Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тобольский государственный педагогический институт
имени Д.И. Менделеева»
Кафедра алгебры и геометрии
Утверждено на заседании кафедры
алгебры и геометрии (протокол № 07 от 12.02. 2008 г.)
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ”
Специальность: 050201.65 – “Математика” Специализация: “Алгебра и геометрия” Программу составил:Коробейников В.С.
Тобольск
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.....ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ.
1....ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
2ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.
3СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4..... 4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ.. 4.2.1. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС..... 4.2.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.... 4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ.....4.2.4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ...
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
5 ДИСЦИПЛИНЫ........ 5.1. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА... 5.2. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
6 ДИСЦИПЛИНЫ........
СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО
7 КОНТРОЛЯ.........
7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ
ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ...
7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К
ЗАЧЁТУ И ЭКЗАМЕНУ.....
7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И
КУРСОВЫХ РАБОТ......
7.4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ
МЕРОПРИЯТИЙ......
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.....
УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
9... ПРИЛОЖЕНИЕ I........ ПРИЛОЖЕНИЕ II........ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дисциплина “Дифференциальная геометрия и топология” изучается в VII-VIII семестрах IV курса. На её изучение отведено 200 часов, из них аудиторных – 102 часа, лекций – 72 часов, практических занятий – 30 часов, самостоятельная работа студентов – 98 часов. Форма контроля: зачёт в VII семестре и экзамен – в VIII семестре.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Классическая ветвь математики – дифференциальная геометрия – и более современная математическая дисциплина – топология – являются теми, связанными между собой разделами современной математики, без знания которых невозможно представить квалифицированного специалиста-математика. Современные дифференциальная геометрия и топология используются как для решения теоретических вопросов математики, так и для решения прикладных математических задач. Всё это показывает важность и актуальность изучения дифференциальной геометрии и топологии для подготовки квалифицированных специалистов по специальности 050201.65 – “Математика” со специализацией “Алгебра и геометрия”.Главная цель курса вытекает из квалификационных требований к выпускникам вузов по математическим специальностям: формирование у студентов – будущих бакалавров математики – системы знаний об основных проблемах математики, о состоянии и перспективах развития её важнейших направлений;
о значении математики в познании фундаментальных законов мира;
о важнейших аспектах прикладного использования математических знаний.
Поэтому целью преподавания дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” является:
овладение студентами математическим аппаратом классической и современной дифференциальной геометрии и топологии, фундаментальными теоретическими положениями этих теорий;
воспитание и развитие их математической культуры;
осознание ими прикладного характера математики в целом и дифференциальной геометрии и топологии в частности.
Вместе с тем, изучение дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” преследует и следующие частные цели:
обеспечение понятийной базы для изучения других предметов, использующих геометрию и топологию в качестве поставщика необходимого математического аппарата (математический и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теоретическая физика, геометрия “в целом”, алгебраическая и дифференциальная топология и др.), и дальнейшего самостоятельного изучения математики;
формирование более широкого и глубокого понимания важнейших геометрических и топологических структур, повсеместно используемых в математике;
сопровождение теоретического материала разнообразными задачами и упражнениями для самостоятельного решения, позволяющими более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы.
Курс дифференциальной геометрии и топологии должен решать следующие задачи:
вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по геометрии и топологии;
давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;
учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке геометрии и топологии;
демонстрировать применение дифференциальной геометрии и топологии для решения широкого круга математических задач;
обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.
Содержание дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” тесно связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом по направлению подготовки 050201.65:
с алгеброй (теория линейных векторных пространств, теория групп);
с аналитической геометрией (геометрией евклидова, аффинного и проективного пространств);
с математическим анализом (дифференциальное и интегральное исчисление);
с теорией дифференциальных уравнений.
При этом преподавание дифференциальной геометрии и топологии не только создаёт базу для изучения вышеперечисленных предметов, но и предполагает достаточно хорошее освоение классических результатов алгебры, геометрии и математического анализа.
Кроме того, в процессе изучения дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” (в личном общении с преподавателем, при овладении теоретическими и практическими аспектами дисциплины, в коллективном общении студентов группы) у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:
учебно-воспитательной;
научно-методической;
культурно-просветительской.
