«Столяров Дмитрий Михайлович Дифференциальные операторы и анализ Фурье: теоремы вложения с предельным показателем и их приложения 01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ...»

На правах рукописи

Столяров Дмитрий Михайлович

Дифференциальные операторы и анализ

Фурье: теоремы вложения с предельным

показателем и их приложения

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель чл.-корр. РАН, д. ф.-м. н.

Кисляков Сергей Витальевич Санкт-Петербург – 2014 2 Оглавление Глава 1. Введение............................. 1.1. Обозначения............................. 1.2. Описание работы.......................... 1.2.1. Основные результаты.................... 1.2.2. Структура работы..................... 1.3. История вопросов.......................... 1.3.1. Теоремы вложения типа Соболева............ 1.3.2. Задачи о неизоморфности................. 1.3.3. Размерность векторных мер, подчиненных дифферен­ циальным условиям..................... 1.4. Вспомогательные сведения..................... 1.4.1. Вещественный анализ и геометрическая теория меры. 1.4.2. Теория банаховых пространств и функциональный ана­ лиз.............................. 1.4.3. Общий гармонический анализ............... Глава 2. Теоремы вложения...................... 2.1. Абстрактная билинейная теорема вложения........... 2.2. Теоремы вложения для систем уравнений............ 2.3. Билинейные неравенства: эллиптический случай........ 2.3.1. Положительные результаты................ 2.3.2. Отрицательные результаты................ 2.4. Билинейные неравенства: неэллиптический случай....... 2.4.1. Положительные результаты................ 2.4.2. Отрицательные результаты................ 2.5. Смежные вопросы, обобщения и гипотезы............ 2.5.1. Квадратичные неравенства................ 2.5.2. Пересадка теорем вложения на тор............ 2.5.3. Линейные теоремы вложения для неэллиптических опе­ раторов............................ 2.5.4. Описание пространств функций, зануляющихся на кри­ вых.............................. Глава 3. Неизоморфность банаховых пространств........ 3.1. Доказательство теоремы о неизоморфизме............ 3.1.1. Вспомогательные утверждения.............. 3.1.2. Преобразование набора операторов............ 3.1.3. Построение специальных элементов............ 3.1.4. Построение оператора в гильбертово пространство... 3.1.5. Противоречие........................ 3.2. Примеры конкретных наборов дифференциальных операторов 3.3. Эллиптический случай....................... 3.3.1. Теорема о многочлене................... 3.3.2. Теорема об изоморфизме.................. Глава 4. Размерность мер, подчиненных дифференциальным условиям.................................. 4.1. Утверждение о размерности.................... 4.1.1. Усиление леммы Фростмана................ 4.1.2. Вывод теоремы о размерности из усиленной леммы Фрост­ мана............................. 4.2. Теоремы вложения, связанные с вопросом о размерности.... 4.2.1. Общая гипотеза и ее двойственная формулировка... 4.2.2. Доказательство частного случая гипотезы 4.2.4, двой­ ственного теореме Гальярдо–Ниренберга–Соболева...

Работа посвящена некоторым соболевским теоремам вложения и их при­ ложениям к задачам функционального анализа и геометрической теории ме­ ры. Теоремы вложения данной работы отличаются от классических тем, что младшие производные функции или набора функций оцениваются в терми­ нах линейных комбинации производных старших порядков. Эта особенность проявляется в основном только при предельных показателях суммируемости (некоторым случаям, когда наличие линейных комбинаций интересно для непредельных показателей, посвящен пункт 2.5.3). Применяемые в нашей ра­ боте методы наиболее приспособлены к случаю двух переменных (исключе­ ние составляют результаты параграфа 4.2, некоторые следы наличия произ­ вольного числа переменных могут быть найдены в параграфах 2.1 и 2.2).

Кроме того, в основном речь пойдет о вложении в гильбертово пространство (кроме пунктов 2.5.3 и 4.2.2). Однако наши теоремы вложения анизотроп­ но однородны. Для систем дифференциальных уравнений наш результат, по­ видимому, первый обладает этим свойством (в последнее десятилетие други­ ми авторами активно исследовались изотропно однородные теоремы вложе­ ния для переопределнных систем). Кроме того, нами рассмотрен класс били­ нейных неравенств, тоже, по-видимому, новый. Основная часть результатов о теоремах вложения и неравенствах, связанных с ними, изложена в главе 2.

Основное приложение наших теорем вложения — решение некоторых во­ просов о неизоморфности пространств гладких функций, порожденных диф­ ференциальными операторами, пространству () (глава 3). Кроме того, мы даем приложение теорем вложения к задачам о сингулярности векторнознач­ ных мер, подчиненных дифференциальным условиям (глава 4).

Более детальный план работы и описание результатов дано в парагра­ фе 1.2. Нам требуется ввести обозначения, чему и посвящен параграф 1.1.

Множество натуральных чисел, лежащих в отрезке [, ], мы обозначаем символом [..].

В основном мы будем работать с функциями на пространстве R, N.

В пункте 2.5.2 и главе 3 мы также будем работать с функциями на -мерном торе T, T есть окружность {2 C | [0, 2)}. Если R или T, а есть подмножество множества [1..], то символом мы обозначаем век­ тор в R||, полученный забыванием координат с номерами из множества.

Например, если = (1, 2, 3 ), то {2} = (1, 3 ). Символами R и Z обо­ значены множества векторов с неотрицательными координатами в простран­ ствах R и Z соответственно, кроме того, символ Z обозначает множество векторов в пространстве R с целочисленными ненулевыми координатами, символ R — множество { R | [1..] | | 1}. Шар евклидова про­ странства радиуса с центром в точке мы обозначаем через (). Если — функция на пространстве R, то символом обозначено ее растяжение в раз; значение этих слов будет меняться от параграфа к параграфу, однако каждый раз мы будем оговаривать, что именно имеется ввиду.

Символ () обозначает оператор взятия конечной разности порядка с шагом по -ой переменной. Символ обозначает оператор дифференци­ рования по -ой координате, символ есть оператор-вектор (1, 2,..., ). В случае тора дифференцирование понимается в естественной параметризации окружности отрезком [0, 2). Тор и евклидово пространство размерности суть локально компактные группы, символом или [ ] мы обозачаем пре­ образование Фурье функции на них. Двойственность между группой и ее сопряженной задана посредством форм Обратное преобразование Фурье задано на двойственной группе Z и R со­ ответственно и обозначается через или 1 [] (здесь — функция на двой­ ственной группе). Мы нормируем преобразование Фурье и его обратное так, чтобы они были изометрическими операторами между пространствами квад­ ратично-суммируемых функций на группе и ее сопряженной. Иногда, в целях повышения понятности формул, мы будем указывать, какие переменные пе­ реходят в какие при преобразовании Фурье, например,,,.

Мы будем активно пользоваться теорией обобщенных функций. По-види­ мому, наши обобзначения будут наиболее приближены к принятым в учебни­ ке [1]. Символом D() мы обозначаем пространство бесконечно дифференци­ руемых функций с компактным носителем на области, символом (R ) — класс Шварца. Символом (Z ) мы обозначаем пространство убывающих быстрее любого полинома функций на решетке. Символы дифференцирова­ ния, если не оговорено противное, обозначают дифференцирование в обоб­ щенном смысле.

Пусть — комплекснозначная обобщенная функция класса (R ). Че­ рез M мы обозначаем мультипликатор Фурье с символом, то есть опера­ тор M : (R ) (R ), действующий по правилу Для всякой функции : Z C, растущей не быстрее некоторого по­ линома, можно определить мультипликатор M как оператор из простран­ ства (T ) в пространство ( ) (T ), тоже согласно формуле (1.1.1).

Пространство всех борелевских комплекснозначных мер ограниченной вариации обозначим символом M (на евклидовом пространстве или торе). По­ нятие меры в нашей работе априори не предполагает положительности, если не оговорено противное. Более того, мы будем также рассматривать вектор­ нозначные меры (то есть, счетно-аддитивные функции множеств со значени­ ями в конечномерном векторном пространстве; выбрав в пространстве, где мера принимает значения, базис, мы можем отождествить векторнозначную меру с конечным набором вещественных мер) и тоже называть их мерами.

Полную вариацию меры обозначим через var или M. Все меры нашей работы будут иметь ограниченную вариацию, поэтому обычно мы это усло­ вие не оговариваем. Символ BV(R ) обозначает пространство функций огра­ ниченной вариации (тех функций, градиент которых есть векторная мера).

Если : 1 C {0} есть непрерывная функция, то символом обозна­ чено подпространство пространства M (R ), образованное векторнозначными мерами, подчиненными условию Если и — два банаховых пространства, то пространство линейных непрерывный операторов из пространства в пространство обозначается символом (, ). Запись означает, что пространства и изо­ морфны как банаховы пространства, то есть, линейно гомеоморфны. Если есть подпространство пространства, то аннулятор пространства в про­ странстве * обозначим через Ann *.

Символ будет обозначать хаусдорфово компактное топологическое пространство, а () — пространство непрерывных функций на нем. Сим­ волом мы обозначаем пространство Лебега функций, суммируемых с -ой степенью ( [1, ]). Пространства Лоренца обозначаются через,. Симво­ лом 1 обозначается вещественный класс Харди функций на R, некасатель­ ная максимальная функция гармонического продолжения в область R R+ которых лежит в пространстве 1, символами VMO и BMO — простран­ ства функции исчезающей средней осцилляции и ограниченной средней ос­ цилляции. Если = (1, 2,..., ) — вектор с неотрицательными коорди­ натами, то через P (R ) обозначено замыкание множества D(R ) по нор­ ме P (R ) = M| | [] (R ) (однородное анизотропное потенциальное про­ странство Бесселя); возведение вектора в степень здесь и далее понимается анизотропное пространство Соболева есть P, где есть вектор, все координаты которого, кроме -ой, равны нулю, а -я равна. Наконец, символ (R ) обозначает однородное пространство Бесова с параметром суммируемости, гладкостью и интерполяционным параметром, симво­ лом, (R ) — пространство Бесова, построение которого основывается на пространстве Лоренца, (см. определение 1.4.5).

Если — полином переменных, то символом () мы обозначаем соответствующий ему дифференциальный полином, () = M (2). Мы за­ частую отождествляем многочлен и дифференциальный оператор ().

Символом будем обозначать характеристический многочлен дифферен­ циального оператора (), () = (2). Пусть = {1, 2,..., } — набор полиномов, а — какое-нибудь банахово пространство функций (обыч­ но (T ) или (T )). Символом мы обозначаем пространство обобщен­ ных функций, таких что для всякого [1..] имеет место принадлеж­ ность ()[ ], норма в пространстве вводится естественным обра­ зом. Если — замкнутое бесконечно гладкое подмногообразие R, то симво­ лом мы обозначаем оператор, действующий из класса (R ) в класс () по правилу Символом ( ) мы обозначаем многогранник Ньютона полинома, то есть выпуклую оболочку индексов всех его мономов. Если — конечный набор полиномов, то символ ( ) означает многогранник Ньютона этого набора, то есть, выпуклую оболочку индексов всех мономов, входящих хоть в какой-нибудь многочлен из набора.

Размерность Хаусдорфа обозначаем символом dim, как для множества, так и для меры (других размерностей для множеств и мер мы не рассматри­ ваем, кроме линейной, разумеется), см. определение 1.2.10.

равномерно” (о какой равномерности идет речь, ясно из контекста). За­ Остальные обозначения носят локальный характер и будут введены в свое время.

Здесь мы приведем те основные результаты, которые не требуют дли­ тельных определений. Эти результаты изложены в работах автора, ссылки на которые приведены после основной библиографии. За некоторыми из них скрываются более общие утверждения, о которых будет сказано в свое время.

Начнем с теорем вложения.

