«РАЗРАБОТКА МЕТОДА РАСЧЕТА ОБДЕЛОК КОЛЛЕКТОРНЫХ ТОННЕЛЕЙ, ВОССТАНОВЛЕННЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ БЕСТРАНШЕЙНОЙ ТЕХНОЛОГИИ ...»

ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

На правах рукописи

ЛЕВИЩЕВА Оксана Михайловна

РАЗРАБОТКА МЕТОДА РАСЧЕТА ОБДЕЛОК

КОЛЛЕКТОРНЫХ ТОННЕЛЕЙ, ВОССТАНОВЛЕННЫХ

С ПРИМЕНЕНИЕМ БЕСТРАНШЕЙНОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Специальность 25.00.20 – «Геомеханика, разрушение горных пород,

рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Саммаль А.С.

Тула 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБДЕЛКИ

КОЛЛЕКТОРНОГО ТОННЕЛЯ, ВОССТАНОВЛЕННОГО

СПОСОБОМ «ТРУБА В ТРУБЕ»

3. МЕТОД РАСЧЕТА ОБДЕЛКИ КОЛЛЕКТОРНОГО ТОННЕЛЯ,

ВОССТАНОВЛЕННОГО БЕСТРАНШЕЙНЫМ СПОСОБОМ

3.1. Переход к задаче теории аналитических функций комплексного переменного 3.2. Представления комплексных потенциалов 3.3. Аналитическое продолжение комплексных потенциалов 0 z, 0 z в верхнюю полуплоскость через прямолинейную ~ ~ границу L0 3.4. Конформное преобразование. Представление комплексных потенциалов и формулировка граничных условий в отображенной области 3.5. Решение краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного 3.6. Формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений 3.7. Определение коэффициентов Tk( s )( j ) и величин q в зависимости от вида рассматриваемой нагрузки 3.7.1. Действие собственного веса грунта (задача 1) 3.7.2. Действие внешнего давления грунтовых вод (задача 2) 3.7.3. Действие давления жидкости, заполняющей тоннель в период водосброса (задача 3) 3.7.4. Действие нагрузки, обусловленной весом зданий и сооружений на поверхности (задача 4) 3.8. Определение напряжений в среде и в слоях кольца 3.9. Алгоритм расчета 3.9.1. Задание исходных данных 3.9.2. Последовательность вычислительных операций 3.10 Проверка точности удовлетворения граничных условий 3.11. Сравнение результатов расчета с данными, полученными другими авторами 3.12 Пример определения напряженного состояния обделки коллекторного тоннеля, восстановленного бестраншейным способом 3.12.1. Результаты расчета обделки на действие гравитационных сил (собственного веса грунта) 3.12.2. Результаты расчета обделки на действие внешнего давления грунтовых вод 3.12.3. Результаты расчета обделки на действие внутреннего напора жидкости (в период водосброса). 3.12.4. Результаты расчета обделки на действие равномерно распределенной нагрузки на поверхности 3.12.5. Результаты расчета обделки на действие нагрузки, движущейся на поверхности

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛКИ КОЛЛЕКТОРНОГО ТОННЕЛЯ,

ВОССТАНОВЛЕННОГО БЕСТРАНШЕЙНЫМ СПОСОБОМ, ОТ

ОСНОВНЫХ ВЛИЯЮЩИХ ФАКТОРОВ

4.1 Исследование зависимости экстремальных нормальных тангенциальных напряжений в обделке восстановленного тоннеля при действии собственного веса грунта от основных влияющих факторов 4.1.1. Исследование зависимости напряженного состояния обделки от положения центра протянутой трубы ПЭ 4.1.2. Исследование зависимости напряженного состояния от отношения модулей деформации пород и материала внешнего слоя обделки восстановленного коллекторного тоннеля 4.2 Исследование зависимостей напряженного состояния восстановленной обделки коллекторного тоннеля при действии давления грунтовых вод 4.2.1 Исследование зависимости максимальных нормальных тангенциальных напряжений от уровня грунтовых вод 4.2.2 Исследование зависимости максимальных нормальных 4.3 Исследование зависимостей напряженного состояния восстановленной обделки коллекторного тоннеля при действии 4.3.1 Исследование зависимости максимальных нормальных 4.3.2 Исследование зависимости напряженного состояния восстановленной обделки коллекторного тоннеля от отношения модулей деформации тампонажного и внешнего слоев 4.4 Исследование зависимости напряженного состояния обделки восстановленного коллекторного тоннеля при действии равномерно распределенной нагрузки на поверхности 4.4.1 Зависимость напряженного состояния обделки от положения распределенной нагрузки относительно оси выработки

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА РАСЧЕТА

ВВЕДЕНИЕ

Неотъемлемой частью городской коммунальной инфраструкт уры являются коллекторные тоннели. В процессе длительной эксплуатации обделки этих сооружений подвергаются воздействию агрессивной газовой среды, а также истирающему действию абразивных частиц, находящихся в стоках. Влияние указанных негативных факторов ведет к локальным уменьшениям толщины подземных конструкций, что может явиться причиной возникновения аварийных ситуаций, последствия которых оцениваются как экологические катастрофы. В связи с этим особую актуальность приобретает проблема своевременности эффективности проведения ремонтновосстановительных работ в коллекторных тоннелях.

В современных условиях городской среды наиболее приемлемым способом восстановления работоспособности изношенных прямолинейных участков коммуникаций является метод «труба в трубе», который предусматривает прокладку внутри тоннелей новых труб из полиэтилена (ПЭ). При этом длина участков реконструируемых тоннелей может достигать нескольких сотен метров при минимуме земляных работ и полной сохранности инфраструктуры на поверхности.

В результате ремонта восстановленная обделка представляет собой трехслойную конструкцию, несущая способность которой зависит от степени изношенности старого тоннеля. Следует отметить, что на сегодняшний день не существует научно-обоснованных методов оценки напряженного состояния и несущей способности реконструированных коллекторных тоннелей, и, следовательно, проблема оценки эффективности восстановления таких сооружений остается актуальной.

В связи с этим целью настоящей работы является разработка нового аналитического метода расчета обделок коллекторных тоннелей мелкого заложения, восстанавливаемых бестраншейным способом «труба в трубе».

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

– разработана математическая модель взаимодействия создаваемой в результате восстановительного ремонта трехслойной обделки коллекторного тоннеля с окружающим массивом, позволяющая учитывать основные особенности формирования напряженного состояния геомеханической системы «обделка – массив», при действии гравитационных сил (в том числе - давления грунтовых вод), внутреннего напора (для тоннелей ливневой канализации, работающих в период водосброса), веса зданий и сооружений на поверхности, как возводимых вблизи уже отремонтированного тоннеля, так и имевшихся на земной поверхности до реконструкции, и нагрузок от движущихся по поверхности транспортных средств;

– получено аналитические решения ряда плоских задач теории упругости о напряженном состоянии трехслойного кольца, два наружных слоя которого имеют существенно переменную толщину, подкрепляющего отверстие в линейно-деформируемой полубесконечной среде, при граничных условиях, отражающих действие гравитационных сил, внутреннего давления и равномерно распределенной вертикальной нагрузки, приложенной к участку прямолинейной границы среды;

–на основе полученных решений разработан аналитический метод расчета обделок коллекторных тоннелей, восстановленных бестраншейным способом, на основные виды воздействий;

– составлен полный алгоритм расчета, реализованный в виде компьютерного программного комплекса;

– выявлены основные зависимости экстремальных (максимальных сжимающих и растягивающих) напряжений в обделке восстановленного коллекторного тоннеля от основных влияющих факторов.

Разработанный метод расчета принят к внедрению ООО «СпецПодземСтрой» (г. Тула) в качестве базовой расчетной методики при практическом проектировании.

АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ

Развитие и успешное функционирование инфраструктуры крупных городов связано с расширением систем канализации и сетей самотечных тоннельных коллекторов, как правило, кругового поп еречного сечения, сооружаемых с помощью проходческих щитов, имеющих глубину заложения до нескольких десятков метров. Действующими в настоящее время нормативными документами срок службы данных сооружений установлен в 35-40 лет [35]. Такие тоннели составляют 80 - 85 % от общего объема эксплуатируемых коммунальных тоннелей городского хозяйства [19].

Имеющиеся в настоящее время экспертные оценки [126] технического состояния подземных сооружений показывают, что более 60 % трубопроводов и канализационных коллекторов в России практически исчерпало свой срок службы и эксплуатируется со степенью износа 64 %. Значительная часть канализационных коллекторов большинства городов проложена из труб, изготовленных из железобетона, без защиты внутренней поверхности от агрессивного корр озионного воздействия, вследствие чего, в процессе эксплуатации происходит снижение прочностных характеристик бетона, разрушение рабочей арматуры, «сработка» и истончение бетона обделок коллекторов, прежде всего в своде выработок, с их возможным обрушением и образованием воронок на поверхности земли. Выход из строя канализационного коллектора, в результате разрушения его обделки из-за общей ветхости санитарно-гигиенических коммуникаций, как правило, создает опасность микробиологического заражения грунт овых вод и их подсоса в трубопроводы питьевого водоснабжения. Ситуация также усугубляется отсутствием резервных коллекторов, по которым можно было бы перепустить стоки на время ремонтных р абот в обход ремонтируемых участков.

Многочисленными исследованиями [19, 34, 35, 47, 57 и др.] установлено, что основной причиной разрушения железобетона обделок канализационных коллекторных тоннелей является комплексное воздействие следующих факторов:

- нарушение технологической дисциплины и низкое качество строительно-монтажных работ с последующим проявлением дефектов;

- применение строительных материалов низкого качества;

- естественное старение материала обделок;

- проявление биохимической и химической коррозии бетона и арматуры, вследствие агрессивности грунтовых вод и повышенной агрессивности газовой среды выше уровня сточных вод;

- абразивное воздействие на бетон обделок твёрдых частиц, находящихся в стоках.

Следует отметить, что одним из самых опасных разрушительных процессов [19, 34, 57,102], протекающих в канализационных коллекторах, является сероводородная газовая коррозия бетона обд елок, в результате которой уменьшается толщина конструкции выше уровня сточных вод, снижаются прочностные характеристики бетона, что может привести к его обрушению с образованием провалов на поверхности земли.

Механизм сероводородной химической коррозии (рис. 1.1) подробно описан в работе [69] и заключается в следующем. Как правило, сточные воды являются неагрессивными или слабоагрессивными в отношении бетона, в то время как газовая среда выше поверх ности воды содержит значительный процент сероводорода и является сильноагрессивной. Растворяясь в слое конденсатной влаги, сероводород активно разрушает гидросиликаты кальция, образующие цементный камень, на внутренней поверхности сводовой части обделки.

Рисунок 1.1 - Схема образования сероводорода в сточных водах 1- сточные воды, 2- ламинарный слой, 3 - анаэробный активный слой образования сульфидов, 4 - анаэробный инертный слой, Взаимодействие с серной кислотой приводит к превращению цементного камня в бетоне в смесь двуводного гипса, гидроокиси алюминия, кремнекислоты и других соединений (кислотная коррозия). Сульфат кальция из состава образовавшегося гипса проникает вглубь неразрушенного бетона и кристаллизуется (гипсовая коррозия). В результате в сводовой части обделки кислотная коррозия вызывает разрушение бетона до состояния несвязного эттрингита. Пр ичем с разрушением защитного слоя и достижением зоны стальной арматуры, скорость коррозии увеличивается. Такая коррозия часто является скоротечной и быстро достигает разрушительных размеров.

К примеру, в Донецке была зарегистрирована скорость коррозии железобетонных труб от 30 до 40 мм/год [57].

Попытки установить эмпирические зависимости между скоростью коррозионного разрушения бетона реальных конструкций и большим числом случайных факторов, влияющих на этот процесс, методами многомерного корреляционного анализа успеха не имели [69, 70]. В связи с этим в настоящее время считается, что достоверно оценить состояние обделок коллекторных тоннелей, подвергающихся коррозии в процессе эксплуатации, можно лишь с помощью постоянного мониторинга состояния подземной конструкции.

Другим направлением исследований, имеющих целью разработку методов прогноза коррозионного разрушения бетона в высокоагрессивной газовой среде в коллекторных тоннелях, является лаб ораторное и математическое моделирование этого процесса. В научной литературе имеется ряд работ, в которых обобщаются результаты исследований, проводившихся в разное время в институтах НИИЖБ (г. Москва) [71, 108] и УкрКоммуналНИИПроект (г. Харьков) [46, 105].

В работе [71] на основе выполненных лабораторных испытаний образцов из цементного камня, цементно-песчаного раствора и бетона различных составов в растворах серной кислоты Л.Н.Карнауховой было установлено пропорциональное увеличение глубины разрушения t ( t - время), при условии, что удаление разрушенного слоя не производилось. При этом на скорость коррозии вид материала (цементный камень, бетон, или цементно-песчаный раствор) влиял в незначительной степени. Приведенные в таблице 1.1. результаты расчета [71], выполненные при исходных данных, соответствующих реальным условиям в коллекторных тоннелях, показали удовлетворительное согласование с данными натурных наблюдений, и, по мнению автора, могут быть использованы в практических целях.

Результаты определения глубины коррозионного разрушения бетона в агрессивной сернокислой среде по Л.Н.Карнауховой Концентрация серной Так, расчеты показывают, что увеличение концентрации кислоты в 10 раз с 0,01 до 0,1 Н сопровождается увеличением скорости коррозии больше чем в 2 раза. В случае, если в бетоне в качестве крупного заполнителя используется известняк, часть кислоты расходуется на взаимодействие с ним, при этом продукты коррозии известняковых зерен имеют кристаллическое строение. По расчету гл убина разрушения бетона в 0,1 Н растворе серной кислоты за 42 суток составила 0,23 мм для бетона на гранитном щебне, а для бетона того же состава, но на известняковом щебне - 0,07см.

В целом, анализ имеющейся научной литературы позволил выявить достаточно большое количество работ, посвященных вопросам, связанным с расчетом обделок коллекторных тоннелей, в том числе с учетом снижения их несущей способности в результате коррозии бетона.

Так, в работе [101] указывается, что признаками, позволяющими приближенно судить о возможности разрушения коллекторного тоннеля, являются "местные понижения рельефа над коллектором с пологими откосами и незначительными амплитудами". В связи с этим делается вывод: "... обделка коллектора, подвергающаяся действию только веса грунтового массива, обладает несущей способностью при уменьшении толщины до 5 см. Это значение толщины обделки можно рассматривать как критическое. Дальнейшее уменьшение толщины обделки может привести к аварийной ситуации".

Ю.Н. Куликов [76], основываясь на методике [63], предложил формулу, для определения межремонтного периода эксплуатации t коллекторного тоннеля (времени наработки на отказ), обделка которого подвергается углекислой газовой коррозии, который определяется степенью карбонизации CaO в цементе, концентрацией СО 2 или другого газа в воздухе, глубина нейтрализации бетона кислым газом с образованием слаборастворимых солей.

В качестве обоснования достоверности результатов, получаемых по предложенной формуле, автор приводит анализ газовой с оставляющей 12 коллекторных тоннелей г. Москвы, который позволил выявить минимальный срок эксплуатации – 5 лет, а максимальный – 26 лет. При этом автор отмечает, что результаты, получаемые с помощью данной формулы, не зависят от толщины обделки, и " условием потери устойчивости несущей обделки тоннеля является значение остаточной толщины менее 5 см".

В то же время, исходя из работы С.И.Копылова [73], можно сделать вывод, что тоннель способен сохранять работоспособность даже при полном разрушении обделки в сводовой части в определе нных горно-геологических условиях. В своих трудах автор предлагает оригинальный подход к определению остаточной несущей способности железобетонных обделок канализационных тоннелей, в которых обделка в предельном состоянии представляется как система из двух состыкованных полуколец, нагруженная на внешнем контуре заданным давлением. На основе данных натурных наблюдений о разрушении обделок коллекторных тоннелей вследствие газовой коррозии бетона и железобетона, С.И. Копылов сделал вывод, что железоб етонная круговая обделка, разрушается по вертикальному диаметру в результате образования и развития вертикальных трещин. Однако, предложенный подход, основанный на рассмотрении подземной конструкции фактически вне массива пород, идет в разрез с основными представлениям механики подземных сооружений.

В работе [31] авторы сделали попытку диагностировать напряженное состояние обделок коллекторных тоннелей, используя подходы [30, 45, 55, 85, 86 и др.], на основании решения ряда плоских контактных задач теории упругости для линейно - деформируемой полубесконечной среды, моделирующей массив грунта, ослабленной круговым отверстием, подкрепленным кольцом, моделирующим обделку, при граничных условиях, отражающих наличие в массиве начальных напряжений, линейно изменяющихся по глубине, обусловленных собственным весом грунта, или давления подземных вод, действие внутреннего напора, а также равномерно распределенной нагрузки, приложенной на участке границы полуплоскости до или после образования отверстия, моделирующей вес здания или сооружения, существующего до сооружения тоннеля, или возводимого над имеющимся тоннелем. Решения, поставленных задач, получены на основе обобщения и развития работ И.Г. Арамановича [15, 16], а также с использованием метода Д.И. Шермана [144, 145] об аналитическом продолжении комплексных потенциалов, регулярных в нижней полуплоскости вне отверстия, в верхнюю полуплоскость, благодаря чему исходные задачи сводятся к задачам для кольца, подкрепляющего отверстие в полной плоскости.

В отличие от предложений С.И.Копылова данный подход в полной мере соответствует основным положениям механики подземных сооружений о взаимодействии подземной конструкции и окружающего массива грунта, как элементов единой деформируемой системы. Однако указанный метод также не позволяет учитывать изменение формы внутреннего контура поперечного сечения обделки вследствие газовой коррозии бетона и, таким образом, вынуждены учитывать влияние коррозионных процессов уменьшением толщины обделки по всему периметру ее поперечного сечения. В связи с этим, авторы называют свой метод приближенным, так как данное моделирование не соответствует реальности, а также отмечают, что более адекватной расчетной схемой является кольцо, имеющее локальное уменьшение толщины в верхней части, подкрепляющее отверстие в бесконечной (при рассмотрении тоннелей глубокого заложения) или полубесконечной (для тоннелей мелкого заложения) среде из другого материала, что приводит к необходимости рассмотрения другой, более сложной контактной задачи.

В последствии на основании выше указанных методов Т.Г. Саммаль предлагает метод определения напряженного состояния и прогноза снижения несущей способности обделок коллекторных тоннелей вследствие локального уменьшения толщины конструкции в сводовой части, вызываемого коррозией бетона [121-125, 139–141].

В своей работе автор моделирует обделку коллекторного тоннеля кольцом переменной толщины, имеющим минимальную толщину в верхней части, где бетон разрушился в результате газовой коррозии.

При этом толщина верхней части кольца вычисляются на основе эк спериментальных данных в зависимости от агрессивности стоков и времени эксплуатации тоннеля. Предложенный метод позволяет учитывать локальное уменьшение толщины обделки в сводовой части, а также прогнозировать снижение несущей способности конструкций в процессе эксплуатации в агрессивной газовой среде.

Наряду с теоретическими и лабораторными исследованиями имеются натурные данные, иллюстрирующие влияние коррозии бетона на несущую способность обделок коллекторных тоннелей. Так, в городе Туле в результате комплексного обследования состояния коллектора ливневой канализации на участке от колодца К-51 до выпуска в р. Упу были выявлены разрушения монолитной облицовки с трещинами и вывалами, приводящие к проседанию кровли (высота сечения – 1500мм) и характерным разрушениям: трещинам в бетона, нарушениям облицовки в лотке в виде трещин и сколов, либо полн ому ее отсутствию [97]. При этом, в том месте, где произошла деформация тоннеля с разрушением рубашки и образованием трещин, через которые происходил вынос грунта с водой, наблюдались значительные провалы на поверхности земли рис 1.2.

Рисунок 1.2 - Нарушение благоустройства тротуара из-за деформации Аналогичные исследования были проведены на участке главного Левобережного коллектора диаметром 2 м (протяженность по заданию 4135м) от камеры на пересечении ул. Брусилова Ленинский проспект до ГКНС (адрес ул. Лебедева, 6Б) г. Воронеж [103]. С помощью аппарата ЛЕВ-3 (видеосъемка) было проведено обследование состояния участков тоннеля между камерами К-2 и К-3, и между камерами К-3 и К-4. При анализе видеоматериалов были выявлены следующие нарушения конструкции железобетонных элементов обделки:

- отсутствие изоляционного покрытия внутренней поверхности обделки тоннеля, защищающего от агрессивного воздействия тран спортируемой среды;

- продольные и поперечные трещины в несущих железобетонных конструкциях (особенно вдоль несущей арматуры);

- сплошная коррозия внешней поверхности железобетонных конструкций с образованием сквозных каверн, раковин, кратеров и вывалов бетона (из-за разрыва внутренних связей) в связи с влиянием транспортируемых стоков и образующихся агрессивных газов;

- изменение цвета бетона, свидетельствующее о происходящих процессах силикатизации;

- оголение несущей арматуры в связи с разрушением и истончением защитного слоя бетона;

- активная биохимическая коррозия оголенной несущей арматуры;

- инфильтрация агрессивных затрубных (грунтовых) вод через разрушенные стыки межтрубных соединений;

- нарушение соосности участков труб (возможные провалы в лотке).

В результате общей оценки технического состояния конструкций, выполненной на основе проведенных натурных обследований, было выявлено, что сооружение находится в предаварийном состо янии. При этом отдельные значительные повреждения свидетельств уют о существенном снижении несущей способности и необходимости срочного восстановительного ремонта.

В настоящее время перспективным способом восстановления работоспособности подземной конструкции является бестраншейная технология методом «труба в трубе» [128], обладающая рядом преимуществ таких, как - проведение работ без вскрытия грунта и ограничений или изменений схем движения городского транспорта;

- восстановление прочности и герметичности трубы;

- защита внутренней поверхности трубы от коррозионного и гидроабразивного износа;

- продление срока службы коллектора не менее чем на 50 лет;

- значительное снижение затрат на проведение ремонтных работ;

- безопасность окружающей среды.

При восстановительном ремонте методом «труба в трубе»

широкое применение получили трубы из полиэтилена (ПЭ). Они менее энергоемки и более технологичны в изготовлении, чем металлические и железобетонные. Монтаж полиэтиленовых труб не требует применения тяжелой строительной техники, их сварку можно максимально автоматизировать, а применяя длинномерные плети – повысить надежность трубопроводов. Корме того, метод «труба в тубе» позволяет провести реконструкцию изношенных трубопроводов с использованием существующих колодцев или с минимальными разрытиями по трассе. Стоит также отметить, что пластиковые трубы, применяемые при восстановительном ремонте, обладают устойчивостью к коррозии и различным негативным воздействиям (механическим, температурным, химическим), они не покрываются изнутри налетом из ржавчины и минеральных веществ, благодаря чему их пропускная способность не уменьшается со временем, что обеспечивает нормальную функциональность канализационной системы даже через много лет. Кроме того, трубы из полиэтилена безвредны для человека и окружающей среды.

Работы по протягиванию трубы ПЭ в коллекторе разделяются на пять этапов: протягивание тягового каната, прочистку внутренней поверхности коллектора, монтаж необходимого оборудования, ко нтроль качества прочистки внутренней поверхности коллектора пр отяжкой калибра, протяжка полиэтиленовой трубы.

Санация коллектора производится на всю длину ремонтируемого участка следующим способом (рис.1.3). В существующий коллектор затягивается плеть из спиральновитых труб. Трубы мерной длины собираются в плеть посредством резьбового соединения. При этом соединение спиральновитых труб в плеть и ее протяжка осуществляется в потоке сточной жидкости без осушения ремонтируемого коллектора и устройства перекачки стоков в обход ремонтируемого участка, т. е. нормальная работа коллектора не прекращается во время ремонтных работ. После протяжки плети на всю длину ремо нтируемого участка производится заполнение пространства между наружной поверхностью полиэтиленовой трубы и внутренней бетонной поверхностью коллектора специальным тампонажным составом.

Нагнетание тампонажного раствора в межтрубное пространство осуществляется с торца реконструируемого участка, в стартовом котловане. Перед началом заполнения раствором межтрубного пространства устанавливаются заглушки на границах реконструированного трубопровода и откачиваются канализационные стоки, наход ящиеся в межтрубном пространстве, до полного его осушения. Заглушки должны перекрывать межтрубное пространство и иметь такую конструкцию, чтобы при заполнении межтрубного пространства раствором и его затвердеванием было исключено вытекание цементно-глинистого раствора за границы межтрубного пространства. Тампонажный раствор подается по гибким напорным резинотканевым рукавам с быстроразъемными соединениями. Объем раствора постоянно контролируется для предотвращения образования незатампонированных пустот.

Чтобы предотвратить всплытие полиэтиленовой трубы под действием тампонажного раствора, его нагнетание производится в два этапа. Сначала выполняется заполнение межтрубного пространства на высоту 0,6D от внешнего диаметра полиэтиленовой трубы.

При этом подача раствора производится до тех пор, пока он не начнет вытекать из контрольного отверстия глухой заглушки, расположенного на данной высоте. Далее тампонажный раствор выдерживается до его затвердевания. На втором этапе нагнетание производиться непрерывно вплоть до заполнения раствором всего межтрубного пространства до момента, когда раствор начинает выходить из технологического отверстия, находящегося в своде.

Описанный метод был использован ООО «СпецПромСтрой»

при реконструкции главного Левобережного коллектора Д-2000, протяженностью 4126 п.м. от камеры на пересечении ул. Брусилова - Ленинский проспект до ГКНС (адрес ул. Лебедева, 6Б) в г. Воронеже [103], а также при проведении капитального ремонта сооружений инженерной защиты города – гидротехнических тоннелей р. Ржавки по бульвару Заречный в Ленинском районе г. Нижнего Новгорода [104].

Рисунок 1.4 - Сечение обделки тоннеля после реконструкции Основной особенностью подземной конструкции, создаваемой в результате ремонтно-восстановительных работ, является то, что в поперечном сечении обделка тоннеля представляет собой сложную трехслойную конструкцию, два наружных слоя которой, в силу ос обенностей применяемой технологи, имеют переменную толщину (рис.1.4).

Отметим, что в настоящее время в отечественной научной литературе не существует научно-обоснованных методов определения несущей способности обделки тоннеля после реконструкции, а, следовательно, не существует критериев оценки эффективности ремон тно-восстановительных работ и определения срока безаварийной службы отремонтированных коллекторов.

Следует отметить работы [14, 43, 147-148 и др.], где представлены результаты численного моделирования, в том числе МКЭ, кот орые могут быть использованы в практических целях.

В зарубежной практике вопросы оценки прочности обделок восстановленных коллекторных тоннелей решаются так же, как для всех остальных конструкций – с помощью численного моделирования методом конечных элементов. Среди них можно выделить работу [152], в которой приводятся результаты исследования напряженного состояние трубопровода, внутри которого протягивается синтетический рукав, выполненного с помощью компьютерного и лабораторного моделирования, при действии нагрузок на поверхности. При моделировании методом конечных элементов полагается, что старый трубопровод приобретает форму эллипс а и раскалывается на четыре части. При этом трещины в старой трубе моделируются парами близкорасположенных сил в своде и в лотковой части конструкции, действующих на протянутый внутри сооружения синтетический рукав. В результате сравнения полученных результатов с данными лабораторных испытаний было установлено их хорошее согласование, что, по мнению авторов, свидетельствует о возможном практическом применении разработанного метода расчета. В целом, критический анализ приведенных в работе результатов показывает, что использованная модель не совсем корректно отражает особенности статической работы подземной конструкции, восстановленной методом «труба в трубе». Так, в предложенной расчетной схеме не учитывается локальное уменьшение толщины подземной конструкции в силу чего, характер ее разрушения в форме двух или четырех вертикальных трещин в своде и лотке представляется весьма умозрительным.

Кроме того, представление старой обделки в виде ряда жестких сегментов, давление от которых передается непосредственно на внутреннюю трубу, не позволяет учитывать жесткость тампонажного слоя, заполняющего межтрубное пространство и оказывающего существенное влияние на характер нагружения внутренней трубы и, как следствие, на несущую способность восстановленной обделки в целом.

В заключение отметим, что численное моделирование, как универсальный расчетный инструмент, в принципе, позволяет получать соответствующие результаты для конкретных подземных соор ужений, в том числе восстановленных бестраншейным способом методом «труба в трубе», но его применение при проведении многовариантных расчетов в процессе решения практических инженерных задач, с целью выявления общих закономерностей распределения напряжений и усилий в конструкциях с учетом влияния различных факторов, связано с необходимостью преодоления определенного ряда трудностей.

Анализируя традиционные подходы, основанные на методе Б.П. Бодрова и Б.Ф. Матэри [21], можно отметить, что в настоящее время их используют главным образом при проектировании тонн елей, сооружаемых открытым способом, и труб, укладываемых в траншеи с последующей их засыпкой. Однако, данные методы уже в значительной степени устаревшие, не позволяют производить расчет многослойных обделок тоннелей, сооружаемых горным способом, поскольку в соответствии с современными представлениями механики подземных сооружений, необходимо учитывать взаимодействие обделки и окружающего массива грунта, как элементов единой деформируемой системы.

Кроме того, при расчете обделок коллекторных тоннелей, имеющих, как правило, неглубокое заложение, следует рассматривать влияние земной поверхности, а также учитывать линейный характер изменения поля начальных напряжений по высоте сечения проектируемого конструкции при рассмотрении действия собственного веса грунта или давления подземных вод. Эти особенности в полной мере учитываются в аналитических методах расчета, разработанных под руководством проф. Н.С. Булычева [30-31, 55, 76, 86 и др.] и проф. Н.Н. Фотиевой [77, 132 - 133,149 и др.].

Ряд аналитических методов расчета обделок тоннелей мелкого заложения были предложены А.М. Гольдбергом [38-43]. В их основу были положены решения соответствующих задач о напряженном состоянии невесомой и весомой полуплоскости с круговым отверстием, в том числе - подкрепленным кольцом, при действии нагрузки, равномерно распределенной на участке прямолинейной границы полуплоскости, и при действии равномерного давления на внутреннем контуре кольца. Основным отличием решения А.М. Гольдберга от описанных выше подходов является использование функций напряжений Эри и метода последовательных приближений (метода Шварца), эффективность которого при решении подобных задач показана в работе [100]. Проведенное автором сравнение результатов, получаемых применительно к конструкциям подземных сооружений Красноярской ГЭС, с данными лабораторных экспериментов на фотоупругих моделях [39], показало их удовлетворительное согласование.

Стоит также отметить труды М.В. Малышева [87-88], посвященные разработке аналитических методов расчета обделок коллекторных тоннелей мелкого заложения.

В работе [48] автором был предложен метод определения напряженно-деформированного состояния массива пород вокруг выработки произвольной формы с учетом рельефа поверхности Земли на основе использования теории функций комплексного переменного и комплексных рядов. Решение задачи сводится к определению неизвестных коэффициентов разложения соответствующих функций, х арактеризующих напряженно-деформированное состояние рассматриваемой области, из системы линейных алгебраических уравнений. В качестве примера приводится расчет напряженного состояния пород вокруг тоннеля круглой формы с учетом рельефа поверхности дост аточно сложной формы.

Развивая подход И.Г. Арамановича, В.А. Латышев в работе [79] рассмотрел задачу о напряженном состоянии массива грунта вокруг выработки неглубокого заложения, имеющей произвольное п оперечное сечение (с одной осью симметрии). Полученное решение плоской контактной задачи теории упругости для некругового кольца, подкрепляющего отверстие в весомой линейно - деформируемой полуплоскости, позволило автору обобщить разработанный метод для расчета монолитной обделки произвольного сечения тоннеля мелкого заложения на действие собственного веса грунта [80].

В работе [114] А.С. Саммалем был рассмотрен случай многослойной подземной конструкции и окружающего технологически неоднородного массива пород как единой деформируемой системы на основе аналитических решений плоских контактных задач о равновесии многослойной системы общего вида, подкрепляющей отверстие в линейнодеформируемой или вязкоупругой (в рамках теории линейной наследственной ползучести) среде при граничных условиях, отр ажающих совместное деформирование среды и слоев системы, мод елирующей конструкцию и технологически неоднородную часть массива при статических, тектонических и сейсмических воздействиях.

Указанный метод, в целом, позволяет производить расчет многослойных обделок коллекторных тоннелей глубокого заложения, в том числе сооружаемых в ходе ремонта бестраншейным способом, однако рассматривать коллекторных тоннели мелкого заложения в условия плотной городской застройки этот метод не позволяет.

С.В. Анциферовым был предложен аналитический метод [7-14] расчета многослойных обделок взаимовлияющих параллельных кр уговых тоннелей мелкого заложения с учетом влияния земной поверхности, взаимного положения близко расположенных тоннелей, ко нструкций применяемых обделок, наличия зон грунта вокруг выраб оток, подверженного инъекционному укреплению. Предложенное решение, основанное на строгих решениях плоских задач теории упр угости, полученное с использованием теории аналитических функций комплексного переменного, аппарата аналитического продолжения комплексных потенциалов через границу полуплоскости, свойств интегралов типа Коши, рядов Лорана, показало, что на формирование напряженного состояния обделок взаимовлияющих тоннелей мелкого заложения на стадиях их сооружения оказывают влияние очередность проходки тоннелей, отставание возведения обделок от забоя выраб оток, последовательность сооружения слоев обделок, изменение реологических свойств грунта (в рамках теории линейной наследственной ползучести).

В работах [51 – 54] Деевым П.В. были получены аналитические решения ряда плоских задач теории упругости о напряженном состоянии конечного числа однослойных и двухслойных колец, по дкрепляющих отверстия произвольной формы в линейнодеформируемой полубесконечной весомой среде, при действии на участке границы полуплоскости равномерной вертикальной нагрузки и наличии на внутренних контурах некоторых колец равномерного давления. На основе полученных решений Деевым П.В. был разработан новый аналитический метод расчета обделок параллельных тоннелей, позволяющий учитывать взаимное влияние тоннелей некругового поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине.

Достоинствами описанных выше аналитических методов расчета являются удобство подготовки и задания исходных данных, во зможность быстро и эффективно производить расчеты с высокой степенью точности, рассматривая на единой методологической основе различные виды воздействий, невысокие требования к ресурсам используемых ЭВМ. Кроме того, компьютерные программы, реализующие эти аналитические методы расчета могут быть включены в качестве соответствующих компонентов в САПР и использованы в целях практического многовариантного проектирования. Позволяя решать широкий круг задач, связанных с расчетом и проектирован ием подземных сооружений различного назначения, указанные методы, тем не менее, не предназначены для оценки напряженного состояния и несущей способности трехслойных обделок коллекторных тоннелей, создаваемых в результате ремонта бестраншейным способом методом «труба в трубе», два наружных слоя которой имеют п еременную толщину.

В общей механике имеется ряд работ [89, 143, 62, 98 и др.], посвященных решению ряда контактных задач теории упругости для кольца, подкрепляющего отверстие в полубесконечной весомой ср еде, которые могут быть использованы при расчете подземных ко нструкций мелкого заложения.

В работе [33] автором предлагается приближенное решение задачи о тонком кольце, подкрепляющем круговое отверстие в весомой полуплоскости, которое находится из условия равенства напряжений и смещений кольца и полуплоскости в биполярных координатах. Для определения напряжений в полуплоскости и кольце автор рассматривает ряд задач об определении напряженного состояния весомой полуплоскости, ослабленной круглым отверстием, напряжений и деформаций в полуплоскости от сил, приложенных к контуру о тверстия, а также усилий и перемещений в кольце, подкрепляющем отверстие. Так как толщина кольца мала по сравнению с размерами отверстия, оно считается нагруженным системой распределенных сил. Полученные автором приближенные формулы для нормальной силы и изгибающего момента в кольце позволяют с достаточной то чностью производить расчеты для глубин заложения тоннелей не менее двух радиусов.

Особо следует выделить работу [148], в которой рядом авторов был предложен итерационный процесс получения решения, при этом в каждом последовательном приближении используется замкнутое решение задачи о кольце, подкрепляющем отверстие в полной плоскости, при наличии в граничных условиях на линии контакта дополнительных членов, отражающих влияние границы полуплоскости, представляемых в форме рядов Фурье. Основные положения этой р аботы были успешно развиты Л.Н. Анциферовой [4] при рассмотрении многослойного кольца в упругой полуплоскости, а также Т.Г. Саммаль [122 – 125] при расчете кольца переменной толщины, моделирующего обделку коллекторного тоннеля, подвергшуюся разрушительному влиянию газовой коррозии.

Из приведенного выше обзора существующих методов расчета подземных сооружений, в том числе с учетом влияния земной поверхности, следует, что до настоящего времени не имелось аналитического метода расчета трехслойных обделок тоннелей мелкого заложения c учетом особенностей статической работы таких конструкций, создаваемых в результате восстановительного ремонта методом «труба в трубе», равно как не имелось научных работ, посвященных оценке несущей способности обделок коллекторных тоннелей, во сстановленных бестраншейным способом. При этом можно отметить, что в приведенных выше работах имеются предпосылки для разработки такого метода.

Таким образом, проведенный анализ состояния теоретических подходов геомеханики и механики подземных сооружений показал, что поставленная в диссертации задача разработки нового аналитического метода расчета обделок коллекторных тоннелей, восстановле нных бестраншейным способом «труба в трубе» с применением труб ПЭ, является актуальной, поскольку предлагаемый подход открывает новые возможности в моделировании различных размеров нарушенной зоны старой обделки и учете расположения внутренней полиэтиленовой трубы относительно центра тоннеля, а также расчетным путем дать оценку несущей способности восстановленной конструкции.

Целью настоящего исследования является математическое и компьютерное моделирование взаимодействия трехслойной обделки коллекторного тоннеля, создаваемой в результате восстановительного ремонта методом «труба в трубе», с окружающим массивом грунта, позволяющее производить оценку несущей способности подземной конструкции. Реализация сформулированной модели предполагает получение нового аналитического решения плоской задачи теории упругости для трехслойного кольца, два наружных слоя которого имеют переменную толщину, в линейно - деформируемой весомой полубесконечной среде из материалов, моделирующих соответственно слои обделки и массив грунта, при граничных условиях, отражающих наличие в среде начальных напряжений, линейно изменяющихся по вертикальной оси поля, моделирующих собственный вес грунта или давление подземных вод, а также нагрузок на внутреннем контуре кольца (при рассмотрении обделок ливневой канализации в режиме водосброса) и на поверхности (при моделировании влияния зданий и сооружений на напряженное состояние подземной конструкции).

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБДЕЛКИ

КОЛЛЕКТОРНОГО ТОННЕЛЯ, ВОССТАНОВЛЕННОГО

СПОСОБОМ «ТРУБА В ТРУБЕ»

В основу разрабатываемой математической модели формирования напряженного состояния трехслойной обделки коллекторного тоннеля мелкого заложения, создаваемой в результате восстановительного ремонта методом «труба в трубе», положены современные представления механики поземных сооружений [6, 14-20, 41, 66, 67,93, 94 и др.] о взаимодействии подземной конструкции и окружающего массива грунта, как элементов единой деформируемой системы, испытывающей действие собственного веса грунта, давления подземных вод, внутреннего напора жидкости (в период водосброса), а также веса зданий и сооружений на поверхности.

Основными факторами, существенно влияющими на напряженное состояние обделки, учитываемыми при разработке математической модели являются:

- глубина заложения тоннеля;

- радиус поперечного сечения тоннеля в проходке (радиус выработки);

- форма и размеры зоны коррозионного повреждения подземной конструкции в процессе эксплуатации сооружения;

- внешний и внутренний радиусы трубы из ПЭ;

- смещение внутренней трубы относительно центра выработки;

- деформационные характеристики массива грунта и материалов каждого слоя обделки;

- характеристики начальных полей напряжений в массиве, обусловленных собственным весом грунта, а также давлением грунтовых вод.

С целью определения напряженного состояния трехслойной обделки коллекторного тоннеля, два наружных слоя которой, в силу особенностей сооружения, имеют переменную толщину, и построения соответствующего метода расчета подземной конструкции реш ается плоская контактная задача теории упругости (расчетная схема приведена на рис. 2.1).

Полубесконечная среда S 0, моделирующая массив пород с деформационными характеристиками – модулем деформации E0 и коэффициентом Пуассона 0, ограничена прямой L0 и отверстием, подкрепленным трехслойным кольцом моделирующим восстановленную обделку коллекторного тоннеля.

Наружный контур L0 имеет круговое очертание, контур L1 форму, существенно отличающуюся от круговой вследствие локального уменьшения толщины в своде и лотке. Контуры кольца L2 и L представляют собой концентрические окружности с центром C, расположенном на вертикальной оси 0 y и имеющим координату yc a.

Кольца переменной толщины S1 и S 2, материалы которых имеют деформационные характеристики E j, j (j=1, 2), моделирующие старую обделку тоннеля, подвергшуюся коррозионному повреждению, и тампонажный слой бетона соответственно. Внутреннее кольцо S3, имеющее наружный и внутренний радиусы R2 и R3, материал которого обладает деформационными характеристиками E 3, 3, моделирует внутреннюю трубу.

Слои кольца S j (j=1, 2, 3) и среда S0 деформируются совместно, т.е. на линиях контакта L j (j=0, 1, 2) выполняются условия непрерывности векторов смещение и полных напряжений.

Внутренний контур L 3 свободен от внешних сил, либо нагружен равномерным нормальным давлением - p, моделирующим действие жидкости, заполняющей тоннель (рассматривается наиболее опасный напорный режим работы тоннеля в период водосброса).

На границе полуплоскости L0 также выполняются условия отсутствия внешних сил, либо, при моделировании веса зданий и сооружений на поверхности, рассматривается действие на произвольном участке границы равномерного нормального давления P.

Действие собственного вес грунта (задача 1) моделируется наличием в области S 0 поля начальных напряжений, линейно изменяющихся по высоте, определяемых формулами:

где удельный вес грунта, Н глубина заложения выработки, коэффициент бокового давления грунта в ненарушенном массиве, * - корректирующий множитель, введенный для учета особенностей формирования напряженного состояния восстанавливаемой обделки, определяемый на основе натурных измерений [92, 132, 133].

т.е. вес обделки не учитывается.

Действие давления подземных вод (задача 2) с уровнем H w, отсчитываемым от оси тоннеля (рис.2.1), моделируется наличием в среде S 0 и водопроницаемых слоях S 1, S 2 поля начальных напряжений где w удельный вес воды, H w - уровень грунтовых вод.

Таким образом, в случае действия собственного веса грунта (задача 1) или давления подземных вод (задача 2) полные напряжения в среде и слоях обделки представляются в виде сумм дополнительных напряжений xj *, yj *, xy*, обусловленные наличием отверj стия, и начальных напряжений, определяемым по формулам (2.1) – (2.3).

Смещения рассматриваются только дополнительные.

Действие внутреннего давления воды, заполняющей тоннель (рассматривается наиболее опасный напорный режим работы тоннеля в период водосброса), моделируется наличием на контуре L3 нормальной равномерно распределенной нагрузки p (задача 3).

Действие веса заданий и сооружений на поверхности (задача 4) моделируется наличием на участке a0 Re t b0 прямолинейной границы L0 равномерно распределенной нагрузки интенсивностью P.

В случае действия внутреннего напора или веса зданий и сооружений на поверхности начальные напряжения в среде S0 отсутствуют.

Граничные условия поставленных задач для определения дополнительных напряжений и смещений имеют вид:

В граничных условиях (2.3)-(2.6) (y0)*, (x0y)*, u x j ), u (y j ) ( j 0,...,2) - соответственно дополнительные нормальные и касательные напряжения на прямолинейной границе L0 и дополнительные горизонтальные и вертикальные смещения точек областей S j ( j 0,...,2) в декартовой системе координат; (r j )*, (r)* ( j 0,...,2) - соответственно доj полнительные радиальные и касательные напряжения в точках контура L0, принадлежащего двум контактирующим областям областей S j ( j 0,1) в полярной системе координат; j *, * - соответственно дополнительные нормальные и касательные напряжения в точках о бластей S j в криволинейной системе координат, связанной с конформным отображением внешностей единичных окружностей на внешность контуров L j с началом координат в точке О; 0 j, 0 j r радиальные и касательные начальные напряжения, получающиеся после перехода к полярной системе координат в выражениях (2.1) – (2.3).

При рассмотрении нагрузок от зданий и сооружений на поверхности (задача 4) следует выделять два случая:

- задача 4, а - когда нагрузка прикладывается над восстановленным тоннелем (например, нагрузка от наземного транспорта или от строящегося дома).

-задача 4, б - нагрузка существовала до ремонта тоннеля (ремонтные работы проводится под уже существующим зданием или сооружением);

Особенности моделирования напряженного состояния подземной конструкции при рассмотрении того или иного случая прилож ения поверхностной нагрузки были впервые отмечены В.В. Макаровым [86], и в дальнейшем многократно использовались в работах Н.С. Булычева, Н.Н. Фотиевой, Л.Н. Анциферовой, Т.Г. Саммаль, С.В. Анциферовым и П.В. Деевым [4, 10, 53, 100, 124, 131 и др.]. В соответствии с этими представлениями при моделировании взаимодействия обделки тоннеля с массивом грунта при действия нагрузки, приложенной на поверхности до проходки выработки (задача 4,б) смещения следует учитывать только дополнительные. В случае действия нагрузки, прикладываемой после сооружения тоннеля и установки обделки (задача 4, а), разделение полных смещений на начальные и дополнительные не целесообразно. В дальнейшем при разработке соответствующего метода расчета это будет соответствующим образом учтено применительно к каждому из рассматриваемых случаев.

Ограниченный размер нагрузки в направлении оси тоннеля приближенно можно учесть путем введения в результаты расчета корректирующего коэффициента k, получаемого как отношение максимальных вертикальных напряжений в сплошной полуплоскости на уровне верхней точки свода тоннеля, вызываемых нагрузкой ограниченной ширины В 2a и бесконечной нагрузкой, соответствующей условиям плоской деформации [31,152]:

где l половина размера нагрузки в направлении, перпендикулярном рассматриваемому сечению тоннеля.

Позднее проф. Н.Н. Фотиевой было предложено [138] с целью учета пространственного характера задач о действии веса зданий и сооружений на поверхности производить вычисление коэффициента k на основе гипотезы, заключающейся в том, что отношение напряжений в кольце, моделирующем обделку, полученных из решения пр остранственной задачи, к их значениям, найденным из соответствующей плоской задачи, будет примерно таким же, как аналогичное о тношение вертикальных напряжений в точке сплошного полупространства, соответствующей центру рассматриваемого поперечного сечения тоннеля, вызываемых нагрузкой на поверхности, распред еленной по некоторой прямоугольной площади В l и по бесконечной полосе шириной В. Такое предположение дает возможность определять напряжения в любом поперечном сечении обделки по длине каждого из тоннелей, вводя в результаты решения плоской задачи корректирующие множители, определяемые для каждого поперечного сечения каждой из обделок по формуле Вертикальные напряжения в указанных выше точках определяются на основе точного решения Лява, используемого обычно для опред еления напряжений в основаниях фундаментов с помощью метода угловых точек.

Действие нагрузки на поверхности, обусловленных движением транспортных средств в направлении параллельном оси тоннеля, моделируется вертикальной нагрузкой интенсивностью Р, равномерно распределенной на участке a0 x b0 прямолинейной границы L0.

В случае, если транспортное средство движется перпендикулярно тоннелю, на основе многовариантных расчетов определяется напряженное состояние обделки при разных положениях нагрузки Р относительно тоннеля, и строятся огибающие эпюр по максимальным значениям растягивающих и сжимающих нормальных тангенциальных напряжений на внутренних контурах слоев сечения обделки. При этом напряжения в точках наружного контура каждого слоя обделки тоннеля берутся при том же положении нагрузки, при котором растягивающие или сжимающие напряжения в соответствующей точке внутреннего контура принимают наибольшее по модулю значение.

С целью учета динамического характера приложения нагрузки результаты расчета умножаются на коэффициент динамичности, зависящий от скорости движения транспортного средства v, который может быть найден по формуле где - модуль сдвига пород (грунта), - плотность пород (грунта).

Если транспортное средство движется вдоль оси тоннеля, то п остроение огибающих эпюр не требуется, а напряжения в обделке находятся из непосредственного решения поставленной плоской задачи (задача 4) с последующим умножением результатов на коэффициенты k и k.

Коэффициент запаса прочности старой обделки (внешнего слоя) k s определяется на основе условий прочности с использованием вычи сленных напряжений где Rbc, Rbt - расчетные сопротивления бетона сжатию и растяжению, Rbc,Rbt -прочность бетона в зоне коррозионного разрушения на расin) max - соответственно максимальные сжимающие (отрицательные) и растягивающие нормальные тангенциальные напряжения в обделке вне зоны коррозио нного разрушения; *(in), *(in) - максимальные напряжения в точc t max ках сводовой части внутреннего контура поперечного сечения обделки (в области коррозионного разрушения).

Следуя подходу, предложенному профессором Н.С. Булычевым [25] прочность тампонажного слоя обделки оценивается в сечениях, в которых материал находится в условия всестороннего сжатия (растяжение из рассмотрения исключается). В качестве критерия прочности тампонажного слоя записывается условие Кулона-Мора в следующем виде:

где Rbn - нормативное сопротивление материала (бетона) при сжатии;

b - угол внутреннего трения бетона.

Поскольку рассматриваемый (промежуточный) слой находится в условиях объемного нагружения, его материал не теряет несущей способности даже при существенном развитии микроразрушений.

Таким образом, при оценке прочности тампонажного слоя растягивающие нормальные тангенциальные напряжения из рассмотрения можно исключить [25].

Вязкоупругое деформирование грунта вокруг тоннеля может быть учтено на основе теории линейной наследственной ползучести с использованием метода переменных модулей, согласно которому входящие в решение задачи теории упругости деформационные х арактеристики среды S0, моделирующей грунтовый массив, представляются как функции времени [2] где (t ) - функция ползучести, определяемая соотношением, - параметры ползучести, определяемые экспериментально (для большинства грунтов = 0,7); t - время в секундах, отсчитываемое от момента ввода обделки в работу.

Таким образом, зная параметры ползучести грунтов, можно найти деформационные характеристики E0 (t ), 0 (t ) в интересующий момент времени t и использовать их значения при решении описанных контактных задач с целью определения усилий в конструкции.

3. МЕТОД РАСЧЕТА ОБДЕЛКИ КОЛЛЕКТОРНОГО ТОННЕЛЯ,

ВОССТАНОВЛЕННОГО БЕСТРАНШЕЙНЫМ СПОСОБОМ

С целью реализации сформулированной математической модели и построения метода расчета трехслойной обделки коллекторного тоннеля, создаваемой в результате восстановления бестраншейным способом, рассматривается плоская контактная задача теории упр угости [82-84].

3.1. Переход к задаче теории аналитических функций комплексного переменного На первом этапе, следуя работам [114, 123, 129 и др.], отнесем все геометрические размеры к величине наружного радиуса выработки R0, то есть введем представления j 0,...,3, связанных с дополнительными напряжениями и смещениями известными формулами Колосова – Мусхелишвили и характеризующих напряженное состояние областей S j j 0,...,3, сформулированные задачи теории упругости сводятся к решению соответствующих краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного при граничных условиях t j аффикс точки контура L j j 0,...,3 ;

f j t j j 0,...,3 функции, определяемые в зависимости от вида действующей нагрузки (рассматриваемой задачи), которые представляюся следующим образом:

- в задаче - в задаче - в задаче - в задаче f j (t j ) 0, ( j 0,...,3).

3.2. Представления комплексных потенциалов Воспользуемся представлением искомых комплексных потенциалов в областях S j ( j 1,...,3), в форме здесь j (z ), j (z ) функции, регулярные в соответствующих облаj 0,...,3), и обращающиеся в нуль на бесконечности, стях S j Pj* ( z ), Q * ( z ) ( j 0,...,3) функции, определяемые в зависимости от вида действующей нагрузки [97]:

пределенных по контуру L j.

Как показано в работах [122 – 125], для выражения главного вектора X ( j ) iY ( j ), может быть использовано представление где действительная величина K j определяется в зависимости от рассматриваемой внешней нагрузки, i мнимая единица.

Принимая во внимание, что полубесконечная область S0 ограничена прямой L0, параллельной действительной оси 0 x, функции j ( z ), j ( z ), следуя работе [15], запишем в виде где функции P0* ( z ), Q0 ( z ) имеют представления 3.3. Аналитическое продолжение комплексных потенциалов 0 z, 0 z в верхнюю полуплоскость через прямолинейную границу L Аналитическое продолжение комплексных потенциалов 0 z, 0 z в верхнюю полуплоскость через прямолинейную границу L0 осуществляется так же, как это сделано в работах [4, 52, 124, 131 и др.].

С учетом представлений (3.11) - (3.13) комплексные потенциалы, регулярные в нижней полуплоскости S0, можно записать в виде:

Подставляя выражения (3.14), (3.15) в граничное условие (3.3), получим Далее, принимая во внимание, что на прямолинейной границе L0 имеют место соотношения исключив из рассмотрения константы, придем к выражению которое можно переписать в виде:

где Далее, следуя работам [124, 131, 139] представим равенство (3.19) в виде где потенциалы ( 0)* ( z), ( 0)* ( z) обеспечивают тождественное выполнение условия Причем, принимая во внимание выражения (3.8), функции ( 0)* ( z), ( 0)* ( z) определим из решения соответствующей задачи о действии равномерно распределенной нагрузки по части прямолинейной границы полуплоскости.

Повторив математические выкладки, приведенные в работе [96], запишем Используя разложения логарифмических функций в ряды приведем выражение (3.24) к виду С учетом представлений где имеем где Аналогично из (3.25) получим где Описанные операции (3.22)-(3.35) приводят к следующим выражениям комплексных потенциалов Таким образом, формула (3.21) принимает вид Далее, следуя работам [15, 130], введем вспомогательную функцию (t ), определяемую формулой:

Складывая выражения (3.19) и (3.21), получим Из (3.19) с учетом (3.22) имеем В соответствии с работой Н.И.Мусхелишвили [96] запишем где S0 - верхняя полуплоскость.

Тогда из соотношений (3.40), (3.41) имеем областях S и S, выражения (3.43) и (3.44) можно переписать в виде Тогда функции, введенные следующими соотношениями аналитически продолжают комплексные потенциалы (1)* ( z ), (1)* ( z ) в верхнюю полуплоскость S0 и, следовательно, регулярны в области S0 S0, т.е. вне контура L0 в полной плоскости.

можно получить где а также где Кроме того, интегрируя по частям, получим где Тогда функции ( 0) ( z ), ( 0) ( z ), регулярные в полной плоскости S0 S0 вне кругового контура L0, приобретают вид Таким образом, в области S0 будем иметь Далее обратимся к представлениям (3.36), (3.37), на основании которых запишем Далее обратимся к выражениям (3.14), (3.15). Воспользовавшись по аналогии с (3.26) разложениями Далее обратимся к представлениям (3.36), (3.37). В результате будем иметь где использованы обозначения D0 j ) ( z ); M 0 j ) ( z ) ( j 1, 2), наоборот, определяется видом нагружения.

При этом функции M 0 j ) ( z ) ( j 1, 2) определяют нагрузку на поверхности (случай, когда M 0 j ) ( z ) 0, соответствует отсутствию поверхностной нагрузки).

Поскольку введенные функции ( 0) ( z ), ( 0) ( z ) регулярны в полной плоскости S0 S0 вне контура L0, они могут быть представлены в виде Таким образом, вводя обозначения придем к следующим представлениям комплексных потенциалов Для получения выражений с целью вычисления пока не определенных величин k, k, входящих в коэффициенты ak3)( 0), ak4 )( 0), обратимся к функции (t ) в интегралах (3.51) и (3.53). Следуя Арамановичу И.Г. [15], воспользуемся соотношением (3.39).

Предельные значения комплексных потенциалов на L0 имеют вид:

Из формулы (3.74) следует Подставив представления (3.74)-(3.76) в формулу (3.39), получим:

Учитывая, что на контуре L0 выполняются следующие равенства а также используя выражение (3.20) для K 0 и разложения потенциалов ( 0) ( z ) и ( 0) ( z ) в ряды (3.66), определим функцию (t ) :

В соответствии с работой [15], для вычисления интегралов по бесконечной прямой L0, входящих в (3.81), (3.82), вводятся следующие функции S0 при любом z S0, кроме точки 2ih, где она имеет полюс порядk ка k с вычетом (3.83) не имеет особых точек.

Т.к. при рассматриваемая функция имеет полюс не ниже второго порядка (если только n k 0 ), то можно заключить Как следует из формулы (3.86), Одновременно имеют место следующие соотношения [6] имеем Полагая z 0 в (3.84), можно получить откуда при различных k имеем:

Выражения в (3.93) можно записать в общем виде где введено обозначение ( n 0, 1,..., ; k 1,..., ):

На основании формул (3.81), (3.82) с учетом интеграла (3.84) при z 0 получим:

Как следует из полученных соотношений (3.100), величины k, k (k= 0…) выражаются через коэффициенты разложений искомых потенциалов ( 0) z и ( 0) z.

3.4. Конформное преобразование.

Представление комплексных потенциалов и формулировка граничных условий в отображенной области Далее осуществим конформное отображение внешностей единичных окружностей j в областях переменных j на внешности контуров L j ( j 0,...,3) в области z с помощью рациональных функций При этом, учитывая, что все геометрические размеры отнесены к величине R0, отображающие функции принимают вид где q ( 1,...,n* ) коэффициенты, определяются в результате конформного отображения внешности единичного круга на внешность контура L1 любым из известных способов, например, методом П.В. Мелентьева [90], либо с использованием алгоритма А.Г. Угодчикова [127], при этом n * - число удерживаемых членов, определяющее точность отображения (в практических целях, как показано в р аботах Н.Н. Фотиевой [128, 133], достаточно принимать n* 5 ), i - мнимая единица.

С учетом преобразования (3.103) комплексные потенциалы 0 z, 0 z регулярные в нижней полуплоскости вне кругового контура L0 будем отыскивать в виде где использованы следующие обозначения, вытекающие из выражений (3.72), (3.73) Таким образом, потенциалы, регулярные в нижней полуплоскости вне контура L0, на основании представлений (3.72), (3.73) запишем в форме В свою очередь, для потенциалов j z, j z ( j 1,...,3 ), регулярные в соответствующих областях S j ( j 1,...,3 ), будем использовать следующие представления [68].

Так, в кольце S1, ограниченном снаружи круговым контуром L и внутренним некруговым контуром L1 комплексные потенциалы будем отыскивать в виде В кольце S2, ограниченном снаружи некруговым контуром L1 и внутренним круговым контуром L2 сдвинутым относительно начала координат на величину a, потенциалы будут иметь представления где P( j 1) ( z ) полиномы Фабера для внутренности области S2, ограниченной снаружи контуром L1.

В концентрическом круговом кольце S3 потенциалы будут иметь разложения Далее, следуя Г.М.Иванову [68], введем обозначения (j=1,...,3;

k=j, j+1) Затем, примем во внимание, что на контурах L j имеют место соотношения Аналогичным образом введем представления для функций Pj* ( z ), Q * ( z ) (j=1,...,3). Запишем Принимая во внимание выражения (3.10) имеем на контуре Lk (k = 1,...,3).

функции (3.103), с учетом которого можно записать [123] где () - некоторая функция, регулярная вне единичной окружности.

Таким образом, выражения (3.9) для комплексных потенциалов с учетом представлений (3.113)- (3.116) принимают вид на контуре Аналогичным образом введем представления на контуре L j (j=1,...,3):

Отметим, что простая замена j на j+1 в выражениях (3.118) позволяет получить на контуре L j 1 (j=0,...,2) следующие формулы С целью сохранения общности записи введем представления для потенциалов, характеризующих напряженное состояние среды S Таким образом, учитывая соотношения (3.9), (3.112) (3.120) и то обстоятельство, что потенциалы 0,0 0, 0,0 0 тождественно удовлетворяют граничному условию (3.15), соотношения (3.4) в преобразованной области (после операции комплексного сопряжения) для всех рассмотренных нагрузок могут быть записаны в общем виде:

где функции j (), j () определяются в зависимости от вида действующей нагрузки (рассматриваемой задачи) Таким образом, при решении поставленной задачи необходимо определить 7 пар неизвестных функций 3.5. Решение краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного На первом этапе получим соответствующие выражения для представления потенциалов k, j (), k, j () (k j 1, j ).

С этой целью воспользуемся известными формулами для определения полиномов Фабера [74]:

( k 1, 2,...,) - коэффициенты разложения отображающей где qk функции ~ 1 1, причем qk 0 при ( k n 1,...,).

Из формул (3.102) следует, что функция Pk(1) ~ представляет собой полином k той степени относительно ~ где, очевидно, из первого выражения (3.123) вытекает, что Подставим, далее, ряд (3.113) в рекуррентные формулы (3.123).

Запишем Сравнивая в полученном равенстве коэффициенты при одинаковых степенях ~, приходим к следующим рекуррентным формулам uk )1, uk )1, наконец, из последнего равенства, положив k 0,1,...; k 1, вытекают равенства которые дополняют представления (3.126).

Из формул (3.123) и (3.125) вытекает, что полиномы Pk( j ) ( ~) моz гут быть представлены в виде при этом, как следует из выражения для полинома P ( j ) ~ и отобраz жающей функции (3.107), имеют место соотношения Таким образом, можно записать а далее, принимая во внимание, что на основании (3.126) u1,10) q0, прийти к выражению подставляя разложение (3.129) в выражения (3.123) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, для остальных величин lk1), находим lk1)1, qk lk1n1 qr lk1r) qk r lr( где величины k,, k, находятся из соотношений Входящие в представления (3.109) функции ~, регулярные внутри области, ограниченной круговым контуром L0, разложим в ряды по полиномам Pn(1) ( ~) для внутренности области с наружным некруговым контуром L1. Воспользуемся представлением Подставив в правую часть этого соотношения выражение (3.125), получим Это выражение перепишем в виде Далее, изменим порядок суммирования в правой части полученного равенства следующим образом В результате запишем и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной ~, удается придти к следующей системе уравнений для определения коэффициентов (1, Очевидно, эта система имеет треугольную матрицу ненулевых коэффициентов относительно неизвестных (1,, поэтому ее решение можно записать в виде рекуррентной формулы, где учтено, что u1) 1, Далее обратимся к входящим в представления (3.109) функциям (k=1,...,), которые являются голоморфными вне соответz ствующего контура L1 и обращаются в нуль на бесконечности. Следовательно, как функции переменной ~ 0, они голоморфны вне окружности L0. Это позволяет разложить их в указанных областях в ряды Лорана вида [96] Для определения коэффициентов (1, воспользуемся представk лением (3.103), на основании которого запишем для любой точки с аффиксом ~ в отображенной области при j =0, где использованы обозначения, вытекающие из (3.103) Возведем равенства (3.142) в степень k Воспользуемся далее выражением (3.145) и известными формулами Д.И. Шермана [143], чтобы записать на L1 :

где Подставим в (3.142) в (3.146), запишем рования запишем Приравняем в правой и левой частях полученного равенства к оэффициенты при одинаковых степенях переменной ~. Запишем Полученная система относительно неизвестных (r1) имеет треугольную матрицу коэффициентов, поэтому ее решение может быть записано в виде Разложим далее полиномы Pk(1) ( ~) в ряды по степеням переменz ной 2 ~ для внутренности области, ограниченной круговым конz туром L2. По аналогии с выражением (3.136) запишем Подставим в правую часть этого соотношения вытекающее из (3.103) представление которое преобразуем следующим образом Далее воспользуемся известной формулой где В результате, из (3.154) получаем где использовано обозначение С учетом (3.126), (3.155) – (3.159) выражение (3.154) запишем в виде После изменения порядка суммирования в правой части выражения (3.160) получим откуда, после приравнивания коэффициентов при одинаковых степ енях переменного ~, запишем Далее обратимся к функциям 2 ( ~) (k=1,...,), которые являz ются голоморфными вне соответствующего контура L2 и обращаются в нуль на бесконечности. Следовательно, как функции переменной 1 ~, они голоморфны вне окружности, внешность которой переz ходит во внешность контура L1 при конформном отображении, осуществляемом с помощью рациональной функции (3.143). Это позволяет разложить их в указанных областях в ряды Лорана вида Рассуждая так же, как при выводе соотношений (3.154)-(3.155), однако учитывая, что рассматриваемая точка ~ находится вне контуz ра L2 и, следовательно, выполняется условие представлением которое преобразуем с использованием известной формулы где Воспользуемся далее представлением (3.143) с учетом того обстоятельства, что в нашем случае 0 ( ~) ~, т.е. используем выражеz z ние В результате из (3.164) и (3.168) запишем Изменив, далее, порядок суммирования в правой части полученного равенства, запишем В результате описанных преобразований придем к равенству а в результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменного ~ получим Далее обратимся к рассмотрению концентрического кольца, (3.103), запишем откуда вытекает, что Полученные выше соотношения позволяют придти к выражениям 1,0 () ak1)(1)(1,)n n a03)(1) ak3)(1) k = ck1)(1,0) k ck3)(1,0) k ;

1,0 () ak2)(1)(1,)n n a03)(1) ak4)(1) k = ck2 )(1,0) k ck4 )(1,0) k ;

где введены следующие обозначения j 0,...,2 :

Соотношения (3.176)(3.178) позволяют выразить коэффициенты ckm )( j 1, j 1) (m=1,...,4; j=0,...,2; k=1,...,) через соответствующие коэффициенты ckm )( j 1, j ) (m=1,...,4; j=0,...,2; k=1,...,).

Далее, с учетом (3.175) выражение (3.173) представим в форме Выразим из (3.181) коэффициенты ak s )( j 1, j 1) через соответствующие коэффициенты ck s )( j 1, j ), ck s )( j 1, j ). С этой целью, очевидно, требуется решить систему алгебраических уравнений вида где Поскольку система (3.181) имеет треугольную матрицу коэффициентов, ее решение можно записать так [74]:

Коэффициенты (,jk 1) будем определять следующим образом.

Выделив в левой части выражения (3.182) член при n=k, получим Далее, принимая во внимание соотношение (3.184), запишем Таким образом, сравнивая (3.78) и (3.80), имеем Подстановка выражения (3.183) в соотношение (3.184) позволяет получить Наконец, используя полученное представление, на основании (3.180) запишем:

Выражение (3.189) представим в виде здесь знак у первой суммы означает, что индекс суммирования l увеличивается на 2 при переходе к следующему значению; коэффициенты N k l, s )( j 1) находятся из выражений (s=1, 2) Нетрудно заметить, что соотношениями (3.190) можно пользоваться и при s=3,4, вычисляя соответствующие коэффициенты N k l, s )( j 1) по формулам Отметим, что при решении задачи в общем случае отсутствия геометрической и силовой симметрии, все переменные в приведенных выкладках являются комплексными величинами (за исключением индексов и связанных с ними переменных, являющихся целыми).

3.6. Формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений Обратимся к граничным условиям (3.121). Следуя работе [129], преобразуем граничные условия (3.121). После сложения двух первых выражений, входящих в граничные условия (3.121), запишем Далее вычтем из первого выражения (3.121), умноженного на (1 ae j 1 ), второе. Получим будем иметь где введены следующие обозначения Следуя работе [114], воспользуемся представлениями функций j (), j () (j=0,...,3) в виде рядов по степеням переменной :

при этом величины q и коэффициенты T( l )( j ) (l=1, 2; j=0,...,3;

=,..,1, 0, 1,...,) на данном этапе будем считать известными, а определим их в зависимости от вида действующей нагрузки в дальнейшем. Такой прием позволяет построить общее решение для всех типов рассматриваемых задач.

Введем с целью общности записи следующие представления для потенциалов в области S0 на границе L0, вытекающие из (3.107), (3.194), где использованы обозначения k j )( 0,0) ( j 1, 2; k 0,...,) посредством следующих формул, вытекающих из соотношений (3.200), (3.67)- (3.71), (3.81)-(3.82):

( 3)( 0,0) A( 3)( 0) K A( 3)( 0) PT ( 3)( 0,0), k 0,1,..., k4)( 0,0) 02)( 0,0) A02)( 0) K0 A0 2)( 0) PT0( 2)( 0,0), k 1,..., здесь использованы обозначения, принятые в формулах (3.33), (3.35), (3.67)-(3.71), (3.100),(3.101).

Рассмотрим далее выражения условия (3.195), (3.196).

На основании представлений (3.103) запишем при j= В свою очередь, принимая во внимание вытекающее из (3.103), (3.143)-(3.144) выражение для отображающей функции 1 () при j= и соотношения представим отношения Отсюда следует После выделения в (3.205) членов, содержащих только отрицательные и только положительные степени переменной, имеем Заменяя в сумме левой части равенства (3.206) 1 на k, в первой сумме правой части (3.206) k на k и во второй сумме k на k, получим:

Представим далее равенство (3.207) в виде Приравнивая в левой и правой частях (3.208) коэффициенты при одинаковых положительных и отрицательных степенях, получим Из (3.209) имеем рекуррентные формулы для определения коэффициентов hk1) (k 0) Тогда из равенства (3.210) с учетом (3.211) имеем рекуррентные формулы для определения остальных коэффициентов h1k) (k= 1,...,;

j=0,...,3) Объединив выражения (3.211), (3.212), запишем Далее рассмотрим выражения представления (3.103) запишем Откуда получим выражения для hk j ) при j=2, Обратимся к выражению На первом этапе, с целью упрощения преобразований представления (3.175) запишем в виде где использованы следующие обозначения Таким образом, на основании (3.150) получим В результате запишем Таким образом, обозначения (3.217) позволяют записать (3.219) в виде Таким образом, принимая во внимание представления (3.198), (3.221), а также выражение запишем условия (3.124), (3.125) в форме:

при одинаковых степенях переменной (коэффициенты при нулевой степени могут не рассматриваться, поскольку на напряженное состояние они не влияют), получим Производя аналогичные операции с выражением (3.224), получим j=0,...,3; k=1,...,) в виде где Аналогично представим Далее произведем разделение действительных и мнимых частей в равенствах (3.225) (3.228). Так, из выражения (3.225) получим (j=0,...,2; k=1,...):

qn j Tk(1, j )(1) Tk( 2, j )(1) qn j Tk(1, j )(2) Tk( 2, j )(2) Разделение действительных и мнимых частей в выражении (3.226) приводит к соотношениям (j=0,...,2; k=1,...):

ck3)( j, j 1)(1) t j ck3)( j, j )(1) d j f (kj,)(1) c1)( j, j )(1) f (kj,)( 2 ) c1)( j, j )( 2 ) В свою очередь, из выражения (3.227) получим (j=0,...,2;

k=1,...):

Наконец, разделяя действительные мнимые части в формуле (3.228), придем к выражениям (j=0,..., 2; k=1,...):

ck4 )( j 1, j )(1) f k(, )(1) c1)( j 1, j )(1) f k(, )( 2 ) c1)( j 1, j )( 2 ) Далее представим соотношения (3.232) (3.239) в виде Из выражения (3.232) следует, что В свою очередь, исходя из формулы (3.233) имеем (p=1, r=2) В результате представления выражений (3.234), (3.235) в форме (3.232) (p=3, r=1,2) имеем:

Pk(,11)( 3,1)( j ) Pk(,12 )( 3,2 )( j ) d j f (kj,)(1), Pk(,12 )( 3,1)( j ) Pk(,11)( 3,2 )( j ) d j f (kj,)( 2 ), Pk(,3,1)( 3,1)( j ) d j f (kj,)(1) k, t j, Pk(,3, 2 )( 3,1)( j ) Pk(,3,1)( 3,2 )( j ) d j f (kj,)( 2 ), Выражения (3.236), (3.237) можно представить в виде (j=0,..., 2; k=1,....,):

где ~ ( 4,1)( 2,1)( j ) P ( 2, 2 )( 2,1)( j ) 0, Для представления соотношений (3.244), (3.245) в форме (3.240) c1)( j 1, j )( r ), c3)( j 1, j )( r ) (r=1, 2; =1,...,) через коэффициенты c (ps )( j, j )( r ) (r=1, 2; =1,...,). С этой целью рассмотрим двойные суммы, входящие в правые части формул (3.244), (3.245).

Так, принимая во внимание соотношения (3.240) при p=1, 3; r=1, 2, получим:

1 f (kj,)( r)Q1, j )( r ) f (kj,)( r )Q3, j )( r ) Тогда выражение (3.244) можно представить в форме (3.240) при p=2, r=1, т.е.

где Pk(,ls )( 2,1)( j ) Qk 2, j )(1) Аналогичным образом преобразуем двойную сумму, входящую в правую часть выражения (3.248). Имеем:

Pk(,ls )( 2,2 )( j ) Pk(,l, s )( 2,2 )( j ) f (kj,)( 3p r ) Pp,ls )(1, r )( j ) f (kj,)(p3 r ) Pp,ls )( 3, r )( j ), выражение (3.245) приводится к виду (3.240) при p=2, r=2.

~ ( 2,1)( 4,1)( j ) P ( 2,2 )( 4,1)( j ) 0, Pk(,ls )( 4,1)( j ) Pk(,l, s )( 4,1)( j ) 1 f k(, )( r ) Pp,ls )(1, r )( j ) f k(, jp)( r ) Pp,ls )( 3, r )( j ), Pk(,ls )( 4,2 )( j ) Pk(,l, s )( 4,2 )( j ) f k(, )( 3 r ) Pp,ls )(1, r )( j ) f k(, jp)( 3 r ) Pp,ls )( 3, r )( j ), соотношения (3.240) при p=4, r=1,2 могут быть использованы для выражения коэффициентов ck4)( j 1, j )(1), ck4)( j 1, j )( 2).

Таким образом, рекуррентные формулы (3.240) (j=0,...,2) позволяют выразить коэффициенты ck p )( j 1, j )( r ) (j=0,...,2; p = 1,...,4; r=1, 2;

k=1,...,) разложений функций j+1,j ( ), j+1,j ( ), характеризующих напряженное состояние областей S j+1 (j=0,...,2) в точках контуров L j (j=0,...,2), через коэффициенты ck p )( j, j )( m ) соответствующих функций j+1,j ( ), j+1,j ( ), в областях S j (j=0,...,2).

Далее обратимся к выражениям (3.174). Примем во внимание, что все величины комплексные, поэтому представим указанные комплексные величины в виде:

где Тогда, разделяя действительные и мнимые части в правой и левой частях выражения (3.253), получим Формулы (3.255) можно объединить, вводя представления где коэффициенты S k l,p )( s,r )( j 1) определяются по формулам Здесь использовано обозначение Далее, подставляя выражения (3.258) в (3.253), выразим коэффициенты ck s )( j 1, j 1) через коэффициенты ck s )( j 1, j ) (s=1,...,4; j=0,...,2;

k=1,...,) и таким образом осуществим переход от коэффициентов ck s )( j, j ) к коэффициентам ck s )( j 1, j 1). Получим где Таким образом, рекуррентные формулы (3.259) (j=0,...,2) позволяют выразить коэффициенты ck p )( j 1, j 1)( r ) (j=0,...,2; p = 1,...,4; r=1, 2;

k=1,...,) разложений комплексных потенциалов j+1(), j+1 (), характеризующих напряженное состояние областей S j+1 (j=0,...,2), через (j=0,...,3). В результате полученные соотношения (3.256) позволяют выразить коэффициенты ck s )( 3,3)( r ) разложений комплексных потенциалов 3,3 (), 3,3 (), характеризующих напряженное состояние внутреннего кольца S3, через коэффициенты ck s )( 0,0)( r ) потенциалов 0,0 (), 0,0 () для среды S0.

Здесь использованы обозначения Положив далее в формуле (3.259) j=1, и, принимая во внимание формулу (3.262), получим После изменения порядка суммирования имеем Таким образом, проводя аналогичные рассуждения при j=2, соотношение, связывающее коэффициенты разложений комплексных потенциалов, определяющих напряженно-деформированное состояние внутреннего 3-ого слоя кольца, с коэффициентами потенциалов в среде S0, можно представить в виде:

где Теперь обратимся к последнему граничному условию (3.121) на внутреннем контуре L 3. C учетом представлений (3.198), (3.221), (3.222) будем иметь После приравнивания в левой и правой частях равенства (3.268) коэффициентов при одинаковых степенях переменной придем к соотношениям Используя введенные ранее представления (3.229)(3.231), после разделения действительных и мнимых частей в (3.269) получим ck1)( 3,3)(1) ck3)( 3,3)(1) Уравнения (3.270) могут быть представлены в виде где r=1, 2, 3, 4 номер по порядку каждого из уравнений (3.271), а величины M k,js )( r ), L(r ) определяются формулами:

После подстановки (3.266) в уравнения (3.271) приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных c (pl )( 0,0)( t ) (t=1, 2; l = 1, 2; p =1,...,), имеющей вид:

Раскрывая скобки и изменяя порядок суммирования, систему уравнений (3.271) можно представить в виде где Следует отметить, что полученная система линейных алгебраических уравнений может быть решена только в предположении, что коэффициенты qct )( 0,0)( l ) (t 3, 4) являются известными. В этом случае можно записать Такой прием позволяет свести решение исходных задач к сходящемуся итерационному процессу, при котором в каждом приближении решаются соответствующим образом укороченные системы (3.275) с дополнительными рядами в правых частях, коэффициенты предыдущих приближений с применением формул (3.67) – (3.71), (3.200) (в нулевом приближении эти коэффициенты полагаются равными нулю).

Таким образом, на каждом шаге организованного, как описано выше, итерационного процесса в бесконечной системе (3.275) удерживается 4 N (k= 1, 2,..., N ) уравнений, которые решаются (в долях величины q) относительно действительных (при l=1) и мнимых (при l=2) частей неизвестных ( t )( 0,0)( l ) (t, l=1, 2; = 1, 2,..., N ). Далее с использованием представлений (3.229)-(3.230), (3.240) определяются коэффициенты ( t )( 0,0)( l ) (t=3, 4; l=1, 2; = 1, 2,..., N ) дополнительных рядов правой части (3.275). Итерационный процесс продолжается до ck j )( 0,0)( l ) ( j 1,...,4; l 1, 2; k 1,..., N ) разложений в ряды комплексных потенциалов 0,0 (), 0,0 (), полученных в двух соседних приближениях, не становятся меньше 10 -6.

Коэффициенты ckt )( j, s )( l ) ( t 1,...,4; l 1, 2; s=j+1, j k 1,..., N ) разложений остальных потенциалов s, j (), s, j () (s=j+1, j) в областях S j (j= 1,…,3) на контурах L s определяются с помощью рекуррентных соотношений (3.190),(3.240).

Отметим, что использование формул (3.190), (3.240) дает возможность получить разрешающую систему алгебраических уравн ений (3.273), порядок которой не зависит от числа рассматриваемых слоев кольца и остается таким же, как при решении задачи для неподкрепленного отверстия в однородной среде. При этом, учитывая, что от вида действующей нагрузки зависят лишь коэффициенты T ( s )( j ) (s=1,2; j=0,...,N; k=1, 2,..., N ), которые, в конечном счете, входят лишь в выражения для Vk(r ) (r=1,...,4; k=1,..., N ), представляющие собой свободные члены системы (3.273), можно заключить, что все рассматриваемые задачи сводятся к одной и той же системе уравнений с другими свободными членами.

3.7. Определение коэффициентов Tk( s )( j ) и величин q в зависимости от вида рассматриваемой нагрузки Обратимся к выражениям для определения функций j (), j () (j=0,...,3) и величин q, входящих в граничные условия (3.121), которые определяются в зависимости от вида действующей нагрузки (рассматриваемой задачи). Представив эти функции в виде степенных рядов (3.198), получим выражения для определения искомых коэффициентов разложения Tk( s )( j ).

3.7.1. Действие собственного веса грунта (задача 1) Определим функцию Для этого воспользуемся известными формулами /96/ Учитывая выражения (3.5), (3.103) в которых начальные напряжения (x0)( 0), (x0y)( 0) определяются по формулам (3.1), имеем С учетом того, что на контуре L0 имеет место соотношение Определим далее главный вектор усилий на контуре L0 /96/.

Учитывая, что при обходе контура L0 ln приобретает приращение 2i, имеем где Таким образом, с учетом выражения (3.280) формула (3.278) принимает вид Далее, положив при j= 1,..., на основании соотношений (3.122) запишем а, принимая во внимание выражение (3.281), и вытекающее из (3.103) представление на контуре L0 0, представим Таким образом, после подстановки первого из выражений (3.283) в представления (3.198) будем иметь В результате приравнивания в правой и левой частях полученного равенства коэффициентов при одинаковых положительных и о трицательных степенях переменного получим (в долях величины K 0 ):

Аналогично запишем Откуда получим (также в долях величины K 0 ):

Далее, принимая во внимание равенства (3.284) запишем 3.7.2. Действие внешнего давления грунтовых вод (задача 2) Следуя работе [123] запишем Откуда на основании очевидных представлений можно получить В результате, принимая во внимание, что на контуре L2 в соответствии с (3.103) справедливо представление t t2 r2 b, отбрасывая константы, запишем где использовано обозначение кают представления Определим далее главный вектор усилий на контуре L2 [96]. Учитывая, что при обходе контура L2 ln приобретает приращение 2i, имеем где Таким образом, с учетом выражения (3.297) формула (3.293) принимает вид Далее, учитывая наличие начальных напряжений (2.3) запишем X ( j ) iY ( j ) X ( 2) iY ( 2) в областях S j j 0,...,2, и, следовательно, Далее, на основании соотношений (3.122) будем иметь а, принимая во внимание выражение (3.299), обозначения (3.134) и вытекающее из (3.103) представление на контуре L перепишем выражения (3.300) в виде Таким образом, после подстановки в формулы (3.301) выражения (3.202), (3.204), (3.214) получим следующие представления Подставляя первые два выражения (3.303) в представления (3.201) будем иметь В результате приравнивания в правой и левой частях полученного равенства коэффициентов при одинаковых положительных и о трицательных степенях переменного получим (в долях величины q ):

Аналогично на основании (3.303) запишем Откуда получим (также в долях величины K 2 ):

3.7.3. Действие жидкости, заполняющей тоннель в период водосброса (задача 3) Воспользуемся известными формулами [96] запишем на контуре L и определим функцию f 3 (t ) i ( X n3) iYn( 3) )ds.

С учетом выражения (3.103) функция f 3 (t ) приобретает вид (с точностью до константы) Далее определим функции j (), j () Принимая во внимание то обстоятельство, что в рассмотренном случае главный вектор внешних сил равен нулю, т.е.

на основании соотношений (3.101) запишем Тогда, подставляя выражения (3.311) в формулы (3.198) и вводя обозначение q p, будем иметь В результате приравнивания в правой и левой частях полученного равенства коэффициентов при одинаковых положительных и о трицательных степенях переменного и с учетом (3.134)получим 3.7.4. Действие нагрузки, обусловленной весом зданий и сооружений на поверхности (задача 4) Действие равномерно распределенной нагрузки на произвольном участке границы полуплоскости учитывается граничным услов ием (3.3), которое раскрывается в разделе 3.2.

(3.122) запишем Таким образом, далее в формулах (3.198) будем принимать В то же время из выражений (3.70),(3.71), (3.200) будем иметь следующие представления (в долях величины q ) При этом необходимо учитывать, что для учета нагрузки, прикладываемой после проведения восстановительного ремонта в тоннеле, используются коэффициенты T(l )( 0,0) ( l 3, 4; 1, 2,..., ), которые определяются на основе выражений (3.33), (3.35). В результате полученного решения будет рассмотрен случай приложения нагрузки на поверхности после образования отверстия (задача 4,а).

Рассматривая вариант, когда нагрузки действовала до проведения ремонта (задача 4б), соответствующий случаю возведения сооружения на поверхности до создания новой, трехслойной обделки, необходимо, следуя работам [10, 53, 125,131 и др.], учитывать только дополнительные смещения в полуплоскости (массиве грунта). В связи с этим при раскрытии второго из граничных условий (3.4), отражающего неразрывность смещений на контуре L0 (при j =0), в потенциалах 0 ( z), 0 ( z) необходимо исключить функции M 0 j ), характеризующие напряженно-деформированное состояние среды S0 вследствие приложения поверхностной нагрузки. По сравнению с задачей 4,а это приведет к появлению функции Таким образом, с учетом представлений (3.65) и q P будем иметь Далее воспользуемся представлениями (3.198), на основании которых придем к следующему соотношению В результате приравнивания коэффициентов при одинаковых положительных и отрицательных степенях переменного в правой и левой частях полученного равенства получим выражения для опред еления коэффициентов Tk( 2 )( 0) (k,...) Остальные коэффициенты в рядах (3.198) будем принимать Таким образом, решив систему (3.275) и определив искомые коэффициенты ckt )( j, s )( l ) ( t 1,...,4; l 1, 2; s=j+1, j k 1,..., N ) разложения потенциалов s, j (), s, j () (s=j+1, j), можно перейти к нахождению напряжений в среде (j= 0) и в каждом jтом (j= 1, 2,3) слое кольца.

3.8. Определение напряжений в среде и в слоях кольца Для нахождения дополнительных напряжений (в долях величины q) в областях S j (j= 1,…,3) на контурах L s (s =j, j+1) используются формулы Колосова – Мусхелишвили [96], которые в криволинейных полярных координатах, связанных с конформным отображением, осуществляемым с помощью рациональных функций (3.103) принимают вид Для определения дополнительных напряжений (также в долях q) в декартовых координатах в области S 0, моделирующей массив грунта, вне контура L0 (при оценке напряженного состояния массива) используются формулы При этом вид выражений для определения комплексных потенциалов ( z ), ( z ) определяется формулами (3.106), (3.107), которые с учетом обозначений (3.200) принимают форму Для определения полных напряжений к найденным дополнительным напряжениям необходимо добавить начальные напряжения.

3.9. Алгоритм расчета Ниже приводится полный алгоритм расчета трехслойной обделки коллекторного тоннеля мелкого заложения, созданной в результ ате восстановительного ремонта методом «труба в трубе». При этом напряженное состояние обделки определяется в зависимости от размеров коррозионного нарушения в процессе эксплуатации существовавшей обделки, от механических свойств и геометрических характ еристик сечения прокладываемой трубы ПЭ и материала заполнения, а также в зависимости от действующей нагрузки или воздействия на основе решения одной из задач, номер которой задается в соответствии с табл. 3.9.1.

Определение номера задачи при рассмотрении Нагрузка на поверхности, прикладываемая после 4,а проведения ремонта выработки проведения ремонта выработки 3.9.1. Задание исходных данных Общими исходными данными для всех задач являются:

R0 радиус выработки (радиус наружного контура поперечного сечения обделки), м;

заданные форма и размеры внутреннего контура поперечного сечения обделки; форма и размеры поперечного сечения задаются с учетом коррозионного повреждения обделки длинами 13 лучей l1, l2,..., l13 (в метрах), проведенных из начала координат, совпадающего с осью выработки, под углом 15 о друг к другу (первый луч совпадает с положительным направлением вертикальной оси 0y, являющейся осью симметрии) до пересечения их с внутренним реальным контуром поперечного сечения обделки, вычерченным в определе нном масштабе;

R2, R3 соответственно наружный и внутренний радиусы внутренней трубы, м;

а - смещение внутренней трубы относительно центра выработки (начала координат), м;

E0, 0 соответственно модуль деформации в МПа и коэффициент Пуассона массива пород;

E1, 1 соответственно модуль деформации в МПа и коэффициент Пуассона материала бетонной обделки (до ремонта);

E2, 2 соответственно модуль деформации в МПа и коэффициент Пуассона материала бетонного заполнения;

E3, 3 соответственно модуль деформации в МПа и коэффициент Пуассона материала внутренней трубы;

N число удерживаемых членов рядов, входящих в решение соответствующей задачи;

шаг по углу, отсчитываемому от оси 0у против часовой стрелки.

Дополнительно, в зависимости от вида нагружения (задачи) задаются:

задача 1 (расчет на действие собственного веса пород) удельный вес пород, МН/м 3 ;

Н глубина заложения сооружения от начала координат, м;

коэффициент бокового давления пород в ненарушенном массиве;

* корректирующий множитель, введенный для учета особенностей формирования напряжений в подземной конструкции в результате проведения восстановительного ремонта, определяемый на основе обработки данных натурных наблюдений. При отсутствии с оответствующих данных может быть применена формула, рекомендуемая нормативно- техническими документами [25]:

где l0 - расстояние сооружаемой крепи до забоя, м;

задача 2 (расчет на действие внешнего давления подземных вод) w удельный вес воды (обычно принимается 10 кН/м 3 );