Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской

области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

(университет «Дубна»)

УТВЕРЖДАЮ

проректор по учебной работе

С.В. Моржухина «_»_20 г.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

по специальности 010400 62– Информационные технологии Форма обучения: очная Уровень подготовки: специалист Курс (семестр): 3 (5) г. Дубна, 2010г.

Программа дисциплины «Вычислительная математика» по специальности «010400 62 – Информационные технологии»: Учебная программа. Автор: Токарева Н.А. – Дубна:

Университет «Дубна», Автор программы:

Токарева Надежда Александровна, канд. физ.-мат. наук, кафедра системного анализа и управления _ Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и учебным планом по специальности 010400 62– Информационные технологии Программа рассмотрена на заседании кафедры системного анализа и управления Протокол заседания № _ от «» 200 г.

Заведующий кафедрой, /Черемисина Е.Н./ проф., д-р. техн. наук «» _ 20 г.

СОГЛАСОВАНО

заведующий выпускающей кафедрой д-р. техн. наук, проф. / Черемисина Е.Н./ «» _ 20 г.

Рецензент: _ д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН Ширков Григорий Дмитриевич, Объединенный институт ядерных исследований (ОИЯИ), Главный инженер Института

ОДОБРЕНО

директор института САУ _ /Черемисина Е.Н./ проф., д-р. техн. наук «» _ 20 г.

Руководитель библиотечной системы _ /Черепанова В.Г./ 1. Выписка из ГОС ВПО Рабочая программа составлена на основе требований ГОС ВПО по направлению «Информационные технологии», квалификация – информатик – (квалификация в области), регистрационный номер 52 мжд/СП, утверждённого 14 марта 2000 г.

2. Аннотация Основными учебными задачами дисциплины «Вычислительная математика»

являются: изучение вопросов, связанных с построением вычислительных алгоритмов – методов приближенного решения поставленных задач, и их обоснованием; освоение основных идей методов, особенностей областей применения и методики использования их как готового инструмента в практической деятельности выпускника – информатика (с квалификацией в области) при анализе, прогнозировании, моделировании и создании информационных процессов и технологий в рамках профессионально-ориентированных информационных систем.

Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Построение и отбор содержания программы дисциплины направлены на изучение численных методов решения этих задач и основаны на том принципе, что ясное представление об основных методах приближенных вычислений и границах их применимости составляет необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования с практическим применением математических программных систем.

2.1. Перечень курсов, на которых базируется дисциплина Дисциплина «Вычислительная математика» базируется на дисциплинах:

Математический анализ (1, 2 и 3 семестры), «Алгебра и геометрия» (2 семестр), «Программирование на языке высокого уровня» (1 и 2 семестры), «Методы оптимизации»

(3 семестр) «Основы дискретной математики» (4 семестр).

2.2. Методы обучения Методы обучения на лекционных занятиях включают использование средств мультимедийного представления информации (презентации, флэш-ролики, JAVA апплеты с анимацией). Семинары проходят в компьютерной аудитории, оснащенной необходимым программным обеспечением.

Основной формой работы студентов являются занятия на семинарах, на которых демонстрируются примеры применения методов, происходит обсуждение алгоритмов их реализации, и самостоятельная работа по практической реализации различных численных методов с применением современных математических программных систем. В качестве такой системы предлагается использовать MATHEMATICA версий не ниже 5. Выбор системы определяется наличием в ней обширных библиотек встроенных функций, предназначенных для численного и аналитического решения типовых математических задач, современных средств программирования, а также возможностями выполнения символьных вычислений. Комплект этих средств позволяет реализовывать самостоятельно алгоритмы численных методов, использовать встроенные функции для сравнения результатов, а также частично разгрузить лекционный материал при выводе формул методов, так как они могут быть получены с помощью аналитических вычислений на компьютере. Богатые средства визуализации обеспечивает широкие возможности для представления и интерпретации результатов. Изучение этой системы подготовит студентов к самостоятельному освоению других аналогичных систем (MATLAB, MATHCAD, MAPLE и др.).

2.3. Требования к студентам Для успешного усвоения дисциплины необходимы знания по математическому анализу, аналитической геометрии и линейной алгебре, дифференциальным уравнениям, программированию.

После изучения дисциплины студенты будут подготовлены к изучению курсов:

Моделирование экономических процессов и систем Основы теории управления Теория систем и системный анализ 2.4. Виды контроля и формы работ Формы работы студентов предусматривают освоение дисциплины в рамках лекционных занятий (2 часа в неделю) и семинарских занятий (2 часа в неделю).

Предусмотрены задания для самостоятельной работы.

Для промежуточного контроля знаний используются контрольные работы, которые включают выполнение практических заданий с использованием математической системы и устные ответы на контрольные вопросы по основным понятиям тем, включенных в контрольную работу. Регулярно осуществляется проверка выполнения самостоятельной работы студентов.

Итоги посещаемости и успеваемости фиксируются в промежуточных контрольных точках (8, 12, недели обучения) следующим образом:

«0» – студент имеет низкую посещаемость и успеваемость (много пропустил, не сдал более 30% заданий по самостоятельной работе);

«1» – студент имеет среднюю посещаемость и сдал от 30% до 60% заданий по самостоятельной работе;

«2» – студент имеет хорошую посещаемость и сдал от 60% заданий по самостоятельной работе.

Вид итогового контроля по дисциплине – экзамен, который проводится в устной форме. Экзаменационные билеты содержат теоретические вопросы лекционного курса.

При формировании итоговой оценки учитывается практическая работа студента в семестре и ответ на экзамене (рекомендуемое соотношение в оценке – 60% за работу в семестре, 40% за ответ).

2.5. Методика формирования результирующей оценки По дисциплине «Вычислительная математика» учебным планом предусмотрен экзамен в 5 семестре. В экзаменационные билеты включены только теоретические вопросы, но при формировании экзаменационной оценки учитывается практическая работа студента в семестре с помощью балльно-рейтинговой системы. Для объективного выставления оценки можно использовать следующий вариант балльно-рейтинговой системы:

Максимальное число баллов, которое можно получить за работу в семестре и ответ на экзамене – 100.

В семестре можно получить максимум 60 баллов: до 10 баллов за посещаемость лекций и семинаров и до 50 баллов за выполнение практических работ и их защиту на итоговых семинарах по разделам. Дополнительные задания предлагаются студентам, желающим повысить свой рейтинг. Каждое дополнительное задание оценивается до баллов за каждое, но не больше 25 баллов за этот вид работы.

В экзаменационном билете 2 вопроса, ответ на каждый из них оценивается до баллов, за ответы на дополнительные вопросы можно получить до 10 баллов.

Оценка «неудовлетворительно» выставляется в случае, если студент в итоге набрал меньше 65 баллов. Итоговые баллы от 65 до 75 оцениваются на «удовлетворительно», от 75 до 85 – «хорошо» и выше 85 – «отлично».

Студентам, набравшим максимально возможное количество баллов в семестре, по их желанию, может быть предложено задание-бонус, позволяющее вместо устного экзамена выполнить реферат на заданную тему с обязательным решением практических задач и получить за него до 30 баллов.

3. Цели и задачи дисциплины Целью изучения дисциплины является формирование систематизированных знаний и навыков в области компьютерных методов решения типовых математических задач, наиболее часто встречающихся на практике. К ним относятся: приближение функций и смежные вопросы представления функций и обработки экспериментальных данных, приближенное вычисление производных и определенных интегралов, решение нелинейных алгебраических уравнений и систем, решение систем линейных алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений и систем. В программу дисциплины «Вычислительная математика» не вошли задачи оптимизации, так как они изучаются в курсе «Методы оптимизации».

Основная задача дисциплины – подготовить обучаемых к постановке и решению на ЭВМ перечисленных математических задач.

4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины Требования к уровню освоения содержания дисциплины включают знания студентами основных понятий дисциплины, умение применять полученные знания для решения прикладных задач в профессиональной деятельности.

К окончанию курса по дисциплине «Вычислительная математика» обучаемые должны:

иметь представление об основных терминах и понятиях дисциплины;

знать основные Вычислительная математика решения математических задач;

уметь выбирать оптимальный численный метод решения данной задачи, давать математические характеристики точности исходной информации и оценивать точность полученного численного решения;

получить навыки использования современных компьютерных технологий и пакетов прикладных программ для численного решения задач.

5. Объем дисциплины и виды учебной работы 6. Разделы дисциплины 6.1. Разделы дисциплины и виды занятий 6.2. Содержание разделов дисциплины Раздел 1. Введение. Основные понятия. Элементы теории погрешностей Введение. Место курса по численным методам среди других математических и естественнонаучных дисциплин. Моделирование и вычислительный эксперимент. Основные понятия: линейные векторные и метрические пространства, сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары, полные метрические, нормированные пространства. Примеры.

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры.

Раздел 2. Приближение функций и смежные вопросы Формулировка задачи приближения функций. Равномерные и среднеквадратичные приближения.

Обобщенный многочлен по системе функций. Понятие о многочленах наилучшего приближения.

Задача интерполяции функций заданных таблично. Система функций Чебышёва. Единственность интерполяционного многочлена Полиномиальная и кусочно-полиномиальная интерполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Понятие разделенных разностей функции и их связь с производными соответствующих порядков.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

Оценка погрешности глобальной полиномиальной интерполяции и возможность ее минимизации.

Многочлены Чебышёва.

Интерполяция с кратными узлами и формула Эрмита. Интерполяция параболическими и кубическими сплайнами.

Метод наименьших квадратов. Получение формул эмпирических зависимостей. Примеры.

Раздел 3. Численное дифференцирование и интегрирование Формулировка задач численного интегрирования и дифференцирования.

Методы численного дифференцирования непрерывных и таблично заданных функций.

Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса. Правило Рунге оценки погрешности. Алгоритмы автоматического выбора шага интегрирования.

Раздел 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений Понятия сжимающего отображения и неподвижной точки отображения. Принцип сжимающих отображений.

Нелинейные скалярные уравнения. Методы локализации корней. Методы бисекций, простых итераций, Ньютона, секущих. Условия и скорость сходимости указанных методов, оценка точности.

Системы нелинейных уравнений. Методы простых итераций, Ньютона. Основные теоремы.

Примеры.

Раздел 5. Вычислительная математика решения задач линейной алгебры Прямые и итерационные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Методы для LU и QR разложения матриц. Применение LU и QR разложения матрицы системы для решения СЛАУ.

Общая схема построения, условия сходимости, оценка погрешности итерационных методов решения СЛАУ. Методы Якоби и Зейделя.

Раздел 6. Методы решения задачи Коши и граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Основы численных методов для решения задачи Коши для ОДУ. Локальная и глобальная погрешности методов, явные и неявные методы решения.

Методы Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса-Башфорта (явные). Оценки погрешности. Примеры построения.

Примеры построения неявных формул Адамса-Моултона. Методы типа прогноза-коррекции на основе явных и неявных формул Эйлера и Адамса. Способ Рунге апостериорной оценки погрешности на шаге.

Алгоритмы автоматического выбора шага при интегрировании ОДУ. Методы решения задачи Коши для систем ОДУ.

6.2.2. План проведения семинаров п/п дисциплины Введение. символьные вычисления. Вычисление метрик, норм в различных Основные понятия.

Элементы теории 2) Элементы теории погрешностей. Вычисление машинного погрешностей эпсилон. Примеры накопления ошибок в вычислениях. Примеры плохо функций и смежные сплайнов. Обсуждение демонстрационных примеров. Вывод вопросы уравнений для нахождения наклонов кубического сплайна с помощью дифференцирование 9) и интегрирование пакета MATHEMATICA и по формулам трапеций, Симпсона, Гаусса.

нелинейных особенности реализации. Методы оценки погрешности полученного нелинейных 11) Решение нелинейных уравнений методом Ньютона и его уравнений модификации. Особенности применения. Сравнение скоростей Вычислительная Встроенные функции в пакете MATHEMATICA для решения СЛАУ.

линейной алгебры 13) Итерационные методы Якоби и Зейделя для решения систем уравнения первого порядка и систем таких уравнений. Методы РунгеМетоды решения Кутта с постоянным шагом интегрирования. Обсуждение задачи Коши для демонстрационных примеров, самостоятельное решение задач.

дифференциальных шага интегрирования. Методы типа «прогноз-коррекция» на основе уравнений (ОДУ) и методов Адамса решения задачи Коши для ОДУ. Обсуждение систем ОДУ демонстрационных примеров, самостоятельное решение задач.

6.2.3. Лабораторный практикум Лабораторный практикум не предусмотрен 6.2.4. График выполнения самостоятельных работ студентами Виды самостоятельной работы 1. Выполнение индивидуальных приближения функций 2. Выполнение индивидуальных вариантов заданий по вычислению определенных интегралов с автоматическим выбором шага 3. Выполнение индивидуальных нелинейных уравнений 4. Выполнение индивидуальных вариантов заданий по решению СЛАУ прямыми и итерационными методами 5. Выполнение индивидуальных задачи Коши для ОДУ 7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины Рекомендуемая литература 1. БАХВАЛОВ Н.С., ЖИДКОВ Н.П., КОБЕЛЬКОВ Г.М. Вычислительная математика. - М.: Бином, 2008. (Классический университетский учебник) 2. БАРАХНИН В.Б., ШАПЕЕВ В.П. Введение в численный анализ: Учебное пособие. – Спб.: Издательство «Лань», 2005. – 112 с.

Дополнительная:

1. КАХАНЕР Д., МОУЛЕР К., НЭШ С. Вычислительная математика и программное обеспечение. — М.: Мир, 2001.

2. Васильев А.Н. Mathematica. Практический курс с примерами решения прикладных задач. – К.: ВЕК+, Спб: КОРНА_ВЕК, 2008. – 448 с.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Специализированный компьютерный класс, подключенный к локальной сети университета. Программное обеспечение для проведения семинарских занятий:

математические пакеты Matematica или Maple, Matlab, Mathcad. Демонстрационные примеры подготовлены для просмотра в среде свободного доступа Matematica Player.

9. Формы контроля и оценочные средства 9.1. Перечень вопросов, выносимых на экзамен по курсу «Вычислительная математика»:

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. Понятие метрики и метрического пространства, примеры.

2. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства, примеры. Понятие окрестности элемента метрического пространства.

3. Линейные нормированные пространства. Аксиомы нормы. Примеры определения норм в различных пространствах.

4. Элементы общей теории погрешностей. Основные определения, утверждения (абсолютная и относительная погрешности, погрешности основных арифметических операций).

5. Особенности представления чисел в ЭВМ и компьютерной арифметики. Машинное эпсилон и алгоритм его вычисления.

6. Обусловленность вычислительной задачи и вычислительного алгоритма.

Абсолютное и относительное число обусловленности.

7. Понятие оператора и неподвижной точки оператора. Принцип сжимающих отображений.

II. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

8. Формулировка задачи приближения функции. Обобщенный многочлен по системе функций.

9. Задача интерполяции. Глобальная и локальная интерполяции. Преимущества и недостатки. Примеры.

10. Интерполяция алгебраическими многочленами. Системы функций Чебышёва.

Существование и единственность интерполяционного многочлена.

11. Многочлен Лагранжа, особенности применения.

12. Оценка погрешности интерполяции многочленом Лагранжа.

13. Разделенные разности, основные свойства.

14. Многочлен Ньютона, особенности применения, оценка погрешности.

15. Оценка погрешности глобальной полиномиальной интерполяции и возможность ее минимизации. Многочлены Чебышёва.

16. Интерполяция с кратными узлами. Многочлены Эрмита для интерполяции по двум двукратным узлам.

17. Интерполяция сплайнами. Определение сплайна, наклоны сплайна, дефект сплайна. Определение интерполяционного сплайна.

18. Определение интерполяционного параболического сплайна. Пример построения.

19. Глобальные и локальные кубические интерполяционные сплайны, Определения и способы построения.

20. Формулировка задачи среднеквадратичного приближения. Метод наименьших квадратов.

21. Применение метода наименьших квадратов для получения эмпирических зависимостей (на примере способа «выравнивания данных»).

III. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

22. Формулы численного дифференцирования на основе разностных отношений.

Разностные отношения для вычисления производных высшего порядка.

23. Численное дифференцирование, основанное на интерполяции алгебраическими многочленами.

24. Постановка задачи численного интегрирования. Определение квадратурной формулы. Алгебраическая точность квадратурной формулы. Обусловленность задачи вычисления определенного интеграла и квадратурных формул.

25. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Оценка погрешности.

Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

26. Оценка погрешности формул прямоугольников (вывод).

27. Квадратурные формулы Гаусса наивысшей алгебраической степени точности.

28. Правило Рунге апостериорной оценки погрешности составных квадратурных формул.

IV. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

29. Постановка задачи, основные этапы решения. Обусловленность задачи вычисления корня. Интервал неопределенности корня.

30. Метод бисекций, достаточное условие сходимости. Скорость сходимости итерационного процесса и условие его окончания.

31. Метод простых итераций достаточное условие сходимости. Скорость сходимости итерационного процесса и условие его окончания.

32. Приведение исходного уравнения к виду, удобному для применения метода простых итераций. Геометрическая иллюстрация сходящегося и расходящегося итерационного процесса по методу простых итераций.

33. Метод итераций Ньютона, достаточное условие сходимости. Скорость сходимости итерационного процесса и условие его окончания. Геометрическая иллюстрация.

34. Модификации метода Ньютона и их геометрическая иллюстрация – упрощенный метод, метод ложного положения, метод секущих.

V. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

35. Нормы векторов и матриц. Относительная и абсолютная погрешность вектора.

Связь погрешности решения СЛАУ и невязки. Обусловленность задачи решения СЛАУ 36. Прямые и итерационные методы решения СЛАУ. Определение сходимости и скорости сходимости итерационного процесса.

37. Алгоритм LU разложения матрицы.

38. Алгоритм QR разложения матрицы.

39. Решение СЛАУ с помощью LU разложения матрицы системы.

40. Решение СЛАУ с помощью QR разложения матрицы системы.

41. Вычисление определителей матриц на основе имеющихся LU или QR разложения матрицы.

42. Решение СЛАУ с трехдиагональной матрицей методом прогонки.

43. Итерационный метод Якоби решения СЛАУ, оценка погрешности полученного решения. Геометрическая иллюстрация метода для двух уравнений.

44. Итерационный метод Зейделя решения СЛАУ. Геометрическая иллюстрация метода для двух уравнений.

VI. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОДУ)

45. Формулировка задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1го порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Явные и неявные методы решения задачи Коши. Локальная и глобальная погрешности метода.

46. Явный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ и его геометрическая иллюстрация.

47. Оценка погрешности явного метода Эйлера (на шаге, глобальная).

48. Методы Эйлера (явный с пересчетом и неявный) решения задачи Коши для ОДУ.

49. Методы Рунге-Кутта, способ получения расчетных формул.

50. Правило Рунге апостериорной оценка погрешности на одном шаге интегрирования в методах Рунге-Кутты.

51. Алгоритм автоматического выбора шага в методах Рунге-Кутты.

52. Явные и неявные методы Адамса, способ получения расчетных формул.

53. Методы типа “прогноз-коррекция” на основе методов Эйлера и Адамса.

9.2. Пример экзаменационного билета Международный университет природы, общества и человека “Дубна” Специальность: Прикладная информатика Курс III (5-й семестр) Дисциплина: Вычислительная математика 1. Понятие оператора и неподвижной точки оператора. Принцип сжимающих отображений.

2. Разделенные разности, основные свойства. Многочлен Ньютона, особенности применения, оценка погрешности.

Кафедра САУ............направление:…Информационные технологии.........курс.....3.......семестр.5.....2010/2011 учебного года Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) сент пространства, сходящиеся и фундаментальные последовательности, 2 нед.

Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение)

MATHEMATICA

6 нед.

4-9 окт Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) окт.

8 нед.

18-23 окт 20.

MATHEMATICA.

Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) 9 нед.

Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) 10 нед.

11 нед.

Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) 12 нед.

13 нед.

Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) 14 нед.

Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) Лекции ( 2/2 час. в нед. ) (числитель – аудиторные часы, знаменатель – самостоятельное изучение) неделя Учебная литература (обязательная) 1 БАХВАЛОВ Н.С., ЖИДКОВ Н.П., КОБЕЛЬКОВ Г.М. Вычислительная математика. - М.: Бином, 2008. (Классический университетский учебник) 2 БАРАХНИН В.Б., ШАПЕЕВ В.П. Введение в численный анализ: Учебное пособие. – Спб.: Издательство «Лань», 2005. – 112 с.

1 КАХАНЕР Д., МОУЛЕР К., НЭШ С. Вычислительная математика и программное обеспечение. — М.: Мир, 2001. К – контрольная или проверочная 2 РЯБЕНЬКИЙ В.С. Введение в вычислительную математику: Учебное пособие. - М.: Физматлит, 2000.

3 Васильев А.Н. Mathematica. Практический курс с примерами решения прикладных задач. – К.: ВЕК+, Спб: КОРНА_ВЕК, 2008. –