[ «Серия основана в 2010 году Гуцанович, С. А. Г93 Математика. 5—6 классы : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с белорус. и рус. яз. обучения / С. А. Гуцанович, Н. В. Костюкович. — 2-е изд. — Минск : ...»
в Древнем Риме нормальная процентная ставка была определена в 5 %, а в 341 г. и совсем запрещено было брать проценты, однако запрещение оставалось только в виде закона. Затем применение процентов встре чается в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Таким образом, происходит расширение области примене ния процентов. От римлян проценты перешли к другим народам Евро пы. В период XIII—XVI вв. процентным вычислениям уделяется мно го внимания в учебниках того времени. Первые печатные таблицы процентов издал Симон Стевин, который включил их в свою «Ариф метику». Это произошло в 1585 г.
Зачет по теме «Занимательные проценты»
Вариант 1. Первое число равно 0,4, второе — 0,6. Сколько процентов состав ляет второе число от суммы этих чисел? На сколько процентов второе число больше первого и на сколько процентов первое меньше второго?
2. Банк дает своим вкладчикам 25 % годовых. Чему будет равен вклад в 100 000 р. через два года?
3. При выполнении контрольной работы по математике 12 % уче ников не выполнили ни одного задания, 32 % допустили ошибки, а ос тальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?
4. Определите первоначальную стоимость продукта, если после по дорожания соответственно на 120 %, 200 % и 100 % его конечная стои мость составила 26 400 р.
5. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84 % массы. Сколько килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого ве щества?
6. Сбербанк в конце года начисляет 20 % к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 500 000 р.
через три года?
7. Один раствор содержит 20 % (по объему) соляной кислоты, а второй — 70 %. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% го раствора соляной кислоты?
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Вариант 1. Первое число равно 0,5, второе — 0,3. Сколько процентов состав ляет второе число от суммы этих чисел? На сколько процентов второе число меньше первого и на сколько процентов первое больше второго?
2. Снижение себестоимости производства товара равно 5 % в год.
Первоначальная себестоимость товара равна 10 000 р. Чему станет равной его себестоимость через два года?
3. На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, при чем 35 % всех изготовленных машин — легковые. Определите число изготовленных машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых.
4. Цена товара сначала повысилась на 100 %, затем на 40 % и, нако нец, на 20 %. В результате цена товара составила 268 800 р. Какова пер воначальная стоимость товара?
5. При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42 % и стал равным 71 л. Определите первоначальный объем раствора.
6. Сбербанк в конце года начисляет 20 % к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 120 000 р.
через четыре года?
7. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40 % меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30 % меди?
К «Основным задачам на проценты»
Задачи на закрепление 1. 0,23 12 = 2,76; 1,5 4 = 6; 0,005 200 = 1.
2. 0,002 200 = 0,4; 0,04 160 = 6,4, отсюда следует, что второе число больше.
3. 0,3 50 = 15; 50 – 15 = 35, т. е. в линейку — 15, в клетку — 35.
4. 1 – 0,4 = 0,6; 0,6 0,5 = 0,3; 0,4 + 0,3 = 0,7; 1 – 0,7 = 0,3, т. е. 30 %.
6. х кг — в первом мешке, 140 – х — во втором.
х – 0,125х = 140 – х + 0,125х; 2х – 0,25х = 140; 1,75х = 140;
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Самый простой вариант: в первом мешке первоначально было х, по сле перекладывания стало х – 0,125х = 70, так как в мешках стало по ровну.
Задачи на закрепление 2. Сухое вещество составляет в свежих грибах 15 %. Нужно со брать:
4. Сухого вещества первоначально было 2 %, т. е. 2 кг.
После просушки эти 2 кг составляют 4 %;
5. Сухого вещества первоначально было 100 % – 60 % = 40 %.
Масса сухого вещества: 12 0,4 = 4,8 (кг).
Это сухое вещество в подсушенных желудях составляет 100 % – 20 % = 80 %.
Масса подсушенных желудей:
6. Сухого вещества — 10 %, 50 0,1 = 5 (кг). Эти 5 кг составляют в подсушенных сливах 20 %. Тогда масса подсушенных слив = 25 (кг).
К «Заданиям для самостоятельной работы»
1. 1 000 000 6 : 100 = 60 000 (р.).
2. 1 500 000 : 7,5 100 = 20 000 000 (р.).
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 3. 36 000 : 40 000 100 = 90 (%).
4. Пусть исходное число а, тогда после уменьшения — 0,8а; после увеличения — 0,8а 1,2 = 0,96а, т. е. число уменьшится на 4 %.
5. Пусть а — исходная цена; после первого повышения цена стала 1,2а; после второго — 1,2а 1,15 = 1,38а; после третьего — 1,38 а 1,1 = = 1,518а, т. е. первоначальную цену повысили на 51,8 %.
6. Пусть а — исходная цена; после первого понижении она стала 0,8а; после второго — 0,8а 0,85а = 0,68а; после третьего — 0,68а 0,9 = = 0,612а;
а – 0,612а = 0,388а, т. е. цена понизилась на 38,8 %.
7. Пусть а — исходная цена; после первого повышения цена ста ла 1,1а; после понижения — 1,1а 0,9 = 0,99а; после второго повыше ния — 0,99а 1,1 = 1,089а, т. е. цена повысилась на 8,9 %.
8. а) В 4 кг жира 4 0,03 = 0,12 (кг). В 16 кг жира 16 0,06 = 0,96 (кг).
100 % = 5,4 %.
б) В 20 л жира 20 0,05 = 1 (кг). В 10 л жира 10 0,08 = 0,8 (кг).
В смеси жира 1 + 0,8 = 1,8 (кг). Всего молока 20 + 10 = 30 (л).
Жирность смеси:
9. а) За 100 % принимаем то число, с которым сравниваем, т. е.
число 50. Тогда 70 составляет 40 %.
10. а) Пусть стороны исходного прямоугольника а и b, его площадь S1 = аb. Стороны второго прямоугольника 1,3а и 0,8b, его площадь S2 = = 1,3а 0,8b = 1,04аb. Площадь увеличилась на 4 %.
б) 1,2а 0,7b = 0,84аb, площадь уменьшилась на 16 %.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 11. а) 12. а) 0,7 0,4 = 0,28, т. е. 28 %; б) 0,6 0,4 = 0,24, т. е. 24 %.
13. а) 3наменатель увеличился на 100 %, т. е. знаменатель увели чился в 2 раза, поэтому дробь уменьшилась в 2 раза, т. е. на 50 %.
б) Знаменатель уменьшился на 50 %, т. е. знаменатель умень шился в 2 раза, поэтому дробь увеличилась в 2 раза, т. е. на 100 %.
14. а) 20 т примесей отделяется при выплавке; в металле остается примесей 20 0,06 = 1,2 (т). Всего примесей в руде 20 + 1,2 = 21,2 (т), т. е.
б) При выплавке отделяется 30 т примесей, в металле остается примесей 30 0,05 = 1,5 (т). Всего в 60 т руды примесей 30 + 1,5 = 31,5 (т), что составляет 15. Величина всех расходов на поход: 176 000 : 0,32 = 550 000 (р.).
Шефская организация дала: 550 000 – 176 000 = 374 000 (р.).
16. а) Если х — стоимость более дешевой книги, то стоимость бо лее дорогой — 1,25х. Тогда х + 1,25х = 12 600; 2,25х = 12 600; х = 5600;
1,25х = 7000, т. е. одна книга стоит 5600 р., другая — 7000 р.
б) Если х – стоимость более дорогой книги, то стоимость более дешевой равна 0,75х, тогда х + 0,75х = 12 600; 1,74х = 12 600; х = 7200;
0,75х = 5400, т. е. одна книга стоит 7200 р., другая — 5400 р.
17. Пусть х р. положено на 14% й вклад, тогда на 20% й вклад поло жено (300 000 – х) р. Через год по обоим вкладам будет получено:
1,14х + (300 000 – х) 1,2 = 354 000; 1,14х + 360 000 – 1,2х = = 354 000; 0,06х = 6000;
х = 100 000; 300 000 – х = 200 000, т. е. положено 100 000 — на 14% й вклад; 200 000 — на 20% й вклад.
18. Пусть первоначальная цена товара а р., тогда после повышения цена товара станет 1,5а. После объявления распродажи цена товара станет 0,5 1,5а = 0,75а, т. е. торговец потеряет четверть от стоимости товара.
19. 240 000 р.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by К зачету по теме «Занимательные проценты»
Вариант 2. 25 % –. За первый год вклад станет 100 000 1 = 100 000 + + 25 000 = 125 000 (р.) За второй год: 125 000 1 = 125 000 + 31 250 = 156 250 (р.) 3. 12 % + 32 % = 44 % — не выполнили или выполнили с ошибками;
100 % – 44 % = 56 % — выполнили полностью.
4. Пусть первоначальная стоимость была а р. Тогда после первого подорожания она стала 2,2а; после второго — 6,6а; после третьего — 13,2а.
5. Сухое вещество составляет 100 % – 84 % = 16 %; ромашки нуж но взять 6. 500 000 (1 + 0,2)3 = 500 000 1,23 = 500 000 1,728 = 864 000 (р.).
7. Пусть первого раствора нужно взять х л, тогда второго — (100 – х ) л.
Соляной кислоты в первом растворе 0,2х л, во втором — 0,7(100 – х) л, в полученном — 0,5 100 = 50 (л).
0,2х + 0,7(100 – х) = 50; 0,2х + 70 – 0,7х = 50; 0,5х = 20; х = 40;
100 – х = 60, т. е. 40 л первого раствора и 60 л второго.
Вариант © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 2. 10 000 (1 – 0,05)2 = 10 000 0,952 = 10 000 0,9025 = 9025 (р.).
3. 100 % – 35 % = 65 % — грузовых машин;
65 % – 35 % = 30 % — на столько больше грузовых, чем легковых;
4. Пусть первоначальная цена товара была а р. Тогда после первого повышения она стала 2а р.; после второго — 2а 1,4 = 2,8а (р.); после третьего — 2,8а 1,2 = 3,36а (р.). По условию 3,36а = 268 800, откуда а = = 80 000.
6. 120 000 (1 + 0,2)4 = 120 000 1,24 = 120 000 1,442 = = 120 000 2,0736 = 248 832 (р.).
7. В исходном куске меди содержится 15 0,4 = 6 (кг).
Масса нового сплава:
Нужно добавить олова: 20 – 15 = 5 (кг).
РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Цель: показать возможности расширения понятия «число» в усло виях преемственности между I и II ступенями системы общего образо вания, выработать вычислительные навыки с рациональными числами.На изучение темы отводится 2 часа. Основное внимание в ней уде ляется примерам вычислений с отрицательными числами и числами разных знаков. Дидактические материалы для проведения факульта тивных занятий содержат исторический материал, а также занима тельные и интересные задания и головоломки, рекомендовано прове дение различных игр и соревнований.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Дополнительный материал для проведения занятий Отрицательные числа и правила умножения, деления, сложения и вычитания были предложены в ІІІ в. греческим математиком Дио фантом. Диофант уже знал правило знаков и умел умножать отрица тельные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные зна чения. Эти правила звучали примерно так: «вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое», «вычитаемое, умноженное на вы читаемое, дает прибавляемое».
В Древнем Египте и Вавилоне отрицательные числа не использова лись, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычита нии), они отвергались как невозможные.
В V—VI вв. отрицательные числа появляются и очень широко рас пространяются в математике Индии и трактуются как долги (недоста ча) или признаются как промежуточный этап, полезный для вычисле ния окончательного положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда еще не были определены.
Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 — около 660 гг.), который рассматривал отрицатель ные числа наравне с положительными, мы читаем: «Имущество и имуще ство есть имущество; сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отни мают от нуля, становится имуществом, а имущество — долгом. Если нуж но отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.
В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 – 4 = 0, так как ничто не мо жет быть меньше, чем ничто. Отголоском тех времен является то об стоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.
В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко по дошел в начале XIII ст. Леонардо Пизанский, однако в явном виде от рицательные числа в математический обиход ввели Михаэль Шти фель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544) и Никола Шюке (1445—1500), хотя в ХVI ст. многие математики (например, Виет) не признавали отрицательных чисел. И так было до ХVII в., ма тематики все еще не признавали отрицательных чисел, называли их «меньшими, чем ничто».
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by В ХVII в. голландский математик Жирар стал пользоваться отри цательными числами наравне с положительными. Современное обо значение положительных и отрицательных чисел со знаками «+» и «–»
применил немецкий математик Видман.
С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения (например, длины отрезка при выбранной единице масшта ба) с любой точностью, т. е. совокупность рациональных чисел доста точна для удовлетворения большинства практических потребностей.
В XVII в., с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления.
Оживленно обсуждалась, например, странная пропорция 1 : (–1) = = (–1) : 1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наобо рот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»).
Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел и почему произведение отрицательных положительно.
к «Заданиям для самостоятельной работы»
1. 1) 0; 2) 0; 3) –0,1111; 4) 5,6; 5) 1; 6) 0.
2. – ; –111.
3. 20 слагаемых.
4. –0,1.
5. {–4; –3; …; 1; 2}.
17. Сложить.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Тема 7. ПУТЕШЕСТВИЕ В ОБЛАСТЬ ДЛИН,
ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Цель: научить учащихся решать задачи с использованием различ ных единиц измерения длины, площади и объема, сформировать уме ние перевода одних единиц измерения в другие.На изучение этой темы отводится 7 часов. Основное внимание в ней уделяется переводу одних единиц измерения в другие и решению за дач с практическим содержанием. Дидактические материалы содержат интересный исторический материал о старинных мерах длины и пло щади, измерении сыпучих тел и измерении объема жидкости, а также содержат различного типа задания по теме. На факультативных заня тиях рекомендовано проведение дискуссий, выполнение учениками индивидуальных заданий, подготовка различных сообщений.
Дополнительный материал для проведения занятий В старину моряки измеряли расстояние в трубках или сигарах. Это расстояние, проходимое судном при определенной скорости за время, пока курится набитая табаком трубка, которую моряк не выпускает изо рта. У многих народов в старину мерой расстояния служила даль ность полета стрелы. А в Японии мерой расстояния служил лошади ный башмак. Это путь, который проходила лошадь, пока износится привязываемая к ее ногам соломенная подошва, заменявшая в Японии подкову.
Рассмотрим более мелкие единицы длины. В крупной оптовой тор говле полотно, сукно и прочее поступали в виде больших отрезов — «поставов», длина которых в разное время и в разных местах колеба лась от 30 до 60 локтей (в местах торговли эти меры имели конкретное, вполне определенное значение).
Локоть равнялся длине руки от пальцев до локтя (по другим дан ным — «расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки»). Величина этой древнейшей меры длины, по разным источникам, составляла от 38 до 47 см, так как 2 аршина = = 3 локтям, следовательно, локоть равен 10 3 вершка. С ХVI в. локоть постепенно вытесняется аршином и в ХIХ в. почти не употребляется.
Пядь (пядница) — древняя русская мера длины. Малая пядь — рас стояние между концами расставленных большого и указательного (или среднего) пальцев, равное 17,78 см.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Большая пядь — расстояние между концами большого пальца и ми зинца (22—23 см).
Пядь с кувырком («пядень с кувырком», по Далю — «пядь с кувыр кой») — пядь с прибавкой двух суставов указательного пальца, это 27—31 см.
Сажень — одна из наиболее распространенных на Руси мер длины.
Различных по назначению (и, соответственно, величине) саженей было больше десяти. Эта старинная мера длины упоминается Несто ром в 1017 г. Слово «сажень» происходит от глагола «сягать» («дося гать») — на сколько можно было дотянуться рукой. Для определения значения древнерусской сажени большую роль сыграла находка кам ня, на котором славянскими буквами была высечена надпись: «В лето 6576 (1068 г.) индикта 6 дня, Глеб князь мерил... 10 000 и 4000 саженей».
