Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 515.16

Гайфуллин Александр Александрович

Комбинаторная реализация циклов

01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механикоматематического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Бухштабер Виктор Матвеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Долбилин Николай Петрович доктор физико-математических наук, профессор Лексин Владимир Павлович

Ведущая организация: Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, Московская обл., г. Черноголовка, РАН

Защита диссертации состоится 6 июня 2008 г. в 16 ч. 40 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 6 мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

В конце 1940-х годов Н. Стинрод поставил следующую проблему, известную как проблема о реализации циклов: существуют ли для данного класса (сингулярных) гомологий z Hn (X; Z) топологического пространства X замкнутое ориентированное многообразие N n и непрерывное отображение f : N n X, такие что f [N n ] = z? Без ограничения общности можно считать, что X компактный полиэдр. Классическая теорема Р. Тома утверждает, что для каждого натурального числа n существует такое натуральное число k = k(n), что для любого класса гомологий z Hn (X; Z), класс kz реализуем в виде образа ориентированного замкнутого гладкого многообразия. В той же работе Р. Том доказал, что все классы гомологий размерностей 6 реализуемы и построил первый пример 7-мерного целочисленного класса гомологий, не реализуемого по Стинроду.

Задача о реализации циклов тесно связана с задачей о дифференциалах в спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории SO (·) ориентированных бордизмов. Член E 2 этой спектральной последовательности имеет вид Es,t = Hs (X; SO ), а член E присоединён к градуированt ной группе SO (X) ориентированных бордизмов пространства X. Класс z Hn (X; Z) = En,0 реализуем образом гладкого многообразия тогда и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов. Первым дифференциалом спектральной последовательности Атья-Хирцебруха, который может быть нетривиален, является дифференциал d5 : примером 7, класса гомологий, не принадлежащего его ядру, является 7-мерный класс гомологий из примера Р. Тома. Используя отсутствие кручения в кольце U унитарных кобордизмов, С. П. Новиков2 доказал, что если целочисленные гомологии пространства X не имеют кручения, то все дифференциалы спектральной последовательности Атья-Хирцебруха тривиальны и, следовательно, все классы гомологий пространства X реализуются по Стинроду.

В. М. Бухштабер3 вычислил порядки дифференциалов в спектральной последовательности Атья–Хирцебруха. В результате им были получены важные результаты о числах k(n).

Классический подход к проблеме Стинрода о реализации циклов, при Том Р., Некоторые свойства в целом дифференцируемых многообразий, Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 291–348.

Новиков С. П., Гомотопические свойства комплексов Тома, Матем. сб., т. 57 (1962), №4, с. 407–442.

Бухштабер В. М., Модули дифференциалов спектральной последовательсти Атья-Хирцебруха I, II, Матем. сб., т. 78 (1969), №2, с. 307–320; т. 83 (1970), №1, с. 61–76.

помощи которого были получены указанные выше результаты, заключается в её сведении к гомотопической задаче при помощи теоремы трансверсальности Тома и последующего исследования этой гомотопической задачи методами алгебраической топологии. В диссертации предлагается новый, комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на изучении локальной комбинаторной структуры цикла, представляющего заданный класс гомологий. Некоторые идеи этого подхода восходят к работе Д. Сулливана4, в которой был предложен подход к проблеме Стинрода, основанный на разрешении особенностей псевдомногообразий.

Представляет интерес задача о реализации классов гомологий образами фундаментальных классов специальных многообразий, имеющих обозримое топологическое строение. Классическим примером является задача о реализации классов гомологий образами сфер, то есть задача об описании образа гомоморфизма Гуревича. Отметим, что при такой постановке аналог теоремы Р. Тома очевидно не верен: существуют целочисленные классы гомологий, для которых никакой кратный им класс гомологий не лежит в образе гомоморфизма Гуревича. Мы исследуем задачу о нахождении набора Mn гладких n-мерных многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью всех целочисленных n-мерных классов гомологий любого пространства X.

В центре нашего исследования оказалось многообразие M n изоспектральных вещественных симметрических трёхдиагональных (n+1)(n+1) матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трёхдиагональных матриц с фиксированным простым спектром 1 > 2 >... > n+1.

(Матрица A = (aij ) называется трёхдиагональной, если aij = 0 при |i j| > 1.) В диссертации доказывается, что в качестве класса Mn можно взять набор конечнолистных накрытий над многообразием M n. Многообразие M n возникает в теории интегрируемых систем при изучении цепочки Тоды (см., например, работу Дж. Мозера5 ). Топологические свойства многообразия M n были первоначально изучены К. Томеи6. Им было построено клеточное разбиение многообразия M n и, опираясь на результаты М. Дэвиса7, доказана его асферичность. Напомним, что пространство X Sullivan D., Singularities in spaces, Proc. of Liverpool Singularities Symposium II, Lecture notes in Mathematics, v. 209 (1971), p. 196–206.

Moser J., Finitely many mass points on the line under the inuence of an exponential potential an integrable system, Lecture Notes in Physics, v. 38 (1975), Springer–Verlag, p. 467–497.

Tomei C., The topology of the isospectral manifold of tridiagonal matrices, Duke Math. J., v. 51 (1984), №4, p. 981–996.

Davis M. W., Groups generated by reections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space, Ann. Math. (2), v. 117 (1983), №2, p. 293–324.

называется асферичным, если оно имеет гомотопический тип K(, 1), то есть если X линейно связно и i (X) = 0 при i > 1. Многообразие M n является важным представителем интересного класса гладких многообразий с действием группы Zn, называемых малыми накрытиями, индуцированными из линейной модели, над простыми многогранниками. Этот класс многообразий был введён и исследован М. Дэвисом и Т. Янушкевичем8.

Проблема Н. Стинрода о реализации циклов непрерывными образами многообразий тесно связана с проблемой о реализации циклов в замкнутом гладком многообразии Qm ориентированными подмногообразиями. Эта проблема имеет два случая: стабильный (при n < m ) и нестабильный (при n 2 ). В нестабильном случае вопрос о том, какими именно подмногообразиями может быть реализован заданный класс гомологий многообразия, исследовался в малых размерностях (двумерные классы гомологий в трёхмерных и четырёхмерных многообразиях). Эта проблема известна как проблема о вычислении минимального рода гладко вложенной поверхности, реализующей двумерный класс гомологий. Важные результаты по этой задаче были получены В. А. Рохлиным9. Классическим результатом также является знаменитая гипотеза Р. Тома, доказанная П. Кронхаймером и Т. Мровкой10, утверждающая, что число (k1)(k2) является наименьшим родом гладко вложенной поверхности, представляющей класс гомологий ku, где u стандартная образующая группы H 2 (CP2 ; Z). Наши результаты относятся к стабильному случаю. Если n < m, то любой класс гомологий z Hn (Qm ; Z), реализуемый по Стинроду, может быть реализован замкнутым ориентированным подмногообразием.

Ещё одной задачей, решаемой в настоящей диссертации, является задача о канонической (n + 1)-значной динамике T на множестве n-мерных симплексов n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия K.

В 1971 году в работе В. М. Бухштабера и С. П. Новикова11 возникла конструкция в теории характеристических классов векторных расслоений, в которой произведением двух элементов некоторого множества являлся набор (с кратностями) из m элементов того же множества. Эта конструкция привела к понятию m-значной группы. Теория m-значных групп развиваDavis M. W., Januszkiewicz T., Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., v. 62 (1991), №2, p. 417–451.

Рохлин В. А., Двумерные подмногообразия четырёхмерных многообразий, Функц. анал. и прил., т. 5 (1971), №1, с. 48–60.

Kronheimer P., Mrowka T., The genus of embedded surfaces in the projective plane, Math. Res. Lett., v. 1 (1994), №6, p. 797–808.

Бухштабер В. М., Новиков С. П., Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сб., т. 84 (1971), №1, с. 81–118.

лась в работах В. М. Бухштабера12 и В. М. Бухштабера и Е. Г. Риса13,14,15.