Теорема 1.2.1. Пусть,, — натуральные числа, а меры 0, 1,..., с компактными носителями в пространстве R2 таковы, что Нетрудно видеть, что система (1.2.2) имеет единственное решение { } в классе обобщенных функций с компактным носителем. Содержательную часть утверждения составляет последнее неравенство. О связи теоремы вло­ жения с классическими и известными результатами мы скажем в пункте 1.3.1.

Аналогичная теорема вложения верна и на торе (условие компактности носи­ телей мер надо заменить несколько другим условием), см. пункт 2.5.2. Теоре­ ма 1.2.1 будет доказана в параграфе 2.2. Доказательство основано на одной билинейной оценке. Мы также изучали и другие билинейные неравенства типа теорем вложения. Им будут посвящены параграфы 2.3 и 2.4. Введем удобную терминологию.

Определение 1.2.2. Пусть и — натуральные числа, и — веществен­ ные неотрицательные числа, а и — комплексные ненулевые числа. Сим­ волом BE(,,,,, ) мы будем обозначать утверждение о том, что нера­ венство выполнено для всех функций и из класса Шварца.

ным способом:

Оказалось, что истинность утверждения BE довольно сильно зависит от свойств чисел,, и. Важно разделять эллиптический и неэллиптиче­ ский случаи.

Определение 1.2.3. Четверка чисел (,,, ) называется эллиптичной, ес­ имеют вещественных корней, кроме точки (0, 0).

В дальнейшем 1 всегда обозначает (2), 1 всегда обознача­ ет (1) (2), если не оговорено противное.

Теорема 1.2.4. Пусть и — натуральные числа, а четверка (,,, ) эллиптична. Утверждение BE(,,,,, ) верно тогда и только тогда, ненулевые мнимые части одного знака.

Таким образом, в предположении эллиптичности мы точно знаем, когда билинейные неравенства выполняются, а когда — нет. В неэллиптическом случае картина не столь ясна. Частичному разъяснению причин сложности посвящены пункты 2.5.3 и 2.5.4.

Теорема 1.2.5. Пусть числа и натуральны, одно из них нечетно, =. Предположим, что и — комплексные числа, такие что оба чис­ ла 1 = (2) и 1 = (1) (2) вещественны. Тогда утвержде­ ние BE(,, 1, 1,, ) верно.

В параграфе 2.4 также приведены другие результаты об истинности и ложности утверждения BE в неэллиптическом случае.

Отметим важное отличие результатов типа теоремы 1.2.1 от теорем 1.2. и 1.2.5. В двух последних теоремах слева в основном неравенстве фигуриру­ ции этому пространству означает, что 1 2 суть квадратично-суммиру­ емая функция. То есть, теоремы 1.2.4 и 1.2.5 устанавливают принадлеж­ ность некоторой одной смешанной производной пространству 2 (на самом деле, все еще немного сложнее, так как речь идет о скалярном произведе­ нии двух функций). В теореме 1.2.1 же доказано вложение в пространство мые функции. Нетрудно видеть, что отсюда следует, что при всяких и, та­ ких что точка (, ) — выпулкая комбинация точек ( 2 2, 0) и (0, 1 2 ) (или что то же самое, пара неотрицательных чисел (, ) удовлетворяет урав­ ремы 1.2.1 сильнее, чем заключения теорем 1.2.4 и 1.2.5 в том смысле, что принадлежность пространству 2 утверждается про целый “отрезок из про­ изводных”, а не про одну производную (индекс которой, точка ( 1, 1 ), без­ условно лежит на упомянутом отрезке). Все классические теоремы вложения (которые читатель может найти в книге [2] или работах [3, 4]) дают в ре­ зультате вложение в пространство Соболева (или пространство Бесова), то есть, сразу “отрезок” (или “симплекс” в старших размерностях) производных.

Билинейные оценки типа теорем 1.2.4 и 1.2.5 этим свойством принципиально не обладают, поэтому неясно, насколько их можно считать теоремами вло­ жения. Ближе к теоремам вложения находятся квадратичные неравенства, рассмотренные в пункте 2.5.1. В нашей работе результаты типа теорем вло­ жения получаются с помощью перехода к более общим мультипликаторам, чем полиномиальные (в некотором смысле, мы выходим за границы мира производных целого порядка не только на языке пространств, но и на языке операторов).

Теперь перейдем к результатам о пространствах гладких функций. Для того, чтобы их сформулировать, нам понадобится несколько определений.

Определение 1.2.6. Пусть — аффинная гиперплоскость в простран­ стве R. Будем говорить, что гиперплоскость положительна, если она пе­ ресекает все положительные координатные полуоси. В случае, если она не пересекает отрицательных полуосей, будем говорить, что гиперплоскость неотрицательна.

Напомним читателю, что многогранником Ньютона полино­ которых = 0. Многогранником Ньютона набора полиномов назовем выпуклую оболочку их многогранников Ньютона.

Определение 1.2.7. Пусть — конечный набор полиномов в R. Опорная гиперплоскость к выпуклому многограннику ( ) называется допустимой, если она положительна и не отделяет многогранник ( ) от начала коорди­ нат.

Следующее определение обобщает понятие старшей однородного части полинома на случай анизотропной однородности.

Определение 1.2.8. Пусть = {1, 2,..., } — конечный набор полино­ мов в пространстве R, — допустимая гиперплоскость для этого набора.

Многочлены, которые получаются из многочленов набора выкидыванием мономов, степени которых не принадлежат, называются -старшими ча­ стями многочленов.

Символом (T ) мы обозначаем пополнение множества тригонометри­ ческих полиномов по норме также мы факторизуем это полунормированное пространство по линейному множеству, где указанная полунорма обращается в нуль (таким образом, есть банахово пространство).

Теорема 1.2.9. Пусть = {1, 2,..., } — конечный набор полиномов в R. Предположим, что существует допустимая гиперплоскость, та­ кая что среди -старших частей полиномов, = 1, 2,...,, есть две непропорциональных. Тогда пространство (T ) не вкладывается допол­ няемо в пространство ().

Напомним читателю, что подпространство банахова пространства называется дополняемым, если существует ограниченный линейный проектор из пространства на пространство. В частности, из теоремы 1.2.9 следует, что пространство не изоморфно пространству ().

Эвристически, теорема утверждает, что если среди полиномов в ка­ ком-то смысле нет старшего, то соответствующее пространство гладких функ­ ций не изоморфно пространству (). Результаты противоположного рода (если есть “старший полином”, то пространство изоморфно ()) проще по своей природе и изложены в параграфе 3.3. Тем не менее, наш анализ неполон: например, мы не можем ничего сказать о пространстве, порожден­ примеры приведены в параграфе 3.2.

Наконец, отметим наши результаты о гладкостях векторных мер. Глад­ кость меры мы будем измерять при помощи нижней размерности Хаусдорфа (в дальнейшем обозначаемой просто символом dim).

Определение 1.2.10. Нижней размерностью Хаусдорфа меры на метриче­ ском пространстве назовем инфимум чисел, таких что cуществует борелев­ ское множество хаусдорфовой размерности не более, удовлетворяющее условию ( ) = 0.

Теорема 1.2.11. Пусть векторная мера = (1, 2,..., ) на простран­ стве R такова, что для некоторой обобщенной функции (R ) и на­ туральных чисел имеют место равенства =, = 1, 2,...,. В Теорема доказана в пункте 4.1.2. Основной инструмент доказательства (кроме теорем вложения) — модификация леммы Фростмана, которая сфор­ мулирована и доказана в пункте 4.1.1. Не исключено, что это утверждение и неново (настолько естественным видится такое обобщение классической лем­ мы Фростмана), однако автор не нашел его в литературе. Оно носит техниче­ ский характер, тем не менее, очень полезно в задачах гармонического анализа (подтверждением тому служит пункт 2.5.4, в котором оно используется для доказательства совсем другой теоремы).

Работа состои из пяти глав, каждая из которых разбита на параграфы, а те, в свою очередь, могут делится на пункты.

Глава 1 носит вводный характер.

В параграфе 1.1, как уже видел читатель, собраны используемые в ра­ боте обозначения. Мы будем напоминать о них по мере появления, тем не менее, если какое-то обозначение неясно, читатель может обратиться к пара­ графу 1.1.

Параграф 1.2, как видит читатель сейчас, посвящен краткому описанию работы и состоит из двух пунктов. В пункте 1.2.1 изложены те основные результаты работы, которые не слишком абстрактны и поэтому могут быть сформулированы в общепринятых терминах. Мы оформили их в виде пяти теорем. За некоторыми из них стоят более общие утверждения, тем не менее, они менее наглядны и поэтому не попали в пункт 1.2.1. Настоящий пункт 1.2. дает описание работы по главам и частям.

Параграф 1.3 содержит исторический обзор предшествующих результа­ тов и состоит из трех пунктов. Наши исторические обзоры очень избиратель­ ны и не могут претендовать на полноту. Тем не менее, мы стараемся, если это возможно, давать как можно больше ссылок на литературу, где такие обзоры наличиствуют. Мы также увазываем на связь наших результатов, из­ ложенных в пункте 1.2.1, с классическими и современными результатами.

Пункт 1.3.1 посвящен аспектам теории вложений пространств Соболева с предельным показателем = 11, а также связанных с ними неравенств для систем дифференциальных уравнений. Пункт 1.3.2 освещает разработку за­ дач о неизоморфности пространств гладких функций, в особенности в их связи с соболевскими теоремами вложения. Последний пункт 1.3.3 дает об­ зор результатов о гладкости наборов мер, подчиненных дифференциальным условиям.

В параграфе 1.4 собраны используемые в работе известные утвержде­ ния, которые могут быть незнакомы читателю. По возможности, мы стараем­ ся давать ссылки на учебную литературу, в том числе и как дополнительные.

Некоторые из используемых нами утверждений принадлежат фольклору. Ес­ ли автор не смог найти подходящей ссылки, мы доказываем утверждение.

Никакие результаты параграфа 1.4 ни в коем случае не должны быть припи­ Отметим, что в литературе зачастую слова “предельные показатель” обозначают несколько дру­ казателем единицу (предельность пространства, которое вкладывается), в то время как предельность относится и к показателю пространства (этот показатель тоже предельный в том смысле, что он неулучшаем).

сываемы автору: доказательства приводятся для полноты изложения. Пара­ граф разбит на три части по темам утверждений, разбиение довольно условно (например, тема о пространствах Бесова появляется и в пункте 1.4.1, и в пунк­ те 1.4.3). В пункте 1.4.1 собраны утверждения, которые связаны с веществен­ ным анализом и геометрической теорией меры на евклидовом пространстве.

Пункт 1.4.2 содержит сведения по функциональному анализу. Последний и самый большой из трех пунктов 1.4.3 посвящен гармоническому анализу (в основном, “гармоническому анализу на евклидовых пространствах”).

Глава 2 посвящена соболевским теоремам вложения.

В параграфе 2.1 сформулировано некоторое (довольно абстрактное) би­ линейное неравенство, которое лежит в основе доказательства как теоре­ мы 1.2.1, так и теоремы 1.2.9. Мы доказываем неравенство, а также приводим интересные следствия из него (помимо упомянутых теорем).

Параграф 2.2 содержит доказательство теоремы 1.2.1. Сначала мы фор­ мулируем более общую теорему 2.2.1 (которая будет использована при дока­ зательстве теоремы 1.2.9) и выводим ее из абстрактного билинейного нера­ венства, доказанного в параграфе 2.1. После чего, получаем теорему 1.2.1 из абстрактной теоремы 2.2.1 и даем другие интересные следствия.

Параграф 2.3 посвящен доказательству теоремы 1.2.4 и состоит из двух пунктов. Это разделение обусловлено тем, что результаты об истинности и ложности неравенства в теореме 1.2.4 следуют из похожих, но разных по форме принципов. Положительные результаты собраны в пункте 2.3.1, отри­ цательные — в пункте 2.3.2.

Параграф 2.4 посвящен утверждениям BE в неэллиптическом слу­ чае (см. определения 1.2.2 и 1.2.3). В этом случае не все задачи решены (например, неясно, что будет, если один полином эллиптичен, а другой нет).

Пункт 2.4.1 содержит доказательство теоремы 1.2.5, а также простые след­ ствия из нее. В параграфе 2.4.2 мы доказываем некоторые отрицательные результаты относительно утверждения BE.

Параграф 2.5 посвящен вопросам, смежным с теоремами 1.2.1, 1.2. и 1.2.5. Там изложены результаты, требующие дальнейшего развития. Кро­ ме того, они не требуются для доказательства теорем, приведенных в пунк­ те 1.2.1. Поэтому изложение в параграфе 2.5 несколько более сжато. Кроме того, мы выносим стандартные доказательства, а также доказательства тех­ нических утверждений в приложение. Пункт 2.5.1 посвящен квадратичным неравенствам. Оказывается, что квадратичные неравенства более билиней­ ных напоминают классические теоремы вложения. Пункт 2.5.2 содержит ре­ зультаты типа transference principle для теорем вложения типа теоремы 1.2.1, то есть, перенесение теоремы вложения на тор. Пункты 2.5.3 и 2.5.4 поясняют, почему наши результаты относительно утверждения BE в неэллиптическом случае неполны. Пункт 2.5.3 посвящен изучению линейных неравенств типа теорем вложения на пространстве R2 с неэллиптическим оператором. Такие теоремы вложения связаны с ограниченностью и асимптотическими свойства­ ми определенных осцилляторных интегральных операторов. Однако, специ­ фика теорем вложения состоит в том, что непрерывность этих операторов надо исследовать не на пространствах Лебега, а на некоторых их недополня­ емых подпространствах, которые изучаются в пункте 2.5.4.

В главе 3 собраны результаты относительно неизоморфности про­ странств гладких функций.

В параграфе 3.1 изложено доказательство теоремы 1.2.9. Доказатель­ ство технически довольно трудно, поэтому разделено на пять пунктов. В пункте 3.1.1 мы приводим два вспомогательных утверждения, которые будут использованы впоследствии. Пункт 3.1.2 посвящен преобразованиям набора операторов, эти преобразования меняют пространство функции на некоторое его дополняемое подпространство. В следующем пункте 3.1.3 мы конструиру­ ем двойную последовательность элементов аннулятора пространства гладких функций. Она будет 2-слабо суммируемой. Пункт 3.1.4 посвящен построению оператора из аннулятора пространство в гильбертово пространство. Ос­ новой его “ингредиент” — оператор вложения, задаваемый теоремой парагра­ фа 2.2. Наконец, в пункте 3.1.5 мы получим противоречие с дополняемостью пространства в пространстве типа (), собрав воедино утверждения, полученные в предыдущих пунктах.

Параграф 3.2 содержит примеры пространств гладких функций, задан­ ных различными наборами дифференциальных полиномов, к которым иногда удается применить теорему 1.2.9 опосредованно. Мы также приводим опре­ деления, которые понадобятся для формулировки результатов следующего параграфа.

Параграф 3.3 посвящен результатам, противоположным теореме 1.2.9. А именно, мы показываем, что если набор операторов содержит один старший полином, и он в некотором смысле эллиптичен, то соответствующее набору пространство изоморфно пространству (). Пункт 3.3.1 посвящен утвер­ ждению об асимптотике невырожденных многочленов на бесконечности, ко­ торое является “аналитическим ядром” доказываемой теоремы. Пункт 3.3. содержит доказательство теоремы о пространтствах функций.

Глава 4 содержит результаты о гладкостях мер, подчиненных диффе­ ренциальным условиям, а также теоремы вложения, которые связаны с этими результатами.

Параграф 4.1 содержит доказательство теоремы 1.2.11 и состоит из двух пунктов. Пункт 4.1.1 посвящен доказательству обобщения леммы Фростмана, которое используется в доказательстве теоремы 1.2.11. В пункте 4.1.2 мы выводим теорему 1.2.11 из обобщенной леммы Фростмана, а также приводим примеры.

Параграф 4.2 посвящен некоторой “гипотезе вложения”, которая связа­ на с вопросом о гладкостях мер. В пункте 4.2.1 мы формулируем гипотезу, выводим некоторый ее двумерный частный случай из теоремы 1.2.1, а также доказываем ее эквивалентность некоторой двойственной гипотезе. В пунк­ те 4.2.2 мы доказываем частный случай двойственной гипотезы, который соответствует неравенству Гальярдо–Ниренберга–Соболева. Важна здесь не сама справедливость гипотезы, сколько то, что решение уравнения можно сконструировать явно (из неравенства Гальярдо–Ниренберга–Соболева сле­ дует лишь существование решения, удовлетворяющего оценке).

В заключительной главе 5 содержится обсуждение гипотез (пара­ граф 5.1) и благодарности (параграф 5.2).

Завершается работа списком литературы и приложением. В списке ли­ тературы работы идут в порядке появления ссылок на них в тексте работы.

Работы автора по теме диссертации приводятся в конце отдельным списком.

Приложение содержит доказательства некоторых технических лемм, ко­ торые мы опускаем в основном тексте. Все эти леммы нужны для доказатель­ ства дополнительных результатов, для доказательства основных результатов, перечисленных в пункте 1.2.1, они не требуются.

С различными аспектами теории пространств Соболева, включая теоре­ мы вложения, читатель может познакомиться по книгам [2, 5, 6]. Также в этих книгах можно найти и более подробное историческое освещение разви­ тия теории и приложений.

Пространства Соболева были введены С. Л. Соболевым в 1936 году в работе [7], уже вскоре, в работе [8], появились и теоремы вложения для этих новых пространств2. Пусть и — банаховы пространства функций Теоремам вложения Соболева предшествовало множество одномерных неравенств, которые мож­ на некотором множестве, такие что множество плотно в простран­ стве. Теоремами вложения называются утверждения типа “тождественное отображение :, заданное на множестве, продолжается до непрерывного отображения из пространства в пространство ” или про­ ще. Примером простейшей теоремы вложения может служить тот факт, что пространство 1 ([0, 1]) вкладывается в пространство ([0, 1]). Тео­ рема вложения может быть переформулирована на языке неравенств:

Напомним читателю, что значок “ ” обозначает выполнение неравенства с некоторой равномерной константой. Пусть — ограниченная подобласть про­ странства R. Классическое пространство Соболева () определяется нор­ мой Суммирование ведется по всем мультииндексам, сумма компонент которых не превосходит. Классическая теорема вложения Соболева утверждает, что если область имеет достаточно регулярную границу, то () (), ес­ рывных функций и даже класс Гльдера. Метод доказательства Соболева основывался на представлении функции в виде суммы интегральных выраже­ ний от старших производных (интегральном представлении) и применении неравенства об интегральных операторах со слабой особенностью, которое теперь именуется неравенством Харди–Литтлвуда–Соболева. К сожалению, метод Соболева не охватывал интересный случай предельного показателя суммируемости = 1. Прежде чем перейти к нему, переформулируем теоре­ му вложения в однородной форме. Для этого введем в рассмотрение однород­ ные пространства Соболева (R ) (наши обозначения будут отличаться от но трактовать как теоремы вложения пространств функций, некоторые из них собраны в работе [9].

принятых в литературе, обычно однородное пространство обозначают симво­ лом, однако мы так делать не будем, потому что все рассматриваемые в дальнейшем пространства Соболева будут однородными), определяемые как замыкание класса 0 (R ) по полунорме В однородной форме вложение Соболева формулируется так: (R ) вложения можно легко получить, если заметить, что неравенство должно сохраняться при растяжениях. В конце 50-х годов независи­ мо Гальярдо [10] и Ниренберг [11] распространили результаты Соболева на случай предельного показателя = 1. Доказательства основывались на изящ­ ном мультилинейном неравенстве (которое теперь называется неравенством Гальярдо–Ниренберга), в простейшем случае = 2 оно выглядит так:

Здесь функции и имеют компактный носитель.

Джон в работе [12] ввел пространство BMO функций ограниченной сред­ ней осцилляции (определение см. в пункте 1.4.3), что позволило установить чае BMO.

Примерно в то же время С. М. Никольский, В. П. Ильин, О. В. Бе­ сов и их коллеги разработали обобщение теории соболевских пространств — теорию пространств Никольского, пространств Бесова, а также других видов пространств, по разному измеряющих гладкость функций. В частно­ сти, стали рассматриваться пространства Соболева нецелой гладкости (когда “берется нецелое количество производных”), а также анизотропные аналоги пространств Соболева. Понятие “нецелое число производных” можно форма­ лизовать разными способами, в виде пространств Никольского, Бесова, Сло­ бодецкого и т.д.. Развитие и основные результаты этой теории изложены в книге [2], в том числе, и результаты о теоремах вложения. Мы не будем оста­ навливаться на всех аспектах этой теории, нас интересуют лишь вложения с предельным показателем = 1 для функций во всем пространстве.

Теория анизотропных теорем вложения распространялась на случай пре­ дельного показателя = 1 суммируемости постепенно. Первые результаты были получены в работе [13] методом интегральных представлений, после чего В. А. Солонников в работе [3] совместил метод интегральных представ­ лений (так называемое интегральное представление В. П. Ильина) с конструк­ цией Гальярдо–Ниренберга для получения вложения пространства Соболева в пространства Бесова, а также ряда тесно связанных с этим вопросом муль­ типликативных неравенств. Точка в этом вопросе была поставлена В. И. Ко­ лядой в работе [4], который доказал наиболее точные по интерполяционным параметрам теоремы вложения (в частности, из его результатов следует, что впрочем, было известно и немного ранее, см., например, работу [14]). Метод В. И. Коляды состоит в оценках монотонных перестановок функций.

Чтобы сформулировать результаты Солонникова и Коляды, нам пона­ добятся пространства Бесова (см. определение 1.4.5). Теорема Коляды утвер­ ждает, что 1,1, где параметры и связаны соотношением одно­ Солонникова утверждает вложение 1, (в работе В. A. Солонникова приведено усиление, которое дает вложение в пространство, если — целое, см. теорему 3 в работе [3]). Более подробно о теореме Коляды будет сказано в пункте 1.4.1.

Казалось бы, в изучении теорем вложения с предельным показате­ лем = 1 поставлена точка. Однако, это оказалось совсем не так. Дело в том, что в случае предельного показателя = 1 возможны неожиданные резуль­ таты, если функцию заменить на векторное поле, а частные производные — на некоторые дифференциальные операторы, которые это поле “перемеши­ вают” (например, классические операторы дивергенции и ротора). В случае непредельного показателя это не может дать новых результатов. Впервые эф­ фект был обнаружен Бургейном и Брезисом, см. работу [15]. Они показали, что уравнение div =, (R ), можно решить не только в классе (что является двойственным утверждением к вложению 1 ; в парагра­ фе 4.2.2 мы покажем как можно просто решить это уравнение в указанных классах, не пользуясь двойственностью), но и в классе. Хотя факт кажется “элементарным”, доказательство было трудным. Опять же, переходя по двойственности, теорему Бургейна и Брезиса можно переформулировать так: если векторное поле в 1 удовлетворяет условию div = 0, то для условия соленоидальности теорема становится неверной). Сразу же последо­ вало множество работ, обобщающих эффект Бургейна–Брезиса на различ­ ные другие операторы (см. обзорную работу [16]). Наиболее приближена к нашим исследованиям недавняя работа [17] ван Шафтингена, который по­ чти одновременно предложил более простой метод доказательства теоремы Бургейна–Брезиса, см. заметку [18]. Основываясь на своем методе (который сродни классическому методу Гальярдо–Ниренберга), ван Шафтинген уста­ новил, для каких однородных дифференциальных операторов степени имеет место неравенство Здесь — векторное поле произвольной размерности на R. Будем говорить, что оператор сокращающий, если пересечение по всем R {0} обра­ зов линейных операторов () (как часто делают, мы отождествили диффе­ ренциальный оператор и его символ) есть нуль (примером такого оператора может служить оператор () : R R, который соответствует классическому вложению Гальярдо–Ниренберга). Теорема ван Шафтингена утверждает, что неравенство (1.3.3) выполнено тогда и только тогда, когда оператор эллиптичный и сокращающий.

