«International Association for the Promotion of Co-operation with Scientists from the New Independent States of the Former Soviet Union (INTAS) Российский фонд фундаментальных исследований Иркутская областная ...»

Российская академия наук

Российская ассоциация математического программирования

Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН

Иркутский государственный университет

Иркутский государственный университет путей сообщения

Иркутская государственная сельскохозяйственная академия

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Вычислительный центр РАН International Association for the Promotion of Co-operation with Scientists from the New Independent States of the Former Soviet Union (INTAS) Российский фонд фундаментальных исследований Иркутская областная администрация 13-я Байкальская международная школа-семинар

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

ТРУДЫ ШКОЛЫ-СЕМИНАРА

Том 3. Обратные и некорректные задачи прикладной математики 2 – 8 июля 2005 г.

Иркутск, Байкал Иркутск УДК 517.977+517.983+517.988+517.63+519. Обратные и некорректные задачи прикладной математики: Труды XIII Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Байкал, 2 – 8 июля 2005 года. Том 3: Иркутск, ИСЭМ СО РАН. – 2005. – 228 с.

ISBN 5-93908-030-8.

В данном томе представлены работы, посвященные различным классам обратных и некорректно поставленных задач: вырожденным и плохо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений, интегральным уравнениям I рода, сингулярным системам обыкновенных дифференциальных уравнений и т.д.

Для научных работников, студентов и аспирантов, специализирующихся в соответствующих областях прикладной математики.

Труды подготовлены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-01-10048-г) и International Association for the Promotion of Co-operation with Scientists from the New Independent States of the Former Soviet Union (проект 04-85-832) Ответственные за выпуск: д.ф.-м.н. Апарцин А.С.

к.ф.-м.н. Маркова Е.В.

c Институт систем энергетики ISBN 5-93908-030- им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Russian Academy of Sciences (RAS) Russian Association of Mathematical Programming Institute of Energy Systems, Siberian Branch of RAS Irkutsk State University Irkutsk State University of Railway Communications Irkutsk State Agricultural Academy Institute of System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of RAS Computer Center of RAS International Association for the Promotion of Co-operation with Scientists from the New Independent States of the Former Soviet Union (INTAS) Russian Foundation of Basic Research Administration of Irkutsk Region

PROCEEDINGS OF

OPTIMIZATION METHODS

AND THEIR APPLICATIONS

Volume 3. Inverse and ill-posed problems of applied mathematics Inverse and ill-posed problems of applied mathematics: Proceedings of XIII Baikal International School-seminar "Optimization methods and their applications", July, 2 – 8, Irkutsk, Baikal, 2005. Vol. 3. Irkutsk: Melentiev Energy Systems Institute SB RAS. – 2005.

– 228 p.

Publication of the proceedings are supported by Russian Foundation of Basic Research (project 05-01-10048-г) and International Association for the Promotion of Co-operation with Scientists from the New Independent States of the Former Soviet Union (project 04-85-832) c Melentiev Energy Systems Institute SB RAS

СОДЕРЖАНИЕ

Апарцин А.С., Щербинин М.С. (Иркутск). О связи билинейных уравнений Баландин А.Л. (Иркутск). Томографическая реконструкция 3D-векторного Булатов М.В. (Иркутск). Об одном подходе к построению новых разностных Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. (Новосибирск). Выбор параметра в регуляризирующих алгоритмах деконволюции метода наименьших полных квадратов................................................................................ Воскобойников Ю.Е., Литвинов Л.А. (Новосибирск). Точностные характеристики и синтез алгоритма наискорейшего спуска при решении плохо обусловленных СЛАУ........................................................................ Гайдомак С.В. (Иркутск). О сравнении метода прямых и разностного метода Гайдомак С.В., Левин А.А., Чистяков В.Ф. (Иркутск). Математические аспекты реализации модели конвективного теплообменника с противоточным направлением материальных потоков.............................................. Горбунов В.К., Свиридов В.Ю. (Ульяновск). Метод нормальных сплайнов для Гражданцева Е.Ю. (Иркутск). Фундаментальная оператор-функция вырожденного сингулярного полного дифференциального оператора второго порядка в Дрегля А.И. (Кишинев). Об одной нелинейной задаче, возникающей в плоской Жокен кызы С. (Каракол). Регуляризация и единственность решений систем Караулова И.В. (Иркутск). Численные методы решения уравнения Вольтерра Луговая Н.А., Терентьев С.А. (Омск). Численное решение двумерной задачи Саадабаев А.С. (Бишкек). Применение метода регуляризации и Ньютона для Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н. (Иркутск). Обобщенные решения нелинейных Фалалеев М.В. (Иркутск). Фундаментальные оператор-функции сингулярных Asanov A.A., Sulaymanov B.E. (Bishkek). The inverse problem for dierential Sidorov D.N. (Irkutsk), Lerallut J.F. (Compi`gne). Fast key generation for come

TABLE OF CONTENTS

Apartsyn A.S., Scherbinin M.S. (Irkutsk). On relation of bilinear Volterra equation Boyarintsev Yu.E. (Irkutsk). On some properties of the Euler algebraic dierential Bulatov M.V. (Irkutsk). On some approach of construction of new dierence schemes Voskoboinikov Yu.E., Litasov V.A. (Novosibirsk). The choice of a regularization Voskoboinikov Yu.E., Litvinov L.A. (Novosibirsk). Accuracy characteristics and synthesis of steepest descent algorithm for solution of ill-posed algebraic equations Karaulova I.V. (Irkutsk). Numerical methods of solving the Volterra equation of the Koroleva E.V., Chashin O.N. (Novosibirsk). The numerical solutions of inverse Koshkarjova L.V. (Irkutsk). Two stage multistep methods for the numerical solution Lugovaya N.A., Terentyev S.A. (Omsk). Numerical solution of a two-dimensional Sidorov N.A., Sidorov D.N. (Irkutsk). Generalized solutions of nonlinear Volterra Soppa M.S. (Novosibirsk). Contraction operator in method of iterations for inverse Falaleev M.V. (Irkutsk). Fundamental operator-functions of singular dierential operators and operator’s semigroups with the kernels on the conditions of bounded Chistyakova E.V. (Irkutsk). On singular systems of integral dierential equations Asanov A.A., Sulaymanov B.E. (Bishkek). The inverse problem for dierential Sidorov D.N. (Irkutsk), Lerallut J.F. (Compi`gne). Fast key generation for com- e

СПЛЕТАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ РАЗВЕТВЛЕНИЯ В КОРНЕВОМ

ПОДПРОСТРАНСТВЕ

В.Р. Абдуллин Байкальский государственный университет экономики и права, Иркутск e-mail: [email protected] Аннотация. В статье рассматривается общая задача многомерного ветвления. Строится уравнение разветвления в корневом подпространстве и доказывается теорема о наследовании свойства сплетения уравнением разветвления. Предлагаются условия, при выполнении которых уравнение разветвления строится явно. Полученные результаты позволяют в дальнейшем проводить анализ появления свободных параметров в разветвляющихся решениях нелинейных уравнений.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, ветвление, уравнение разветвления, сплетаемые уравнения, симметрия.

Введение В теории ветвления нелинейных уравнений область расположения свободных параметров необходимо знать как при качественном и асимптотическом анализе, так и при разработке приближенных методов в окрестности точки ветвления. Здесь стандартные методы не применимы и лишь удачная параметризация ветви решения может привести к успеху. Анализ и упрощение конечномерных систем разветвления Ляпунова-Шмидта, эквивалентных исходной задаче, дает ключ к решению проблемы. В данной работе продолжен анализ появления свободных параметров в разветвляющихся решениях, начатый в [1].

1. Постановка задачи Пусть E1, E2 вещественные банаховы пространства, вещественное нормированное пространство. Рассмотрим задачу построения малых решений x() 0 при уравнения Здесь B : D E1 E2 замкнутый нетеров оператор с d-характеристикой (n, m).

Нелинейный оператор R : E1 E2 предполагается определенным, непрерывным и непрерывно дифференцируемым по x в смысле Фреше в некоторой окрестности нуля, причем R(0, 0) = 0, Rx (0, 0) = 0.

ющие биортогональные системы из E1 и E2. Проекторы порождают разложения E1 = E1 E1, E2 = E2,m E2,m. Положим B + = B 1 (I Q), где B = B|E1. Все малые решения уравнения (1) могут быть представлены в виде где y = y((, ), ) единственное малое решение уравнения а параметр Rn удовлетворяет системе разветвления Если оператор B фредгольмов, то в (2) вместо псевдообратного оператора B + можно использовать оператор Уравнение разветвления, полученное с помощью оператора, в дальнейшем будем записывать в виде 2. Сплетаемые уравнения разветвления В работе [1] было введено понятие сплетаемого уравнения и, в частности, были получены результаты о наследовании свойства сплетения уравнением разветвления. Кроме того, рассматривались условия, при выполнении которых уравнение разветвления может быть построено явно.

Определение. Если существуют линейные операторы S L(E1 ), K L(E2 ) такие, то уравнение (1) будем называть (S, K)-сплетаемым.

В этом определении в качестве операторов S, K можно рассматривать, как в [2], представления группы G в пространствах E1 и E2 соответственно, если уравнение (1) инвариантно относительно группы G. С другой стороны, это могут быть и необратимые операторы, например, проекторы, как в [3].

Теорема 1. Пусть R(P x, ) = QR(x, ) на. Тогда уравнение (1) (P, Q)-сплетаемое, все его малые решения лежат в подпространстве E1 и имеют вид x = ((), ), где параметр () Rn удовлетворяет системе разветвления Пусть действие операторов S, K на инвариантных подпространствах E1 и E2,m соотn ветственно определяется равенствами Наряду с (2) решения уравнения (1) можно строить в виде где ys = y((, S), ) единственное малое решение уравнения а параметр Rn ввиду равенств (3) удовлетворяет системе разветвления Теорема 2. Если уравнение (1) (S, K)-сплетаемое, то уравнение разветвления (I) наследует свойство сплетения, т.е. (A, ) = B(, ). Если во фредгольмовом случае, кроме того, A = B, то уравнение разветвления (II) наследует свойство сплетения в виде L(A, ) = AL(, ).

3. Уравнение разветвления в корневом подпространстве Запишем уравнение (1) в виде где A() = Rx (0, ), W (x, ) = o( x ) при x 0, V () = R(0, ). Будем предполагать, что оператор-функция A() аналитическая в точке = 0 или, по крайней мере, достаточно гладкая, т.е.

а оператор B имеет полный A1 -жорданов набор {i }n,pi. Тогда оператор B имеет полi,j= ный A1 -жорданов набор {i }i,j=1, и элементы жордановых наборов операторов B и B могут быть выбраны так, чтобы выполнялись следующие условия биортогональности:

Здесь Положим Проекторы Pk и Qk порождают прямые разложения E1 = E1 E1, E2 = E2,k E2,k, где k = p1 +... + pn корневое число, а E1 корневое подпространство операторфункции B A1. Отметим, что операторы B, A1 (Pk, Qk )-сплетаемые, а оператор (Qk, Pk )-сплетаемый.

Все малые решения уравнения (1) могут быть представлены в виде где y = y((, ), ) единственное малое решение уравнения а параметр Rk удовлетворяет системе разветвления Для уравнения разветвления (III) могут быть получены результаты, аналогичные теоремам пункта 2.

