Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико–математический факультет

На правах рукописи

Гриневич Петр Петрович

Итерационные методы решения задачи

Стокса с переменной вязкостью

01.01.07 – Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва 2011

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Ме ханико–математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профес сор Ольшанский Максим Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Агошков Валерий Иванович кандидат физико–математических наук Коньшин Игорь Николаевич

Ведущая организация: Московский энергетический институт (техни ческий университет)

Защита состоится 9 марта 2011 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.002.16 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы д.1, МГУ, Главное здание, Ме ханико–математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико–мате матического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова(14 этаж, Главное здание).

Автореферат разослан 9 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор А.А. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность работы Решение многих современных прикладных задач приводит к систе мам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с седловой точкой. Ха рактерной особенностью таких систем является знаконеопределенность.

В симметричном случае имеются как положительные, так и отрицатель ные собственные значения. Важной областью, требующей решения задач с седловой точкой, является численное решение линеаризованных урав нений Навье–Стокса, описывающих течение несжимаемой вязкой жид кости. Уравнения Навье–Стокса являются основными уравнениями гид родинамики и, соответственно, играют важную роль в современной на уке. В ходе их решения, как правило, возникает необходимость прово дить вычисления на мелких сетках, как следствие, решаемые системы имеют большую размерность. Знаконеопределенность, большой размер и зависимость от физических параметров и параметров моделирования делает процедуру выбора метода решения таких систем нетривиальной.

Решению таких систем посвящено много работ как отечественных (Г.М.

Кобельков, Ю.А. Кузнецов и др.), так и зарубежных (Р. Гловински, Х.

Элман, М. Бенци и др.) авторов.

Уравнения Навье–Стокса во многих случаях хорошо описывают по ведение жидкостей и газов. Однако, многие вещества в природе описыва ются моделями с переменным коэффициентом вязкости, зависящим от внешних факторов. Примером могут служить биологические жидкости (например, кровь), нефть, зубная паста, кетчуп, крахмал, разведенный в воде и многие другие вещества. Для моделирования подобных веществ можно рассматривать модифицированные уравнения Навье–Стокса, при этом вязкость является не постоянным параметром среды, а функци ей, зависящей от динамических, кинематических или других характери стик среды в данной точке пространства, например, тензора скоростей деформации, давления, температуры, и т.д. Число обусловленности воз никающих при дискретизации линейные систем зависит от отношения максимальной вязкости к минимальной. Данное обстоятельство предъ являет дополнительное требование к методам решения СЛАУ, а именно независимость числа итераций от отношения максимального значения коэффициента вязкости к минимальному и от градиента коэффициента вязкости как функции пространственной переменной. Численные аспек ты решения уравнений Навье–Стокса с переменной вязкостью является темой ряда современных исследований: среди них работы Жонга и др.1, Омори и Саито2, Ремана и др.3, Ольшанского и Ройскена4.

В численном анализе методов решения задачи Стокса важную роль играет условие LBB (Ладыженской–Бабушки–Брецци) и его непрерыв ный аналог, неравенство Нечаса. В диссертации неравенство Нечаса обоб щается на случай переменной вязкости и на основе этого обобщения получены оценки эффективности предлагаемого итерационного метода.

Некоторые другие обобщения неравенства Нечаса получены в работе Бо ровикова и Дубинского5.

S.J. Zhong, M.T. Zuber, L. Moresi, M. Gurnis. Role of temperature-dependent viscosity and surface plates in spherical shell models of mantle convection // Journal of Geophysical Research, Vol. 105, Iss. B5, 2000, pp. 11063–11082.

K. Ohmori, N. Saito. On the convergence of nite element solutions to the interface problem for the Stokes system // Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 198, Iss. 1, 2007, pp. 116–128.

M. ur Rehman, T. Geenen, C. Vuik, G. Segal, S.P. MacLachlan. On iterative methods for the incompressible Stokes problem // International Journal for Numerical Methods in Fluids, DOI:10.1002/d.2235.

M.A. Olshanskii, A.Reusken. Analysis of a Stokes interface problem // Numerische Mathematik, Vol. 103, Iss. 1, 2006, pp. 129–149.

И.А. Боровиков,Ю.А. Дубинский. Некоторые разложения модулей Соболева–Клиффорда и нели нейные вариационные задачи // Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Том 260, 2008, с. 57–74.

Одной из задач, где возникают уравнения Навье–Стокса с перемен ной вязкостью, является моделирование среды Бингама. Среда Бингама является вязко–пластичной средой, которая при напряжениях ниже по рогового значения ведет себя как твердое тело, а при превышающих поро говое значение как вязкая жидкость. Течению среды Бингама посвяще но большое количество литературы, среди отечественных работ можно отметить монографию Климова и др.6. Одним из подходов численному среда Бингама рассматривается как жидкость с переменной вязкостью.

Задача Бингама трудно поддается математическому анализу и ее точные решения найдены только для узкого круга модельных задач, например, для течения среды между двумя параллельными пластинами и некото рых других. По этой причине численные методы, зачастую, являются единственным способом анализа многих процессов. Численными метода ми для решения уравнений Бингама занимаются многие исследователи, среди них Р. Гловински, М. Берковьер, М. Энгельман, Т. Папанастасио и другие.

Задачи с переменной вязкостью появляются и во многих других на учных областях, например, в геологии. В мантии Земли температура неоднородна, а вязкость магмы напрямую зависит от температуры.

Цель диссертационной работы Работа преследует следующие цели.

1. Построение эффективного метода решения систем линейных ал гебраических уравнений, возникающих при дискретизации задачи Стокса с переменной вязкостью. Поскольку в реальных приложени ях отношение максимальной вязкости к минимальной может быть Д.М. Климов, А.Г. Петров, Д.В. Гергиевский. Вязкопластические течения. Динамический хаос, устойчивость, перемешивания. Москва: Наука, 2005.

очень большим, к такому методу решения СЛАУ в настоящей ра боте предъявляется требование независимости (или слабой зависи мости) количества итераций от этого отношения, а также от шага 2. Теоретический анализ эффективности предлагаемого метода ре шения систем линейных алгебраических уравнений. В частности, получение оценок скорости сходимости в терминах экстремаль ных значений коэффициента вязкости и других параметров систем уравнений.

3. Проверка эффективности предлагаемого метода на модельных за дачах: регуляризованной задаче моделирования течения среды Бингама в канале и каверне, а также на линейной задаче, возника ющей при моделировании всплытия раскаленного пузыря в мантии На защиту выносятся следующие основные результаты и по ложения:

1. Доказано обобщенное неравенство Нечаса для случая переменной вязкости. Доказано обобщение неравенства для случая, когда об ласть представлена в виде объединения непересекающихся подоб ластей.

2. Предложен переобуславливатель для дополнения по Шуру для дис кретной задачи Стокса, учитывающий переменную вязкость. Полу чена оценка на собственные значения переобусловленного дополне ния по Шуру. Получена оценка скорости сходимости метода Узавы сопряженных градиентов.

3. Предлагаемый переобуславливатель применен для численного ре шения регуляризованной задачи Бингама и линейной задачи, воз никающей при моделировании всплытия раскаленного пузыря в магме. Для задачи о течении среды Бингама в канале получены оценки собственных значений.

4. Проведены численные эксперименты с использовании предлагае мого переобуславливателя для задачи течения среды Бингама и линейной задачи, возникающей при моделировании всплытия рас каленного пузыря.

Научная новизна работы Научная новизна диссертации заключается в доказательстве обобще ния неравенства Нечаса для переменной вязкости, построении переобу славливателя для дополнения по Шуру, учитывающего переменную вяз кость, а также в анализе его эффективности и эффективности метода Узавы-сопряженных градиентов с применением предлагаемого переобу славливателя. Проведено сравнение с переобуславливанием дополнения по Шуру при помощи матрицы масс.

Практическая ценность работы В диссертации предложен итерационный метод решения задачи Сток са с переменной вязкостью с переобуславливателем для дополнения по Шуру, учитывающим переменную вязкость. Как теоретические оценки, так и результаты применения к двум модельным задачам показывают, что количество итераций практически не зависит как от шага сетки, так и от отношения максимального значения вязкости к минимально му. Предлагаемый переобуславливатель может быть легко реализован в рамках существующих программных пакетов вычислительной гидроди намики.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, 3 из них в изданиях из ”Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и канди дата наук“.

Апробация работы.

1. Международная конференция “X-я Белорусская математическая конференция”. Белоруссия, Минск, 2008.

2. Доклад на семинаре Кафедры вычислительной математики Ма тематического факультета Технического университета Дортмунда под руководством Ш. Турека. Германия, Дортмунд, 2009.

