На правах рукописи

Румянцева Алла Александровна

Асимптотика -субгармонических функций и их

ассоциированных мер. Применение в вопросах

полноты систем экспонент

01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Уфа – 2010

Работа выполнена на кафедре программирования и экономической информатики ГОУ ВПО „Башкирский государственный университет“

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Юлмухаметов Ринад Салаватович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гайсин Ахтяр Магазович кандидат физико-математических наук, доцент Исаев Константин Петрович

Ведущая организация: ГОУ ВПО „Сыктывкарский государственный университет“

Защита состоится 21 января 2011 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Учреждении российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию связи между асимптотическим поведением разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер, а также применению полученных результатов к вопросам полноты систем экспонент. Разность двух субгармонических функций будем называть -субгармонической функцией.

Частным случаем задачи о связи между асимптотикой в бесконечности разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер являются задачи построения целых функций с заданным поведением в бесконечности, а также задача об изменении поведения целой функции при сдвигах ее нулей. В диссертации используется представление Рисса для субгармонических функций:

если u функция, субгармоническая в области G, то в G существует неотрицательная борелевская мера µ такая, что в любой ограниченной области G1, G1 G, имеет место представление Рисса ln |z w|dµ(w) + h(z) u(z) = G с функцией h, гармонической в G1. Мера µ называется мерой, ассоциированной с u по Риссу (ассоциированной мерой). В частности, субгармоническими являются функции вида ln |f |, где f аналитическая функция.

Исследования по указанным темам проводили В.С. Азарин, А.Ф. Гришин, И.Ф. Красичков-Терновский, С.Ю. Фаворов, Б.Н. Хабибуллин, Р.С. Юлмухаметов, D. Drasin, J. Korevaar, Yu. Lyubarskii, Ortega-Cerda, K. Seip, M.L. Sodin и другие.

Задача о полноте систем экспонент в различных функциональных пространствах является классической.

С историей и современным состоянием дел в задаче о полноте систем экспонент в пространствах функций, определенных и аналитических в плоской области, можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина, М.А. Евграфова, И.И. Ибрагимова, А.Ф. Леонтьева.

Исследования полноты систем экспонент в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторых авторов: Н. Винер, Р. Пэли, Н. Левинсон, М.М. Джрбашян, Л. Шварц, Р.М. Янг, П. Кусис, В.П. Хавин, Б. Ерикке, А.М. Седлецкий, Б.Н. Хабибуллин.

Цель работы.

Исследовать асимптотическое поведение разности двух субгармонических функций и асимптотическое поведение разности их ассоциированных мер. Исследовать связь между ними. Применить полученные результаты к вопросам полноты систем экспонент.

Методика исследования.

В работе используются методы функционального анализа и аналитические методы из теории целых и субгармонических функций, свойства выпуклых функций и приемы выпуклого анализа.

Содержание основных результатов и их новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и соответствуют проблематике данного раздела анализа. Они состоят в следующем:

1. Введено новое понятие множеств класса C.

2. Доказаны различные свойства множеств класса C.

3. Доказаны теоремы о связи роста -субгармонической функции и ассоциированных мер вне исключительных множеств степенной малости.

4. Доказана теорема о сведении (редукции) проблемы полноты систем экспонент в пространстве H(D) к соответствующей задаче в круге.

5. Доказаны новые теоремы о неполноте систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и дополняют исследования задач об асимптотике разности субгармонических функций и задач о полноте систем экспонент В.С. Азарина, Р.С. Юлмухаметова, А.М. Седлецкого. Разработанные методы могут быть использованы для дальнейших исследований в данной области.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, Башкирском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете, Казанском государственном университете, Сыктывкарском государственном университете.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН под руководством членкорреспондента В.В. Напалкова; на семинарах в Башкирском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора Р.С. Юлмухаметова; на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (2008 г.); на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего в Московском государственном университете (2009 г.);

на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (2009 г.); на Международной конференции "Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" в университете г. Севилья (Испания, 2009 г.); на Международной конференции "Ломоносовв Московском государственном университете (2010 г.); на 19-ой летней конференции по математическому анализу в Международном математическом институте им. Л. Эйлера (2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2], [3]. Работы [1], [2], [3] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается задача о связи между асимптотическим поведением -субгармонической функции и асимптотическим поведением разности ассоциированных мер.

В диссертации введено новое понятие множества класса C : для заданного числа R множество A на плоскости называется множеством класса C, если существует покрытие множества A кругами B(zj, rj ) = {z : |zj z| < rj }, j = 1, 2,..., так, что выполняется условие C(z, t) = {w : |w z| = t|z| } не пересекается с множеством A.

Также установлена связь между классами C и их пересечением 3. Пусть u(z) некоторая вещественнозначная функция на плоскости, v(t) неотрицательная функция на (0, +). Тогда если для любого R найдутся множество A C и постоянная M такие, что выполняется соотношение то для любой положительной монотонно возрастающей до + функции (t) на (0, +) найдется множество A C так, что выполняется соотношение В начале первой главы систематизированы свойства функций, используемых в диссертации для оценок.

Через k(t) обозначаются функции на (0, +), используемые для характеристики роста -субгармонических функций и ассоциированных мер.

Общие требования к этим функциям:

K1) функция k(t) > 0 и монотонно неубывающая и K2) для некоторой константы K и для всех t > 0 верно Для функции k(t), удовлетворяющей условиям K1), K2), выполняются также следующие условия:

1. Для всех t e имеет место неравенство в частности, 2. Если q = [] целая часть, то:

а) функция б) функция в) если интеграл сходится, то функция при t 0 обладает свойствами К1), К2):

г) если функцию k00 (t) продолжить на отрезок [0,1] нулем, то функция k00 (|z|) субгармонична на плоскости, причем Для борелевской меры µ (не обязательно положительной) на плоскоz, t) µ-меру B(z, t) = {w : |w z| < t} и положим Функция M (µ)(z) в диссертации используется для характеристики асимптотического поведения меры µ.

Определение. Будем говорить, что некоторое асимптотическое соотношение выполняется вне множеств степенной малости, если для любого найдется множество A C, вне которого это соотношение выполняется.

Основным результатом первой главы диссертации являются следующие две теоремы.

Теорема 1.

Пусть u1, u2 субгармонические функции на плоскости, имеющие конечный порядок роста, µ1, µ2 ассоциированные по Риссу меры этих функций и функция k(t) удовлетворяет условиям K1), K2). Тогда если соотношение выполняется вне множеств степенной малости, то соотношение тоже выполняется вне множеств степенной малости.

Теорема 2.

Пусть и q = [] целая часть. Если соотношение выполняется вне множеств степенной малости, то существует гармоническая на всей плоскости функция H(z) так, что соотношение где (0) = 0 и (q) = 1 при q > 0, выполняется вне множеств степенq ной малости.

Доказательство первой теоремы заметно проще доказательства второй теоремы и по существу сводится к следущей лемме:

Лемма 1.2. Пусть u субгармоническая функция на плоскости, имеющяя конечный порядок роста, то есть для некоторых, иA открытое множество на плоскости. Тогда существует постоянная C, не зависящая от множества A, такая, что для всех w C, |w| > 1, и R 0, |w| выполняется оценка C(w, R) = {z : |w z| = R}.

Из этой леммы следует, что для множеств A степенной малости интегралы также имеют малый рост и для доказательства теоремы 1 остается воспользоваться формулой Привалова:

Пусть u субгармоническая функция в области G, µ ассоциированная мера. Если в точке z u(z) >, то Здесь µ(t) обозначает µ-меру круга B(z, t).

Доказательство второй теоремы сначала проводится при более жестком условии на ассоциированные меры: мы предполагаем, что соотношение (1) выполняется всюду. При этом жестком условии выполняется утверждение.

Лемма 1.7. Пусть u1, u2 субгармонические функции на плоскости и их ассоциированные меры µ1, µ2 удовлетворяют условию (1) всюду.

Положим µ = µ1 µ2, u = u1 u2 и Тогда имеют место оценки где M = 4K1 (2 + 0 ) и 0, 1 некоторые постоянные, определяемые функцией (x).

