«Кафедра истории, философии, культурологи, теории и методик обучения Утвержден: на заседании кафедры 7.09.2012, прот.№ 1 Зав.каф. Кибардина Т.А. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ Философские вопросы математики ...»

Математизация научного знания осуществляется разными способами. Наиболее ранние и простые способ — счет и измерение — используются до сих пор.

Математизация — постоянно действующий фактор научно-технического прогресса, который в последние годы имел тенденцию к ускорнию.

Границы математизации обусловлены характером математического знания.

Математика как специфический тип моделирования отражает лишь определнный слой реальности.

Прикладную математику можно определить как науку об оптимальных, или практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики. Известен афоризм:

"Чистая математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная — то, что нужно, так, как можно".

Еще одна точка зрения, не противоречащая уже сказанному: прикладная математика — это наука о математических моделях, наука о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации математических моделей реальных объектов. Математическая модель (модель объекта, выполненная математическими средствами) должна сохранять существенные свойства объекта, и служить заменой этого объекта в исследованиях математическими методами. Математика применяется (прикладывается) не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели. При этом хорошая модель должна позволять обнаруживать новые, нетривиальные свойства изучаемого объекта.

Появление компьютеров существенно расширило возможности приложений математики, и повлияло на используемые при этом методы. Считается, например, что сейчас у прикладной математики три основных элеента: математические модели, вычислительные алгоритмы и компьютеры.

Когда речь заходит об использовании математики в естествнных науках (прежде всего в физике) и в науках технических, сразу вспоминается крылатое выражение крупного физика Э.Вигнера (лауреата Нобелевской премии) о "непостижимой эффективности математики в естественных науках".

Другой известный физик Ф. Дайсон писал так: "Математика для физика — это не только инструмент, с помощью которого он может количественно описать любое явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории".

Приведем еще высказываение известного современного физика Брайана Грина из его книги "Элегантная вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории" (М., 2007, С.241).

" Один из универсальных уроков последнего столетия состоит в том, что известные законы физики находятся в соответствии с принципами симметрии. Специальная теория относительности основана на симметрии, описываемой принципом относительности, на симметрии между всеми системами отсчета, движущимися относительно друг друга с постоянной скоростью.

Гравитационное взаимодействие, в соответствии с его описанием в общей теории относительности, основанона принципе эквивалентности, обобщающем принцип относительности на случай произвольным образом движущейся системы отсчета.

Наконец, сильное, слабое и электромагнитное взаимодействие основываются на более абстактных принципах калибровочной симметрии.

Физики... склонны придавать особое значение принципам симметрии, поднимая их на пьедестал объяснения мироустройства. С этой точки зрения гравитация существует для того, чтобы ве возможные системы отсчета были равноправны — т.е. чтобы выполнялся принцип эквивалентности.

Аналогично, негравитационные взаимодействия существуют для того, чтобы в природе соблюдались соответствующие им калибровочные симметрии."

Приведем, наконец, несколько высказываний из книги Ю.И.Манина "Математика как метафора" (с.206-207).

"...именно дополнительность математического и физического мышления делает взаимодействие математиков и физиков плодотворным.

Во второй половине XX века главное расхождение в способах представления наших идей состоит не столько в нашем отношении к строгим доказательствам, сколько в отношение к точным определениям.

Математики развили очень точный общепринятый язык для выражения своих мыслей. Эта точность выражается в первую очередь в определениях объектов, с которыми они работают, формулируемых обычно в рамках более или менее аксиоматизированной теории множеств (или категорий), а также в искусном использовании метаязыка (основанного на нашем естественном языке) для придания статуса утверждениям. Все прочие механизмы математической строгости вторичны, включая и понятие строгого доказательства. На самом деле, сели исключить прямые ошибки, то основная трудность при проведении доказательства состоит в недостаточности или отсутствии определений. Попросту говоря, нас больше беспокоит, когда мы не понимаем, что автор хочет сказать, чем когда нам не вполне ясно,верно ли то, что он утверждает. Когда все определения и ограничения четко прописаны, пробенлы в рассуждениях находятся легко. Хороший математически текст вполне можно написать на стадии, когда доказательства еще неполны или отсутствуют, но осмысленные догадки уже образуют красивую систему... " "Этимология слова о-предел-ение (и в русском, и в европейских языках) показывает, что первая задача определения — установить строгие границы."

