- Позвольте, она - русская!

- Ковалевская за две недели выучила шведский язык, знает и другие языки!

- Но она - нигилистка!

- Ковалевская - литератор, поэт, публицист!

Софья. Одно заседание, продолжавшееся весь вечер, было посвящено очернению меня.

Они отрицали у меня всякие научные заслуги, намекали на самые чудовищные и вместе с тем смешные причины моего приезда в Стокгольм.

Леффлер. Одна из двух партий профессоров, по моей договорённости, все же проголосовала за Софью Васильевну. Я постарался как можно быстрее ввести её в круг шведского общества, и она очаровала всех простотой общения, изяществом и остроумием… И вот первая лекция. Ковалевская начала ее такими словами.

Софья. Господа, среди всех наук, открывших человечеству путь к познанию законов природы, самая могущественная, самая важная наука – математика.

1 вед. Два часа пролетели незаметно, настолько увлекательно и ясно излагала она самые трудные и сухие понятия. Но никто не мог представить, каких нечеловеческих усилий стало ей это внешнее спокойствие. После, принимая поздравления, она сказала.

Софья: Эта лекция была не только моя первая лекция, но и самый великий день моей жизни! Я бесконечно признательна Швеции за то, что здесь мне дали возможность прочитать ее, несмотря на то, что я женщина… 2 вед. А придя домой, она записала в дневнике.

Софья. 30 января 1884г. Прочитала свою первую лекцию, не знаю, хорошо ли, дурно ли, но знаю, что было очень трудно возвращаться домой и чувствовать себя такой одинокой на белом свете, в такие минуты это особенно сильно чувствуется.

1 вед. Успех Ковалевской был так велик, что несколько богатых людей решили вносить ежегодно деньги для ее жалования.

2 вед. 1 июля 1884г. Ковалевская была утверждена в звании профессора с твердым окладом. За 8 лет она прочитала в Стокгольмском университете 12 курсов по различным разделам математики.

1 вед. Теперь Софья Васильевна пользовалась мировой славой. Но царское правительство, смертельно боявшееся «вольнодумства», не дало ей возможности жить и работать на родине.

2 вед. Швеция стала второй родиной великого математика. Талант Ковалевской сверкал даже на фоне других талантов, которыми был так богат XIX век.

1 вед. Возвращаясь в январе 1891 года в Стокгольм из Франции, где она проводила зимние каникулы, Софья Васильевна простудилась и 29 января умерла от воспаления лёгких. И то, что она не успела сделать и рассказать, навсегда останется для нас великой тайной.

(Звучит отрывок из пьесы Н. Николаева «Осенью»

Все встают по диагонали в направлении Софьи и поочерёдно читают четверостишия из стихотворенья Фрица Леффлера).

Душа из пламени и дум!

Пристал ли твой корабль воздушный К стране, куда парил твой ум, Призыву истины послушный?

В тот звездный мир так часто ты На крыльях мысли улетала, Когда, уйдя в свои мечты, О мирозданье размышляла;

Когда, в вечерней тишине, В глубь неба взор твой погружала И в темно-синей вышине Кольцом Сатурна любовался.

В тех сферах – числа, функций ряда, Иному следуя порядку, Тебе, быть может, разрешат Бессмертья вечную загадку… Ты преломленье световых Лучей на призме наблюдала:

Какими там ты видишь их, У родника их и начала?

Со светлой звездной высоты, С участьем в просветленном взоре, Ты смотришь в бездну темноты На землю, на земное горе.

И здесь, порою, он видал, Как в этом мрак, над всем царящий, Лился, играя, сквозь кристалл Свет, от любви происходящий.

Душа из пламени и дум!

В часы надежд и просветленья Одну любовь считал твой ум Надежным якорем спасенья.

Прощай! Тебя мы свято чтим, Твой прах в могиле оставляя:

Пусть шведская земля над ним Лежит легко, не подавляя… Прощай! Со славою твоей Ты, навсегда расставшись с нами, Жить будешь в памяти людей С другими славными умами, Покуда чудный звездный свет С небес на землю будет литься И в сонме блещущих планет Кольцо Сатурна не затмится… Теперь скажу несколько слов о преподавании математики в гимназии. Сразу оговорюсь – особого отбора учащихся в гимназию нет.

За 17 лет существования гимназию закончили более 700 учащихся. Но за все годы математические и физические факультеты выбрали не более выпускников.

Такое распределение наметилось с первых лет существования гимназии и необходимости в классах с углубленным изучением математики не возникло.

Выбирая стратегию преподавания, мы руководствовались тем, что математика это не только наука и универсальный язык, но Мы считаем, что математическая культура зависит не от количества изученных вопросов, а от качества их осознания и понимания взаимосвязей между ними. Мы должны дать своим ученикам, прежде всего, ШКОЛУ, как в балете, которая позволит справиться с обрушивающейся на них лавиной информации, в том числе и научной. Бороться же с этой лавиной, не имея ШКОЛЫ, - дело бесперспективное, как и гнаться за ней.

«Естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер развития по спирали». (А.Н. Колмогоров) Нам удалось увидеть эту спираль и частично её реализовать.

1-ый виток этой спирали приходится на 1-9 классы, где мы работаем по обычным программам общеобразовательных школ. Там по индукции идёт накопление фактов, появляются важнейшие математические объекты, устанавливаются первые связи между ними и делаются первые обобщения.

В начальной школе мы остановились па программе Н.Б. Истоминой.

Методическая концепция курса – целенаправленная и систематическая работа по формированию у младших школьников приёмов умственной деятельности. Расширить диапазон программы позволяют различные факультативы, занимательные игры, конкурсы и олимпиады. Развитию школьников способствует и 5-летний психологический курс «Учусь творчески мыслить».

В 5-6 классах математика изучается по учебникам Н.Я. Виленкина, а в 7х - по учебникам Ю.Н. Макарычева и Л.С. Атанасяна. Обязательным элементом уроков стали различные углубления. Учитывая то, что в гимназии обучаются разноуровневые дети, используем дифференцированное обучение, немало времени отводим на развитие математической речи учащихся.