В случае = наша теорема 1.2.1 является частным случаем теоре­ мы ван Шафтингена, однако в случае = ситуация осложняется. В слу­ чае = 2 теорема 1.2.1 превращается в частный случай теоремы Солонни­ по-видимому, не может быть сведен к двум указанным теоремам.

Нашей далеко идущей (но пока не достигнутой) целью является совме­ щение результатов В. И. Коляды и ван Шафтингена для характеризации тех анизотропно однородных дифференциальных операторов, для которых вло­ жения с предельным показателем = 1 возможны, а также доказательство наиболее точных теоремы вложения для таких операторов (точных в смыс­ ле интерполяционных параметров Бесова и Лоренца). Для изучения таких теорем кажется разумным установить наиболее точные аналоги неравенства Гальярдо–Ниренберга (1.3.2) в анизотропном случае. Поэтому изучение били­ нейных неравенств типа теоремы 1.2.4 и 1.2.5 и кажется автору важным.

Теорема 1.2.4 имеет предшественника. В работе [19] было доказано би­ линейное неравенство ния BE(,, 1, 1,, ) при = 0 и. Доказательство было довольно трудным, более того, в работе [19] не делалось особого различия между билинейными и квадратичными неравенствами. Мы покажем, что это весьма различные по своей природе неравенства, см. пункт 2.5.1.

Теорма 1.2.5 существенно сложнее теоремы 1.2.4, хотя идеи доказатель­ ства сходны. Причина трудностей лежит в том, что в неэллиптическом случае мы работаем с оценками Стрихартца. Оценки Стрихартца (введены в [20]) — это оценки -нормы решения однородного уравнения Шредингера в по­ лупространстве в терминах граничных данных и правой части уравнения.

Они основаны на оценках оператора ограничения преобразования Фурье на поверхность (см. пункт 1.4.3). Связь теоремы 1.2.5 с оценками Стрихартца не совсем прямая — основную ее трудность все же составляет наличие предель­ ного показателя суммируемости = 1; осцилляторные интегральные опера­ торы, связанные с оценками Стрихартца, просто усложняют доказательство.

В пункте 2.5.3 описана связь оценок Стрихартца с соболевскими теоремами вложения.

Более подробный исторический обзор и более детальное описание резуль­ татов можно найти в книгах [21–23] Задачи об изоморфной классификации банаховых пространств восходят к польской школе Банаха 30-х годов. Мы не имеем возможности хоть сколько­ нибудь полно осветить проблему, поэтому остановимся на вопросе об изо­ морфизмах банаховых пространствах гладких функций. В начале 50-х годов А. А. Милютин показал, что для всяких двух метрических несчетных ком­ пактов 1 и 2 пространства (1 ) и (2 ) непрерывных функций на них изоморфны. Примерно в то же время Гротендик в работе [24] анонсировал, что при 2 пространства 1 (T ) и (T ) = () не изоморфны3. Пер­ Имеет место исторический курьез: сначала Гротендик утверждал, что эти два пространства изо­ морфны.

вое опубликованное доказательство появилось намного позже и принадлежит Г. М. Хенкину, см. работу [25]. Он доказал, что указанные пространства не мо­ гут быть даже равномерно гомеоморфны (как топологические пространства).

Доказательство Хенкина основывалось на методе усреднения (и в частности, сильно использовало симметричность задачи).

В 1975 году С. В. Кисляков в работе [26] показал, что простран­ ство (T ), 2, не изоморфно никакому фактор-пространству простран­ ства (). Его метод связывал задачи об изоморфизме такого типа с собо­ левскими теоремами вложения с предельным показателем = 1 (также в его работе было показано, что оператор вложения Соболева с предельным пока­ зателем не является -абсолтно суммирующим ни при каком, см. определе­ ние 1.4.21, откуда следовало, в частности, что пространства Соболева 1 на области размерности не ниже 2 не изоморфны пространствам типа 1 ). В ра­ ботах [19, 27, 28] исследовались обобщения этого метода на случай анизотроп­ ных пространств Соболева. Также было установлено, что пространства глад­ ких функций не имеют локальной безусловной структуры (см. книгу [22]).

В работах [29, 30] исследовались обобщения на случай пространств, задава­ емых дифференциальными операторами (пространств (T )). А именно, в работе [29] был доказан частный случай нашей теоремы 1.2.9, когда допу­ стимая гиперплоскость ортогональна вектору (1, 1,..., 1) R (то есть в случае, когда среди полиномов есть два, старшие части которых отно­ сительно стандартной однородности непропорциональны). Такая теорема — недостаточно общая в том смысле, что она неприменима к случаю смешанной однородности. Доказательство в работе [29] проходит по классической схеме:

с пространством связывается некоторый оператор типа вложения Соболева при предельном показателе (здесь это вариант теоремы 1.2.1, важно, что опе­ ратор действует в гильбертово пространство, его предельность в таком смыс­ ле также важна) и из его свойства не быть 2-суммирующим делается вывод об изоморфном типе пространства. Таким образом, недостающим звеном являлалсь теорема 1.2.1 (кроме того, более общий случай требует намного более изощренного сведения к теореме вложения).

Отметим, что с точки зрения теории банаховых пространств вопрос, на который отвечает теорема 1.2.9 — далеко не самый важный из откры­ тых. Намного более интересным представляется вопрос о том, изоморфны ли пространства 1 (T2 ) и 1 (T3 ). Как и относительно многих других вопросов теории банаховых пространств, нет совершенно никаких продвижений или предположений, как его можно было бы разрешить. Даже такие “побочные” вопросы теории банаховых пространств, как теорема 1.2.9, часто бывают свя­ заны с тонкими задачами анализа, такими как теорема 1.2.1.

1.3.3. Размерность векторных мер, подчиненных В этом разделе мы изложим историю нашего второго приложения тео­ рем вложения, круга вопрсов, связанных с теоремой 1.2.11. Эту теорему мож­ но рассматривать как проявление принципа неопределнности (см., например, книгу [31]). Классическая теорема братьев Рисс утверждает, что аналити­ ческая мера ограниченной вариации на окружности (т.е. мера, у который коэффициенты Фурье с отрицательными номерами равны нулю) абсолютно непрерывна по мере Лебега. Обобщить это утверждение на случай произ­ вольной размерности позволяет знаменитая теорема Укиямы из работы [32].

Пусть : 1 C {0} — бесконечно гладкое отображение. Предположим, что выполнено условие Укиямы: для всякого вектора 1 векторы () и () не пропорциональны над C. В таком случае, любая мера из клас­ са абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в R. Класс со­ стоит из векторных мер, таких что для всякого ненулевого вектора R выполнено соотношение () ( || ). Это утверждение по сути принадлежит Укияме (хотя он его не формулировал), мы выведем его из теоремы Укиямы в пункте 1.4.3.

С другой стороны, из фольклора известно, что если BV(R ), то dim 1, например, см. лемму 3.76 в книге [33]. Переводя на наш язык, если Id, здесь Id — тождественное отображение на сфере 1, то dim 1. М. Войчеховский и М. М. Рогинская в работе [34] предло­ жили следующую гипотезу.

Гипотеза 1.3.1. Пусть : 1 C {0} есть отображение класса.

Если образ отображения содержит линейно независимых векторов, то для всякой меры верно неравенство dim 1.

В той же работе они показали, что если образ отображения содержит хотя бы два непропорциональных вектора, то dim 1 для всех.

Их подход опирался на теорему братьев Рисс и некоторую оценку в простран­ стве Теорма 1.2.11 получена развитием метода М. Войчеховского и М. М. Ро­ гинской. Теорема братьев Рисс заменена усиленной леммой Фростмана, лем­ мой 4.1.1, оценка же в 2 — теоремой вложения. Отметим, что все утвер­ ждения о размерности, которые мы приводили в этом разделе — изотропно однородны, в то время как теорема 1.2.11 допускает анизотропную однород­ ность. Остается открытым вопрос о необходимости однородности вообще в задачах такого типа.

1.4.1. Вещественный анализ и геометрическая теория меры Размерность. Мы будем пользоваться размерностью Хаусдорфа. За базо­ выми свойствами этого понятия читатель может обратиться, например, к книгам [35, 36]. Одним из простых критериев для определения размерности является лемма Фростмана.

Лемма 1.4.1 (Лемма Фростмана). Пусть — борелевское4 множество в R. Его размерность Хаусдорфа есть супремум чисел, таких что суще­ ствует ненулевая неотрицательная мера с носителем в множестве, удовлетворяющая условию Нижняя размерность Хаусдорфа (см. определение 1.2.10) меры есть наибольшее число, такое что мера “не видит” множеств размерности не более. Поэтому нижнюю размерность Хаусдорфа разумно считать степе­ нью сингулярности меры. Отметим, что если мера вещественнозначная и неотрицательная, то из выполнения условия (1.4.1) для всех значений пара­ метров и следует, что размерность меры не меньше, чем. Оказывается, что аналогичный вывод можно сделать и для векторных мер (для которых никаких условий положительности не предполагается), см. пункт 4.1.1.

Теорема Витали. Приведем классическую теорему Витали (доказатель­ ство можно найти, например, в книге [36], теорема 2.8). Мы сформулируем ее в чуть упрощенной форме.

Теорема 1.4.2 (Теорема Витали о покрытии). Пусть — борелевская неотрицательная мера в пространстве R, — борелевское множество, Лемма Фростмана верна и без этого условия, однако доказательство становится намного сложнее.

а B — набор замкнутых шаров. Пусть множество и набор B таковы, что любая точка множества является центром шара из набора B произ­ вольно малого радиуса. В таком случае, существует поднабор B набора B, такой что его шары дизъюнктны, и выполнено условие ( B ) = (объединение берется по всем шарам набора B ).

Деление гладких функций на полиномы.

Лемма 1.4.3. Пусть — полином в пространстве R. Если функция D(R ) равна нулю на множестве корней многочлена и ее носитель не Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что функция име­ ет носителем достаточно малый шар, центр 0 которого лежит на поверх­ ности { R | () = 0}, причем на множестве supp функция не обращается в нуль (общий случай можно вывести из рассматриваемого при помощи разбиения единицы).

Рассмотрим сначала простейший случай размерности 1. В этом случае, полином имеет вид () = ( 0 )(), где линейная функция ( 0 ) са вне точки 0, поэтому достаточно доказать, что всякая ее произ­ водная непрерывно продолжается в точку 0. Но это условие легко прове­ рить, если представить функцию в окрестности точки 0 ее многочленом производных рассуждение аналогично (надо приблизить функцию много­ членом Тейлора соответствующего порядка).

