«НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Материалы докладов республиканской научно-практической конференции 25 октября 2008 г. КИРОВ 2008 ББК 74. 202. 5 Н 32 Печатается по решению редакционно-издательского ...»

7-й класс. Основной образовательный компонент. Урок «Путешествие внутри вещества». Урок-суд над инерцией. Урок «Закон Всемирного тяготения в просторах Солнечной системы». Урок-практикум «Сила трения». Урок-защита фантастических проектов «Если б не было силы трения». Урок-практикум «Атмосферное давление на службе человеку». Урок-конференция «Основы воздухоплавания и плавания судов». Урок «Полет с Незнайкой на воздушном шаре».

Дополнительный образовательный компонент. Спецпрактикум «Физика в эксперименте». Компьютерная обучающая игра «Путешествие по атмосфере».

Индивидуальные консультации.

Интегрирующее событие. Занятия межвозрастного клуба «Физика вокруг нас: физика в литературе, в природе, в спорте». Участие в экспертизе и презентации исследовательских работ. Заочная общегимназическая олимпиада по естествознанию.

8-й класс. Основной образовательный компонент. Урок-конференция «Теплопередача в природе и технике». Урок-защита проекта «Самый теплый дом зимой, самый прохладный летом». Урок-защита рефератов «Тепловые машины, их виды, история и усовершенствование». Урок-заседание редакции журнала «Почемучка» по разделам «Агрегатные превращения в природе», «Природа электрического тока». Урок-семинар «Исторические опыты по открытию строения атома», «Действия электрического тока и их применения».

Уроки-практикумы «Электрический ток». Семинар «Солнечные и лунные затмения». Урок-конференция «Особенности зрения обитателей Земли».

Дополнительный образовательный компонент. Элективный курс «Физика атмосферных явлений», часть 1. Элективный курс «Основы астрофизики», часть 1. Спецсеминар «Физическая задача». Компьютерная обучающая игра «Путешествие по Солнечной системе». Индивидуальные консультации.

Интегрирующее событие. Занятия межвозрастного клуба «Физика вокруг нас»: физика в литературе, в народных приметах, за чайным столом, в природе.

Участие в экспертизе и презентации исследовательских работ. Заочная общегимназическая олимпиада по естествознанию. Интеллектуальный бой по естествознанию.

9-й класс. Основной образовательный компонент. Урок-семинар «Движение в природе», «Силы в природе». Урок-конференция «Принцип реактивного движения в природе и технике». Урок-защита рефератов «Закон сохранения энергии и проблема вечного двигателя». Урок-заседание редакции журнала «Почемучка» по темам «Где живет электричество», «Какие звуки бывают на Земле». Урок-защита проектов «Электростанция будущего». Урок-конференция «Магнитные явления в природе», «Шкала электромагнитных волн», «Мирный атом?!». Урок в музее К. Э. Циолковского «Уроки из космоса» (видеоурок по механике).

Дополнительный образовательный компонент. Элективный курс «Физика атмосферных явлений», часть 2. Элективный курс «Основы астрофизики», часть 2. Спецсеминар «Механика в задачах». Сетевая образовательная программа «От физической модели к реальному событию». Индивидуальные консультации.

Интегрирующее событие. Занятия межвозрастного клуба «Физика вокруг нас»: физика в литературе, в концертном зале, в природе, в спорте. Участие в экспертизе и презентации исследовательских работ. Заочная общегимназическая олимпиада по естествознанию. Интеллектуальный бой по естествознанию.

Моделирование ядерного взрыва и его последствий.

10-й класс. Основной образовательный компонент. Урок-мастерская «Физические основы полета на Луну». Урок-практикум «Физические свойства жидкостей». Урок-конференция «Состояния вещества во Вселенной», «Принцип действия тепловых машин», «Природное электричество». Заседание редколлегии научно-популярного журнала по теме «Тепловое равновесие и тепловая смерть Вселенной». Урок-семинар «Изопроцессы в природе». Урок в музее К. Э. Циолковского «Уроки из космоса» (видеоурок по механике, молекулярной физике и термодинамике).

Дополнительный образовательный компонент. Элективные курсы «Методы решения физических задач», часть 1, «От физической модели к реальному событию». Индивидуальные консультации.

Интегрирующее событие. Занятия межвозрастного клуба «Физика вокруг нас»: физика ноосферы и космоса, биофизика. Участие в экспертизе и презентации исследовательских работ. Заочная общегимназическая олимпиада по естествознанию. Проект «Экологические катастрофы и способы их предотвращения».

11-й класс. Основной образовательный компонент. Урок-конференция «Магнитные явления в природе». Урок-деловая игра «Производство, передача и использование электроэнергии». Урок-семинар «Применение радиоволн», «Электрические приборы», «Оптические приборы». Урок-практикум «Законы соединения проводников и источников».

Дополнительный образовательный компонент. Элективные курсы «Методы решения физических задач», часть 2, «Основы электронной оптики», «Научные методы познания». Индивидуальные консультации.

Интегрирующее событие. Занятия межвозрастного клуба «Физика вокруг нас»: физика ноосферы и космоса, биофизика. Участие в экспертизе и презентации исследовательских работ. Заочная общегимназическая олимпиада по естествознанию. Проект «Человек в мире, мир человека».

Опыт руководства исследовательской деятельностью гимназистов приводит к необходимости интеграции познавательных интересов в другие области знаний как естественнонаучного, так и гуманитарного цикла. Это позволяет вывести ребенка на более глубокое осмысление методов научного познания мира, интегрировать его интерес в познание природы в целом через исследование отдельных ее тайн. Приведем некоторые возможные направления реализации межпредметных связей в исследовании: написание научно-фантастических или научно-популярных произведений, анализ физических основ описываемых в произведениях явлений, исследование влияния научных открытий на развитие культуры, исследование истории внедрения технических изобретений, некоторые вопросы биоинженерии, биофизики, исследование проблем астрофизики, написание программ обработки результатов исследований, компьютерных игр.

Концентрическая система педагогической поддержки при руководстве научным исследованием позволяет одновременно расширять и углублять познавательный интерес гимназистов.

На определенном этапе работы гимназисты реализуют желание исследовать интересующий их объект в многообразии взаимосвязей с окружающим миром. Приведем несколько примеров подобных исследовательских работ:

Визуализация слабых свечений астрономических объектов при состыковке оптического телескопа и ЭОПа, Е. Семин, 11-й класс, диплом II степени на Региональном конгрессе «Шаг в будущее» и на Всероссийских Циолковских чтениях.

Физическое толкование пословиц Вятского края, А. Рябова, 8-й класс, диплом II степени на городской конференции «Отчий дом».

Герои повести К. Э. Циолковского «На Луне» путешествуют на Марс, А. Рябова, 11-й класс, диплом II степени, VIII Всероссийские Циолковские чтения, дипломант VI Всероссийских Харитоновских чтений.

Расширение возможностей астрофотографии с помощью применения ПЗС камеры и компьютерной обработки снимков. А. Куликов, 11-й класс, лауреат Десятой Российской научной и инженерной выставки «Шаг в будущее», диплом II степени, VIII Всероссийские Циолковские чтения, диплом II степени на Региональном конгрессе «Шаг в будущее».

Компьютерная обучающая игра «Путешествия по Солнечной системе», Т. Петухов,10-й класс, дипломант VII Всероссийских Харитоновских чтений, лауреат премии президента за 2-е место на Всероссийской олимпиаде исследовательских работ «Созвездие», г. Королев, диплом I степени на IX Всероссийских Циолковских чтениях.

Полт к ближайшей звздной системе Альфа Центавра c использованием технологии солнечного паруса, научно-фантастический рассказ, А. Ердяков, 9-й класс, дипломат VII Всероссийских Харитоновских чтений, диплом I степени на городской технической конференции, лауреат премии президента за 2-е место на Всероссийской олимпиаде исследовательских работ «Созвездие», г. Королев, диплом I степени на IX Всероссийских Циолковских чтениях.

Соединение линзовой и электронной оптики для рассмотрения, фотографирования и изучения микроскопических биологических объектов, Г. Тимин, 7-й класс.

Интегрированные исследования возможны лишь после удовлетворения познавательного интереса к выбранному объекту в данной науке и возникновения нового познавательного запроса, который можно реализовать лишь на качественно новом витке интеллектуальной активности, что, несомненно, требует внимательного и грамотного руководства. Концентрическая система педагогической поддержки при руководстве научным исследованием позволяет одновременно расширять и углублять познавательный интерес гимназистов.

Выше приведена действующая модель осуществления системы деятельности по педагогической поддержке познавательного интереса гимназистов в предметной области «Физика» с целью развития учебно-познавательной компетенции гимназиста. Поэтапная реализация образовательной компетенции является процессом, задающим векторы индивидуальных интеллектуальных траекторий развития, которые постепенно выводят гимназиста на развитие полифункциональных умений. Опыт работы позволяет отследить повышение уровня интеллектуальной самостоятельности гимназистов и, как системный результат, повышение степени успешности данного подростка в целом.

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

СТУДЕНТОВ В ЛАБОРАТОРНОМ ПРАКТИКУМЕ

ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКЕ

Педагогическая наука основным результатом процесса обучения считает развитие самостоятельной, способной к самообразованию, творческой личности. Развивающее обучение обеспечивается активной деятельностью учащегося. П. И. Пидкасистый подчеркивает, что «учебная деятельность студента, ее структура, методика ее организации в целостном дидактическом процессе относится к центральным проблемам вузовской дидактики» [1, c. 3]. Основным противоречием современного учебного процесса является «несоответствие "продукции" образования потребностям общества, связанное с более медленным развитием образовательных программ и технологий обучения, чем развитие науки и производства» [1, c. 5].

В педагогическом вузе указанное противоречие обостряется в связи с тем, что будущие специалисты будут обязаны сами развивать те качества личности, которые должны были быть сформированы у них средней и высшей школой.

Особенно актуально это для учителей физики, работа которых тесно связана с быстро изменяющимся материальным миром, обновлением и совершенствованием непосредственно окружающей человека естественной и искусственной среды. Поэтому необходимо всестороннее исследование проблемы организации активной учебной деятельности студентов, направленной на обеспечение в будущем эффективной деятельности учащихся при изучении физики в школе.

