«Международная конференция по прикладной математике и информатике, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.А. Дородницына ВЦ РАН, Москва, Россия, 7–11 декабря 2010 г. Тезисы докладов International Conference on ...»

Учреждение Российской академии наук

Вычислительный центр

им. А.А. Дородницына РАН

Центральный аэрогидродинамический институт

им. профессора Н.Е. Жуковского

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Международная конференция по прикладной математике

и информатике, посвященная 100-летию со дня рождения

академика А.А. Дородницына

ВЦ РАН, Москва, Россия, 7–11 декабря 2010 г.

Тезисы докладов International Conference on Applied Mathematics and Computer Science Dedicated to Academician A.A. Dorodnicyn’s 100-th Birthday Anniversary CC RAS, Moscow, Russia, December 7–11, 2010 Abstracts

МОСКВА

УДК 51+531/ Международная конференция по прикладной математике и информатике, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.А. Дородницына (ВЦ РАН, Москва, 7–11 декабря 2010 г.): Тезисы докладов.

Организаторы Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН Центральный аэрогидродинамический институт им. профессора Н.Е. Жуковского Московский физико-технический институт (государственный университет) Organizers Institution of Russian Academy of Sciences Dorodnicyn Computing Centre of RAS Central Aerohydrodynamic Institute Moscow Institute of Physics and Technology (State University) Научное издание c Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Программный комитет конференции Козлов В.В. председатель, Евтушенко Ю.Г. заместитель председателя, Белоцерковский О.М., Журавлев Ю.И., Петров А.А., Поспелов И.Г., Пальцев Б.В., Степанов С.Я., Зубов В.И., Власов В.И., Скороходов С.Л. секретарь Организационный комитет конференции Евтушенко Ю.Г. председатель, Турчак Л.И. заместитель председателя, Белоцерковский О.М., Журавлев Ю.И., Марчук Г.И., Ильин В.А., Моисеев Е.И., Петров А.А., Егоров И.В., Кудрявцев Н.Н., Поспелов И.Г., Флеров Ю.А., Михайлов Г.М., Власов В.И., Пальцев Б.В., Степанов С.Я., Чарахчьян А.А., Шуршалов Л.В., Дородницына В.В., Селюн М.И.

Конференция проводится при финансовой поддержке Президиума РАН и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-01-06107-г).

Program Committee Kozlov V.V. (Chairman), Evtushenko Yu.G. (Vice-chairman), Belotserkovskii O.M., Zhuravlev Yu.I., Petrov A.A., Pospelov I.G., Paltsev B.V., Stepanov S.Ya., Zubov V.I., Vlasov V.I., Skorokhodov S.L. (Secretary) Organizing Committee Evtushenko Yu.G. (Chairman), Turchak L.I. (Vice-chairman), Belotserkovskii O.M., Zhuravlev Yu.I., Marchuk G.I., Il’in V.A., Moiseev E.I., Petrov A.A., Egorov I.V., Kudryavtsev N.N., Pospelov I.G., Flerov Yu.A., Mikhailov G.M., Vlasov V.I., Paltsev B.V., Stepanov S.Ya., Charakhch’yan A.A., Shurshalov L.V., Dorodnicyna V.V., Selyun M.I.

The Conference is supported by RAS Presidium and Russian Foundation for Basic Research (project No 10-01-06107-г).

Содержание Механика сплошных сред Аристов В. В., Забелок С. А., Фролова А. А. Решение уравнения Больцмана и новые кинетические эффекты.......................... Аристов В. В., Ильин О. В. Неустойчивость и пространственновременной хаос для кинетической системы........................... Архипов А. С., Бишаев А. М. Нестационарный подход к моделированию струи разреженной плазмы, исходящей из источника плазмы. Богданов А. Н., Диесперов В. Н., Жук В. И., Чернышев А. В.

Феномен свободного взаимодействия в трансзвуковых течениях и Брыкина И. Г., Рогов Б. В., Тирский Г. А. О континуальных моделях в переходном режиме гиперзвукового обтекания затупленных Власов В. И., Горшков А. Б., Ковалев Р. В., Лунев В. В., Чураков Д. А. Исследования гиперзвукового обтекания тел реальным Гайфуллин А. М., Зубцов А. В. Обобщение теоремы Прандтля– Демьянов Ю. А. Применение переменных А.А. Дородницына и его Диесперов В. Н., Королев Г. Л. Исследование вязкого взаимодействия при обтекании трансзвуковым потоком газа малых осесимметричных препятствий................................................. Егоров И. В., Новиков А. В., Судоков В. Г., Федоров А. В. Численное моделирование устойчивости и восприимчивости гиперзвуковых течений вязкого газа............................................. Иванов М. Я. Метод интегральных соотношений, законы сохранения и термодинамика рабочего процесса высокотемпературных турбореактивных двигателей................................................... Козлов В. В. Кинетическое уравнение Власова, динамика сплошных Куликовский А. Г., Чугайнова А. П. Автомодельные асимптотики, Милявский В. В., Фортов В. Е., Фролова А. А., Хищенко К. В., Чарахчьян А. А., Шуршалов Л. В. О механизме усиления давления при увеличении пористости сред, ударно сжимаемых в конических Нейланд В. Я., Соколов Л. А., Шведченко В. В. Влияние температурного фактора на структуру отрывного течения в сверхзвуковом Радкевич Е. В. К проблеме усечения цепочки законов сохранения с Математическая физика и вычислительные методы Radev S., Onofri F. Numerical analysis of the sinuous instability of a Slawianowski J. J. Hamiltonian systems motivated by Schroedinger Абрамов А. А., Ульянова В. И., Юхно Л. Ф. О сингулярной нелинейной самосопряженной спектральной задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.................................. Азаренок Б. Н. Об одном вариационном методе построения сеток в Атамуратов А. Ж., Михайлов И. Е. Численное решение задачи о Безродных С. И., Власов В. И., Сомов Б. В. Сингулярная задача Римана–Гильберта для модели распада пересоединяющегося токового Безродных С. И., Власов В. И. Высокоэффективный аналитикочисленный метод решения одного класса сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений..................... Бутузов В. Ф. О сингулярно возмущенных задачах в случае кратных Волков А. В. Особенности применения метода Галеркина к решению Гребеников Е. А., Земцова Н. И. О некоторых математических проблемах гомографической динамики............................... Гулин А. В. Об устойчивости семейства несамосопряженных разностных схем............................................................. Жура Н. А. Краевые задачи для систем уравнений главного типа с постоянными коэффициентами на плоскости......................... Капорин И. E. Об эффективной реализации предобусловленных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений на высокопроизводительных вычислительных системах......... Керимов М. К. Специальные функции в научном исследовании академика А. А. Дородницына........................................... Кобельков Г. М. О схемах расщепления для уравнений Навье–Стокса Коньшин И. Н. Построение перекрытий блоков для параллельного решения симметричных линейных систем............................ Конюхова Н. Б., Курочкин С. В. О нелинейной краевой задаче Гинзбурга–Ландау для сверхпроводящей пластины в магнитном поле Копачевский Н. Д. К проблеме малых движений гидросистемы Корнев А. А. Математическое моделирование процесса асимптотической стабилизации в системе четырех вихрей........................ Корпусов М. О., Свешников А. Г. О релаксации за конечное время Матус П. П., Поляков Д. Б. Устойчивость и монотонность разностных схем для уравнений газовой динамики в инвариантах Римана... Моисеев Е. И., Холомеева А. А. Оптимальное граничное управление колебаниями струны с нелокальным граничным условием четности Ольшанский М. А. Решение уравнений Навье–Стокса в переменных скорость–вихрь–спиральная плотность............................... Пальцев Б. В. Об итерационном методе с расщеплением граничных условий и условиях согласования для нестационарной задачи Стокса Попов В. А., Скубачевский А. Л. Локальная гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений Рамазанов М. Д. Вычисление вариационных сплайнов в негильбертовых пространствах................................................. Рахматуллин Д. Я. Приближенное интегрирование кубатурными Свешников А. Г., Перова Л. В. О распространении возмущений, возбуждаемых в жидкостях движущимися источниками............ Сергеев В. С. Исследование устойчивости и динамики в системах с последействием, описываемых интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра.................................................. Соловьев М. Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса.......................................................... Сумбатов А. С. О стационарных движениях простейшей сервосистемы в условиях невесомости........................................... Тер-Крикоров А. М. Переходные процессы от равновесия к предельному циклу в системах 2-го и 3-го порядков.......................... Толстых А. И. Мультиоператорная методика построения аппроксимаций и схем высокого порядка...................................... Тыртышников Е. Е. Эффективные вычисления в многомерных пространствах........................................................... Холодов А. С., Холодов Я. A. О высокоточных монотонных схемах для уравнений гиперболического типа............................... Цурков В. И. Расщепление и сингулярные решения уравнений сверхтекучей гидродинамики для конденсата Бозе–Эйнштейна............ Шишкин Г. И., Шишкина Л. П. Метод асимптотических конструкций улучшенного порядка точности для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции–диффузии........................ Шкадов В. Я., Алексюк А. И., Шкадова В. П. Численное решение уравнений Навье–Стокса для задачи обтекания тел вязкой жидкостью.................................................................. Математическое моделирование в естественных науках Kosenko I. I., Aleksandrov E. B. An approach for constructing a multibody dynamics library on Modelica language........................... Архипов Б. В., Солбаков В. В., Шапочкин Д. А., Котеров В. Н.

Применение математического моделирования при проведении оценок Бабаков А.

