«Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности Прикладная информатика (по областям) МОСКВА ...»

При моделировании систем применяется широкий спектр символических представлений, использующих «язык» классичес­ кой математики. Однако далеко не всегда эти символические пред­ ставления адекватно отражают реальные сложные процессы, и их в этих случаях, вообще говоря, нельзя считать строгими мате­ матическими моделями.

Большинство из направлений математики не содержат средств постановки задачи и доказательства адекватности модели. Адек­ ватность доказывается экспериментом, который по мере услож­ нения проблем становится также все более сложным, дорогосто­ ящим, не всегда бесспорен и реализуем.

В то же время в состав этого класса методов входит относи­ тельно новое направление математики - математическое програм­ мирование, которое содержит средства постановки задачи и рас­ ширяет возможности доказательства адекватности моделей.

Аналитические методы применяются в тех случаях, когда свой­ ства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т. е. когда знания о процессах и собы­ тиях в некотором интервале времени позволяют полностью опре­ делить поведение их вне этого интервала. Эти методы использу­ ются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучше­ го пути, оптимальной стратегии поведения, в том числе в конф­ ликтных ситуациях, и т. п.

В то же время при практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установления всех детерминированных связей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпо­ нентных, многокритериальных систем получить требуемые ана­ литические зависимости крайне трудно. Более того, даже если это и удается, то практически невозможно доказать правомерность применения таких выражений, т.е. адекватность модели рассмат­ риваемой задаче. В таких ситуациях следует обратиться к дру­ гим методам моделирования.

• 1. В о л к о в а В.Н. Методы формализованного нредставлення (отобра­ жения) систем: текст лекций / В.Н Волкова, Ф.Е Темников - М ИПКИР.

1974. 2. В ол к о ва В.Н. Методы форма;и13ованного представления систем учеб. HOC. / В Н. Волкова, А.А Денисов, Ф.Е. Темников - СПб Изд-во СПбГТУ, 1993. 3 Д е и и с о в А А. Теория больших систем управления* учеб.

пос. для вузов / А. А. Денисов, Д Н. Колесников - Л. : Энергоиздат, 1982 4. В о л ко в а В.Н. Основы теории систем и системного анализа / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - С. 92-96. В II. Волкова БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ - экономико-математические модели, построенные в виде системы уравнений, представляющих балан­ совые соотношения произведенного и распределенного продукта.

Статистические и динамические балансовые модели широко применяются при моделировании экономических систем и про­ цессов. В основе создания таких моделей лежит б а л а н с о в ы й м е т о д, заключающийся во взаимном сопоставлении матери­ альных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Под балансовой моделью экономической системы в целом пони­ мается система уравнений, каждое из которых выражает требова­ ние баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в ней. Рассматриваемая система состоит из экономических объек­ тов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, одна часть которого потребляется другими объектами системы, а другая вы­ водится за пределы системы в качестве конечного продукта. Кро­ ме требования соответствия производства каждого продукта и потребности в нем существуют такие балансовые соотношения, как соответствие рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров (услуг) и т.п. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо (не жестко) как достаточность ресурсов для покрытия потребно­ сти, т.е. наличие некоторого резерва.

Важнейшими видами балансовых моделей являются частные материальные, трудовые и финансовые балансы народного хо­ зяйства и отдельных отраслей, межотраслевые балансы, а на уровне промышленных предприятий - матричные техпромфинпланы.

Идея балансовых моделей впервые была сформулирована в СССР, а первая таблица межотраслевого баланса опубликована ЦСУ в 1926 г. Однако развитая математическая модель межот­ раслевого баланса, открывающая большие возможности для ана­ лиза, предложена в 1936 г. в трудах американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева.

Принципиальная схема межотраслевого баланса производ­ ства и распределения общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице. Народное хозяйство представ­ лено в виде совокупности // отраслей, каждая из которых фигу­ рирует и как производящая, и как потребляющая. Совокупный продукт разделен на две части: промежуточный и конечный про­ дукт. Речь идет о некотором определенном промежутке времени (как правило, это плановый год).

Производящие Амортизация в таблице приняты следующие обозначения: X.- общий объем продукции отрасли / за данный промежуток времени - так называ­ емый валовой выпуск отрасли /; X.. объем продукции отрасли /, расходуемый отраслью^* в процессе производства; Y.- объем про­ дукции отрасли /, предназначенный к потреблению в непроизвод­ ственной сфере - объем конечного потребления.

Балансовый характер этой таблицы выражается в виде двух важнейших соотношений. Во-первых, итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно-чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

Величина условно-чистой продукции Z. равна сумме аморти­ зации с, оплаты труда v. и чистого дохода т. отрасли у.

Во-вторых, валовая продукция любой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Суммируя по всем отраслям уравнения (1) и (2), соответствен­ но получим:

Отсюда следует, что должно выполняться соотношение в. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики, установил, что величины cijj = —^ остаются постоянными в течение ряда лет, будучи обусловлены примерным постоянством приме­ няемой технологии. Таким образом, для выпуска любого объема X. продукции отрасли у необходимо затратить продукции отрасли / в количестве а.. X., где г/.. - постоянный коэффициент. Другими словами, материальные издержки пропорциональны объему про­ изводимой продукции. Это допущение характеризует линейность существующей технологии. Согласно гипотезе линейности имеем:

Коэффициенты а., называют коэффициентами прямых затрат.

Уравнения (2) в матричной записи принимают следующий вид:

где А = (а.) - матрица коэффициентов прямых материальных затрат;

X - вектор-столбец валовой продукции;

Y - вектор-столбец конечной продукции.

Система уравнений (3) называется экономико-математичес­ кой моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева), или моделью «затраты - выпуск», с помощью которой можно выполнить следующие расчеты:

1) подставив в модель объемы X. валовой продукции каждой от­ расли, можно определить объем У. конечной продукции отрасли:

2) задав величины Y. конечной продукции всех отраслей, мож­ но определить величины X. валовой продукции каждой отрасли:

3) установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной про­ дукции, можно найти объемы конечной продукции первых от­ раслей и объемы валовой продукции вторых.

Балансовые модели не содержат механизма сравнения отдель­ ных вариантов экономических решений и не предусматривают взаимозаменяемость ресурсов, что не позволяет осуществить вы­ бор оптимального варианта развития экономической системы.

Этим определяется ограниченность применения балансовых мо­ делей.

• 1. М а т е м а т и к а и кибернетика в экономике: словарь-справочник.М.: Экономика, 1975.-С. 37-40. 2. Н о в и ч к о в Б.Ф. Материальные балан­ сы / Б.Ф. Новичков. - М.: Экономика, 1972. 3. Л е о н т ье в В.В. Экономи­ ческие эссе / В.В. Леонтьев. - М.: Политиздат, 1990. 4. Д а н и л и н В.И. Си­ стема матричных моделей технико-экономического управления на предприятии / В.И. Данилин. - М.: Экономика, 1977. В.Н. Юрьев БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - раздел математического программирования, изучающий задачи оптими­ зации в бесконечномерных пространствах.

Общая задача бесконечномерного программирования состо­ ит в максимизации функционала /(.Y), определенного на некото­ ром множестве /С топологического линейного пространства А'при ограничениях F(x) < О, Н(х) = 0. Здесь F : X - > F, Н : X -^ Wотображения (операторы); V, W - некоторые (в общем случае другие) топологические линейные пространства; в V задан вы­ пуклый конус Ку, и неравенство v, < V в F означает по определе­ нию, что Vj - V е К у. Векторы хе К, удовлетворяющие ограни­ чениям F(x) < О, Н(х) = О, называются допустимыми, а искомые векторы - оптимальными. Обычно предполагается, что К и Ку замкнутые множества, а /, F и Н непрерывны.

Задачи минимизации, а также задачи, в которых ограничение задается противоположным неравенством (т.е. «больше, равно»), укладываются в эту схему, так как умножением на (-1) функцио­ нала или неравенства они сводятся к задаче максимизации с ог­ раничением вида «меньше, равно».

Иногда рассматривают задачи с несколькими ограничения­ ми типа неравенств и равенств:

F,(x) < О,..., Fmi(x) < О, Hi(x) = О,..., Нт^(х) = О, где F.:X-^ К. (/,...,ш,);

Hj^: Х—> Ж^ {к = \,..., tHj), и неравенства в V. определяются некото­ рым выпуклым конусом К. с V..

Эта задача является частным случаем первоначальной и фор­ мально сводится к ней, если положить V= Kj х... х Vm^, W-W^x,..

X Wm^, К у - К^х... X К^^^ и рассмотреть отображения F(x) = (F,(x);..., Г/77,(х)), Н(х) = (Н,(х),..., Нт^Сх)).

Класс задач бесконечномерного программирования с конеч­ ным числом функциональных ограничений сводится к задачам конечномерного математического программирования.

Теоретически наиболее разработаны бесконечномерное выпук­ лое программирование [1, 2, 4] и его часть - бесконечномерное ли­ нейное программирование [1, 3]. Отдельные результаты (например, обобщенная теорема двойственности) разработаны для общей задачи бесконечномерного программирования [2].

В теории бесконечномерного выпуклого программирования изучаются задачи, в которых отображение Н линейно, а множе­ ство К, функционал/и отображение F выпуклы. Задачи, где К выпуклое множество, а/, F и Н линейны, относятся к бесконеч­ номерному линейному программированию. Основным результа­ том бесконечномерного выпуклого программирования является теорема о седловой точке, обобщающая теорему Куна-Таккера в конечномерном выпуклом программировании.

С теоремой о седловой точке и ее обобщениями тесно связа­ на Пеория двойственности, которая изучает взаимозависимость пары задач бесконечномерного программирования - исходной задачи и некоторой другой, построенной специальным образом двойственной задачи (см.). Эта теория аналогична конечномер­ ной теории двойственности в мсипемсипическом программирова­ нии (см.), но она обладает рядом специфических особенностей, обусловленных бесконечной размерностью.

Бесконечномерное программирование тесно связано с таки­ ми математическими дисциплинами, как теория приблилсений, теория бесконечных игр, математическая теория оптимальных процессов и динамическое программирование (см.). Методы, исполь­ зуемые в бесконечномерном программировании, - это методы функционального анализа, в первую очередь выпуклого анали­ за, изучающего общие свойства выпуклых функций и множеств в линейных пространствах.

Из практических применений бесконечномерного програм­ мирования наибольшее распространение при моделировании процессов в социально-экономических системах получили непрерывные транспортные задачи (в том числе классическая задача Монжа о перемещении масс, исследованная акад. Л.В. Канторо­ вичем), динамические и стохастические модели экономики.

• 1. Э р р о у К.Дж. Исследования по линейному и нелинейному програм­ мированию: пер. с англ. / К.Дж. Эрроу, X. Гурвиц, X. Удзава. - М.: Иностр.

лит., 1962. 2. Г о л ь ш т е й н Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложениях / Е.Г. Гольштейн. - М.: Наука, 1971.

3, Л е в и н В.Л. Условия экстремума в бесконечномерных линейных зада­ чах с операторными ограничениями / В.Л. Левин // Исследования по мате­ матическому программированию: Сб. - М. : Наука, 1968. 4. М а т е м а т и к а БЛОЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - раздел математическо­ го программирования (см.), изучающий свойства и методы реше­ ния задач оптимизации, которые могут быть представлены как система двух или более взаимосвязанных подзадач-блоков.

В практике решения задач математического программирова­ ния встречаются такие, системы ограничений которых включа­ ют ограничения, содержащие все переменные (эти ограничения образуют блок-связку), и ограничения, содержащие некоторые части их (эти ограничения образуют блоки). Система ограниче­ ний таких задач с двумя блоками изображена на рисунке. В об­ щем случае число блоков может быть достаточно большим, а за­ дачи, имеющие блочную структуру, могут быть задачами как линейного, так и нелинейного программирования.

Расчленение задачи проводится таким образом, чтобы выде­ лить подзадачу, которая может быть решена посредством доста­ точно эффективного алгоритма, применение которого для задачи в целом нерационально. В блочном программировании допуска­ ется применение как точных, так и приближенных методов реше­ ния подзадач и предусматривается реализация последовательнос­ ти итераций, при этом исследование на каждом последующем шаге осуществляется с учетом результатов предшествующих шагов, что помогает постепенно решить все выделяемые задачи. В этой связи указанные методы представляют интерес для систем с большой начальной неопределенностью.

Начиная с 80-х гг. XX в. данные методы использовались в эко­ номико-математическом анализе как модели процессов планиро­ вания и функционирования в экономических системах. В частно­ сти, блочное программирование с успехом применяется в отраслевых задачах оптимизации, где естественна декомпозиция общей модели отрасли на блоки - модели предприятий либо на блоки, соответствующие последовательным стадиям переработки сырья.

Для решения задач с блочной структурой могут быть исполь­ зованы:

1) методразлоэ1сен11я Даицыга-Вулфа (для задач линейного про­ граммирования);

1) метод планирования на двух уровнях Корнаи-Липтака.

Оба метода представляют собой последовательные (итераци­ онные) пересчеты, увязывающие решение главной и локальных задач. Различие между ними состоит в том, что в первом итераци­ онный процесс основан на корректировке двойственных оценок ресурсов и продукции (такая корректировка делает для предприя­ тия выгодными планы, все более приближающиеся к оптимально­ му плану отрасли), а во втором - на корректировке лимитов обще­ отраслевых ресурсов, выделяемых предприятиям. При этом задача сводится к игре между центром, варьирующим допустимые рас­ пределения ресурсов, и предприятиями, варьирующими допусти­ мые двойственные оценки ресурсов. Ценой игры является сумма целевых функций предприятий. В обоих методах важную роль играют двойственные оценки, причем их оптимальный уровень определяется вместе с оптимальным распределением ресурсов.

Так, метод Данцига-Вулфа как бы моделирует «распродажу» гло­ бальных ресурсов с учетом эффективности р^ использования /-го ресурса. Однако в конечном итоге планы локальных объектов ус­ танавливаются с учетом решения задачи центра.

Методы блочного программирования активно применялись в исследованиях декомпозиционного централизованного плани­ рования. При этом они, во-первых, предполагают распределение вычислительных функций между элементами системы и не тре­ буют концентрации информации и, во-вторых, могут включать моделирование элементов децентрализованного управления.

Централизм методов блочного программирования находит вы­ ражение в том, что критерий оптимальности и правые части ог­ раничений локальных задач определяются алгоритмом решения исходной задачи. Они «предписываются» локальному объекту, представляя собой редукцию на локальный объект глобального критерия (как в методе Данцига-Вулфа) или глобальных ограни­ чений (как в методе Корнаи-Липтака), а не выявляются при его анализе как самоорганизующейся системы.

• I. Д а н ц и г Дж. ЛинеР1пое программирование, его применение и обоб­ щение, пер. с англ./Дж. Данциг - М. : Прогресс, 1966 2. Г о л ь ш т е й н Б.Г Новые направления в линейном программировании / Б.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин. - М.- Советское радио, 1966. 3. К о р н а и Я. Планировагню на двух уровнях: в 3-х т. / Я. Корнан, Т. Липтак // Применение математики в экономических исследованиях. Т. 3. ~ М.* Мысль, 1965. 4. Л о п а т н и к о в Л.И. Экономико-математический словарь / Л.И. Лопатников; отв ред.

И.П. Федоренко. - М.- Наука, 1987 - С. 44-45. 5. П о л т е р о в и ч В.М.

Блочные методы вогнутого программирования и их математическая интер­ претация / В.М. Полтерович // Экономика и математические методы Т V, БОЛЬШАЯ СИСТЕМА - термин, нашедший широкое использо­ вание в период становления системных исследований, чтобы под­ черкнуть принципиальные особенности объектов и проблем, тре­ бующих применения системного подхода. Эти особенности могли и не характеризоваться вначале, а уточнялись в процессе поста­ новки задачи.

Наиболее широко этот термин использовался при исследова­ нии технических систем и систем автоматизированного и авто­ матического управления. В частности, был распространен тер­ мин большие системы управления (БСУ).

В качестве признаков большой системы предлагалось исполь­ зовать различные понятия: понятие иерархической структуры, что, естественно, сужало класс структур, с помощью которых может отображаться система; понятие «человеко-машинная» система (но тогда выпадали полностью автоматические комплексы); нали­ чие больших потоков информации или большого числа алгорит­ мов ее переработки.

У.Р. Эшби считал, что система является большой с точки зре­ ния наблюдателя, возможности которого она превосходит в ка­ ком-то аспекте, важном для достижения цели (см. Цель). При этом один и тот же материальный объект в зависимости от цели на­ блюдателя и средств, имеющихся в его распоряжении, можно ото­ бражать или не отображать большой системой и, кроме того, физические размеры объекта не являются критерием отнесения объекта к классу больших систем.

С появлением и развитием автоматизированных систем уп­ равления (АСУ) часто стали отождествлять понятие БСУ с поня­ тием АСУ [2]. Но тогда из класса БСУ исключались транспорт­ ные и телефонные сети.

Н.П. Бусленко [I] предложил в силу отсутствия четкого опре­ деления отнесения системы к разряду больших и относительной условности этого понятия связывать понятие большая система с тем, какую роль играют при изучении системы комплексные обще­ системные вопросы, что, естественно, зависит от свойств систем и классов решаемых задач. Этой точки зрения придерживаются и авторы первого в нашей стране учебника по теории БСУ [3]. По­ этому часто БСУ определяли на примерах, что сделано и в [3].