Разработан единый курс факультативов с 5 по 9 класс, на которых идёт расширение программ, рассматриваются логические и игровые задачи, практикуется составление задач на различные темы. Достаточно много времени на факультативных занятиях и уроках в 5-6-х классах отдаём пропедевтическому курсу наглядной геометрии. Проводимые математические конференции не редко посвящаются единой теме. Учащиеся принимают участие в различных конкурсах и олимпиадах. В самой гимназии проводится разновозрастная математическая олимпиада в рамках предметной декады. Постоянно ведётся работа по привлечению школьников к обучению в различных заочных математических школах.

Почётным работником образования, победителем городского конкурса «Учитель года-2006» Беляевой Еленой Ивановной, выполнена разработка цифровых образовательных ресурсов к электронному учебнику математики для 5-6 классов совместно с издательством «Вентана Граф» и мы начинаем её внедрение в учебный процесс.

Сегодня Елена Ивановна познакомит участников фестиваля с этой работой.

Тема мастер-класса - «Технология деятельностного подхода в преподавании математики» (5 класс).

Математика в старших классах – венец школьной математики, и для большинства учеников - завершающий этап её изучения. Значит, к концу обучения у выпускников должно сложиться целостное представление об одной из важнейших наук.

В старших гуманитарных классах на изучение математики отводится 5 часов в неделю. Обучение проводится по тем же программам, что и во всех школах. Используются учебники А.Н.Колмогорова и Л.С Атанасяна.

В естественно-технических классах на изучение математики отводится 6 часов. Обучение проводится по скорректированным программам и по особому тематическому планированию, разработанному мной и реализуемому уже более 10 лет. Под эту технологию создаётся учебник по алгебре и началам анализа (в виде отдельных брошюр-глав), который используют учащиеся вместе с учебниками Башмакова и Колмогорова. В дополнение к учебнику геометрии Л.С Атанасяна готовятся 2 главы:

Элементы аналитической геометрии на плоскости и Векторная алгебра.

В этой технологии спираль Колмогорова реализована полностью.

На 2-ом витке (I-III четверти 10 класса) - систематизируются и углубляются знания по алгебре полученные в основной школе и добавляются новые.

Обобщая, мы рассматриваем - элементы мат. логики и теории множеств;

- действительные числа;

- системы и совокупности простейших неравенств с модулями и параметрами;

- уравнения и неравенства 1-ой и 2-ой степени с модулями и параметрами;

- общие методы решения уравнений и неравенств;

- функцию, её свойства и график.

В 3-ей четверти на уроках алгебры рассматриваем предел и непрерывность функции, производную и их приложениях. Функция становится центром всего изучаемого курса.

На уроках геометрии в 1-ой четверти проходим метод координат на плоскости.

На следующих витках осуществляется переход от общих представлений о функции к частным, конкретным элементарным функциям.

Увеличивается число методов решений уравнений, рассматриваются различные подходы к решению аналогичных задач. При этом мы многократно используем всё изученное на втором витке. Систематическое повторение – основная идея моей технологии.

7-ой виток – обобщение всего пройденного за курс средней школы, в рамках которого рассматривается дифференциал функции, неопределённый и определённый интегралы (без которых школьный курс математики мог бы прекрасно обойтись).

Кроме того, в ходе изучения и алгебры и геометрии, мы постоянно возвращаемся к ранее пройденному на новом уровне знаний, совершаем экскурсы в те области математики, которые едва затрагиваются в школе или вообще не изучаются. Подчеркну, что пропедевтика элементов высшей математики является одной из важнейших задач, которые я ставлю перед собой. Это позволяет, с одной стороны, сделать школьный курс математики «закруглённым», а с другой - стартовой площадкой для тех, кто будет изучать математику дальше.

Многолетний опыт работы показывает, что ученики, обучавшиеся по этой технологии, показывают неплохие результаты на различных олимпиадах, хорошо справляются с экзаменами по математике, в том числе и с ЕГЭ, поступают в престижные вузы страны и успешно там учатся.

Мы уверены, что мы на правильном пути. Ведь как говорят японцы:

образование это то, что остаётся, когда всё забыто. Математическая культура – это то, что остаётся навсегда.

По этой технологии 2-ой год стала работать Валентина Петровна Баженова, учитель высшей категории, лауреат премии губернатора Псковской области «За высокие достижения выпускников на ЕГЭ».

Сегодня в ауд. 22 (2-ой этаж) она покажет урок по теме «Множество значений функции в задачах на ЕГЭ» (11 класс).

Мой урок в 10-ом классе сегодня пройдёт в ауд. 41 (4-й этаж). Его тема «Рождение математического понятия (производная функции)».

Технология деятельностного подхода в преподавании математики.

МОУ «Гимназия» имени С.В.Ковалевской г. Великие Луки Псковской обл.

интереса и взятое только силой принуждения, убивает в ученике охоту к знаниям.

Приохотить ученика к учению гораздо более достойная задача, чем приневолить.

В основу современного обучения положена психологическая концепция, сущность которой заключается в развитии личности посредством различных видов учебной деятельности. В конце ХХ века изменились главные ценности образования: от формирования знаний и умений переходят на развитие способностей, что невозможно без реализации деятельностного подхода в обучении. Под деятельностным подходом понимают такой способ организации учебно-познавательной деятельности обучаемых, при котором они являются не пассивными "приемниками" информации, а сами активно участвуют в учебном процессе.

Внутри учебной деятельности включаются следующие приёмы: наблюдение, анализ, синтез, выделение свойств (признаков) предметов, выделение главного, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, моделирование, классификация, перенос.

Задачам школьной реформы соответствует лишь та теория, которая учитывает развивающую роль обучения и воспитания в становлении личности ребёнка и ориентирована на поиск тех педагогических средств, с помощью которых можно оказать существенное влияние на развитие их специальных способностей. Образование становится различным по содержанию, а в условиях компьютеризации учебного процесса появляется реальная возможность дифференциации содержания образования в соответствии с индивидуальными наклонностями ученика. Развитие творческого потенциала учащихся начинается с проявления интереса и самостоятельности в учебной деятельности, затем идёт овладение отдельными действиями творческой деятельности и, наконец, осуществляется формирование целостной творческой деятельности.

Существенное влияние на цели обучения оказывает содержание, его структура.

Известны разработанные теории учебной деятельности: Л.С. Выготского, Г.В. Габай, В.В.

Давыдова, Е.Н. Кабановой-Миллер, А.Н. Леонтьева, В.И. Щукиной, Д.Б. Эльконина и Г.В.