Современные тенденции интенсификации учебного процесса, предполагающие повышение эффективности обучения в школе за счет перехода от репродуктивных к продуктивным и творческим формам деятельности [2], требуют наличия у учителя новых компетенций: экспериментальной подготовленности, умений проектирования инновационных методик формирования понятий, изучения фундаментальных теорий, построения вариативного компонента обучения, использования методологических принципов.

Как известно, деятельность учителя состоит из трех основных компонентов:

мотивационно-ориентировочного, управленческого и рефлексивно-оценочного.

Кратко раскроем их содержание на примере курса экспериментальной физики, входящего в состав дисциплины «Общая и экспериментальная физика».

Курс экспериментальной физики включает лекционные занятия и лабораторный практикум и изучается после курса общей физики, параллельно с курсом методики преподавания физики. Программа курса содержит значительный по объему вариативный компонент, что позволяет каждый год менять содержание курса. Наиболее активная самостоятельная деятельность студентов может быть организована при выполнении лабораторных работ. Сформулируем требования к лабораторному практикуму по экспериментальной физике, обеспечивающему совершенствование умений учебной деятельности студента.

Мотивационно-ориентировочная деятельность 1. Изучение явлений, которые не изучались ранее ни в школьном, ни в вузовском курсе, но могут там изучаться и представляют интерес для учителя и учащихся. Возможность получения результатов, отличающихся объективной новизной.

2. Изготовление студентами достаточно сложных приборов или экспериментальных установок. Выполнение серии экспериментов с изготовленными приборами.

3. Отсутствие подробных инструкций, необходимость самостоятельного изучения учебной теории, условий эксперимента.

4. Освоение целостного элемента учебной физики: овладение учебной физической теорией, выполнение учебного эксперимента и разработка методики их изучения.

5. Изучение школьных учебников, выяснение возможности применения разработанного элемента учебной физики на конкретном уроке.

6. Презентация разработанной методики с демонстрацией учебного физического эксперимента.

7. Сравнение дидактических возможностей нового и традиционного учебного физического эксперимента.

8. Обнаружение достоинств и недостатков предлагаемой методики в сравнении с традиционной.

9. Рефлексия своего отношения к будущей профессиональной деятельности, интереса к ней, уровня умений и знаний.

В основу организованного и проведенного нами лабораторного практикума был положен учебный эксперимент с упругими волнами ультразвукового диапазона низкой частоты. Выбор этой тематики обусловлен тем обстоятельством, что физические свойства ультразвука низкой частоты не отличаются от свойств звука высокой частоты, а дидактический потенциал несравненно выше [3–8]. Поэтому использование ультразвука низкой частоты при изучении механических волн в школе дает значительный дидактический эффект.

Содержание десяти лабораторных работ практикума по экспериментальной физике представлено в таблице. Технология выполнения этих работ заключалась в следующем.

Студенческие группы были разбиты на звенья из двух человек. Звенья самостоятельно выполняли все лабораторные работы практикума (таблица) в течение семи четырехчасовых учебных занятий.

Содержание лабораторных работ физического практикума 1. Магнитострикционный из- Определение параметров вибратора. Изготовление лучатель ультразвука низкой магнитострикционного излучателя ультразвука. Опчастоты ределение полного сопротивления обмотки возбуждения магнитострикционного излучателя ультразвука 2. Элементы ультразвукового Изготовление контурной катушки генератора. Опрегенератора низкой частоты деление индуктивности катушки при различных положениях сердечника в каркасе. Подбор деталей для генератора, определение их электрических параметров и сравнение с номиналами. Определение цоколевки транзистора 3. Ультразвуковой генератор Сборка учебного ультразвукового генератора низкой низкой частоты частоты. Исследование работы генератора осциллографическим методом: определение диапазона выходных частот, зарисовка осциллограмм напряжений на различных участках схемы генератора и осциллограммы выходного сигнала. Измерение выходного 4. Резонансное возбуждение Изучение явления резонансного возбуждения вибравибратора магнитострикци- тора магнитострикционного излучателя. Оценка амонного излучателя плитуды колебаний вибратора по высоте подскока 5. Упругие характеристики Измерение собственных частот колебаний вибратоматериала вибратора ров различной длины осциллографическим методом.

6. Ультраакустические эф- Изучение ориентирующего действия ультразвука в фекты второго порядка газе и жидкости. Исследование явлений притяжения 7. Cтоячая ультразвуковая Сборка экспериментальной установки. Визуализация волна в воздухе стоячей волны в воздухе методом Кундта. Определение скорости упругой волны в воздухе. Исследование 8. Ультразвуковой интерфе- Изучение реакции излучателя. Сборка и изучение рометр модели ультразвукового интерферометра на основе 9. Интерференция изгибных Изучение явления интерференции при отражении от волн при отражении от края прямого края упругой пластинки. Изготовление буупругой пластинки мажных пластинок с круглыми выпуклым и вогнутым краями. Изучение явления интерференции при 10. Фигуры Хладни Исследование стоячей волны в пластинках различных размеров и упругих свойств. Исследование явления дисперсии изгибных волн К каждой лабораторной работе были составлены руководства объемом не более одной страницы, которые содержали следующие разделы: задача (общая цель работы и требования к содержанию отчета), теория (серия теоретических вопросов, ответы на которые необходимо знать для успешного выполнения эксперимента), эксперимент (экспериментальные задания, сформулированные в самом общем виде), методика (перечень названий возможных методик, которые должен разработать студент), рекомендации к выполнению эксперимента (краткое описание условий опытов), литература (указания на школьные учебники, научные статьи, книги). Отчет о выполненных лабораторных работах студентов должен был включать три раздела: краткую учебную теорию, описание эксперимента и методику его применения в школьном курсе физики.

Лабораторный практикум проводился параллельно с лекционным курсом, на котором демонстрировались опыты и излагалась учебная теория. Студенты имели возможность самостоятельного освоения учебной теории по рекомендованной литературе и иным источникам информации.

На лабораторных занятиях приводились примеры школьных методик. При разработке методик студенты опирались в основном на школьные учебники.

Одно из занятий было посвящено непосредственно работе с учебниками, составлен краткий конспект, в котором определено, на каком уроке какой эксперимент с ультразвуком можно использовать.

При составлении методики студенты сравнивали дидактические возможности предлагаемого и традиционного эксперимента с упругими волнами. Анализ предложенных студентами методик завершался заключением о целесообразности или нецелесообразности применения их в учебном процессе школы.

На последней лекции курса проводилось анкетирование с целью выяснения интереса студентов к продемонстрированным на лекциях и выполненным ими самостоятельно экспериментам, той деятельности, которую они осуществляли в курсе экспериментальной физики.

Экзаменационные билеты включали отдельные вопросы школьного курса физики, относящиеся к упругим волнам. Студент должен был, используя изготовленное им во время прохождения практикума экспериментальное оборудование, разработать методику и продемонстрировать экзаменатору фрагмент школьного урока с использованием учебного эксперимента с ультразвуком низкой частоты.

Изложенная технология проведения курса экспериментальной физики в соответствии с представленным содержанием практикума была реализована при обучении студентов IV курса (74 человека) физического факультета Глазовского госпединститута в 2005 и 2006 гг. Анализ полученных результатов свидетельствует, что цель совершенствования учебной деятельности студентов при выполнении лабораторных работ физического практикума достигнута.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пидкасистый, П. И. Организация учебно-познавательной деятельности студентов [Текст]: учебное пособие / П. И. Пидкасистый. – М.: Пед. общество России, 2004. – 112 с.

2. Сборник нормативных документов. Физика [Текст] / сост. Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2004. – 112 с.

3. Майер, В. В. Магнитострикционный излучатель ультразвука [Текст] / В. В. Майер, Е. И. Вараксина // Потенциал. – 2006. – № 8. – C. 55–60.

4. Майер, В. В. Ультразвуковой генератор низкой частоты [Текст] / В. В. Майер, Е. И. Вараксина // Потенциал. – 2006. – № 9. – C. 75–80.

5. Майер, В. В. Ультразвуковые колебания магнитострикционного вибратора [Текст] / В. В. Майер, Е. И. Вараксина // Потенциал. – 2006. – № 10. – C. 73–80.

6. Майер, В. В. Оценка амплитуды ультразвуковых колебаний вибратора [Текст] / В. В. Майер, Е. И. Вараксина // Потенциал. – 2007. – № 3. – C. 75–80.

7. Майер, В. В. Изгибные волны в пластинках [Текст] / В. В. Майер, Е. И. Вараксина // Потенциал. – 2007. – № 4. – C. 73–78.

8. Майер, В. В. Изгибные волны и великий принцип Ферма [Текст] / В. В. Майер, Е. И. Вараксина // Потенциал. – 2007. – № 5. – C. 74–80.

II. ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ

ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В РОССИИ И СССР

История математических соревнований в России тесно связана с дополнительной работой с интересующимися математикой школьниками, которая началась еще до Первой мировой войны. В Московском университете работал математический кружок, открытый для всех желающих, его работа освещалась в журнале «Математическое образование». Первая мировая и Гражданская войны в России на время остановили эту работу, которая возобновилась в СССР в начале 30-х гг. в Ленинграде (Санкт-Петербурге) и Москве.

В 1933 г. проф. Б. Н. Делоне предложил систему работы со математически одаренными школьниками Ленинграда, принцип которой актуален и сегодня.

Главным ее звеном стали школьные, районные и городские кружки, часть из которых вели студенты, аспиранты и сотрудники университета. Кружки позволили работать с одаренными детьми регулярно и систематически в течение всего учебного года. А выявлять и привлекать к занятиям в кружках новых одаренных учащихся, параллельно подводя итоги работы кружков, должна была ежегодная городская олимпиада, школьный, районный и городской туры которой впервые состоялись в 1933/34 учебном году и проводятся с тех пор ежегодно с единственным перерывом в блокадном 1942 г. [6–8, 14]. Через год, при активном участии переехавшего в Москву Б. Н. Делоне, была основана Московская городская олимпиада [1, 5, 12]. Одновременно в Москве были созданы математические кружки, система открытых лекций и сборник «Математическое просвещение».

