«Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного ...»

Министерство образования Российской Федерации

Тамбовский государственный технический университет

Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов

по образованию в области автоматизированного

машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов "Автоматизированные технологии и производства" Тамбов Издательство ТГТУ 2003 УДК 681.51 ББК з965.73-2 Л17 Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Д. А. Дмитриев Доктор физико-математических наук, профессор С. М. Дзюба Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф.

Основы теории автоматического управления: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.

Л ун-та, 2003. 308 с.

ISBN 5-8265-0149- В учебном пособии изложены основные принципы и методы теории автоматического управления: построение систем управления, методы их математического описания, критерии оценки устойчивости и качества регулирования линейных непрерывных детерминированных систем, а также основы теории автоматического управления нелинейными системами.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обуча-ющихся по направлению подготовки дипломированных специалистов "Автоматизированные технологии и производства", в том числе и для системы дистанционного образования.

УДК 681. ББК з965.73- © Лазарева Т. Я., МартемьISBN 5-8265-0149- янов Ю. Ф., © Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов

ОСНОВЫ

ТЕОРИИ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Издательство ТГТУ Учебное издание ЛАЗАРЕВА Татьяна Яковлевна, МАРТЕМЬЯНОВ Юрий Федорович

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие Редактор Т. М. Г л и н к и н а Компьютерное макетирование И. В. Евсеевой Гарнитура Тimes New Roman. Формат 60 84/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Объем: 17,9 усл. печ. л.; 17,7 уч.-изд. л.

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматического управления является основной общепрофессиональной дисциплиной направления подготовки дипломированного специалиста "Автоматизированные технологии и производства".

Основной целью автоматизации является исключение непосредственного участия человека в управлении производственными процессами и другими техническими объектами. В настоящее время автоматизация технологических процессов представляет собой одно из важнейших средств роста эффективности производства, интенсификации развития народного хозяйства. Таким образом, задача изучения дисциплины "Теория автоматического управления" состоит в освоении основных принципов построения и функционирования автоматических систем управления на базе современных математических методов и технических средств.

Для изучения теории автоматического управления должен применяться системный подход, требующий рассмотрения системы в ее целостности, а не просто учета факторов, влияющих на состояние отдельных элементов.

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта курса "Теория автоматического управления". Основное их содержание составляют математическое описание автоматических систем, основы частотного и структурного методов исследования систем, устойчивость, обеспечение устойчивости, качество регулирования, параметрический синтез линейных систем автоматического регулирования, характеристику и особенности нелинейных систем, методы исследования нелинейных систем, устойчивость нелинейных систем.

Ч а с т ь 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Впервые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского "Пневматика" и "Механика", где описаны автоматы, созданные самим Героном и его учителем Ктесибием: пневмоавтомат для открытия дверей храма, водяной орган, автомат для продажи святой воды и др. Идеи Герона значительно опередили свой век и не нашли применения в его эпоху.

В средние века значительное развитие получила так называемая "андроидная" автоматика, когда механики создали ряд автоматов, подражающих отдельным действиям человека, и, чтобы усилить впечатление, изобретатели придавали автоматам внешнее сходство с человеком и называли их "андроидами", т.е. человекоподобными.

В XIII в. немецкий философ-схоласт и алхимик Альберт фон Больштадт построил робота для открывания и закрывания дверей.

Весьма интересные андроиды были созданы в XVII – XVIII вв. В XVIII в. швейцарские часовщики Пьер Дро и его сын Анри создали механического писца, механического художника и др. Прекрасный театр автоматов был создан в XVIII в. русским механиком-самоучкой Кулибиным. Его театр, хранящийся в Эрмитаже, помещен в "часах яичной фигуры".

На рубеже ХVIII и XIX вв., в эпоху промышленного переворота, начинается новый этап в развитии автоматики, связанный с ее внедрением в промышленность. Появились первые автоматические устройства, к которым относятся регулятор уровня Ползунова (1765 г.), регулятор скорости паровой машины Уатта (1784 г.), система программного управления ткацким станком Жаккара (1804 – 1808 гг.) и т.д.

Этим было положено начало регуляторостроения.

В 1854 г. выдающийся русский механик и электротехник К. Константинов предложил использовать в паровых машинах "Электромагнитный регулятор скорости вращения", а А. Шпаковский в 1866 г. разработал регулятор, изменяющий подачу топлива в топку соответственно изменению давления пара в котле. В 1879 г. Й. Возняковским и К. Ворониным впервые был осуществлен принцип прерывистого регулирования при управлении питанием котла водой.

Если первые регуляторы были связаны с паровой машиной, то со второй половины XIX в. существенную роль в регуляторостроении начинают играть потребности в электрическом освещении. Так, в 60-е годы в работах В. Чиколаева впервые был применен электрический двигатель, а в 1874 г. он предложил и осуществил метод регулирования, составляющий основу современной электромашинной автоматики.

Этот новый период развития автоматики – период регуляторостроения, длившийся свыше полутора столетий, сыграл огромную роль в технике. В это время еще медленно и смутно начинают формироваться важнейшие принципы автоматики: принцип регулирования по отклонению Ползунова-Уатта, развившийся в концепцию обратных связей; принцип регулирования по нагрузке, послуживший основой теории инвариантности, и др. Начиная с курса профессора Петербургского университета Д. Чижова в 1823 г., теория регуляторов входит составным элементом в курсы и монографии по механике и паровым машинам.

Общая теория регуляторов была разработана, в основном, в 1868 – 1876 гг. в работах Д. Максвелла и И. Вышнеградского. Основополагающими трудами Вышнеградского являются: "Об общей теории регуляторов", "О регуляторах непрямого действия". В этих работах можно найти истоки современных инженерных методов исследования устойчивости и качества регулирования.

Достойным продолжателем дела И. Вышнеградского был словацкий инженер А. Стодола, работы которого посвящены исследованию устойчивости ряда схем регулирования, в частности, непрямого регулирования с жесткой обратной связью. В этот же период сформулированы алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица.

Бурный рост промышленности отражается и на развитии работ в области теории регулирования. В конце XIX в. и начале XX столетия создаются новые виды электромеханических регулирующих приборов такие, как программные регуляторы, следящие системы и схемы компаудирования. Так, в 1877 г. А.

Давыдов разработал проект первой следящей системы, содержащей электрические элементы, предназначенной для автоматического придания орудию надлежащего угла возвышения в соответствии с изменением расстояния до цели, которая была продемонстрирована в 1881 г.

В 1882 г. на Промышленно-художественной выставке в Москве был показан прототип современного программного регулятора, разработанного Н. Захаровым. До настоящего времени используется принцип "установления допустимых предельных значений регулируемого параметра", предложенный в 1884 г. Л. Снегуровым. В этот же период развивается параметрическое регулирование: разработаны дифференциальный регулятор В. Чиколаевым и схема компаудирования генераторов М. ДоливоДобровольским.

Большое значение для развития теории регулирования имели исследования А. Ляпунова. Его труд, опубликованный в 1892 г., "Общая задача устойчивости движения" явился важной вехой в развитии теории устойчивости. В этой работе А. Ляпунов дал первое в истории науки математически строгое определение устойчивости движения, а также разработал два метода решения задач об устойчивости. Первый заключается в обосновании и установлении точных границ применимости анализа устойчивости, основанного на линейных дифференциальных уравнениях, а второй позволяет исследовать устойчивость не только при бесконечно малых отклонениях – "устойчивость в малом", но и при конечных отклонениях – "устойчивость в большом".

Крупный вклад в теорию внес Н. Жуковский, который создал теорию орбитальной устойчивости на основе вариационных принципов динамики, а также дал математическое описание процессов в длинных трубопроводах, рассмотрел влияние сухого трения в регуляторах, исследовал некоторые процессы импульсного регулирования. Им написан первый русский учебник "Теория регулирования хода машин" (1909 г.).

К началу XX в. и в первом его десятилетии теория автоматического регулирования формируется как общая дисциплина с рядом прикладных разделов. Особенно четко мысль о теории регулирования как дисциплине общетехнического характера проводится в работах И. Вознесенского (1922 – 1949 гг.) – руководителя одной из крупных советских школ в этой области, который в 1934 г. впервые выдвинул принцип автономного регулирования. Большой его заслугой является разработка общего метода разбиения процесса регулирования с несколькими регулируемыми величинами на ряд автономных процессов.

Следует отметить ряд интересных изобретений этого периода: "Устройство для получения постоянного тока с постоянным напряжением при переменном числе оборотов генератора" К. Шенфера, "Способ повышения чувствительности регулирования числа оборотов двигателя" В. Володина и М. Писаренко и др. Данный период также характеризуется развитием вопросов автоматического регулирования производства и распределения электрической энергии. Большое значение имели работы С. Лебедева и П. Яданова в области устойчивости энергосистем.

В тридцатые годы XX в. создаются более эффективные методы исследования, в частности, частотные.

Появляются работы X. Найквиста (1932 г.), содержащие критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью, и А. Михайлова (1938 г.) "Гармонический метод в теории регулирования", которые вошли в практику в послевоенные годы. В 1946 г. Г. Боде и Л. Маккол ввели логарифмические частотные характеристики. Г. Браун, А. Холл, Д. Кемпбелл, Г. Честнат, В. Солодовников завершили разработку частотных методов синтеза и расчета систем, придав им форму, удобную для инженерных расчетов.

В 40 – 50-е годы разрабатываются основы теории нелинейных систем, сложность которых состоит в отсутствии единого общего математического аппарата. Здесь следует отметить работы по устойчивости А. Лурье (1944 – 1951 гг.), А. Летова (1955 г.). Завершающим этапом этого направления считается разработка теории абсолютной устойчивости, выдвинутой А. Лурье и В. Постниковым (1944 г.), более детально сформулированной М. Айзерманом (1949, 1963 гг.) и доведенной до изящного решения румынским ученым В. Поповым (1959 г.).

Большое значение для качественного исследования нелинейных систем имеют методы фазовой плоскости и фазового пространства, основы которых заложены А. Андроновым и его школой в 1930 – 1940 гг.

Я. Цыпкиным разработаны основы теории релейных (1955 г.) и импульсных (60-е годы) систем с различными видами модуляции. Н. Крыловым и Н. Боголюбовым (1934 г.) разработан метод гармонического баланса для определения параметров автоколебаний и условий их возникновения.

В послевоенные годы теория автоматического управления развивалась плодотворно, и упомянуть обо всех направлениях и авторах просто невозможно. Вот некоторые из них: теория автоматического регулирования по возмущению, теория компенсации возмущений и инвариантности разработаны в трудах Г. Щипанова, В. Кулебакина, Б. Петрова и др.; принципы экстремального управления и теория поиска экстремума разработаны В. Казакевичем. А. Фельдбаумом, А. Красовским. В эти же годы создаются основы теории оптимального управления Л. Понтрягиным. А. Летовым, Н. Красовским и др.

В настоящее время значение теории автоматического управления переросло рамки только технических систем. Динамические управляемые процессы имеют место в живых организмах, экономических и организационных человеко-машинных системах, их влияние существенно и отказ от них приводит к крупным потерям.

Дальнейшее развитие и усложнение систем автоматически привело к созданию автоматизированных систем управления (АСУ) технологическими процессами (АСУТП), производством (АСУП) и отраслью (АСУО). По идеологии построения эти системы достаточно близки между собой, хотя функции и технические средства, на которых реализуются эти АСУ, характер решаемых задач существенно отличаются.

Задача автоматизации состоит в осуществлении автоматического управления различными техническими процессами.

Любой технологический процесс можно расчленить на ряд более простых неравнозначных составных, но связанных между собой процессов. В связи с этим говорят, что в технологическом процессе выделяют рабочие операции, т.е. действия, непосредственным результатом которых является требуемая обработка материала, энергии, информации, и операции управления, обеспечивающие придание в нужные моменты нужных режимов, направлений и т.п.

Рабочие операции сопряжены с затратами энергии, и, если они выполняются человеком, то на их выполнение затрачивается его физическая сила. На операции управления затрачивается интеллектуальный труд человека, и эти операции требуют определенной квалификации исполнителя.

Замена труда человека в рабочих операциях работой машин и механизмов называется механизацией.

Совокупность операций управления образует процесс управления. Таким образом, под управлением понимают такую организацию того или иного процесса, которая обеспечивает достижение определенной цели.

Замена труда человека в операциях управления действиями технических управляющих устройств называется автоматизацией. Техническое устройство, выполняющее операции управления без непосредственного участия человека, называется автоматическим устройством.

Совокупность технических средств, выполняющих данный процесс, является объектом управления.

Совокупность средств управления и объекта образует систему управления. Система, в которой все рабочие операции и операции управления выполняют автоматические устройства, называется автоматической. Система, в которой автоматизирована только часть операций, другая же их часть сохраняется за людьми, называется автоматизированной (частично автоматической).

Частным случаем управления является регулирование. При регулировании координаты процесса (давление, температура, расход, положение и пр.) поддерживаются на заданном значении с помощью специальных устройств – автоматических регуляторов. Совокупность регулируемого объекта и автоматического регулятора образует систему автоматического регулирования. Объекты регулирования и управления по своей физической природе весьма разнообразны, но принципы построения систем управления и методы их исследования одни и те же.

Для наглядного схематического изображения системы автоматического управления (регулирования) используют структурные схемы, в которых отдельные элементы системы изображаются в виде прямоугольников, а связи между элементами – линиями со стрелками, показывающими направление передачи сигнала (рис. 1.1).

Основными элементами системы автоматического регулирования являются объект и регулирующее устройство (регулятор).

а – односвязный – характеризуется наличием векторов, имеющих по одной координате; б – многосвязный – характеризуется несколькими Любой элемент системы характеризуется входной координатой (сигналом) x(t) и выходной координатой y(t), которая зависит от входного сигнала. В свою очередь входная координата может носить возмущающий и управляющий (регулирующий) характер. Возмущающее воздействие (возмущение) xв(t) вызывает отклонение управляемой (регулируемой) координаты от заданного значения. Управляющее u(t) (регулирующее xр(t)) воздействие служит для поддержания управляемой (регулируемой) координаты y(t) в соответствии с некоторым законом управления (поддержания регулируемой координаты на заданном уровне) (рис. 1.2).

Объектами управления являются в процессах химической технологии – механизмы, машины и аппараты, в которых протекают технологические процессы (измельчение, перемешивание, кристаллизация, сушка и др.); производства серной кислоты, автомобильных шин и т.п.; предприятия – заводы, фабрики и целые отрасли – химическая, нефтеперерабатывающая и т.п.

Первый промышленный регулятор, как уже говорилось ранее, был изобретен в 1765 г. И. Ползуновым для созданной им паровой машины. Принципиальная схема регулятора приведена на рис. 1.3.

Задачей регулирования является поддержание в паровом котле постоянного уровня. Регулятор представляет собой поплавок 1, связанный системой рычагов с регулирующей заслонкой 2. При увеличении уровня поплавок поднимается вверх, в результате чего заслонка опускается, перекрывая трубопровод и уменьшая подачу воды в котел. При уменьшении уровня поплавок опускается, что приводит к увеличению подачи воды и, следовательно, к повышению уровня.

Практически одновременно с И. Ползуновым в 1784 г. Джеймс Уатт сконструировал центробежный регулятор числа оборотов вала паровой машины (рис. 1.4.) При изменении числа оборотов вала грузы 1 под действием центробежной силы изменяют свое положение, что приводит к перемещению регулирующего органа 2 и изменению подачи пара. Это в свою очередь вызывает изменение числа оборотов вала, но в направлении, противоположном исходному.

Сравнительный анализ рассмотренных регуляторов показывает, что оба они построены по единому принципу, который наглядно проявляется на структурной схеме, представленной на рис. 1. В рассматриваемых примерах основными элементами системы автоматического регулирования являются: объект – паровой котел и паровая машина; регулирующее устройство – поплавок и центробежная муфта с регулирующими заслонками, соответственно, в регуляторах Ползунова и Уатта.

Выходные координаты, они же и регулируемые переменные – уровень Н и число оборотов n; регулирующие переменные – подача воды в паровой котел – Gв и расход пара в паровую машину – Gп, возмущающие воздействия – давление пара в котле, расход топлива, его теплотворная способность в первом случае и во втором – нагрузка на валу паровой машины, давление пара в трубопроводе.

Принцип, по которому построены регуляторы Ползунова и Уатта, состоит в том, что регулятор изменяет регулирующее воздействие при отклонении регулируемой переменной от заданного значения независимо от причин, вызвавших это отклонение. Таким образом, в зависимости от значения выходного сигнала объекта регулятор изменяет его входной сигнал. Для реализации алгоритма регулирования в конструкцию системы вводится связь, получившая название обратной связи, потому что по ней происходит передача сигнала с выхода объекта на его вход по направлению, обратному направлению передачи основного воздействия на объект. Объект и регулятор образуют замкнутую систему, называемую автоматической системой регулирования (АСР). Если сигнал обратной связи складывается с основным сигналом, то связь называется положительной, если вычитается – отрицательной. В автоматических системах управления связь всегда отрицательна.

Схемы с обратной связью осуществляют управление по отклонению (рис. 1.6) показателя процесса – выходной координаты y(t) от заданного значения yзад; y = y(t) – yзад – называется отклонением или ошибкой управления.

пенсация возмущений. В этом случае регулирующее воздейстрегулирования по возмущевие вырабатывается регулятором в зависимости от величины возмущения. Системы регулирования по возмущению являются разомкнутыми системами, так как в них отсутствует обратная связь (рис. 1.7). Идея этого способа заключается в том, что, если мы сможем компенсировать все возмущения в системе, то регулируемая величина не будет отклоняться от заданного значения. Следует заметить, что компенсация достигается только по измеряемым возмущениям.

Рассматриваемый принцип регулирования впервые был предложен в 1830 г. французским инженером Ж. Понселе при разработке теории центробежных регуляторов хода машин по нагрузке на валу машины, являющейся одним из основных возмущений в объекте, но реализовать свое предложение на практике ему не удалось, так как динамические свойства машины не допускали непосредственного использования принципа компенсации.

В 1940 г. был предложен принцип инвариантности – достижение независимости управляемой координаты от возмущений, практическая реализация которого была получена только в 50-е годы.

Недостаток систем, построенных по принципу компенсации возмущений, очевиден. Компенсировать все возможные возмущения в объекте удается крайне редко, а наличие таких возмущений, как колебание состояния атмосферы, старение катализатора, отложение солей в аппарате, т.е. произвольное изменение свойств объекта, вообще не подлежит компенсации. Например, опасность использования принципа Понселе при регулировании уровня жидкости в емкости, когда приток жидкости соотносится с ее расходом, заключается в том, что вследствие изменения расходных характеристик вентилей на притоке и расходе, испарения жидкости, ее дренажа и т.п., емкость может переполниться, либо опустеть.