Дорофеева. Главным содержанием обучения является овладение учебными действиями по решению широкого класса задач.

В начале 90-х годов ХХ века известный профессор А.А. Вербицкий сформулировал основы контекстного подхода в обучении. Этот поход предполагает максимально широкое введение в учебный процесс видов, форм и методов деятельности, позволяющих перейти от преимущественно информационных форм к активным методам и формам обучения с включением элементов проблемности, научного поиска, широкого использования резервов самостоятельной работы обучающихся. Другими словами, как отмечает А.А. Вербицкий, переход от "школы воспроизведения" к "школе понимания", "школе мышления», где акцент переносится "с обучающей деятельности преподавателя на познающую деятельность ученика".

Суть деятельностного подхода в обучении состоит в направленности "всех педагогических мер на организацию интенсивной, постоянно усложняющейся деятельности, ибо только через собственную деятельность человек усваивает науку и культуру, способы познания и преобразования мира, формирует и совершенствует личностные качества". Личностный подход к обучению "… предполагает в качестве ведущего ориентира, основного содержания и главного критерия успешного обучения не только знания, умения, навыка, функциональную подготовленность к выполнению определенных видов деятельности, но и формирование личностных качеств направленности, общественной активности, творческих способностей и умений, воли, эмоциональной сферы, черт характера" [3].

Педагогической основой обучения математике, следуя деятельностному подходу, является мотивация учения, которая осуществляется планомерно с использованием всех возможностей математического содержания и обусловленных им приемов и средств обучения.

Мотив как "опредмеченная потребность" порождает деятельность, с одной стороны, и задает цель, определяющую действия, синтез которых составляет данную деятельность с другой. В зависимости от конкретных условий одно и то же действие осуществляется разными операциями. Результатом познавательной деятельности является как новый факт предметного содержания, так и новообразования личности (субъекта деятельности), характеризующие развитие ее интеллекта [5].

Осуществляя деятельностный подход, мы организуем учебную работу на уровнях так, чтобы учащиеся являлись субъектами собственной деятельности: осознавали и сами могли вычленить проблему, сами могли поставить цель изучения того или иного вопроса, сами формулировали задачи, решали их, применяли полученные знания на практике.

Вашему вниманию я представляю систему работы по организации познавательно – исследовательской деятельности в классе, сложившуюся за последние 5 лет.

5 класс. 2003 год. Создаётся папка для творческих работ каждого ученика.

2004 год. Проведено заседание «Учёного совета» с участием экспертных групп, на котором были рассмотрены представленные доклады с приложением в виде задач. Эксперты из числа учащихся на практике проверяли результаты проведённых исследований и решали задачи.

6 класс. 2005 год. Урок «Осьмушка хлеба», посвящённый Блокаде Ленинграда и 60летию Великой Победы.

2006 год. Семинар «Геометрические фигуры». Проведены исследования и классификация геометрических фигур и тел, рассмотрены их свойства, конструирование фигур, разрезание, склеивание фигур, изготовление развёрток и моделей геометрических тел и решение прикладных задач.

7 класс. 2006 год. Конференция «Симметрия – созвучие природных форм». Изучены все виды движений: симметрии, поворот и параллельный перенос, рассмотрены решения задач на преобразование плоскости и сферы, проявления симметрии в окружающем нас мире и неограниченные возможности применения симметрии.

8 класс. 2007 год. Конференция «Симметрия в архитектуре и зодчестве родного края». Цель: изучить архитектурные памятники родного города, г. Пскова и г. СанктПетербурга, выявить характерные особенности архитектурных строений, изучить строение куполов, зданий русской старины и способствовать их восстановлению и сохранению.

9 класс. 2007 год. Научно-практическая конференция (НПК) «Проблема 5 постулата и возникновение неевклидовой геометрии». Изучен богатый исторический материал, связанный с проблемой параллельных прямых и возникновением геометрий на искривлённых плоскостях. Рассмотрены вопросы непротиворечивости геометрии Лобачевского, роль и вклад в развитие наук трудов Лобачевского и его последователей.

Высокую оценку получило признание того, как труден и тернист труд учёногоисследователя. Подготовлены презентации и задачи на построение, рассмотрены вопросы неевклидовых геометрий на моделях Пуанкаре, Римана и др.

2008 год. НПК «Золотое сечение - высшее совершенство». Изучены алгебраические и геометрические свойства золотого сечения, золотой спирали, золотого прямоугольника, рассмотрены связи между геометрией и искусством, выявлены принципы построения золотого сечения в архитектуре, музыке, живописи, и т. д.

Проведены исследования и подобраны задачи. Подготовлена презентация.

Литература:

1. Вербицкий, А.А. Активное обучение в школе. Контекстный подход / А.А. Вербицкий -М:

1991.

2. Григорович, Л.А. Педагогика и психология /Л.А. Григорович, Т.Д. Марцинский. - М:

Гардарики, 2001.

3. Загвязинский, В.И. Теория обучения. Современная интерпретация /В.И. Загвязинский. М: Академия, 2001.

4. Леонтьев, А.Н. Избранные психологические произведения /А.Н. Леонтьев. - М:

Педагогика, 1983.

5. Реализация деятельностного подхода при обучении математике в средней школе.

Сборник научно- методических статей под редакцией Г.Н.Васильевой, Пермь, 2003.

6. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. Сборник статей. Современные проблемы методики преподавания математики / Г.И. Саранцев. - М.: Издательство Просвещение, 1985.

аппетитом».

Цели и задачи:

Создать условия для формирования действий с десятичными дробями.

Найти способ сравнения десятичных дробей.

Закрепить навыки сравнения десятичных дробей.

Уметь применять знания, умения и навыки сравнения десятичных дробей на практике в нестандартных ситуациях.

Развивать логическое мышление, память и математическую речь.

Развивать навыки самостоятельной работы с использованием ИКТ.

План урока:

Происхождение дробей.

Позиционная система записи десятичных дробей.

Сравнение дробей.

Решение задач.

Итог урока.

Оборудование: проектор, ПК, раздаточный материал (карточки с числами к заданию №1, памятка (правила), задания, текст к самостоятельной работе, презентация, ЦОРы (цифровые образовательные ресурсы).

Сегодня на уроке мы поведём речь о десятичных дробях и их сравнении.

