1

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования Московской области

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

(университет «Дубна»)

Факультет естественных и инженерных наук

Кафедра «Нанотехнологии и новые материалы»

УТВЕРЖДАЮ

проректор по учебной работе _С.В. Моржухина «_»_201_ г.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Уравнения математической физики (наименование дисциплины) Направление подготовки 020300.62 – «Химия, физика и механика материалов»

Профиль подготовки Функциональные материалы и наноматериалы Квалификация (степень) выпускника бакалавр Форма обучения очная г. Дубна, 2012 г.

Автор программы:

к.ф.-м. н. Бедняков А.В., кафедра «Нанотехнологии и новые материалы» /_ / Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 020300– Xимия, физика и механика материалов (код и наименование направления подготовки (специальности)) Программа рассмотрена на заседании кафедры Нанотехнологии и новые материалы Протокол заседания № _ от «» 2011 г.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. н., профессор /_/ Осипов В.А.

Рецензент:

/_/ (подпись)

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета ЕиИН к. ф.- м. наук /_/ Деникин А.С.

Руководитель библиотечной системы / _ / Черепанова В.Г.

(подпись) 1. Цели и задачи освоения дисциплины 1.1. Выписка из федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 020300 ХИМИЯ, ФИЗИКА

И МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ (КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) "БАКАЛАВР").

Утвержден Приказом Министерства образования и науки РФ от 20.05.2010 № 537.

Код Учебные циклы и проектируемые Трудоемкость Перечень Коды УЦ результаты их освоения (зачетные дисциплин для формируемых ООП единицы) разработки компетенций примерных программ, а также учебников и учебных пособий Б.2.В Математический и естественнонаучный Обыкновенные,уравнения математической физики в объеме необходимом для владения математическим аппаратом науки о материалах, для обработки информации и свойств материалов;

уметь: использовать математические и физические (феноменологические) происходящих в природе, и поведения материалов создавать математический аппарат для численного моделирования;

владеть базовыми знаниями в области математики и физики, необходимыми для освоения дисциплин профессионального математического и естественно-научного 1. 2. Цели освоения дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Уравнения математической физики» являются:

1. Овладение математическим аппаратом теории дифференциальных уравнений с целью его дальнейшего использования в профессиональной деятельности при описании и исследовании различных динамических явлений;

2. Формирование необходимого уровня математической культуры, обеспечивающего как умение разбираться в современных математических методах, так и самостоятельно продолжить свое математическое образование.

1.3. Задачами курса являются:

1. Знакомство студентов с физическими и химическими проблемами, решение которых возможно с помощью математического аппарата теории дифференциальных уравнений;

2. Знакомство обучающихся с теорией, лежащие в основе классических и современных методов решения дифференциальных уравнений;

3. Приобретение студентами на семинарах необходимого опыта применения различных методов и подходов к решению задач математической физики;

4. Приобретение в ходе выполнения домашних заданий студентами навыков самостоятельного исследования задач, решаемых с помощью изучаемого аппарата.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата:

2.1. Дисциплина относится к циклу Б2 «Математический и естественнонаучный цикл », к вариативной части.

2.2. Список дисциплин, знание которых необходимо для изучения курса данной дисциплины.

Алгебра и начала анализа (курс средней школы) Геометрия (курс средней школы) Тригонометрия (курс средней школы) Математический анализ Высшая алгебра и аналитическая геометрия Векторный и тензорный анализ Дисциплина «Обыкновенные дифференциальные уравнениями. Уравнения математической физики» является основной для понимания большинства естественно научных дисциплин, изучаемых в рамках ООП бакалавриата по направлению подготовки 020300 Химия, физика и механика материалов.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины.

Компетенции студента, формируемые в результате освоения дисциплины:

Общекультурные:

наличие культуры мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1) стремлением к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-6);

использование основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10) Профессиональные:

способность использовать в познавательной и в профессиональной деятельности базовые знания в области математики и естественных наук (ПК-3);

использование феноменологических, математических и численных (альтернативных) моделей для описания и прогнозирования различных явлений, осуществление их качественного и количественного анализа (ПК-11);

использованием базовых теоретических знаний фундаментальных разделов физики, химии, математики, механики, биологии и экологии в объеме, необходимом для освоения практических основ различных междисциплинарных направлений науки о материалах и в нанотехнологиях (ПК-13);

наличием системных представлений о возможностях применения фундаментальных законов физики, химии, математики и механики для объяснения свойств и поведения широкого спектра разнообразных функциональных материалов и наноматериалов, предназначенных для электроники и здравоохранения (ПК-15);

использование основ математического анализа; алгебры, геометрии и дискретной математики; теории дифференциальных уравнений и численных методов; теории вероятности и математической статистики; физических основ механики, физики колебаний и волн, статистической физики и термодинамики, электричества и магнетизма, квантовой физики, языков программирования и стандартного программного обеспечения для профессиональной деятельности (ПК-21).