Из сравнения этого результата с измерениями топографов получено значение сажени 151,4 см. С этим значением совпали результаты изме рений храмов и значение русских народных мер. Существовали сажен ные мерные веревки и деревянные «складени», имевшие применение при измерении расстояний и в строительстве.
Литовский локоть. Делением косой сажени на два и половины ее еще раз на два получаем меру «литовский локоть». Если считать, что косая сажень равна 248 см, то литовский локоть — 62 см. Такой локоть употреблялся на Украине и в соседних с Литвой областях России.
Остановимся подробнее на истории появления некоторых мер длины для измерения расстояний между населенными пунктами в России.
Верста — старорусская путевая мера (ее раннее название — «по прище»). Этим словом первоначально называли расстояние, пройден ное от одного поворота плуга до другого во время пахоты. Два назва ния долгое время употреблялись параллельно как синонимы. Извест ны упоминания в письменных источниках ХI в. В рукописях XV в.
есть запись: «Поприще саженей 7 сот и 50» (длиной в 750 саженей). До царя Алексея Михайловича в 1 версте считали 1000 саженей. При Пет ре I одна верста равнялась 500 саженей, в современном исчислении — 213,36 500 = 1066,8 (м). Верстой также назывался верстовой столб на дороге.
Величина версты неоднократно менялась в зависимости от числа саженей, входивших в нее, и величины сажени. Уложением 1649 г.
была установлена межевая верста в 1 тысячу саженей. Позже, в XVIII в., наряду с ней, стала использоваться и «путевая верста»
в 500 саженей (пятисотная верста).
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Межевая верста — старорусская единица измерения, равная двум верстам. Версту в 1000 саженей (2,16 км) употребляли широко в каче стве межевой меры, обычно при определении выгонов вокруг крупных городов, а на окраинах России, особенно в Сибири, — и для измерения расстояний между населенными пунктами.
500 саженная верста применялась несколько реже, в основном для измерения расстояния в европейской части России. Большие расстоя ния, особенно в Восточной Сибири, определялись в днях пути. В XVIII в.
межевые версты постепенно вытесняются путевыми, и единственной верстой в XIX в. остается путевая верста, равная 500 саженям.
Указом короля Генриха I (XII в.) за основную меру длины в Англии был взят ярд — расстояние от носа короля до конца среднего пальца его вытянутой руки. Длина ярда в настоящее время равна 0,9144 м.
Впрочем, документальных свидетельств об упомянутом здесь проис хождении ярда не сохранилось. По другим литературным источникам прообразом длины ярда явилась длина меча Генриха I. Согласно пре дыдущим расчетам видим, что 1 ярд = 3 футам, что равно 36 дюймам.
Следовательно, 1 ярд = 914,4 мм. Таким образом, 1 ярд приближается к нашему метру.
Приведенные примеры единиц длины основаны на размерах частей человеческого тела. Возникали эти меры постепенно, в результате тру довой деятельности человека и его борьбы за существование. С раз витием общества, появлением частной собственности, обменом про дуктами производства и разделением труда первоначальные, прими тивные способы измерения перестали удовлетворять требованиям человека, поэтому меры стали уточняться, способы измерения совер шенствовались. Очевидно, что первый период истории мер, в течение которого человек не нуждался в других эталонах мер, кроме частей своего тела, продолжался очень долго. Даже теперь мы иногда приме няем первобытные способы измерения, например размеры стола мо жем измерить пядью, определяемой расстоянием между концами пальцев, большого и указательного или среднего.
Очень распространена в древности у разных народов была мера длины, впоследствии получившая название стадий. Стадий равнялся расстоянию, которое человек проходит спокойным шагом за промежу ток времени от появления первого луча Солнца при восходе его до того момента, когда весь солнечный диск целиком окажется над гори зонтом. Из астрономии известно, что это время продолжается при близительно 2 минуты. За это время человек может пройти от до 195 м.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by В более поздние времена в России установилась мера расстояния верста, приравненная к 500 саженям, что приблизительно равно 1,07 км.
Площадью называется величина, которая характеризует размер не которой геометрической фигуры. Нахождение площадей геометриче ских фигур — одна из практических задач древности.
В Риме мерой полей служила единица югер. Слово это происходит от латинского слова jugum — ярмо, т. е. деревянная рама, которую наде вали на шеи пары волов, впряженных в плуг. Югер — это участок зем ли, вспахиваемый за день плугом, в который впряжена пара волов.
Аналогичный прием измерения земли существовал и у славян.
В России употреблялась земельная мера плуг как мера земли, с ко торой платили дань. Согласно некоторым источникам плуг был равен приблизительно 8—9 гектарам. Мерой полей служила также десятина, равная 1,1 гектара, и четверть, равная половине десятины. Четверть, в свою очередь, делилась на 2 осьмины, осьмина — на 2 полуосьмины, а полуосьмина — на 2 четверика и т. д.
Остановимся подробнее на истории появления некоторых мер пло щадей в России.
В Киевской Руси, судя по сохранившимся источникам, квадратных мер не было, но древнерусские зодчие и землемеры имели о них пред ставление.
Меры площади всегда были нужны для определения размеров зе мельных участков, которые не всегда были четко разграничены, сопри касались друг с другом и имели межевые знаки.
В Древней Руси в целях податного обложения использовали чисто условные единицы, характеризовавшие рабочую силу или сельскохо зяйственный инвентарь, а также меры, в основе которых лежали тру довые возможности. Отсюда такие наименования земледельных мер (единиц обложения), как «дом» (семья) или «дым», «рало», «соха», «обжа» и пр. Трудовой характер мер «соха» и «обжа» и их соотношение явствуют из сохранившегося ответа новгородцев на запрос Ивана III в 1478 г.: «Три обжи — соха, а обжа — 1 человек на 1 лошади орет (па шет); а кто на 3 лошадях и сам третий орет, ино то соха».
Для определения площади сенокосных угодий широко применяли «урожайные» меры — копны сена. Копны иногда использовали и в ка честве мер посевных площадей.
Все «трудовые», «урожайные» и «посевные» меры заключали в себе элементы субъективизма и произвола, которые проявлялись непо средственно в практике использования этих мер.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Во время феодальной раздробленности Руси как меры площади применялись «дом» (дым), «соха», «обжа». Но они отличались по ко личеству в зависимости от княжества. Отличия были и в наименова ниях мер. В Новгороде, например, в качестве посевной меры применя лась «коробья» (площадь, на которую высевали коробью ржи — меру объема).
Площади сенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накосить копну сена). Эти меры позволяли опреде лить урожайность, а о форме и размерах земельных участков полного представления не давали.
В середине XIII в. татары проводили в значительных масштабах описи земельных площадей. В основу описей в качестве единицы из мерения было положено отдельное хозяйство («дом» или «дым»).
Переход от четверти к десятине оказался затруднительным, так как в основе четверти лежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовых книгах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.
В эпоху укрепления Московского государства установленные ранее геометрические меры стали частичными мерами площади, т. е. опреде ляемыми как квадрат, сторона которого равна единице длины: квад ратная верста, квадратная (круглая) десятина и квадратная сажень.
Взамен слова «квадратный», не существовавшего в то время, употреб ляли прилагательные «дробный», «четвероугольный» и др.
В городах результаты измерений небольших площадей выражали только в мерах длины (практически в саженях) без перевода их в квад ратные меры. Вот как записана была площадь участка в документах того времени: «двор истопника Юрия вдоль — полчетверты саж., попе реч — 3 саж... Подле Яузы от мосту к Москве реке огород князя Романа Пожарского, вдоль от ворот к Яузе реке — 46 саж., попереч от мосту 36 саж.».
В XVII в. смысл меры «соха» изменился; под ней стали понимать единицу обложения. В качестве общей единицы обложения была уста новлена большая московская соха в 800 четвертей «доброй» земли.