Какие числа мы умеем сравнивать? - Натуральные, смешанные, обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями (правила).

Сравните: 1647 и 386; 34267 и 34276; 1/3 и 2/3; 5 6/11 и 5 7/11.

Как сравнить 3 76/1000 и 3 76/100?

Проблемный вопрос: Можно ли найти простой и удобный способ сравнения смешанных чисел, которые можно представить в виде десятичных дробей?

1. Происхождение дробей Жизнь ставила перед учеными задачу упростить вычисления, увеличить их точность и скорость. Этим требованиям удовлетворяли десятичные дроби, но где и когда они возникли?

В глубокой древности людям приходилось считать. Измерение расстояний, деление предмета на равные части привело к использованию дробных чисел. Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3, 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4, то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей +. Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого Ал-Каши в XV веке.

Среднеазиатский город Самарканд в XV веке был богатым культурным центром. В 20х годах этого столетия крупный ученый Джемшид Гияседин Ал-Каши пишет книгу "Ключ арифметики", где вводит в употребление десятичные дроби. Но его труды не были известны европейским ученым. А потребность в упрощении вычислений с десятичными дробями возрастала все больше и больше. Это было связано с развитием техники, производства, мореплавания, торговли. Нужно было быстро и точно вычислять:

складывать, умножать, вычитать и делить десятичные дроби, а способ их записи в виде обыкновенных дробей не давал возможности это делать.

Прошло полтора века после открытий ал-Коши, и вот в конце XVI века талантливый фламандский инженер и ученый Симон Стевин в своей книге «Десятая» описал арифметические действия с десятичными дробями. Он не знал об открытии Ал-Каши и открыл десятичные дроби заново. Этими дробями было просто пользоваться, потому что их запись и действия над ними были очень похожи на запись и действия с натуральными числами.

Он же ввел для них символику, которая приближалась к современному виду.

Популяризация десятичных дробей является огромной заслугой Стевина перед наукой.

Обычно он признается и их изобретателем.

2. Позиционная система записи десятичных дробей Вы уже знаете, что в метре 10 дециметров. Дециметр называют десятой долей метра.

1м = 100см. Сантиметр - это сотая доля метра.

Число, которое в 10 раз меньше 1, будем называть десятой.

Число в 100 раз меньшее 1, будем называть сотой.

Число, которое в 1000 раз меньше 1, будем называть тысячной.

Число, в 10 000 раз меньшее 1, будем называть десятитысячной и т.д.

Примем 1м за единицу. 1м = 10 дм. Тогда 1 дм = 1/10 м – десятая метра.

Итак, способ записи десятичных дробей является обобщением известного способа записи натуральных чисел, в котором значение цифры зависит от того, в каком разряде она находится. Единицы соседних разрядов отличаются друг от друга в 10 раз, причём тот, что правее меньше в 10 раз.

В первом разряде после запятой указывают число десятых долей единицы, его так и называют – разряд десятых.

Во втором указывают число сотых долей единицы и называют разрядом сотых и т.д.

Цифра 0 показывает отсутствие единиц соответствующего разряда.

При чтении десятичной дроби сначала читают её часть, стоящую до запятой, и добавляют слово "целых", а затем - часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего разряда.

Например:

0,018 - "нуль целых восемнадцать тысячных" 40,0056 - "сорок целых пятьдесят шесть десятитысячных" 123,00203 - "сто двадцать три целых двести три стотысячных.

В десятичной дроби после запятой должно быть столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби.

Задание №1. Составьте 4 равенства из десятичных дробей и смешанных чисел:

№2. Запишите в виде десятичной дроби: а) 3 целых 8 десятых;

б) 0 целых 1 десятая; в) 14 целых 8 сотых; г) 0 целых 15 тысячных.

Ответ: а) 3,8; б) 0,1; в) 14,08; г) 0,015.

№3. Сравните 2,304 и 2,3405.

Уравняем число знаков после запятой, сравним единицы старших разрядов:

Десятые равны, в разряде сотых: 0 < 4.

Значит, 2,304 < 2,3405.

Уравняем число знаков после запятой:

3040 < 3405, значит, 2, 304 < 2,3405.

Памятка: Сравнение десятичных дробей.

1. Чтобы сравнить десятичные дроби с разной целой частью достаточно сравнить целые части. 45,6 < 67, 29485.

2. Чтобы сравнить десятичные дроби с одинаковой целой частью (например, 5,21 и 5,235) нужно:

а) уравнять количество цифр после запятой, приписав нули: 5,210 и 5, в) сравнить дроби поразрядно слева направо, начиная с разряда десятых:

5,210 и 5,235 и подчеркнуть первую встретившуюся пару разных цифр с) сравнить подчеркнутые цифры и поставить знак сравнения:

Реши примеры на сравнение:

5). 9,1001 и 9, 0011.

№4. Сравните два числа: 135,8 и 135,800; 49,3 и 49,296;

№5. Соедините числа стрелками последовательно в порядке возрастания.

Запишите цепочку соответствующих неравенств.

Решение: По возрастанию: 0,238; 0,47; 0,8.

№6. Между какими двумя соседними натуральными числами находится число:

_ ; 7,41 ; _, ; 1000,03; ?

Вернёмся к заданию: Как сравнить 3 76/1000 и 3 76/100?

Запишите числа в виде десятичных дробей и выполните сравнение:

1. Сравните: 1м и 12 дм; 3 т 2 ц 3200 кг, 2 дм и 0,02 м.

Решение: 1 способ. 1м = 10 дм, 10 дм < 12дм, значит, 1м < 12 дм.

2 способ. Выразим 12 дм в метрах: 12дм = 10дм + 2дм = 1м + 0,2м = 1, 2. Упражнение №3.

3. Определите пропущенную цифру:

Решение:

а) целые части равны, в разряде десятых искомая цифра больше двух, т.е.

принимает значения 3,4,5,6,7,8,9.

б) целая часть меньшей дроби меньше целой части второй дроби. Значит, вместо звёздочки можно поставить любую цифру, от неё ничего не зависит.

4. Задача. Валя выше Тани, но ниже Наташи, а Таня выше Оли. Найти рост каждой девочки, выбрав данные из списка: 1,56 м, 1,6 м, 1,52 м,1,61 м.

