ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ

по научной специальности

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

1. Математический анализ

1.1. Предел последовательности. Предел суммы, произведения и частного

последовательностей. Критерий Коши. Существование предела у монотонно

возрастающей, ограниченной сверху последовательности. Теорема БольцаноВейерштрасса. Верхний и нижний пределы.

1.2. Открытые, замкнутые и связные множества, области в Rn. Предел функции.

Непрерывность функций. Равномерная непрерывность функций. Теоремы Вейерштрасса и Кантора.

1.3. Дифференцируемые функции одной переменной. Производные и дифференциал.

Производная произведения, отношения частного, производная сложной и обратной функций. Формула Тейлора для функций одной переменной. Ряд Тейлора. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Лагранжа, Коши). Выпуклость, точки перегиба и экстремумы функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной 1.4. Дифференцируемость функций многих переменных, частные производные.

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Формула Тейлора для функций многих переменных. Теорема о неявных функциях (без доказательства).

Производная сложной функции.

1.5. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума.

1.6. Первообразная, неопределенный интеграл. Интеграл Римана. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции по Риману.

Интегрируемость непрерывной функции. Формула интегрирования по частям, замена переменных под знаком интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница.

1.7. Несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов. Понятие кратного интеграла по Риману. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные интегралы первого и второго рода и их вычисление.

1.8. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Признаки сходимости числовых рядов (признак сравнения, признаки Даламбера и Коши, признак Лейбница, интегральный признак, признак Дирихле).

1.9. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности функций. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.

1.10. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Свойства коэффициентов Фурье.

Сходимость рядов Фурье для кусочно-гладких функций.

2. Линейная алгебра 2.1. Понятие линейного пространства. Определение линейной зависимости и независимости векторов. Размерность линейного пространства, базис, координаты вектора, формулы преобразования координат при переходе от одного базиса к другому.

2.2. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы. Ранг матрицы и способы его вычисления.

2.3. Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Решение однородной системы.

Решение неоднородной системы. Теорема Кронекера-Капелли.

2.4. Линейные преобразования в n мерном пространстве. Матрица линейного преобразования и ее смысл. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Область значений линейного преобразования. Обратное преобразование и его матрица. Произведение линейных преобразований.

2.5. Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования.

Характеристический многочлен. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов.

2.6. Скалярное произведение и евклидовы пространства. Координатное представление скалярного произведения. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации.

2.7. Понятие самосопряженного линейного преобразования. Свойства его собственных чисел и собственных векторов. Матрица самосопряженного линейного преобразования.

2.8. Ортогональные преобразования. Матрица ортогонального преобразования.

Ортогональные матрицы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

2.9. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе. Закон инерции для квадратичных форм. Понятие положительно определенной квадратичной формы. Критерий Сильвестра (без доказательства).

3. Численные методы 3.1. Погрешности результатов численного решения задач, классификация и методы оценки. Задача интерполяции многочленами, минимизация оценки остаточного члена.

Задача наилучшего приближения. Интерполяция сплайнами.

3.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса и наивысшей алгебраической степени точности, оценка остаточного члена. Составные формулы и их оптимизация, апостериорные методы оценки погрешности.

3.3. Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений и их сравнительная характеристика. Оценка погрешностей. Методы решения проблемы собственных значений. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений и задач нелинейной оптимизации.

3.4. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Дискретная математика 4.1. Графы. Способы задания графов. Основные классы графов. Изоморфизм графов.

Критерий существования эйлерова цикла. Достаточные условия существования гамильтонова цикла. Деревья. Характеризация деревьев. Теорема Кэли.

4.2. Задача о минимальном основном дереве. Алгоритмы Краскала и Прима. Задача о кратчайших путях. Алгоритм Дейкстры. Потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона.

Метод расстановки пометок.

4.3. Конъюнктивные нормальные формы. Машина Тьюринга. Элементы теории сложности. Классы P и NP. Полиномиальная сводимость. Теорема Кука (без доказательства). Примеры NP – полных задач.

5. Математическое программирование 5.1. Линейное программирование. Симплекс-метод. Теоремы двойственности.

5.2. Выпуклое программирование. Теорема Куна-Таккера. Метод возможных направлений.

5.3. Целочисленное программирование. Алгоритмы отсечения. Метод ветвей и границ.

Задача коммивояжера.

5.4. Динамическое программирование. Уравнения Беллмана. Задача о рюкзаке.

Литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 – 3.

М.: Наука, 1970.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1, 2. М.: Наука, 1982.

3. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1984.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1971.

9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

10. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций. М.: Наука, 1984.

11. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного.

Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968.

12. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие.

М.: Наука, 1987.

14. Калиткин Н.П. Численные методы. М.: Наука, 1978.

15. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989.

16. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

17. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

18. Гери М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.:

19. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974.

20. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

21. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука,