«Задания. Решения. Комментарии Москва Издательство МЦНМО 2014 ББК 74.200.58 Т86 35-й Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2014. — 224 с.: ...»

XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова

30 сентября 2012 года

Задания. Решения. Комментарии

Москва

Издательство МЦНМО

2014

ББК 74.200.58

Т86

35-й Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012

года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин.

— М.: МЦНМО, 2014. — 224 с.: ил.

Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными комментариями (математика, физика, химия, астрономия и науки о Земле, биология, история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постарались написать не просто сборник задач и решений, а интересную научно-популярную брошюру для широкого круга читателей. Существенная часть материала изложена на уровне, доступном для школьников 7-го класса.

Для участников Турнира, школьников, учителей, родителей, руководителей школьных кружков, организаторов олимпиад.

ББК 74.200. Тексты заданий, решений, комментариев составили и подготовили:

П. М. Аркадьев (лингвистика), В. В. Бровер (лингвистика), Л. С. Булушова (физика), С. А. Бурлак (лингвистика), С. Д. Варламов (физика), Т. И. Голенищева-Кутузова (математика), Т. О. Зверева (биология), Т. В. Караваева (математика), В. А. Клепцын (математические игры), Е. И. Кудрявцева (биология), А. К. Кулыгин (физика, астрономия и науки о Земле), С. В. Лущекина (химия), Г. А. Мерзон (математика), А. С. Панина (лингвистика), Е. Г. Петраш (биология), А. Ч. Пиперски (лингвистика), И. В. Раскина (математика, математические игры), А. М. Романов (астрономия и науки о Земле), З. П. Свитанько (химия), А. Н. Семёнов (биология), А. Л. Семёнов (математика), С. Ю. Синельников (биология), С. Г. Смирнов (история), Б. Р. Френкин (математика), А. В. Хачатурян (математические игры), И. К. Чернышева (литература), Н. А. Шапиро (литература), А. В. Шаповалов (математика, математические игры), Н. Е. Шатовская (астрономия и науки о Земле), К. Н. Шатохина (биология), Д. Е. Щербаков (физика), И. В. Ященко (математика), John Horton Conway (математические игры).

XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года был организован и проведён при поддержке Департамента образования города Москвы, Фонда некоммерческих программ «Династия», компании «Яндекс», компьютерного супермаркета «Никс», Русского фонда содействия образованию и науке, Благотворительного фонда содействия образованию «Дар».

Все опубликованные в настоящем издании материалы распространяются свободно, могут копироваться и использоваться в учебном процессе без ограничений.

Желательны (в случаях, когда это уместно) ссылки на источник.

Электронная версия: http://www.turlom.info c Московский центр непрерывного ISBN 978–5–4439–0315–6 математического образования, 2012.

Предисловие Турнир имени М. В. Ломоносова — ежегодное многопредметное соревнование по математике, математическим играм, физике, астрономии и наукам о Земле, химии, биологии, истории, лингвистике, литературе.

Цель Турнира — дать участникам материал для размышлений и подтолкнуть интересующихся к серьёзным занятиям.

Задания ориентированы на учащихся 6–11 классов. Можно, конечно, прийти и школьникам более младших классов (только задания для них, возможно, покажутся сложноватыми) — вообще, в Турнире может принять участие любой школьник. Программа во всех местах проведения турнира одинакова. Конкурсы по всем предметам проводятся одновременно в разных аудиториях в течение 5–6 часов. Дети (кроме учащихся 11 класса) имеют возможность свободно переходить из аудитории в аудиторию, самостоятельно выбирая предметы и решая, сколько времени потратить на каждый выбранный предмет. Учащиеся 11 классов получают все задания сразу и выполняют их, находясь всё время турнира в одной аудитории.

Задания по всем предметам выполняются письменно (а по математическим играм, кроме того, в некоторых местах проведения турнира организуется устный приём заданий для желающих школьников).

Всем желающим также предоставляется возможность заочного участия: получить задания Турнира и сдать свои решения на проверку по сети «Интернет» (критерии проверки те же, школьники награждаются грамотами «за успешное заочное участие»).

Первый Турнир имени М. В. Ломоносова был организован в Москве в 1978 году.

В настоящее время в соответствии с действующим Положением (опубликовано: http://olympiads.mccme.ru/turlom/polozhenije.pdf) Турнир проводится ежегодно Московским центром непрерывного математического образования, Московским государственным университетом имени М. В. Ломоносова, Московским институтом открытого образования, Российской Академией наук, Московским авиационным институтом (национальный исследовательский университет), Московским государственным технологическим университетом «СТАНКИН», другими образовательными учреждениями, научными и образовательными организациями. Координирует проведение Турнира Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО).

Традиционная дата проведения Турнира имени М. В. Ломоносова — последнее воскресенье перед первой субботой октября каждого учебного года.

XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова состоялся в воскресенье 30 сентября 2012 года. Турнир проводился очно в 44 регионах Российской Федерации, а также на Украине, в Казахстане и Киргизии.

Всего очное участие в турнире приняли 45501 учащихся, из них 10217 были награждены Грамотами за успешное выступление.

Класс 123 4 5 6 7 8 9 10 11 Прочее Всего Участников 1 23 57 159 1180 5356 6250 7402 7904 7738 9428 Грамот 1 3 21 59 214 1151 1995 1822 1836 1313 1802 В таблице участники разделены по классам в соответствии с тем, по каким критериям оценивались их результаты. Если по месту учёбы участника используется не традиционная для российских школ нумерации классов «1–11», а какая-либо другая, для участника определялся наиболее подходящий номер класса по возрасту и учебной программе.

Всего было сдано участниками и проверено 109138 работ по различным предметам.

Традиционно среди участников не определяются лучшие (1, 2 и места). Грамотами с формулировкой «за успешное выступление на конкурсе по... (предмету)» награждались все школьники, успешно справившиеся с заданием по этому предмету (или по нескольким предметам — тогда все эти предметы перечисляются в грамоте).

Ещё одна традиция турнира — балл многоборья. Он даётся за «промежуточные» результаты по предметам, когда в работе достигнуты определённые успехи, но грамоту за это участник не получил. Если у одного участника окажется 2 или больше таких баллов — его участие в разных конкурсах будет отмечено грамотой «за успешное выступление по многоборью». Ученикам начальной школы (1–4 классы), участвовавшим в турнире наравне со старшеклассниками, для награждения достаточно получить балл многоборья только по одному предмету.

Все материалы Турнира имени М. В. Ломоносова (выданные школьникам задания, переводы всех заданий на английский язык, материалы про олимпиады и кружки, результаты проверки работ участников, статистические данные, ответы и решения с комментариями, критерии проверки работ, критерии награждения, списки участников, награждённых Грамотами за успешное выступление, Положение о Турнире) занимают достаточно большой объём. Не все они помещаются в бумажный отчёт. С любыми из этих материалов можно ознакомиться на www-сайте турнира http://www.turlom.info (публикация всех материалов, прозрачность при подведении итогов — один из основных принципов работы организаторов Турнира). Там же опубликована и электронная версия сборника заданий, предисловие к которому вы сейчас читаете.

В данном сборнике содержатся все задания, ответы и комментарии к ним всех конкурсов по разным предметам XXXV Турнира имени М. В. Ломоносова, состоявшегося 30 сентября 2012 года, а также статистика результатов, дающая представление о вариантах по предметам в целом и отдельных заданиях с точки зрения школьников (насколько эти задания оказались сложными, интересными и удачными). Отметим наиболее интересные задания и темы.

6 июня 2012 года наблюдалось редкое астрономическое явление — прохождение Венеры по диску Солнца. Следующий раз такое случится только в 2117 году. Не так часто такое явление наблюдалось и раньше, но результаты таких наблюдений оказались определяющими для развития современной астрономии и естествознания. Наблюдая это явление, люди смогли впервые узнать размеры Солнечной системы (радиусы орбит планет и размеры самих планет), «разметить» координатами всю поверхность Земли, узнать, что на Венере, так же, как и на Земле, есть атмосфера. Этой теме посвящено задание № 5 конкурса по астрономии и наукам о Земле.

Оказывается, прямоугольный лист бумаги определённого размера можно сложить в 3 слоя так, чтобы получился треугольник, — в этом состоит задача № 5 конкурса по математике.

Задание № 2 конкурса по математическим играм с сюжетом, посвящённым размену монет, представляет собой достаточно серьёзное исследование по теории чисел (представление одних натуральных чисел в виде суммы других). Первые пункты этого задания очень простые, а решение последних пунктов вполне может стать подсказкой к пока ещё открытым вопросам (в том числе указанным в конце решения).

Число может встретиться в самых неожиданных ситуациях. По внешнему виду бесконечной квадратной решётки резисторов сопротивлением R никогда не подумаешь, что сопротивление между противоположными углами одного «квадратика» из резисторов равно 2R/. Этот вопрос разбирается в задаче № 9 конкурса по физике.

В задаче № 1 конкурса по истории участникам Турнира предлагалось составить «цепочку» из звеньев «ученикучитель» между великим математиком Давидом Гильбертом и самим участником Турнира.

Составление подобных цепочек является важным этапом изучения многих исторических событий. Ведь участники этих событий, как правило, действовали не сами по себе. Они получали информацию от других людей (непосредственно, или по цепочке, в том числе из письменных источников), находились в определённой зависимости друг от друга, имели то или иное мнение и ту или иную жизненную позицию, сформировавшиеся под влиянием других людей, получили то или иное образование. Всё это непосредственным образом влияло на их поступки и, в конечном счёте, роль в истории.

В предложенном задании как раз предлагается провести историческое мини-исследование такого типа. Результаты оказываются неожиданными: если участник Турнира увлекается шахматами, то в цепочке «ученикучитель» между ним и Д. Гильбертом будет всего один промежуточный человек.

Все мы привыкли использовать зубы для жевания пищи. Понятно, что зубами можно охотиться, защищаться или сражаться — и строение зубов у таких животных специально приспособлено для этих целей.

Зубами также можно рыть землю и даже строить запруды. А у морского млекопитающего под названием нарвал имеется зуб (бивень) длиной 2– метра, относительно гибкий и закрученный в спираль. Такой бивень чаще всего бывает только один с левой стороны и только у самцов.

Его назначение не вполне понятно. Животным с необычными зубами посвящено задание № 5 конкурса по биологии.

Задание № 2 конкурса по лингвистике посвящено числительным и счётным словам тайского языка. Счётные слова (лаксананам) в этом языке употребляются при счёте предметов после указания предмета и количества. Всего таких слов в языке около 100, а выбор конкретного счётного слова зависит от типа предмета. В данной задаче так различаются люди (кхон), звери (туа) и цветы (док).

На первый взгляд такая система счёта устроена не очень логично.

Так, в одной категории со зверями оказываются не только насекомые и рыбы, но и столы, стулья, письменные принадлежности и гвозди. А вместе с цветущими растениями оказались фейерверки и прочие эффекты пиротехники.

Но в результате речь оказывается не только более сложной, но и более информативной. Примером как раз и служит предложенная задача, где нужно было догадаться о наличии счётных слов и проанализировать их. И эту задачу действительно решили правильно участников Турнира.

Отличительная черта конкурса по литературе — тексты ответов и решений в основном подготовлены не жюри, а написаны самими участниками в конкурсных работах. Задача жюри здесь — подобрать для публикации наиболее удачные, точные, содержательные и интересные ответы, дополнить, уточнить и прокомментировать их. Как показывает опыт, серьёзные литературоведческие тексты, написанные взрослыми, с точки зрения школьников часто оказываются сложными для чтения и понимания, а иногда и просто скучными. Литературный конкурс Ломоносовского турнира предоставляет уникальную возможность исправить эту ситуацию. Среди работ нескольких тысяч участников из разных классов, разных школ и регионов обязательно находятся очень хорошие работы. Собранные вместе, они позволяют составить решения заданий литературного конкурса намного лучше, понятнее и интереснее для школьников, чем это получилось бы у жюри самостоятельно.

На сайте http://turlom.olimpiada.ru с 7 июня по 17 сентября 2012 года принимались в электронной форме заявки от всех желающих организаций, готовых организовать и провести Турнир на своей территории в любом регионе (как в Российской Федерации, так и за её пределами).

Большинство заявок на проведение турнира было удовлетворено.

XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова состоялся в воскресенье сентября 2012 года в 116 населённых пунктах в Российской Федерации:

г. Алексин Тульской обл., с. Амга Республики Саха-Якутия, г. Апатиты Мурманской обл., г. Армавир Краснодарского края, г. Астрахань, г. Белгород, г. Березники Пермского края, с. Бестях Хангаласского улуса Республики Саха-Якутия, с. Борискио-Игар Клявлинского р-на Самарской обл., г. Брянск, д. Веледниково Истринского р-на Московской обл., с. Верхневилюйск Республики Саха-Якутия, г. Видное Московской обл., г. Вилюйск Республики Саха-Якутия, г. Владикавказ, г. Волгоград, г. Волгодонск Ростовской обл., г. Волжский Волгоградской обл., пгт. Волжский Самарской обл., г. Губкин Белгородской обл., г. Гусь-Хрустальный Владимирской обл., г. Дмитров Московской обл., станица Должанская Ейского р-на Краснодарского края, г. Ейск Краснодарского края, г. Железногорск Курской обл., г. Железнодорожный Московской обл., д. Жуковка Одинцовского р-на Московской обл., г. Заречный Пензенской обл., г. Златоуст Челябинской обл., г. Иваново, г. Ижевск, г. Иркутск, п. Каменоломни Октябрьского р-на Ростовской обл., с. Кинель-Черкассы Самарской обл., г. Клин Московской обл., г. Клинцы Брянской обл., г. Ковров Владимирской обл., г. Коломна Московской обл., п. Косицы Севского р-на Брянской обл., г. Кострома, г. Краснодар, г. Красноярск, г. Курск, г. Лебедянь Липецкой обл., с. Левокумское Ставропольского края, п. Локоть Брасовского р-на Брянской обл., г. Люберцы Московской обл., с. Маган Республики СахаЯкутия, г. Магнитогорск Челябинской обл., г. Миасс Челябинской обл., г. Морозовск Ростовской обл., г. Москва, п. Мохсоголлох Хангаласского р-на Республики Саха-Якутия, г. Мурманск, г. Набережные Челны Республики Татарстан, г. Нальчик, с. Намцы Республики Саха-Якутия, г. Нелидово Тверской обл., г. Нерюнгри Республики Саха-Якутия, г. Нижний Новгород, п. Нижний-Бестях Мегино-Кангаласского улуса Республики Саха-Якутия, г. Новосибирск, г. Новоуральск Свердловской обл., г. Обнинск Калужской обл., п. Огниково Истринского р-на Московской обл., г. Озёры Московской обл., г. Олёкминск Республики СахаЯкутия, г. Оренбург, г. Орехово-Зуево Московской обл., г. Осинники Кемеровской обл., г. Павлово Нижегородской обл., г. Пенза, г. Пермь, пгт. Погар Брянской обл., г. Подольск Московской обл., г. Прокопьевск Кемеровской обл., г. Протвино Московской обл., г. Пущино Московской обл., г. Раменское Московской обл., г. Самара, г. Санкт-Петербург, г. Саранск, г. Саров Нижегородской обл., п. Сахарного завода Лебедянского р-на Липецкой обл., г. Севск Брянской обл., г. Сергиев Посад Московской обл., г. Сердобск Пензенской обл., пгт. Советский Республики Марий Эл, г. Сочи Краснодарского края, с. Старое Шайгово Республики Мордовия, г. Старый Оскол Белгородской обл., г. Стерлитамак Республики Башкортостан, г. Ступино Московской обл., с. Сунтар Республики Саха-Якутия, г. Сураж Брянской обл., г. Сызрань Самарской обл., г. Тверь, г. Тольятти Самарской обл., с. Тюнгюлю Мегино-Кангаласского улуса Республики Саха-Якутия, с. Уват Тюменской обл., г. Ульяновск, г. Уфа, г. Ухта Республики Коми, г. Фрязино Московской обл., п. Хандыга Томпонского р-на Республики Саха-Якутия, г. Химки Московской обл., с. Чапаево Хангаласского улуса Республики СахаЯкутия, г. Чебоксары, г. Челябинск, г. Череповец Вологодской обл., с. Чурапча Республики Саха-Якутия, г. Шебекино Белгородской обл., с. Ытык-Кюёль Таттинского улуса Республики Саха-Якутия, г. Электросталь Московской обл., г. Юбилейный Московской обл., г. Якутск.

А также за пределами Российской Федерации — в городах Астана, Байконур, Бишкек, Донецк и Севастополь.

Всего было 256 мест проведения (считались только те места, откуда на проверку в центральный оргкомитет в Москву была прислана хотя бы одна работа).

В частности, 50 мест проведения было организовано в Москве (вузы:

МГУ, ВШЭ, МИЭМ ВШЭ, СТАНКИН, МИРЭА, МГПУ; школы, гимназии, лицеи: 172, 261, 373, 444, 463, 464, 481, 520, 853, 905, 1018, 1350, 1368, 1392, 1506, 1513, 1537, 1538, 1540, 1544, 1547, 1551, 1552, 1564, 1567, 1568, 1594, 1619, 1641, 1678, 1747, 1788, 1791, 1927, 2005, 2007, 2011, «Интеллектуал», Лицей города Троицка), 38 мест — в Московской области, 28 мест — в Республике Саха-Якутия, 15 мест — в Брянской области.

Список мест проведения XXXV Турнира имени М. В. Ломоносова 30.09.2012 с информацией для участников опубликован по адресу:

http://reg.olimpiada.ru/register/turlom-2012-places/public-list/default В существенной части регионов Российской Федерации все желающие школьники получили реальную возможность принять участие в Турнире и воспользовались такой возможностью. Надеемся, что учителя и энтузиасты работы со школьниками — организаторы Турнира в регионах — также получили ценный положительный опыт от проделанной работы.

Также была проведена интернет-версия Турнира1, в которой могли принять участие все желающие школьники, располагающие подключённым к сети Интернет компьютером, выполняя те же задания, что и очные участники. Работы проверялись по тем же критериям, участники награждались Статистика заочного участия в Турнире имени М. В. Ломоносова в 2012 году:

Участников 1 6 12 18 144 615 937 899 1009 1101 Грамот 0 6 10 15 69 284 474 369 386 255 (Всего 5579 участников (сдавших на проверку решение хотя бы одного задания); всего проверено 15057 работ по различным предметам.) Как обычно, заочных участников оказалось существенно меньше, чем очных (более чем в 8 раз). Понять, почему так получается, организаторы не могут.

C 2011 года все задания Турнира сопровождаются переводами на английский язык. Решения также можно сдавать как на русском, так и на английском языке (хотя этой возможностью пользуется совсем немного участников).

С 2010 года для всех желающих участников Турнира организована возможность просмотреть на сайте Турнира свои отсканированные работы, а также подробную информацию о проверке своих работ. Всем 1 Заочные интернет-версии Ломоносовского турнира проводятся начиная с года.

желающим участникам предлагалось заранее скачать с сайта Турнира и распечатать специальные бланки для выполнения работ, самостоятельно напечатать их на принтере и принести с собой на Турнир. Эти бланки, содержащие специальные машиночитаемые коды, сканировались, автоматически сортировались и проверялись жюри на экране компьютера. Каждый школьник, зная номер своего бланка, может просмотреть как оригинальные файлы, полученные при сканировании работ, так и ознакомиться с действиями жюри, которые выполнялись в процессе одной или нескольких последовательных проверок его работ (сразу после выполнения таких проверок). Все остальные работы, выполненные на обычной бумаге, проверялись как обычно.

Открытая публикация полных результатов — ещё одна из традиций турнира. Именно на этом этапе выясняется и исправляется большое количество недоразумений и ошибок.

Полная итоговая таблица результатов Турнира опубликована по адресу http://olympiads.mccme.ru/turlom/2012/rezultaty/ — она содержит номера регистрационных карточек участников, класс и полный набор оценок каждого участника (по каждому заданию каждого предмета)2. Там же приведён список участников, награждённых Грамотами за успешное выступление.

Торжественное закрытие Турнира, вручение грамот и призов школьникам, принимавшим участие в турнире в Москве и Московском регионе, состоялось 23 декабря 2012 года в Московском государственном университете. По традиции собравшимся школьникам были прочитаны лекции по материалам заданий Турнира (по астрономии и истории). Призёров Турнира поздравили представители Московского государственного университета и Департамента образования города Москвы.

XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года был организован и проведён при поддержке Департамента образования города Москвы, Фонда некоммерческих программ «Династия», компании «Яндекс», компьютерного супермаркета «Никс», Русского фонда содействия образованию и науке, Благотворительного фонда содействия образованию «Дар».

Оргкомитет благодарит всех, кто в этом году принял участие в организации турнира. По нашим оценкам это более 2000 человек — сотрудников и руководителей принимающих организаций, школьных учителей, 2 По желанию участников (ответ на соответствующий вопрос в регистрационной анкете) в таблице также указывается фамилия, имя и школа.

студентов, аспирантов, научных работников, и многих других — всех принимавших участие в составлении и обсуждении заданий, организации турнира на местах, дежурстве в аудиториях, проведении заочной интернет-версии турнира, проверке работ, организации торжественного закрытия, подготовке к печати настоящего сборника материалов турнира.

Электронная версия настоящего издания, а также материалы турниров этого (2012) года и предыдущих лет (начиная с самого первого Ломоносовского турнира 1978 года) опубликованы в интернете по адресам:

http://turlom.info http://turlom.olimpiada.ru http://www.mccme.ru/olympiads/turlom http://ТУРЛОМ.РФ Все материалы Турнира распространяются без ограничений и могут свободно использоваться в образовательных целях.

Следующие Турниры имени М. В. Ломоносова, напоминаем, планируется провести в традиционные сроки:

Приглашаем всех желающих школьников!

Конкурс по математике Задания В скобках указано, каким классам рекомендуется задача (решать задачи более старших классов также разрешается, решение задач более младших классов при подведении итогов не учитывается).

1. (6–7) Мартышка, Осёл и Козёл затеяли сыграть трио. Уселись чинно в ряд, Мартышка справа. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. Поменялись местами, при этом Осёл оказался в центре. А трио всё нейдёт на лад. Пересели ещё раз. При этом оказалось, что каждый из трёх «музыкантов» успел посидеть и слева, и справа, и в центре. Кто где сидел на третий раз?

