«М атематическое м оделирование в эконом ике и со ц и о л о ги и труд а М ЕТО Д Ы М ОДЕЛИ ЗАДАЧИ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для с т у д е н т о в в ы с ш и х ...»

В.В. Федосеев

М атематическое

м оделирование в эконом ике

и со ц и о л о ги и труд а

М ЕТО Д Ы М ОДЕЛИ ЗАДАЧИ

Рекомендовано Министерством образования

Российской Федерации в качестве учебного пособия

для с т у д е н т о в в ы с ш и х учебных заведений

Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия для студентов в ы с ш и х у ч е б н ы х заведений, обучающихся по специальностям 080104 «Экономика труда», 080116 « М а т е м а т и ч е с к и е м е т о д ы в экономике»

юнити и N IТY М осква « УДК 3 30.4(0 7 5.8 )+ [3 1 6.3 3 4.2 2 :5 1 ](0 7 5.8 ) ББК 60.56 i.23в631.0я 73-1+ 65в 631.0 я 7 3 - ФЗЗ Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В.А. К о л ем аев (зав. кафедрой математики Государственной Академии управления);

д-р экон. наук, проф. В.М. Симчера (директор НИИ статистики Росстата) Главный редактор издательства кандидат юридических наук, доктор экономических наук Н.Д. Э риаш вили Федосеев, Владилен Валентинович.

Математическое моделирование в экономике и социоло­ ФЗЗ гии труда. Методы, модели, задачи: учеб. пособие для студен­ тов вузов, обучающихся по специальностям 080104 «Эконо­ мика труда», 080116 «Математические методы в экономи­ ке» / В.В. Федосеев. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 167 с.

ISBN 5-238-01114- Агентство CIP РГБ Изложена система методов и моделей в области математического мо­ делирования задач в экономике и социологии труда, включающая в себя оптимизационные модели, модели прогнозирования на основе времен­ ных рядов, балансовые модели, сетевые модели, эконометрические мно­ гофакторные модели, модели систем массового обслуживания, модели теории иф, модели распределения заработной платы и модели уровня жизни. Рассмотрение всех экономико-математических моделей сопровож­ дается решением конкретных типовых задач экономики и социологии труда. Приведены вопросы для самоконтроля и упражнения для само­ стоятельного решения.

Для студентов, аспирантов, обучающихся по экономическим специ­ альностям вузов, а также практических работников в области экономики и социологии труда.

ББК 60.561.23в631.0я 73-1 + 6 5 вбЗ 1.0 я 7 3 - ISBN 5-238-01114-8 © и з д а т е л ь с т в о ю н и т и -д а н а, 2 0 0 4,2 0 Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в какой-либо форме, в том числе в Интернет-сети, запрещается без письменного разрешения издательства.

П р еди слови е Данное учебное пособие относится к важной составляющей высше­ го экономического образования, связанной с применением методов математического моделирования, без которых немыслимо рассматри­ вать задачи анализа и прогнозирования социально-экономических сис­ тем и процессов. В частности, в настоящее время подобные задачи не­ возможно решать без современных ПЭВМ с их широко развитым про­ граммным обеспечением, эффективное использование которых требует от экономиста знания экономико-математических и эконометрических методов и моделей, лежащих в основе современных специализирован­ ных и универсальных пакетов прикладных программ.

В последнее время учебная литература по данной тематике попол­ нилась целым рядом учебников и учебных пособий, которые охватыва­ ют широкий спектр как общих проблем математического моделирова­ ния задач макро- и микроэкономики, так и проблем моделирования задач, относящихся к таким конкретным экономическим специально­ стям, как «Менеджмент», «Маркетинг», «Финансы и кредит», «Государ­ ственное и муниципальное управление» и другие; некоторые из этих учебных изданий приведены в библиографическом списке данного по­ собия.

Вместе с тем по специальности «Экономика труда», которая неко­ торое время назад носила название «Экономика и социология труда», ощущается явный недостаток в обеспечении учебной литературой по вопросам математического и эконометрического моделирования типо­ вых задач данной отрасли экономических знаний. Одной из основных особенностей задач экономики труда является большой вес социальной составляющей в них, и эта особенность недостаточно отражена в имею­ щихся учебных изданиях по экономико-математическому моделирова­ нию. Это определило необходимость подготовки данного учебного по­ собия.

В главе 1 «Основные понятия математического моделирования соци­ ально-экономических систем» раскрываются общие понятия системного анализа и моделирования в области экономики и социологии, дается описание этапов математического моделирования и прогнозирования экономических систем и процессов, приводится краткая классифика­ ция экономико-математических моделей. Отдельный параграф посвя­ щен характеристике задач экономики и социологии труда как объекта математического моделирования.

Многие задачи экономики труда при их моделировании сводятся к задачам оптимального программирования. В связи с этим глава 2 «Ме­ тоды оптимизации и оптимальные модели в экономике труда» начинается с раскрытия общих понятий оптимального, в том числе линейного про­ граммирования, описанию графического (геометрического) и сим­ плексного методов решения задач линейного программирования. Кро­ ме того, в главе излагаются основы теории двойственности линейного программирования и методы ее использования при анализе оптималь­ ных решений. Особое внимание уделяется рассмотрению транспортной задачи, а также основных типов оптимизационных задач в экономике и социологии труда: задача о назначениях, задача о диете, задача об оп­ тимизации численности персонала и др.

Глава 3 «Математические методы анализа и прогнозирования трудо­ вых показателей» посвящена рассмотрению методов экономического анализа и прогнозирования этих показателей на основе временных ря­ дов, при этом особое внимание уделяется анализу сезонности в задачах управления трудовыми ресурсами. Кроме того, рассматрены вопросы использования многофакторных эконометрических моделей, включая производственные функции, в задачах экономики и социологии труда.

В главе 4 «Балансовые модели анализа и планирования трудовых ресур­ сов» даются основные понятия балансовых методов в экономике, рас­ крывается содержание экономико-математической модели материаль­ ного межотраслевого баланса и рассматриваются балансовые модели в задачах экономики труда, прежде всего модель межотраслевого баланса затрат труда.

Глава 5 «Экономико-математические методы организации и нормиро­ вания труда» включает в себя краткое описание элементов теории мас­ сового обслуживания и теории игр. Рассматриваются конкретные зада­ чи организации и нормирования труда, решаемые методами теории массового обслуживания и теории игр, а также вопросы применения в задачах организации труда сетевых методов и моделей.

В главе 6 «Модели распределения заработной платы и методы модели­ рования уровня жизни» рассматривается применение логарифмически нормальной модели в задачах анализа и прогнозирования распределе­ ния заработной платы и распределения семей по среднедушевому дохо­ ду, дается краткое описание системы моделей уровня жизни.

В конце каждой главы приведены вопросы для самоконтроля. Все изучаемые темы иллюстрируются примерами решения конкретных за­ дач экономики и социологии труда, которые, как надеется автор, ока­ жут существенную помощь читателям при изучении отдельных разделов данного учебного пособия. В конце учебного пособия предлагаются упражнения для самостоятельного решения.

Автор будет признателен за все замечания и предложения по струк­ туре и содержанию учебного пособия, которые следует направлять в адрес издательства ЮНИТИ-ДАНА.

Глава О сн о вн ы е пон яти я м атем ати ч еско го м одели рован и я соц и альн оэкон ом и чески х си стем 1.1. Методы исследования и моделирования социально-экономических систем О сновные понятия и определения Под социально-экономической системой понимается сложная вероятностная динамическая система, охватывающая процессы производства, обмена, распределения и потребления материаль­ ных и других благ.

Социально-экономические системы относятся к классу киберне­ тических, т.е. управляемых, систем. Рассмотрим ряд основных поня­ тий, связанных с такими системами и методами их исследования.

Центральным понятием кибернетики является понятие «систе­ ма». Единого определения данного понятия нет. Возможна сле­ дующая его формулировка.

Системой называется комплекс взаимосвязанных элементов вме­ сте с отношениями между элементами и между их атрибутами.

Исследуемое множество элементов можно рассматривать как систему, если выявлены следующие ч е т ы р е признака:

1) целостность системы, т.е. принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов;

2) наличие цели и критерия исследования данного множества элементов;

3) наличие более крупной, внешней по отношению к данной системы, называемой средой;

4) возможность выделения в данной системе взаимосвязанных частей (подсистем).

Основным методом исследования систем является метод моде­ лирования, т.е. способ теоретического и практического действия, направленного на разработку и использование моделей.

При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной форме или описанный знаковыми средствами на каком-либо языке, отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е.

возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта — его модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономи­ ко-математическом моделировании, т.е. описании социально-эко­ номических систем знаковыми математическими средствами.

Практическими задачами экономико-математического модели­ рования являются:

• анализ экономических объектов и процессов;

• экономическое прогнозирование, предвидение развития эко­ номических процессов;

• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйст­ венной иерархии.

Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех случаях данные, полученные в результате экономико-математического мо­ делирования, могут быть использованы непосредственно как гото­ вые управленческие решения. Они скорее могут рассматриваться в качестве «консультирующих» средств. Прерогатива принятия управ­ ленческих решений всегда остается за человеком. Таким образом, экономико-математическое моделирование — лишь один из компо­ нентов (пусть и очень важный) в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами.

Важнейшим понятием экономико-математического моделиро­ вания, как, впрочем, и всякого моделирования, является понятие адекватности модели, под которой понимается соответствие модели моделируемому объекту' или процессу. Адекватность модели в ка­ кой-то мере условное понятие, поскольку полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что, в частности, харак­ терно и для экономико-математического моделирования. При мо­ делировании имеется в виду не просто адекватность, но соответст­ вие тем свойствам, которые считаются существенными для иссле­ дования. Следует отметить, что проверка адекватности экюномикоматематических моделей является весьма серьезной проблемой, тем более что эту проблему осложняет трудность измерения экономиче­ ских величин. Однако без такой проверки применение результатов моделирования в управленческих решениях может не только ока­ заться малополезным, но и принести существенный вред.

Свойства социально-экономических систем Социально-экономические системы относятся, как правило, к сложным системам. Сложные экономические системы обладают ря­ дом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономи­ ко-математической модели. Важнейшими из этих свойств являются:

1) эмерджентность как проявление в наиболее яркой форме свойства целостности системы, т.е. наличие у системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих систему элементов, взятому в отдельности, вне системы. Эмерджентность есть результат существующих между элементами системы синергиче­ ских связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта до величины большей, чем сумма эффектов элементов системы, дейст­ вующих независимо. Поэтому социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом;

2) массовый характер экономических явлений и процессов. За­ кономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдений, поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;

3) динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием факторов внешней среды;

4) случайность и неопределенность в развитии экономических явлений. Экономические явления и процессы носят в основном вероятностный характер, поэтому для их изучения необходимо при­ менять экономико-математические модели на базе теории вероят­ ностей и математической статистики;

5) невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды, с тем чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде;

6) активная реакция на появляющиеся новые факторы, способ­ ность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.

1.2. Этапы экономико-математического моделирования и классификация экономико-математических моделей Этапы экономико-математического моделирования Процесс моделирования носит циклический характер, и в каж­ дом цикле выделяется несколько этапов. Рассмотрим последовательность и содержание этапов экономико-математического моде­ лирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, при­ нимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важ­ нейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его струк­ туру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформу­ лировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т.е. выражение ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Процесс построения модели подразделяется, в свою очередь, на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико­ математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и па­ раметров и формы связей. Для некоторых сложных объектов целе­ сообразно построение нескольких разноаспектных моделей, при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно. Оп­ равдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изу­ ченному классу математических задач, что может потребовать неко­ торого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто матема­ тическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является до­ казательство существования решения сформулированной задачи.

При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли это решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пре­ делах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Од­ нако модели сложных экономических объектов с большим 1рудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях перехо­ дят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах подготовка исходной информации чаще всего является наиболее трудоемким этапом моделирования, ведь дело не сводится к пас­ сивному сбору данных. Математическое моделирование предъявля­ ет жесткие требования к системе информации. При этом надо при­ нимать во внимание не только принципиальную возможность под­ готовки информации требуемого качества, но и затраты на подго­ товку информационных массивов. В процессе подготовки инфор­ мации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследо­ ваний, оценки достоверности данных и т.д. При системном эконо­ мико-математическом моделировании результаты функционирова­ ния одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение. Этап включает разработку алгоритмов чис­ ленного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредст­ венное проведение расчетов, при этом значительные трудности обу­ словливаются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многова­ риантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изу­ чение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследо­ вания, а для многих моделей оно является единственно возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полно­ те результатов моделирования и применимости их как в практиче­ ской деятельности, так и в целях усовершенствования модели. По­ этому в первую очередь должна быть проведена проверка адекват­ ности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве суще­ ственных (другими словами, должна быть произведена верификация и валидация модели). Применение численных результатов модели­ рования в экономике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управ­ ленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).

Перечисленные этапы экономико-математического моделиро­ вания находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом слу­ чае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наи­ более часто необходимость возврата к предшествующим этапам мо­ делирования возникает на этапе подготовки исходной информации.

Классиф икация эконом ико-м атем атических м од ел ей Общепринятой системы классификации экономико-математи­ ческих моделей в настоящее время не существует, однако можно вы­ делить порядка десяти классификационных рубрик таких моделей.

Рассмотрим некоторые из них.

делирования модели разделяются на макроэкономические и микро­ экономические. Хотя между ними и не существует четкого разграни­ чения, но к макроэкономическим относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

нения, выделяют:

• балансовые модели, выражающие требование соответствия на­ личия ресурсов и их использования;

• трендовые модели, в которых развитие моделируемой эконо­ мической системы отражается через тренд (длительную тен­ денцию) ее основных показателей;

• оптимизационные модели, предназначенные для выбора наи­ лучшего варианта из определенного или бесконечного числа вариантов производства, распределения или потребления;

• имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процес­ По т и п у и н ф о р м а ц и и, используемой в модели, эко­ номико-математические модели делятся на аналитические, постро­ енные на априорной, т.е. известной до опыта, информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

ются на статические, в которых все зависимости отнесены к одно­ му моменту времени, и динамические, описывающие экономические системы в развитии.

дели распадаются на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получать­ ся различные результаты в зависимости от действия случайных факторов.

Экономико-математические модели могут классифицироваться о б ъ е к т о в, включенных в модель; другими словами, по тину математического аппарата, используемого в модели. С этой точки зрения могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирова­ ния, модели теории игр и т.д.

Если рассмотреть в качестве примера экономико-математическую модель межотраслевого баланса затрат труда, то с учетом приведенных выше классификационных признаков это макроэко­ номическая, аналитическая, балансовая, матричная детерминиро­ ванная модель, при этом она может быть как статической, так и динамической.

1.3. Задачи экономики и социологии труда как объект математического моделирования и прогнозирования О сн о вн ы е задачи экономики и социологии труда Переходя к рассмотрению задач экономики и социологии труда как объекта математического моделирования и прогнозирования, следует отметить, что им присущи все основные свойства социаль­ но-экономических систем, рассмотренные выше. Однако в этих задачах социальная составляющая значительно более важна, чем в других областях экономического анализа. В качестве примера мож­ но назвать задачи воспроизводства трудовых ресурсов, задачи рас­ пределения семей по уровню среднедушевого дохода и т.д. Соци­ альная сторона задач экономики и социологии труда приобретает еще большее значение в условиях рыночной экономики, когда ры­ нок труда выступает в качестве самостоятельного раздела экономи­ ческого анализа и прогнозирования.

Перечислим основные задачи в области экономики и социоло­ гии труда:

• анализ состава и показателей численности трудовых ресурсов, в том числе анализ занятости и безработицы;

• анализ показателей рабочего времени, включая вопросы науч­ ной организации труда и анализа трудовых затрат;

• расчет фактической и планируемой производительности труда, анализ факторов, влияющих на производительность труда;

• анализ форм и систем оплаты труда, распределения работаю­ щих по уровню заработной платы;

• анализ динамики оплаты труда и производительности труда при изучении влияния их соотношения на себестоимость и конкурентоспособность продукции;

• построение системы балансов труда, включая баланс трудовых ре­ сурсов, баланс использования рабочего времени, баланс движения численности работающих, межотраслевой баланс затрат труда;

• изучение основных показателей уровня жизни населения, в том числе анализ закономерностей и связей доходов и потребления.

М етодологические о сн о в ы и ссл е д о ва н и я зад ач экономики и социологии труда Перечисленные задачи экономики и социологии труда опреде­ ляют методологические основы исследования данной области эко­ номических знаний. Эти основы включают в себя общенаучные ме­ тоды (системный анализ, комплексный подход, программно­ целевое планирование), аналитико-прогностические методы (мате­ матическое программирование, теория вероятностей и математиче­ ская статистика, теория массового обслуживания, методы эксперт­ ных оценок и др.), а также методы, заимствованные из других об­ ластей знаний, таких как социология, психология, экология и др.

Указанные методологические основы определяют особенности применения экономико-математического моделирования и прогно­ зирования для решения названных выше задач в области экономи­ ки и социологии труда.

Прежде всего, следует отметить, что статистические данные по всем разделам экономики и социологии труда (кросс-секционные и пространственные данные, временные ряды) служат основой для исследования явлений в области экономики труда с количествен­ ной стороны. Следовательно, установление закономерностей долж­ но происходить на базе эконометрики, которая использует методы теории вероятностей и математической статистики. Поэтому при моделировании задач экономики труда нельзя обойтись без основ­ ных понятий и методов указанных наук, в частности таких, как «случайная величина», «математическое ожидание», «дисперсия», «генеральная совокупность», «выборочная совокупность», «статисти­ ческие критерии согласия», законы и кривые распределения и т.д.

Задачи экономики и социологии труда как о б ъ ек ты м атем ати ческого м одели рован и я Многие задачи экономики и социологии труда являются оптими­ зационными, когда из возможных вариантов решения нужно выбрать вариант, оптимальный с точки зрения выбранных критериев опти­ мальности. При решении данных задач используются методы линейно­ го, нелинейного, динамического, стохастического и целочисленного про­ граммирования и др. В качестве примера задач экономики и социоло­ гии труда можно привести задачу о диете, задачу о назначениях и т.д.

Особое место в анализе труда занимает система отчетных балан­ сов, главным среди которых является баланс трудовых ресурсов.

Основным инструментом анализа балансов, в том числе балансов в области труда, являются балансовые модели, как статические, так и динамические. В частности, межотраслевой баланс затрат груда мо­ делируется на основе экономико-математической модели межот­ раслевого материального баланса (модели Леонтьева), которая пу­ тем ввода коэффициентов прямой и полной трудоемкости преобра­ зуется в экономико-математическую модель межотраслевого баланса затрат труда.

Важное место в анализе трудовых показателей занимает анализ производительности труда, являющейся ведущим показателем эф­ фективности общественного производства. Не затрагивая всех ас­ пектов изучения производительности труда количественными мето­ дами, отметим лишь следующие направления исследования дина­ мики производительности труда методами математического модели­ рования: 1) прогнозирование производительности труда на основе временных рядов (трендовые и адаптивные модели), экспоненциального сглаживания, авторегрессионных моделей, 2) многофакторное прогно­ зирование многомерной динамики производительности труда {рег­ рессионные модели, главных компонент и др.).

В задачах анализа использования рабочего времени, кроме об­ щих методов математической статистики, могут быть широко ис­ пользованы методы теории массового обслуживания. Расчет основ­ ных характеристик систем массового обслуживания ( СМО) различно­ го типа позволяет определить оптимальное количество каналов об­ служивания, коэффициенты загрузки и простоев этих каналов и другие показатели функционирования СМО, что напрямую связано с вопросами организации и нормирования труда. Если невозможно построить аналитические модели, СМО в задачах экономики труда исследуются методами имитационного моделирования в процессе машинной имитации этих задач.

Во многих задачах организации труда, включая вопросы его нормирования и оплаты, могут быть полезны методы теории игр, направленной на разработку математических моделей принятия ре­ шений в конфликтных ситуациях, когда интересы участников или противоположны (антагонистические игры), или не совпадают, хотя и не противоположны (игры с непротивоположными интересами). В частности, эти методы применяются в условиях неопределенности и риска, когда поведение противоположной стороны (необязатель­ но враждебное) просто неизвестно (так называемые игры с приро­ дой). Подобные ситуации довольно часто встречаются в задачах экономики труда.

При решении задач организации труда и оптимального распре­ деления трудовых ресурсов могут быть использованы также методы сетевого планирования и управления. Оптимизация сетевых моделей во многих случаях приводит к перераспределению трудовых ресур­ сов на множестве работ, входящих в сетевой график.

При анализе распределения работников по месту работы и про­ живания прежде всего проводится анализ данных о затратах време­ ни на передвижение между местами работы и жительства; эта про­ блема в настоящее время приобретает все большее значение. При моделировании и прогнозировании распределения работников по затратам времени на дорогу от дома на работу и обратно применя­ ются кривые распределения с правосторонней асимметрией, на­ пример кривые Пирсона.

Анализ бюджетов внерабочего (свободного) времени может быть качественно проведен с помощью методов дисперсионного анализа, которые дают возможность разложить общую вариацию свободного времени на дисперсии за счет отдельных влияющих факторов и их совокупного воздействия и остаточную дисперсию, складывающую­ ся под влиянием случайных факторов. В качестве влияющих факто­ ров могут быть выбраны пол, возраст, размер заработной платы, уровень образования и др.

Широкое поле для применения экономико-математических ме­ тодов и моделей представляют задачи анализа уровня жизни насе­ ления. Так, при моделировании интегрированных характеристик жизненного уровня используются методы корреляционно-регресси­ онного анализа. Моделирование распределения работников по уров­ ню заработной платы и семей по уровню среднедушевого дохода осуществляется на базе ряда асимметрических распределений, в частности на базе логарифмически нормальной модели. В задачах ана­ лиза потребления и спроса используются два основных вида моде­ лей: корреляционные и структурные.

При моделировании социально-демографической структуры по­ требителей применяется математический аппарат, описывающий марковские процессы. Замыкает систему моделей жизненного уровня населения блок дифференцированного баланса доходов и потребле­ ния, представляющий собой совокупность балансовых уравнений, решаемых методами матричной алгебры.

Перечисленные выше методы и модели не исчерпывают всего математического аппарата, используемого при экономико-матема­ тическом моделировании и прогнозировании в задачах экономики и социологии труда. Основные из названных методов и моделей рассматриваются в следующих главах данного учебного пособия.

В о п р о сы д л я сам окон троля 1. В чем заключается системный подход к анализу социальноэкономических систем и процессов?

2. Сформулируйте понятия «модель» и «метод моделирования».

3. Перечислите важнейшие особенности социально-экономичес­ ких систем, которые необходимо учитывать при их экономи­ ко-математическом моделировании.

4. Дайте характеристику этапов экономико-математического мо­ делирования.

5. Назовите основные классификационные рубрики экономико­ математических моделей.

6. Приведите примеры основных показателей экономики и со­ циологии труда и дайте их характеристику как объектов ма­ тематического моделирования.

м о д ел и в экон ом и ке и соц и ологи и тр уда 2.1. Основные понятия оптимального и линейного программирования О сн о вн ы е понятия и определения Оптимальным (математическим) программированием называется раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оп­ В задачах условной оптимизации для некоторой системы требу­ ется найти решение ^ = (*,,*2,..., х„), компоненты ху которого наи­ лучшим (оптимальным) образом соответствуют внутренним и внешним условиям рассматриваемой системы.

Выбор наилучшего решения предполагает наличие некоторого критерия оптимальности, позволяющего оценивать эффективность принятых решений. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении, при этом в качестве критерия оптимальности могут выступать максимум прибыли, минимум себестоимости, минимум трудовых затрат и др. Критерий оптимальности, записанный в виде математической функции /(X), называется целевой функцией (дру­ гие названия: функция цели, функционал).

Требование соответствия принимаемого решения внутренним и внешним условиям системы предполагает выбор решения из неко­ торой области возможных решений Д называемой областью допус­ тимых решений (ОДР), или областью определения задачи. Решение X из области определения называется допустимым решением, или планом. Допустимое решение, для которого выполняется принятый критерий оптимальности (максимум или минимум целевой функ­ ции), называется оптимальным планом, или оптимальным решением.

Стандартная ф орма задачи линейного программирования Реализация на практике принципа оптимальности в планирова­ нии и управлении означает решение экстремальной задачи вида:

Если целевая функция /(X) является линейной функцией пере­ менных Ху (у —\,п), а ограничения, описывающие область опре­ деления О, имеют вид линейных уравнений и (или) неравенств от­ носительно тех же переменных, то задача оптимального програм­ мирования (2.1)— (2.2) называется задачей линейного программи­ В общем виде ЗЛП может быть записана следующим образом:

Легко показать, что любая ЗЛП может быть записана в форме задачи (2.3)—(2.5), называемой стандартной формой ЗЛП. Ограни­ чения (2.4) принято называть функциональными ограничениями, а условия неотрицательности переменных (2.5) — прямыми ограниче­ ниями.

[> Пример 2.1. Рассмотрим в качестве примера задачу экономи­ ки труда, сводящуюся к ЗЛП. Пусть на предприятии есть две кате­ гории рабочих: основные и вспомогательные. Нормы затрат труда (в некоторых единицах измерения трудоемкости) на производство единицы двух видов продукции, наличие трудовых ресурсов на предприятии и цены единиц продукции в некоторых денежных единицах приведены в табл. 2.1.

Категория рабочих Требуется составить план выпуска продукции при имеющихся ограничениях на трудовые ресурсы, обеспечивающий наибольшую общую стоимость выпущенной продукции.

Р е ш е н и е. Пусть х\, Х2 — объемы выпуска продукции каж­ дого вида. Тогда целевая функция задачи имеет вид:

Функциональные ограничения определяются объемами имею­ щихся трудовых ресурсов:

Дополним задачу прямыми ограничениями, вытекающими из условия неотрицательности переменных:

Таким образом, получаем задачу линейного программирования.

Каноническая ф орма задачи линейного программирования Запись ЗЛП в форме соотношений (2.3)—(2.5), как уже отмеча­ лось, называется стандартной формой. Существуют другие формы записи ЗЛП: матричная, векторная, каноническая. Если матричная и векторная формы записи ЗЛП, как правило, используются для компактности записи задачи, то запись ЗЛП в канонической фор­ ме, как будет показано далее, является обязательным первым эта­ пом решения задачи симплексным методом. Каноническая форма записи ЗЛП предполагает выполнение следующих условий:

1) критерием оптимальности является максимум целевой функ­ ции; в случае необходимости переход к задаче на максимум дости­ гается изменением знака целевой функции [/{X ) = -f{X ))\ 2) функциональные ограничения задачи имеют вид равенств с неотрицательными правыми частями. Переход к равенствам осуще­ ствляется через введение в левые части ограничений неотрицатель­ ных дополнительных переменных со знаком (+) в случае неравен­ ства вида < и со знаком (-) в случае неравенства вида >. Дополни­ тельные переменные включаются в целевую функцию с нулевыми коэффициентами;

3) все переменные неотрицательны; если на некоторую пере­ менную Х по экономическому смыслу не наложено условие неот­ рицательности, то делается замена переменных:

В качестве примера запишем в канонической форме задачу ли­ нейного программирования, полученную в примере 2.1, для чего введем две неотрицательные дополнительные переменные *з, х$.

2.2. Графический метод решения задач линейного программирования Сущ ность граф ического м етода решения ЗЛП Графический (геометрический) метод решения ЗЛП основан на ее геометрической интерпретации. Суть этой интерпретации заклю­ чается в том, что система функциональных и прямых ограничений (2.4), (2.5) представляет собой систему линейных неравенств, реше­ ние которой (в случае их непротиворечивости) задает в «-мерном пространстве выпуклый замкнутый или незамкнутый многогранник, а приравнивание целевой функции некоторому произвольному зна­ чению определяет в этом пространстве некоторую гиперплоскость уровня целевой функции. При изменении значения целевой функ­ ции гиперплоскость уровня смещается параллельно самой себе, и очевидно, что целевая функция достигает своего максимума или минимума в угловых точках (вершинах) многогранника ОДР или на множестве точек, являющихся линейными комбинациями этих вершин (ребро, грань). Направление смещения гиперплоскости уровня целевой функции при возрастании ее значения совпадает с направлением вектора-градиента скалярной целевой функции.

Графический метод решения ЗЛП предполагает графическую иллюстрацию (чертеж) решения и, следовательно, этим методом можно решать задачи с двумя (на плоскости) или с тремя (в трех мерном пространстве) переменными. Так как графическая иллюст­ рация в трехмерном пространстве сопряжена с определенными тех­ ническими трудностями, то, как правило, графическим методом решают ЗЛП с двумя переменными. В этом случае ОДР будет иметь вид выпуклого замкнутого или незамкнутого многоугольника, а линия уровня целевой функции — представлять из себя прямую линию.

Этапы решения ЗЛП графическим м етодом Решим задачу, рассмотренную в примере 2.1, графическим ме­ тодом. При этом по мере необходимости будем делать соответст­ вующие обобщающие теоретические замечания и выводы.

Решение. Этап 1. Запишем вместо неравенств системы ограничений уравнения:

и на координатной плоскости х\0х2 изобразим прямые, соответст­ вующие этим уравнениям (рис. 2.1). Например, прямую (1) легко построить по двум точкам: при х\ = 0, jc2 = 100 (точка А) и при х2 = 0, xi = 300 (точка Е).

Э т а п 2. Выберем относительно каждой из построенных пря­ мых полуплоскости, соответствующие знакам неравенств системы ограничений ЗЛП. При этом удобно пользоваться методом кон­ трольной точки. Возьмем в качестве контрольной точку 0(0; 0) и подставим ее координаты в соответствующее неравенство. Если это неравенство выполняется, следует брать полуплоскость, включаю­ щую в себя точку 0\ если неравенство не выполняется — противо­ положную полуплоскость. Выбор нужной полуплоскости удобно отмечать короткими штрихами от соответствующей прямой в сто­ рону выбранной полуплоскости (см. рис. 2.1).

Пересечение выбранных полуплоскостей образует выпуклый многоугольник, являющийся ОДР решаемой задачи. В нашем слу­ чае ОДР имеет вид выпуклого замкнутого многоугольника ОАВС.

При выполнении данного этапа могут иметь место д в а осо­ бых случая:

1) ОДР может иметь вид выпуклого незамкнутого многоуголь­ ника. Так, если бы в рассматриваемой задаче первое и второе нера­ венства были противоположного смысла (знака), то ОДР имела бы вид выпуклого незамкнутого многоугольника X2DBEX\ (см. рис. 2.1);

2) если система ограничений ЗЛП противоречива, то пересече­ ние выбранных полуплоскостей и, следовательно, ОДР будут пус­ тым множеством.

Э т а п 3. Построим одну из линий уровня целевой функции, задав этой функции некоторое произвольное значение Значение f{X ) = a удобно выбирать таким образом, чтобы ли­ ния уровня проходила через найденную ОДР, а значение делилось нацело на коэффициенты целевой функции. В нашей задаче по­ строим, например, линию уровня целевой функции, придав ей зна­ чение 150:

Для наглядности линию уровня целесообразно рисовать пунк­ тиром (см. рис. 2.1: при *i = 0, JC = 50; при х2 = 0, jq = 75).

Э т а п 4. Направление смещения линии уровня параллельно самой себе при возрастании значения целевой функции показывает вектор-градиент целевой функции f{X ) = с,х, + с2х2:

Этот вектор в любой точке перпендикулярен соответствующей линии уровня, и его направление совпадает с направлением пере­ мещения линии уровня при увеличении значения целевой функ­ ции. Если начало вектора grad f(X ) поместить в точку 0(Ф 0)» т его конец будет находиться в точке с координатами (сь с 2). При необходимости для наглядности на чертеже следует изображать век­ тор, пропорциональный вектору-градиенту целевой функции.

В нашей задаче вектор grad f(X ) = {2; 3}. Изобразим на рисунке вектор 50 grad /(X) = {100; 150}.

Э т а п 5. Из чертежа на рис. 2.1 следует, что при возрастании значения целевой функции линия уровня будет перемещаться па­ раллельно самой себе в направлении вектора-градиента целевой функции, и предельное положение линии уровня будет соответст­ вовать прямой, проходящей через точку В. При дальнейшем движе­ нии в том же направлении линия уровня покинет пределы ОДР данной задачи. Заметим, что если бы мы решали задачу на мини­ мум целевой функции, то надо было бы двигаться в направлении, противоположном направлению вектора grad f ( X ), и в нашей зада­ че предельной точкой перемещения линии уровня в сторону мини­ мума была бы точка 0(0; 0). В этой очевидности нахождения пре­ дельных точек перемещения линии уровня целевой функции и за­ ключается суть графического метода решения ЗЛП.

Чтобы найти координаты точки В, необходимо решить систему двух линейных уравнений, соответствующих тем двум прямым, пе­ ресечение которых и дает точку В. В нашем случае решениями сис­ темы уравнений являются jcj = 75, xi = 75, что соответствует положению точки В на чертеже.

Э т а п 6 (заключительный). Максимальное значение целевой функции находим, подставив в ее выражение координаты точки В.

Таким образом, решение ЗЛП имеет следующий вид: шах /(^) = при х\ = 75, * 2 = 75; оптимальный план единственный.

Дадим экономическую интерпретацию рассматриваемой задачи.

Из полученного решения следует, что предприятие будет иметь наибольшую стоимость продукции в размере 375 ден. ед. при вы­ пуске каждой продукции по 75 единиц.

О со б ы е случаи в решении ЗЛП Анализ этапов решения рассматриваемой задачи графическим методом позволяет сделать вывод о т р е х особых случаях, кото­ рые могут встретиться при решении ЗЛП данным методом:

1) ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функ­ ции. Данный случай может иметь место, когда ОДР представляет собой выпуклый незамкнутый многоугольник, при этом незамкнутость направлена в ту сторону, куда перемешается линия уровня.

Так, если бы в рассматриваемой задаче ОДР имела вид незамкнутого многоугольника х2ОВЕх\ (см. рис. 2.1), то ЗЛП не имела бы решения ввиду неограниченности целевой функции сверху (шах/(Аг) = +сс);

2) ЗЛП имеет неединственное решение (бесчисленное множество решений). Данный случай встречается, когда линия уровня парал­ лельна стороне многоугольника ОДР, к которой она приближается в соответствии с критерием оптимальности. Параллельность может быть установлена по пропорциональности коэффициентов при пе­ ременных в целевой функции и в уравнении соответствующей пря­ мой. В этом случае соответствующий оптимум достигается одно­ временно во всех точках данной стороны ОДР (отрезка, луча). Так, если бы в рассматриваемой выше задаче был установлен факт па­ раллельности линии уровня и отрезка ВС, задача имела бы неедин­ ственное решение, а соответствующий максимум целевой функции достигался бы во всех точках данного отрезка (ответ можно было бы записать следующим образом: шах / ( Х ) = 375 при х\ = 150 - х2, где х2 е [0; 75]);

3) ЗЛП не имеет решения ввиду противоречивости системы огра­ ничений. Данный случай будет иметь место, когда при выполнении этапа 2 графического метода полуплоскости, соответствующие не­ равенствам системы ограничений, не имеют общих точек и, следо­ вательно, ОДР является пустым множеством.

2.3. Симплексный метод решения задач линейного программирования Сущ ность сим плексн ого м етода решения ЗЛП Симплексный метод (симплекс-метод) является универсальным методом решения задач линейного программирования. Свое назва­ ние данный метод берет от слова «симплекс», означающего про­ стейшие многоугольники (многогранники); «-мерные симплексы рассматривал американский ученый Дж. Данциг при разработке им в 1950-е гг. данного метода решения ЗЛП.

Суть симплексного метода заключается в том, чтобы найдя ка­ ким-либо способом начальное допустимое базисное решение (ка­ кую-либо из вершин многогранника ОДР), переходить к следую­ щему, более оптимальному базисному решению (следующей вер­ шине ОДР), проверяя на каждом шаге выполнение критерия опти­ мальности. В линейном программировании доказано, что если оп­ тимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов (итераций) за исключением возможно­ го для случая так называемой вырожденной задачи явления зацикли­ вания (многократного возврата к одному и тому же базисному ре­ шению). Нахождение начального допустимого базисного решения (начального опорного решения) и переход к следующему опорному решению проводятся на основе метода Жордана—Гаусса для систе­ мы линейных уравнений канонической формы ЗЛП.

Этапы и алгоритм ы сим плексного м етода решения ЗЛП Рассмотрим этапы и алгоритмы симплексного метода на кон­ кретном примере, при этом, как и в случае графического метода, в процессе решения задачи будем делать необходимые теоретические пояснения и выводы.

\ Пример 2.3. Решить симплекс-методом следующую ЗЛП:

Р е ш е н и е. Легко заметить, что это та же задача оптимально­ го использования трудовых ресурсов, которая рассмотрена в приме­ ре 2.1 и решена графическим методом в примере 2.2.

Э т а п 1. Приведем исходную ЗЛП к каноническому виду. Од­ ним из основных требований к канонической форме ЗЛП является запись функциональных ограничений задачи в виде системы ли­ нейных уравнений с неотрицательными правыми частями. Это тре­ бование вытекает из метода Жордана—Гаусса определения базисно­ го решения системы линейных уравнений. Условие неотрицатель­ ности правых частей необходимо для того, чтобы базисное решение было допустимым (опорным).

Каноническая форма данной задачи получается путем введения двух дополнительных неотрицательных переменных (см. в § 2.1):

Э т а п 2. Запишем расширенную матрицу системы уравнений канонической формы ЗЛП:

В составе этой матрицы есть единичная матрица (ее образуют третий и четвертый столбцы), поэтому, как это следует из метода Жордана—Гаусса, очевидно начальное опорное базисное решение.

Переменные, соответствующие столбцам (векторам) единичной матрицы, называются базисными (основными), остальные перемен­ ные — свободными (неосновными). Задавая свободным переменным нулевые значения, получим базисное решение.

В нашей задаче переменные х3, х4 — базисные; переменные х\, х2 — свободные. Полагая Х = х2 = 0, получаем значения базисных переменных: д3 = 300; х4 = 150. Таким образом, получен начальный опорный план: (0; 0; 300; 150).

Э т а п 3. Составим начальную (нулевую) симплексную табли­ цу и применим алгоритмы симплекс-метода. Количество граф дан­ ной таблицы определяется прибавлением к числу переменных ка­ нонической формы ЗЛП числа 5. Таким образом, в нашей задаче этих граф будет девять. Симплексные таблицы имеют одну и ту же структуру и следуют непосредственно одна за другой. Для нашей задачи они представлены в табл. 2.2.

> Пример 2.6. Сформулируем двойственную задачу по отноше­ нию к ЗЛП, рассмотренной в примере 2.4.

Пусть У\, У2 — двойственные оценки двух питательных веществ, содержащихся в приобретаемых продуктах питания, соответственно.

Тогда двойственная задача будет выглядеть следующим образом:

Т ео р е м ы д во й ствен н о сти Основные утверждения и выводы относительно двух взаимно двойственных задач линейного программирования содержатся в трех теоремах двойственности.

Первая теорема двойственности. Для двух взаимно двойствен­ ных ЗЛП имеет место один из взаимоисключающих случаев:

1) если одна из задач имеет оптимальное решение, то другая за­ дача также имеет оптимальное решение, при этом значения целе­ вых функций обеих задач в точках оптимума численно равны;

2) если область определения одной из задач есть непустое мно­ жество, а ее целевая функция не ограничена, то область определе­ ния другой задачи есть пустое множество;

3) области определения обеих задач есть пустые множества.* Вторая теорема двойственности. Пусть векторы X = (*,,х2, х „ ) и У = ( у х, у 2, ; У П1) — допустимые решения исходной и двойствен­ ной задач соответственно. Для того чтобы эти векторы были опти­ мальными решениями соответствующих задач, необходимо и доста­ точно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Дадим краткие пояснения. Данная теорема называется также теоремой о дополняющей нежесткости и связывает между собой пе­ ременные исходной и функциональные ограничения двойственной задачи (см. неравенства (2.12)), и наоборот (см. неравенства (2.4)).

Условия (2.14) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимно двойственных ЗЛП, найти оптимальное решение другой задачи. Поэтому для решения некоторой ЗЛП можно вначале ре­ шить двойственную задачу, а затем определить решение исходной задачи. На этом основан так называемый двойственный симплексметод.

Третья теорема двойственности (теорема об оценках). Значения переменных двойственной задачи в оптимальном плане представ­ ляют собой оценки влияния правых частей системы функциональ­ ных ограничений исходной задачи на величину целевой функции исходной задачи:

относительно этой теоремы необходимо отметить следующее.

Учитывая линейный характер функции / { X ), соотношение (2.15) можно упрощенно записать в виде:

где А — конечное приращение величины.

Равенство (2.16) справедливо, если величина ДЬ1 является отно­ сительно небольшой. Точные нижняя ( АЬ,-_)) и верхняя (Д6,-+)) гра­ ницы изменения величины Дб„ в пределах которых справедливо равенство (2.16), устанавливаются методами теории устойчивости оптимальных решений линейного программирования (подробнее об этом см. главу 3 учебного пособия [15]).

С во й ства д в о й ств е н н ы х оценок Из теорем двойственности вытекают следующие свойства двой­ ственных оценок.

Свойство 1. Оценки служат мерой дефицитности факторов производства (ресурсов).

Это свойство следует из второй теоремы двойственности: дефи­ цитный ресурс получает положительную оценку, оценка недефи­ цитного ресурса равна нулю; чем острее дефицитность ресурса, тем выше его оценка.

Свойство 2. Оценки служат мерой влияния правых частей ог­ раничений исходной задачи на ее целевую функцию.* Это свойство следует из теоремы об оценках: изменение на еди­ ницу правой части ограничения (объема ресурса) приведет к изме­ нению значения целевой функции на величину двойственной оцен­ ки соответствующего ресурса.

Свойство 3. Оценки служат инструментом определения эф­ фективности отдельных вариантов решения.

Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности, при этом в задаче на оптимальность использования ресурсов эффектовность означает выгодность или невыгодность выпуска данного вида продукции. Показателем эффективности выпуска у-й продукции служит величина Первое слагаемое правой части выражения (2.17) экономически интерпретируется как затраты, которые путем вычитания сравнивают­ ся с ценой. При Д < 0 делается вывод о целесообразности выпуска продукции, при Ду > 0 данную продукцию выпускать нецелесообразно.

Свойство 4. Оценки служат инструментом балансирования суммарных затрат и результатов экономической системы (напри­ мер, предприятия).

Данное свойство следует из первой теоремы двойственности, в которой устанавливается связь целевых функций взаимно двойст­ венных задач; в конкретных задачах условие равновесия затрат и результатов в точке оптимума может иметь различное экономиче­ ское содержание.

Применение теор ем д во й ствен н о сти и с в о й с т в решений в за д а ч а х экономики труда Рассмотрим применение теорем двойственности и свойств двойственных оценок для анализа оптимальных решений на кон­ кретном примере.

> Пример 2.7. Предприятие выпускает два вида продукции, ис­ пользуя три типа трудовых ресурсов (по профессиям). Исходные данные (в условных величинах) об объемах трудовых ресурсов, нормах трудоемкости и ценах единиц продукции представлены в табл. 2.5.

Экономико-математическая модель задачи на максимум стои­ мости выпущенной продукции имеет вид:

У ^ °Проанализируем использование ресурсов труда для рассматри­ ваемого плана выпуска продукции:

• по ресурсу «токари»:

• по ресурсу «слесари»:

• по ресурсу «фрезеровщики»:

Сопоставление этих величин с имеющимся наличием трудовых ресурсов по профессиям показывает, что ресурсы труда токарей и фрезеровщиков расходуются полностью, а ресурс труда слесарей остается в избытке в количестве 200 трудовых единиц.

Воспользуемся соотношениями второй теоремы двойственности (2.14). Рассмотрим первые соотношения (их два по видам продук­ ции). В рассматриваемом плане Х\ = 200, следовательно, первое ог­ раничение двойственной задачи обращается в равенство:

Аналогично, так как * 2 = 400, второе ограничение двойственной задачи обращается в равенство:

Заметим, что если в оптимальном плане некоторое х = 0, то про соответствующее ограничение двойственной задачи аналогич­ ного вывода сделать нельзя.

Рассмотрим вторые соотношения (их три по количеству типов трудовых ресурсов). Так как второй ресурс «слесари» имеется в из­ бытке (1200 - 1400 = -200), то двойственная оценка данного ресур­ са равна нулю:

Решив систему уравнений (1)—(3), получим значения двойст­ венных оценок: у\ = 40/3; у2 = 0; = 20/3. Вычислим соответст­ вующее значение целевой функции двойственной задачи:

Заметим, что значения целевой функции исходной и двойст­ венной задач численно равны. Это в соответствии с первой теоре­ мой двойственности подтверждает оптимальность полученного плана.

Полученные значения объективно обусловленных оценок по­ зволяют судить об относительной ценности имеющихся ресурсов труда. Ресурсы «токари» и «фрезеровщики» являются дефицитными, причем более острая дефицитность наблюдается по ресурсу «токари».

В целях повышения стоимости продукции предприятию в сложив­ шихся условиях нужно увеличить количество токарей и фрезеровщи­ ков, при этом наиболее выгодным будет увеличение числа токарей.

Вместе с тем ресурс труда слесарей является недефицитным, его увеличение не приведет к возрастанию стоимости продукции. Следу­ ет заметить, что в данном случае речь идет о некоторой мере, имею­ щей экономическую природу, которая характеризует относительную ценность трудовых ресурсов разных типов только в данной конкрет­ ной ситуации относительно полученного оптимального решения.

Проанализируем так называемую «чувствительность решения» к изменению объемов трудовых ресурсов. Предположим, что запас ресурсов «токари» увеличился на 120 трудовых единиц и составил 2000 + 120 = 2120. Определим, как это повлияет на максимум стоимости выпускаемой продукции. Из третьей теоремы двойствен­ ности (теоремы об оценках) следует, что А/(Х) = АЬ,у,. В нашем случае А = 120; у\ = 40/3. Однако встает вопрос: останется ли не­ изменной двойственная оценка данного ресурса при указанном из­ менении его объема? Ответ на этот вопрос, как отмечалось ранее, дает теория устойчивости оптимальных решений линейного про­ граммирования, которая для каждого типа ресурсов определяет ин­ тервалы устойчивости (неизменности) их двойственных оценок (см., например, § 3.1 учебного пособия [15]). В наших условиях нижняя граница Д 1 интервала устойчивости для ресурса «токари»

равна 600, а верхняя граница Д ) равна 1200. Следовательно, рас­ сматриваемое изменение объема ресурса труда токарей находится в пределах устойчивости оптимального решения (в пределах устойчи­ вости двойственных оценок), поэтому справедливы расчеты:

Таким образом, максимум стоимости выпущенной продукции увеличится на 1600 и составит 33 600 ден. ед. Структурных измене­ ний в производственной программе не произойдет, однако объемы выпуска продукции каждого вида изменятся.

Новый оптимальный план выпуска можно найти, используя те же соотношения (2.14) второй теоремы двойственности, которые дают следующую систему уравнений (у\ > 0;.уз > 0):

Решив эту систему, получим: Х = 180; х2 = 440. Стоимость про­ дукции для данного плана составит что совпадает с выводом, сделанным на основе теоремы об оценках.

Вы воды Обобщая результаты, полученные на основе положений теории двойственности линейного программирования и проиллюстриро­ ванные на конкретном примере, можно сделать ряд выводов, выте­ кающих из анализа оптимального плана в применении к оценкам трудовых ресурсов.

Трудовые ресурсы по своей природе качественно неоднородны, и в модели оптимального планирования они включаются диффе­ ренцированно в рамках принятой их классификации: по категории работающих (рабочие, инженерно-технические работники, служа­ щие и др.); по профессиям (токари, слесари и др.); по уровню ква­ лификации (разрядам) и т.д. В оптимальном плане каждая группа трудовых ресурсов получает свою двойственную оценку, величина которой определяется производительной силой данного вида труда и степенью его дефицитности в системе всех производственных ре­ сурсов решаемой оптимизационной задачи. Например, если имеет место недостаток в рабочих той или иной профессии, го оценка ресурсов их рабочего времени будет высокой. Как правило, это от­ носится к профессиям, требующим длительной специальной подго­ товки. В то же время ресурсы неквалифицированного труда полу­ чают сравнительно низкую оценку.

Чем сложнее труд, тем выше в большинстве случаев его резуль­ таты, но и тем труднее подготовить необходимое количество работ­ ников. Вследствие этого двойственные оценки трудовых ресурсов образуют в общем случае убывающую последовательность от слож­ ного труда к простому. Кроме того, анализ оценок необходим при приведении сложного труда к простому или при приведении всех видов труда к некоторому «среднему» виду, принятому за единый измеритель трудовых затрат (так называемая редукция труда). На основании оценок можно также установить нормы относительной заменяемости трудовых ресурсов, при применении которых опти­ мальный план может измениться, но его эффект (например, сумма прибыли) останется на том же уровне. Если оценки различаются, например, в два раза, то соответствующие замены трудовых ресур­ сов могут производиться в отношении 1 : 2.

Отмеченная выше общая закономерность не исключает того, что по некоторым видам высококвалифицированного труда оценки могут оказаться очень низкими, вплоть до нуля. Это будет свиде­ тельствовать о том, что допущены просчеты в планировании подго­ товки кадров, когда выпуск работников по отдельным профессиям или специальностям непропорционально велик или даже превыша­ ет потребность.

Если по некоторым видам трудовых ресурсов двойственная оценка сравнительно велика, то это указывает на необходимость ускоренной подготовки соответствующих кадров, при этом даже значительные затраты на обучение могут оказаться оправданными.

Наконец, двойственные оценки трудовых ресурсов в задачах оп­ тимального планирования позволяют оценить целесообразность различных мероприятий по экономике труда (автоматизация, элек­ трификация и т.д.). Для этого необходимо сравнить по оценкам затраты на проведение мероприятий с объемами высвобождаемых трудовых ресурсов.

Широкий класс задач экономики и социологии труда сводится при их экономико-математическом моделировании к линейным и нелинейным оптимизационным моделям. Рамки данного учебного пособия не позволяют детально остановиться на всех таких задачах;

практически за этими рамками остаются задачи нелинейного, цело­ численного, динамического программирования, задачи многокрите­ риальной оптимизации и имитационного моделирования и др. (не­ которые из этих задач отражены в учебных изданиях [6], [7], [И], [15]). Поэтому рассмотрим лишь некоторые типовые оптимизаци­ онные задачи экономики труда.

Транспортная зад ач а Транспортная задача непосредственно не относится к оптими­ зационным задачам экономики и социологии труда. Однако целый ряд задач из этой области или являются модификациями транс­ портной задачи, или могут быть сведены к транспортной задаче путем определенных преобразований (к таким задачам относятся, например, рассмотренные ниже задача о назначениях и задача оп­ тимизации использования фонда рабочего времени). Поэтому крат­ ко рассмотрим постановку и модель транспортной задачи и методы ее решения.

Транспортная задача ставится следующим образом.

Есть т пунктов хранения (производства) однородного продукта, на каждом из которых имеется а, единиц продукта (/=1,т). Эти пункты будем называть поставщиками, а величину я,- — мощностью поставщика.

Имеется п пунктов потребления продукта, каждому из которых требуется у единиц продукта (у = 1,и). Назовем эти пункты потре­ бителями, а величину — мощностью потребителя.

Известны также расходы на перевозку единицы продукта от /-го поставщика у-му потребителю, которые будем обозначать как С у.

Таким образом, известна матрица транспортных расходов С = (с,у) размерности т х п.

Требуется составить план перевозок продукта, обеспечивающий минимум общей величины расходов на перевозки.

Будем рассматривать случай, когда выполняется условие баланса:

При выполнении данного условия транспортная задача называ­ ется закрытой. Сформулируем экономико-математическую модель закрытой транспортной задачи.

Пусть Ху — объем перевозок от /-го поставщика у-му потребите­ лю. Тогда целевая функция задачи будет иметь вид:

а ограничения будут выглядеть следующим образом:

Условия (2.20) определяют полный вывоз продукта от всех по­ ставщиков, а условия (2.21) означают полное удовлетворение мощ­ ностей всех потребителей.

Транспортная задача (2.19)—(2.22) является задачей линейного программирования и может быть решена симплексным методом.

Однако благодаря особенностям системы ограничений разрабо­ таны специальные, менее громоздкие методы ее решения. Наиболее применяемым является метод потенциалов, при котором каждой /'-й строке (/'-му поставщику) устанавливается в соответствие потенциал м„ который можно интерпретировать как цену продукта в пункте поставщика, а каждому столбцу у (/'-му потребителю) — соответст­ вующий потенциал у который можно условно принять за цену продукта в пункте потребителя. В простейшем случае цена продукта в пункте потребителя равна его цене в пункте поставщика плюс транспортные расходы на его доставку, т.е.

Алгоритмы метода потенциалов для закрытой транспортной за­ дачи детально описаны в ряде учебных пособий (см., например, [15]).

Первым этапом этого алгоритма является составление начально­ го распределения (начального плана перевозок). Реализация на­ чального этапа может быть проведена с использованием ряда мето­ дов: северо-западного угла, наименьших стоимостей, аппроксима­ ций Фогеля и др.

В т о р о й э т а п сводится к построению системы потенциа­ лов на основе равенства (2.23) и проверке начального плана на оп­ тимальность. В случае его неоптимальности переходят к третьему этапу, содержание которого заключается в реализации так называе­ мых циклов перераспределения (корректировка плана прикрепления потребителей к поставщикам), после чего переходят опять ко вто­ рому этапу. Совокупность процедур третьего и второго этапов обра­ зует одну итерацию; эти итерации повторяются, пока план перево­ зок не окажется оптимальным по критерию (2.19).

Если баланс (2.18) не выполняется, то ограничения (2.20) или (2.21) имеют вид неравенств типа «меньше или равно»; транспорт­ ная задача в таком случае называется открытой. Для решения от­ крытой транспортной задачи методом потенциалов ее сводят к за­ крытой задаче путем ввода фиктивного поставщика, если в нера­ венства превращаются ограничения (2.21), или фиктивного потре­ бителя, если в неравенства превращаются ограничения (2.20).

Следует отметить, что при условии выполнения баланса (2.18) ранг системы линейных уравнений (2.20), (2.21) равен т + п - 1.

Таким образом, из общего числа неизвестных т + п базисных неиз­ вестных будет т + п - 1. Вследствие этого при любом допустимом базисном распределении в матрице перевозок (таблице поставок), представленной, например, в приведенной ниже табл. 2.6, будет занято ровно т + п - 1 клеток, которые назовем базисными в отли­ чие от остальных, свободных, клеток; занятые клетки отмечаются диагональной чертой.

Чтобы оценить оптимальность распределения, для всех клеток (/; У матрицы перевозок определяются их оценки, которые обозна­ чим через А по формуле:

Используя принятую ранее интерпретацию, выражение (и, + с,у) можно трактовать как сумму цены продукта у поставщика и стои­ мости перевозки; эта сумма путем вычитания сравнивается с ценой продукта у соответствующего потребителя V Очевидно, оценки заполненных клеток равны нулю (цена потребителя покрывает цену поставщика и стоимость перевозок). Таким образом, об оптималь­ ности распределения можно судить по величинам оценок свобод­ ных клеток. Если оценка некоторой свободной клетки отрицатель­ на, то это можно интерпретировать следующим образом: цена, предлагаемая соответствующим потребителем, больше суммы цены поставщика и стоимости перевозки, т.е. если бы эта клетка была занята, то можно было бы получить дополнительный экономиче­ ский эффект. Следовательно, условием оптимальности распределения служит условие неотрицательности оценок свободных клеток матри­ цы перевозок.

Чтобы улучшить неоптимальный план перевозок, выбирается клетка матрицы перевозок с отрицательной оценкой. Если таких клеток несколько, то обычно (но необязательно) выбирается клетка с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой.

Например, для распределения, представленного в табл. 2.6, такой клеткой может служить клетка (3; 2).

Для выбранной клетки строится замкнутая линия (контур), на­ чальная вершина которой лежит в выбранной клетке, а все осталь­ ные вершины находятся в занятых клетках; при этом направления отдельных отрезков контура могут быть только горизонтальными и вертикальными. Вершиной контура, кроме первой, является заня­ тая клетка, где отрезки контура образуют один прямой угол (нельзя рассматривать как вершины клетки, в которых горизонтальные и вертикальные отрезки контура пересекаются). Очевидно, число от­ резков контура, как и его вершин, будет четным. В вершинах кон­ тура расставляются поочередно знаки «+» и «-», начиная со знака «+» в выбранной свободной клетке. Вид контура может быть самым разнообразным (см., например, контур, представленный в табл. 2.6).

Величина перераспределяемой поставки определяется как наи­ меньшая из величин поставок в вершинах контура со знаком «-».

На эту величину увеличиваются поставки в вершинах со знаком «+» и уменьшаются поставки в вершинах со знаком «-». Это прави­ ло гарантирует, что в вершинах контура не появится отрицательных поставок, начальная выбранная клетка окажется занятой, в то вре­ мя как одна из занятых клеток при этом обязательно освободится.

Если величина перераспределяемой поставки равна поставкам не в одной, а в нескольких вершинах контура со знаком «-», то освобо­ ждается только одна клетка, обычно с наибольшей стоимостью пе­ ревозки, а все другие такие клетки остаются занятыми с нулевой поставкой.

> Пример 2.8. Решим методом потенциалов закрытую транс­ портную задачу, заданную в табл. 2.6, в которую уже внесено неко­ торое допустимое базисное распределение. Суммарные транспорт­ ные расходы при этом плане перевозок составляют:

Потенциалы по формуле (2.23) находим следующим образом:

задавая, например, и = 0, находим по клетке (1; 1) = 3, по клетке (1; 2) находим у2 = 2, а по клетке (1; 4) у4 = 1; затем по клетке (2; 1) находим и2 = 1 и по клетке (2; 3) у3 = 2; наконец, по клетке (3; 3) находим из = -2.

Матрица оценок клеток для этого плана рассчитывается по формуле (2.24):

Наличие отрицательных оценок свидетельствует о том, что план неоптимален. Построим контур перераспределения, например, для клетки (3; 2). В табл. 2.6 он показан пунктиром, а его вершинам присвоены соответствующие знаки.

Наименьшая поставка в вершине контура со знаком «-» равна 20, поэтому проведем перераспределение поставок, уменьшив по­ ставки в клетках со знаком «-» на 20 и увеличив поставки в клетках со знаком «+» также на 20. При этом клетка (3; 2) заполняется, а клетка (3; 3) освобождается. Новый план представлен в табл. 2.7.

Соответствующие значения потенциалов показаны в последних столбце и строке.

поставщиков Матрица оценок клеток этого распределения не содержит отри­ цательных значений:

следовательно, данный план перевозок является оптимальным.

Стоимость перевозок по этому плану Наличие нулевой оценки незанятой клетки (3; 1) свидетельству­ ет о том, что оптимальный план не является единственным. Можно отметить также, что применяя для начального распределения в этой транспортной задаче метод наименьших стоимостей (см., например, § 3.2 [15]), мы сразу же получили бы оптимальное распределение, представленное в табл. 2.7.

З ад ач а о назначениях Рассматриваемая задача является типовой задачей экономики труда, так как с ее помощью можно получить ответы на следующие вопросы: «Как распределить рабочих по станкам, чтобы общая вы­ работка была наибольшей или затраты на заработную плату наи­ меньшими?», «Как наилучшим образом распределить экипажи са­ молетов по маршрутам?», «Как назначить людей на различные должности?» (отсюда и название задачи) и т.д.

В общем виде закрытую задачу о назначениях можно сформу­ лировать следующим образом. Пусть имеется п работ и п работни­ ков — кандидатов для их выполнения. Каждому назначению /-го работника (/ = 1, п ) на у-ю работу ( у = 1, п ) соответствует или опреде­ ленная количественная эффективность (прибыль, производитель­ ность, качество работ), или затраты какого-либо ресурса (например, время выполнения работ); обозначим эти величины как Су. Требует­ ся найти такие назначения работников на все работы, которые обеспечат наибольшую эффективность (или максимум суммарного положительного эффекта, или минимум суммарных затрат). При таком назначении необходимо учитывать, что каждого работника можно назначить только на одну из работ и каждая работа может выполняться только одним работником.

Сформулируем экономико-математическую модель задачи о на­ значениях. В качестве переменных этой задачи введем величины Ху таким образом, что:

Математическая модель задачи имеет вид:

В такой постановке данная задача относится к классу комбина­ торных. Количество возможных вариантов назначений равно «!, и решение задачи путем прямого перебора невозможно при достаточ­ но больших значениях п. Для нахождения оптимального варианта применяют специальные комбинаторные алгоритмы, в частности, при решении задачи вручную эффективен так называемый венгер­ ский метод.

Как задача линейного программирования, задача о назначениях относится к классу задач дискретного программирования, в которых переменные могут принимать лишь одно из двух значений: 0 или (так называемое булево линейное программирование). Если целевая функция (2.25) будет стремиться к минимуму, то задачу (2.25)—(2.28) можно рассматривать как частный случай транспортной задачи, когда каждого работника можно рассматривать как поставщика с мощностью 1, а каждую работу — как потребителя с той же мощно­ стью. При таком подходе задачу о назначениях можно решать с по­ мощью алгоритмов решения закрытой транспортной задачи.

Если количества работников и работ не совпадают, то задача о назначениях является открытой. В экономико-математической мо­ дели открытой задачи о назначениях либо ограничения (2.26), либо ограничения (2.27) имеют вид неравенств типа «меньше или рав­ но», в связи с чем такую задачу можно решать теми же методами, что и открытую транспортную задачу.

З адач а о д и ете Задачей о диете называется задача линейного программирова­ ния, состоящая в определении такого рациона (набора продуктов питания), который удовлетворял бы потребности человека (напри­ мер, при питании работников некоторого предприятия) в необхо­ димых питательных веществах при минимальной общей стоимости приобретаемых продуктов питания. Эта задача является частным случаем более общей задачи об оптимальном составе смеси.

В общем виде задача о диете формулируется следующим обра­ зом. Пусть хI — количество продукта питания у-го вида; С — цена единицы продукта у-го вида; п — количество видов продуктов пита­ ния (у = 1,и). Известны нормы потребления (не менее) каждого из т типов питательных веществ, которые обозначены 6,- (г = \,т), и содержание питательных веществ каждого типа в единице продукта каждого вида, которое обозначается величиной ау. Требуется опре­ делить количества продуктов питания каждого вида, обеслечивающих нормы потребления всех питательных веществ и имеющих наименьшую общую стоимость. Экономико-математическая модель данной задачи имеет вид:

Пример задачи о диете и ее решение симплекс -методом приведены в § 2.3 (см. пример 2.4).

З ад ач а оптимизации и сп о л ь зо ван и я ф онда рабочего времени В общем виде задачу оптимального использования фонда рабо­ чего времени можно сформулировать следующим образом.

Имеется т предприятий (например, филиалов фирмы или предприятий отрасли), которые могут производить п видов продук­ ции. Известны:

1) а, — фонд рабочего времени (например, в человеко-сменах) каждого /-го предприятия (/ = 1 т );

2) — общая величина потребности (сумма заказов) в продук­ ции У-го вида ( у = 1 п );

3) а у — мощность, или количество продукции у-го вида, выраба[тываемой в единицу рабочего времени (в смену) на /'-м предприятии;

4) Су — себестоимость производства единицы у-й продукции на /-м предприятии.

Требуется составить такой план распределения заказов на вы пуск продукции всех видов по всем предприятиям, при котором при полном использовании фонда рабочего времени предприятий суммарные затраты на изготовление продукции в заданной номенк­ латуре будут наименьшими.

Пусть Ху — планируемый объем у-й продукции на /-м предпри­ ятии; совокупность этих величин обозначим X. Тогда целевая функция рассматриваемой задачи имеет вид:

Функциональные и прямые ограничения выглядят следующим образом:

Если снять условие полного использования фонда рабочего вре­ мени предприятий, то ограничения (2.33) примут вид неравенств:

а если условие строгого выполнения плана в заданной номенклату­ ре заменить требованием «не менее», то условия (2.34) заменяются неравенствами Очевидно, что задачу (2.32)—(2.35) можно решить как задачу линейного программирования симплексным методом. Однако если привести посредством определенных приемов коэффициенты ау к единице (это возможно при условии пропорциональности трудоем­ кости производства единицы продукции различных видов по всем предприятиям), то данная модель не будет отличаться от модели транспортной задачи и ее можно решить, например, методом по­ тенциалов.

З ад ач а оптимизации численности п ер сон ала Задача оптимизации численности персонала особенно актуальна для предприятий со значительными колебаниями (например, се­ зонными) объемов производства, что приводит к существенным изменениям в потребности в рабочей силе.

Задача ставится следующим образом. Известны объемы произ­ водства в каждый из п месяцев (например, п = 12) и, следователь­ но, известно требуемое конкретное число работников в каждый ме­ сяц; обозначим требуемое (идеальное) число работников в у'-м ме­ сяце mj ( j = \,n). Пусть X — оптимальное число работников в у'-й месяц. Величины х) равнялись бы величинам т у, если бы не сущест­ вовало затрат по найму или увольнению работников при переходе от (/'- 1)-го месяца к у-му, которые выражаются некоторой функци­ ей/^(дсу- х у_,). Очевидно, что эта функция определяет затраты по найму работников при ху> л _1 и затраты на их увольнение при ду< х^\.

Отклонение числа работников хуот идеального числа ту также при­ водит к затратам, которые выразим в виде функции gj(Xj - ту). Если хI > ту, то это затраты на содержание неработающих работников, а если Х < ту — затраты на сверхурочные работы. Виды функций и gj могут быть установлены на каждом конкретном предприятии.

Экономико-математическая модель рассматриваемой задачи может быть записана следующим образом:

Условие (2.37) означает, что ху — это целые неотрицательные числа. Таким образом, данная задача может служить примером за­ дачи целочисленного программирования.

В выражении целевой функции (2.36) величина хо = то. В каче­ стве то при п = 12 может быть взято, например, число т\2 для предшествующего года.

В о п р о сы д л я сам окон троля 1. Раскройте содержание научной дисциплины «Оптимальное программирование».

2. В чем суть понятия «критерий оптимальности»? Приведите примеры критериев оптимальности в задачах экономики труда.

3. Что такое «линейное программирование»? Поясните смысл основных понятий линейного программирования: «область определения», «целевая функция», «допустимое решение», «оптимальное решение».

4. Раскройте суть графического метода решения ЗЛП и назовите основные этапы решения задач данным методом.

5. Перечислите особые случаи решения ЗЛП и поясните, как эти случаи проявляются в графическом методе решения.

6. В чем суть симплекс-метода? На каких свойствах задач ли­ нейного программирования он основан?

7. Поясните последовательность этапов практической реализа­ ции алгоритмов симплексного метода.

8. В каких случаях возникает необходимость в использовании симплекс-метода с искусственным базисом? В чем суть этой модификации симплекс-метода?

9. Как проявляются особые случаи решения ЗЛП в симплекс­ 10. Сформулируйте пять правил построения двойственной ЗЛП, если исходная задача записана в стандартной форме.

11. Дайте формулировку трех теорем двойственности.

12. Перечислите четыре свойства двойственных оценок.

13. Каким образом величины двойственных оценок трудовых ре­ сурсов характеризуют сложность и степень того или иного вида труда?

14. Чем отличаются между собой экономико-математические мо­ дели закрытой и открытой транспортных задач? Какие мето­ ды решения транспортных задач вам известны?

15. Приведите примеры оптимизационных задач экономики и социологии труда и сформулируйте экономико-математические модели этих задач.

Глава М атем ати чески е и экон ом етр и ч ески е 3.1. Методы экономико-математического анализа и прогнозирования трудовых показателей на основе временных рядов О сн о вн ы е понятия и оп ределен и я Динамические процессы, протекающие в экономических систе­ мах, в том числе в сфере экономики и социологии труда, чаще все­ го проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хро­ нологическом порядке значений того или иного показателя, кото­ рый в своих изменениях отражает ход развития изучаемого эконо­ мического явления. Они служат также основой для разработки при­ кладных моделей особого вида, называемых трендовыми моделями.

Прежде всего, дадим ряд определений.

Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики.

Если в качестве признака, в соответствии с которым проводится упорядочение^ берется время, то такой динамический ряд называ­ ется временным рядом.

Так как в экономических процессах, как правило, упорядочение происходит в соответствии со временем, то при изучении последо­ вательных наблюдений экономических показателей все три приве­ денных выше термина используются как равнозначные. Составны­ ми элементами рядов динамики являются, таким образом, число­ вые значения показателя, называемые уровнями рядов, и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.

Временные ряды, образованные показателями, которые харак­ теризуют экономическое явление на определенные моменты време­ ни, называются моментными. Пример моментного ряда представлен в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Списочная численность рабочих предприятия Если уровни временного ряда образуются путем агрегирования за определенный промежуток (интервал) времени, то такие ряды называются интервальными временными рядами (пример интер­ вального ряда приведен в табл. 3.2).

Таблица 3.2. Фонд заработной платы рабочих предприятия Ф о н д зар або тн ой платы Временные ряды могут быть образованы как из абсолютных значений экономических показателей, так и из средних или отно­ сительных величин — это производные ряды. Пример производного ряда представлен в табл. 3.3.

Таблица 3.3. Среднемесячная заработная плата рабочих предприятия С р едняя заработная пла­ Под длиной временного ряда понимают время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного. Таким образом, длина всех приведенных выше временных рядов равна четырем ме­ сяцам. Часто длиной ряда называют количество уровней, входящих во временной ряд. Длина ряда в табл. 3.1 равна пяти, а в табл. 3.2 и 3.3 — четырем.

Структура вр ем ен ного эконом ического ряда Если во временном ряду проявляется длительная («вековая») тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендом понимается изме­ нение, определяющее общее направление развития, основную тен­ денцию временных рядов.

В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отра­ жается через тренд ее основных показателей, называется трендо­ Для выявления тренда во временных рядах, а также построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероят­ ностей и математической статистики, разработанный для простых статистических совокупностей. Отличие временных экономических рядов от простых статистических совокупностей заключается преж­ де всего в том, что последовательные значения уровней временного ряда зависят друг от друга. Поэтому применение выводов и формул теории вероятностей и математической статистики требует извест­ ной осторожности при анализе временных рядов, особенно при экономической интерпретации результатов анализа.

Предположим, имеется временной ряд, состоящий из п уровней:

лей можно разложить на ч е т ы р е структурообразующих эле­ мента:

1) тренд, составляющие которого будем обозначать / /= 1,2,..., п;

2) сезонная компонента, обозначаемая через V t = 1,2,..., л;

3) циклическая компонента, обозначаемая через Сг, /= 1,2,..., п;

4) случайная компонента, которую будем обозначать г(, /= 1,2,..., п.

Под трендом, как уже отмечалось выше, понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.

Во временных рядах, характеризующих экономические процес­ сы, могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят периодический или близкий к нему характер и заверша­ ются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями.

В тех случаях, когда продолжительность периода колебаний отлич­ на от года, говорят, что во временном ряде присутствует цикличе­ ская компонента. Вопросы анализа сезонных колебаний трудовых показателей подробно рассматриваются в § 3.2.

Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регу­ лярными, или систематическими, компонентами временного ряда.

Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную (нерегу­ лярную) компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклоне­ ния неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Ес­ ли систематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разра­ ботке трендовых моделей, то остающаяся после их выделения из временного ряда так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) и будет случайной компонентой ряда. Остаточная последовательность обладает следующими свойствами:

• случайностью колебаний уровней этой последовательности;

• соответствием распределения случайной компоненты нор­ мальному закону распределения;

• равенством математического ожидания случайной компонен­ • независимостью значений уровней случайной последователь­ ности, т.е. отсутствием существенной автокорреляции.

Проверка адекватности трендовых и других моделей, построен­ ных на основе временных рядов, базируется на проверке наличия у остаточной последовательности указанных четырех свойств. Оста­ точная последовательность формируется при этом как разность ме­ жду фактическими уровнями ряда и расчетными значениями по модели. Если не выполняется хотя бы одно из указанных свойств, то модель признается неадекватной; при выполнении всех четырех свойств модель адекватна. Данная проверка осуществляется с ис­ пользованием ряда статистических критериев согласия (Фишера, Стьюдента, Дарбина—Уотсона и др.). Данный вопрос детально рас­ смотрен в учебном пособии [15].

М етоды сглаж ивания врем ен н ы х р я д ов Предварительный анализ временных рядов экономических по­ казателей включает в себя две основные процедуры:

1) выявление и устранение аномальных наблюдений, т.е. таких уровней временного ряда, значения которых не отвечают потенци­ альным возможностям исследуемой экономической системы;

2) определение наличия тренда.

Методы реализации этих процедур подробно описаны в § 5. учебного пособия [15].

Методы сглаживания временных рядов делятся на д в е ос­ новные группы:

1) аналитическое выравнивание с использованием кривой, про­ веденной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она ото­ бражала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний (пример аналитического вырав­ нивания рассмотрен ниже);

2) механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Суть методов механического сглаживания заключается в сле­ дующем. Берется несколько первых уровней временного рягда, образуюших интервал сглаживания. Для них подбирается полином, сте­ пень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в ин­ тервал сглаживания. С помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания.

Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда впра­ во, вычисляется следующее сглаженное значение и т.д.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания т(т < п/Ъ). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглажива­ ния берут по возможности большим. Интервал сглаживания умень­ шают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечет­ ным. Для первых т уровней временного ряда вычисляется их сред­ няя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вы­ числение средней арифметической и т.д. Для вычисления сглажен­ ных уровней ряда у, применяется формула:

где Р = —^— (при нечетном * ); для четных т формула Усложняется.

В результате такой процедуры получаются п - т + 1 сглаженных значений уровня ряда, при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются). Данные уровни могут бьггь вос­ становлены на основе средневзвешенного расчета, при этом веса определяются на базе метода наименьших квадратов.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдуще­ го метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сгла­ живания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществ­ ляется с использованием полинома не первой степени, как в пре­ дыдущем случае, а степени, начиная со второй. Используется фор­ мула средней арифметической взвешенной:

причем веса р, определяются с помощью метода наименьших квад­ ратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксими­ рующего полинома и различных интервалов сглаживания. Так, для полиномов второго и третьего порядков числовая последователь­ ность весов при интервале сглаживания т = 5 имеет вид: {-3; 12;

17; 12; -3}, а при т = 7 имеет вид: {-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2}. Для поли­ номов четвертой и пятой степеней и при интервале сглаживания т = 1 последовательность весов выглядит следующим образом: {5;

-30; 75; 131; 75; -30; 5}. При таком сглаживании больший вес полу­ чают уровни ряда, более близкие к сглаживаемому уровню.

К этой же группе методов выравнивания временных рядов при­ мыкает метод экспоненциального сглаживания. Его особенность за­ ключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взя­ тые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определя­ ется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного времен­ ного ряда соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через 5Г ^= 1, 2,..., п, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

где а — параметр сглаживания (0 < а < 1).

Величина 1 - а называется коэффициентом дисконтирования, ко­ торый отражает степень доверия к более поздним фактическим данным.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени / можно доказать, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной сред­ ней всех предшествующих уровней:

где о — величина, характеризующая начальные условия.

В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется (не вполне обоснованно) выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3. Другие точных рекомендаций для выбора оптимальной величины параметра а пока нет. В отдельных случаях Р. Браун предлагает определять величину а исходя из длины сглаживаемого ряда:

Что касается начального параметра 5о, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у\, или рав­ ным простой средней нескольких первых членов ряда, например, членов у 1, у2, УзУ 1 +У2 +Уз Указанный выше порядок выбора величины 5о обеспечивает хо­ рошее согласование сглаженного и исходного рядов для первых уровней. Если при подходе к правому концу временного ряда сгла­ женные этим методом значения при выбранном параметре а начи­ нают значительно отличаться от соответствующих значений исход­ ного ряда, то необходимо перейти на другой параметр сглаживания.

Заметим, что при использовании этого метода сглаживания не те­ ряются ни начальные, ни конечные уровни сглаживаемого времен­ ного ряда.

Трендовы е модели и их использование для экономического прогнозирования тр у д о вы х п оказателей Трендовые модели характеризуют развитие экономической сис­ темы через тенденцию (тренд) выбранных основных показателей и отражают набранную инерционность этого развития.

Основная цель создания трендовых моделей экономической ди­ намики заключается в том, чтобы на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток време­ ни. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении в будущее тен­ денции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предпола­ гается, что прогнозируемый показатель формируется под воздейст­ вием большого количества факторов, которые либо невозможно выделить, либо по ним отсутствует информация. В этом случае ход изменения показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на т р е х предположениях:

1) временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

2) общие условия, определявшие развитие показателя в про­ шлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения;

3) модель прогнозирования является адекватной.