В результате изучения дисциплины студент должен:

ЗНАТЬ Результат обучения компетенция Образовательная Вид задания дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных единственности решений ПК- начальной задачи Коши, общие свойства линейных уравнений и систем;

условия разрешимости ПК- дифференциальных ПК- уравнений в частных ПК- производных второго ПК- порядка.

УМЕТЬ Результат обучения компетенция Образовательная Вид задания уравнение(я) для математической модели химического или физического процесса;

дифференциальные ПК- уравнения и их системы; ПК- постановки задач Коши и ОК- краевых задач для ОДУ; ПК- частных производных ПК- второго порядка к ПК- канонической форме и формулировать начальные и краевые условия.

ВЛАДЕТЬ

Результат обучения компетенция Образовательная Вид задания уравнений для функций ПК- одной и многих переменных 4. Содержание и структура дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц 108 часов.

Вид итогового контроля (зачет, экзамен) Зачет с Зачет с 4.1. Содержание разделов дисциплины Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Введение.

Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.

Понятие интегральной кривой и фазового пространства Способы выделения частных решений. Задача Коши. Краевая задача.

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Элементарные методы интегрирования.

Построение решений уравнения первого порядка методом изоклин.

Тема 2. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Существование и единственность решения задачи Коши. Особые решения.

Однородные уравнения.

Линейное уравнение 1-ого порядка.

Уравнения Бернулли и Рикатти.

Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнения, не разрешенные относительно первой производной.

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

Принцип суперпозиции для линейных дифференциалых уравнений.

Линейно зависимые и независимые функции.

Определитель Вронского.

Структура общего решения линейного однородного дифференциальные уравнения n-ого порядка. Фундаментальная система решений.

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

Структура общего решения.

Метод вариации произвольных постоянных.

Импульсная функций.

дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Тема 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение.

Сведение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-ого порядка.

Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных Общее, частное и особое решения.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.

Задача Коши. Фундаментальные системы решений.

Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.

Структура общего решения.

Метод вариации произвольных постоянных для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Тема 5. Краевые задачи.

Постановка краевых задач и их физическое содержание.

Типы граничных условий.

Однородные и неоднородные краевые задачи.

Условие разрешимости неоднородной краевой задачи.

Функция Грина. Обобщенная функция Грина.

Задача на собственные значения и собственные функции.

Тема 6. Специальные функции Дифференциальное уравнение для специальных функций Уравнение Бесселя. Цилиндрические функции.

Понятие о классических ортогональных полиномах.

Тема 7. Теория устойчивости.

Постановка задачи.

Классификация особых точек.

Основные теоремы об устойчивости.

Устойчивость по первому приближению.

Построение траекторий системы в окрестности особой точки.

Особые точки нелинейных систем.

Предельные циклы.

Построение фазового портрета.

Тема 8. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Дифференциальных уравнениях в частными производными первого порядка.

Линейные уравнения и их интегрирование.

Понятие о характеристиках.

Тема 9. Основные уравнения математической физики Уравнения колебаний, диффузии и теплопроводности.

Постановка задач. Начальные и граничные условия.

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго Приведение к каноническому виду.

.Тема 10 Дифференциальные уравнения гиперболического типа Задача Коши. Формула Даламбера.

Неоднородное уравнение.

Метод разделения переменных.

Обобщенный принцип суперпозиции Тема 11. Дифференциальные уравнения эллиптического типа Фундаментальные решения уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве.

Типы граничных условий и их физический смысл.

Гармонические функции и их свойства.

.Тема 12. Дифференциальные уравнения параболического типа Метод интегральных преобразований. Преобразование Фурье..

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

4.2. Структура дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Уравнения математической физики»:

дифференциальные уравнения.

1-ого порядка уравнения n-ого порядка дифференциальных уравнений.

в частных производных первого порядка математической физики гиперболического типа эллиптического типа параболического типа 4.3. Тематический план освоения дисциплины по видам учебной деятельности Практические занятия П1 Уравнения с разделяющимися переменными. Построение изоклин. П2 Однородные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Условия существования и единственности решения задачи.

П3 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейная зависимость функций. Вычисление определителя Вронского.

П4 Построение общих и частных решение однородных линейных уравнений n-го порядка. Решение неоднородных уравнений с правой частью специального вида.

Метод вариации постоянной.

П5 Системы однородных линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод исключений. Метод Эйлера.

П6 Решение неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод вариации постоянных. Метод неопределенных коэффициентов.

П7 Краевые задачи. Решение простейших краевых задач. Нахождение собственных функций и собственных значений.

П8 Краевые задачи. Построение функции Грина. Получение решения неоднородной краевой задачи с помощью функций Грина.

П9 Уравнение Бесселя. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Нахождение общего решения уравнения Бесселя.

П10 Исследование устойчивости по первому приближению. Практические приемы исследования особых точек системы двух дифференциальных уравнений 1-го П11 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

П12 Решение простейших уравнений в частных производных 2-го порядка. П13 Приведение уравнений в частных производных 2-го порядка к каноническому П15 Метод разделения переменных. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа П16 Метод интегрального преобразования Фурье. Решение уравнения теплопроводности на отрезке и в круге.

Домашние работы:

Д1 Упражнения на построение изоклин. Решение уравнений с разделяющимися переменными.

дифференциалах. Нахождение области, в которой удовлетворяются условия существования и единственности решения задачи.

Д3 Доказательство линейной зависимости и линейно независимости функций. Вычисление определителя Вронского.

Д4 Упражнения на построение общих и частных решение однородных линейных уравнений n-го порядка.

Д5 Упражнения на решение систем однородных линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод исключений. Метод Эйлера.

Д6 Задачи на решение неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

Д7 Упражнения на решение простейших краевых задач. Нахождение собственных функций и собственных значений.

Д8 Задачи на построение функций Грина для неоднородных краевых задач в случае отсутствия нетривиального решения соответствующей однородной краевой задачи.

Д10 Задачи на нахождения характера точки покоя для системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Д11 Упражнения на решение линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Д13 Упражнения на приведение уравнений в частных производных 2-го порядка к каноническому виду.

Д15 Решения задач Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа на отрезке и в круге с различными граничными условиями.

Д16 Упражнения на нахождение решений уравнения теплопроводности на отрезке и в круге при задании различных граничных условий.

Домашние контрольные работы:

К1 ОДУ. Задача Коши. Однородные и неоднородные ОДУ с постоянными коэффициентам. Системы ОДУ.

К2 Краевые задачи (ОДУ) и уравнения математической физики. Классификация уравнений мат. физики. Задача Штурма-Лиувилля в двумерном случае.

5. Образовательные технологии:

5.1. Перечень обязательных видов работы студента:

Освоение теоретической части курса происходит в процессе прослушивания лекционного курса и самостоятельной работы студентов по закреплению полученных знаний с использованием конспектов лекций и рекомендуемой учебной литературы Практическая часть курса предусматриваеи Учебную внеаудиторную деятельность, выполняемую в часы, отведенные студенту для самостоятельной работы, удобно представить в следующем виде:

Подготовка к занятиям предполагает систематическую (ритмичную) самостоятельную работу по изучаемой дисциплине в виде повторения материала лекций, выполнения домашних заданий. Такой вид деятельности студента является необходимым и должен быть обеспечен достаточным ресурсом времени.

Домашнее задание относится к категории работ по подготовке к занятиям и включает в себя материал, выдаваемый в ходе практических занятий для организации усвоения и текущего контроля результатов обучения (студент получает задание на дом, которое нужно выполнить, как правило, к следующему аудиторному занятию). Домашние задания обычно выполняется в тетради или на отдельном листке.

5.2. Активные и интерактивные формы проведения занятий по видам аудиторных занятий.

Занятия по курсу «Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики» проводятся в виде лекций и семинаров.

6. Формы контроля и оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины В ходе изучения дисциплины используются различные вида контроля студента:

опросы, домашние контрольные работы, решение задач на семинарах и в домашних условиях.

Итоговая аттестация осуществляется в виде зачёта с оценкой.

Методика формирования результирующей оценки. Контроль усвоения студентами пройденного материала осуществляется непрерывно в виде следующих форм:

Текущий контроль знаний организуется путем краткого опроса по пройденному на предыдущем семинаре материалу и выборочной проверки домашних заданий и самостоятельных работ.

Промежуточная аттестация студентов проходит в виде домашних контрольных работ. Контрольная работа состоит из 4-5 задач разной степени сложности и выполняется в домашних условиях в течении двух недель. В случае, если она не сдана вовремя, она может быть сдана в течение следующих двух недель со снижением оценки на 1 балл.

При выборе критериев оценки освоения студентом программы дисциплины в обязательном порядке учитывается: выполнение программы в части лекционных, практических и лабораторных занятий; выполнение предусмотренных программой аудиторных и/или внеаудиторных контрольных и домашних работ.

Итоговая аттестация проводится в виде зачета c оценкой. Зачет проводится на 17ой неделе 5 семестра и формируется на основе текущего контроля успеваемости, сданных домашних заданий, контрольных, а также проведенного опроса.

Параметры выставления итоговой оценки включают в себя 1. оценку за аудиторную работу студента 2. оценки за контрольные работы 3. оценку за ответы на теоретические вопросы зачета.

Каждая оценка выставляется по 5 – бальной шкале. Общая оценка выставляется по формуле:

Qитог = 0.1Qауд + 0.3 Qконт1 + 0.3Qконт2 + 0.3Qзач, где Qауд – оценка за аудиторную работу, Qконт I – оценка за контрольную работу по номером I, Qэкз – оценка ответов на вопросы зачета.

Вопросы по дисциплине «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики» для зачета:

1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.

2. Понятие интегральной кривой и фазового пространства.

3. Способы выделения частных решений. Задача Коши. Краевая задача.

4. Теорема существование и единственности решения задачи Коши.

5. Линейно зависимые и независимые функции. Определитель Вронского.

6. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения n-ого порядка. Фундаментальная система решений..

дифференциального уравнения n-го порядка. Вид общего решения для различных типов корней.

8. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Следствия линейности 9. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.

Фундаментальные системы решений.

10. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных 11. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.

12. Структура общего решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.

13. Постановка краевых задач и их физическое содержание. Типы граничных 14. Однородные и неоднородные краевые задачи. Условие разрешимости неоднородной краевой задачи.

15. Задача на собственные значения и собственные функции.

16. Уравнение Бесселя. Цилиндрические функции.

17. Основные теоремы об устойчивости. Устойчивость по первому приближению.

18. Классификация точек покоя системы двух линейных однородных уравнений.

Построение траекторий системы в окрестности особой точки.

19. Линейные дифференциальных уравнениях в частными производными первого порядка. Понятие о характеристиках.

20. Основные уравнения математической физики. Постановка задач. Начальные и граничные условия.

21. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Приведение к каноническому виду. Примеры уравнений разных типов.

22. Метод разделения переменных на примере волнового уравнения.

23. Метод интегральных преобразований на примере уравнения теплопроводности.

Учебно-методическое обеспечение дисциплины 7.1. Основная литература 1. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие для втузов, М.: ЛИБРОКОМ, 2009;

2. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения: Учебник для вузов / Тихонов Андрей Николаевич, Васильева Аделаида Борисовна, Свешников Алексей Георгиевич;

Серия под ред. А.Н.Тихонова и др. - 4-е изд.,стер. - М.: Физматлит, 2005.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учебник для вузов / Владимиров Василий Сергеевич, Жаринов Виктор Викторович. - 2-е изд.,стер. - М.:

Физматлит, 2004.

7.2. Дополнительная литература Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения: Учебник для физических и физикоматематических факультетов университетов / Эльсгольц Лев Эрнестович. - 7-е изд.

- М.: Издательство ЛКИ, 2008.

Тихонов А.Н. Уравнения математической физики: Учебное пособие для университетов / Тихонов Андрей Николаевич, Самарский Александр Андреевич. е изд.,стер. - М.: Наука, 1977.

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие для вузов / Арнольд Владимир Игоревич. - М.: Наука, Ершов Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие, Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 2011;

Юдин И.П. Уравнения математической физики: Собственные функции волнового уравнения: Учебное пособие, Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 7.3. Периодические издания 7.4.

1. http://ru.wikipedia.org/wiki - свободная энциклопедия.

2. http://elibrary.ru/ - научная электронная библиотека.

Методические указания и материалы по видам занятий Методические указания преподавателю Лекционно-семинарский курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики» представляет собой последовательное изложение основных разделов и особенностей математического аппарата теории дифференциальных уравнений как для функции одной переменной (первая часть курса), так и для функций многих переменных (вторая часть курса). В курсе лекций обсуждаются классификация дифференциальных уравнений, формулируются теоремы, лежащие в основе методов и подходов к решению дифференциальных уравнений.

Особое внимание уделяется общим подходам, связанным с построением фундаментальных решений.

На семинарских занятиях на простых и сложных примерах разбираются подходы к решению дифференциальных уравнений. В начале каждого занятия рекомендуется напомнить студентам основные формулы и понятия, используемые при решении конкретных примеров. Путем решения задач на семинаре студенты овладевают практическими методами теории. Для самостоятельной работы студенты используют общедоступные учебники. При этом достигается более глубокое понимание студентами конкретных разделов дисциплины.

Промежуточный контроль усвоения студентами полученных знаний осуществляется в виде опросов, контрольных работ, а также при решении задач у доски. Итоговый контроль проводится в виде зачета с оценкой.

Методические указания студентам При изучении курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики» студенты должны прослушать лекции, подготовиться к семинарским занятиям, а также проделать необходимую самостоятельную работу. Для подготовки к семинарским занятиям студенты используют лекционный курс, практические советы преподавателя, а также рекомендуемую литературу.

Материально-техническое обеспечение дисциплины мел, доска проектор, компьютер