2. (6–8) На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку.

Могло ли у получившейся фигуры оказаться 4 оси симметрии? (Пример фигуры с одной осью симметрии приведён на рисунке, ось симметрии показана пунктиром.) 3. (6–8) Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто — мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола — тоже меньше 4.

Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?

(Среднее нескольких чисел — это сумма этих чисел, делённая на их количество.) 4. (7–11) Говорящие весы произносят вес, округлив его до целого числа килограммов (по правилам округления: если дробная часть меньше 0,5, то число округляется вниз, а иначе — вверх; например, 3,5 округляется до 4). Вася утверждает, что, взвешиваясь на этих весах с одинаковыми бутылками, он получил такие ответы весов:

На весах: Вася и 5 бутылок Вася и 10 бутылок Вася и 14 бутылок Ответ весов: «22 килограмма» «25 килограмм» «28 килограмм»

Могло ли такое быть? Если да, приведите пример подходящих для этого значений веса Васи и веса одной бутылки.

5. (8–11) Равнобедренный треугольник с углом 120 сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули — и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.

6. (9–11) В каждой клетке клетчатого квадрата 7 7 стоит по числу.

Сумма чисел в каждом квадратике 2 2 и 3 3 равна 0. Докажите, что сумма чисел в 24 клетках, расположенных по периметру квадрата, тоже равна 0.

7. (9–10) Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?

8. (11) Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

Решения к заданиям конкурса по математике Задача 1. Ответ. Слева направо: Козёл, Мартышка, Осёл.

Сперва Мартышка сидит справа, потом — не справа и не в центре (там Осёл), т. е. слева, в конце — не справа и не слева — значит, в центре.

Осёл сперва сидит не справа (там Мартышка) и не в центре (он там сядет потом), т. е. слева, потом — в центре, в конце — справа.

Козлу остаётся последовательно центр, справа, слева.

Задача 2. Ответ. Могло — см. рисунок ниже.

Комментарий. Для того, чтобы построить пример, достаточно взять какую-нибудь фигуру с 4 осями симметрии и выкинуть из неё клетку, не лежащую ни на одной из этих осей.

Например, 4 оси симметрии имеет квадрат: две диагонали и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Так получается ответ, приведённый на рисунке в центре.

Есть и другие (например, ещё один приведён на рисунке справа).

Задача 3. Ответ. Может.

Например, пусть есть два человека, которые имеют по математике и смотрят только мультфильмы, три человека, у которых по математике 3, а смотрят они и то, и другое, и, наконец, ещё два человека, у которых по математике тоже 5, но смотрят они только футбол.

Тогда средний балл любой из двух групп равен но общий средний балл равен Комментарий. Естественно, если нет людей, смотрящих и футбол, и мультфильмы, то средний балл всего класса будет меньше 4.

Задача 4. Ответ. Да. Например, если Вася весит 18 кг, а бутылка — между 700 и 750 г.

Комментарий. Пусть Вася весит x кг, а бутылка — y кг. Условие состоит в том, что Если подставить в эту систему, например, x = 18, то на y получится условие 0,7 y < 0,75, что соответствует ответу выше. Подходят и другие веса — все они изображены на рисунке ниже (в виде закрашенного многоугольника).

0, 0, 0, Задача 5.

На рисунке закрашен упомянутый в условии задачи равнобедренный треугольник с углом 120.

Задача 6.

Первое решение. Так как равна нулю сумма и в квадрате 3 3, и во входящем него квадратике 22, равна нулю и сумма в остающемся уголке из 5 клеток.

Но по аналогичной причине равна нулю сумма чисел в уголке из клеток, получающемся выкидыванием из квадрата 4 4 (т. е. 4 квадратов 2 2) квадрата 3 3.

Осталось заметить, что из уголков двух таких видов легко составить рамку квадрата 7 7.

Второе решение. Из 2 квадратов 3 3 можно составить прямоугольник 3 6, а из трёх квадратиков 2 2 — прямоугольник 2 6.

Поэтому сумма чисел в любом прямоугольнике 1 6 равна нулю.

Осталось заметить, что из четырёх прямоугольников 1 6 можно составить рамку квадрата 7 7.

Комментарий. Может возникнуть подозрение, что из условия данной задачи следует, что вообще все числа таблицы должны быть равны 0. Это не так, что подтверждается следующим примером.

Задача 7. Пусть a, b и c — стороны треугольника.

Первое решение. Нетрудно проверить, что в вершинах можно поставить числа (они положительны в силу неравенства треугольника).

Второе решение. Можно решить задачу и геометрически. Впишем в треугольник окружность.

Отрезки, примыкающие к одной вершине, равны (как касательные, проведённые к данной окружности из данной точки).

Поставим в каждую вершину длину соответствующего отрезка.

Поскольку каждая сторона составлена из двух таких отрезков, условие задачи выполнено.

Отметим, что длины этих отрезков — это как раз числа из предыдущего решения.

Задача 8.

Первое решение. Прочитав второе решение задачи 7, можно догадаться и как решать задачу 8.

Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, образованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра примыкает по два таких треугольника. Они равны по трём сторонам — а значит, равновелики.

Напишем на каждом ребре площадь примыкающего к нему треугольника. Сумма чисел на сторонах грани — это сумма площадей трёх треугольников, на которые эта грань разбивается, т. е. как раз площадь грани.

Жирными линиями на рисунке показаны рёбра тетраэдра, жирными точками — точки касания граней тетраэдра и вписанной в тетраэдр сферы. Проекция этой сферы на плоскость рисунка закрашена серым цветом. Тонкими линиями показано упомянутое в решении разбиение граней тетраэдра на треугольники (для «невидимой» грани это разбиение показано пунктиром).

Второе решение. Пусть площадь наименьшей грани равна s. Напишем на ребре, общем для наименьшей и наибольшей граней, число s, а на остальных двух рёбрах наименьшей грани — по нулю. Тогда на оставшихся трёх рёбрах всегда можно расставить неотрицательные числа требуемым образом.

Действительно, пусть площадь набольшей грани равна S, а площади двух оставшихся граней — a и b. На одном ребре наибольшей грани уже написано число s. Напишем на двух других 2 (S b + a s) и 2 (S a + b s) (каждое из них неотрицательно как сумма двух неотрицательных чисел). Наконец, на единственном пока ещё пустом ребре напишем число 1 (a + b + s S) (это число неотрицательно, так как проекции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше площади её проекции на другую грань).

Нетрудно проверить, что условие задачи выполнено:

Задания для конкурса по математике предложили и подготовили:

Т. И. Голенищева–Кутузова, Т. В. Караваева, Г. А. Мерзон (№ 5), И. В. Раскина (№ 1), А. Л. Семёнов (№ 4), Б. Р. Френкин, А. В. Шаповалов (№ 3, 6, 8), И. В. Ященко (№ 2, 4).

Критерии проверки и награждения По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):

«+» — задача решена полностью;

«±» — задача решена с недочётами, не влияющими на общий ход решения;

« » — задача не решена, но имеются содержательные продвижения;

«» — задача не решена;

за задачу, к решению которой участник не приступал, ставился «0».

Так как по одному ответу невозможно определить, в какой степени участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится оценка «». (Естественно, это не относится к задаче № 2, в которой по условию требовалось лишь привести пример.) Комментарии по задачам 1. Если в решении хотя и было указано, в каком порядке «музыканты»

сидели каждый раз, но не объяснялось, почему такая рассадка единственная возможная, ставилась оценка «±».

За верный ответ без решения ставилась оценка « ».

2. Если фигура до закрашивания клетки уже имела оси симметрии или фигура после закрашивания клетки имела не 4 оси симметрии (и то, и другое противоречит условию), ставилась оценка не выше « ».

3. Из условия задачи не следует, что каждый ученик смотрит или только футбол, или только мультики. Если в решении утверждалось, что каждый ученик смотрит только что-то одно, за задачу ставилась оценка «».

4. Для решения задачи нужно было:

— привести пример веса Васи и бутылки, — проверить, что такие веса действительно удовлетворяют условию задачи.

Если последняя проверка не делалась, ставилась оценка «±».

Если приводилось несколько примеров, среди которых были как правильные, так и неправильные, ставилась оценка « ».

5. В полном решении из чертежа должно быть ясно, какой именно прямоугольник используется. Например, достаточно было указать отношение сторон прямоугольника или углы между линиями сгиба.

Если последнее сделано не было, ставилась оценка «±», если было сделано неверно — оценка не выше « ».

6. Доказательство того, что сумма чисел в «уголке» из 5 или 7 клеток равна нулю, оценивалось не ниже « ».

Отметим, что из условия задачи не следует ни то, что все числа в таблице равны 0, ни даже то, что сумма всех этих чисел равна (соответствующий пример приводится в комментарии к решению).

7. Для решения задачи нужно было:

— объяснить, как расставить в вершинах числа с нужными суммами, — доказать положительность этих чисел.

За только первую часть ставилась оценка « », за только вторую — оценка «».

8. Как и в предыдущей задаче, существенная часть решения — доказательство положительности расставленных на рёбрах чисел. За решения, в которых она отсутствовала, ставилась оценка не выше « ».

Критерии награждения При награждении учитывались только задачи своего и более старших классов. Задачи, предназначенные для более младших классов (чем тот, в котором учится участник турнира), проверялись и оценивались, но не учитывались при награждении.

При подведении итогов решёнными считаются задачи, за которые выставлены оценки «+» и «±».

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующих случаях:

— в 9 классе и младше решено не менее 1 задачи — в 10 классе и старше решено не менее 2 задач Оценка «v» (грамота за успешное выступление на конкурсе по математике) ставилась в следующих случаях:

— в 9 классе и младше решено не менее 2 задач — в 10 классе и старше решено не менее 3 задач В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по математике. Такая статистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по математике в целом): насколько трудными оказались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п. Учтены все работы по математике, сданные школьниками (в том числе и нулевые). Школьники, не сдавшие работ по математике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по математике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве сданных работ по математике.

Всего 0 13 31 125 856 4006 4445 4613 4404 4044 «e» 0 1 5 35 380 2050 2191 1032 1233 503 Сведения о количестве решённых задач участниками разных классов (решёнными в данной таблице считаются задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+!», «+» «+.» и «±»).

0 задач 0 11 25 89 434 1573 1439 3106 2709 1 задача 0 1 5 35 380 2050 2191 1032 1233 2 задачи 0 1 1 1 36 321 599 322 334 Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+!», «+», «+.», «±» и «+/2» считались как по классам, для которых рекомендована задача, так и по младшим классам; оценки « », «.», «» и «0»

считались только по классам, соответствующим задаче.

Оценка Номера задач // количество участников Конкурс по математическим играм Условия игр Выберите игру, которая вас больше заинтересовала, и попробуйте придумать для одного из игроков (первого или второго) стратегию, гарантирующую ему победу независимо от ходов соперника. Постарайтесь не только указать, как следует ходить, но и объяснить, почему при этом неизбежен выигрыш. Ответ без пояснений не учитывается.

Не пытайтесь решить все задания, сохраните время и силы для других конкурсов. Хороший анализ даже только одной игры позволит считать ваше участие в конкурсе успешным.

