«Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного ...»

Если при любом y1 получается, что y12 < y1, то в системе будет затухающий процесс, т.е. фазовая траектория – спираль, навивающаяся на начало координат; если y12 > y1, то процесс в системе будет расходящимся.

При y12 = y1 на фазовой траектории будет предельный цикл, который соответствует колебательному режиму в системе. Представим функцию последования f ( y1 ) графически (рис. 13.4).

На этот график наносится прямая y12 = y1. Анализируя взаиморасположение кривой f ( y1 ) и прямой y1 = y1, легко видеть, что если при некотором y1 выполняется равенство y1 = y1 = y1, т.е. f ( y1 ) пересекает прямую y12 = y1, то через точку y* проходит замкнутая фазовая траектория.

Рассматривая взаиморасположение кривой f ( y1 ) и прямой y12 = y1 можно также ответить на вопрос, будут ли устойчивы периодические колебания, соответствующие этой замкнутой траектории.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в точке M на некоторой фазовой траектории. При движении по этой траектории переходим к точке с абсциссой y12. Далее y12 преобразуется в y13, y13 – в y14 и т.д. (рис. 13.4.).

Для других начальных условий: абсцисса точки M 1 y1, также строится "лестница" движения от этой точки (рис. 13.4), таким образом получают, что изображающая точка с обеих сторон от "неподвижной" точки y1 приближается к ней. Следовательно, в данном случае на фазовой плоскости будет устойчивый предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям в системе. Величина y1 определяет амплитуду автоколебаний.

Различные случаи точечного преобразования и соответствующие им фазовые портреты представлены на рис. 13.5. На рис. 13.5, а представлена функция последования для системы, имеющей два предельных цикла, из которых один устойчив, а другой неустойчив. Функция последования для системы с полуустойчивым предельным циклом изображена на рис. 13.5, б.

а – наличие устойчивого и неустойчивого предельных циклов;

Рассмотренные методы нахождения автоколебаний и исследования автоколебаний применимы только для систем второго порядка. Однако большинство реальных систем автоматического управления описывается уравнениями более высокого порядка. Наиболее распространенным методом исследования таких систем на практике является метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса был предложен для определения автоколебаний в нелинейной системе Л. С. Гольдфарбом. Этот метод основан на применении частотных характеристик нелинейной системы, получаемых в результате гармонической линеаризации, в связи с чем и применяется для приближенного исследования.

Исследуемая нелинейная система должна быть представима в виде замкнутой системы, состоящей из линейной части, характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой – Wл (i) и объединяющей все линейные элементы системы, и нелинейного звена с характеристикой yнэ = F ( y ) (рис. 13.6).

К нелинейному элементу предъявляется единственное требование, что он не должен быть частотопреобразующим. Нелинейность может быть как статической, так и динамической.

Линейная часть должна быть фильтром высоких частот. Подобное упрощение для большинства промышленных систем регулирования не несет значительных ошибок.

Для применения метода гармонического баланса звено должно быть линеаризовано методом гармонической линеаризации, при котором не учитываются старшие гармонические составляющие на выходе этого звена. Если на вход этого звена подается гармонический сигнал частоты 0, то на его выходе устанавливаются колебания, содержащие сумму гармоник с частотой 0, 20, 30, K. Каждая из этих гармоник поступает на вход линейной части и, проходя через нее, изменяет свою амплитуду в M л (k0 ) раз, где M л () – амплитудно-частотная характеристика линейной части. Но для того, чтобы выполнялась для линейной части гипотеза фильтра высокой частоты, АЧХ линейной части должна удовлетворять условию M л (0 ) >> M л (20 ), т.е. АЧХ должна быть одной из видов, представленных на рис. 13.7.

рис. 13.7, а, называется характеристикой типа фильтра. Система с такой характеристикой не пропускает высокие частоты. Другой вид АЧХ (рис. 13.7, б) относится к характеристикам резонансного типа. Система пропускает здесь ряд частот, отличных от 0, но эти частоты Рис. 13.7 Амплитудно-частотные характеристики линейной части:

незначительно отклоняются от 0, остальные не проходят. Таким образом, выходной сигнал линейной части будет практически содержать лишь первую гармонику с частотой 0.

Рассматриваемая нелинейная система заменяется линеаризованной системой, в которой нелинейное звено заменено линеаризованным и описывается эквивалентной амплитудно-фазовой характеристикой Wнэ (iA).

Так как автоколебания представляют собой незатухающие колебания в нелинейной системе, то в замкнутой линеаризованной системе возникновение незатухающих колебаний за счет первой гармоники возможно только в единственном случае, когда эта система находится на границе устойчивости. В этом случае характеристическое уравнение замкнутой системы должно иметь пару чисто мнимых корней. В соответствии с критерием Найквиста амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы Wрс (i, A) = Wл (i)Wнэ (iA) должна проходить через точку с координатами ( 1, i0). Следовательно, или Уравнение (13.2) сводится к следующим двум уравнениям Уравнения (13.2), а также (13.3) определяют амплитуду Aa и частоту a периодического решения, т.е. гармонический сигнал после прохождения нелинейного звена и линейной части должен иметь на входе в нелинейное звено опять ту же частоту и амплитуду. Если решение ( Aa, a ) системы (13.3) будет действительное положительное, то в рассматриваемой системе возможны автоколебания с частотой a и амплитудой Aa.

На практике уравнение (13.2) обычно решается графически. Для этого на комплексной плоскости с координатами Re(), i Im() вычерчиваются амплитудно-фазовая характеристика линейной части Wл () и инверсная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена с обратным знаком Z нэ (iA) (рис. 13.8). Точка пересечения этих кривых свидетельствует о том, что решение системы (13.2) существует (рис. 13.8, а), а значит в рассматриваемой системе возможны а – автоколебания существуют – точка M; б – автоколебания не существуют колебания, следовательно, в исходной нелинейной системе возможны автоколебания, параметры которых определяются координатами точки M пересечения годографов Wл (i) и Z нэ (iA). Амплитуда автоколебаний определяется по Z нэ (iA), а частота – по Wл (i). Если кривые Wл (i) и Z нэ (iA) не пересекаются (рис. 13.8, б), то в рассматриваемой:

системе автоколебания отсутствуют.

Графическое решение уравнения (13.2) позволило формально найти периодическое решение, так как физически возможны лишь устойчивые периодические колебания. В связи с этим возникает еще проблема исследования устойчивости найденных автоколебаний. Для исследования устойчивости автоколебаний метод гармонического баланса предполагает применение критерия, вытекающего из критерия Найквиста.

Если АФХ линейной части не охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента т.е.

Wл (i) < Z нэ (iA) и, следовательно Wрс (i, A) < 1 (АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами ( 1, i0) ), то замкнутая система будет устойчивой.

Если АФХ линейной части охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента, Wл (i) > Z нэ (iA), (АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами ( 1, i0) ), то замкнутая сисWрс (i, A) > тема будет неустойчивой.

Наличию автоколебаний в нелинейной системе соответствует факт нахождения линеаризованной системы на границе устойчивости, поэтому для исследования их устойчивости предполагается, что под действием возмущений линеаризованная система сдвигается с границы устойчивости. Последующее движение системы оценивается по приведенному выше аналогу критерия Найквиста.

(рис. 13.9, а). В результате действия возмущений система сместилась в точку M1, которой соответствует новое состояние нелинейной системы, характеризующееся возрастанием амплитуды в случае движения по кривой Z нэ (iA) вправо. Точка M 1 находится вне АФХ линейной части, следовательно, согласно аналогу критерия Найквиста система в этом случае будет вести себя как устойчивая, тогда колебания в ней будут затухать, т.е. амплитуда колебаний будет уменьшаться. Последнее через некоторое время приведет к тому, что амплитуда колебаний станет равной исходной амплитуде автоколебаний Aa, т.е. система вернется в состояние, характеризуемое точкой M.

Если по какой-либо причине амплитуда в системе уменьшится, новому состоянию системы будет соответствовать точка M 2, находящаяся внутри АФХ линейной части. В этом случае, применяя аналог критерия Найквиста, видно, что здесь система ведет себя как неустойчивая система. Амплитуда колебаний, следовательно, будет возрастать, но не до бесконечности, а до амплитуды автоколебаний Aa. Таким образом, система опять вернется в состояние, соответствующее режиму автоколебаний – точку M.