В. Численное моделирование пространственно-нестационарных задач аэродинамики на вычислительных комплексах параллельной архитектуры................................................ Белотелов Н. В. Проблема адекватности математических моделей Власов В. И., Скороходов С. Л., Фужита Яшима Х. Модель движения воздуха в нижней части тайфуна............................. Гаева З. С., Шананин А. А. Алгоритм Чебышева–Маркова–Крейна в задачах управления процессами, описываемыми уравнениями Смолуховского........................................................... Гущин В. А. Математическое моделирование течений несжимаемой Давыдов А. A., Четверушкин Б. Н., Шильников Е. В. Моделирование течений несжимаемой жидкости и слабо сжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах................. Карамзин Ю. Н., Поляков С. В., Федирко В. А. Вычислительные основы моделирования электронного транспорта в микро- и наноструктурах........................................................... Кривцов В. М., Соловьев В. Р. Математические модели в исследовании барьерного разряда в воздухе.................................. Марчук Г. И., Агошков В. И., Залесный В. Б., Пармузин Е. И., Шутяев В. П. Обратные задачи и задачи вариационной ассимиляции данных для сложных математических моделей геофизической гидродинамики............................................................ Марчук Г. И., Залесный В. Б., Агошков В. И., Гусев А. В., Дианский Н. А. Математическое моделирование динамики Мирового Пархоменко В. П. Численные эксперименты с использованием глобальной климатической модели...................................... Петров И. Б. Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных средах..................................................... Пирумов У. Г. Математические модели нелинейных процессов в экологии и решение прикладных задач.................................. Попов С. П. Численное моделирование солитонных решений нелинейных уравнений....................................................... Разжевайкин В. Н. Пространственные структуры и волны для уравнений реакции–нелинейной диффузии............................... Саранча Д. А. Использование точных методов в описательных науках (на эколого-биологических примерах)............................ Сушкевич Т. А. От первых научных космических экспериментов до нанодиагностики природных и космических сред.................... Тарко А. М., Усатюк В. В. Моделирование влияния экономической деятельности человечества на глобальные биосферные процессы.... Фужита Яшима Х. Система уравнений движения воздуха с фазовыми переходами воды............................................... Яковенко Г. Н. Информационное сжатие математической модели на примере взаимодействия популяций.................................. Информатика и математическое моделирование в экономике Бродский Ю. И. Инструментальная система распределенного имитационного моделирования........................................... Васильев Ф. П., Антипин А. С., Артемьева Л. А. Регуляризованный экстраградиентный метод решения многокритериальной задачи Вышинский Л. Л., Флеров Ю. А. Автоматизация проектирования Галимьянова Н. Н., Игнатьев А. Л., Коньшин И. Н., Посыпкин М. А., Сигал И. Х. Алгоритмы параллельных вычислений для решения задач дискретной оптимизации............................. Голиков А. И. Параллельные методы решения задач линейного программирования большой размерности................................ Дикусар В. В., Зубов Н. В. Качественные и численные методы в Елкин В. И. Управляемые системы, группы Ли и системы Пфаффа Жадан В. Г. Мультипликативно-барьерные методы для задач полуопределенного программирования.................................... Каменев Г. К., Лотов А. В. Поддержка принятия решений на основе аппроксимации многомерной границы Парето........................ Козлов М. В., Коновалов М. Г., Малашенко Ю. Е., Назарова И. А. Имитационная модель управления гетерогенным вычислительным комплексом................................................ Матвеев И. А. Определение радужки глаза на изображении по согласованным максимумам проекций градиентов яркости............. Меньшиков И. С. Теория игр и экспериментальная экономика о рациональности принятия решений..................................... Поспелов И. Г. Опыт моделирования российской экономики в период Сенько О. В. Использование методов распознавания и интеллектуального анализа данных при решении задач медицинской диагностики Серебряков В. А. Создание программного обеспечения распределенных информационных систем поддержки научных исследований.... Сухинин М. Ф. О выявлении активных индексов в задачах линейного Фуругян М. Г. Проблемы автоматизации проектирования вычислительных систем реального времени...................................

Contents

Aristov V. V., Zabelok S. A., Frolova A. A. Solving the Boltzmann Aristov V. V., Ilyin O. V. Instability and spatio-temporal chaos for the Bogdanov A. N., Diesperov V. N., Zhuk V. I., Chernyshev A. V.

Brushlinsky K. V., Ignatov P. A., Chmykhova N. A. Mathematical Gaifullin A. M., Zubtsov A. V. Extension of the Prandtl–Batchelor Demyanov Yu. A. The use of Dorodnicyn variables and method for the Diesperov V. N., Korolev G. L. The viscous interaction investigation Egorov I. V., Novikov A. V., Sudokov V. G., Fedorov A. V. Numerical modelling of the stability and susceptibility of hypersonic ows of Zhukov V. T., Feodoritova O. B. Some approaches to high temperature Ivanov M. Ya. The method of integral relations, conservation laws and Kuznetsov M. M., Lipatov I. I. New models of hypersonic viscous gas Larina I. N., Rykov V. F. Kinetic model of the Boltzmann equation for Milyavskii V. V., Fortov V. E., Frolova A. A., Khishchenko K. V., Charakhch’yan A. A., Shurshalov L. V. On the mechanism of pressure increase with increasing porosity of the media compressed in conical and Radkevich E. V. To the section problem of the chain of conservation laws Tcheremissine F. G. Solving of the Boltzmann equation for a gas with Radev S., Onofri F. Numerical analysis of the sinuous instability of a Slawianowski J. J. Hamiltonian systems motivated by Schroedinger Abramov A. A., Ul’yanova V. I., Yukhno L. F. On singular nonlinear Azarenok B. N. A variational grid generation method on two-dimensional Atamuratov A. G., Mikhailov I. E. Numerical solution of the problem Bezrodnykh S. I., Vlasov V. I., Somov B. V. A singular Riemann– Bezrodnykh S. I., Vlasov V. I. Highly eective analytic-numerical method for solving a class of singularly perturbed systems of nonlinear Bogovskii M. E. An estimate for the global convergence rate of iterations Butuzov V. F. On singularly perturbed problems in the case of multiple Vabishchevich P. N. Additive schemes (splitting schemes) for solving Vassilevski Yu. V., Kapyrin I. V., Nikitin K. D., Danilov A. A.

Wolkov A. V. Peculiarities of Galerkin method application to the solution Grebenikov E. A., Zemtsova N. I. On some mathematical problems of Gulin A. V. On the stability of a family of non self-adjoint dierence Zhura N. A. Boundary value problems for systems of equations of principal type with constant coecients on the plane....................... Kaporin I. Ye. On ecient implementation of preconditioned iterative linear solvers on high-performance computer systems................... Konshin I. N. Overlap construction for symmetric linear systems parallel Konyukhova N. B., Kurochkin S. V. On nonlinear Ginzburg–Landau boundary value problem for a superconducting plate in a magnetic eld. Kornev A. A. Mathematical modelling the asymptotic stabilization process in the four vortex system.......................................... Korpusov M. O., Sveshnikov A. G. On relaxation at nite time for Matus P. P., Polyakov D. B. Stability and monotonicity of dierence schemes for equations of gas dynamics in Riemann invariants........... Moiseev E. I., Kholomeeva A. A. Optimal boundary control of string oscillations with even nonlocal condition of the rst kind............... Olshanskii M. A. Solving the Navier–Stokes equations in velocity– vorticity–helical density variables...................................... Paltsev B. V. On an iterative method with boundary condition splitting and compatibility conditions for the nonstationary Stokes problem...... Popov V. A., Skubachevskii A. L. Local smoothness of generalized solutions for elliptic dierential-dierence equations with degeneration.... Ramazanov M. D. Calculation of variational splines in non-Hilbert Sveshnikov A. G., Perova L. V. On propagation of perturbations excited in uid by moving sources........................................ Sergeev V. S. The investigation of stability and dynamics in systems with aftereect described by integrodierential equations of the Volterra type Soloviev M. B. Numerical implementations of a new iterative method with boundary condition splitting for the nonstationary Stokes problem. Sumbatov A. S. On stationary motions of the simplest servosystem in Ter-Krikorov A. M. Transitional process from unstable equilibrium to stable cycle in systems of two and three orders......................... Tolstykh A. I. Multioperators technique for constructing high-order approximations and schemes............................................. Kholodov A. S., Kholodov Ya. A. On high-precision monotone schemes Tsurkov V. I. Splitting and singular solutions of the two-uid hydrodinamic equations for Bose–Einstein condensate.......................... Shishkin G. I., Shishkina L. P. Asymptotic constructs method of improved order accuracy for a singularly perturbed parabolic reaction– Shkadov V. Ya., Aleksyuk A. I., Shkadova V. P. The numerical solution of the Navier–Stokes equations for viscous uid ow around bodies Kosenko I. I., Aleksandrov E. B. An approach for constructing a multibody dynamics library on Modelica language........................... Arkhipov B. V., Solbakov V. V., Shapochkin D. A., Koterov V. N.

Application of mathematical modeling at environment impact assessment Babakov A. V. The numerical simulation of three-dimensional unsteady aerodynamic problems on parallel architecture computer systems....... Vlasov V. I., Skorokhodov S. L., Fujita Yashima H. A model of air Gaeva Z. S., Shananin A. A. Chebyshev–Markov–Krein algorithm in control problems of the processes described by the Smoluhovsky equations Gushchin V. A. Mathematical modelling of the incompressible uid ows Davydov A. A., Chetverushkin B. N., Shilnikov E. V. Simulating ows of incompressible and weakly compressible uids on multicore hybrid Karamzin Yu. N., Polyakov S. V., Fedirko V. A. Numerical basis for computer simulation of electron transport in micro- and nanostructures. Krivtsov V. M., Soloviev V. R. Mathematical modelling of a surface Marchuk G. I., Agoshkov V. I., Zalesny V. B., Parmuzin E. I., Shutyaev V. P. Inverse and variational data assimilation problems for complicated mathematical models of the geophysical hydrodynamics.... Marchuk G. I., Zalesny V. B., Agoshkov V. I., Gusev A. V., Diansky N. A. Mathematical modelling of World ocean dynamics........ Petrov I. B. Numerical modelling of wave processes in heterogeneous environment............................................................. Pirumov U. G. Mathematical models of nonlinear processes in ecology Razzhevaikin V. N. Spatial structures and waves for reaction–nonlinear Sarancha D. A. Using of exact methods in description sciences (on Sushkevich T. A. From pioneer science cosmic experiments to nanodiagnostics of natural and space media..................................... Tarko A. M., Usatyuk V. V. Modelling the impact of economic activities of mankind on the global biosphere processes....................... Fujita Yashima H. The dynamics of air equations with water phase Yakovenko G. N. Information compression of mathematical model on the example of the interaction of populations.............................. Computer science and mathematical modelling in economics Vasilyev F. P., Antipin A. S., Artemieva L. A. Regularized extragradient method for solving a paramentic multicriteria equilibrium programming problem......................................................... Vyshinskiy L. L., Flerov Yu. A. Automating the design of aircraft in Galimyanova N. N., Ignatyev A. L., Konshin I. N., Posypkin M. A., Sigal I. Kh. Parallel algorithms for discrete optimization problems..... Golikov A. I. Parallel methods for solving large-scale linear optimization Dikusar V. V., Zubov N. V. Qualitative and numerical methods in Zhadan V. G. Multiplicatively barrier methods for semidenite programming problems........................................................ Kamenev G. K., Lotov A. V. Decision support based on approximation Kozlov M. V., Konovalov M. G., Malashenko Yu. E., Nazarova I. A.

