[ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет механико-математический
«Утверждаю»
Проректор по учебной работе
Гарькин В.П._ «_» _2013г.
ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
для обучающихся по направлению подготовки 010800.68 МЕХАНИКА ИМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
(магистерская программа Механика жидкости, газа и плазмы) Самара Программа государственного экзамена составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010901 Механика, утвержденного 15.03. (номер государственной регистрации 415 ЕН/СП) и «Программ образовательных курсов. Специальность – Механика, прикладная математика». – М.: МГУ.Составитель программы _д.т.н., профессор Н.И.Клюев Программа государственного экзамена утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол №2 от 21 октября 2013 г.) Заведующий кафедрой « 21 » октября 2013 г. Н.И. Клюев
СОГЛАСОВАНО
Декан факультета « » 2013 г. С.Я. Новиков Начальник методического отдела « » 2013 г. Н.В. СолововаОДОБРЕНО
Председатель методической комиссии факультета « » 2013 г. Е.Я.Горелова Магистерская программа – Механика жидкости, газа и плазмы 1. Вводные положения 1.1.Понятие сплошной среды. Гидродинамическое описание.1.2.Области приложения механики жидкости, газа и плазмы.
1.3.Механические модели, теоретическая схематизация и постановка задач, экспериментальные методы исследований.
2. Кинематика деформируемых континуумов 2.1.Системы координат и системы отсчета. Неподвижная и подвижная системы координат. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.
2.2.Подход Эйлера и Лагранжа при описании движения сплошной среды. Лагранжевы и Эйлеровы координаты.
2.3. Кинематика сплошной среды. Перемещение, траектория, скорость.
Линия тока. Первая теорема Гельмгольца. Циркуляция скорости. Ускорение частицы среды. Локальная и конвективная составляющие ускорения. Полное ускорение.
2.4. Деформационное движение среды. Тензор напряжений. Физический смысл его компонент (объемные и сдвиговые напряжения). Инварианты тензора, давление. Тензор скоростей деформаций и кинематический смысл его компонент. Инварианты тензора скоростей деформаций.
2.5. Вихревое движение, вихревая линия. Вторая теорема Гельмгольца.
Понятие поля: поле перемещений, поле скоростей, поле температур, силовое поле. Основные интегральные формулы поля: Теоремы Гаусса – Остроградского и Стокса. Потенциальные и вихревые поля.
3. Основные понятия и уравнения динамики. Элементы термодинамики.
3.1. Конвективный поток физических характеристик среды, плотность потока.
3.2. Массовые и поверхностные силы. Уравнение динамики в напряжениях. Элементарная работа массовых и поверхностных сил.
3.3. Уравнения Эйлера для равновесной среды. Закон Архимеда.
3.4. Масса и плотность. Уравнение неразрывности в переменных Эйлера.
Условие несжимаемости среды.
3.5. Понятие о параметрах состояний, уравнение состояния.
3.6. Внутренняя энергия системы. Первый закон термодинамики.
3.7. Определение энтропии. Второй закон термодинамики.
3.8. Поток тепла. Уравнение тепло и массопереноса, уравнение теплопроводности.
3.9. Баротропное равновесие газа. Изобарный, изохорный, изотермический и адиабатический процессы.
4. Движение идеальной жидкости 4.1. Понятие идеальной жидкости и газа.
4.2. Уравнения движения Эйлера, уравнения движения в форме Громеко - Ламба.
4.3. Интеграл движения для идеальной жидкости - интеграл Бернулли.
Использование интеграла Бернулли для описания движения твердых тел.
Подъемная сила крыла самолета. Эффект Магнуса при поперечном обтекании цилиндра. Течение жидкости в диффузоре.
4.4. Скорость распространения малых возмущений в идеальном газе.
Скорость звука.
4.5. Моделирование волновых процессов в идеальной жидкости.
Гравитационные волны на поверхности несжимаемой жидкости. Большие и малые глубины водоема.
4.6. Безвихревое движение идеальной среды, потенциальное течение.
Интеграл Лагранжа - Коши.
4.7. Плоское потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости.
Уравнение Лапласа, как уравнение для определения потенциала скорости.
Функция тока. Связь функции тока с потенциалом скорости (условия Коши – Римана). Комплексный потенциал плоского течения и его свойства.
4.8. Обтекание сферы. Парадокс Деламбера.
5. Моделирование движения вязкой среды 5.1. Динамика вязкой жидкости. Ньютоновская жидкость. Связь тензора напряжений и тензора скоростей деформаций. Закон Ньютона для трения для прямолинейного, сдвигового, ламинарного течения жидкости.
5.2. Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье – Стокса). Граничные условия. Линеаризация уравнений Навье – Стокса. Простейшие линейные задачи. Течения Куэтта и Пуазейля в плоском слое. Течение Пуазейля в трубе круглого сечения. Формула Пуазейля.
5.3. Задача о движении сферы в вязкой жидкости в постановке Стокса (обтекание шара при малых числах Рейнольдса). Сила Стокса, действующая на сферу в потоке вязкой жидкости. Сила, действующая на сферическое тело, движущееся ускоренно в вязкой несжимаемой жидкости. Присоединенная масса. Движение твердой частицы в потоке Пуазейля. Испарение капли в воздушном потоке. Течение со вдувом массы в плоском канале испарителя тепловой трубы при малых числах Рейнольдса. Метод асимптотического сращивания для задачи о течении пара в плоском конденсаторе для больших чисел Рейнольдса.
5.4. Понятие пограничного слоя. Уравнения Прандля движения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое. Явление отрыва пограничного слоя. Профиль продольной скорости в точке отрыва. Постановка задачи о пограничном слое на продольно обтекаемой пластине (задача Блазиуса).
Задача тепло- и массопереноса в пленке конденсата, стекающей по плоской вертикальной поверхности под действием силы тяжести и внешнего потока воздуха. Течение волновой пленки на плоской вертикальной поверхности.
Капиллярные волны на поверхности жидкости. Течение жидкой пленки на плоской поверхности летательного аппарата под действием силы тяжести и внешнего потока.
6. Механическое подобие, моделирование физических процессов.
6.1.Безразмерные преобразования уравнений движения, неразрывности и теплопроводности.
6.2. Система определяющих параметров для выделенного класса явлений.
6.3.Размерность величин. Определение физического подобия.
Моделирование физических процессов. П-теорема. Критерии подобия. Числа Рейнольдса, Маха, Прандтля.
7. Теоретическая физика 7.1. Квантовая механика Предпосылки революции в физике в конце XIX века. Фотоэффект, ультрафиолетовая катастрофа. Гипотеза Планка, формула излучения Планка, постоянная Планка. Фотоэффект, законы Столетова. Теория Эйнштейна фотоэффекта. Давление света проводник, импульс электромагнитной волны.
Связь энергии и импульса фотонов. Комплексная запись электромагнитной волны. Гипотеза Де Бройля, волна Де Бройля.
Уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для волны Де Бройля.
Физический смысл волновой функции. Принцип суперпозиции. Плотность потока вероятности. Необратимость процессов и принцип причинности в квантовой механике. Стационарное уравнение Шредингера. Собственные функции и собственные значения в уравнении Шредингера. Энергетический спектр. Вырождение собственных значений. Частные решения уравнения Шредингера. Общие свойства одномерного движения. Невырожденность энергетических уровней. Потенциальный барьер, прохождение и отражение частиц. Тоннельный эффект. Теория -распада. Поведение частицы в потенциальной яме и потенциальном «ящике».
Квантовые числа. Решение уравнения Шредингера для одномерного осциллятора. Квантование энергетических уровней. Переход к классической механике при больших квантовых числах. Неравенство Гейзенберга.
Одномерная частица как волновой пакет. Соотношение неопределенности Гейзенберга для координат и импульсов. Соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии и времени. Оценка размера атома из неравенства Гейзенберга.
Квазиклассическое приближение при описании движения частицы в неоднородном поле. Движение в однородном силовом поле. Теория атома водорода. Трехмерное уравнение Шредингера в центральном поле. Решение уравнения Шредингера для движения электрона в атоме водорода.
Вырождение энергетических уровней. Спектры излучения атома водорода.
7.2. Статистическая физика Основные принципы статистического описания. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы. Статистическая независимость макроскопических подсистем. Плотность распределения, теорема Лиувилля. Статистический вес системы. Энтропия, формула Больцмана. Энтропия систем с дискретными состояниями. Свойства энтропии. Энтропия как мера информации. Понятие термодинамического равновесия. Энтропия замкнутой системы в состоянии термодинамического равновесия. Второе начало термодинамики. Иллюстрация второго начала на примере диффузии примесей. Распределение Гиббса. Вывод распределения Гиббса на основе теоремы Лиувилля.
Статистическое определение температуры. Распределение Максвелла в классической статистике. Физический смысл температуры.
Термодинамические потенциалы. Давление. Внутренняя энергия, свободная энергия, термодинамический потенциал, энтальпия. Первое начало термодинамики. Понятие термодинамического равновесия открытых систем.
Физический смысл потенциалов. Переход от статистического описания системы к термодинамическому. Свободная энергия в распределении Гиббса.
Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа.
Термодинамические процессы в идеальном газе. Распределение Больцмана.
Распределение Больцмана в классической статистике. Формула Больцмана.
Распределение плотности идеального газа в потенциальном поле. Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы. Пределы применимости теоремы. Флуктуации. Распределение Гаусса. Распределение Гаусса для нескольких величин. Вычисление средних квадратов и корреляции термодинамических величин.
8. Асимптотическая теория и методы возмущений 1. Основы асимптотической теории. Анализ размерностей. Разложения по степеням параметра или независимой переменной. Функции сравнения (калибровочные функции). Символы порядка. Асимптотические ряды.
Асимптотические разложения и последовательности. Единственность асимптотических разложений. Сравнение сходящихся и асимптотических рядов. Простейшие действия над асимптотическими разложениями.
Неравномерные разложения.
2. Прямые разложения (разложения типа Пуанкаре) и источники неравномерностей.
Бесконечные области. Уравнение Дюффинга. Малый параметр при старшей производной. Пример уравнения второго порядка. Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных. Наличие особенностей.
3. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.
Уравнение Дюффинга: прямое разложение Пуанкаре, точное решение, методика Линдштедта – Пуанкаре, метод многих масштабов, метод усреднения. Колебательные системы с самовозбуждением: прямое разложение, метод перенормировки, метод многих масштабов, метод усреднения. Системы с квадратичными и кубическим нелинейностями:
прямое разложение, метод многих масштабов, метод усреднения, обобщенный метод усреднения, метод Крылова-БоголюбоваМитропольского. Уравнение Дюффинга. Случай вынужденных колебаний.
4. Метод сращивания асимптотических разложений. Задачи с пограничным слоем. Асимптотические разложения в краевых задачах. Метод сращивания асимптотических разложений и составные разложения. Метод Прандтля. Внешнее и внутреннее разложения. Высшие приближения и усовершенствованные процедуры сращивания. Метод составных разложений. Уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с переменными коэффициентами. Задачи с двумя пограничными слоями.
5. Условия разрешимости.Представление об условии разрешимости.
Нелинейные колебания в системах с двумя степенями свободы. Системы с параметрическим возбуждением. Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка. Задачи на собственные значения. Краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка. Задача на собственные значения для дифференциального уравнения четвертого порядка.
6. Применение условия разрешимости. Звуковые волны в канале с волнистыми стенками. Колебания мембраны, близкой по форме к кругу.
Асимптотические методы в механике.
7. Асимптотическое моделирование в теории теплопроводности.
Задачи теплопроводности. Уравнение теплопроводности. Метод разделения переменных. Регулярное возмущение границы. Метод разделения переменных в случае границы, отличной от круговой. Осреднение процесса теплопроводности в слоистых средах. Применение метода многих масштабов. Метод осреднения. Эффективный коэффициент теплопроводности. Метод Бахвалова. Осреднение процесса теплопроводности в композиционном материале. Постановка задачи.
Асимптотика решения. Осредненная задача. Осреднение процесса теплопроводности в периодической пористой среде.
Симметрия эффективных коэффициентов теплопроводности.
Осреднение границы в теории теплопроводности. Асимптотическое моделирование теплопроводности в тонком стержне. Асимптотическое моделирование теплопроводности в тонкой пластине: квазидвумерная теплопроводность в тонкой пластине, анизотропный случай. Метод сращивания асимптотических разложений. Постановка задачи теплопроводности в области с малым включением. Определение калибровочных последовательностей. Асимптотическая модель теплопроводности в плоской области с высокотеплопроводными включениями малого диаметра.
9. Автомодельные решения уравнений математической физики и Анализ размерностей и подобие. Размерность. Анализ размерностей.
Подобие. П-теорема. Применение анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики и механики. Автомодельные решения. Сильные тепловые волны. Сильные взрывные волны. Автомодельность. Промежуточная асимптотика.
Автомодельные решения второго рода. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Автомодельное решение второго рода.
Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о мгновенном тепловом источнике. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение.
Модифицированная задача о сильном взрыве. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о точечном сильном взрыве. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Качественное исследование нелинейной задачи на собственные значения. Задача о коротком ударе. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение.
Классификация автомодельных зависимостей и автомодельных решений. Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода. Автомодельные решения и бегущие волны. Полная и неполная автомодельность упругости и разрушения. Решения типа бегущих волн. Ударная волна Бюргерса – стационарная бегущая волна первого рода.
Пламя – стационарная бегущая волна второго рода. Задача о равновесии упругого клина под действием пары сил, приложенной в его вершине.
Парадокс Стернберга-Койтера. Промежуточная асимптотика решения неавтомодельной задачи. Законы подобия хрупкого и квазихрупкого разрушения.
Решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Метод подобия. Общий вид решений типа бегущей волны. Инвариантность уравнений относительно преобразований сдвига. Функциональное уравнение, задающее решение типа бегущей волны. Метод подобия.
Примеры автомодельных решений уравнений математической физики и механики. Уравнения, инвариантные относительно комбинаций преобразований сдвига и растяжения, и их решения. Экспонециальноавтомодельные решения. Инвариантные решения. Обобщенноавтомодельные решения.