Следовательно, во всех случаях происходит возврат системы в режим автоколебаний, что и говорит о том, что автоколебания будут устойчивыми.

На рис. 13.9, б изображены годографы АФХ линейной части и инверсной АФХ нелинейного элемента с обратным знаком, соответствующие неустойчивым колебаниям в системе. Режиму автоколебаний соответствует точка M. Если отклонение от этого режима приводит в состояние, а – устойчивые автоколебания; б – неустойчивые автоколебания характеризуемое точкой M 1, то в силу критерия Найквиста эта точка не охватывает АФХ линейной части, следовательно, система будет вести себя как устойчивая. Колебания в такой системе затухают, т.е.

амплитуда уменьшается, и движение будет происходить по кривой Z нэ (iA), удаляясь от точки M. Если же в силу действующих возмущений произойдет увеличение амплитуды колебаний, и система примет состояние, отвечающее точке M 2, которая охватывает АФХ линейной части, то в силу критерия устойчивости система будет вести себя как неустойчивая. Амплитуда колебаний будет возрастать, и движение будет происходить по кривой Z нэ (iA) в сторону противоположную от точки M. Здесь возврат в точку M невозможен. Таким образом, расположение кривых Wл (i) и Z нэ (iA) на рис. 13.9, б соответствует случаю, когда автоколебания в системе неустойчивы.

Подводя итог, следует отметить, что применение метода гармонического баланса сводится к гармонической линеаризации нелинейного элемента, построению частотных характеристик, с последующим их анализом.

Пример 13.2 Определить амплитуду и частоту автоколебаний системы, состоящей из линейной части с передаточной функцией Wл ( s) = k л e s / (Ts + 1) и трех-позиционного реле (рис. 13.10).

В результате гармонической линеаризации получают, что Z нэ (iA) = A2 / 4c A2 b 2. На рис. 13. приведены Z нэ (iA). Эти характеристики пересекаются в двух точках M1 и M 2. Точка M1 соответствует неустойчивым колебаниям, а M 2 – устойчивым, параметры которых a 0,375 с 1, Aa 3, если k л = 1, 1 Одной из особенностей нелинейных систем является режим автоколебаний, которые могут быть устойчивыми и неустойчивыми. На фазовой плоскости режиму автоколебаний соответствует замкнутая кривая, называемая предельным циклом. Существуют два режима возникновения автоколебаний: режим мягкого и режим жесткого возбуждения.

А На какие вопросы необходимо ответить при изменении автоколебаний?

В Чем режим мягкого возбуждения отличается от режима жесткого возбуждения?

С Какие автоколебания называются устойчивыми?

2 Для исследования режима автоколебаний применяют различные критерии и методы. Так критерий Бендиксона позволяет ответить на вопрос о существовании в системе замкнутых фазовых траекторий, т.е. автоколебаний.

Для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости используется метод точечного преобразования.

А В соответствии с критерием Бендиксона в рассматриваемой области не существует фазовых траекторий при выполнении определенных условий. Сформулируйте эти условия В Какая функция называется функцией последования?

С Каким образом в соответствии с методом преобразования можно определить в системе существующий режим?

3 Для исследования режима автоколебаний в системах высокого порядка используется метод гармонического баланса, являющийся приближенным методом. Исследуемая нелинейная система должна быть представлена в виде замкнутой системы, состоящей из нелинейной части с АФХ Wл (i) и нелинейного звена с характеристикой yнэ = f ( y ), допускающего гармоническую линеаризацию. Для ответа на вопрос о существовании в системе автоколебаний графически решается уравнение Wл (i) Wнэ (iA) = 1. Если АФХ линейной части пересекается с инверсной АФХ нелинейной части Z нэ (iA) = 1 / Wнэ (iA), то в системе существуют автоколебания, в противном случае не существуют. При существовании автоколебаний определяют их параметры – частоту и амплитуду и, используя аналог критерия Найквиста, отвечают на вопрос об устойчивости автоколебаний.

А Какими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы можно было применить к исследованию режима автоколебаний метод гармонического баланса?

В Какой факт лежит в основе доказательства существования в нелинейной системе автоколебаний?

С Сформулируйте аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний.