3. XVI Международная конференция студентов, аспирантов и моло дых ученых “Ломоносов”. Москва, 2009.

4. International Workshop on “Computational Mathematics and Applications”. Финляндия, Тампере, 2009.

5. XVII Международная конференция студентов, аспирантов и моло дых ученых “Ломоносов”. Москва, 2010.

6. Доклад на семинаре Кафедры вычислительной математики, Меха нико–математический факультет МГУ под руководством Г.М. Ко белькова. Москва, 2010.

7. Доклад на семинаре Кафедры механики композитов под руковод ством В.И. Горбачева, Механико–математический факультет МГУ.

Москва, 2010.

8. Доклад на семинаре “Технологии математического моделирования течений со свободной границей” под руководством Ю.В. Василев ского и М.А. Ольшанского, ИВМ РАН. Москва, 2010.

9. Доклад на семинаре Кафедры математического моделирования МЭИ(ТУ) под руководством А.А. Амосова и Ю.А. Дубинского.

Москва, 2010.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 70 наименований. Общий объем работы страниц, работа включает 22 иллюстрации и 18 таблиц.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, по казана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе приводится формулировка задачи Стокса с перемен ной вязкостью, доказывается обобщение неравенства Нечаса на случай весовой нормы. Приводится матричная постановка дискретной задачи, предлагается переобуславливатель для дополнения по Шуру и при помо щи обобщенного неравенства Нечаса получаются оценки его эффектив ности.

В §1.1 дается формулировка задачи Стокса с переменной вязкостью.

Основные уравнения, рассматриваемые в первой главе, имеют вид Через Du обозначен тензор скоростей деформации 1 (u + T u). Вяз кость в первой главе считается зависящей только от пространственных координат x.

В §1.2 получен основной теоретический результат первой главы дис сертации неравенство Нечаса в весовой норме. Оно является обобще нием хорошо известного неравенства Нечаса 7.

которое, в свою очередь, является непрерывным аналогом условия Ла дыженской–Бабушки–Брецци (LBB): если константа равномерно по шагу сетки отделена от нуля, то пара конечноэлементных пространств Vh и Qh (для скорости и давления, соответственно) приво дит к устойчивой дискретной задаче. Под равномерным отделением от нуля понимается существование такой константы c > 0, что при всех h выполняется c0,h > c. Результат сформулирован в виде Теоремы 1.

Теорема 1. (Неравенство Нечаса в весовой норме) Пусть об ласть связна и имеет кусочно-гладкую липшицеву границу. Предпо ложим, что функция > 0 достаточно гладкая, чтобы все нормы в (3)–(4) имели смысл. Тогда для всякой функции q L2 (), для которой также выполнено (q, 2 ) = 0, будет выполнено неравенство Константа c в двумерном случае задается формулой J. Neas. Les Mthodes Directes en Theorie des Equations Elliptiques. Paris: Masson, 1967.

с произвольными k > 2 и r > k2, константой c(k, r), зависящей от констант неравенств вложения H1 () в Lt () с t = t(k, r) и констан той c0, зависящей от константы c0 в неравенстве Нечаса. В трехмер ном случае константа c определяется по формуле Из Теоремы 1 следует обобщение на случай, когда область пред ставлена в виде объединения конечного числа подобластей i, которое сформулировано как Теорема 2.

Теорема 2. (Обобщение Теоремы 1 на случай нескольких под областей) Пусть = N i, i связные непересекающиеся подобла сти с кусочно–гладкой липшицевой границей; функция > 0 кусочно гладкая на всей области (т.е. гладкая на каждой из подобластей i ).

Тогда для любой такой q L2 (), для которой выполняются условия (q, 1 )L2 (i ) = (q, 2 )L2 (i ) = 0 будет выполнено неравенство (2) с кон стантой c = min1iN c (i ), где c (i ) константы, определяемые соотношениями (3) или (4), вычисленные в областях i.

Иногда при помощи удачного разбиения удается добиться того, что mini c (i ) c (). Ценой этого улучшения являются два условия орто гональности на каждой подобласти: (q, 1 )L2 (i ) = (q, 2 )L2 (i ) = 0.

В §1.3 и §1.4 рассмотрены дискретизация задачи и построение СЛАУ.

