«Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного ...»

а – статическая характеристика; б – выходной сигнал нелинейного элемента а – статическая характеристика; б – вынужденные колебания нелинейного элемента В нелинейных системах такой аппарат частотных характеристик не подходит. Здесь частотные характеристики существенно зависят от амплитуды входного сигнала, т.е. M нэ (, A), нэ (, A). Если рассмотреть нелинейный элемент со статической характеристикой, представленной на рис. 10.3, а, то этот элемент при малых амплитудах входного сигнала ( A B) ведет себя как линейный, а при больших амплитудах входного сигнала ( A > B) выходные колебания искажаются (рис. 10.3, б).

3 В нелинейных системах условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия: система устойчива при одних значениях воздействий и неустойчива при других его значениях. Здесь нельзя говорить однозначно, устойчива система или нет.

Линейная система, например, ay(t ) + y(t ) = 0, имеет одно единственное состояние равновесия ( y (t ) = 0). Нелинейная система, описываемая в общем виде уравнением y ( n ) (t ) = F ( y ( n 1) (t ), K, y (t ), y (t )) в динамике, имеет много состояний равновесия, определяемых нелинейным уравнением F (0,0, K, y ) = 0.

Для некоторых нелинейных систем, имеющих зону нечувствительности, наблюдается континиум состояний равновесия. Таким образом, в нелинейных системах говорят только об устойчивости конкретного состояния равновесия – устойчиво оно или нет. Весь строй мышления меняется, так как при одних внешних воздействиях переходной процесс сходится, а при других расходится. В связи с этим для нелинейных систем применяют понятие "устойчивость в малом", "устойчивость в большом", "устойчивость в целом".

Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальных отклонениях. Система устойчива в большом, если она устойчива при больших начальных отклонениях. Система устойчива в целом, если она устойчива при любых начальных отклонениях.

4 В нелинейных системах могут существовать собственные особые движения, получившие название автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы при особых условиях. Режим автоколебаний принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе малейшие изменения ее параметров приводят к изменению колебательного процесса, он становится либо сходящимся, либо расходящимся. Автоколебания являются устойчивым режимом, если малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Автоколебания могут быть и не устойчивым режимом, если малые изменения параметров системы выведут ее из этого режима. Амплитуда колебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

В общем случае автоколебания в нелинейных системах нежелательны, а иногда и недопустимы.

Однако, следует отметить, что в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом.

Структура и уравнение нелинейной автоматической системы в общем случае могут быть очень сложными. Степень сложности зависит от количества, вида и места включения нелинейных элементов. Однако, большинство реальных систем содержит один существенно нелинейный элемент. Линейная часть включает в себя все линейные звенья системы и может иметь структуру любой сложности, в частности, содержит внутренние обратные связи. Как уже отмечалось выше, нелинейные свойства системы определяются наличием в ней статических нелинейностей, т.е. нелинейная часть, образованная одним нелинейным элементом, имеет выходную переменную yнэ, которая в наиболее общем случае выражается как функция входной величины x и ее производной x :

Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная переменная зависит только от входной переменной, причем, эта зависимость строго однозначна:

yнэ = f ( x). Такие нелинейности называются типовыми, для них записывается статическая характеристика и рассматривается преобразование ими гармонического сигнала x(t ) = A sin t. Наиболее часто встречаются следующие типовые нелинейности.

1 Усилительное звено с зоной нечувствительности. Статическая характеристика этого звена представлена на рис. 10.4, а. Такими характеристиками обладают некоторые схемы электронных, магнитных и а – статическая характеристика; б – прохождение гармонического сигнала;

гидравлических усилителей в области малых входных сигналов. Простейшей механической моделью зоны нечувствительности является система соединения двух валов с пружинным возвратом ведомого вала в нейтральное положение при наличии участка свободного хода в системе передачи (рис. 10.4, г).

Статическая характеристика звена (рис. 10.4, а) выражается следующими уравнениями При подаче на вход звена гармонического сигнала x1 (t ) (рис. 10.4, в) с амплитудой A a, на выходе звена сигнала не будет, так как изменение x1 не превышает величины зоны нечувствительности. Если же на вход подать сигнал x2 (t ) (рис. 10.4, в) с амплитудой A > a, то на выходе будет наблюдаться периодический сигнал (рис. 10.4, б), который может быть построен по рис. 10.4, а, в, как третья проекция. Если x2 (t ) a, то yнэ (t ) 0, если x2 (t ) > a, то выходной сигнал y нэ (t ) совпадает с верхней частью входного сигнала x2 (t ). В результате на выходе усилительного звена с зоной нечувствительности будет выходной сигнал, отличный от гармонического по форме и представляющий собой участки с нулевым сигналом и сигналом, отличным от нуля.

2 Усилительное звено с ограничением амплитуды. Это звено называют также нелинейным звеном с зоной насыщения. Статическая характеристика изображена на рис. 10.5, а и записывается в виде Подобными характеристиками обладают практически все реальные усилители, ограниченные по мощности в области больших входных сигналов.

Механической моделью звена является система соединения двух валов через упругую пружину при наличии ограничений или упоров в системе ведомого вала (рис. 10.5, г).

При подаче на вход звена гармонического сигнала x1 (t ) с амплитудой A < a (меньше зоны насыщения) (рис. 10.5, в) на выходе звена будет также гармонический сигнал, так как в этом случае звено работает как линейное (рис. 10.5, б). Если амплитуда входного сигнала x2 (t ) больше, чем зона насыщения ( A > a), то при достижении ее, т.е. как а – статическая характеристика; б – прохождение гармонического сигнала;

только x2 (t ) = a, на выходе звена установится значение y нэ (t ) = a и будет сохраняться до тех пор, пока x2 (t ) > a. Если же значение входного сигнала достигнет значения x2 (t ) = a, то на выходе значение выходного сигнала установится равным a, yнэ = a и будет сохраняться, пока x2 (t ) < a в диапазоне a x2 (t ) a. Нелинейный элемент имеет статическую характеристику yнэ = x и, следовательно, в этом случае через него пройдут отдельные участки входного гармонического сигнала. В результате на выходе усилительного звена с зоной насыщения установится периодический выходной сигнал по форме напоминающий трапеции, боковые стороны которых искривлены по синусоиде.

3 Двухпозиционное реле. Статическая характеристика звена представлена на рис. 10.6, а и записывается как Двухпозиционное реле представляет собой самостоятельный нелинейный физически реализуемый элемент, который используется в различных схемах сигнализации, а также для устройств специального типа, применяемых для форсирования управляющего сигнала при больших рассогласованиях между переменной и заданием.

При подаче на вход звена гармонического сигнала x(t ) (рис. 10.6, в) на его выходе установятся прямоугольные колебания, амплитуда которых будет B при x > 0 и B при x < 0.

Вынужденные колебания на выходе двухпозиционного реле представлены на рис. 10.6, б.

4. Двухпозиционное реле с зоной возврата. Однозначные релейные характеристики соответствуют некоторой идеализации реальной системы. В действительности обычно величина входного сигнала, при котором происходит скачок выходной величины yнэ, бывает различной для переключения контакта в прямом и обратном направлениях. Статическая характеристика двухпозиционного реле с зоной возврата представлена на рис. 10.7, а и математически выражается следующим образом На участке a < x < a величина yнэ имеет два значения B или B в зависимости от предшествующих значений x. Условия скачка при переходе с нижней ветви на верхнюю выражается следующим образом: x = a, yнэ = B, dx / dt > 0. Аналогично записываются условия скачкообразного перехода с верхней ветви на нижнюю: x = a, yнэ = B, dx / dt < 0.

При подаче на вход звена гармонического сигнала (рис. 10.7, в) на выходе звена наблюдаются прямоугольные колебания с амплитудой, равной B (рис. 10.7, б). Скачкообразный переход с + B на B происходит в момент времени, когда x(t ) = a, а с B на + B, когда x(t ) = a. Свойствами подобного релейного элемента обладают усилители с зоной насыщения, охваченные положительной обратной связью. Такая нелинейная характеристика типична для двухпозиционных переключающих элементов, например, электромагнитных реле.

5 Усилительное звено с зоной застоя (звено типа люфт). Нелинейность такого вида наиболее часто встречается в механических системах и связана с наличием зазоров или с сухим трением в системе передачи. Если в механической модели звена с зоной нечувствительности (рис. 10.8, г) убрать пружину, стремящуюся возвратить ведомый вал в нулевое положение, то получится модель нелинейности типа люфт (рис. 10.8, г). Зависимость между положением ведущего x и ведомого y нэ валов неоднозначна.

Статическая характеристика, выражающая эту зависимость, представлена на рис. 10.8, а.

Аналитически характеристика звена типа люфт записывается следующим образом:

В этом случае статическая характеристика имеет гистерезисный вид и зависит не только от значения x(t ), но и от знака скорости изменения yнэ.

а – статическая характеристика; б – входной сигнал; в – прохождение При подаче на вход гармонического сигнала x(t ) (рис. 10.8, б) на выходе нелинейного элемента будет наблюдаться некоторый периодический процесс, представленный на рис. 10.8, в, для которого характерным является появление участков "зависания" yнэ, т.е. на них изменения yнэ не происходит за счет наличия сухого трения в золотнике. Однако, выходной сигнал yнэ не задерживается в зоне покоя в области нулевых значений. Это означает также, что пока входная координата не изменится настолько, чтобы она превысила значение 2a, выходная переменная не будет изменяться. Поэтому при изменении направления действия выходная переменная начнет изменяться лишь тогда, когда значение входной переменной изменится на величину, равную удвоенному параметру a (параметр a характеризует, например, сухое трение).

6 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и зоной возврата. Нелинейности такого типа часто встречаются в системах автоматического регулирования, особенно, когда элементом, управляющим включением и выключением вспомогательной энергии, является электрическое реле, например, электрический сервомотор, управляемый с помощью реле.

Статическая характеристика представляет собой релейную характеристику, отличительной особенностью которой является то, что выходная переменная изменяется скачком в зависимости от изменения входного сигнала и может принимать одно из трех значений: B, 0, B. Эта характеристика изображена на рис. 10.9, а и является ярким примером существенно нелинейной функции. Здесь можно выделить три типичные зоны нелинейности: зону нечувствительности, участки неоднозначности и участки насыщения.

Зона нечувствительности определяется величиной тока срабатывания реле. Участки неоднозначности представляют петли, образуемые вертикальными и горизонтальными участками характеристики, а участки насыщения определяются релейным характером включения энергии.

Математическая запись статической характеристики трехпозиционного реле с зоной нечувствительности выглядит следующим образом:

В этом случае переход от yнэ = 0 к yнэ = B происходит при x = a, а возврат – при x = b.

Подобная статическая характеристика может быть получена при охвате усилителя с зоной нечувствительности и ограничением положительной обратной связью. Для ее получения может быть применена электрическая схема (рис. 10.9, г), состоящая из двух электромагнитных реле K1 и K2, включенных через вентили WS1 и WS2. Контакты Рис. 10.9 Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности:

а – статическая характеристика; б – входной сигнал; в – прохождение реле K1 и K2 замыкают цепь между источником питания и напряжением B выходными зажимами так, что в зависимости от значения x напряжение z на зажимах принимает значение B, 0, B в соответствии с характеристикой (рис. 10.9, а).

При подаче на вход рассматриваемого нелинейного элемента гармонического сигнала (рис. 10.9, б) на выходе наблюдается периодический процесс, представляющий собой чередование участков нечувствительности и прямоугольных импульсов амплитудой B или B. Переключение реле с B на B и наоборот с B на B происходит с некоторым запаздыванием в силу разных значений токов срабатывания и отпусканием реле.

Особенности поведения нелинейных систем и многообразия протекающих в них процессов создают трудности при их математическом описании и исследовании. Во многих случаях представляется возможным и целесообразным заменить реальные нелинейные характеристики приближенными линейными зависимостями, т.е. исходная нелинейная система будет заменена некоторой линеаризованной системой. В зависимости от типа нелинейностей применяют различные методы линеаризации. Наиболее распространенными являются: для слабых нелинейностей – разложение в ряд Тейлора, для сильных нелинейностей – гармоническая линеаризация, для релейных систем – вибрационная линеаризация.

Основным методом линеаризации нелинейных зависимостей является метод перехода к малым возмущениям и метод осреднения нелинейных характеристик.

Если статическая характеристика нелинейного элемента yнэ = f ( x) является непрерывной функцией с непрерывными производными в некоторой области значений x, то эта характеристика всегда может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности любой точки x0, принадлежащей этой области:

Смысл линеаризации заключается в том, что при достаточно малых значениях x = x x0 можно положить, что Если обозначить y = f ( x) f ( x0 ), то получают линеаризованную статическую характеристику в отклонениях (рис. 10.10) где a = f ( x0 ), или Рис. 10.11 Гармоническая ли- выше, рассматривается прохождение через них гармонического сигнала x(t ) = A sin t. Если система изменяет частоту если нет – нечастотопреобразующей. Далее рассматриваются нечастотопреобразующие системы. На выходе безынерционного нелинейного нечастотопреобразующего элемента со статической характеристикой yнэ = f ( x) установятся периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических составляющих с помощью ряда Фурье (рис. 10.11), в состав которого входят гармоники Частота 0 называется главной частотой. Если на выходе нелинейного элемента рассматривать только первую гармонику, а остальные во внимание не принимать, то получим некоторый линеаризованный элемент. Такую процедуру можно проделать, если будет выполняться гипотеза фильтра.

Выходной сигнал после нелинейного элемента записывается следующим образом:

где a0 = Согласно гипотезе фильтра все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду по сравнению с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний на выходе запишется в виде или yнэ (t ) C1 sin(t + ) + a0, Таким образом, на вход подали гармонический сигнал и на выходе получили также гармонический сигнал (10.10). Следовательно, в рассмотрение можно ввести частотные характеристики, аналогичные частотным характеристикам линейной системы:

– амлитудно-частотная характеристика – фазочастотная характеристика – амплитудно-фазовая характеристика Так как характеристики (10.11) – (10.13) были получены для линеаризованной системы, то они получили название эквивалентных.

На практике широкое распространение получили обратные частотные характеристики:

– обратная АФХ:

– обратная АЧХ:

– обратная ФЧХ:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 10.1 Построить эквивалентные частотные характеристики для нелинейного элемента – двухпозиционного реле (рис. 10.6, а).

Так как характеристика однозначна, то коэффициент b1 = 0, а коэффициент a1 определится следующим образом, период T0 = 2.

Следовательно, – эквивалентная амплитудно-частотная характеристика (рис. 10.12, а) – эквивалентная фазочастотная характеристика (рис. 10.12, б) – эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика (рис. 10.12, в) Рис. 10.12 Эквивалентные частотные характеристики двухпозиционного реле:

– инверсная амплитудно-фазовая характеристика (рис. 10.12, г) В результате гармонической линеаризации двухпозиционное реле заменяется линейной статической системой.

Пример 10.2 Построить эквивалентные частотные характеристики для двухпозиционного реле с зоной нечувствительности (рис. 10.13, а). Так как характеристика однозначна, то b1 = 0, где = arcsin a / A (рис. 10.13, б).

Согласно определению эквивалентных частотных характеристик имеем:

– эквивалентная амплитудно-частотная характеристика которую обычно записывают как функцию не амплитуды входного сигнала, а отношения ( A / a) , что соответствует измерению A в единицах a, и, следовательно, – эквивалентная фазочастотная характеристика Графики эквивалентных частотных характеристик изображены на рис. 10.14.

Для линеаризации релейных элементов часто применяют вибрационную линеаризацию путем создания высокочастотных колебаний на их входе. В этом случае релейный элемент линеаризуется, и поэтому вся система в целом ведет себя как система непрерывного действия.

Эффект вибрационной линеаризации может быть описан с помощью метода гармонической линеаризации. Сущность вибрационной линеаризации применительно к двухпозиционному реле может быть проиллюстрирована следующим образом. Если на вход двухпозиционного реле подать чисто переменный сигнал x(t ) = A sin t, то на выходе получается также чисто переменный сигнал yнэ (t ) в виде прямоугольной волны (рис. 10.15). Если же на вход подать сумму сигналов: переменного и постоянного значения, т.е. x(t ) = x0 + A sin t, где x0 – const, то на выходе вследствие изменения скважности выходных импульсов в выходном сигнале появится постоянная составляющая y0, величина которой зависит от величины x0 на входе реле (рис. 10.15). Зависимость постоянной составляющей y0 на выходе реле от величины постоянной составляющей x0 на его входе показана на рис. 10.15, г.

Форма этой зависимости определяется формой входного переменного сигнала и релейной характеристикой. Таким образом, постоянную составляющую входного сигнала релейный элемент пропускает как звено непрерывного действия. При этом для малых величин постоянного сигнала звено является линейным.

Высокочастотные воздействия, осуществляющие вибрационную линеаризацию, могут быть получены тремя способами: с помощью генератора, создающего вынужденные колебания системы, путем автоколебаний в самой САУ и путем создания скользящего режима.

а – статическая характеристика; б – входные сигналы; в – выходные сигналы;

г – зависимость постоянной составляющей на выходе от постоянной 1 Система автоматического управления называется нелинейной, если она не подчиняется принципу суперпозиции. Различают два вида нелинейностей: статические – это нелинейности статических характеристик и динамические – это нелинейности дифференциальных уравнений. Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная переменная зависит только от входной переменной, причем эта зависимость строго однозначна: yнэ = f ( x). Такие нелинейности называются типовыми.

А Как доказать, что система относится к классу нелинейных систем автоматического управления?

B Что представляют собой статические нелинейности и динамические нелинейности?

С Приведите пример типовых нелинейных элементов.

2 Как известно, особенности нелинейных систем вытекают из неподчинения принципу суперпозиции, основными из которых являются следующие: выходной сигнал в нелинейных системах отличается от входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте; частотные характеристики зависят от амплитуды входного сигнала; условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия; в системе существуют собственные особые движения, называемые автоколебаниями.

А Почему частотные характеристики нелинейных систем зависят от амплитуды входного сигнала?

В Сколько состояний равновесия имеет нелинейная система?

С Что такое автоколебания?

3 При исследовании нелинейных систем очень часто их нелинейные характеристики заменяют приближенными линейными зависимостями, в этом случае говорят, что проводят линеаризацию нелинейной системы. Полученная система называется линеаризованной. Наиболее распространенными методами линеаризации являются: для слабых нелинейностей – разложение в ряд Тейлора, для сильных нелинейностей – гармоническая линеаризация, для релейных систем – вибрационная линеаризация.

А Что означает слабая нелинейность и почему для нее используется разложение в ряд Тейлора?

В Каким требованиям должна отвечать нелинейная система, чтобы к ней можно было применять гармоническую линеаризацию?

С Какие характеристики нелинейных систем вводятся в рассмотрение в результате проведения гармонической линеаризации?

11 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

При исследованиях нелинейных систем широко используется метод фазового пространства, относящийся к группе графоаналитических методов, описывающих поведение систем при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов. Применительно к линейным системам этот метод рассмотрен в разделе 6.3.

Основным понятием метода является понятие фазового пространства, под которым понимается пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Последние в общем случае описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:

где y1, y2, K, yn – Фазовые координаты y1, y2, K, yn могут иметь любой физический смысл – температура, концентрация и др., но обычно в качестве них выбирают выходную переменную и ее (n 1) производную, т.е.

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных уравнений (11.1) для системы второго порядка запишется в виде:

Из этой системы получают уравнение, описывающее фазовый портрет. Для этого необходимо исключить из рассмотрения время, в результате чего получают следующее уравнение решение которого дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, являющихся фазовыми траекториями системы.

Фазовые портреты нелинейных систем второго порядка определяются решением дифференциального уравнения (11.3), которое в данном случае является нелинейным, что и обуславливает характерные особенности этих траекторий.

Линейная система имеет единственное состояние равновесия, определяемое (11.3), и характер особой точки полностью определяет поведение системы при любых отклонениях от состояния равновесия.

В нелинейной системе состояний равновесия может быть много, следовательно и особых точек также много, но их характер определяет поведение фазовых траекторий только вблизи них. Так, на рис. 11. изображен типичный фазовый портрет нелинейной системы.

Эта система имеет три состояния равновесия в точках А, В, С. Причем точка А является особой точкой типа "центр", а В и С – типа "седло". При рассмотрении свободных движений их амплитуда может вырасти до определенного предела и оставаться далее постоянной, а не расходиться. На фазовой плоскости помимо особых точек фазовый портрет может содержать особые линии, одной из которых является особая траектория – изолированная замкнутая кривая, называемая предельным циклом (рис. 11.2).

Фазовые траектории могут асимптотически приближаться к предельному циклу – "наматываться" (рис. 11.2, а) и "сматываться", уходя в бесконечность (рис. 11.2, б).

Предельным циклам соответствуют периодические процессы, в окрестности которых имеют место колебательные процессы (рис. 11.3), т.е. предельному циклу соответствует режим автоколебаний в системе.

Рис. 11.2 Особые фазовые траектории предельный цикл:

А – ПРИ УСТОЙЧИВОМ ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ; Б – ПРИ НЕУСТОЙЧИВОМ

ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ

Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми, и соответственно автоколебания – устойчивыми и неустойчивыми. Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории снаружи и изнутри "наматываются на него" (рис. 11.2, а, 11.3, а). В такой системе обязательно будет наблюдаться автоколебательный режим.

Предельный цикл называется неустойчивым, если фазовые траектории удаляются от него с обеих сторон, т.е. "сматываются" (рис. 11.2, б, 11.3, б).

Если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла, представленного на рис. 11.2, а, то она будет двигаться по фазовой траектории к нему, система ведет себя, как неустойчивая система, особая точка – начало координат является неустойчивым фокусом. Если же в начальный момент времени изображающая точка находится снаружи предельного цикла, то она движется по фазовой траектории, приближаясь к нему, система ведет себя как устойчивая система. В этом случае говорят, что рассматриваемая система неустойчива "в малом", устойчива "в большом" и режим автоколебаний устойчивый.

Если рассматривать те же самые начальные условия, но для случая, представленного на рис. 11.2, б, то говорят, что система устойчива "в малом" (особая точка – устойчивый фокус), неустойчива "в большом", режим автоколебаний неустойчивый.

Рис. 11.4 Фазовый портрет системы:

а – полуустойчивый предельный цикл; б – с двумя предельными циклами Если начальные условия таковы, что одна фазовая траектория "наматывается" на предельный цикл, а другая – "сматывается", то система является неустойчивой и "в малом", и "в большом". В этом случае предельный цикл и соответственно режим автоколебаний называется полуустойчивым (рис. 11.4, а).

Система может иметь не один, а несколько предельных циклов. Система, фазовый портрет которой изображен на рис. 11.4, б, имеет два предельных цикла, один из них – внутренний устойчивый, другой – внешний неустойчивый. Состояние равновесия одно и неустойчивое.

Другим видом особых линий, которые встречаются в нелинейных системах, являются сепаратрисы – кривые, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Так, в линейных системах второго порядка при рассмотрении фазового портрета типа седло асимптоты гипербол y2 = ±y1, 2 = a0 / a2, a1 = 0 и являются как раз сепаратрисами.

Типичный фазовый портрет нелинейной системы изображен на рис. 11.5. Здесь имеются следующие особые точки: точка А – устойчивый фокус, точка В – неустойчивый узел и точка С – седло. В соответствии с этим сепаратрисы разделяют фазовый портрет на четыре области: 1 – затухающих колебаний, 2 – автоколебаний, 3 и 4 – неустойчивых апериодических процессов.

Рис. 11.5 Фазовый портрет нелинейной системы портрет с особой линией Для построения фазовых портретов нелинейных систем используется ряд методов. Наибольшее распространение получили нижеследующие методы.

11.3.1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

В линейных системах интегрирование дифференциального уравнения фазовых траекторий (11.3) не представляет трудностей. Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется. Аналитическое решение в большинстве случаев получить не удается, поэтому для построения фазовых портретов нелинейных систем применяют численное интегрирование уравнения (11.3). В ряде случаев предварительно проводят качественное исследование изучаемой системы. Благодаря использованию методов качественной теории дифференциальных уравнений определяют структуру фазовых портретов – число и тип возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаиморасположение, наличие сепаратрис. Все это позволяет определить совокупность возможных в исследуемой системе режимов работы, и численное интегрирование уравнения фазовых траекторий выполнить для целого ряда начальных условий, которые являются наиболее важными с точки зрения выделения областей фазового портрета.

Пример 11.1 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом интегрирования уравнения фазовой траектории.

Нелинейная система описывается дифференциальным уравнением где – релейная характеристика вида В этом случае уравнение нелинейной системы записывается для трех участков релейной характеристики Рассмотрим, как самое простейшее, второе уравнение системы и получим для участка нечувствительности релейной характеристики уравнение фазовой траектории. С этой целью проводится подстановка y1 = y ; y2 = dy / dt и дифференциальное уравнение второго порядка сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка Поделив второе уравнение на первое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий где C1 – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями.

Таким образом, фазовые траектории на участке C < y < C представляют собой прямые линии (рис.

11.7). Движение по фазовым траекториям происходит в верхней полуплоскости, где y 2 > 0, слева направо, а в нижней полуплоскости, где y 2 < 0, – справа налево.

Рис. 11.7 Фазовый портрет для системы автоматического управления с релейной характеристикой – двухпозиционное реле с зоной нечувствительности По первому уравнению нелинейной системы можно построить фазовый портрет правее линии II II. Для этого аналогичным образом получаем уравнение фазовых траекторий откуда Интегрирование последнего выражения, переписанного в виде дает фазовые траектории в виде логарифмических кривых которые изображены на рис. 11.7 правее линии II II, где y1 > C.

Третье уравнение нелинейной системы позволяет записать уравнение фазовых траекторий левее линии I I. Это уравнение, полученное таким же образом, как и предыдущее, записывается в виде Фазовые траектории на участке левее линии I I, где y1 < C, представляют собой логарифмические кривые (рис. 11.7).

Таким образом, фазовые траектории получены для трех различных участков, которые необходимо связать между собой, но метод непосредственного интегрирования уравнения фазовых траекторий без дополнительных предложений этого сделать не позволяет, но тем не менее он дает полное представление о характере фазового портрета за исключением линий I I и II II.

Метод изоклин имеет невысокую точность и используется для качественной оценки хода фазовых траекторий.

Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.

Методика построения фазового портрета методом изоклин складывается из следующих этапов:

1 Построение изоклин;

2 Нанесение направления касательных к фазовым траекториям;

3 Определение характера искомого фазового портрета.

При использовании метода изоклин считается известным система дифференциальных уравнений (11.2), описывающая исследуемую систему, для которой предстоит построить фазовый портрет. Следоf (y, y ) вательно, известно уравнение фазовых траекторий (11.3) 2 = 2 1 2. Для получения изоклин необf1 ( y1, y 2 ) ходимо положить Задавая различные значения константы – (C ) в (11.4), на фазовой плоскости строится семейство изоклин, на которых под углом = arctgC к оси абсцисс наносятся стрелки и по ним определяется характер фазового портрета системы.

рис. 11.8. Начальное положение изображающей точки выбирается произвольно на изоклине C1 = 0. Из этой точки M 0 проводится два отрезка: один под углом 1 = arctgC1, а другой под углом 2 = arctgC2 до пересечения их с соседней изоклиной C2.

Точки пересечения отрезков с изоклиной обозначаются M 1 и M 1, соответственно. За точку фазовой траектории принимается точка M 1, Рис. 11.8 Построение фазового портрета методом изоклин лежащая между ними. Повторяя построения таким же образом, но из точки M 1, т.е. проводя два отрезка до соседней изоклины под углом 2 = arctgC2 и 3 = arctgC3, находится точка M 2 и т.д. Точность фазового портрета зависит от числа изоклин, по которым он строится. Особым точкам на фазовой плоскости соответствуют точки пересечения нескольких изоклин, так как в них направление фазовых траекторий становится неопределенным.

Пример 11.2 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом изоклин. Система описывается нелинейным дифференциальным уравнением Производя замену y1 (t ) = y (t ), y2 (t ) = dy / dt, дифференциальное уравнение второго порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка Уравнение фазовой траектории получается, если поделить второе уравнение на первое а уравнение изоклин Задавая различные значения С (С0 = 0; С1 = 0,25; С2 = 0,5; С3 = 1; С4 = 2; С5 = 5; С1 = 0,25; С 2 = 0,5;

С3 = 1; С 4 = 2; С5 = 5), для каждого из них по уравнению на фазовой плоскости строится изоклина (на рис. 11.9 сплошные кривые).

Затем на каждой кривой наносятся стрелочки под углами = arctg C ( = 0o ; 4o ; 26,5o ; 45o ;

64o ; 89o ) к оси абсцисс.

По этим стрелочкам восстанавливаются искомые фазовые траектории. В данном случае получается устойчивый предельный цикл, что соответствует автоколебаниям в системе. Другие фазовые траектории носят спиралевидный характер и "наматываются" на предельный цикл как снаружи, так и изнутри.

Особая точка – начало координат является устойчивым фокусом.

Рис. 11.9 Фазовый портрет нелинейной системы Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочнолинейной статической характеристикой.

Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траектории этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец предыдущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называется линией переключения.

Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:

1) выбираются или задаются начальные условия;

2) интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

3) производится припасовывание начальных условий.

Пример 11.3 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом припасовывания.

Нелинейная система описывается следующей системой дифференциальных уравнений Начальные условия: y1 (0) = y10 = 1 ; y2 (0) = y20 = 1.

