

В процессе решения этой задачи и ей аналогичных учащимся нуж но заполнять таблицу, в которой следует указывать: номер удара, что отрубается, что остается, что вырастает, что получается. Учитель на доске изображает общую схему таблицы.

Каждый учащийся вырабатывает свою стратегию действий Ива на царевича. Для примера рассмотрим следующие варианты.

Скачано с сайта www.aversev.by Вариант Номер удара Что отрубается Что остается Что вырастает Что получается В зависимости от уровня подготовки учащихся, целей и задач, ко торые ставятся учителем при проведении занятия, данная задача мо жет быть усложнена, например, участием шестиглавого и шестихво стого Змея Горыныча.

«Предлагает Баба яга Ивану царевичу три различных меча кла денца:

— Выбирай один из трех мечей кладенцов, — сказала царевичу Баба яга. Если выберешь первый меч, то одним ударом ты можешь отрубить Змею либо две головы, либо два хвоста, либо три хвоста. За помни: отрубишь две головы — две новые вырастут; отрубишь два хво ста — четыре новых вырастут; отрубишь три хвоста — ничего не вырас тет. Если выберешь второй меч, то одним ударом ты можешь отрубить Змею либо одну голову, либо три головы, либо три хвоста. Запомни:

отрубишь одну голову — два новых хвоста вырастут; отрубишь три хвоста — ничего не вырастет; отрубишь три головы — одна вырастет.

Если выберешь третий меч, то одним ударом ты можешь отрубить Змею либо две головы, либо два хвоста, либо четыре хвоста. Запомни:

отрубишь две головы — один хвост вырастет; отрубишь два хвоста — голова вырастет; отрубишь четыре хвоста — ничего не вырастет».

Каждым ли из трех мечей Иван царевич может победить Змея Го рыныча? Каким из трех мечей и каким образом он может одолеть Змея Горыныча за наименьшее количество ударов?

Данное задание может быть выполнено на занятии частично.

Полный ответ на второй вопрос учащиеся могут по желанию полу чить дома. Для самостоятельной работы целесообразно предложить © НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by ребятам решить задачу, когда Змей Горыныч девятиглавый и девяти хвостый.

В качестве индивидуальной творческой работы учащиеся могут придумать и другие задания математического содержания на примерах сказок. Такая работа может быть выполнена и сдана учителю в пись менном виде. С лучшими заданиями на следующем занятии отдельные учащиеся выступают перед своими сверстниками.

В процессе путешествия во времени можно на одной из тропинок обратить внимание на задания из истории Древней Греции. Если от математики Древнего Востока сохранились отдельные задачи с реше ниями и таблицы, то Древняя Греция явилась родоначальницей науки математики, основанной на строгих доказательствах. Этому способст вовала деятельность ряда школ и, в частности, школы Пифагора.

Обоснованность рассуждений и доказательность утверждений благо приятствовали зарождению новых различных научных направлений.

Так, например, впоследствии появилась отдельная наука — логика.

В школе Пифагора, как и во всей Древней Греции, учеников прежде всего учили правильно рассуждать. В качестве примера учащимся приводится один из древнегреческих мифов, который содержит сказа ние о суде царевича Париса.

Pages: |

| 2 | 3 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по оформлению контрольных работ, курсовых работ, выпускных квалификационных работ, магистерских диссертаций для студентов Института государства и права Тюмень 2013 1 Настоящие методические указания подготовлены на основе следующих нормативно-технических...»

«ОСНОВА МЕТОДА ОТ АВТОРА Всегда есть вероятность, что этот текст будет читаться: — теми, кому незнакома фамилия и деятельность автора; — теми, кто не является специалистом в данной сфере; — теми, чьи взгляды на обсуждаемый предмет противоположны; — теми, кому эта страница попалась на глаза случайно. К таким читателям обращаюсь, прежде всего. Несмотря на свободное изложение, данный текст ни в коей мере не является беллетристикой или научнопопулярной литературой. Все, что написано ниже, может...»

«РЯЗАНСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЗДУШНО-ДЕСАНТНОЕ КОМАНДНОЕ УЧИЛИЩЕ (ВОЕННЫЙ ИНСТИТУТ) ИМЕНИ ГЕНЕРАЛА АРМИИ В.Ф.МАРГЕЛОВА Кафедра двигателей и электрооборудования В. С. Гунба МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ АВТОМОБИЛЬНЫЕ ДВИГАТЕЛИ учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения Рязань, 2010 ББК 39.35 К61 Гунба В.С. К61 Методические рекомендации по изучению дисциплины Автомобильные двигатели [Текст]: учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения / В.С....»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Методические указания, контрольные задания и типовые примеры по теоретической электротехнике Часть I Рассмотрено на заседании кафедры электромеханики и ТОЭ. Протокол № 6 от 24.12.2003. Утверждено на заседании учебно-издательского совета ДонНТУ. Протокол № 11 от 01.03.04. Донецк ДонНТУ - УДК 621.3.01 (07) Методические указания, контрольные задания и типовые примеры по теоретической электротехнике. Часть I /...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Горно-Алтайский государственный университет А.П. Макошев МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КУРСУ ПОЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА Карты, таблицы и рисунки Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета 2007 Печатается по решению редакционно-издательского Совета ГорноАлтайского государственного университета Макошев А.П. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КУРСУ ПОЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА: Факты, таблицы и рисунки. ГорноАлтайск, 2007. – 61 с....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ц.Ц. Доржиев Разработка и методические рекомендации по применению автоматизированной обучающей системы (АОС) по начертательной геометрии в учебном процессе Учебное пособие Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004 УДК004(075.8) ББК32.973-018.2я7 Д687 Рецензенты: к.т.н., доц. А.А. Габагуев, к.п.н., доц. Л.Н. Юмсунова Доржиев Ц.Ц. Разработка и методические рекомендации по применению...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный технический университет – УПИ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина Нижнетагильский технологический институт (филиал) ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ Методические указания по организации самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной форм обучения специальности 240403 Химическая технология природных энергоносителей и углеродных...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Г.Н. Ронова, Л.А. Ронова Анализ финансовой отчетности Учебно-методический комплекс Москва 2008 1 УДК 657.6 ББК 65.052 Р 715 Ронова Г.Н., Ронова Л.А. АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ: Учебнометодический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 240 с. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области антикризисного управления в...»

«Министерство образования и науки Республики Казахстан ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д. Серикбаева Ю.Д. Гусаренко МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ для студентов специальностей 5В090300, 050903 Землеустройство, 5В090700, 050907 Кадастр, 5В071100, 050711 Геодезия и картография всех форм обучения Усть-Каменогорск 2012 2 УДК 378.146 (075.8) Методические указания по дипломному Гусаренко Ю.Д. проектированию для студентов специальностей 050903 –...»

«Список научных и учебно-методических работ Бобуновой Марии Александровны научные работы 1. Бобунова, М.А. Лексико-семантическая группа существительных растительный мир в русской народной лирической песне: к проблеме эволюции (статья) // Специфика семантической структуры и внутритекстовых связей фольклорного слова: Сб. научных трудов. – Курск: Изд-во Курск. гос. пед. ин-та, 1984. – С. 101-106. 2. Бобунова, М.А. Аспекты динамики фольклорного слова (статья) // Фольклорная лексикология. – Курск:...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет В. Ф. Коренский ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ, МАШИН И МАНИПУЛЯТОРОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для студентов специальностей 1-36 01 01, 1-36 01 03 В двух частях Часть 1 ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН Новополоцк ПГУ 2008 УДК 621-01(075.8) ББК 34.41я73 К66 Рекомендовано к изданию советом машиностроительного факультета в качестве учебно-методического комплекса...»

«ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ХИМИИ В.В.Лунин, И.А.Тюльков, О.В.Архангельская Методические рекомендации по разработке заданий и требований по проведению школьного и муниципального этапов Всероссийской олимпиады школьников по химии в 2012/2013 учебном году Москва – 2012 Авторы: Лунин В.В. – профессор, академик РАН, декан Химического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Тюльков И.А. –к.пед.н., доцент Химического факультета Московского...»

