«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ...»

Матричное представление равенства (3.9) для случая нормальной каналовой поверхности имеет вид где rн (t ) – вектор-столбец координат точек направляющей кривой, n(t ) – вектор-столбец единичного вектора нормали направляющей кривой, T (t ) – кососимметрическая вектор-матрица единичного вектора касательной к направляющей кривой В качестве примера применения данной модели рассмотрим построение каналовой поверхности переменного сечения с синусоидальной направляющей.

При этом направляющую кривую зададим равенством а переменный радиус циклической поверхности уравнением Единичный вектор касательной к направляющей кривой в данном случае с использованием одного из уравнений (2.12) может быть записан в виде Векторы-функции n (t ) и b (t ) терпят разрывы в точках перегиба противоположные. Для упрощения кинематической модели поверхности векторы бинормали и нормали примем равными В матричных обозначениях Допущение о постоянстве направления вектора b приводит к сдвигу координатных линий на величину в точках перегиба. При визуализации поверхности с использованием сетки координатных линий этот «дефект» будет исключен, если интервалы разбиения для параметра выбирать в долях.

Рис. 3.9. Каналовая поверхность переменного сечения с синусоидальной направляющей Подстановка в равенство (3.10) заданных и полученных функций дает модель искомой поверхности Соответствующая поверхность изображена на рис 3.9.

Рассмотрим другие примеры построения каналовых поверхностей. В качестве направляющей кривой возьмем дугу окружности а в качестве кривой, определяющей контур каналовой поверхности, выберем эпициклоиду, задав ее следующим уравнением:

В данном случае вектор бинормали b направлен параллельно оси Oz, а векторы касательной и нормали n вычислим, используя уравнения (2.12) Подставляя заданные и найденные функции в уравнение (3.9), получим математическую модель поверхности или Вид этой поверхности представлен на рис. 3.10.

Рис. 3.10. Поверхность с образующей в виде эпициклоиды и направляющей в виде Если в качестве направляющей кривой выбрать синусоиду, заданную уравнением а в качестве образующей кривой – удлиненную гипоциклоиду, заданную уравнением то получим поверхность, вид которой представлен на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Поверхность с образующей в виде удлиненной гипоциклоиды и В этом случае орт бинормали b также направлен параллельно оси Oz, а векторы касательной и нормали n вычисляются с использованием уравнений (2.12). При этом находим Подставляя заданные и найденные функции в уравнение (3.9) получаем математическую модель этой поверхности или прямоугольном плане в виде поверхности эллиптического тора, когда образующая – дуга окружности радиуса R, а направляющая – дуга эллипса, описываемого уравнением где a и b – полуоси эллипса.

В данном примере направляющая кривая лежит в плоскости Oyz, и вектор бинормали b направляющей кривой направлен вдоль оси Ox. Вычислим векторы касательной и нормали по формулам (2.12) Подстановка заданных и полученных уравнений в равенство (3.9) дает математическую модель искомой поверхности или Вид этой поверхности при значении параметров a = 3, b = 4 и R = представлен на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Оболочка в форме фрагмента эллиптического тора 3.4. Моделирование пространственных конструкций путем трансформации Любую поверхность, заданную аналитическим уравнением, можно изменить путем применения линейных или нелинейных преобразований, заданных соответствующими матрицами. К линейным преобразованиям относятся, в частности, аффинные преобразования трехмерного пространства [92]. К аффинным преобразованиям относятся преобразования параллельного переноса, вращения, сдвига, растяжения (сжатия), зеркального отражения, подобия и гомотетии [95]. Для трансформации поверхности с помощью линейного преобразования могут быть использованы преобразования сдвига или растяжения. Примером использования преобразования растяжения может служить вывод общего уравнения однополостного гиперболоида в разделе 2.1.

Преобразование растяжения задается следующим матричным уравнением где n – единичный вектор нормали к плоскости, относительно которой происходит растяжение, r0 – радиус-вектор точки, принадлежащей этой плоскости, k – коэффициент деформации ( k > 1 – растяжение, k < 1 – сжатие).

Преобразование сдвига задается матричным уравнением где n – единичный вектор нормали к плоскости, относительно которой происходит сдвиг, r0 – радиус-вектор произвольной точки этой плоскости, l – вектор, задающий направление сдвига.

Иллюстрацией применения преобразований сдвига и растяжения может служить моделирование формы Лондонской мэрии (архитектор Норман Фостер, построена в 2002 году), изображенной на рис. 3.13 б, которая в линейном приближении может быть представлена в виде деформированной сферы. Процедура геометрического моделирования заключается в том, что для векторной функции, определяющей сферу, последовательно применяются преобразования растяжения и сдвига, заданные матричными уравнениями (3.11) и (3.12). Соответствующая модель здания мэрии в Лондоне изображена на рис. 3.13 а. При моделировании были приняты следующие значения параметров преобразования растяжения:

Рис. 3.13. Здание мэрии в Лондоне: а – фотография; б – модель аналитических поверхностей дает применение нелинейных преобразований с использованием соответствующих функциональных матриц. Пусть задана некоторая поверхность следующим уравнением в параметрической форме:

где x(u, v), y (u, v), z (u, v) – непрерывные функции вместе со своими производными до второго порядка включительно.

Введем в рассмотрение функциональную матрицу A(u, v) размером 3х3.

Результатом преобразования является вектор-функция r (u, v ), которая определяют новую поверхность, удовлетворяющую заданным требованиям гладкости, если функция r (u, v ) имеет гладкость того же порядка, что и элементы функциональной матрицы.

Проиллюстрируем предложенный метод трансформации поверхностей примером преобразования эллипсоида, заданного уравнением где a, b, c – полуоси эллипсоида.

При значениях полуосей a = 3, b = 3, c = 4 и области изменения переменных 0 u 2, 4 v 4 имеем поверхность эллипсоида вращения, изображенную на рис. 3.14.

Заданную уравнением (3.13) поверхность эллипсоида вращения можно трансформировать в яйцевидную поверхность с помощью матрицы преобразования с использованием указанной матрицы записывается в виде Соответствующая поверхность изображена на рис. 3.15 а. Выбирая для нелинейного преобразования поверхности эллипсоида вращения матрицы получаем новые поверхности, представленные на рис. 3.15 б, в соответственно.

Рис. 3.15. Трансформации эллипсоида в результате гладких преобразований:

а – поверхность при А1(v); б – поверхность при А2(v); в – поверхность при А3(v) 3.5. Моделирование сложных сплошных и сетчатых пространственных конструкций методом композиции аналитических примитивов В предыдущих разделах были рассмотрены методы моделирования пространственных конструкций путем использования аналитического представления поверхностей и их фрагментов, которые могут быть названы аналитическими примитивами. Составные конструкции могут быть получены из соответствующих аналитических примитивов методом композиции, когда каждый элемент сложной конструкции представлен разными аналитическими выражениями, но благодаря возможностям геометрического моделирования происходит формирование цельной конструкции, удовлетворяющей заданным конструктивным требованиям. Объединение аналитических примитивов может быть выполнено с использованием группы аффинных преобразований движения, к которым относятся преобразования поворота и параллельного переноса.

преобразования поворота (вращения) и параллельного переноса.

Вращение вокруг оси – это преобразование, при котором все точки оси остаются неподвижными, а остальные точки пространства поворачиваются в плоскостях, перпендикулярных этой оси, на один и тот же угол. Пусть ось вращения проходит через произвольно заданную точку M1 пространства с радиус-вектором r1, а ее положение определяется единичным вектором l.

Тогда преобразование поворота вокруг этой оси на угол записывается следующим матричным уравнением:

Вид матрицы L соответствует направлению поворота против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора l.