Статическая характеристика нелинейного элемента является кусочно-линейной функцией, имеющей два участка линейности. В связи с этим система дифференциальных уравнений для первого и второго участков соответственно будет иметь вид Фазовая плоскость разбивается на участки, на каждом из которых движение изображающей точки описывается одним из линейных уравнений (*) или (* *). Границей между участками является линия АВСD – линия переключения (рис. 11.11).

При заданных начальных условиях изображающая точка находится на входе в первый участок, следовательно, первый участок фазовой траектории М 0 М 1 находится интегрированием уравнения (*) при начальных условиях y10, y 20. Поделив второе уравнение на первое, получают dy2 / dy1 = 1 / y2, откуда Конечная точка первого участка находится как точка пересечения с линией переключения АВ, на которой y1 = 1, следовательно из y 2 / 2 3 / 2 = 1, y2 = 2,23. Координаты точки М 1 (1; 2,23) являются начальными условиями для решения системы уравнений (* *), описывающей второй участок фазовой траектории М 1М 2, т.е. так же как для первого участка, для второго участка получают Координаты точки М 2 находятся как координаты точки пересечения фазовой траектории второго участка с линией переключения CD:

Продолжая аналогичные рассуждения, находят все остальные участки фазовой траектории. Фазовый портрет системы приведен на рис. 11.11, он представляет собой участки парабол с вершинами, расположенными на оси y1 и припасовыванными друг к другу на линии переключения.

Метод сшивания во многом аналогичен методу припасовывания. И часто эти два метода рассматривают вместе, как один. Метод сшивания применим во всех тех же ситуациях, что и метод припасовывания, т.е. статическая характеристика нелинейного элемента является кусочно-линейной функцией. При построении фазового портрета эта характеристика разбивается на линейные участки, для каждого из которых строится своя фазовая траектория и определяется некоторая область фазового пространства.

таких систем являются релейные системы, замыкающие или размыкающие часть схемы при переходе через линии сшивания. В таких системах при определенных условиях Рис. 11.12 Релейная система:

а – структурная схема; б – статическая характеристика возможно получить виды движения более высокого качества, чем в любой из отдельно взятых структур.

В качестве примера рассмотрим простейшую релейную систему (рис. 11.12, а), состоящую из линейной части, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, и нелинейного элемента со статической характеристикой (рис. 11.12, б).

Таким образом, пусть рассматриваемая система описывается следующим образом где y1 = y; y2 = dy/dt = dy1 / dt; k коэффициент усиления линейной части; f ( y1 ) – релейная характеристика: f ( y1 ) = a signy1. Тогда уравнение фазовой траектории или Верхний знак соответствует правой, нижний – левой полуплоскости. Ось ординат является линией переключения. Фазовыми траекториями являются замкнутые кривые, образованные отрезками парабол (рис. 11.13, а).

Введение зоны нечувствительности приводит к появлению отрезка покоя и полосы, образованной линиями переключения, внутри которой отрезки траекторий горизонтальны (рис. 11.13, б). При наличии гистерезиса процесс расходится (рис. 11.13, в).

нечувствительности; в – с двухпозиционным реле с гистерезисом Стабилизировать подобную систему можно, охватив релейный элемент отрицательной обратной связью, по производной выходной величины. Тогда фазовый портрет описывается уравнением и, следовательно, + kay1 = C, если y1 + kос y2 > 0 ;

Линия переключения y 2 = (рис. 11.14) представляет собой прямую, проходящую через начаy ло координат и наклоненную под углом arctg( 1/ kос ). Справа от этой линии y1 + kос y2 > 0, слева – y1 + kос y2 < 0. Фазовые траектории в обоих случаях – параболы, положение вершин которых определяется постоянной интегрирования C, зависящей от начальных условий. Полностью фазовый портрет рассматриваемой системы изображен на рис. 11.14, а.

Рис. 11.14 Построение фазового портрета методом сшивания:

На линии переключения можно выделить три характерных участка, разграниченных точками касания А и В линии переключения с показанными пунктиром параболами. За пределами отрезка АВ фазовая траектория по одну сторону линии переключения после перехода через нее является продолжением траектории по другую сторону линии. Внутри отрезка АВ фазовые траектории подходят к нему с двух сторон и упираются в него. Изображающая точка не может сойти с этого отрезка, но не может и остаться на нем. Этот процесс можно расшифровать следующим образом. Пусть движение идет по фазовой траектории 1 (рис. 11.14, б). Как только фазовая траектория пересечет линию переключения АО, вступит в свои права фазовая траектория 2, которая вернет процесс к отрезку ОА. Однако, на пути движения встречается фазовая траектория 3 и т.д. В результате изображающая точка вибрирует около линии переключения и перемещается к началу координат. В этом случае говорят, что изображающая точка скользит по линии переключения к равновесному состоянию типа устойчивого узла. Процесс такого рода называется скользящим процессом, а отрезок АВ – линией скольжения.

Движение вдоль линии скольжения определяется только линией переключения и совершенно не зависит от параметров линейной части. Это обстоятельство используется при построении многих систем с переменной структурой.

1 Фазовый портрет нелинейной системы определяется решением дифференциального уравнения dy2 / dy1 = f 2 ( y1, y2 ) / f1 ( y1, y2 ), которое в данном случае является нелинейным, что и обусловливает характерные особенности фазовых траекторий. Так, особые точки определяют поведение фазовых траекторий только вблизи них. Помимо особых точек фазовый портрет нелинейной системы может содержать особые линии. Вся область фазового портрета разделена на области с различным характером фазовых траекторий.

А Что представляет собой особая линия, называемая предельным циклом?

В Что такое сепаратриса?

С Дайте характеристику типового фазового портрета.

2 Для качественной оценки фазовых траекторий используется метод изоклин. При построении фазового портрета этим методом строятся на всей фазовой плоскости изоклины, а затем на них наносятся направления касательных к фазовым траекториям, по которым определяется характер фазового портрета.

А Что такое изоклина?

В Какими исходными данными необходимо обладать, чтобы можно было приступить к построению фазового портрета методом изоклин?

С Почему фазовый портрет, построенный методом изоклин, носит качественный характер?

3 Методы припасовывания и сшивания используются для построения точных фазовых портретов для нелинейных систем, имеющих кусочно-линейные статические характеристики. Для каждого линейного участка статической характеристики строится фазовая траектория. На границах этих линейных участков согласно метода припасовывания принимается, что конечные значения предыдущего участка являются начальными условиями для последующего участка. При использовании метода сшивания фазовый портрет получают "сшиванием" отдельных областей желаемым образом.

А Какова последовательность построения фазового портрета методом припасовывания?

В Что значит сшить фазовый портрет?

С Для каких систем наиболее часто применяют метод "сшивания" при построении фазовых портретов?

12 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Общая теория устойчивости нелинейных систем была развита в работах А. М. Ляпунова, им впервые было введено понятие устойчивости движения.

Любая система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением, решение которого в фазовом пространстве дает траекторию движения. Понятие устойчивости движения сформулировано в разделе 6.4.

Движение может быть устойчивым и неустойчивым. В реальных системах неустойчивые движения не наблюдаются.

В разделе 6.5 сформулированы основные виды устойчивости и в том числе понятие устойчивости по Ляпунову. Остановимся еще раз на этом определении.

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если по любому можно указать число = () > такое, что если при t = 0 из неравенства y0 y0 < () следует неравенство y (t ) y* (t ) < для всех t Rt.

Смысл этого определения состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге М 0 от М 0, точка М * в последующем движении достаточно близка к М (рис. 12.1, а).

Если при движении в пространстве точки М и М * неограниченно сближаются, то траектория возмущенного движения возвращается на траекторию невозмущенного движения, и последнее называется асимптотически устойчивым (рис. 12.1, б).

Рис. 12.1 К определению устойчивости движения:

а – по Ляпунову; б – асимптотической Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое, что если Понятие асимптотической устойчивости более узко, чем понятие устойчивости по Ляпунову. Если движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо, т.е. движение может быть устойчивым по Ляпунову, но неустойчивым асимптотически.

При исследовании устойчивости нелинейных систем исследуют отдельные виды движения – состояние равновесия и автоколебания.

Состояние равновесия, за которое принимают обычно тривиальное решение y = 0, является устойчивым, если вокруг начала координат существует область притяжения траекторий G (рис. 12.2, а). В этом случае говорят, что состояние равновесия устойчиво в "малом", т.е. гарантируют устойчивость лишь при достаточно малых отклонениях. Другими словами, если задать область допустимых отклонений, то от нее будет зависеть область допустимых начальных условий. Для устойчивости системы достаточно, чтобы движение изображающей точки происходило внутри этой заданной допустимой области отклонений (рис. 12.2, а). Если система не только не выходит за границы допустимой области, но и возвращается к прежнему состоянию равновесия, то такая система является асимптотически устойчивой.

Для определения устойчивости в "большом" необходимо задать область 1 возможных (например, по техническим условиям) отклонений в данной системе. Если эта область 1 целиком лежит в области G, и при этом выполняется условие, что max y0 y0 = 1, 1 <, то состояние равновесия устойчиво в "большом" (рис. 12.2, б).

Если область G распространяется на все пространство, то равновесие называется устойчивым в "целом".

Для исследования устойчивости в "малом", в "большом" и в "целом" используют специальные методы, которые рассматриваются ниже.

Первый метод Ляпунова дает ответ об устойчивости движения по первому приближению с помощью методов, основанных на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения возмущенного движения от невозмущенного: y (t ) = y (t ) y * (t ), где y (t ) – возмущенное, а y * (t ) – невозмущенное движения.

Если дифференциальное уравнение движения имеет вид то для вывода уравнения возмущенного движения необходимо переменную y (t ) = y (t ) + y * (t ) подставить в (12.1).

будет являться уравнением в отклонениях.