Для сфер биологических, экономических, социальных систем иногда понятие большой системы связывали с понятиями эмердэ/сентности (см. Закономерность целостности (эмерджентности), открытости (см. Открытая система)), с активностью элемен­ тов, в результате чего такая система обладает как бы «свободой воли», нестабильным и непредсказуемым поведением и другими характеристиками развивающихся, самоорганизующихся систем.

Первоначально, а иногда и до сих пор термины большая и слоэ/сная система используются как синонимы. Некоторые иссле­ дователи даже связывали сложность с числом элементов [4, 5] (см.

подробнее Слолсная система).

В то же время были и иные точки зрения: поскольку это раз­ ные слова в естественном языке, то и использовать их нужно как разные понятия.

Например, связывали понятие большая с величиной системы, количеством элементов (часто относительно однородных), а понятие слоэ/сная - со слоэ/сностью отношений, алгоритмов, или сло,жностью поведения [4].

Существуют и более убедительные обоснования различия понятий болыиая и слоэюшя система.

В частности, Ю.И. Черняк предлагает называть большой сис­ темой «такую, которую невозможно исследовать иначе, как по подсистемам», а слоэ1сной - «такую систему, которая строится для решения многоцелевой, многоаспектной задачи» [6, с. 22].

Поясняя эти понятия на примерах, Ю.И. Черняк подчеркивает, что в случае большой системы объект может быть описан как бы на одном языке, т.е. с помощью единого метода моделирования, хотя и по частям, подсистемам. А слоэ/сная система (см.) отражает объект «с разных сторон в нескольких моделях, каждая из которых имеет свой язык», а для согласования этих моделей нужен особый мета­ язык.

Для того чтобы точнее пояснить понятие большой системы, Ю.И. Черняк иллюстрирует его рисунком.

Ю.И. Черняк также в явном виде связывает понятия большой и сложной системы с понятием наблюдателя (см.): для изучения боль­ шой системы необходим один наблюдатель (имеется в виду относи­ тельная однородность их квалификации: напр., инженер, или эко­ номист), а для понимания слолсной системы нужно несколько наблюдателей принципиально разной квалификации (например, ин­ женер-машиностроитель, программист, специалист по вычислитель­ ной технике, экономист, а возможно и юрист, психолог и т. п.).

• 1. Б у с л е н к о Н.П Лекции по теории сложных систем/Н.П. Бусленко, В.В. Калашников. И.Н. Коваленко. -М.: Советское радио, 1973. 2. Г л у ш к о в В.М. Введение в АСУ / В.М. Глушков. - Киев: Техн1ка, 1974. З. Д е ­ н и с о в А. А. Теория больших систем управления / А А. Денисов, Д.П. Колес­ ников. - М.- Энергоиздат, Ленингр. отд-ние, 1982.4. М е т о д о л о г и ч е с к и е проблемы кибернетики: в 2 т. - М.: МГУ, 1970 З. Ф л е й ш м а н Б.С. Эле­ менты теории потенциальной эффективности сложных систем / Б.С. Флейшман. - М.: Сов. радио, 1971. 6. Ч е р н я к Ю.И. Анализ и синтез систем в экономике / Ю.И. Черняк. - М.: Экономика, 1970. 7. Ч е р н я к Ю И. Сис­ темный анализ в управлении экономикой / Ю.И. Черняк. - М.: Экономи­ ка, 1975. 8. Э ш б и У.Р. Введение в кибернетику / У.Р. Эшби. - М.: Иностр.

БУЛЕВО ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - класс задач дискретного програлишроваиыя, в которых все или некоторые пе­ ременные могут принимать лишь одно из двух значений: О или 1.

Математическая модель такой задачи имеет вид:

Решают эти задачи методами целочисленного линейного про­ граммирования. Булево линейное программирование открыло путь к трактовке комбшшторных экстремальных задач общего вида как задач линейного программирования.

• 1. К о р б у т А.А. Дискретное программирование/А.А. Корбут, Ю.Ю. Финкельштейн. - М.: Наука, 1969. 2. Ф и н кел ь ш тей н Ю.Ю. Алгоритм для решения задач пелочисленного линейного программирования с булевыми переменными / Ю.Ю. Финкельштейн // Экономика и математические мето­ ды. - 1965. -.№ 5. - С 746-759. З. Л о п а т н и к о в Л.И. Экономико-матема­ тический словарь / Л.И. Лопатников; отв. ред. Н.П. Федоренко. - М.: На­ ВЕКТОРНАЯ (МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ) ОПТИМИЗАЦИЯ направление в теории оптимизации, в котором критерием опти­ мальности является вектор с несколькими компонентами (крите­ риями).

Пусть X обозначает мноэ/сеснгво возмоэ/сных решений, содер­ жащее по крайней мере два элемента. Через SelA" обозначим под­ множество множества X, которое называют мно.жеством выби­ раемых (выбранных) региений. Часто это множество состоит из одного элемента, но в некоторых задачах оно может содержать и большее число элементов. Задача принятия решений состоит в осу­ ществлении выбора, т.е. в отыскании множества SelA'c использо­ ванием всей имеющейся в наличии информации.

Процесс выбора невозможен без того, кто осуществляет вы­ бор, преследуя свои собственные цели. Человека (или коллектив, подчиненный достижению определенной цели), который делает выбор и несет ответственность за его последствия, называют ли­ цом, принимающим решение (ЛПР).

Обычно выбранным (наилучшим) оказывается такое решение, которое наиболее полно удовлетворяет стремлениям, интересам и целям ЛПР. Желание ЛПР достичь определенной цели нередко удается выразить в математических терминах в виде максимиза­ ции (или минимизации) некоторой числовой функции, которую называют целевой функцией, или критерием. Однако в более слож­ ных ситуациях ЛПР приходится иметь дело не с одной, а сразу с несколькими функциями подобного типа.

Пусть есть т (т ^ 2) целевых функций, определенных на мно­ жестве X. Они образуют так называемый векторный критерий/= ^ (/рЛ? •••'ЛЛ который принимает значения в т-мерном ариф­ метическом пространстве Л'". Это пространство называют кри­ териальным пространством.

Задачу выбора решений, включающую множество возможных решений X и векторный критерий/, называют многокритериаль­ ной задачей (или задачей векторной оптимизации).

Ключевую роль в многокритериальной оптимизации играет понятие парето-оптимального решения. Решение.v* G X называ­ ют парето-оптимальным {отпималъным по Парето, эффективным или неулучшаемым), если не существует другого возможного решения X G X, такого, 4\ofj^x) '^/.{х*) для всех номеров / = 1,2,..., т, причем по крайней мере для одного номерау G {1,2,..., т) имеет место строгое неравенство Д х ) >f.{x*). Другими словами, парето-оптимальное решение не может быть улучшено (в данном слу­ чае увеличено) ни по какому критерию (ни по какой группе кри­ териев) при условии сохранения значений по всем остальным критериям. Множество всех парето-оптимальных решений час­ то обозначают PiX) и называют мноэ/сеством Парето (миоэ/сеством Эдэ/сворта-Парето), или областью компромиссов.

Заметим, что в частном случае, когда критерий всего один, т.е.

т = 1, определение парето-оптимального решения превращается в определение точки максимума функции/j на множестве X. Это означает, что парето-оптимальное решение представляет собой обобщение обычной точки максимума числовой функции.

Если каждый критерий/j трактовать как функцию полезнос­ ти /-ГО участника экономики, то к понятию парето-оптимально­ го решения приводит воплощение идеи социальной справедли­ вости, состоящей в том, что для коллектива всех участников более выгодным будет только то решение, которое не ущемляет инте­ ресы ни одного из них в отдельности. При этом в случае перехо­ да от одного парето-оптимального решения к другому если и происходит улучшение (увеличение) одного из критериев, то обя­ зательно это улучшение будет сопровождаться ухудшением (уменьшением) какого-то другого критерия (или сразу несколь­ ких критериев). Таким образом, переход от одного парето-опти­ мального решения к другому невозможен без определенного ком­ промисса. Отсюда и наименование множества Парето - область компромиссов.

При анализе и решении многокритериальных задач обычно считают выполненной так называемую аксиому Парето, соглас­ но которой в случае выполнения неравенствах') ^f.{x") для всех номеров / = 1,2,..., т, где по крайней мере для одного номера j 6 {1, 2,..., т}имеет место строгое неравенство/(л:') > fix"), ЛПР среди двух данных возможных решений х' и х' всегда отда­ ет предпочтение первому из них.

Аксиома Парето фиксирует стремление ЛПР получить мак­ симально возможные значения по всем имеющимся критериям.