В частном случае вращения вокруг оси Oz преобразование поворота [95] записывается в виде Параллельный перенос – это преобразование, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос задается постоянным вектором a, следовательно, положение произвольной точки M после параллельного переноса определяется векторным равенством или в матричной форме где В качестве примера использования преобразований движения составим моделируемых поверхностями регулярных коноидов, состыкованных друг с другом. Для задания базового элемента регулярного коноида воспользуемся уравнением полученным согласно методу, изложенному в разделе 2.1, при условии, что отрезки направляющей прямой и криволинейной направляющей заданы уравнениями Стыковку элементов конструкции осуществим путем преобразования поворота на углы 1 = 4, 2 = 2, 3 = 3 4 вокруг вертикальной оси Oz с использованием матриц поворота (3.14). Результат моделирования представлен на рис 3.16.

Рис. 3.16. Составная поверхность из элементов в форме регулярного коноида рассмотрим формирование конструкции из отдельных элементов, имеющих форму гипаров. Каждый элемент представляет собой гипар на плане в виде симметричного выпуклого четырехугольника. Как было показано в разделе 1.3, для построения базового элемента составной конструкции необходимо воспользоваться уравнением (1.27), задав четыре вершины одного гипара.

Остальные элементы поверхности задаются поворотом первого элементы относительно одной из вершин на угол, определяемый количеством элементов.

координаты вершин базового элемента:

Стыковку элементов конструкции осуществим путем преобразования вертикальной оси Oz с использованием матриц поворота (3.14). Результат моделирования представлен на рис. 3.17.

Рис. 3.17. Составная поверхность из элементов в форме гипаров Подобным образом можно моделировать зонтичные купола и оболочки – циклически симметричные пространственные конструкции, образованные из m тождественных элементов. Зонтичные оболочки образуются из повторяющихся в круговом направлении однотипных отсеков. В плане зонтичные оболочки могут описываться непрерывной плавной замкнутой кривой, например круговой синусоидой, или повторяющие отсеки оболочки могут пересекаться под некоторым углом [54, 65, 70, 79, 86, 117, 155]. Зонтичные купола или так архитектурно-художественной ценности [150]. Распалубки зонтичных куполов, помимо придания конструкции легкости, воздушности, создают возможность многочисленных вариаций декора, а игра света и тени на криволинейных поверхностях делает их достаточно живописными и привлекательными [44].

В общем случае компоновка составной конструкции может быть осуществлена путем совместного применения преобразований поворота и моделирования башни Шухова на Шаболовке в Москве. В качестве базового элемента могут быть выбраны два стержня нижней секции, являющихся образующими двухпараметрического семейства линейчатой поверхности однополостного гиперболоида. Уравнение (2.1) этой поверхности было получено в разделе 2.1 с использованием матриц преобразований поворота и растяжения. Математические модели поверхности второй и следующих секций могут быть получены аналогично, а их перемещение в пространстве выполнены с использованием преобразования параллельного переноса по вертикали.

Уравнения секций имеют следующий вид:

– первая секция – вторая секция – третья секция – четвертая секция – пятая секция – шестая секция где k = 2k ni, k = 1,2,K, ni ; ni – количество стержней в i-ой секции, совпадающих с образующей одного семейства во всех ее положениях;

a1 = b1 = 16,25; c1 = 34,844; a2 = b2 = 13,0; c2 = 33,333; a3 = b3 = 9,2; c3 = 25,316;

a4 = b4 = 6,5; с4 = 24,691; a5 = b5 = 3,5; с5 = 12,78; a6 = b6 = 1,8; с6 = 10,912.

Параметры однополостных гиперболоидов ai, bi, ci, моделирующих данную стержневую конструкцию, а также границы изменения параметра t определяются через конструктивные параметры башни (размеры секций в горизонтальных сечениях и их высоту). Система уравнений для определения этих параметров получается путем подстановки координат точек секции в любое из уравнений однополостного гиперболоида (2.1) или в его каноническое уравнение.

Модель составной стержневой конструкции и фотография башни Шухова изображены на рис. 3.18.

Рис. 3.18. Составные поверхности из элементов в форме однополостных гиперболоидов:

а – башня Шухова на Шаболовке; б – математическая модель Выводы по главе преимуществом которого является возможность его задания только координатами узловых точек, возможность использования его в качестве 3Dсплайна и слабая осцилляция в окрестности этих точек. Показана возможность применения таких сплайнов для задания образующих сложных поверхностей в задачах моделирования элементов пространственных конструкций.

2. Показана возможность практически неограниченного увеличений количества поверхностей за счет использования произвольных кривых в качестве образующих или направляющих линий поверхностей, а также с помощью матричных алгоритмом различных линейных и нелинейных преобразований.

3. Предлагаемые алгоритмы позволяют для достижения архитектурной выразительности использовать произвольное сочетание, неограниченное имеющимся примитивами в стандартных прикладных графических пакетах, образующих и направляющих линий при моделировании поверхностей.

4. ТЕХНОЛОГИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕНТОВЫХ И ЛИСТОВЫХ

КОНСТРУКЦИЙ, МОДЕЛИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТАМИ

РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В последние годы наряду с традиционными листовыми конструкциями широкое распространение получили легкие тентовые конструкции, которые обладают рядом преимуществ – дешевизна, быстрота сборки, мобильность, многообразие форм и цветовой гаммы, архитектурная выразительность. В отечественной и зарубежной строительной практике тентовые покрытия применяются для перекрытия больших открытых площадей, торговых центров, выставочных площадей, а также могут быть использованы в спортивных сооружениях, например для покрытия теннисных кортов, плавательных бассейнов, стадионов, и для сезонных сооружений (мини-кафе, места проведения культурно-массовых мероприятий) [27, 64, 97, 129, 160]. При этом область применения тентовых покрытий непрерывно расширяется, чему способствует совершенствование материалов мягких оболочек, а также развитие компьютерных технологий, позволяющих моделировать и рассчитывать конструкции.

В целом тентовые конструкции подразделяются на пневматические – пневматических конструкциях форма поддерживается давлением воздуха внутри оболочки, в каркасных конструкциях металлический каркас несет все нагрузки, в натяжных конструкциях сама оболочка за счёт своей геометрии является несущим элементом, при этом конструкция поддерживается с помощью стоек и мачт, снабжённых системой канатных растяжек или винтовых распорок.

При проектировании листовых и тентовых тканевых конструкций принята следующая технологическая последовательность: на первом этапе определяется форма конструкции, далее в необходимых случаях проводится анализ ее нагружения и затем выполняется построение карт раскроя элементов конструкции (ее выкройка) [169]. В основном проектирование натяжных тентовых оболочек идет с использованием различных численных [58, 123, 126, 163-164, 170] и приближенных методов [3, 8, 137, 162]. В мировой практике проектирования тентовых конструкций используются CAD системы на основе численных методов, но эти программные комплексы предназначены в основном для проектирования парусного оснащения судов [122], что значительно ограничивает их область применения, и они используют в основном громоздкий аппарат метода конечных элементов, либо упрощенный вариант геометрического моделирования, позволяющий решать только узкие задачи нахождения формы. К тому же стоят эти программные комплексы достаточно дорого для российского рынка. В работах [121, 167-168] предложен метод натянутых сеток, который реализуется в программных комплексах для проектирования тентовых конструкций FabricCAD и К3-тент [173]. Также численные методы построение разверток используются при проектировании обводов судов [34-35, 41-42], конструкций в машиностроении [38, 116], при изготовлении одежды [115, 114] С учетом большого разнообразия форм развертывающихся поверхностей (см. главу 3) в технологии проектирования тентовых и листовых конструкций могут с успехом быть применены аналитические методы.

В данной главе предлагаются аналитические алгоритмы построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки, в которые трансформируются кривые, принадлежащие развертывающимся поверхностям. Эти алгоритмы могут быть легко импортированы в существующие компьютерные математические и графические пакеты при создании соответствующих функций пользователя.

4.1. Использование аналитических методов при раскрое линейчатых элементов тентовых конструкций в форме цилиндрической, конической и В главе 2 был рассмотрен один из возможных, и достаточно простых, развертывающихся поверхностей, который аналитически реализуется на основе процедуры параллельного или центрального проецирования произвольной направляющей линии на заданную плоскость. В этом случае для элемента тентовой конструкции известны аналитические выражения кривых линий его ограничивающих.