Случай произвольной размерности можно легко вывести из одномерно­ го случая, сделав замену переменных, = при = 1, 2,..., и = (). Благодаря условию = 0, такая замена переменных есть -гомеоморфизм на образ на носителе функции, то есть, она пе­ реведет функцию в некоторую функцию D(R ), а полином — в полином. Применяя разобранный одномерный случай к функции, полу­ Аналитическое семейство обобщенных функций. Пусть C — та­ кое число, что (, 2). Определим обобщенную функцию v. p. со­ гласно правилу Это семейство обобщенных функций аналитично по параметру в полосе определения (см. книгу [37]), его преобразование Фурье можно вычислить по формуле (также см. книгу [37]) Функции на подмногообразиях. Классическим учебником, в котором изложена теория обобщенных функций на многообразиях, является кни­ га [38]. Пусть — замкнутое бесконечно гладкое (вложенное) подмногооб­ разие пространства R размерности 1. Под этим мы понимаем, что в окрестности каждой своей точки множество может быть представлено как график бесконечно гладкой функции в некоторых координатах, и такие представления согласованы как картирующие отображения. С подмногообра­ зием естественным образом можно связать пространство D() бесконечно гладких функций на с компактным носителем, с естественной топологией.

Сопряженное пространство D () состоит из обобщенных функций на под­ многообразии (скалярное произведение на гладких функциях задается ин­ тегралом по мере Лебега на подмногообразии ). Пространство D() связано с пространством D(R ) посредством естественного оператора проекции действующего согласно формуле Лемма 1.4.4. 5 Оператор допускает правый обратный.

Доказательство. Требуется доказать существование непрерывного операто­ ра Ext : D() D(R ), такого что Ext есть тождественный оператор.

Пусть { } — локально конечное разложение единицы, такое что на носителе каждого элемента этого разложения поверхность представляется графиком операторы Ext будут определены чуть ниже. При фиксированном можно, не умаляя общности, считать, что supp = {(, ()) | R1, }, здесь — окрестность нуля в пространстве R1, кроме того, (0) = 0.

Пусть D(R) — функция, такая что (0) = 1 и носитель функции содержится в достаточно малой окрестности нуля. Отождествим функции из D( supp ) с функциями из D( ) каноническим образом. Зададим оператор Ext согласно формуле Здесь R1, R. Нетрудно видеть, что носитель функции можно выбрать столь малым, чтобы пересечение носителя функции Ext [] с множе­ ством содержалось в окрестности. Ясно, что этот оператор непрерывно Отметим, что для доказательства этой леммы было бы разумно просто применить теорему об открытом отображении. Однако этого сделать нельзя, так как не есть пространство Фреше.

действует из пространства D( ) в пространство D(R ), кроме того, ясно, Немного пространств Бесова. Пространства Бесова были введены О. В. Бесовым в работах [39] и [40]. Современное описание теории этих про­ странств можно найти в книгах [2, 41]. В первой книге используется более классический подход с позиций вещественного анализа, во второй — с позиций гармонического анализа. Начнем описание с первого подхода. Пусть [1..] (напомним читателю, что это означает, что есть произвольное целое число отрезка [1, ]), N, а > 0. Символом () мы будем обозначать опера­ тор конечной разности порядка с шагом, примененный по -ой координате.

Его действие задается по правилу Пусть — вещественное число, которое отвечает “номеру производной” [1, ] — интерполяционный параметр. Определим полунорму на простран­ стве 0 (R ) формулой Здесь — вспомогательный параметр, на него наложено требование >. В случае, если -норма в определении полунормы (1.4.4) заменена дем отмечать символом B,,. Важным свойством таких полунорм является то, что они не зависят от параметра, т.е. для всяких чисел 1 и 2, 1, 2 >, полунормы, заданные формулами (1.4.4) с 1 и 2 вместо, эквивалентны.

Определение 1.4.5. Пусть = (1, 2,..., ) — вектор с неотрицательны­ ми координатами. Однородным пространством Бесова, назовем простран­ ство, задаваемое полунормой Процитируем теорему 4 работы [4].

Теорема 1.4.6 (Теорема Коляды). Пусть = (1, 2,..., ) — век­ соотношению В таком случае, 1,1.

Поведение многочленов на бесконечности. Пусть — многочлен в пространстве R. Нас будет интересовать его асимптотическое поведение на бесконечности. Если многочлен в некотором смысле невырожден (эллипти­ чен), то оказывается, что его асимптотику легко вычислить. Сейчас мы изло­ жим результаты работы [42] В. П. Михайлова, в которой это было сделано.

Главной назовем такую грань многогранника Ньютона ( ), к которой можно провести внешнюю нормаль с хотя бы одной неотрицательной коорди­ натой.

Определение 1.4.7. Пусть — некоторое подмножество множества Z, а — полином. Частью многочлена, соответствующей множеству, назо­ вем многочлен, заданный согласно формуле Пусть — какая-нибудь грань многогранника ( ). Отметим, что мно­ гочлен анизотропно однороден (с некоторой степенью однородности).

Определение 1.4.8. Будем говорить, что многочлен невырожден, если для всякой главной грани многогранника ( ) многочлен не имеет вещественных корней вне координатных плоскостей.

Будем также говорить, что многочлен полный, если (0) = 0 и грань {0} не является главной. Это свойство означает, что кроме свободно­ го члена в многочлен также входят и члены при всех. Процитируем теорему 5.1 из работы [42].

Теорема 1.4.9 (Теорема Михайлова). Пусть многочлен полный и невырожденный. В таком случае, найдется константа > 0, такая что То есть, на бесконечности полином ведет себя просто как сумма моду­ лей его членов.

1.4.2. Теория банаховых пространств и функциональный анализ Теория интерполяции. Теория интерполяции является классическим ин­ струментом функционального анализа для доказательства непрерывности операторов. Она изложена, например, в книгах [43, 44]. Комплексный ме­ тод с параметром мы обозначаем квадратными скобками с индексом.

Пусть — банахово пространство. Символом (, ) мы обозначаем про­ странство -значных сильно измеримых функций на некотором -конечном пространстве с мерой, суммируемых в степени с весом (весом мы назы­ ваем любую положительную измеримую функцию); о сильной измеримости и определении пространств такого вида см. учебник [1]. Процитируем теоре­ му 5.1 книги [41].

Теорема 1.4.10. Пусть (0, 1 ) — банахова пара, 0, 1 [1, ], a и 1 — пара весов. В таком случае, для всякого числа (0, 1) имеет место интерполяционная формула Кроме того, нам понадобится интерполяция аналитических семейств опе­ раторов. Для такой интерполяции обычно используется лемма Стейна (см.

книги [45, 46]).

Определение 1.4.11. Пусть { }, { C | [0, 1]}, есть семейство ограниченных линейных операторов из пространства 1 в пространство, таких что для всяких простых функций и функция непрерывна в полосе [0, 1], аналитична в ее внутренности и по модулю константа (не зависящая от функций и ). Семейство операторов { }, удовлетворяющее этим условиям, назовем допустимым.

Лемма 1.4.12 (Интерполяционная лемма Стейна). Пусть семейство операторов допустимо, а также удовлетворяет следующим неравен­ ствам ( есть некоторая абсолютная константа, меньшая ):

В таком случае, есть непрерывный оператор из пространства в про­ странство, где Свойства пространства (). Всюду в тексте работы символом мы обозначаем хаусдорфово компактное топологическое пространство, т.е. ком­ пакт. В этом пункте мы изложим некоторые известные свойства простран­ ства (), доказательства можно найти в книгах [21, 23].

Теорема 1.4.13 (Теорема Милютина). Все пространства (), где пробегает множество несчетных метрических компактов, изоморфны.

Теорема 1.4.14. Пространство () изоморфно любой своей гиперплос­ кости (а стало быть, и любому подпространству конечной коразмерно­ сти), если компакт метризуем и бесконечен.

Также приведем аналог теоремы Кантора–Бернштейна для банаховых пространств (приводимая теорема имеет дело с абстрактным пространством, а не только типа (), но мы ее будем использовать лишь в этом контек­ сте; общую формулировку читатель может найти в книге [21], теорема 2.2.3).

Напомним, что подпространство называется дополняемым, если су­ ществует линейный непрерывный проектор из пространства на простран­ ство.

Теорема 1.4.15 (Теорема Пелчинского). Пусть есть метрический несчетный компакт. Пусть банахово пространство таково, что вкла­ дывается в () дополняемо и () вкладывается в дополняемо. В та­ ком случае, ().

-пространства. Понятие -пространства — естественное с точки зре­ ния конечномерной банаховой структуры обобщение понятия простран­ ства (). Некоторые свойства -пространств изложены, например, в кни­ ге [22]. Несмотря на то, что -пространства давно служат естественным ин­ струментом теории банаховых пространств, по-видимому, книги, в которой их теория описана полностью, не существует, так что нам приходится отсылать читателя к оригинальным статьям [47, 48].

Определение 1.4.16. Пусть [1, ]. Будем говорить, что банахово про­ странство есть -пространство, если существует число 1, такое что для всякого конечномерного подпространства найдется число N, подпространство и обратимый оператор :, такие что Все пространства () являются -пространствами, кроме того, на­ пример, () есть -пространство. Следующие три теоремы доказаны в работе [48] (они объединены там в теорему 3.2).

Теорема 1.4.17. Любое дополняемое подпространство -пространства есть -пространство.

Теорема 1.4.18. Банахово пространство есть -пространство тогда и только тогда, когда * есть пространство ( + Теорема 1.4.19. Пусть банахово пространство есть -пространство.

Тогда существует константа, такая что для всякого конечномерного подпространства пространства найдется число N, подпростран­ ство, проектор из на пространство с нормой не более и Предложение 1.4.20. Пусть — подпространство банахова простран­ ства. Предположим, что есть — пространство. Тогда аннулятор пространства дополняем в пространстве *.

Доказательство. Рассмотрим естественное фактор-отображение * : * *. Достаточно предъявить оператор *, обратный к нему в следующем смысле: * * = Id *. В таком случае, оператор Id * * * есть проек­ тор на пространство Ann *. Действительно, квадрат этого оператор равен ему самому и он тождественен ровно на пространстве Ann *. Мы построим оператор * как предел аналогичных операторов на конечномерных подпро­ странствах пространства *.

Пусть — произвольное конечномерное подпространство простран­ ства *. Выберем конечномерное подпространство, дополняемое в про­ странстве * и изоморфное пространству с некоторым (такое что нормы операторов проекции и изоморфизма ограничены некоторой константой, не зависящей от параметра ),, при помощи теоремы 1.4.19. Воспользуем­ ся следующим очевидным свойством пространства (иногда его называют проективностью): если и суть банаховы пространства, : — про­ екция, то для любого оператора : существует оператор : (равномерно ограниченный в терминах нормы оператора ), такой что =. Это свойство позволяет в нашем случае построить оператор : *, такой что * = 1 (символом мы обозначили оператор, реализу­ ющий изоморфизм пространств и, символом — проекцию из про­ странства * на пространство ). Иными словами, следующая диаграмма коммутативна:

Определим оператор согласно правилу = или диаграмме тогда на пространстве имеет место равенство * = Id. Таким образом, мы построили приближения оператора *. Оператор * можно построить как предельную точку направленности { } в *-слабой операторной топо­ логии на пространстве ( *, * ).

Абсолютно суммирующие операторы и теорема Гротендика. Тео­ рия абсолютно суммирующих операторов изложена, например, в книгах [22, 23].

Определение 1.4.21. Пусть и — банаховы пространства, — линей­ ный непрерывный оператор из пространства в пространство. Назовем его -абсолютно суммрующим, если для всякой конечной последовательно­ сти { } элементов пространства выполнено неравенство символом * обозначено двойственное c пространством пространство, а константа в неравенстве не зависит от последовательности { }.

Определение 1.4.22. Пусть — банахово пространство. Последователь­ ность его элементов { }N назовем слабо -суммируемой, если величина конечна. Назовем последовательность { }N сильно -суммируемой, если Сильно -суммируемые последовательности будем для краткости назы­ вать просто -суммируемыми. Нетрудно видеть, что линейный непрерывный оператор : есть -абсолютно суммирующий, если и только ес­ ли он переводит слабо -суммируемые последовательности пространства в -суммируемые последовательности пространства.