Основной мерой измерения площадей стала десятина. Непосредст венные результаты измерений обычно выражали в долях десятины:
полдесятины, четверть (четь) десятины и пр. Землемеры применяли преимущественно казенную трехаршинную сажень, равную 2,16 м, та ким образом, десятина в 2400 квадратных саженей равнялась прибли зительно 1,12 га.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Масштабы использования десятины и четверти росли в соответст вии с освоением угодий и увеличением территории государства. Одна ко уже в первой половине XVI в. выяснилось, что при измерении зе мель в четвертях общая опись земель затянется на много лет. И тогда в 40 х годах XVI в. один из просвященнейших людей Ермолай Еразм предложил пользоваться более крупной единицей, под которой подра зумевалась квадратная площадь со стороной в 1000 саженную версту.
Это предложение не было принято, но сыграло определенную роль.
Для сенокосных угодий стала широко применяться «урожайная»
мера — копна. Постепенно эту меру увязали с десятиной, и она подраз делялась на 2 полукопны, на 4 четверти копны, на 8 полчетвертей копны и т. д.
С течением времени копна как мера площади была приравнена к 0,1 десятины (т. е. считали, что с десятины снимали в среднем 10 ко пен сена).
Московская государственная власть стремилась к проведению еди ной метрологической политики в области землеустройства и взима ния налогов с земель.
Мероприятия по устранению метрологического разногласия в об ласти измерения проводились осторожно и постепенно. В первую оче редь устанавливали соотношения между московскими и различными местными мерами.
«Трудовые» и «посевные» меры стали выражать через геометриче скую меру — десятину, позволявшую более точно измерять земельные площади.
При Петре I в системе единиц площади прочно утвердились квад ратные меры. В учебниках давали сведения о них и о действиях с ними.
Еще Л. Ф. Магницкий пользуется словом «квадратный» – «квадрат ные стопы», «квадратные цоли», «квадратные мили» и пр.
Квадратные единицы образовали определенную систему, которая может быть представлена в следующем виде:
квадратная верста = 250 000 квадратных саженей.
(1 000 000 квадратных саженей, когда употреблялась верста в 1000 саженей);
квадратная сажень = 9 квадратным аршинам = 49 квадратным футам;
квадратный аршин = 256 квадратным вершкам = 784 квадратным дюймам;
квадратный фут = 144 квадратным дюймам.
Линейные размеры участков измеряли уже не «мерными веревка ми», а 10 саженными железными цепями, в которых каждая сажень © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by была разделена на звенья по аршина. Сами измерения проводили лица, достаточно знакомые с основаниями геометрии и тригономет рии, — геодезисты. В «Инструкции» был приведен пример организа ции и методики выполнения измерения земель и пример обработки результата.
Номенклатура единиц измерения площадей не изменилась и в XIX в.
«Положение о мерах и весах» 1899 г. узаконило квадратные единицы, образованные от узаконенных единиц длины. В качестве специфи ческой единицы была узаконена десятина, равная 2400 квадратных са женей.
Обратим внимание на появление некоторых мер объемов.
К ХVIII в. была установлена следующая система сыпучих мер:
1 четверть = 8 четверикам » 2,1 гектолитра;
1 четверик = 8 гарнцам » 26,2 литра;
1 гарнец » 3,3 литра.
В торговой практике и в быту, по данным Л. Ф. Магницкого, долго еще употреблялись следующие меры сыпучих тел («хлебные меры»):
ласт — 12 четвертей;
четверть (четь) — часть кади;
осьмина (осьмая — восьмая часть);
кадь (кадка, окова) = 20 ведер и больше;
большая кадка — больше кадки;
цыбик — ящик (чаю) = от 40 до 80 фунтов (по весу).
К «Заданиям для самостоятельной работы б) 1 мм » 0,039 дюйма = 0,039 фунта » 0,0033 фунта;
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 2. 3 фута 5 дюймов = {1 фут = 12 дюймов} = 36 + 5 (дюймов) = = 41 дюйм = 41 2,54 см » 104,14 см » 1041, мм;
21 дюйм » 21 2,54 см = 53,34 см = 533,4 мм;
2 ярда 3 дюйма = {1 ярд = 36 дюймов} = 72 + 3 = 75 (дюймов) »
» 75 25,4 мм = 1905 мм.
3. 4 ярда 2 фута 3 дюйма = (4 3 + 2) фута 3 дюйма = (14 12 + 3) дюйма = 171 дюйм = 171 2,54 см = 434, 34 см » 4,34 м;
3 шнура = 3 10 прутов = 30 7,5 локтей = 225 локтей = 225 44 см = 9900 см = 99 м.
5. 1 аршин = 71,12 см;
1 миля = 5280 футов = 5280 12 дюймов = 63 360 дюймов = = 63 360 2,54 см = 1,609 км;
1 верста = 1066,78 м.
6. 1 аршин = 71 см, 1 сажень » 2,13 м, 1 аршин < 1 сажени.
Сравнить можно и по другому: 1 сажень = 3 аршинам.
7. 192 м 250 000 = 48 000 000 м = 48 000 км.
8. 250 000 360 = 90 000 000 (локтей).
9. 2 фута 2 дюйма = 24 + 2 = 26 (дюймов);
10. 1 фут = 30,48 см; 1 дюйм = 2,54 см. Следовательно, 2 фута 2 дюй ма = 2 30,48 + 2 2,54 = 60,96 + 5,08 = 66,04 (см) » 66 см.
1 фут 3 дюйма = 30,48 + 3 2,54 = 30, 48 + 7,62 = 38,1 (см).
V = 66 38,1 20,32 = 51 096,7 (см3) » 0,051 м3.
полчетверти.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 13. 300 см = 3 м;
14. 0,25 0,33 = 0,0825 (м2);
7,5 : 0,0825 = 91, т. е. потребуется 91 плитка.
15. » 20 см2.
16. а) 5 2,5 + 2,5 2,5 = 2,5 7,5 = 18,75 (см2) = 0,1875 дм2 = 0,001875 м2;
б) 6,7 5,4 – 3,5 2,5 = 36,18 – 8,75 = 27,43 (см2) = 0,2743 дм2 = = 0,002743 м2;
= 14,45 (см2) = 0,1445 дм2 = 0,001445 м2;
г) фигура состоит из трех вертикальных прямоугольников:
S = 5,1 1,6 + 3,5 1,6 + 1,6 1,6 = 1,6(5,1 + 3,5 + 1,6) = 16,32 (см2) = 17. 5 см2 = 500 мм2; 12 дм2 = 120 000 мм2; 0,5 м2 = 50 дм2 = 5000 см2 = = 500 000 мм2.
18. 15 м2 = 150 000 см2; 1,2 дм2 = 120 см2; 5 м2 = 50 000 см2.
19. 50 см2 = 0,5 дм2; 20 м2 = 2000 дм2; 10,5 м2 = 1050 дм2.
20. 500 см2 = 5 дм2 = 0,05 м2; 120 дм2 = 1,2 м2; 0,5 дм2 = 0,005 м2; 6 ар = 600 м2; 0,02 га = 200 м2; 4,8 га = 480 ар = 48 000 м2.
21. Площадь старого ковра: 9 12 = 108 (дм2); площадь нового ковра:
108 – 8 1 = 100 (дм2).
22. Так как площадь прямоугольника 9 4 = 36 (см2), то каждый квадрат будет иметь такую же площадь.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 23. 0,8 см = 8 мм. Пусть х — ширина прямоугольника, тогда х + 8 — длина, периметр: (х + х + 8) 2 = 136; 2х + 8 = 68; х = 30; х + 8 = 38;
S = 30 38 = 1140 (мм2) = 11,4 см2.
24. 6,5 дм = 65 см; вторая сторона: 2210 : 65 = 34 (см); периметр:
(65 + 34) 2 = 99 2 = 198 (см).
25. Если не будет остатков, то получится n = = 11 (пластинок).
Практическая реализация, не допускающая остатков.
