МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тверской государственный университет»

УТВЕРЖДАЮ

Декан физико-технического факультета

Б.Б. Педько

2012 г.

Учебно-методический комплекс по дисциплине

ОБЩАЯ ФИЗИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

для студентов 2 курса очной формы обучения направления 010700.62 Физика, специальностей 010801.65 Радиофизика и электроника, 010704.65 Физика конденсированного состояния вещества Обсуждено на заседании Составитель:

кафедры общей физики к.ф.-м.н., доцент «» 2012 г., А.Р. Новоселов протокол № _ Зав. кафедрой д.х.н., профессор _Ю.Д. Орлов Тверь

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.

Требования ГОС ВПО 1.1.

Курс «Электричество и магнетизм» является составной частью курса общей физики - основного в общей системе современной подготовки физиков - профессионалов. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Высшего профессионального образования к подготовке студентов. направления 010700.62 «Физика», специальностей 010801.65 «Радиофизика» и электроника,010704.65 «Физика конденсированного состояния вещества Главной задачей курса является создание фундаментальной базы знаний, на основе которой в дальнейшем можно развивать более углубленное и детализированное изучение всех разделов физики в рамках цикла курсов по теоретической физике и специальных курсов.

(ГОС ВПО 172 ен/сп, Пр.№ 686 от 02.08.2000).

Цели и задачи курса 1.2.

Курс является важной составной частью курса общей физики. Задача курса познакомить студентов с функциональными закономерностями в области электромагнитных явлений. Особое внимание уделено экспериментальному обоснованию основных законов, а также различным вариантам их математического описания. Студенты знакомятся с физическими основами электротехники и радиоэлектроники, на практических занятиях проводят расчеты линейных и нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока, движения частиц в электромагнитных полях различной конфигурации.

Исходя из поставленной цели вытекают следующие задачи курса электричества и магнетизма: 1) Научить применять теоретический материал к анализу конкретных физических ситуаций. 2) решать практические количественные и качественные задачи по основным разделам.

Место дисциплины в структуре подготовки специалиста 1.3.

Е.Н.Ф.01.3-электрическтво и магнетизм. В учебном плане: направление «Физика». Е.Н.Ф.1.3- электричество и магнетизм.

010700.62 Специальность 010801.65 – «Радиофизика и электроника», специальность 010704.65 – «Физика конденсированного состояния вещества» ( 2 курс, 3-ой семестр, 18 уч. недель, 3 часа в неделю -лекции, 3 часа в неделю практических занятия).

Знания, умения, и навыки, приобретаемые в результате 1.4.

изучения дисциплины Успешной реализации поставленной цели и вытекающих из нее задач способствует развитие у студентов целого комплекса общеучебных и специальных знаний, умений и навыков. А именно, студенты должны:

1. Приводить примеры опытов, обосновывающих научные представления и законы, или примеры опытов, позволяющих проверить законы и их следствия.

2. Объяснять физические явления.

3. Применять законы физики для анализа процессов на качественном уровне.

4. Применять законы физики для анализа процессов на количественном уровне.

5. Указывать границы (область, условий) применимости научных моделей, законов и теорий.

6. решать количественные и качественные задачи, используя сведения, полученные из графиков, таблиц, схем.

Контрольные работы.

Контрольные тестовые задания.

Итоговый контроль – экзамен.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА КУРСА

Электростатика. Проводники в электростатическом поле. Диэлектрики в электростатическом поле. Постоянный электрический ток. Механизмы электропроводности. Контактные явления. Магнетики. Объяснение диамагнетизма. Объяснение парамагнетизма по Ланжевену. Ферромагнетики и их основные свойства. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля. Электромагнитные колебания. Переменный ток. Технические применения переменного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Излучение электромагнитных волн.

ФКСВ)

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

Распределение часов по темам и видам учебных занятий Наименование разделов и тем напряженности электрического поля.

Принцип суперпозиции электрических полей. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема поля. Потенциал. Нормировка потенциала. Связь потенциала с электростатического поля. Циркуляция электростатического поля. Теорема о циркуляции и е представление в дифференциальной форме. Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики. Роль граничных условий. Электрический диполь. Поле диполя. Силы действующие на диполь в электрическом поле.Энергия системы взаимодействия и собственная энергия.

Энергия электростатического поля и е объемная плотность. Энергия электрического диполя во внешнем поле.

Проводники в электростатическом поле.Напряженность поля у поверхности и внутри проводника.

Распределение заряда по поверхности 8 проводника. Электростатическая защита. Измерение потенциала проводника. Эквипотенциальные поверхности. Метод зеркальных изображений.

Связь между зарядом и потенциалом проводника. Электромкость.

Конденсаторы. Ёмкость плоского, сферического и цилиндричкского конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора. Силы действующие на проводники в электрическом поле.

Диэлектрики в электростатическом поляризации. Свободные и связанные заряды. Связь вектора поляризации со связанными зарядами. Вектор Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость вещества. Материальное уравнение для векторов электрического поля.

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости.Теорема Остроградского - Гаусса в присутствии диэлектриков. Е дифференциальная форма. Граничные условия для векторов поляризации напряженности и индукции электрического поля.

Преломление линий поляризации, напряженности и индукции на границе двух диэлектриков. Принципиальные методы измерения напряженности и индукции электрического поля в однородном диэлектрике.Энергия электрическом поле и методы их вычисления. Связь пондеромоторных сил с энергией электрических зарядов.

Электронная теория поляризации диэлектриков. Локальное поле.

Неполярные диэлектрики. Формула Клаузиуса - Мосотти. Полярные диэлектрики. Функция Ланжевена.

Поляризация ионных кристаллов.

Электрические свойства кристаллов.

Пироэлектрики. Пьезоэлектрики.

Прямой и обратный пьезоэффект и его применение. Сегнетоэлектрики.

сегнетоэлектриков. Гистерезис. Точка Кюри сегнетоэлектрика. Применение сегнетоэлектриков.

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока.

Постоянный электрический ток.Сила и плотность тока. Линии тока. Электрическое поле в проводнике с током и его источники.

Уравнение непрерывности. Условие стационарности тока. Электрическое напряжение. Закон Ома для участка цепи. Электросопротивление.

Удельная электропроводность вещества. Дифференциальная форма закона Ома.

Работа и мощность тока. Закон Джоуля -Ленца и его дифференциальная форма. Сторонние силы. ЭДС. Закон Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Токи в сплошных средах.

Заземление.

Механизмы электропроводности.Проводники.

Основные положения классической электронной теории проводимости Друде-Ленца. Опыты Толмена и Стюарта. Законы Ома и Джоуля-Ленца в классической теории. Закон Видемана-Франца. Трудности классической теории.

Понятие о зонной теории твердых тел.

формирование энергетических зон.

Принцип Паули. Статистика ФермиДирака. Полупроводники.

Особенности зонной структуры диэлектриков, полупроводников и металлов.Собственная и примесная проводимость полупроводников.

Полупроводники p и n типа. P - n полупроводников: полупроводниковые диоды, транзисторы, фотодиоды, фоторезисторы.

Контактные явления.Контактная Термоэлектричество.

Термоэлектродвижущая сила.

Термопары. Эффект Пельтье. Явление Томсона. Сверхпроводимость.

Основные свойства сверхпроводников.

Эффект Мейснера, критическое магнитное поле. Применение сверхпроводников.Электролиты. Закон Фарадея.Токи в газах. Основные типы газового разряда. Плазменное Электропроводность плазмы.

Электрический ток в вакууме.

Электронная эмиссия Классификация магнетиков:

диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Магнетики.Понятие о молекулярных токах. Вектор намагниченности и его связь с молекулярными токами. Вектор напряженности магнитного поля.

Магнитная проницаемость и магнитная восприимчивость вещества.

Материальное уравнение для векторов магнитного поля. Понятие о тензоре магнитной проницаемости.

Граничные условия для векторов магнитного поля. Магнитное поле в полостях в однородном магнетике.

Принципиальные методы измерения магнитного поля в магнетиках.

Объяснение диамагнетизма.Диамагнетики в однородном магнитном поле. Вектор намагниченности вещества.

Объяснение парамагнетизма по Ланжевену.Парамагнитные вещества в однородном магнитном поле. Расчет парамагнитной восприимчивости парамагнитных газов. Закон Кюри.

Объяснение парамагнетизма по Ланжевену. Гиромагнитное отношение. Опыты Эйнштейна-деГааза. Опыт Барнетта.

Ферромагнетики и их основные свойства.Ферромагнетики. Доменная намагничивания. Кривая Столетова.

Остаточная индукция и коэрцитивная.

Температурная зависимость намагниченности. Точка Кюри. Силы действующие на магнетики в магнитном поле. Магнитные материалы и их применение.

Электромагнитная индукция.Закон электромагнитной индукции Фарадея и дифференциальной форме. Правило Ленца. Индукционные методы измерения магнитных полей. Токи Фуко.

Энергия магнитного поля.Магнитная энергия контура с током. Магнитная энергия совокупности контуров с током. Энергия магнитного поля. Е объемная плотность. Энергия магнитного поля в веществе Электромагнитные колебания.Квазистационарные поля.

Критерии квазистационарности.

Переходные процессы в RC и LC цепях.

Колебательный контур. Собственные колебания в контуре. Уравнение гармонических колебаний. Энергия запасенная в контуре. Затухающие колебания в контуре и их уравнение.

Показатель затухания. Время релаксации. Логарифмический декремент затухания. Добротность контура.

Вынужденные колебания в контуре.

Резонанс. Ширина резонансной кривой и е связь с добротностью контура.

Процесс установления вынужденных колебаний.

Колебания в связанных контурах.

Парциальные колебания и их частоты.

Нормальные колебания (моды) и их частоты.

Переменный ток.Работа и мощность переменного тока. Эффективные напряжения.Квазистационарные токи.

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм. Активное, сопротивление. Закон Ома для цепей переменного тока.

Резонанс напряжений. Резонанс токов.

Правила Кирхгофа для цепей переменного тока.

переменного тока. Техническое использование переменных токов.

Генераторы и электродвигатели.

вращающегося магнитного поля.

Соединение обмоток генератора "звездой" и "треугольником". Фазное и линейное напряжение. Трансформатор.

Принцип действия, применение.

Коэффициент трансформации. Роль сердечника.Высокочастотные токи.

Скин-эффект. Толщина скин-слоя.

интегральной и дифференциальной форме. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Волновое уравнение.

Электромагнитные волны. Скорость их распространения. Поперечность электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга. Закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Вибратор Герца.

Излучение электромагнитных волн.

Плоские электромагнитные волны в вакууме. Плотность потока энергии электромагнитной волны Векторы поля волны и соотношения между ними. Фазоваяскорость.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ К

ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

1. Изучить рекомендуемую литературу.

2. Прорешать задачи, разобранные в конспекте.

3. Разобрать задачи, рекомендованные преподавателем для самостоятельного решения.

4. Обсудить проблемы, возникшие при решении задач с преподавателем.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Виды предлагаемой самостоятельной работы 5.1.

1. Решение задач.

2. Самостоятельное изучение отдельных тем по курсу.

Методика решения задач по разделам 5.2.

Сила, с которой точечный заряд q действует на точечный заряд q’, отстоящий на расстоянии r, определяется выражением:

где e r - единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющий заряды; диэлектрическая проницаемость среды, показывающая, во сколько раз электростатическое взаимодействие в среде слабее, чем в вакууме; электрическая постоянная 0=8,85 10-12Ф/м.

Из опыта известно, что силы взаимодействия любой пары зарядов не зависят от наличия других зарядов, входящих в систему. Этот факт лежит в основе принципа суперпозиции, который заключается в том, что сила, действующая на заряд, расположенный в любой точке системы, представляет собой векторную сумму сил взаимодействия этого заряда с каждым зарядом системы в отдельности.

Принцип суперпозиции применяется для расчета сил, действующих между заряженными телами конечных размеров, которые можно представить в виде системы точечных зарядов. Если заряд распределен по объему тела, то заряд элементарного объема равен dq= dV; для поверхностного распределения заряда dq= dS; для линейного распределения заряда dq= dl, где,, - объемная, поверхностная и линейная плотность заряда (Кл/м3, Кл/м2, Кл/м), а dV, dS, dl – элемент объема, поверхности и длины соответственно.

Система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +q и –q, находящихся на расстоянии l, называется электрическим диполем. Электрический (дипольный ) момент такой системы где l - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.

Задача 1. Два заряженных шарика подвешены на нитях одинаковой длины, образующих угол 2.

Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы при погружении их в керосин ( =2, к=800кг/м3) угол расхождения нитей не изменился?

Решение В случае равновесия шариков в воздухе (рис.1а) на каждый из них действует три силы:

сила тяжести, кулоновская сила и сила натяжения нити.

Угол расхождения нитей определяется из условия откуда При погружении шариков в керосин (рис.1б) кулоновская сила уменьшается в раз и на шарик действует дополнительная сила Архимеда:

Из условия равновесия для этого случая Получаем, что Задача 1. Найти силу и вращающий момент, действующие со стороны заряда Q=1,6 10-9Кл на диполь с дипольным моментом =5 10-12Кл м для двух случаев расположения диполя и заряда (рис. 2а,б). Расстояние между зарядом и центром масс диполя r=10 см, размер диполя l.

Решение результирующая сила определяется как В рассматриваемом случае вращающий момент отсутствует, т.к. сила F не имеет плеча относительно центра масс диполя.

На заряды +q и –q со стороны Q действуют силы F и F, которые следует Результирующая сила, действующая на диполь в данном случае, будет направлена вдоль оси диполя и равна удвоенной силе F :

Так как l/2b.

4). Найти модуль E напряженности поля в центре полусферы радиуса R, заряженной однородно с поверхностной плотностью.

5). По телу объемом V распределен заряд q с плотностью = ( r ); по телу объема V’ распределен другой заряд q’ с плотностью ’= ( r ’). Написать общее выражение для силы F и ее проекций, с которой заряд q’ действует на заряд q.

Рассчитывать напряженность электрического поля, имея заданное распределение зарядов в пространстве, непосредственно по формуле (2.2) довольно утомительно. Однако в некоторых случаях задача существенно облегчается, если использовать основные свойства электростатического поля. К ним относится теорема Гаусса: поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, умноженной на 4 :

dS – элементарная площадка на поверхности S (т.е. такая, в пределах которой напряженность электрического поля E остается постоянной по величине и направлению.

E n – проекция вектора E на нормаль n к площади dS. Применение формулы (3.1) основано на том, что в теореме Гаусса фигурирует произвольная поверхность. Значит, если ее выбрать специальным образом, так что En на ней остается постоянным или равняется нулю, то в левой части (3.1) En вынесется за знак интеграла и получится простое произведение En S, где S – площадь нашей выбранной поверхности, на которой En постоянно и отлично от нуля.

Формулу (3.1) можно записать в дифференциальной форме.

- плотность заряда.

Однако надо отметить, что (3.1) более общая запись, чем (3.2). Например. (3.2) не работает для точечных зарядов, если не применять специальные функции.

Определить напряженность поля E внутри и вне безграничного плоского слоя толщины d, в котором равномерно распределен положительный заряд с объемной плотностью.

Из симметрии задачи видно, что все направления в пространстве, кроме перпендикулярного к заряженному слою, должны быть равноправны. Поэтому вектор E направлен перпендикулярно к заряженному слою. Выберем поверхность в виде прямоугольного параллелепипеда, лежащего вне заряженного слоя. Проекция вектора E на боковые грани равна нулю. Поскольку заряженный слой безграничен, то все точки, расположенные на плоскости, параллельной слою, эквивалентны. Тогда потоки вектора E через левое и правое основания равны просто произведению соответствующей величины Е на площадь оснований. Поэтому, применяя (3.1), имеем:

E1 – значение Е на левом основании;

E2 – значение Е на правом основании.

Так минус возникает из-за того, что нормаль n на левом и правом основании направлены в разные стороны. Справа стоит нуль, т.к. мы выбираем поверхность таким образом, что внутри нее заряды отсутствуют.

Расположим теперь тот же прямоугольный параллелепипед так, чтобы он пересекал заряженный слой. Проводя все рассуждения, произведенные выше и, применяя формулу (2.1), получим:

Знак плюс берется из-за того, что направление E и n к основаниям совпадают.

Справа стоит полный заряд. Заключенный внутри прямоугольного параллелепипеда.

Наконец, выберем прямоугольный параллелепипед, расположенный внутри заряженного слоя, симметрично относительно оси симметрии слоя. Применяя и к нему теорему Гаусса, получим:

Найти E как функцию r. Исследовать характер поля при больших и малых r.

Поскольку распределение заряда сферически симметрично, то и поле должно обладать этой же симметрией. Если выбрать поверхность в виде сферы с центром в начале координат, то E направлен по радиусу. Применяя (2.1), имеем:

где Q – заряд внутри сферы, который определили следующим образом:

Интегрирование производится по объему сферы.

При малых r экспоненту можно разложить в ряд:

т.е. Е r. При больших r можно пренебречь экспонентой по сравнению с единицей:

Имеется длинный цилиндр радиуса а, заряженный с объемной плотностью.

Найти напряженность электрического поля во всем пространстве.

Из симметрии задачи видно, что поле направлено по радиусу цилиндра. Поэтому выберем поверхность в виде коаксиального цилиндра с радиусом r a, тогда поток вектора E через основания равен нулю, а через боковую поверхность E2 2h, где h – высота цилиндра. По теореме Гаусса (2.1):

Для вычисления поля внутри цилиндра, выберем поверхность в виде коаксиального отношению к шару. Определить потенциал шара относительно земли, если полусферы заземлены (а), полусферы изолированы (б), полусферы соединяются проволокой с шаром (в).

а). До заземления потенциал полусфер определялся только зарядом шара и был полусфер стекла в землю, и они приобрели заряд q’, причем их потенциал стал равен нулю (как и у земли). Следовательно:

Первое слагаемое есть потенциал на полусферах, создаваемый зарядом шара, а второе – потенциал, создаваемый на полусферах их же зарядом q’.

Теперь потенциал шара определится следующим образом (потенциал центральной точки):

б). Так как полусферы не заряжены, их суммарный заряд равен нулю;

в). Когда шар соединяют с полусферами, то по проволоке протекает заряд до тех пор, пока не сравняются потенциалы шара и полусфер.

Пусть при установившемся равновесии на сфере остался заряд q’, а на полусферы стек заряд q’’, при этом q’+q’’=q.

Теперь запишем условие равенства потенциалов шара и полусфер. Как и в случае а потенциалы каждого из них будут определяться всеми зарядами, а именно:

откуда q’=0, т.е. весь заряд с шара перетек на полусферы (т.к. R2>R1) и потенциал шара стал равен Точечный положительный заряд q=5 10-10Кл находится на расстоянии r=5см от центра незаряженного сферического проводника, внешний и внутренний радиусы которого R1=7см, R2=10см. Найти потенциал в центре сферы.

В результате электростатической индукции на внутренней поверхности проводника появятся отрицательные индуцированные заряды, а на внешней - положительные. В соответствии с законом сохранения электростатического заряда общая величина указанных индуцированных зарядов равна где и - поверхностная плотность индуцированных зарядов.

Потенциал в центре сферического проводника определяется на основе принципа суперпозиции:

Так как расстояние от положительных и отрицательных зарядов до центра проводника не изменится, то Проводник заряжается электричеством при многократном соприкосновении с металлической пластинкой, которая после каждого соприкосновения дозаряжается до величины заряда Q. До какой величины зарядится проводник, если после первого соприкосновения оказался равен q?

После того, как проводник первый раз приведен в соприкосновение с пластиной и на него стечет заряд q1=q, на проводнике и пластине установится одинаковый потенциал.

В силу пропорциональности заряда и потенциала имеем:

Где – общий для пластины и проводника потенциал, а Спл и Спр – коэффициенты пропорциональности (электроемкости), не зависящие от заряда и потенциала на проводнике и пластине. Таким образом с учетом q1=q, имеем:

При достаточно большом числе соприкосновений проводника с пластиной его заряд практически перестает изменяться и равен qп, а заряд пластины также остается при этом неизменным и равным Q. Таким образом, Пластины плоскопараллельного конденсатора находятся на расстоянии а и соединены снаружи проволокой. Между пластинами помещен распределенный в плоскости заряд Q. Какой заряд пройдет по проволоке, если точечный заряд передвигают на расстояние x перпендикулярно пластинам?

Заряд Q индуцирует на пластинах заряды, причем на ближней к нему пластине заряд индуцируется больше, чем на дальней, следовательно, q1 q2, при этом суммарный индуцированный заряд q1+q2=-Q. Поскольку пластины конденсатора соединены проводником, то они находятся под одним потенциалом. Следовательно, перемещение заряда Q, приводящее к неперераспределению заряда между пластинами, происходит без затраты работы на перенос заряда.

Если заряд Q распределить равномерно на плоскости, проходящей через него параллельно пластинам, то величина индуцированных зарядов q1 и q2 от этого не координаты на поверхности пластин. При этом суммарное поле по обе стороны от плоскости с зарядом Q запишется следующим образом:

x0, то (q1-Q-q2)x0+(q1+Q-q2)(d-x0)=0, откуда с учетом q1+q2=-Q, получаем:

При перемещении Q соотношение между q1 и q2 меняется. Действительно, после перемещения заряда на x Следовательно, на вторую пластину перетек заряд с первой пластины Длинный проводящий цилиндр радиуса R составлен из двух половин.

Определить силу отталкивания, действующую на единицу длины каждого полуцилиндра, если на единицу длины цилиндра приходится заряд x.

Вычертить графики зависимости напряженности поля E и потенциала от расстояния r до центра шара для следующего случая: металлический шар с радиусом 10см имеет заряд 20нКл и окружен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью =2, причем диэлектрик простирается до сферы радиуса 20см.

Из трех концентрических бесконечно тонких металлических сфер с радиусом R1ro если l1 = l2 = l = 2, где L – полная длина проводника, то По центральному проводнику длинного коаксиального кабеля (на рис.

9.2. показано поперечное сечение кабеля) и по наружному цилиндрическому проводнику текут одинаковые по величине, но противоположные по направлению токи I. Определить распределение магнитного поля во всем пространстве.

Из симметрии задачи видно, что силовые линии магнитного поля в сечении проводника являются окружностям.

Сила постоянного тока I – скалярная физическая величина, равная количеству зарядов, прошедшему через поперечное сечение проводника в единицу времени Плотность электрического тока i – векторная величина, которая совпадает по направлению с упорядоченным течением положительного электричества, а по величине равна силе тока, приходящейся на единицу поперечного сечения проводника Как показывает опыт, для многих тел в широких пределах выполняется закон - удельная проводимость или электропроводность. Соотношение (7.3) можно представить в интегральной форме R – сопротивление участка U – разность потенциалов или напряжение на концах участках - ЭДС сторонних сил.

В случае разветвленных цепей их расчет производится на основании правил Кирхгофа:

1. В каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма сил токов равна нулю. Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков.

2. Выделим в сети произвольный замкнутый контур, состоящий из проводов. Сумма электродвижущих сил, действующих в этом контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого контура на их сопротивление При применении правил Кирхгофа надо поступать следующим образом:

1. Направление токов во всех участках сети следует обозначать стрелками, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление указано правильно. Если же ток отрицателен, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2. Выбрав произвольный замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении. Если это направление совпадает с направлением стрелки, то слагаемое IR берется с плюсом. Если же это направление противоположно, то оно берется со знаком минус. Если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то его ЭДС следует считать положительной, в противоположном случае ее надо считать отрицательной. На основании правил Кирхгофа просто получаются полное сопротивление цепи для n последовательно соединенных проводников сопротивлением ri каждый:

а также для m параллельно соединенных проводников:

В цепи, изображенной на рис.7.1 найти токи через каждое сопротивление, если ЭДС источников тока равны 1=1В, 2=3В, 3=5В, а сопротивления r1=2Ом, r2=4Ом, r3=r4=1Ом.

На основании применения правил Кирхгофа обозначим величину и направление токов, текущих через сопротивления, учитывая, что I3=I4, а также знаки полюсов ЭДС. Составим уравнения на основании правил Кирхгофа:

Подставим числовые данные:

Решаем систему методом определителей Крамера:

Какое необходимое и достаточное условие должно выполняться, чтобы замена одного участка, изображаемого на рис. 7.2а другим, изображенным на рис. 7.2б и наоборот, в любом случае не приводила к изменению напряжения и величин тока в цепи, находящейся за пределами индикаторной окружности?

зависимостью между одним напряжением и одной силой тока, а значит и одним эквивалентным сопротивлением. Система с тремя выводами характеризуется зависимостью между двумя напряжениями, например, UAB и UBC (UAC однозначно определяется по этим двум напряжениям и двумя точками IA и IC (IB=IA+IC) по первому правилу Кирхгоффа).

1. Для «звезды» (рис.7.2а) имеем:

2. Для «треугольника» (рис. 7.2б):

U AB U CB

IA U AB U CB

IC U AB U CB

Решая систему уравнений относительно токов для «звезды», получаем:

I A U AB U CB

IC U AB U CB

«звездой» равномерно требованию, чтобы две последние системы (а) и (б) были идентичны. Это означает, что соответствующие коэффициенты должны быть равны:

Эти связи устанавливают искомые необходимые и достаточные условия. Их можно записать в виде:

сопротивления сложных цепей. Мы всегда сможем заменить соединение «звездой» эквивалентным соединением «треугольника» и наоборот.

Найти полное сопротивление между A и B, если стороны квадратов имеют одинаковое сопротивлении?

Нарисуем эквивалентную схему:

Заменим соединение KMN эквивалентной «звездой» (рис. 7.5):

R1=2r; R2=R3=r. Из задачи 7.2 имеем:

Таким образом, эквивалентная схема имеет вид:

треугольником на рис. 7.7:

Опять на основании задачи 7. Теперь по формулам (7.7) и (7.8) рассчитываем последнюю цепь:

Если бы мы стали рассчитывать сопротивление по искомой цепи по правилам Кирхгофа, нам пришлось бы искать решение системы восьми уравнений по методу Крамера, что заняло бы гораздо больше времени.

Большие упрощения для нахождения сопротивления некоторого класса цепей дает использование симметрии задачи.

Задача 7.4 Найти сопротивление, эквивалентное проволочному кубу.

Каждое ребро имеет сопротивление r, между точками A и B рис 7.8.

Из соображений симметрии ясно, что токи. Идущие по ветвям А-1, А-2, А-3 – одинаковы. Поэтому благодаря равенству сопротивлений этих ветвей, падение напряжений на них тоже одинаковы, и одинаковы потенциалы узлов 1, 2, 3. Аналогично можно показать. Что узлы 4, 5, и тоже имеют равные потенциалы. Ясно, что сопротивление цепи не изменится, если потенциальные узлы соединить вместе. Сделав это, получим цепь, эквивалентную исходной и представленную на рис. 7.9 и Сопротивление такой цепи элементарно считается по формулам (7.7) и (7.8):

Эту же задачу можно решить по-другому.

Из соображений симметрии, токи, текущие по ветвям А-1, А-2, А- равны, то же самое можно сказать и о токах в ветвях 4-В, 5-В и 6-В. Их направления показаны на рис. 7.8. Ясно, что опять же из симметрии задачи, токи, текущие по ветвям 3-6 и 3-5 равны. Тогда падение напряжения между точками А и В с одной стороны равно I R AB, а с Задача 7.5 Найти сопротивление участка, показанного на рис. 7. между точками А и В. Сопротивление каждого кусочка цепи равно r.

Понятно, что эту задачу просто решить, используя ответ задачи 7.2, т.е. заменить участок А12 эквивалентной «звездой» и дальше считать по формулам (7.7) и (7.8).

Однако можно заметить, что точки 1 и 2 эквипотенциальны и, следовательно, по участку 1-2 ток не идет. Поэтому его можно удалить, и мы получим эквивалентную схему. После простых преобразований цепи на основании формул (7.7) и (7.8) легко подсчитать, что ее сопротивление При протекании электрического тока, в любой среде происходит ее нагревание.

Количество тепла, выделяемого в единице объема и в единице времени, можно определить по формуле:

Величины j и E связаны законом Ома. В случае протекания постоянного тока по проводнику формулу (1) можно заменить где W – количество тепла, выделяемое в проводнике в единицу времени или мощность тока;

I – ток, текущий по проводнику;

U – разность потенциалов на концах проводника.

Используя выше приведенные формулы, а также закон сохранения энергии, закон сохранения заряда можно рассчитать КПД источника тока, потери на джоулево тепло и т.д.

Двигатель постоянного тока мощностью P = 150 Вт, рассчитанный на работу при напряжении 15 В, питается от сухих элементов, каждый из которых имеет э.д.с. = 1.5 В и внутреннее сопротивление R = 0.45 Ом.

Какое наименьшее количество элементов потребуется, чтобы двигатель работал в соответствии со своими расчетными параметрами? Как следует соединить элементы в батарею?

Прежде всего установим, какая максимальная мощность выделяется на внешнем сопротивлении Rвнеш, подключенному к источнику с внутренним сопротивлением R и э.д.с.. Рассмотрим цепь на рис. 1.

По закону Ома имеем Напряжение на внешней нагрузке Uвнеш = IRвнеш тогда мощность Pвнеш, выделяемая на резисторе Rвнеш есть см. Pвнеш = UвнешI = I2Rвнеш Находя максимум этого выражения, получим Такая мощность потребляется в том случае, если сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.

Двигатель потребляет мощность P. Значит, батарея питания должна содержать не меньше удовлетворять условию Из условия задачи Определим теперь сопротивление двигателя Rдв. Его не следует путать с омическим сопротивлением обмоток двигателя. Величина эффективного сопротивления двигателя не является постоянной, но зависит от активной нагрузки P. В нашем случае это просто сопротивление резистора, эквивалентного сопротивлению двигателя, рабочие характеристики которого приведены в условии задачи.

и из данных задачи Интуиция подсказывает наиболее простое соединение источников «прямоугольником» - рис. 2.

Попробуем из соединений такого вида выбрать такое, при котором мощность, выделившаяся на сопротивление Rдв равна P, а падение напряжения на Rдв равно U.

Прежде всего, рассмотрим предельный случай, когда n = no = 120. Если бы нам не удалось найти соответствующего соединения, то следовало бы взять другое n и пробовать снова.

При n = no каждый элемент должен работать, вырабатывая максимальную мощность. Если вся батарея будет отдавать наибольшую возможную мощность, то внутреннее сопротивление батареи Rб должно равняться Rдв. Но из рис. 2 и результатов предыдущего параграфа Т.е. для определения k и l имеем систему уравнений Из условия задачи нетрудно получить, что Таким образом, в батарею следует соединить 120 элементов, причем батарея должна состоять из 6 столбцов по 20 элементов в каждом. Причем такое соединение является наиболее выгодным в том смысле, что каждый элемент отдает на внешнюю нагрузку максимальную мощность.

Сферический конденсатор с радиусами сфер R1 и R2 заполнен слабо проводящей средой. Емкость конденсатора оказалась равной С, а разность потенциалов на конденсаторе после отключения его от батареи уменьшается в два раза за время t. Определить диэлектрическую проницаемость среды и ее удельное сопротивление.

Решение:

Когда конденсатор подключаем к батареи на его обкладках появляются заряды равные по величине и противоположные по знаку. Пусть на шаре радиуса R, появился заряд Q. Тогда используя теорему Гаусса, найдем индукцию электрического поля в нашем конденсаторе. Для этого выберем поверхность в виде сферы концентрическую с обкладками конденсатора и находящуюся между ними и сосчитаем поток вектора D через нее