рывный оператор из 1 -простанства в гильбертово пространство есть 1-абсолютно суммирующий оператор.

В частности, из этой теоремы следует, что если для пространства нашелся не 1-абсолютно суммирующий оператор :, где — гиль­ бертово пространство, то не есть 1 -пространство.

Процитируем также теорему 2.2.8 книги [22].

Теорема 1.4.24. Если оператор (, ) — -абсолютно суммирующий и, то оператор — -абсолютно суммирующий.

Дополняемость инвариантных подпространств пространств Лебега.

Пусть — локально-компактная коммутативная группа, — мера Хаара на ней.

Определение 1.4.25. Пусть — банахово пространство функций на. Го­ ворят, что есть инвариантое пространство, если = (·) для вся­ кого (в частности, функция (·) тоже принадлежит пространству ).

Примерами инвариантных пространств могут служить пространства Ле­ бега или однородные простанства Соболева. Почти все пространства, с которыми мы работаем, являются инвариантными. Важным принципом яв­ ляется тот факт, что если инвариантное пространство дополняемо в про­ странстве, то существует и инвариантный проектор на пространство.

Эта теорема проста для случая компактной группы и принадлежит Розен­ талю, работа [49], для случая локально-компактной группы.

Теорема 1.4.26 (Теорема Розенталя). Пусть — инвариантное допол­ няемое подпространство пространства ( ). Тогда существует непре­ рывный линейный проектор : ( ), такой что Нетрудно видеть, что инваринтные операторы из в суть муль­ типликаторы с ограниченными символами, то есть операторы, заданные по правилу (1.1.1) с некоторой измеримой ограниченной функцией на двой­ ственной группе.

Оценки осцилляторных интегралов. Напомним читателю классиче­ скую лемму Ван-дер-Корпута (иногда ее называют второй леммой Ван-дер­ Корпута), см. книгу [31], пункт 2.5.2.

Лемма 1.4.27 (Вторая лемма Ван-дер-Корпута). Предположим, что функция дважды дифференцируема на интервале (, ) и функция не обращается в нуль на этом интервале. Тогда Из леммы Ван-дер-Корпута нетрудно вывести следующее утверждение (см., например, книгу [50]). Cимволом () мы обозначаем евклидов шар радиуса с центром в точке.

Лемма 1.4.28. Пусть функция : (0) R бесконечно дифференцируе­ ма, выпукла и удовлетворяет условиям (0) = 0 = (0) (шар лежит в пространстве R1 ). Пусть кривизна поверхности (, ()) всюду не менее некоторого числа 0. Тогда для всякой функции D(R1 ) с носителем в шаре (0) имеет место оценка Эта оценка равномерна по параметру 0 и 3 -норме функции.

Определение 1.4.29. Пусть есть -гладкое замкнутое (вложенное) под­ многообразие пространства R размерности 1. Будем говорить, что оно удовлетворяет условию выпуклости, если в окрестности каждой точки оно представляется как график выпуклой функции с невырожденным вторым дифференциалом.

Символом будем обозначать меру Лебега на подмногообразии. Лем­ ма 1.4.28, в частности, утверждает, что если многообразие удовлетворяет условию выпуклости. Эта оценка точна.

Пусть носитель функции D() мал настолько, что у разных точек в этом множестве разные нормали. В таком случае, сдвигом и поворотом координат мы можем привести поверхность к виду = (, ()), где функция удовлетворяет условиям леммы 1.4.28. Если R, символом () обозначим точку на поверхности, такую что нормаль к поверхности в этой точке параллельна (если такой точки нет, то () = ). В таком случае, имеет место асимптотическая формула символом мы обозначили гауссову кривизну поверхности (естествен­ но, мы предполагаем, что многообразие удовлетворяет условию выпукло­ сти 1.4.29). Эта формула получена в работах [51, 52], см. также книгу [50].

Определим оператор ограничения : (R ) () по правилу Теорема 1.4.30 (Теорема об ограничении). Пусть — подмногообразие плоскости, удовлетворяющее условию выпуклости из определения 1.4.29.

Оператор непрерывен из пространства (R2 ) в пространство () (, [1, ]) для всякого компактного подмножества тогда и толь­ Для определения пространства () выбирается ограничение меры Ле­ бега на кривой на компакт. Доказательство можно найти в книгах [50, 53].

В старших размерностях аналогичное утверждение до сих пор не доказано.

Теорема об ограничении (точнее, гипотеза об ограничении) — одна из цен­ тральных нерешенных задач гармонического анализа, она связана с многи­ ми другими областями математики, такими как комбинаторная геометрия и уравнения в частных производных. Подробности см. в книгах [50, 53], наи­ лучшие на данный момент результаты см. в работах [54, 55].

С теоремой об ограничении тесно связана другая задача — о доказа­ тельстве непрерывности оператора Бохнера–Рисса. Определим оператор Бох­ нера–Рисса согласно правилу Здесь может быть и комплексным числом. Если > 1, то определение корректно, более того, операторнозначная функция аналитична. Ис­ пользуя аналитическое продолжение, оператор распространяется на все комплексные значения как оператор из пространства (R ) в простран­ ство (R ) (см. книгу [37]). Связь оператора Бохнера–Рисса с оператором ограничения, заданным формулой (1.4.7), такова: оператор * 1 1 (для случая, когда поверхность есть сфера) есть свертка с преобразованием Фу­ рье меры на сфере; ровно тот же оператор есть 1.

В случае размерности = 2 установлены все пары чисел и (, [1, ]), такие что оператор непрерывен как оператор из простран­ ства (R ) в пространство (R ) (Стейн в работе [56] показал, что в слу­ чае > оператор есть оператор Кальдерона–Зигмунда, Фефферман в своей знаменитой работе [57] показал, что оператор 0 непрерывен лишь на пространстве 2, в работе [58] была решена задача для случая положитель­ ного числа, см. также [59], случай отрицательного числа за исключением предельных пар чисел (, ), удовлетворяющих условию 1 = 2, = 1, был рассмотрен в работе [60], предельные пары были рассмотрены в рабо­ те [61]). В частности, в случае = 1 оператор непрерывен тогда и только определенные неравенства слабого типа. Как и в случае с оператором ограни­ чения, в старших размерностях вопрос до сих пор открыт (см. книги [50, 53]).

Теория Литтлвуда–Пэли. Разложение Литтлвуда–Пэли — классический инструмент гармонического анализа (см., например, книги [46, 62]). Однако нам нужна его анизотропная версия. Пусть — функция в пространстве R, по правилу Числа здесь меньше единицы, они задают вид анизотропной однородности разложения. Носитель функции не содержит начала координат. Определим функции согласно правилу Набор функций { } обладает следующими свойствами.

1. Существует число, зависящее только от функции, такое что в каж­ дой точке пространства R не более функций не равны нулю.

ство () = 1 (сумма конечна согласно предыдущему пункту).

3. Функция имеет своим носителем множество Из этих трех свойств следует, что разложение чти ортогональное разложение в 2 (R ) в том смысле, что 2 2 (R ) Z M [ ]2 (R ) ; это следует из теоремы Планшереля и первых двух свойств набора { }. Оказывается, что почти ортогональность имеет место и во всех пространствах (R ).

Теорема 1.4.31 (Разложение Литтлвуда–Пэли). Пусть (R ), а набор { } построен из функции как описано выше. Тогда имеет место эквивалентность норм Доказательство этой теоремы читатель может найти в книге [50] (к со­ жалению, мы не нашли точной ссылки; в книге [50] доказана более общая тео­ рема о квадратичных функциях непрерывного параметра, см. пункт 1.8. этой книги; для дискретного параметра доказательство точно такое же). Ос­ новная причина состоит в том, что отображение {M [ ]} и его сопря­ женное суть сингулярные интегральные операторы (в смысле книги [50]).

Потенциальные пространства. Операторы дифференцирования суть мультипликаторы Фурье. Пусть функция — это полином, () = (2), тогда мультипликатор Фурье с символом есть обычный диффе­ ренциальный оператор:

Таким образом, мультипликаторы позволяют описывать пространства Собо­ лева. Если — вектор в пространстве R, то символом | | мы обозначаем “полином” |1 |1 |2 |2 · · · | |.

Определение 1.4.32. Пусть — вектор в пространстве R с неотрицатель­ ными координатами, а — вещественное число, [1, ]. Рассмотрим полу­ норму на пространстве (R ), заданную по правилу Нетрудно видеть, что топология, порождаемая этой полунормой, сильнее то­ пологии пространства (R ). Замыкание множества (R ) по этой полунор­ ме в (R ) назовем пространством P (R ).

Потенциальные пространства на торе вводятся аналогичным образом.

Также будет удобно ввести в рассмотрение пространства P, задаваемые по­ лунормой Эти полунормы включают в себя не только -ю производную, но и все произ­ водные, младшие ее.

Определение 1.4.33. Введем частичный порядок на множестве R по пра­ вилу Напомним читателю, что символ [1..] обозначает множество целых чи­ сел отрезка [1, ]. Пользуясь теоремой Михлина о мультипликаторе, нетрудно вывести что Аналогично можно ввести пространства с тильдой и для функций на торе и они будут обладать теми же свойствами.

Определение 1.4.34. Пусть — вектор с неотрицательными координатами в пространстве R, а — вещественное число, [1, ]. Рассмотрим норму на пространстве (R ), заданную по правилу Нетрудно видеть, что топология, порождаемая этой нормой, сильнее тополо­ гии пространства (R ). Замыкание множества (R ) по этой норме в (R ) назовем пространством (R ).

Аналогично случаю потенциальных пространств, можно рассмотреть пространства с тильдой и для пространств Соболева. А именно, простран­ ство определяется точно так же, как и пространство без тильды, только символы мультипликаторов меняются на (1 + | | ), = 1, 2,...,. Как и обычно, те же самые пространства можно определить и на торе. Следующую теорему тоже можно отнести к фольклору. В изотропном случае она доказана в книге [41]. В анизотропном случае доказательство точно такое же, однако мы не нашли ссылки, поэтому повторим его.

Теорема 1.4.35. Пусть 1 и 2 — неотрицательные векторы в простран­ стве R, а (0, 1). Пусть вектор задан равенством = 1 + (1 )2, а число больше единицы. В таком случае, Равенства верны как для случая пространств функций на пространстве R, так и на торе T.

Доказательство. Доказательство теоремы есть комбинация разложения Литтлвуда–Пэли и интерполяционной теоремы 1.4.10. Будем доказывать пер­ вое из четырех равенств, остальные доказываются аналогично. Для этого сде­ (мы заимствуем обозначения из предыдущего раздела). Это разложит функ­ Нетрудно видеть, что так как функция сосредоточена на множестве { R | | | 2 }, на этом множестве функция || эквивалентна 2,. Оператор { } обо­ значим через LP. Выбрав теперь функцию так, чтобы соответствующая функция (построенная из функции по формуле (1.4.9)) была равна еди­ нице на носителе функции, получим коммутативную диаграмму фактори­ зации тождественного оператора:

где символом LP обозначен соответствующий вариант оператора LP для функции. Согласно теореме 1.4.10, это влечет диаграмму Отметим, что мы пользовались лишь классическим разложением Литт­ лвуда–Пэли, а не анизотропным. Однако, последнее используется в доказа­ тельстве третьей и четвертой интерполяционных формул теоремы 1.4.35.