26. Исходя из площадей требуемых стекол, нужно + 38,4 + 16,56 = 346,08 (дм2).
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Площадь исходного листа: 15 5 = 75 (дм2).
Требуется листов: 346,08 : 75 = 4,6, т. е. 5 листов.
Практическая реализация:
27. Площадь второй комнаты: 12,8 + 11,8 = 24,6 (м2); площадь третьей комнаты 24,6 – 10,6 = 14 (м2); общая площадь комнат 12,8 + 24,6 + 14 = = 51,4 (м2).
28. Ширина луга: 2,25 – = 2 (км).
Площадь луга: 2,25 2 = 4,5 (км2) = 450 га; 450 12 = 5400 (т).
29. Площадь вишневого сада: 6,25 4000 = 25 000 (м2); длина сада:
25 000 : 100 = 250 (м).
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 30. Площадь поля: 2,4 2 = 4,8 (км2) = 480 га; семян потребуется:
1,4 480 = 672 (ц) = 67,2 т.
31. 25 200 = 5000 (см) = 50 м.
32. Длина участка: 10 10 000 = 100 000 (см) = 1000 м = 1 км;
ширина участка: 8 10 000 = 80 000 (см) = 800 м;
площадь участка: 1000 800 = 800 000 (м2) = 80 га;
пшеницы потребуется: 0,24 80 = 19,2 (т).
33. Так как 0,4 делится нацело на 0,2 и 10 делится нацело на 0,2, то остаток при разрезании не получится и нужно просто сравнить пло щадь имеющихся листов железа и требуемого количества пластинок.
Общая площадь пластинок: 0,2 0,2 5000 = 200 (дм2).
Общая площадь листов: 0,4 10 48 = 192 (дм2), т. е. листов же леза не хватит.
34. АР = 65 – 45 = 20 (м); АМ = ВС = 20 м;
SАВСD = 1350 + 300 = 1650 (м2) = 16,5 ар.
35. Целых клеточек — 4; половинок — 12; площадь: 4 + = 10 0,25 = 2,5 (см2).
36. а) Верхний треугольник — 2 клеточки; тело ракеты — 12 клето чек; каждое крыло — по 2 клеточки; общая площадь: (2 + 12 + 2 2) 0,25 = 18 0,25 = 4,5 (см2).
б) Целых клеточек — 26; половинок — 6.
Треугольники: верхний — клеточек; хвост — клеточек; сни зу — 1 клеточка.
Вся площадь: 26 + + + + 1 0,25 = 34 0,25 = 8,5 (см2).
37. 1 км = 1000 м = 1 000 000 см.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 38. 200 км = 200 000 м.
39. 613 км = 61 300 000 см;
С ЕДИНОЙ СИСТЕМОЙ МЕР
Цель: познакомить учащихся с мерами массы и с попытками созда ния единой системы мер, а также с метрической системой мер, вырабо тать навыки решения задач на сравнение вычислений в различных системах мер.© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by На изучение этой темы отводится 3 часа. Основное внимание в ней уделяется переводу одних единиц измерения в другие и задачам с практическим содержанием на взвешивание и переливание. В дидак тических материалах для проведения факультативных занятий содер жится исторический материал о мерах масс и попытках создания еди ной системы мер. На факультативных занятиях рекомендовано про ведение соревнований, игр, выполнение учениками индивидуальных заданий, подготовка различных сообщений.
Дополнительный материал для проведения занятий Согласно современным справочникам 1 гран = 64,8 мг. В Англии, например, единицей массы являлась драхма.
1 драхма = 27,34 гран = 1,77 г.
1 унция = 16 драхмам = 28,35 г.
1 фунт = 16 унциям = 7000 гран = 453,6 г.
Древнейшей русской весовой единицей является гривна, равная приблизительно 409,5 г. Позднее в обиход вошли фунт, камень и бер ковец. Русский фунт равен примерно 375 г, 1 камень = 40 фунтам, 1 берковец = 5 камням. Использовались и более крупные единицы, на пример пуд, равный 16,32 кг, безмен, равный приблизительно 1 кг. Без меном назывались и весы с подвижной точкой опоры и неподвижной гирей.
Гривна (позднейший фунт) оставалась неизменной. Слово «грив на» употребляли для обозначения как весовой, так и денежной едини цы. Это наиболее распространенная мера веса в розничной торговле и ремесле. Ее применяли и для взвешивания металлов, в частности золота и серебра.
Берковец — это большая мера веса, употреблялась в оптовой торгов ле преимущественно для взвешивания воска, меда и т. д. Слово «бер ковец» происходит от названия острова Бьерк. Берковцом на Руси называлась мера веса в 10 пудов, как раз стандартная бочка с воском, которую один человек мог закатить на купеческую ладью, плывущую на этот самый остров (163,8 кг). Известно упоминание берковца в XII в.
в уставной грамоте князя Всеволода Гавриила Мстиславича новгород скому купечеству.
Золотник равнялся фунта, в современном исчислении 4,27 г.
О нем говорили: «мал золотник, да дорог». Это слово первоначально обозначало зoлотую монету.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Фунт (от латинского слова pondus — вес, гиря) равнялся 32 лотам, 96 золотникам, пуда, в современном исчислении 409,50 г. Исполь зуется в сочетаниях: «не фунт изюма», «узнать, почем фунт лиха». Са хар продавали фунтами. Чай покупали на золотники. До недавнего времени маленькая пачка чаю весом в 50 г называлась «осьмушка»
( фунта).
Лот — старорусская единица измерения массы, равная трем золот никам или 12,797 г.
Доля — самая мелкая старорусская единица измерения массы, рав ная золотника или 0,044 г.
Пуд равнялся 40 фунтам, в современном исчислении — 16,38 кг.
Еще в XI—XII вв. употребляли различные весы с равноплечим и не равноплечим коромыслом: «пуд» — разновидность весов с переменной точкой опоры и неподвижной гирей, «скалвы» — равноплечие весы (двухчашечные). Пуд как единица массы был отменен в СССР в 1924 г.
Рассмотрим вопрос, связанный с попытками создания единой сис темы мер. В процессе развития росли требования к точности мер и из мерений.
В старых учебниках арифметики помещали подробные таблицы мер как отечественных, так и зарубежных стран. В старых справочни ках можно было найти около 100 различных футов, 46 различных миль и около 100 фунтов и т. д. В России одна и та же мера в разных губерни ях имела разную величину. Каждое государство пыталось упорядочить свою систему мер, сделать это было трудно. Например, в России Петр I указом ввел следующие сложные соотношения между бытовавшими в то время единицами: 1 миля = 7 верст = 3500 саженей = 10 500 аршин = = 168 000 вершков = 294 000 дюймов = 2 940 000 линий = 29 400 000 то чек. Однако эти изменения не упростили систему вычислений.
Неупорядоченность системы мер значительно затрудняла развитие торговых и других отношений между государствами, поэтому была не обходима общая система мер, в которой каждая мера должна была иметь определенную величину. Начиная с XVII в. этот вопрос обсуж дался учеными практически во всех странах мира и в результате поя вилась метрическая система мер, которой стали пользоваться самые развитые государства.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Создание и распространение метрической системы мер не обош лось без борьбы и трудностей, вызванных сопротивлением противни ков ее введения. Нелегко было преодолеть и вековые привычки к ста рым мерам.
Согласно метрической системе мер основной мерой длины являет ся метр. Его эталон под названием «международный метр». Были изго товлены 34 копии международного эталона метра для стран — участ ников международного соглашения. Однако проверка копий в разных странах, произведенная в начале ХХ ст., показала значительные откло нения длин разных эталонов по сравнению с международным эталоном.
Это заставило ученых искать более устойчивую величину в качестве единицы длины. Метрическая система мер введена во многих странах мира, однако не во всех. Например, в Англии, в США действует старая английская система мер. В бывшем Советском Союзе метрическая система мер была введена в 1918 г.
Основным преимуществом метрической системы мер перед всеми другими существующими системами мер является совпадение осно вания десятичной системы счисления и единичного отношения мер.
