УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

В.П. Гарькин

1 апреля 2011 года

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА 2КУРС САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(цикл «Математический и естественнонаучный»; базовая часть направление 08050.62 Бизнес-информатика) Раздел 1. Теория пределов Тема 1.1. Предел последовательности Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Предел последовательности и его свойства. Предельные переходы в неравенствах. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е».

Постоянная Эйлера. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости последовательности.

Тема 1.2. Предел функции Понятие предела числовой функции. Свойство монотонности предела функции.

Критерий Коши существования предела функции. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. Теоремы о пределе сложной функции. Порядок бесконечно малой функции.

Раздел 2. Функция одной переменной Тема 2.1. Непрерывность функции в точке Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.

Замечательные пределы. Непрерывность функции на множестве. Общие свойства функций непрерывных на отрезке. Понятие равномерной непрерывности. Классификация точек разрыва функции.

Тема 2.2. Дифференцирование функции одной переменной Приращение функции. Производная. Геометрический и физический смысл производной функции в точке. Таблица основных производных. Правила вычисления производных. Касательная и нормаль к плоской кривой. Дифференциал.

Дифференцирование сложной функции. Правила дифференцирования. Производные и дифференциалы высших порядков. Возрастание и убывание функции в точке. Теоремы Роля, Коши и Лагранжа. Производная функции заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Остаточный член в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость. Точки перегиба.

Тема 2.3. Неопределенный интеграл Точная первообразная. Интегрируемые функции. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределённых интегралов. Метод подстановки.

Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Приёмы интегрирования тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Тема 2.4.. Определенный интеграл Определение интеграла Римана. Критерий интегрируемости функции по Риману.

Свойства определенного интеграла. Теорема Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Теоремы о среднем значении. Приложения определённого интеграла. Некоторые приложения в экономике.

Несобственные интегралы. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Раздел 3. Функция многих переменных Тема 3.1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных Сходимость точек в n-мерном пространстве. Открытые и замкнутые множества.

Предельные точки множества. Функции нескольких вещественных переменных, линии уровня, поверхности уровня. Предел функции. Непрерывность, свойства непрерывных функций. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент. Производная функции многих переменных в данном направлении. Эластичность функции нескольких переменных. Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

Формула Тейлора для функции двух и нескольких переменных. Вектор-функция, матрица Якоби. Неявная функция, теорема существования. Определение экстремума функции нескольких переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных и для функции нескольких переменных. Условие отсутствия локального экстремума Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределённых множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения дважды дифференцируемой функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве.

Раздел 4. Ряды Тема 4.1. Числовые ряды Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами.

Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

Перестановки членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды.

Тема 4.2. Функциональные последовательности и ряды Сходимость функционального ряда. Равномерная сходимость. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности. Признак равномерной сходимости. Теорема Дини. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда.

Степенные ряды. Бесконечные произведения. Ряды Фурье.

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, - М.: ДЕЛО – 2000.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие под ред.

Проф. В.И.Ермакова, - М.: ИНФА – М. – 2002.

1. Фихтенгольц. Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1,2,3. - М., Наука. (любой год издания).

УТВЕРЖДАЮ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА 2КУРС САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(блок «Общие математические и естественнонаучные дисциплины»; раздел основная образовательная программа специальности 080116. Раздел 1. Теория пределов Тема 1.1. Предел последовательности Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Предел последовательности и его свойства. Предельные переходы в неравенствах. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е».

Постоянная Эйлера. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости последовательности.

Тема 1.2. Предел функции Понятие предела числовой функции. Свойство монотонности предела функции.

Критерий Коши существования предела функции. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне. Теоремы о пределе сложной функции. Порядок бесконечно малой функции. Применение пределов в экономике.

Раздел 2. Функция одной переменной Тема 2.1. Непрерывность функции в точке Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.

Замечательные пределы. Непрерывность функции на множестве. Общие свойства функций непрерывных на отрезке. Понятие равномерной непрерывности. Классификация точек разрыва функции.

Тема 2.2. Дифференцирование функции одной переменной Приращение функции. Производная. Геометрический и физический смысл производной функции в точке. Таблица основных производных. Правила вычисления производных. Касательная и нормаль к плоской кривой. Дифференциал.

Дифференцирование сложной функции. Правила дифференцирования. Производные и дифференциалы высших порядков. Возрастание и убывание функции в точке. Теоремы Роля, Коши и Лагранжа. Производная функции заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Остаточный член в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость. Точки перегиба. Графики в экономическом моделировании. Эластичность функции одной переменной и её свойства.

Применения производной в экономике: предельная себестоимость и эластичность спроса.

Максимизация прибыли.

Раздел 3. Функция многих переменных Тема 3.1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных Сходимость точек в n-мерном пространстве. Открытые и замкнутые множества.

