«В. Л. Чечулин Метод пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов Монография Пермь 2011 УДК 519.7; 66.0; 681.5 ББК 22.1; 35 Ч 57 Чечулин, В. Л. Метод пространства состояний ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. Л. Чечулин

Метод пространства состояний

управления качеством сложных химико-технологических процессов Монография Пермь 2011 УДК 519.7; 66.0; 681.5 ББК 22.1; 35 Ч 57 Чечулин, В. Л.

Метод пространства состояний управления качеством сложных Ч 57 химико-технологических процессов: монография / В. Л. Чечулин;

Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2011. – 114 с.

ISBN 978-5-7944-1774- В монографии описано обоснование метода пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов. Особенность метода заключается в проецировании параметров процесса в определённое пространство состояний ограниченной размерности, с нормированием его одномерных подпространств, с выделением одного главного параметра качества и одного главного параметра управления. Указаны примеры суперпозиции задач управления. Оптимум управления находится посредством стандартных статистических методов.

В первой главе рассматриваются особенности вертикальной иерархической структуры информационных систем, являющихся инструментом управления качеством.

Во второй главе — ограничения применимых информационных методов управления.

В третьей главе описаны конструктивные результаты, лежащие в основе метода пространства состояний.

В четвёртой главе описано построение метода пространства состояний управления качеством химико-технологических процессов.

В заключительных главах рассмотрены приложения метода к различным процессам химической технологии.

Книга предназначена для научных работников, инженеров, аспирантов, студентов старших курсов.

УДК 519.7; 66.0; 681. ББК 22.1; Печатается по решению редакционно-издательского совета Пермского государственного национального исследовательского университета Рецензенты: д. ф.-м. н., проф., заместитель директора ООО «Лаборатория Аргумент» по научной работе С. В.Русаков; к. ф.-м. н., доц. каф. математического моделирования систем и процессов ФБГОУ ВПО ПГНИПУ Федосеев С. А.

ISBN 978-5-7944-1774-6 © Чечулин В. Л., Chechulin V. L.

State-space method quality control of plant chemical processes: monograph / Perm State University. – Russia, Perm, 2011.– 114 p.

ISBN 978-5-7944-1774- The book describes the method of justification of the state space governance quality of complex chemical processes. Feature of the method consists in projecting a certain process parameters in the state space bounded dimension, with a valuation of its one-dimensional subspaces, with the release of one of the main parameters of quality and one main parameter control. Are examples of superposition of management tasks. Optimum control is through standard statistical methods.

Chapter 1 discusses the features of a vertical hierarchical structure of information systems, is an instrument of quality management.

Chapter 2 discusses limitations applicable information of methods of control.

Chapter 3 describes the results of the structural underpinning of the method of state space.

Chapter 4 describes the construction of state-space method quality control of chemical and technological processes.

Chapters 5 and 6 we consider the application of the method to different processes of chemical technology.

The book is intended for scientists, engineers and graduate students.

Published by the decision of the Editorial Board Perm State University Reviewers: deputy director of the «Laboratoryа Аrgument» for research, prof., S. V. Rusakov; docent of department mathematical modeling of systems and processes of Perm State Technical University S. A. Fedoseev ISBN 978-5-7944-1774-6 © Chechulin V. L., Содержание Contents

Предисловие автора

Часть 1. Методологические и математические основания метода........... Глава 1. Методологические основания.

§1. Методологические особенности изложения

§2. Онтологические основания.

§3. Гносеологические основания.

§4. Вертикальное структурирование социальноинформационных систем

§5. Стадии научно-инновационного цикла.

§6. Уровни обработки информации в системах АСУ, АСУТП..... §7. Единство вертикальной структуры экономических субъектов

Глава 2. Ограничительные теоремы.

§8. Теорема Гёделя о неполноте.

§9. Теорема Маркова об алгоритмической неразрешимости........ §10. Теорема Нагорного о неалгоритмизуемости.

§11. Непроецируемость на пространство меньшей размерности

Глава 3. Конструктивные теоремы.

§12. Теорема о размерности пространства состояний................... §13. Теорема о суперпозициях.

§14. Теорема размерности и 4-раскрашиваемость плоских графов.

§15. Теорема о непротиворечивости базовой теории.

§16. Основное логистическое уравнение и задача управления..... §17. Пространство состояний и онтологические основания......... Часть 2. Приложения метода пространства состояний

Глава 4. Системы управления качеством технологических процессов.

§18. Примеры бытовых процессов

§19. Процесс сушки.

§20. Формулировка метода пространства состояний.

Глава 5. Приложения к процессам металлургии титана

§21. Процесс плавки концентратов в рудно-термических печах.. §22. Процесс хлорирования титаносодержащей шихты................ §23. Процесс очистки четырёххлористого титана от ванадия...... §24. Процесс производства диоксида титана

§25. Процесс вакуумной сепарации губчатого титана.................. Глава 6. Примеры приложения метода пространства состояний........ §26. Процесс флотационного обогащения руд

§27. Процесс производства формалина и учёт старения катализатора

§28. Процесс получения алифатических аминов.

Дополнение.

§29. Некоммутативность диаграммы программного комплекса... §30. Задачи 5-го уровня управления.

§31. Обзор определений структуры информационной системы... Послесловие

Список литературы

Предметный указатель

Index

Contents

Foreword by the author 7 Chapter 4. Quality management system

Part 1. Methodological and mathematical processes. Chapter 1. The methodological bases of 8 § 19 Drying § 1. Methodological features of presenta- § 20. Formulation of the method of the § 2. Ontological foundation 8 Chapter 5. Applications to process metalEpistemological foundation. 9 lurgy of titanium § 4. Vertical structuring social information § 21. The process of smelting ore-smelting § 5. Stage of scientific innovation cycle 13 § 22. The process of chlorination of titaLevels of information processing sys- nium charge § 7. The unity of the vertical structure of § 24. The production process of titanium Chapter 2. Limiting theorems. 20 § 25. The process of vacuum separation of § 8. Godel's incompleteness theorem. 20 titanium sponge § 9. Markov theorem on algorithmic un- Chapter 6. Examples of applications of § 10. The theorem of Nagorny nealgorit- § 26. The process of flotation of ores Chapter 3. The design of the theorem. 27 amines § 12. A theorem on the dimension of the Supplement. § 13. Theorem on superpositions of 33 package § 14. Theorem and the dimension of the 4- § 30. The objectives of the 5th level of § 15. A theorem on the consistency of the § 31. Review the definitions of the strucunderlying theory. 37 ture of the information system. § 16. The main logistic equation and the Conclusion § 17. The state space and ontological Index (Russian) Предисловие автора Данная монография написана на основе одной из прикладных частей курса лекций по теории активных систем, прочитанных в Березниковском филиале Пермского государственного технического университета в 2005/2006 и 2006/2007 учебных годах, а также в 2009/2010 учебном году в Пермском государственном университете студентам специальности «Прикладная математики и информатика».

Основное внимание в книге уделено основаниям построения информационных систем, учитывающим неотделимое присутствие человека в этих системах — человека, обладающего структурированным процессом отражения действительности сознанием, обуславливающим иерархическую структуру социально-информационных систем.

Автор выражает благодарность, прежде всего, Л. П. Чечулину и Ю. П Кирину, ознакомившим автора с предметной областью, а также А. В. Затонскому и С. В. Русакову — за предоставление возможности чтения лекционных курсов.

О порядке изложения Очередность изложения материала в книге следует последовательности этапов познания:

— i. непосредственное созерцание структурных категорий, связанных с человеком, — ii. абстрактно-логические и математические утверждения, основывающиеся на п. i., — iii. приложение математических конструкций к упорядочению материальных процессов.

Естественно, что созерцательные основания "шире" математики, а математический аппарат "шире" решаемых задач управления.

Изложение построено так, что читать книгу можно в любой последовательности, восполняя при необходимости предварительные знания, ориентируясь по внутренним перекрёстным ссылкам, оглавлению и предметному указателю.

Часть 1. Методологические и математические основания метода Глава 1. Методологические основания.

Методологические основания применения математических методов связаны с тем, что математический аппарат, как инструмент упорядочения явлений действительности, учитывает наличие субъекта в описываемой системе, причём субъекта, описывающего эту систему и себя самого, как её неотъемлемую часть.

§1. Методологические особенности изложения.

Составляющие действительности таковы: i. материально-вещественная действительность, ii. время и информационные структуры, iii.

сознание человека. Cознание человека непосредственно созерцает истину [57], которая является основанием для математических теорий (абстрактного мышления), которые, в свою очередь, являются инструментом для упорядочения явлений окружающей материальной действительности. Таким образом, в этой последовательности наблюдаются ступени постижения истины: непосредственное созерцание, абстрактнологическое мышление, практика [57].

Изложение материала в этой книге следует этой же последовательности: от непосредственно созерцаемых структур к математическому аппарату, затем к практическим его приложениям в материальной действительности (предметной области). Сначала изложены основания структурирования информационных систем; затем — математические описание дейОнтологические основания.

Рис. 1. Онтологическая иерархия производственных систем, имеются внутри человеческого сознания, которое, в свою очередь, окружено внешней материальной действительностью (см. рис. 1). При этом при отражении окружающей действительности математический инструмент её описания необходимо описывает и сознание человека, отражает его структурные особенности (как это связано с иерархией математических понятий рассмотрено отдельно [107], [108], [109]). То есть при отражении окружающего мира в сознании результат отражения учитывает структурные особенности человеческого сознания.

С другой стороны, информационные системы конструируются по их образу, находящемуся внутри человеческого сознания, и поэтому тоже отражают во вне его структурные особенности.

Также имеется онтологически обусловленная иерархия видов деятельности:

i. — материально-вещественная деятельность, ii. — процессная деятельность, iii. — социально-структурная деятельность — эти виды деятельности соответствуют разным уровням деятельности на разных уровнях вертикальной структуры экономических субъектов1.

Это подробнее описано ниже.

§3. Гносеологические основания.

Гносеологические основания вертикального структурирования информационных систем связаны с наличием "вертикальной" 6-ти уровневой структуры отражения действительности в сознании человека (см. рис. 2). Верхний 6-й уровень отражения является непредикативным (самоссылочным), ему соответствуют ценностные рассуждения (система потребностей человека, 10-ти частная, см. подробнее [115]), определяющая цели деятельности, в том числе цели промышленного производства (см. [115]). Система потребностей соответствует аксиологическим (ценностным) основаниям деятельности, в этой книге подробно не рассматривается, описана отдельно в [115]. Эта гносеологическая структура отражения определяет то, что между целью деятельности (6-й уровень отражения) и её материальной реализацией (1-й уровень) выстраивается определённая иерархия деятельности. Причём в плане взросления человека эта иерархия видов деятельности строится от низших к высшим по мере образования и постепенного достижения высшего, 6-го психологического возраста (особенности взросления и кризисов развиВ терминологии классической советской философии эти виды деятельности соответствуют типам труда: i. — простой труд, ii. — абстрактный труд, iii. — всеобщий труд.

тия описаны отдельно в [110], [111]).

Эта гносеологически обусловленная структурой отражения действительности иерархия видов деятельности проявляется в вертикальной структуре экономических субъектов.

§4. Вертикальное структурирование социально-информационных систем.

Познание связано с отражением действительности в сознании человека (см. рис. 2). Каждому уровню отражения соответствует определённый уровень абстрактности понятий, формирующийся на соответствующем психологическом возрасте. Каждому уровню (возрасту) соотДействи- 1.

субъектом действительности Рис. 2. Схема отражения мира в самосознании:

6* — самоописание субъекта в самоописательной части описания мира ветствует определённый тип ведущей деятельности, что связано с наличием вертикальной 6-уровневой структуры экономических субъектов (см. результаты Выготского Л. С., Кольберга О., Эриксона Э. [72] [55]).

Вертикальная внутренняя структура экономических субъектов (выражающая известный формационный принцип развития экономики и поглощения более высшими социально-экономическими формациями низших [87], но уже в их преобразованном и подчинённом наличной высшей формации виде) на примере крупного промышленного предприятия такова: 1) рабочие, 2) бригадиры (младшие мастера), 3) старшие мастера служб цеха, 4) администраторы (начальники цехов), 5) начальники отделов, 6) директорат предприятия (см. табл. 2).

Особенности внутренней структуры экономических субъектов, связаны с построением информационных систем управления предприятиями.

В вертикальной структуре отражения действительности отмечается, что на высшем 6-м уровне отражения наличествует осознание ценностных (аксиологических категорий), объективно общих для всех субъектов, и этой общностью объединяющих (в основаниях) цели экономической деятельности.

Этому же уровню отражения в истории развития математики (иерархии математических понятий) соответствуют непредикативные конструкции и вероятностные меры (связаны с присутствием человека как определяющего то, что понимается под событием).

Вертикальная 6-уровневая структура деятельности упомянута ранее, детальное описание этой внутренней структуры экономических субъектов (обусловленной определённой структурой человеческого сознания) представлено в табл. 2.

Таким образом, деятельность на данном уровне является преимущественно соответствующей определённому виду ведущей деятельности некоторого психологического возраста, что в целом соединяет систему наличием общих целей, преимущественно соответствующих высшим уровням развития самоосознания.

Такую же внутреннюю структуру имеют и сельскохозяйственные предприятия [96; 100; 121], медицинские учреждения, учреждения сферы образования и т. д.

Конкретизация экономико-формационного принципа Вышеописанная внутренняя структура предприятий является конкретизацией известного социально философского экономикоформационного принципа [29]. При экономическом развитии и переходе на следующий, более высокий (и более сложный) уровень виды деятельности низших формационных уровней входят в высший в преобразованном и подчинённом общим целям виде, что и наблюдается в соЛичностное осознание будущей временной 6-уровневой структуре, низшие уровни которой являются преобразованными уровнями предыдущего развития экономического поведения.

С другой стороны, при деградации наблюдается деструкция, низшие уровни выходят из подчинения и образуют структуры, не достигающие по сложности высшего уровня развития (примеры такой деструктуризации в сельском хозяйстве приведены в работе [122], см. также [100]).

Связь со структурой системы образования Структуре организационных уровней экономической системы соответствуют определённые уровни системы образования, определяющие квалификацию, необходимую для успешной деятельности на том или ином уровне, в системе образования это проявляется как наличие распределённых уровней подготовки кадров.

При выделении а) вещественного труда, б) труда организации производственного процесса во времени и в) труда организации структурных взаимодействий между разными экономическими субъектами итоговая система уровней в системе образования такова:

а) уровни вещной деятельности:

1) обучение на рабочем месте (учебно-производственные комбинаты);

2) училища;

б) уровни процессной деятельности:

3) техникумы (готовящие старших мастеров);

4) политехнические институты, политехнические вузы (готовящие ИТР);

в) уровни структурно-организационной деятельности:

5) экономические (и отраслевые) институты;

6) университеты (академии).

Поэтому-то в системе образования наличествует горизонталь выбора (в момент окончания 4-го психологического возраста, окончания средней школы, достижения правоспособности выбора профессии, при осознании меры способностей), соответствующая ориентации на ту или иную профессию и уровень в экономической системе, выбираемые по мере способностей [99], [92]. Схема структуры системы образования приведена на рис. 3.

Таким образом, структура всей системы образования в целом соответствует: а) глубинным психологическим закономерностям, б) потребностям в воспроизводстве структуры всей общественной системы (производства), что имеет глубинные основания, связанные со внутренним структурированием самоосознания человека.

Обратным по отношению к образованию при взрослении — движении от низших уровней к высшим — является совершенствование системы (научно-производственный, инновационный цикл), с движением от высших уровней к низшим [97].

§5. Стадии научно-инновационного цикла.

При движении от высших уровней к низшим нововведения проходят те же 6 уровней при достижении конечной цели внедрения и использования в промышленном производстве. Движение по этим уровням соответствует в целом общим стадиям постижения истины: а) непосредственному созерцанию, б) абстрактному мышлению, в) практике [57].

Cтадии научно-производственного цикла, начинающегося с высших стадий и продолжающегося к низшим, таковы:

6. Фундаментальные исследования (не допускающие планирования, ибо запланировать открытие невозможно).

5. Прикладные (отраслевые) исследования на основании фундаментальных достижений (отчасти планируемые).

(Уровни 5, 6 и низшие образуют i-й цикл — цикл научных исследований, подлежащих Госбюджетному финансированию).

4. Опытные проектно-конструкторские работы (ОПКР, НИОКР) — проектные работы по созданию промышленных образцов.

3. Внедрение, исполнение проекта.

(Уровни 4, 3 и низшие образуют ii-й цикл — цикл проектновнедренческих работ.) 2. Пуско-наладочные работы.

1. Эксплуатационные работы по обеспечению рабочего режима производства (собственно производственная деятельность).

(Уровни 2, 1 образуют iii-й цикл — цикл текущих ремонтов и производственной эксплуатации оборудования).

Основным образующим весь этот цикл является этап фундаментальных (не сводимых к исполнению плана) исследований, составляющий i-й этап в постижении истины — непосредственное созерцание;

следующие этапы постижения истины (ii. абстрактное мышление и iii.

практика) соответствуют следующим подциклам основного научнопроизводственного цикла. Стадии научно-производственного цикла соответствуют тем организационным уровням производственного предприятия, при взаимодействии с которыми они выполняются (кадровые соответствия по уровню образования — очевидны).

Более развёрнуто стадии научно-производственного цикла представлены в табл. 1.

Таким образом, при описании вертикальной структуры организации экономических субъектов и системы качественных изменений экономики (научно-производственного, инновационного цикла) видно, что изменения обусловлены наличием ценностных ориентиров, сопровождающих фундаментальные исследования (на 6-м уровне отражения). А коммерческое внедрение и сопровождающая его оправданность затрат общественно-необходимого времени (окупаемость) носят лишь служебный характер.

Таблица 1. Содержание и особенности 6 этапов научно-производственного цикла «Первая стадия охватыва- Основная особенность этапа фундает фундаментальные ис- ментальных исследований — непредследования, направленные сказуемость результата (если бы репрежде всего на раскры- зультат был уже известен, незачем бытие неизвестных челове- ло бы и наукой заниматься). Полученчеству закономерностей, ный результат "как бы" над имеющимявлений и свойств матери- ся наличным общественным сознаниНепосредственное созерцание достижений фундамен- неопределённостью объёма еще невытальных исследований полненных работ (частичной неизрешают научно- вестностью результата). Основное сотехнические проблемы держание работ этого этапа — опредеотраслей, производствен- ление меры экономической эффективных объединений и пред- ности (общественной полезности) Фундаментальные и прикладные работы выполнимы большей частью частными лицами при научных институтах, вузах и весьма редко (лишь прикладные работы) — в лабораториях предприятий.

2 водственном воплощении падение содержания работ по пусконовшества в регулярно наладке с текущим техническим обпроизводимой продукции» служиванием и ремонтом оборудовапри пуско-наладочных ра- ния (уровни 1–2 образуют цикл работ «На шестой стадии осуще- Особенность низшего этапа работ соствляется деятельность по стоит в том, что нижний уровень являобеспечению оптимальной ется основным, первичным (в ремонтэксплуатации, сервисного ных и эксплуатационных службах) по обслуживания, производ- ведению учёта в потребностях в матества запасных частей», те- риалах и оборудовании для обеспечекущего ремонта и т. п. ния бесперебойной деятельности производственной системы.

§6. Уровни обработки информации в системах АСУ, АСУТП.

Аналогичную гносеологически обусловленную структуру имеют и уровни обработки информации в промышленных социально-информационных системах.

Задачи, решаемые на разных уровнях системы АСУП (автоматизированной системы управления производством) и АСУТП (автоматизированной системы управления технологическим процессом), применительно к химико-технологическому процессу, примерно таковы:

Основное свойство этого (3-го, (Я–Они)об. ) уровня (психологического возраста) — ориентация на "подчинение авторитету" [55, с. 157].

Так называемые "венчурные" (от англ. wench — "служанка" [127]) разработки, ограниченные малыми техническими новшествами (без масштабных фундаментальных и прикладных работ, даже без значительных реконструкций, требующих согласованной работы разных служб предприятия и соответствия разных частей проектов), в указанной структуре соответствуют 3-му уровню — назначению одного ответственного за внедрение лица (изобретателя).

— на первых двух уровнях (1, 2, нижний уровень активности) обычные задачи автоматизированного управления (дисциплины «Теория автоматического управления», построения регуляторов, действующих автономно, без постоянного вмешательства человека, [58], [66] );

— на средних уровнях системы (3, 4) — задачи обеспечения наблюдаемости за физико-химическими параметрами процесса (расчетными состояниями системы по материальному, кинетическому и энергетическому балансам процесса) и задачи оптимизации процесса в текущем времени (по критерию минимума издержек и ограничениях на качество продукта) по статистической обработке потока данных о процессе и качестве продукта,— задачи особенные для каждого процесса (примеры см. в [42] и в главах 5, 6);

— на верхних уровнях (5, 6) — обеспечение равномерности производства, в соответствии с планом (5-й уровень)4, и задачи планирования, прогнозирования при оптимизации нормирования прибыли5 (эти задачи описаны отдельно в [115]).

Решая информационные задачи, человек переносит на технику те процессы, которые прежде были процессами мышления, т. е. в конечном итоге создаёт системы по образу в нём существовавшему, при этом явное определение общезначимой структуры мыслительных процессов значимо для правильной организации производства6. Впервые без гносеологичсеких оснований приближённая 6-уровневая структура информационных уровней выделена ещё в 60-е гг. [120].

выполнение условий соответствия товаропотока плану за отчётный период [t0 – tп, t0]:

t0 – tп (fплана(t) – fфакта(t)) dt 0, при минимуме возмущений t0 – tп (fплана(t) – fфакта(t)) dt min.

Стационарная точка последовательности хi + 1 = 1–хi хi, при n xn 0,3036…, х0 [0, 1], описывающей оборот общественного времени, приведённого к 1, причём х — мера времени на производство, (1 – х) — на потребление, указывает на стационирующую денежный оборот норму прибыли в 0,3036… от объёма продаж (зарплаты, налоги, акцизные платежи, дивиденды и т. п. исчисляются из прибыли), применявшуюся неявно в виде коэффициента планирования прибыли 0,3 в 70-е – 80-е гг.

XX в., см. [88], [115].

Учёт влияния человеческого фактора был определён ещё в 70-е гг. XX в. в курсе на химизацию и автоматизацию народного хозяйства (и означен в документах тех лет).

Таблица 2. Уровни структуры АСУТП, АСУП процессные, во времени (функциональотд. производств. участков мест. (сбор, хранение, отобраЯ-Они)об.

6. (Язаказывающий прогнозы 1. датчики и управл. устр.

анализов нансовым об- планиров.

стоятельствам Информационные уровни промышленного предприятия изображены на рис. 4, см. также §31.

§7. Единство вертикальной структуры экономических субъектов.

Обозначенная выше вертикальная структура экономических субъектов является универсальной (инвариантной) для разных типов экономических субъектов, в том числе для промышленных предприятий, и со своей спецификой для медицинских, образовательных, научных учреждений, учреждений управления, сфер торговли и т. п., ввиду единства оснований её наличия — единства схемы отражения действительности в сознании и иерархии видов деятельности, подробно конкретное описание структуры других, нежели промышленные, экономических субъектов, подлежит отдельному описаниию.

Глава 2. Ограничительные теоремы.

§8. Теорема Гёделя о неполноте.

Предикативные и непредикативные формальные системы В главе 1 (см. рис. 2) описана структура отражения действительности, высший уровень отражения является непредикативным (самоссылочным). В книге [109] описана теория множеств с самопринадлежностью, основные результаты которой имеют приложение к построению метода управления качеством.

Предикативные формальные системы — это формальные системы, в которых нет самовыводимости утверждений (нет круга, самоссылочности в логическом выводе)7.

Теоремы Гёделя Подробно основания структур с самопринадлежностью и сами эти структуры описаны отдельно [98; 75]. Для понимания этого параграфа достаточно интуитивного представления о несамопринадлежащих (XX) и самопринадлежащих (YY) объектах.

Теоремы Гёделя доказываются достаточно кратко [103]. Пусть имеется предикативная теория Т, такая, в которой имеется набор аксиом (схем аксиом) Аi и выводимые утверждения Вj, причём выводимое утверждение не содержится в цепи вывода от аксиом до себя самого, т. е. в левой части формулы (1), которую безотносительно её содержания обозначим через L, {Ai1, …, Ain, Вj1,..., Вjm} = L, где Вj0 L.

Теорема 1 (о недоказуемости непротиворечивости). В предикативной системе недоказуема её непротиворечивость.

Теорема 2 (о неполноте предикативной системы). Предикативная теория неполна.

Схемы доказательств этих теорем одинаковы: непредикативные утверждения о непротиворечивости или полноте предикативной теории Т не являются в самой этой теории выводимыми, ввиду того, что эти утверждения в их выводе ссылаются на себя самих.

Пусть С — высказывание о непротиворечивости теории, т. е. в С утверждается, что все утверждения теории Т таковы, что в ней (теории Т) не выводимы и их отрицания. И пусть Т непротиворечива, т. е. высказывание С выполнимо на всех высказываниях этой теории (важным Аксиомы Аi являются самовыводимыми, Ai |= Ai, поэтому предикативность относится к теоремам Bj, выводимым из аксиом.

для использования семантики самоссылочных высказываний является допущение того, что это высказывание уже истинно), т. е. семантически C выводимо из множества всех высказываний теории, в том числе и из себя самого (раз отрицает собственное отрицание при наличии непротиворечивости), где C L, что противоречит условиям предикативности системы Т (C L). Следовательно, теорема 1 о том, что в предикативной теории недоказуема её непротиворечивость, доказана. Пусть F — высказывание о полноте системы, т. е. F утверждает, что в системе Т выводимы все утверждения, в том числе и само F, но тогда F, если оно верно, семантически (самоссылочно) выводится и из себя самого где F L, что противоречит условиям допущения чисто предикативности теории Т (F L). Теорема доказана.

Однако предположение о непредикативности теории Т являлось лишь начальным условием рассуждений, в связи с доказанными теоремами допускается и иная интерпретация результата — непротиворечивость теории недоказуема в предикативных системах, т. е. доказательства непротиворечивости возможны только с допущением непредикативности (самоссылочности) в семантике рассуждений, как, например, в теории множеств с самопринадлежностью.

Теорема 3. Непротиворечивость и полнота теории недоказуемы средствами самой этой предикативной теории.

Интерпретация теорем Гёделя Пусть имеется технологический процесс, известны начальные и граничные условия процесса (это своего рода аксиомы теории), и построена предикативная модель процесса, тогда в силу теорем о неполноте (теорема 2) и недоказуемости непротиворечивости предикативной формальной системы (теорема 1) предикативная модель не будет описывать всех возможных конечных состояний системы; улучшение предикативной модели (по теореме 3) не влечёт разрешения этой проблемы. Таким образом, для организации управления процессом требуется непредикативная система с измерением конечных состояний химикотехнологического процесса9.

Этот же самый результат получается и из других соображений.

Знак окончания доказательства теоремы.

Очевидно, что это имеет место не только для технологических, но и для экономических процессов.

§9. Теорема Маркова об алгоритмической неразрешимости.

Краткая схема доказательства теоремы Полный вариант доказательства теоремы приведён в [49] (см. также [46], [45], [2]); ниже описана краткая схема рассуждений доказательства теоремы об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в полугруппах, для любого числа образующих соотношений в полугруппе.

Дана полугруппа S с бинарной операцией ab = c, (ab)c = (ab)c, обратный элемент в полугруппе отсутствует. Пусть требуется определить тождественность двух слов в полугруппе (двух произведений некоторых наборов элементов полугруппы). Предположим, имеется алгоритм определения тождественности двух этих слов. Тогда для построения алгоритма распознавания тождественности этих слов требовалось бы прежде построить алгоритм распознавания слов меньшей длины. Для слов длиной 1, очевидно, такой алгоритм существует,— определимо тождество двух одинаковых элементов полугруппы (a1 = a2, при a1, a2 = a). Далее для слов длины 2: b1a1 и b2a2 для определения тождественности b1 и b2 при определённой уже тождественности a1 = a2 = a требовалось бы умножить слова длины справа на обратный к a элемент a-1, но обратных элементов в полугруппе нет, поэтому построение алгоритма распознавания тождественности слов (длины, большей чем 1) невозможно. Доказана теорема.

Теорема 4. Не существует алгоритма распознавания тождественности двух слов (неединичной длины) в полугруппе. Интерпретация теоремы Ограничения на применимость матметодов для описания сложных химических процессов, следующие из этой теоремы таковы. При описании алгоритмической вычислимости параметров управления в действительных системах управления (химико-технологическими) процессами Количество образующих соотношений в этом варианте доказательства несущественно (т. е. может быть и одно образующее соотношение). Что улучшает результат полученный Адяном в 1960 г. (доказал теорему для 2-х и более определяющих соотношений [2]), улучшившего результат Маркова 1944 г. (доказавшего теорему для случая 3-х и более определяющих соотношений в полугруппе [46], см. также работы Мальцева [45]). В упомянутых доказательствах теоремы об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в полугруппах использовалась следующая схема рассуждений: описывались попытки построить конструктивным образом алгоритм для решения этой задачи, но эти попытки построения приводили к противоречиям, из чего следовало утверждение теоремы.

Ход доказательства от противного, использующий предположение, что алгоритм уже существует, применённый в изложенном выше доказательстве, прежде не применялся.

возникают дополнительные условия. Ограничения таковы, что не позволяют алгоритмически вычислять конечный результат (физикохимического) процесса по известным начальным (меры дозировки веществ) и граничным условиям процесса (температурам, давлениям), измеримым во времени.

Метод идентификации систем и попытки построения полных моделей (химико-технологических) процессов оказались малоприменимы для описания действительных систем, что было обнаружено на практике ещё в 60-е гг. XX в. [64]. Идентификация оказалась ограниченно применима лишь для расчета параметров контуров управления (2-го уровня АСУТП), но не для стабилизации качества процесса, ввиду неучёта многих факторов: естественного отличия практики от теории при весьма сложном химизме процессов даже обычных реакций неорганической химии. (К тому же при идентификации процесса принимать процесс за "чёрный ящик" с неизвестным содержимым, хотя о химизме процесса достаточно известно,— методологически некорректно).

Кроме того, если в системе химических реакций процесса имеются циклы реакций, то описания процесса системой дифференциальных уравнений неприменимы ввиду того, что функция, описывающая концентрацию компонента, не может быть аргументом себя самой (очевидный математический факт), например цикл АВСА, тогда функА, vA = vA(vВ(vC(vA))), т. е. vA(…vA), vA — функция концентрации вещества А зависит от себя самой — некорректное применение понятия функции.

Практически таков, с циклами реакций, процесс получения формалина, и многие другие процессы сложной химической технологии (например, процесс восстановления четырёххлористого титана магнием). Поэтому остаётся пользоваться описанными ниже в тексте статистическими методами определения параметра управления процессом.

Вполне очевидно, что на практике это ограничение является теоретическим следствием известных с середины XX в. теорем о неразрешимости проблемы тождества слов в полугруппах и ассоциативных системах [45], [49], [46], [2] (это ограничение схематично описано ещё в [80], [81]).

Пусть слово a1…….an обозначает левую часть химической реакции, слово b1…..bn, — правую, где аi, bi — буквы в алфавите названий химических элементов, тогда описание одной химической реакции — это установление тождества слов a1…….an = b1…..bn, для множества реакций действительного процесса — установление тождества серии из k слов, причём слева к означенным выше словам приписываемы дополнительные подслова F1 (к левой части), G1 (к правой части), характеризующие физико-химическую составляющую реакции (тепловые эффекты, изменение энтальпии и т. п., определимые по граничным условиям процесса),— такая запись уравнений образует ассоциативную систему (слова некоммутативны — буквы алфавита местами не переменяемы, но ассоциативны — произвольная расстановка скобок в слове не изменяет значения слова). К такой записи применима теорема об алгебраической неразрешимости проблемы определения тождества слов (Мальцев А. И., см. без доказательства в [47, т. 1, с. 215, ст. «Алгоритмическая проблема»]), истолковываемая так, что невозможно по начальным и граничным условиям химико-технологического процесса алгоритмически вычислить результат процесса, а значит, и стабилизировать качество процесса (продукта), что отмечалось практиками в 60-е гг. как недостаточность имевшихся математических методов [64], поэтому (по практическим соображениям и ввиду означенных ограничений) необходим контроль качества готовой продукции, в связи с чем возникает потребность в качественном определении пространства состояний системы управления, для выделения (помимо параметра качества продукта) параметра управления и параметра оптимизации [81], при применении известных результатов теории измеримости и вычислимости неподвижной точки [118], [12].

Поэтому для оптимального управления процессом более корректно применимы методы статистически оптимального управления, описанные ниже.

§10. Теорема Нагорного о неалгоритмизуемости.

Краткая схема доказательства теоремы Описан краткий вариант доказательства теоремы Нагорного о том, что для построения удвоения слов в некотором алфавите необходим дополнительный по отношения к алфавиту символ.

Теорема Нагорного о том, что построения алгоритма удвоения слова в некотором алфавите А необходим дополнительный по отношения к этому алфавиту символ, известна достаточно давно [48]. О приложениях этой теоремы к анализу ограничений информационных систем писалоcь в [112], [101], [113]. Эти интерпретации указанной теоремы весьма важны для понимания специфики приложения информационных методов управления к системам, содержащим человека. Опубликованное в [48] доказательство этой теоремы весьма объёмно. Ниже изложен краткий вариант доказательства этой теоремы.

Пусть имеется конечный алфавит А, состоящий из символов аi (i N). Попытаемся организовать процесс удвоения слова в этом алфавите.

Имеется слово aK1 aK2 aK3 aK4 ….aKn, удваивающая процедура копирует символ в начале слова и переносит его в конец слова (за конечный символ слова, на пустое место), получается aK1 aK2 aK3 aK4 ….aKn aK1.

Но для отличения скопированных символов от ещё неподвергшихся процедуре копирования необходим маркер, стоящий между двумя этими множествами символов, а также маркер конца исходного слова. Этот маркер может быть одной и той же буквой11, тогда процесс удвоения слова выглядит так (маркер — символ "*"):

aK1 aK2 * aK3 aK4 ….aKn * aK1 aK aK1 aK2 aK3 aK4 ….aKn * * aK1 aK2 aK3 aK4 ….aKn Последняя строка обозначает останов удваивающей процедуры по достижении одним маркером другого.

Если этот маркер принадлежит алфавиту А, "*" = аi, то отличить сам маркер от символов удваиваемого слова невозможно. Поэтому маркер — это внешний по отношению к алфавиту А символ. Доказана теорема.

Теорема 5 (теорема Нагорного, о необходимости внешних символов для удвоения слов в алфавите). Для построении алгоритма для удвоения слов в некотором конечном алфавите А необходим по крайней мере один внешний по отношению к А символ.

Основная прикладная интерпретация этого результата, описанная в [112], [101], [113],— невозможность формализации процесса отражения действительности (содержащей и самого человека) в сознании человека12.

Интерпретация теоремы Интерпретация теоремы Нагорного такова. Процесс отражения действительности требует удвоения образа действительноcти (см.

рис. 2), но удвоение для отражения необходимо для всего этого образа, так что внешних символов, по отношению к этому образу, не имеется, следовательно, по теореме 5 отражение неалгоритмизуемо. То есть процесс отражения действительности невозможно представить в виде выВ аналогичных теоремах, предшествующих теореме Нагорного, предполагалось, что эти маркеры — разные символы (для удваивания слова требовали два символа вне исходного алфавита), Нагорный сократил требуемое количество внешних по отношению к исходному алфавиту символов до одного.

Рукопись идеи этого доказательства была случайно найдена среди архивных бумаг автора.

полнения некоторого алгоритма. На это же, с другой стороны, указывает и непредикативность высшего, 6-го, уровня отражения действительности в сознании человека. Это означает, что всё, что следует из структуры отражения действительности в сознании человека (вертикальная 6ти уровневая структура информационных систем и прочее, см. главу 1), также неалгоритмизуемо, не является результом действия каких-либо алгоритмов. Поэтому наличие такой структуры принимается как данность не только из созерцательных соображений, изложенных в главе 1, но и ввиду невозможности получить основания такого структурирования, как показано выше (алгоритмически), иначе, чем созерцательно.

§11. Непроецируемость на пространство меньшей размерности.

Пусть имеется 2-мерное пространство, и в нём имеются некоторые области со сложной топологической структурой, например круг, см.

рис. 5. Тогда очевидно, что спроецировать из 2-мерного пространства в Рис. 5. Непроецируемость с сохранением топологической структуры одномерное его подпространство этот круг, с сохранением топологической структуры (связности и наличия внутренней "дырки"), невозможно. Рассуждения для трёхмерного пространства и проекций на его однои 2-мерные подпространства аналогичны. Имеется теорема, формулировка которой в минимально необходимом случае такова.

Теорема 6 (о непроецируемости на пространство меньшей размерности). В общем случае области 3-мерного пространства не проецируемы с сохранением топологической структуры на его подпространства меньшей размерности. Доказательство этой теоремы для случая n-мерного пространства, где n — натуральное,— очевидно, но выходит за рамки дальнейшего изложения материала.

Глава 3. Конструктивные теоремы.

Изложенные выше ограничительные теоремы указывают на ограничения в применимости математических методов, но не дают оснований для построения метода управления качеством. Конструктивные теоремы тоже своего рода ограничительные утверждения, но они позволили обосновать внесение порядка в процесс управления14.

§12. Теорема о размерности пространства состояний.

Подробно теорема о не более чем трёхмерности пространства с ориентированными осями описывается в книге [109], см. также [98].

Для дальнейшего изложения достаточно интуитивного представления о Элементы трёхмерного пространства, Часть трёхмерного Рис. 6. Структура порядка трёхмерного пространства множествах и упорядоченных структурах.

Рассмотрим трёхмерные пространства. В трёхмерном объекте возможны ориентации: "левая" и "правая" — по нижней ориентирующей плоскости (без циклов, см. теорему о стягивании циклов); "вверх" и "вниз" (без циклов). При этом плоскости, секущие куб по диагоналям Конечно, можно было обойтись и без этих обосновывающих теорем, сразу решая задачи управления качеством по наитию (как в изложенном далее бытовом примере), можно также обойтись по наитию и без описания вертикальной структуры информационной системы, опять же по наитию, однако обоснования необходимы не для того чтобы обосновать то, что так можно решать задачу, а для того, чтобы обосновать, что иначе, чем она решаема её решать нельзя.

противоположных сторон, не являются ориентированными15, т. е. координатные оси в таком ориентированном пространстве заданы однозначно (ориентирующие векторы не являются координатными). Объект, содержащий всё трёхмерное пространство,— несамопринадлежащ.

Вышеизложенным показано свойство неоднозначной ориентируемости двухмерных объектов внутри трёхмерных пространств.

Теорема 7. В М совершенно однозначно ориентировано лишь Если бы это было, то ориентация секущей, по диагонали ориентирующей основание куба плоскости, построенная по ориентациям сторон куба, была бы неоднозначна (что и показано на рис. 6, 7 пунктирными линиями).

2-мерное пространство (плоскость).

Доказательство очевидно, см. на рис. 6 ориентацию плоскости, пересекающей основание куба по диагонали.

Рассмотрим четырёхмерное пространство.

Ограничение размерности Основная теорема об ограниченности размерности полностью упорядоченных ориентированных самоподобных объектов (пространств) трёхмерием в теории с самопринадлежностью.

Теорема 8 (о размерности). Пространства с ориентируемыми друг относительно друга осями не более чем трёхмерны (т. е. четырёхмерие — неориентируемо).

Доказательство (изложенное кратко). Как и в трёхмерных пространствах, так и в четырёх- и более мерных пространствах не имеется однозначной ориентации двухмерных подпространств, что проверяемо непосредственным построением (см. рис. 7)16. На рис. 7 — попытка изображения элемента четырёхмерного пространства (четырёхмерного куба) с нанесением линий ориентации граней всех кубов.

Легко заметить17, что грани куба (с вершинами 1000, 1001, 0011, 0001, 0100, 0110, 0111, 1101) ориентированы неоднозначно, например, линия 1000–011018 и линия 0100–101019 пересекаются, как и в случае трёхмерных пространств.

Однако при попытке полного построения ориентирующих составляющих четырёхмерного пространства и его трёх- и двухмерных подпространств обнаруживается, что в плоскости (1000, 1010, 0111, 1101) ориентирующие линии (объекты) получаются направленными навстречу друг другу от вершины 1010 к вершине 0101 и от вершины 0101 к вершине 1010 20, на рисунке эти линии выделены двойной линией (), поскольку отношение принадлежности однонаправлено, т. е. если АВ (и А В), то ВА 21, такой двунаправленной линии (двунаправленной нити с принадлежностью объектов в ту и в другую сторону) не может быть по определению отношения принадлежности (противоречие), слекоординатный "вектор" ориентирован "векторами", направленными от имевшихся 3-координатных "векторов" к новому — 4-му.

В трёхмерной модели, построенной, например, в "Автокаде", при объёмном вращении (см. рис. 6).

Проекция ориентаций в плоскости 1010–1100 и 0010–0100.

Проекция ориентаций в плоскости 0010–1000 и 0110–1100.

Линии пересечения плоскостей, построенных на уже ранее построенных ориентирующих прямых, с означенной плоскостью.

Не может быть, чтобы АВ и ВА (тогда В = А, противоречие с начальным условием В А).

довательно, показанный на рисунке объект не существует (как и ).

Из изложенного следует, что четырёхмерное пространство — неориентируемо полностью 22.

Технологическая интерпретация Любая химическая реакция (химический процесс) вида характеризуется 3-мя параметрами: 1. соотношение масс реагирующих веществ (материальный баланс), 2. скорость реакции (кинетический баланс), 3. энергия, выделяемая или поглощаемая при реакции (энергетический баланс). Таким образом, состояние системы (реакции, процесса) описывается в 3-х мерном пространстве: 1. отклонение дозировок веществ от стехиометрии процесса, 2. отклонение действительной скорости реакции от теоретически расчетной, 3. коэффициент полезного использования энергии на реакцию (или КПД использования энергии реакции). Этого 3-мерия достаточно для описания особенностей процесса.

В дальнейшем приложение метода управления качеством для разных групп процессов отличается тем, какой из параметров (материальный, кинетический или энергетический баланс) принимается управляющим параметром.

Интерпретация в методе управления качеством При интерпретации теоремы о размерности рассмотрены особенности управления качеством физико-химического технологического процесса. Описан общий подход к управлению качеством химикотехнологических процессов путём представления их параметров в трёхмерном пространстве состояний.

Установлено, что при наличии одного главного параметра качества процесса и одного главного параметра управления пространство состояний химико-технологического процесса трёхмерно. Это условие является как необходимым, так и достаточным для преставления состояния химико-технологического процесса.

Практическое приложение эта теорема имеет при истолковании (интерпретации) экономико-математических моделей в плане привязки меры стоимости к трёхразмерной материальной характеристике системы (вещной, временной, энергетический), любой 4-й фактор (например, деньги, оторванные по содержанию от упорядочивающих материальных факторов) дезориентирующ, т. е. денежная мера практически привязываема к 3 упомянутым факторам.

параметр качества Рис. 8. Оптимизационная статистическая диаграмма управления Необходимость трёхмерности следует из технологического смысла задачи управления ввиду того, что пространство состояний соответствует трёхмерности параметров процесса: 1) мера качества процесса;

2) параметр управления; 3) экономический параметр.

Достаточность трёхмерности (по вышедоказанным теоремам) следует из того, что математический аппарат описания пространства состояний химико-технологического процесса позволяет, ввиду взаимной упорядоченности вышеуказанных подпространств состояний процесса, оперировать с не более с чем 3-мерными пространствами (пример полной оптимизационной диаграммы в пространстве состояний см. на рис. 8).

Решение задачи управления при фундаментальной обоснованности трёхмерности пространства состояний системы: 1) параметр качества продукта (подпространство Х); 2) параметр управления (подпространство Y); 3) экономический параметр (подпространство Z), сводится (при приложении результатов теории измеримости [119] (ХY)Z, отображение g измеримо, если измеримо f) к построению оптимизационной статистической диаграммы в трёхмерном пространстве состояний (см. рис. 8, на примере процесса отгонки), вычислению норм подпространств Х, Y, Z,— Х, Y, Z, перенормировке наблюдений соответственно вычисленных норм, а затем определению по статистической обработке данных оптимума — неподвижной точки оператора управления.

Отображение f — это отображение подпространства параметра качества X в подпространство параметра управления Y, отображение g — это отображение отображения f в подпространство экономического параметра. Оптимум управления находится как управление при получении продукта, соответствующего норме качества с заданной вероятностью при минимальных издержках. В этом заключается основное содержание метода пространства состояний управления качеством химикотехнологических процессов.

Метод пространства состояний управления качеством химикотехнологических процессов является устойчивым вследствие свойств устойчивости применяемых статистических методов и приложим к процессам, допускающим выделение одного определяющего параметра качества и одного определяющего параметра управления.

Результаты приложения теоремы о размерности к построению информационных систем управления технологическими процессами описаны в [81; 85; 102; 123; 105; 132] и далее.

Вертикальная 6-уровневая структура информационных систем управления [80; 82] связана с гносеологическими основаниями, указанными в главе 1.

§13. Теорема о суперпозициях.

Показано, что оператор суперпозиции (X1Y1) Z1 задаёт ориентацию пространств (в том случает если эти пространства одномерны), из чего по теореме об ограничении размерности ориентированных пространств следует, что возможна суперпозиция при не более чем трёх.

связанных оператором суперпозиции пространствах. Этот результат распространён и на случай изначальных (неориентированных) пространств произвольной размерности (XnYk) Zm. В прикладном смысле основной результат является обоснованием метода пространства состояний управления качеством сложных химико-технологических процессов.

Свойства оператора суперпозиции неоднократно описывались (см., например, работы [118], [119]).

Вопрос, возможно ли продолжение вложения суперпозиций вида и т. д., подлежит разрешению. Далее на основании приложения теоремы об ограничении размерности ориентированных пространств (их не более чем 3-мерности, [109], [98]), показано, что допустимы суперпозиции только вида (4), а суперпозиции вида (5) и большей вложенности — невозможны.

Суперпозиция одномерных пространств Пусть пространства, на которых задан оператор суперпозиции, одномерны и имеют общее начало координат. Рассмотрим оператор суперпозиции Тогда отображения,, задают ориентации этих пространств (см. рис.

9, 10, 12).

Рассмотрим структуру ориентированного 4-мерия подробнее (см.

рис. 7). Элементарный 4-мерный объём, или объём, задаваемый на базисных векторах, с учётом ориентации,— это ориентированный 4-мерный куб [109], [98], (см. рис. 7). Отображения задают ориентации граней куба и секущих плоскостей.

Как указывалось ранее [109], [98] (выше, в теореме об ограничении размерности ориентированного пространства), 4-мерная ориентация невозможна, ввиду того, что между вершинами 0101 и 1010 имеется противоречивая ориентация (одновременно в два направления). То есть Рис. 9. Отображение задаёт ориентацию отображение в (6) не может иметь места. Из этого следует, что суперпозиция (6) для 4-х пространств — невозможна. Доказана теорема.

Теорема 9 (об ограниченности суперпозиций для одномерных пространств). Для одномерных пространств Хi, имеющих общее начало координат в суперпозиции отображений i, (((X X )X )...)n–1X n 3 ;

Теорема 9' (о том же). Для одномерных пространств, имеющих Рис. 12. Отображения,, ориентируют общее начало координат, суперпозиция ((X1Y1)Z1)W1 невозможна, возможна суперпозиция только для 3-х пространств, например, (X1Y1)Z1.

Суперпозиция многомерных пространств Если пространства, на которых задан оператор суперпозиции, многомерны, то рассуждения аналогичны.

Например, пусть даны два 2-мерных пространства с общим началом координат X2 и Y2, тогда ориентация их друг относительно друга задаётся отображением : Х2 Y2, как указано на рис. 11 (х1, х2, y1, y2 — базисные вектора соответствующих пространств). Базисные вектора неориентированных пространств X2 и Y2 на рис. 11 можно поменять местами — ориентация никак не изменится; ориентация, задаваемая отображением, действует между пространствами.

Легко видеть, что если задаётся суперпозиция отображений на пространствах произвольной (ненулевой) конечной размерности (где n, k, m, r N), то элементарный объём, выстроенный на базисных векторах этих пространств, будет содержать ориентированное 4-мерие (ориентированный 4-мерный куб), аналогично изображённому на рис. 7.

Поэтому, как при рассуждениях в доказательстве теоремы 9, из невозможности ориентированного 4-мерного куба следует невозможность суперпозиции на 4-х пространствах. Доказана следующая теорема.

Теорема 10 (об ограниченности суперпозиций). Для пространств Хi (произвольной конечной размерности, отличной от 0), имеющих общее начало координат в суперпозиции отображений i, (((X X )X )...)n–1X n 3 ;

иная формулировка теоремы:

Теорема 10' (о том же). Для пространств Xn, Yk, Zm, Wr, размерноS, S1 излишн. затр.

цесса сушки [93], оптимальный при заданной веv0 — норма качества, v1 — коэфф. избытка роятн. мере качефактическое значение (изме- энергопотока ства процесса ряемое периодически) сти которых конечны и отличны от 0 (n, k, m, r N), имеющих общее начало координат, суперпозиция ((XnYk)Zm)Wr невозможна, возможна суперпозиция только для 3-х пространств, например, (XnYk)Zm.

Приложение результата Доказанными теоремами обосновывается метод пространства состояний управления сложными химико-технологическими процессами, неоднократно описанный в его приложениях ранее [114], [93], [79].

При наличии одного главного параметра качества и одного главного параметра управления задача оптимизации сводится к достижению минимума дополнительных издержек на процесс, при заданных вероятностных ограничениях на качество процесса.

Пространство состояний таково: Х — параметр качества, Y — параметр управления, Z — экономический параметр. На пространствах (в стандартном случае одномерных) имеется суперпозиция (XY)Z, найти оптимум (минимум издержек, определяемый отображением ) возможно только при определённости отображения, для чего применяются стандартные статистические методы.

Наличие теоремы 10 для многомерных пространств фактически обосновывает возможность распараллеливания задач управления (при нескольких параметрах качества и соответствующих им параметрах управления), при этом для каждой подзадачи пространство состояний также 3-мерно, см. пример такого распараллеливания задач в [114].

Пример оптимизационной диаграммы метода пространства состояний приведён на рис. 13 (из [93]).

Описанные результаты об ограниченности последовательности суперпозиций отображений аналогичны результатам, относящимся к допустимости вращений в не более чем 3-мерном пространстве. Это ещё один ограничительный результат, следующий из теоремы об ограниченности размерности пространств с ориентированными друг относительно друга осями.

§14. Теорема размерности и 4-раскрашиваемость плоских графов.

Минимальный "элемент", образующий пространство размерности n, гомологичен (изоморфен) графу Kn+1 (полному графу на n+1 вершинах).

По теореме о размерности имеются не более чем трёхмерные вполне упорядоченные структуры, образующий их минимальный элемент изоморфен графу K4, граф K4 — плоский, это значит, что фрагмент трёхмерного пространства (лежащий в пределах координатных осей — "1/8" часть трёхмерного пространства) допускает плоскую проекцию на раскрашиваемую плоскую область: координаты точки задаются относительной цветностью (1, 2, 3 цвета), величиной обратной интенсивности (яркости) задаётся удаление от начала координат — начало координат изображается точкой белого цвета максимальной яркости (при удалении от начала координат добавляется 4-й цвет — "чёрный").

Для четырёхмерных пространств (с образующим графом K5) такая плоская проекция невозможна (таким образом, вышеозначенный результат связан с теоремой о 4-раскрашиваемости плоских графов [84]).

Однако проекция трёхмерной области на плоскую область не сохраняет непрерывности отображения, таким образом, доступными для наглядного созерцания на плоскости остаются только двухмерные зависимости (см. теорему 7).

§15. Теорема о непротиворечивости базовой теории.

Применение результатов теории множеств для обоснования трёхмерности пространства состояний допустимо ввиду непротиворечивости теории множеств (подробно непротиворечивость этой непредикативной теории рассмотрена в [109]). Здесь достаточно теоремы о непротиворечивости. Предварительно необходима теорема о недополнимости подмножества в М.

Теорема 11 (о недополнимости объекта в М). М — множество всех множеств. Для любого существующего объекта в М не существует дополнения до М.

Доказательство. Пусть А объект, АМ, возможны случаи:

1. А =, тогда А — не объект ( означает несуществование, но не существующий объект).

2. А и МА. Попытаемся построить дополнение В к А в М, т. е.

попытаемся собрать все объекты, не принадлежащие А, "внешние" по отношению к А, в одно множество В.

В = {[х]М | х или хА}, МА, значит, МВ, т. е. В = М (по транзитивности принадлежности для самопринадлежащих объектов, ММ) и АВ. Дополнение "поглощает" дополняемый объект. Попытка неудачна. Утверждение теоремы доказано.

3. А = М, очевидно, В = {[х]М | х или хА} =, что означает несуществование (отсутствие) дополнения к М в М.

Следствие. Множество всех объектов М невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся непустых объектов. М неделимо на части.

Теорема 12 (о непротиворечивости). Пусть М — множество всех множеств. Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты, непротиворечива.

Доказательство Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме о недополнимости это невозможно, следовательно, высказывания об объектах из М непротиворечивы. Существует, однако, ограничение: эти высказывания об объектах из М не могут быть получены формальным выводом из некоторых аксиом.

Известно [17, с. 154–155], что если существует сильно недостижимый кардинал, т. е. такой, что <, 2 <, то в теории множеств существует внутренняя модель самой теории множеств, что позволяет доказать непротиворечивость теории множеств в аксиоматике Цермело-Френкеля (ZF), однако существование недостижимых кардиналов не следует из аксиоматики ZF [17], поэтому рассуждения о недостижимых кардиналах в теории множеств без самопринадлежности более гипотезы, чем доказуемые утверждения. При рассмотрении теории множеств с самопринадлежностью выполняются условия, аналогичные свойствам недостижимых кардиналов, и доказуема непротиворечивость теории.

В теории множеств с самопринадлежностью множество всех множеств М совпадает со множеством всех своих подмножеств, но не совпадает со множествами подмножеств любого своего собственного подмножества — Exp(M)=M, но AM (MA) Exp(A)M, ( MExp(A) ). То есть утверждение, аналогичное утверждению о недостижимом кардинале, выполнено. Однако непротиворечивость теории множеств с самопринадлежностью доказывается из несколько других соображений, что описано выше.

Таким образом, используемая теория множеств непротиворечива.

С другой стороны, теорема об ограниченности размерности по той же самой схеме доказательства доказываема и без погружения её в теорию множеств, поскольку в доказательстве используются сведения только о взаимной ориентации осей (одномерных подпространств) пространства, и то что одновременная ориентация в два направления невозможна.

§16. Основное логистическое уравнение и задача управления.

Как было сказано выше, место задачи управления качеством — на 4-м уровне информационной системы. Существование решения этой задачи определяется существованием решения задачи управления на более высоких уровнях.

На 6-м уровне, определяющем ценовую политику и отношение себестоимости к цене, решение задачи управления (неподвижная точка), при соответствии потребительских свойств продукции системе ценностей (потребностей), существует и определяется основным логистическим уравнением в его интерпретации (см. подробнее [115], [94]). Решение этого уравнения x = 1 – xX определяет оптимальную норму прибыли.

Далее, на 5-м уровне, существует минимум затрат, соответствующий выпуску продукции приемлемого качества.

На 4-м же уровне определяется значение параметра управления, соответствующее норме качества.

Технологические данные для решения задачи собираются на первых 3-х уровнях системы управления.

Таким образом, динамически определяемая статистическими методами неподвижная точка управления существует на 4-м уровне управления ввиду наличия таковой на 6-м уровне управления.

§17. Пространство состояний и онтологические основания.

Представление пространства состояний связано с онтологическими основаниями следующим образом. Параметр качества — вещественно-материальная характеристика процесса (заданная постоянная величина); параметр управления — функция, меняющаяся во времени в зависимости от дополнительных параметров процесса; экономический параметр содержит понятие стоимости, которое является социально определяемой величиной.

Таким образом, прикладная технологическая интерпретация теоремы о размерности согласуется и с исходными онтологическими основаниями.

Часть 2. Приложения метода пространства состояний Глава 4. Системы управления качеством технологических процессов.

§18. Примеры бытовых процессов.

Легко представить процесс сложной химической технологии, используемый в быту, например, процесс варки картофеля. Параметр качества — определённая мера твёрдости картофеля. Модель изменения твёрдости картофеля построить невозможно ввиду сложности процесса, но даже если бы и имелась таковая модель, то применить её было бы невозможно ввиду неопределимости начальных условий: картофель весьма различен от клубня к клубню и по глубине клубня, измерить все его параметры практически невозможно. Остаётся организовать процесс измерений твёрдости картофеля в ходе его варки (протыкая вилокой).

Итак, 1) параметр качества — твёрдость картофеля, 2) параметр управления — время варки, 3) экономический параметр — сумма затрат на подогрев и упущенной выгоды от недоваренного картофеля.

Процесс останавливается при достижении определённой твёрдости (в заданном вероятностном интервале допустимой твёрдости).

Аналогично этому процессу строятся и системы управления химическими производствами.

§19. Процесс сушки.

Рассмотрим пример: информатизация процесса сушки. Экономия энергии при сушке является одной из важных технологических задач [20]. Изложение следует работе автора [86]. Описание постановки задачи заключается в описании общей структурной организация 6-ти уровней информационной системы технологического процесса сушки хлорида калия, описании содержания решения задачи статистически оптимального управления процессом сушки изменением теплопотока в установку в завистмости от влажности исходного продукта при жёстких ограничениях на качество процесса (предельно допустимую влажность готового продукта). Подробно собственно технологическая часть процесса сушки карналлита описана отдельно, часть автоматизации также описана отдельно [14].

Построение первых трёх уровней АСУТП сложными технологическими процессами в достаточной мере хорошо проработано и является стандартной задачей инженерной квалификации [14] [22]. На аппаратных же уровнях надстраиваемы уровни информационные, позволяющие решать задачи управления качеством процесса (готового продукта). Разработка информационной системы управления качеством состоит из двух частей: а) фундаментальное обоснование метода пространства состояний, привязка метода к конкретной задаче управления постановкой задачи и построение пространства состояний процесса; б) проверка метода на имитационной модели, наборе опытных данных;

в) этап внедрения.

Пример описания аппаратной части управления процессом сушки приведён в [59]. Рассмотрим далее информационные уровни.

Описание структуры уровней управления Структура уровней системы управления производством в части информатизации, для процесса сушки, такова (данное структурирование систем имеет гносеолого-психологическое обоснование, см. главу 1).

1. На первом уровне (средства измерения, управления) — измерение материального потока веществ в установку (влажного карналлита), измерение влажности исходного продукта (периодическое), измерение потоков газа и воздуха в печь для определения, по составу газа, меры теплопотока в сушильную установку, измерение температуры отходящих газов, измерение прочих параметров, измерение влажности готового продукта (периодическое).

2. На втором уровне (контроллеры) — обеспечение заданного материального потока влажного карналлита, стабилизация потока газа и воздуха, регулирование потока газа по конечной температуре оттока газов из сушильной установки; регулирование подачи добавок в готовый продукт.

3. На третьем уровне (база данных ПЭВМ АРМ) — хранение в оцифрованном виде результатов измерений технологических параметров и результатов анализов, отображение данных, управление контурами регулирования оператором с ПЭВМ.

4. На четвёртом уровне (решение задачи оптимизации) — оптимизация величины теплопотока в установку по снижению материальных затрат топлива при ограничениях на качество готового продукта (влажность), для получения продукта заданного качества при минимальных издержках (краткое описание решения задачи см. ниже).

5. На пятом уровне по учёту материальных потоков (с учётом данных 4-го уровня об избытке теплопотока) — планирование потребности закупок (по текущему отчётному периоду) на следующий отчётный период топлива и прочих веществ при определяемых за истекший отчётный период характеристиках материального потока исходного продукта.

6. На шестом уровне данные по учёту и планированию являются частью данных для общего планирования производства при составлении краткосрочных и долгосрочных прогнозов, учитывающих изменчивость цен на ресурсы и цены денег, с нормированием доли прибыли и определением доли возможных капиталовложений.

Описание процедуры наблюдения за процессом (уровень 4) Фундаментально-математическое обоснование метода пространства состояний кратко описано выше. Процедура оптимизации примерно такова. Требуется обеспечить наблюдаемость в текущем времени физико-химических параметров процесса сушки:

влажности готового продукта (оцифровкой данных анализов), и отношения меры теоретических затрат тепла на процесс сушки сырого продукта (определяемым приближённо по влажности исходного продукта, т. к. основные теплозатраты процесса сушки — это теплозатраты на испарение воды, затраты на теплопотери относительно постоянны, затраты на нагрев воздуха и хлорида калия незначительны, но также учитываемы в более сложной модели) к действительным теплозатратам, определяемым по расходу Пусть m(карналлита, Н2О)(t) — мера массопотока сырого продукта, v1(Н2О) — влажность сырого продукта (измеренная величина), v2(Н2О) — влажность готового продукта (измеренная величина), v0(Н2О) — верхняя граница допустимой влажности готового продукта (заданная величина величина), tп — период взятия проб на анализы (ориентировочно 2 часа), m(топлива)(t) — мера массопотока топлива в установку, Q(топлива) — мера теплоты сгорания единицы топлива (в случае сложного состава топлива (природный газ и т. п.) при возможности выполнения покомпонентного анализа топлива теплота сгорания топлива определяема стандартным способом), C(Н2О) — мера теплоты испарения воды, тогда 1-я наблюдаемая величина такова: отношение меры фактической влажности продукта к мере предельно допустимой влажности (характеристика качества процесса),— наблюдаемая для каждого момента времени взятия проб анализа готового продукта (в более точной модели: логарифм отношения меры фактической влажности продукта к мере предельно допустимой влажности Вторая величина (характеристика излишних материальных издержек) — это отношение меры фактических теплозатрат на процесс сушки, определяемых, в 1-м приближении как интеграл от произведения функции меры материального потока топлива на теплоту сгорания топлива за период времени между взятием проб анализов (значения моментов времени взятия проб фиксированное, период равномерный, небольшие действительные отклонения сглаживаются статистической процедурой, либо в более точной модели, подлежат оцифровке значения меры времени взятия проб), к мере теоретически минимальных затрат на процесс, определяемых как интеграл произведения массопотока сырого вещества на меру влажности и на меру теплоты испарения воды за тот же период времени:

где ti–1 = ti–tп.

В первом приближении нижняя (оптимальная) граница передозировки вещества (топлива) определяется при заданной вероятностной мере требуемого качества процесса как проекция на ось меры передозировки (ось k) точки пересечения предельно допустимой меры качества процесса (ln(v/v0) = 0 ) с линией квантиля (заданной вероятностной меры) 2-й главной компоненты (о методе главных компонент см. подробнее [4], [65]), наблюдаемого 2-мерного распределения результатов изS, S1 излишн. затр.

мерений параметров качества процесса (меры передозировки и меры качества) (см. рис. 14), v — наблюдаемая мера качества процесса, v0 — предельно допустимая норма качества процесса. (В том случае, если мера качества процесса является нежёсткой, если некачественный процесс не влечёт тяжких экологических последствий, оптимизационная процедура минимизирует стоимостные характеристики, определяемые на 5-м уровне информационной системы,— минимизирует общие издержки (см. рис. 14); функции S1 и S2 определимы статистически).

Процедура коррекции меры теплопотока в установку по характеристикам качества процесса заключается в поддержании избыточного теплопотока, с заданной вероятностью обеспечивающего получение продукта допустимого качества (вне жёсткой зависимости от температуры оттока газов из установки, этот контур управления требуется только в начальный пусковой период и для отслеживания возможных возмущений, отклонений от равномерности процесса), т. о. оптимальное управление процессом сушки изменением величины теплопотока, для обеспечения получения качественного продукта в кратчайшей форме описано. Пример работы алгоритма, протестированный на модели, приведён на следующем рис. 15.

Аналогичным образом выстраиваемы системы управления многими технологическими процессами, причём для каждого особенного процесса задача 4-го уровня, уровня оптимизации,— особенна; однако информационная структура построения химико-технологических систем в достаточной степени общезначима и однозначна, что гораздо упрощает выдачу технического задания на проектирование и программиОтметим, что параметр управления процессом сушки — сложная величина.

В первом приближении параметр управления Y — это мера энергопотока Е1(t) в систему, однако массопоток продукта в систему m(t) — не постоянен, значит, во втором приближении — это отношение меры энергопотока к массопотоку продукта в установку, Е1(t) / m(t), однако и влажность поступающего продукта — не постоянна, значит, в третьем приближении — это отношение энергопотока к потоку влаги в поcтупающем продукте, Е1(t) / (m(t) v1(t)), где v1(t) [0, 1],— относительная влажность поступающего продукта, но в последнем приближении для упрощения отсчёта параметра управления — это отношение поступающего в установку энергопотока к энергопотоку теоретически потребному, для того чтобы всю влагу из продукта испарить, Е1(t) /E0(t) — это коэффициент избытка энергопотка, на практике чуть больший единицы, где с— удельная теплоёмкость воды, h— удельная теплота испарения.

рование информационной части промышленно-технологической системы. Примеры: процессы хлорирования титаносодержащих шлаков (определение в текущем времени оптимального материального баланса хлора и шихты), процесс получения формалина (определение в текущем времени оптимального материального баланса метанола и кислорода), процесс флотационного обогащения руд, процесс производства алифатических аминов, процесс вакуумной сепарации титановой губки и т. д.

Аналогичный метод применим для информатизации процесса сушки хлорида калия.

Применительно же к конкретным разновидностям процесса сушки решение задачи сушки карналлита в технологическом процессе получения магния, или же решение задачи сушки кирпича в технологическом процессе изготовления кирпича, совершенно аналогичны, оптимизационные диаграммы (рис. 13, 15) одинаковы.

минимуму издержек Рис. 15. Функциональные (справа) и корреляционные (слева) диаграммы процесса сушки §20. Формулировка метода пространства состояний.

Как наглядно видно из примеров, метод пространства состояний управления качеством химико-технологических процессов заключается в выборе пространства состояний системы: 1) параметра качества, 2) параметра управления, 3) экономического параметра; и организации процедуры перенормировки данных о процессе с отображением перенормированных данных в это пространство состояний.

Затем для отыскания оптимума управления (получения продукта заданного качества при минимальных издержках) применяются обычные статистические методы (с учётом принципа малой вариации параметра управления, см. выше с. 68). При этом решения задачи управления (на 4-м уровне АСУТП) являются лишь рекомендациями по ведению технологического процесса, выдаваемыми оператору-технологу, контролирующему течение производственного процесса.

Причем для каждого конкретного процесса определение пространства состояний весьма сложная задача, требующая знания предметной области химической технологии.

Далее описываются приложения этого метода к ряду процессов химической технологии.

Ввиду вышеприведённых теорем метод пространства состояний, не использующий сведений о функции зависимости управляемых параметров от управления, отличается от известных подходов к управлению (см. напр. [7] [15] [50] [54] [60]), подробное изложение этого — предмет отдельного исследования; более важный в конструктивном плане разбор конкретных примеров приложений метода пространства состояний следует в следующих главах.

Глава 5. Приложения к процессам металлургии титана В этой главе описаны приложения метода пространства состояний к процессам отдельных технологических переделов производства титана.

§21. Процесс плавки концентратов в рудно-термических печах.

Построение информационной системы управления процессом плавки в рудно-термических печах титановых концентратов основывается на выделении пространства состояний процесса, определении уровней информационной системы и приложении статистических методов для определения оптимума по достижению заданного (с вероятностной мерой) качества.

Химизм процесса Как практически известно и хорошо описано в литературе [63], [21, с. 25], [9] в первом приближении «основная реакция процесса может быть выражена в следующей форме:

FeO TiO2 (концентрат) + C (восстановитель) = При восстановлении концентрата в процессе плавки важно уменьшение содержания в шлаке железа, что является характеристикой качества процесса (чем меньше в шлаке железа, тем меньше затраты на следующем этапе производства — хлорировании шлака в хлораторе при получении четырёххлористого титана). Для оптимального управления процессом требуется: а) поддерживать оптимальную меру передозировки углерода (относительно стехиометрии процесса), б) получать продукт при минимальных издержках (минимальной длительности и энергоёмкости процесса), в) планировать процесс производства для получения заданного производственным планом количества промежуточного продукта для следующей стадии переработки. Для решения задачи оптимального управления инструментом является информационная система управления процессом.

Уровни информационной системы Уровни информационной системы (см. описание обоснования в главе 1) с решаемыми на них задачами таковы:

1. Измерение параметров процесса: материальных потоков, температур, тока электродов, напряжения, активной и реактивной мощностей (средства измерения и управления); анализ (периодический) сырья, расплава (содержание Fe), готового продукта (содержание Fe).

2. Управление локальными контурами, поддержание заданного тока электродов (активной мощности); оцифровка данных анализов.

3. Сбор и хранение результатов измерений в базе данных ПЭВМ АРМ (автоматизированного рабочего места), отображение данных.

4. Решение задачи оптимального управления (при обсчёте модели).

5. Учёт материальных потоков (контроль за точным исполнением плана), определение экономических показателей производства (чистой материальной себестоимости и т. п.).

6. Экономическое прогнозирование на следующий отчётный период (при учёте изменчивости цен на ресурсы, продукт и цены денег) для планирования оптимальной нормы прибыли в 0,3036… от объёма продаж.

Решение задачи оптимизации на 4-м уровне В 1-м приближении оптимизационные диаграммы таковы (при оптимизации по двум параметрам): 1) минимальная стоимость (длительность, энергоёмкость) процесса, см. рис. 16, 2) оптимальный избыток передозировки восстановителя, см. рис. 17.

При этом функция (экспоненциально регрессионная модель), описывающая содержание железа в расплаве, определима по периодическим (0,5, 1, 2 часа) анализам расплава на содержание железа.

v1(Fe) — мера содержания железа в расплаве (периодический анализ и экспоненциально регрессионное приближение функции, см. также [21, с. 106]), v0(Fe) — мера содержания железа в начальном концентрате, Е(t) — энергозатраты на процесс, Qконц. — масса концентрата, загруженного в печь, функции S1 и S2 вычислимы аналогично вычислению в задаче управления процессом флотации ([78]).

(Возможен и более сложный вариант: расчёт доли содержания железа в расплаве по модели кинетики процесса, учитывающей показания температуры расплава и энергоприток, со статистической коррекцией модельного расчета по факту содержания железа в готовом шлаке:

kкорр(Fe) = vтеор(Fe) / vфакт(Fe), теоретически расчетная мера умножается на статистически (по множеству процессов усреднённый коэффициент коррекции). Однако метод непосредственных измерений гарантированно точнее).

На необходимость процесса измерений, основанную на теореме область значений регрессионная содерж. Fe в Рис. 16. Диаграмма оптимизации по длительности процессов об алгоритмической неразрешимости вычисления результатов сложных химико-технологических процессов, было указано при интерптетации теоремы 4.

На рис. 17 оси диаграммы горизонталь — избыток С (относительно стехиометрии процесса, вертикаль — содержание Fe в расплаве в конце процесса, наблюдаемое распределение зависимости конечного содержания Fe от процесса к процессу от меры избытка дозировки С, поненты двумерного распределения с линией нормы содержания Fe;

статистически гарантированное качество — пересечение линии нормы содержания Fe c квантилем р=0,95 2-й главной компоненты 2-мерного распределения).

Таким образом, при организации оцифрованного информационного потока данных о процессе, включающем результаты анализов, при использовании простой модели процесса определима оптимальная длительность процесса, позволяющая минимизировать энергозатраты на процесс (см. также [116]).

§22. Процесс хлорирования титаносодержащей шихты.

Описана общая структура системы автоматизации-информатизации технологического процесса хлорирования титаносодержащих шлаков, а также способ оптимизации процесса (соотношений материальных балансов потока дозируемых веществ в текущем времени) по характеристикам качества процесса (периодически анализируемым внутренним состояниям расплава); указаны особенности и ограничения применения матмоделей.

Для снижения потерь продукта и издержек производства процесса хлорирования титаносодержащих шлаков значимо поддержание определённого содержания диоксида титана и углерода в расплаве. Как указано в [9, с. 21]: «химизм процесса хлорирования чрезвычайно сложен и обусловлен многокомпонентным составом шихты и присутствием разных веществ, влияющих на процесс хлорирования», «…технология хлорирования требует постоянного контроля состава шихты и его оперативного корректирования», «использование сыпучей шихты позволяет быстро изменять состав хлорируемой смеси по содержанию TiO2 и углерода и автоматизировать процесс хлорирования» [там же, с. 27]. «Концентрация хлора оказывает влияние на процесс хлорирования» [9, с. 34].

Потребность информатизации управления соотношениями дозировки компонент заключается в организации сбора статистики результатов анализов расплава относительно состояния параметров дозировки шихты, углерода и хлора, в связи с запаздыванием результатов анализов по отношению к моменту изменения параметра управления, для чего применим известный способ статистически оптимального управления [78], требующий присутствия управляющего субъекта, оператора-технолога, принимающего решение по выбору параметра управления соотносимо с рекомендациями, выдаваемыми информационной системой. Задача построения информационной системы управления процессом хлорирования, как частная, решаема посредством общего способа решения таких задач при использовании предварительного выделения структуры соподчинённых уровней информационной системы по методологии, описанной ранее в [80] и в предыдущих главах.

Общая схема автоматизации-информатизации процесса по уровням системы такова:

1. Система АСУТП обеспечивает измерение расходов дозируемых веществ (косвенно — шихты по оборотам дозирующего шнека, хлоргаза), температур (температура хлорирования поддерживается «на верхнем пределе — около 800 С», [9, с. 34]), давлений, концентрации хлоргаза вручную, анализ расплава хлоратора с периодом в 2 часа.

2. Контуры управления обеспечивают поддержание текущего технологического режима: массопотоков дозируемых компонент, параметров оросительной системы конденсации и т. д.

3. АСУТП снабжена системой сбора хранения и отображения данных, в т. ч. получением данных анализов проб расплава по компьютерной сети из заводской лаборатории.

На указанном аппаратном обеспечении выстаиваемы собственно информационные уровни.

4. Решение задач оптимизации управления процессом (подробнее см. далее в этом параграфе), под наблюдением оператора-технолога с выдачей сотруднику рекомендаций по ведению процесса.

5. Решение задач учёта и контроля соответствия исполнения плана заданному с 6-го уровня производственному плану. Коррекция оптимальных значений концентраций TiO2 и C в расплаве по минимуму издержек.

Процедуры оптимизации при поддержании процесса в оптимальном состоянии позволяют планировать подготовку шихты на предыдущей стадии процесса с предотвращением накопления углерода в расплаве (для предотвращения необходимости периодического дожигания углерода дутьём воздуха, приводящего к вскипанию расплава, а иногда и к выбросам газов в атмосферу цеха).

6. Решение задач экономического прогнозирования (в условиях изменчивости цен ресурсов, готового продукта, оплаты труда, цены денег) при нормировании прибыли для определения оптимальной цены и выделяемого на капитальные затраты объема средств,— выработка плана (по заключении контрактов), определяющего задачи 5-го уровня.

Единичные оценки материального разбаланса процесса в текущем времени дают величину в 20…25 %. Прогностические оценки улучшения соблюдения материального баланса хлоратора с улучшением точности в 5% соразмеримы с полной окупаемостью затрат на информатизацию процесса.

Описание задачи оптимизации Модель [77] описывает материальный баланс процесса хлорирования. Модель — главное содержание программного обеспечения, позволяющего оптимизировать дозируемые материальные потоки процесса по 2-м параметрам (содержанию TiO2 в расплаве и содержанию углерода в расплаве) (для получения максимального выхода продукта на единицу затрат времени, минимизации материальных издержек). Простое обеспечение наблюдаемости за мерой разницы коэффициентов соотношений дозировки веществ от стехиометрии уже значительно облегчает управление процессом сотруднику-технологу, при обеспечении такой наблюдаемости за процессом решаемы и более сложные задачи.

Ключевая задача организации производства — задача 4-го уровня оптимизации процесса в текущем времени, для процесса хлорирования титаносодержащей шихты по двум материальным потокам (хлора / Рис. 18. Схема оптимизации баланса хлора и шихты шихты, см. рис. 18) и (кислорода окислов / углерода, см. рис. 19),— двухмерная, заключается в том, чтобы:

а) автоматизированно вычислять коэффициент избытка дозировки компонента относительно стехиометрического соотношения;

б) по наблюдению характеристики качества процесса (доли содержания в расплаве) определять, автоматизированно, по сбору статистики, коэффициент оптимальной передозировки компонента (для управления подачей хлор-газа и соответствующего заказа смешения шихты с определённым содержанием углерода) при сохранении заданного состава расплава.

Для статистической обработки потока данных применим стандартный статистический метод главных компонент (см. [3], [4]).

Достаточным основанием для практического построения систем оптимизации упомянутого типа (при достигнутом уровне информатизации) явилась проработанность первых 3-х уровней системы автоматизации процесса и организация оцифровки данных периодических (через 2 часа) анализов состояний процесса и анализов и материальных потоков сырья и готового продукта, для организации информационного потока данных о процессе, отобразимого в текущем времени на диаграмме управления как "облако точек наблюдений", см. рис. 18, рис. 19.

Способ построения систем оптимизации для разных химикотехнологических процессов (флотации, отгонки, хлорирования и т. п.) в достаточной степени одинаков.

Обоснования вычислимости решения Об ограничениях применимости функционально-дифференциальных математических моделей для описания сложных химических процессов и потребности использования статистических методов упоминалось в предыдущих главах (также см. [95], [124]).

Другие ограничения в использовании математических моделей связаны с недостаточной определённостью задачи измеримыми параметрами, а именно, сложности решения задач означенного типа таковы, что известные методы теории интегральных операторов (даже при попытках регуляризации [41]) не подходят для решения означенного класса задач управления химико-технологическими процессами.

Пусть попытаемся описать задачу управления химико-технологическим процессом посредством интегрального оператора:

где t — текущее (действительное) время, tп — период интегрировапния, s — "внутренняя" переменная по времени для учёта прошлых состояний процесса, u(s) — соотношение дозировки 2-х компонент А и В относительно стехиометрии, f(t) — заданная функция качества (состояния расплава, содержания в нём вещества А), К(t, s) — оператор, преобразующий соотношение дозировки в состояние расплава (для означенной выше задачи) (система кинетических уравнений реакций), но фактически ввиду наличия многих веществ в дозируемых компонентах, К(t, s) = К(t, s, V), где V — дополнительные параметры процесса (неизмеряемые, алгоритмически невычислимые и т. п.), таким образом, функция оператора К(t, s, V) не может быть точно определена, что делает постановку задачи в интегральной форме почти бессмысленной.

Но задача решается (в терминологии операторных уравнений) следующим образом. Предположим, что есть точное решение операторного уравнения:

A u f заданное, где u — отношение дозировки компонент по стехиометрии процесса, и где наблюдается (вероятностное) распределение двух величин 1 — параметра качества в подпространстве Х, и главных компонент, или приближённо, по регрессии regr(1 | 2), фактически определяются параметры распределения невязки относительно гипотетического решения, см. диаграмму выше (рис. 18, рис. 19), и определяется решение (соотношение дозировки) u0 = u0 (fзаданное), таким образом, вероятностным методом, строится псевдообратный оператор A 1 к формально неопределимому оператору А.

Решение задачи управления при фундаментальной обоснованности 3-мерности пространства состояний системы:

1. параметр качества продукта (подпространство Х), 2. параметр управления (подпространство Y), 3. экономический параметр (подпространство Z) сводится, при приложении результатов теории измеримости [118], к построению оптимизационной статистической диаграммы в 3-х мерном пространстве состояний (см. рис. 20), вычислению норм подпространств Х, Y, Z,— Х, Y, Z, перенормировке наблюдений соответственно вычисленных норм, а затем определении по статистической обработке данных оптимума — неподвижной точки оператора управления, вычислимой на 6-м уровне по следствию из теоремы о вычислимости неподвижной точки оператора (в -теории [12]). (Как следствие решения, получаемые на 4-м и 5-м уровнях являются также вычислимыми и приближёнными).

На рис. 18 норма Х1 — это мера содержания TiO2 в расплаве относительно заданного значения, норма Y1 — это мера дозировки хлора относительно идеальной по стехиометрии процесса.

На рис. 19 норма Х2 — это мера содержания С в расплаве относительно заданного значения, норма Y2 — это мера дозировки углерода относительно идеальной по стехиометрии процесса.

Фрагмент таблицы расчёта норм Y1, Y2 см. в табл. 3.

Пример решения задачи оптимизации дозировки, в 1-м приближении, без перенормировок относительно стехиометрии приведён на рис. 21 (из [61]).

Для решения задачи оптимального управления процессом хлорирования титаносодержащей шихты, на современном этапе конструирования АСУТП, достаточно, в первом приближении, решения задачи на 4-м уровне (оптимизации по качеству состояния расплава хлоратора).

Практические действительные решения, учитывающие реальные возможности производственных предприятий и разработчиков систем авобъём продаж, Рис. 20. Общая оптимизационная статистическая диаграмма томатизации, в 1-м приближении, проще фундаментально обоснованного полного решения задачи. Уже при таком простом решении задачи для процесса хлорирования обеспечиваемо снижение вероятности вскипания расплава, чем и повышаема степень безопасности производства.

мера качества, содерж. TiO2 в расплаве Таблица 3. Часть таблицы рассчёта идеальных по стехиометрии дозировок (норм пространств Y1, Y2).

потери недоконденс. прод. 0,42% §23. Процесс очистки четырёххлористого титана от ванадия.

Пространство состояний технологического процесса (для широкого класса процессов) имеет следующие одномерные подпространства: 1. мера качества продукта, 2. параметр управления, 3. экономический параметр.