Кроме того, она показывает, что из пары произвольных реше­ ний то из них, которое не является в этой паре парето-оптимальным, из указанной пары никогда выбирать не следует. Так как решения, которые не выбираются из пары, разумно не выбирать и из всего множества возможных решений, то в итоге приходим к так называемому принципу Парето {принципу Эдэ1сворта-Парето), в соответствии с которым выбирать (наилучшие) решения следует только среди парето-оптимальных.

Математическим выражением этого принципа служит вклю­ чение которое имеет место для любого множества выбираемых реше­ ний St\X.

Основной проблемой в теории принятия решений при нали­ чии нескольких критериев считается проблема суэ/сения мноэ/сества Парето, т.е. выбор наилучшего решения (или наилучших решений) в пределах множества Парето. Эта проблема не может быть решена без привлечения дополнительной информации о многокритериальной задаче. Чаще всего такой информацией яв­ ляются сведения об относительной важности критериев.

Недавно проведенные исследования показали [5], что прин­ цип Парето, т.е. упомянутое включение, не является универсаль­ ным, пригодным во всех без исключения многокритериальных задачах и иногда может нарушаться. Принципа Парето следует придерживаться в тех случаях, когда ЛПР в процессе выбора ве­ дет себя достаточно «рационально». Если же ЛПР действует в определенном смысле «нерационально», то для него наилучшим (выбранным) может оказаться и то решение, которое парето-оптимальным не является.

К настоящему времени свойства множества Парето изучены достаточно подробно [3]. В общем случае множество Парето мо­ жет: 1) оказаться пустым; 2) состоять из одного элемента; 3) со­ держать бесконечное число элементов; 4) совпадать с исходным множеством возможных решений.

Легко доказывается, что для конечного множества возмож­ ных решений множество Парето всегда не пусто, т.е. имеет место неравенство PiX) Ф 0. Следует также отметить, что в случае не­ прерывных целевых функций/р/2,...,/^^ и непустого компактно­ го множества А', А" с R" обязательно существует хотя бы одно парето-оптимальное решение.

Важную роль в многокритериальной оптимизации играют различного рода необходимые и/или достаточные условия парето-оптимальности. Здесь в первую очередь необходимо отметить следующий легко проверяемый результат.

Если существует такой набор положительных чисел >.1,>и2,...Д„,, IL^i -^, ЧТО ДЛЯ некоторого возможного решения х* G X выполняется неравенство то л* - парето-оптимальное решение.

Согласно приведенному достаточному условию парето-оптимальности максимизация скалярной функции Z^/Z/W с положительными коэффициентами Яр ^2,..., \ „ на множестве X, ко­ торую называют аддитивной сверткой критериев, всегда приво­ дит к парето-оптимальному решению (при условии, что указанная задача максимизации имеет решение).

При определенных дополнительных условиях имеет место и обратный результат, т.е. необходимое условие парето-оптимальности. Сформулируем этот результат.

Пусть множество возможных решений X, X с: R'\ является выпуклым и все целевые функции/р/2,...,/^, вогнуты на этом множестве. Для всякого парето-оптимального решения.т* существу­ ет соответствующий набор неотрицательных чисел Яр ^2,..., Я^^, Y,Xf = 1, при котором имеет место неравенство (1).

i=\ Нетрудно заметить, что между достаточным (первым) и не­ обходимым (вторым) условием парето-оптимальности имеется определенная «нестыковка». В достаточном условии требуется строгая положительность всех чисел Яр Я2,..., Я^, тогда как в не­ обходимом условии эти числа неотрицательны и в сумме равны единице, а значит, они одновременно в нуль не обращаются, но среди них могут встречаться равные нулю.

Действительно, известны примеры, когда максимизация адт дитивной свертки Z^/./I(-^), среди коэффициентов X,, А,^,..., \^, которой могут встречаться нули, на множестве X приводит к ре­ шению, лежащему за пределами множества Парето.

Тем не менее указанные результаты свидетельствуют о том, что задача многокритериальной оптимизации (точнее говоря, задача построения множества парето-оптимальных решений) в принципе может быть сведена к решению определенного семей­ ства скалярных задач (т.е. задач с одним критерием). Такое све­ дение многокритериальной задачи к семейству скалярных задач называют скаляризацией. Тем самым приведенные два результата служат фундаментом скаляризации на основе аддитивной сверт­ ки критериев.

Следует отметить, что к настоящему времени разработан бо­ гатый арсенал самых различных типов скаляризации многокри­ териальных задач [3].

Существуют определенные модификации понятия парето-оптимального решения. Например, возможное решение.Y* называ­ ют оптимальным по Слейтеру {слабо эффективным), если не су­ ществует X G X, для которого имеют место строгие неравенства Д х ) >/(л-*), для всех / = 1,2,..., т.

Из приведенных определений следует, что всякое парето-оптимальное решение является оптимальным по Слейтеру. Обрат­ ное в общем случае места не имеет, так как существуют оптималь­ ные по Слейтеру решения, не являющиеся парето-оптимальными.

Таким образом, множество решений, оптимальных по Слейтеру, в общем случае шире множества Парето.

Имеются и другие разновидности понятия решения многокри­ териальной задачи. Среди них наиболее важным является поня­ тие собственно эффективного решения [3]. Для него выполняются аналогичные уже приведенным необходимые и достаточные усло­ вия, использующие аддитивную свертку, что и для парето-оптимального решения, но с коэффициентами Xj, Х^^ •••' \,?' которые все строго положительны. Тем самым для собственно эффектив­ ного решения отмеченная «нестыковка» необходимых и достаточ­ ных условий отсутствует.

Часто числа Xj, ^2,..., Х^ трактуют как коэффициенты отно­ сительной важности критериев. Следует отметить, что это чисто эвристический подход, не имеющий под собой математической основы. В настоящее время можно в общих чертах считать пост­ роенной математическую теорию относительной валсности кри­ териев [6], в рамках которой разработаны определения относи­ тельной важности как для пары критериев, так и в общем случае для произвольной пары групп критериев. Показано, каким обра­ зом информацию об относительной важности критериев можно использовать для сужения множества Парето. Более того, уста­ новлено, что только на основе информации подобного типа (т.е.

информации об относительной важности критериев) можно по­ лучить сколь угодно точное приближение для множества тех ре­ шений, которые претендуют на роль выбранных. Это говорит о принципиально важной роли, которую выполняет информация об относительной важности критериев в решении проблемы суже­ ния множества Парето. Иными словами, в процессах принятия ре­ шений нужно лишь научиться выявлять такую информацию у ЛПР, а затем с помощью результатов теории относительной важности критериев умело ее использовать.

• 1 В и л к а с Э Й. К проблеме сложных решений (иостановка и подходы) /Э.Й. Вилкас, Е.З. Майминас// Кибернетика. - 1969. - № 5. - С. 68-73. 2. К а р л и и С. Математические методы в теории игр, программирование в эконо­ мике: пер. с англ./С. Карлин - М.: Мир, 1964.-С. 253-256 3 П о д и н о в с к и й В.В. Парею-онтимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский, В Д. Ногин. - М • Наука, 1982. 4. Н о г и и В Д. Основы теории онтимизаиии / В.Д. Ногин, И.О. Протодьяконов, И И. Евламниев. М.: Высшая школа, 1986. 5. Н о г и и В.Д. Логическое обоснование принци­ па Эджворта-Парето / В.Д. Ногип // ЖВМиМФ. 2002, т. 42, № 7 - С. 951Н о г и н В.Д Принятие решений в многокритериальной среде: коли­ чественный подход / В.Д. Ногин. - М.: Физматлит, 2002. В.Д. Иогии ВЕРОЯТНОСТЬ - фундаментальное понятие теории вероятнос­ тей, науки, изучающей математические модели случайных явле­ ний (событий).

Существуют различные определения вероятности: философс­ кое, интуитивное, статистическое, аксиоматическое и др. Одна­ ко ни одно из них не дает исчерпывающего определения реально­ го содержания понятия вероятности, являясь лишь приближениями ко все более полному его раскрытию.

Математическая вероятность - это числовая характеристи­ ка степени возможности появления какой-либо определенной ситуации при определенных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз.

Численное значение вероятности в некоторых случаях полу­ чается как отношение числа случаев, «благоприятствующих» дан­ ному явлению, к общему числу «равновозможных» случаев.

Например, если при поступлении в вуз конкурс составляет человека на одно место, то вероятность поступления равна 0,25.

В более сложных случаях определение численного значения ве­ роятности требует так называемого статистического подхода, в соответствии с которым под вероятностью события А понимается где ш - число появлений события А;

п - общее число опытов, если при /? — о (ni/n) — const, т.е. выпол­ няется закон больших чисел (теорема Бернулли).

Поясним суть этого определения с помощью следующего при­ мера.

Предположим, что мы хотим оценить меткость некоторого стрелка.