Теорема 3. Пусть R(Pk x, ) = Qk R(x, ) на. Тогда уравнение (1) (Pk, Qk )-сплетаемое, все его малые решения лежат в корневом подпространстве E1 и имеют вид где параметры ij () удовлетворяют системе разветвления Рассмотрим вопрос о наследовании свойства сплетения уравнением разветвления (III).

Без ограничения общности будем считать, что элементы базиса подпространства E1 расположены в порядке возрастания длин соответствующих им жордановых цепочек. Можно показать, что если уравнение (1) (S, K)-сплетаемое и выполнены условия биортогональности (4), то матрицы A, B, определяющие действие операторов S, K на инвариантных подn пространствах E1, E2,n соответственно, являются блочно-диагональными и равны. Причем каждый блок матрицы A задает преобразование элементов базиса подпространства c одинаковой длиной жордановых цепочек. Кроме того, Наряду с (5), решения уравнения (1) можно строить в виде где ys = y((, S ), ) единственное малое решение уравнения а параметр Rk ввиду (6) удовлетворяет системе разветвления Теорема 4. Если уравнение (1) (S, K)-сплетаемое, то уравнение разветвления (III) наследует свойство сплетения, т.е.

Доказательство теорем 3, 4, учитывая вышесказанное, проводится по аналогии с доказательством теорем 1, 2. Отметим, что если оператор B имеет полный Ai -жорданов набор, где 1 < i, то полученные результаты легко переносятся на систему разветвления относительно коэффициентов проекции решения на корневое подпространство операторфункции BAi. Кроме того, отметим, что если в теореме 3 условие R(Pk x, ) = Qk R(x, ) заменить на более слабое условие Qk R(Pk x, ) = Qk R(x, ), то она останется верна в той части, которая касается уравнения разветвления.

Список литературы [1] Сидоров Н.А., Абдуллин В.Р. Сплетаемые уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений // Математический сборник. – 2001. – Т. 192, № 7. – C. 107–124.

[2] Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. – Ташкент: Изд-во ФАН, 1985. – 184 с.

[3] Сидоров Н.А., Романова О.А., Благодатская Е.Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части // Дифференциальные уравнения. – 1994. – Т. 30, № 4. – C. 729–732.

INTERLACED BRANCHING EQUATION IN A ROOTED SUBSPACE

V.R. Abdullin Baikal National University of Economics and Low, Irkutsk e-mail: [email protected] Abstract. The general multidimensional branching problem is considered in the paper. Inheritance of interlaced property by branching equation in rooted subspace is established. Some sucient conditions which allow simplifying branching equation are presented.

Key words: nonlinear equations, branching, branching equation, interlaced equations, symmetry.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕНДЖАМЕНА-БОНАМАХОНИ

Б.С. Аблабеков Кыргызский государственный горный университет, Бишкек e-mail: [email protected] Аннотация. Методом полуобращения, разработанным автором ранее, доказаны теоремы существования решений двух обратных задач для уравнения Бенджамена-Бона-Махони.

Ключевые слова: обратная задача, уравнение Бенджамена-Бона-Махони, метод полуобращения.

В области = {(x, t)/0 < x < l, 0 < t < T } для уравнения рассмотрим следующие задачи.

Задача 1 (Гурса). Найти в области решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям Задача 2. Пусть f (x, t) = h(t)g(x, t). Найти пару функций {u(x, t), h(t)}, если решение задачи 1 при заданных функциях u0, 1, 2, g удовлетворяет дополнительному условию Аналогичные обратные задачи для линейных псевдопараболических уравнений изучались в работах [1, 2]. В данной работе изучаются поставленные задачи методом полуобращения, разработанным в работе [1].

Имеет место Теорема 1. Если выполняются условия 1) f (x, t) C, 1 (t), 3 (t) C 1 ([0, T ]), u0 (x) C 2 ([0, l]), 2) u0 (0) = 1 (0), u0 (0) = 2 (0), то для некоторого T > 0 задача 1 имеет единственное решение.

Доказательство. Уравнение (1) перепишем в виде где D – оператор дифференцирования по x. Рассматривая уравнение (5) как обыкновенное дифференциальное уравнение и учитывая, что решение задачи Коши задается формулой где из (3), (5) получим К полученным интегралам дважды применяем формулу интегрирования по частям, затем интегрируем по t. Тогда где Таким образом, относительно функции u(x, t) получим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Несложно показать, что оператор, стоящий в правой части (6), является непрерывным из C() в C() и является сжимающим при некотором T > 0. Тогда, согласно принципу сжимающих отображений, уравнение (6) имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений. Кроме того, можно показать, что при выполнении условий теоремы 1 решение интегрального уравнение (6) удовлетворяет (1)–(3). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть для функций u0, 1, 2 выполнены условия теоремы 1, кроме того, 1) g(x, t) C(), |g(x, t)| g0 > 0, 2) 3 (t) C ([0, T ]), u0 (x0 ) = 1 (0).

Тогда для некоторого T существует единственное решение задачи 2.

Доказательство. Вводя функцию из (1)–(4) получим задачу, эквивалентную задаче (1)–(4):

Покажем, как из (7), (8) можно получить замкнутую систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно функций v(x, t), h(t).

Действительно, из (7), (9), обращая оператор I 2 D2, затем интегрируя по частям, получим где Положив в (11) x = x0 и воспользовавшись дополнительным условием и учитывая то, что (x0, t) = 0, получим где Подставим (12) в (11), затем интегрируем от 0 до t. Тогда где Таким образом, относительно функций h(t), v(x, t) получили замкнутую систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Отсюда, применяя методику работы [1], приходим к утверждению теоремы.

Список литературы [1] Аблабеков Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений. – Бишкек:

Илим, 2001. – 183 с.

[2] Атаманов Э.Р., Мамаюсупов М.Ш. Неклассические задачи для псевдопараболических уравнений. – Фрунзе: Илим, 1990. – 101 с.

INVERSE PROBLEM FOR THE BENJAMIN-BONA-MAHONY EQUATION

B.S. Ablabekov Kyrgyzstan State University of Mining, Bishkek e-mail: [email protected] Abstract. Theorems of existence of two inverse problems are proved using method of semi-inversion, which was developed by author earlier.

Keywords: inverse problem, Benjamin-Bona-Mahony equation, method of semiinversion.

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА

А.С. Апарцин Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск e-mail: [email protected] Аннотация. В статье приведены теоремы существования и единственности решений би- и трилинейных уравнений Вольтерра I рода. Даны также неулучшаемые оценки непрерывных решений соответствующих нелинейных интегральных неравенств.

Ключевые слова: полилинейное уравнение Вольтерра I рода, существование и единственность, функция Ламберта.

Как известно, одним из наиболее универсальных методов математического моделирования нелинейных динамических систем типа черного ящика является представление отклика системы y(t) на входной сигнал x(t) в виде полинома Вольтерра.

Пусть x(t) и y(t) скалярные функции времени. Тогда полином Вольтерра N -ой степени, отображающий x(t) в y(t), имеет вид Предположим, модель (1) построена, т.е. (симметричные) ядра Вольтерра Km уже идентифицированы тем или иным способом, например, по методике [1]–[3], и ставится задача определения входного сигнала x(t), которому отвечает заданный (желаемый) выходной сигнал y(t). В такой постановке (1) есть полилинейное (N линейное) уравнение Вольтерра I рода относительно x(t). Для приложений особый интерес представляют линейное билинейное и трилинейное Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 05-01-00336, гранта НАТО NR RIG уравнения. Условия разрешимости в C[0,T ] уравнения (2) хорошо известны. Пусть Тогда (2) имеет единственное непрерывное на [0, T ] решение x (t) при любом T <, причем, если обозначить то справедливо неравенство В дальнейшем, не уменьшая общности, примем условие нормировки k = 1. Переходя к исследованию билинейного уравнения (3), рассмотрим вначале случай постоянных ядер:

Теорема 1. Пусть Тогда функция решение уравнения Для установления принадлежности решения к тому или иному классу нужны дополнительные предположения.

Теорема 2. Пусть, кроме (6), справедливо неравенство Тогда Таким образом, даже в простейшем случае постоянных ядер решение носит, вообще говоря, лишь локальный характер. Следующие две теоремы показывают, когда непрерывное решение глобально.

Теорема 3. Пусть y(t) знакопостоянна на [0, T ] и тогда Теорема 4. Пусть для некоторого g(t) C[0,T ], g(0) = 0 справедливо представление Тогда (10) также верно.

В линейном случае условие y(0) = 0 гарантирует отсутствие решений в классе обобщенных функций. Следующая теорема показывает, что для билинейного уравнения это заведомо неверно.

Теорема 5. Если x (t) решение уравнения (3a), то где (t) -функция Дирака, также решение (3a).

В то же время единственность непрерывного решения (3a) в C[0,T ] гарантирует Теорема 6. Если решение (3a) в C[0,T ] существует, то оно единственно.

Исследование общего уравнения (3) основано на использовании функции Ламберта W.

Напомним (см., например, [4], [5]), что функция y = W (z) удовлетворяет уравнению Вообще говоря, функция Ламберта многозначна, но, в отличие от логарифмической функции, имеющей единственную вещественную ветвь, у W (z) таких ветвей две главная ветвь, определенная при всех вещественных z e1 и аналитичная в нуле, причем W (0) = 0 (обычно она обозначается как W (0, z) или просто W (z)), и вторая ветвь, определенная при z [e1, 0] и обозначаемая как W (1, z), причем W (1, 0) =, W (0, e1 ) = W (1, e1 ) = 1.

Пусть При L2 = 0 справедлива Теорема 7. Если исходным данным в (3) отвечает набор (L1, F, K2 ), то непрерывное решение (3) x (t) заведомо существует и единственно на [0, T ], T < T, причем справедливо неравенство где Замечание 1. Формулы (12)–(14), по существу, дают неулучшаемую оценку непрерывных решений нелинейного интегрального неравенства причем неулучшаемость понимается в том смысле, что, во-первых, при замене в (15) знака на = оценка (13) также переходит в равенство, и, во-вторых, T не может быть заменено на некоторое T > T.

В случае, если L2 > 0, имеет место Теорема 8. Если исходным данным в (3) отвечает набор (L1, L2, F, K2 ) и L2 = 4L2 F, то непрерывное решение (3) x (t) заведомо существует на [0, T ], T < T, и справедливо неравенство (13), где Замечание 2. Формулы (16)–(19) дают неулучшаемую (в том же смысле, что и выше) оценку непрерывных решений нелинейного интегрального неравенства представления в этих случаях мажоранты и (t) в явном виде через функцию Ламберта остается открытым.

Переходя к уравнению (4), ограничимся случаем постоянных ядер.

Теорема 9. Если исходным данным в (4) отвечает набор (F, K2, K3 ), где K3 = = |K3 (t, s1, s2, s3 )| > 0, то непрерывное решение (4) x (t) заведомо существует на [0, T ], T < T, причем справедливо неравенство (13), где Замечание 3. Формулы (21)–(23) дают неулучшаемую оценку непрерывных решений нелинейного интегрального неравенства Доказательства приведенных в данной работе утверждений содержатся в [7].