Решение: Выразим рост девочек с помощью отрезков, чтобы определить их рост Выпишем десятичные дроби в порядке возрастания: 1,52 м, 1,56 м, 1,6 м,1,61 м.

Начиная с меньшего отрезка сопоставим рост девочек, получим:

№1. Сравните числа: 1) 138,54 и 137,698;

№3. 1) 31,90000 и 31,9074; 2) 27,35 и 19,4874.

№4. Запишите число, равное 103,0573000, используя как можно меньше нулей.

№5. Сравните, если под звёздочкой скрывается цифра:

Решение:

№3. 1) 31,90000 < 31,9074; 2) 27,35 > 19,4874.

№4. 103,0573000 = 103, №5. 1) 71,3 > 68,49* ; 2) 5,6 = 5,6*,если * = 0 и 5,6 < 5,6*,если *=1,2,3,4…9.

Домашнее задание:

Итог урока:

1. Что нового мы узнали на уроке?

- Научились сравнивать десятичные дроби.

- Узнали много нового о происхождении дробей.

- Научились решать задачи и упражнения.

- Мы слушали, анализировали, думали, рассуждали, выводили новые правила и решали задачи.

2. Продолжите:

- я понял - я думаю - у меня получилось_ - у меня не получилось_ - мне понравилось_ Для эффективности работы на уроке мы использовали ЦОРы (цифровые образовательные ресурсы), созданные силами совместной деятельности Управления образования, фирмой «Март» г.Великие Луки, «1С» и НФПК г.Москва. Я тоже принимала участие в их разработке.

ЦОРы присутствуют на сайте scholl – collection.edu.ru к учебнику М.Б.

Воловича «Математика 5-6».

Из психологии известно, что зрительные анализаторы обладают более высокой пропускной способностью, чем слуховые; информация усваивается более осмысленно и лучше запоминается. Взаимодействие при изучении нового материала должно осуществляться по всем каналам восприятия Такими возможностями и обладают ЦОРы.

Выделим достоинства работы на уроке с ЦОРами:

1. Наглядность и визуализация изображения.

2. Многовариантность и многоуровневость задач.

3. Возможность непосредственного обращения при необходимости к теории и справочному материалу.

4. Использование ЦОРов – тренажёров, интерактивное выполнение лабораторных работ, возможность смоделировать практически любой процесс или явление.

5. Объективная диагностика и оценивание способностей и качества знаний.

6. Создание условий для осуществления индивидуальной самостоятельной деятельности учащихся, формирование навыков самообучения и самореализации.

7. Повышается мотивация более глубокого изучения нового материала, систематизируется база знаний, умений и навыков.

При подготовке были использованы:

http://www.fos.ru/matemat/9258.html http://home-edu.ru/user/f/00000566/klass5/sravn_des.html План урока.

1.Вступление.

Часть 1.

2. Повторение уравнений, графиков, множеств значений элементарных функций (линейных, квадратичных, дробно-линейных, тригонометрических, показательных, логарифмических).

3. Решение задач части А ЕГЭ (прямых и обратных).

4. Алгоритм нахождения множества значений функции с помощью производной (задача С1, 2008 год).

Часть 2.

5. Задача на нахождение множества значений сложной функции (четыре функции).

6. Составление уравнений и неравенств, решаемых методом оценки, на основе сложных функций из предыдущей задачи.

7. Уравнение части В ЕГЭ на метод оценки значений функций, входящих в уравнение.

Часть 3.

8. Свойства монотонности сложной функции (доказательство одного из них).

9. Задача на применение одного из свойств монотонности.

10. Задача с параметром.

n.1. Вступление.

Сегодня на уроке мы обратимся к основному понятию алгебры и начал анализа – понятию функции. Более детально рассмотрим одно из её свойств – множество её значений.

Решая задачи единого государственного экзамена, мы замечаем, что подчас именно нахождение множества значений функции ставит нас в затруднительные ситуации. Но почему? Казалось бы, что, изучая функцию с 7-ого класса, мы сегодня знаем о ней достаточно много. Поэтому у нас есть все основания сделать упреждающий ход.

Давайте сегодня сами «поиграем» с множеством значений функции, чтобы снять многие вопросы этой темы на предстоящем экзамене.

n.2. Устная работа.

Для начала необходимо повторить графики, уравнения и множества значений основных элементарных функций на всей области определения.

На экран проецируются графики функции и для каждой из них устно определяется множество значений (см. приложение). (Обратить внимание на то, что у линейной функции E ( f ) = R или одно число; у дробно-линейной Это наша азбука. Присоединив к ней наши знания о преобразованиях графиков:

параллельные переносы, растяжения, сжатия, отображения, мы сможем решить задачи части А ЕГЭ и чуть сложнее. Проверим это.

n.3. Письменная работа (условия задач и системы координат напечатаны для Задача №1. Найдите множество значений функции на всей области Задача №2. Найдите множество значений функции y=x2 на промежутке J, (Обратить внимание на то, что в случае монотонности и непрерывности функции y = f(x) на заданном промежутке < a; b >, множество её значений – промежуток, концами которого будут значения f(a) и f(b)).

Задача №3. Задайте функцию аналитически (уравнением), если 1) Варианты ответов:

2) Варианты ответов:

n.4. В 10-м классе мы проходили алгоритм исследования функции непрерывной на отрезке на абсолютный экстремум и на её множество значений, не опираясь на график функции.

Вспомните, как мы это делали? (С помощью производной). Давайте повторим алгоритм этого исследования.

Алгоритм.

1) Убедиться, что функция y = f(x) определена и непрерывна 2) найти значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b).

Замечание: Если мы знаем, что функция непрерывна и монотонна на J, f(а)].

3) найти производную, а затем критические точки xk J.

4) найти значения функции в критических точках f(xk).

5) сравнить значения функции f(a),f(b) и f(xk), выбрать наибольшее и наименьшее значения функции и тогда E(f)= [f наим ; f наиб ].

Задачи на применение данного алгоритма встречаются на ЕГЭ. Так, например, в 2008 году встретилась такая задача. Предлагаю вам решить её дома.

Задача №4. (Задача С1). Найдите наибольшее значение функции (условия домашних задач распечатаны для каждого ученика).

n.5. Основную часть нашего урока составят нестандартные задачи, содержащие сложные функции, производные от которых приводят к трудным уравнениям. Да и графики этих функций нам неизвестны. Поэтому для решения мы будем использовать определение сложной функции, то есть зависимость между переменными в порядке их вложенности в данную функцию и оценку их области значений (промежутка изменения их значений).

Обратимся к примеру.

Задача №5. Для функций y = f(x) и y = g(x) записать сложную функцию квадратичная функция при [1 принимает наименьшее и наибольшее значения на его концах:

y наим = y ( ) = 0 и y наиб =(1) = 4. А так как эта функция непрерывна на отрезке аргумент t принимает любые значения, а сама квадратичная функция принимает все значения не больше 4.

Таким образом, имеем Решение задачи 5. 3).

Сложная функция имеет следующий вид:

Вводя промежуточный аргумент, получаем:

нетрудно видеть, что y 0; 3 ].

Решение задачи 5.4). Композиция 2-х данных функций даёт нам сложную функцию которая может быть расписана, как Заметим, что Значит, при значениях t сложной функции:

1) раскладываем сложную функцию на составляющие её простейшие элементарные функции (элементы композиции);

2) оцениваем множества значений этих функций в порядке их вложенности в сложную функцию.

Дома вы попробуете решить эту же задачу, но для функции y=g(f(x)) (поменяете порядок вложенности функций).

n.6. Данная задача имеет и красивое логическое продолжение. Любое уравнение (неравенство) это - две функции соединённые знаком равенства (неравенства). Зная области значений этих функций, мы можем их сравнить. И если мы увидим, что эти области, границы которых параллельны оси ОХ, не имеют общих точек, то их графики не пересекаются. А это значит, что исходное уравнение не имеет решений. Возможны и другие интересные случаи.

Метод решения уравнений (неравенств), при котором сравниваются множества значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (неравенства), называют методом оценки.

Задача №6. Учитывая найденные множества значений функций из задачи №5, составьте из них такие уравнения и неравенства, которые решаются методом оценки и объясните их решение.

Варианты ответов:

(можно выбрать и нестрогие знаки неравенств).

Решение 4). Сравнивая множества значений функций из левой и правой частей уравнения, замечаем, что они имеют только один общий элемент - число 4. Т.е. решениями этого уравнения могут быть только те значения х, при которых обе функции будут давать значение 4. Как Вы думаете: сколько решений может иметь уравнение в этом случае?

(Возможны любые варианты: одно, два, … и сколько угодно.) Потребуем выполнения этого необходимого условия от каждой функции и получим систему двух уравнений:

n.7. На ЕГЭ в частях В и С встречаются задачи, которые решаются методом оценки.

Задача№7. Решите уравнение:

Рассмотрите его решение дома.

n.8. В ходе урока мы заметили, что если данная функция монотонна и непрерывна, то поиск области её значений упрощается. Остановимся на свойстве монотонности сложной функции подробнее. От каких данных может зависеть её монотонность? (от монотонности входящих в неё функций).

Задача №8.

Докажем следующее свойство:

Если функция t = g ( x ) - непрерывна и убывает на некотором промежутке J, а функция y = f (t ) также непрерывна и убывает на промежутке J 1, причём из того, что x следует, что t 1, то сложная функция y = f ( g ( x )) есть функция возрастающая на J.

Так как функции t = g ( x ) и y = f (t ) - убывающие, то каждое своё значение они принимают ровно один раз, и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. А тогда для любых x1 и x 2 из J и для t1 = g ( x1 ) и t 2 = g ( x 2 ) из J имеем:

Видим, что для любых x1 и x 2 из J Т.е. функция y = f ( g ( x )) - возрастающая на J. Что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать, что - композиция двух возрастающих функций – функция возрастающая, - композиция двух функций различных монотонностей – убывающая функция.

n.9. Посмотрим на примере, как приведённые выше свойства упрощают решение задач.

Задача №9. Найти множество значений функции у = log5 (arcctg x) на J, Решение:

В начале, используя указанные нами свойства, исследуем данную функцию на монотонность.

Функция t = arcctg x – непрерывная и убывающая на R и множество её значений - (0;

). Функция y = log5 t определена на промежутке (0; ), непрерывна и возрастает на нём.

Значит, данная сложная функция убывает на множестве R. И ещё она, как композиция двух непрерывных функций, будет непрерывна на R.

Теперь решаем 1) задачу. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то она непрерывна и на любой её части, в частности, на данном отрезке. А тогда она на этом отрезке имеет наименьшее и наибольшее значения и принимает все значения между ними.

f(-1) = log5 arcctg (-1) = log5 3п/4, f(4) = log5 arcctg 4.

Какое из полученных значений больше? Почему?... И каким же будет множество значений?

Решаем задачу 2.

n.10. Теперь попробуем составить и решить несложное уравнение с параметром вида Задача №10. Определите количество корней уравнения log5 (arcctg x)=а Решение:

Как мы уже доказали в задаче 9, у = log 5 (arcctg x) - убывающая и непрерывная функция на R и принимает значения меньше log5 п.

Этих сведений достаточно, чтобы дать ответ.

Ответ: если а < log5 п, то уравнение имеет единственный корень;

Уравнение задачи №10 можно усложнить, задав в правой части функцию от параметра а (линейную, квадратичную или дробно-линейную). Но это тема отдельного урока.

Итак, сегодня мы рассмотрели задачи связанные с нахождением множества значений функции. Двигаясь от простого к сложному, мы от отыскания множества значений у простых функций перешли к нахождению его у более сложных. На этом пути мы открыли для себя новый метод решения уравнений и неравенств – метод оценки и нахождение множества значений функции стало средством решения задач более высокого уровня. При этом мы увидели, как конструируются такие задачи и как свойства монотонности функции облегчают их решение.

И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала все рассмотренные сегодня задачи, Вас поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставляет равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины, скульптуры, музыку и т. д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая – красота логики. Математики говорят, что красивое решение это, как правило, - правильное решение и это - не просто фраза. Теперь Вам самим предстоит находить такие решения и один из путей к ним мы указали сегодня. Удачи Вам! И помните: дорогу осилит идущий!

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Y

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

№8 Свойство монотонности сложной функции y = f(g(x)), g(x) = t непрерывна и монотонна.

№9 Найдите множество значений функции y = log5(arcctg x) а) на промежутке I = -1;4] б) на её области определения №10 При каких значениях а уравнение f(x) = a не имеет корней, если f(x) = log35(arcctg x).