Симметрия в математике. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. Симметрия в современной математике.
Группы преобразований. Множества и отображения. Преобразования и их свойства. Группы преобразований и их инварианты. Общее понятие группы.
Определение группы. Четные и нечетные функции. Задача о кубе. Задача о восстановлении формы тела. Томограф и его устройство.
Однопараметрические группы преобразований. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения. Группа Галуа.
Группы преобразований. Группа точечных преобразований.
Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли.Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу.
Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двумерной алгебры. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах. Групповая классификация уравнений второго порядка. Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Инвариантные решения. Определения и решения.
Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих 3-хмерную алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой подход в методе Римана.
Классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений.Однопараметрические преобразования и их локальные свойства.
Однопараметрические преобразования и их локальные свойства.
Инфинитезимальный оператор. Инвариант оператора. Преобразования на плоскости. Формулы для вычисления производных. Координаты первого и второго продолжений.
Симметрии нелинейных уравнений второго порядка. Условие инвариантности. Процедура расщепления по производным. Примеры поиска симметрий нелинейных уравнений математической физики. Двумерное стационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником.
Нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности. Нелинейное волновое уравнение. Допустимые инфинитезимальные операторы и инварианты движения нелинейной вязко-пластической среды.
Использование симметрий уравнения для поиска точных решений.
Использование симметрий уравнения для построения однопараметрических решений. Процедура построения инвариантных решений. Примеры построения инвариантных решений нелинейных уравнений. Решения, порождаемые линейными комбинациями допускаемых операторов.
Уравнения старших порядков. Однопараметрические группы Ли точечных преобразований. Генератор группы. Инвариант группы. Локальные преобразования производных. Условие инвариантности. Процедура расщепления. Инвариантные решения. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного безградиентного гидродинамического пограничного слоя. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного градиентного гидродинамического пограничного слоя.
Симметрии систем уравнений математической физики. Основные соотношения, используемые при анализе симметрий систем уравнений.
Симметрии уравнений гидродинамического пограничного слоя. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений установившегося околозвукового течения газа. Допустимые операторы и инвариантные решения нелинейной системы уравнений одномерных длинноволновых колебаний упругого стержня. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений одномерного изэнтропического движения идеального газа. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений двумерного установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости.
Неклассический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений. Описание метода. Условие инвариантной поверхности. Алгоритм построения точных решений неклассическим методом для эволюционных уравнений второго порядка. Конкретные примеры: уравнение ФитсхьюНагумо и нелинейное волновое уравнение.
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1987.
2. Введение в механику сплошных сред / Под ред. К.Ф.Черных.Ленинград, ЛГУ, 1984.
3. Седов Л.И. Об основных моделях в механике.- М.: МГУ, 1992.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для Вузов - М. : Физматлит, 2001- Т.VI : Гидродинамика.
5. Дж. Мэйз. Теория и задачи механики сплошных сред. : Либроком.
2010. 322С.
6. Петкевич В.В. Основы механики сплошной среды. М.: УРCC. 2001.
7. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат. 1947.
8. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика сплошных сред. М.: МГУ. 1998.
9. Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. Либроком, 10. Рыжак Е.И. Бескоординатное тензорное исчисление для механики сплошных сред. М.: МФТИ, 2011.170 с.
11. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Лань, 2004. Т.1. 568 с. Т.2.
12. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. Либроком, 2010.
13. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. Комкнига, 2010. 376 с.
14. Вебстер А.Г. Механика материальных точек, твердых упругих и жидких тел. Лекции по математической физике. Т.2. Механика сплошной среды. ЛКИ, 2008. 286 с.
15. Введение в механику сплошных сред: Учебное пособие/ К.Ф. Черных, Ю.З. Алешковский, В.В. Понятовский, В.А. Шамина, Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1984. 280 с.
16. Кукуджанов В.Н. Численные методы в механике сплошных сред. М.:
«МАТИ»-РГТУ, 2006. 158 с.
17. Пальмов В.А. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа.
СПб.: Изд-во СПБПГУ, 2008. 109 с.
18. Экспериментальная механика. Под ред. Р.К. Вафина, О.С. Нарайкина.
М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 136 с.
19. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред. Комкнига, 2010. 376 с.
Литература дополнительная 1. Пергамент М.И. Методы исследований в экспериментальной физике.
Учебное пособие. Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2. Аргатов И.И. Введение в асимптотическое моделирование в механике.
СПб.: Политехника, 2004. 302 с.
3. Экспериментальная механика: В 2-х книгах. Под ред А. Кобаяси.
М.Мир, 1990. 616 с.
4. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
5. Кудряшов А.А. Методы нелинейной математической физики.
Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2010. 368 с.
6. Темам Р., Миранвиль А. Математическое моделирование в механике сплошных сред. Бином. Лаборатория заний. 2013. 320 с.
«