На правах рукописи

Шишаева Анастасия Сергеевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ПОДВИЖНЫХ И ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

КОНСТРУКЦИИ С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА

Специальность: 05.13.18 – математическое моделирование, численные

методы, комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук Аксенов Андрей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Зибаров Алексей Владимирович доктор физико-математических наук Сидлеров Дмитрий Анатольевич

Ведущая организация: Российский Федеральный Ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (РФЯЦ-ВНИИЭФ)

Защита состоится 29 декабря 2010 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института (государственного университета).

Автореферат разослан « » ноября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Коновалов В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Задачи взаимодействия подвижных и Актуальность темы.

деформируемых конструкций с жидкостью или газом широко распространены в науке, промышленности, медицине. Примерами таких задач в авиации являются флаттер крыльев и обшивки самолета, раскрытие парашюта, в автомобилестроении – аквапланирование автомобильной шины, в кораблестроении – движение судна, в машиностроении – движение масла через уплотнители, деформация лопаток турбины в потоке, тепловые деформации работающего подшипника, в медицине – работа сердца движение крови по деформируемым сосудам. Основная сложность моделирования взаимодействия жидкости и конструкций заключается в необходимости получения совместного согласованного решения уравнений динамики конструкции и уравнений движения жидкости или газа.

За последние десятилетия разработано большое количество аналитических и полуэмпирических методов. Однако, данные методы преимущественно применимы для узкого класса задач с простейшей геометрией и рядом ограничений, накладываемых на постановку задачи и граничные условия. В то же время, для решения промышленных задач требуется учитывать сколь угодно сложную геометрию и граничные условия.

Поэтому, одним из основных и наиболее перспективных методов для решения задач является прямое численное моделирование.

Существуют два основных метода для решения задач взаимодействия жидкости и конструкции с помощью численного моделирования:

монолитный и метод расщепления. Монолитный метод подразумевает сведение задачи в одну систему уравнений с единым методом их решения.

Метод расщепления предполагает разделение всей системы уравнений на подсистемы, которые решаются отдельно, периодически обмениваясь данными через заданный интервал времени. Монолитный метод более устойчив и лучше отражает физику явления. Однако он требует общего математического аппарата для решения всех уравнений, в то время как ориентированы либо на моделирование динамики деформируемых конструкций, либо на моделирование движения жидкости или газа. Метод расщепления позволяет использовать существующие решатели. Самая простая модификация метода расщепления – явный метод расщепления. При осуществляется один раз на одном интервале обмена. Однако известно, что неустойчивости – неравенство значений скорости поверхности конструкции и нагрузок на ней, вычисленных в подсистемах в моменты обмена.

Существует три пути устранения неустойчивости: использование неявной схемы расщепления, использование явной схемы с предиктор/корректором и использование искусственной сжимаемости. Использование неявной схемы в методе расщепления предполагает повторное решение уравнений движения жидкости и динамики конструкции вплоть до достижения согласованного решения обеих подсистем. Такой способ позволяет в значительной мере устранить причину неустойчивости, однако в десятки раз увеличивает время расчета. Использование предиктор/корректора предполагает предсказание скорости границы со стороны конструкции и нагрузки на границе со стороны потока на следующем шаге. Однако, поскольку нагрузки, вычисляемые в потоке, зависят от предсказанных, а не истинных смещений твердого тела на границе раздела, в случае недостаточно точного предсказания это также может приводить к неустойчивости. Использование искусственной сжимаемости предполагает внедрение в уравнение неразрывности для жидкости коэффициентов демпфирования, предугадывающих отклик подвижной или деформируемой конструкции на изменение нагрузки со стороны потока.

моделирования взаимодействия жидкости и конструкции, обладающих достаточным запасом устойчивости, является актуальной задачей.

Цель работы. Разработка технологии решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа. Применение ее для решения практически важных задач.

Научная новизна. Впервые для расширения диапазона устойчивости явного метода расщепления введены демпфирующие коэффициенты Податливость и Мобильность, которые обеспечивают устойчивую работу алгоритма в широком диапазоне параметров. Проведено теоретическое и численное исследование, подтверждающее расширение границ устойчивости алгоритма. С помощью разработанного алгоритма исследовано поведение защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа.

Подтвержден недавно открытый одномодовый флаттер пластины на низких сверхзвуковых скоростях. Обнаружено, что неустойчивость пластины при переходе на дозвуковые скорости принимает форму выпучивания с амплитудой, соответствующей амплитуде флаттера. Исследована зависимость флаттера и выпучивания от безразмерных параметров.

Практическая ценность. Разработан метод, предназначенный для численного решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа, сочетающий высокую скорость, точность и устойчивость вычислений. Данный метод использован для разработки прямого сопряжения программных комплексов FlowVisionHPC и Abaqus, предназначенных для решения широкого круга задач.

Посредствам разработанного метода исследована неустойчивость моделирование работы уплотнителя, подшипника скольжения, а также устройства автоматического бесконтактного захвата. Разработанный метод может с успехом применяться в процессе промышленной разработки в авиации, автомобилестроении, судостроении, машиностроении, атомной промышленности, автоматизации производства и медицине.

Положения, выносимые на защиту.

предназначенных для расчета уравнений движения жидкости и демпфирующих коэффициентов.

2. Исследовано влияние пристенных демпфирующих коэффициентов («податливость» и «мобильность») на численную устойчивость совместного решения.

3. Решена задача о поведении упругой пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа с помощью разработанного метода. Получена зависимость амплитуды выпучивания пластины и амплитуды и частоты флаттера пластины от параметров материала и размеров пластины и потока газа.

4. Решен ряд практически важных задач с помощью разработанного метода: левитация ротора опорного подшипника, определение расхода масла через маслосъемный колпачок, определена зависимость времени автоматической сборочной линии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 49-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук” (Долгопрудный, Россия, 2006), Конференции пользователей ABAQUS (Abaqus Users' Conference) (Париж, Франция, 2008), 51-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук” (Долгопрудный, Россия, 2008), VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, Россия, 2009), 52-й научной конференции МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук” (Долгопрудный, Россия, 2009), VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2010), конференции пользователей ABAQUS (Abaqus Users' Conference) (Чикаго, США, 2010).

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано статьи, 6 тезисов, сделано 8 научных докладов.

Личный вклад автора. Общая постановка задачи и определение направлений исследований принадлежит научному руководителю. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 139 страницах машинописного текста, содержит 6 таблиц, проиллюстрирована рисунками, состоит из 4 глав, выводов, списка литературы, включающего наименований и приложения.

В первой главе приведен анализ литературных данных и состояния вопроса по алгоритмам решения задач взаимодействия подвижной и проанализированы достоинства и недостатки различных алгоритмов, сформулированы задачи исследования. Вторая глава посвящена описанию разработанного алгоритма и демпфирующих коэффициентов, теоретическому и численному исследованию устойчивости. Третья глава посвящена описанию исследования неустойчивости упругой пластины в дои сверхзвуковом потоке газа. В четвертой главе описан ряд практически важных задач, решенных с помощью разработанного метода, а именно, возникновение левитации при работе опорного подшипника скольжения, работа уплотнителя в маслосъемном колпачке, и работа устройства автоматического захвата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

описывается круг задач, дается краткий обзор существующих численных методов, а также формулируются цели диссертационной работы.

Первая глава посвящена детальному анализу разработанных на сегодняшний день численных методов для решения задач взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа.

Во второй главе представлен метод решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа c помощью программных комплексов Abaqus и FlowVision-HPC.

В первой части второй главы приведено описание расчетной схемы.

Моделирование движения и теплообмена в жидкости и газе, а также осуществляется в программном комплексе Abaqus, основанном на методе конечных элементов. Связь между уравнениями движения и деформации конструкции и уравнениями движения жидкости и газа осуществляется посредствам прямого явного сопряжения. Рассмотрим разработанный метод на примере моделирования взаимодействия деформируемой конструкции с конструкции решается в Abaqus и в дискретной форме имеет вид:

где i – номер шага по времени, m – масса элемента конструкции, W – скорость поверхности конструкции, Fext – внешняя сила, действующая на элемент, не со стороны жидкости или газа, F f – внешняя сила, действующая действующая на элемент конструкции, i 1 T i 1 T i - шаг по времени, T – модифицируется к виду:

и решается во FlowVision-HPC.

Уравнения для моделирования движения жидкости решаются во FlowVision-HPC и в дискретной форме имеют вид:

где – объем элемента жидкости, V – скорость жидкости, s – векторная площадь поверхности элемента, P – давление в жидкости, – плотность жидкости. Решение уравнений осуществляется поочередно на каждом временном шаге.

Сила, действующая на конструкцию со стороны жидкости или газа, Рис. 1. Алгоритм сопряжения расчета взаимодействия подвижной или деформируемой конструкции в Abaqus и FlowVision-HPC Во второй части второй главы приведено описание демпфирующих коэффициентов, предназначенных для улучшения устойчивости схемы.

Рассматривается уравнение (3). Проблемы, возникающие при использовании явного метода, появляются из-за того, что в данном уравнении скорость жидкости V i 1 вычислена при давлении и вязком напряжении с шага i 1, а скорость поверхности тела W i 1 – при значении силы с шага i. Подстановка последнего в разностную схему вызывает осцилляции давления и может привести к расхождению решения. Для предотвращения осцилляций необходимо предугадать изменение скорости W на шаге i 1 под действием силы со стороны жидкости.

В данной работе предлагается оценивать изменение скорости по формуле:

где P – изменение давления, n – нормальный к поверхности вектор, C и B Податливость конструкции C вычисляется по формуле:

где l – перемещение элемента при изменении давления на P. Физический смысл параметра Податливость – линейный отклик элемента подвижной конструкции на изменение давления. Мобильность конструкции вычисляется по формуле:

охарактеризовать как величину, обратную инертности элемента конструкции с единичной площадью. Значения Податливости и Мобильности неизвестны при моделировании движения жидкости. Однако стартовые значения C0 и B можно оценить, подставив в формулы (5) и (6) средние значения параметров конструкции. Так, C0 можно положить равным отношению предполагаемого перемещения всей конструкции к среднему значению изменения давления, а B0 – отношению площади конструкции к ее массе.

Подстановка выражения для изменения скорости (4) в уравнение неразрывности с учетом постоянства C и B дает:

Выражение в правой части уравнения (7) может трактоваться как искусственная сжимаемость жидкости в пристенных ячейках.

В третьей части второй главы приведено теоретическое подтверждение демпфирующих коэффициентов на примере упрощенной одномерной схемы.

Рис. 2. Движение поршня под воздействием давления со стороны жидкости.

Исследование устойчивости упрощенной расчетной схемы проводится незакрепленного поршня под воздействием давления со стороны жидкости (см. Рис. 2). Движения поршня в безразмерном виде описывается следующей системой уравнений:

где a – отношение массы жидкости к массе поршня. В дискретном виде уравнения (8)-(10) без учета демпфирующих коэффициентов имеют вид:

приобретает вид:

где A C B 2. Далее приводится исследование обеих схем на устойчивость посредством метода усиления мод. Обнаружено, что без демпфирующих демпфирующих коэффициентов позволяет улучшить устойчивость задачи.

В четвертой части второй главы приводится численное исследование влияния демпфирующих коэффициентов на устойчивость конкретной расчетной схемы на примере моделирования одномерного движения незакрепленного поршня и поршня, закрепленного на пружине, под воздействием давления со стороны жидкости. Для расчетов использовался программный комплекс FlowVision-HPC. Установлено, что при снижении отношения плотности поршня к плотности жидкости, амплитуда колебаний, возникающих вследствие развития неустойчивости, усиливается и при отношении плотностей 0.5 становится сопоставимой с величиной силы, действующей на поршень. Далее проводятся расчеты с использованием Податливости и Мобильности. Мобильность используется при моделировании движения свободного поршня, а Податливость используется при моделировании движения поршня, закрепленного на пружине.

Рис. 3. Сила, действующая на незакрепленный поршень (а): 1 – B 0, – B 10B0, и на поршень, закрепленный на пружине (б): 1 – C 0, 2 – C 0.001C 0, Установлено, что использование демпфирующих коэффициентов позволяет улучшить устойчивость решения. Определяются оптимальные значения Податливости C 0.001C 0 и Мобильности B 10B0 (см. Рис. 3).

В третьей главе представлено применение разработанного метода для исследования устойчивости деформируемой защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа. Деформация пластины моделируется в Abaqus, движение газа моделируется во FlowVision-HPC.

В задаче имеется четыре безразмерных параметра, определяющих пластины, скорость газа вдали от пластины, a – скорость звука в газе, E p – модуль Юнга пластины, – коэффициент Пуассона пластины, p – плотность пластины, a – плотность газа вдали от пластины, Lp – длина пластины, h p – толщина пластины.

Обнаружено три основных типа поведения пластины: устойчивое динамическая неустойчивость в виде флаттера. Причем, статическая динамическая неустойчивость – только при сверхзвуковом течении.

Обнаружен флаттер двух видов: в виде бегущей волны и стоячей волны.