В те годы в СССР не было научных центров, сравнимых по уровню с Москвой и Ленинградом. Но положение постепенно менялось, а с начала 60-х гг.

стало меняться быстро и радикально: в 1961 г. в Москве прошла первая Всероссийская математическая олимпиада, ставшая с 1967 г. Всесоюзной [2–4], возникли специализированные математические школы, был основан физикоматематический журнал «Квант», начали проводиться летние математические лагеря. В первой половине 70-х математических вечерних и заочных школ и летних лагерей в России насчитывалось уже многие десятки. Произошедший затем спад, отмеченный заметным уменьшением числа школ и кружков и их учеников, к началу 90-х сменился новым мощным подъемом, продолжающимся и поныне. Инициатива при этом шла не из столиц, как в 60-е, а из регионов России, где к тому времени работало немало бывших кружковцев и олимпиадников, выпускников Ленинградского, Московского и других крупных университетов, заинтересованных в том, чтобы и в их городах росли математики и шла активная работа со школьниками. В Кирове, Краснодаре, Омске, Ижевске, Челябинске, Перми, Майкопе, Барнауле, ряде других российских городов возникли сильные центры дополнительной работы с одаренными школьниками, заметны олимпиадные успехи учеников из Московской области, Ярославля, Нижнего Новгорода, Екатеринбурга, Нижнего Тагила, Набережных Челнов, Снежинска, Сарова, Белорецка, Иркутска, Якутии, по-прежнему сильны петербургские и московские школьники. К традиционным олимпиадам добавилось немало новых состязаний. Не обходится и без проблем, одна из которых – насколько спортивными могут быть математические соревнования.

Спортивные амбиции участников ленинградских и московских олимпиад 30–50 гг. были, в общем, их личным делом, мало поощрявшимся организаторами. С возникновением Всесоюзной/Всероссийской математической олимпиады спортивный аспект обрел организационную форму: ведь на каждом из ее этапов надо было отбирать участников следующего, а на заключительном – команду России на Международную олимпиаду. Неприятным побочным эффектом этого стало появление «профессионалов», для которых победа на олимпиаде превратилась в самоцель. Это явление, усиленное желанием некоторых преподавателей использовать олимпиадные успехи учеников прежде всего в карьерных целях, породило у ряда ученых и педагогов мнение, что олимпиады, оторвавшись от школы и науки, превратились в спорт, а увлечение ими только мешает дальнейшим математическим занятиям. Но эта позиция столь же ущербна, как и «олимпиадный профессионализм». Бороться с такими неотъемлемыми свойствами человеческой натуры, как спортивный азарт и желание победить, по меньшей мере бесполезно, надо их использовать. Если первопричиной участия в олимпиадах для некоторых детей и являлась их склонность к соревнованиям, а не интерес к математике, то затем, познакомившись с увлекательными задачами (а обычная школьная программа с ними не знакомит), дети начинают активно их решать и увлекаются самой математикой, а состязательные аспекты, если они не поощряются извне (а вот с таким поощрением и надо бороться), обычно отходят на второй план.

Есть веские основания считать, что начало работы с математически одаренными школьниками во многих городах и регионах России и СССР стимулировала именно Всесоюзная олимпиада. Сейчас мы видим ее результаты – появилось мощное молодое поколение российских математиков, громко заявившее о себе в математическом мире. Многие из них пришли не из столиц, и большинство прошли через кружки и олимпиады. Среди них Филдсовский лауреат М. Концевич, лауреат премии Клэя (Clay Institute Prize), филдсовский номинант С. Смирнов, доказавший в 2003 г. гипотезу Пуанкаре Г. Перельман, решившие проблему Серра А. Суслин, 10-ю проблему Гильберта – Ю. Матиясевич и 16-ю проблему Гильберта В. Харламов, лауреаты премии Салема С. Конягин, А. Александров и многие другие обладатели престижных международных наград и премий. Несомненно, без олимпиад лицо современной российской математики было бы иным.

Итак, российские математические олимпиады органически вписаны в структуру образования одаренных школьников, и главные их цели вытекают из их роли в этой системе. Это повышение интереса школьников к занятиям математикой, выявление одаренных учащихся и привлечение их к регулярным дополнительным занятиям, стимулирование работы с одаренными детьми в школах, районах и вузаах, подведение итогов такой работы, выявление активистовучителей, ведущих дополнительную работу и добившихся успехов в этой работе, с целью распространения их опыта, привлечение студентов, аспирантов, ученых и специалистов к работе с одаренными школьниками, организация их контактов с одаренными детьми и активистами-учителями. А проведение в Санкт-Петербурге заключительного тура городской олимпиады в устной форме позволяет привнести в нее и элементы обучения: здесь школьник, решивший задачу, имеет три попытки для того, чтобы рассказать свое решение одному из членов жюри, который может задавать уточняющие вопросы или опровергнуть решение. Наконец, в математических соревнованиях привлекает высокая результативность в том смысле, что десятки людей с не очень значительными затратами сил и средств могут проводить соревнования для десятков тысяч, параллельно выявляя одаренных детей и приобретая опыт работы с ними. Это позволяет использовать соревнования как плацдарм для создания «с нуля» всей системы дополнительного образования одаренных: именно так начиналось более 20 лет назад становление такой системы в Кировской области, вышедшей ныне далеко за региональные рамки.

Особую нишу среди математических соревнований занимает Турнир городов [9–11], возникший в 1980 г. и вскоре ставший международным. Одной из целей организаторов было сделать задачи экстракласса, предлагавшиеся на крупных олимпиадах, доступными для возможно большего числа школьников.

В каждом городе турнир проводится как очная олимпиада, а соревнование между городами – заочное. Организаторы турнира старались взять лучшее из нескольких олимпиад, в том числе всесоюзных, международных и некоторых городских, избавившись от некоторых их недостатков. Во многом это им удалось:

по крайней мере для учеников второго из авторов во второй половине 80-х, пока не возникли другие возможности, Турнир городов был едва ли не единственным «окном в мир».

Сейчас городов-участников (не считая тех, участие которых было эпизодическим) насчитывается около 150, их общее население — 100 млн человек.

Это, однако, не означает, что школьники всех этих городов имеют возможность принять участие в турнире, так как в ряде городов турнир проходит лишь в некоторых школах. Ежегодное число участников Турнира колеблется в последние годы около 10 000, а число победителей – около 1 000 человек. Турнир не зависит от государственных систем образования – для участия в нем достаточно желания местных активистов. Конечно, его нельзя провести в городе, где нет таких активистов, но это справедливо для любой эффективной работы с одаренными детьми. Если же активист появляется, то со временем почти неизбежно выявляются талантливые школьники и появляются успехи, причем не только на Турнире.

Турнир сравнительно дешев. Его ежегодный бюджет составляет около $30,000 на 10 000 участников – менее 1% от бюджета Международной олимпиады (число участников – около 500).

Идея перехода от состязания к обучению воплощена в ежегодной Летней конференции, на которую приглашаются школьники, добившиеся в Турнире наивысших результатов (их количество бывает около 60–70) и их учителя. Цель конференции — еще раз показать наиболее продвинутым школьникам, что математика не сводится к движению по пути от более простой олимпиады к более сложной, в конце которого для всех, кроме небольшого числа победителей, неизбежно поражение. Школьникам на неделю предлагаются серии задач, образующих исследовательскую тему, и школьники в течение недели могут почувствовать дух научной работы над математическими проблемами. Спецификой математического творчества школьников на олимпиадах и других математических соревнованиях является относительно небольшое время, которое дается на решение задачи, в то время как у профессионального математика хорошая задача решается не каждый год, и с этой точки зрения из известных математических соревнований в России Летняя конференция более всего приближает математическое творчество школьников к профессиональному.

На личных математических соревнованиях каждый сам по себе, и поэтому они, условно говоря, больше ориентированы на интровертов. А многие экстраверты лучше раскрываются в коллективном творчестве: математическом общении, обсуждении и доводке чужих идей, проверке результатов, полемике и т. д. Это делает необходимым наличие не только личных, но и командных математических игр и состязаний и объясняет важное их место в российской культуре работы с математически одаренными детьми. Кроме того, командные игры обладают двумя уникальными достоинствами: их публичность, с одной стороны, стимулирует процесс решения задач, а с другой — учит коллективной работе. Командных игр в России придумано немало, в основном для более младших и начинающих учеников: математический хоккей [22], математическая карусель [23], математическая регата [21] и т. д. Важное исключение составляет самая содержательная игра – математический бой [20], моделирующий работу математического семинара, решающего одну проблему. Придуманные более 40 лет назад ленинградским учителем И. Я. Веребейчиком, бои быстро распространились по кружкам и математическим классам многих городов СССР. Со временем это привело к появлению командных математических соревнований, основу которых составляет турнир математических бов. Ныне четыре из них являются общероссийскими: для старших школьников с 1990 г. проводится Российский фестиваль юных математиков [16, 17] и с 1997-го — Кубок памяти А. Н. Колмогорова [15, 17], для учеников 6–8-х классов — с 1993-го Уральский турнир юных математиков [15, 17] и с 1995-го – конкурс «Математика 6–8» памяти А. П. Савина [18]. Эти соревнования собирают до нескольких десятков команд.

Так, например, XXIX Уральский турнир собрал 60, а VII Кубок памяти Колмогорова — 66 команд из России и стран бывшего СССР. Все эти турниры открыты для зарубежных команд. Например, во всероссийском фестивале юных математиков много лет участвовала команда немецкого города Карлсруэ.