Если функция F в (12.2) допускает разложение в ряд Тейлора по степеням y, то выполнив это разложение, получают Если отклонения достаточно малы, то, пренебрегая членами в (12.3), зависящими от них в степени выше первой, учитывая начальные условия и переобозначив y (t ) = y (t ), получают линеаризованное уравнение, которое также называется линеаризованным уравнением первого приближения и записывается в виде Исследование устойчивости движения по уравнению первого приближения объясняется, с одной стороны, простотой подобного подхода, с другой стороны, исследования процессов, происходящих в реальных системах, часто позволяют определить только первые линейные члены.

Но, однако, уравнение первого приближения не всегда позволяет сделать правильный вывод об устойчивости движения. Условия, позволяющие дать правильные ответы и решить важную и принципиальную задачу теории автоматического управления об устойчивости движения были сформулированы А.М. Ляпуновым и оформлены в виде трех теорем, именуемых первым методом Ляпунова.

Теорема 1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также неустойчиво по Ляпунову.

Теорема 3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. В этом случае необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

Эти теоремы позволяют судить по результатам исследования уравнений первого приближения об устойчивости в "малом" состояния равновесия исходной нелинейной системы.

В качестве примера рассмотрим нелинейную систему второго порядка, описываемую системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Предметом исследования является определение устойчивости состояния равновесия ( y10, y 20 ), т.е.

характера движения вблизи этого состояния, которое определяется как dy1 (t ) / dt = dy2 (t ) / dt = 0.

Согласно первому методу Ляпунова система дифференциальных уравнений (12.5) заменяется линеаризованной системой первого приближения. Для этого, если функции P( y1, y 2 ), Q( y1, y 2 ) являются аналитическими, то их разлагают в ряд Тейлора и получают следующую систему уравнений С1, С2 – члены степени выше первой относительно y1, y2. Система первого приближения получается из (12.6) отбрасыванием нелинейных членов C1, C2 :

Система дифференциальных уравнений (12.7) является линейной системой с постоянными коэффициентами и исследуется на устойчивость любыми известными методами исследования устойчивости линейных систем. В частности, характеристическое уравнение системы имеет вид и, следовательно, характер устойчивости решения определяется корнями S1 и S 2 этого уравнения. Если эти корни имеют отрицательную часть, то система первого приближения устойчива, следовательно, устойчива и исходная нелинейная система. Если же действительная часть положительна, то линейная система неустойчива и исходная нелинейная система неустойчива. Если корни будут чисто мнимыми, то линейная система находится на границе устойчивости и сказать что-либо конкретное относительно устойчивости исходной нелинейной системы нельзя, так как неизвестно как ведут себя отброшенные нелинейные члены. В этом случае необходимо рассматривать систему второго приближения. Если же исследование этой системы не даст конкретного ответа, то рассматривается система третьего приближения и т.д.

Первый метод Ляпунова можно использовать и для исследования устойчивости движения. Если последнее описывается дифференциальным уравнением (12.1), то для исследования устойчивости движения это уравнение необходимо линеаризовать путем разложения в ряд Тейлора в окрестности исследуемого движения y10 (t ), y 20 (t ), …, y n0 (t ), например, таким движением является гармонический сигнал – синусоида. В результате линеаризации получают уравнение первого приближения, которое является линейным уравнением с коэффициентами, зависящими от времени:

Пример 12.1 Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования с помощью первого метода Ляпунова, если она описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Прежде всего определяются состояния равновесия из системы уравнений dy1 / dt = dy2 / dt = 0, т.е.

Система имеет два состояния равновесия. Первое – y10 = 0, y 20 = 0 ; второе – y10 – любое, y 20 = 1. Исследуем на устойчивость первое состояние равновесия. Для этого линеаризуем исходную систему в окрестности точки y10 = 0, y 20 = 0 и получим линейную систему первого приближения Характеристическое уравнение этой системы: (S + 1)2 = 0, его корни S1 = S 2 = 1 – отрицательные действительные, следовательно, система первого приближения устойчива. Состояние равновесия исходной нелинейной системы также устойчиво и представляет собой особую точку типа устойчивый узел.

А.М. Ляпунов предложил метод, позволяющий получить достаточные условия устойчивости нелинейных систем автоматического управления. Первоначально метод был разработан для исследования локальной устойчивости, т.е. устойчивости в достаточно малой окрестности особых точек, в дальнейшем он был расширен и для исследования устойчивости "в большом". Этот метод получил название второго метода Ляпунова. Для его изложения необходимы некоторые вспомогательные сведения, приведенные ниже.

12.3.1 ПОНЯТИЕ О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ, ЗНАКОПОСТОЯННЫХ

И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЯХ

Пусть имеется функция нескольких переменных V = V ( y1, y2,..., yn ), где y1, y 2,..., y n являются прямоугольными координатами n-мерного фазового пространства. В каждой точке этого пространства функция V имеет некоторое определенное значение, в зависимости от того какие это будут значения вводятся названия этой функции.

Функция V называется знакоопределенной в данной области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде, кроме начала координат, не обращается в нуль.

Примером знакоопределенной функции является функция вида V = y12 + y 2 +... + y n, которая при всех вещественных значениях y1, y 2,..., y n будет положительной (V > 0) и только, когда одновременно y1 = 0, y 2 = 0,..., y n = 0 она обращается в нуль (V = 0). Эта функция называется знакоопределенной положительной в отличие от функции V = (y12 + y 2 +... + y n ), которая называется знакоопределенной отрицательной, так как для любых y1, y 2,..., y n V < 0 и V = 0 при y1 = 0, y 2 = 0,..., yn = 0.

Функция V называется знакопостоянной, если она в рассматриваемой области сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Примером знакопостоянной функции при n = 3 является функция V = ( y1 + y 2 )2 + y3, которая обращается в нуль, помимо начала координат, еще на прямой y 2 = y1 и y3 = 0, во всех остальных точках она положительна. Функция V = sin y1 + cos y 2 также является знакопостоянной, так как она при всех действительных y1 и y2 положительна или равна нулю.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат меняет свой знак.

Примером знакопеременной функции является функция V = y1 + y 2. Эта функция положительна для всех точек справа от прямой y1 = y 2 и отрицательна слева от этой прямой.

Согласно второму методу Ляпунова в рассмотрение вводится специальная функция V ( y1, y 2,..., y n ), заданная в фазовом пространстве, называемая функцией Ляпунова и обладающая следующими свойствами:

1 Функция V непрерывна со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области, содержащей начало координат.

2 В начале координат функция V ( y1, y 2,..., y n ) принимает нулевое значение, т.е. при y1 = 0, y 2 = 0, 3 Всюду внутри рассматриваемой области функция V является знакоопределенной, т.е. либо V > 0, либо V < 0.

Полная производная от функции Ляпунова по времени запишется в виде Пусть рассматриваемая нелинейная система автоматического управления описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе. Следовательно, для нелинейной системы n-го порядка эти уравнения будут:

где функции F1, F2,..., Fn произвольны и содержат нелинейности любого вида, но всегда удовлетворяют условию, что при y1 = y 2 =... = y n = 0, F1 = F2 =... = Fn = 0, так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производных равны нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Если теперь в производную от функции Ляпунова (12.9) подставить значения dy1 / dt, dy2 / dt,..., dy n / dt из системы уравнений рассматриваемой системы управления (12.10), то получим производную от функции Ляпунова по времени в виде Правые части уравнений (12.10) представляют собой заданные функции от отклонений y1, y 2,..., y n.

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама функция V, является некоторой функцией отклонений, т.е.

причем, так же как и функция V, эта В связи с этим к функции W (12.12) можно применять понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.

В основе второго метода Ляпунова лежит известная теорема Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. А.М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.

Теорема 1 Если существует знакоопределенная функция V ( y1, y 2,..., y n ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, или представляет собой знакопостоянную функцию противоположного с V знака, или тождественно равна нулю, то нелинейная система устойчива.

Теорема 2 Если существует знакоопределенная функция V ( y1, y 2,..., y n ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию противоположного с V знака, то нелинейная система асимптотически устойчива.

Теорема 3 Если существует какая-либо функция V ( y1, y 2,..., y n ), производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат имеется область, в которой знак функции V совпадает со знаком производной dV / dt, то состояние системы y1 = y 2 =... = y n = 0 неустойчиво.

Проиллюстрировать справедливость этих теорем можно на наглядных геометрических образах.

Пусть имеется некоторая нелинейная система третьего порядка, которая описывается системой дифференциальных уравнений в отклонениях от значений переменных в стационарном состоянии вида (12.10):

Координаты состояний равновесия определяются из системы алгебраических уравнений Для определенности предполагается, что рассматриваемая система имеет только одно состояние равновесия, совпадающее с началом координат y1 = y 2 = y3 = 0.

В качестве функции Ляпунова рассматривается знакоопределенная положительная функция где ai, i = 1, 2, 3 – произвольно заданные вещественные числа. Если теперь этой функции придавать некоторые возрастающие постоянные значения 0, C1, C2,..., т.е.

то первому из них в фазовом пространстве y1 y 2 y3 соответствует точка y1 = y2 = y3 = 0, а остальным – эллипсоиды, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий (рис. 12.3), т.е. в силу однозначности функции V поверхности, соответствующие различным значениям Ci, не пересекаются между собой, а составляют семейство вложенных друг в друга поверхностей, причем меньшим значениям Ci соответствуют внутренние поверхности, увеличение значений Ci обозначает переход к внешним поверхностям.

Производная от функции Ляпунова (12.15) по времени в силу системы дифференциальных уравнений (12.13) согласно (12.11) запишется в виде Пусть изображающая точка в начальный момент находится на поверхности V = C4 (рис. 12.3). Градиент функции V есть вектор, определяемый проекциями V / yi на оси координат, т.е.

Если теперь ввести в рассмотрение вектор F ( y ) с проекциями F1 = dy1 / dt, F2 = dy2 / dt, F3 = dy3 / dt, то этот вектор будет ни чем иным как вектором скорости изображающей точки M в фазовом пространстве (рис. 12.3). Согласно (12.16) можно записать где y = ( y1, y 2, y3 ) – вектор координат состояния системы. Таким образом, производная функции Ляпунова по времени, составленная в силу уравнений системы (12.13), представляет собой скалярное произведение градиента этой функции на вектор фазовой скорости.