"Если... вы претендуете на то, что сделали что-то серъезное, то вашу работу внимательно рассмотрят на предмет всех возможных опасностей, проистекающих от невыполнения условий различных определений.

Разумеется, наши определения отнюдь не произвольны. Одна из функций хорошего определения — содержать в себе аналогии между различными ситуациями, так что клетка, которой является определение, должна иметь оптимальный размер. Например, есть серъезные доводы в пользу того, что самый важный результат теории групп — это само определение абстрактной группы и ее действия на множестве, поскольку это определение описывает структуру, постоянно возникающую в геометрии, теории чисел, теории вероятностей, теории пространства-времени, теории элементарных частиц ит.д. Вся идеология трактата Бурбаки состоит в том, что математика представляется в виде строения, поддерживаемого строгой системой различных определений (аксиом основных структур). А поскольку хорошее определение нередко оказывается результатом работы целых поколений крупных математиков, может возникнуть сильное искушение поверить, что все хорошие определения уже известны.

Если, напротив, неопытный читатель попробует почитать действительно интересную физическую статью, то при попытке выяснить значение наиболее употребительных терминов он почувствует себя как в пустыне. Что такое алгебра токов, преобразование суперсимметрии, топологическая теория поля, фейнмановский интеграл, наконец? Это весьма открытые концепты, и именно из-за этой открытости они и интересны.

Итак, вот чему учит история наших двух ремесел: мы не можем жить друг без друга.

Покрайней мере у некоторых из нас [математиков] жизнь станет скучной, если в ней слишком долго не будет места контактам с хорошей физикой.

Ценнее всего именно взаимодействие с чудовищно отличной системой ценностей. " "... если воспользоваться терминологией истории культуры по Исайе Берлину, математика является весьма классицистским предприятием: она основана на общепризнанном понятии об истине и путях ее постижения и строит при этом устойчивую систему. Романтическая революция XIX века не оказала реального влияния на математику в основном потому, что в математике мало места для индивидуальных капризов.

В XX веке романтизм приходит из физики: бескрайние просторы Вселенной, чудесно-случайное поведение микромира, субъективизм наблюдателя и мощь ненаблюдаемого, Большой взрыв, Антропный принцип, наш роман с непочтительной Природой, в лихорадке робости и мегаломании.

Математика привносит во все это гигиеническе навыки и головные боли".

Величина — это свойство объекта, которому возможно приписать свойство увеличения или уменьшения. Большинство величин, с которыми мы имеем дело в науке, представлены лишь содержательно, т.е. различение таких величин производится на некоторой интуитивной основе. Лишь для некоторых может быть установлено соответствие между их интенсивностью и некоторой последовательностью действительных чисел так, что каждому состоянию величины будет поставлено в соответствие число, его (состояния) мера. В этом случае говорят, что данная величина измерима. Для измеримости некоторой величины необходим, как правило, некоторый эталон измерения. Соответствие между величиной и ее мерой выражается в форме функциональной зависимости. В случае измерения физических величин (длина, время и т.п.) эталон есть та же величина в некотором фиксированном состоянии. Иногда измеряемая величина сопоставляется непосредственно с эталоном (случай прямого измерения). Но большинство величин (в том числе и физических) измеряются косвенно. Законность этих процедур требует обоснования.

Измерение величин — один из основных путей математизации знания (количественная математизация). Более общим образом количественная математизация знания — это взаимодействие математической теории объекта (его математическоой модели) и процедур измерения величин.

10. Современное состояние проблемы обоснования математики.

Итак, данный момнт (а фактически еще с начала 1940-х годов) считается, что программы обоснования математики начала XX века не достигли своих целей.

Хотя от парадоксов в теории множеств, известных на начало XX века, удалось избавиться, но доказать логическую непротиворечивость той же теории множеств доказать не удалось, и это положение сохраняется до настоящего момента.