Рассмотрим общий алгоритм построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки, в которые трансформируются кривые, принадлежащие цилиндрическим и коническим поверхностям [95].

цилиндрической поверхности таким образом, что один из векторов координатного базиса i, j, k совпадает с вектором l и rн l 0 (точкой сверху обозначена производная по параметру). Для определенности положим k = l. Найдем уравнение той кривой, в которую трансформируется кривая rн (u ) при развертывании цилиндрической поверхности. Введем в рассмотрение декартову плоскость развертки (, ). Тогда одна из координат получаемой кривой определяется как длина проекции заданной направляющей кривой на плоскость, перпендикулярную образующей цилиндрической поверхности, а другая совпадает с пространственной координатой z. То есть:

Если задана гладкая кривая rн = {x (u ), y (u ), z (u )}, u1 u u2 на конической координатах При этом элементарный полярный угол d находим как отношение «приведенной» элементарной дуги ds = ds 2 dR 2 к расстоянию R от произвольной точки кривой до вершины rS = {x S, y S, z S } конической поверхности Уравнения искомой кривой на развертке конической поверхности в параметрической форме принимают вид заданной уравнением (2.8), то процедуру развертывания поверхности можно связать с нахождением той кривой, в которую преобразуется ребро возврата rн = rн (u ), u1 u u2 при развертывании поверхности касательных в плоскость.

Развертку этой кривой будем искать из условия, что длины дуг ds и кривизны для направляющей кривой и ее развертки в соответствующих точках совпадают. С учетом определений кривизны плоских и пространственных кривых находим приращение угла при перемещении точки на расстояние ds вдоль плоской кривой на развертке Вводя в рассмотрение плоскость развертки O, ось O которой направлена по касательной к направляющей кривой в ее начальной точке, уравнения искомой линии в параметрической форме на плоскости развертки принимают вид В качестве примера рассмотрим построение развертки элемента поверхности касательных (рис. 4.1 а), заданной уравнением Рис. 4.1. Поверхность касательных и ее развертка: а – поверхность касательных;

Кривые r1 (u,0 ) и r2 (u, 8), ограничивающие элемент торсовой поверхности, задаются уравнениями:

Для получения развертки рассматриваемой торсовой поверхности в соответствии с алгоритмом (4.3) выполнено численное интегрирование и построены развертки линий r1 (u ) и r2 (u ). Соответствующий результат представлен на рис. 4.1. Аналогичный результат может быть получен аналитически с учетом того, что кривизна винтовой линии постоянна и интегралы в равенствах (4.3) могут быть вычислены в конечном виде.

4.2. Раскрой элементов поверхностей конструкций с использованием Рассмотрим алгоритм построения математических моделей поверхностей и их разверток на примере четерехклинного шатра, модель которого изображена на рис. 4. представляет собой натяжную конструкцию, опирающуюся на многоугольное основание и натягиваемую при помощи центральной стойки. В общем случае конструктивными параметрами такого шатра являются три величины: высота купола h, радиус окружности, описанной около основания R и количество сторон основания n. В данном примере эти параметры соответственно равны h = 3,5 м, R = 5 м, n = 4. Поверхность шатра составлена из клиньев, каждый из которых будем моделировать поверхностью эллиптического цилиндра.

Первый клин задается уравнением эллиптического цилиндра ограниченного плоскостями где R – радиус окружности, описанной около основания шатра, a и b – полуоси эллипса, = n – половина внутреннего угла сектора шатра (см.

рис. 4.3), n – количество сторон основания шатра.

Полуоси эллипса (см. рис. 4.4) можно выразить через конструктивные параметры шатра, подставляя в уравнение (4.4) координаты точки A и вводя обозначение a = kb :

Математическая модель клина в форме элемента цилиндрической поверхности описывается уравнением функции, задающие направляющие кривые элемента линейчатой поверхности.

Элементы остальных клиньев шатра получены поворотом первого клина относительно оси Oz на углы 2, и 3 2 с помощью соответствующих матриц аффинного преобразования.

Так как данный шатер составлен из элементов цилиндрической поверхности, то для получения выкройки элементов шатра можно использовать метод, изложенный в разделе 4.1. Запишем уравнение направляющей эллиптического цилиндра в следующей параметрической форме:

или для изображенной на рис 4.4 части эллипса находим Тогда уравнение направляющей линии цилиндрической поверхности принимает вид Линия, ограничивающая элемент цилиндрической поверхности шатра, заданная уравнением r2 = r2 (t ), после развертывания цилиндрической поверхности в плоскость O согласно формуле (4.1) описывается равенствами где ds = dx 2 + dz 2.

С учетом найденных выражений получаем уравнение линии кроя Аналогично можно получить уравнение линии кроя, которая соответствует ребру шатра r1 = r1 (t ). Выкройка клина шатра, полученная с помощью разверток линий r1 (t ) и r2 (t ), представлена на рис. 4.5.

Рассмотренную модель тентового шатра можно несколько видоизменить (см. рис. 4.6) для придания визуально воспринимаемой гладкости перехода от одного клина к другому. Для этого разобьем каждый клин (грань) на три элемента, при этом средний элемент на каждой «грани» также моделируется поверхностью эллиптического цилиндра, а крайние элементы моделируются коническими поверхностями.

Рис. 4.6. Модель тентового шатра: а – общий вид модели; б – схема расположения образующих цилиндрических и конических элементов Средний элемент передней «грани» купола (рис. 4.7) зададим уравнением эллиптического цилиндра (4.4), ограниченного плоскостями (при этом используются те же параметры модели, что и в рассмотренном выше случае четырехклинного шатра).

Крайний левый элемент шатра (см. рис. 4.8) на передней «грани»

моделируются уравнением где функция, задающая направляющую кривую r3 (t ) конической поверхности, может быть получена центральным проецированием по формуле (4.18) направляющей кривой r2 (t ) на плоскость y = xtg, при этом центр проецирования расположен в точке M S ( R cos, d,0) в основании шатра. Вид функции r3 (t ) определяется равенством здесь rS = {R cos ; d ; 0} – радиус-вектор вершины конической поверхности, n = {sin ; cos ; 0} – нормаль к плоскости проецирования, r0 = {0; 0; 0} – радиусвектор точки, принадлежащей плоскости проецирования.

Для получения уравнения линии r3 (t ) выполним следующие вычисления Для удобства введем обозначения С учетом введенных обозначений функция, задающая линию r3 (t ), принимает вид На рис. 5.6 приведена поверхность шатра, построенная с помощью приведенной математической модели. При этом средний и крайний левый элементы передней «грани» задавались уравнениями (2.16). Крайний правый элемент передней «грани» находится с помощью преобразования зеркального отражения крайнего левого элемента относительно плоскости Ozx. Элементы остальных «граней» получены преобразованием поворота соответствующих элементов передней «грани» относительно оси Oz на углы 2, и соответственно.

Для получения выкроек клиньев шатра осуществляется развертка цилиндрических и конических элементов в соответствии с алгоритмами, изложенными в разделе 4.1.

выполняется так же, как было рассмотрено выше для четырехклинного тентового шатра с клиньями в форме элементов цилиндрических поверхностей.

Уравнения линий кроя записываются в виде Для построения развертки конического элемента шатра необходимо задать радиус-вектор вершины конической поверхности и ее направляющую линию. Соответствующие рассматриваемому случаю равенства принимают вид Развертку линии r2 (t ) на плоскости развертки конической поверхности находим согласно тождественным формуле (4.2) соотношениям где R – полярный радиус, ds – элементарная дуга разворачиваемой линии, – полярный угол.

В условиях данной задачи входящие в формулу (4.6) величины определяются равенствами При подстановке этих величин в уравнение (4.6) находится одна из линий кроя для конического элемента шатра.

Для получения другой линии кроя необходимо выполнить развертывание кривой r3 (t ), заданной уравнением (4.5) и принадлежащей конической поверхности. Полярный радиус, его приращение и элементарная дуга разворачиваемой линии, входящие в уравнение линии кроя (4.6) в этом случае определяются равенствами При подстановке найденных выражений для R, ds и dR в выражение (4.6) получаем уравнения второй линии кроя конического элемента шатра.

Развертки цилиндрического и конического элементов представлены на рис. 4.9 и 4.10.

примерами и могут быть значительно расширены путем изменения положения направляющих линий цилиндрических и конических линий в пространстве.

Даже ограничиваясь использованием только цилиндрических поверхностей можно получить пространственную конструкцию достаточно сложной формы.

Рассмотрим это подход на примере моделирования купола тентового шатра, изображенного на рис. 4.11. Данный шатер представляет собой наклонную натяжную конструкцию с пятиугольным основанием, натягиваемую при помощи центральной стойки и оттяжек. Поверхность купола шатра составлена из пяти формообразующих элементов – «граней», четыре из которых попарно симметричны.

цилиндрических поверхностей, образованных по заданной базовой кривой произвольного очертания. Аналитически моделирование шатра реализуется на основе метода последовательного параллельного проецирования (см. раздел 2.2) произвольной направляющей линии на плоскости, проходящие через вершину шатра.

В качестве базовой кривой r1 (u ), u1 u u2 взят участок AB эллипса (рис. 4.12) такой, что касательные к нему в крайних точках не параллельны координационным осям (не горизонтальны и не вертикальны). Данная модель кривой имеет пять основных параметров (полуоси эллипса a и b, начальный и конечный параметр u1 и u 2, смещение по вертикали c ), четыре из которых независимы, так как все эти параметры связаны четырьмя уравнениями для координат точек A и B, выражающими зависимость параметров модели от конструктивных параметров шатра. Следовательно, один из параметров можно предварительно назначить. В данном примере назначено отношение полуосей соответствующей системы уравнений.

Базовая направляющая кривая r1 (u ) формообразующих элементов шатра задается уравнением где с учетом связи координат точек A и B (рис. 4.12) с параметрами модели выполняются соотношения здесь h, r, d – конструктивные параметры шатра, а именно: h – высота шатра, r – расстояние по горизонтали от вершины шатра до крайней его точки, d – радиус технологического отверстия в верхней части шатра.

Начальный и конечный параметры определяются на основании равенства (4.7) формулами где точке B соответствует равенство u = u1, а точке A равенство u = u2.

В рассматриваемом примере для конструктивных параметров шатра приняты следующие значения: h = 12 м, r = 4,33 м, d = 0,1 м, k = 1 и тогда параметры базовой кривой a = b = 25,656 м, c = 14,263 м, u1 = 0,088, u2 = 0,589.

Уравнение второй кривой (рис. 4.13), ограничивающей конструктивный параллельного проецирования базовой кривой на вертикальную плоскость с нормалью n1, при этом направление проецирования зададим вектором l1.

Векторы n1 и l1 определяются из соображений организации внутреннего пространства шатра и в данном случае приняты равными Рис. 4.13. Схема расположения граней шатра и их образующих кривых (вид сверху) Уравнение искомой линии в матричной форме, которая эквивалентна соответствующей векторной записи (2.17), имеет вид где A1 – соответствующая матрица параллельного проецирования Тогда математическая модель первого формообразующего элемента (грани 1) задается уравнением параллельным проецированием второй кривой на плоскость с нормалью n2, при этом направление проецирования задать вектором l 2.

где матрица преобразования A2 формируется аналогично матрице A1, а Уравнение второго формообразующего элемента (грани 2) имеет вид Уравнение оставшихся кривых r4 (u ) и r5 (u ) можно получить аффинными преобразованиями отражения относительно плоскости Oyz уравнений третьей и второй кривых соответственно. Аналогично предыдущим записываются и уравнения математических моделей оставшихся формообразующих элементов (граней) формообразующих элементов находятся с помощью формул (4.1), задающих уравнения линий кроя. Для реализации метода получения линий кроя необходимо переписать уравнения кривых r1 (u ) и r2 (u ) в новой системе координат Ox y z, в которой одна их координатных осей, например Oy, параллельна образующей цилиндрической поверхности. Процедура перехода к преобразований поворота вокруг осей Oz и Ox старой системы координат на углы 1 и 2, где 1 – угол между осью Oy и проекцией образующей цилиндрической поверхности на плоскость Oxy, а 2 – угол между образующей цилиндрической поверхности и плоскостью Oxy. Результат построения развертки первого формообразующего элемента представлен на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Развертки граней тентового шатра: а – грани 1; б – грани 2; в – грани Для построения развертки второй грани так же необходимо записать уравнения направляющих кривых r2 (u ) и r3 (u ) в новых системах координат, затем применить предложенный выше общий алгоритм. Для построения развертки элемента третьей грани можно сразу применить алгоритм развертывания цилиндрических поверхностей, задаваемый формулой (4.1), так как ее образующая с учетом симметрии шатра параллельна координатной оси Ox. Развертки граней 2 и 3 представлены соответственно на рис. 4.14. В силу симметрии рассматриваемой пространственной конструкции выкройки первого и второго формообразующих элементов совпадают с выкройками ее пятого и четвертого элементов.

Рассмотренные аналитические алгоритмы раскроя могут быть применены для различных развертывающихся поверхностей, в частности при получении выкроек формообразующих элементов восьмигранного церковного купола (рис. 2.15) и фигурного козырька (рис. 2.16), рассмотренных в разделе 2.2.

Соответствующие выкройки представлены на рис. 4.15 и 4.16.

Технология изготовления пространственных тентовых конструкций с успехом может быть реализована в среде AutoCAD, позволяющей согласно предложенным алгоритмам визуализировать трехмерные модели пространственных конструкций, выполнять расчет линий кроя с применением одного из встроенных языков программирования и получать выкройки с назначенными припусками на швы в требуемом масштабе. Эскизное проектирование пространственных конструкций и их выкроек целесообразно проводить с использованием универсальных математических систем, приспособленным для символьного и численного решения математических задач – Mathematica, Maple, Mathlab, Mathcad.

Непосредственный крой может быть выполнен и без предварительного изготовления выкроек элементов конструкции, а осуществляться на станках с числовым программным управлением для резки листовых материалов, в которых информация о линиях кроя закладывается программными средствами на основе рассмотренных алгоритмов.

Выводы по главе 1. Предложены аналитические алгоритмы построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки для раскроя конструкций из листовых материалов, в частности элементов виниловых тентовых конструкций.

2. На примерах тентовых шатров и куполов проиллюстрировано применение предложенных алгоритмов построения разверток как для поверхностей, задаваемых непрерывными аналитическими функциями, так и для поверхностей, задаваемых кусочно-гладкими функциями, задаваемыми на каждом участке произвольными аналитическими кривыми или сплайнами.

3. Предложенная технология апробирована при проектировании и изготовлении легких тентовых павильонов из виниловых тканей с использованием прикладных пакетов, поддерживающих реальный масштаб.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований, в соответствии с поставленной целью и решаемыми задачами, были достигнуты следующие результаты.

1. Получены математические модели для формообразования сводов, куполов и оболочек на круглом и прямоугольном плане, позволяющие работать с частью поверхности, необходимой для решения практической задачи, и непосредственно использовать конструктивные параметры конструкции при ее моделировании.

2. Построен новый класс поверхностей, называемых регулярными коноидами и регулярными цилиндроидами, для которых точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределены равномерно, благодаря чему возможно равномерно располагать армирующие элементы или элементы опалубки при проектировании или изготовлении конструкций.

3. Проведенное исследование показало, что кинематический метод моделирования однополостных гиперболоидов и гиперболических параболоидов с использованием операции переноса их прямолинейных образующих позволяет упростить расчеты и технические операции при изготовлении и возведении строительных конструкций на основе этих поверхностей.

4. Разработаны алгоритмы трансформации поверхностей с применением линейных преобразований при построении математических моделей пространственных конструкций.

5. С использованием аналитических методов разработан алгоритм и на его основе реализован программный комплекс по построению разверток элементов конических и цилиндрических поверхностей, ограниченных произвольными линиями.