Турниры и rубки проводятся заинтересованными людьми и организациями без внешней поддержки, за счет оргвзносов команд-участниц. Конечно, серьезным поводом для участия служит их престижность. Однако это, скорее, аргумент для спонсоров — для большинства команд гораздо важнее возможность осознать свой уровень на фоне других, получить стимул и ориентиры для дальнейших занятий. Начинающие тянутся за лидерами — и в регионах России появляются все новые заметные центры работы с одаренными. А в полутора десятках городов и регионов России под непосредственным влиянием общероссийских появились городские и региональные турниры математических боев, собирающие порой до 300 команд-участниц (Пермская область). Каждый турнир и кубок, как и другие крупные соревнования, вводит в российский педагогический оборот несколько десятков задач, многие из которых потом используются в школах и кружках. А самое, может быть, важное, что тут, как и на других массовых общероссийских соревнованиях, завязываются и поддерживаются контакты учителей, математиков, работающих со школьниками, ведущих специалистов разных регионов России в области работы с одаренными детьми — и в результате складывается (в общих чертах — уже сложилось) неформальное, но оттого лишь более эффективное общероссийское сообщество математиков и педагогов, работающих с одаренными.

Вся система работы с школьниками по математике образует в России гигантскую пирамиду, включающую кружки, различные соревнования, математические школы и конференции. В этой пирамиде разница в возрасте между учителем и учеником часто не превышает 5–6 лет, и без постоянного привлечения молодежи е не из чего было бы строить. К счастью, система самовоспроизводится:

многие участники кружков и олимпиад, став студентами, возвращаются в эту систему в качестве руководителей кружков и членов жюри различных олимпиад, а из тех, кому эта работа особенно по душе, со временем вырастают ее мэтры и организаторы. Это и позволило системе не только выживать и совершенствоваться на протяжении многих десятилетий, но и превратиться к настоящему времени в самобытное явление российской образовательной культуры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Болтянский, В. Г. Школьный математический кружок при МГУ и Московские Математические олимпиады [Текст] / В. Г. Болтянский, И. М. Яглом; сост. А. А. Леман. – М., 1965.

2. Васильев, Н. Б. Задачи всесоюзных математических олимпиад [Текст] / Н. Б. Васильев, А. А. Егоров. – М., 1988.

3. Купцов, Л. П. Российские математические олимпиады школьников [Текст] / Л. П. Купцов. – Ростов-н/Д: «Феникс», 1996.

4. Агаханов, Н. Х. Всероссийские олимпиады школьников по математике, 1993– [Текст] / Н. Х. Агаханов и др. – М.: Изд-во МЦНМО, 5. Гальперин, Г. А. Московские математические олимпиады [Текст] / Г. А. Гальперин, А. К. Толпыго. – М., 1986.

6. Фомин, Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады [Текст] / Д. В. Фомин. – СПб., 1994.

7. Рукшин, С. Е. Математические соревнования в Ленинграде-Санкт-Петербурге.

Первые 50 лет [Текст] / С. Е. Рукшин. – Ростов-н/Д, 2000.

8. Берлов, С. Л. Петербургские математические олимпиады [Текст] / С. Л. Берлов и др. – С.-Пб.; М.; Краснодар: «Лань», 2003.

9. Mathematics Competitions, Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions. See the Tournament of Towns Corner in each issue of one.

10. International Mathematics Tournament of the Towns, Questions and Solutions, edited by P. J. Taylor, issues of 1980–1984, 1984–1989, 1989–1993, 1993–1997.

11. http://www.turgor.ru/ [Электронный ресурс] – материалы Турнира городов и летних конференций.

12. http://www.mccme.ru/olympiads/ [Электронный ресурс] – материалы Московских олимпиад.

13. http://www.mccme.ru/ [Электронный ресурс] – сайт Московского центра непрерывного математического образования 14. www.pdmi.ras.ru/~olymp/ [Электронный ресурс] – сайт жюри Санкт-Петербургских олимпиад.

15. http://cdoosh.kirov.ru/ [Электронный ресурс] – сайт Кировского Центра дополнительного образования: материалы Уральских турниров и Кубков памяти А. Н. Колмогорова.

16. http://www.zaba.ru/ [Электронный ресурс] – материалы различных соревнований, в том числе Санкт-Петербургских олимпиад и Российских фестивалей юных математиков.

17. http://guas.info/ [Электронный ресурс] – сайт А. С. Голованова, материалы различных соревнований.

18. http://rc.nsu.ru/text/quantum/082.html [Электронный ресурс] – конкурс "Математика 6–8".

19. http://www.mccme.ru/olympiads/turlom/ [Электронный ресурс] – материалы Турниров им. Ломоносова.

20. http://www.pms.ru/kubok/06kubok-pravila-boi.html [Электронный ресурс] – правила математического боя.

21. http://www.mccme.ru/olympiads/regata/ [Электронный ресурс] – материалы математических регат.

22. http://mmmf.math.msu.su/archiv/20022003/z7/z7030426.htm [Электронный ресурс] – описание математического хоккея.

23. Рубанов, И. С. Карусель, карусель – это радость для всех // Приложение «Математика» к газете «1 сентября». – 2003. – № 24. (О «Математической карусели») 24. Приложение «Математика» к газете «1 сентября». – 2008. – № 16. (Номер, посвящнный математическим соревнованиям)

ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ПРИ РАБОТЕ С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ

Актуальность проблемы обучения одаренных детей для современной системы образования отражает поворот государства к личности и осознание особой ценности для государства творческого потенциала его граждан.

Для анализа основных проблем преподавания математики при работе с одаренными детьми необходимо определиться с тем, какие задачи ставятся перед современной школой вообще, и, соответственно, перед профильным образованием в частности. Очевидно, в младшей и средней школе профилизация не так актуальна, а скорее даже вредна, поэтому разбермся со старшей школой.

Профилизацию, на наш взгляд, целесообразно начинать с 9-го класса, что в основном и происходит в подавляющем большинстве школ, поэтому рассмотрим проблемы в 9–11-х классах средней школы.

Итак, какие задачи ставятся перед школой для учащихся 9–11-х классов, когда ученик выбрал себе профиль дальнейшего образования? Чему должен учить учитель, к примеру, математики в 9–11-х классах? Очевидно, одного программного материала, содержащегося в учебнике и задачнике, абсолютно недостаточно. Изначально высокая мотивация одаренных детей на получение разностороннего образования, способность их к самостоятельной учебной деятельности позволяют интенсифицировать процесс обучения. Значит, надо «давать» больше. И вот тут начинается проблема – а конкретно, чего больше. Есть несколько взаимоисключающих концепций этого «больше».

Первая концепция базируется на том, что в школе надо подготовить ученика к тому, чтобы в вузе ему было легче учиться. Значит, в школе кроме материала стандартной школьной программы в достаточно полном объеме, естественно, в адаптированном виде, нужно давать материал высшей математики, который изучается на первом (а порой и первых!) курсе высшей школы – теория пределов, рядов, дифференциальное и интегральное исчисление, элементы высшей алгебры, аналитической геометрии, комплексные числа, теория вероятностей и пр. Апологетом такой концепции выступает, например, СУНЦ МГУ.

Вторая концепция базируется на том, что на основе материала средней школы необходимо, прежде всего, научить школьников думать, развить математическое мышление, культуру, умение работать с дополнительной литературой, дать навыки исследовательской работы. При таком подходе профилизация осуществляется посредством элективных курсов, где рассматриваются типы, принципы и методы решения олимпиадных задач (метод математической индукции, принцип Дирихле, задачи на инварианты, задачи на целочисленные решения и пр.). Кроме того, школьники занимаются научно-исследовательской деятельностью. В основном, конечно, этой частью математического образования занимаются в учреждениях дополнительного образования, но и во многих школах, особенно лицеях и гимназиях, такой подход к профилизации также существует.

К примеру, в нашем лицее КБГУ периодически в региональной и центральной печати выходят публикации ученика в соавторстве с учителем [1–5] (курсивом выделены фамилии учеников). Примерно такой подход исповедует МФТИ, где даже в билетах вступительного экзамена практически отсутствуют задания из математического анализа.

Третья концепция – школьника надо подготовить к тому, чтобы он хорошо сдал выпускной экзамен (ЕГЭ) и поступил в вуз. Кстати, именно по этому критерию, как основному, и оценивается уровень работы школы и учителяпредметника. При таком подходе школьника надо готовить к решению задач по темам, представленным в заданиях ЕГЭ, «натаскивать» его по задачам ЕГЭ предыдущих годов и всевозможных КИМов.

Очевидно, это триединая задача, но в условиях ограничения количества часов решить эту триединую задачу весьма проблематично, и каждый учитель в меру своих сил и знаний, понимания, пристрастий, традиций, установившихся в образовательном учреждении, решает эту задачу. Все разнообразие существующих сегодня в практике подходов к решению этой задачи представлено тремя вариантами и их комбинациями:

интуитивный опыт и обобщения педагогов;

целенаправленное внедрение в практику образования разработанных или разрабатываемых теорий под контролем или непосредственным руководством научных коллективов;

реализация стихийно складывающихся систем.

Отсутствие единого подхода в этом вопросе осложняется также наличием ряда сопутствующих проблем. Главная, наиболее часто упоминаемая учителями проблема, – конечно, нехватка «часов». Но механическое увеличение часов, как это ни парадоксально звучит, не является необходимым. Во-первых, дополнительные часы берутся за счет других предметов, где также ощущается их нехватка. Во-вторых, увеличение числа часов ведет к перегрузкам учащихся. Проблему нехватки часов можно решить, если оптимизировать программу за счет выбора конкретной концепции обучения.

Вторая проблема – отсутствие соответствующих программ и учебников, задачников. Существующие учебники рассчитаны на среднего ученика (откровенно говоря, даже ниже среднего). А учебники и задачники для математических классов не выдерживают никакой критики, так как не содержат необходимого материала даже для подготовки к решению заданий ЕГЭ, и в то же время содержат много лишнего (опять же с точки зрения ЕГЭ). Всевозможные пособия по математике и КИМы не заменят учебники и задачники, так как они предназначены либо только для повторения, либо, например, в силу отсутствия системности изложения, не могут их заменить.

Самая большая проблема всех реально работающих профильных школ и классов – нехватка учителей. Учитель профильной школы обязан не просто быть специалистом высокого уровня, соответствующим профилю и специализации своей деятельности, но и должен обеспечивать:

практическую ориентацию образовательного процесса с введением интерактивных, деятельностных компонентов (освоение проектноисследовательских и коммуникативных методов);

вариативность и личностную ориентацию образовательного процесса (проектирование индивидуальных образовательных траекторий);

завершение профильного самоопределения старшеклассников и формирование способностей и компетентностей, необходимых для продолжения образования в соответствующей сфере профессионального образования. Недостаток квалифицированных грамотных учителей – это проблема не только профильного образования, но и образования вообще. Конечно, в первую очередь это связано с материальными, социальными факторами, из-за которых в учителя не идут самые, да и не только самые, лучшие выпускники школ и вузов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Григорян, А. А. Математическая модель процесса противотока [Текст] / А. А. Григорян, Р. М. Газарян // Вестник КБГУ. Сер. Физические науки. – 2000. – Вып. 5.– С. 63–67.

2. Газарян, Р. М. Графический редактор «ЧЕРТЕЖНИК» [Текст] / Р. М. Газарян, Р. Н. Зимин // Тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф. «Новые информационные технологии и их региональное развитие ELBRUS–97». – Нальчик, 1997. – С. 17.

3. Петросян, В. Г. Математический бильярд в силовом поле [Текст] / В. Г. Петросян, Р. М. Газарян, С. Люгай // Тез. докл. междунар. науч.-практ. конф. «Новые информационные технологии и их региональное развитие, ELBRUS–97». – Нальчик, 1997. – С. 63–64.

4. Петросян, В. Г. Математический бильярд в силовом поле [Текст] / В. Г. Петросян, Р. М. Газарян, С. Люгай // Газета «Физика» – 1997. – № 46.

5. Петросян, В. Г. Бильярд в силовом поле [Текст] / В. Г. Петросян, Р. М. Газарян, А. А. Любицкий // Информатика и образование. – 2004. – № 2. – С. 66–70.

ФОРМИРОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

В современных условиях лавинообразного роста информации по всем отраслям знаний продуктивная работа невозможна без умения выбирать и анализировать главное, существенное. Старшая ступень обучения, обеспечивающая профильную подготовку учащихся по ряду учебных предметов, делает акцент на повышение роли самостоятельной учебной работы школьников. Одной из главных задач старшеклассника является задача научиться учиться самостоятельно, овладеть универсальными способами получения и переструктурирования информации. Поэтому необходимо способствовать совершенствованию владения учащимися эффективными способами рационального, последовательного, непротиворечивого мышления. Выпускник школы должен обладать логическим мышлением, которое едино для всех наук.

Проблема развития логического мышления приобретает особую актуальность в связи с реализацией идей гуманизации и гуманитаризации школьного математического образования. Во всех школьных программах по математике одной из целей обучения предмету является развитие логического мышления учащихся. Однако программы по математике на данный момент не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель по-своему ее понимает и посвоему ее решает. «В результате работа над развитием логического мышления учащихся идет "вообще" – без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания и последовательности формирования. Это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся не овладевает начальными приемами мышления даже в старших классах школы» [3, c. 20]. Необходимо четко поставить, сформулировать проблему в силу того, что разными людьми под развитием логического мышления подразумеваются различные задачи. Существует необходимость осознания проблемы развития логического мышления, формулирования ее в целом и умения ее реализовать в учебном процессе. В силу недостаточной подготовки в усвоении норм логического мышления выпускники школ допускают многочисленные ошибки при определении понятий, классификации понятий, при делении понятий, при выяснении, которая из двух теорем является следствием другой, путают признак и свойство понятия и т. д. Например:

– «Треугольники делятся на прямоугольные, остроугольные, равнобедренные, равносторонние»;

– «Медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам».

Поэтому существует необходимость в процессе обучения обращать особое внимание на развитие логического мышления школьников.

Наиболее типичные, часто встречающиеся затруднения в учебной деятельности учащиеся испытывают:

– в определении главного, основного, существенного в изучаемом материале;

– в определении причины и следствия;

– в определении основания для сравнения;

– в работе с классификацией;

– в недостаточной доказательности рассуждений;

– в неясности предмета рассуждения.

Можно выделить логические действия, которые выполняются учащимися при изучении школьного курса математики. Учащиеся должны уметь:

– определять функциональные отношения компонентов объекта;

– формулировать определения понятий с использованием различных связок и кванторов;

– приводить контрпримеры;

– классифицировать понятия;

– понимать смысл терминов «если…, то…», «не более», «не менее», «следует», «хотя бы один»;

– выделять условия и заключения теоремы;

– различать свойства и признаки понятий;

– проводить доказательство и знать его структуру;

– осуществлять косвенное доказательство (доказательство от противного, разделительное доказательство, приведение к абсурду);

– осуществлять опровержение (тезиса, аргументов, связи аргументов и тезиса);

– определять проблемы и осуществлять перенос знаний, умений в новую ситуацию для решения проблем;

– формулировать гипотезу по решению проблемы;

– понимать основные принципы построения дедуктивной теории.

Овладение учащимися рассмотренными действиями составляет основное содержание проблемы развития логического мышления.

Логическое мышление не является врожденным, поэтому его необходимо развивать у учащихся различными способами. Правильному мышлению свойственны определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность. Познавательная сила логического мышления заключается в том, что при достоверности исходных положений логичность мысли обеспечивает ее истинность. Формирование умений логически мыслить протекает быстрее, если учащиеся осознают отдельные логические формы. Формирование приемов умственной деятельности и учебной работы по логической организации изучаемого материала, а значит, и развитие логического мышления, может проводиться без включения в курс дополнительного математического материала с определенным углублением в структуру этого материала. Целенаправленная работа по осознанию учащимися логической составляющей изучаемого материала может проводиться с помощью специально подобранных упражнений. Рассмотрим примеры упражнений на выделение логической составляющей.

1. При изучении темы «Смежные углы» наряду с другими заданиями можно рассмотреть следующие. Верно ли, что:

– Если один из смежных углов острый, то другой угол тупой?

– Если 2 угла имеют общую вершину, то они смежные?

– Если 2 угла имеют общую сторону, то они смежные?

– Если сумма 2 углов равна 180, то эти углы смежные?

– Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 ?

– Если один из смежных углов увеличить на 8, то другой тоже увеличится на 8 ?

– Если один из смежных углов уменьшить в 2 раза, то другой увеличится в 2 раза? Можно ли найти смежные углы, для которых данное утверждение выполняется?

– Сколько пар смежных углов получается при пересечении двух прямых?

– Вычислите угол между биссектрисами смежных углов.

– Могут ли быть смежными прямой угол и острый угол?

– В каких пределах изменяется один из смежных углов, если другой изменяется в пределах от 0 до 80 ?

2. Рассмотрим цепочку задач:

– Решите уравнение: cos x = x2 + 1.

– Решите неравенства:

Выполнение данной группы задач включает в себя следующие виды заданий: определение закономерностей; определение связей между элементами;

сравнение; дополнение информации; систематизация информации; проведение наблюдений; анализ выполненной работы.

Примеры по логическому упорядочению могут быть приведены при изучении любого раздела школьного курса математики.

Систематическое использование элементов логики на уроках математики – один из наиболее эффективных способов развития логического мышления.

Эффективность учения в школе во многом зависит от сознательной, самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся. В математике логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать общую логическую культуру мышления. Заставляя искать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и суть из доказательств, математика способствует развитию логического мышления школьников. Овладение знаниями и умелое их использование на практике помогает разбираться в закономерностях и взаимосвязях явлений общественной жизни, вести аргументированную полемику, доказывать и отстаивать истинные суждения, логически грамотно опровергать ложные тезисы. Это способствует развитию учебно-познавательной компетентности учащихся, что в свою очередь позволит им эффективно учиться и стать конкурентоспособной личностью в будущем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воровщиков, С. Г. Азбука логичного мышления [Текст]: учеб. пособие для учащихся старших классов / С. Г. Воровщиков. – М.: «5 за знания», 2007.

2. Гетманова, А. Д. Логические основы математики. 10–11 кл. [Текст]: учеб. пособие / А. Д. Гетманова. – М.: Дрофа, 2005.

3. Талызина, Н. Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников [Текст] / Н. Ф. Талызина. – М.: Просвещение, 1988.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНОСТИ

ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

В последнее время в научно-методической литературе часто используют понятие «функциональная грамотность». Работы, посвященные феномену функциональной грамотности, носят довольно разноплановый характер. Главное различие между двумя основными направлениями исследований – прагматическим и культурологическим состоит в том, что считать высшим результатом образовательных достижений. Прагматики считают функциональную грамотность социальным заказом и рассматривают функциональную грамотность выпускника вуза, колледжа и т. п. только в связи с его профессиональной компетентностью и профессиональными достижениями. Для них профессиональная компетентность – высший образовательный результат. Культурологическая концепция грамотности в качестве сверхзадачи педагогической деятельности выдвигает духовное развитие личности. При этом высшим образовательным результатом подлинно грамотного человека является менталитет как квинтэссенция культуры, как воплощение основ мировосприятия, мировоззрения и поведения человека [1, с. 62]. Цепочка образовательных достижений с их точки зрения должна выглядеть следующим образом: «грамотность – образованность – профессиональная компетентность – культура – менталитет». В этом контексте функциональная грамотность востребуется и актуализируется на профессиональном уровне, а ее основными компонентами являются предметное содержание и такие качества личности, как ответственность, творчество, любознательность, настойчивость, стремление к приобретению новых знаний, настойчивость, эстетическое восприятие действительности, высокая нравственность [1, с. 65]. Школьные нормативные документы (например, обязательный минимум содержания основных образовательных программ и требования к подготовке выпускника основной школы) также включают положение о «достижении выпускниками уровня функциональной грамотности, необходимой в современном обществе» [7, с. 12]. Но их авторы не раскрывают содержание понятия «функциональная грамотность».

Представляя свою точку зрения на функциональную грамотность при обучении математике в основной школе, будем считать, что в этом случае цепочка образовательных достижений ученика имеет вид «математическая грамотность – математическая образованность – математическая компетентность – математическая культура – менталитет». Будем опираться на культурологическую концепцию И. Я. Лернера, В. В. Краевского, а в качестве теоретической основы формирования математической грамотности примем концепцию гуманитарно-ориентированного математического образования Т. А. Ивановой [3].