Если, сделав 100 выстрелов, в 39 случаях стрелок попал в цель (мишень), то вероятность попадания в цель р = 0,4. Отношение числа случаев /?/, в которых данное событие появилось, к общему числу испытаний п, так называемая частота т/п, дает приближение к вероятности /?, тем луч­ шее, чем больше п.

В рассмотренном примере т =39, п = 100. В то же время, если из пяти первых выстрелов два попали в цель, то мы сильно рискуем ошибиться, утверждая, что 40% выстрелов нашего стрелка окажутся удачными.

По вероятности, вычисленной статистическим способом, т.е.

приближенно, могут быть вычислены по правилам теории веро­ ятностей новые вероятности.

Например, для упомянутого стрелка вероятность того, что хотя бы один из двух выстрелов попадет в цель, равна 1 - (1 - 0,4)^ = 0,64.

Для многих практических применений статистическое опреде­ ление вероятности оказывается вполне достаточным. Из опреде­ ления вероятности как частоты следует, что вероятность р любого события есть некоторое постоянное число, удовлетворяющее ус­ ловию 0'= Лш.х - {^ -/cos(-0,5v + (А - л,))}.

Для дополнительных расчетов в рассматриваемом регионе необхо­ димо знать радиус Земли. Он усредняется по диапазону широт ф| - Ф2:

где /?j - радиус Земли на широте фр 7?2 - то же на широте ф2.

При изображении взаимного расположения точек на экране мони­ тора возникает необходимость в корректировке масштабов, т.е. требу­ ется сделать масштабы равновеликими. Дело в том, что если последо­ вать приведенным расчетным формулам, масштаб по параллели, проходящей через центр региона, может существенно отличаться от мас­ штаба в направлении меридиана. Поэтому необходимо определить мас­ штабы:

• lUj^ - по средней параллели в восточном направлении;

• /77дг - по меридиану в северном направлении.

Сначала найдем /д^ - расстояние между восточной и западной точ­ ками, имеющими координаты например, с помощью функции Pilgrim geoway.

Соответствующий масштаб, км/пиксель, определяется из отношения Далее определим расстояние по меридиану между северной и юж­ ной границами региона: 1^^- 1^ - 1^. Масштаб, км/пиксель, в северном направлении равен отношению Введем в рассмотрение отношение масштабов Корректировка линейных масштабов осуществляется по следующе­ му правилу:

если к^^^ > 1, то угол \|/ = | Л^ - Я^ | нужно увеличить, умножив на к^^^;

если к^^^ < 1, то угол 9 = | ф, - ф21 следует увеличить, умножив на к^^^;

если к^^^ = 1, то масштабы установлены правильно и корректировка не требуется (такой случай нереален).

После корректировки границы региона несколько расширяются, поэтому нужно заново рассчитать /^ и Z^, так как от них зависят х и у прямоугольные координаты точек на экране.

После программирования всех манипуляций получается небольшая программа (например, в среде Visual C++). Функциональное окно на экране выводит нормальную коническую проекцию региона.

Практическое применение ГИС: решение задачи коммивояжера.

Известна классическая задача исследования операций, которая в различных модификациях решается для оптимизации процессов в логистике, при сплошном обследовании населенных пунктов в каком-либо регионе в связи с экономическими, экологическими или медицинскими проблемами, а также в зонах чрезвычайных ситуа­ ций. Она получила название «задачи коммивояжера».

Рассмотрим две практические разновидности этой задачи, решение которых невозможно без применения ГИС.

П р и м е р 2. Постановка задачи коммивояжера с привязкой к до­ рожной сети. В регионе с развитой сетью дорог имеются:

• множество М населенных пунктов;

• множество N перекрестков (развилок) вне населенных пулктов;

• множество К участков дорог.

Участком дороги назовем дорогу от пункта А до пункта Б, причем Л, Б - это населенный пункт или перекресток.

Необходимо составить такой маршрут посещения населенных пун­ ктов, чтобы длина маршрута, включая суммарные повторные пробеги по участкам дорог, была минимальной.

В данной постановке учитывается то обстоятельство, что из-за ко­ нечных возможностей дорожной сети возникают повторные посещения населенных пунктов и возвраты к перекресткам (развилкам) дорог. Одна­ ко не существует метода, который сразу мог бы привести к оптимально­ му маршруту при такой постановке: любой метод, включая алгоритмы динамического программирования, дает тупиковые псевдооптимальные решения, из которых методом перебора нужно отыскать наилучший. При­ чем нет гарантии, что найден весь набор решений, среди которых есть и оптимальное.

Поэтому если есть компьютер большой мощности и есть время для ожидания результата (оно может быть довольно большим), то на ком­ пьютере реализуется алгоритм полного «тупого» перебора вариантов.

Но «тупой» перебор не имеет универсального алгоритма. Поэтому необходимо написать довольно сложную расчетную программу, учиты­ вающую правила движения по данному региону.

П р и м е р 3. Постановка задачи коммивояжера для выполнения вер­ толетных работ. В регионе имеется множество Л/ населенных пунктов.

Необходимо составить такой алгоритм посещения этих пунктов, кото­ рый удовлетворял бы следующим требованиям:

• каждый пункт необходимо посетить только один раз;

• длина маршрута должна быть минимальной;

• при определении отрезков маршрута учитывается, что поверх­ ность Земли - эллипсоид;

• на маршруте могут работать один или два вертолета (если два то они движутся навстречу один другому).

Известен «алгоритм двух вертолетов», который подходит для прак­ тического использования как для действий с привязкой к dopojtciiou сети, так и вертолетных работ, а по качеству решений может уступить толь­ ко «тупому» перебору, так как в этом случае нет гарантии того, что сре­ ди набора псевдооптимальных решений имеется расписание движения по оптимальному маршруту.

Введем два определения и сформулируем одну теорему (без доказа­ тельства). Предположим, что нужно составить полетное расписание для вертолета, который вылетает из Санкт-Петербурга в Москву, причем он должен пролететь по кратчайшему маршруту над одиннадцатью промежу­ точными населенными пунктами (см. табл). Траектория маршрута показа­ на на рис. 4.

Определение L Под корректировкой понимается такое исправление маршрута следования, которое приводит к его сокращению без исклю­ чения каких-либо населенных пунктов из маршрутного расписания.

Корректировка выполняется на основе графической траектории движе­ ния, изображенной на карте, и с использованием опыта руководителя движения.

На рис. 4 пунктирным контуром 1 выделен неоптимальный участок, где установлен следующий порядок движения (полета):

Рига-^Вильнюс->Балтийск—>Минск.

Корректировка, проведенная экипажем, заключается в изменении порядка посещения (пролета). Оптимальным будет (это заметно на ри­ сунке) маршрут: Рига-^Балтийск^Вильнюс-^Минск.

Определение 2. Петлей называется траектория движения по маршру­ ту, имеющая замкнутый контур из ломаных линий, причем один угол такого контура находится вне перекрестка или населенного пункта.

На рис. 4 пунктирным контуром 2 выделен участок, имеющий ха­ рактерную петлю. Точка А (угол Пинск-А-Хойники на пересечении тра­ екторий Минск—>Хойники и Пинск—>Новозыбков) действительно нахо­ дится за пределами населенных пунктов, через которые проходит маршрут.

Теорема (без доказательства). Независимо от метода, с по­ мощью которого определяется минимальный маршрут коммивояэ/сера, необходимым условием оптимизации пути является отсут­ ствие петель в траектории.

Исходя из этой теоремы, участок маршрута внутри контура 2 на рис. 4 неоптимален. На нем установлен порядок:

Минск—>Хойники^Киев-^Пинск->Новозыбков.

После корректировки порядок изменится, а длина траектории умень­ шится:

Минск—>Пинск->Киев-^Хойники-^Новозыбков.

В результате двух выполненных корректировок из исходного (псев­ дооптимального) полетного расписания получено расписание полета по оптимальному маршруту (см. таблицу).

• 1. Е м е л ь я н о в А.А. Имитационное моделирование экономических процессов / А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума; под ред. А.А. Емелья­ нова. - М.: Финансы и статистика, 2002. 2. И з у ч е н и е ГИС. Методология ARC/INFO. - Институт исследования систем окружающей среды ESRI (Ка­ лифорния, США): пер. с англ. - М.: DATA+, 1995. 3. Д е М е р с М.Н. Гео­ графические информационные системы. Основы: пер. с англ. / М.Н ДеМерс. Географические координаты Порядковый Географическое М * DATA+, 1999. 4 М а р т ы и е н к о А.И Основы ГИС: теория и прак­ тика / А.И Мартынсико, Ю.Л. Бугаевский, С.Н. Шибалов. - М.: ГеоииформагН'Юнные технологии, 1995. 5. С к о г о р е в а Р Н. Геодезия с осно­ вами геоинформатики/Р.Н. Скогорева. - М.. Высшая школа, 1999. 6. Ц в е т к о в В.Я. Геоинформаиионные системы и технологии / В.Я. Цветков. - М.:

ГИБКИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ (ГПС) - термин, получивший широкое распространение в конце 80-х гг. XX в., когда была предложена концепция интенсификации производства и начали внедрять гибкую автоматизированную технологию (ГАТ) производства и управления.

ГПС охватывала все стадии работы научно-производствен­ ных объединений: от автоматизации научно-исследовательских работ, конструкторской, технологической и организационно-эко­ номической подготовки производства, материального обеспече­ ния, управления производственными процессами, контроля и испытаний до перестройки и переналадки оборудования.

Структура ГПС приведена на рис. 1 [3] и включает блоки: ав­ томатизированная система научных исследований (АСНИ); сис­ тема автоматизированного проектирования (САПР); автоматизи­ рованная система управления (АСУ), обеспечивающая оперативное производственное планирование загрузки оборудования и управ­ ление технологическими процессами (АСУТП) данной ГПС (эта система являлась частью АСУ всего предприятия); автоматизи­ рованная система технологической подготовки производства (АСТПП), обеспечивающая обработку данных для наладки тех­ нологических процессов в условиях ГПС, выбор соответствуюРис. щего оборудования, проектирование оснастки и приспособлений;

автоматизированная система инструментального обеспечения (АСИО); система автоматизированного контроля качества и ис­ пытаний изделий (САК) [2].

Для реализации идеи гибкой автоматизации цеха, участка, а иногда и производства в целом предусматривалось оснащать ГПС специализированными промышленными роботами (ПР) и робототехническими комплексами (РТК), функциями которых являются организация безлюдной технологии, автоматическая гибкая пере­ стройка и подача инструмента, смена деталей и полуфабрикатов, подача и смена материала, управление техпроцессами.

Разрабатывались и внедрялись ГПС разного рода (рис. 2): гиб­ кие комплексно автоматизированные заводы (ГАЗ), цехи (ГАЦ), участки (ГАУ), гибкие автоматизированные линии (ГАЛ), созда­ ваемые на основе гибких, перенастраиваемых производственных модулей (ГПМ) по всем видам производства с автоматизирован­ ными складскими, транспортными и транспортно-складскими сис­ темами (АСС, АТС, АТСС), системами управления производством и технологическими процессами.

Каждый модуль ГПС содержит технологические и контроли­ рующие элементы, оснащенные специализированными автома­ тическими манипуляторами, управляемыми мини- и микроЭВМ:

автоматизированную обрабатывающую ячейку, автоматическую контрольно-измерительную ячейку, автоматическую транспорт­ ную ячейку.

Управление работой ГПС обеспечивает АСУ, управляющая режимом загрузки ГПМ и ГАЛ, режимом производственного и календарного планирования и функционированием отдельных производственных систем.

Идеология создания ГПС не утратила своего значения и в настоящее время. Однако недостатком периода активного вне­ дрения ГПС был тот факт, что не всегда учитывались особеннос­ ти конкретных условий их применения, объемов производства и т.п., в результате чего часто простаивали разработанные и осо­ бенно приобретенные ГАЛ, не всегда обеспечивалось необходи­ мое согласование функционирования всех составных частей ГПС, что снижало их эффективность.

В последующем ГПС стали входить как составная часть в Интегрированные автоматизированные системы управления про­ мышленными предприятиями (см.).

• 1. В о и ч и н с к и и М.А. Гибкие автоматизированные производства / М.А. Войчинский, Н.И. Диденко, В.П. Лузин. - М.: Радио и связь, 1987. 2. Азб е л ь В.О. Гибкое автоматическое производство / В.О. Азбель, В.А. Егоров, А.Ю. Звоницкий и др. - М.: Машиностроение, Ленигр. отд., 1983. 3. В о л ­ к о в а В.Н. Системное проектирование радиоэлектронных предприятий с гибкой автоматизированной технологией / В.Н. Волкова, А.П. Градов, А.А. Де1П1Сов и др.; под ред. В.А. Мясникова и Ф.Е. Темникова. - М.: Радио ГОМЕОСТАЗ (ГОМЕОСТАЗИС) (греч. homeo - подобный, stasis неподвижность) - понятие, введенное биологом Кэнноном для обозначения физиологических процессов, поддерживающих на определенном уровне или в определенных границах некоторые переменные состояния организма, относящиеся к существенным (давление, температура и т.п.).

Применительно к теории систем гомеостазом первоначально называли свойство системы сохранять в процессе взаимодействия со средой значения существенных переменных в некоторых задан­ ных пределах.

Существенными называют характеристики, влияющие на ос­ новное качество системы, нарушение которого приводит к ее раз­ рушению. При этом существенные переменные должны оставать­ ся стабильными при различных состояниях среды и обеспечивать равновесие (см.) системы.

В таком понимании гомеостаз, или равновесие, характеризу­ ет систему как целое, а не отдельные ее части.

Определение гомеостаза через жесткую неизменность суще­ ственных переменных, интерпретируемых как параметры состо­ яния системы, в ряде случаев оказывается недостаточным для описания функционирования сложных систем.

Например, при описании социально-экономических систем сложно выявить соответствующие переменные или выявленные ха­ рактеристики могут не иметь ясной содержательной интерпретации.

Такие объекты, как правило, следует отображать классом самоор­ ганизующихся систем (см.), структура и характеристики которых могут меняться с течением времени, а условие жесткой фиксации границ существенных переменных невозможно выполнить.

Неудобно пользоваться такой моделью гомеостаза и в тех случаях, когда система стремится максимизировать (а не стаби­ лизировать) некоторые свои переменные. Ряд исследователей по этой причине противопоставляли гомеостатическим системам адаптивные (см. Адаптация).

Понятие адаптивности удобнее использовать применитель­ но к социально-экономическим системам, чем понятие экономи­ ческого гомеостаза (см. в [5]).

Однако первоначальное понятие гомеостаза не сводится толь­ ко к установлению жестких границ для существенных перемен­ ных системы, а может проявляться и в форме других механизмов.

Поэтому в некоторых исследованиях полезно обратиться к более тщательному изучению явления и гомеостазиса, и принципи­ альной неравновесности, неустойчивости, чтобы использовать механизмы обеспечения гомеостазиса в живых организмах или в социально-экономических объектах (см. Устойчивость, Устой­ чивость экономических систем).

• I Э ш б и У Р Конструкция мозга/У.Р. Э ш б и. - М. : Мир, 1964. 2. Э ш б и У Р. Введение в кибернетику/У.Р. Э ш б и. - М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

3. Б и р С. Кибернетика и управление производством / С. Бир. - М.: Наука, 1965.4. И с с л е д о в а н и я но общей теории систем. - М.: Прогресс, 1969.

ГОМОМОРФИЗМ, или гомоморфное отобра.исеиие -~ понятие со­ временной математики, которое первоначально возникло в алгеб­ ре. Термин гомоморфизм ввел Г. Фробениус, а общее определение было дано Э. Нётер в 1929 г. Это понятие относится к паре алгеб­ раических систем, которые представляют собой множества с за­ данными на них операциями и/или отношениями и определяются как отображение множества элементов одной системы в другую, сохраняющее все операции и отношения. Частными случаями го­ моморфизма являются изоморфизм (см.) и автоморфизм.

Перейдем к определению гомоморфизма для множеств с опе­ рациями. Пусть есть множество G. Говорят, что в этом множе­ стве задана п-ариая {п - целое неотрицательное число) алгебраи­ ческая операция со, если любому упорядоченному набору из п элементов а^,..., а^^ множества G поставлен в соответствие один определенный элемент этого же множества. Этот элемент обо­ значим а)((Г/р..., а^^ Е G; он является результатом выполнения ал­ гебраической операции ш над элементами r/j,..,, а^^. При п = О, 1, 2, 3 соответственно получаем нульарную, унарную, бинарную и тернарную операции. Сложение, умножение и деление элементов примеры бинарных операций.

Множество G называют универсальной алгеброй, если в нем задана некоторая система О. //-арных алгебраических операций со, причем для различных операций со числа п могут быть как раз­ личными, так и совпадающими. Кроме того, система операций может быть и бесконечной. Примерами алгебраических систем являются такие алгебраические понятия, как группы, группои­ ды, кольца и т.п.

Пусть имеются две универсальные алгебры G и G\ в которых заданы системы алгебраических операций Q и 2' соответствен­ но. Будем считать, что существует такое взаимно однозначное соответствие между системами Q и 0.\ при котором любая опера­ ция ( G Й и соответствующая ей операция со" G Q' будут /7-арными с одним и тем же /?. Иными словами, считается, что в данных двух алгебрах задана система операций одного и того же типа.

Гомоморфизмом универсальной алгебры G в G' называет­ ся однозначное отображение ф алгебры G в G\ при котором ра­ венство ф[а)(а1,...,л,,)] = со(ф[«1]),...,ф[а,,]) имеет место для всех элементов а^,..., а^^ е G и любой /7-арной операции ш G IQ. При этом С называют гомоморфным образом алгебры G.

• 1.Ленг С. Алгебра/С. Ленг. - М.-Мир, 1968. 2. К у р о ш А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1973. 3. М а л ь ц е в А.И. Ал­ гебраические системы / А.И Мальцев. - М.: Наука, 1970. В.Д- Ногин ГРАВИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ - модель, базирующаяся на предложенном в середине XIX в. американским социологом Ф. Кэри понятии аналога гравитационной силы в общественных явле­ ниях.

В 1929 г. В. Рейли предложил закон гравитации розничной торговли, согласно которому город притягивает своей рознич­ ной торговлей клиентуру из окружающей территории пропорцио­ нально своему размеру и обратно пропорционально квадрату расстояния от клиента до центра города.

Граница зоны сбыта городов / и у определяется как геометриIL = LL ческое место точек, для которых,2,2, где J.^. и d. - расстояния О городов ДО точек х на границе соответственно.

Д. Стюартом разработана теория гравитационных моделей, применимая для отображения социальных и социально-экономи­ ческих ситуаций типа взаимодействий между районами. Идея Стюарта заключается в том, что взаимодействие между совокуп­ ностями людей подчиняется законам, аналогичным закону гравитационного моделирования. Его теория основана на предпо­ ложении, что величина (сила) взаимодействия между населенны­ ми пунктами пропорциональна произведению показателей чис­ ленности населения и обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими пунктами:

где р. пр - численность населения пунктов / иу соответственно;

с/.. - расстояние между пунктами / и у;

Л/. - показатель взаимодействия между пунктами / и у;

/с - транспортная единица, например количество поездов или дру­ Наряду с понятием демографической силы (1) Стюарт предло­ жил формулу для демографического потенциала где vj - потенциал, создаваемый в точке / районом (или городом)у.

Суммарный демографический потенциал точки / определяет­ ся по формуле Стюарт составил карты демографического потенциала для тер­ ритории США. Такие карты в дальнейшем были построены для многих стран и районов. Их анализ показал, что часто демогра­ фический потенциал отражает освоенность территории лучше, чем общепринятый показатель плотности населения. Была также от­ мечена высокая степень корреляции демографического потенциа­ ла с размещением розничной торговли, развитием автодорог, за­ нятостью сельского населения в промышленности и т.д.

Гравитационная модель при соответствующем подборе пара­ метров использовалась для описания процессов миграционного взаимодействия. Эта модель хорошо подходит для междугород­ ных телефонных разговоров.

Простая гравитационная модель совершенствуется в двух на­ правлениях. Во-первых, в моделях может быть предусмотрен учет взаимодействия дополнительных факторов, кроме показателей численности населения и расстояний. Например, в моделях миг­ рации могут учитываться отношения прироста капитальных вло­ жений для районов /• иу, отношение числа вакантных рабочих мест на пути следования из района / в району (модель промежуточных возможностей) и т.д. Во-вторых, известны попытки применить гравитационную модель в случаях, когда показателям численно­ сти населения районов придаются некоторые веса или когда в числителе модели эти показатели заменяются некоторыми дру­ гими. Такова, например, модель, описывающая передвижения людей между штатами США, согласно которой число поездок из штата / в штату выражается соотношением Здесь в качестве весов w. и w. приняты средние доходы на душу населения в соответствующих штатах.

Интересно отметить, что закон «обратного квадрата», на ко­ тором основана гравитационная модель, получен в теории ин­ формационного поля [3] и находит экспериментальное подтверж­ дение в различных областях [2].

• 1, Б у н г е В. Теоретическая география: пер. с англ. / В. Бунге. - М.:

Прогресс, 1967. 2. В о л к о в а В.Н. Основы теории систем и системного анализа / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1977. 3. Д е и и с о в А.А. Теоретические основы кибернетики: Информационное поле / А.А. Денисов. - Л.: Л ПИ, 1975. 4. И з а р д К. Методы регионального ана­ лиза: пер. с англ. / К. Изард. - М.: Прогресс, 1966. 5. М а т е м а т и к а и кибернетика в экономике: словарь-справочник. - М.: Экономика, 1975.

ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ математического программирова­ ния предназначены для численного решения задач максимизации (минимизации) функции нескольких переменных как при наличин ограничений, так и без них. Градиентные методы представ­ ляют собой итерационный процесс, когда последовательное перемещение из одной точки в другую с целью приближения к точ­ ке экстремума на каждом шаге осуществляется в направлении градиента, т.е. вектора, составленного из частных производных целевой функции. Иначе говоря, градиентные методы использу­ ют линейную аппроксимацию целевой функции в окрестности те­ кущей точки. Наиболее распространенные среди градиентных ме­ тодов - метод простой итерации, метод наискорейшего подъема (спуска), метод условного градиента и метод проекции градиента.

Формально решение задачи максимизации функции/несколь­ ких переменных методом наискорейшего спуска состоит в постро­ ении последовательности точек (векторов) х^, л',,..., х,,,..., удовлет­ воряющих условиям убывания целевой функции fix^) > /(х,) >...

> / Ц, ) >••• Точки этой последовательности вычисляются по формуле деляемое градиентом;

Уд. - положительная величина, характеризующая длину шага вдоль на­ В зависимости от способа выбора величины шага будет полу­ чаться тот или иной вариант градиентного метода. Например, со­ гласно методу простой итерации эта величина всегда постоянна.

А в соответствии с методом наискорейшего подъема У/, выбира­ ют из условия минимизации целевой функции на луче, исходя­ щем из точки Х/, в направлении градиента р^,.

В общем случае градиентные методы дают возможность по­ лучить приближение лишь к стационарной точке, т.е. к такой, в которой градиент обращается в нулевой вектор. Это может быть точка глобального (локального) максимума либо минимума, или «седловая» точка.

• 1. В а с и л ь е в Ф.П. Численные методы решеьп1я экстремальных задач / Ф.П. Васильев. - М.: Наука, 1988. 2. 3 а и г в и л л У.И. Нелинейное нрограммирование. Единый подход / У.И. Зангвилл. - М.: Наука, 1973. 3. М о и с е е в Н.Н. Методы оптимиза1пп! / Н.Н. Моисеев, Ю.П. Иваиилов, Е.М. Сто­ лярова. - М. Наука, 1978. 4. Н о г и н В.Д. Основы теории оптимизации / В.Д. Ногин и др. -М.- Высшая школа, 1986. 5. П ше н и ч и ы й Б.Н. Числен­ ные методы в экстремальных задачах/ Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Дa^п1лин. М.:

Наука, 1975 б.Хедлн Д Нелинейное и динамическое программировашю:

пер. с англ. /Д. Хедли. - М.: Мир, 1967. В.Д. Погии, В.II Юрьев ГРАФИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ рассматриваются здесь как класс методов формализованного представления систем. В классификации Ф.Е. Темникова [1] этот класс символически пред­ ставлен рисунком.

^[^xJ \ / (древовидные, сетевые), гистограммы, диа­ С этой точки зрения они могут рассматриваться как промежу­ точные между МФПС (см. Методы формализованного представ­ ления систем) и МАИС (см. Методы, направленные на активиза­ цию использования интуиции и опыта специалистов).

Действительно, такие средства, как графики, диаграммы, ги­ стограммы, древовидные структуры, можно отнести к средствам активизации интуиции специалистов.

Классификация применяемых графиков по признакам и ви­ дам приведена в табл. 1.

В то же время есть и возникшие на основе графических пред­ ставлений методы, которые позволяют ставить и решать вопро­ сы оптимизации процессов организации, управления, проекти­ рования и являются математическими методами в традиционном смысле.

Таковы, в частности, геометрия, п^еория графов.

Основные понятия теории графов приведены в табл. 2, кото­ рая позволяет начать самостоятельное изучение теории графов.

Особую роль в моделировании процессов в сложных систе­ мах проектирования и управления играют представления операТаблица Графики, выражающие структуры Классификационные схемы и связи (оргаграммы) Графики, выражающие расположе­ Конгрольно-пла1Н1ровочные графики ния предметов и явлений во времени Гармонограммы (хронограммы) и в пространстве Маршрутные графики (топограммы) Графики, выражающие количественные отношения Графики расчетного характера Номограммы ций во времени. Старейшими из таких представлений являются графики Ганта («время-операция» в прямоугольных координа­ тах), которые первоначально применялись при планировании, контроле и управлении производством.

Графики Ганта выполнялись в форме чертежей, ленточных диаграмм с ручным, а в последующем - и с автоматическим уп­ равлением. В последнем случае графики представляли собой лен­ ты, одна половина которых была окрашена в черный цвет (чер­ ный участок соответствовал продолжительности операции).

Дальнейшим шагом было разделение лент на отрезки време­ ни, отображающие дискретные операции, что позволяло обра­ батывать дискретную информацию. Еще позже на этой основе возникли представления совокупности дискретных операций в дискретном времени как множества событий, упорядоченных в двух измерениях - сетевая структура (см.) Понятие или определяющий признак Граф (Г) конечный элементов Граф Граф нена­ правленный (неориенти­ рованный) Граф на­ правленный Направление отношений (ориентиро­ определено ванный) Граф симметри­ ческий Граф Односторонние отношения асимметри­ ческий Граф несвязный Граф сильно Любые два элемента соеди связный Граф полный единена непосредственно Мультиграф Много отношений между Понятие или определяющий признак Цикл Замкнутые последователь­ (для ребер). ности элементов и отноше­ (для дуг) Петля Цепь Последовательность (для ребер). элементов и отношений Путь (для дуг) Дерево Не менее двух вершин Сеть. Соединение элементов, Сетевой график Структура Любое соединение системы В результате на этой основе возникли прикладные теории PERT*, сетевого планирования и управления (СПУ) [5, 6, 8 и др.] (см. Сетевое моделирование), а позднее - и ряд методов статис­ тического сетевого моделирования с использованием вероятност­ ных оценок графов.

Первоначально СПУ широко применялись не только в управ­ лении производственными процессами (где достаточно неслож­ но построить сетевой график), но и в системах организационного управления (см.). Однако в последнем случае важно понимать ос­ новные недостатки СПУ.

* Program Evaluation and Review Technique - Методика оценки и конт­ роля программ [7].

Во-первых, эта теория первоначально была ориентирована на анализ только одного класса графов - направленных (не имею­ щих обратных связей, т.е. циклов, петель; такие требования со­ держались в руководящих материалах по формированию сетевых планов предприятий), и это явилось одной из причин того, что впоследствии при применении сетевых методов для отображения ситуаций, не подчиняющихся этим ограничениям, был использо­ ван термин сетевое моделирование, снимающий требование од­ нонаправленности графа.

И, во-вторых (что наиболее существенно), при формирова­ нии сетевых планов необходимо участие высококвалифициро­ ванных специалистов, хорошо знающих процессы в системе (эту работу нельзя поручить техническим работникам, которые по­ лезны лишь при оформлении сетевых графиков и обработке ре­ зультатов оценки). При этом по результатам исследования ока­ залось, что доля «ручного» труда лица, принимающего решение (ЛПР), при разработке сетевого графика составляет, по оценкам специалистов, до 95% общих затрат времени на анализ ситуаций и процессов с использованием сетевого моделирования.

Для снижения доли «ручного» труда полезно сочетать гра­ фические представления с лингвистическими и семиотическими, разрабатывая языки автоматизации формирования сетевой мо­ дели. На основе такого сочетания методов возникли новые на­ правления моделирования - структурно-лингвистическое (см.), графо-семиотическое (см.) и т.п.

С примерами разработки методик и языков моделирования, использующих подобные представления, можно познакомиться в [2, 3, 4.].

• 1. В о л к о в а В Н. Методы формализованного представления (отобра­ жения) систем: текст лекций / В.Н. Волкова, Ф.Е. Темников. - М.: ИПКИР, 1974. 2. В о л к о в а В.Н., Методы формализованного представления сис­ тем: учеб. пособие / В.Н. Волкова, А.А. Денисов, Ф.Е. Темников. - СПб..

СПбГТУ, 1993. 3. В о л к о в а В.Н. Основы теории систем и системного ана­ лиза: учеб. для вузов / В Н. Волкова, А.А. Денисов. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997, - С. 127-130. 4. В о л к о в а В.Н. Искусство формализации / В.Н. Вол­ кова.-СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 5. К о ф ф м а н А Сетевые методы пла­ нирования и их применение / А. Коффман, Г. Дебазей. - М.: Прогресс, 1968.

6. К р и в ц о в А.М Сетевое планирование и управление / A.M. Кривцов, В.В. Шеховцов. - М.: Экономика, 1965. 7. М и л л е р Р.В. ПЕРТ-система управления / Р.В. Миллер. - М.: Экономика, 1965. 8. С ы р о е ж и н И.М.

Азбука сетевых планов. Вып. 1 / И.М. Сыроежин. - М.: Экономика, 1966.

ГРАФО-СЕМИОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - разновид­ ность структурно-лингвистического моделирования (см.).

Название предложено в [3], чтобы подчеркнуть, что правила грамматики, применяющиеся при формировании модели, не от­ носятся к правилам грамматики, исследуехмым в математичес­ кой лингвистике (см.), их в большей мере можно отнести к лингви­ стической семиотике, т.е. к семиотическим представлениям (см.), а понятие графические представления (см.) также можно тракто­ вать шире, чем было принято в структурно-лингвистическом моделировании, в котором применялись, как правило, структуры типа расчленения в пространстве в то время, как в графо-семиотических моделях формировался конечный граф последовательности прохождения информации во времени, подобный сетевому, по­ строенный автоматизированно и более полно отражающий ха­ рактеристики элементов модели [2].

Эти модели назывались также семиотическими [1], сигнатур­ ными [4, 5], т.е. знаковыми в широком смысле.

Для того чтобы пояснить развитие модели постепенной фор­ мализации, рассмотрим конкретный пример.

Предположим, что нужно принять решение о структуре обеспечива­ ющей части Автоматизированной информационной системы (ОЧ АИС) отрасли, предприятия которой расположены в разных городах. При этом предварительно рассматриваются два основных варианта: 1) создание единого Главного информационно-вычислительного центра (ГИВЦ) отрасли и организация централизованного сбора от всех предприятий посредством установленных на них периферийных средств сбора инфор­ мации (А1, А2,..., Ак); 2) наряду с ГИВЦ и периферийными средствами сбора на предприятиях создать региональные информационные центры (ИЦ), обозначенные на рис. 1 ИЦ1, ИЦ2,..., ИЦ/i, которые будут рас­ положены в городах.

Необходимо выбрать вариант и определить вычислительную мощ­ ность ГИВЦ и региональных ИВЦ (в случае выбора второго варианта), типы ЭВМ для ГИВЦ и ИВЦ, типы периферийных средств регистрации информации, объемы информационных массивов в ГИВЦ и ИВЦ, фор­ мы документов Ф1, Ф2,..., Фп сбора и передачи информации между пунктами, принятыми в соответствующем варианте. При этом следует иметь в виду, что в случае выбора первого варианта возникают пробле­ мы диспетчеризации приема-передачи информации от достаточно мно­ гочисленных пунктов первичного сбора информации на предприятиях.

Аналогично может быть поставлена задача для объединения, пред­ приятия которого расположены в разных городах, или для предприя­ тия, крупные производства которого расположены в разных корпусах.

Для ответа на поставленные вопросы и выбора структуры ОЧ АИС необходимо исследовать информационные потоки. Можно было бы попытаться получить статистические характеристики потоков и принять ориентировочные решения о выборе технических средств, структуре информационных массивов и на этой основе выбрать вариант 0 4. Од­ нако получить требуемые статистические характеристики трудоемко, а для вновь разрабатываемых информационных систем - невозможно.

Для решения этой задачи в [1] предложена методика посте­ пенной формализации задачи моделирования информационных потоков. В соответствии с этой методикой предусмотрены фор­ мирование графо-семиотической модели, отображающей возмож­ ные варианты прохождения информации в АИС, и последующая оценка модели для выбора наилучшего варианта пути прохожде­ ния информации.

Формирование модели, отображающей возможные варианты прохождения информации в АИС, можно осуществить путем состав­ ления графо-семиотической модели, выполнив следующие этапы.

1. Отграничение системы от среды («перечисление» элемен­ тов системы). Задачу «перечисления» можно представить на язы­ ке теоретико-множественных методов как переход от названия характеристического свойства, отраженного в названии форми­ руемой системы и множества ее элементов, к перечислению эле­ ментов, которые отвечают этому свойству и могут быть включе­ ны в множество.

На рисунке перечислено для примера небольшое число исходных элементов: ГИВЦ, ИЦ1, ИЦ2,..., А1, А2,... - пункты сбора и обра­ ботки информации; Ф1, Ф2,... - формы сбора и представления ин­ формации (документы, массивы); ЭВМ, ТТ (телетайп), Т (телефон) и т.д. Понятно, что в реальных условиях конкретных видов подобных эле­ ментов существенно больше, и они будут названы более конкретно - не ЭВМ, а тип ЭВМ; аналогично - тип ТТ, регистраторов производства (РП), наименования или коды документов и массивов и т.д.