Пространства Бесова. Пространства Бесова, см. определение 1.4.5, допускают интерпретацию в терминах анализа Фурье. Следующая теорема является частным случаем теоремы 8.1 в книге [41] (в изотропном случае;

мы не нашли ссылки, где был бы рассмотрен анизотропный случай, мы не будем пользоваться этой теоремой, приводим ее лишь для полноты изложе­ ния). Функции здесь такие же, как и в разделе “теория Литтлвуда–Пэли”.

Числа выбраны по правилу = 2.

Теорема 1.4.36. Пусть (1, ), — вектор из неотрицательных чи­ сел, [1, ]. Тогда Пользуясь теоремой 1.4.31 и неравенством Минковского, из этой теоре­ мы легко вывести следствие.

Следствие 1.4.37. Пусть (1, ), — вектор из неотрицательных чисел. В таком случае, писать одним неравенством:

Второй случай рассматривается аналогично.

Мультипликаторы на пространстве 1. Хорошо известно, что мульти­ пликаторы на пространстве 1 (т.е. мультипликаторы Фурье, которые непре­ рывны на пространстве 1 ) суть преобразования Фурье мер (см. книгу [62], пункт 2.1.2). Нам понадобятся теоремы, которые налагают на функцию усло­ вия, достаточные для того, чтобы она была мультипликатором. Немало утвер­ ждений такого типа принадлежит фольклору. Следующую теорему можно найти в работах [63, 64].

Теорема 1.4.38. Пусть функция на пространстве R непрерывна и удо­ влетворяет следующим условиям.

1. Для всех мультииндексов {0, 1} существует классическая про­ 2. Найдется положительное число такое что В таком случае, есть мультипликатор на пространстве 1 (R ).

Пересадки (transference principle). Зачастую факты гармонического анализа верны не только на пространстве R, но и на всех локально-компакт­ ных коммутативных группах (например, теорема Бохнера о преобразовании Фурье меры). Введение дополнительной дифференциальной структуры сужа­ ет область изучения до групп Ли, или, если ограничиться еще более частным случаем, до двух основных групп R и T (а также двойственной c T груп­ пы Z ). Зачастую общие принципы верны на обеих группах (примером тому могут служить классические теоремы вложения Соболева). Тем не менее, де­ тали могут быть немного разными. Нередко удобно доказать результат для одной группы, а потом перенести его на другую посредством пересадки функ­ ций. Утверждения, которые позволяют пересаживать теоремы с одной груп­ пы на другую, относят к проявлению того, что в англоязычной литературе называется transference principle. Процитируем две классические теоремы о пересадке мультипликаторов Фурье (теоремы 3.6.7 и 3.6.9 в книге [46] соот­ ветственно).

Теорема 1.4.39. Пусть функция на пространстве R такова, что Предположим также, что оператор M действует из простран­ В таком случае, для всякого числа > 0 функция : Z C, задан­ ная по правилу () = (), является мультипликатором Фурье на пространстве (R ) с нормой, не превосходящей норму оператора M.

Теорема 1.4.40. Пусть — интегрируемая по Риману функция на про­ странстве R, такая что нормы операторов M на пространстве (T ) равномерно ограничены константой (как и в предыдущей теореме, функ­ ция заданна по правилу () = ()). В таком случае, оператор M действует на пространстве (R ) и ограничен по норме той же констан­ той.

Теорема Коэна об идемпотентах.

Определение 1.4.41. Будем говорить, что множество Z принадлежит классу CR, если оно может быть получено из классов смежности подгрупп Z конечным количеством операций объединения, пересечения и перехода к до­ полнению.

В англоязычной литературе класс CR называют “coset ring”.

Теорема 1.4.42 (Теорема Коэна об идемпотентах). Пусть — подмно­ жество решетки Z. Включение 1 [ ] M(T ) верно тогда и только тогда, когда множество принадлежит классу CR.

Мы привели упрощение теоремы Коэна, на самом деле, она верна на произвольной локально компактной абелевой группе. Общую форму (и дока­ зательство) читатель может найти в книге [65].

Теорема Укиямы. Классическая теория вещественных классов Харди, а также пространств BMO и VMO изложена, например, в книге [50].

Определим вещественный класс Харди 1 как множество тех обобщен­ ных функций (R ), для которых максимальная функция лежит в пространстве 1 (R ) (здесь — ядро Пуассона, () = (2 + вводится естественным образом. Определим преобразования Рисса, [1..] (напомним читателю, что символ [1..] обозначает множество целых чисел отрезка [1, ]), согласно формуле Классическая теорема Стейна–Феффермана утверждает, что Нетривиальным является лишь ограничение выражения слева в терминах выражения справа, потому что сингулярные интегральные операторы (ка­ ковыми являются преобразования Рисса) переводят пространство 1 в про­ странство 1. Определим пространство BMO(R ) как множество функций класса 1,loc (R ), для которых выражение BMO(R ) = стве BMO(R )6. Замыкание множества D(R ) в пространстве BMO(R ) называется VMO(R ). Фефферман показал, что VMO* = 1 и * = BMO.

Двойственное утверждение к теореме Феффермана–Стейна формулируется так: любую функцию BMO(R ), стремящуюся к нулю на бесконечности, можно представить в виде Укияма в работе [32] дал конструктивное доказательство этого двойственного утверждения, а также обобщил его на более широкий класс мультипликато­ ров.

Теорема 1.4.43 (Теорема Укиямы). Пусть : 1 C {0} есть всякого вектора 1 (параллельность понимается в том смысле, что векторы пропорциональны с комплексным коэффициентом). Для вся­ кой функции BMO(R ), стремящейся к нулю на бесконечности, суще­ Более точно, пространство есть результат факторизации по подпространству, состоящему из постоянных функций, на котором указанная полунорма вырождается.

ствует решение = { } уравнения Отметим, что по той же двойственности отсюда следует неравенство Теперь почти очевидным становится обобщение теоремы братьев Рисс, упо­ мянутое в пункте 1.3.3. Напомним читателю, что класс состоит из век­ торных мер, таких что для всякого ненулевого вектора R выполнено соотношение () ( || ).

Следствие 1.4.44. Пусть : 1 C {0} есть отображение клас­ ра 1. В таком случае, любая мера из класса абсолютно непре­ рывная относительно меры Лебега.

Доказательство. Пусть. Символом обозначим решение уравне­ ния = (нетрудно видеть, что решение существует, единственно с точно­ стью до аддитивной константы, и представляет собой преобразование Фурье ограничнной непрерывной вне нуля функции). Пусть и суть свертки и соответственно с гладкой аппроксимативной единицей. В таком случае, согласно теореме Укиямы, По теореме Банаха–Алаоглу, у последовательности есть предельная в то­ пологии (1, VMO) точка 1. Тестируя и на функциях класса Шварца (которые принадлежат пространству VMO), получаем, что = как обобщенная функция. Стало быть, 1, что незамедлительно вле­ 2.1. Абстрактная билинейная теорема вложения Как мы говорили, за теоремой 1.2.1 стоят более общие утверждения.

Сейчас мы приведем билинейное неравенство, на котором основано как до­ казательство теоремы 1.2.1, так и доказательство теоремы 1.2.9. Утвержде­ ние довольно абстрактно, поэтому после его доказательства мы приведем примеры, которые покажут, почему это теорема вложения, где тут диффе­ ренциальные операторы, а где — пространства Соболева. Напомним обозна­ чения: если = (1, 2,..., ) R, то символом {1} мы обозначаем век­ Лемма 2.1.1. Пусть 1 и 2 — натуральные числа, 1, 2 > 1. Пусть :

R1 1 R — непрерывная функция. Предположим, что локально-суммиру­ емая функция : R1 1 R+ такова, что а числа и имеют ненулевые мнимые части разных знаков. Пусть и суть вещественные положительные числа, зададим множество, по правилу Тогда для любых мер 1 и 2 на пространстве R2 имеет место неравенство где функции и на пространстве R1 определены по правилу а : R1 1 R2 1 — произвольная измеримая функция (неравенство не зависит от чисел и и функции ).

Доказательство. На множестве, выражения 1 ({1} ) и 1 ({1} ) не обнуляются, так как числа и отличны от нуля. Стало быть, в силу уравнений (2.1.3), интеграл может быть переписан в виде Перепишем преобразования Фурье мер по определению и переставим порядки интегрирования:

где ядро, вычисляется по формуле угловыми скобками обозначено скалярное произведение в пространстве R2 1.

Ясно, что для получения равномерной оценки интеграла, в терминах вели­ чины 1 M(R2 ) 2 M(R2 ) достаточно доказать равномерную при всех, R2 и всех и ограниченность ядра,. На множестве {(, ) R22 | 1 1 = 0} ядро, обнуляется (потому что, как можно увидеть из вы­ числения чуть ниже, в этом случае интеграл по переменной 1 равен нулю), поэтому можно считать, что 1 1 > 0 (симметричный случай рассматрива­ ется аналогично).

Зафиксируем значение {1} и вычислим интеграл по переменной 1 от­ дельно. Для этого рассмотрим мероморфную функцию Она быстро убывает в полуплоскости > 0 и, благодаря нашим предпо­ ложениям о мнимых частях чисел и, имеет там либо два полюса (в точ­ как lim, применяя теорему Коши о вычетах к контуру, состоящему из полуокружности радиуса с центром в нуле и отрезка [, ], и переходя к пределу по, получаем если ({1} ), ({1} ) > 0 (множество таких {1} мы обозначим симво­ в противном случае. То есть, Предположим также, что полином, заданный формулой () = (2), эллиптичен. Пусть числа и имеют ненулевые мнимые части разных знаков. Тогда верно неравенство В левой части неравенства, по сути, стоит скалярное произведение функ­ ций и в некотором потенциальном пространстве (как мы видели в приме­ ре), однако мы не будем вводить для него отдельного обозначения.

Доказательство. Достаточно проверить, что вес, заданный формулой удовлетворяет условию (2.1.1) с функцией. Для этого удобно ввести “сфе­ рические” координаты, 3, 4,..., 1, заданные по правилу Введение таких координат требует некоторых оговорок: мы сначала разбива­ ем пространство R1 1 на “квадранты”, то есть, множества, где знаки коорди­ нат постоянны, и после этого работаем с каждым “квадрантом” отдельно.

Тогда каждый такой “квадрант” может быть как-то параметризован множе­ ством пар {(, )}, таких что число положительно, а каждая координата лежит либо в отрезке [0, ), либо [, ), либо [, 0). Будем рассматривать случай первого квадранта (то есть множества +, на котором все координа­ ты неотрицательны), пусть тогда пробегает (1 2)-мерное множество.

Отметим, что якобиан отображения ров 3, 4,..., 1, суммируемая по множеству. Таким образом, мы можем записать интересующий нас интеграл в новых координатах (предполагаем, что < ):

здесь — функция на прямой, заданная по правилу () = ({1} ), {1} = {1} (, ). Благодаря условию однородности (2.1.6), То есть, интеграл может быть переписан в виде так как функция | (1)| отделена от нуля (в силу эллиптичности поли­ нома ), а функция — суммируема. Лемма доказана.

2.2. Теоремы вложения для систем уравнений Лемма 2.1.1 позволяет доказать абстрактное обобщение теоремы 1.2.1, которое нам понадобится в третьей главе.

Теорема 2.2.1. Пусть — натуральное число, большее единицы, а числа 1, 2, функции,, — такие же, как и в лемме 2.1.1.

Пусть 0, 1,..., — меры на пространстве R2, удовлетворяющие усло­ вию а функции 0,..., на пространстве R1 заданы формулами Тогда существуют измеримые функции 1, 2,..., на пространстве R1, удовлетворяющие системе уравнений и неравенству Доказательство. Теорема будет выведена из леммы 2.1.1 при помощи эле­ ментарных алгебраических преобразований. Отметим, что благодаря усло­ вию (2.2.1), система уравнений (2.2.2) имеет решение при каждом значе­ нии R1, таком что 1 = 0. Поэтому остается лишь доказать неравенство.