Simulation model for the heterogeneous computing system management. Matveev I. A. Detection of eye iris by correlated maxima of brightness Menshikov I. S. Game theory and experimental economics about rationality of decision making.............................................. Pospelov I. G. Experience of modelling of the Russian economy during Senko O. V. The use of pattern recognition and intellectual data analysis methods in tasks of medical diagnostics and forecasting................. Serebryakov V. A. Development of distributed current research information systems.......................................................... Sukhinin M. F. On revealing active indices in the linear programming Решение уравнения Больцмана и новые Аристов В. В., Забелок С. А., Фролова А. А.

[email protected], [email protected], [email protected] Представлены новые модификации методов прямого решения уравнения Больцмана (см. [1–3]) как детерминистические, так и монтекарловские при вычислении пятимерных интегралов столкновений.

Обсуждаются различные консервативные схемы с введением понятий “макроскопическая” и “микроскопическая” консервативность. Развиваются гибридные методы с использованием кинетических уравнений в области разреженности и уравнений сплошной среды (решаемых с помощью кинетических схем) в областях плотного газа. Описываются разработанные параллельные алгоритмы для современных многоядерных суперкомпьютеров, а также алгоритмы для новой высокопроизводительной вычислительной техники, такой как устройства обработки видеоизображений (Graphics Processing Units).

На основе развитых методов решаются сложные задачи. Приводятся примеры аэродинамических задач обтекания тел, а также задач о течениях в микроканалах. Проводится сравнение с экспериментальными данными. Интерес представляет возможность изучения новых эффектов в неравновесных течениях, которые не описываются макроскопической газовой динамикой и могут быть исследованы только с помощью кинетических методов динамики разреженных газов. Для двумерных микрополостей моделируются вихревые течения, порожденные неравномерным нагревом стенок. Особое внимание уделено аномальному эффекту переноса в неравновесных релаксационных зонах при сверхзвуковых течениях. Помимо простого одноатомного газа рассматриваются смеси простых газов, а также молекулярные газы.

Рассмотрение более сложных сред позволяет получить более сложные неравновесные структуры в данной открытой системе. Решаются одномерные и двумерные задачи. Выявлены важные закономерности такого переноса на масштабах длины свободного пробега, в частности тепловой поток направлен так же, как и градиент температуры, что означает неравновесный конвективный прогрев (или охлаждение) зоны вниз по потоку в зависимости от того, положителен (или отрицателен) поток тепла на границе рассматриваемого полупространства. Также показывается, что градиент скорости может иметь тот же знак, что и соответствующая компонента тензора вязких неравновесных напряжений [4, 5]. В работе [6] определены условия, гарантирующие аномальность переноса. Обсуждается возможность сравнения полученных теоретических результатов [7] с экпериментальными тестами на основе новой техники получения неравновесных состояний с помощью “оптических решеток”.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-01-00721-а).

1. Aristov V. V., Direct Methods of Solving the Boltzman equation and Study of Nonequilibrium Flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

2. Аристов В. В., Забелок С. А. Детерминистический метод решения уравнения Больцмана с параллельными вычислениями // Ж. вычисл. матем.

и матем. физ. 2002. Т. 42. № 3. С. 325–336.

3. Kolobov V. I, Arslanbekov R. R., Aristov V. V., Frolova A. A., Zabelok S. А., “Unied solver for rareed and continuum ows with adaptive mesh and algorithm renement,” Journal of Computational Physics, 223, 589– (2007).

4. Аристов В. В., Забелок С. А., Фролова А. А. Неравновесные процессы переноса в задачах о неоднородной релаксации // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 12. С. 59–75.

5. Aristov V. V., Frolova A. A., Zabelok S. А., “A new eect of the nongradient transport in relaxation zones,” A Letters Journal Exploring the Frontiers of Physics, 88, 30012 (2009).

6. Аристов В. В., Паняшкин М. В. Исследование релаксационных пространственных процессов с помощью решения кинетического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1 (в печати).

7. Aristov V. V., Frolova A. A., Zabelok S. А., “Supersonic ows with nontraditional transport described by kinetic methods,” Communications in Computational Physics (in press).

Неустойчивость и пространственно-временной хаос Instability and spatio-temporal chaos [email protected], [email protected] В данной работе обсуждаются новые результаты: впервые на основе кинетической системы получены неустойчивые решения пространственной задачи, демонстрирующие турбулентные свойства [1]. Поиск пространственно-временных базовых моделей хаоса является актуальной проблемой в современной математической физике (cм., например, [2]). Он связан с развитием представлений о возникновении турбулентности в различных средах и разработкой техники исследования хаотической динамики. Хорошо известная модель Лоренца [3] гидродинамического типа описывает хаотизацию во времени. Особый интерес вызывают более реалистические модели, которые способны описать пространственно-временную турбулентность, здесь можно отметить модель пространственно-временного хаоса на основе уравнений Курамото–Цузуки [4]. Однако практически все известные модели апеллируют к уравнениям с квазинелинейностью переносного члена (уравнения Навье–Стокса, уравнения типа реакция–диффузия), что характерно для физических ситуаций вблизи равновесия. Вместе с тем, существуют неустойчивые процессы (включая, возможно, сверхзвуковые турбулентные течения газа), которые реализуются в условиях достаточно сильного отклонения от равновесия. Для описания таких явлений адекватным аппаратом являются кинетические уравнения с нелинейностью, связанной со столкновительным членом. Для теоретического понимания желательно построить простые обозримые модели, которые отвечали бы характеру такого физического и математического аппарата и поддавались бы всестороннему исследованию.

В настоящей работе изучается модельная система кинетических уравнений Карлемана (несмотря на простоту, она содержит аналоги закона сохранения и H-теоремы). Ранее в [5, 6] было построено стационарное неравновесное решение краевой стационарной задачи, которое при определенных условиях обнаруживает неустойчивость в линейном приближении. Отметим важность этого факта, поскольку обычно изучают неустойчивости на фоне стационарных равновесных решений. В нелинейном случае данная задача решается численно. При уменьшении аналога числа Кнудсена прослеживаются стадии бифуркации с удвоением периода. Получен фейгенбаумовский сценарий перехода к хаосу. Наблюдается эффект перемежаемости, но при дальнейшем уменьшении числа Кнудсена происходит переход к полной турбулизации. Вычислены значения старших членов ляпуновских показателей (в разных режимах течения), которые оказываются положительными, что соответствует хаотическому поведению решений.

Построены мгновенные и осредненные картины течения.

1. Aristov V., Ilyin O., “Kinetic model of spatio-temporal turbulence”, Phys.

Lett. A, 374, 4381–4384 (2010).

2. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика.

М.: URSS, 2006.

3. Lorenz E. N., “Deterministic nonperiodic ow”, J. Atmos. Sci., 20, 130– (1963).

4. Kuramoto Y., “Chemical oscillations, waves and turbulence”, Berlin: Springer, (1984).

5. Аристов В. В., Ильин О. В. Изучение устойчивости решений для дискретной кинетической модели // М.: ВЦ РАН, 2006.

6. Ильин О. В. Неустойчивость решения краевой задачи системы Карлемана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 12. С. 2076–2087.

Нестационарный подход к моделированию струи разреженной плазмы, исходящей Non-steady-state approach to the modelling of a low-density plasma jet owing НИИ ПМЭ, Москва, Россия; [email protected] В работах [1–3] были разработаны методы моделирования струйного движения разреженной плазмы, выбрасываемой в окружающее пространство из источника плазмы. Это включало в себя создание системы модельных кинетических уравнений, описывающих данное движение, постановку для их решения корректной математической задачи и построение численных методов решения этой задачи. В [4] было осуществлено решение задачи о струе в трехмерной постановке. Это расширило возможности моделирования. Существенное увеличение доступной для расчетов оперативной памяти ЭВМ позволяет теперь запоминать значения функций распределения в шестимерном пространстве, что делает возможным осуществить решение модельных кинетических уравнений в нестационарной постановке. Нужно заметить, что нестационарные методы для этой задачи являются более адекватными для описания явлений, происходящих в струе источника плазмы, а в смысле численной реализации более простыми.

В отличие от указанных выше работ моделирование проводится на основе следующей системы уравнений:

где f = f (t, x, ), x = {x1, x2, x3 }, = {1, 2, 3 } суть координаты положения иона в фазовом пространстве и нейтралов, g = g(t, x, w) (w = = {w1, w2, w3 } положение нейтрала в скоростном пространстве).

Основные макропараметры: плотность n = n(t, x, y, z), макроскопическая скорость u = {ul (t, x, y, z)}, l = 1, 2, 3 (x, y, z), температура T = T (t, x, y, z), определяются через интегралы по соответствующему скоростному пространству от функций распределения ионов или нейтралов. Фигурирующая в (1) величина есть частота столкновений на одну частицу. Она определена в [2]. Присутствующий в (1) Jnn есть интеграл столкновений нейтралов между собой. Как и ранее, он моделируется так же, как и в модели Крука (см. [2]). Для замыкания модели, как и ранее, использовалось обобщение гипотезы “термализованного потенциала”.

Граничные условия для системы (1) принимались теми же, что и ранее, за исключением того, что макропараметры в максвелловских функциях могут зависеть от времени.

В предполагаемом докладе речь пойдет о построении численного метода решения задачи (1). Автоматическое применение методов расщепления, развитых в динамике разреженного газа оказалось невозможным, так как они не могли правильно воспроизвести граничное условие, которое в основном определяет структуру решения вниз по потоку. Это видно из интегрального представления решения первого уравнения (1). Оно следующее:

где 1 = nn, g1 = g/nn, fb = ((R1 r )( R2 )) (z )fb (t, x, ) ((t0 )) exp{ 0 1 (q, x(q)dq}, r = x2 + y 2. Здесь fb (t, x, ) есть зависящая от соответствующих переменных функция распределения иоt t нов, x(s) = x (ts)+ (qs) E(q, x(q))dq, (s) = E(q, x(q))dq, где E = e/mE, t = t(z, z ) неявная функция, определяемая соотношением z (t) = 0. Надчеркивание над соответствующей переменной означает, что она зависит от t. Представляемый численный метод основан на расщеплении системы (1) на части, определяющие влияние границы и перезарядки соответственно.

Работа выполнена при поддержке гранта “Развитие научного потенциала Высшей школы” (проект № 2.11/500).

1. Бишаев А. М. Численное моделирование струи разрешенного слабо ионизованного газа, выходящего из кольцевого отверстия //ЖВМ и МФ. 1993.

Т. 33. № 7. С. 1109–1118.

2. Бишаев А. М., Калашников В. К., Ким В. Численное исследование струи разреженной плазмы стационарного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов (УЗДП) // Физ. плазмы. 1992. Т. 18. Вып. 6. С. 698–708.

3. Бишаев А. М., Калашников В. К., Ким В., Шавыкина А. В. Численное моделирование плазменной струи стационарного плазменного двигателя, распространяющейся в среде низкого давления // Физ. плазмы. 1998.

Т. 24. № 11. С. 989–995.

4. Архипов А. С., Бишаев А. М. Численное моделирование в трехмерной постановке струи плазмы, выходящей в окружающее пространство из стационарного плазменного двигателя // ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. № 3.

С. 491–506.

Феномен свободного взаимодействия в трансзвуковых течениях и устойчивость Free interaction phenomenon in transonic ows Богданов А. Н.1, Диесперов В. Н.2, Жук В. И.3, Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия;

МФТИ, Долгопрудный, Россия; [email protected] Уравнения асимптотической модели, описывающей нестационарное свободное вязко–невязкое взаимодействие пограничного слоя и внешнего трансзвукового течения, восходящей в своих идеях к классической работе В.Я. Нейланда [1], были получены О.С. Рыжовым [2] при помощи сращиваемых асимптотических трансзвуковых разложений в приближении больших значений чисел Рейнольдса ( трехпалубная модель нестационарного свободного вязко–невязкого взаимодействия на трансзвуковых скоростях). Исследования свободного взаимодействия в трансзвуковом диапазоне показали его значительные отличия и от дозвукового, и от сверхзвукового взаимодействия [3–5]:

был обнаружен рост слабых возмущений трансзвукового пограничного слоя вне зависимости от того, превышена скорость звука или нет (для сверхзвукового режима рост возмущений не установлен). В отличие от дозвукового случая акустическое воздействие на свободно взаимодействующее в трансзвуковом режиме течение порождает волны Толлмина–Шлихтинга и при гладких граничных условиях. Результаты анализа дисперсионного уравнения в математической среде MatLab позволили обнаружить особенность поля дисперсионных кривых особую точку типа седла.

Классическая трехпалубная модель взаимодействия в трансзвуковом диапазоне скоростей имеет ряд ограничений, обусловленных особенностями входящего в модель уравнения Линя–Рейснера–Цяня (ЛРЦ) [6]. Именно, уравнение ЛРЦ не позволяет правильно описать распространение возмущений вниз по потоку: они игнорируются моделью, поскольку приобретают в ней бесконечную скорость. В связи с этим было предложено [6] использовать в модели взаимодействия уравнение ЛРЦ с сохраненным (при его выводе из полных уравнений для потенциала скорости) членом со второй производной по времени (модифицированное уравнение ЛРЦ). Модифицированное уравнение ЛРЦ получается сингулярным, и формальное пренебрежение указанным членом (более высокого порядка малости) приводит к вырождению модифицированного уравнения ЛРЦ в вырожденное гиперболическое уравнение, следствием чего являются указанные выше недостатки описания течения. Включение модифицированного уравнения ЛРЦ в модель нестационарного свободного вязко–невязкого взаимодействия на трансзвуковых скоростях позволило получить новую модель нестационарного трансзвукового свободного вязко–невязкого взаимодействия (модифицированную модель взаимодействия). Исследование на модифицированной модели различных взаимодействующих течений: их устойчивость, в том числе при внешнем воздействии (например, акустическом), над упругой поверхностью показало существование в поле течения возмущений, выпадающих из рассмотрения при традиционном анализе. Компьютерный анализ дисперсионного уравнения показал новые особенности поведения дисперсионных кривых: переключение различных мод друг на друга при изменении величины сингулярного параметра.

1. Нейланд В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва // III Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике.

Сб. аннотаций докладов съезда. М.: Наука, 1968. С. 224.

2. Рыжов О. С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // ДАН СССР. 1977. T. 236. № 5. С. 1091–1094.

3. Терентьев Е. Д. Нестационарные задачи пограничного слоя со свободным взаимодействием. Дисс. на соиск. уч. степ. доктора физ.-матем. наук.

М.: ВЦ АН СССР, 1986.

4. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. М.: Физматлит, 2003.

5. Жук В. И. Волны Толлмина–Шлихтинга и солитоны. М.: Наука, 2001.

6. Богданов А. Н., Диесперов В. Н. Моделирование нестационарного трансзвукового течения и устойчивость трансзвукового пограничного слоя // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 394–403.

Математические модели равновесия плазмы в магнитном поле ловушек-галатей Mathematical models of plasma equilibrium in the galatea-trap magnetic eld Брушлинский К. В.1, Игнатов П. А.2, Чмыхова Н. А. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия; [email protected] Одна из основных проблем управляемого термоядерного синтеза (УТС) удержание сжатой и нагретой плазмы магнитным полем.

С ней связаны разработки магнитных ловушек и исследования равновесных конфигураций плазмы и поля в них. Перспективный класс ловушек предложен А.И. Морозовым и назван “галатеями”: в них проводники с током, создающим магнитное поле, погружены в плазменный объем, что расширяет возможности геометрии поля и позволяет ожидать более высоких параметров удержания. Пример галатей тороидальная ловушка “Пояс” [1], значительную часть исследований которой удобно вести в распрямленной модели: плазменный цилиндр с расположенными внутри него двумя проводниками с током, параллельными оси.

Математическое моделирование и многочисленные расчеты магнитоплазменных конфигураций в ловушках в приближении магнитной газодинамики (МГД) включает плазмостатические и плазмодинамические задачи. Первые имеют дело со строго равновесными конфигурациями. В двумерных задачах, обязанных симметрии, математический аппарат сводится к одному скалярному уравнению второго порядка эллиптического типа с нелинейной правой частью уравнению Грэда–Шафранова. Краевые задачи с ним содержат нетривиальные вопросы существования, единственности и устойчивости, общие для теории полулинейных уравнений и различных приложений в моделях процессов реакции и диффузии. Вместе с описанием численного алгоритма и подробными результатами расчетов конфигураций в ловушке “Пояс” эти вопросы изложены в докладе.

Модель с уравнением Грэда–Шафранова позволяет относительно легко рассчитать конфигурации, удовлетворяющие различным требованиям, что связано с недоопределенностью задач свободой выбирать две произвольные функции одной переменной. Вопрос о том, как сформировать такие конфигурации, решается в терминах плазмодинамической модели, т.е. численного решения нестационарных МГДзадач о формировании равновесия. В докладе представлена одномерная модель динамики плазмы в окрестности одного прямолинейного проводника с током в связи с общим для всего класса ловушек-галатей вопросом как избежать контакта проводников с горячей плазмой.

Показано, что в плазме конечной проводимости строго равновесных конфигураций с изолированными проводниками существовать не может. Цель достигается в нестационарной модели с возрастающим на начальной стадии процесса током в проводнике [2]. При этом в плазме вблизи проводника возникает вертикальный ток обратного направления, который, взаимодействуя с азимутальным магнитным полем, отжимает плазму в нужном направлении. Затем наступает квазистационарная стадия с постоянным током в проводнике, на которой образовавшаяся конфигурация кольцевого сечения медленно (при высокой проводимости плазмы) разрушается вследствие диффузии магнитного поля.

Вопросы, рассматриваемые в докладе, изложены в последних статьях авторов [3, 4]. См. также книгу [5] с подробной библиографией на данную тему.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-00181 и № 09-01-12056).

1. Морозов А. И., Франк А. Г. Тороидальная мультипольная ловушка-галатея с азимутальным током // Физ. плазмы. 1994. Т. 20. № 11. С. 982–989.

2. Дудникова Г. И., Морозов А. И., Федорук М. П. Численное моделирование прямых плазменных конфигураций-галатей типа “Пояс” // Физ. плазмы.

1997. Т. 23. № 5. С. 387–396.

3. Брушлинский К. В., Чмыхова Н. А. О равновесии плазмы в магнитном поле ловушек-галатей // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 6. С. 3–14.

4. Брушлинский К. В., Игнатов П. А. Плазмостатическая модель магнитной ловушки “Галатея-Пояс” // ЖВФиМФ. 2010. Т. 50. № 12 (в печати).

5. Брушлинский К. В. Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2009.

О континуальных моделях в переходном режиме гиперзвукового обтекания затупленных тел Continuum models of hypersonic ow over blunted bodies in transitional regime Брыкина И. Г.1, Рогов Б. В.2, Тирский Г. А. НИИ механики МГУ, Москва, Россия; [email protected] ИММ РАН, Москва, Россия; [email protected] НИИ механики МГУ, Москва, Россия; [email protected] Задачи гиперзвуковой аэротермодинамики в потоках разреженных газов связаны с исследованием движения космических аппаратов, зондов и метеороидов в верхних слоях атмосферы Земли и других планет и характеризуются большими числами Кнудсена Kn или малыми числами Рейнольдса Re. Дается обзор различных подходов к решению таких задач континуального (решение уравнений Навье– Стокса или их упрощенных вариантов), кинетического (решение уравнения Больцмана или его упрощенных вариантов), методов прямого статистического моделирования Монте-Карло, решений в свободномолекулярном режиме обтекания, а также различных гибридных континуально-кинетических методов.

Основное внимание уделяется континуальному подходу решения двумерных задач гиперзвукового обтекания затупленных тел в переходном от континуального к свободномолекулярному режиме обтекания с использованием двух асимптотически согласованных моделей: вязкого ударного слоя (ВУС) и тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС). Модели ТВУС и ВУС были предложены соответственно Ченгом и Дэвисом и широко использовались в дальнейшем при больших числах Re. Путем асимптотического анализа показано, что уравнения ТВУС и ВУС справедливы, т.е. выводятся из уравнений Навье– Стокса, также и при малых числах Re. Выводятся асимптотически корректные граничные условия на ударной волне и на поверхности тела для моделей ВУС и ТВУС. Путем асимптотического анализа при малых числах Re получено простое аналитическое решение для коэффициентов трения, теплопередачи и давления на поверхности в зависимости от параметров набегающего потока и геометрии обтекаемого тела, приближающееся при Re 0 к решению в свободномолекулярном потоке.

Показано, что использование асимптотически корректных граничных условий на ударной волне и на поверхности тела с учетом скорости скольжения и скачка температуры расширяет область применимости ВУС для расчета теплопередачи и трения в наветренной области холодного затупленного тела, движущегося с гиперзвуковой скоростью, до высот 140 150 км на траектории входа в атмосферу Земли космического аппарата SpaceShuttle (при радиусе затупления 1 м), или до Kn 15 20. Модель ТВУС дает достоверные результаты для коэффициентов теплопередачи и трения в переходном режиме обтекания на высотах более 100 км, или Kn 0.1, и дает для этих коэффициентов правильный предельный переход к значениям в свободномолекулярном потоке при Kn. При 0.1 < Kn < обе модели дают достоверные результаты, что дает возможность использовать модель ВУС (как более точную) при малых числах Kn и при Kn 1 переходить к модели ТВУС, дающей правильную асимптотику при больших числах Kn. Таким образом, предлагается единый континуальный метод для предсказания теплового потока и трения на затупленных телах, обтекаемых гиперзвуковым потоком газа, при любых числах Kn, который базируется на использовании только континуальных моделей течения, как альтернатива континуальнокинетическим методам, требующим существенно больших затрат вычислительных ресурсов. Теоретические результаты подтверждаются сравнениями с решениями кинетических уравнений, решениями методом прямого статистического моделирования Монте-Карло и решениями в свободномолекулярном режиме обтекания.

Работа выполнена при поддержке Роснауки (гос. контракты 02.740.11. и П594) и РФФИ (проект № 09-01-00728).

Исследования гиперзвукового обтекания тел Investigations of hypersonic ows of real gas Власов В. И., Горшков А. Б., Ковалев Р. В., Лунев В. В., ЦНИИмаш, Королев, Московская область, Россия;

Приводятся и обсуждаются полученные авторским коллективом результаты численных исследований обтекания летательных аппаратов (ЛА) различных форм гиперзвуковым потоком реального газа.

Под реальным в данном случае подразумевается газ, в котором равновесным или неравновесным образом протекают физико-химические процессы (диссоциация молекул, их и атомов ионизация, возбуждение колебательных и электронных уровней, испускание и поглощение излучения), сопутствующие полетам ЛА в атмосфере Земли или других планет с гиперзвуковыми скоростями (до 12 км/с), соответствующими возвращению аппаратов баллистического или планирующего спуска с земных, лунных или марсианских орбит. В зависимости от высоты полета используется ламинарная или турбулентная (в рамках дифференциальных моделей) система уравнений Навье–Стокса. В качестве основных объектов исследований выбраны проектируемые или перспективные формы ЛА.

Для решения этих задач используются две численные методики, различающиеся способом дискретизации исходных дифференциальных уравнений Навье–Стокса конечно-объемный и конечно-разностный методы.

Физико-химическая модель неравновесного воздуха в общем случае включает в себя пять атомных и молекулярных компонентов (N, N2, O, O2, NO), их ионы, электроны, электронную температуру и колебательные температуры молекул. При этом возможны и некоторые физически обоснованные упрощения этой модели, приводящие к сокращению числа неизвестных. Кроме того, используется приближенная диффузионная модель, использующаяся закон Фика и постоянные числа Шмидта. Такое допущение, существенно упрощая решение громоздких многомерных задач, дает, тем не менее, удовлетворительные результаты при определении тепловых потоков основной цели наших исследований. Для более точного определения диффузионных потоков в дальнейшем предполагается использовать соотношения Стефана–Максвелла.

Важную роль при этом играют гетерогенные реакции, определяющие граничные условия для компонентов на поверхности теплозащитных покрытий ЛА.

Сформулированную газодинамическую задачу замыкает набор данных или формул для коэффициентов скоростей реакций, определяемых, как правило, экспериментально. Эти данные пока еще недостаточно полны и достоверны и поэтому обрисованная модель нуждается в апробации, причем желательно в натурных, летных условиях. Тем не менее результаты расчетов, выполненных с применением данной модели, в целом находятся в удовлетворительном согласии с известными такими экспериментами, что и позволяет использовать соответствующие модели и основанные на них методы расчета для выполнения заказов проектных организаций.

При решении задач радиационной газовой динамики основные трудности связаны с чрезвычайно неравномерным, даже внешне, “хаотичным” распределением коэффициентов поглощения воздуха по частотам. И эти трудности усугубляются для оптически плотных газовых объемов, радиационное поле в которых описывается интегродифференциальными уравнениями. Пока эти трудности более или менее преодолены для равновесных высокотемпературных течений. Для неравновесных же задач требуется решение ряда вопросов постановочного характера. На сравнительно низких высотах полета (меньших 45 км, например, в зависимости от размера тела) в пограничном слое или в зонах отрыва начинается переход ламинарных течений в турбулентные. Несмотря на огромные усилия, этот процесс перехода все еще недостаточно изучен, хотя весьма большой набор экспериментальных данных по этому вопросу позволяет делать соответствующие прогнозы в типичных ситуациях. Что же касается развитых турбулентных течений, то известные дифференциальные модели турбулентности при должной адаптации дают приемлемые для практики результаты.

На основе изложенной постановки сформулированных задач выполнена большая серия демонстрационных расчетов, проведен газодинамический анализ результатов и проведена их апробация с привлечением различных экспериментальных данных.

Обобщение теоремы Прандтля–Бэтчелора на нестационарные рециркуляционные течения Extension of the Prandtl–Batchelor theorem to non-stationary ows with closed streamlines ЦАГИ, Жуковский, Россия; [email protected] Существуют области течения жидкости, в которых линии тока являются замкнутыми. Такие рециркуляционные течения образуются, например, при обтекании вогнутых углов, в ближнем следе за донным срезом, при обтекании тел с вырезом. Каждому рециркуляционному течению можно поставить в соответствие характерное число Рейнольдса, равное отношению циркуляции скорости по границе области к кинематическому коэффициенту вязкости. При больших числах Рейнольдса рециркуляционное течение описывается в главном приближении решением уравнений идеальной жидкости. Из этих уравнений следует, что для плоского стационарного течения завихренность зависит только от функции тока. В работах Прандтля [1] и Бэтчелора [2] было установлено, что завихренность в зоне рециркуляционного течения постоянна. Значение завихренности определяется из условия цикличности течения в пограничных слоях, ограничивающих область рециркуляционного течения [2, 3].

В данном докладе рассматривается случай, когда плоское течение жидкости в рециркуляционной области является медленно меняющимся с течением времени. Для таких течений удалось получить интегральное соотношение, показывающее, что причинами изменения циркуляции скорости по контуру, совпадающему с линией тока, являются расширение контура и диффузия завихренности через его границу. В стационарном случае из полученного интегрального соотношения следует теорема Прандтля–Бэтчелора.

Далее рассматриваются плоские рециркуляционные течения, которые автомодельны по времени. Показано, что возможны только два класса автомодельных течений. Для них интегральные соотношения превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения, не зависящие от времени. Первый класс соответствует степенной автомодельности, при которой размер рециркуляционной области растет пропорционально корню из времени, а циркуляция меняется степенным образом. Второй класс соответствует экспоненциальной автомодельности: размер области не меняется, а циркуляция растет по экспоненциальному закону.

Приводится ряд конкретных задач, для которых реализуется степенной класс автомодельных решений: о пластинке с движущейся против потока поверхностью, о диффузии двух вихрей, об обтекании расширяющейся пластины. В случае экспоненциальной автомодельности завихренность оказывается линейной функцией функции тока. Для всех задач получено численное решение уравнений Навье– Стокса, хорошо согласующееся с автомодельным поведением характеристик течения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 10-08-00375 и № 10-01-00516) и ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (Государственный контракт № 02.740.11.0203).

1. Prandtl L. “Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung” // Vehr. d.

III Intern. Math. Kongr. Heidelberg, (1904).

2. Batchelor G. K. “On Steady laminar ow with closed streamlines at large Reynolds number” //J. Fluid Mech. (1956). V. 1. Pt. 2. Pp. 177–190.

3. Нейланд В. Я., Сычев В. В. “К теории течений в стационарных срывных зонах” // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. I. № 1. С. 14–23.

Применение переменных А.А. Дородницына и его метода при решении новых задач The use of Dorodnicyn variables and method for the solution of new problems 1. Применение в работах [1–3] переменных Дородницына и результатов его работы для определения тепломассообмена в потоках диссоциированного воздуха путем перехода в уравнениях к неизвестной функции теплосодержания i и аппроксимации закона вязкости µ в виде µ · i1n, где плотность.

2. Разработка в [4] способа построения решения уравнений типа Прандтля в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий на стенке и во внешнем потоке.

3. Использование в [5, 6] переменной А.А. Дородницына в нестационарных задачах путем введения новой фиктивной поперечной скорости, обеспечивающей для безградиентных течений сведение соответствующих уравнений пограничного слоя для газа к уравнениям для несжимаемой жидкости.

4. Постановка новых задач динамики формирования пограничных слоев и следов за ударными волнами и контактными разрывами. Приближенные и некоторые точные решения поставленных задач [5–10].

5. Анализ возникающего при переходе к функции и переменным Крокко (см. [11]) в автомодельных задачах нестационарного пограничного слоя, описываемого уравнением параболического типа с вырождением на линии V x =, где = x/(V t), и их решение методом А.А. Дородницына в каждой из областей, где коэффициент при первой производной d/d не меняет знака, где безразмерное напряжение трения (с сопряжением решений на линии вырождения) [12, 13]. Эффективность применения метода установления по фиктивному времени для решения пробных задач [14].

1. Демьянов Ю. А. Об одном применении переменных в теории пограничного слоя А.А. Дородницына // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 4.

2. Демьянов Ю. А. Трение и теплообмен в потоке диссоциированного воздуха // Труды НИИ-88. 1956. № 2(14).

3. Демьянов Ю. А. Трение и теплообмен в потоке диссоциированного воздуха при наличии уноса массы с поверхности // Труды НИИ-88. 1957.

4. Демьянов Ю. А. Об одном способе построения решения уравнений типа Прандтля в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9. № 4.

5. Демьянов Ю. А. Автомодельные задачи неустановившегося пограничного слоя сжимаемого газа // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 6.

6. Демьянов Ю. А. Формирование пограничного слоя на пластине за движущимся скачком уплотнения // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 3.

7. Демьянов Ю. А. Замещение пограничных слоев при смене жидкостей или газов // ПММ. 1959. Т. 22. Вып. 2.

8. Демьянов Ю. А., Киреев В. Т. Применение уравнений нестационарного смещения к некоторым задачам аэродинамики // МЖГ. 1966. Вып. 3.

9. Демьянов Ю. А., Киреев В. Т. О формировании стационарного смещения в аэродинамическом следе // МЖГ. 1967. Вып. 3.

10. Демьянов Ю. А., Покровский А. Н., Фролов Л. Г. Формирование следа при сходе ударной волны с кромки пластины // МЖГ. 1972. Вып. 4.

11. Lam N., Crocco L. Note on the shock induced unsteady laminar boundary layer on a semiinnite at plate // 1. Aero/Space Sci. 1959, 26, № 1.

12. Демьянов Ю. А., Феоктистов В. В. Применение метода интегральных соотношений к решению сингулярных уравнений параболического типа, встречающихся в теории пограничного слоя // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15.

13. Демьянов Ю. А., Феоктистов В. В. Численное решение задачи формирования пограничного слоя на пластине за движущейся ударной волной // МЖГ. 1976. Вып. 1.

14. Демьянов Ю. А., Демьянов А. Ю., Касымов Ш. А. Численное исследование нестационарных автомодельных задач пограничного слоя с зоной отрыва // ЖВМ и МФ. 1981. Т. 21. № 5.

Исследование вязкого взаимодействия при обтекании трансзвуковым потоком газа малых осесимметричных препятствий The viscous interaction investigation of transonic gas ow over a small axisymmetric element of roughness МФТИ, Долгопрудный, Россия; [email protected] ЦАГИ, Жуковский, Россия; [email protected] В 1946 г. в экспериментальных исследованиях [1] было получено, что взаимодействие падающей ударной волны с ламинарным пограничным слоем носит сложный характер и не укладывается в классическое представление о пограничном слое. Они также показали, что пограничный слой существенно влияет на формирование трансзвукового течения. Дальнейшие исследования подтвердили эти выводы [2].

Теория свободного взаимодействия, в рамках которой были получены уравнения, описывающие механизм взаимодействия ударной волны с пограничным слоем, появилась в конце шестидесятых годов прошлого века в работах [3, 4]. Уравнения, описывающие свободное взаимодействие внешнего стационарного трансзвукового потока с ламинарным пограничным слоем, были впервые выведены в [5].

В данной работе рассматривается трансзвуковое осесимметричное обтекание тела вращения с малой неровностью поверхности в рамках теории свободного взаимодействия. В большей своей части осесимметрическое тело представляет собой цилиндр, на котором расположена неровность. Высота неровности предполагается намного меньше радиуса цилиндра и такой, что она индуцирует в своей окрестности течение, описываемое теорией свободного взаимодействия. Согласно этой теории течение имеет трехслойную структуру. В верхней невязкой области течение описывается уравнением Кармана–Гудерлея для потенциала возмущенной скорости, в нижнем вязком пристеночном слое течение описывается уравнениями пограничного слоя. В среднем промежуточном слое давление и наклон линий тока передаются поперек него в главном приближении без изменений. Распределение давления заранее неизвестно и определяется в совместном решении уравнений, описывающих течение в вязком подслое и невязком внешнем потоке.

Цель работы изучить влияние величины радиуса тела и формы неровности на течение в области свободного взаимодействия при условии, что радиус цилиндра и поперечный размер области свободного взаимодействия одного порядка. В этом случае влияние трехмерности течения проявляется уже в первом приближении. Особое внимание уделяется структуре возникающих во внешней потенциальной области сверхзвуковых зон и замыкающих их ударных волн, а также зон локального отрыва, если они появляются в нижнем вязком подслое пограничного слоя.

В частности показано, что с ростом радиуса цилиндра при фиксированной высоте неровности существенно растет интенсивность ударной волны, но при этом положение основной ударной волны меняется слабо. Картина течения в этом случае качественно совпадает с полученной в экспериментах [1].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-01-00999).

1. Liepmann H. F. “The interaction between boundary layer and shock waves in transonic ow,” Aeronaut. Sci., 13, No. 2, 623-638 (1946).

2. Moulden T. H. Fundamentals of Transonic Flow, Willey, N.Y., 1984, p. 332.

3. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Известия АН СССР. МЖГ. 1969. № 4. С 53–57.

4. Stewartson K., Williams P. G. “Self-induced separation,” Proc. Roy. Soc.

London. Ser. A, 312, No. 509, 181–206 (1969).

5. Messiter A. F., Feo A., Melnic R. E. “Shock-wave strength for separation of laminar boundary layer at transonic speeds,” AIAA Journal, 9, No. 6, 1197– 1198 (1971).

Радиационная газодинамика вблизи Radiative gas-dynamics near astrophysical objects NASA Goddard Space Flight Center, USA Исследование магнито- и газодинамических течений вблизи компактных гравитирующих объектов, таких как сверхмассивные черные дыры в активных галактических ядрах, сопряжено с необходимостью учитывать давление излучения. В последнее время достигнут существенный прогресс в численном решении полной системы уравнений радиационной газодинамики в двух- и трехмерной постановке для физических условий, характерных для плазмы в так называемых аккреционных дисках. В дальнейшем полученные решения используются в качестве начальных данных для полного трехмерного решения задачи о переносе рентгеновского излучения, в 105 рентгеновских линий, учитывая поляризацию излучения.

Дается обзор результатов, полученных автором в теории переноса излучения в сильных гравитационных полях, численного моделирования переноса излучения и численного решения уравнений радиационной газодинамики. Стоит отметить, что следующее поколение космических рентгеновских обсерваторий будут впервые способны детектировать поляризацию рентгеновского излучения от астрофизических объектов, таких как аккреционные диски. В результате станет впервые возможным, сопоставляя полученные теоретические спектры с экспериментальными данными, получать информацию о таких фундаментальных характеристиках черной дыры, как ее масса и угловой момент (спин).

Численное моделирование устойчивости и восприимчивости гиперзвуковых течений Numerical modelling of the stability and susceptibility of hypersonic ows of viscous gas Егоров И. В., Новиков А. В., Судоков В. Г., Федоров А. В.

ЦАГИ, Жуковский, Россия; [email protected] Предсказание ламинарно-турбулентного перехода важная задача для проектирования и расчета сопротивления высокоскоростных летательных аппаратов. Ранний переход может привести к уменьшению эффективности силовой установки, к увеличению вязкого трения (которое может составлять более 30% полного сопротивления), к ухудшению производительности системы управления. В связи с этим стратегия достижения экономически жизнеспособных аэрокосмических систем требует применения технологий ламинаризации потока, которые существенно затягивают переход.

В двумерном высокоскоростном пограничном слое первая или вторая моды являются доминирующими при достаточно малых градиентах давления (когда поперечная неустойчивость и вихри Гертлера не проявляются). Первая мода связана с волнами Толлмина–Шлихтинга, а вторая мода одна из семейства акустических мод. Первая мода может быть стабилизирована охлаждением поверхности, отсосом, благоприятным градиентом давления. Вторая мода начинает доминировать в пограничном слое при достаточно больших числах Маха (приблизительно M > 4). В противоположность первой моде охлаждение поверхности дестабилизирует вторую моду. Так как температура поверхности типичного высокоскоростного летательного аппарата существенно ниже, чем температура теплоизолированной поверхности, неустойчивость первой моды подавляется естественным образом, а возмущения второй моды растут быстрее и могут вести к раннему ламинарно-турбулентному переходу. Это говорит о том, что концепция затягивания перехода должна быть связана с неустойчивостью второй моды.

В настоящей работе исследовалось развитие возмущений второй моды с помощью метода прямого численного моделирования. Численное решение получено с использованием неявного метода конечного объема, который основан на TVD-схеме второго порядка аппроксимации, что позволяет рассматривать в том числе и сложные конфигурации. На первом этапе получено стационарное решение уравнений Навье–Стокса, которое удовлетворяет невозмущенным граничным условиям. Для исследования восприимчивости и устойчивости пограничного слоя начальные возмущения вводятся с помощью граничных условий (локальный периодический вдув-отсос на стенке, быстрая и медленная акустические волны, энтропийная волна и волна завихренности).

В работе проведено исследование восприимчивости и устойчивости двумерного сверхзвукового пограничного слоя на следующих конфигурациях: плоской пластине, конусе, в угле сжатия и на плоской пластине с волнообразной поверхностью.

При обтекании волнообразной поверхности возмущения стабилизируются. Это связано с тем, что волнообразная стенка трансформирует течение в пограничном слое в течение в слое смешения, соединяющем близлежащие выемки. На рис. 1 показаны возмущения давления на плоской пластине, а на рис. 2 аналогичные возмущения давления на волнообразной поверхности. В работе показано, что правильно сконструированная волнообразная поверхность может привести к уменьшению возмущений в высокоскоростном пограничном слое, что может существенно увеличить ламинарный участок.

Рис. 1. Возмущения давления на плоской пластине Рис. 2. Возмущения давления на волнообразной поверхности Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-08и ФЦП ННПКИР ГК № 02.740.11.0203.

Солитонные возмущения в пограничном слое Soliton disturbances in a boundary layer ВЦ РАН, Москва, Россия; [email protected] Останавливаясь на исторической ретроспективе поиска решений принципиальной проблемы движений жидкости и газа при больших числах Рейнольдса, нельзя не отметить, что вплоть до настоящего времени магистральным путем является применение классической теории пограничного слоя [1]. Однако иерархическая конструкция пограничного слоя Л. Прандтля (теория слабого взаимодействия) в ряде ситуаций требует определенного пересмотра. Далеко идущие обобщения классической теоретической схемы удалось реализовать в задачах так называемого свободного взаимодействия внешнего потока с пограничным слоем [2].

Развитые в [2] представления позволили провести асимптотический анализ [3] нелинейных пульсационных полей, существенным компонентом которого является обоснование применимости уравнений Бюргерса и Бенджамина–Оно к описанию эволюции возмущений для сверх- и дозвуковых диапазонов. Что касается трансзвуковых движений, то флуктуационная картина описывается интегро-дифференциальным уравнением где K трансзвуковой параметр, а сектор интегрирования S устанавливается неравенствами Если K +, уравнение (1) сводится к уравнению Бюргерса В другом предельном случае K уравнение (1) приобретает вид уравнения Бенджамина–Оно Решение уравнения (1) в виде изолированного солитона существует при K < c < 0.

Периодическое солитонное решение уравнения (1) также предполагает, что K < c < 0.

Двумерное обобщение уравнения Бенджамина–Оно содержит неодномерные солитоннные решения.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект № 2.1.1/500).

1. Дородницын А. А. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе // Доклады АН СССР. 1942. Т. 34. № 8. С. 234–242.

2. Нейланд В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва // III Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, 25/I-1/II 1968 г.: Сб. аннотаций докладов съезда. М.: Наука, 1968. С. 224.

3. Жук В. И. Волны Толлмина–Шлихтинга и солитоны. М.: Наука, 2001.

О методах расчета высокотемпературных Some approaches to high temperature process ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия;

[email protected], [email protected] Для моделирования высокотемпературных процессов, протекающих в микромишенях при обжатии их пучками тяжелых ионов, в [1] предложена модель сплошной среды, частицы которой ионы, электроны и фотоны имеют единую плотность, общий вектор скорости, но различную температуру. На основе этой модели в ИПМ им. М.В. Келдыша созданы методика и компьютерный код Н3Т. Базовым элементом Н3Т является алгоритм [2] решения нестационарных уравнений газовой динамики в областях сложной формы с подвижными границами. Для расчетов тепловых процессов авторами доклада построена пространственно-временная дискретизация, согласованная с газодинамическим этапом. В докладе приведены основные принципы построения и опыт использования предложенных схем. Изложение ведется для случая неортогональных сеток с криволинейными четырехугольными ячейками, в центрах которых заданы значения сеточных функций. Для аппроксимации по пространству записывается закон сохранения тепла для каждой сеточной ячейки. Потоки тепла на сторонах (ребрах) ячеек находятся интерполяцией значений сеточной функции на локальном шаблоне узлов. Интерполяция проводится методом наименьших квадратов в квадратичном базисе в локальной криволинейной системе координат, что вместе с восполнением ребер дугами окружностей обеспечивает инвариантность схемы относительно вращений, т.е. сохранение симметрии решений.

На каждом шаге по времени решение системы трех дискретных уравнений теплопроводности производится явно-итерационной схемой ЛИ-М с чебышевскими параметрами, являющейся развитием схемы [3].

Схема ЛИ-М обеспечивает высокую фактическую точность и эффективное функционирование на многопроцессорных системах. Если формально исключить внутренние итерации, то схему ЛИ-М можно представить как явную разностную схему с увеличенным в p раз шаблоном узлов сетки. Число p определяется шагом по времени и коэффициентами пространственной дискретизации. Каждый из p шагов схемы ЛИ-М эквивалентен по трудоемкости одному шагу явной схемы, но при заданном для выполнения перехода на верхний слой по времени явная схема вместо p шагов потребует p2 шагов.

Принципы дискретизации уравнения теплопроводности носят достаточно универсальный характер и могут быть использованы для других задач, представляющих системы законов сохранения при наличии диссипативных процессов. Схему ЛИ-М в задачах с гладкими решениями можно использовать как предиктор, тогда получается схема ЛИ-2 второго порядка точности. Обоснование двух этих схем проведено для многомерных линейных параболических уравнений в [4].

Главная идея конструкции схем ЛИ отличается от обычного ускорения итераций: выбор числа итераций и итерационных параметров диктуется условиями аппроксимации и устойчивости, а не оптимизацией сходимости итераций к решению неявной схемы; также есть важное отличие и от способов получения устойчивых явных многошаговых схем, в которых формальное стремление к максимальному расширению области устойчивости может приводить к потере точности вследствие ухудшения аппроксимации по пространству. Исследование качества явно-итерационных схем основано на приемах, примеры которых, наряду с результатами расчетов, приведены в данном докладе.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 08-01-00144-а и № 09-01-12024-офи-м).

1. Забродин А. В., Прокопов Г. П. Методика численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем.

моделирование физических процессов. 1998. Вып. 3. С. 3–16.

2. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

3. Локуциевский В. О., Локуциевский О. В. О численном решении краевых задач для уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. 1986.

Т. 291. № 3. С. 540–544.

4. Жуков В. Т. О явных методах численного интегрирования для параболических уравнений // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 10.

С. 127–158.

Метод интегральных соотношений, законы сохранения и термодинамика рабочего процесса высокотемпературных турбореактивных The method of integral relations, conservation laws and thermodynamics of the work process of high-temperature turbojet engines ЦИАМ, Москва, Россия; [email protected] Метод интегральных соотношений А. А. Дородницына [1] является одним из первых эффективных методов численного решения сложных нелинейных задач аэродинамики. Плодотворное развитие и практическое применение к решению актуальных задач внешней аэродинамики этот метод получил в работах О. М. Белоцерковского и П. И. Чушкина [2]. Следует подчеркнуть также возможность использования метода для получения ряда важных выводов в задачах внутренней аэродинамики при наличии теплоподвода к воздушному потоку.

В рамках настоящего исследования метод интегральных соотношений применяется для получения необходимых начальных параметров в модели излучающего теплопроводного газа. На основе этой модели удается сформулировать замкнутую систему термодинамически согласованных законов сохранения.

Аккуратное термодинамическое согласование законов сохранения газовой динамики требуется при теоретическом решении многих прикладных задач, например в задачах разработки высокотемпературных газотурбинных двигателей (ГТД). Известные затруднения и большие временные задержки создания современных авиационных ГТД непосредственно связаны с правильным решением данной проблемы.

Здесь прежде всего следует указать, что теоретически рассчитанные термогазодинамические параметры узлов и всего двигателя в целом существенно отличаются от экспериментально регистрируемых своих значений на первых опытных образцах. В частности, обычно регистрируется заметное превышение, а иногда недопустимо высокое значение температуры газа на входе в турбинный узел двигателя.

В настоящем докладе решение рассматриваемой проблемы строится теоретическим путем с привлечением современных опытных результатов физики. С целью наглядной иллюстрации материала изложение будет проводиться в рамках односкоростной двухкомпонентной (1V 2C) математической модели сжимаемой сплошной среды с газовой и радиационной составляющими. Изложены примеры практического применения предложенной теоретической модели, которые могут служить как ее экспериментальное обоснование. В частности, дается аналитическое и численное решение модельной задачи расширения теплового следа в ламинарном потоке газа за сильно нагретой нитью. Данная задача интересна тем, что в экспериментальных исследованиях обнаружен эффект аномально интенсивного расширения теплового следа. На основе методологии 1V 2C построена теоретическая модель реализующегося процесса и приведено соответствующее аналитическое решение. Выполнены также расчетные исследования наблюдающегося эффекта методами вычислительной гидродинамики. Представлены характерные результаты термогазодинамического расчета рабочего процесса, реализующегося в тракте авиационного ГТД. Отмечен ряд особенностей этого процесса, связанных с наличием гидродинамических и тепловых потерь, которые необходимо учитывать при согласовании различных узлов двигателя.

1. Дородницын А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики // Тр. III Всес. матем. съезда. М.: Издво АН СССР, 1958. Т. 3. С. 447–453.

2. Белоцерковский О. М., Чушкин П. И. Численный метод интегральных соотношений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. № 5. С. 731–759.

Кинетическое уравнение Власова, динамика сплошных сред и турбулентность continuum dynamics, and turbulence Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия; [email protected] Рассматривается динамика континуума взаимодействующих частиц, описываемая кинетическим уравнением Власова. Выводится бесконечная цепочка точных уравнений движения такой среды в эйлеровом представлении и исследуются их общие свойства. Важным примером служит бесстолкновительный газ, демонстрирующий необратимое поведение. Несмотря на потенциальный характер взаимодействия отдельных частиц, для динамики континуума характерны диссипативные свойства.

Рассматривается вопрос о возможности применения уравнения Власова к моделированию мелкомасштабной турбулентности.

О вариационных задачах газовой динамики Variational problems of gas dynamics ЦИАМ, Москва, Россия; [email protected] Первой задачей созданного И. Ньютоном вариационного исчисления была решенная им задача (задача Ньютона ЗН) о построении осесимметричной головной части, которая при фиксированных длине и радиусе основания имеет минимальное сопротивление. И. Ньютон решил эту задачу с использованием приближенной формулы (формулы Ньютона ФН), которая, как выяснилось в ХХ в., неплохо работает при гиперзвуковом обтекании выпуклых головных частей. В приближении точных уравнений газовой динамики (уравнений Эйлера) первая вариационная задача задача о форме сверхзвуковой части сопла максимальной тяги решена в 1957 г. под руководством А. А. Дородницына Ю. Д. Шмыглевским одним из учителей автора доклада. В докладе излагаются результаты, полученные докладчиком и под его руководством за последние 10–20 лет. Они включают широкий круг вариационных задач, решенных в приближении законов локального взаимодействия (ЗЛВ), в частности, ФН и ФН с трением, полных уравнений Эйлера и осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса, замкнутых дифференциальными моделями турбулентности.

В рамках ФН построены осесимметричные головные части, реализующие минимум сопротивления при фиксированных габаритах и объеме. В рамках ЗЛВ с трением построены пространственные тела минимального сопротивления, включая тела с заданным круговым основанием, а также с заданными круговым основанием и площадью наветренной поверхности. В рамках полных уравнений Эйлера решены задачи о плоских и осесимметричных головных частях и профилях минимального волнового сопротивления в сверхзвуковом потоке, ЗН с заданным объемом, задачи о построении до-, транс- и сверхзвуковых контуров осесимметричного сопла, реализующего при заданных общей длине и расходе максимум тяги, и задача об оптимальной пространственной сверхзвуковой части сопла, пространственность которого обусловлена габаритными ограничениями (связка сопел при заданном внешнем радиусе). Характерная особенность этих задач наличие в оптимальных конфигурациях участков краевого экстремума, возникающих, в первую очередь, из-за габаритных ограничений.

В приближении уравнений Навье–Стокса решены многокритериальные (оптимизация “по Парето”) и многодисциплинарные (с учетом напряженно-деформированного состояния и ограничений по статической и динамической прочности) оптимизационные задачи о профилировании пространственных лопаток рабочего колеса и спрямляющего аппарата скоростных вентиляторов современных воздушнореактивных двигателей.

Для решения перечисленных задач применялись непрямые и прямые методы теории оптимального управления, включая обоснованный докладчиком метод неопределенного контрольного контура, прямой метод локальной линеаризации С. А. Таковицкого, генетические алгоритмы, эффективные градиентные методы с представлением искомых контуров и поверхностей кривыми Бернштейна–Безье, расчеты на грубых сетках и распараллеливание вычислений. Для расчета двумерных и пространственных течений, определения напряженнодеформированного состояния, собственных форм и частот колебаний и построения оптимальных форм развиты быстрые и точные программные комплексы, которые даже пространственные задачи решают за приемлемые времена на кластерах из 20–30 процессоров. За рубежом для решения подобных задач за такие же времена используются кластеры несоизмеримо большей мощности.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00178) и Аналитической ведомственной целевой программы развития научного потенциала высшей школы (проект № 2.1.1/200).

Новые модели гиперзвуковых течений вязкого газа New models of hypersonic viscous gas ows МГОГУ, Московская область, Россия; [email protected] ЦАГИ, Жуковский, Россия; [email protected] Доклад посвящен рассмотрению двух проблем, связанных с гиперзвуковыми течениями вязкого газа. При анализе этих проблем использовано преобразование Дородницына (см. [1]), сводящее уравнения сжимаемого пограничного слоя к уравнениям для несжимаемого течения. Применение преобразования при построении новых моделей позволяет заключить, что само по себе оно не является формальным и позволяет существенно продвинуться в исследовании различных проблем.

Первая из задач связана с исследованием режимов локального сильного вязко-невязкого взаимодействия, являющихся в условиях нестационарного изменения формы поверхности или проявления других граничных условий. Применение преобразования Дородницына позволяет в этом случае получить для некоторых режимов взаимодействия краевую задачу гиперболического типа, в решении которой пересечение характеристик одного семейства приводит к формированию разрывных решений, описывая, по-видимому, некоторые формы псевдоскачка:

Характеристики системы уравнений описываются соотношениями Пересечение характеристик одного семейства может приводить к появлению разрывного решения. Из формулы Грина следует выражение для скорости перемещения разрыва где A1 и A2 соответственно значения функции слева и справа от разрыва. Условие стационарного положения разрыва dx/dT = 0 сводится к условию, выведенному в [2]. В результате численного решения задачи для определенной зависимости формы поверхности от времени такие решения были найдены [3].

Вторая из задач связана с проявлением эффектов разреженного газа, в частности с проявлением эффектов поступательной неравновесности при гиперзвуковом обтекании пластины. При предельном переходе M, Re0, RT0 /u2 = 0, N = Re0 1.

Для таких течений ранее была найдена в [4] соответствующая форма тензора напряжений, нелинейным образом связанная с тензором деформаций:

приводящаяся в пределе при больших значениях продольной координаты к обычному тензору.

В этих условиях также оказалось, что применение преобразования Дородницына существенно упрощает задачу, разделяя ее на чисто гидродинамическую и часть, связанную с эффектами взаимодействия:

Для нахождения связи между толщиной вытеснения и компонентом тензора напряжений pyy используем приближенную формулу касательного клина, справедливую в широком диапазоне параметра взаимодействия = M :

Решение полученной задачи не содержит, в отличие от классической теории сильного взаимодействия, особенности в распределении индуцированного давления, а характеризуется наличием максимума [5].

1. Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе // ПММ. 1942.

Т. 6. № 6. С. 449–486.

2. Нейланд В. Я. Особенности взаимодействия и отрыва транскритического пограничного слоя // Ученые записки ЦАГИ. 1987. Т. 18. № 2. С. 30–45.

3. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. М.: Физматлит, 2003.

4. Кузнецов М. М., Никольский В. С. О кинетической модели тонкого вязкого ударного слоя // Физическая механика неоднородных сред. Новосибирск, 1984. С. 101–110.

5. Кузнецов М. М., Липатов И. И., Никольский В. С. Реология течения разреженного газа в гиперзвуковом пограничном и ударном слоях // Известия РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 80–187.

Автомодельные асимптотики, описывающие распространение нелинейных волн Self-similar asymptotics for solutions which describe Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, [email protected], [email protected] Рассматриваются особенности поведения нелинейных волн в упругих средах, в которых длинноволновые возмущения описываются гиперболическими уравнениями, выражающими законы сохранения.

Предполагается, что в явлениях более мелкого масштаба существенны дисперсия и диссипация. Наличие дисперсии, проявляющейся в структурах ударных волн в виде колебаний, может приводить к тому, что множество разрывов, которым соответствует решение задачи о структуре разрыва в виде стационарной структуры (бегущей волны), приобретает сложное строение. При этом оказалось, что если при построении решений гиперболических систем уравнений использовать только разрывы со стационарной структурой, то для ряда автомодельных задач решения оказываются неединственными. Число решений зависит от влияния дисперсии внутри структуры и неограниченно растет с ростом этого влияния. В связи с этим возникает вопрос, какие решения реализуются и при каких условиях. С целью получения ответа на этот вопрос были проведены численные эксперименты по решению начально-краевых задач для уравнений, описывающих нелинейные волны в вязко-упругой среде с дисперсией. Проведенные исследования позволили сформулировать выводы о реализуемости автомодельных решений, рассматриваемых как асимптотики неавтомодельных решений при больших временах и масштабах. Определены способы указания реализующейся асимптотики в зависимости от деталей постановки начально-краевой неавтомодельной задачи.

Кинетическая модель уравнения Больцмана для двухатомного газа с вращательными Kinetic model of the Boltzmann equation for diatomic gas with rotational degrees of freedom ВЦ РАН, Москва, Россия; [email protected] В основу описания двухатомной газовой среды положено уравнение Больцмана для функции распределения f (t, x,, e), заданной в момент времени t в фазовом пространстве физических векторов x, поступательной скорости и вращательной энергии молекул e. Расчет течений двухатомных газов сопровождается значительным увеличением затрат машинного времени по сравнению с расчетом течений одноатомного газа. Особенно это касается течений при малых и умеренных числах Кнудсена, так как шаги по времени составляют доли числа Кнудсена. При численном решении уравнения Больцмана основные затраты вычислительного времени связаны с тем, что на каждом шаге по времени в каждой дискретной точке семимерного пространства (x,, e) необходимо вычислять шестимерный интеграл столкновений.

Другим подходом к решению такого рода задач является использование кинетических модельных уравнений, приближающих уравнение Больцмана. Преимущество модельных уравнений состоит в том, что для вычисления дискретных выражений модельного интеграла столкновений приходится в каждой дискретной точке физического пространства вычислять лишь некоторое число трехкратных интегралов по скорости. Существенное снижение объема вычислений достигается благодаря тому, что построенное модельное кинетическое уравнение допускает осреднение по вращательной энергии e. При помощи интегрирования по переменной e делается переход от функции распределения f (t, x,, e) к новым искомым функциям Здесь f0 распределение частиц в фазовом пространстве (x, ), f распределение плотности вращательной энергии в этом же пространстве.

Описание двухатомного газа основано на системе двух уравнений для плотностей fi, i = 0, 1 (см. [1–4]):

Величины t и r представляют собой частоты упругих и неупругих столкновений соответственно. Функции f0 и f1 можно истолковывать как плотности распределения в пространстве (x, ) числа частиц и их вращательной энергии, испытавших упругое столкновение, а функr r испытавших неупругое столкновение. Функции fit и ции f0 и f fi строятся в виде разложения по собственным функциям линейных операторов столкновений [5]. Их выражения приводятся в [1–3].

В данной работе предлагаются новые выражения для частот упругих t и неупругих r столкновений, которые существенно расширяют область применимости кинетической модели. На основе новых модельных уравнений решена задача о структуре ударной волны для азота и дано сравнение с экспериментом. Кинетическая модель уравнения Больцмана предназначена для расчета сложных течений двухатомного газа с учетом вращательных степеней свободы молекул.

1. Рыков В. А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1975.

№ 6. С. 107–115.

2. Larina I. N., Rykov V. A., “The boundary condition on the body surface for a diatomic gas,” Proceedings of 15-th International Symposium on Rareed Gas Dynamics, Stuttgartt, 1986, Vol. 1. Pp. 635–643.

3. Ларина И. Н., Рыков В. А. Пространственное обтекание конических тел потоком разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989.

T. 29. № 1. C. 110–117.

4. Рыков В. А., Титарев В. А., Шахов Е. М. Структура ударной волны в двухатомном газе на основе кинетической модели // Изв. РАН. Механ.

жидкости и газа. № 2. 2008. C. 171–182.

5. Ларина И. Н., Рыков В. А. Кинетическая модель уравнения Больцмана для степенного потенциала взаимодействия между молекулами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 3. C. 1–13.