В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:
учебно-воспитательная:
– проводить уроки математики с учащимися различного возраста с учётом особенностей учебных программ;
– использовать в процессе обучения математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и методы обучения;
– обучать учащихся приёмам учебной и познавательной деятельности;
– использовать различные формы контроля за результатами усвоения научно-методическая:
– уметь организовывать научно-исследовательскую деятельность учащихся;
– участвовать в работе методических объединений учителей;
– уметь организовать учебно-методическую работу в школе и т.д.
культурно-просветительская:
– владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном мире и в системе наук;
– уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и повышения своей квалификации;
– уметь стимулировать развитие внеурочной деятельности учащихся.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Основные требования к знаниям и умениям студентов по дисциплине “Дифференциальная геометрия и топология” раскрываются через требования, заложенные в стандарте высшего профессионального образования по направлению подготовки 050201.65 “Математика”.Изучение каждой темы предполагает овладение определёнными знаниями, умениями и навыками, представленными ниже:
Раздел 1. Гладкие и римановы многообразия.
Знать определение и способы задания кривых.
Иметь представление о репере Френе.
Уметь вычислять кривизну и кручение кривой.
Знать определение поверхности, её касательной плоскости и нормали.
Иметь представление о первой и второй квадратичных формах поверхностей и их роли при изучении поверхностей. Уметь решать задачи, связанные с метрикой поверхности.
Иметь представление о главных кривизнах, Гауссовой и средней кривизнах поверхности и уметь их вычислять.
Понимать предмет внутренней геометрии поверхности.
Знать определение многомерного проективного пространства и модели проективных прямой и плоскости.
Иметь представление о метрических группах.
Знать определения метрического и топологического пространств и их Иметь представление о непрерывных отображениях и гомеоморфизме.
Понимать предмет топологии.
Иметь представление о компактности и связности топологического пространства, о компактных множествах евклидова пространства.
Знать определение гладкого многообразия и примеры многообразий.
Иметь понятие о римановом многообразии.
Иметь представление о касательном пространстве и векторных полях на многообразии.
Раздел 2. Анализ на гладких многообразиях.
Иметь представление о тензорах на римановом многообразии и об основных операциях над тензорами.
Знать определение внешней дифференциальной формы, внешнего произведения и внешнего дифференциала.
Уметь вычислять внешний дифференциал внешней дифференциальной Иметь представление о параллельном переносе векторных полей и о геодезической связности риманова многообразия.
Иметь понятие о тензоре кривизны.
Иметь представление о разбиении единицы.
Знать определение интеграла дифференциальной формы на многообразии.
Понимать суть общей формулы Стокса и её частных случаев: формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Уметь решать задачи прикладного характера с применением вышеперечисленных формул.
Знать определение гомотопии отображений.
Иметь представление о степени отображения, степени векторного поляна поверхности.
Знать теорему Гаусса-Бонне.
Иметь представление об индексе особой точки векторного поля.
Приводимые ниже (ПРИЛОЖЕНИЕ I) примерные контрольная работа и вопросы к экзамену и зачёту по курсу “Дифференциальная геометрия и топология” позволяют более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Практические занятия (в том числе аудиторная КР – 2 часа)4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Гладкие и римановы многообразия. Элементы обI щей топологии Анализ на многообразиях. Элементы топологии многообразий4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Семестр № ЛК Раздел, тема, содержание лекции Тема: Плоские и пространственные кривые, способы их задания.Тема: Определение и способы задания гладкой поверхности, касательная плоскость и нормаль.
Тема: Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности.
Тема: Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности.
Тема: Деривационные формулы, символы Кристоффеля.
Тема: Топологические и метрические пространства, примеры.
Семестр № ЛК Раздел, тема, содержание лекции Тема: Непрерывное отображение и гомеоморфизм.
Тема: Определение гладкого многообразия и Тема: Риманова метрика, касательный вектор, Раздел II: Анализ на многообразиях. Элементы Раздел II: Анализ на многообразиях. Элементы произведение и внешнее дифференцирование, внешняя алгебра.
Раздел II: Анализ на многообразиях. Элементы Раздел II: Анализ на многообразиях. Элементы Тема: Ковариантная производная тензоров.
Раздел II: Анализ на многообразиях. Элементы Тема: Параллельный перенос векторных полей.
Раздел II: Анализ на многообразиях. Элементы Тема: Геодезические связности, согласованные Семестр № ЛК Раздел, тема, содержание лекции Тема: Тензор кривизны, порождённый метрикой, тензор кривизны двух- и трёхмерных многообразий.