Пусть — некоторое комплексное число. Для каждого числа, умножим со­ держащую функцию строку системы уравнений (2.2.2) на и сложим их все. В результате получим уравнение Пусть — другое комплексное число. Подставив его вместо, получим урав­ нение Два получившихся уравнения превратятся в уравнения (2.1.3) из леммы 2.1.1, если заметить, что где меры и получаются из мер так же, как и функции и из функций. Предположим, что числа и имеют ненулевые мнимые ча­ сти разных знаков. Тогда, согласно лемме 2.1.1, для любых положительных чисел и имеет место неравенство где множество, определено формулой (2.1.2). Зафиксируем пока что чис­ ла и. Пусть теперь,,, = 1, 2,...,, — комплексные невеществен­ ные числа, такие что имеют не зависящий от аргумент, который про­ тивоположен аргуненту, который тоже не зависит от (например, можно взять =, = ; для доказательства теоремы столь подробно опреде­ лять числа и нет необходимости, это делается для удобства дальнейшей модификации теоремы, см. замечание 2.2.2). В таком случае, из вышесказан­ ного следует, что величина линейными комбинациями величин, (с коэффициентами, не зависящими от функций и чисел и ). Для этого отметим, что величина есть скалярное произведение функций и в весовом гильбертовом про­ странстве. То есть, мы хотим выразить скалярные произведения функций через скалярные произведения функций и. Для этого достаточно вы­ разить функцию как в качестве линейной комбинации функций, так и в качестве линейной комбинации функций. Но отображение обратимо (определитель матрицы этого отображения есть определитель Ван­ дермонда, составленный из чисел ), стало быть, такое выражение существу­ ет (аналогично и для чисел ). Теорема доказана, остается только перейти от интеграла по множеству, к интегралу по всему пространству R1. Это можно сделать, устремив к нулю и к бесконечности, так как подынте­ гральное выражение в левой части доказываемого неравенства положительно Замечание 2.2.2. В теореме 2.2.1 можно считать функцию комплекснознач­ ной, если ее аргумент принимает конечное множество значений (а модуль является непрерывной функцией). Это следует из замечания 2.1.2. Действи­ тельно, если выбрать числа и так, чтобы они имели противоположный аргумент при всяких и, а функция не принимала вещественных значе­ ний, то значения функций и всегда будут иметь мнимые части разных знаков, стало быть, лемма 2.1.1 в форме замечания 2.1.2 влечет ограничен­ ность величин, из доказательства теоремы 2.2.1, поэтому оное доказатель­ ство можно продолжить и в этом случае, не меняя рассуждения.

Теперь изучим следствия абстрактной теоремы.

Доказательство теоремы 1.2.1. Сначала докажем, что система уравне­ ний (1.2.2) имеет решение в классе обобщенных функций с компактным носи­ телем (ясно, что если решение в таком классе существует, то оно единствен­ но), если обобщенные функции удовлетворяют условию (1.2.1). Доказа­ тельство проведем индукцией по параметру. В случае = 2 имеется пара обобщенных функций (0, 1 ) с компактными носителями, такая что Из этого уравнения следует, что обощенная функция 2 0 имеет зануляю­ щихся моментов по первой координате, откуда (вкупе с условием компактно­ сти носителя) следует аналогичное условие и для обобщенной функции 0.

Таким образом, существует функция 1 на пространстве R2, с компактным носителем, такая что 1 1 = 0. В таком случае, -я производная по первой координате обобщенной функции 1 + 2 1 равна нулю (в силу определения функции 1 и уравнения (2.2.3)), то есть, функция 1 есть решение систе­ мы (1.2.2) в данном случае. Случай = 2 мы считаем базой индукции.

ному, отсюда следует, что существует обобщенная функция 1 с компактным Пользуясь базой индукции для порядков дифференцирования и ( 1) соответственно (вместо и ), находим функцию 1 с компактным носи­ уравнение системы (1.2.2) как 1 2 = 1 + 2 1. Нетрудно видеть, что теперь оставшееся ( 1) уравнение образует аналогичную систему. Условие выполнено, так как 2 1 = 2 1. Стало быть, пользуясь предположением индукции, мы можем найти и все остальные функции. Переход доказан.

принадлежность решения второму из пересекаемых пространств справа. Мы представим систему (1.2.2) как часть некоторой большей системы типа (2.2.2).

Начнем со случая одной функции, система (1.2.2) тогда выглядит так:

и содержится в системе уравнений ди корней из комплексного числа выбираются имеющие наименьший аргу­ мент. Отметим, что аргумент этого символа зависит лишь от знака 2, в част­ ности, принимает не более двух значений. Под словами, что первая система содержится во второй, мы понимаем следующее. Из первых уравнений обе­ их систем следует, что 1 = 1. Решая уравнения второй системы шаг рой системе можно применять теорему 2.2.1 (c учетом замечания 2.2.2) c монотонность не более одного раза. В результате, получим неравенство Система (1.2.2) точно так же является частью системы типа (2.2.2). А именно, рассмотрим функции, = 1, 2,..., = 1, 2,...,, заданные по В этой системе все правые части, кроме правых частей уравнений 1 (+1) 2 = (с традиционной модификацией в случае = 0 и = ), равны нулю. Теорема 2.2.1, примененная к этой системе, дает нам неравенство Теорема 1.2.1 доказана.

Отметим, что в случае = 2 теорема 1.2.1 может быть записана как неравенство ство является частным случаем теоремы В. А. Солонникова из работы [3], см. также пункт 1.3.1 и теорему 1.4.6.

Другие приложения теоремы 2.2.1. Наши рассуждения в параграфе 2. имели “многомерный оттенок”. Это даст нам некоторые многомерные след­ ствия.

Теорема 2.2.3. Пусть : R1 1 R — полином, удовлетворяющий усло­ вию однородности (2.1.6), такой что его характеристический полином эллиптичен. Тогда имеет место неравенство Доказательство. Эта теорема — прямой аналог теоремы 2.1.4. Действитель­ но, выбирая параметры 2 = 1, ({1} ) = {1}, = 2, в теореме 2.2.1, получаем требуемое утверждение. Тот факт, что выбранные параметры удовлетворяют условиям теоремы 2.2.1, был проверен при доказательстве леммы 2.1.4.

Возвращаясь к примеру перед леммой 2.1.4, в котором 1 = 3, (2, 3 ) = 2 + 3, как частный случай теоремы 2.2.3 (после применения теоремы План­ шереля), получаем изящное неравенство или, что то же самое, Эквивалентность двух формулировок следует из того, что мы можем растя­ нуть координаты так, чтобы обе части неравенств не изменилась, а в правых частях множители (или слагаемые) стали равными. Автор не знает, известно ли это неравенство. Отметим лишь, что оно, видимо, не следует из результа­ тов классических (но очень точных и тонких) работ [3, 4].

2.3. Билинейные неравенства: эллиптический случай Мы будем доказывать теорему 1.2.4 в следующем порядке: сначала мы докажем, что утверждение BE (см. определение 1.2.2) выполнено, если па­ раметры удовлетворяют условиям теоремы (положительные результаты); по­ сле чего мы сконструируем контрпримеры, которые опровергнут утвержде­ ние BE во всех остальных случаях (отрицательные результаты). Хотя эти контрпримеры основаны на общей идеологии, техника варьируется при раз­ ных значениях параметров. Чтобы не создавать у читателя затруднений, мы приводим детали во всех вариантах.

По условию, хотя бы одно из чисел и нечетно; пользуясь симметри­ ей, можем считать, что число нечетно. В дальнейшем мы предполагаем, что числа 1 и 1, которые были введены в определении 1.2.3, различны (слу­ чай, когда они равны, немного отличается и будет рассмотрен впоследствии).

Аналогично доказательству леммы 2.1.1, неравенство (1.2.3) вытекает из рав­ номерной ограниченности следующего интеграла:

где множество, определено формулой Докажем, что выражение (2.3.1) равномерно ограничено при всех и, становится немного проще, если в выражении (2.3.1) сначала проинтегриро­ вать по переменной, а потом — по переменной, и во внутреннем интеграле ввести новую переменную согласно правилу = ||/. Это влечет формулу мы ввели обозначения = 1 1, = 2 2.

Интегрирование по переменной ведется по объединению [, ] [, ], мы докажем равномерную ограниченность интеграла по каждому из двух интервалов объединения. Благодаря симметрии, мы можем рассматри­ вать лишь интервал [, ] (поэтому sign в знаменателе уйдет). Для опре­ деленности мы предполагаем, что > 0 (противоположный случай сводит­ ся к этому, если заменить на ; отметим, что мы можем не рассматри­ вать случай = 0, так как он соответствует множеству меры 0). После этого, в качестве переменной во внешнем интеграле выберем (2)/ ; эта замена приведет к изменению параметров, и, но позволит положить 2 = 1. Мы должны показать, что следующий интеграл равномерно огра­ Мы будем вычислять интеграл по переменной с использованием форму­ лы вычетов, считая комплексной переменной. Так как подынтегральное выражение быстро убывает на бесконечности в верхней полуплоскости, при интегрировании по контуру, который состоит из интервала [, ] и верхней полуокружности радиуса с центром в нуле, после предельного перехода при, рассматриваемый интеграл есть 2 умножить на сумму вычетов в полюсах подынтегральной функции в верхней полуплоскости. Все полюса являются простыми и суть корни -ой степени из чисел 1 и 1 (мы предполо­ жили, что 1 = 1 ). Пусть = 1 (и > 0). Представляя подынтегральное лярна в точке, вычисляем вычет в точке :

Аналогично, если = 1 (и > 0), то вычет в точке равен В наших предположениях о числах 1 и 1, уравнения = 1 и = 1 имеют одно и то же число решений в верхней полуплоскости. Это показывает, что, с точностью до константы, интеграл (2.3.2) равен сумме ( ± 1)/2 выражений вида где и — некоторые корни -ой степени в верхней полуплоскости, соот­ ветственно, из чисел 1 и 1 (отметим, что к счастью, знаменатели в двух упомянутых формулах для вычетов противоположны друг другу).

Вспомним, что число вещественно, так что мы оцениваем абсолют­ ную величину подынтегральной функции через | | 1 при ждения BE(,, 1, 1,, ), в случае, когда число нечетно и 1 и 1 явля­ ются различными числами с мнимыми частями одного знака.

Случай 1 = 1 может быть рассмотрен аналогично. В этом случае, двумерный интеграл (2.3.2) представляется в виде линейной комбинации од­ номерных интегралов вида Также это может быть получено предельным переходом при 1 1 в форму­ ле (2.3.3). Этот интеграл равномерно ограничен, снова в силу условия > 0.

В предыдущем параграфе мы доказали ту часть теоремы 1.2.4, которая касается верности утверждения BE(,, 1, 1,, ) в случае, когда хотя бы одно из чисел и нечетно, а числа 1 и 1, введеные в определении 1.2.3, имеют мнимые части одного знака. Сейчас мы будем опровергать утвержде­ ние BE в тех случаях, когда указанные требования не выполнены.

Предположим, что утверждение BE(,,,,, ) верно. В таком слу­ чае, числа и должны удовлетворять уравнению Это следует из того, что правая часть неравенства (1.2.3) при растяже­ нии (, ) (, ) умножается на 222, а левая — на 2+2, стало быть, чтобы утверждение BE(,,,,, ) было верным, эти два чис­ ла должны быть соизмеримы равномерно по ; это и дает уравнение (2.3.4).

В этом параграфе будет построена пара функций и (зависящих от пара­ метров), которые дадут дальнейшие ограничения на числа,,,,,. Мы также предполагаем, что если по крайней мере одно из чисел и является четным, то четно.