1. «Полоска из прямоугольника». Дан бумажный прямоугольник m n клеточек (n > 1 и m > 1). Первый игрок разрезает прямоугольник на два прямоугольника по линии сетки. Второй делает то же с одним из получившихся прямоугольников, затем снова ходит первый (выбирает любой имеющийся в данный момент прямоугольник и разрезает его на два прямоугольника по линии сетки) и так далее. Побеждает тот, кто после своего хода из всех получившихся частей может сложить полоску шириной в 1 клетку. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи:

а) Среди чисел n и m есть хотя бы одно чётное;

б) Числа n и m нечётные.

2. «Чеканка монет». В одном королевстве два казначея по очереди чеканят монеты. Каждым ходом казначей чеканит монету номиналом в N золотых (N — натуральное число), то есть вводит в обращение большое число таких монет. Изначально никаких монет нет. Очередным ходом разрешается чеканить монету только такого номинала, который нельзя набрать уже имеющимися в обращении монетами. Проигрывает тот, кому приходится выпускать монету номиналом 1 золотой.

а) Докажите, что если первый казначей первым ходом отчеканит монету в 2 или 3 золотых, то он проиграет.

б) Выгодно ли первому казначею начинать с чеканки монеты 4 золотых?

в) Выгодно ли первому казначею начинать с чеканки монеты 6 золотых?

г) Первый казначей выпустил монету в 5 золотых, а второй — в золотых. Как теперь первый может выиграть?

д) Пусть первый казначей выпустил монету в 5 золотых, а второй — в k золотых. Докажите, что теперь первый может отчеканить монету в 4k 5 золотых и не может никакую большего номинала.

е) Докажите, что первый казначей выигрывает, начиная с монеты в 5 золотых. (Указание. Пусть второй ответил монетой в k золотых, а первый выпустил монету в 4k 5 золотых. Если он при этом побеждает, то задача решена. Если же второй казначей может победить, отчеканив в ответ монету в m золотых, значит, чеканить 4k 5 со стороны первого было опрометчивым ходом. А как следовало поступить?) 3. «Колонизаторы». На карте точками отмечены города, некоторые соединены дорогами. Играют двое. За ход каждый игрок захватывает один город, который не был никем захвачен ранее. Нельзя захватывать город, соединённый дорогой с городом противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать свой ход по правилам игры.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

а) Рассмотрите карту с 20-ю городами, показанную на рисунке:

б) Рассмотрите карту с 20-ю городами, показанную на рисунке:

в) Пусть n городов расположены в виде кольца, как показано на рисунке. Кто — начинающий или его соперник — победит в зависимости от n?

г) Пусть 2n городов расположены в виде двойного кольца, как показано на рисунке. Кто — начинающий или его соперник — победит в зависимости от n?

Решения 1. «Полоска из прямоугольника».

а) Побеждает первый, разрезая прямоугольник пополам и затем проводя разрезы, симметричные разрезам второго игрока относительно линии, по которой он провёл самый первый разрез.

б) Побеждает второй, проводя разрезы, симметричные разрезам первого игрока относительно центра доски.

В обоих случаях понятно, что игрок, пользующийся симметричной стратегией, всегда имеет возможность так пойти: ситуация перед ходом соперника симметрична, поэтому, если соперник по правилам разрезает одну из частей, наш игрок всегда может так же разрезать симметричную часть. Победить соперник после своего хода не может: если бы это было так, то часть, которую он разрезает, была бы последней не-полоской. Но в пункте «а» всегда есть такая же симметричная часть.

А в пункте «б» либо есть такая же симметричная часть, либо первый разрезает прямоугольник, содержащий центр симметрии исходного прямоугольника. Но тогда длины обеих его сторон нечётны (так как отрезались парами одинаковые прямоугольники) и поэтому не равны 2.

2. «Чеканка монет».

а) Второй может отчеканить вторую из упомянутых в условии монет.

Очевидно, первому тогда останется только чеканить 1 золотой.

б) Нет. Второй может отчеканить 6 золотых и выиграть. В самом деле, первый после такого хода может выпустить монету 2 золотых, а также любого нечётного номинала. Выпускать 1 никому не выгодно, 2 и 3 тоже (см. п. «а»).

Остальные монеты можно разбить на пары: (5; 7), (9; 11), (13; 15) и так далее. Теперь в какую пару ни пойдёт первый, второй ходит в неё же. При этом из множества допустимых ходов исключается эта пара и все бльшие. Далее этот приём нужно повторить несколько раз.

в) Нет. Нужно отчеканить 4 золотых и далее действовать как в предыдущем пункте.

г) После указанных ходов первый может отчеканить 19 золотых.

Тогда у второго останутся такие возможности: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14.

Первые три хода бессмысленны, а остальные можно разбить на пары (4; 7), (8; 9), (13; 14) и действовать так же, как в пункте «б».

д) Случаи k < 4 разбираются непосредственно.

Если k 4, то покажем, что максимальное непредставимое число есть 4k 5. В самом деле, если 5a + kb = 4k 5, то 5(a + 1) = k(4 b).

Поскольку НОД(k; 5) = 1, то (4 b) кратно 5, при этом b 0 и 4 b > 0.

Эти условия несовместимы.

Покажем теперь, как набрать любое число золотых, большее 4k 5, монетами по 5 и k золотых.

Понятно, что достаточно показать это лишь для первых пяти чисел после 4k 5. Число k при делении на 5 может давать остатки от 1 до 4.

Нетрудно проверить, что в каждом из четырёх случаев числа k, 2k, 3k и 4k при делении на 5 будут давать все остатки от 1 до 4 в каком-то порядке. Это значит, что при любом i от 1 до 4 одно из чисел (k i), (2k i), (3k i) или (4k i) будет делиться на 5 (заметим, что k 4, то есть все эти числа неотрицательны). То есть, при всяком i мы сможем одну из этих сумм набрать монетами по 5 золотых, а потом, если нужно, добавить несколько монет по k золотых, чтобы получилось ровно (4k i). Таким образом мы набираем суммы (4k 4), (4k 3), (4k 2) и (4k 1). Сумма же 4k набирается очевидным способом.

е) Воспользуемся указанием. Если первый казначей, отчеканив монету (4k 5), проиграет после того, как второй отчеканит монету m, ему следует применить стратегию соперника и сразу чеканить m. Известно, что соперник выигрывает, если отчеканены монеты 5, k, (4k 5) и m. Но, оказывается, сумма (4k 5) набирается монетами 5, k и m, так что первый, сразу отчеканив m, попадает в выигрышное положение.

Осталось доказать только что сформулированное утверждение.

Для доказательства все целые числа от 0 до 5k разобьём на два класса: «хорошие» вида 5a + kb, где a, b 0, и «плохие» (все остальные).

Найдём количество хороших чисел. Выпишем все числа вида 5a + kb, где a, b 0, a k, b 5. Все эти числа хорошие и «почти все различны»: именно, если 5x + ky = 5x1 + ky1, то можно считать, что 5(x x1 ) = k(y1 y) 0, а тогда (y1 y) кратно 5. Если y1 = y, то x1 = x, то есть числа совпадают, если же нет, то y1 y 5, то есть y1 5, но тогда y1 = 5.

Отсюда нетрудно получить, что y = 0, x1 = 0 и x = k. То есть, среди указанных 6(k + 1) чисел совпадают только два: 5k + k · 0 и 5 · 0 + k · 5. Остальные же 6(k + 1) 2 числа различны и разбиваются на пары 5a + kb; 5(k a) + k(5 b), причём сумма чисел в каждой паре равна 10k. Заметим, что ровно одно число в паре лежит в нашем диапазоне (от 0 до 5k), то есть в этом диапазоне ровно 3(k + 1) 1 + 1 = 3(k + 1) хорошее число.

Как уже показано ранее, хороши числа от 4k 4 до 5k включительно, их ровно k + 5. Итак, в диапазоне от 0 до 4k 5 ровно 3(k + 1) k 5 = 2k 2 хороших чисел. Но всего там чисел 4k 4, то есть ровно половина из них хорошие. Все числа от 0 до 4k разбиваются на пары, дающие в сумме 4k 5. Оба числа в паре не могут быть хорошими, иначе (4k 5) было бы хорошим. Значит, в каждой паре есть по крайней мере одно плохое число. Но плохих чисел столько же, сколько и пар, так что плохое число в паре ровно одно.

Поэтому, если число m плохое, то (4k 5 m) — хорошее, а тогда 4k 5 = 5x + ky + m, что и требовалось.

Примечание. В изложенном выше решении пункта «в» мы доказали наличие выигрышной стратегии у первого игрока (что и требовалось в задании), но саму эту выигрышную стратегию не построили.

Мы не выяснили, когда вторым своим ходом первому игроку нужно чеканить монету (4k 5), а когда m, а также — как вычислить подходящее m.

Число (4k 5) является последним, которое нельзя разменять монетами достоинством 5 и k (см. решение пункта «д»). Тем самым для любого конкретного k игровую ситуацию можно полностью исследовать перебором конечного количества вариантов и, в частности, найти подходящее число m. Но какой-либо достаточно простой формулы для нахождения m(k) на момент написания данного текста неизвестно.

Также известно, что первый игрок выигрывает, если он начинает игру не только с монеты достоинством 5, но и вообще с любого простого числа, большего 3. Напротив, первый игрок проиграет, если начнёт игру с числа, имеющего простой делитель, больший 3.

А, например, если первый игрок первым ходом отчеканит монету достоинством 16, то про дальнейший ход игры (наличие выигрышной стратегии у первого или у второго игрока) ничего не известно.

3. «Колонизаторы».

a) Победит второй игрок, отвечая симметрично относительно центра симметрии картинки. Очевидно, что у него всегда будет ход, причём этот ход не нарушит правил, иначе бы правила нарушал предыдущий ход соперника.

Подобные рассуждения применимы и в других пунктах этой задачи, там, где рассматривается симметричная стратегия.

б) Победит начинающий. Он может сначала захватить город, отмеченный кружочком, а затем на каждый ход второго отвечать симметрично относительно оси симметрии картинки.

в) При n = 2 победит первый, при чётном n > 2 победит второй — он может отвечать симметрично первому относительно центра картинки.

При нечётном n победит первый игрок.

Докажем это индукцией по n.

Для n = 1 и n = 3 решение очевидно.

Пусть при n < 2k + 1 выигрышная стратегия за первого игрока найдена. Рассмотрим n = 2k + 1. Первым ходом мы захватываем город № 1.

Пусть соперник сделал свой ход, захватив город № m. Можно считать3, что 2 < m k. Тогда мы захватываем город № (2m 1).

Теперь захвачено 3 города которые делят игровое поле на редной ход — у второго игрока.

Сектора A и B имеют одинаk ных городов. Если второй игрок делает какой-то ход в одном из этих секторов, первый тут же отвечает аналогичным ходом в другом секторе, то есть захватывает город, расположенный на таком же расстоянии от города № m, что и город, только что захваченный соперником.

Что касается оставшейся части игрового поля, то, мысленно объединив захваченные первым игроком города № 1 и № (2m 1), можно заметить, что сектор С эквивалентен исходной игре с количеством городов n = 2(k m + 1) + 1 = (2k + 1) 2(m 1), где первым игроком уже сделан первый ход. Это число положительное, нечётное и меньшее 2k + 1.

Следовательно, здесь у первого игрока по предположению индукции есть выигрышная стратегия.

3 Если это не так, то достаточно поменять направление нумерации городов на противоположное.

Таким образом, игра распалась на независимые фрагменты, в каждом из которых у первого игрока есть выигрышная стратегия. Следовательно, выигрышная стратегия также есть и в игре в целом.

г) При чётном n победит второй игрок. На каждый ход первого он может определить центральносимметричный город и занять соответствующий ходом он занимает любой город X, затем рассмат- ривает прямую l, проходящую через X и центр кольца. Если теперь соперник занимает какой-то город, первый игрок отражает его симметрично относительно прямой l, но занимает не определённый таким образом город, а смежный с ним город на другом кольце.

Примечание. Игровое поле в этом случае можно представить себе как цилиндр, на краях оснований которого друг над другом расположены города (одно из оснований соответствует внутреннему кольцу, а другое — внешнему).

Соответственно, при чётном n ходы делаются симметрично относительно центра цилиндра.

При нечётном n ходы делаются симметрично относительно прямой, проходящей через центр цилиндра и середину дороги, соединяющей город X и смежный с ним город на другом кольце (другом основании цилиндра). По правилам игры второй игрок не может симметрично ответить на первый ход первого игрока (эти города соединены дорогой), и вынужден сделать какой-нибудь другой ход. В дальнейшем же по правилам игры на все возможные ходы второго игрока возможны симметричные ответы первого игрока.

Задания для конкурса по математическим играм предложили:

№ 1 — А. В. Шаповалов, № 2 — John Horton Conway (Принстон, США), № 3 — И. В. Раскина.

Тексты заданий и решений подготовили:

А. В. Хачатурян, В. А. Клепцын.

Критерии оценивания За каждую задачу ставится от 0 до 20 баллов: сумма баллов за пункты этой задачи или 20 баллов (если сумма по пунктам больше 20).

Если из решения видно, что школьник неправильно понимает условия задачи (и само понятие стратегии) — за задачу ставится 0 баллов.

1. «Полоска из прямоугольника».

а) Стоимость пункта — 8 баллов.

• Дан только ответ (побеждает такой-то игрок) — 0 баллов.

• Написано только «симметрично» или «повторять ходы» и дан верный ответ — 3 балла.

• Указан только 1-ый ход первого игрока и дан верный ответ — 2 балла.

• Указана стратегия только для одного случая (например, только для чётных сторон исходного прямоугольника), которая не годится для второго случая — 3 балла (с доказательством — 4 балла).

• Описан первый ход первого игрока (разрезание доски пополам) и описана стратегия: «симметрично» или «повторять ходы» и дан верный ответ — 6–7 баллов.

• Дано полное описание и обоснование стратегии, почему каждый раз у первого игрока будет ход — 8 баллов.

б) Стоимость пункта — 12 баллов.

• Дан только ответ (побеждает такой-то игрок) — 0 баллов.

• Написано только «симметрично» или «повторять ходы» и дан верный ответ — 3 балла, [но не более 3 баллов в сумме за одно лишь слово «симметрия» в обоих пунктах].

• Описано решение с помощью центральной симметрии — до 11 баллов.

• Описано решение по индукции без базы индукции — до 9 баллов.

• Описано решение по индукции с базой индукции — до 11 баллов.

• Описано одно из вышеуказанных решений и дано полное объяснение выигрышности стратегии (т. е. наличия у 2-го игрока хода) — 12 баллов.

2. «Чеканка монет».

а) Стоимость пункта — 4 балла.

• Объяснена проигрышность этих позиций соответствующей стратегией 2-ого игрока: на «2» отвечать «3», на «3» отвечать «2» — 3 балла.

• Разобран только один из двух начальных ходов (например, только проигрышность хода «2») — 2 балла.

• В придачу доказано, что любое натуральное число большее единицы можно набрать монетами «2» и «3» — +1 балл.

б) и в) — до 12 баллов в сумме.

г) Стоимость пункта — 12 баллов.

• Выписаны допустимые ходы (1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19), быть может, без (1, 2, 3) — 4 балла.

• Указаны допустимые ходы и показано, что других нет — 6 баллов.

• Указан третий ход 1-го игрока — 4 балла.

• Указан третий ход 1-го игрока и доказано, что он приводит к победе — 12 баллов.

д) Стоимость пункта — 10 баллов.

е) Стоимость пункта — 20 баллов.

3. «Колонизаторы».

(Ставится не более 3 баллов в сумме за одно лишь упоминание симметрии в ответах на все пункты.) а) Стоимость пункта — 5 баллов.

Слово «симметрия» и верный ответ — 3 балла.

Указана стратегия центральной симметрии — 4 балла.

Дано обоснование стратегии (почему у второго всегда есть ход) — 5 баллов.

б) Стоимость пункта — 5 баллов.

• Слово «симметрия» и верный ответ — 3 балла.

• Указан 1-ый ход первого игрока и осевая симметрия и дан верный ответ — 4 балла.

• Дано обоснование стратегии (почему у первого всегда есть ход) — баллов.

в) Стоимость пункта — 10 баллов.

Для чётного n:

• Слово «симметрия» и верный ответ — 2 балла.

• Указание на центрально симметричную стратегию и верный ответ балла.

Для нечётного n:

• Описание стратегии — до 7 баллов.

г) Стоимость пункта — 10 баллов.

Для чётного n:

• Слово «симметрия» и верный ответ — 2 балла.

• Описание симметричной стратегии — 3 балла.

Для нечётного n:

• Описание стратегии — до 7 баллов.

Критерии награждения Конкурс по математическим играм проводился письменно, а в некоторых местах проведения — также и устно (для желающих участников).

Результаты устных ответов по каждому заданию переводятся в баллы в соответствии с критериями проверки письменных работ. (Если участник сдавал задание устно несколько раз — за каждый пункт каждого задания учитывается лучшая из всех полученных оценок.) Если какое-либо задание участник сдавал и устно, и письменно, учитывается наилучшая (из двух) оценка в баллах за это задание.

При награждении учитывалась сумма баллов по всем заданиям и класс, в котором учится участник.

Оценки «e» и «v» ставились в соответствии с таблицей (нужно было набрать указанную в таблице или бльшую сумму баллов).

В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Инструкция проводящим устный конкурс «Математические игры»

Уважаемые коллеги! Перед Вами задания конкурса «Математические игры» Турнира Ломоносова 2012 года. Мы рекомендуем вам по возможности провести этот конкурс в устной форме для учеников не старше восьмого класса. Ученикам 9–11 классов дайте задания для письменной работы и посадите их в специальную аудиторию. Если нет возможности провести конкурс устно, дайте письменные задания и младшим ребятам, но всё же, пожалуйста, постарайтесь организовать для них устный конкурс — младшеклассники, как показывает печальный опыт прошлых лет, очень плохо записывают решения заданий по играм.

Мы советуем проводить устный конкурс по матиграм приблизительно так. В выделенной аудитории назначаются «сеансы игр» — например, каждый час или, если аудитория невелика, каждые 45 минут.

Расписание «сеансов» вывешивается на дверях. Перед началом сеанса в аудиторию запускаются участники и рассаживаются за парты, лучше по двое. Не допускайте перенаселения, посоветуйте тем, кто не помещается, посетить иные конкурсы, а на этот прийти к другому сеансу.

На каждом сеансе ведущие (их нужно примерно по одному на 10–15 школьников) могут выбрать одну игру из предложенных ниже.

Перед тем, как рассказать правила, можно кратко объяснить, что такое математическая игра, что такое стратегия, привести пример на самых известных играх, например «крестики-нолики 3 3» или «двое берут из кучи по 1 или 2 камня». Когда школьники поймут, в чём заключается конкурс, расскажите им правила и задания одной из трёх игр, добейтесь, чтобы правила были понятны, потом раздайте реквизит (об этом подробнее написано ниже) и попросить их сыграть друг с другом или с вами несколько партий, чтобы понять суть игры. C желающим объяснить решение какого-либо пункта задания негромко побеседуйте.

Потребуйте, чтобы он не просто «обыграл» Вас, а внятно объяснил стратегию. Сданную задачу отметьте в протоколе.

Участнику можно предложить перейти в аудиторию, где проходит письменный конкурс — если он затрудняется изложить решение устно, — если он уже решил предложенную игру и хочет решать другие, — если по каким-то причинам Вы бы хотели, чтобы его решение подверглось внешней проверке, — если, наконец, он бузит и мешает Вам работать.

Многие дети, кстати, не настолько жаждут решить и сдать задачу, они приходят просто поиграть. Дайте им эту возможность, поиграйте с ними, устройте турнир по какой-то игре. Шутите, улыбайтесь, создавайте праздничную атмосферу. Самых заядлых игроков можно оставить на повторный сеанс, но сначала напомните о других конкурсах.

О подготовке и реквизите Чтобы конкурс прошёл хорошо, к нему надо подготовиться.

Во-первых, прорешайте заранее задания, чтобы уверенно играть с детьми, когда надо, поддаваясь, когда надо, побеждая.

Во-вторых, распечатайте бланк протокола, распечатайте и имейте несколько экземпляров заданий.

В-третьих, заранее подготовьте реквизит.

Для игры № 1 можно заготовить бумажные прямоугольники, расчерченные на квадратные клеточки, и во время игры разрезать их по линиям разметки ножницами. А можно и не резать, а только помечать места предполагаемых разрезов более жирными линиями поверх разметки.

Для игры № 2 особого реквизита не требуется, только ручка и бумага.

Для игры № 3 распечатайте картинки с графами-заданиями в достаточном количестве. Вы можете играть с детьми, помечая захваченные города на картинках (тогда распечатать надо будет достаточно много картинок), а можете использовать фишки двух видов, заготовив их заранее (в роли фишек могут выступать любые мелкие предметы).

Не пожалейте времени на изготовление реквизита — оно окупится радостью маленьких участников Турнира.

О записи результатов В протоколе отражайте сданные школьниками задания. Принимайте задачи строго, требуйте объяснения правильности стратегии.

Не подсказывайте явно, но незаметно слегка помогите участнику, если видите, что он понимает суть решения, но не может точно её выразить.

Бывает так, что маленький участник очень ловко играет в игру, в разные её варианты, но объяснить ничего толком не может. Отметьте это словами в протоколе, такого малыша тоже можно будет поощрить. Протокол(ы) сдайте старшему по точке проведения Турнира.

Статистика В приведённой статистике учтены все письменные работы по математическим играм, сданные школьниками, а также все устные ответы, кроме абсолютно нулевых.

При наличии нескольких устных ответов за каждый пункт каждой задачи учтён лучший результат. При наличии как устного, так и письменного ответа по каждой задаче учтена лучшая оценка (наибольшее количество баллов).

Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по математическим играм («v») и получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по математическим играм (количестве сданных работ и/или устных ответов).

Всего 0 11 19 62 419 1415 1316 986 862 506 Сведения о распределении суммы баллов по классам. (Знаками «e»

и «v» показаны границы соответствующих критериев награждения.) Сумма Количество участников по классам c такой суммой Всего Сведения о распределении баллов по заданиям (в таблице приведено количество участников, получивших указанные баллы за указанные задания).

Обращает на себя внимание очень большое количество нулевых баллов. Это обусловлено сочетанием двух причин. Во-первых, конкурс по математическим играм для многих школьников оказался непривычным, в своих работах ребята часто приводили описание игры, примеры партий и т. п., но не делали попыток решить игру как математическую задачу. Во-вторых, ввиду достаточно сложной системы учёта результатов (возможность нескольких устных и письменных ответов с последующим объединением результатов) невозможно чётко разграничить ситуации, когда школьник пытался выполнить задание, но получил 0 баллов, и когда он вообще не выполнял и не планировал выполнять какое-либо задание. (Например, отвечая устно, школьник сказал пару слов и передумал, но в протоколе перед началом ответа он уже был отмечен.) Конкурс по физике Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Можно решать и задачи старших классов. Задачи младших классов на оценку не влияют.

Ученикам 7 класса и младше достаточно решить одну «свою»

задачу, ученикам 8–11 классов — две «своих» задачи.

1. (6–9) Гусеница длиной 10 сантиметров ползёт по веточке со скоростью 1 миллиметр в секунду. Навстречу гусенице по этой веточке бежит муравей. Муравей пробежал по гусенице (которая продолжала ползти, не обращая на него внимания) от начала до конца и затем побежал по веточке дальше.

И по веточке, и по гусенице муравей передвигался со скоростью 1 сантиметр в секунду. Сколько времени потерял муравей из-за того, что ему пришлось перелезать через ползущую навстречу гусеницу, а не просто бежать по неподвижной веточке?

2. (6–9) Для перевозки тяжёлого груза по железной дороге требуется мощность двигателей электровоза или тепловоза намного больше, чем мощность двигателей корабля, перевозящего этот же груз по воде. Объясните, почему.

3. (7–10) Лист обычной бумаги рвут пополам. Почему, если рвать как показано на рисунке слева, требуется существенно бльшая сила, чем если делать так, как показано на рисунке справа?

Бумагу держат пальцами там, где нарисованы стрелочки, и тянут по направлению стрелочек.

4. (8–11) Водитель автомобиля заметил странный эффект, наблюдаемый во время езды, когда на улице достаточно тепло ( +25 C) и идёт дождик. Если ехать с закрытыми окнами и включённой вентиляцией (воздух забирается с улицы и подаётся вентилятором внутрь автомобиля), то все окна запотевают изнутри. Если для подаваемого вентилятором воздуха включить дополнительный подогрев — стёкла потеть не будут. Если включить охлаждение подаваемого воздуха — стёкла тоже потеть не будут.

Кажется странным, что противоположные действия (нагрев и охлаждение) приводят к одному и тому же результату. Как это можно объяснить?

5. (9–11) В пространстве расположили 8 одинаковых точечных электрических зарядов так, что они находятся в вершинах куба. Каждый заряд привязали непроводящей нерастяжимой нитью к центру этого куба (концы всех нитей от зарядов скреплены в центре куба друг с другом). Получившаяся система зарядов и нитей находится в равновесии.

Является ли это равновесие устойчивым?

6. (9–11) Тонкую прямую непрозрачную палочку поместили в сосуд с водой: часть палочки находится под водой, а часть — над водой.

Известно, что если смотреть на палочку сбоку, кажется, что она «переламывается» на поверхности воды. А будет ли «переламываться» тень от палочки, наблюдаемая на дне сосуда?

Наблюдатель и источник света, благодаря которому возникает тень, расположены выше поверхности воды. Дно сосуда плоское и расположено параллельно поверхности воды.

7. (9–11) К концам жёсткой лёгкой линейки длиной 1 м прикреплены две маленькие по размерам гири с массами 1 кг и 2 кг. Положение гири массой 1 кг соответствует делению «0 см» на линейке. Линейка с грузами покоится на гладкой горизонтальной поверхности.

К точке линейки, соответствующей делению «20 см», приложили горизонтальную силу 6 Н в направлении, составляющем угол 60 с линейкой. Найдите величину ускорения гири массой 1 кг в этот момент.

8. (10–11) В баллоне ёмкостью 1 литр находится азот. Азот из баллона медленно выпускают, всё время поддерживая температуру баллона постоянной. Когда в баллоне оставалось 1 моль азота, давление внутри баллона было равно атмосферному (105 Па). Чему будет равно давление в баллоне, когда в нём останется 0,5 моль азота?

9. (10–11) Из резисторов сопротивлением R собрана плоская квадратная решётка, бесконечная во все стороны. В такой схеме электрическое сопротивление между узлами K и L равно R/2, а электрическое сопротивление между узлами K и M равно 2R/.

Выберите в такой схеме любые 2 различных узла, сопротивление между которыми не равно R/2 или 2R/, укажите взаимное расположение этих узлов и найдите электрическое сопротивление между ними.

Ответы и решения Задача 1. Муравей со скоростью 1 см/с пробежит по гусенице длиной 10 см от начала до конца за 10 с. Гусеница за такое время со скоростью 1 мм/с проползёт расстояние 10 мм = 1 cм. В результате после перемещения по гусенице муравей окажется на расстоянии 1 cм от того места, где он бы оказался в это же время, если бы он вместо движущейся гусеницы бежал по неподвижной веточке. Так как скорость муравья 1 см/с, отставание на 1 см для него означает потерю времени 1 с.

Ответ. 1 секунда.

Задача 2. Железные дороги практически всегда имеют уклон. Для перевозки груза в горку необходимо затрачивать работу на увеличение потенциальной энергии груза. Эта работа как раз и совершается двигателями тепловоза или электровоза.

Рельеф поверхности водоёмов существенно более пологий. Для перемещения по горизонтальной поверхности водоёма фактически нужно только преодолевать силу сопротивления воды. Эта сила тем меньше, чем меньше скорость. Как известно, большой корабль может сдвинуть с места даже ребёнок (конечно, с небольшой скоростью).

Для плавания по наклонной поверхности воды (например, вверх по течению реки) затрачивать работу на подъём груза также не требуется.

Подъём происходит за счёт выталкивающей силы воды (силы Архимеда). В самом деле, если бы корабль, плывя вверх по течению, оставался бы на одной высоте, он оказывался бы погруженным в окружающую воду всё глубже и глубже. Соответственно, с увеличением глубины погружения будет увеличиваться и выталкивающая сила (сила Архимеда), которая вытолкнет корабль на такую высоту (глубину погружения), на которой выталкивающая сила окажется меньше и уравновесится силой тяжести корабля.

Конечно, с совсем маленькой скоростью корабль плавать не может.

Во-первых, требуется обеспечить разумное (не слишком большое) время перевозки груза. Во-вторых, скорость плавания относительно воды должна быть по крайней мере больше скорости течения (иначе корабль просто не сможет перемещаться в нужном направлении).

Никаких других причин для существенного увеличения скорости корабля нет. Медленно плывущий по широкой реке (а тем более по озеру или морю) корабль никому не мешает. На железной дороге маленькие скорости оказываются неприемлемыми — медленно движущийся грузовой поезд занимает железнодорожный путь и мешает движению других поездов. Поэтому тяжёлые грузы по железной дороге приходится возить с большой скоростью и мощности двигателей электровоза (или тепловоза) также должно хватать и на разгон поезда (то есть увеличение кинетической энергии) за достаточно короткий промежуток времени.

Также отметим, что на корабле вполне могут быть установлены более мощные двигатели, чем на тепловозе или электровозе. Это не противоречит приведённым выше рассуждениям. В условии задачи речь идёт о перевозке одного и того же груза по воде и по железной дороге, в то время как грузоподъёмность судна может быть существенно больше, чем возможная загрузка железнодорожного состава.

Кроме того, нужно учесть, что один железнодорожный состав могут вести 2 или 3 или даже больше электровозов или тепловозов. Их необходимое количество (то есть суммарная мощность их двигателей) как раз и выбирается исходя из общей массы поезда и того, насколько крутые подъёмы этот поезд должен преодолевать.

Задача 3. На рисунке справа расстояние между стрелочками (то есть местами, к которым прикладывают силу) равно длине разорванных краёв листа. При разрыве бумаги образуется два края, поэтому длина образовавшегося разрыва при таком способе действий будет в 2 раза меньше расстояния между стрелочками. Если действовать, как на рисунке слева, то оказывается, что длина образующегося разрыва получается в несколько раз больше, чем необходимое для этого увеличение расстояния между стрелочками.

При одном и том же перемещении рук в первом случае длина образующегося разрыва оказывается существенно меньше, чем во втором, поэтому и необходимая для этого сила в первом случае тоже требуется меньше.

Можно считать, что работа, необходимая для разрыва бумаги, в основном затрачивается на разрыв бумажных волокон, и поэтому будет одинаковой независимо от способа разрыва (количество разорванных волокон примерно одно и то же).

Как известно, A = F s (A — работа, F — сила, s — перемещение), поэтому при совершении одной и той же механической работы A чем меньше изменилось расстояние s между точками, к которым прикладывается сила F, тем больше для этого требуется величина силы F.

Возможно, что в первом случае (рисунок справа) бумага будет не только рваться за счёт разрыва волокон, но и «расслаиваться». Но, учитывая существенную разницу в относительном перемещении рук в первом и во втором случае, детали механизма образования разрыва для ответа на вопрос задания не очень существенны.

Для описанной в задаче ситуации можно предложить альтернативное объяснение (фактически описывающее другими словами те же самые физические процессы). В случае, показанном на рисунке слева, часть механических напряжений, приложенных к листу, концентрируется в месте разрыва, а часть «обступает» место разрыва по площади ещё не порванной бумаги, что обеспечивает дополнительную прочность.

(Механические напряжения условно показаны пунктирными линиями.) В ситуации на рисунке справа все механические напряжения проходят через место разрыва, «обогнуть» место разрыва им просто негде. Это как раз хорошо видно из рисунка, для которого удачно для этой цели выбран ракурс. Невидимая на этом рисунке часть листа бумаги расположена перпендикулярно линии приложения разрывающих сил и поэтому не может обеспечить дополнительную прочность.

Задача 4. Из условия задачи понятно, что воздух, подаваемый с улицы в салон автомобиля без нагрева или охлаждения, создаёт в салоне микроклимат с абсолютной влажностью, соответствующей 100% (или более) относительной влажности для температуры внутренней поверхности стёкол автомобиля (иначе стёкла не стали бы запотевать).

Учитывая, что температура внутренней поверхности стёкол салона автомобиля должна быть немного выше уличной температуры, это может показаться странным. Действительно, если при более высокой температуре относительная влажность достигает 100%, то она должна была бы достигнуть 100% ещё при уличной температуре, что должно было привести к выпадению из воздуха избыточного содержания воды ещё до попадания в салон автомобиля. Объясняется это кажущееся противоречие тем, что существенным источником паров воды в воздухе салона автомобиля является не только воздух, подаваемый с улицы, но и дыхание водителя (и пассажиров).

Подогрев воздуха, подаваемого с улицы, увеличивает температуру воздуха в салоне и температуру внутренней поверхности оконных стёкол. При такой температуре имеющихся в воздухе салона автомобиля водяных паров оказывается недостаточно для достижения относительной влажности 100%.

Если же для подаваемого с улицы воздуха включить охлаждение, то относительная влажность превышает значение 100% ещё в системе охлаждения, при этом там же часть воды удаляется (в виде жидкости) из подаваемого в салон автомобиля воздуха. В салоне температура этого воздуха немного повышается (за счёт имеющихся в работающем автомобиле источников тепла), вследствие чего снижается относительная влажность. В результате содержание в воздухе салона автомобиля водяных паров оказывается недостаточным для создания 100% относительной влажности на внутренней поверхности оконных стёкол.

Задача 5. Докажем, что равновесие неустойчиво. Для этого добавим в рассматриваемую систему дополнительные жёсткие связи между некоторыми зарядами и докажем, что даже в этом случае равновесие всё равно будет неустойчивым. Тем самым будет неустойчивым и равновесие исходной системы без дополнительных связей (удаление которых, очевидно, не может увеличить устойчивость).

Для имеющихся в системе восьми зарядов будем использовать обозначения Q1, Q2,..., Q8 ; для величин этих зарядов (по условию все они одинаковые) будем использовать обозначение Q.

Дополнительно к имеющимся в системе нитям (нити при этом оставим, все заряды также оставим на своих местах) добавим следующие ограничения на перемещения зарядов.

1) Заряды одной из квадратных граней куба (на рисунке это заряды Q5, Q6, Q7 и Q8 ) скрепим в жёсткую конструкцию — так, что при любых перемещениях эти заряды всегда будут образовывать квадрат исходного размера.

2) Заряды противоположной грани куба (на рисунке это заряды Q1, Q2, Q3 и Q4 ) также скрепим в жёсткую конструкцию — так, что при любых перемещениях эти заряды также всегда будут образовывать квадрат исходного размера.

3) Разрешим для каждого квадрата с зарядами только поворот квадрата целиком вокруг оси, проходящей через центры этих двух квадратов. Любые другие перемещения зарядов запретим.

Покажем, что равновесие получившейся системы неустойчиво. То есть что если повернуть одну грань относительно другой на небольшой угол (как показано на рисунке), то система будет стремиться увеличить этот угол, а не вернуться в исходное состояние.

Пусть длина ребра исходного куба равна a. Введём систему координат. Начало координат расположим в центре грани Q1 Q2 Q3 Q4, ось Ox направим вправо, ось Oy — вверх (по рисунку), ось Oz — перпендикулярно плоскости рисунка.

Для угла поворота грани Q5 Q6 Q7 Q8 относительно грани Q1 Q2 Q3 Q введём обозначение. Для радиуса окружности, описанной около грани куба, для удобства записи введём обозначение R = a 2/2; соответственно, a = 2R.

В этих обозначениях координаты зарядов будут следующими.

По теореме Пифагора определим расстояние r между зарядами Q и Q1 в зависимости от угла поворота грани Q5 Q6 Q7 Q8 относительно грани Q1 Q2 Q3 Q4.

Напомним, что энергия электростатического взаимодействия зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна Таким образом, энергия электростатического взаимодействия зарядов Q5 и Q1 нашей системы в зависимости от угла поворота равна Введём для этой функции обозначение W () и для дальнейшего решения вычислим первую и вторую производную W ().

Найдём численные значения W (0) и W (0), что соответствует энергии электростатического взаимодействия зарядов Q5 и Q1 при угле поворота = 0.

Выполним аналогичные вычисления для зарядов Q5 и Q2. Учитывая, что положение заряда Q2 отличается от положения заряда Q1 на угол (то есть 90 ), вычисления нужно проводить для =.

Выполним аналогичные вычисления для зарядов Q5 и Q3. Учитывая, что положение заряда Q3 отличается от положения заряда Q1 на угол (то есть 180 ), вычисления нужно проводить для =.

Выполним аналогичные вычисления для зарядов Q5 и Q4. Учитывая, что положение заряда Q4 отличается от положения заряда Q1 на угол 3 (то есть 270 ), вычисления нужно проводить для = 3.

Вычислим первую и вторую производные суммарной энергии электростатического взаимодействия заряда Q5 с зарядами Q1, Q2, Q3 и Q4.

Конкурс по истории Вопросы и задания Все задания адресованы школьникам всех классов: каждый может выбрать те, которые ему по вкусу и по силам; достаточно выполнить хорошо (не обязательно полностью) 2 задания из первых десяти или верно указать хотя бы 10 ошибок в заданиях 11 или 12 (нужно составить список указанных в текстах событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, и объяснить, как, где и с кем они происходили — или почему их вообще не могло быть).

Задания, отмеченные звёздочкой (), жюри считает сравнительно более сложными; оцениваться они также будут выше.

1*. Постройте короткую цепь из звеньев «ученикучитель», которая начинается с Давида Гильберта (1862–1943), а кончается вами. Укажите для каждого звена: кто и чему научился у своего учителя. Если учение происходило через книгу, то укажите (точно или примерно) её название, год издания и содержание.

2. Кто носил в 1812 году титул Князя Московского? Каковы были важнейшие достижения этого человека в 1812 году и после того? С какой профессии началась его жизнь — и чем она завершилась?

3. Один из героев Шекспира впервые ввёл в обращение монеты в 1 фунт и в 1 шиллинг. В какой пьесе действует этот человек? Как его зовут в пьесе? Какие монеты обращались в Англии раньше?

4*. План наступления Вермахта в 1942 году предусматривал захват ресурсов Юга России и Прикавказья — до Баку. Зачем и по чьей инициативе был нанесён удар по Сталинграду? Какую прежнюю ошибку российского руководства нечаянно повторили при этом немцы? Каковы были последствия той ошибки? Как были к ней причастны Жуков и Василевский? Кто были их германские противники в сходных должностях — в 1941 и 1942 годах?

5*. Одним из открытий историка и философа Л. Н. Гумилёва была примерно четырёхвековая периодичность в развитии любого крупного этноса и его державы. Если вы — сторонник этой теории, то приведите 2–3 хорошо известных примера таких «повторений» в российской или всемирной истории. Если вы — противник модели Гумилёва, то приведите соответствующий контрпример — и дайте ему иное объяснение.

6. Пять веков назад в «самиздате» появилась книга Макиавелли «Государь». Каких монархов древности и современности автор ставил в пример своим современникам или потомкам? Кто из позднейших монархов сознательно подражал героям книг Макиавелли?

7. В феврале 2012 года была отмечена годовщина смерти святого Гермогена. Какими подвигами он прославился? Кто были его виднейшие коллеги, союзники и противники?

8*. Известно, что город Константинополь был назван в честь императора Константина. А какого Константина назвали в честь города Константинополя? Кто, когда и зачем это сделал? Что вышло из этого проекта?

9. Халиф Гарун ар-Рашид подарил слона Карлу Великому. Но ведь Карл много воевал с мусульманами! Как можно объяснить это противоречие?

10. В нынешнем (2012) году некоторые историки предложили отметить 1150-летие Руси. С какого события они предлагают начать историю Руси? Откуда мы знаем дату этого события, и насколько она точна?

Почему одни историки Новгорода утверждают, что этот город ещё не существовал в 9 веке, а другие учёные растянули новгородскую хронологию до 8 века?

11. Найдите исторические ошибки в тексте. Нужно составить список указанных в тексте событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, как описано в тексте, и объяснить, как, где и с кем они происходили (или почему их вообще не могло быть).

Хмурым осенним днём 1520 года последний уцелевший корабль испано-португальской экспедиции вошёл в родную гавань Лишбоа.

Тридцать измождённых моряков довели старушку «Викторию» до победного конца, обогнув страшный мыс Бурь и благодатный Зелёный Мыс. Как радостно было мореходам увидеть там две знакомые статуи:

Бартоломеу Диаша, указующего европейцам путь в Индию, и принца Энрике Браганца — там, где берег Африки поворачивает на север, перейдя экватор. А теперь корабелов приветствует святой Себастиан — покровитель капитана уцелевшей «Виктории»...

Увы: на её борту нет вождя великой экспедиции! Дон Гонсальво Магеллан погиб в случайной стычке с дикарями у подножья вулкана Мауна-Кеа на неведомом прежде острове Минданао. Нелепая смерть предводителя обратила победу в поражение: распря между кастильцами и португальцами разделила экипажи судов, и они не поплыли дальше на север — в страну Чин, к потомкам хана Хубилая. Вместо этого корабли разделились. Гордый кастилец Хуан де Картахена повёл «Сан Антонио» в Панаму по знакомому обратному пути, а португалец Себастьян эль-Кано решил пробраться в Европу в обход турецких владений в Индии. Это удалось сыновьям Лузитании; теперь капитан Эль-Кано ждёт встречи со своим монархом во дворце Вальядолид.

Встреча будет — но с другими участниками. Год назад умер король Мануэль Счастливый, и престол достался его сыну — Жуану 3, который не любит море и не верит в имперский идеал. Лишённый поддержки португальцев на море, кастилец Карл 1 увлёкся европейскими делами. Он теперь воюет с французами в Италии и надеется, войдя в Рим, получить от папы Льва Медичи корону Римской империи. Только что испанцы взяли в плен короля Франциска 2 — после того, как испанская артиллерия расстреляла в упор лучших рыцарей Франции под стенами Падуи.

Ясно, что теперь испанскому королю не до заморских плаваний! Умер и старый адмирал Колон — вскоре после того, как он проводил корабли Магеллана в западное море.

Кто же из европейских монархов поддержит заморскую экспансию пиренейских мореходов? Немцы погрязли в религиозных спорах; французы и испанцы увязли в Италии; венецианцы с австрийцами едва сдерживают натиск турок на суше и на море. Только Англия свободна от континентальных хлопот. Не поможет ли молодой Генрих 8 старому моряку Себастьяну повторить подвиг Магеллана — и достичь по морю тех краёв, куда Марко Поло добирался по суше? Надо уговорить короля Генриха! И не важно, чья статуя будет потом встречать моряков в гавани Шанхая: императора Чжу-ди, короля Генриха Ланкастера или капитана Эль-Кано. Главное, чтобы этой статуе было кого приветствовать!

12. Найдите исторические ошибки в тексте. Нужно составить список указанных в тексте событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, как описано в тексте, и объяснить, как, где и с кем они происходили (или почему их вообще не могло быть).

В тёплый августовский день 1773 года старый король Фриц получил важную весть с востока: войска его лучшей ученицы — Софии Анны фон Анхальт-Цербст — перешли Дунай и разбили турок у озера Кагул.

Отличная новость! Преемница царя Петра решилась наконец встать твёрдой ногою на Чёрном море — а не только на Балтике, где Пётр сделал всё необходимое. Но Пётр не сумел подчинить себе Данию — и вот, проливы из Балтики в Атлантику открываются для русских судов, только если с этим согласен Лондон. А Вильям Питт согласия не даёт: его купцы не хотят наплыва дешёвых русских товаров на все рынки Европы. Англии же хватает сырья из её американских колоний;

Францию она готова задушить морской блокадой, между делом захватив её заморские владения...

Ах, как глупо поспешил король Фриц десять лет назад — когда начал Европейскую войну, не договорившись с русскими правителями о разделе Польши и Прибалтики! Ведь тогда молодая София Анна была ещё далека от власти — а её тётка Елизавета заигрывала с Францией, чтобы сделать Лондон уступчивее. В итоге русские войска не помогли, а помешали прусским дивизиям в дележе Польши и Германии. Даже по Берлину ездили русские казаки! Это зрелище старый Фриц не забудет до конца своих дней — и всё сделает для того, чтобы казаки впредь ездили лишь по Варшаве, Вене или Стамбулу!

Для этого Берлину нужен крепкий союз с Петербургом. Старый Фриц уже сделал первый шаг, отпустив в Россию математика Эйлера.

Новой царице этого мало: она пригласила к себе Вольтера и Дидро, чтобы не уступать Франции на ниве Просвещения. Верно поступает русская немка! Сам Фриц так действовал в молодые годы — и Пруссия получила хорошо образованное дворянство. Когда его получит Россия — тогда русские войска смогут дойти и до Парижа. Жаль, что Фридриху этого не видать! А пока София Анна просит у него много немецких колонистов, чтобы Поволжье заселялось не только казаками и греками. Разумная предосторожность: ведь казаки умеют свергать правителей не хуже, чем это делают янычары. Потому всякий враг России мечтает о таком бунте казаков, который повторит давнее Смутное время... Не готовит ли сейчас похожую интервенцию хитрый Питт из Лондона? И не готовят ли встречную интервенцию французские агенты в простоватой деревенской Америке?

То и другое возможно — хотя не дальновидно! Ведь стоит казакам восстановить независимую Украину, как их держава в союзе с Крымом разорит Польшу раньше, чем Московию! А стоит американским колонистам отделиться от Лондона, как их пример соблазнит гугенотов на юге Франции. И пойдёт её Юг против Севера, как было в Столетнюю войну! Тогда Париж вытащили из Смуты воеводы-бретонцы и пророчица с германской границы. Неужели в следующий раз парижан спасут воеводы-корсиканцы? А мятеж казаков в Поволжье укротит немецкий полковник на русской службе? Ведь бывало подобное при царе Петре!

Ох, беда старому королю от его нестареющего воображения! И невдомёк ему, что жуткая реальность превзойдёт буйную фантазию. Всего два года назад на Корсике родились те полководцы, что сокрушат Пруссию через 10 лет после смерти старого Фрица! А победители этих воевод (при Вальми, Бородино и Ватерлоо) уже служат в войсках России и Пруссии, не догадываясь о своей грядущей исторической роли...

Ответы, решения и комментарии 1. Постройте короткую цепь из звеньев «ученикучитель», которая начинается с Давида Гильберта (1862–1943), а кончается вами. Укажите для каждого звена: кто и чему научился у своего учителя. Если учение происходило через книгу, то укажите (точно или примерно) её название, год издания и содержание.

Давид Гильберт был признанным мировым лидером математиков своего времени. С его научными достижениями так или иначе знакомы все современные математики. В том числе и авторы школьных учебников математики, а также преподаватели, учившие в вузах школьных учителей математики. Тем самым цепочка «ученикучитель» добирается от Гильберта до любого школьника — участника Турнира имени М. В. Ломоносова, изучающего математику в школе.

Самые известные у нас книги Гильберта — «Основания Геометрии»

и «Уравнения математической физики».

Среди российских математиков, которым довелось слушать лекции Гильберта в Гёттингене, наиболее известны А. Н. Колмогоров и П. С. Александров. Почти все нынешние математики России — их научные «внуки» или «правнуки». Например, автор данной задачи учился у обоих этих математиков.

Давид Гильберт консультировал Альберта Эйнштейна по вопросам, связанным с созданием теории относительности, с которой сейчас в той или иной степени знакомы все физики, школьные учителя физики и старшеклассники.

2. Кто носил в 1812 году титул Князя Московского? Каковы были важнейшие достижения этого человека в 1812 году и после того? С какой профессии началась его жизнь — и чем она завершилась?

Титул «князя Московского» не употреблялся в Российской империи.

Но после битвы при Бородино Наполеон пожаловал этот титул храбрейшему из своих маршалов — Мишелю Нею (формально такое название титула объясняется тем, что битва при Бородино произошла в окрестностях Москвы-реки).

При отступлении из России этот герой командовал арьергардом Великой Армии — и спас многие тысячи беглецов. После первого отречения Наполеона (1814) Ней перешёл на службу к Луи 18 Бурбону — и при возвращении Наполеона с Эльбы (1815) обещал королю взять императора в плен. Но при встрече Ней не устоял перед своим государем — и вернулся на сторону Наполеона. За такую «измену» Ней был приговорён к смерти и расстрелян.

3. Один из героев Шекспира впервые ввёл в обращение монеты в 1 фунт и в 1 шиллинг. В какой пьесе действует этот человек? Как его зовут в пьесе? Какие монеты обращались в Англии раньше?

См. решение в аналитическом обзоре на стр. 90.

4. План наступления Вермахта в 1942 году предусматривал захват ресурсов Юга России и Прикавказья — до Баку. Зачем и по чьей инициативе был нанесён удар по Сталинграду? Какую прежнюю ошибку российского руководства нечаянно повторили при этом немцы? Каковы были последствия той ошибки? Как были к ней причастны Жуков и Василевский? Кто были их германские противники в сходных должностях — в 1941 и 1942 годах?

Инициатором похода немцев на Сталинград был сам Гитлер: ему важно было захватить город, носивший имя Сталина. В итоге большая часть войск Вермахта была (против воли опытных немецких генералов) переориентирована с Кавказа на Волгу. На обоих направлениях немцам не хватило войск: в итоге в Сталинграде получился котёл, а с Кавказа немцам пришлось отступить, чтобы не попасть в ещё худший котёл.

Сходные ошибки со столь же тяжкими последствиями российские генералы (под давлением Сталина) допускали в 1941 году: так получились котлы вокруг Киева и Вязьмы, каждый из них был больше Сталинградского. В 1941 году главными противниками генералов Жукова и Василевского под Москвой были немецкий фельдмаршал Федор фон Бок и начальник Генерального штаба Франц Гальдер. В 1942 году сходные роли под Сталинградом играли фельдмаршал Эрих фон Манштейн и танковый генерал Гот. Они пытались прорваться к городу и вывести армию Паулюса — но безуспешно.

5. Одним из открытий историка и философа Л. Н. Гумилёва была примерно четырёхвековая периодичность в развитии любого крупного этноса и его державы. Если вы — сторонник этой теории, то приведите 2–3 хорошо известных примера таких «повторений» в российской или всемирной истории. Если вы — противник модели Гумилёва, то приведите соответствующий контрпример — и дайте ему иное объяснение.

Лев Гумилёв не утверждал, будто все важные события в истории одного народа или государства повторяются с интервалом в 400 лет;

не говорил этого и британский историк Арнольд Тойнби. Но оба они заметили, что «равновесные» либо «критические» эпохи в жизни народов обычно повторяются через примерно 4 столетия — как будто за такой срок народ (этнос) совершает некий цикл в своём развитии. Это наблюдение не является строгой теорией и действует лишь в качестве «приметы». Но подтверждается оно часто.

Например, революционная эпоха Цезаря в Риме отделила 4-вековой период Республики от 4-векового периода Империи. Аналогично, в России после 4-векового периода развития Киевской державы происходит её распад — и на смену Киеву поднимается Владимир. Но монгольский удар раздробил новорождённое Владимирское королевство — и после полувековой разрухи новыми центрами консолидации Руси стали Москва и Тверь. Сходным образом Петербургская империя пришла на смену Московскому царству после 4 веков его развития — но её развитие шло вдвое быстрее.

Заметим, что повторные 4-вековые циклы этногенеза, перестраивающее общество и государство, могут начинаться и раньше завершения предыдущего цикла. Например, в России «Владимирский» цикл начался сразу после ослабления Киева — в середине 12 века, при князе Андрее Боголюбском. Завершился этот цикл в середине 16 века — когда в новорождённом Московском царстве аристократы-конституционалы (Избранная Рада) вступили в конфликт с абсолютистами (вокруг царя Ивана 4) и были побеждены Опричниной. Аналогично, в Англии конституционно-парламентская эпоха началась через полтора века после нормандского завоевания — в 1215 году, с борьбы за Хартию Вольностей против короля-абсолютиста Иоанна Безземельного. Завершилась эта эпоха в 1660 году — с концом буржуазной революции.

6. Пять веков назад в «самиздате» появилась книга Макиавелли «Государь». Каких монархов древности и современности автор ставил в пример своим современникам или потомкам? Кто из позднейших монархов сознательно подражал героям книг Макиавелли?

Никколо Макиавелли старался сравнивать успехи и неудачи современных ему правителей Италии, Франции и Германии с монархами Античности — в основном, Рима и Эллады. Так, он сопоставлял Гая Юлия Цезаря с его тёзкой — князем Чезаре Борджиа и его отцом — папой Александром 6. Во Франции он рассматривал хитрейшего короля Луи 11 и его воинственных, но неосторожных наследников: Карла 8 и Луи 12. Среди эллинов особое внимание Макиавелли привлекали царь Александр Македонский и его наследники: хитрый Птолемей в Египте, дальновидный Селевк в Вавилоне, а также удачливые авантюристы — Пирр в Эпире, Агафокл и Гиерон на Сицилии. Макиавелли сравнивал с этими европейскими монархами азиатских владык: будь то цари Кир и Дарий в древней Персии или султаны Мехмед 2 и Селим 1 в современной ему Турции.

7. В феврале 2012 года была отмечена годовщина смерти святого Гермогена. Какими подвигами он прославился? Кто были его виднейшие коллеги, союзники и противники?

Гермоген был вторым (или третьим) патриархом Русской православной церкви; ему довелось жить и действовать в условиях Смутного времени, лавируя среди многих враждебных сил и стараясь не утратить доверие большинства русских людей, не завести их в политический тупик.

Оттого Гермоген сперва поддерживал избранного Земским Собором царя Бориса Годунова, а потом избранного царя Василия Шуйского.

После гибели Бориса и внезапного триумфа Дмитрия Самозванца Гермоген был готов признать его — если он будет царствовать в Москве как православный государь, и даже свадьбу с иностранкой Мариной Мнишек сыграет по православному обряду.

Но признавать Второго Самозванца Гермоген отказался, видя в нём лишь марионетку польских завоевателей, вдохновляемых королём Сигизмундом 3 Вазой. Патриарх готов был встретить в Москве польского царевича Владслава как царя — если он примет православие. Но Владслав не приехал — и тогда Гермоген поддержал своими письмами лидеров обоих земских ополчений, стремящихся изгнать поляков из России. Это кончилось смертью Гермогена от голода в польском плену.

Особое отношение было у Гермогена к его сопернику Филарету (Романову). Тот, репрессированный Годуновым, сперва признал обоих самозванцев — а потом поехал к Сигизмунду, чтобы убедить его послать в Москву Владслава; но вместо этого сам Филарет оказался пленнии ком поляков. Видимо, в свои последние дни Гермоген предвидел, что Филарет станет его преемником во главе Русской церкви — и надеялся, что из польского плена Филарет вернётся мудрым, стойким патриотом.

Так и произошло: при Филарете Гермоген был канонизован как святой мученик.

8. Известно, что город Константинополь был назван в честь императора Константина. А какого Константина назвали в честь города Константинополя? Кто, когда и зачем это сделал? Что вышло из этого проекта?