Вследствие этого совпадения оснований обеих систем в нашей ариф метике уже нет утомительных преобразований составных именован ных чисел. В старых учебниках арифметики такие преобразования за нимали 30 % времени, отводимого в школе на арифметику.
К «Заданиям для самостоятельной работы»
1. 1 пуд » 16,4 кг; 2 пуда » 32,8 кг; 1 фунт » 0,41 кг; 3 фунта » 1,23 кг;
9 фунтов » 3,69 кг; 27 фунтов » 11,07 кг; 1 золотник » 4,3 г; 3 золотника »
» 12,9 г; 9 золотников » 38,7 г; 27 золотников » 116,1 г; 81 золотник »
» 348,3 г.
2. V = 3 1,3 2 = 7,8 (куб. ярда); 1 ярд = 3 футам = 36 дюймам; 1 ярд куб. = 36 36 36 = 46 656 (куб. дюймов).
Масса воды: 3,84 46 656 = 179 159,04 (золотника) » 770 383 г »
» 770 кг.
1 дюйм = 10 линий » 25,4 мм = 2,54 см;
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 16 вершков = 28 дюймов;
1 четверть = 4 вершка = 17,78 см;
1 аршин = 4 четверти = 71,12 см;
1 сажень = 3 аршина = 71,12 см 3 » 2,134 м;
1 верста = 500 саженей = 1,067 км;
4. 1 малая гривенка = 1 большая гривенка = 1 фунт = 2 малые гривенки = 204,96 2 = = 409,92 (г).
1 пуд = 40 фунтов = 409,92 г 40 = 16,3968 кг.
1 берковец = 10 пудов = 163,968 кг.
1 ласт = 72 пуда = 72 16,3968 кг » 1180,6 кг.
5. Аптекарский фунт равен 4,27 г 84 = 358,68 г.
Торговый фунт равен 4,27 г 96 = 409,92 г.
409,92 – 358,68 = 51,24 (г).
6. 48 золотников = 4,27 48 = 204,96 (г).
4 золотника = 4,27 4 = 17,08 (г).
Содержание серебра упало на 204,96 – 17,08 = 187,88 (г).
7. Пусть a, b, c, d, e — массы каждого из мешков. В результате взве шиваний получились массы: a + b; b + c; c + d; d + e; a + c; b + d; c + e; a + d;
b + e; a + e.
Сложив все эти числа, получим 4a + 4b + 4c + 4d + 4e, что равно 110 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116 + 117 + 118 + 120 + 121 = 1156 (кг).
Итак, a + b + c + d + e = 289. Масса двух самых легких мешков вместе 110 кг, двух самых тяжелых — 121 кг. Следовательно, средний по массе мешок весит 289 – (110 + 121) = 58 (кг). Тогда 120 кг — сумма самого тяжелого и среднего мешков. Поэтому масса самого тяжелого мешка 120 – 58 = 62 (кг). Тогда масса четвертого мешка 121 – 62 = 59 (кг).
Аналогично рассуждая, заключаем, что 112 кг — сумма масс самого легкого и среднего по массе мешков. Поэтому масса самого легкого мешка 112 – 58 = 54 (кг), тогда масса второго мешка 110 – 54 = = 56 (кг). Итак, масса мешков: 54 кг, 56 кг, 58 кг, 59 кг, 62 кг.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 8. 89,4 г 1 000 000 = 89 400 000 г = 89 400 кг = 89,4 т.
10. кг составляют бруска мыла. Следовательно, масса всего бру ска мыла 3 кг.
11. 7 персиков.
12. 5 стаканов.
13. Достаточно получить один 200 граммовый пакет, для развеши вания остальных пакетов его можно использовать в качестве меры.
Схема взвешивания:
500 + 900 = 1400 (остаток 600);
500 — 500 (остаток 100);
Вторая схема:
500 (гиря) + 400 (сахар) = 900 (молоток) (остаток сахара 1600);
500 (гиря) + 900 (молоток) = 1400 (сахар) (остаток 200).
14. Пусть изначально мастер заложил х кг золота и (10 – х) кг се ребра. Тогда вес короны под водой будет равен:
мастер заменил 3 кг золота тремя килограммами серебра.
15. Чтобы проползти мост, питону нужно проползти 32 + 16 = 48 (м).
Чтобы проползти мимо столба, питону нужно проползти только свою длину — 16 м. Составляем пропорцию:
16 м — х мин, где х — число минут, необходимое питону, чтобы проползти мимо столба; х = = 6, т. е. затратит 6 минут.
16. За оставшиеся 4 месяца молодой человек должен был зарабо тать 2600 $ – 1000 $ = 1600 $. Следовательно, его месячная зарплата составляет 1600 $ : 4 = 400 $, а зарплата за год: 400 $ 12 = 4800 $, тогда автомобиль стоит 4800 $ – 2600 $ = 2200 $.
17. От первого до последнего гриба Винни Пух совершил 14 пере ходов по 40 м, всего 40 14 = 560 (м).
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 18. Так как большая птица стоит вдвое дороже маленькой, то 5 боль ших и 3 маленькие стоят столько же, сколько 5 2 + 3 = 13 (маленьких), 5 маленьких и 3 большие стоят столько же, сколько 3 2 + 5 = 11 (ма леньких). Тогда 13 – 11 = 2 (маленькие) стоят 20 ден. ед., одна малень кая — 10 ден. ед., большая — 20 ден. ед.
19. Поскольку часы начали и закончили бить одновременно, то вре мя должно быть кратно числам 2 и 3, т. е. кратно 6. За 6 с происходит (не считая 1 го) 4 удара (в 2, в 3, в 4 и в 6 с), за 3 периода по 6 с происхо дит 4 3 = 12 (ударов). Прибавляем 1 й удар, получаем 13. Итак, про шло 3 6 = 18 (с).
1 – = — масса такой части камня 5 кг.
21. Атос — 90 кг, д’Артаньян — 80 кг, Портос — 120 кг.
22. Пусть столяр заработал х р., тогда средний арифметический 23. Второй за 25 мин очистил 25 2 = 50 (картофелин). Следова тельно, за время, которое они чистили вместе, было почищено 400 – 50 = 350 (картофелин). За 1 мин они вдвоем чистили 5 картофе лин, тогда вдвоем они чистили 350 : 5 = 70 (мин). Итак, первый чистил 70 мин, второй — 95 мин.
24. Двое выполняют двойной объем работы за 14 дней при усло вии, что второй приступит к работе на 4 дня позже. Сравнивая эти чис ла со второй частью условия, заключаем, что первый выполняет рабо ту за 14 дней, второй — за 10.
25. 169 м2 = 1 690 000 см2 = 16 900 дм2 = 169 000 000 мм2 = 0,000169 км2.
26. 0,62 дм = 62 мм = 0,062 м = 6,2 см = 0,000062 км.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 28. 0,5 кг = 500 г = 0,005 ц = 500 000 мг.
29. Масса кирпичика меньше в 43 раза, тогда пичика (кг).
30. 1 м3 = 1000 дм3 = 1 000 000 см3 = 1 000 000 000 мм3.
Тогда высота этого столба будет 1 000 000 000 мм = 1 000 000 м = = 1000 км.
31. 6 часов.
32. Пусть х см3 — объем железной детали, тогда объем медной де тали — (х – 2) см3, получаем уравнение:
х 7,8 + (х – 2)8,9 = 149,2; 78х + 89х – 178 = 1492; 167х = 1670;
х = 10; х – 2 = 8, т. е. объем железной детали — 10 см3, медной — 8 см3.
33. Пусть ученик занимался х ч русским языком, тогда географией он занимался х - ч, математикой — х + ч. Составляем уравнение х + х – + х + = 1, решив которое получаем, что ученик занимался русским языком — ч, географией — ч, математикой — ч.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Цель: сформировать у учащихся внутреннюю мотивацию к геомет рическому материалу и с помощью соответствующих заданий разви вать пространственное воображение, логику рассуждений, познава тельную и творческую активность.На изучение этой темы отводится 4 часа. Основное внимание в ней уделяется геометрическим фигурам: углу, треугольнику, кругу, окруж ности, решению занимательных задач и диаграммам в повседневной жизни, простейшим задачам прикладного характера. На факультатив ных занятиях рекомендовано проведение геометрических соревнова ний и различных игр. В приложении расположен соответствующий геометрический материал.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by К «Вопросам и заданиям для самостоятельной работы (2)»
2. Верное утверждение: а).
6. Периметр малого прямоугольника: 2 + = а + b.
Периметр большого прямоугольника: 2(а + b) = = 2 51 = 102 (см).
7. Получили 8 треугольников.
8. Периметр прямоугольника: 2 (80 + 120) = = 400 (м). Досок потребуется 400 : 0,1 = 4 000 (м).
10. На нижеследующих рисунках убраны 9 спичек. Полностью со хранился на каждом контур только одного квадрата:
12. Пусть длина стороны нижнего среднего квадрата равна x. Тогда длина стороны правого нижнего квадрата равна (x + 1), верхнего пра вого — (x + 2), левого верхнего — (x + 3), а искомая сторона нижнего ле вого квадрата равна (x + 3) – (x – 1) = 4.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 13. Указание:
К «Занимательным задачам на разрезание»
4. а) © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 8. Способ © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by К рубрике «Давайте поиграем»
1. Выигрывает первый. Своим первым ходом начинающий может закрасить центральную клетку квадрата, а затем поддерживать цен тральную симметрию.
2. Выигрышная стратегия есть у начинающего. Первым своим хо дом начинающий может провести хорду AB, по обе стороны которой будет одинаковое количество отмеченных точек. Занумеруем точки, лежащие по одну сторону от AB в порядке следования красными циф рами: 0 (точка А), 1, 2,..., 9, 10 (точка В), а точки, лежащие по другую сторону, — зелеными цифрами: 0 (точка A), 1, 2,..., 9, 10 (точка B). Те перь первый игрок может симметрично отражать ходы своего сопер ника относительно хорды AB, а именно: соединять точки с теми же но мерами, что соединил перед этим соперник, но другого цвета (разно © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by цветные точки соперник соединить не сможет, поскольку в этом слу чае ему придется пересечь хорду AB, что запрещено правилами).
3. а) Выигрышная стратегия есть у второго игрока. Для победы второму игроку достаточно совершать ходы, симметричные ходам со перника относительно центра квадрата.
б) Победит начинающий. Он может своим первым ходом отло мить и съесть нижние 6 горизонтальных рядов. После этого останется прямоугольник с дегтем в центре. Далее работает центрально симмет ричная стратегия.
в) Победит второй игрок. Клетка C находится на диагонали квадрата. Второй игрок может делать разломы вдоль прямых, симмет ричных прямым, вдоль которых делает разломы первый игрок, относи тельно этой диагонали. Таким образом, после каждого хода второго иг рока будет получаться все меньший и меньший квадрат, в котором клетка с дегтем по прежнему лежит на диагонали.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by
ЗАДАЧИ ШУТКИ И УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Два отца и два сына пошли гулять и купили три апельсина. Ка ждый из них получил по апельсину. Как это могло получиться?Ответ: гуляли дед, отец и внук.
2. Что тяжелее: тонна пуха или тонна железа?
Ответ: весят одинаково.
3. Яйцо всмятку варится 3 минуты. Сколько времени потребуется, чтобы сварить 5 яиц?
Ответ: 3 минуты.
4. Четверо играли в домино 4 часа. Сколько часов играл каждый из противников?
5. Пара лошадей пробежала 10 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь?
6. Во сколько раз лестница на шестой этаж длиннее лестницы на второй этаж этого же дома?
7. В шашечном турнире с тремя участниками было сыграно шесть партий. Сколько партий сыграл каждый участник?
Ответ: 4 партии (так как в каждой партии участвуют два игрока).
8. У одного человека спросили, сколько у него детей. Ответ был за мысловатый: «У меня шесть сыновей, а у каждого сына есть родная се стра». Сколько детей в этой семье?
Ответ: шесть сыновей и одна дочь.
9. Из двух станций навстречу друг другу одновременно вышли два поезда: товарный и скорый. Скорость первого поезда — 80 км в час, второго — 40 км в час. Через 6 часов после своего выхода скорый поезд встретился с товарным. Сколько времени до момента встречи шел то варный поезд?
10. 10 насосов за 10 минут выкачивают 10 тонн воды. За сколько ми нут 25 насосов выкачают 25 тонн воды?
Ответ: за 10 минут.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 11. Отец оставил дочери конверт с деньгами и попросил купить ее кое что в магазине. Девочка увидела на конверте сумму 98 ден. ед. и не стала пересчитывать деньги. В магазине ей нужно было заплатить 90 ден. ед., ей не хватило 4 ден. ед. Дома она рассказала об этом отцу, но он сразу объяснил ей, в чем дело. В чем была ошибка девочки?
Ответ: в конверте было 86 ден. ед., она просто его перевернула.
12. В колесе 10 спиц. Сколько промежутков между ними?
13. В воскресенье в 6 ч утра гусеница, которая живет не более суток, а затем превращается в кокон, начала вползать на дерево. В течение дня, т. е. до 6 часов вечера, она забралась на высоту 5 м, но потом сполз ла на 2 м вниз. Когда и в каком часу гусеница, двигаясь таким образом, может достигнуть вершины, если высота дерева 12 м?
Ответ: никогда.
14. Рыба весит 1 кг и еще столько, сколько весит полрыбы. Сколько весит рыба?
15. Гусь стоит 2 рубля и еще половину действительной стоимости.
Сколько стоит гусь?
Ответ: 4 рубля.
16. Если 2 кошки за 2 часа съедят 2 мышек, то сколько мышек съедят 4 кошки за 4 часа?
Ответ: 8. Так как 2 кошки за 2 часа съедят 2 мышек, то 2 кошки за 4 часа съедят 4 мышек, тогда 4 кошки за 4 часа съедят 8 мышек.
17. 3 кошки съедают 3 мышек за 1,5 часа. За какое время 10 кошек съедят 20 мышек?
Ответ: за 3 часа. 3 кошки за 1,5 часа съедят 3 мышек, 1 кошка за 1,5 часа съест 1 мышку. 1 кошка за 3 часа съест 2 мышек. 10 кошек за 3 часа съедят 20 мышек.
18. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других.
Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
Ответ: взять любые два кольца и положить на весы, если бу дет равновесие, то третье кольцо — искомое, если равновесия нет, то весы покажут, какое кольцо легче.
19. Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взве шиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Ответ: положить на каждую из чашек весов по три монеты, если весы в равновесии, то из оставшихся трех монет положить на © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by чашки весов по монете, и если весы в равновесии, то оставшаяся моне та фальшивая, в противном случае весы определят фальшивую. Если первоначально весы не были в равновесии, то из трех монет, которые легче, положить на чашки весов по одной монете и определить более легкую.
20. Из 7 монет одна фальшивая (более легкая). Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах определить фальшивую?
Ответ: положить на каждую из чашек весов по три монеты, если весы в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая. Если весы не уравновесятся, то положить на чашки весов по одной монете из тех трех, которые легче, и определить более легкую одним взвешиванием.
21. Из города А в 9 часов вечера вышел в город В грузовой поезд со скоростью 80 км в час. Из города В ему навстречу вышел скорый поезд со скоростью 120 км в час. Расстояние между городами 600 км. Какой поезд в момент встречи будет ближе к городу А?
22. По обеим сторонам железной дороги на протяжении одного ки лометра расставлены столбы на расстоянии 100 м один от другого.
Сколько всего столбов расставлено на данном расстоянии?
23. Катя решила задачу первой. Она объяснила решение трем подру гам. Каждая из них объяснила решение задачи еще троим. Каждая из этих троих объяснила решение еще троим. К началу урока все учащие ся класса знали, как решить задачу. Сколько учеников было в классе?