Считается, что потерпели неудачу попытки редуцировать математику к трем ее разделам, которые интуитивно кажутся надежными в смысле отсутствия противоречий. Три эти раздела: логика, арифметика и область конечного. Суть проблемы, конечно, в наличии актуальной бесконечности. Просто "запретить" ее, как пытались сделать интуиционисты — значит, ликвидировать едва ли не главную часть математического знания, притом имеющую важнейшее прикладное значение.

Вряд ли возможно, например, запретить физику на том основании, что она использует дифференциальные уравнения.

Положение "усугубилось" около 1963 гола, когда Пол Коэн решил знаменитую 1-ю проблему Гильберта, "континуум-гипотезу". Решение оказалось очень странным, едва ли не скандальным. Оказалось, что континуум-гипотеза не зависит от аксиом теории множеств. Это резко противоречит "здравому смыслу", согласно которому у этой задачи (задачи о мощности континуума) должен быть вполне конкретный ответ именно в рамках имеющейся аксиоматической теории множеств.

Удовлетворительного объяснения этого "парадокса", по-видимому, не существует до сих пор.

Однако большинство математиков продолжает заниматься своими делами так, как будто ничего не произошло. Ситуация в математике изменилась, накал страстей, бушевавших в математическом сообществе в начале двадцатого века, заметно ослаб, и вопросы обоснования перестали вызывать повышенный интерес.

Сложилось даже представление о том, что все проблемы, которые возникали, или могут возникнуть, относятся к периферийным, далеко не самым важным разделам математики, и не смогут повлиять на надежность и достоверность всего остального.

Таким образом, об обосновании математики на данный момент рассуждают в основном философы. В то время как для подавляющего большинства математиков "инцидент" был действительно исчерпан, некоторые философы продолжают задавать вопросы, и продолжают требовать строгого доказательства логической непротиворечивости, например, аксиом теории множеств. О современном состоянии проблемы обоснования можно ухнать, например, из книги Н.В.Михайловой "Системный синтез программ обоснования современной математики".

В "защиту" математики, "обвиняемой" в потенциальной противоречивости, можно выдвинуть, например, тезис о том, что если у какой-то теории отсутствует обоснование логической непротиворечивости, то это еще не означает, что такая теория обязательно противоречива. Нельзя исключать и того, что такое обоснование невозможно в принципе. Тем более, что имеется история математики длиной в две с половиной тясячи лет, в которой нет примеров того, чтобы доказанные утверждения оказались потом неверными, т.е. отсутствуют признаки внутренней противоречивости. Однако некоторые критики математики отказываются считать этот пример убедительным, так как, по их мнению, неэмпирическая наука не может быть обоснована эмпирическими средствами.

Следует отметить точку зрения Л.Витгенштейна, который, исходя из своей концепции, где математика считается "языковой игрой", правила которой не требуют какого-либо обоснования, отказывался рассматривать проблему обоснования математики как имеющую значение. Отметим, далее, концепцию (пока еще, видимо, не завершенную) И.Я.Перминова, согласно которой сообщество математиков в процессе своей математической деятельности очищает математику от неверных и противоречивых положений, осуществляет взаимосогласованность отдельных ее частей, и таким образом, как бы автоматически и непрерывно осуществляет фактическое обоснование своей науки. Наконец, в концепции А.Бадью, в которой математика как "язык" выражает глубинные свойства базового уровня Бытия ("бытия-как-бытия"), проблема обоснования либо снимается вообще (что значит "обосновать непротиворечивость" Бытия?!), либо переводится на принципиально иной уровень. Но все это, по-видимому, еще слабо разработано (или же мало известно в России). Завершая обсуждение, следует еще раз отметить, что абсолютное большинство действующих математиков (и тем более тех, кто пользуется математикой в своей профессиональной деятельности) не воспринимают сейчас проблему обоснования математики как сколь бы то ни было существенную (или даже воспринимают как несуществующую).

1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. — М.: Изд-во МГУ, 1981. — 217 с.

2. Канке В.А. Философия математики, физики, химии, биологии. — М.: КНОРУС, 2011. — 368 с.

3. Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — 434 с.

4. Михайлова Н.В. Системный синтез программ обоснования современной математики. — Мн.: МГВРК, 2008. — 332 с.

5. Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001. — 320 с.

6. Рузавин Г.И. О природе математического знания (Очерки по методологии математики). — М.: "Мысль", 1968. — 302 с.

7. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. — М.:"Наука", 1983. — 300 c.

8. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. — М.: "Мысль", 1984. — 206 c.

9. Светлов В.А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия. — М.: КомКнига, 2006. — 208 с.

10.Словарь философских терминов / Научн. редакция проф. В.Г.Кузнецова. — М.:

ИНФРА-М, 2005. — 731 с.

11.Философия математики и технических наук / Под общ. ред. проф. С.А. Лебедева:

Учебное пособие для вузов. — М.: Академический Проект, 2006. — 779 с.

12.Целищев В.В. Философия математики. Ч. 1. — Новосибирск: Наука, 2002. — 13.Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. — Новосибирск:

Нонпарель, 2003. — 240 с.

1. Асмус В.Ф. Декарт. — М.: Политиздат, 1956. — 370 с.

2. Асмус В.Ф. Платон. — М.: Мысль, 1969. — 247 с.

3. Бадью А. Манифест философии. СПб.: Machina, 2003. — 184 с.

4. Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования. — М.: Изд-во МГУ, 1991. — 160 с.

5. Барроу Д. Новые теории всего. — Минск: Попурри, 2012. — 368 с.

6. Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / под ред.

А.Г. Барабашева. — М.: Янус-К, 1997. — 400 с.

7. Бирюков Б.В., Тростников В.Н. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики.

Изд. 3-е, перераб. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 232 с.

8. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. 3-е изд. — М.:

КомКнига, 2005. — 376 с.

9. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки — М.: Наука, 1987. - 132 с.

10.Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. — М.: Наука, 1976. — 11. Вейль Г. О философии математики. — Изд. 2-е, стеротипное. — М.:КомКнига:

2005. — 128 с.

12.Вечтомов Е.М. Философия математики. — Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. — 13. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. — М. АСТ: Астрель, 2010. — 177 с. (и другие издания) 14. Витгнштейн Л. Философские работы (часть II, книга I). — М.: Гнозис, 1994. — 15. Владимиров Ю.С. Метафизика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2011. — 568 с.

16. Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992. — 335 с.

17. Гейтинг А. Интуиционизм. — М.:Мир, 1965. — 200 с.

18. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. — М.:Мир, 1983. — 488 с.

19. Декарт Р. Рассуждние о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках и другие философские работы. — М.: Академический проект, 2011. — 335 с.

20. Делез Ж., Гваттари Ф. Что такое философия? — М.:Академический Проект, 2009. — 261 с.

21. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа (ок. 530 - ок. 430 гг. до н.э.) — Л.: Наука.

Ленинградск. отд. 1990. — 192 с.

22. Зубов В.П. Аристотель. — М.: Наука, 1963. — 366 с.

23. Ильин В.В. Философия: учебник. В 2 т. Т. 1. — Ростов н/Д.: "Феникс", 2006. — 24. Казарян В.П., Лолаев Т.П. Математика и культура. Второе изд., испр. и дополн.

— М.: Научный мир, 2004. — 288 с.

25. Кантор Г. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с.

26. Карцев В.П. Ньютон. — М.: Молодая гвардия, 1987. — 415 с.

27.Кассирер Э. Философия символических форм. Т.III: Феноменология познания.

— М.: Академический проект, 2011. — 398 с.

28.Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. От Фалеса до эпохи Возрождения. — Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1973. — 213 с.

29.Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. От эпохи Возрождения до начала XX века. — Киев: Изд.

объединение "Вища школа", 1974. — 342 с.

30.Жуков Н.И. Философские основания математики. 2-е ид., испр. и доп. — Минск:

Изд-во "Университетское", 1990. — 110 c.

31.Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. — 295 с.

32. Клини С.К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973. — 480 с.

33.Кузанский Н. Об ученом незнании. — М.:Академический проект, 2011. — 159 с.

34.Кузнецов Б.Г.. История философии для физиков и математиков. — М.: "Наука", 1974. — 352 с.

35.Кольман Э. Бернард Больцано. — М.: Изд-во АН СССР, 1955. — 224 с.