Дискретизация проводилась двумя методами, а именно методом конеч ных элементов (isoP2–P1) и методом конечных разностей на разнесенных сетках. Дается описание построения дискретной задачи при помощи обо их методов. Излагается вариационная постановка, дается определение конечноэлементных пространств для метода конечных элементов, вво дятся сетки и задаются сеточные аналоги для непрерывных операторов при использовании метода конечных разностей. Оба метода приводят к решению системы линейных алгебраических уравнений с седловой точ кой вида В §1.5 описывается метод решения полученной дискретной зада чи. Для решения используются методы на подпространствах Крылова (MINRES или GMRES) со специальным переобуславливателем вида ватель для дополнения по Шуру S = BA1 B T. Лемма 2 дает оценку эффективности матрицы масс, примененной в качестве переобуславли вателя для дополнения по Шуру в случае переменной вязкости.

Лемма 2. Если выполняется условие LBB, то есть для констан ты c0,h из (1) выполнено c0,h c > 0, где c не зависит от h, то справедливы неравенства Следствие.

При большом отношении максимального значения вязкости к мини мальному, использование матрицы масс становится неэффективным. По этому вместо стандартной матрицы масс для дополнения по Шуру пред лагается применять переобуславливатель при использовании метода конечных элементов (через i обозначены ба зисные функции для давления) и при использовании метода конечных разностей. Переобуславливатель M строится с учетом функции, что важно при большом отношении максимального значения вязкости к минимальному.

Эффективность переобуславливателя M зависит от констант c и C в соотношении спектральной эквивалентности Из Леммы 2 следует оценка константы c в соотношении c M S, когда используется переобуславливатель M, задаваемый формулой (7).

Лемма 3. Для константы c из соотношения (9) верна оценка c константа из условия LBB (1).

Оценку константы C дает Теорема 4.

Теорема 3. Пусть L () и Rd и M задано в (7). Тогда C = d.

Лемма 3 и Теорема 3 дают оценку эффективности переобуславлива теля M не лучше, чем дает Теорема 3 для матрицы масс M. Оценка c может быть улучшена, если сузить пространство функций qh. Последу ющие рассуждения верны, если справедлив дискретный аналог Теоремы 1, сформулированный в виде Предположения 1.

Предположение 1. Предположим, что справедливо следующее.

Пусть рассматриваемая расчетная область многоугольник и семейство регулярных (то есть таких, где треугольники мо гут либо иметь общее ребро, либо общую вершину, либо не пересекать ся вовсе) триангуляций. При этом = Kh K. Пусть также для каждой триангуляции h определены пространства Vh и Qh и для па ры пространств Vh и Qh выполнено LBB–условие (1). Предположим, что для всех qh Qh L2 (), для которых также выполнено условие ортогональности (qh, 2 ) = 0, справедливо неравенство с некоторой константой c,h, которая выражается в двумерном слу чае как с произвольными k > 2 и r > k2, константой c(k, r), зависящей от констант неравенств вложения H1 () в Lt () с t = t(k, r) и констан той c0,h, зависящей от константы c в неравенстве LBB и не зави сящей от h. Предположим, что в трехмерном случае константа c записывается как константы в неравенстве LBB и не зависящей от h.

Если Предположение 1 справедливо, то верно его обобщение на слу чай, когда расчетная область представлена в виде объединения подобла стей.

Теорема 4. (Дискретный аналог Теоремы 2.) Пусть расчет ная область представлена в виде объединения связных подобластей i, то есть = N i. Пусть также границы подобластей про ходят только по ребрам треугольников. Тогда неравенство (10) бу дет выполняться для всех функций qh Qh, для которых справед ливы соотношения (qh, 1 )L2 (i ) = (qh, 2 )L2 (i ) = 0, с константой c,h = min1iN c,h (i ), где c,h (i ) константа, вычисленная на i–й подобласти.

Если верно Предположение 1 и, как следствие, Теорема 4, то справед лив результат, сформулированный как Теорема 5. Хотя формально она и не дает оценку константы c из неравенства (9) (это связано с тем, что на функции qh накладываются дополнительные условия ортогональности), но из нее следует оценка на собственные значения переобусловленного ластей, на которые разбита расчетная область.

Теорема 5. Пусть функция qh Qh L2 () удовлетворяет усло виям ортогональности (qh, 1 )L2 (i ) = (qh, 2 )L2 (i ) = 0 на каждой подобласти. Если справедливо Предположение 1, то выполняется со В §1.6 дается оценка собственных значений для переобусловленной матрицы дополнения по Шуру. Для (M S) в диссертации получены оценки где d размерность пространства, N количество подобластей, на ко торые разбита область, c константа из условия LBB (1), а c,h константа из Теоремы 4.

Далее в этом разделе приводится оценка скорости сходимости метода Узавы-сопряженных градиентов для систем линейных алгебраических уравнений с блочной матрицей вида (5) и переобуславливателем для до полнения по Шуру M, которая сформулирована в Теореме 6.

Теорема 6. Пусть система с матрицей A решается точно. Тогда для погрешности на k-й итерации метода Узавы-сопряженных гради ентов решения задачи (5) при использовании переобуславливателя M выполнены оценка где c константа из LBB–условия (1).

Показано, что влияние возможного присутствия 2N 1 малого соб ственного значения приводит к незначительному росту числа итераций метода Узавы-сопряженных градиентов.

Во второй главе описывается применение теоретических результатов первой главы к решению двух модельных задач: задачи Бингама о тече нии вязкопластичной жидкости в канале и задаче моделирования ман тийной конвекции.

В §2.1 даются уравнения и определяющие соотношения модели Бин гама. Соотношения, связывающие тензор скоростей деформации Du и девиатор тензора напряжений, имеют вид кой зоне коэффициент пропорциональности между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций часто называют эффек тивной вязкостью.

В диссертации рассматривается подход к численному решению зада чи Бингама, основанный на регуляризации, последующей дискретизации на каждом шаге нелинейного процесса и применении нового переобуслов ленного итерационного метода для решения линейных вспомогательных задач. Важным свойством предлагаемого в настоящей диссертации мето да является отсутствие параметров, требующих тонкой настройки.

В §2.2 дается описание регуляризованной задачи. Регуляризация подход к решению задачи Бингама, при котором среда рассматривается как жидкая во всей расчетной области, а в жестких зонах эффектив ная вязкость считается конечной. Величина вязкости в жестких зонах существенным образом определяется параметром регуляризации. Рас сматриваются два варианта регуляризации:

В §2.3 определяется итерационный метод, используемый для решения регуляризованной задачи Бингама. Нелинейные уравнения решаются ме тодом Пикара:

где через F обозначен линейный при заданной функции a оператор а через F (un1 )1 приближенное решение линейной задачи (5), возни кающей при дискретизации оператора F.

В §2.4 выводится оценка собственных значений матрицы M S для задачи о течении среды Бингама в канале. Это одна из немногих задач вязкопластичности, где известно аналитическое решение u = (u, v):

С помощью разбиения области на три подобласти, соответствующие яд ру течения в центре и жидким зонам по краям, непосредственно оценена константа в обобщенном неравенстве Нечаса (2) и, используя соотноше ния (13), получена оценка на собственные значения переобусловленного матрицей M дополнения по Шуру: для любого s (0, 1] существует не зависящая от константа c2 > 0, что где константа c1 не зависит от.

Последний раздел второй главы посвящен применению результатов первой главы к задаче моделирования мантийной конвекции. Рассмат ривается линейная задача, возникающая при моделировании всплытия раскаленного пузыря в магме. Считается, что вязкость в этом слу чае зависит только от температуры T, а температура только от про странственных координат. Приводятся алгоритм разбиения области на подобласти для данной задачи и вычисленные значения констант в обоб щенном неравенстве Нечаса (2).

Таким образом, во второй главе описано применение метода, предла гаемого в первой главе, к модельным задачам и получены оценки его эффективности.

В третьей главе представлены результаты численного решения трех модельных задач, включая течение среды Бингама в канале и каверне, а также линейную задачу, возникающую при моделирования всплытия раскаленного пузыря в магме.

В §3.1 и §3.2 представлены и проанализированы результаты решения задач течения среды Бингама в канале и в каверне, соответственно. При водятся графики, на которых изображены все собственные значения пе реобусловленного дополнения по Шуру с использованием как матрицы масс M, так и предлагаемого в работе переобуславливателя M. Приво дится количество нелинейных и линейных итераций для разных конфи гураций метода решения СЛАУ. Расчеты проводились с обеими регуля ризациями и разными значениями параметра от 101 до 105. Дано также сравнение блочно – диагонального P и блочно – треугольного P (6) переобуславливателей для матрицы A. Вычисления показали, что для данной модельной задачи численное решение хорошо приближает аналитическое и выбор регуляризации слабо влияет на эффективность метода. При этом, использование блочно – треугольного переобуславли вателя P1 приводит к заметно более высокой скорости сходимости, чем использование блочно – диагонального (6).

Для задачи о каверне представлены графики с приближениями жест ких зон для различных значений предела пластичности s и регуляри зационного параметра. Эти результаты (вид и размеры жестких зон) хорошо согласуются с результатами расчетов в других работах. Это сви детельствует о том, что выбранные численные параметры позволяют вос производить важные физические эффекты.

Из численных экспериментов по решению регуляризованной задачи Бингама в канале и в каверне можно сделать следующий вывод: пред лагаемый в диссертации итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений показывает практически полное отсутствие зависимости числа итераций как от шага сетки, так и от параметра регу ляризации (соответственно, от отношения максимального значения вяз кости к минимальному), что хорошо согласуется с теоретическими оцен ками (в задаче о течении в канале).

В §3.3 обсуждаются результаты численного решения линейной за дачи, возникающей при моделировании всплытия раскаленного пузыря в магме. Сравнивается эффективность переобуславливателей M и M.

Численные эксперименты показали, что число линейных итераций в зада че моделирования мантийной конвекции с увеличением отношения мак симальной вязкости к минимальной растет незначительно. Хотя теорети ческие оценки, судя по всему, не являются оптимальными в этом случае.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты 1. Доказано обобщенное неравенство Нечаса для случая переменной вязкости. Доказано обобщение неравенства для случая, когда об ласть представлена в виде объединения непересекающихся подоб 2. Предложен переобуславливатель для дополнения по Шуру для дис кретной задачи Стокса, учитывающий переменную вязкость. Полу чена оценка на собственные значения переобусловленного дополне ния по Шуру. Получена оценка скорости сходимости метода Узавы сопряженных градиентов.

3. Предлагаемый переобуславливатель применен для численного ре шения регуляризованной задачи Бингама и линейной задачи, воз никающей при моделировании всплытия раскаленного пузыря в магме. Для задачи о течении среды Бингама в канале получены оценки собственных значений переобусловленного дополнения по Шуру и теоретически доказано, что зависимость от параметра ре гуляризации оценок собственных значений для предлагаемого ме тода меньше, чем для обычно используемого переобуславливателя на основе матрицы масс.

4. Проведены численные эксперименты, хорошо согласующиеся с тео ретическими результатами для задачи течения среды Бингама в канале и показавшие практическую независимость числа линей ных итераций как от шага сетки, так и от отношения максимально го значения вязкости к минимальному для задачи течения среды Бингама в каверне и линейной задачи, возникающей при моделиро вании всплытия раскаленного пузыря в магме при использовании предлагаемого переобуславливателя.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математи ческих наук, профессору М.А. Ольшанскому за постановку задачи и по мощь в работе. Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафе ды вычислительной математики за поддержку и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации 1. P.P. Grinevich, M.A. Olshanskii. An iterative method for the Stokes type problem with variable viscosity // SIAM Journal on Scientic Computing, Vol. 31, Iss. 5, 2009, pp.3959–3978.

2. П.П. Гриневич, М.А. Ольшанский. Итерационный метод решения регуляризованной задачи Бингама // Вычислительные методы и программирование, Том 10, 2010, стр. 78–87.

3. П.П. Гриневич. Об итерационном методе решения задачи Стокса с переменной вязкостью // Вестник МГУ, №3, 2010, стр. 38–41.

4. П.П. Гриневич., М.А. Ольшанский Итерационные методы для ре гуляризованной модели среды Бингама. X Белорусская Математи ческая Конференция: Тезисы докладов Международной научной конференции. Минск, 3–7 ноября 2008 – Мн.: Институт математи ки НАН Беларуси, 2008, с. 5–6.

5. P.P. Grinevich, M.A. Olshanskii An iterative method for solving regularized Bingham uid equations. Тезисы докладов междуна родной конференции “International Workshop on Computational Mathematics and Applications”. Department of Mathematics, Tampere Institute of Technology, 2009, с.9.

6. П.П. Гриневич. Об итерационном методе решения задачи Стокса с переменной вязкостью. Материалы Международного молодежного научного форума “ЛОМОНОСОВ-2010”, М.: МАКС Пресс, 2010.