Вектор gradV ( y ) перпендикулярен к поверхности V = const (в частности, на рис. 12.3 к V = C4 ) и направлен в сторону возрастания значения V. Если производная dV / dt > 0, то, согласно (12.17), вектор фазовой скорости F ( y ) составляет с вектором gradV ( y ) острый угол, т.е. фазовая траектория пересекает поверхность V = const в сторону увеличения значений V ( y ).

Если же dV / dt < 0, угол между gradV ( y ) и F ( y ) тупой и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений V ( y ). Таким образом, если dV / dt < 0, то изображающая точка переместится на внутреннюю поверхность C3 и, двигаясь далее, будет неограниченно приближаться к состоянию равновесия – началу координат фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла. Это и означает затухание всех отклонений y1, y 2, y в переходном процессе с течением времени. Если W ( y1, y2, y3 ) = 0, то изображающая точка может остановиться на соответствующей поверхности. Такое перемещение является достаточным признаком устойчивости, т.е., если оно осуществляется, то устойчивость гарантируется.

В случае асимптотической устойчивости изображающая точка не может остаться на одной из поверхностей, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где y1 = y2 = y3 = 0 и V ( y1, y 2, y3 ) = 0.

Геометрическую иллюстрацию теоремы Ляпунова о неустойчивости удобно привести для случая n = 2 на фазовой плоскости (рис. 12.4). Пусть функция V ( y1, y2 ) знакопеременная с линиями V = const, а ее производная dV / dt = W ( y1, y2 ) положительно определенная. При произвольных начальных условиях фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойствами (12.17), попадает в область, где V ( y1, y 2 ) > 0 и будет удаляться от начала координат.

Если же W ( y1, y 2 ) является отрицательно определенной функцией, то фазовая траектория удаляется от начала координат в область, где V ( y1, y 2 ) < 0.

В качестве примера проведем строгое доказательство теоремы I Ляпунова.

Зададим некоторое значение > 0 и область значений вектора y = ( y1, y 2,..., y n ), ограниченную величиной его нормы y =.

Пусть имеется положительно определенная функция V ( y ) > 0, точная нижняя грань значений которой при y = есть > 0, т.е.

Поскольку V (0) = 0, то из непрерывности определенно положительной функции V ( y ) следует, что можно взять такое значение > 0, чтобы V ( y ) < при y <.

Предположим, что начальные условия лежат внутри области (подобрать их таким образом можно всегда), т.е. y(t0 ) < и, следовательно, V ( y (t 0 )) <. Тогда для решения y (t ) при t > t0 функция V ( y (t )) будет не возрастающей, так как по условию теоремы dV / dt = W ( y ) 0. Таким образом, получаем, что V ( y (t )) V ( y (t 0 )) <. При этом неизбежно y (t ) <, так как, если бы было y (t ) >, то получилось бы V ( y ) inf V ( y ) =, что противоречит условию V ( y (t )) V ( y (t 0 )) <. Теорема доказана.

Если условия теоремы выполняются, то система устойчива. Но это не означает, что система не может быть устойчивой и за пределами этих условий, все зависит от выбора функции Ляпунова V.

При заданных уравнениях системы регулирования можно подобрать несколько различных вариантов функции V, поскольку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции V, удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будут шире, другие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т.д. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова V будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным, т.е. более или менее полный охват всей области устойчивости данной системы. В большинстве технических задач вполне удовлетворяются только достаточными условиями.

Методику применения теорем Ляпунова удобно рассматривать на примере устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с одной однозначной нелинейностью. Структурная схема такой системы изображена на рис. 12.5.

Пусть управляемый объект описывается в фазовом пространстве системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка где y1 (t ), y2 (t ) – фазовые координаты; x(t ) – скалярная координата; a11, a12, a21, a22 – коэффициенты, из которых может быть образована невырожденная матрица; b1, b2 – коэффициенты.

Регулятор представляет собой нелинейное исполнительное устройство-привод, обратную связь привода и измерительно-усилительное устройство. Этот регулятор описывается следующими уравнениями где – скалярная координата; r – коэффициент обратной связи привода; F () – характеристика исполнительного устройства; C1, C2 – коэффициенты, характеризующие измерительно-усилительное устройство, в соответствии с которым выходная координата объекта записывается в виде C1 y1 (t ) + C2 y 2 (t ).

Нелинейная функция может иметь произвольную нечетно-симметричную форму (12.6), удовлетворяющую условиям Для исследования устойчивости вторым методом Ляпунова заданная система уравнений (12.19), (12.20) должна быть приведена к каноническому виду путем замены переменных:

Продифференцировав эти соотношения и произведя замену в соответствии с (12.22), получают систему уравнений вида в предположении, что матрица, составленная из коэффициентов a11, a12, a21, a22 приведена к диагональной форме, т.е. коэффициенты a12 = a21 = 0. Общая матрица системы (12.23) должна быть невырожденной, т.е.

Для решаемой задачи функцию Ляпунова рекомендуется брать в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности где B1, B2 – некоторые положительные квадратичные коэффициенты координат z1 и z 2. Интеграл в этом выражении также является положительно определенной функцией координаты, что легко проверить по виду характеристики F (). Таким образом, функция Ляпунова (12.24) является положительно определенной.

Производная этой функции (12.24) в силу уравнений системы (12.23) запишется в виде Произведя некоторые преобразования и замену переменных C1 = 2 B1a11, C 2 = 2 B2 a22, производная от функции Ляпунова примет следующий вид Полученное выражение (12.25) представляет собой квадратичную форму и согласно теоремам Ляпунова должна быть знакоопределенной или знакопостоянной отрицательной функцией. Установим обратное: при каких условиях эта производная будет положительной определенной функцией. Для этого необходимо воспользоваться критерием Сильвестра. Так как коэффициенты C1 и C2 являются коэффициентами положительно-определенной квадратичной формы, то неравенства критерия Сильвестра выполняются. Остается потребовать, чтобы отсюда (B1b1 + 1 2C1 )2 C 2 (B2b2 + 1 2C 2 )2 C1 + rC1C 2 > 0.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО КОЭФФИЦИЕНТ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПРИВОДА

ДОЛЖЕН ВЫБИРАТЬСЯ В СООТВЕТСТВИИ С НЕРАВЕНСТВОМ

ЭТО И ЯВЛЯЕТСЯ ДОСТАТОЧНЫМ УСЛОВИЕМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ z1 = 0, z 2 = 0, = 0.

В УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ВОШЛИ НИКАКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ F (). СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ СПРАВЕДЛИВЫ ПРИ ЛЮБОЙ ФОРМЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ ОБЩИМ ТРЕБОВАНИЯМ (12.21). ТАКИЕ УСЛОВИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ, КОТОРЫЕ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ КОНКРЕТНОЙ ФОРМЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ,

НАЗЫВАЮТ УСЛОВИЯМИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ.

ОДНОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПРАКТИЧЕСКОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫБОР ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА. ОБЩЕГО МЕТОДА ВЫБОРА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕ СУЩЕСТВУЕТ, НО ВСЕ ЖЕ

ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОСТАВЛЕНИЮ ЭТОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА СИСТЕМ. ЧАЩЕ ВСЕГО ЭТУ ФУНКЦИЮ

ВЫБИРАЮТ В ВИДЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.

ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ КООРДИНАТ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ НАХОДЯТСЯ СРАВНИТЕЛЬНО ЛЕГКО.

ПУСТЬ ДАНА СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ПУСТЬ КОРНИ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВЫЕ, Т.Е. ИМЕЮТ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ.

БУДЕМ ИСКАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ li, j КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

ТАК, ЧТОБЫ ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ЭТОЙ ФОРМЫ

БЫЛА ОПРЕДЕЛЕННО-ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ.

ДЛЯ ЭТОГО, СЛЕДУЯ ЛЯПУНОВУ, ЗАДАДИМСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ

ФОРМОЙ

ТАКУЮ ФОРМУ МОЖНО ВЫБРАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: ЗАДАЮТСЯ n ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ g11, g 22,..., g nn И ЗАТЕМ ОПРЕДЕЛЯЮТ g12 = g11 g12,..., g ij = g ii g jj,.... ТОГДА G ( y ) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ

И ЯВЛЯЕТСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ.

ЛЯПУНОВЫМ БЫЛО ДОКАЗАНО, ЧТО ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ

ЧАСТЯХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ЕДИНСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ ПОДОБРАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФОРМЫ, КОТОРАЯ БУДЕТ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ. ТАК КАК dL dt < 0, ТО L ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЛЯПУНОВА.

ЛЯПУНОВ УКАЗАЛ СЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ V ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. БУДЕМ ИСКАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ ПЕРЕМЕННЫХ

КОТОРАЯ УДОВЛЕТВОРЯЛА БЫ УСЛОВИЮ

Для нахождения коэффициентов A1, A2, K, An подставим (12.31) в последнее выражение, в результате получим Так как y1, y 2, K, y n независимые переменные, то равенство может существовать лишь при условии, что все коэффициенты при y1, y 2, K, y n тождественно равны нулю. Находим Условием совместности этих n уравнений является равенство нулю определителя системы ( = 0), где является корнем характеристического уравнения. Так как в общем случае их n, то можно найти n значений для функции U, равных U1, U 2, K, U n. Поскольку корни могут быть комплексными, т.е.

i = i + ij, i = i ij, то им соответствуют сопряженные значения функции U i и U i.

Составим далее функцию если U i окажется действительной величиной, возьмем U i2. Таким образом получаем положительноопределенную функцию, производная по времени которой будет Подставляя в (12.35) значение dyi dt из уравнения (12.27), в конечном итоге получаем где i – действительные части корней.

Таким образом, указан способ построения функции Ляпунова для линейной системы.

Метод Г. Сеге Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде где коэффициенты aij являются функциями фазовых координат yi, т.е. aij ( yi ).