Тема: Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.
Тема: Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Тема: Плоские и пространственные кри- Раздел I:Тема: Кривизна и кручение кривой. Элементы общей Тема: Способы задания гладкой поверх- Гладкие и римановы Тема: Топологические и метрические Тема: Гладкие многообразия, примеры.
Тема: Дифференциальные формы.
Тема: Формула ОстроградскогоГаусса.
4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Тема: Деривационные формулы, символы Кристоффеля.Геодезическая кривизна. Геодезические линии поверхности.
Тема: Компактность и связность топо- Проработка тем, вынесенных на само- конец Тема: Геодезические Тема: Индекс особой точки векторного поля. Теорема ПуанкареБендиксона.
Не предусмотрен.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Абрамов А.А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Дрофа, 2004.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч. II. – М.: Просвещение, 1987.
4. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.:
Высшая школа, 2001.
5. Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
6. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
7. Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
8. Подран В.Е. Элементы топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
9. Поздняк Э.Г., Шишкин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М: Изд-во МГУ, 1990.
10. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Изд-во НЦ ЭНАС, 2003.
Б) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
11. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 12. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в “целом”. – М.: Наука, 1973.13. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия:
Методы и приложения. – М.: Наука, 1979.
14. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. – М.: Наука, 1977.
15. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. – М.: Мир, 16. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1980.
17. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 18. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2004.
5.2. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Не предусмотрены.
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Не предусмотрено.
7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ
7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И
ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Примерные варианты контрольных работ по дисциплине приведены вПРИЛОЖЕНИИ I К УП.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ И
ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
Примерный вариант вопросов к зачёту и экзамену по дисциплине приведён в ПРИЛОЖЕНИИ II К УП.
7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И
КУРСОВЫХ РАБОТ
Не предусмотрены.
7.4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ
По изучаемой дисциплине предполагается проведение одной аудиторной контрольной работы в каждом семестре. В конце VII семестра запланирован зачёт, а в конце VIII семестра – экзамен по всему курсу. Полезно давать семестровое задание.
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ
ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина “Дифференциальная геометрия и топология” изучается в VII-VIII семестрах IV курса. На её изучение отведено 200 часов, из них аудиторных – 102 часа, лекций – 72 часов, практических занятий – 30 часов, самостоятельная работа студентов – 98 часов. Форма контроля: зачёт в VII семестре и экзамен – в VIII семестре.
9. УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Не предусмотрена.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ”
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ I
2. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности 3. Найти кривизну и кручение линии x = t3 – 2 t + 1, y = t2 – 3 t, z = 4 – t2 при 4. Вычислить длину дуги кривой y = ln cos x между точками x1 = 0, x2 =. 5. Определить первую квадратичную форму поверхности и вычислить площадь области поверхности, ограниченной линиями u = 0, u = 3, v = 0, class='zagtext'> КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ II
2. Найти внешний дифференциал дифференциальных форм:
3. Используя формулу Грина, вычислить замкнутый интеграл по окружности Г: x2 + y2 = 2 в направлении против часовой стрелки:
4. Используя внешний дифференциал, показать, что следующий интеграл не зависит от пути интегрирования: ( x 2 y 2 ) dx 2 x y dy class='zagtext'> ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ
“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ”
Способы задания плоской кривой. Касательная.Пространственная линия. Репер Френе.
Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.
Эволюта и эвольвента линии.
Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.
Первая квадратичная форма поверхности и её роль.
Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.
Полная и средняя кривизны поверхности.
Деривационные формулы поверхности.
10. Символы Кристоффеля и их вычисление.
11. Метрические пространства. Примеры.
12. Топологические пространства. Примеры.
13. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
14. Компактность и связность топологического пространства.
15. Гладкие многообразия. Примеры.
16. Касательное пространство гладкого многообразия.
17. Тензоры на римановом многообразии и операции над ними. Кососимметрические тензоры.
18. Дифференциальные формы. Внешнее произведение и внешнее дифференцирование форм.
19. Геодезические связности на римановом многообразии. Параллельный перенос векторных полей.
20. Тензор кривизны.
21. Интеграл дифференциальной формы. Общая формула Стокса и её частные случаи (формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса).
22. Степень векторного поля на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ ПО КУРСУ
“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ”
1. Способы задания плоской кривой. Касательная.2. Пространственная линия. Репер Френе.
3. Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.
«