Будем считать, что функциональная грамотность школьника проявляется на всех этапах обучения как готовность к продолжению образования. В структуре функциональной грамотности при обучении математике выделим 3 основных компонента: предметные знания (в нашем случае – математические), нормативная деятельность [5], эмоционально-ценностный компонент.

В этом контексте требуется пересмотр принципов проектирования обучающей среды, а значит и принципов моделирования уроков. Рассмотрим некоторые из них.

1. Учет гуманитарного потенциала математического содержания.

Очень часто гуманитарный потенциал математики оценивается только с утилитарной точки зрения: умение считать, умение использовать некоторые логические приемы, в последнее время стали еще говорить об умениях вероятностно-статистической оценки некоторых процессов и явлений. Такой взгляд учитывает только предметную составляющую математического содержания, в то время как «процесс обучения есть объединение двух взаимосвязанных функций: стимулирования стержневых качеств личности и координации нестержневых, через которые стержневые реализуют свои функции» [2, с. 21–22]. Безусловно, предметное знание и его структура являются наиболее важными составляющими при проектировании уроков, но учет структуры личности, логики ее саморазвития и деятельности как раз и позволяют обеспечить функциональную полноту компонентов содержания математического образования, обеспечивая не только интеллектуальное, но и нравственное, эстетическое, коммуникативное развитие учащихся. На необходимость подобного подхода указывают Т. А. Иванова [8, с. 27], Г. И. Саранцев [6, с. 25–28].

2. Системный подход к разработке моделей уроков как при проектировании занятий целого курса, его отдельных тем, так и при проектировании каждого занятия внутри темы.

Этот принцип частично обусловлен предыдущим, поскольку реализация гуманитарного потенциала математического содержания требует рассматривать математическое содержание как целостную структуру. В этом контексте проблему развития математической деятельности следует связать с проблемой индивидуальности каждого ученика. Все индивидуальные компоненты математической деятельности – мышление; мыслительные операции; познавательные процессы; мотивацию учения; интеллектуальные и познавательные потребности; направленность на овладение не только знаниями, но и способами действий, умение ставить цели и добиваться их выполнения; осуществлять самоконтроль; самооценку; умение разбираться в собственных эмоциональных состояниях и их причинах; преодолевать тревожность и напряженность, – можно развивать только в единстве, а в силу сложных взаимосвязей между всеми этими компонентами – в определенной системе, руководствуясь логикой процесса усвоения знаний. Системный подход и позволяет обеспечить целостность, иерархичность, структурность и непрерывность; контроль при построении моделей уроков в системе обучения математике и формирования функциональной грамотности при ее обучении.

3. Использование принципов деятельностного подхода.

Поскольку функциональная грамотность рассматривается как деятельностная характеристика, то необходим хотя бы краткий анализ существующих теорий деятельности: психологической (А. Н. Леонтьев), социологической (Г. П. Щедровицкий), методологической (О. С. Анисимов). Все они, хотя и поразному, используют понятие деятельности.

По А. Н. Леонтьеву, деятельность осуществляется только при наличии некоторого жизненного смысла и совпадении цели и мотива. Действия – составные части деятельности – также должны быть связаны с мотивом. В таком толковании деятельностью можно считать только ее творческие виды.

Согласно теории Г. П. Щедровицкого ребенок (ученик) вступает в мир сложившейся до него деятельности, созданной другими людьми, а значит, он должен научиться подчиняться сложившимся в этой деятельности требованиям.

Появление новых видов и способов деятельности подчиняется объективным закономерностям развития систем, но люди, участвующие в создании новых видов деятельностей, могут и не знать, а значит и не использовать эти закономерности.

Теория О. С. Анисимова, являясь синтетической, предполагает наличие мира додеятельностного (социокультурной среды, где человек вступает в культурную коммуникацию и осваивает нормы использования обычного языка) и мира деятельности, где усваиваются законы и нормы деятельности, для освоения которых необходимо развивать способности, сформированные в додеятельностном мире.

Эта теория наилучшим образом соответствует культурологической концепции образования, а также нашим представлениям о функциональной и математической грамотности.

В контексте избранной теоретической базы наилучшим методом обучения является учебно-исследовательский, потому что, с одной стороны, применение этого метода обеспечивает переход от додеятельностого этапа развития к вступлению в мир деятельности со своим языком, спецификой изучаемого предмета и его нормативными требованиями.

С другой стороны, творческий характер математической деятельности определяет применение такого метода обучения, который бы, «имитируя» ее, позволил бы овладеть не только предметным содержанием, способами познания, но и приобрести в процессе познания собственные ориентиры и ценностные установки, т. е. иметь личностно-ориентированный характер.

Таким образом, синтез психологической и социологической теорий деятельности осуществляется при использовании учебно-исследовательского метода для формирования функциональной грамотности при обучении математике как характеристики, в основе которой находится деятельность творческого характера.

4. Принцип создания технологичных моделей предполагает, что значительная часть учебного материала переведена на язык задач, заданий и упражнений, образующих систему связанных понятий и отношений. Таким образом, достигается основная цель формирования функциональной грамотности при обучении математике – способность учащегося строить понятийные сети. При этом системность относится не только к учебному материалу, но и способам действий. Но если не решены проблемы измеряемости сформулированных учебных целей и организации обучения таким образом, что в учебном процессе постоянно происходит оперативная диагностика его результативности, то, по мнению М. В. Кларина, отсутствуют основные признаки технологического процесса. Следовательно, одним из основных требований к разрабатываемым моделям является наличие пакета средств контроля точности достижения поставленных целей. Решение этой проблемы состоит в снятии основного противоречия выдвинутых принципов деятельностного и технологического подходов, которое состоит в том, что первый их них предполагает субъект-субъектные отношения, а второй требует отношения к ученику как объекту педагогического воздействия и постоянному исследованию изменения его состояний. Применение учебно-исследовательского метода обучения, когда ученик самостоятельно ставит не только учебные цели, но и самостоятельно контролирует достижение промежуточных и конечных результатов, ведет к тому, что учитель передает всю ответственность за конечный результат ученику. Именно тогда ученик полностью заинтересован в этом результате, а учитель, выступая в роли консультанта, становится организатором и транслятором культурных норм деятельности. В целом же возникает атмосфера общей работы, заинтересованности и сотрудничества. Тогда «процесс исследования объекта с целью определения и распознавания его состояния, отслеживание и уточнение изменений в нем» [4, с. 64], познавательная и деятельностная активность учащихся на уроках и на кружковых (факультативных) занятиях хорошо фиксируются:

– по желанию вести диалог с учителем, полилог с учителем и классом;

– желанию задавать вопросы;

– качеству задаваемых вопросов и комментариев к тексту учебника, к ответам одноклассников;

– желанию работать с дополнительными источниками;

– качеству выполнения классных и домашних заданий, тестов (различного вида и назначения), контрольных работ.

И если о качественных изменениях могут судить учитель, дети и заинтересованные родители, то результаты выполнения тестов позволяют вести документальный учет усвоения информационной и функциональной составляющих.

Усвоение информационной компоненты математического содержания тестовая диагностика позволяет контролировать с помощью заданий с выбором готовых ответов, а определять уровень понимания и применение способов действий, адекватных задаче, – с помощью заданий с развернутым ответом. Кроме возможности явной и латентной диагностики положительным моментом организации учебно-исследовательской деятельности является развитие умений рефлексивных действий, которые заключаются не только в умениях работать над ошибками, но и в умениях выполнять проверку выполненной работы, а также умении выполнять самодиагностику. Таким образом, требование соотнесения цели и результата реализуемо, хотя проблема разработки качественных контрольно-измерительных материалов имеет место.

5. Эффективность применяемых моделей определяется отношением достигнутого результата по отношению к затраченному времени и ресурсам. Критерии эффективности моделей уроков формирования функциональной грамотности при обучении математике определяются логикой процесса усвоения; логикой внутренних связей изучаемого материала; адекватностью методов обучения целям и содержанию учебного материала; выделением в учебном процессе этапов и операций, обеспечивающих однозначный порядок действий и возможность обратной связи; определением способов фиксации достигнутых целей и способов коррекции в случае расхождения с эталоном.

Исходя из данных принципов, основные модели уроков должны быть подчинены главной цели – развитию субъектности учащихся. Поэтому модели следует разделить на две группы:

1) модели, соответствующие вхождению в технологию;

2) модели, соответствующие этапу применения технологии.

Эффективность обучения возрастает при соответствии технологий учебного процесса логике усвоения знаний [3, 6, 7]. Несмотря на то что механизм усвоения знаний ещ недостаточно изучен и описан, закономерности, установленные Л. И. Божович, Ю. К. Бабанским, Н. А. Менчинской, связывают качество обучения 1) с индивидуальными когнитивными особенностями учащихся;

2) с произвольной сознательной организацией учебной деятельности учащимся;

3) с применяемыми технологиями обучения;

4) с используемыми образовательными программами;

5) с используемыми контрольно-измерительными материалами оценки результативности обучения;

6) с уровнем материально-технического обеспечения учебного процесса;

7) с качеством преподавательского состава.

Следовательно, модели первой группы (соответствующие этапу вхождения в технологию) должны служить исследованию 1-го и 2-го факторов для того, чтобы корректировать 3, 4, 5-й и способствовать развитию 6-го и 7-го.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гершунский, Б. С. Философия образования [Текст]: учеб. пособие для высших и средних учеб. заведений / Б. С. Гершунский. – М.: АПН: Моск. психолого-социальный институт, 1997.

2. Гусев, В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике [Текст] / В. А. Гусев. – М.: «Вербум-М»: «Академия», 2003. – 21 с.

3. Иванова, Т. А. Гуманитаризация общего математического образования [Текст] / Т. А. Иванова. – Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998.

4. Лобанов, Ю. Н. Эффективность образовательных технологий: проблемы и задачи/Обзорная информация. В. 10 [Текст] / Ю. Н. Лобанов, В. С. Токарева, М. А. Сухинина. – М.: НИИВО, 1999.

5. Петерсон, Л. Г. Система и структура учебной деятельности в контексте современной методологии [Текст] / Л. Г. Петерсон, Ю. В. Агапов, М. А. Кубышева, В. А. Петерсон. – М.: АПКиПРО, УМЦ «Школа 2000…», 2006.

6. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики [Текст]: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов / Г. И. Саранцев. – Саранск: «Крас.

Окт. », 1999.

7. Сборник нормативных документов. Математика [Текст] / сост. Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2007.

8. Теоретические основы обучения математике в средней школе [Текст]: учебное пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; под ред.

Т. А. Ивановой. – Н. Новгород: НГПУ, 2003.

ПРОБЛЕМА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ

В данной статье приведены примеры отдельных занятий, без которых формирование понятия математической культуры невозможно.

Пример 1 на формирование навыков исследовательской работы. Такие уроки «фейерверки» проводятся, как правило, в начале изучения темы. Для этого ученика надо вооружить инструментом исследования – ориентировочной основой деятельности. Приведем примеры.

Пример 1. Аксиома параллельности Евклида При изучении евклидовой аксиомы параллельности полезно показать, что существуют и другие геометрии, где эта аксиома не выполняется. Для этого необходим ориентир для рассмотрения трех геометрий. Необходимо дать понятие прямой как кратчайшую кривую (геодезическую), соединяющую две точки кривой поверхности.

Перед учащимися предлагается понятие прямой как инструмента исследования (рис. 1).

Рис. 2. Модель евклидовой плоскости Так как в евклидовой геометрии понятие «прямой» линии сопоставляется с поведением светового луча в однородной среде, то рассмотрим на равномерно нагретой плоскости (рис.

1) понятие прямой с помощью натянутой резинки и, продолжая рассуждения, выясним, что через точку М пройдет только одна прямая, не пересекающаяся с данной прямой АВ.

Пусть мир состоит из внутренности круга (рис. 3), где центр круга холодный, но, чем ближе к краю, тем сильнее нагревается круг (скорость света пропорцио- Рис. 3. Модель ненальна расстоянию точки от окружности). Ученики сооб- евклидовой плоскоражают: чтобы человек сделал меньше шагов, он должен сти Пуанкаре от А двигаться к центру круга и оттуда к В.

Проведя несколько прямых через точку М, ученики обнаруживают, что через М пройдет бесчисленное множество «прямых линий», не пересекающихся с данной АВ. В такой модели геометрии аксиома Евклида о параллельных прямых не выполняется.

Далее рассмотрим двумерный мир на поверхности равномерно нагретой сферы (рис. 3). Отмечаем на большом мяче две точки и просим провести прямую (на столе есть резинки).

Ученики, растягивая резинки между двумя точками, догадываются, что «прямые» на сфере – это большие круги, которые, очевидно, всегда пересекаются в двух точках.

Итак, дуги больших кругов являются кратчайшими «прямыми», связывающими две точки на сфере, а это как раз и есть характеристическое свойство прямых на плоскости. В рассматриваемом двумерном мире всякие две «прямые» пересекаются, так что из внешней точки нельзя провести ни одной «прямой», не пересекающейся с данной.

Затем рассказываем о гениальном открытии Лобачевского и просим в каждой геометрии найти сумму углов треугольника.

Пример 2. На создание учебно-познавательной мотивации учения Первый урок темы – «Комплексные числа».

Даем справку ученикам: «Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали настоящими только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н.

э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин и т. д.». Сообщаем ученикам, что во множестве чисел считаются выполнимыми те действия, результат которых принадлежит этому же множеству. Затем просим заполнить схему расширения понятия числа, начиная с чисел, изучаемых в первом классе.

Новое множество Выполняемые Одна невыпол- Добавляемое После данного исследования во множестве «?» всех действительных чисел спрашиваем: «Какая же операция не выполняется во множестве действительных чисел?» Ученики понимают, что не выполняется операция 1. Сообщаем учащимся побудительные мотивы расширения множеств – решения уравнений ax2 = b x2 = 2 x2 = –1.

Введя символ i, поясняем, что мы расширили множество действительных чисел и получили множество символов a+b i, где x2 = –1 имеет два решения x = ±i, и теперь можем утверждать, что любое квадратное уравнение имеет два решения.

Затем даем историческую справку: «В конце ХVIII в. французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже затрудняют мнимые величины. С помощью комплекс- Рис. ных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов».

Пример 3 на осмысленное овладение математическими знаниями Перед введением неопределнного интеграРис. ла проверим экспериментально основную теорему математического анализа: дифференцирование и интегрирование – взаимнообратные операции. Для этого выберем материализованную основу действий «тангенсоидные часы» – это единичная окружность с осью тангенсов и вращающаяся прямая относительно центра окружности, пересекающая ось тангенсов.

Ученики, совмещая центр окружности с точкой графика, определяют значения tg и определяют точку (x0 ; tg), при построении графика y'.

Попутно делаем выводы:

1) Если функция непрерывна на Х, то она не всегда дифференцируема на Х.

2) Если функция дифференцируема в каждой точке Х, то она непрерывна в Х (гладкая).

Решаем обратную задачу: по значению производной функции y необходимо восстановить кривую, если это возможно. Для этого необходимы два определения:

1) Говорят, что в плоской области Q задано поле направлений, если через каждую точку Р, принадлежащую Q, проходит отрезок, имеющий точку Р своей серединой. Точка Р не совпадает с точкой О (0; 0).

2) Траекторией поля направлений (интегральной кривой) называется кривая L, принадлежащая Q, которая в каждой точке Р касается отрезка поля направлений, имеющего Р своей серединой.

Построим поле направлений: y’ = –x/y = tg.

Дадим значения X и Y на координатной плоскости, вычислим tg и в найденной точке поля проведм отрезок (отрезок, имеющий точку Р своей серединой – Выскажем гипотезу, что это окружность вида х2+у2 = R2.

Проверка гипотезы: 2х + 2 у у’ = 0; у’ = – х/у – гипотеза верна.

Занятие завершается выводом о том, что на конкретном примере можно высказать гипотезу об основной теореме математического анализа: «дифференцирование и интегрирование – взаимно-обратные операции»; после чего ввести понятие первообразной.

Вышеприведнные примеры показывают, что для исследовательской деятельности учащихся нужна ориентировочная основа деятельности (ООД). Применяя ООД, экспериментируя, ученик исследует изучаемое явление, то есть получает опыт исследовательской деятельности. Деятельность учителя направлена на осмысленное овладение математическими знаниями и умениями.

Пример 4 на перенос геометрических знаний в область алгебры Теорема Пифагора (после решения прямоугольных треугольников).

Именно Пифагор доказал метрическое соотношение между сторонами треугольника. На данном занятии прививается умение видеть красоту математики, проявлять интерес к е истории, к этимологии математических понятий, к практическому применению математики.

Цель: показать, что знания по геометрии помогают решать алгебраические задачи!

Приведем решение ряда геометрических и алгебраических задач. Опыт показывает, что ребятам нравятся те задачи, решение которых доступно, по возможности коротко, а самое главное – неожиданно. Дети учатся вариативно решать проблемы.

Задача: в трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.

Решение: проведм СЕ || ВD до пересечения с проРис. должением AD. DE = BC, так как DBCE – параллелограмм. AE вычислим по теореме Пифагора: АЕ = 10. Ответ: 5.

В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Выведем формулу для расстояния между точками А (х1; у1) и В (х1; у1) в декартовых координатах:

Можно определить все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок АВ – это множество таких точек С, что АС + СВ = АВ.

МА+МВ= =АВ= 2. Подчеркнм, что наименьшее значение данного выражения достигается в любой точке отрезка АВ.

Задача: найти хотя бы одно решение системы:

Решение. Ответ: x = 3, y = 4, z = 5, t = 12 плюс все вариации знаков.

Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет Рис. находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трхмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется е исключительная важность для геометрии и математики в целом.

Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений.

Учебная деятельность в системе уроков должна способствовать постижению логических построений.

Например, научиться четко представлять, что надо доказывать утверждение как теорему или привести контрпример; что в математике существуют необходимые и достаточные условия, причины и следствия; что система уравнений и их совокупность – разные вещи; что свойства математических объектов являются предметом исследования; что понятие равносильности неравенств или уравнений не заучивается, а формулируется самостоятельно. Все эти смысловые тонкости и составляют понятие математической культуры. В ее основе – четкая логика вывода, доказательства. Логическое мышление необходимо в большинстве видов деятельности. Так, в 7-ом классе в теме «Признаки равенства треугольников» был проведен эксперимент. Учащиеся вначале не решали задачу, а строили логическую структуру задачи. На это ушло довольно много времени, но результат превзошел все ожидания.

Пример 5 на изучение строения планиметрии Рис. 12 доказать? Сторонами каких треугольников они являются? и т. д. Вводим обозначение признаков понятия и следствий из понятия.

Изображаем логическую структуру.

Работает учитель с помощью учеников.

Изображаем логическую структуру решения задачи Далее идет серия задач на изображение логической структуры.

Данная процедура занимает в теме три урока и достаточно сложна для понимания учащихся. После этих уроков учитель рассказывает строение геометрии, роль теорем, определений признаков и следствий. На проводимых уроках царит оживление и взаимопомощь.

Итак, под МК школьников мы понимаем такую их учебную деятельность, которая направлена на осмысленное овладение математическими знаниями и умениями, в том числе общекультурного характера; которая развивает личность: ее учебно-познавательную мотивацию, образное и логическое мышление, опыт творческой, в том числе исследовательской деятельности;

которая организована с учетом социальных условий и характеристик необходимой обществу культуры.

РАЗВИТИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ НАВЫКОВ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Изменения, происходящие в современном обществе, приводят к разработкам новых методик и технологий обучения. Одно из направлений, которое хотелось бы отметить, – это подготовка учеников к деятельности творческого характера в различных областях и формирование у них соответствующих интеллектуальных умений. При построении обучения математике из большого разнообразия можно выделить три цели:

1) формирование и развитие качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования в современном обществе, в частности, эвристического и алгоритмического мышления;

2) формирование и развитие абстрактного мышления;

3) формирование математического языка и аппарата как средства описания и исследования мира и его закономерностей.

Данная статья связана с построением системы обучения, и, в частности, с разработкой методических пособий и рекомендаций, направленных на развитие навыков в использовании общих форм математической деятельности, таких, как (1) использование известных алгоритмов, формул и процедур;

(2) кодирование, преобразование, интерпретация;

(3) классификация и систематизация;

(4) правдоподобные рассуждения; выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;

(5) разработка алгоритмов.

Рассмотрим некоторые задачи (разного уровня сложности и предназначения), решение которых способствует развитию у учащихся навыков в использовании некоторых из выделенных выше общих форм математической деятельности. Все предлагаемые задачи снабжены комментариями.

1. Использование известных алгоритмов, формул и процедур Очень часто учащиеся используют известный им алгоритм, не задумываясь о возможности его применения.

Задача 1. Решить уравнение sin( sin x) Решение этой задачи сводится к стандартной процедуре. Но большинство учащихся, получая на определнном этапе уравнение sin x, не задумываются над вопросом: «Когда полученное уравнение имеет решения?»

Задача 2. Построить график функции y sin(arcsin x).

Школьники должны сделать правильный вывод, что графиком функции является не вся прямая у х, а только е отрезок, когда 1 х 1.

2. Кодирование, преобразование, интерпретация Простейшим примером использования указанных форм математической деятельности является их внутриматематическое применение. Нужно уметь создавать и пользоваться различными моделями, а потому важно научить школьников формализовать задачи и переводить условия и результаты с одного языка на другой, т. е. кодировать информацию, понимать смысл (интерпретировать) полученных результатов.

Задача 3. При каких значениях a уравнение 2 sin x a 2 2a имеет единственное решение на отрезке [0; 2 ] ?

Наиболее удобный подход к решению этой задачи – графический.

Построим график левой части уравнения. Заметим, что правую часть можно представить как a 2 2a (a 1) 2 1. Таким образом, правая часть больше либо равна –1. Поэтому уравнение имеет единственное решение, когда правая часть равна 2. Отсюда получаем ответ a 1 3.

После цепочки стандартных рассуждений получаем уравнение либо пытаются решать квадратное уравнение при всех k. Здесь следует обx ратить внимание на интерпретацию полученного результата. Ведь – праx вильная дробь. Это соображение позволяет определить нужное значение k и получить правильный ответ.

3. Классификация и систематизация Классификация – общепознавательный прим логического мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы) в соответствии с так называемым основанием классификации, т. е. признаком, существенным для рассматриваемых объектов. Систематизация – это объединение объектов или знаний о них путм установления порядка между частями целого на основе определнного закона, правила или принципа.

Задача 5. При всех значениях параметра a решить уравнение Используя тригонометрические формулы, преобразуем уравнение, получим 2 cos 2 x cos x a 1 0. Далее, сделав замену cos x t, будем рассматривать квадратное уравнение 2t 2 t a 1 0, если | t | 1. Теперь задачу можно переформулировать: при каких значениях a квадратный трхчлен f (t ) 2t 2 t a 1 пересекает ось абсцисс на промежутке [ 1; 1] ?

Дальнейшее решение состоит из рассмотрения различных случаев расположения вершины параболы относительно заданного отрезка.

При решении этого уравнения использовались такие формы деятельности, как кодирование, преобразование, интерпретация, классификация и систематизация.

4. Выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение, правдоподобные рассуждения Гипотеза – это утверждение, истинность или ложность которого неизвестна, но может быть проверена опытным путм. Поиск решения – это формулировка различных гипотез и их последовательная математическая проверка. Проверка гипотез сопровождается конструированием примеров и контрпримеров.

Задача 6. Определите, верно ли утверждение: «Произведение двух чисел всегда больше каждого из сомножителей».

Задание предназначено для учащихся 5–6-х классов. При выполнении этого задания определяется уровень умения приводить пример или контрпример, навык использования правдоподобных рассуждений. К высокому уровню можно отнести отрицательный ответ и приведнный контрпример, подтверждающий неверность рассуждений. Например: нет, так как 1 2 2, в данном случае произведение равно одному из множителей.

5. Разработка алгоритмов Разработка алгоритма действий необходима в любой исследовательской работе.

Задача 7. Решите уравнение f ( g ( x)) g (3 f ( x)) 30, если известно, что Привести алгоритм решения для данной задачи предлагается самостоятельно. Сколько различных путей решения можно найти?

Во многих случаях для решения задач требуется использовать различные типы интеллектуальной деятельности. Указанный в этой статье подход к преподаванию математики может быть использован в школах различного профиля.

Подчеркнм, что методы и подходы, применяемые при решении конкретных математических задач, имеют общий характер, связанный с процессом формирования и развития качеств мышления. Поэтому представляется важным развитие интеллектуальных навыков, с использованием уроков математики.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ЗАОЧНАЯ МНОГОПРЕДМЕТНАЯ ШКОЛА

Речь пойдет об учреждении дополнительного образования Российской академии образования – Открытом лицее «Всероссийская заочная многопредметная школа (ОЛ ВЗМШ)», более 40 лет работающем при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Время показало жизнеспособность и перспективность идеи заочного образования, реализованной в виде такой школы, идеально вписывающейся в рамки любой формы общего среднего образования на каждом этапе его развития.

1. История возникновения ВЗМШ В середине 60-х гг. теперь уже прошлого века в МГУ и многих других вузах страны существовало много форм работы со школьниками, интересующимися математикой. Однако приспособлены они были, главным образом, для школьников крупных городов. Чтобы помочь тысячам школьников из отдаленных сел и городов найти свой путь к математике, разбудить их интерес к занятиям, научить работать с книгой потребовалась новая форма работы. Такой формой стало заочное, или, как сейчас, принято говорить, дистантное обучение.

Основатели заочной школы справедливо полагали, что интерес к математике, математический талант не зависят от места жительства, но у выпускников сельских школ просто мало шансов успешно состязаться с их сверстниками, которым посчастливилось родиться и расти в больших городах. Заочная школа дала возможность, если не уравнять, то хотя бы значительно сблизить эти шансы, не «выдергивая» при этом способных детей раньше времени из-под родительских крыш, из привычных условий.

Сразу же начали открываться большие возможности, заложенные в этом способе обучения. Так возникли филиалы и группы «Коллективный ученик».

Многолетний опыт убеждает, что знания, полученные в ВЗМШ, позволяют выпускникам успешно поступать в лучшие вузы страны, многие из них защитили кандидатские и докторские диссертации, в том числе в МГУ. Однако это не означает, что наша цель – подготовка в вуз. Учиться у нас просто интересно, и совершенно неважно, будут выпускники ВЗМШ поступать в высшие учебные заведения или нет.

Не секрет, что одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых при решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса. Роль и значение таких задач исчерпывается в течение весьма непродолжительного периода, который отводится на изучение или повторение того или иного вопроса программы. Самостоятельный поиск метода решения учащимися таких задач при этом минимизирован.

В большинстве случаев старое вспоминается, чтобы понять новое. Нужно же иногда совсем другое: вспомнить старое, чтобы посмотреть на него другими глазами, с точки зрения новых сведений, причем увидеть в этом старом то, чего нельзя было заметить при первом знакомстве.

На этом принципе строится вся программа математического отделения Открытого Лицея «Всероссийская заочная многопредметная школа».

Такой подход дает возможность продемонстрировать богатство математики, различные стороны и связи, которые в силу ряда причин остаются за рамками школьного курса.

Коротко можно так сформулировать следующие основные цели и задачи ОЛ ВЗМШ:

поиск талантливой молодежи, стремящейся получить глубокие знания по заинтересовавшим ее областям наук;

предоставление детям, проживающим вдали от крупных университетских и научно-педагогических центров, возможности углубить и пополнить свои знания различных учебных предметов и помощь им в достижении уровня, достаточного для поступления в лучшие вузы страны;

оказание постоянной помощи учителям средних школ и других учебных заведений, в особенности работающим в сельской местности и в малых городах и поселках, в повышении общего уровня их преподавания, знания предмета и методической подготовки, ознакомление их с новейшими достижениями в области преподавания данного предмета;

совершенствование всей системы дополнительного дистантного образования, создание и развитие как традиционных, так и новейших, в частности интерактивных, образовательных технологий.

2. Сегодняшний день Кого и как учим. Наша школа достаточно долго была только математической, однако время потребовало изменений. Сейчас функционирует 9 отделений, охватывающих основные школьные предметы. Изменения произошли и в правилах приема.

Так, на математическом отделении ВЗМШ можно начать учиться уже с 7-го класса. Этот «спуск» к младшему возрасту вполне оправдан.

Можно поступить также на любой другой курс в зависимости от возраста и подготовки.

Программы различных потоков выстраиваются так, чтобы охватить основные разделы школьной программы и в то же время дать возможность ученику раздвинуть рамки этой программы.

Если раньше в заочной школе могли учиться только школьники, то теперь мы открыты и для окончивших школу. Конечно, большинство учеников – учащиеся 7–11-х классов. При этом школьники Москвы, которые не имели права учиться у нас, поступают на общих основаниях.

В течение учебного года учащиеся получают от шести до восьми заданий и переводятся, в случае их успешного выполнения, на следующий курс. На всех курсах, кроме последнего, задания высылаются дважды – в начале каждого семестра.

Для учащегося обучение начинается с получения пособия. Для ВЗМШ рассылка пособий ученикам – завершение большой и сложной работы. Пособие заочной математической школы – это, как правило, книга или брошюра, посвященная определенной теме программы ВЗМШ. В пособии содержится теоретический материал, разбирается много задач и предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Уровень работы ВЗМШ в значительной степени определяется именно качеством пособия. Качество пособия (его доступность, эффективность, пригодность для работы с ним в ВЗМШ) зависит не только от содержания, но и от изложения: объема, распределения материала, соотношения теоретического материала и задач, подбора задач и, конечно, от языка книги и ее оформления. Очень трудно предусмотреть совмещение этих качеств заранее, не испытав готовое пособие в заочной школе. Поэтому большинство брошюр ВЗМШ проходит длительную проверку, перерабатывается несколько раз с учетом опыта работы учащихся по этим пособиям и лишь после этого выпускается большим тиражом и может поступить в продажу.

Проверка и рецензирование работ учащихся – основной момент учебного процесса в ВЗМШ.