ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Калининградский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВПО «КГТУ»)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по НР А.В.Иванов от «»2012 г.
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
в аспирантуру по научной специальности 01.01.05 – Теория вероятностей и математическая статистика Калининград 2012 16 Программу вступительного экзамена разработал:д.т.н., профессор В.А. Наумов _ подпись Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры, протокол №8 от 16.04.2012 г.
Зав. кафедрой ВРП В.А. Наумов Рассмотрена и одобрена на заседании НТС Университета, протокол № от Председатель НТС А.В. Иванов Вероятность и ее свойства I.
Стохастический эксперимент и пространство элементарных исходов. События и 1.
операции над ними. Закон стабилизации частот. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности.
Вероятность на дискретных пространствах элементарных исходов.
2.
Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без возвращения.
3.
Основные комбинаторные формулы.
Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность как счетно-аддитивная мера на sалгебре событий. Лемма непрерывности.
Условная вероятность. Независимые события и формула произведения 5.
вероятностей.
Разбиения пространства элементарных исходов. Формула полной вероятности.
6.
Формула Байеса. Апостериорная вероятность.
Последовательности однородных независимых испытаний с конечным числом II.
исходов Схема Бернулли. Биномиальное распределение (формула Бернулли). Связь 1.
биномиального и гипергеометрического распределений.
Теорема Пуассона с оценкой скорости сходимости. Распределение Пуассона.
2.
Нормальное приближение биномиального и полиномиального распределений.
3.
Локальная предельная теорема.
Теорема Муавра-Лапласа.
4.
Случайные величины (СВ) III.
Типы распределений СВ: дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные, 1.
смеси. Плотность распределения.
Функции распределения и их свойства. Преобразования СВ.
2.
Совместное распределение и независимость конечной совокупности СВ.
3.
Плотность совместного распределения. Композиция (свртка) распределений.
Моделирование случайных величин. Квантильные преобразования.
4.
Существование последовательностей независимых случайных величин.
Основные законы распределения СВ.
Моментные характеристики распределений IV.
Математическое ожидание (МО) как абстрактный интеграл Лебега. Механическая интерпретация. Моменты. Формула замены переменной и интеграл Стилтьеса.
Вычисление МО функций от конечного набора СВ. Смешанные моменты.
Моменты второго порядка: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции.
Многомерное нормальное распределение. Приведение к каноническому виду.
Некоррелируемость и независимость СВ.
Условные распределения. Условные квантильные преобразования.
Моделирование последовательностей случайных величин с заданными совместными распределениями.
Основные предельные теоремы Неравенство Чебышева и его обобщения.
Законы больших чисел для последовательностей слабо зависимых СВ с Нормальная аппроксимация сумм независимых СВ с конечными дисперсиями (центральная предельная теорема).
Оценка скорости сходимости средних в центральной предельной теореме. Метод Обобщение теоремы Пуассона. Обобщенное распределение Пуассона.
Простейшие случайные процессы Способы задания распределений случайных процессов. Теорема Колмогорова.
Процессы с независимыми приращениями. Винеровский процесс.
Марковские процессы со счетным множеством состояний (цепи Маркова).
Марковское свойство показательного распределения.
Эргодическая теорема для цепей Маркова. Стационарное распределение.
Основные понятия и задачи математической статистики VII.
Основные статистические задачи. Генеральная совокупность. Выборка.
Репрезентативность выборки.
Выборочное (эмпирическое) распределение и выборочные характеристики:
среднее, дисперсия, моменты. Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Группировка наблюдений, гистограммы.
Вполне ограниченные классы множеств. Теоремы Гливенко-Кантелли.
Сходимость выборочных характеристик к истинным.
Параметрические семейства распределений. Понятие плотности относительно некоторой меры. Классические семейства распределений.
Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности VIII.
Понятие оценки неизвестного параметра. Состоятельные оценки. Несмещенные и асимптотически несмещенные оценки. Принцип подстановки и метод моментов.
Асимптотически нормальные оценки (АНО) и их сравнение. АНО для функций от параметров. Теорема о суперпозиции. Выборочные моменты как АНО.
Состоятельность АНО.
Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия (ОМП).
Состоятельность ОМП.
Достаточные статистики. Сравнение оценок. Эффективные оценки. Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Полнота и эффективность оценок.
Байесовские и минимаксные оценки. Состоятельность байесовских оценок.
Доверительные интервалы (точные и асимптотические). Принцип построения.
Асимптотические доверительные интервалы, построенные с помощью АНО.
Доверительные интервалы для классических семейств распределений с одномерным параметром.
Распределения "хи-квадрат" и Стьюдента. Лемма Фишера.
Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
1. Основные понятия теории проверки конечного числа гипотез: простые и сложные гипотезы, критерии (статистические решающие функции), вероятности ошибок iго рода. Естественное сравнение критериев.
2. Байесовские критерии для проверки конечного числа простых гипотез.
3. Проверка двух простых гипотез. Наиболее мощные критерии. Теорема Неймана – 4. Равномерно наиболее мощные критерии для проверки простых гипотез против сложных альтернатив. Экспоненциальные семейства распределений 5. Принцип минимального расстояния. Критерии согласия. Непараметрические критерии. Критерии Колмогорова и "омега квадрат" 6. Критерий "хи-квадрат" для проверки простых и сложных гипотез. Теорема 7. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов
ЛИТЕРАТУРА
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник для студентов математических специальностей университетов. – М.: Либроком, 2011, - 488 с.2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.:
Высшая школа, 2003. – 480 с.
3. Кремер H.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. - 552 с.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для студентов высших технических заведений. - М.: КноРус, 2010, - 658 с.
5. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов: Учебник. - М.: Физматлит, 2002. – 318 с.
6. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика. – М.: Физматлит, 2006. – 816 с.
7. Сикан А.В. Методы статистической обработки гидрометеорологической информации:
Учебник. - Санкт-Петербург: РГГМУ, 2007.- 279 с.