Обзор основных направлений развития теории m-значных групп, а также обзор литературы можно найти в работе В. М. Бухштабера16. Теория многозначных групп нашла важные приложения в теории m-значных динамических систем с дискретным временем или, короче, m-значных динамик (В. М. Бухштабер, А. П. Веселов17 ), и в примыкающей к ней теории действий m-значных групп на графах (П. В. Ягодовский18,19,20 ). В работе16 была введена каноническая (n + 1)-значная динамика T на множестве максимальных (по включению) симплексов любого n-мерного симплициального псевдомногообразия, сопоставляющая каждому симплексу набор симплексов, имеющих с ним общую гипергрань. В диссертации исследуется вопрос об интегрируемости динамики T и кратных ей многозначных динамик при помощи многозначных групп.

Цель работы.

Целью настоящей работы является развитие комбинаторного подхода к проблеме Стинрода о реализации циклов; получение явной конструкции, которая по сингулярному циклу, представляющему целочисленный класс гомологий, строит многообразие, реализующее с некоторой кратностью этот класс гомологий; доказательство того, что каждый n-мерный целочисленный класс гомологий может быть с некоторой кратностью реализован образом конечнолистного накрытия над многообразием изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных (n + 1) (n + 1) матриц;

доказательство интегрируемости (n + 1)!-значной динамики, кратной каБухштабер В. М., Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы, Успехи математических наук, т. 45 (1990), №3, с. 185–186.

Бухштабер В. М., Рис Е. Г., Многозначные группы и n-алгебры Хопфа, Успехи математических наук, т. 51 (1996), №4, с. 149–150.

Buchstaber V. M., Rees E. G., Multivalued groups, their representations and Hopf algebras, Transformation Groups, v. 2 (1997), №4, p. 325–349.

Buchstaber V. M., Rees E. G., Multivalued groups, n-Hopf algebras and n-ring homomorphisms. In book:

Lie Groups and Lie Algebras. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1998, p. 85–107.

Buchstaber V. M., The n-valued groups: theory and applications, Moscow Math. J., v. 6 (2006), №1, p. 57–84.

Buchstaber V. M., Veselov A. P., Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups, Int. Math. Res. Not., v. 8 (1996), p. 381–400.

Ягодовский П. В., Представления многозначных групп на графах, Успехи математических наук, т. 57 (2002), №1, с. 181–182.

Ягодовский П. В., Бикосетные группы и симметрические графы, Записки науч. сем. ПОМИ, т. (2002), с. 161–174.

Ягодовский П. В., -Расширения дискретных многозначных групп, Записки науч. сем. ПОМИ, т. 325 (2005), с. 225–242.

нонической (n + 1)-значной динамике на множестве максимальных симплексов n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Получена явная комбинаторная конструкция, которая по каждому целочисленному сингулярному циклу топологического пространства X строит ориентированное гладкое замкнутое многообразие N n и отображение f : N n X, реализующее с некоторой кратностью класс гомологий цикла, то есть такое, что f [N n ] = q[] для некоторого ненулевого целого числа q. Таким образом, получено комбинаторное доказательство теоремы Р. Тома о том, что каждый целочисленный класс гомологий с некоторой кратностью реализуется непрерывным образом ориентированного гладкого многообразия.

2. Доказано, что каждый n-мерный целочисленный класс гомологий любого топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом конечнолистного накрытия над многообразием изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных (n + 1) (n + 1) матриц. В частности, каждый целочисленный класс гомологий любого линейно связного топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом ориентированного гладкого асферичного многообразия.

3. Дана явная конструкция однопорождённой бикосетной (n+1)!-значной группы, интегрирующей (n + 1)!-значную динамику n!T, кратную канонической (n + 1)-значной динамике T на множестве n-мерных симплексов n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия.

Основные методы исследования.

В работе используются методы комбинаторной геометрии, алгебраической топологии, теории графов и теории действий групп на многообразиях.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для алгебраической топологии, топологии многообразий, теории гомологий.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинараx и научных конференциях:

1. Семинар Геометрия, топология и математическая физика под руководством академика РАН С. П. Новикова и чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера; Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова;

2. Семинар Алгебраическая топология и её приложения им. М.М.Постникова под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, профессоров, д.ф.-м.н. А. В. Чернавского, И. А. Дынникова и доцентов, к.ф.-м.н.

Л. А. Алания, Т. Е. Панова; механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова;

3. Семинар Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика под руководством д.ф.-м.н. С.М.Натанзона, к.ф.-м.н. О.В.Шварцмана и д.ф.-м.н. О. К. Шейнмана; Независимый Московский Университет.

4. Международная конференция International Conference on Toric Topology, г. Осака, Япония, 29 мая – 3 июня 2006 года.

5. Научная конференция Ломоносовские чтения, г. Москва, 16 апреля – 25 апреля 2008 года.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1–3].

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения и четырёх глав. Библиография включает 44 наименования.

Краткое содержание работы.

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы и формулируются основные результаты.

Содержание главы 1.

Эта глава посвящена изложению конструкции Пеццана–Ферри построения n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия по однородному графу степени n + 1 и её обобщению на случай псевдомногообразий, склеенных из произвольных простых многогранников. Первая часть главы носит вводный характер. В ней содержатся необходимые нам в дальнейшем определения, в частности, определения комплексов, псевдомногообразий и комбинаторных многообразий, склеенных из простых многогранников.

Вторая часть главы посвящена изложению следующей конструкции.

Пусть P n есть n-мерный простой выпуклый многогранник с m гипергранями, F множество его гиперграней. Однородным графом степени m называется граф, все вершины которого имеют степень m. Мы считаем, что граф может содержать кратные рёбра, но не содержит петель. Раскраска рёбер графа называется правильной, если никакие два ребра, имеющие общую вершину не окрашены в один цвет. Пусть однородный граф степени m на множестве вершин V с рёбрами, раскрашенными правильным образом в цвета из множества F. Для каждой гиперграни F F обозначим через F инволюцию без неподвижных точек на множестве V, сопоставляющую каждой вершине вершину, соединённую с ней ребром цвета F.

Положим где отношение эквивалентности порождено отождествлениями (v, x) (F (v), x), если x F. Тогда M n (P n, ) псевдомногообразие, склеенное из простых многогранников. В случае, когда P n симплекс, описанная конструкция принадлежит М. Пеццана21 и М. Ферри22. Имеет место следующее предложение, которое будет необходимо нам в дальнейшем.

Предложение 1. Предположим, что 1. инволюции F1 и F2 коммутируют для любых двух гиперграней F и F2 многогранника P n с непустым пересечением;

Pezzana M., Diagrammi di Heegaard e triangolazione contratta, Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 4., v. 12 (1975), Suppl. al №3, p. 98–105.

Ferri M., Una rappresentazione delle n-variet` topologiche triangolabili mediante gra (n + 1)-colorati Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 5, v. 13-B (1976), №1, p. 250–260.

2. отображение F1 F2... Fk не имеет неподвижных точек для любых попарно различных гиперграней F1, F2,..., Fk с непустым пересечением.

Тогда линк каждой вершины псевдомногообразия M n (P n, ) изоморфен границе n-мерного октаэдра. В частности, псевдомногообразие M n (P n, ) является кусочно линейным многообразием.

Содержание главы 2.

Эта глава посвящена накрытиям над многообразием M n изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных (n + 1) (n + 1) матриц. Матрица A = (aij ) называется трёхдиагональной, если aij = 0 при |i j| > 1. Фиксируем простой спектр 1 > 2 >... > n+1 и рассмотрим множество всех симметрических трёхдиагональных вещественных (n + 1) (n + 1) матриц с данным спектром. Это множество есть ориентируемое замкнутое гладкое n-мерное многообразие M n, с точностью до диффеоморфизма не зависящее от выбранного спектра.

В первых двух разделах главы 2 содержатся необходимые сведения о группах Кокстера и их пермутаэдрах. Традиционно пермутаэдром называется пермутаэдр группы перестановок, то есть группы Кокстера типа An.

Пермутаэдр n есть выпуклая оболочка (n + 1)! точек, полученных всевозможными перестановками координат точки (1, 2,..., n + 1). Обозначим через S множество непустых собственных подмножеств множества {1, 2,..., n + 1}. Гиперграни пермутаэдра n находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами S. Гипергрань, соответствующую подмножеству, мы обозначаем через F. Гиперграни F1 и F2 пересекаются тогда и только тогда, когда одно из множеств 1 и содержится во втором.

К. Томеи6 построил клеточное разбиение многообразия M n, n-мерными клетками которого являются 2n пермутаэдров n. Это разбиение является специальным случаем конструкции малых накрытий, индуцированных из линейной модели, принадлежащей М. Дэвису и Т. Янушкевичу8. Для пермутаэдра эта конструкция имеет вид где отношение эквивалентности порождено отождествлениями (g, x) (r|| g, x), если x F. Здесь Z2 циклическая группа порядка 2 и r1, r2,..., rn образующие группы Zn. Мы используем для группы Z2 мультипликативную форму записи и отождествляем её с множеством {1, 1}. Используя описанное выше клеточное разбиение, К. Томеи доказал асферичность многообразия M n.

Рассмотрим псевдомногообразие M n (n, ), где однородный граф степени 2n+1 2 с правильной раскраской рёбер в 2n+1 2 цвета, соответствующих гиперграням пермутаэдра n. Инволюцию F : V V мы будем обозначать просто через. Следующее предложение является основным результатом главы 2. Оно даёт полную характеризацию графов, таких что M n (n, ) накрытие над многообразием M n.

Предложение 2. Псевдомногообразие M n (P n, ) является накрытием над многообразием M n тогда и только тогда, когда инволюции, задающие граф, удовлетворяют следующим свойствам:

1. инволюции 1 и 2 коммутируют, если 1 2 ;

2. имеется отображение p : V Zn, такое что p ( (v)) = r|| p(v) В частности, при выполнении этих условий псевдомногообразие M n(P n, ) имеет естественную структуру гладкого многообразия. Любое накрытие над многообразием M n эквивалентно накрытию вида M n (P n, ) M n.

Содержание главы 3.

Эта глава посвящена явному построению многообразия, реализующего с некоторой кратностью заданный n-мерный целочисленный класс гомологий. Полученное многообразие будет иметь вид M n (n, ) для некоторого графа, удовлетворяющего условиям 1 и 2 из предложения 2. Поэтому оно будет накрытием над многообразием M n и, в частности, будет несвязным объединением асферичных многообразий. Таким образом, мы получаем следующие теоремы.

Теорема 3. Для любого класса гомологий z Hn (X; Z) любого топологического пространства X существуют конечнолистное накрытие M n над многообразием M n и непрерывное отображение f : M n X, такие что f [M n ] = qz для некоторого ненулевого целого числа q.

Теорема 4. Пусть X линейно связное пространство. Для любого класса гомологий z Hn (X; Z) существуют ориентированное асферичное гладкое многообразие M n и непрерывное отображение f : M n X, такие что f [M n ] = qz для некоторого ненулевого целого числа q.

Каждый целочисленный класс гомологий может быть представлен образом ориентированного симплициального псевдомногообразия. Таким образом, задача о реализации произвольного класса гомологий сводится к задаче о реализации фундаментального класса произвольного ориентированного симплициального псевдомногообразия Z n. При этом, перейдя к барицентрическому подразделению, можно считать, что вершины псевдомногообразия Z n раскрашены в цвета 1, 2,..., n + 1 правильным образом, то есть так, что любые две вершины, соединённые ребром, окрашены в различные цвета. Обозначим через µ() множество цветов вершин симплекса. Для n-мерного симплекса обозначим через b () барицентр грани, такой что µ( ) =. Обозначим через U множество n-мерных симплексов комплекса Z n. Из наличия правильной раскраски вершин следует, что множество U может быть разбито на две части U+ U, так что симплексы, имеющие общую гипергрань, лежат в разных частях. Для любого S обозначим через P множество инволюций : U U, таких что (U± ) = U и µ ( ()) для любого симплекса U. Множества P непусты. Определим гомоморфизм : Zn Z2 на образующих по формуле (ri ) = 1. Определим множество V и инволюции : V V по формулам однородный граф степени 2n+1 2 на множестве вершин V, задаваемый инволюциями. Тогда M n = M n (P n, ) искомое многообразие.

Пусть K триангуляция многообразия M n, являющаяся барицентрическим подразделением построенного разбиения на пермутаэдры. Определим отображение f : M n Z n на вершинах триангуляции K по формуле где b1,...,k (n ) центр симметрии грани F1 F2... Fk пермутаэдра n, и продолжим f по линейности на каждый симплекс триангуляции K. Отображение f корректно определено и f [M n ] = q[Z n ], где q = 2n1 S |P |.

Содержание главы 4.

В этой главе изучается вопрос об интегрировании канонических многозначных динамик на множествах максимальных симплексов симплициально клеточных псевдомногообразий при помощи многозначных групп.

Для произвольного множества X через (X)m мы обозначим его m-ую симметрическую степень. Говорят, что на множестве X задана структура m-значной группы, если заданы m-значная операция умножения единица e X и операция взятия обратного элемента inv : X X, удовлетворяющие естественным обобщениям аксиом группы. Для любых группы G и ее конечной подгруппы H из m элементов на множестве двойных смежных классов H\G/H существует структура бикосетной m-значной группы с умножением (Hh1 H) (Hh2 H) = [Hh1 hh2 H, h H].

Действием m-значной группы X на множестве V называется отображение X V (V )m, (x, v) x · v, такое что для любых x1, x2 X, v V наборы (x1 x2 )·v и x1 ·(x2 ·v) из m2 элементов совпадают и e·v = [v,..., v].

Отображение T : V (V )m называется m-значной динамикой на множестве V. Для каждого натурального числа k динамика T задает естественным образом кратную ей km-значную динамику на том же множестве V. Говорят, что m-значная динамика T интегрируема при помощи однопорождённой m-значной группы X с образующей a, если существует действие группы X на множестве V, такое что T (v) = a · v для любого Для каждого n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия K определена каноническая (n + 1)-значная динамика T на множестве V его n-мерных симплексов, которая каждому симплексу сопоставляет набор всех n-мерных симплексов, не совпадающих с и имеющих с общую (n 1)-мерную грань. Симплекс, имеющий с несколько общих (n 1)мерных граней, входит в набор T ( ) с соответствующей кратностью. Обозначим через K барицентрическое подразделение комплекса K и через V множество n-мерных симплексов комплекса K.

Теорема 5. Для любого симплициально клеточного псевдомногообразия K динамика n!T интегрируема при помощи некоторой однопорождённой бикосетной (n + 1)!-значной группы X = H\G/H. При этом в качестве группы G может быть выбрана некоторая подгруппа группы перестановок V множества V, а подгруппа H изоморфна группе n+1.

Многозначная группа X строится следующим образом. Рассмотрим однородный граф степени n + 1 с рёбрами, раскрашенными правильным образом в n + 1 цвет, соответствующий симплициально клеточному псевдомногообразию K в смысле конструкции Пеццана–Ферри. Граф задаётся инволюциями i : V V, i = 1, 2,..., n + 1. Пусть G V подгруппа, порождённая инволюциями 1, 2,..., n+1, и H G подгруппа, порождённая инволюциями 1, 2,..., n. Тогда H n+1 и X = H\G/H искомая однопорождённая (n + 1)!-значная группа с образующей Hn+1 H.

Действие группы G на множестве V индуцирует каноническое действие (n + 1)!-значной группы X на множестве V V /H, интегрирующее динамику n!T.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановки задач и постоянное внимание. Автор благодарен профессорам, д.ф.-м.н. И. А. Дынникову, С. М. Натанзону, А. Б. Сосинскому и доцентам, к.ф.-м.н. Л. А. Алания, Т. Е. Панову, А. В. Пенскому, О. В. Шварцману за полезные обсуждения. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического МГУ за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] Бухштабер В. М., Гайфуллин А. А., Представления m-значных групп на триангуляциях многообразий, Успехи математических наук, т. (2006), №3, с. 171–172.

[2] Гайфуллин А. А., Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, Успехи математических наук, т. 62 (2007), №6, с. 167–168.

[3] Гайфуллин А. А., Реализация циклов асферичными многообразиями, Успехи математических наук, т. 63 (2008), №3, с. 173–174.