ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1. Содержание дисциплины

№

Разделы дисциплины

п/п

1. Введение. Классификация уравнений 2го порядка. Краевые задачи.

2. Задачи Коши для уравнений в частных производных. Принцип максимума.

3. Пространства Соболева. Обобщенные решения краевых задач для

уравнений в частных производных.

4. Функциональные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных.

2. Содержание разделов и тем лекционного курса Раздел 1. Классификация уравнений 2го порядка. Задача Коши.

1. Классификация уравнений 2-го порядка.

2. Определение типа уравнений. Уравнения Лапласа, Пуассона, Трикоми, теплопроводности, волновое.

3. Постановки краевых задач (1-го, 2-го, 3-го рода) для стационарных уравнений. Физический смысл. Определение классического решения.

Примеры.

4. Постановки краевых задач (1-го, 2-го, 3-го рода) и задачи Коши для нестационарных уравнений (теплопроводности, колебания).

Физический смысл. Определение классического решения. Примеры.

5. Теорема единственности классического решения первой (второй) краевых задач для одномерного волнового уравнения (уравнения колебания струны).

6. Корректность по Адамару. Примеры некорректно поставленных задач.

Пример Адамара.

7. Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера. Формула Пуассона. Задача Коши на полупрямой.

8. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

Обоснование сходимости интеграла Пуассона и оценка решения.

Доказательство бесконечной дифференцируемости по t и x при t>0.

9. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

Доказательство, что интеграл Пуассона – решение однородного уравнения. Выполнение начальных условий.

Раздел 2. Краевые задачи для уравнений в частных производных.

Принцип максимума.

10. Метод разделения переменных для уравнения колебания струны.

Однородное уравнение с однородными граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Обоснование сходимости ряда. Исследование гладкости полученного решения. Теорема существования классического решения.

11. Метод разделения переменных для уравнения колебания струны.

Неоднородное уравнение с однородными граничными условиями.

Неоднородное уравнение с неоднородными граничными условиями.

12. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности в стержне. Однородное уравнение с однородными граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Обоснование сходимости ряда.

Исследование гладкости полученного решения. Теорема существования классического решения.

13. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности в стержне. Неоднородное уравнение с однородными граничными условиями. Неоднородное уравнение с неоднородными граничными условиями.

14. Принцип максимума для параболического уравнения. Теорема: Если L(u)0 в QT \ Г T и u0 на Г T, то u0 в QT. Оценка решения | u (t, x) | Nt + q 15. Принцип максимума для параболического уравнения. Оценки решения a. | u(t, x) | max N, q ;

C b. min u(t, x) u(t, x) max u(t, x) ;

ГT ГT c. | u(t, x) | e ( Nt + q).

Mt 16. Строгий принцип максимума. Теоремы принципа максимума для задачи Коши для уравния теплопроводности. Оценки решения.

17. Теорема о непрерывной зависимости классического решения 1-ой краевой задачи для параболического уравнения от правой части f(t,x), начальной функции (x) и граничной функции (x). Теорема единственности решения первой краевой задачи для уравнения Бюргерса.

18. Необходимое условие разрешимости 2-ой краевой задачи для уравнения Пуассона.

Раздел 3. След функции. Обобщенные решения краевых задач для уравнений в частных производных.

19. Банахово и гильбертово пространства. Финитная функция.

Пространства C k (),C k (),C k (),C (), L p (), L p,loc (). Нормы и скалярные произведения. Определение обобщенной производной (по С.Л.Соболеву).

20. Обобщенная производная. Основные свойства. Примеры вычисления обобщенных производных. Примеры когда обобщенная производная не существует.

21. Пространства С.Л.Соболева Wpl (),l 1, p > 1 const.

22. Пространство H l () W2l (). Полнота пространства H l (). Сильная и слабая сходимость.

23. Неравенство Пуанкаре-Фридрихса.

24. Эквивалентные нормы. Примеры эквивалентных норм в пространстве H 1 (). Теорема об эквивалентности норм в H 1 ().

25. След функции класса H 1 () на поверхности размерности n-1. Лемма о следе. Примеры вычисления следов. Формулы интегрирования по частям для функций класса H 1 (). Пространство H 1 ().

26. Обобщенное решение первой краевой задачи для эллиптического уравнения. Теорема Рисса. Теоремы существования и единственности обобщенного решения.

27. Обобщенное решение второй краевой задачи для эллиптического уравнения. Теоремы существования и единственности обобщенного Раздел 4. Метод Галеркина и функциональные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных.

28. Метод Галеркина для первой краевой задачи для эллиптического уравнения.

a. Построение последовательности галеркинских приближений;

b. получение априорных оценок;

c. сходимость последовательности галеркинских приближений к решению первой краевой задачи для эллиптического уравнения;

29. Метод Галеркина для первой краевой задачи для эллиптического уравнения. Исследование единственности решения. Сильная сходимость последовательности галеркинских приближений.

30. Метод Галеркина для второй и третьей краевых задач для эллиптического уравнения.

a. Построение последовательности галеркинских приближений;

b. получение априорных оценок;

c. сходимость последовательности галеркинских приближений к решению второй (третьей) краевой задачи для эллиптического d. теоремы существования и единственности решения.

31. Понятие квадратичного функционала.

a. Ограниченность снизу квадратичного функционала;

b. проблема минимума квадратичного функционала; вариационные c. необходимое условие минимума функционала;

d. связь элемента, реализующего минимум функционала, с 32. Теорема существования решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения. Функциональный метод.

33. Метод Ритца построения минимизирующей последовательности 34. Решение краевых задач для уравнения эллиптического типа и метод 35. Теорема существования и единственности решения 1-ой краевой задачи для параболического уравнения. Метод Галеркина.

a. Доказательство слабой компактности семейства приближенных b. обоснование предельного перехода. Доказательство того факта, что предельная функция есть решение исходной задачи.

c. Исследование единственности.

36. Теорема существования и единственности решения 2-ой краевой задачи для параболического уравнения. Метод Галеркина.

a. Доказательство слабой компактности семейства приближенных b. обоснование предельного перехода. Доказательство того факта, что предельная функция есть решение исходной задачи.

Исследование единственности.

3. Практические занятия Перечень практических занятий приведен в таблице.

п/п дисциплины Классификация приведение уравнений к каноническому виду, 2 часа уравнений 2го 2. Характеристическое уравнение для функции двух порядка. Краевые переменных, приведение уравнения к каноническому 2. Задачи Коши для 9. Корректность задач по Адамару, примеры уравнений в частных некорректно поставленных задач, 2 часа производных. 10. Задача Коши для волнового уравнения, формула Принцип максимума. Даламбера, 2 часа 3. Пространства 18. Линейные пространства, нормы, скалярные Обобщенные 19. Функции, измеримые по Лебегу, интеграл Лебега.

решения краевых Пространства ! (). Сходимость по норме и слабая задач для уравнений сходимость, 2 часа производных. 21. Неравенство Стеклова. Эквивалентность норм 4. Функциональные 26. Гладкость обобщенных решений, 2 часа методы решения 27. Линейный непрерывный функционал, 2 часа краевых задач для 28. Существование и единственность обобщенного уравнений в частных решения (теорема Рисса), 2 часа производных. 29. Необходимое условие минимума функционала, 4. Основная и дополнительная литература, информационные ресурсы Основная литература • В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. - M.:

Физматлит., 2002. - 400 с.

• Михайлов В.П. Лекции по уравнениям математической физики: Учеб.

пособие для вузов. -- М.: Физматлит. 2001. -- 208 с.

• Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: МГУ, Наука, 2004.-798с.

• Михлин С.Г. Курс математической физики. - СПб.: Лань, 2002. - 576с.

• Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред.

В.С. Владимирова. – М.: Физматлит., 2004.

Дополнительная литература • О. А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. - М.:

Наука, 1988. - 386 с.

• Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов Дифференциальные уравнения математической физики. - M.: Гос. изд. ф.-м. литер., 1962. с.

• С. Л. Соболев. Уравнения математической физики. M.: ГИТТЛ, 1966.

- 444 с., изд. 4-ое.

• И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. M.: ГИТТЛ, 1953.

• А. Фридман. Уравнения математической физики параболического типа.

- М.: Мир, 1968. - 427 с.