Регулирование по отклонению лишено этого недостатка, здесь компенсация отклонения регулируемой координаты от заданной происходит независимо от того, какими причинами вызвано это отклонение, но выполнить одновременно условия точности и быстродействия трудно. Часто повышение точности и быстродействия системы приводит к ее неработоспособности.

Наиболее эффективными системами регулирования являются комбинированные AСP, сочетающие оба рассматриваемых принципа (рис. 1.8).

В этих системах наиболее сильные возмущения компенсируются специальным регулятором, а контур регулирования по обратной связи устраняет отклонения регулируемой координаты, вызванные другими возмущениями.

Таким образом, в основе построения системы автоматического регулирования лежат общие фундаментальные принципы регулирования, определяющие, каким образом осуществляется поддержание регулируемой величины на заданном уровне в соответствии с причинами, вызывающими ее отклонение от этого уровня. В настоящее время известно и используют два фундаментальных принципа регулирования: принцип регулирования по отклонению и принцип регулирования по возмущению.

Пример 1 Регулирование температуры продукта в кожухотрубчатом теплообменнике.

Показателем эффективности регулирования является поддержание температуры продукта на выходе из теплообменника на заданном уровне.

В рассматриваемом примере температура продукта является выходной регулируемой координатой.

Стабилизацию температуры легко осуществить, используя в качестве входного регулирующего воздействия расход горячего теплоносителя Gг.т (рис. 1.9). Анализ объекта показывает, что устранить большую часть возмущающих воздействий невозможно.

Рис. 1.9 Система регулирования температуры продукта В связи с этим предлагается система регулирования по отклонению температуры продукта путем изменения расхода горячего теплоносителя.

Пример 2 Регулирование давления в верхней части ректификационной колонны.

В вакуумных ректификационных колоннах давление (разряжение) обычно регулируется изменением подачи воздуха или инертного газа в линию между дефлегматором и паровым (водяным) эжектором (рис. 1.10). Здесь регулируемой величиной является разряжение, а регулирующей – расход воздуха.

В рассмотренных случаях структурные схемы систем автоматического регулирования носят упрощенный характер. В любой реальной AСP можно выделить следующие составные элементы: объект регулирования, чувствительный элемент (например, термопара), усилительно-преобразовательное устройство, регулятор, исполнительный механизм (например, мембранный исполнительный механизм), регулирующий орган (например, заслонка). Полная структурная схема изображена на рис.

1.11.

Рис. 1.10 Система регулирования давления в верхней части колонны:

В дальнейшем используются только упрощенные схемы, условно относя датчик (чувствительной элемент), преобразователь, исполнительный механизм, регулирующий орган к объекту. Подобное упрощение объясняется тем, что характеристики датчика и регулирующего органа с исполнительным механизмом, устанавливаемых непосредственно на объекте, не изменяются в процессе эксплуатации системы и учитываются при проектировании AСP вместе с характеристиками объекта.

1.5 Классификация систем автоматического управления Все системы автоматического управления и регулирования делятся по различным признакам на следующие основные классы.

1 По основным видам уравнений динамики процессов управления:

а) линейные системы;

б) нелинейные системы.

2 В зависимости от коэффициентов уравнений и вида уравнений как линейные, так и нелинейные системы подразделяются на:

а) системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами;

б) системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;

в) системы, описываемые уравнениями в частных производных;

г) системы с запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом.

3 По характеру представления сигналов различают:

а) непрерывные системы;

б) дискретные системы, среди которых выделяют импульсные, релейные, цифровые.

4 По характеру процессов управления:

а) детерминированные системы – системы с определенными переменными и процессами;

б) стохастические системы – системы со случайными переменными и процессами.

5 По характеру функционирования.

В зависимости от того, по какому закону изменяется заданное значение регулируемой величины, системы автоматического управления подразделяются на:

а) системы стабилизации, поддерживающие постоянство регулируемой величины, т.е. yзад(t) = const;

б) системы программного регулирования, в которых заданное значение регулируемой величины изменяется по определенной заранее временной программе;

в) следящие системы, в которых заданное значение регулируемой величины изменяется в соответствии с состоянием некоторого заданного вектора переменных во времени;

г) системы оптимального управления, в которых показатель эффективности зависит не только от текущих значений координат, как в экстремальном регулировании, но также от характера их изменения в прошлом, настоящем и будущем, и выражается некоторым функционалом. Нахождение оптимального управления предполагает решение достаточно сложной математической задачи соответствующими методами, кроме того органической составной частью системы является компьютер;

д) адаптивные системы, в которых автоматически изменяются значения yзад, собственные параметры или структура при непредвиденных изменениях внешних условий на основании анализа состояния или поведения системы так, чтобы сохранялось заданное качество ее работы. Системы с изменением заданного значения регулируемой величины называют экстремальными, с изменением параметров – самонастраивающимися, с изменением структуры – самоорганизующимися.

1 На рис. 1.12 изображен объект с входными и выходными сигналами.

А Что такое объект управления? Приведите конкретный пример.

В Какие внешние переменные являются управляющими?

С Какая переменная является управляемой переменной?

2 На рис. 1.13 изображена структурная схема системы автоматического регулирования.

А Какие принципы регулирования реализованы в САР, изображенной на рис. 1.13?

В Что значит регулирование по отклонению?

С Какая система регулирования является наиболее эффективной?

3 На какие основные классы делятся системы автоматического регулирования?

А К какому классу относится линейная система?

В На какие подклассы делится класс "характер функционирования"?

С Что представляет собой класс "характер подачи сигналов"?

2 РЕГУЛЯРНЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В теории автоматического управления при рассмотрении тех или иных систем имеют место различные воздействия и сигналы. Анализ и синтез конкретных автоматических систем существенно упрощается, если пользоваться разработанной типизацией этих воздействий и сигналов. Математическим представлением сигналов является некоторая функция времени, определяющая закон его изменения, заложенный в нем независимо от физической природы. В зависимости от характера изменения сигнала во времени, формы математического представления различают регулярные – детерминированные и нерегулярные – случайные сигналы.

Сигнал называется регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная функция времени, т.е. он описывается конкретной функцией времени. Реальный же сигнал рассматривается как случайный процесс, определяемый вероятностными характеристиками, так как нельзя заранее предвидеть его изменение во времени.

Выражение регулярного сигнала, определенного функцией времени, называют временным представлением сигнала. Форма записи этих функций различна. Одной из форм записи является представление в виде тригонометрического ряда, каждый член которого является простейшей гармонической функцией времени – косинус или синус. Эти функции получили название гармоник, каждая из которых характеризуется амплитудой, частотой и фазой. Множество амплитуд, частот и фаз называют спектром рассматриваемой функции времени. Подобное представление сигнала называется частотным. Временное и частотное представления сигнала совершенно адекватны. Выбор того или иного представления зависит от особенностей и постановки рассматриваемой задачи.

К основным типам регулярных сигналов относятся периодический, почти периодический и непериодический сигналы.

Периодический сигнал представляет собой функцию времени, удовлетворяющую условию где t – любой момент времени на интервале < t < ; T – некоторая постоянная – наименьший конечный промежуток времени, удовлетворяющий условию (2.1), называется периодом функции f(t).

Периодическая функция f(t) должна быть известна только в пределах промежутка времени, равного периоду Т, далее она в точности повторяется на протяжении каждого периода.

Периодический сигнал физически неосуществим, так как реальный сигнал не может продолжаться бесконечно, он имеет начало и конец. Однако в теоретических исследованиях понятие периодического сигнала используется широко и дает результаты, соответствующие наблюдаемым в действительности.

Периодическая функция произвольного вида, удовлетворяющая условиям Дирихле: ограниченная кусочно-непрерывная, имеет конечное число экстремумов на периоде, может быть представлена рядом где А0 – постоянная составляющая; Аn – амплитуда; n = n – частота; n – начальная фаза n-й гармоники.

Таким образом, периодический сигнал можно рассматривать как результат наложения друг на друга бесконечного количества гармоник и постоянной составляющей.

Почти периодический сигнал представляет собой функцию, состоящую из суммы гармонических составляющих с произвольными частотами. При управлении тем или иным процессом встречаются сигналы, частоты которых не находятся в простых кратных соотношениях, что и предопределяет использование почти периодических сигналов. Основным свойством последних является тот факт, что для них может быть определен приближенный период (почти период).

Непериодическим сигналом называется регулярный сигнал, определяемый непериодической функцией, заданной в пределах конечного (t1 t t 2 ) или полубесконечного (t1 t < ) промежутка времени, вне

КОТОРОГО ОНА ТОЖДЕСТВЕННО РАВНА НУЛЮ. ФОРМА СИГНАЛА МОЖЕТ БЫТЬ

ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ.

Непериодический сигнал можно представить периодической фун-кцией времени с бесконечно большим периодом (рис. 2.2).

Математический метод представления сложных сигналов как периодических, так и непериодических в виде совокупности элементарных гармонических составляющих называется гармоническим анализом.

Для характеристики спектров сигналов используется преобразование Фурье. Прямым преобразованием Фурье называется оператор обратным преобразованием Фурье – Преобразование Фурье ставит во взаимное соответствие два множества функций ( f (t ) F (i)) : первое множество f(t) – функции действительного аргумента t; второе множество F(i) – функции мнимого аргумента i. Прямое преобразование Фурье (2.3) позволяет по заданному оригиналу f(t) найти его изображение F(i), обратное преобразование (2.4) позволяет, наоборот, по заданному изображению F(i) найти оригинал f(t).

Основными свойствами преобразования Фурье являются:

1 Свойство линейности.

где f(t), f1(t),..., fn(t) – некоторые функции; F(i), F1(i),..., Fn(i) – изображения соответствующих функций.

2 Теорема запаздывания.

Если f(t) F(i), то 3 Теорема смещения спектра.

Если f(t) F(i), то 4 Различный характер функции f(t).

Если функция f(t) четная, то ее изображение является вещественной функцией, четной относительно и определяется как Если функция f(t) нечетная, то ее изображение является чисто мнимой функцией, нечетной относительно :

Общее количество свойств преобразования Фурье гораздо больше, но именно приведенные выше (2.5) – (2.9) используются при исследовании регулярных сигналов.

Как уже было сказано, периодический сигнал представляется рядом Фурье (2.2), и структура его спектра полностью определяется амплитудами и фазами гармоник, т.е. модулем Аn и аргументом n, n = 1, Спектр амплитуд периодического сигнала, состоящий из равноотстоящих линий, длина которых пропорциональна амплитудам Аn соответствующих гармоник, приведен на рис. 2.3.

Непрерывная кривая, соединяющая концы спектра, называется огибающей спектра амплитуд. На практике часто удобна для применения комплексная форма ряда Фурье:

где An – комплексная амплитуда, Для спектра любых периодических сигналов можно установить характерные свойства:

1 Спектры всегда дискретны, они содержат только гармоники, частоты которых кратны основной частоте. Некоторые гармоники могут отсутствовать.

T получают непериодическую функцию, спектр которой становится сплошным, но при этом амплитуды уменьшаются.

3 С уменьшением длительности импульсов при постоянном периоде амплитуды гармоник уменьшаются, а спектр становится "гуще".

4 Если с уменьшением длительности прямоугольных импульсов увеличивать амплитуду по закону, то их последовательность будет стремиться к последовательности дельта-функций, а амплитудA0 = Для непериодических сигналов вводится понятие спектральной плотности, которая представляет собой где А – бесконечно малые амплитуды непериодической функции, Величину F(i) называют также спектральной характеристикой непериодической функции, а модуль F (i) = F () – спектром.

Поскольку спектральная характеристика комплексная величина, то ее можно представить в виде Структура спектра периодического сигнала полностью определяется модулем и фазой спектральной характеристики.

Зависимость модуля и фазы спектральной характеристики непериодического сигнала называют соответственно спектром амплитуд и спектром фаз непериодического сигнала. Особенности спектральных свойств непериодического сигнала состоят в следующем:

1 Спектр всегда непрерывен и характеризуется плотностью амплитуд гармоник, приходящихся на интервал [0; ].

2 При уменьшении длительности импульса его спектр расширяется вдоль оси, а значения плотности амплитуд уменьшаются.

3 Если одновременно с уменьшением длительности прямоугольного импульса увеличивать его амплитуду по закону An =, то импульс стремится к дельта-функции, а спектральная плотность к поT стоянной величине, равной единице во всем диапазоне частот (; ).

В случае периодического сигнала речь ведут о распределении мощности в его спектре, которая определяется как где А0, Аn – коэффициенты ряда Фурье соответствующего периодического сигнала; R – сопротивление элемента или участка, через который проходит сигнал.

Распределение энергии в спектре периодического сигнала представляется в виде суммы бесконечно малых слагаемых, соответствующих бесконечно малым участкам частотного спектра:

[F ()]2 d представляет собой энергию, выделяемую спектральными составляющими Выражение сигнала, расположенными в полосе частот d в окрестности частоты, и называется энергетической спектральной плотностью непериодического сигнала. Формула (2.15) называется формулой Рейли или равенством Парсеваля и используется для выбора максимальной частоты пропускания при условии, что основные составляющие спектра пропускаются без изменения.

При передаче периодических сигналов через реальные системы управления может быть передано лишь определенное количество гармоник из их бесконечного числа. При этом важно передать гармонические составляющие с относительно большими амплитудами. В связи с этим вводится понятие практической ширины спектра сигнала, под которой понимается область частот, в пределах которой лежат гармонические составляющие сигнала с амплитудами, превышающими наперед заданную величину.

При выборе практической ширины спектра сигнала необходимо учитывать требования к сигналу с энергетической точки зрения и с точки зрения сохранения его формы.

В случае непериодического сигнала так же, как и в случае периодического сигнала, желательно передавать составляющие сигнала со значительными амплитудами. С энергетической точки зрения практическая ширина спектра оценивается по области частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала, с точки же зрения допустимых искажений формы сигнала определить практическую ширину спектра не представляется возможным. Представление о характере искажений сигнала в зависимости от ширины спектра может быть получено при исследовании прохождения сигналов через системы с заданными характеристиками.

Сигналы могут быть представлены различным образом, при этом входной сигнал всегда является непрерывным, а представлению подлежит сигнал на выходе.

Один и тот же сигнал может иметь различную физическую природу – электрическую, звуковую, световую и т.д.

В теории управления наибольшее распространение получило математическое представление сигналов. Все виды математических представлений сигналов делятся на три основные группы:

1) непрерывное представление – выходной сигнал определен в любой момент времени (рис. 2.4, б);

2) дискретно-непрерывное представление – выходной сигнал является квантованным по времени и непрерывно изменяется только по уровню (рис. 2.4, в);

3) дискретное представление – выходной сигнал квантован как по времени, так и по уровню (рис.

2.4, г).

Рис. 2.4 Виды математических представлений сигналов:

а – блок-схема системы; б – непрерывное; в – дискретно-непрерывное;

В результате квантования сигнала по времени при дискретно-непрерывном и дискретном представлениях может произойти потеря информации, так как остаются значения сигнала только в дискретные моменты времени. Однако благодаря одному из свойств реальных систем в них при определенных условиях сохраняется полная информация о сигнале, если последний известен лишь в дискретные моменты времени. Это свойство известно как теорема Котельникова: сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервал времени t = Fс, где FС – ширина спектра сигнала.

Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что, если требуется передавать сигнал, описываемый функцией f (t) с ограниченным спектром, то достаточно передавать отдельные мгновенные значения, отсчитанные через конечный промежуток времени t = Fс. По этим значениям непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен на выходе системы.

Математические представления сигналов на практике чаще всего реализуются в виде модуляции.

Под модуляцией понимают изменение одного из параметров какого-либо физического процесса по закону представляемого сообщения. Так, в системах с электрическими сигналами под модуляцией понимают изменение одного из параметров высокочастотного электрического сигнала по закону передаваемого низкочастотного сообщения. В случае модуляции гармонического сигнала различают два основных вида модуляции: амплитудная модуляция и угловая модуляция, которая подразделяется на частотную и фазовую. На практике чаще всего встречаются смешанные виды модуляции – амплитудно-фазовая или амплитудно-частотная, при этом один из видов модуляции является полезным, другой – паразитным.

Наиболее часто в теории автоматического управления используются следующие сигналы.

1 Единичный скачок (рис. 2.5):

1(t) называется также функцией Хевисайда. Строго говоря, функция Хевисайда физически нереализуема, однако, если, к примеру, на исследуемом объекте резко открыть вентиль, в результате чего расход Рис. 2.6 Единичный импульс подаваемого вещества изменится скачком с F1 до F2, то говорят, что на входе объекта реализован скачкообразный сигнал величиной F2 – F1, и если последняя разность равна единице, то на входе реализуется единичный скачок.

Спектральная характеристика для единичного скачка:

2 Единичная импульсная функция – дельта-функция (рис. 2.6) – это функция, удовлетворяющая следующим условиям:

Дельта-функцию называют также функцией Дирака, она относится к классу сингулярных функций.

Эту физически также нереализуемую функцию можно представить как импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, т.е. как предел, к которому стремится прямоугольный импульс с основанием t и площадью, равной единице (рис. 2.7, а), если t 0 так, чтобы площадь импульса сохранялась равной единице. Также -функцию можно представить как предел некоторой функции (рис. 2.7, б):

К основным свойствам дельта-функции можно отнести следующие равенства:

-функция является четной функцией:

т.е. из непрерывной функции можно вырезать одну ординату.

Последнее соотношение, используя рассмотренные уже свойства -функции, доказывается следующим образом:

Спектральная характеристика дельта-функции: F(i) = 1.

Между функцией Хевисайда и функцией Дирака существует связь, выражаемая соотношением:

На практике считается, что на вход объекта подана -функция, если время действия прямоугольного импульса намного меньше времени переходного процесса.

3 Гармонический сигнал (рис. 2.8, а) используется при исследовании систем автоматического регулирования частотными методами.

Синусоидальный гармонический сигнал можно представить как вращение вектора длиной А вокруг начала координат (рис. 2.8, б) с некоторой угловой скоростью, рад/с.

Гармонический сигнал характеризуется такими параметрами, как амплитуда – А; период – Т; фаза – а – обычный сигнал; б – представление гармонического сигнала вращением вектора; в – гармонический сигнал со сдвигом фазы Между периодом и угловой скоростью справедливы соотношения Если колебания начинаются не из нуля, то они характеризуются фазой колебаний (рис. 2.8, в), которая во временной области характеризуется отрезком t, но обычно фазу выражают в радианах – (рис. 2.8, б). Перевод осуществляется по формуле На практике для получения гармонического сигнала используется генератор синусоидальных колебаний.

4 Сдвинутые элементарные функции.

К этим функциям относятся функции Хевисайда и Дирака с запаздыванием, т.е. 1(t – ) и (t – ) (рис. 2.9), причем Все свойства -функции сохраняются, но записываются в виде:

5 Сигнал произвольной формы – x(t) (рис. 2.10, а).

Любой сигнал произвольной формы можно представить с помощью -функции. С этой целью выделяется произвольный момент времени t, и строится столбик высотой x(t) (рис. 2.10, б), соответствующий значению сигнала в момент времени t = ti, и основанием ti.

Этот импульс можно выразить через приближенную дельта-функцию – (t – ti):

Заменяя функцию x(t) набором импульсов (рис. 2.10, в), можно записать: ~(t ) = x(ti )ti (t ti ).

Сигнал произвольной формы можно представить и через единичные функции, для чего выражение (2.26) следует проинтегрировать по частям, используя соотношение (t ) = 1(t ), в результате чего получают следующее соотношение 1 В системах автоматического управления наблюдаются различные воздействия и сигналы. Для упрощения анализа и синтеза конкретных систем пользуются разработанной типизацией этих воздействий и сигналов.

А Какой сигнал называется регулярным?

В Какие существуют виды представления сигналов?

С Какие сигналы относятся к основным типам регулярных сигналов?

2 Для характеристики спектров сигналов используется преобразование Фурье. Спектр периодических сигналов характеризуется определенными свойствами. Для непериодического сигнала вводится понятие спектральной плотности.

А Какое преобразование называется преобразованием Фурье?

В Какими характерными свойствами обладает спектр периодического сигнала?

С Что такое спектральная характеристика непериодической функции?

3 В теории автоматического управления используются так называемые стандартные сигналы, к которым относятся единичный скачок, единичная импульсная функция – дельта-функция, гармонический сигнал.

А Какая функция называется дельта-функцией?

B Как на исследуемом объекте подать сигнал в виде единичного скачка?

С Какими параметрами характеризуется гармонический сигнал?

3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Математическое описание автоматической системы управления – это описание процессов, протекающих в системе на языке математики.

Построение любое системы управления начинается с изучения объекта управления и составления его математического описания. В качестве объекта может выступать аппарат, технологический процесс, производство, предприятие и отрасль. Различие математических моделей объектов обуславливается их назначением. Эти модели описывают различные режимы работы объекта или системы управления и могут быть получены одним из способов: экспериментальным, аналитическим, комбинированным или экспериментально-аналитическим.

При экспериментальном способе уравнения моделей получают путем постановки специальных экспериментов (метод активного эксперимента) или путем статистической обработки результатов длительной регистрации переменных объекта в условиях его нормальной эксплуатации (метод пассивного эксперимента).

При аналитическом описании уравнения моделей получают на основании физико-химических закономерностей протекающих процессов.

При экспериментально-аналитическом подходе уравнения моделей получают аналитическим путем с последующим уточнением параметров этих уравнений экспериментальными методами.

При разработке математического описания автоматических систем следует учитывать основные методологические положения теории автоматического управления. Это прежде всего системный подход к решению задач управления, рассматривающий поведение объекта и регулятора в процессе регулирования в неразрывной взаимосвязи; возможность применения методов теории автоматического управления к системам самой разнообразной физической природы вследствие абстрагирования математических моделей от конкретных физических систем. Кроме того, система рассматривается как цепь взаимодействующих физически и информационно элементов и обладает способностью передавать физические воздействия и информационные сигналы в одном, строго определенном направлении; каждый же элемент системы рассматривается как преобразователь входного воздействия в выходную реакцию. Математическое описание как отдельных элементов, так и системы в целом составляется, как правило, с рядом допущений и упрощений, удачность которых зависит от глубины знаний исследователя системы в данной области, его интуиции и обязательно подлежит экспериментальной проверке.

В общем случае уравнения математической модели объекта или системы управления, устанавливающие взаимосвязь между входными и выходными переменными, называются уравнениями движения.

Уравнения, описывающие поведение системы регулирования в установившемся режиме при постоянных воздействиях, называются уравнениями статики.

Уравнения, описывающие поведение системы регулирования при неустановившемся режиме при произвольных входных воздействиях, называются уравнениями динамики.

Все объекты регулирования можно разделить на два класса: объекты с сосредоточенными координатами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, и объекты с распределенными координатами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. В дальнейшем рассматриваются только объекты с сосредоточенными координатами.

В качестве примера можно рассмотреть объект с сосредоточенными координатами, описываемый дифференциальным уравнением второго порядка (рис. 1.2) где y – выходная переменная; x, f – входные переменные; y ', x' – первые производные по времени; y" – вторая производная по времени.

При постоянных входных воздействиях x = x0; f = f0 с течением времени выходная величина принимает постоянное значение y = y0 и уравнение (3.1) преобразуется к виду:

Конечное уравнение (3.2) является уравнением статики.

Статический режим можно характеризовать с помощью статических характеристик.

Статической характеристикой объекта (системы) называется зависимость выходной величины от входной в статическом режиме.

Статическую характеристику можно построить экспериментально, если подавать на вход объекта постоянные воздействия и замерять выходную переменную после окончания переходного процесса. Если объект имеет несколько входов, то он характеризуется семейством статических характеристик. В свою очередь, сама статическая характеристика характеризуется коэффициентом k, который определяdy ется как k =. Для объектов с нелинейной статической характеристикой коэффициент усиления являdx ется переменной величиной, для объектов же с линейными статическими характеристиками коэффициент усиления – величина постоянная (рис. 3.1).

В теории автоматического управления широко используется метод математических аналогий, согласно которому различные по физической природе объекты описываются однотипными математическими зависимостями.

Рассмотрим некоторые примеры составления уравнений статики и динамики для различных по физической природе объектов.

Примером простейшего объекта автоматического управления является гидравлический резервуар, в котором имеется приток и сток жидкости. Принципиальная и структурная схемы представлены на рис. 3.2.

Основной координатой, характеризующей состояние рассматриваемого объекта, является уровень жидкости Н, который выбирается в качестве выходной регулируемой величины. Входным и соответственно регулирующим воздействием является скорость притока воды в резервуар Q, внешним возмущением – расход воды из резервуара G. При постоянной степени открытия дросселя на притоке жидкости, уровень определяется разностью (Q – G). По условиям работы объекта величина притока Q изменяется произвольно во времени.

Уравнение динамики, описывающее зависимость уровня H в переходном режиме от Q, в соответствии с законом гидравлики записывается в виде где S – площадь поперечного сечения резервуара.

Уравнение (3.3) представляет собой математическое описание объекта регулирования – гидравлической емкости и является обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Электрической емкостью называется цепь, состоящая из сопротивления R и емкости С (рис. 3.3).

Выходной координатой такого объекта может быть выбран заряд q на обкладках конденсатора, а входной – напряжение на входе цепи Uвх.

Дифференциальное уравнение может быть получено на основе закона Кирхгофа:

Таким образом, математическим описанием электрической емкости является обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

3.2.3 ХИМИЧЕСКИЙ РЕАКТОР ПОЛНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

Пусть в реакторе протекает химическая реакция типа А B (рис. 3.4). При выводе уравнений приняты следующие допущения:

1) в реакторе осуществляется идеальное перемешивание реакционной смеси, т.е. концентрация во всех точках реактора одинакова;

2) теплоемкость реакционной смеси постоянна и равна теплоемкости исходного реагента;

3) реакция протекает в изотермических условиях, т.е. температура в реакторе постоянна.

При этих допущениях реактор может рассматриваться как объект с сосредоточенными параметрами, материальный баланс которого имеет следующий вид:

где V – объем реактора; СA – концентрация вещества A; t – время; q – объемный расход реагента А; C A0 – входная концентрация вещества; А, K – константа скорости реакции.

Таким образом, описание химического реактора идеального перемешивания, в котором протекает реакция типа А В, осуществляется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Как видно из этих трех примеров, динамические свойства различных по физической природе объектов обладают некоторыми общими чертами, благодаря чему все рассмотренные объекты описываются однотипными уравнениями – обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

В теории управления к линейным системам обычно относят те системы, в которых протекающие процессы являются стационарными и описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или функционально зависящими от времени коэффициентами. Важным свойством таких систем является их соответствие принципу суперпозиции. В связи с этим определение линейной системы, как правило, дается в следующем варианте: линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов xi (t ) равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых xi(t).

Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:

Важно отметить, что линейность статических характеристик является необходимым, но не достаточным условием линейности, так как выполнение принципа суперпозиции необходимо не только в статике, но и в динамике. В то же время статическая характеристика, описываемая уравнением прямой у = а х + b, не отвечает принципу суперпозиции. Покажем это на примере функции у = 2 х + 3.

Для этого проведем эксперимент, который можно проиллюстрировать постановкой не менее трех опытов.

1 опыт: на вход объекта подадим сигнал х1 = 2 и определим выходную координату под действием этого сигнала y1 = 7 (рис. 3.5, а).

2 опыт: на вход объекта подадим другой сигнал x2 = 3, и определим соответствующее ему изменение выходной координаты y2 = 9 (рис. 3.5, б).

3 опыт: на вход объекта подается сигнал, равный сумме в первых двух опытах, x3 = 5 и определяется выходной сигнал y3 = 13 (рис. 3.5, в).

Вследствие того, что y3 y1 + y2 (13 16), можно утверждать, что для данной функции принцип суперпозиции не выполняется. Для устранения данного типа нелинейности следует перенести начало координат таким образом, чтобы нулевому входу соответствовал нулевой выход.

Так как большинство объектов управления являются нелинейными, то при определенных условиях нелинейные характеристики могут быть приближенно заменены линейными характеристиками, т.е.

производится линеаризация нелинейных зависимостей.

Рис. 3.5 Иллюстрация эксперимента по проверке объекта Рис. 3.6 Линеаризация нелинейной статической характеристики Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и исключение нелинейных членов разложения.

Пусть статическая характеристика описывается нелинейной n раз дифференцируемой, где n – любое натуральное число, функцией у = f (x), которую необходимо линеаризовать в окрестности точки (x0, y0) (рис. 3.6).

Если в пределах максимально возможных отклонений у и x от x0 и у0 f (x) мало отличается от линейной функции, то можно f (x) заменить ее приближением y = f (x ). Функция f (х) находится из ряда Тейлора:

Переходя к новой системе координат, x = x x0 ; y = y y0, получим линеаризованное уравнение объекта Под системой в дальнейшем будет пониматься любое множество элементов (может быть отдельный элемент), образующее некоторое целостное единство безотносительно к функциям, которые они выполняют, т.е. это может быть объект, регулятор, система регулирования и т.д.

Система называется динамической, если она описывается дифференциальными, интегральными либо конечными уравнениями, зависящими от времени, и называется статической, если в ее описании отсутстy(t) Наибольший интерес представляет изучение динамического поведения линейной системы, которая в общем случае представлена на Рис. 3.7 Структуррис. 3.7.

ная схема системы Основной задачей изучения динамического поведения линейной системы является получение возможности рассчитывать выходной сигнал y(t) для любого известного входного сигнала x(t). В связи с этим необходимо располагать математическим аппаратом для исследования линейной системы (рис. 3.8).

Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются передаточная функция, дифференциальное уравнение, временные характеристики: переходная функция, весовая функция; частотные характеристики: амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ), логарифмические частотные характеристики (ЛАФХ). Составляющими основных частотных характеристик являются

АФХ РАФХ ЛАФХ

АЧХ ВЧХ РАЧХ

ФЧХ МЧХ РФЧХ

амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ), вещественночастотная характеристика (ВЧХ), мнимая частотная характеристика (МЧХ) и соответственно расширенные – РАЧХ, РФЧХ и логарифмические – ЛАЧХ, ЛВЧХ.

Между этими характеристиками существует связь, которую иллюстрирует схема, изображенная на рис. 3.9.

Ряд динамических характеристик можно получить экспериментальным путем, а некоторые являются теоретическими. На практике экспериментально получают временные характеристики и частотные, точнее, АЧХ и ФЧХ, и уже на основе их записываются дифференциальное уравнение, передаточная функция, а также расширенные и логарифмические частотные характеристики. Таким образом, чтобы оценить динамическое поведение линейной системы, необходимо познакомиться со всеми динамическими характеристиками.

Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат дифференциальных уравнений. Круг рассматриваемых объектов был уже определен – это линейные объекты с сосредоточенными координатами. При этом различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени, например, изменение теплопроводности, старение катализатора и др.

Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.

Далее будут рассматриваться линейные стационарные объекты (системы) с сосредоточенными координатами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:

в неустановившемся (переходном) режиме при любой форме входного сигнала x(t).

Частными случаями уравнения (3.8) являются уравнения Для объектов, описываемых уравнением (3.8, а), статическая характеристика существует, но является вырожденной, так как b0 = 0. Для объектов же, описываемых уравнением (3.8, б), статическая характеристика не существует.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называются статическими, а не имеющие статической характеристики, называются астатическими.

В большинстве случаев, как уже отмечалось выше, уравнения систем автоматического регулирования оказываются нелинейными, поэтому, если это возможно, проводят линеаризацию этих уравнений при помощи ряда Тейлора путем разложения нелинейных функций некоторых переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму. В результате получают линеаризованные уравнения в отклонениях. Таким образом, в большинстве случаев дифференциальное уравнение (3.8) является уравнением в отклонениях, которое описывает объект или систему регулирования только в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнения в отклонениях и исходные уравнения совпадают.

Для получения решения уравнения (3.8) необходимо задать начальные условия, под которыми понимается состояние процесса в момент времени, принятом за его начало t = 0:

Общее решение уравнения (3.8) представляется в виде:

В выражении (3.10) yсв(t) является общим решением соответствующего однородного уравнения и увын(t) – частное решение неоднородного уравнения (3.8). Следовательно, yсв(t) соответствует движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) 0, т.е. собственному свободному движению системы, и определяется свойствами самой системы, которые проявляются в свойствах корней характеристического уравнения. Если эти корни различны, то где i – корни характеристического уравнения; сi – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Частное решение увын(t) зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению (состоянию) системы.

Решение (3.10) уравнения (3.8) определяет динамический процесс в системе, происходящий с момента подачи входного воздействия, который принят за начало отсчета времени, поэтому движение системы (переходной процесс) рассматривается только при t 0, для t < 0 он принят тождественно равным нулю.

Выходной сигнал y(t), получающийся в течение такого процесса, является наиболее полной характеристикой динамических свойств системы, поэтому определение этого сигнала, как уже отмечалось, и является основной задачей теории регулирования. Здесь становится актуальной идея изучения динамических свойств системы с помощью временных характеристик.

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используется единичная функция времени (2.16). Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или включение нагрузки в системах регулирования (отказ мотора в системе регулирования).

Рис. 3.10 Переходная характеристика химического реактора:

Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения (3.8) при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е.

Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом.

Здесь следует ввести понятия прямой и обратной задач. Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известной интегральной кривой, например, переходной функции. Решение обратной задачи представляет значительную сложность вследствие ее некорректности и здесь существует специальный математический аппарат. Так, например, если предположить, что переходная функция описывается решением уравнения первого порядка где k = ; T = 1, то определению подлежат k – коэффициент усиления и Т – постоянная времени.

В статике у'(t) = 0 и, следовательно, у() = k x(), откуда коэффициент усиления k =, так как x() = 1; y() = h(), то k = h().

Для определения постоянной времени Т исходное уравнение интегрируется в пределах от 0 до :

Правая часть последнего выражения есть не что иное, как площадь S под экспериментально снятой Для получения весовой функции, ее также называют импульсной переходной функцией, в качестве стандартного сигнала используется Таким образом, весовой функцией w(t) называется реакция системы на -функцию при нулевых начальных условиях.

На практике весовую функцию в отдельных случаях можно получить экспериментальным путем весьма приближенно. Считают, что на вход объекта подана -функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса. Примером может служить эксперимент по снятию (рис. 3.4), являющегося объектом исследования. В качестве входного сигнала в реактор залпом выливается порция красящего вещества (например, чернил). Через некоторое время это вещество появится на выходе, причем его концентрация первоначально возрастает, а затем убывает – красящее вещество вымывается (рис. 3.11).

Подаваемый на вход импульс представляет собой приближенную дельта-функцию, так как его площадь отлична от единицы и равна S. Поэтому для получения весовой функции экспериментально снятый переходный процесс нормируют путем деления его ординат на величину площади входного воздействия S.

Рис. 3.11 Переходная характеристика химического реактора:

Между временными характеристиками: переходной и весовой функциями существует взаимное однозначное соответствие, которое определяется следующим образом:

Весовую функцию можно получить и как решение дифференциального уравнения Интеграл Дюамеля используется для определения выхода объекта у(t) при произвольном входном сигнале x(t) и известных h(t) либо w(t).

Предполагается, что на вход объекта, описываемого весовой функцией w(t), подается сигнал x(t) (рис. 3.12, а), подробное описание которого дано в п. 2.8.

Если реакцию объекта на (t – ti) обозначить через w(t – ti) (весовая функция), а реакцию на (t ti ) через w(t ti ) (приближенная весовая функция), то на основании принципа суперпозиции можно записать выходной сигнал на импульс ~(t ) :

Рис. 3.12 Представление входного (а) и выходного сигналов (б) Замена входного сигнала x(t) набором импульсов, высота которых совпадает с соответствующими координатами (рис. 3.12), позволяет записать реакцию на ступенчатую функцию ~(t ) на основании принципа суперпозиции d, где – непрерывный параметр, показывающий сдвиг каждого импульса, то окончательно получаем:

Последнее уравнение называется интегралом Дюамеля (уравнением свертки), отражающим связь между входом, выходом объекта и его весовой функцией.

По сути дела весовая функция является памятью объекта, которая показывает, как долго и как сильно влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени = 0.

Из физического смысла весовой функции верхний предел интегрирования может быть заменен на t, так как невозможно представить реальную систему, в которой на выходную координату в настоящий момент времени оказывают влияние возмущения, которые появляются в последующие моменты времени.

Если произвести замену в формуле (3.13) t = =, d = d, то можно записать симметричную формулу Если для представления входного сигнала использовать не формулу (2.26), а (2.27), то интеграл Дюамеля записывается через переходную функцию:

или Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления, является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

3.8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная Формула (3.16) определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и так называемое обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношением где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями. Изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в теории управления приведены в табл. 3.1. Если же функция отсутствует в таблице, то ее изображение можно получить непосредственно, пользуясь соотношением (3.16).

Пример 3.1 Требуется найти преобразование Лапласа от функции x(t) = е–at.

Согласно определению преобразования Лапласа (3.16) имеем Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

При использовании преобразования Лапласа необходимо знать и применять его свойства, некоторые из них формулируются следующим образом.

1 Теорема линейности: для любых действительных или комплек-сных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует такая же комбинация изображений где x1(t) x1(s); x2(t) x2(s).

2 Теорема подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число :

3 Теорема затухания: умножение оригинала на функцию eat, где а – любое действительное или комплексное число, влечет за собой ''смещение" независимой переменной s:

4 Теорема запаздывания: для любого постоянного > 5 Теорема дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение х(s, r), то 6 Теорема дифференцирования оригинала: если x(t) x(s), то т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х(0).

В частности, если х(0) = 0, то x'(t) s х(s). Применяя теорему необходимое количество раз, получают т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sn его изображения.

7 Теорема интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:

8 Теорема дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (t ) :

9 Теорема интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до соответствует деление оригинала на t, т.е. если интеграл x( z )dz сходится, то 10 Теорема умножения изображения: если x(t) x(s), y(t) y(s), то свертке функций соответствует произведение изображений 11 Теорема умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений где = Re z.

12 Теорема о конечном и начальном значениях функции:

3.8.3 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Одним из важнейших применений операционного исчисления – преобразования Лапласа – является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которыми как раз и описываются рассматриваемые системы автоматического управления.

Решение дифференциального уравнения в этом случае складывается из следующих этапов:

1) преобразование уравнения по Лапласу;

2) отыскание решения в области комплексного переменного s;

3) переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа.

Пример 3. Преобразуем данное уравнение по Лапласу:

откуда Пусть полином a2 s 2 + a1s + a0 = 0 имеет корни s1 и s2, тогда, как будет показано ниже, можно записать где C0, C1, C2 – некоторые коэффициенты, определяемые методом неопределенных коэффициентов:

Пользуясь таблицами обратного преобразования Лапласа, находим Полученное выражение y(t) является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка при входном сигнале x(t) = 1(t), т.е. ничем иным, как переходной функцией для линейного объекта второго порядка.

Как видно из примера 3.2, решение дифференциального уравнения, полученное с использованием преобразования Лапласа, представляет собой рациональную дробь. Для облегчения обратного преобразования полученную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, пользуясь следующим правилом.

называется правильной рациональной дробью, если порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя. Для разложения дроби (3.34) необходимо найти корни уравнения n ( s) = 0.

Если корень действительный, то ему соответствует дробь вида Если корни действительные кратности k, то им соответствует сумма дробей Если корни комплексно сопряженные, то Если корни комплексно сопряженные кратности k, то Таким образом, дробь (3.34) можно представить в виде Коэффициенты А1,..., Аk; В1,..., Вm; С1,..., Сp; D1,..., Dp; F1,..., Fq; Е1,..., Еq находятся методом неопределенных множителей. В этом случае правая часть (3.35) приводится к общему знаменателю и получается равенство двух дробей, у которых знаменатели равны, следовательно, должны быть равны и числители. Из равенства последних составляется система алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов, которая решается известными методами решения линейных алгебраических систем.

При определении оригинала по полученному изображению пользуются следующими формулами соответствия:

Данное изображение раскладывается на простейшие дроби:

Правая часть последнего выражения приводится к общему знаменателю, и из условия равенства числителей получают:

Из равенства коэффициентов при соответствующих степенях s в левой и правой частях записывается система алгебраических уравнений:

решение которой дает А1 = – 2/9; A2 = 1/3; А3 = –1; В = 2/9. Таким образом, Применяя обратное преобразование, записывается выражение для оригинала:

Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается:

Передаточная функция характеризует динамику объекта только по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта и конкретный выход (рис. 3.13).

Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями, определить которые можно непосредственно, пользуясь определением (3.36).

Пример 3.4 Пусть на вход объекта подается сигнал x(t) = 1(t), а на выходе снимается сигнал, описываемый функцией y(t) = 2 e–2t.

Как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику линейного объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраичеy (s) В общем случае дифференциальное уравнение объекта представляется в виде где an, …, a0; bm, …, b0 – постоянные коэффициенты.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях получают:

или и тогда Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у(s) равно произведению передаточной функции на изображение входа x(s):

Последняя запись есть не что иное, как общая форма записи решения дифференциального уравнения в операторной форме.

Таким образом, передаточная функция равна отношению двух полиномов:

Для реальных физических объектов можно отметить как характерную особенность тот факт, что степень полинома В(s) всегда меньше или равна степени полинома A(s), т.е. m n, так что Передаточная функция также взаимно однозначно связана с временными характеристиками.

Если имеется выражение для переходной функции, следовательно, входной сигнал x(t) = 1(t) или x(s) =, выходной сигнал y(t) = h(t) или y(s) = h(s), и тогда передаточная функция равна Из (3.39) может быть получено выражение для переходной функции через преобразование Лапласа:

Если известно выражение для весовой функции, то входной сигнал x(t) = (t) или x(s) = 1, выходной сигнал w(t) и, следовательно,

Т.Е. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЕСТЬ НЕ ЧТО ИНОЕ, КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ОТ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ.

y(t ) + 3 y(t ) + 4 y (t ) = 2 x(t ); y (0) = y(0) = 0. Найти h(s) и w(s).

Применяя преобразование Лапласа: s 2 y ( s) + 3sy ( s ) + 4 y ( s) = 2 x( s), определяем передаточную функцию 1 Математическая модель объекта управления или системы управления устанавливает взаимосвязь между входными и выходными переменными. Различают уравнения статики и уравнения динамики.

Установлено, что различные по физической природе объекты управления обладают некоторыми общими чертами и описываются однотипными уравнениями с точки зрения математики.

А Какие уравнения называются уравнениями статики?

Что представляет собой статическая характеристика?

В Какие уравнения называются уравнениями динамики?

С Какими уравнениями описываются объекты управления: гидравлический резервуар, электрическая емкость, непрерывный изотермический химический реактор полного перемешивания?

2 Один из классов систем, которые рассматривает теория автоматического управления – это линейные стационарные системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции. Основной задачей изучения динамического поведения этих систем является умение рассчитать выходной сигнал для любого известного входного сигнала, т.е. рассчитать динамику системы. С этой целью используются динамические характеристики. Основными временными характеристиками, которые, как правило, получают экспериментально, являются переходная функция и весовая функция.

А Как доказать, что система является линейной системой?

В Какие характеристики относятся к динамическим характеристикам?

С Что представляет собой схема расчета динамики с помощью временных характеристик?

3 Основным математическим аппаратом, используемым в теории автоматического управления, является преобразование Лапласа, с помощью которого записывается основная динамическая характеристика объекта управления – передаточная функция.

А Дайте определение преобразования Лапласа. Сформулируйте основные свойства.

C Какая характеристика называется передаточной функцией?

4 ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z = a + i b, где а и b – соответственно действительная и мнимая части числа. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. На комплексной плоскости, в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть), комплексное число геометрически представляется вектором (рис. 4.1); оно может быть изображено также в полярных координатах М (модуль) и (фаза) и записано в показательной форме: z = Меi, где М – длина вектора, соединяющего начало координат с точкой z; – угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z, причем положительным направлением считается направление отсчета против часовой стрелки.

Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как e ± i = cos ± i sin, Все составляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями (рис.

4.1):

При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z. Ниже приводятся формулы, по которым вычисление фазы сводится к определению острого угла, равного arctg (рис. 4.2).

I квадрант: z1 = a + ib, 1 = arctg ;

Над комплексными числами проводят те же арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), что и над действительными. Сложение и вычитание более удобно проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

а умножение и деление над числами, записанными в показательной форме:

Если аргумент функции – комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Например, функция W(s), s = + i.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО ФУНКЦИЕЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО НАЗЫВАЕТСЯ НЕКОТОРЫЙ ОПЕРАТОР (ПРАВИЛО), СОГЛАСНО КОТОРОМУ

ТОЧКЕ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО СТАВИТСЯ В СООТВЕТСТВИЕ ТОЧКА ДРУГОЙ ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (РИС. 4.3).

Если функция относится к классу аналитических функций (непрерывная, гладкая, почти всюду дифференцируемая), то такая функция Рис. 4.3 К определению функции комплексной переменной

ПОДЧИНЯЕТСЯ ПРИНЦИПАМ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСНОВНЫМИ СВОЙСТВАМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ:

1 Линия одной комплексной плоскости s отображается в линию другой комплексной плоскости W(s) (рис. 4.4).

2 Бесконечно малый угол отображается в такой же бесконечно малый угол, углы при этом сохраняются (рис. 4.4).

3 Бесконечно малый треугольник отображается в такой же равный ему бесконечно малый треугольник. Направление обхода углов сохраняется. Внутренняя область одного треугольника преобразуется во внутреннюю область другого треугольника (рис. 4.4).

Важную роль при описании линейных систем играют частотные характеристики, характеризующие реакцию объекта (системы) на гармонический сигнал.

Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), которая может быть определена через конформное отображение.

Амплитудно-фазовой характеристикой называется конформное отображение мнимой оси плоскости корней характеристического уравi Im нения на комплексную плоскость амплитудно-фазовой характеристики (рис. 4.5), причем сама мнимая ось отображается в годограф AФX, правая же полуплоскость корней характеристического уравнения отображается во внутреннюю область АФХ.

Амплитудно-фазовая характеристика является комплексной функцией, поэтому она может быть, как и любая комплексная функция, представлена в показательной форме и в алгебраической форме Модуль М() в показательной форме записи АФХ называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а фаза или аргумент () называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Действительная часть амплитудно-фазовой характеристики Rе() называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ).

Мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики Im() называется мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Между всеми частотными характеристиками существует связь (рис. 4.1). Зная одни из них, можно определить другие, т.е.

Как известно, любая линейная стационарная система автоматического управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, которое в операторной форме имеет вид где y ( s) = y (t )e st dt - преобразование Лапласа функции y(t).

Преобразование Фурье функции y(t) определяется выражением y (i) = y (t )e it dt, причем должны Сравнивая преобразования Лапласа и Фурье, видно, что формально оно может быть получено из преобразования Лапласа простой заменой s на i, но из-за второго условия преобразование Фурье выполняется для более ограниченного класса функций. Заменяя в уравнении (4.9) s на i, получаем:

откуда Проводя анализ выражения (4.8), можно записать, что частотная характеристика () = ч() – зн() – нечетной функцией; вещественная частотная характеристика Re() – четной функцией; мнимая частотная характеристика Im() – нечетной функцией (рис.

4.6 и 4.7).

Амплитудно-фазовая характеристика также может рассматриваться как изображение Фурье от весовой функции:

Так как e it = cos t i sin t, то из (4.9) могут быть получены формулы для определения вещественной и мнимой характеристик:

и, следовательно, Из последних формул следует, что

А ЭТО СВИДЕТЕЛЬСТВУЕТ О ТОМ, ЧТО АФХ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТАХ ЯВЛЯЕТСЯ ЗЕРКАЛЬНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФХ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ (РИС. 4.8).

При практических расчетах обычно ограничиваются построением АФХ только для положительных частот. Используя формулу обратного преобразования Фурье, можно по АФХ получить весовую характеристику:

тотные характеристики.

Заменяя s на i, записываем выражение для АФХ:

Так как рассматриваемый объект линеен и стационарен, то, применяя принцип суперпозиции, имеем:

Годограф амплитудно-фазовой характеристики изображен на рис. 4.9, в.

Вещественную и мнимую частотные характеристики обычно получают умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю:

откуда – вещественно-частотная характеристика:

– мнимая частотная характеристика:

Решение дифференциального уравнения (3.36, а) имеет вид где yвын(t) – вынужденное движение, описываемое частным решением; yсв(t) – свободные движения, описываемые общим решением однородного уравнения.

Для установления связи между АФХ и дифференциальным уравнением рассматриваются вынужденные движения при входном гармоническом воздействии вида: x(t) = 2А cost, которое можно представить по формуле Эйлера x(t ) = Aeit + Aeit и рассматривать как сумму входных сигналов, т.е.

x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ).

В этом случае частное решение дифференциального уравнения в силу принципа суперпозиции также представляется в виде суммы где yвын1 (t ) и yвын 2 (t ) определяются соответственно видом x1(t) и x2(t). В связи с этим решения будут искаться в виде от t, подлежащие определению.

Для нахождения W(i) yвын1 (t ) дифференцируется n раз, а x1(t) m раз и подставляются в исходное дифференциальное уравнение, в результате получают Полученное выражение (4.15) полностью совпадает с полученным ранее выражением (4.8) для АФХ и еще раз подтверждает тот факт, что амплитудно-фазовая характеристика может быть получена простой заменой переменной s на i.

Функция W(–i) получается аналогичным образом по формуле (4.15) заменой i на (–i).

Записывая полученные выражения для комплексных функций W(i) и W(–i) в показательной форме частное решение уравнения (4.7) преобразуется к виду Сравнение yвын(t), описывающего установившиеся колебания на выходе объекта, с входным сигнаAM () ная характеристика.

С изменением частоты колебаний амплитудно- и фазочастотные характеристики изменяются по определенному закону в зависимости от физических свойств объекта. Однако все реальные физические системы обладают одним общим свойством, которое заключается в том, что при увеличении частоты входных колебаний выше некоторого предела (частоты среза) ср объект практически не реагирует на эти колебания, т.е. амплитуда выходных колебаний равна нулю. Таким образом, для любого реального объекта lim M () = 0.

Физический смысл частотных характеристик устанавливается при их экспериментальном определении.

Пусть на вход линейного объекта подается гармонический сигнал вида x(t) = Asint. На выходе объекта в установившемся режиме (собственное движение прекратилось) в силу принципа суперпозиции будет наблюдаться также гармонический сигнал с частотой, равной частоте входных колебаний, сдвинутый относительно них по фазе и другой амплитуды (рис. 4.10), т.е. y(t) = Bsin(t + ).

Рис. 4.10 Экспериментальное определение частотных характеристик:

а – объект; б – входной сигнал частоты 1; в – входной сигнал частоты 2;

Степень различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависит от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний, поэтому в качестве динамических характеристик объекта здесь и используются рассмотренные выше частотные характеристики. Для получения последних экспериментальным путем проводится ряд опытов, для которых используется аппаратура в составе генератора гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.

В результате проведенных экспериментов частотные характеристики определяются следующим образом.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входного сигнала:

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – разность фаз выходных и входных колебаний:

или где t () время сдвига.

Таким образом, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) может быть определена как комплексная функция, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ – аргументом. Последние соотношения как раз и определяют физический смысл частотных характеристик.

Имея в своем распоряжении амплитудно-фазовую характеристику, снятую экспериментально, и входной сигнал, можно записать выходной сигнал. Например, АФХ задана годографом (рис. 4.11), на вход подается сигнал x(t) = 2 sin0,5t + 3 cos0,1t – 0,8 sin10t.

Выходной сигнал y(t) в рассматриваемом случае можно записать, используя принцип суперпозиции, как сумму трех сигналов y1(t) = 22sin(0,5t – /2);

y2(t) = 33sin(0,1t + /2 – /4);

y3(t)= – 1,50,8sin(10t – 3/2);

y(t) = 4sin(0,5t – /2) + 9 sin(0,1t – /4) – 1,2 sin(10t – (3/2)).

Амплитудно-фазовую характеристику системы можно записать не в виде (4.8), а, воспользовавшись теоремой Безу, как где qj – нули, a sj полюсы передаточной функции.

Числитель функции (4.18) представляет собой произведение сомножителей (i – qj ). Геометрически эта разность является вектором, начало которого лежит в точке qj, а конец на мнимой оси в точке i (рис. 4.12). Сравнение двух векторов(i – qj) и (i – qj), один из которых qj лежит в левой полуплоскости и характеризуется фазой, а другой qj – в правой полуплоскости и характеризуется фазой, показывает, что при одном и том же модуле всегда <, т.е. для вектора, лежащего в левой полуплоскости, фаза меньше.

Системы (звенья), все нули и полюса передаточных функций которых лежат в левой полуплоскости (действительная часть нулей и полюсов является отрицательной величиной – Re qj < 0; Re sj < 0), называются минимально-фазовыми.

Системы (звенья), у которых хотя бы один нуль или полюс передаточной функции лежит в правой полуплоскости (действительная часть нулей, полюсов является положительной величиной – Re qj > 0; Re sj > 0), называются неминимально-фазовыми.

Можно показать, что для минимально-фазовых звеньев существуют зависимости:

Эти зависимости показывают, что амплитудно-фазовая характеристика минимально-фазовой системы (звена) полностью определяется ее ВЧХ, МЧХ или АЧХ. Это позволяет значительно упростить задачи анализа и синтеза рассматриваемых систем, ограничиваясь изучением их ВЧХ или АЧХ.

Неминимально-фазовую систему в простейшем случае можно представить в виде последовательного соединения минимально-фазовой системы и звена, имеющего один нуль в правой полуплоскости и, соответственно, характеризующегося АФХ:

Амплитудно-частотная характеристика этого звена М() = 1, a фазо-частотная – () = arctg.

Таким образом, рассматриваемое звено сохраняет амплитуду выходного гармонического сигнала равной амплитуде входного сигнала при любой частоте, фаза же при изменении частоты от 0 до меняется в интервале от до 0, т.е. включение звена с АФХ W(i) приводит к добавлению положительного сдвига фазы (), который при i 0 равен и уменьшается при возрастании частоты.

Подобные звенья на практике используются для корректирования фазовых характеристик цепей, для повышения устойчивости и т.д.

Кроме рассматриваемых выше частотных характеристик, иногда используют, так называемые, логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Для их получения выражение АФХ (4.15) записывается в виде и логарифмируется Для оценки отношения двух величин используется логарифмическая единица – децибел. Связь между числом децибел Sдб и некоторым числом N дается формулой Характеристика называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

При построении логарифмических частотных характеристик по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе – lg, поэтому логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится в координатах L(); lg, логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) ();

lg (рис. 4.13). Логарифмические частотные характеристики называют также диаграммами Боде.

Основной динамической характеристикой объекта или системы является дифференциальное уравнение. Кроме него могут применяться:

1) передаточная функция;

2) частотные характеристики: амплитудно-частотная, фазочастотная, амплитудно-фазовая;

3) переходные характеристики: переходная функция, весовая функция.