24. Старушка поднялась с 1 го этажа на 5 й за 5 минут. За сколько минут она поднимется с 1 го этажа на 9 й, если будет идти с той же скоростью?
Ответ: за 10 минут.
25. Два землекопа за 2 часа выкопали 2 ямы. Сколько ям выкопают 3 землекопа за 3 часа?
26. Петя и Вася живут в одном доме и выходят в школу одновременно.
Каждый шаг Пети на 10 % длиннее Васиного, но Петя делает в минуту на 10 % шагов меньше, чем Вася. Кто из них раньше придет в школу?
Ответ: первым придет Вася.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 27. Имеется двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо ва рится 15 минут. Как отмерить это время при помощи этих часов?
Ответ: 1) перевернуть одновременно 7 минутные и 11 минут ные часы, получим разницу в 4 минуты; 2) перевернуть 11 минутные часы, получим 4 мин + 11 мин = 15 мин.
28. Дана квадратная таблица 4 4, в каждой клетке которой стоит «+» или «–». За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из «+»?
а) + - - + б) + + + Ответ: а) можно. Сначала надо поменять знаки во второй и треть ей строках, затем во втором и третьем столбцах;
б) нельзя. Легко заметить, что любое изменение знаков в строке или столбце не меняет четность числа знаков в этой строке или в этом столбце, а следовательно, и во всей таблице. Так как в исходной табли це число знаков «–» нечетное, то получить таблицу с одними знаками «+» невозможно.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
(на каждое задание отводится несколько минут, нечетные номера — I вариант, четные — II вариант) 1. Если 8 % пути составляют 48 км, то чему равен весь путь?2. Если 6 % пути составляют 48 км, то чему равен весь путь?
3. В классе 25 учеников, 20 % из них занимаются танцами. Сколько учащихся занимаются танцами?
4. В классе 28 учеников, 25 % из них занимаются музыкой. Сколько учащихся занимаются музыкой?
5. Найдите процентное отношение чисел 26 и 200.
6. Найдите процентное отношение чисел 34 и 200.
7. Число увеличили в 1,5 раза. На сколько процентов увеличили число?
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 8. Число увеличили в 1,3 раза. На сколько процентов увеличили число?
9. Какой процент жирности молока, если в одном его килограмме содержится 35 г жиров?
10. Какой процент жирности молока, если в одном его килограмме содержится 45 г жиров?
II. Единицы измерения длины, площади и объема 1. Какую длину имеет сторона квадрата, площадь которого 1 га?
2. Какую длину имеет сторона квадрата, площадь которого 1 а?
3. Какую часть ара содержит квадрат со стороной 1 м?
4. Какую часть гектара содержит квадрат со стороной 1 м?
5. Выразите в квадратных метрах 3 а.
6. Выразите в квадратных метрах 5 а.
7. Выразите в квадратных километрах 300 га.
8. Выразите в квадратных километрах 500 га.
9. Найдите площадь квадрата со стороной 0,5 см.
10. Найдите площадь квадрата со стороной 0,6 см.
11. Объем сосуда 8 дм2. Войдет ли в этот сосуд 7 л воды?
12. Объем сосуда 6 дм2. Войдет ли в этот сосуд 7 л воды?
13. Какую часть литра составляет 1 см3?
14. Сколько литров содержится в 1 см3?
15. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения ко торого 0,2 см; 0,3 см; 0,1 см.
16. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения ко торого 0,4; 0,5; 0,1.
17. Найдите объем куба с ребром 0,1 м.
18. Найдите объем куба с ребром 0,2 м.
19. Какой процент составляет 1 дм3 от 1 м3?
20. Какой процент составляет 1 см3 от 1 дм3?
ИГРЫ, КОТОРЫЕ МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ
ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ
Игры: «Цепочка», «Лесенка», «Молчанка», «Лабиринт» — реко мендуются для проведения на занятиях по темам «Путешествие в мир десятичных дробей» и «Путешествие в страну рациональных чисел».© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by II. Простейшие геометрические игры 1. Игры с использованием спичек Для проведения этих игр можно использовать счетные палочки.
Как правило, в таких играх предлагается сложить из спичек (счетных палочек) какую либо фигуру, которая получается в результате реше ния некоторого задания, или переставить спички у данной фигуры и получить новую.
В дидактических материалах содержится материал для проведения этих игр.
2. Геометрические игры головоломки Игры, которые рекомендуются на занятиях по теме «Путешествие в страну геометрических фигур».
«Головоломка Пифагора». Квадрат делится на 7 частей (два квад рата, четыре треугольника и параллелограмм). На рисунке показано, как необходимо разрезать квадрат и какие фигуры из полученных час тей нужно сложить [9].
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by «Гексамино». Каждый из 12 элементов игры состоит из 6 равных равносторонних треугольников. Чертежи элементов игры и силуэты фигур предлагаются ниже [9].
«Колумбово яйцо». Существует множество вариантов игры. В пред лагаемом варианте овал разрезается на 10 частей. На рисунке даны си луэты фигур для составления и элементы игры [9].
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by 1. Игры: «игра в 11» и «игра в 30» рекомендуются на занятиях темы «Путешествие в страну геометрических фигур».
2. Игры с шашками Игры, которые рекомендуются для организации игровых «прива лов»: «Квартет», «Лиса и гуси», «Леопард и коровы», «Волк и овцы».
(Оборудование и правила игр даны в дидактических материалах.) © НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by От авторов
«ТРОПИНКАМИ МАТЕМАТИКИ»
Программа факультативных занятий для учащихся 5 х классов Пояснительная запискаСодержание
Ожидаемые результаты
Рекомендуемая литература
Примерное тематическое планирование факультативных занятий для учащихся 5 х классов «Тропинками математики»
Тема 1. Тропинкой в мир чисел и цифр
Тема 2. Тропинкой в страну «Арифметика»
Тема 3. Тропинкой в удивительный мир вычислений
Тема 4. Тропинкой в удивительный мир арифметических и геометрических игр, головоломок и фокусов
Тема 5. Тропинкой в удивительный мир деления
Тема 6. Тропинкой с математикой во времени
Тема 7. Тропинкой в занимательное геометрическое путешествие
Тема 8. Тропинкой в страну обыкновенных дробей
Задачи шутки и устные упражнения для использования на факультативных занятиях
Математические диктанты
Математические игры
«ПУТЕШЕСТВИЕ С МАТЕМАТИКОЙ»
Программа факультативных занятий для учащихся 6 х классов Пояснительная запискаСодержание
Ожидаемые результаты
Рекомендуемая литература
Примерное тематическое планирование факультативных занятий для учащихся 6 х классов «Путешествие с математикой»
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by Тема 1. Путешествие по времени
Тема 2. Путешествие в мир десятичных дробей
Тема 3. Путешествие в область отношений и пропорций
Тема 4. Путешествие по дорогам денежных систем мер
Тема 5. Путешествие в страну занимательных процентов
Тема 6. Путешествие в страну рациональных чисел
Тема 7. Путешествие в область длин, площадей и объемов
Тема 8. Путешествие в мир масс с единой системой мер
Тема 9. Путешествие в страну геометрических фигур
Задачи шутки и устные упражнения
Математические диктанты
Игры, которые можно использовать при проведении факультативных занятий
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by
ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ
Пособие для учителей учреждений общего среднего образования с белорусским и русским языками обучения Ответственный за выпуск Д. Л. Дембовский Подписано в печать 13.09.2012. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,23. Уч.изд. л. 7,22. Доп. тираж 1100 экз. Заказ Общество с дополнительной ответственностью «Аверсэв».
ЛИ № 02330/0003944 от 03.02.2009. Ул. Н. Олешева, 1, офис 309, 220090, Минск.
Email: [email protected]; www.aversev.by Контактные телефоны: (017) 2680979, 268-08-78.
Ул. ЩербаковаНабережная, 4, 210015, Витебск.
© НМУ «Национальный институт образования»
© ОДО «Аверсэв»
Скачано с сайта www.aversev.by
«