Производная от функции Ляпунова по времени будет Работу метода Г.Сеге удобнее проследить на примере систем второго порядка. В этом случае (12.37) примет вид Определению подлежат коэффициенты a11 ( y1 ), a12 ( y1 ), a22 ( y 2 ). Принимается, что a22 ( y 2 ) = 1, тогда и, следовательно, производная (12.38) записывается следующим образом Так как исходная нелинейная система второго порядка записывается в виде то производная от функции Ляпунова в силу этих дифференциальных уравнений будет Предположим, что правая часть производной функции Ляпунова представляет собой полином второго порядка относительно yk где A0, A1, A2 – полиномы, зависящие от y1.

Для обеспечения устойчивости во всей области ( y1, y 2 ) необходимо потребовать, чтобы уравнение ( y1, y 2 ) = 0 имело кратные корни, условием которого является равенство нулю дискриминанта:

Согласно методу Г. Сеге принимается A2 = A1 = 0 и на основании этого составляется система дифференциальных уравнений для определения коэффициентов a11, a12 :

Далее необходимо решить систему дифференциальных уравнений (12.42) относительно a11, a12.

Найденные значения коэффициентов подставляются в выражение для функции Ляпунова и ее производной, после чего проверяется знакоопределенность функции V ( y1, y 2 ) и определяется знак производной dV / dt. На основании полученных результатов о знакоопределенности функции V ( y1, y 2 ) и знаке dV / dt делается вывод об устойчивости системы автоматического управления по Ляпунову: система будет устойчивой, если получили, что V ( y1, y2 ) > 0, а dV / dt < 0.

Метод Д. Шульца Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде где V – градиент функции Ляпунова, т.е. V = {V / y1, K, V / yn } для системы уравнений n-го порядка, который записывается в виде Производная по времени от функции Ляпунова будет где V T – транспонированный столбец V, т.е.

В такой постановке задачи о выборе функции Ляпунова определению подлежат коэффициенты aij, при этом принимается условие, что aij = a ji = const. Для определения коэффициентов записывается условие выполнения неравенства dV / dt < 0, из которого составляется система уравнений, разрешаемая относительно aij, i = 1, n ; j = 1, n. После определения коэффициентов записывается конкретное значение функции Ляпунова и производится проверка условий V ( y1, y 2, K, y n ) > 0, по результатам которой делается вывод об устойчивости рассматриваемой системы автоматического управления.

Метод Лурье – Постникова Согласно этому методу функция Ляпунова для системы квазилинейных уравнений, т.е. уравнений, содержащих линейную часть и аддитивно входящую нелинейность, записывается в виде:

где V1 ( y1, y2, K, yn ) – функция Ляпунова для линейной части, которая, как правило, пишется в виде квадратичной формы; f ( y ) – нелинейность, имеющая место в системе.

Анализ устойчивости сводится к конкретной записи функции Ляпунова и ее производной с последующей проверкой их знаков и применением теоремы об устойчивости.

Функция Ляпунова в виде (12.46) уже была использована в разделе 12.3.4 при рассмотрении общей методики применения теоремы Ляпунова.

Пример 12.2 Пусть нелинейная система автоматического управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка Исследовать эту систему на устойчивость вторым методом Ляпунова, используя при построении функции Ляпунова метод Г. Сеге.

Исходное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка следует привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка Согласно методу Г. Сеге функция Ляпунова имеет вид Производная от нее с учетом системы дифференциальных уравнений Образуем функцию ( y ) = A2 y 2 + A1 y 2 + A0 из производной dV / dt по степеням y2, сравнивая выражения dV / dt и ( y ), получим Для получения устойчивости во всей области ( y1, y 2 ) необходимо, чтобы коэффициенты A1 = A2 = 0, что приводит к системе дифференциальных уравнений относительно a11 ( y1 ) и a12 ( y1 ) :

Подставив это решение в уравнение, получим Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях y1, определим значения коэффициентов Решением второго уравнения является a12 ( y1 ) =, = 1.

Подставим найденные значения a11 и a12 в функцию Ляпунова и ее производную видно, что dV / dt < 0 при любых значениях y1. А это и указывает на устойчивость Пример 12.3 Исследовать устойчивость нелинейной системы, динамика которой описывается используя второй метод Ляпунова и форму Д. Шульца при построении функции Ляпунова.

В соответствии с методом Д. Шульца градиент функции Ляпунова представляется в виде Положим 12 = 21 = 0, тогда В соответствии с последним выражением градиент функции Ляпунова и ее производная запишутся в виде Согласно формуле (12.43) получим функцию Ляпунова Если произведение F ( y1 ) y1 = X находится в первом и третьем квадрантах, то функция Ляпунова положительно определенна, а ее производная отрицательно определенна, т.е. V > 0, dV / dt < 0, но это и указывает на устойчивость рассматриваемой системы.

Пример 12.4 Найти условие устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования, описываемой системой уравнений с помощью второго метода Ляпунова.

Функция Ляпунова записывается в соответствии с методом Лурье – Постникова в виде Условие отрицательной определенности dV / dt записывается в виде > 0, (db + c / 2)2 2a < 0. Для того, чтобы последнее неравенство имело положительное решение > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенства a > bc, которое обеспечивает положительность обоих корней уравнения Таким образом, если a > bc, то рассматриваемая система автоматического регулирования устойчива.

Большие возможности для исследования устойчивости и даже качества нелинейных систем открывает предложенный в 1960 году румынским ученым Пповым критерий абсолютной устойчивости, особенно его геометрическая трактовка, позволяющая привлечь к исследованию рассматриваемого класса нелинейных систем частотные методы.

Рассматривается нелинейная система, на которую действует конечного вида произвольное воздействие f (t ), ограниченное лишь тем, что оно считается исчезающим, т.е. lim f (t ) = 0 (рис. 12.7).

Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией W (s), а во временной области – весовой функцией w(t ), нелинейный элемент характеризуется статической характеристикой y (t ) = [x(t )].

Вся нелинейная система в интегральной форме описывается уравнением изображение по Лапласу которого x( s ) = f ( s ) W ( s ) L{[x(t )] }.

Состояние равновесия x = 0 будет устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого положительного существует другое положительное () такое, что при sup f (t ) = 0, 0 < имеет место неравенство x(t ). Если неограниченно, имеет место устойчивость в целом.

Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для всех характеристик (x), принадлежащих к определенному классу.

Будем рассматривать устойчивость для характеристик (x), лежащих в углу, т.е. принадлежащих подклассу (0, k ) (рис. 12.8).

Если равновесие абсолютно устойчиво, то оно абсолютно устойчиво и для всех прямолинейных характеристик y = hx, где 0 h k, поскольку эти прямые относятся к данному подклассу.

Исходная нелинейная система (рис. 12.7) представляет собой по своей структуре замкнутую систему, в которой нелинейный элемент охвачен отрицательной замкнутая линейная система была устойчива. Так как 0 h k, то достаточным условием устойчивости всех линейных систем из подкласса (0, k ) будет условие, чтобы W (i) не пересекала отрезка действительной оси (, 1 / k ).

Можно показать, что это условие необходимо и достаточно. Действительно, пусть линейная часть устойчива, но W (i) пересекает четное число раз отрезок (, 1 / k ). Изменяя h в пределах от 0 до k, тем самым перемещается правая граница критического отрезка, причем значению h = 0 соответствует точка, а h = k – 1 / k. Всегда можно выбрать h внутри заданных границ так, чтобы правая граница критического отрезка попала в любую точку отрезка (, 1 / k ).

Если характеристика W (i) пересекает четное число раз отрезок (, 1 / k ), то выберется значение h так, чтобы число пересечений стало на единицу меньше, но тогда замкнутая система становится неустойчивой. Таким образом, чтобы замкнутая система оставалась устойчивой при любых h, заключенных в пределах 0 h k, необходимо и достаточно, чтобы W (i) нигде не пересекала отрезок (, 1 / k ) оси абсцисс.

Для произвольной нелинейной функции из подкласса (0, k ) достаточное условие абсолютной устойчивости было сформулировано Поповым и выглядит следующим образом.

Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью было устойчиво, достаточно выполнение следующих условий:

1 Существует такое действительное число, при котором действительная часть функции Попова П(i) была положительна 2 Функция (x) принадлежит подклассу (0, k ), т.е. 0 ( x) / x k.

Доказательство этой теоремы не приводится, но рассматривается геометрическая трактовка. Для этого вводятся следующие характеристики видоизмененной частотной характеристики линейной части W * (i), связанной с исходной W (i) соотношениями:

т.е. действительная часть видоизмененной характеристики равна действительной части исходной, а мнимая равна мнимой части исходной, умноженной на. Так как ImW (i) = 0 и ImW * (i) = 0 одновременно, то точки пересечения действительных характеристик совпадают. Действительная и мнимая части видоизмененной характеристики W * (i) являются четными функциями. Если степень числителя W (i) не выше степени знаменателя и W (i) имеет не более одного полюса в начале координат, то при Re W * (i) и Im W * (i) стремятся к конечным пределам и характеристика W * (i) лежит в конечной части плоскости целиком.

тогда или Критическим случаем является случай, когда который дает в координатах U *, V * уравнение прямой линии, касающейся характеристики W * (i). Прямая проходит через точку (1 / k, i) и имеет угловой коэффициент 1 /.

Когда U * () V * () + 1 / k > 0, W * (i) лежит в части плоскости, включающей начало координат, т.е.

правее прямой.

Таким образом, для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы на плоскости видоизмененной частотной характеристики W * (i) линейной части системы можно было провести прямую через точку ( 1 / k, i0) так, чтобы W * (i) целиком располагалась справа от этой прямой (рис. 12.9, а).

На рис. 12.9, б приведен случай, когда отделяющую прямую построить нельзя и судить об устойчивости также нельзя.

Критерий Попова распространен также на системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью. В этом случае должны выполняться условия Рис. 12.9 Геометрическая трактовка абсолютной устойчивости системы:

т.е. нелинейная характеристика должна укладываться в углу, ограниченном прямыми с угловыми коэффициентами r и k + r. При этом r выбирается так, чтобы 1 + rW (i) имела все нули в левой полуплоскости, а W1 (i) - видоизмененная характеристика линейной части Между критерием абсолютной устойчивости Попова и вторым методом Ляпунова существует глубокая связь. Было доказано, что если выполняется условие абсолютной устойчивости Попова, то существует типовая функция Ляпунова - квадратичная форма плюс нелинейность, причем условие Re( П (i)) > 0 является необходимым и достаточным.

Пример 12.5 Нелинейная система второго порядка имеет линейную часть, описываемую уравнением Требуется определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного элемента лежит в секторе (0, k ).

Видоизмененная характеристика линейной части будет Анализ этой характеристики показывает, что при всех мнимая часть характеристики отрицательна, а это говорит о том, что вся характеристика W * (i) лежит в Рис. 12.10 Видоизмененная 1 В нелинейных системах исследуется устойчивость движения. Различают возмущенное движение и невозмущенное движение. Основными видами устойчивости движения являются понятия устойчивости движения по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Кроме того для нелинейных систем существуют такие понятия, как устойчивость в "малом" и устойчивость в "большом".

Для исследования устойчивости в "малом" используется первый метод Ляпунова, который позволяет судить об устойчивости нелинейной системы по линейной системе первого приближения.

А Какое движение называется возмущенным движением и какое движение называется невозмущенным движением?

В Какой смысл имеет понятие устойчивости движения системы по Ляпунову и чем оно отличается от асимптотической устойчивости?

С Какие теоремы были доказаны Ляпуновым в первом методе исследования устойчивости в "малом" состояния равновесия нелинейной системы.

2 Как известно, достаточные условия устойчивости нелинейных систем дает второй метод Ляпунова, позволяющий исследовать устойчивость в "большом". Согласно этому методу в рассмотрение вводится функция V ( y1, y2,..., yn ), заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами: непрерывна со всеми своими частными производными в некоторой открытой области, содержащей начало координат; при y1 = y2 =... = yn = 0 – V ( y1, y2,..., yn ) = 0; внутри рассматриваемой области V является знакоопределенной функцией, т.е. V > 0 или V < 0.

А. М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устойчивости и о неустойчивости. Так для доказательства асимптотической устойчивости строится и исследуется производная по времени функции Ляпунова, которая в силу системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, должна быть знакоопределенной функцией противоположного с V знака.

Если найти такую функцию V удастся, то устойчивость нелинейной системы будет доказана, причем устойчивость в "большом". Единого подхода к построению функции V ( y1, y2,..., yn ) не существует, но имеются рекомендации по составлению этой функции для исследования определенного класса систем.

А Какая теорема физики лежит в основе второго метода Ляпунова?

В Какими свойствами должна обладать функция Ляпунова и ее производная по времени, чтобы нелинейная система была устойчива ?

С Как Вы объясните, что второй метод Ляпунова дает устойчивость нелинейной системы в "большом"?

3 Для исследования устойчивости определенного класса нелинейных систем применяют критерий абсолютной устойчивости. Этот критерий относится к группе частотных критериев устойчивости. Рассматриваемая нелинейная система представляет собой замкнутую систему и состоит из линейной части, характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой W (i), и нелинейного элемента со статической характеристикой (x) из подкласса (0, k ), т.е. 0 ( x) / x k, стоящего в отрицательной обратной связи.

Для устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью достаточно выполнения условия, что действительная часть функций Попова (i) положительна.

А Как Вы понимаете абсолютную устойчивость?

В Что представляет собой видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части, и как последняя связана с исходной?

С Дайте геометрическую трактовку критерия абсолютной устойчивости.

13 АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Одной из основных особенностей нелинейных систем, как уже отмечалось в разделе 10, является режим автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие за счет непериодического источника энергии и определяемые свойствами системы. Этот режим принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем уменьшении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся.

Автоколебания же являются устойчивым режимом: малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

Автоколебания в нелинейных системах в общем случае нежелательны, а иногда и недопустимы. Однако, в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом. Примерами автоколебательных систем являются часы, электрический звонок, всевозможные генераторы;

при определенных условиях автоколебания возникают и в химических реакторах.

Для большинства реальных систем определение автоколебаний является сложной проблемой, являясь в то же время одной из задач исследования нелинейных систем.

При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы, связанные с условиями их возникновения, числом, параметрами автоколебаний и их устойчивостью.

Как известно, на фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует изолированная замкнутая фазовая траектория – предельный цикл. В связи с этим проследить условия возникновения автоколебаний можно на примере возникновения предельного цикла. Существует два режима возникновения автоколебаний, которые называются режимами мягкого и жесткого возбуждения.

Характер возникновения автоколебаний и изменение фазового портрета удобно проследить на примере системы второго порядка.

Пусть при некотором значении какого-либо параметра а системы ее фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 13.1, а. Система устойчива, все фазовые траектории ведут к состоянию равновесия, которым в данном случае является начало координат.

Параметр a можно изменять. Изменяя непрерывно этот параметр систему можно сделать неустойчивой. Допустим, что при значении параметра a = a1 образуется устойчивый предельный цикл бесконечно малых размеров (рис. 13.1, б). При дальнейшем изменении этого Рис. 13.1 Режим мягкого возбуждения возникновения автоколебаний:

а – устойчивое состояние системы; б – образование предельного цикла бесконечно малых размеров; в – распухание предельного цикла параметра предельный цикл будет распухать (рис. 13.1, в), его наличие на фазовой плоскости говорит о возникновении в системе автоколебаний. Подобный режим возникновения автоколебаний называется режимом мягкого возбуждения.

При режиме мягкого возбуждения образуется устойчивый предельный цикл, но состояние равновесия становится неустойчивым. При этом режиме иногда бывает неопасно выходить за пределы области устойчивости, если при этом предельный цикл оказывается достаточно малым. Образующиеся автоколебания имеют малые размеры и находятся в пределах допустимой погрешности, что может оказаться вполне приемлемым для системы регулирования и не несет нежелательных явлений. Иногда же эти автоколебания могут быть даже полезными, так как уничтожают застой в зоне нечувствительности, образованный, например, сухим трением.

Другой характер возникновения автоколебаний в нелинейных системах заключается в следующем.

Также как и в предыдущем случае рассматривается фазовый портрет устойчивой системы (рис. 13.2, а).

Пусть изменяется какой-либо параметр a нелинейной системы, и при некотором его значении a = a образуются как бы "слипшиеся" друг с другом два предельных цикла конечных размеров, а не бесконечно малых (рис. 13.2, б). Один из этих предельных циклов является устойчивым, а другой – неустойчивым.

При дальнейшем увеличении параметра a неустойчивый предельный цикл "съеживается", уменьшаясь по размерам, а устойчивый "распухает", увеличиваясь в размерах (рис. 13.2, в). Наконец, при некотором значении параметра a = a2 неустойчивый предельный цикл "съеживается" до минимума и сливается с точкой равновесия (рис. 13.2, г).

В результате остается лишь один предельный цикл, причем устойчивый. Неустойчивый предельный цикл, слипшись с точкой равновесия, как бы заражает ее своей неустойчивостью, и она становится неустойчивой.

а – устойчивое состояние системы; б – образование двух слипшихся предельных циклов; в – изменение Подобный режим возникновения автоколебаний, при котором сразу же возникает предельный цикл конечных размеров, называется режимом жесткого возбуждения. При режиме жесткого возбуждения может оказаться опасным сколь угодно малый выход системы за пределы области устойчивости. Значения параметров a1 и a2, при которых качественно изменяется картина фазового портрета называются бифуркационными.

Для определения автоколебаний и их исследования разработаны специальные методы и критерии.

В ряде случаев можно воспользоваться критериями, с помощью которых удается показать, что в фазовом портрете рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. в рассматриваемой системе автоколебания отсутствуют. Одним из таких критериев отсутствия замкнутых фазовых траекторий, дающих достаточные условия отсутствия автоколебаний, является критерий Бендиксона, который наиболее прост для практического применения.

Пусть рассматриваемая система описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка где F1 ( y1, y2 ), F2 ( y1, y2 ) – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости.

Критерий Бендиксона формулируется следующим образом: если в некоторой области на фазовой плоскости выражение F1 / y1 + F2 / y2 знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий.

В тех случаях, когда критерий Бендиксона не выполняется или не может быть использован, например, функции F1 ( y1, y2 ), F2 ( y1, y2 ) не являются аналитическими, применяются другие методы для определения автоколебательных режимов.

Прежде чем рассмотреть другие методы нахождения автоколебаний, приведем следующий пример на использование критерия Бендиксона.

Пример 13.1 Пусть химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает химическая реакция типа A 2 B, описывается следующими уравнениями где y1, y2 – текущие концентрации реагентов в реакторе; y10, y20 – реагентов; – расход; t – время.

Требуется ответить на вопрос: будут или нет автоколебания в химическом реакторе, используя критерий Бендиксона. В соответствии с этим критерием находится выражение Очевидно, что в соответствии с физическим смыслом y1 0, y2 0, т.е. концентрации не могут быть отрицательными, а также > 0, последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию. Следовательно, согласно критерию Бендиксона в рассматриваемой системе – химическом реакторе автоколебания существовать не могут.

Этот метод используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости. Суть метода заключается в следующем.

Рассмотрим на фазовой плоскости отдельную фазовую траекторию и какую-либо полупрямую, например Oy1 (рис. 13.3).

В некоторый момент времени фазовая траектория пересечет положительную полуось в точке M 1 с координатой y1. При дальнейшем движении фазовая траектория вновь пересечет положительную полуось, но уже в точке M 2 с координатой y12.

тория, поэтому обходу изображающей точки вокруг начала координат соответствует переход произвольной точки полупрямой Oy1 (точки M 1 ) в Рис. 13.3 Отдельная фагде через y1, y1 обозначены абсциссы точек M 1 и M 2.

зовая траектория Функция y1 = f ( y1 ) называется функцией последования.

В некоторых случаях эту функцию (13.1) удается получить аналитически из исходного дифференциального уравнения системы.