«Министерство образования Российской Федерации Самарский государственный университет Кафедра философии гуманитарных факультетов ФИЛОСОФИЯ Методические материалы Для студентов филологического факультета (Специальность Русский язык и литература. Дневное и заочное отделение) Самара 2003 Печатается по решению Совета кафедр гуманитарных и социально-экономических наук Самарского государственного университета Составитель: доцент, к.филос.н. Конева Л.А. Рецензент: доцент, к.философ. н. Четырова Л.Б....»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ им. И.М. СЕЧЕНОВА ФАКУЛЬТЕТ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОВИЗОРОВ КАФЕДРА ОРГАНИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА И РЕАЛИЗАЦИИ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ Столыпин В.Ф., Гурарий Л.Л. ИСХОДНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ Под ред. член-корр. РАМН, профессора, Береговых В.В. Рекомендуется Учебно-методическим...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Кафедра Картографии Макаренко А.А., Моисеева В.С., Степанченко А.Л. Проектирование и редакционная подготовка общегеографических региональных карт Учебно-методическое пособие по курсовому проектированию для студентов по направлению подготовки Картография и геоинформатика Издательство МИИГАиК Москва 2014 УДК 528.93 ББК 26.1 Рецензенты: Баева Е.Ю. – к.т.н., доцент кафедры...»

«МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА АЛАТЫРСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ АТЖТ - филиал СамГУПС МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для выполнения контрольной работы студентами заочного отделения по дисциплине МЕНЕДЖМЕНТ для специальности: 190304 “Техническая эксплуатация,...»

«Новые поступления в библиотеку Основы сестринского дела: алгоритмы манипуляций: учебное пособие / Н.В.Широкова и др. – М.:ГЭОТАР – Медиа,2013 -160 стр. Учебное пособие содержит алгоритмы выполнения необходимых процедур по уходу за пациентами и призвано улучшить качество оказываемой медицинской помощи. Пособие разработано в соответствии с Федеральным законом РФ от 18 декабря 2002г О техническом регулировании, положениями государственной системы стандартизации РФ (ГОСТ Р 1.0. – 92 – ГОСТ Р...»

«НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Юридический факультет УТВЕРЖДЕНО Проректором по учебной и воспитательной работе О.В. Челомбицкой Методические указания по оформлению курсовых работ студентами очной и заочной форм обучения по направлению подготовки 030900.62 Юриспруденция Ростов-на-Дону 2012 г. ББК 67.4:74.4 К14 Методические указания по оформлению курсовых работ студентами очной и заочной форм обучения...»

«М.К. Бункина А.М. Семенов В.А. Семенов МАКРОЭКОНОМИКА Учебник 3-е издание, переработанное и дополненное ББК 65.012.2 Бункина М.К., Семенов А.М., Семенов В.А. Макроэкономика: Учебник. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Дело и Сервис, 2000. – 512 с. ISBN 5-8018-0098-0 В данном издании исследование макроэкономики подведено к началу XXI века и обращено в будущее. Макроэкономическая наука направлена на изучение российской специфики, экономического и финансового состояния страны, наших...»

«Правительство Москвы Департамент образования города Москвы Московский Городской Педагогический Университет Географический факультет Б.Б. Вагнер, В.Т. Дмитриева ОЗЕРА И ВОДОХРАНИЛИЩА МОСКОВСКОГО РЕГИОНА учебное пособие по курсу География и экология Московского региона Москва, 2004 1 Оглавление Введение Глава 1 Общая характеристика озерных природных комплексов Московского региона 1.1 ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОДМОСКОВНЫХ ОЗЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ.11 1.2 РЕЖИМНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ОЗЕРНЫХ...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

ОТ АВТОРОВ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

СОДЕРЖАНИЕ

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ВЫЧИСЛЕНИЙ

АРИФМЕТИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИГР,

ГОЛОВОЛОМОК И ФОКУСОВ

Тема 5. ТРОПИНКОЙ В УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР ДЕЛЕНИЯ

Тема 6. ТРОПИНКОЙ С МАТЕМАТИКОЙ ВО ВРЕМЕНИ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)