14 КАЧЕСТВО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

14.1 Методы определения качества регулирования нелинейных систем Вблизи границы устойчивости качество процесса регулирования ухудшается, это обстоятельство дает полагать, что любой критерий устойчивости может послужить основой для выработки тех или иных оценок качества процесса.

В линейных системах все критерии устойчивости устанавливают неравенство, дающее условия нахождения всех корней характеристического уравнения слева от мнимой оси. Как известно, одним из таких показателей является степень устойчивости, но на практике качество оценивается по иным прямым показателям качества, с которыми устанавливается связь через степень устойчивости.

С помощью критерия Попова понятие степени устойчивости может быть использовано и для нелинейных систем.

Говорят, что нелинейная система обладает затуханием или степенью устойчивости 0 не меньше заданной, если для отклонения процесса (t ) от вынужденного или отклонения координат от положения равновесия при любых t остается справедливым неравенство где M – const.

Чтобы неравенство (14.1) могло иметь место при любых t, необходимо, чтобы Если этот предел будет равным нулю, т.е. lim (t )e = 0, то это означает, что (t ) 0 быстрее, чем e 0t.

По аналогии с линейными системами для оценки качества нелинейной системы можно применить интегральную квадратичную оценку где y – выходная координата нелинейного элемента.

В общем виде определить или оценить величину интеграла (14.3) не представляется возможным.

Но, если наложить некоторые ограничения на класс нелинейных функций F (x), то оценка величины интеграла становится возможной.

Дополнительное ограничение, налагаемое на функцию F (x), сводится к следующему.

Рассматривается класс функций, удовлетворяющих условию Касательная, проведенная из начала координат F (x), имеет угловой коэффициент k0, причем k0 < k 2, и кривая F (x) лежит ниже касательной во всех точках, кроме точки касания (рис. 14.1).

Для введения оценки выбирается промежуточный параметр k1, заключенный между k0 и k2 :

причем Оценка:

f н – преобразованная по Фурье; – выбирается как можно меньшей, в пределе это может быть угловой коэффициент касательной, проведенной из точки ( 1 / k0, i0) к видоизмененной частотной характеристике системы.

Таким образом, оценка (14.5) сводится к выражению, которое всегда может быть определено путем интегрирования графика функции F (x) в заданных пределах и вычисления интеграла Оценка (14.5) дает удовлетворительные результаты, если k1 достаточно отличается от k0. Если эти величины близки, пользоваться оценкой не имеет смысла.

1 В нелинейных системах для исследования качества регулирования используют критерии устойчивости, из которых выводят такой показатель как степень устойчивости. Также для оценки качества регулирования используют интегральные критерии качества.

А В каком виде записывается интегральный квадратичный критерий?

В Какие ограничения накладываются на нелинейную функцию y = F (x) при расчете интегральных критериев?

затуханием?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Алексеев А. А., Имаев Д. Х., Кузьмин Н. Н., Яковлев В. Б. Теория управления: Учебник. СПб.:

ЛЭТИ, 1999. 435 с.

2 Софиева Ю. Н., Софиев А. Э. Теория автоматического управления. М.: МИХМ, 1975. 165 с.

3 Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В. А. Бесекерского. М.: Наука, 1978. 512 с.

4 Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. А. Во-ронова. М.: Высшая школа, 1986.

367 с.

5 Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. А. Во-ронова. М.: Высшая школа, 1986.

504 с.

6 Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие для вузов. М.:

Наука, 1986. 616 с.

7 Лукас В. А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416 с.

8 Попов В. Л. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.

9 Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973. 440 с.

10 Теория автоматического управления: Сборник задач и контрольных вопросов / Сост. Ю. Н. Софиева. М.: 1974. 92 с.

11 Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

12 Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1985. 296 с.

13 Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.: Госэнергоиздат, 1956 264 с.

14 СТЕФАНИ Е. П. ОСНОВЫ РАСЧЕТА НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ И ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. М.: ЭНЕРГОИЗДАТ, 1982. 352 С.

15 Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 389 с.

16 Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. В. Не-тушила. М.: Высшая школа, 1978.

424 с.

17 Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1972.

432с.

18 Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1998. 256 с.

19 Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Линейные системы автоматического регулирования. Тамбов:

Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001. 264 с.