Список литературы [1] Apartsyn A.S. On some identication method for nonlinear dynamic systems // ISEMAShenzhen, China, 1992. – P. 288–292.

[2] Апарцин А.С., Солодуша С.В. О математическом моделировании нелинейных динамических систем рядами Вольтерра // Электронное моделирование, 1999. – Т. 21, № [3] Апарцин А.С. О повышении точности моделирования нелинейных динамических систем полиномами Вольтерра // Электронное моделирование. – 2001. – Т. 23, № 6. – [4] R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare and D.J. Jerey. Lambert’s W function in Maple.

The Maple Technical Newsletter. 1993. N 9.

[5] Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jerey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function // Advances Computational Maths. 1996. Vol. 5.

[6] Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 2. – С. 118-125.

[7] Апарцин А.С. К теории полилинейных уравнениий Вольтерра I рода // Оптимизация, управление, интеллект, 2005 (в печати).

ON EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF MULTILINEAR

VOLTERRA EQUATIONS OF THE FIRST KIND

A.S. Apartsyn Melentiev Energy Systems Institute SB RAS, Irkutsk e-mail: [email protected] Abstract. The existence and uniqueness theorems of solutions of bi- and trilinear Volterra equations of the rst kind are adducted in the work. Also unimprovable estimates of continuous solutions of appropriate nonlinear integral inequalities are given.

Key words: multilinear Volterra equation of the rst kind, existence and uniqueness, Lambert function.

О СВЯЗИ БИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА С

МОДЕЛИРОВАНИЕМ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИЙ

А.С. Апарцин, М.С. Щербинин Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск e-mail: [email protected] Аннотация. Показана связь мажорантных уравнений, играющих ключевую роль при исследовании билинейных уравнений Вольтерра I рода, с классическими моделями динамики численности популяций. В основе изложенного подхода использование функции Ламберта.

Ключевые слова: билинейное уравнение Вольтерра I рода, модели Мальтуса и ФерхюльстаПерла, функция Ламберта.

1. В [1] для исследования вопросов существования и единственности решения билинейного уравнения Вольтерра I рода введено понятие мажорантных уравнений для (1). Так, если ядра K1 (t, s) и K2 (t, s1, s2 ) не зависят от t, то мажорантное интегральное уравнение Вольтерра I рода имеет вид где а его решение принадлежит C[0,T ], если При этом один из способов получения формулы (6) обращения (2) связан с заменой искомой функции Работа выполнена при поддержке поддержке гранта РФФИ 05-01-00336, гранта НАТО NR RIG нахождением меньшего (в силу условия (0) = 0) положительного корня мажорантного для (1) квадратного уравнения и дифференцированием (10). Функциональное уравнение (9) эквивалентно мажорантной для (1) задаче Коши, получаемой дифференцированием (9):

Наконец, мажорантное для (1) интегральное уравнение Вольтерра II рода в этом случае имеет вид Уравнения (2), (9), (11), (12) названы мажорантными по той причине, что, если исходным данным в (1) отвечает набор (k, K2, F ), то решение (1) x(t) в C[0,T ] при условии (7) существует и единственно, причем справедливо неравенство Оценки (13), (7) являются неулучшаемыми в том смысле, что, во-первых, (13) выполняется как точное равенство, если в (1) K1 (t, s) = k, K2 (t, s1, s2 ) = K2, y(t) = F t;

во-вторых, в (7) число T нельзя заменить на некоторое T > T.

Подчеркнем, что уже в простейшем случае постоянных ядер непрерывное решение уравнения (1) носит локальный характер, поскольку оно существует, вообще говоря, лишь в некоторой окрестности нуля, определяемой неравенством (7).

то мажорантные для (1) уравнения таковы:

Неулучшаемость мажорантной оценки(13) сохраняется, при этом x (t), являющееся решением (2a), (12a) (а также производной от решения (9a), (11a)), определяется формулой [4] а (7) заменяется на неравенство В (6a) под W понимается функция Ламберта f (z) = Lambert W (z), которая является главной вещественной ветвью решения трансцендентного уравнения (свойства функции Lambert W и детали ее использования в системе компьютерной алгебры MAPLE описаны, например, в [2], [3]).

2. В этом пункте установим связь некоторых простейших мажорантных уравнений пункта 1 с математическими моделями численности популяций.

Хорошо известная модель Мальтуса, в основе которой гипотеза о том, что скорость изменения в момент t численности популяции пропорциональна самой численности (t), имеет следующий вид:

где 0 начальная численность популяции. Решение задачи Коши (15) очевидно:

так что при k > 0 (t), при k < 0 (t) 0, а при k = 0 имеем (неустойчивое) стационарное состояние (t) = 0.

Предположим, нас интересует, например, моделирование процесса борьбы с эпидемией, так что (t) число зараженных особей, k > 0. Чтобы подчеркнуть, что начальная численность, вообще говоря, мала, будем обозначать (0) =. Введем в модель (15) управляющий параметр c > 0, уменьшающий скорость роста количества зараженных особей.

Решение задачи Коши имеет вид Если то, положив в (16a) (t) = 0, находим, что в момент времени эпидемия прекращается. При c < k (t), а при c = k имеем (неустойчивое) стационарное состояние (t) = k.

Рассмотрим теперь уравнение (9a) при K2 = 0, L1 = 0:

которое является мажорантным для линейного уравнения Вольтерра I рода с ядром не зависящим от t.

Поставим в соответствие (9b) задачу Коши моделирующую поведение неустойчивого нулевого стационарного состояния автономной динамической системы (15) с учетом закона управления c(t) = F t.

Решение (15b) функция Для получения фазового портрета динамической системы (15b) нужно исключить t из (15b), решив трансцендентное относительно t уравнение (16b).

Вновь рассмотрим три случая.

то в терминах функции Ламберта получаем а подстановка (19) в (15b) дает имеем Наконец, если и в момент времени ((26) получается из (24), если положить в (24) = 0), причем в (24)–(26) через Lambert W 1, · · · обозначена вторая вещественная ветвь (см. [2], [3]) функции Ламберта) эпидемия прекращается.

На рис. 1 а, 1 б, представлены фазовый портрет и функции (t) для задачи (15b).

Анализ случаев (18), (21), (23) при c(t) = F t, как и случаев c < k, c = k, c > k при c(t) c, приводит к естественному выводу о важности борьбы с эпидемией в ее начальной стадии.

Аналогичный подход применим и к более сложным моделям, например, к модели Ферхюльста-Перла k1 > 0, k2 > 0, описывающей динамику численности популяции в условиях конкурентной борьбы. В [5] на базе (27) рассмотрена модель рыболовства с помощью введения управляющего параметра c > 0:

и продемонстрирована роль обратной связи в восстановлении устойчивости стационарного состояния системы путем замены постоянной c на управление вида c1 (t). Поставив в соответствие модели (27) мажорантное для билинейного уравнения (1) функциональное уравнение типа (9):

приходим, например, к модели искусственного рыборазведения с небольшой начальной численностью популяции (0) = и скоростью вылова c(t) = F t:

При этом существенно, что нелинейное дифференциальное уравнение (28) имеет точное аналитическое решение в терминах специальных функций Эйри, что позволяет применить описанную выше технику.

Список литературы [1] Апарцин А.С. К теории полилинейных уравнениий Вольтерра I рода // Оптимизация, управление, интеллект, 2005 (в печати).

[2] R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare and D.J. Jerey. Lambert’s W function in Maple.

The Maple Technical Newsletter. 1993. № 9.

[3] Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jerey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function // Advances Computational Maths. 1996. Vol. 5.

[4] Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 118–125.

[5] Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

ON RELATION OF BILINEAR VOLTERRA EQUATION OF THE FIRST KIND

WITH MODELLING OF POPULATION CHANGES

A.S. Apartsyn, M.S. Scherbinin Melentiev Energy Systems Institute SB RAS, Irkutsk e-mail: [email protected] Abstract. Relation of majorant equations which play a dominant part for research of bilinear Volterra equation of the rst kind with classical models of population changes is shown. Using Lambert function lies in basis of given approach.

Key words: bilinear Volterra equation of the rst kind, models of Malthus and Ferhulst-Perl, Lambert function.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

А.А. Асанов, К.Б. Матанова Кыргызско-Турецкий Университет Манас, Бишкек Ошский Государственный Университет, Ош e-mail: [email protected], [email protected] Аннотация. В статье рассматривается обратная задача, состоящая в определении ядра заданного уравнения по дополнительной информации о решении этого уравнения. Доказывается теорема существования и единственности решения обратной задачи. Доказательство основано на сведении обратной задачи к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно неизвестных.

Ключевые слова: обратная, уравнение, интегро-дифференциальное, отображение, резольвента, функция Грина, решение.

Введение Интегральные и операторные уравнения Вольтерра очень часто возникают в теоретических и прикладных исследованиях [1], [2]. К ним сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений, задачи обработки экспериментальных данных, обратные задачи кинематики и сейсмики и.т.д. [3], [4]. Широко изучены обратные задачи для уравнений с частными производными первого и второго порядка. Аналогичные вопросы для псевдопараболических уравнений исследовались в [5]–[8]. В настоящей статье рассмотрена обратная задача для интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка с частными производными с неизвестным ядром.

1. Постановка задачи Найти функции u(t, x) и K(t), удовлетворяющие уравнению заданным начальным и краевым условиям и известен след решения u(t, x) в точке x где – дифференциальный оператор, g(t), b(t, x), f (t, x) – известные функции соответственно из C 2 [0, T ] и C 1,0 (G), G = [0, T ] [0, 1], a0, a1, 1, 2, 3 – заданные постоянные, причем a0 = 0.

2. Метод решения Введем обозначение и перепишем уравнение (1) в виде:

где Относительно неизвестной Av (5) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Применяя к нему резольвенту ядра a0, получим Если рассматривать правую часть (7) как известную функцию, то эквивалентным этому уравнению и краевым условиям (3) будет уравнение G(x, ) – функция Грина [8], отвечающая уравнению Av a10 v = 0. При t = 0 из (8) следует Дифференцируя (1) по t и вводя обозначение с учетом найденного значения F1 (0, x) по формуле (10) имеем Применяя последовательно к этому уравнению действия, аналогичные действиям для уравнений (5) и (7), получим w(t, x)+m(x)K(t)= где F2 (t, x)= G(x, ) a1 AF1 (0, )+b(t, )F1 (0, )+bt (t, ) [u0 ()+F1 (0, )t]+ft (t, x) + + R(t, s)[a1 AF1 (0, )+b(s, )F1 (0, )+bs (s, ) (u0 ()+F1 (0, )s)+fs (s, x)]ds d.(13) Используя условие (4), из (12) получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными A(x)y(t, x) = Здесь Тогда существует матрица A1 (x), умножив на которую обе части системы (14), мы будем иметь замкнутую систему для нахождения неизвестных w(t, x), K(t), а следовательно, и неизвестной u(t, x) в силу обозначения (11) по формуле Таким образом, обратная задача (1)-(4) эквивалентна следующей системе:

Введем банахово пространство X = C(G) C[0, T ], y(t, x) X, и пусть Покажем существование единственной неподвижной точки отображения Из условий (6), (9), (13) вытекает, что можно выбрать положительное число R такое, что где Рассмотрим шар B2R = {y = (w(t, x), K(t)) X : y X 2R} и покажем, что для достаточно малых T отображение Q переводит шар B2R в себя и является сжиимающим.

Для любого T (0, T ] из (16), (17) имеем:

где d – известная положительная постоянная, не зависящая от T (0, T ].

Пусть теперь Тогда для любого T (0, T ] из (16) получим где 0 < d1 – известная постоянная, не зависящая от T (0, T ]. Из оценок (18), (19) следует, что для достаточно малых T (0, T ] оператор Q отображает шар B2R в себя и является сжимающим.

Таким образом, доказана следующая Теорема. Пусть 1. b(t, x), f (t, x) – непрерывно-дифференцируемые по t функции в области G, u0 (x) C 3 [0, 1], g(t) – дважды непрерывно-дифференцируемая функция в C[0, T ];

2. выполняется условие (16).

Тогда при достаточно малых T > 0 обратная задача (1)–(4) имеет единственное решение {u(t, x), K(t)} из пространства X.

Список литературы [1] Apartsyn A.S. Nonclassical Linear Volterra Equations of the First Kind. – The Netherlands, VSP, 2003. – 168 pages.

[2] Bukhgeim A.L. Introduction to the Theory of Inverse Problems. – The Netherlands, VSP, 2000. – 232 pages.

[3] Лаврентьев М.М. О некорректных задачах математической физики. – Новосибирск:

СО АН СССР, 1962.

[4] Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения. – Фрунзе: Илим, 1977.

[5] Грассели М., Кабанихин С.И., Лоренци A. Обратная задача для интегродифференциального уравнения // Сиб. мат. журн. – 1992. – Т. 33, № 3. – С. 58–68.

[6] Asanov A., Atamanov E.R. Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations. – The Netherlands, VSP, 1997. – 152 pages.

[7] Асанов А., Атаманов Э.Р. Обратная задача для операторного интегродифференциального псевдопараболического уравнения // Сиб. матем. журн. – 1995. – Т. 36, № 4. – С. 66–99.

[8] Матанова К.Б. Об одной обратной задаче для псевдопараболического уравнения // Научные труды ОшГУ, Ош, 1999. – Вып. 2. – С.137–145.

THE INVERSE PROBLEM FOR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF

THE FOURTH DEGREE

A.A. Asanov, K.B. Matanova Kyrgyz-Turkish Manas University, Bishkek Osh State University, Osh e-mail: [email protected] Abstract. We consider the inverse problem of nding kernel of the integro-dierential equation. Are proved the theorem of existence and uniqueness of solutions of the inverse problem. The solving of the problem is based on the reduce to the system of Volterra nonlinear integral equations of the second kind.

Key words: inverse, equation, integro-dierential, image, resolvent, Green function, solution.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ТРЕТЬЕГО

РОДА НА ПОЛУОСИ

А.А. Асанов, Р.Ж. Муктарбекова Кыргызско-Турецкий Университет Манас, г. Бишкек Бишкекский Гуманитарный Университет, г. Бишкек e-mail: [email protected], [email protected] Аннотация. В данной статье рассмотрено нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода на полуоси. Для решения этого уравнения введен регуляризирующий оператор и доказана теорема единственности.

Ключевые слова: нелинейные интегральные уравнения Вольтерра третьего рода, единственность, регуляризация, пространство, непрерывность, сходимость.

Введение Различные вопросы для интегральных уравнений первого и третьего рода на конечном отрезке исследованы в работах многих авторов. В частности, линейные и нелинейные интегральные уравнения Вольтерра на конечном отрезке рассматривались в работах [1]– [6].

В настоящей статье для нелинейного интегрального уравнения (1) ядро K(t, t) может обращаться в нуль на полуинтервале [t0, ).

1. Постановка задачи Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода в котором u(t) – искомая функция; a(t), f (t) и K(t, s, u(s)) – заданные функции;

a(t0 ) = 0, a(t) – неубывающая непрерывная функция на [t0, ).

2. Метод решения Вместе с интегральным уравнением (1) рассмотрим следующее уравнение:

где > 0 – малый параметр, u(t) – решение уравнения (1).

Предположим, что K(t, s, u(s)) представимо в виде Пусть C[t0, ) является пространством непрерывных и ограниченных функций с нормой u c = sup |u(t)|.

Через C [t0, ) обозначим линейное пространство всех непрерывных и ограниченных функций u(t), определенных на [t0, ), и u () = sup |u(1 (x)) u(1 ())| является G R справедливы следующие оценки:

Лемма. Пусть выполняются условия а), б), K1 (t, t, u) 0. Тогда 1) для справедлива оценка:

2) для справедливы следующие оценки:

t [t0, ), то где – произвольное число из интервала (0, 1); u () = sup |u(1 x) u(1 )|, x, [0, r), (x) – обратная функция к функции (t), r = lim (t);

б) если u(t) C [t0, ), 0 < 1, то 3) для справедлива оценка:

Доказательство. Нетрудно показать, что Учитывая (11), имеем Аналогично доказываются случаи 2) и 3). Лемма доказана.

Теорема. Пусть выполняются условия а), б). Тогда 1) если (t) – строго возрастающая функция при t [t0, ), где (t) определена с помощью формулы (4), уравнение (1) имеет решение u(t) C [t0, ), то решение V (t, ) уравнения (2) при 0 сходится по норме C[t0, ) к u(t). При этом справедлива оценка где – произвольное число из (0, 1), u () = что противоречит равенству (27). Теорема доказана.

7. Краевые условия в системе Эйлера Для того, чтобы задачу оптимального управления (11)–(13) можно было решить с помощью АДС Эйлера, нужно потребовать согласованность краевых условий (17) (в смысле выполнения равенства (10) при t = 0 и t = T ). Но для этого нужно знать базовые матрицы пары матриц (18), (19). В настоящее время методы вычисления базовых матриц существуют (см. [1], [3]). Итак, пусть где f (t) – правая (известная) часть системы Эйлера (14)–(16). Вектор неизвестных обозначим через y.

Очевидно, что согласованные краевые условия (17) должны удовлетворять условиям (см. (8), (10)), где матрицы E1 и E2 выделяют первую и вторую компоненты вектора неизвестных y, т.е.

Система (28)–(30) содержит всю информацию о корректности постановки краевой задачи для системы Эйлера и может быть исследована и решена относительно вектора y(0).

Список литературы [1] Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. – Новосибирск: Наука, 2000.

[2] Орлова И.В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем // Электронные публикации докладов IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. – Красноярск, ИВМ СО РАН, 2003. (http://www.ict.nsc.ru/ws/YM2003/6062/) [3] Орлова И.В. Нахождение базовых матриц и их единственность // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. – Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2003. – С. 66–69.

ON SOME PROPERTIES OF THE EULER ALGEBRAIC DIFFERENTIAL

SYSTEM HAVING QUADRATIC QUALITY CRITERION

Yu.E. Boyarintsev Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk e-mail: [email protected] Abstract. The Euler system to which extremals of optimal control problem satisfy is studied from a position of the algebraic dierential systems theory.

Key words: algebraic dierential system, optimal control, the Euler system.

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ НОВЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ

М.В. Булатов Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск e-mail: [email protected] Аннотация. В настоящей заметке предложен подход к построению новых классов разностных схем численного решения задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенные методы, в отличие от ранее разработанных, обладают рядом преимуществ. Приведены 2-х и 3-х шаговые Aустойчивые разностные схемы соответственно третьего и четвертого порядков.

Ключевые слова: двухстадийные многошаговые методы, область устойчивости, жесткие дифференциальные уравнения, разностные схемы.

Многошаговые схемы Рассмотрим задачу с достаточно гладкими A(t) (n n) матрицей и f (t) nмерной вектор-функцией.

Исследование свойств предлагаемых методов будем проводить на тестовом уравнении Далквиста [3] где – скаляр.

Зададим на отрезке [0, 1] равномерную сетку ti = ih, i = 0, 1,..., N, N = 1/h, обозначим Ai = A(ti ), fi = f (ti ).

Классические kшаговые методы решения задачи (1) имеют вид Предполагается, что начальные значения x1, x2,..., xk1 вычислены достаточно точно.

Для задачи (2) методы (3) примут вид где z = h.

Характеристическое уравнение для вышеприведенного равенства имеет вид Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 04-01- Множество M комплексной плоскости такое, что |(z)| 1 для всех корней уравнения (4) и |(z)| < 1 для кратных корней, называется областью устойчивости. Если это множество содержит всю левую полуплоскость, то метод (3) называют Aустойчивым [1].

Известно [2], что максимальный порядок устойчивых схем вида (3) равен k + 1 для четных k и k + 2 для нечетных k. При этом Aустойчивые методы имеют порядок не выше 2 [3]. Покажем, как, "решая" переопределенные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), можно преодолеть эти препятствия.

Запишем s различных kшаговых методов (s k) порядка l для задачи (1):

Соотношения (6) перепишем в виде переопределенной относительно xi+1 СЛАУ размерности (sn n) Данная СЛАУ не имеет в общем случае классического решения. Поэтому умножим (7) на прямоугольную матрицу размером (n sn) вида где c1, c2,..., ck1 – свободные (скалярные) параметры. В итоге получим СЛАУ с квадратной, неособенной (при достаточно малых h) матрицей перед xi+1 вида В силу того, что каждая из схем (6) имеет порядок l, то и схемы (8) будут иметь порядок не ниже, чем l при любых значениях параметров cj. За счет выбора этих параметров можно повысить порядок разностной схемы (8) и добиться того, что схема (8) будет Aустойчивой. Проиллюстрируем вышесказанное на конкретных примерах.

Выпишем для (1) двухшаговые схемы второго порядка:

Представим эти схемы в виде (8). Опуская выкладки, получим, что, выбирая параметры из уравнения c1 2c2 = 6, будем иметь разностные схемы 3-го порядка. Приведем их:

[(3E 2hAi+1 )2 + (c1 c2 )E]xi+1 = [(12 4c2 )E + 2h(c1 Ai 4Ai+1 )]xi + Для устойчивости схем (10) необходимо потребовать c2 [3, 3].

В частности, при c2 = 0 схема (10) будет Aустойчивой, а для модельной задачи (2) характеристическое уравнение примет вид где z = 2h.

Выписывая для (1) 3-шаговые схемы 3-го порядка и представляя их в виде (8) с параметрами, которые удовлетворяют равенству (это равенство найдено путем разложения в ряд Тейлора исходного уравнения), получим методы 4-го порядка. Среди данных разностных схем есть как устойчивые, так и неустойчивые. Например, при c1 = 33, c2 = c3 = 0 получим метод 4-го порядка. Приведем его:

Для модельной задачи (2) характеристическое уравнение метода (10) имеет вид где z = 6h.

Разностная схема (11), как и схема (10) при c2 = 0, является Aустойчивой.

Одношаговые схемы Выпишем для задачи (1) одношаговые схемы первого порядка:

xi+1 xi = h[(B(qti+1 + (1 q)ti )(qxi+1 + (1 q)xi ) + hf (qti+1 + (1 q)ti )], Запишем эти два метода в виде переопределенной системы По аналогии с СЛАУ (7) умножим обе части (12) на матрицу В итоге получим Имея три свободных параметра p, q, c, потребуем, чтобы разностная схема (13) имела как можно более высокий порядок точности. Опуская выкладки, получим, что p, q, c должны удовлетворять системе уравнений В частности, при p = 0, q = 2/3, c = 3 метод (13) имеет локальную погрешность O(h4 ), а сама схема будет третьего порядка точности. Приведем ее:

= {(E + hBi ) + 3(E 2h/3B(ti + 2h/3))(E + h/3B(ti + 2h/3))}xi + Применяя данную схему для модельной задачи (2), получим, что функция устойчивости имеет вид Нетрудно показать, что при любом значении z, лежащем в левой полуплоскости, | R(z) | 1, то есть схема (14) является Aустойчивой.

Итак, метод (14) является одностадийным, одношаговым, Aустойчивым и имеет третий порядок точности.

Отметим, что если параметры p, q, находить из одного уравнения то получим семейство разностных схем второго порядка точности. В частности, при p = 1/2, = 0 получим метод трапеций Результаты данного раздела были анонсированы в [5].

Список литературы [1] Widlund O.B. A note on unconditionally stable linear multistep methods // BIT. – Vol. 7.

[2] Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. – Vol. 3. – 1963. – P. 27–43.

[3] Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary dierential equations // Math. Scand. – Vol. 4. – 1956. – P. 33–52.

[4] Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta processes // Math. Comp. 18. – 1964. – P. 50–64.

[5] Булатов М.В. Об одном подходе к численному решению ОДУ // Тез. докл. "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий". – Иркутск, 2001. – С. 10.

ON SOME APPROACH OF CONSTRUCTION OF NEW DIFFERENCE

SCHEMES FOR LINEAR ODE’S

M.V. Bulatov Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk e-mail: [email protected] Abstract. In this paper an approach of constructing new classes of dierence shcemes for numerical solution of initial boundary problems in linear ordinary dierential equations has been proposed. The methods proposed possess a number of advantages in comparision with known schemes. There are given 2-step and 3-step Astable dierence schemes of 3rd and 4th orders respectively.

Key words: two stage multistep methods, area of stability, sti dierential equations, dierential scheme.

О ПОНЯТИИ КРАТНОГО РЕШЕНИЯ КОНЕЧНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск e-mail: [email protected], [email protected] Аннотация. Рассмотрены системы нелинейных уравнений F (x) = 0, у которых матрица Якоби на решении вырождена. Для таких задач вводятся определения значения кратности решения. Установлена связь между значениями кратности решения и индекса матричных пучков.

Ключевые слова: система уравнений, кратный, решение, корень, структура пучка, полуобратная матрица, дифференциально-алгебраическая.

Введение Рассмотрим систему нелинейных уравнений где F : D Rn, D Rn, x = (x1, x2, · · ·, xn ), – символ транспонирования. Предполагается, что вектор-функция F (x) обладает той гладкостью в области определения, которая необходима для дальнейших рассуждений.

Для матрицы Якоби системы (1) введем обозначение Пусть вектор x удовлетворяет системе (1): F (x ) = 0. Вектор x принято называть простым решением (корнем), если det A0 (x ) = 0. В данной работе рассматривается случай det A0 (x ) = 0. Такое решение принято называть кратным, или особым. Для определенности ниже будем считать, что кратность простого корня равна единице.

Для случая простого корня разработана достаточно полная теория итерационных методов решения исходной задачи (см. например, монографии [1], [2]). Отыскание кратных корней при n > 1 связано с большими принципиальными трудностями (см. например, работу [3] и приводимую в ней библиографию). Более того, авторам статьи неизвестно сколь-нибудь общепринятое определение кратности решения системы вида (1). Иногда за значение кратности принимаются ранг или коранг матрицы A0 (x ).

Такое определение недостаточно информативно и, более того, не совпадает с классическим определением кратного корня в скалярном случае, когда n = 1. Напомним, что при n = 1 принято называть значением кратности (или просто кратностью) корня x минимальное целое число k 1, ecли F (k) (x)|x=x = 0, k = 1, 2,....

Рассмотрим две системы Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 04-01- Обе системы (3) имеют единственное решение: x = (0, 0), x = (0, 0, 0) соответственно.

У первой системы rankA0 (x ) = 0 j > 1, а у второй rankA0 (x ) = 2. По аналогии с одномерным случаем еще можно предположить, что у системы F 1 (x, y) = 0 кратность корня равна j. Но для системы F 2 (x, y, z) = 0, у которой компоненты являются полиномами не выше второй степени, вынести какое-то заключение о кратности корня весьма затруднительно. Если решать ее методом исключения неизвестных сверху вниз, то мы будем решать в конце уравнение v 8 = 0 кратности 8. При исключении снизу вверх мы последовательно решим уравнения z 2 = 0, y 2 = 0, v 2 = 0 кратности 2.

1. Определения кратности В данном параграфе сформулировано понятие кратности корня для системы (1). Одним из требований к вводимым определениям является условие эквивалентности их классическому определению при n = 1.

В скалярном случае действие оператора дифференцирования на систему понижает кратность корня на единицу. По аналогии будем искать дифференциальные операторы, которые понижают кратность корня и при n > 1. Эти операторы будем искать в виде выражений где qi = (ci, grad), grad = (/x1, /x2,..., /xn ), ci – некоторые векторы из Rn, (.,.) – скалярное произведение в Rn. Матрицы Ri, Si выбираем из условия Для вычисления матриц Ri, Si, удовлетворяющих условию (5), мы будем использовать аппарат полуобратных матриц.

Определение 1 [4]. Матрица, обозначаемая в дальнейшем как A, называется полуобратной к матрице A, если она удовлетворяет уравнению AA A = A.

Полуобратная матрица определена для любой матрицы A [4]. Из определения 1 следует, что:

Здесь и ниже Eµ – единичная матрица размерности µ. Если µ = n, то для упрощения записи полагается En = E. Множество {a : a = (E A A)c} = kerA, где c пробегает Rn [4].

Здесь символом ker(.) обозначено ядро матрицы (.): kerA0 (x ) = {a Rn : A0 (x )a = 0}.

Из соотношений (6) получаем, что вектор x является решением систем где F0 (x) = F0 (x) = F (x), Ai (x) = Fi (x)/x, ai = (E V2,i )ci, V2,i = A (x )Ai (x ), Si = E V1,i, V1,i = Ai (x )A (x ), ci – произвольные векторы из Rn, Si = E V1,i, V1,i = Ai (x )A (x ). Для (8) это очевидно. Для (9) выпишем равенство Оператор (grad, ci ) является скаляром, он перестановочен с операцией умножения на матрицу Si и в силу (6) Si Ai (x ) = 0.

Определение 2. Пусть det A0 (x ) = 0 и, начиная с некоторого k 1, найдутся векторы ci, i = 1, 2,..., k, такие, что в последовательности (8) det Ak+1 (x ) = 0 или в последовательности (9) det Ak+1 (x ) = 0. Тогда мы будем говорить, что левая или правая кратность корня x соответственно равна k + 1.

Значение кратности корня тесно связано со свойствами -матриц.

Определение 3 [5]. Выражение называется -матрицей степени m. Здесь Mi – постоянные матрицы одинаковых размеров, – скалярный параметр (в общем случае комплексный). Матрица M () регулярная, если матрицы Mi квадратные и det M () 0.

Определение 4 [6]. Будем говорить, что -матрица (11) обладает доминантным свойством (ДС), если deg det M () mr0, r0 = rankM0, где символ deg(.) означает показатель степени многочлена (.), операция deg(0) не определена.

регулярен тогда и только тогда, когда регулярна -матрица (11). Известно [5], что в этом случае существуют постоянные неособенные матрицы P, Q со свойством:

где, начиная с некоторого натурального, N = 0, J – блок подходящей размерности.

Число равно целому числу j 0, начиная с которого справедливо равенство: rankC j+1 = rankC j, C = (A + B)1 A, если не совпадает с корнем уравнения det(A + B) = 0. Число называют индексом матрицы C или индексом пучка матриц A + B и оно не зависит от Установим связи ДС с кронекеровой структурой матричного пучка (12), которая играет фундаментальную роль в ряде разделов алгебры и теории дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

1) -матрица (11) регулярна тогда и только тогда, когда в -матрице 2) матрица (11) обладает ДС тогда и только тогда, когда m;

причем где l = ( + 1)n, S1, S2 – некоторые блоки подходящей размерности.

Доказательство. Достаточность. Пусть det B0 = 0. Тогда матрица B() регулярна, следовательно, регулярны в (13) оба сомножителя M () и L().

Необходимость. Пусть матрица M () регулярна. Рассмотрим произведение где Emn + (Emn AA ) = Emn + diag{0, S0 }, S0 = E M0 M0, M0 = M0 + S0 M1, M = S0 Mm Mm1 · · · M2. Известно [7], что после такой операции индекс пучка матриц слева в (15) на единицу меньше индекса пучка A+B. Прямым вычислением показывается, что после умножения произведения (15) на матрицу P0 = мы получим пучок матриц A1 + B1, построенный по многочлену M1 () = (E + S0 )M (). В силу (6) стенень M1 () m. Покажем, что degM1 () = m. Существуют невырожденные матрицы P, Q:

P M0 Q = diag{Er0, 0}, где rankM0 = r0 n. В многочлене M1 () при m стоит матрица M0 = M0 + S0 M1, которую умножим на P, Q слева и справа. Имеем жая в матрице (16) вторую блочную строку на блок S12 и складывая с первой, получим матрицу После повторения раз операций вида (15) и умножения на соответствующие матрицы Pi, i = 0, 1,..., мы получим, что det B0 = det M0 = 0.

Достаточность пункта 2) утверждения теоремы при предположении о выполнении ДС доказана в [6].

Необходимость. Пусть количество шагов процесса равно q m. В силу (7) все собственные числа матриц Vi, E Vi простые и равны 0 или 1 и rankP S0 P 1 = n r0, deg det[(E V1 )+E] = nri. Из (16) следует, что rankM0 rankM0, i = 0, 1,... q1, дует, что deg det M ( ) mr0.

Докажем последний пункт утверждения теоремы. Рассмотрим линейную алгебраическую систему Умножим ее блочные строки на коэффициенты многочлена L() с одинаковыми номерами и сложим их. Получим, что первые n компонент вектора X равны нулю, так как первые n уравнений приобретут вид (En 0)X = 0. Любое решение системы (16) имеет вид X = [E ]C, где C – произвольный вектор из Rn(+1). Так как первые n компонент вектора C равны нулю, имеет место равенство (17). Теорема доказана.

Следствие 1. Матрицы M0 + (E V1 )M1, M0 + M1 (E V2 ), где V1 = M0 M0, V2 = M0 M0, невырождены тогда и только тогда, когда матричный пучок M0 + M1 удовлетворяет критерию "ранг-степень": rankM0 = deg det(M0 + M1 ).

В заключение раздела отметим, что характеристики -матриц (11) играют большую роль в теории систем с особенной матрицей при старших производных вида M (d/dt)(t) = f (t), t [0, 1]. Если -матрица M () регулярна, то: 1) общее где Z(t) – (n d)-матрица, K(), Kj некоторые (n n)-матрицы, c вектор произвольных постоянных, d = deg det M (), параметры из (12);

2) L(d/dt)M (d/dt)(t) = B(d/dt)(t) = L(d/dt)f (t).

2. О связи ДС и кратности решений Применим ДС к исследованию систем вида (1). Образуем матрицы Ai (x) по правилу где A0 (x) определена по формуле (2), qi – операторы из формулы (4), и построим c использованием матриц из (18) -матрицу Теорема 2. Значение левой кратности корня x системы (1) равно k + 1 тогда и только тогда, когда - матрица (19) удовлетворяет ДС: deg det A() krankA 0 (x ).

Доказательство. Для упрощения выкладок предположим, что k = 2. Скалярные операторы qi = (grad, ci ) перестановочны с операцией вычисления матрицы Якоби /x.

Пусть det F1 (x)/x|x=x = det[E + q1 S1 + q2 S2 + q2 q2 S2 S1 ]A0 (x)|x=x = 0.

С другой стороны, для многочлена A() = 2 A0 + A1 + A2, Ai = Ai (x ), i = 0, 1, 2, имеем где Si – матрицы из формулы (8), и учтено, что S1 A0 = 0, S2 (A0 + S1 A1 ) = 0. Итак, мы получим равенство F1 (x)/x|x=x = A0. Согласно утверждению 2) теоремы 1, многочлен A() обладает ДС. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение. Для k > 1 доказательство полностью аналогично. Теорема доказана.

Значения правой кратности корня x систем (3) совпадают с левыми, но можно указать примеры, когда левая и правая кратности не равны. Рассмотрим систему vy = 0, y v 3 = 0. Здесь только одно решение x = (0, 0) и его левая кратность равна 2, а правая 3.

Лемма 1. Пусть существует вектор c Rn, для которого пучок матриц, построенный по формуле (18) A() = A0 (x) + q1 A0 (x)|x=x, где c1 = (E A A0 )c, регулярен.

Тогда правая кратность решения x равна 2. Более того, если правая кратность равна 2, пучок A0 (x) + q1 A0 (x)|x=x удовлетворяет критерию "ранг-степень".

Доказательство. Согласно формулам (9), (10) F1 (x)/x = [F (x) + A0 (x)a]/x = A0 (x) + (grad, a)A0 (x), a = (E A A0 )c, c Rn. Очевидно, что в силу регулярности пучка A() найдется параметр со свойством F1 (x)/x|x=x = 0, если a = (E A A0 )c.

Второе утверждение леммы вытекает из следствия 1. Лемма доказана.

Коснемся вопроса о проверке условий теоремы 2. Старший коэффициент многочлена det A() = 0 (C)d + · · · является полилинейной функцией компонент вектора C = (c1, c2,..., ck ) Rkn. Следовательно, если нашелся вектор C, для которого 0 (C ) = 0, то множество значений C : 0 (C) = 0 имеет меру нуль в Rkn, и в принципе вектор C можно выбирать случайным образом. При небольших размерностях систем функцию 0 (C) можно построить явно, используя программы символьных вычислений. Тогда проблема выбора вектора C решена.

Если матричные коэффициенты многочлена A() вычислены приближенно (например, с использованием формул численного дифференцирования), то в (14) можно принять в качестве матрицы псевдообратную матрицу + и использовать для проверки равенства (14) методы регуляризации [8].

В заключение отметим, что операторы вида (3) можно использовать для построения алгоритмов понижения кратности решений [9], но обьем статьи не позволяет это сделать.

Список литературы [1] Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. – M.:

Наука, 1969.

[2] Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. – М.: Мир, 1975.

[3] Брежнева О.А., Измаилов А.Ф. О построении определяющих систем для отыскания особых решений нелинейных уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2002. – Т.42, № 1. – C. 10–22.

[4] Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Наука, 1980.

[5] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – M: Наука, 1967.

[6] Булатов М.В. О преобразовании алгебро - дифференциальных систем уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1994. – Т.34. № 3. – С. 360–372.

[7] Булатов М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра к невырожденным // Изв. вузов. Математика, 1998, №11(438), с. 14-21.

[8] Чистяков В.Ф. Алгебро - дифференциальные операторы с конечномерным ядром. – Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996.

[9] Bulatov M.V., Chistykov V.F. On multiple solutions of nonlinear equations // Вычислительные технологии и Вестник КазНУ им. Аль-Фараби. Серия математика, механика, информатика: совместный выпуск по материалам международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании", (7 - октября). – Часть I. Т.9. – 2004. – С. 22–29.

ON NOTATION OF MULTIPLE SOLUTIONS OF FINITE-DIMENSIONAL

NON LINEAR SYSTEMS

M.V. Bulatov, V.F. Chistyakov Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk e-mail: [email protected], [email protected] Abstract. Systems of nonlinear equations F (x) = 0 having singular Jacobean are considered.

Denitions of the value of solution multiplicity are introduced. The relation between the values of multiplicity and the matrix pencil indexes is established.

Key words: system of equations, multiple, solution, structure of pencil, semi-inverse matrix, dierential algebraic.

ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ В ЗАДАЧАХ ИНЖЕНЕРНОЙ СЕЙСМИКИ

И.А. Веде, С.М. Зеркаль Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск Институт математики СО РАН им С.Л. Соболева, Новосибирск e-mail: [email protected] Аннотация. С использованием метода вычислительной томографии (вариант алгебраической реконструкции) на основе численного решения обратной кинематической задачи сейсмики в линеаризованной постановке разработана вычислительная технология обработки кинематической информации рефрагированных волн. Разработанные итерационные методики применимы как для решения двумерных, так и трехмерных сейсмических задач.

вычислительная томография, линеаризованная постановка, обратная Ключевые слова:

кинематическая задача сейсмики, вычислительная технология, итерационный метод, рефрагированные волны.

Введение В настоящее время техногенные процессы, связанные с интенсивным развитием мегаполисов, затрагивают геологическую среду территории своего расположения. Преобразования, которым подвергается верхняя часть геологического разреза (ВЧР) (подземные коммуникации, заглубленные фундаменты, сооружения метрополитена и т.д.), создают условия, неблагоприятные для устойчивого развития данных регионов, и при нарушении системности эксплуатации соответствующих объектов могут привести к авариям и экологическим бедствиям. В этой связи важным фактором в прогнозировании и предотвращении возникновения таких событий является мониторинг состояния отмеченной ВЧР с использованием методов дистанционного неразрушающего контроля. Одной из главных особенностей такого контроля является его полная экологическая безопасность, что существенно сужает арсенал возможных зондирующих излучений. Кроме того, спецификой обладают и сами объекты мониторинга, являющиеся средой обитания человека и обладающие технической сложностью. С этой точки зрения одним из перспективных представляется сейсмоакустический метод исследования, основанный на кинематике рефрагированных волн, причем допускается использование невзрывных источников. Математическая задача, возникающая в рамках использования этого метода, носит название обратной кинематической. Эта обширная проблема относится к интегральной геометрии и за свою столетнюю историю (впервые для сферически неоднородной Земли она была решена Г.Герглотцем и Е.Вихертом в 1905 – 1907 г.) возникала в различных постановках и привлекала внимание многих известных ученых. Физически задача заключается в определении скоростного распределения в исследуемой среде по временам прихода рефрагированных волн. Этой задаче свойственно обращение причинно-следственных связей (по временам пробега – следствию восстанавливается причина – скоростной разрез), что и делает ее Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 03-01-00910, 03-07- обратной задачей математической физики.

В статье излагается итерационный подход к решению обратной кинематической задачи (ОКЗ) в линеаризованной постановке, основанный на алгебраической реконструкции распределения скорости в среде при томографической системе наблюдений.

Линеаризация задачи происходит первоначально возле скорости, линейно зависящей от глубины. В работах [1, 2] в численных исследованиях для используемого в данной работе класса сред границы применимости линеаризации составили порядка 15% относительного размера восстанавливаемой функции от известной линейной функции. При этом было отмечено, что в случае 25% сохраняется полезная информация о решении. Современные вычислительные технологии создали возможности для построения алгоритма, позволяющего существенно расширить класс восстанавливаемых cкоростей и повысить точность решения. Существенным является последовательное решение "вложенных" задач, образующее итерационный процесс, в котором решение предыдущей задачи служит основой для решения последующей, что позволяет изменять, уточнять основную, известную составляющую распределения скорости (референтную среду) на каждой итерации.

Замечание. Важно отметить, что результаты авторов [1]–[4] получены при исследовнии трехмерной ОКЗ (более устойчивой, чем двумерный случай) в томографической постановке, сводящейся к решению последовательности задач с системой наблюдений (непривычной для практиков), представляющей собой концентрические окружности на дневной поверхности. Изложенная в статье технология позволяет в соответствующих классах сред получить в двумерной постановке качественно и количественно сопоставимые результаты с трехмерной постановкой. Рассмотрение профильных систем наблюдения обусловлено прежде всего тем, что они традиционно широко распространены в сейсморазведке. Интерпретация данных профильных наблюдений представляет интерес представительностью уже имеющегося банка измерений.

1. Постановка задачи и алгоритм решения Полупространство z0 пространства R2 заполнено средой со скоростью распространения волны V (x, z) = V0 (z) + V1 (x, z), причем выполняется условие V0 (z) >> |V1 |, необходимое для применения линеаризации. В качестве референтной среды выбирается V0 (z) = A(1 + z), где A = const и = const считаются известными. Этому распределению скорости при каждом положении источника m0 (x0, z0 ) и приемника m1 (x1, z1 ) отвечает геодезическая 0.

Известно соотношение где n1 – функция медленности, n1 = V V0 = nn0, 1 (m0, m1 ) = (m0, m1 )0 (m0, m1 ), и – время пробега в среде с распределением скорости V0 и V соответственно. Требуется по функции 1 определить функцию n1, и затем скорость V1 [5]. Применимость известных алгоритмов ограничена несколькими процентами соотношения n1, причем "борьба" идет за каждый процент при попытках использования этих алгоритмов на практике.

Построим следующий итерационный процесс решения ОКЗ с выбором референтной среды: V0i+1 = V0i + V1i, где V01 = A(1 + z), i – номер итерации, а V1i определяется методом вычислительной томографии с использованием алгебраической реконструкции.

Применением равномерной сетки исследуемая область разбивается на "пиксели", составляется СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) на основе соотношения (1). Начиная со второй итерации данные для решения обратной задачи определяются путем решения прямой задачи методом пристрелки [1] в дискретной постановке по интерполированной функции скорости. Для рассматриваемого класса задач в численном эксперименте установлено, что при относительном размере n1 к n0 в интервале 1 5% достаточно одной итерации, а от 20 до 30% эффект достигается на третьей итерации.

2. Численные исследования Модель среды. Известная составляющая скорости имеет вид V0 = A(1 + z), = 0.5 km1, A = 1 км/c. Аномальная составляющая скорости описывается гауссианой V1 (x, z) = W exp(wx (x Xa )2 wz (z Za )2 ). Значения параметров: wx = 3, wz = 20, Xa = 0.4, Za = 0.1. Амплитуда аномалии W изменялась в пределах от 0.15V0 до 0.3V0.

Аномалия представляет собой близко расположенную к поверхности наблюдений неоднородность со значительным градиентом скорости по глубине, которая может быть как положительной, так и отрицательной (рис. 1а). Выбор V1 в таком варианте не случаен, а обусловлен характером возможных скоростных неоднородностей в условиях сейсморазведки [6, 7].

Рис. 1а. Распределение аномальной скорости, Рис. 1б. Результат решения обратной задачи поточное решение. сле трех итераций.