36. Лакатос И. Доказательства и опровержения (как доказываются теоремы) // В книге: Лакатос И. Избранные произведения по философии и методологии науки — М.: Академический Проект; Трикста, 2008. — С.25 - 198. (и другие издания) 37. Лекторский В.А. Эпистемология классическая и неклассическая. — М.:

Едиториал УРСС, 2001. — 256 с.

38.Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с.

39. Манин Ю.И. Доказумое и недоказуемое. — М.: Сов. радио, 1979. — 168 с.

40. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. — М.: Сов. радио, 1980. — 128 с.

41.Манин Ю.И. Математика как метафора. —М.: МЦНМО, 2008. — 400 с.

42.Матвиевская Г.П. Рене Декарт. 1596 - 1650. — М.: Наука, 1976. — 291 с.

43.Математика и опыт / Под ред. А.Г.Барабашева. — М.: Изд-во МГУ, 2002. — 44. Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 45. Налимов В.В. Разбрасываю мысли. В пути и на перепутье. — М.: ПрогрессТрадиция, 2000. — 344 с.

46.Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 47.Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. — М.:

Наука, 1984. — 224 с.

48.Паршин А.И. Размышления над теоремой Гёделя // Вопросы философии. —2000.

49.Паршин А.Н. Путь. Математика и другие миры. — М.: Добросвет, 2002. — 240 с.

50. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 384 с.

51. Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании. — Москва-Ижевск:

Институт компьютеных исследований, 2005. — 688 с.

52. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. Изд. 2-е, стереотипн. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 240 с.

53. Погребысский М.Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. — М.: Наука. 1971. — 319 с.

54. Подниекс К.М. Вокруг теоремы Геделя. — Рига: Зинатне, 1992. — 192 с.

55. Пуанкаре А. О науке. — 2-е изд., стер. — М.:Наука, 1990. — 736 с.

56.Пуркерт В., Ильгаудс Х.И. Георг Кантор. — Харьков, 1991. — 128 с.

57. Рассел Б. Избранные труды. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009. — 260 с.

58. Рассел Б. История западной философии. — М.: Академический Проект: Фонд "Мир", 2004. — 1008 c. (и другие издания).

59. Реньи А. Трилогия о математике. (Диалоги о математике. Письма о вероятности.

Дневник. — Записки стулента по теории информации.) — М.: Мир, 1980. — 60. Свасьян К. Философия символических форм Э.Кассирера. — 2-е изд. — М.:

Академический проект; Альма Матер, 2010. — 243 с.

61. Стили в математике. Социокультурная философия математики / под ред.

А.Г.Барабашева. — СПб.: РХГИ, 1999. — 552 с.

62. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 63.Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. — 64.Троицкий В.П. Разыскания о жизни и творчестве А.Ф.Лосева. — М.: Аграф, 2007. — 448 с.

65. Тяпкин А., Шибанов А. Пуанкаре. — М.: Молодая гвардия, 1979. — 416 с.

66.Успенский В.А. Апология математики. — СПб.: Амфора. ТИД Амфора, 2010. — 67. Фреге Г. Логико-философские труды. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2008.

68.Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Изд. 2-е, стереотипное.

— М.: КомКнига, 2006. — 552 с.

69. Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в p-адических системах координат. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 296 с.

70. Шпенглер О. Закат Европы. Очерки морфологии мировой истории: Гештальт и действительность. — М.: Эксмо, 2006. — 800 с. (и другие издания).

1. Арсенов О.О. Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре. — М.:Эксмо, 2010. — 2. Белл Э.Т. Творцы высшей математики. —М.: Просвещение, 1979. — 251 с.

3. Башмакова И.Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историкоматематические исследования. Выпуск XI. М., 1958. С. 225 - 438.

4. Боголюбов А.Н. Математики, механики. Биогр. справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.

5. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики: Биогр.слов.-справ. — 2-е изд., перераб. и доп. — Киев: Рад. шк., 1987.— 656 с.

6. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Изд. 3-е, стереотипное. — М.:

КомКнига, 2007. — 296 с.

7. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. Издание 3-е. — М.:

УРСС. 2007. — 296 с.

8. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. —М.:Мир, 1986. — 432 с.

9. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П.Юшкевича. Т. 1 – 3. — М.: Наука. 1970 – 1972.

10.Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1990.

11.Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. Под ред. В.А.

Успенского. — М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1991. — 224 с.

12.Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. — М.: Наука, 1978.

13.Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А.Н.

Колмогорова и А.П. Юшкевича. — М.: Наука, 1981.

14.Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. — М.: Наука.

1987.

15.Монастырский М.И. Современная математика в отблеске медалей Филдса. — М.: «Янус-К», 2000. — 200 с.

16. Рыбников К.А. История математики. — М.: Изд-во МГУ, 1994.— 496 с.

17. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Изд. третье. — М.: Наука. Гл.

ред. физ.-мат. лит., 1997. — 336 с.

18. Фрейман Л.С. Творцы высшей математики. — М.: Наука, 1968. — 216 с.

19.Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. — М.: Наука, 1968.

http://katrechko.narod.ru http://lib.homelinux.org http://bib.tiera.ru http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/ http://plato.stanford.edu Содержание самостоятельной работы студентов и методические Темы рефератов:

1. Пифагореизм вчера и сегодня 2. Платон и математика 3. Аристотель и математика 4. Аристотель и логика. Логика аристотелева и логика математическая 5. "Начала" Евклида и их значение 6. Рене Декарт и математика переменных величин 7. И.Ньютон и Г.-В.Лейбниц — творцы "высшей математики" (математического анализа).

8. Кант и математика 9. Философия Канта и неевклидовы геометрии 10. Гегель и математика 11. Философские взгляды Георга Кантора и их влияние на созданную им теорию множеств 12. Готлоб Фреге 13. Философские взгляды Анри Пуанкаре 14. Эмпиризм и математика 15. Математический платонизм (реализм): за и против.

16. Н.Бурбаки и математические структуры. Формалистское направление в философии математики 17. Фундаменталистское и нефундаменталистское направления в философии математики 18. Математический априоризм: от Канта и Гуссерля до В.Я.Перминова 19. И.Лакатос и философия математики 20. Математика в "Закате Европы" Шпенглера 21. Бернард Больцано и его роль в создании теории множеств 22. Математика в философии Николая Кузанского 23. Философия и математика в творчестве В.В.Налимова 24. Математика в философском творчестве А.Ф.Лосева 25. Математический логицизм: Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед.

26. Математический интуиционизм. Л.Э.Я.Брауэр.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое математика. Обзор некоторых точек зрения.

2. Основные направления в философии математики 3. Теория множеств и ее роль в современной математике 4. Математическая бесконечность..

5. Кризисы в математике 6. Парадоксы в логике и теории множеств.

7. Программы обоснования математики начала XX века: логицизм (Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед) 8. Программы обоснования математики начала XX века: интуиционизм (Л.Э.Я.Брауэр, Г.Вейль) 9. Программы обоснования математики начала XX века: формализм (программа Д.Гильберта).

10.Аксиоматический метод в математике. Формализация. Математическое доказательство.

11.Теоремы Геделя и их значение.

12.Современное состояние проблемы обоснования математики.

13.Существование математических объектов. Математический платонизм.

14. Математика как язык науки.

Методика написания реферата по дисциплине Реферат представляет собой раскрытие основного содержания проблемы по предложенной тематике. Прежде всего, это детальное изучение темы, просмотр и анализ не только учебников и учебных пособий, но и первоисточников, если таковые необходимы.

При работе над рефератом, тем более итоговым по курсу, необходимо четко представлять себе основные этапы работы над рефератом:

1. Определение границ изучения проблемы.

2. Постановка цели и задач исследования проблемы.

3. Определить структуру реферата.

4. Выявление источников литературы по каталогам и базам данных, имеющимся в библиотеке или в других информационных центрах.

5. Среди выявленных источников литературы при просмотре выбрать те, которые будут составлять основу будущего реферата.

6. Работа с литературой и информацией на других носителях.

7. Представить введение с необходимым набором обязательных элементов.

8. Наработка материала для глав, параграфов.

9. Редактирование текста реферата.

10.Написание заключения.

11.Составление списка использованной литературы 12.Оформление реферата.

Тема реферата выбирается в соответствии с личными интересами из того списка рефератов, которые предложены преподавателем. Прежде чем приступить к работе над рефератом необходимо проконсультироваться с преподавателем о границах и рамках исследования. Это необходимо для того, чтобы точно знать в каких пределах нужно вести исследование (хронологические рамки, тематические, проблемные и др.).

Цель определяет основные задачи проводимого исследования. В соответствии с теми целями и задачами исследования студент в дальнейшем будет отбирать литературу и информацию в свой реферат. Поэтому определение этого аспекта очень важно для дальнейшей работы. Эти же цель и задачи будут входить в структуру введения реферата и ограничивать рамки работы. Цель представляет собой то, что студент хочет доказать или опровергнуть в результате своей работы над темой. Задачи же представляют собой основные этапы достижения поставленной цели. Цель отвечает на вопрос что? Задачи же исследования представляют собой ответ на вопрос как?

Тема: Аналитическая философия ХIХ века.

Цель: выявить основные закономерности развития аналитической философии и определить ее место в системе философского знания.

проанализировать предпосылки возникновения аналитической философии;

Витгенштейна;

рассмотреть систему логического позитивизма;

выявить особенности постпозитивисткой философии Поппера, Лакатоса, Куна;

дать общую характеристику аналитизму как направлению философии.

В дальнейшем необходимо наметить план (структуру) реферата. В процессе работы изначально составленная структура может меняться, но, тем не менее, нужно иметь представление о том, какие параграфы (главы) будут в реферате. Они должны соответствовать тем задачам, которые были первоначально поставлены перед исследователем.

Наиболее кропотливым и не менее важным является следующий этап выявление необходимых источников, по которым будет вестись работа. Выявление источников может вестись в нескольких направлениях: каталоги (печатный и электронный) научной библиотеки, каталоги других библиотек города, заслуживающие внимание сайты Интернета и др.

После этого происходит отбор литературы по значимости, ценности для работы, актуальности, важности и самое главное – соответствие теме исследования.

Те документы или информация, которые подошли по этим параметрам и становятся источниками списка литературы (те, которые не использовались не должны быть указаны в этом списке).

Работа над текстом может вестись изначально в конспективной форме, в форме цитатника. Форма работы выбирается студентам самостоятельно.

Проработаны должны быть все источники из списка литературы. После проработки всех список литературы составляется в законченном виде, поскольку для дальнейшего оформления цитат необходима точная нумерация.

Далее можно приступать к написанию введения и работе над текстом реферата.

Во введении должна быть следующая последовательность характеристики элементов: актуальность выбранной темы, цель, задачи, новизна исследования, структура реферата, анализ источников литературы, проблема, новизна работы.

Основная часть может быть представлена из параграфов, которые должны быть логическим продолжением один другого. В структуре параграфов не выделяются, но должны быть представлены вводная часть, характеристика проблемного поля, выводы. Они являются компонентами единого параграфа и из его структуры не выделяются.

К цитированию нужно относиться аккуратно, поскольку существует научный этикет, при котором нельзя чужые мысли представлять собственными. При употреблении той или иной цитаты нужно давать ссылку к первоисточнику. Ссылки оформляются следующим образом:

Первая цифра отсылает к номеру источника в списке литературы, вторая – к странице, на которой находится данная цитата.

В реферате обязательно должен присутствовать анализ различных трактовок, концепций и положений; сравнение; обобщение и др. методы исследования.

Последним, завершающим этапом работы над текстом является редактирование, просмотр и вычитка текста на предмет стилистических, фактических, орфографических, синтаксических и др. ошибок, опечаток.

В конце работы необходимо написать заключение, где подводятся итоги рассуждениям и делаются выводы, и составить окончательный, отредактированный в соответствии с правилами библиографического описания, список использованной литературы.

Оформление реферата делается в соответствии с общепринятыми требованиями.

Итак, структура реферата в итоге должна быть представлена из:

1. титульного листа.

3. основной части;

4. заключения;

5. списка использованной литературы.

Реферат должен быть представлен преподавателю прошитым и помещенным в обложку.

Методические материалы для преподавателей Дисциплина «Философские вопросы математики» относится к блоку общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин включается в обязательный минимум содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста.

Дисциплина способствует формированию мировоззренческой и методологической культуры современного педагога; приобретению студентами определенного объема специальных знаний в области истории математики, философии, философской антропологии.

Лекционный курс соответствует новому государственному образовательному стандарту и включает в себя три основных разделов:

Предмет и основные концепции современной философии науки.

История науки и основные стадии ее исторической эволюции;

.Особенности современного этапа развития науки. Перспективы научнотехнического прогресса.

Дисциплина изучается студентами данной специальности в восьмом семестре на четвертом курсе. Этот предмет непосредственно связан с циклом гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, в частности с концепциями современного естествознания, математикой и многими другими дисциплинами.

Основные вопросы и проблемы, выносимые на лекционный, должны соответствовать основным дидактическим единицам образовательного стандарта высшего профессионального образования:

Дисциплина включает общий объем часов по курсу - 52; аудиторный объем часов – 28 (лекционных – 28); самостоятельная работа студентов - 24. Поскольку объем содержания дисциплины не соответствует количеству времени, отведенному на аудиторные занятия, ряд тем предлагается студентам для самостоятельного изучения. Задания для самостоятельной работы должны выполняться студентами в течение всего семестра. Самостоятельная работа студентов включает выполнение домашних заданий, подготовку к занятиям, выполнение рефератов, тестовых и творческих заданий, контрольной работы. Эта работа предполагает не только подбор и систематизацию материалов в рамках конспектирования, реферирования и т. д., но и обязательное самостоятельное осмысление избранной проблемы, осознанное постижение теоретических философских проблем, генезиса и развития философских идей и основных категорий философии.

Текущий контроль осуществляется через проверку домашних и аудиторных контрольных работ, рефератов, конспектов, проведения тестирования.

Контрольные работы выполняются студентами самостоятельно.

Итоговый контроль проводится в рамках зачета.

Методические указания студенту по изучению дисциплины Дисциплина «Философские вопросы математики» относится к блоку общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин включается в обязательный минимум содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста.

Дисциплина способствует формированию мировоззренческой и методологической культуры современного педагога; приобретению студентами определенного объема специальных знаний в области истории математики, философии, философской антропологии.

Лекционный курс соответствует новому государственному образовательному стандарту и включает в себя три основных разделов:

Предмет и основные концепции современной философии науки.

История науки и основные стадии ее исторической эволюции;

.Особенности современного этапа развития науки. Перспективы научнотехнического прогресса.

Дисциплина изучается студентами данной специальности в восьмом семестре на четвертом курсе. Этот предмет непосредственно связан с циклом гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, в частности с концепциями современного естествознания, математикой и многими другими дисциплинами.

Основные вопросы и проблемы, выносимые на лекционный, должны соответствовать основным дидактическим единицам образовательного стандарта высшего профессионального образования:

Дисциплина включает общий объем часов по курсу - 52; аудиторный объем часов – 28 (лекционных – 28); самостоятельная работа студентов - 24. Поскольку объем содержания дисциплины не соответствует количеству времени, отведенному на аудиторные занятия, ряд тем предлагается студентам для самостоятельного изучения. Задания для самостоятельной работы должны выполняться студентами в течение всего семестра. Самостоятельная работа студентов включает выполнение домашних заданий, подготовку к занятиям, выполнение рефератов, тестовых и творческих заданий, контрольной работы. Эта работа предполагает не только подбор и систематизацию материалов в рамках конспектирования, реферирования и т. д., но и обязательное самостоятельное осмысление избранной проблемы, осознанное постижение теоретических философских проблем, генезиса и развития философских идей и основных категорий философии.

Текущий контроль осуществляется через проверку домашних и аудиторных контрольных работ, рефератов, конспектов, проведения тестирования.

Контрольные работы выполняются студентами самостоятельно.

Итоговый контроль проводится в рамках зачета.

Содержание, организация и методическое обеспечение учебной практики Учебная практика не предусмотрена Характеристика и эффективность использования в образовательном процессе инновационных методов информационных и педагогических Так как философия – дисциплина теоретическая и во многом предполагает освоение студентами категорий, законов современной философии, основных логических законом мышления и формирования мировоззренческих конструкций, в преподавании дисциплины могут эффективно использоваться элементы технологии дистанционного обучения, тестового контроля знаний, а также может использоваться мультимедийное оборудование и технологии.