ПРИЛОЖЕНИЕ Для модели сферического купола должно выполняться соотношение r H. Определим, при каком соотношении конструктивных параметров будет выполнятся заданное неравенство. Подставим в уравнение (1.4) координаты двух точек, лежащих на образующей: z = 0, = R2 и z = H 1, = R1 :

Из первого уравнения системы (П2.1) находим и подставляя найденное для r выражение во второе уравнение системы (П2.1) получим или Решая квадратное уравнение, находим С учетом, что H > 0, получим Найдем r, для этого вычтем из первого уравнения системы (П2.1) второе отсюда Окончательно находим выражения для параметров математической модели:

параметры следует принимать такими, чтобы, как и для купола без отверстия, выполнялось неравенство Подставим в уравнение (1.4) координаты двух точек, лежащих на образующей:

Из первого уравнения системы (П2.2) находим и подставляя найденное для r выражение во второе уравнение системы (П2.2) получим или Решая квадратное уравнение, находим Найдем r, для этого вычтем из первого уравнения системы (П2.2) второе отсюда Окончательно находим выражения для параметров математической модели:

Величины a и H для параболического купола с отверстием находятся с использованием уравнения (1.7). Для этого надо подставить в него координаты двух точек, лежащих на образующей z = 0, = R2 и z = H 1, = R1, затем решить систему полученных уравнений:

Вычитая из первого уравнения системы второе, получим тогда Полуоси эллипса, входящие в математическую модель эллиптического купола, выразим через его конструктивные параметры, используя уравнение (1.8), подставляя в него координаты точки, лежащей на образующей, z = 0, = R и обозначая k = a b :

тогда Для эллиптического купола с отверстием полуоси a и b эллипса, а также подстановкой в выражение (1.8) координат двух точек на образующей купола z = 0, = R2 и z = H 1, = R1 соответственно, с учетом обозначения k =.

Выразим из первого уравнения системы (П2.3) величину b и подставим найденное выражение во второе уравнение системы (П2.3) Раскрыв скобки и приведя подобные, получим квадратное уравнение относительно H :

решая которое с учетом H > 0, находим Полуось эллипса b найдем, вычитая из первого уравнения системы (П2.3) второе:

отсюда гиперболического купола, выразим через его конструктивные параметры, используя уравнение (1.10), подставляя в него координаты точки, лежащей на образующее купола z = 0, = R и обозначая k = a b :

тогда Для гиперболического купола с отверстием параметры a и b гиперболы, а также размер H определяются решением системы уравнений, полученных подстановкой в выражение (1.10) координат двух точек на образующей купола z = 0, = R2 и z = H 1, = R1 соответственно, с учетом обозначения k = a b :

Выразим из первого уравнения системы (П2.4) параметр b и подставим найденное выражение во второе уравнение системы (П2.4) Раскрыв скобки и приведя подобные, получим квадратное уравнение относительно H :

решая которое, находим Параметр b найдем, вычитая в системе уравнений (П2.4) из первого уравнения второе отсюда Предложенный в разделе 3.1 чередующийся сплайн обладает гладкостью первого порядка. Для доказательства этого введем обозначения:

f1 – кубическая функция, задающая сплайн на первом участке, 0 t t2, f3 – кубическая функция, задающая сплайн на третьем участке, t3 t t4, на втором участке, t2 t t3, и найдем производные от функции, задающей сплайн на втором участке:

При t = t2 из условий формирования чередующихся сплайнов следует f 3 (t2 ) = f1 (t2 ), тогда а при t = t3 также f 3 (t3 ) = f1 (t3 ) и следовательно, чередующийся сплайн имеет гладкость первого порядка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Адамович А.Б., Вестяк В.А. Трехмерные геометрические модели в среде AutoCAD // Электронная геометрия. – Вып. 9, №19 (2007). – С.75-86.

Александрович В.П. Инженерный способ конструирования циклических поверхностей и его приложения // дисс. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. – Алимов Р. Алгоритмизация конструирования и развертывания торсовых поверхностей в приложении к автоматизации построения разверток фасонных частей трубопроводов // дис....канд. техн. наук. – Самарканд, Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. – М.:

Наука, 1987. – 160 с.

Авиационная техника, 1975, №4. – С.21-23.

конструкций. – Киев: Наук. думка, 1982. – С. 3-12.

Ариарский О.Е., Шагалова И. В., Кравченко Т. В., Кулакова Е.А.

Формообразование зонтичных оболочек и их применение в архитектуре и дизайне // Сборник «Праці ТДАТУ». – Мелітополь: ТДАТУ, 2011. – Вип.

4. Т.49. – С. 178-190.

Ачкасов Ю.А. Проектирование разверток многовершинных поверхностей с помощью модулей // Прикладная геометрия и инженерная графика. – К.:

Будiвельник, 1979. вып. 28. – С. 80-82.

Беляева З.В., Ефремов Н.С. Определение матриц эффективных жесткостей микронеоднородных материалов и разрушение: тезисы докладов 5-й Всерос. конференции. – Екатеринбург, 2008. – С. 111.

пространственных конструкций // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета: научно-технический журнал. – Томск: ТГАСУ, 2010. – № 1 (26). – С. 53-63.

11. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Использование аналитических методов при конструкций // Промышленное и гражданское строительство. – М.: Изд-во ПГС, 2012. – №2. – С. 29-31.

каналовых поверхностей // Прикладная геометрия: электронный журнал. – http://www.mai.ru/~apg/Volume12/v12_n25.htm 13. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование гипаров // Строительство и образование: сб. науч. тр. – Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. – №10. – 234 с.

14. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование сводов и куполов // Строительство и образование: сб. науч. тр. – Екатеринбург:

УГТУ-УПИ, 2008. – №11. – 235 с.

15. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование элементов естественных науках: тезисы докладов 16-й Всерос. конференции молодых ученых. – Пермь: ПГТУ, 2007. – 118 с.

16. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование элементов естественных науках: сб. трудов 16-й Всерос. конференции молодых ученых. – Пермь: ПГТУ, 2007.

17. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование элементов поверхностей // Математическое моделирование в естественных науках:

тезисы докладов 17-й Всерос. конференции молодых ученых. – Пермь:

ПГТУ, 2008. – 91 с.

18. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Определение внутренних усилий в натяжных конференции молодых ученых по приоритетным направлениям развития науки и техники: сборник статей. В 3 ч. – Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2009. – Ч. 3. – С. 257- 19. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Применение метода параллельного и центрального проецирования при формообразовании и раскрое линейчатых элементов пространственных конструкций // Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов 19-й Всерос.

конференции молодых ученых. – Пермь: ПГТУ, 2010.

20. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Проектирование и раскрой тентовых конструкций // Математическое моделирование в естественных науках:

тезисы докладов 18-й Всерос. конференции молодых ученых. – Пермь:

ПГТУ, 2009. – 123 с 21. Беляева З.В., Митюшов Е.А., Митюшова Л. Л. Гладкие отображения поверхностей Математическое моделирование и компьютерный инженерный анализ: тезисы докладов 5-й Рос. науч.-техн. конференции. – Екатеринбург, 2008. – 95 с.

22. Беляева З.В., Митюшов Е.А., Митюшова Л. Л. Проектирование натяжных конструкций // Строительство и образование: сб. науч. тр. – Екатеринбург:

УГТУ-УПИ, 2009. – №12. – 280 с.

23. Беляева З.В., Митюшов Е.А.Использование аналитических методов при формообразовании и раскрое линейчатых элементов пространственных строительных конструкций // XXXIX Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно- практической конференции. Ч. I. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – С. 361-362.

24. Беляева З.В., Митюшов Е.А.Формообразование и раскрой линейчатых элементов пространственных конструкций // Монтажные и специальные работы в строительстве: научно-технический и производственный журнал.

– М., 2011. – № 2 (826). – С. 7-10.

25. Битюков Ю.И. Моделирование кривых и поверхностей с помощью кубических В-сплайнов // Прикладная геометрия. Applied Geometry [Электронный ресурс]. – М.: МАИ, 2005. – №14; вып. 7. – С. 1-11.

26. Битюков Ю.И. Моделирование кривых и поверхностей с помощью кубических В-сплайнов. Случай равномерной сетки // Прикладная геометрия. Applied Geometry [Электронный ресурс]. – М.: МАИ, 2005. – №14; вып. 7. – С. 13-27.

27. Блинов Ю.И. Тентовые конструкции. – М.: Знание, 1985.

28. Блиок А.В. Графоаналитическое конструирование поверхностей каналового типа по наперед заданным площадям поперечных сечений // Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. – Киев: КПИ, 1970. – 29. Боженко И.А. Современные концепции проектирования в архитектуре // Стройкомплекс среднего Урала. – 2009, № 5 (128). – С. 24-27.

30. Бурцева С. В. Численный пример расчета волнистой конической оболочки // Исследования по расчету пластин и оболочек. – Ростов н/Д.: РИСИ, 1982. – С. 120-123.

31. Вакарчук С.Б. О приближении кривых, заданных в параметрическом виде, при помощи сплайн-кривых // Украинский математический журнал. – 1983. – №3 (35). – С. 352-355.

32. Вартанян О.М. Некоторые теоретические вопросы формирования трансформируемых складчатых структур в архитектуре // Автореф. дисс.

на соиск.. канд. техн. наук. – Москва, 1976.

33. Василевский О.В. Проектирование разветвляющихся каналов. // Прикладная геометрия и инженерная графика. – Киев: Будiвельник, 1980.

– Вып. 29. С. 45-49.

34. Вексляр В.Я. Кинематический метод геометрического моделирования производства // Дисс. на соиск. ст. канд. техн. наук. – С.-Пб., 2002. – 239 с.

35. Вексляр В.Я. Методология проектирования корабельных обводов и выступающих частей // Тр. 2-й междунар. конф. по судостроению-ISC'98.

–1998. – Секция А, Том 2. С. 68-79.

36. Волкомор А.А. Вопросы классификации кривых поверхностей, применяемых в покрытиях // Прикладная геометрия и инженерная графика. – Киев, 1965. – Вып. 1. – С.104-109.

37. Волошинов Д.В. Использование методов геометрического моделирования для автоматизированного проектирования и исследования сложных технических поверхностей Науч.-техн. ведомости СанктПетербуржского государственного политехнического университета. – 38. Высоцкая Н.Н., Иерусалимский А.М., Невельсон Р.А., Федоренко В.А.

Машиностроение, 1968. – 272 с.

39. Голов Г.М. Архитектурное формирование объемно-пространственной структуры кристаллических купольных оболочек // Автореф. дисс. на соиск. ст. канд. техн. наук. – Москва, 1976.

40. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. – М.: Физматлит, 2002. – 41. Готман А.Ш. Проектирование обводов судов с развертывающейся обшивкой. – Л.: Судостроение, 1979.

42. Готман А.Ш. Проектирование хорошо обтекаемых судовых обводов из развертывающихся поверхностей. – Л.: Судостроение, 1974.

43. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. – М.: Радио и связь, 1987. – 72 с.

44. Докула С.М. Место зонтичных куполов в современной архитектуре Stroitelstvo/3_dokula%20s.m..doc.htm (дата обращения: 19.01.2012) 45. Дубанов А.А. Численно-аналитическое построение линий пересечения поверхностей методом Драгилева // Электронный журнал «Прикладная геометрия». – Вып 9, № 19 (2007). – С. 1-12.

46. Дыховичный Ю.А., Жуковский Э.З. Пространственные составные конструкции: учеб. пос. для студ. по спец. «Пром. и гражд. строит.» – М.:

Высшая школа, 1989.

47. Дыховичный Ю.А., Жуковский Э.З., Ермолов В.В. и др. Современные пластмассы): Справочник; под ред. Ю.А. Дыховичного, Э.З. Жуковского.

– М.: Высшая школа, 1991. – 543 с.

48. Ермолов В.В., Бэрд У.У., Бубнер Э. и др. Мягкие оболочки: справочник современные пространственные конструкции. – М., 1988.

49. Ермолов В.В., Бэрд У.У., Бубнер Э. и др. Пневматические строительные конструкции / под ред. В. В. Ермолова. – М.: Стройиздат, 1983. – 439 с.

50. Жуковский Э.З. Составные оболочки, конструкции и исследования // Большепролетные пространственные конструкции. – М.: МНИИТЭП, 51. Замятин А.В. Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка // дис....д-ра. техн. Наук. – Н.

Новгород, 2007. – 137 с.

52. Зелев В.П. Исследование машинных методов проектирования и расчета каналовых поверхностей сложных технических форм // Дисс. на соиск. уч.

ст. канд. техн. наук. – М., 1977. – 168 с.

53. Иванов В.Н. Оболочки со срединными нормальными циклическими поверхностями // Монтажные и специальные работы в строительстве. – 2006, № 5. – С. 10-12.

54. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Конструирование зонтичных оболочек из отсеков циклических оболочек переноса // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2011, № 1. – С. 3-7.

55. Иванов В.Н., Шамбина С.Л. Зонтичные оболочки из отсеков циклических поверхностей переноса на различных типах базовых поверхностей вращения // Сборник «Праці ТДАТУ». – 2011, Вип.4, Т.51. – С. 9-15.

56. Ильин В.А. Аналитическая геометрия: учебник для университетов / В.А.

Ильин, Э.Г. Позняк. М.: Наука, 1988. 224 с.

57. Камилов С.С. универсальные законы В.Г. Шухова в области разработки эффективных конструктивных форм строительных конструкций // Промышленное и гражданское строительство. – 2003, №6. – С. 8-9.

58. Карабчевский В.В., Пашинская А.В. Моделирование процесса нацiонального технiчного унiверситету. Серiя «Iнформатика, кiбернетика та обчислювальна тхнiка». – Донецк, 2008. – Випуск 9 (132). – С. 163-167.

59. Качурин В.К. Гибкие нити с малыми стрелками. – М.: Гостехтеоретиздат, 60. Козлова О. Завтра начинается сегодня // Вокруг света. – М.: Изд-во «ВОКРУГ СВЕТА», 2005. – №12 (2783).

61. Коротич М.А., Коротич В.А. Композиционные особенности структурного формообразования оболочек высотных зданий // Академический вестник УралНИИПроект РААСН. – 2009, № 2. – С. 66-69.

62. Коуэн Г.Дж. Мастера строительного искусства: история проектирования сооружений и среды обитания со времен Древнего Египта до 19 века. – М.

: Стройиздат, 1982. – 359 с.

63. Коуэн Г.Дж. Строительная наука 19-20 вв.: проектирование сооружений и систем инженерного оборудования. – М. : Стройиздат, 1982. – 359 с.

64. Краткий исторический очерк // http://building.pbo.ru/prerequisite.html.

65. Кривошапко С.Н. Геометрические исследования поверхностей зонтичного типа // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2005, № 1. – С. 11-17.

66. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек. – М.: Изд-во 67. Кривошапко С.Н. К проектированию торсовых оболочек по двум заданным краевым элементам // Строительная механика и расчет сооружений. – 1987, №3. – С. 19-22.

68. Кривошапко С.Н. Коноидальные оболочки// Монтажные и специальные работы в строительстве. – 1998, № 6. – С. 22-24.

69. Кривошапко С.Н. Модельные поверхности соединительных участков двух трубопроводов // Монтажные и специальные работы в строительстве. – 2005, № 10. – С. 25-29.

70. Кривошапко С.Н. Новые примеры поверхностей зонтичного типа и их коэффициенты основных квадратичных форм // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2005, № 2. – С. 6-14.

71. Кривошапко С.Н. Параболические оболочки вращения // Монтажные и специальные работы в строительстве. – 1999, № 12. – С. 5-12.

72. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности для перекрытия заданного прямоугольного плана // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. – 2002, № 1. – С. 47-51.

73. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: справочник. – М.:

74. Кривошапко С.Н., Алборова Л.А. Формообразование оболочек в архитектуре. – М.: Изд-во РУДН, 2008. – 48 с.

75. Кривошапко С.Н., Барамзин А.Д. О применении торсовых оболочек // Военно-строительный бюллетень. – 1979, №2. – С.15-16.

76. Кривошапко С.Н., Басов Ю.К., Якушина А.А. Исследования по расчету и инженерных конструкций и сооружений. – М.: Изд-во АСВ, 2001. – Вып.10. – С. 7-14.

77. Кривошапко С.Н., Емельянова Ю.В. К вопросу о поверхности вращения с специальные работы в строительстве. – 2006, № 2. – С. 11-14.

78. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. – М. : Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2010. – 556 с.

79. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Зонтичные поверхности и поверхности зонтичного типа в архитектуре // Промышленное и гражданское строительство. – 2011, № 7.

80. Кривошапко С.Н., Олодо Эссе Эммануэль. О построении торсовой поверхности с направляющими параболами произвольного порядка // Исследования по строительной механике пространственных систем: сб.

науч. Трудов. – М.: УДН, 1990. – С. 32-37.

81. Крутов А.В. Геометрические модели на основе гармонической пропорции // Математические модели и операторные уравнения. Т.2. – Воронеж, 2003. – С. 90-93.

82. Крутов А.В. Исследование свойств ортогональных траекторий образующих торсовой поверхности // Вестн. фак. прикладной математики и механики. – Воронеж, 2002. – Вып. 3. – С. 131-138.

83. Крутов А.В. Кинематико-геометрическое моделирование в задачах механики и прикладной математики // дисс. на соиск. ст. д-ра физ.-мат.

наук. – Воронеж, 2003. – 465 с.

84. Крутов А.В. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели: Монография. – М.: Издательство РУДН, 2001. – 252 с.

85. Ларионов В.В., Морозов Е.П. В.Г. Шухов – основоположник гражданское строительство. – 2003, №6. – С. 3-6.

86. Лебедев В.А. Тонкостенные зонтичные оболочки. – Л. : Госстройиздат, 87. Лебедев Н.В. Фермы, арки, тонкостенные пространственные конструкции.

– М.: Архитектура-С, 2006. – 120 с.

88. Лелюшенко С.И. Исследование и управление дифференциальногеометрическими свойствами некоторых каналовых поверхностей типа "фюзеляж-мотогондола" //

Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук. – М.: МАДИ, 1976. – 20 с.

89. Липницкий М.Е. Купола (расчет и проектирование). – Л.: Стройиздат, Ленинградское отд-ние, 1973. – 129 с.

90. Лисяк В.В., Лисяк М.В. Об одном классе задач геометрического моделирования трехмерных объектов САПР // Известия Южного федерального университета. Технические науки. – 2009, №4. Т. 93.

91. Макутов В.И. Конструкторские и технологические аспекты проектирования поверхностей сложных технических форм с применением аппарата математического моделирования // Автореф. дисс. на соиск. уч.

ст. канд. техн. наук. – М., 1970. – 20 с.

92. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю.В. Прохоров;

ред. кол. С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д.

Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. М.: Сов. энциклопедия, 1988.

93. Мельников Н.П., Савельев В.А., Мухин Б.Г. Формообразование сетчатых оболочек переменной кривизны // Научные исследования в области теоретических основ проектирования большепролетных покрытий: труды ЦНИИПСК. – 1979. – Вып. 22.. – С. 32-39.

94. Металлические конструкции академика В.Г. Шухова / под ред. В.П.

Мишина. – М.: Наука, 1990.

95. Митюшов Е. А. Математические основы компьютерной геометрии: учеб.

пособие / Е. А. Митюшов, Л. Л. Митюшова. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, пространственных конструкций. – LAP Lambert Academic Publishing, 2011.

97. Михайлов В.В., Хорошилов Е.А. Расчет тросового купола с тентовым покрытием / // Промышленное и гражданское строительство. – М.: Изд-во ПГС, 2007. – №5. – С. 58.

конструкций с плоской разверткой поверхности из модульных элементов // дисс. на соиск. ст. д. техн. наук. – Пенза, 2006. – 336 с.

99. Морозов Е.П. Сетчатые башни: идеи и конструкции // Промышленное и гражданское строительство. – 2003, №6. – С. 14-15.

формообразования (1990-2000 гг.) // Дис. на соиск. уч. ст. канд.

архитектуры. – М., 2003. – 279 с.

101. Мыскова О.В. Тентовые сооружения в современной архитектуре // Промышленное и гражданское строительство. – 2003, № 7. – С. 44-46.

102. Найханов В.В., Павлова С.В. Построение разверток при проектировании одежды [Электронный ресурс] // Тр. междунар. конф. по компьютерной графике и ее приложениям «ГрафиКон-98» 7-11 сентября 1998. – М., 1998.

103. Некрасова О.И. Геометрическое моделирование и автоматизация проектирования групп каналовых поверхностей // дисс. на соиск. уч. ст.

канд. техн. наук. – М., 1984. – 171 с.

104. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики.

– СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 560 с.

105. Новиков А.А. Hi Tech Нормана Фостера над Британским Музеем http://www.forma.spb.ru/magazine/articles/t_007/main.shtml (дата обращения:

12.06.2010).

106. Новиков А.А. Онтология сетчатых оболочек [Электронный ресурс]. URL:

http://www.forma.spb.ru/magazine/articles/t_001/main.shtml 107. Новиков А.А. Павильон Японии на выставке ЭКСПО 2000 [Электронный ресурс]. URL: http://www.forma.spb.ru/magazine/articles/t_004/ main.shtml 108. Обухова B.C., Василевский О.В. Применение метода сложения выпуклых кривых к конструированию каналовых поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика. – Киев: Будiвельник, 1978. – Вып. 26. – 109. Ордабаев А. Архитектор Френк Гэри. http://www.stroyk.kz/articles/index.php?id_article= 110. Ордабаев А. Норман Фостер и хай-тэк //. – http://www.stroyk.kz/articles/?id_article= 111. Осипов В.А., Осипова Л.И. Теоретические основы каркаснокинематического метода направляющей линии // Изв. вузов. Сер.

Авиационная техника. – 1980, №4. – С. 48-53.

112. Отто Фрей, Фридрих-Карл Шлейер. Тентовые и вантовые конструкции. – М.: Стройиздат, 1970. – 176 с.

113. Отто Фрей. Висячие покрытия. – М.: Госстройиздат, 1960. – 180 с.

114. Павлова С.В., Аюшев Т.В. Описание виртуальной модели изделия в индустрии моды с позиции геометрического моделирования формы // Вестник ВСГТУ. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2007, № 3. – С. 32-35.

115. Павлова С.В., Аюшев Т.В., Найханов В.В. К вопросу геометрического проектирования изделий индустрии моды // Вестник ВСГТУ. – Улан-Удэ:

Изд-во ВСГТУ, 2009, № 3 – С. 32-35.

116. Панасюк Л.С. Оптимальная аппроксимация и развертывание каналовых поверхностей технических форм // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук.

– Киев, 1977. – 174 с.

117. Петров В.А. Зонтичная многосекторная оболочка // Патент России № 2198990. 2003.

118. Полозов B.C., Будеков O.A., Ротков С.Н. и др. Автоматизированное Машиностроение, 1983. – 280 с.

119. Попов А.Н., Казбек-Казиев З.А., Файбишенко В.К. Современные пространственные конструкции. Сборник. – М.: Знание, 1976. – 48 с.

120. Попов Е. В. FABRIС CAD система проектирования тентовых конструкций / Е.В. Попов, А.И. Тарасов // Тр. междунар. конф. «Графикон –2001». – Н.

Новгород : НГАСУ, 2001. – 10-15 сентября. – С. 150-153.

121. Попов Е.В. Метод натянутых сеток в задачах геометрического моделирования // дисс. на соиск. уч. ст. д-ра. техн. наук. – Н. Новгород, 122. Попов Е.В. Построение карт раскроя полотнищ парусного оснащения // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика:

дисциплин. – Н.Новгород: ННГАСУ, 2000. – Вып. 6. – С.75-83.

123. Попов Е.В. Построение разверток поверхностей одинарной и двоякой кривизны // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин. – Н.Новгород: ННГАСУ, 2000. – Вып. 5. – С. 272-276.

124. Попов Е.В., Тарасов А.И. FABRIС CAD система проектирования тентовых конструкций // Тр. междунар. конф. «Графикон –2001». – Н. Новгород:

НГАСУ, 2001. – 10-15 сентября. – С. 150-153.

125. Попов Е.В., Шалимов В.Н., Шалимова К.В. Построение кратчайших линий на поверхности полотнищ тентовых тканевых конструкций // Машиностроение, 2009, №12. – С. 17-20.

126. Попов, Е.В. FABRIС CAD система проектирования тентовых конструкций / Е.В. Попов, А.И. Тарасов // Тр. междунар. конф. «Графикон –2001». – Н.

Новгород : НГАСУ, 2001. – 10-15 сентября. – С. 150-153.

127. Пространственные покрытия / под общей ред. Г. Рюле. Т.1. Железобетон, армоцемент. – М.: Стройиздат, 1973. – 305 с.

128. Пространственные покрытия / под общей ред. Г. Рюле. Т.2. Металл, пластмассы, керамика, дерево. – М.: Стройиздат, 1974. – 248 с.

129. Разновидности пневматических оболочек // http://building.pbo.ru/info.html.

130. Райт Д.Т. Большепролетные сетчатые оболочки. Том I. – М.: Стройиздат, 131. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.-Л.: ГИТТЛ, 132. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии:

монография. – М.: УДН, 1988. – 176 с.

133. Рекомендации по проектированию структурных конструкций. – М.:

ЦНИИСК им. Кучеренко, 1984.

134. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. – М.:

Машиностроение, 1980. – 240 с.

135. Роу Д. Гауди. Архитектор и художник. – М.: Белый Город, – 2009. – 208 c.

136. Рыбкин И.С. Компьютерное математическое моделирование гофрированных и иных элементов схожей геометрии // Промышленное и гражданское строительство. – М.: Изд-во ПГС, 2008. – №4. – С. 53-54.

137. Рыжев H.H., Ачкасов Ю.А. Многогранные многовершинные поверхности, развертывающиеся на плоскость без нарушения непрерывности и однозначности // Прикладная геометрия и инженерная графика. – К.:

Будiвельник, 1975. – Вып. 20. – С. 20-22.

138. Санчес-Аркас М. Оболочки (Железобетонные оболочки и складки, их формы. Висячие системы покрытий). – М., 1964. – 172 с.

139. Сахновский К.В., Горенштейн Б.В., Линецкий В.Д. Сборные тонкостенные пространственные и большепролетные конструкции. – Л.: Стройиздат, http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t= 141. Скидан И.А. Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах // Автореф. дис. д-ра техн. наук.

– М.: МАДИ, 1989. – 36 с.

142. Тонкостенные пространственные конструкции в зданиях различного назначения // Обзорная информация. Зарубежный и отечественный опыт в строительстве. – М.: Госстрой, 2004. – Вып. №2 от 23.06.2004.

143. Трофимов В.И., Бегун Г.Б. Структурные конструкции (исследование, расчет и проектирование). – М., 1972. – 272 с.

144. Трущев А.Г. Пространственные металлические конструкции. – М., 1983. – 145. Туполев М.С. Геометрия сборных сферических куполов // Архитектура СССР. – 1969, №1, – С. 35-41.

Росвузиздат, 1963. – 128 с.

147. Тур В.И. Купольные конструкции: формообразование, расчет, конструирование, повешение эффективности: учеб. пособие. – М.: АСВ, 148. Хайдуков Г.К., Смирнова Е.М. Пространственные большепролетные конструкции покрытий. Зарубежный опыт. – М.: ВНИИИС, 1980. – 53 с.

149. Хасанов В.Х. Разработка и исследование метода геометрического моделирования и расчета многопараметрических линий и поверхностей // Дисс. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. – М., 1982. – 158 с.

150. Хвыля И. К. Зонтичные оболочки для объектов городского дизайна // Вiсник ХДАДМ. – 2006, № 2. – С. 95-99.

государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. – 2008, №25. – С. 51- 152. Хейфец А.Л., Ерохин С.В. ЗD-моделирование частных случаев пересечения поверхностей второго порядка в пакете AutoCAD //Вестник ЮУрГУ. Сер. Строительство и архитектура. – 2003. – Вып. 2, № 7(23). – С.

пересечения эллиптических конусов при их двойном соприкосновении.

AutoCAD //GraphicCon'2006: Труды 16-й Международной конференции по компьютерной графике и ее приложениям. – Новосибирск: Прайс-курьер, 2006. – С. 128-133.

154. Хейфец А.Л., Логиновский А.Н. Новые возможности 3D-Moдeлирования линейчатых поверхностей в AutoCAD 2007 //Состояние проблемы и тенденции развития графической подготовки в высшей школе: сб. тр.

Всероссийского совещания заведующих кафедрами графических дисциплин вузов РФ, 20-22 июня 2007 г., г. Челябинск. – Челябинск: Издво ЮУрГУ, 2007. – Т. 2. – С. 125-133.

155. Цейтлин А.А., Белецкий Ю.И. Тонкостенные волнистые покрытияоболочки промышленных зданий // Промышленное строительство. – 1962, 156. Шикин Е. В., Плис Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера.

Руководство по сплайнам для пользователей. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 157. Щедров В.С. Основы механики гибкой нити. – М.: Машгиз, 1961. – 172 с.

158. Энгель Х. Несущие системы / Хайно Энгель. – М. : АСТ : Астрель, 2007. – 159. Ядгаров Д.Я., Шоломов И.Х. Применение дифференциальных уравнений к конструированию ротативных поверхностей с аксоидами торс-торс // Исслед. в области теории дифференциальных уравнений и теории приближений. – Ташкент, 1982. – С. 96-100.

160. Bird W.W. Teflon-coated fiberglass, an outstanding new material for fabric structures. Research report IASS Working Group of Pneumatic Sructures.

Yokohama National Universury, 1978. P. 2-18.

161. Faber, C., Candela..., N. Y., 162. Hoschec J. Approximation of surfaces of revolution by developable surfaces // J. Hoschec // Computer-Aided Design № 10, V 30, 163. Leopoldseder S. Approximation of developable surface with cone spline surfaces // S.Leopoldseder, H. Pottmann // Computer-Aided Design № 7, V 30, 164. Leopoldseder S. Cone spline surfaces and spatial arc splines – a sphere geometric approach // S.Leopoldseder // Advanced in computational mathematics № 1-2, V 17, 165. Lopez Diaz L.F. Asymmetrical hyperbolic paraboloid groin vaults. Journal of the international association of shell and spatial structures. IASS vol 39 (1998) n.128 h. 175- 166. Mirza J. F. Stresses and deformations in umbrella shells // Proc. ASCE, 93, N CT2, Apr. 1967. P. 271-286.

167. Popov E.V. Cutting pattern generation for tent type structures. The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, 1999. – Vol. 22, # 4/ – P.253-261.

168. Popov E.V. Geometrical Modeling of Tent Fabric Structures with the Stretched Grid Method // Proceedings of the 11th International Conference on Computer Graphics&Vision GRAPHICON'2001. – Nizhny Novgorod, 2001. – P. 138Tabarrok B., Qin Z..Form Finding and Cutting Pattern Gen-eration for Fabric Tension Structures, -Microcomputers inCivil Engineering J., N 8, 1993.

170. Wang C.L. On increasing the developability of a trimmed NURBS surfaces / Charlie C.L.Wang, Yu Wang, Matthew M.F. Yuen // Computer-Aided Design 171. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C1%E0%F8%ED%FF_%EF%EE%F0%F2%E0_ %CA%EE%E1%E 172. http://spalex.narod.ru/WhoIsWho/who_calatrava.html 173. http://tent.k3info.ru/ 174. http://www.forma.spb.ru/magazine/articles/t_007/main.shtml 175. http://www.sak.ru/reference/style/style1-1.html 176. http://www.stroymir.com.ua/index.php?page=news&id=169&start=450&analiti 177. http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/1112/ №5 май