Предельные точки множества. Функции нескольких вещественных переменных, линии уровня, поверхности уровня. Предел функции. Непрерывность, свойства непрерывных функций. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент. Производная функции многих переменных в данном направлении. Эластичность функции нескольких переменных. Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

Формула Тейлора для функции двух и нескольких переменных. Вектор-функция, матрица Якоби. Неявная функция, теорема существования. Определение экстремума функции нескольких переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных и для функции нескольких переменных. Условие отсутствия локального экстремума. Метод наименьших квадратов аппроксимации функции одной переменной. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределённых множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения дважды дифференцируемой функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, - М.: ДЕЛО – 2000.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие под ред.

Проф. В.И.Ермакова, - М.: ИНФА – М. – 2002.

1. Фихтенгольц. Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1,2,3. - М., Наука. (любой год издания).

УТВЕРЖДАЮ

Теория вероятностей и математическая статистика

ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА 3 КУРС САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(блок «Общие математические и естественнонаучные дисциплины»; раздел «Федеральный»;

основная образовательная программа специальности 080116. Тема 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Классификация событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над событиями.

Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Тема 2. Повторные независимые испытания.

Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Тема 3. Случайные величины.

Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины.

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили.

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.

Тема 4. Основные законы распределения.

Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Равномерный закон распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Нормальный закон распределения. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин (2 – распределение, распределение Стьюдента. Распределение Фишера-Снедекора).

Тема 5. Многомерные случайные величины.

Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения. Функция случайных величин. Композиция законов распределения.

Тема 6. Закон больших чисел и предельные теоремы.

Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

Тема 7. Вариационные ряды и их характеристики.

Вариационные ряды и их графическое изображение. Средние величины.

Показатели вариации. Начальные и центральные моменты вариационного ряда.

Тема 8. Основы математической теории выборочного метода.

Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Методы нахождения оценок (метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов). Оценка параметров генеральной совокупности по собственнослучайной выборке. Определение эффективных оценок с помощью неравенства РаоКрамера-Фреше. Асимптотически-нормальный характер случайного варьирования основных выборочных характеристик. Поведение выборочных характеристик в нормально распределенной генеральной совокупности. Анализ двух независимых выборок из нормально распределенной генеральной совокупности. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

Тема 9. Проверка статистических гипотез.

Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух и более совокупностях. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

Проверка гипотез о законе распределения (2-критерий Пирсона, критерий Колмогорова).

Проверка гипотез об однородности выборок.

Тема 10. Дисперсионный анализ.

Общая постановка задачи. Однофакторный дисперсионный анализ.

Двухфакторный дисперсионный анализ.

Анализ взаимосвязи данных. Ранговая корреляция по Спирмену и Кендаллу.

Тема 11. Робастые методы оценивания.

Грубые ошибки. Устойчивые методы оценки. Основные понятия. Оценки, построенные при помощи порядковых статистик. Методы обнаружения засорения (грубые ошибки). Критерий исключения нескольких грубых ошибок.

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Москва, Финансы и статистика. 2000г 2. Джексон П. Введение в экспертные системы. М.: Вильямс, 2001., 624с 3. Коваленко И.Н., Филлкнова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика, М., “Высшая школа”, 1973.

УТВЕРЖДАЮ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА 4 КУРС САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(блок «Общепрофессиональные дисциплины»; раздел «Федеральный компонент»;

основная образовательная программа специальности 080116. Тема 1. Выпуклое программирование, теория Куна-Таккера.

Выпуклые множества, их свойства. Теоремы отделимости, теорема о представлении, теорема Фаркаша. Выпуклые функции, их свойства. Необходимые условия экстремума, функция Лагранжа. Теория Куна-Таккера. Достаточные условия экстремума. Седловая точка функции Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.

Двойственность в математическом программировании.

Тема 2. Линейное программирование Расположени точек минимума. Базисные решеия, симплекс-метод, теория двойственности Тема 3. Задачи векторной оптимизации.

Векторное программирование, оптимальность по Слейтеру и Парето. Методы скаляризации, условия эффективности решений скаляризованных задач.

Тема 4. Транспортная задача линейного программирования и родственные ей задачи.

Транспортная задача линейного программирования в сетевой постановке. Метод потенциалов и его реализация. Транспортная задача в матричной постановке. Кратчайшие пути на графе. Дерево кратчайших путей. Задача о максимальном потоке. Распределение ресурсов на сетевом графике.

Производственно-транспортные задачи в сетевой постановке.

Тема 5. Задачи целочисленного линейного программирования.

Математические модели задач дискретного программирования. Методы Гомори.

Метод ветвей и границ. Задача коммивояжера. Последовательный анализ вариантов.

Приближенные методы решения. Динамическое программирование.

Тема 6. Сетевое планирование и управление Сетевой график. Временные характеристики. Оптимальное распределение ресурсов.

Тема 7. Задачи теории массового обслуживания Постановки задач, типы СМО. Показатели эффективности СМО различных типов.

Оптимизация СМО.

Тема 8.Задачи управления запасами Системы управления запасами. Постановки задач для систем различных типов.

1. Карманов В.Г. Математическое программирование : [Учеб. пособие] — 5-е изд., стер.— М. : Физматлит, 2001 (гриф Минобразования).

2. Исследование операций в экономике : Учеб. пособие для вузов / Под.ред. Кремера Н.Ш.

— М. : ЮНИТИ, 2002.

3. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр.Учебное пособие для университетов. М.: Высш. Шк., Книжный дом «Университет» 1998.

4. Косоруков, Олег Анатольевич. Исследование операций : Учебник для вузов / О.А.

Косоруков, А.В. Мищенко ; Под ред. Н.П. Тихомирова.— М. : Экзамен, 2003.

5. Зайченко Ю.П. Исследование операций.-Киев,Вiща школа,1975..

6. Тетерев А.Г. Динамическое программирование в курсе исследования операций.Куйбышев,1983.

7. Коваленко А.Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов. Куйбышев, 1985, 72 стр.

УТВЕРЖДАЮ

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА 5 КУРС САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(блок «Специальные дисциплины»; раздел «Федеральный компонент»;

основная образовательная программа специальности 080116. Тема 1. Основы эконометрического моделирования.

Понятие эконометрической модели. Классическая линейная модель множественной регрессии. Модель множественной регрессии со стохастическими регрессорами. Оценки модели множественной регрессии со стохастическими регрессорами. Условный вариант теоремы Гаусса-Маркова. Модель множественной регрессии с ненулевым математическим ожиданием случайной составляющей модели. Понятие гетероскедастичности. Воздействие гетероскедастичности на классическую модель множественной регрессии. Модель множественной регрессии с автокорреляцией. Оценка параметра автокорреляции. Модель множественной регрессии со свойством эндогенности.

Последствия не включения в модель значимых переменных. Понятие фиктивных переменных. В каких случаях используются фиктивные переменные для нахождения оценок коэффициентов модели множественной регрессии. Свойство мультиколлинеарности. Воздействие мультиколлинеарности на классическую модель множественной регрессии.

Тема 2. Методы оценки коэффициентов эконометрических моделей с нестандартными ошибками.

Метод взвешенных наименьших квадратов (для гетероскедастичности). (для автокорреляции). Обобщенный метод наименьших квадратов. Статистические свойства оценок, полученных по обобщенному методу наименьших квадратов. Теорема Айткена (с доказательством) (автокорреляция + гетероскедастичности). Двухшаговый метод наименьших квадратов (проблема эндогенности). Рекурентные методы оценки параметров эконометрической модели (мультиколлинеарность). Метод главных компонент (мультиколлинеарность).

Тема 3. Методы оценки коэффициентов модели с лаговыми переменными.

Методы оценки коэффициентов с лаговыми независимыми переменными (мультиколлинеарность). Проблемы построения моделей с лаговыми зависимыми переменными. Основные подходы к оценке коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные. Трехшаговый метод наименьших квадратов.

Тема 4. Методы оценки параметров нелинейных эконометрических моделей.

Особенности оценки параметров нелинейных моделей. Методы прямого поиска.

Методы, основанные на линейной аппроксимации модели. Методы, предполагающие линеаризацию целевой функции. Качественные характеристики оценок параметров.

Тема 5. Эконометрические модели с переменной структурой.

Причины изменчивости модели. Тестирование изменчивости структуры.

Эконометрические модели с переключениями. Эконометрические модели с эволюционно меняющимися коэффициентами.

Тема 6. Эконометрические модели со специфическими переменными.

Модели с дискретными зависимыми переменными. Модели с ограниченными зависимыми переменными. Методы оценки параметров моделей с дискретными и ограниченными зависимыми переменными.

Тема 7. Модели систем одновременных уравнений.

Идентификация систем линейных одновременных уравнений: косвенный метод наименьших квадратов и проблема идентифицируемости. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Оценка двухшаговым МНК статистических характеристик модели. Анализ адекватности.

Тема 8. Модели финансовой эконометрики.

Объекты исследования финансовой эконометрики. Гипотезы финансовой эконометрики. Тестирование финансовых процессов. Модели ГСБ – 1. Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией. Методы оценки параметров моделей с изменяющееся вариацией. Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами.

Тема 9. Использование эконометрических моделей в прогнозировании социально – экономических процессов.

Особенности эконометрического прогнозирования. Методы дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне. Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне. Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Москва, Финансы и статистика. 2000г 2. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. Москва, изд. «Экзамен», 2003г.

3. Абдикеев Н.М. Проектирование интеллектуальных систем в экономике. Москва, изд.

«Экзамен», 2003г 4. Джексон П. Введение в экспертные системы. М.: Вильямс, 2001., 624с 5. Кузин Б.И., Юрьев В.Н., Шахдинаров Г.М. Методы и модели управления фирмой.

СПб.: Питер, 2001.432с