Заключительным этапом доказательства теоремы 2 при жестком условии на ассоциированные меры является следующая лемма.

Лемма 1.8. Пусть функция k(t) удовлетворяет условиям К1), К2) и, кроме того, Положим q = [] и пусть первичный множитель, а непрерывная функция a(w) удовлетворяет оценке Тогда функция Исходя из этого факта, в первом параграфе второй главы доказывается теорема о сведении (редукции) проблемы полноты систем экспонент в пространстве H(D) к соответствующей задаче в круге.

Пусть D ограниченная выпуклая область, ее опорная функция дважды дифференцируема и Тогда функция субгармонична на всей плоскости. По теореме А существует целая функция L, которая вне множества степенной малости удовлетворяет соотношению Через 0 обозначим множество нулей функции L. Систему экспонент с множеством показателей = {k } обозначим через exp.

Теорема 2.1. Система экспонент exp не полна в пространстве H(D) тогда и только тогда, когда существует ненулевая целая функция G(z), которая обращается в нуль в точках 0 и для некоторого > удовлетворяет условию т.е. G(z) целая функция экспоненциального типа меньшего M.

Во втором параграфе второй главы задача о полноте систем экспонент изучается в весовых протранствах на вещественной оси.

Пусть a > 0, (1; 2] и L2 (R, a|t| ) гильбертово пространство локально-интегрируемых функций f на вещественной оси с нормой Для реализации описанной выше схемы использования преобразования Фурье-Лапласа применяется следующая теорема:

Теорема E. Целые функции F, удовлетворяющие условиям и только такие функции допускают представление с функцией g, удовлетворяющей условию Из этой теоремы по теореме Банаха немедленно получаем следующий результат.

Теорема 2.2. Система экспонент ek x, k = 1, 2,..., полна в пространстве L2 (R, a|x| ) тогда и только тогда, когда не существует ненулевой целой функции F (), которая обращается в нуль в точках k, k = 1, 2,..., и удовлетворяет условиям предыдущей теоремы.

С помощью несложных выкладок интегральные условия можно заменить на равномерные условия на рост функций.

Теорема 2.3. 1. Если система экспонент ek x, k = 1, 2,..., не полна в пространстве L2 (R, a|x| ), где (1; 2], то существует ненулевая целая функция F (), которая обращается в нуль в точках k, k = 1, 2,..., и удовлетворяет условию 2. Если существует ненулевая целая функция F (), которая обращается в нуль в точках k, k = 1, 2,..., и еще в n = [] точках z1,..., zn (здесь [] целая часть ) и удовлетворяет оценке (3), то система экспонент e, k = 1, 2,... не полна в пространстве L2 (R, a|x| ).

И в заключение обоснован переход к радиальным равномерным условиям на рост функций.

Теорема 2.4. 1. Если система экспонент exp не полна в пространстве L2 (R, a|x| ), где (1; 2], то существует ненулевая целая функция G(), которая обращается в нуль в точках 0 и удовлетворяет условию 2. Если существует ненулевая целая функция G(), которая обращается в нуль в точках 0, и еще в двух "дополнительных" наборах точек z1,..., zn, n = [], 1,..., N, N = [] + [C] (здесь [] целая часть и C некоторая константа), а также удовлетворяет оценке (4), то система экспонент exp не полна в пространстве L2 (R, a|x| ).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Р.С. Юлмухаметову за неоценимую помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации [1] Напалков В.В., Румянцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // ДАН, 2009. Т. 429, № 2, С. 155–158.

[2] Напалков В.В., Румянцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 1, С. 97–109.

[3] Румянцева А.А. Асимптотика -субгармонических функций и их ассоциированных мер // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 3, С. 83– 107.

[4] Напалков В.В., Румянцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Об условиях полноты систем экспонент в весовом гильбертовом пространстве на вещественной оси // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2008, вып. 1, С. 173–184.

[5] Румянцева А.А. О полноте систем экспонент в пространстве функций аналитических в выпуклой области // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ Садовничего В.А., 2009, С. 92.