Ось справа к нам – координата профиля x, от – 1.7 до 2.5 км, ось слева к нам – глубина z, от до 800 м, вертикальная ось – величина скорости V1, в м/c.

Система наблюдения представляет собой профиль с расположенными вдоль него источниками и сейсмоприемниками. Источники расположены в точках с координатами Xs (i) = 250 50(i 1), i = 1 ± 30, приемники расположены в точках с координатами Xn p(j) = 250 + 50(j 1), j = 1 ± 30 (шаг системы наблюдений 50 м). Минимальное удаление между источником и приемником 0.5 км, максимальное 3.4 км. После вычисления времени прибытия сигнала вся система наблюдения смещается на 100 м вдоль профиля (всего 9 положений). Реконструкция неоднородности при трех итерациях представлена на рис. 1б (W = 0.1). На рис. 2 представлены графики относительной среднеквадратической ошибки W (Q - среднеквадратическое отклонение от точного значения) в зависимости от амплитуды аномалии при трех итерациях. Из рисунка видно, что применение итерациQ онного алгоритма дает существенное выравнивание W до порога 4 6% для всех изучаемых случаев. Очевидно, что на качество решения будет оказывать количество лучей, пересекающих ячейки сетки. Количество отрезков луча в ячейках ведет к заполненности матрицы решаемой нами СЛАУ и соответственно влияет на устойчивость решения. Определим представительность набора данных как отношение характерного размера ячейки сетки к шагу системы наблюдений. Увеличение этого отношения ведет, с одной стороны, к повышению гладкости решения, с другой – к понижению разрешающей способности алгоритма. Проведем оценку влияния на качество решения. При этом будем учитывать не только среднеквадратическую норму ошибки самого решения, но также гладкость решения (среднеквадратическую норму производных) 1 относительно гладкости точного решения 0. Результаты представлены на рис. 2б. Пример приводится для W = 10% от A, первая итерация.

Рис. 2а. Изменение относительной среднеквад- Рис. 2б. Влияние отношения характерного разQ ратической ошибки H = W 100% (вертикаль- мера ячейки сетки к расстоянию между источная ось) в зависимости от относительной ам- никами () на качество решения. По горизонA плитуды аномалии G = WA 100% (горизон- тальной оси откладывается, по вертикальной тальная ось). Код кривых: 1 – первая итерация; – величина ( 0 ).

2 – вторая итерация; 3 – третья итерация.

В сейсморазведке точность снятия времени вступления волны можно считать равной интервалу дискретизации, как правило, это 2 мс. Если волна сильно искажена интерференцией, то предлагаемые нами методы исследования неприменимы. В этом случае должны сначала решаться задачи обнаружения сигнала и корреляции волны [7]. В работе было проведено изучение поведения зависимости среднеквадратичной ошибки восстановления аномалии скорости разной величины в зависимости от уровня случайного шума. В случаях, когда на время невязки набрасывается случайный шум, приводящий к отклонению во временах ±1 мс; ±2 мс относительно рассчитанного, решение уходит на значения 1 4% от максимума аномалии, причем отклонение тем больше, чем меньше величина аномалии. В этих пределах результаты решения обратной задачи достаточно устойчивы. В случае шума ±4 мс решение носит лишь качественный характер, отличаясь от незашумленных значений более, чем на 15 20%.

Заключение Изложенная в статье вычислительная технология представляет собой синтез линеаризованной кинематической задачи в ее конструктивной части, что является достижением томографического подхода к сейсмическому методу изучения Земли и современных информационно-вычислительных технологий. Такое сочетание позволяет рассматривать постановки ОКЗ, реализация которых была невозможна 30–40 лет назад при том развитии вычислительной техники и алгоритмической базы геофизики. Полученная возможность расширения границ применимости линеаризованного подхода (при сохранении традиционных профильных систем наблюдения) имеет существенное значение для геофизики. Без ограничения общности результаты работы ориентированы для решения задач региональной сейсморазведки, при диагностике верхней части разреза до глубин порядка 500 м. Кроме того, результаты работы имеют значение для телесейсмики и геофизического мониторинга [8].

Список литературы [1] Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Результаты численного решения обратной трехмерной линеаризованной задачи восстановления коэффициента преломления. – Препринт № 524.

ВЦ СОАН СССР. – Новосибирск: 1984. – 26 с.

[2] Зеркаль С.М. Численные решения обратной трехмерной кинематической задачи сейсмики в линеаризованной постановке // Геология и геофизика, 1988. – № 11. – С. 126– [3] Зеркаль С.М. Определение непрозрачных зон в Земле методом компьютерной томографии в кинеатической постановке // Докл. АН СССР, 1991. – Т. 317, № 2. – С. 330–333.

[4] Лаврентьев М.М., Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е. и др. Сейсмическая томография сред с квазилинейным изменением скорости, содержащих поглощающие включения // Изв. РАН. – Сер. "Физика Земли". – 1995. – № 6. – С. 26–31.

[5] Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. – Новосибирск: Наука, 1980. – 286 с.

[6] Пузырев Н.Н. Методы и обьекты сейсмических исследований. – Новосибирск: НИЦ ОИГГМ, 1997. – 300 с.

[7] Шерифф Р., Гелдарт Л. Сейсморазведка. Т. 2. Обработка и интерпретация данных.

– М.: Мир, 1987. – 400 с.

[8] Проблемы геотомографии. – Сб. науч. трудов. Отв. ред. Николаев А.В. – М.: Наука,

THE ITERATIVE TECHNOLOGY OF TOMOGRAPHIC KINEMATIC

DIAGNOSTICS IN PROBLEMS OF ENGINEERING SEISMIC

I.A. Vede, S.M. Zerkal Novosibirsk State Architectural and Constructive University, Novosibirsk e-mail: [email protected] Sobolev Institute of Mathematics of SB RAS, Novosibirsk e-mail: [email protected] Abstract. With the use of method of numerical tomography (variant of algebraic reconstruction) on the basis numerical solution of inverse kinematic problem of seismic in linearized statement a numeral technology for adaption of kinematic information refracted waves is developed.

Developed iterative methods are applied for solution 2d and 3d seismic problems.

Key words: numerical tomography, linear posed, inverse kinematic problem of seismic, numerical technology, iteration method, refracted waves.

О КОРРЕКТНОСТИ УРАВНЕНИЙ В СВЕРТКАХ НА ОТРЕЗКЕ

А.Ф. Воронин Институт математики им С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск e-mail: [email protected] Аннотация. В работе приведены достаточные условия существования и единственности для уравнения в свертках на отрезке второго рода и условия единственности для уравнения в свертках первого рода.

Ключевые слова: свертка, отрезок, корректность, краевая задача Римана.

Введение Рассмотрим два уравнения в свертках на конечном интервале (0, b) 2-го и 1-го рода :

где В работах автора [1], [2] были получены достаточные условия единственности для уравнений (0.1) (и как следствие – условия разрешимости уравнения 2-го рода (0.1)). Для единственности решения уравнения второго рода в (0.1) ( = 1) достаточно выполнение следующего ограничения :

где Отметим, что функции ± (p) могут иметь лишь конечное число нулей в полуплоскостях ±Im p 0 соответственно [2]. Кроме того [2], из (0.3) вытекает где – функция Хевисайда. С другой стороны, из теоремы Банаха [3, c. 206-207] следует, что для существования обратного оператора уравнения 2-го рода в (0.1) при ограничении (0.2) достаточно выполнения условия Работа выполнена при поддержке гранта НШ-1172.2003.1 и гранта НГАСУ Легко видеть, что ограничение (0.4) более общее, чем (0.5). Необходимо подчеркнуть, что критериев (имеющих практическое применения) для разрешимости и единственности уравнения 2-го рода в (0.1) в общем случае (например, при ограничении (0.2)) к настоящему моменту не существует, кроме упомянутых теорем (теорема Банаха и теорем в [1], [2]). Условия разрешимости и единственности для уравнения 1-го рода в (0.1) еще менее изучены, чем для уравнения 2-го рода в (0.1) (библиографию см. в [2]). В данной работе будут несколько обобщены результаты [1], [2] в части корректности уравнений (0.1).

1. Результаты работы Теорема 1. Пусть = 1 и справедливо условие (0.2). Если существует R такое, что то уравнение 2-го рода в (0.1) может иметь не более одного решения в L1 (0, b).

Следствие 1. Пусть = 1 и справедливо условие (0.2). Если существует R такое, что то уравнение 2-го рода в (0.1) может иметь не более одного решения в L1 (0, b).

Следствие 2. Пусть k Lq (b, b), q > 1 и выполнено ограничение (0.6) либо (0.7).

Тогда уравнение 2-го рода в (0.1) однозначно разрешимо в Lq (0, b) для любой правой части f Lq (0, b).

Теорема 2. Пусть = 0 и справедливо условие (0.2). Кроме того, пусть Тогда, если существует R такое, что то однородное уравнение 1-го рода в (0.1) (f = 0) имеет только тривиальное решение в L1 (0, b).

2. Доказательство теорем Теоремы 1, 2 и следствия 1, 2 доказаны в [2] при = 0. Проведем доказательство для произвольного. Рассмотрим краевую задачу Римана (1.6)–(1.8) в [2] на прямой Im p =, что возможно в виду того, что коэффициенты и искомая вектор-функция краевой задачи Римана являются целыми функциями по определению. Тогда легко видеть, что в этом случае лемма 1.1 и теорема 1.1 в [2] будут также справедливы, что доказывает теорему 1.

Теорема 2 вытекает из [2] (из теоремы 1.3 и доказательства следствия 0.2).

Справедливость следствий 1, 2 устанавливается аналогично следствиям в [2].

Список литературы [1] Воронин А.Ф. Теоремы единственности для интегральных уравнений в свертках 1-го и 2-го родов на отрезке // ДАН, 2004. – T. 396. – № 1. – С. 12–14.

[2] Воронин А.Ф. Полное обобщение метода Винера-Хопфа для интегральных уравнений в свертках на конечном интервале с интегрируемыми ядрами. // Дифференциальные уравнения, 2004. – T. 40. – № 9. – С. 1190–1197.

[3] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М. : Наука, 1984. – 752 c.

THE CORRECTNESS OF CONVOLUTION EQUATIONS ON AN INTERVAL

A.F. Voronin Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk e-mail: [email protected] Abstract. We examine the uniqueness of solutions to two convolution integral equations of the second and rst kind on a nite interval. Additionally, for the equation of the second kind, we derive sucient solvability conditions.

Key words: convolution equations, interval, correctness, Riemann boundary value problems.

ВЫБОР ПАРАМЕТРА В РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ АЛГОРИТМАХ ДЕКОНВОЛЮЦИИ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ ПОЛНЫХ КВАДРАТОВ

Ю.Е. Воскобойников, В.А. Литасов Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск e-mail: [email protected] Аннотация. В работе рассматривается задача деконволюции уравнения Фредгольма I рода в случае, когда правая часть и ядро интегрального уравнения заданы со случайными погрешностями. Приводится новая версия регуляризирующего алгоритма метода наименьших полных квадратов. Для выбора параметра регуляризации предлагаются два численных алгоритма, основанные на методе перекрестной значимости (cross-validation method) и методе L-кривой.

Выполнено сравнение этих алгоритмов по точности получаемых регуляризированных решений.

Ключевые слова: деконволюция интегрального уравнения, метод наименьших полных квадратов, выбор параметра регуляризации.

Введение Для большинства измерительных и динамических систем при обычных предположениях о линейности и стационарности связь между входным и выходным сигналами описывается интегральным уравнением I рода с разностным ядром. В общем случае это уравнение Фредгольма вида Для определенности под деконволюцией уравнения (1) будем понимать задачу восстановления входного сигнала ( ) по заданным функциям f (t), k ( ). При решении такой задачи традиционно предполагают, что вместо точной правой части f (t) дана f (t) = f (t) + (t), а ядро уравнения задано точно, т.е. k ( ) = k ( ). В ряде случаев, важных на практике, и ядро задается приближенно, т.е. k ( ) = k Известно, что в общем случае решение уравнения (1) есть некорректно поставленная задача [1]. Большинство из существующих регуляризирующих алгоритмов строят устойчивые решения при предположении точно заданного оператора задачи (в нашем случае это ядро k ( )). В некоторых работах неточность задания оператора учитывается только при выборе параметра регуляризации (например, обобщенный принцип невязки [2]). В работе [3] приведен регуляризирующий алгоритм, построенный на основе метода наименьших полных квадратов (total least-squares method-TLS method) и учитывающий характеристики шумов ( ), ( ) уже на этапе построения регуляризованного решения.

Однако выбор параметра регуляризации в этом алгоритме остался нерешенной проблемой.

Поэтому в данной работе предлагаются два алгоритма выбора параметра регуляризации, являющихся обобщениями метода перекрестной значимости (cross-validation method) и метода L-кривой на случай неточно заданных функций f (t), k ( ).

1. Регуляризирующие алгоритмы метода наименьших полных квадратов Напомним, что эффективные алгоритмы построения регуляризированного решения уравнения (1) основаны на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ). Примем следующие допущения:

1. функция ( ) непрерывна, ограничена и финитна – вне интервала [a, b ] обращается в нуль. Тогда число отсчетов этой функции определяется как N = ent[(b a )/], где ent [z] – целая часть числа z, – интервал дискретизации функций f (t), k( ), ( );

2. функция k ( ) непрерывна, ограничена и финитна – вне интервала [ak, bk ] обращается в нуль. Тогда число отсчетов Nk = ent[(bk ak )/].

Алгоритм построения регуляризированного решения на основе ДПФ можно представить следующими шагами [3], [4].

Шаг 1. Формирование периодических с периодом N последовательностей где Nk – число отсчетов функции k ( ) при < 0; Nk – число отсчетов ядра при 0, Nf – число отсчетов функции f (t). Очевидно, что Nk = Nk + Nk.

Шаг 2. Вычисление последовательности где i = 1.

Шаг 3. Вычисление коэффициентов ДПФ последовательности { fp (j)} (прямое ДПФ):

Шаг 4. Определение коэффициентов ДПФ регуляризированного решения p (l), l = 0,..., N 1.

Шаг 5. Вычисление периодического регуляризированного решения (обратное ДПФ):

Шаг 7. Формирование N -мерного вектор по правилу:

где N = Nf Nk + 1. Если выполнено условие то проекции вектора j принимается в качестве значений регулирования решения ( ) Замечания.

1. В силу известных свойств ДПФ для вещественной последовательности все вычисления в программной реализации алгоритма выполняются для l = 0,.. ., N/2 (что уменьшает затраты машинного времени и оперативной памяти).

2. При выполнении вычислений (2), (3), (4) используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), что на 2–3 порядка уменьшает число операций по сравнению с прямым вычислением соответствующих сумм, а вся вычислительная процедура построения регуляризированного решения требует порядка N · log 2 N вычислительных операций.

Рассмотрим подробно вычисление коэффициентов ДПФ {p (l)}(шаг 4). Предположим, что шумы ( ), ( ) являются стационарными случайными процессами с нулевыми средними и дисперсиями, соответственно. В работе [3] коэффициенты ДПФ регуляризированного решения определяются из нелинейного уравнения:

где – параметр регуляризации; C (l) – комплексно сопряженное значение k (l), Qp (l) – элементы последовательности, формируемые по правилу:

= 2/(N ) – шаг дискретизации в частотной области, – параметр регуляризации. Функцию Q() можно трактовать как частотную характеристику, стабилизирующую функционал: она должна быть монотонно возрастающей функцией и Q() при. Если задан порядок регуляризации r, то при достаточно больших значениях справедлива асимптотика Q() 2r.

Сомножитель D (l) определяется выражением и его можно интерпретировать как дисперсию некоторой эквивалентной погрешности коэффициента Fp (l).

Выражение (7) требует задания дисперсий,, которые на практике бывают неизвестны. Поэтому, в отличие от работы [3], введем соотношение дисперсий и перепишем уравнение (5) в виде где новый параметр регуляризации равен · и его выбором компенсируется незнание. Заметим, что задать отношение дисперсий существенно проще, чем сами дисперсии 2. Алгоритмы выбора параметра регуляризации В работе [4] были предложены эффективные численные алгоритмы выбора параметра регуляризации на основе метода перекрестной значимости и метода L–кривой для случая точно заданного ядра ( ). Обобщим эти алгоритмы для ядра k ( ) = k ( ) + ( ). Можно показать, что функционал метода перекрестной значимости для случая неточно заданного ядра допускает следующее представление:

В качестве параметра регуляризации принимается значение GCV, доставляющее минимум функционалу (9). Видно, что вычисление одного значения функционала требует порядка N операций.

В методе L–кривой параметр регуляризации вычисляется из условия максимума кривизны параметрической кривой ((), ()). В общем случае вычисление кривизны требует существенного числа вычислительных операций. Поэтому в [4] приведены эффективные алгоритмы вычисления кривизны kL () параметрической кривой ((), ()). Для случая неточно заданного ядра этот алгоритм также использует коэффициенты ДПФ и определяется следующими выражениями:

Кривизна L–кривой вычисляется по формуле:

В качестве параметра регуляризации принимается значение L, доставляющее максимальное значение кривизны kL (). Видно, что для вычисления значения kL () также требуется порядка N операций.

Существенной чертой изложенных алгоритмов является вычисление экстремальных точек зависимостей (9), (10) в частотной области без вычисления самого регуляризированного решения, что определяет численную эффективность этих алгоритмов выбора параметра регуляризации и регуляризирующего алгоритма решения уравнения (1) при неточно заданном ядре в целом.

3. Обсуждение результатов вычислительного эксперимента При применении какого-либо алгоритма выбора возникает вопрос: насколько ухудшается точность регуляризированного решения, построенного при значении параметра A, по сравнению с оптимальным решением (параметр opt )? Для ответа на этот вопрос вычислялся коэффициент эффективности Этот коэффициент является случайной величиной, принимающей значение из интервала [0,1], и значения, близкие к 1, говорят о небольшом проигрыше по точности по сравнению с opt. Для сравнения двух алгоритмов выбора вычислялись числовые характеристики (среднее, минимальное, максимальное значения) величин EGCV, EL. Анализ этих характеристик позволил сделать вывод о предпочтительности выбора из максимума кривизны L–кривой (см. (5)), особенно при коррелированном шуме (t). Так, если коэффициент корреляции больше 0.3, то ошибка регуляризированного решения, построенного при = GCV, может увеличиться в несколько раз (EGCV принимает значения 0.1 0.3).

Список литературы [1] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979.

[2] Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // ЖВМ и МФ. – 1973. - Т.13. N 2.

[3] Mesarovic V.Z., Galatsanov N.P., Katsaggelos A.K. Regularized constrained total leastsquares image reconstraction // IEEE Transaction on Image Processing. – 1995. – V.4, [4] Воскобойников Ю.Е. Численная реализация и сравнение четырех способов выбора параметра регуляризации в устойчивых алгоритмов деконволюции // Научный вестник НГТУ. – 2004. – N 2(17). (Электронная версия находится по адресу www.ngasu.nsk.su/prikl/deconv04.html)

THE CHOICE OF A REGULARIZATION PARAMETER IN TOTAL LEAST

SQUARES REGULARIZATION ALGORITHM

Yu.E. Voskoboinikov, V.A. Litasov Novosibirsk state University of Architecture and Civil Engineering, Novosibirsk e-mail: [email protected] Abstract. In the paper is considered the problem of Fredholm equation deconvolution in a case When a right part and cernel of an integral equation preset with random errors. The new version of total least squares regularization algorithm is resulted. For choice of a regularization parameter two numerical algorithms are oered, based on cross-validation method and on method of a L-curve.

Comparison of these algorithms on accuracy of the regularized solutions is executed.

Key words: deconvolution of integral equation, total least squares method, choice of a regularization parameter

ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СИНТЕЗ АЛГОРИТМА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА ПРИ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ

СЛАУ Ю.Е. Воскобойников, Л.А. Литвинов Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск e-mail: [email protected] Аннотация. Для нахождения устойчивого решения СЛАУ большой размерности часто используются итерационные алгоритмы, в которых роль параметра регуляризации выполняет номер итерации. Возникает задача определения номера "оптимальной" итерации, на которой приближенное решение имеет наименьшую ошибку. Для решения этой задачи в работе вводятся точностные характеристики, определяющие величины случайной и систематической ошибок решения. На основе этих характеристик формулируется вариационная задача синтеза алгоритма наискорейшего спуска, оптимального на определенных классах решений и погрешностей правой части.

Ключевые слова: метод наискорейшего спуска, точностные характеристики, устойчивое решение плохо обусловленных СЛАУ, определение номера оптимальной итерации.

Введение Многие задачи обработки и интерпретации экспериментальных данных после дискретизации оператора задачи сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида где K – матрица размером N M ; N M,, f – векторы соответствующей размерности.

При большой размерности системы для нахождения устойчивого решения используются итерационные алгоритмы [1]–[3]. При этом роль параметра регуляризации выполняет номер итерации, на которой прекращается построение решения, т.е. момент останова итерационного алгоритма. В работе [4] на основе метода перекрестной значимости (crossvalidation method) предложен подход к оцениванию номера "оптимальной" итерации, на которой решение имеет минимальную ошибку.

В данной работе предлагается другой подход к определению оптимальной итерации.

По аналогии с работой [5] вводятся точностные характеристики алгоритма наискорейшего спуска и на их основе формулируется задача синтеза этого алгоритма, оптимального на определенных классах решений и погрешностей правых частей.

1. Алгоритм наискорейшего спуска Относительно системы (1) сделаем следующие предположения: а) вместо точной правой части f задан вектор f = f +, где – случайный вектор с нулевым средним и ковариационной матрицей V = 2 I, где I – единичная матрица; б) система (1) несовместна (из-за погрешности задания правой части), а матрица K плохо обусловлена или, возможно, неполного ранга (следствие некорректности исходной задачи). Тогда в качестве решения системы (1) принимают нормальное псевдорешение +, т.е. вектор, имеющий минимальную норму среди всех векторов, доставляющих минимум функционалу [] = 1 f K (функционалу метода наименьших квадратов). Для вычисления нормального псевдорешения (при больших размерностях векторов, f ) часто в качестве итерационного алгоритма минимизации используют метод наискорейшего спуска. Алгоритм, реализующий этот метод, определяется следующими соотношениями: