[ Г.А. Бордовский, Э.В. Бурсиан
ОБЩАЯ ФИЗИКА
КУРС ЛЕКЦИЙ
С КОМПЬЮТЕРНОЙ ПОДДЕРЖКОЙ
В двух томах
Том 2
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по естественным специальностям
Москва
Бордовский Г.А., Бурсиан Э.В.
Б82 Общая физика: Курс лекций с компьютерной поддержкой:
Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений: В 2 т. — М.:
Изд во ВЛАДОС ПРЕСС, 2001. — Т. 2. — 296 с.: ил.
ISBN 5 305 00025 4.
ISBN 5 305 00027 0(II).
Курс лекций предназначен для студентов технических и педа гогических вузов нефизических специальностей, где физика изу чается на первых курсах в объеме от 100 до 300 аудиторных часов.
Рассматривается большое количество вопросов, в том числе недав но появившихся в программах. Пособие носит характер справочно го. Используются новые возможности, появившиеся в связи с широким распространением компьютеров.
ББК 22.3я © Бордовский Г.А., Бурсиан Э.В., © «Издательство ВЛАДОС ПРЕСС»,
ОПТИКА
ГЛАВА1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Границы применимости Свойства электромагнитных волн сильно зависят от длины волны. Главным отличием длинных волн от коротких является способность первых огибать препятствия, в то время как вторые распространяются почти прямолинейно, оставляя за препятстви ем «геометрическую тень» (рис. 5.1). Свойство волн в однородной среде отклоняться от прямолинейного распространения называ ется дифракцией. Как будет показано в разделе 2 данной главы, угол дифракции (в радианах) всегда порядка / d, (5.1) где d — размер препятствия, отверстия и т. д.Из (5.1) следует, что радиоволны с ~ 100 м легко огибают дома, тогда как видимый свет с ~ 0, мкм при обычных размерах окружаю щих нас предметов распространяется прямолинейно. Тогда можно ввести представление о луче — прямой линии, вдоль которой идет свет. В этом при ближении ( d >> ) оптика получила название лучевой, или геометрической, оптики. Основные законы геометри ческой оптики (отражения и преломле ния) перестанут выполняться, если размеры препятствий, отверстий, линз, призм, зеркал будут уменьшаться, при ближаясь к длине световой волны. Рис. 5. Принцип Ферма Даже при n1) в менее плотную, n то луч отходит дальше от перпен дикуляра (рис. 5.5, лучи 1 и 2), т. е.
2 > 1. Если увеличивать угол 2, A может оказаться, что 1 станет 3 3 равным 90о (луч 3 на рис. 5.5). Од n нако световая энергия не пойдет по направлению 3. Дело в том, что Рис. 5. отражение (лучи 1, 2 и 3). При 2 = 90 о весь свет полнос тью отражается обратно в среду с показателем преломления n2. Угол 1 = A, при котором наступает полное внутреннее отражение, называется предельным углом. Из закона сину сов (5.6) для него получается формула Если сверху вакуум или воздух, то n1 = 1, а n2 = n21 = n — показатель преломления среды снизу. Тогда Примеры:
Стекло n = 1,5 A = 42о.
Это значит, что, если луч света падает из стекла на границу раз дела с воздухом под углом, большем 42о, он полностью отразится обратно в стекло. Это часто используется для изменения направ ления лучей (рис. 5.6).
Распространение света в неоднородной среде Пусть свет распространяется в среде с показателем пре ломления, который возрастает в некотором направлении (рис. 5.7). Разобьем среду на бесконечно тонкие слои dh и бу дем считать, что при переходе из слоя в слой показатель пре ломления меняется на dn. Тогда луч искривляется в сторону большего показателя преломления. Найдем кривизну луча.
Для преломления в точке А можно написать соотношения Из первого равенства следует 1 очень близко к 2, поэтому можно считать 1 2 за исключе нием случаев, когда встречается разность (1– 2). Тогда это ма лая величина d, но не нуль. Взяв дифференциал от sin, получим n d cos = dn sin. Cделав замены согласно (5.9), полу чим Градиент, вообще говоря, более сложная величина, см. раздел главы 4, но если n меняется только вдоль h, то grad n = dn/dh.
тепл.
хол.
Таким образом, луч искривляется в сторону большего пока зателя преломления, и кривизна тем больше, чем больше grad n.
Этим объясняются верхний и нижний миражи, когда луч света искривляется в сторону более холодного и, следовательно, более плотного воздуха с большим n (рис. 5.8). В первом случае (остывшая за ночь поверхность пустыни) человек видит припод нятое над горизонтом изображение оазиса, хотя на самом деле оазис где то далеко за горизонтом. Во втором (нагретый ас фальт) — ему кажется, что он видит отражение солнца и обла ков, и он ошибочно делает вывод, что асфальт мокрый и отражение получается от луж, хотя никаких луж нет.
Пример 1. Найдем расстояние от наблюдателя до оазиса в пустыне, если путник утром видит в небе мираж под углом 10о к горизонту (рис. 5.9), а показатель преломле ния из за сильного охлаждения поверхности пустыни за ночь убывает с высотой z по зако ну: n = n0 – gz, где n0 = 1,0004, а g = 210 –5 м–1. Эта задача сложна для решения аналитическим путем. На компьютере она решается так.
Изобразим на чертеже слои, отстоящие друг от друга на z, и ход луча так, как если бы он преломлялся только на границах слоев М и М + 1. Напишем соотношения для перехода от слоя к слою и найдем l (рис. 5.10). Переход от l к l приводит к сложному интегралу. Воспользуемся тем, что компьютер может проделать большое число вычисле ний l для каждого слоя и постоянно может наращивать значения ln. Так как показатель преломления убывает с высотой, то луч при переходе в следующий слой отклоняется боль ше от перпендикуляра к границе раздела (см. рис. 5.10). Выпишем все соотношения меж ду углами и отрезками, а также их приращениями:
Составим программу постепенного изменения величин углов и отрезков. Учтем, что в некотором слое происходит полное внутреннее отражение (угол преломления становится равным 90о; sin = 1). Когда такое условие будет выполнено, это будет оз начать, что достигнута высшая точка, а вдоль горизонтальной линии пройдена половина Неоднородные оптические среды используются в светово де — тонком кварцевом волокне, в котором показатель прелом ления убывает от оси к краям (рис. 5.11). Такие волокна применяются для передачи информации световыми сигналами на очень большие расстояния (например, в сети Internet).
Пример 2. Пусть в световоде показатель преломления убывает от оси к краям по закону n = n0 – gz, где n0 =1,5; g = 0,5 мм–1. Найдем расстояние z до точки А, где происходит полное внутреннее отражение, если свет входит с торца световода в осе вой точке под углом u0 = 30o. Это можно сделать по соответствующей программе в пакете ПАКПРО.
Преломление на сферической поверхности Рассмотрим случай, когда две среды с показателями прелом ления n1 и n2 разделены не плоской границей раздела, а сфери ческой с центром С (рис. 5.12). Пусть луч света выходит из точ ки S1. Соединим S1 с центром C и назовем эту прямую оптичес кой осью. Луч, идущий под произвольным углом 1, достигает сферической границы раздела в точке А и преломляется. Допу стим, что n2 > n1 и луч снова пересекается с осью в точке S2. Сде лаем упрощение, предположим, что углы 1 и 2 очень малы.
Дальнейшее будет верно только для таких лучей, идущих близ ко от оси. Они называются параксиальными.
«