Алгоритм нахождения множества значений функции f(x) (с использованием производной):

1) Найти D(f) и проверить непрерывность f(x) на I 2) Вычисляем f(a) и f(b) 3) Находим f`(x) и решаем f`(x)=0, определяем критические точки xkЄ I 4) Вычисляем f(xk) 5) Выбираем наименьшее и наибольшее значение функции из f(a), f(b), f(xk) №4. Найти наибольшее значение функции f(x)=50(0,5x+1)2x+1)4 при №7 Решите уравнение №5 Найти множество значений y = g(f(x)), используя уравнения для f(x) и g(x), записанные в классе.

Тема урока:

РОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ

Учитель: Изучая математику, мы, то и дело, вводим в рассмотрение различные новые понятия. Откуда они берутся? Как возникли, например, такие понятия как «прямая», «цилиндр», «число», «множество», «функция» и многие другие?

Древние греки первыми поняли, что человек, опираясь на опыт и наблюдения, способен понять мир и принялись за поиск законов природы и наведение порядка в своих знаниях о ней.

Человек вглядывается в окружающий мир и начинает подмечать в разном (предметах, явлениях) что-то общее. Как только он это осознаёт, то, стремиться описать «это общее», его формализовать, другими словами – построить его абстрактную математическую модель.

Что свойственно траекториям светового луча и стартующей вверх ракете, направлению человеческого взгляда и натянутой нити, краям обычной линейки и футбольного поля? Прямизна! Отсюда и понятие - «прямая».

Что свойственно карандашам в коробке, людям в классе или на стадионе, страницам в книге и рыбам в косяке? Множественность! Отсюда понятие «множество».

За более простыми понятиями приходят более сложные (вспомните строгую схему построения любой теории, например, геометрии: первичные понятия (ПП) аксиомы (правила игры с ПП) новые понятия и т.д.).

За каждым новым понятием стоит человек – мудрец, учёный, первооткрыватель и подчас не один. Так получилось и с понятием «производная функции»: И.Ньютон и Г.Лейбниц на рубеже XVII-XVIII веков, идя разными путями, практически одновременно открыли производную. По-разному её описали и назвали, а потом яростно оспаривали друг у друга право первооткрывателя. Для описания этого понятия на принятом сегодня языке, языке бесконечно малых, ушло ещё два века. Среди тех, кто это сделал, есть, и гигант мысли, близкий нам, гимназистам: учитель Софьи Ковалевской – Карл Вейерштрасс. Но это уже – другая история.

А сегодня мы с вами, дорогие ребята, попытаемся сами стать такими же первооткрывателями.

II.Задачи и их решение.

Учитель: Разберём вначале 3 задачи из различных областей знаний геометрии, физики и общую, на примере химии (биологии).

Задача 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке x 0.

Вы уже сталкивались с понятием касательной в курсе планиметрии. Скажите, как Вы понимаете: что такое касательная?

Ученики: Касательная это – прямая, которая имеет одну общую точку с окружностью.

Учитель: Хорошо. А если мы возьмём параболу y = x 2, то в её вершине оси координат имеют с ней только одну общую точку. Какая же, будет касательной к параболе?

Ученики: Конечно ось (ОХ). А ось (ОУ) пересекает параболу.

Учитель: Значит, по Вашему мнению, касательная не может пересекать линию. А как Вы думаете: чем будет являться ось (ОХ) для кубической параболы ( y = x 3 ) касательной или секущей?

Ученики: ??? Вроде бы секущая, но что-то в ней есть и от касательной.

Учитель: Значит пока у нас не совсем правильное представление о касательной.

Давайте посмотрим, как математики определили понятие касательной.

В точке сторону точки М 0 проведём касательную к кривой так, как мы её сегодня понимаем и секущую ( М 0 М 1 ). Будем сдвигать точку М 1 по кривой в сторону точки М 0. Секущая начнёт поворачиваться вокруг точки М 0 и устремиться к касательной.

Теперь проведём другую секущую ( М 0 М 2 ). Сдвигая точку М 2 по кривой в сторону точки М 0 с другой стороны, мы видим, что и она, поворачиваясь вокруг точки М 0, Учитель: Верно! Равенство левого и правого предела говорит о том, что предел в точке существует.

И математики, вводя определение касательной, руководствовались тем же предельным переходом.

Как бы Вы теперь дали определение касательной?

(Ученики вместе с учителем формулируют определение касательной) Определение. Касательной к данной непрерывной кривой в её точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ( М 0 М ), проходящей через точку М 0, когда точка пересечения М неограниченно приближается по кривой к точке М 0.

Учитель: Ну, вот мы попутно ввели ещё два новых понятия: касательной и точки касания! А Вы не забыли: для чего мы это делали?

Ученики: Мы хотим решить задачу о касательной.

Учитель: Точнее об угловом коэффициенте касательной! А что это за коэффициент?

Ученики: Так ведь касательная это – прямая, а у прямой, если она не перпендикулярна к оси (ОХ), есть угловой коэффициент.

Учитель: Верно. Но что же это такое?

Ученики: Угловой коэффициент это – тангенс угла наклона прямой к оси (ОХ).

Учитель: Правильно. Вот теперь мы готовы решать нашу задачу.

(Весь диалог сопровождается чертежами, выполняемыми учителем, которые после введения определения касательной стираются с доски. Далее учитель записывает рядом 3 задачи и их решение. Причём он это делает так, чтобы одни и те же шаги алгоритма, который ребята будут пытаться увидеть, расположились рядом - на одних горизонталях).

Итак, нам дан график функции y = f ( x ) и точка М 0 с абсциссой х 0. Проведём через эту точку касательную (TM 0 ) и секущую ( M 1 M 0 ). Углы наклона к оси (ОХ ) у касательной обозначим, а у секущей –, и выполним дополнительные построения (см.

рис.). Переходя от точки М 0 к точке М 1, мы меняем абсциссу точки графика функции с х 0 на х1 и наоборот. Математики говорят, что мы даём значению х 0 приращение получаем х1 = х 0 + х. Соответствующие им значения функции будут y 0 = f ( x0 ) и y1 = f ( x1 ). Принято говорить так: когда точке х 0 мы даём приращение кривой точку М 1 в сторону точки М 0. Видим, что Таким образом, Задача решена.

Задача 2. Зная закон движения точки по прямой, найти скорость движущейся точки для любого момента времени.

Пусть закон движения задан формулой S = S (t ), где S - расстояние пройденное точкой, отсчитываемое от некоторого её начального положения - точки О, а t - время её движения. Найдём её скорость в момент времени t 0, т.е. мгновенную скорость в этот момент времени.

Пусть к моменту времени t 0 точка находилась на расстоянии S 0 (т.М 0 ) от т.О – начала движения, а в некоторый следующий времени t1 оказалась на расстоянии S ( т.М 1 ). Тогда за время … Какое время точка находилась в пути?

Учитель: Какое расстояние она прошла за это время?

Учитель: А с какой средней скоростью она двигалась на отрезке М 0 М 1 ?

Учитель: Подчеркнём, что движение точки не обязательно равномерное (частный случай), т.е. её скорость меняется от точки к точке. Очевидно, что средняя скорость точки на наблюдаемом промежутке отличается от её скорости в момент времени t 0. Но если мы будем уменьшать промежуток наблюдения, что будет происходить?

Ученики: Значения средней скорости будут всё меньше отличаться от истинной скорости движения в момент t 0 !

Учитель: А тогда, как можно связать среднюю скорость движения точки на промежутке М 0 М 1 с мгновенной скоростью в точке М 0 ?

Учитель: Таким образом, мы решили поставленную задачу.

Посмотрите на решение этих двух задач: Вы ничего не заметили?

Ученики: Их решение свелось к вычислению одинаковых пределов.

Учитель: Верно! И что удивительно: быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, также описывается при помощи аналогичных пределов.

Задача 3. Пусть, например, масса нужного нам вещества, образующегося в результате химической реакции (или в процессе размножения) изменяется по закону m = m(t ) и нужно определить быстроту (скорость) его образования (размножения) Как бы Вы решили такую задачу?

Ученики:

- Проследили бы ещё некоторое время за ходом процесса.

- Определили бы изменение массы за это время:

- Нашли бы среднюю скорость образования вещества Vср = t, III. Рождение нового понятия.

Учитель: Таким образом, Вы почувствовали алгоритм наших рассуждений. А теперь давайте абстрагируемся от конкретности наших задач и запишем то общее, что мы увидели.

Далее учитель вместе с ребятами записывает увиденный алгоритм.

1) Имеется элементарная функция y = f ( x ) и некоторая точка x. Функция определена в этой точке и некоторой её окрестности и поэтому непрерывна в них.

2) Даём аргументу x приращение х и находим соответствующее приращение Учитель: Поскольку полученный предел – новый, часто повторяющийся объект (!), то он представляет большой интерес для математиков. А это значит, что теперь надо:

а) назвать его – присвоить термин, б) ввести для него краткое обозначение;

в) изучить его свойства г) научиться его вычислять;

д) применять к решению задач (иначе зачем он нам нужен?!).

Определение. Предел отношения приращения функции в данной точке, к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю, называется производной функции Встречаются различные обозначения производной:

Мы чаще будем использовать первые два обозначения и реже третье и четвёртое. И теперь можно записать определение производной в математических символах:

В каждой конкретной точке производная это – число. Проводя рассуждения для произвольной точки х, мы получаем выражение (новую функцию!) зависящую от х.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Это новая операция, которую можно производить над функциями, знак «» - символ операции, такой же как «+» для сложения или «:» для деления.

Решение примеров учитель записывает на доске сам, ученики говорят ему, что нужно писать..

Пример 1. Продифференцировать функцию Решение.

Таким образом, Решение.

Итак, Обратим внимание на то, что - найти производную функции - это значит её продифференцировать;

- продифференцировать функцию - это значит найти её производную (пока только её, а в последствии - или её дифференциал);

- в результате операции дифференцирования функции получается новая функция;

- дифференцируемая функция на некотором промежутке это – функция, имеющая производную в каждой точке этого промежутка.

Так вычисляется производная. Какие есть вопросы?

Ученики: И что производная всегда находится так сложно?

Учитель: Для того, чтобы ответить на этот вопрос нам нужно поближе познакомиться с производной - этим новым математическим объектом, чем мы и займёмся на следующих уроках. А сейчас же давайте вернёмся к нашим задачам.

Производная – есть единая математическая модель различных задач, которая допускает различные истолкования (интерпретации)!

Так с точки зрения физики (задача 1):

S (t ) = V мгн (t ) - производная от пути по времени – мгновенная скорость прямолинейного движения в момент времени t (механический смысл производной).

С точки зрения геометрии (задача 2):

f ( x ) = k кас ( x ) - производная функции - угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции в точке х (геометрический смысл производной).

Обратим внимание, что производную можно истолковать и как быстроту изменения функции (значений у при изменении значений х)! Т.е. с функциональной точки зрения производная – мгновенная скорость изменения значений функции.

Последняя интерпретация говорит нам о том, что при помощи производной мы в дальнейшем сможем исследовать функцию на монотонность и возможно определять и другие её свойства. И то, что это будет так, мы убедимся в дальнейшем.

Учитель: Вот мы и прошли путь первооткрывателей:

- заметили «похожесть» различных задач;

- формализовали эту «похожесть», т.е. построили их математическую модель;

- ввели новое понятие и обозначение для него;

- дали истолкование этой модели на разных языках.

Чем мы не Лейбницы и Ньютоны?! Только есть одно маленькое отличие Вас от них: я положил перед вами эти задачи рядом и нацелил на поиск общего в них, а учёные эти задачи нашли и положили их рядом сами и нашли их единообразное решение! Мимо этих задач проходили многие и возможно даже их решали, но не увидели того, что увидели Ньютон и Лейбниц. Как здесь не сказать, что смотрят все, а видят немногие! В этом и проявляется гениальность первооткрывателей. И я приглашаю Вас вглядываться в то, что Вы изучаете, как и в то, что Вас окружает. На этом пути Вас ждут удивительные открытия, пусть и не столь значимые, как сегодня. Но – открытия! А это всегда – торжество человеческого духа!

V. Домашнее задание.

(Задания выдаются по авторскому учебнику С.Д.Козлова) Книга VI. § 13 (задачи, приводящие к понятию производной) и (Найти производные данных функций по определению: