«Нелинейные одно- и двухпараметрические задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла в слое ...»

Авторы находят первый интеграл системы, описывающей распространение волн (так называемый закон сохранения), и приводят достаточное условие того, чтобы дифференциальное уравнение, связывающее компоненты поля, являлось уравнением в полных дифференциалах и, следовательно, его решение (первый интеграл) можно было выразить явно.

zz – компоненты диагонального тензора диэлектрической проницаемости в направлениях Ox и Oz соответственно. В некоторых случаях более сложной нелинейности уравнение удастся проинтегрировать, найдя подходящий интегрирующий множитель (авторы упомянули об этом в конце указанной работы). В работе K.M. Leung [100] распространение ТМволн изучается в терминах магнитной компоненты электромагнитного поля. В этой работе изучается распространение ТМ-волн в нелинейном изотропном полупространстве, причем нелинейность – это произвольная функция квадрата интенсивности электрического поля, в качестве примера найденные результаты применяются к случаю нелинейности типа Керра. Также в работе [100] получен первый интеграл системы и дисперсионное уравнение для собственных значений. Также в указанной работе рассматриваются эффекты самофокусировки и дефокусировки электромагнитных волн. Заметим, что задачи в полупространстве принципиально проще, чем задачи в слое.

ВВЕДЕНИЕ

Большая часть сделанного обзора посвящена керровской нелинейности. Это сделано по двум причинам:

• в случае зависимости диэлектрической проницаемости от модуля интенсивности электрического поля керровская нелинейность является простейшей (с физической точки зрения при разложении вектора поляризации в ряд по степеням модуля электрического поля симметрия среды налагает ограничения на вид этого разложения, а именно в случае среды с центром инверсии первый нелинейный член в разложении вектора поляризации имеет степень 3, что как раз соответствует эффекту Керра) [40, 62];

• изучение нелинейного распространения ТЕ- и ТМ-волн в среде с керровской нелинейностью приводит к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. В случае ТЕ-волн решение такого уравнение выражается через эллиптические функции, поэтому оно было быстро найдено (см. [104]). В случае ТМ-волн решение выражается через гиперэллиптические функции, которые изучены и используются не так широко, как эллиптические. Трудность получения явных решений при отсутствии других методов исследования таких нелинейных задач не позволяла развивать эту теорию. В связи с этим лишь некоторые авторы (см., например, [100]) уделяли внимание задачам исследования более сложных нелинейностей.

Из предыдущего ясно, что именно задача о распространении ТМволн в среде с керровской нелинейностью была препятствием для дальВВЕДЕНИЕ нейшего прогресса в этой области. Существенный прогресс при изучении распространения ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью был достигнут в работах [20, 23]. Предложенный в работах [20, 23] метод, получивший название метода интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ) далее был развит в [12, 13, 14, 26, 108] и применен к широкому классу задач о распространении ТЕ- и ТМ-волн в слоях с произвольными нелинейностями. Первые две главы настоящей диссертации посвящены изложению метода интегральных дисперсионных уравнений для ТЕ- и ТМ-волн.

Глубокое изучение указанных нелинейных задач привело к пониманию того, что в нелинейном режиме рассматриваемые по отдельности процессы для ТЕ- и ТМ-волн могут быть объединены. То есть можно изучать распространение связанных ТЕ- и ТМ-волн. Как известно, в линейной среде ТЕ- и ТМ-волны распространяются, не взаимодействуя, наличие нелинейности приводит к новому, принципиально важному результату: существует новый режим распространения ТЕ- и ТМ-волн, так называемый режим распространения связанных ТЕ-ТМ-волн, в котором ТЕ- и ТМ-волны, распространяясь каждая на своей постоянной распространения и на своей частоте, взаимодействуют, но сохраняют структуру поверхностных волн, образуя связанную волну. Насколько известно автору этой диссертации, впервые возможность рассматривать связанные ТЕ-ТМ-волны на двух различных частотах была указана в [118], там же доказано существование парных собственных значений. Задачи о распространении ТЕ- и ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью являются частными случаями задачи о распространении связанной волны. Постоянные распространения в такой задаче существуют дискретными парами, что соответствует парным собственным значениям, или двухпараметрической задаче на собственные значения. Такая постановка задачи приводит не только в возможности изучить новое физическое

ВВЕДЕНИЕ

Заметим, что к изучению взаимодействия между ТЕ- и ТМ-волнами в нелинейной волноведущей структуре с керровской нелинейностью обращались В.М. Елеонский, Л.Г. Оганесьянц, В.П. Силин в работах [42, 97] 1972–1973 гг.3 и A.D. Boardman, T. Twardowski в работах [92, 93] 1988–1989 гг. В указанных работах отсутствует строгая постановка рассматриваемой задачи и результаты о разрешимости такой задачи. Кроме того, отсутствует рассмотрение взаимодействия волн на двух частотах. Указанные работы в основном посвящены обсуждению физических принципов и эффектов, а также некоторым численным результатам. Позже, в 1991 г. в 29 томе Nonlinear surface electromagnetic phenomena серии Modern problems in condensed matter sciences была опубликована большая работа A.D. Boardman и его коллег, в которой были собраны основные известные на тот момент факты о распространении ТЕ- и ТМ-волн в плоских волноведущих системах с керровской нелинейностью [89].

Наконец заметим, что, во-первых, поиск точных решений для задач, рассматриваемых в главах 1–3, по-прежнему актуален. Это особенно касается задачи, изложенной в третьей главе, поскольку проведенные Автором настоящей работы однажды было услышано мнение о том, что дифференциальные уравнения в частных производных (в том числе и линейные) необходимо изучать, строго придерживаясь тех конкретных физических задач и процессов, которые эти уравнения описывают. Именно такое постоянное внимание к физической реальности, лежащей в основе изучаемого уравнения в частных производных, является в высшей степени плодотворным и позволяет развивать как новые теории, так и совершенствовать известные методы. По мнению автора этой работы, аналогичная точка зрения должна преобладать и при изучении задач на собственные значения для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Нелинейные задачи, возникающие в разных областях физики и естествознания, должны становиться пробными камнями для разработки новых математических методов. Известно, что многие аспекты линейной теории могут быть развиты достаточно широко без обращения к приложениям. В то же время даже пути обобщения линейных задач на нелинейный случай не являются очевидными (различных обобщений может быть много), и именно здесь физика помогает исследователю выбрать правильный путь (возможно, после нескольких безуспешных попыток). Однако необходимо подчеркнуть, что математические задачи физики должны математически грамотно ставиться еще на этапе их физического изучения.

Это, вероятно, первые публикации, относящиеся к рассматриваемому вопросу.

ВВЕДЕНИЕ

III. Цель и основное содержание работы Основной целью диссертации является разработка общего математического аппарата для исследования нелинейных одно- и двухпараметрических задач сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла в слое.

Рассматриваемые задачи на собственные значения имеют ясное физическое содержание – это задачи о распространении поляризованных монохроматических электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в плоском диэлектрическом слое, в котором диэлектрическая проницаемость (скалярная для ТЕ-волн и тензорная для ТМ-волн) произвольным образом зависит от модуля интенсивности электрического поля. Другими словами, такие задачи описывают распространение поверхностных электромагнитных ТЕ-, ТМ-волн (однопараметрические задачи) и связанных ТЕ-ТМ-волн (двухпараметрическая задача) в слое с нелинейной зависимостью диэлектрической проницаемости от интенсивности поля.

Для исследования указанных задач предложен и развит новый математический метод – метод интегральных дисперсионных уравнений.

Этот метод позволяет свести исходную задачу на собственные значения для дифференциальных уравнений к интегральному дисперсионному уравнению (в случае однопараметрических задач) или системе интегральных дисперсионных уравнений (в случае двухпараметрических задач), исследуя которые, можно получить ответы на вопросы о сущеВВЕДЕНИЕ ствовании и локализации собственных значений, об изолированности собственных значений.

В первой и второй главах рассматриваются нелинейные однопараметрические задачи сопряжения на собственные значения, описывающие распространение монохроматических поляризованных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в слое с диэлектрической проницаемостью, произвольным образом зависящей от модуля интенсивности электрического поля. Диэлектрическая проницаемость является скалярной функцией в случае ТЕ-волн (первая глава) и диагональным тензором в случае ТМволн (вторая глава).

Третья глава посвящена изучению нелинейной двухпараметрической задачи сопряжения на собственные значения, описывающей распространение на двух различных частотах и с двумя различными постоянными распространения связанных монохроматических ТЕ- и ТМ-поляризованных электромагнитных волн в слое с диэлектрической проницаемостью (скалярной) зависящей от модуля интенсивности электрического поля по закону Керра.

В приложениях приводятся известные результаты о распространении электромагнитных волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью. Как известно [11, 78], в этом случае вместо электромагнитного поля, у которого все координаты отличны от нуля, достаточно рассматривать ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны. Такой подход в дальнейшем позволит перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Приложение А посвящено строгому обоснованию возможности представления монохроматических поверхностных электромагнитных волн, направляемых слоем в виде суперпозиции монохроматических поверхностных ТЕ- и ТМволн. Приложение Б посвящено изучению линейной однопараметрической задачи сопряжения на собственные значения, описывающей расВВЕДЕНИЕ пространение монохроматических ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в слое с постоянной (скалярной) диэлектрической проницаемостью. Приложение В посвящено изучению линейной однопараметрической задачи сопряжения на собственные значения, описывающей распространение монохроматических ТМ-поляризованных электромагнитных волн в слое с постоянной (тензорной) диэлектрической проницаемостью.

В изложении вопроса о ТЕ- и ТМ-поляризованных волнах, направляемых слоем, мы в основном следовали работам [3, 11, 32].

IV. Положения, выносимые на защиту Основные результаты диссертации:

1) предложен и развит новый математический аппарат – метод интегральных дисперсионных уравнений, – позволяющий исследовать нелинейные одно- и двухпараметрические задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла;

2) введены понятия собственного значения и парных (или связанных) собственных значений для некоторых классов нелинейных задач сопряжения на собственные значения;

3) доказаны теоремы об эквивалентности соответствующей однопараметрической задачи сопряжения на собственные значения и дисперсионного уравнения, о существовании и локализации собственных значений, о распределении нулей и периодичности собственных функций в однопараметрических задачах, исследованы некоторые конкретные типы нелинейностей, а также связь между решениями нелинейных задач и решениями соответствующих линейных задач;

4) доказаны теоремы об эквивалентности соответствующей двухпараметрической задачи сопряжения на собственные значения и дисперсионного уравнения, о существовании и локализации парных собВВЕДЕНИЕ ственных значений в двухпараметрической задаче, исследована связь между решениями нелинейной задачи и решениями соответствующей линейной задачи, предложены и обоснованы численные методы нахождения приближенных собственных значений;

5) в результате исследования найдены новые типы нелинейных волн (ТЕ-, ТМ-, ТЕ-ТМ-) в изученных волноведущих структурах.

V. Публикации и апробация Основные результаты диссертации опубликованы в [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 118, 126] и доложены на международных конференциях Days on Diraction (г. Санкт-Петербург, 2007 [121], 2011 [115, 122] и [102]); 13-й и 14-й международных конференциях Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Украина, г. Киев, 2010 [120] и г. Харьков, 2012 [124]); международных конференциях Progress in Electromagnetic Research Symposium (Китай, г. Suzhou, 2011 [119]; Малайзия, г. Kuala Lumpur, 2012 [116]; г. Москва, 2012 [117, 125]; Швеция, г. Стокгольм, [127]); Workshop on Large-Scale Modeling (Швеция, г. Sunne, 2012 [126]);

международной конференции International Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS – 2013) (Япония, г. Hiroshima, 2013 [123]).

По результатам диссертации были также сделаны доклады на семинаре кафедры физики университета г. Оснабрюк, руководитель – проф.

H.-W. Schrmann (Германия 2010, 2011); семинаре на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, руководимом проф. Е.В. Захаровым и проф.

А.С. Ильинским (г. Москва, 2012) ; семинаре кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета, руководитель – проф. Н.Б. Плещинский (г. Казань, 2013); семинаре кафедры Electrical, Electronic, and Communication Engineering университета Chuo, руководитель – проф. K. Kobayashi (Япония, г. Токио, 2013); семинаВВЕДЕНИЕ ре кафедры Electrical Engineering университета Nihon, руководитель – проф. T. Yamasaki (Япония, г. Токио, 2013); семинаре Computational and Applied Mathematics университета Chalmers, руководитель – проф.

S. Larsson (Швеция, г. Гетеборг, 2013); семинаре Вычислительная математика и приложения Института вычислительной математики РАН, руководитель – чл.-корр. РАН, проф. Е.Е. Тыртышников (г. Москва, 2013);

научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, руководитель – д.ф.-м.н., проф. А.В. Тихонравов (г. Москва, 2013); семинаре на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, руководимом акад. РАН, проф. В.А. Ильиным и акад. РАН, проф. Е.И. Моисеевым (г. Москва, 2013).

Работа частично была поддержана грантами РФФИ (№ 06-07-89063а, 2008–2009; № 12-07-97010-р_A, 2012; № 11-07-00330-A, 2011–2012), ФЦП ( Развитие потенциала высшей школы, № 2.1.1/1647, 2009–2011; Кадры, № 14.B37.21.1950, 2012–2013), программы Visby (2012-2013, Швеция), грантами Президента РФ для молодых кандидатов наук в области знания Математика и механика (MK-2074.2011.1, 2011–2012; MKПользуясь случаем, приношу глубокую благодарность моему многоуважаемому учителю – профессору Ю.Г. Смирнову за его желание и умение учить, за многочисленные плодотворные беседы, за внимательное отношение к моим работам.

НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА,

ОПИСЫВАЮЩАЯ РАСПРОСТРАНЕНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ

С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

1.1. Постановка задачи Рассмотрим монохроматические ТЕ-волны Eeit, Heit, распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя здесь комплексные амплитуды; – круговая частота; ( · )T – операция транспонирования.

Слой расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами x < 0 и x > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны 0 > 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду µ = µ0, где µ0 > 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Диэлектрическая проницаемость волновода описывается следующим выражением: = 2 + f (|E|2 ), где 2 > max(1, 3), свойства функции f будут указаны позднее.

Комплексные амплитуды (1.1) удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как O(|x|1) при |x|.

Считаем, что волны, распространяющиеся вдоль границы слоя, гармонически зависят от z. Подставляя (1.1) в уравнения Максвелла (1.2), убеждаемся, что компоненты (1.1) не зависят от переменной y.

Таким образом, рассматриваемые компоненты имеют представление где – неизвестный (действительный) спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Подставим компоненты (1.3) в систему (1.2), получим После простейших преобразований из системы (1.4) получаем причем Hx = 1µ1Ey, Hz = i 1µ1 Ey.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Обозначим k0 := 2 µ0 0 и выполним нормировку уравнения (1.5) в соответствии с формулами Обозначим Y () := Ey (). Опуская значок тильды, получаем Функция Y дифференцируема так, что Под принадлежностью функции указанному пересечению понимается, что сужение функции на выбранный интервал принадлежит соответствующему функциональному классу.

Указанные условия непрерывности и дифференцируемости функции Y соответствуют физическому смыслу задачи и, как будет видно далее, следуют из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля на границах раздела сред и свойств решений при x < 0 и x > h.

Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz. Из условий непрерывности этих компонент следуют условия сопряжения:

где [f ]|x=x0 = lim f (x) lim f (x).

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны В дальнейшем, когда это не будет приводить к неправильному толкованию, мы часто будем опускать явную зависимость рассматриваемых функций от аргумента или параметров.

Перейдем к строгой формулировке задачи сопряжения.

Определение 1.1. Число = такое, что при фиксированном значении Y (0) = 0 (без потери общности можно считать Y (0) > 0) существует не равная тождественно нулю функция Y (x; ), которая удовлетворяет уравнению (1.6), условиям (1.8), (1.9) и затухает как O(|x|1) при |x|, будем называть собственным значением, а функцию Y (x; ), соответствующую этому собственному значению, – собственной функцией.

Задача PE : доказать существование собственных значений, удовлетворяющих определению 1.1.

Совокупность всех собственных значений задачи PE будем обозначать через E.

Замечание 1.1. Определение 1.1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной операторфункции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [36]. Введенное определение является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной операторфункции, нелинейно зависящей от спектрального параметра; с другой стороны, соответствует физической природе задачи. Введенное понятие не связано с понятием точки бифуркации.

Объясним, почему необходимо рассматривать действительные значения. Так как E = eiz (0, Ey, 0)T, то |E|2 = |eiz |2 · |Ey |2. Как известно, |eiz | = 1 при Im = 0. Пусть = + i и Im = 0. Тогда получаем |eiz | = |ei z | · |e z | = |e z |. Значит, уравнение (1.6) будет зависеть от z, что противоречит выбору Ey (x). Заметим еще, что |e z | +, Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны когда < 0 и z + или когда > 0 и z, а это противоречит предполагаемому типу разыскиваемых волн.

Разыскиваются такие положительные значения, что справедливо Это условие соответствует классической задаче распространения ТЕволн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью 2 (см. приложение Б), поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелинейного слоя.

Замечание 1.2. В линейной задаче можно считать спектральный параметр комплексным числом (см. приложение Б).

1.2. Дисперсионное уравнение Пусть При x < 0 и x > h уравнение (1.6) является линейным. Учитывая условие на бесконечности, получаем, что решения уравнения (1.6) в указанных областях имеют вид Считаем, что k1 > 0 и k3 > 0, в противном случае удовлетворить условию излучения будет невозможно (см. приложение Б).

Постоянная A в (1.10) отвечает значению Y (0) (см. определение 1.1) и предполагается фиксированной (известной), а постоянная B определяется условиями сопряжения (1.9).

Внутри слоя уравнение (1.6) принимает вид Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Умножая (1.11) на Y и интегрируя, находим первый интеграл рассматриваемого уравнения где (Y ) = f (u)du; C – постоянная.

Вычисляя первый интеграл (1.12) в точке x = 0 + 0, используя соответствующее решение (1.10) и условия сопряжения (1.9), находим, что Вычисляя первый интеграл (1.12) в точке x = h 0, используя соответствующее решение (1.10), условия сопряжения (1.9) и вычисленное значение (1.13), находим уравнение относительно неизвестной величины B. Легко показать, что уравнение (1.14) имеет два действительных решениях ±B.

Замечание 1.3. Постоянные B и C не зависят ни от точки x = h, ни от спектрального параметра ; кроме того, C > 0.

Умножая уравнение (1.11) на Y и интегрируя от x = 0 до x = h, получаем Из формулы (1.15) следует:

(a) если f не равна тождественно нулю и неотрицательна при x [0, h], (b) если f 0 при x [0, h], то 2 (max(1, 3), 2).

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Ниже доказано, что дисперсионное уравнение задачи PE имеет вид где функция () определяется из уравнения ( 2 + k2 ) + ( ) C (см. формулу (1.20)); C определена формулой (1.13); n = 0, 1, 2,...

Левая часть дисперсионного уравнения (1.16) не зависит от h.

Формула (1.16) – дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h > 0. Фактически уравнение (1.16) является семейством (но не системой) уравнений для различных n. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений. Другими словами, пусть E – множество решений дисперсионного уравнения (1.16), тогда где j содержит все положительные решения (и только их) уравнения (; j) h = 0. Кроме того, i j = для всех возможных i = j.

Справедлива следующая теорема об эквивалентности, которая, в частD ности, утверждает, что E = E.

Теорема 1.1 (об эквивалентности). Значение = является собственным значением задачи PE тогда и только тогда, когда существует целое число n = n 0 такое, что = удовлетворяет уравнению (; n) h = 0.

Кроме того, собственная функция Y (x; ) имеет в точности n нулей при x (0, h); если xi является i-м нулем функции Y (x; ), то Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Доказательство. Введем новые переменные:

Уравнение (1.11) может быть переписано в виде системы в нормальной форме: Первый интеграл этой системы определяется из (1.19) или из (1.12) и имеет вид Необходимо заметить, что функция может быть выражена через из уравнения (1.20) лишь в исключительных случаях (например, если Используя (1.9) и (1.10), находим При условиях задачи PE выполняется неравенство k2 + f ( ) + 2 > 0.

В этом случае, как видно из второго уравнения системы (1.19), функция (x) монотонно убывает при x [0, h].

Из формулы (1.18) следует, что функция непрерывна если и только если функция Y (x) не обращается в нуль при x (0, h). В общем случае функция Y (x) имеет нули в некоторых точках внутри интервала (0, h). Предположим, что функция Y (x) имеет n нулей x1,..., xn (0, h) (если n = 0, то функция Y не обращается в нуль ни в одной точке отрезка x [0, h]). В этом случае функция (x) имеет n точек разрыва x1,..., xn (0, h) (если n = 0, то функция (x) непрерывна на отрезке [0, h]). Ясно, что Y (xi) = 0 для всех i = 1, n. Действительно, если непостоянное решение Y уравнения (1.11) обращается в нуль вместе со своей Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны производной Y в некоторой точке, тогда из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1.11) следует, что Y 0. Таким образом, все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.

Из второго уравнения системы (1.19) и формул (1.21) следует, что Принимая во внимание вышеизложенное, будем разыскивать решение второго уравнения системы (1.19) на каждом из (полу) интервалов [0, x1), (x1, x2),..., (xn, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1 0, x = h в уравнения (1.23) (в первое, второе и третье соответственно), находим Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны С учетом найденных постоянных уравнения (1.23) принимают вид (xi +0) Подставляя x = x1 0, x = xi + 0, x = xn + 0 в уравнения (1.25) (в первое, второе и третье соответственно), получаем Принимая во внимание формулы (1.21) и (1.22), находим из (1.26) Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Формулы (1.27) дают явные выражения для расстояний между нулями функции Y. Действительно, из формул (1.27) следует, что если xi есть i-й нуль функции Y, то (это доказывает соответствующую часть утверждения теоремы).

Более того, из формул (1.27) следует сходимость всех рассматриваемых несобственных интегралов.

Далее, складывая все соотношения (1.27), получаем Уравнение (1.28) может быть легко преобразовано в дисперсионное уравнение (1.16).

Поскольку уравнение (1.16) является следствием задачи PE, то всякое собственное значение рассматриваемой задачи является также и корнем этого уравнения. Также ясно, что всякий такой корень удовлетворяет всем условиям, указанным в формулировке задачи PE. Таким образом, совпадение множеств E и E доказано.

Наличие n точек разрыва у функции имеет следствием то, что собственная функция Y (x; ) имеет n нулей при x (0, h).

Замечание 1.4. Из теоремы получаем, что собственная функция Y (x; ) имеет n нулей, если n. Таким образом, из формулы (1.17) ясно, что множество всех собственных функций задачи PE можно естественным образом разбить на множества, каждое из которых содержит собственные функции с одним и тем же числом нулей. В рассматриваемой Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны нелинейной задаче могут существовать собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, но имеющие одно и то же число нулей. В линейном случае (см. приложение Б), т.е. при f 0, для всякого допустимого целого n 0 существует не более одной собственной функции, которая имеет n нулей.

Теорема 1.2. Пусть – собственное значение задачи PE. Если собственная функция Y (x; ) имеет более двух нулей при x (0, h), тогда функция Y (x; ) периодическая с периодом 2T2.

Доказательство. Рассмотрим систему в нормальной форме эквивалентную уравнению (1.11).

Легко проверить, что если пара (Y (x), Z(x)) является решением этой системы, то пара (Y (2T2 + 2x1 x), Z(2T2 + 2x1 x)) также является ее решением.

Пусть пара (Y (x), Z(x)) является решением системы (1.29) и функция Y (x) имеет три нуля x1, x2, x3 (0, h), причем x1 < x2 < x3 и Сначала рассмотрим отрезок [x1, x3]. Построим пару функций Y (x) и Z(x) следующим образом:

(Y (x), Z(x)) = В силу системы (1.29) в точке x = x2(= x1 + T2) функции Y (x) и Y (2T2 + 2x1 x) склеены со вторым порядком гладкости.

нули функции Y (x). Тогда для любой точки x (0, h) существует целое Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны число q Другими словами, мы определили периодическое решение (Y (x), Z(x)) системы (1.29) с периодом 2T2. В силу теоремы существования и единственности других решений нет.

Этот же результат можно доказать, используя первый интеграл (1.12).

Действительно, известно, что Y (xi) = 0. Тогда, используя формулу (1.12), мы видим, что (Y (x1), Z(x1)) = (0, C). Далее, используя первый интеграл (1.12) и простейший анализ функции Y (x) и ее производной в окрестностях точек x = x2 и x = x3, получаем, что (Y (x2), Z(x2)) = (0, C), (Y (x3), Z(x3)) = (0, C).

Таким образом, (Y (x1), Z(x1)) = (Y (x3), Z(x3)). Из теории автономных дифференциальных уравнений известно, что решение, удовлетворяющее такому свойству, является периодическим [68]. В силу теоремы существования и единственности других решений нет.

Замечание 1.5. Нахождение условий существования периодического решения у нелинейного автономного уравнения, даже в том случае, когда не удается определить период, само по себе является сложной задачей, привлекающей внимание исследователей [69].

1.3. Спектр: существование и локализация Теорема 1.1 говорит о совпадении множеств E и E, но множество E может оказаться пустым. Дальнейшие рассуждения нацелены на выявление условий, при которых множество решений дисперсионного уравнения (1.16) не является пустым.

Рассмотрим левую часть (; k) дисперсионного уравнения (1.16).

Функция (; k) не зависит от h.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Пусть = (max(1, 3), 2) и Указанная sup существует не всегда, например, sup не существует, если f 0.

Поскольку (; k) > 0, то hk всегда существует. Когда мы пишем hk, мы предполагаем, что указанный (конечный) sup существует.

Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения задачи PE.

Теорема 1.3. Пусть для некоторого p выполняется hp < hp, f C 1 [0, +) и h таково, что hp < h < hp, тогда задача PE имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Доказательство. Поскольку все интегралы в дисперсионном уравнении (1.16) сходятся, то очевидно, что указанные hp и hp существуют. Даsup лее, так как правая часть уравнения (1.11) непрерывна по совокупности переменных Y и, ограничена и непрерывно дифференцируема по Y, то (см., например, [53, 68]) решения такого уравнения непрерывны по параметру. Но тогда и функция (; k) является непрерывной функцией параметра. Отсюда с очевидностью следует утверждение о том, что для всякого hp < h < hp существует по крайней мере одно решение дисперсионного уравнения (1.16), которое в силу теоремы 1.1 является собственным значением задачи PE.

Теорема 1.4. Пусть (; k) неограничена при 2, f C 1 [0, +) и h таково, что для некоторого p выполняется hp < h, тогда задача PE имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Доказательство. Доказательство этой теоремы очевидным образом получается из доказательства предыдущей теоремы. Отличие состоит в том, что в этой теореме не существует sup функции (; k).

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны В двух предыдущих теоремах утверждается существование собственных значений, но не их изолированность.

В двух следующих теоремах утверждается существование дискретных собственных значений.

Теорема 1.5. Пусть для некоторого p выполняется hp < hp, функsup ция f (u) является аналитической функцией в C (как функция комплексной переменной u = Y 2 ) и h таково, что hp < h < hp, тогда задача PE имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Кроме того, если условие hp < hp справедливо для всех p, то мноsup жество собственных значений E задачи PE является дискретным на D = { R : 2 }, т.е. на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений задачи PE.

Доказательство. Поскольку все интегралы в дисперсионном уравнении (1.16) сходятся, то очевидно, что указанные hp и hp существуют. Даsup лее, так как правая часть уравнения (1.11) непрерывна по совокупности переменных Y и, ограничена и непрерывно дифференцируема по Y, то (см., например, [53, 68]) решения такого уравнения непрерывны по параметру. Но тогда и функция (; k) является непрерывной функцией параметра. Отсюда с очевидностью следует утверждение о том, что для всякого hp < h < hp существует по крайней мере одно решение дисперсионного уравнения (1.16), которое в силу теоремы 1.1 является собственным значением задачи PE.

Более того, так как правая часть уравнения (1.11) является аналитической функцией Y и, то решения такого уравнения будут аналитическими функциями x и параметра (см., например, [53, 80]). Отсюда следует, что функция (; n) также является аналитической функцией параметра. Поскольку условие hp < hp справедливо для всех p, то отсюда в силу аналитичности функции (; k) по следует, что функция Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны (; k) не может оставаться постоянной на любом открытом множестве 2. Это и означает, что на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений задачи PE.

Теорема 1.6. Пусть функция (; k) неограничена при 2, функция f (u) является аналитической функцией в C (как функция комплексного переменного u = Y 2 ) и h таково, что для некоторого p выполняется hp < h, тогда задача PE имеет по крайней мере одно реinf шение (собственное значение).

Кроме того, если условие hp < hp справедливо для всех p, то мноsup жество собственных значений E задачи PE является дискретным на D = { R : 2 }, т.е. на каждом отрезке I D содержится не более конечного числа (изолированных) собственных значений задачи PE.

Доказательство. Доказательство этой теоремы очевидным образом получается из доказательства предыдущей теоремы. Отличие состоит в том, что в этой теореме не существует sup функции (; k).

Величины hk и hk можно находить численно.

Условие 2 < 2 является точным. Действительно, для функции f получаем линейную задачу. В такой линейной задаче необходимо 2 < (см. приложение Б).

Рассмотрим возможности обобщения дисперсионного уравнения (1.16)).

Дисперсионное уравнение (1.16) получено из второго уравнения системы (1.19), которое имеет вид Из классических результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что если правая часть q() непрерывна и не Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны обращается в нуль при (a, b), то через каждую точку (x0, 0) полосы a < < b проходит единственная интегральная кривая – решение уравнения (1.31) (см., например, [68]).

Если же при (a, b) существует точка = c (a, b) такая, что q(c) = 0, то в зависимости от сходимости или расходимости интеграла и поведения функции q() в точке = c, могут реализоваться три случая:

1) через каждую точку (x0, 0) полосы a < < b проходит единственная интегральная кривая кривая – решение уравнения (1.31). Сразу же поясним, что прямая = c разделяет полосу a < < b на две полосы a < < c и c < < b, причем интегральная кривая, полученная по некоторой точке, принадлежит той же полосе, что и начальная точка. При этом функция = c является единственным решением уравнения (1.31);

2) через любую точку (x0, 0) полосы a < < b проходит бесконечное множество интегральных кривых уравнения (1.31);

3) через любую точку (x0, c) проходит бесконечное множество интегральных кривых.

Таким образом, мы видим, что если существует точка = c (a, b) такая, что q(c) = 0, то при переходе через эту точку либо мы переходим на другое решение уравнения (1.31), либо по крайней мере в этой точке нарушается единственность решения уравнения (1.31). В силу того, что нас интересует единственное решение уравнения (1.31), то и та, и другая ситуации нам не подходят.

Вышенаписанное означает, что подход для вывода дисперсионного уравнения, основанный на знакопостоянстве правой части второго уравнения системы (1.19), полностью обоснован.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны При заданной функции нелинейности f дальнейшие результаты о собственных значениях могут быть получены при исследовании дисперсионного уравнения (1.16) совместно с первым интегралом (1.20). Такое исследование позволит не только получить важную дополнительную информацию о собственных значениях (дискретность собственных значений, локализация, структура множества собственных значений), но и, возможно, ослабить ограничение k2 > 0 (см. п. 1.4).

При определенных условиях вектор поляризации в материальных уравнениях в системе Максвелла имеет разложение в ряд по степеням |E| (см., например, [40, 48, 62, 86]). Считая, что f – многочлен, мы просто обрываем соответствующий ряд. Заметим, что активно исследуются нелинейности, отличные от полиномиальных, в частности, нелинейности с насыщением (см., например, [5, 16, 60, 62] и п. 1.4).

Замечание 1.6. Пусть первый интеграл (1.12) (или (1.20)) является алгебраической функцией (см., например, [84]) от каждой из двух своих переменных. Такая ситуация имеет место, например, если нелинейность f представляет собой полином от независимой переменной. В этом случае любое уравнение системы (1.19) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [70, 84]. Его обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнения выражается из первого интеграла и найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (1.19) – являются абелевыми функциями.

Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [63]). Это рассуждение объясняет в простейшем случае появление точек разрыва функции. То есть, если f – полином, то эти разрывы – Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны полюсы мероморфной функции. Абелевы функции возникают в различных нелинейных задачах математической физики [41].

1.4. Нелинейность Керра и нелинейность с насыщением В этом пункте будет рассмотрено приложение общей техники, развитой в первых трех параграфах этой главы, к изучению двух типов нелинейностей: нелинейности типа Керра (задача PE1 ) и нелинейности с насыщением (задача PE2 ). Для дисперсионных уравнений задач PE1 и PE2 справедливы теоремы 1.1–1.6, доказанные в пп. 1.1–1.3. Далее будут получены результаты о спектрах этих задача, существенно дополняющие доказанные ранее теоремы.

1.4.1. Нелинейность Керра Постановка задачи. В рассматриваемом случае диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид где 2 > max(1, 3) – (положительная) постоянная часть диэлектрической проницаемости; > 0 – коэффициент нелинейности.

Задача PE1 : требуется доказать существование собственных значений, удовлетворяющих определению 1.1, при условии, что Совокупность всех собственных значений задачи PE1 будем обозначать через E1.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Дисперсионное уравнение. Внутри слоя уравнение (1.6) с учетом формулы (1.32) принимает вид Первый интеграл уравнения (1.33) имеет вид где C – постоянная интегрирования. Используя (1.9), (1.10) и (1.34) в точке x = 0, получаем Используя (1.9), (1.10), (1.34) в точке x = h и вычисленное C, получаем уравнение относительно неизвестной постоянной B:

Это уравнение всегда имеет положительное решение B 2, а именно Дисперсионное уравнение для задачи PE1 имеет вид где n = 0, 1, 2,... – целое число;

Замечание 1.7. Вид уравнения (1.36) отличается от (1.16). Это связано с тем, что случай рассматриваемой нелинейности является единственным, известным автору настоящего исследования, когда первый интеграл может быть эффективно разрешен относительно одной из переменных. Действительно, после перехода к переменным (1.18) уравнение Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны (1.33) в виде нормальной системы записывается следующим образом:

Первый интеграл этой системы имеет вид Подставляя этот результат в правую часть второго уравнения системы (1.37), получаем где для всех [0, +). Если C > 0, то (1.40) справедливо для всех 2 (max(1, 3), +).

Линейный случай (задача PE ). Если = 0, то мы получаем хорошо известную линейную задачу, которая исследована в приложении Б. Здесь мы покажем, что предельный переход при 0 в уравнении (1.36) дает известное уравнение линейной задачи (см. формулу (Б.12) на с. 141). Как сказано выше, в этом случае 2 (max(1, 3), 2) [3, 11]. Очевидно, что при = 0 интегралы T1, T2 расходятся, когда 2 2. Предположим, что 2 (max(1, 3), 2 ), где > 0 достаточно мало. Тогда w стремится равномерно по к w0 = (k2 + 2 )1. Теперь можно перейти к пределу при 0 в дисперсионное уравнении (1.36). Этот переход дает Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны После вычисления интегралов и перехода к пределу при 0 получаем формулу взяв тангенс, приходим к известному дисперсионному уравнению [3, 11, 26]:

Результатом исследования уравнения (1.41) (или (1.42)) является Утверждение 1.1. Пусть где = min(1, 3), = max(1, 3), задача PE имеет конечное число (и не менее одного) положительных (кратности 1) собственных значений 1 < 2 <... < p, которые являются корнями уравнения (1.41) и (1.42). Для всякого i = 1, p справедливо i2 (, 2).

Замечание 1.8. Поскольку в уравнении (1.41) параметр n сохраняет смысл, приданный ему при доказательстве теоремы 1.1, то, принимая во внимание утверждение 1.1, получаем, что для всякого допустимого n существует единственная собственная функция, имеющая n нулей. Если же явно решить уравнения задачи PE и, используя условия сопряжения (1.9), вывести дисперсионное уравнение, то оно будет иметь форму (1.42) (см. приложение Б). Ясно, что из уравнения (1.42) легко получить уравнение (1.41), однако в этом случае смысл параметра n остается неясным.

Спектр. В дальнейшем мы будем использовать два обозначения для собственных значений задачи PE1 : обозначение i значит, что все собственные значения упорядочены по возрастанию; обозначение (m) значит, что это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (1.36) при n = m.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Основным результатом этого пункта является следующая В этом случае для любого h > 0 задача PE1 имеет бесконечное число положительных собственных значений i (с точкой накопления на бесконечности).

Собственные значения i имеют следующие свойства:

1) если 1, 2,... все решения задачи PE1, то 2) если задача PE имеет p решений 1 < 2 <... < p, то существует 0 > 0 такое, что для любого = < 0 справедливо где 1,..., p – первые p решений задачи PE1 при = ;

2’) если q > p, то lim q = +;

3) для больших значений и произвольно малого > 0 справедливо следующее асимптотическое двойное неравенство где • (m) = 2 + f 1 4m, f 1 есть обращение функции f (t) = t1 ln t;

3’) если 2C < 1, то для больших значений справедливо более простое асимптотическое неравенство 4) если собственное значение i, то max |Y (x; i)|.

Доказательство. Доказательство теоремы опирается на оценки интегралов в дисперсионном уравнении.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Очевидно, что где n = 0, 1, 2,...

Таким образом, необходимо оценить T2. Для дальнейшего анализа понадобятся следующие легко проверяемые неравенства:

где a 0, b > 0. Из этих неравенств следует, что Тогда из (1.43), (1.44) следует, что Для интеграла T имеется три случая:

где Легко проверяется, что интеграл T непрерывно зависит от 2 для всех 2 (max(1, 3), +).

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Из случая (c) следует, что lim T = 0. Эта формула гарантирует, что для любого заданного h > 0 существует бесконечное число положительных собственных значений i. Таким образом, случаи (a), (b) и (c) доказывают первое утверждение теоремы.

Утверждение 2 теоремы следует из (a), (b).

Утверждение 2 теоремы следует из (c).

Утверждение 3 теоремы следует из (c). Действительно, имеет место следующая асимптотическая формула T 4|k2 |1 ln |k2 |. Из этой формулы легко следует утверждение 3 теоремы.

Если 2C < 1, то из (c) получаем следующую асимптотическую формулу T |k2|1 ln 2C. Из этой формулы следует утверждение теоремы.

Умножая уравнение (1.33) на Y и интегрируя от x = 0 до x = h, получаем ние 4 теоремы.

Замечание 1.9. Очевидно, что собственные значения i задачи PE1 такие, что lim i2 = +, не могут быть получены на основе теории возмущеlin ний из решений задачи PE. Такие собственные значения могут отвечать новому типу поверхностных волн.

Дисперсионные кривые. На рисунке 1.1 представлены (дисперсионные) кривые (см. теорему 1.7), характеризующие зависимость = (h).

Как видно из рис. 1.1, для h = 10 первая дисперсионная кривая не пересекает линию h = 10, т.е. 0 =, множества k = {(k), (k)} при k = 1, 6 содержат по два элемента (они все отмечены черными точками Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны на рисунке), множества k = {(k)} при k = 7, 8,... содержат по одному элементу (эти элементы на рисунке не видны, все они находятся выше точки (5)). Множество k – это множество решений дисперсионного уравнения (1.36).

Линейный случай представлен на рис. 1.2. Здесь горизонтальная прямая линия = 3 является асимптотой. Все дисперсионные кривые лежат ниже этой прямой. Вертикальная прямая h = 10 соответствует толщине слоя, отмеченной на рис. 1.1. В линейном случае при h = 10 имеется 7 собственных значений.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны 1.4.2. Нелинейность с насыщением Постановка задачи. В рассматриваемом случае диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид где 2 > max(1, 3) – (положительная) постоянная часть диэлектрической проницаемости;, > 0 – коэффициенты нелинейности.

Задача PE2 : требуется доказать существование собственных значений, удовлетворяющих определению 1.1, при условии, что Совокупность всех собственных значений задачи PE2 будем обозначать через E2.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Дисперсионное уравнение. Внутри слоя уравнение (1.6) с учетом формулы (1.45) принимает вид Первый интеграл уравнения (1.46) имеет вид где C – постоянная интегрирования. Используя (1.9), (1.10) и (1.47) в точке x = 0, получаем Используя (1.9), (1.10), (1.47) в точке x = h и вычисленное C, получаем уравнение относительно неизвестной постоянной B:

Это уравнение всегда имеет положительное решение B 2.

Дисперсионное уравнение для задачи PE2 имеет вид где n = 0, 1, 2,...;

функция () определяется из уравнения (которое является первым интегралом (1.47) в переменных (1.18)); C определена формулой (1.48).

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Спектр. В дальнейшем мы будем использовать два обозначения для собственных значений задачи PE2 : обозначение i значит, что все собственные значения упорядочены по возрастанию; обозначение (m) значит, что это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (1.50) при n = m.

Основным результатом этого пункта является следующая Y (0) = 0. Тогда существует hmin > 0 такое, что для любого h > hmin задача PE2 имеет конечное число (и не менее одного) положительных собственных значений i.

Для всякого собственного значения i задачи PE2 справедливо, что кроме того, для всяких допустимых m и m + 1 справедливо, что где max берется среди всех положительных решений уравнения (1.50) с заданным n.

Доказательство. Уравнение (1.50) выведено в предположении, что правая часть второго уравнения системы отрицательна. Очевидно, что при k2 > 0 и, > 0 это условие наверное выполняется.

Система в нормальной форме (1.51) получена из уравнения (1.46) с использованием переменных (1.18). Первый интеграл (1.47) в переменных (1.18) имеет вид Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Рассмотрим второе уравнение системы (1.51) совместно с первым интегралом (1.52). При k2 < 0, т.е. при 2 > 2, правая часть второго уравнения (1.51) уже не обязательно является знакоопределенной. В то же время очевидно, если знак указанной правой части меняется, то существует стационарное решение const этого уравнения и этому решению отвечает = () определяемое из первого интеграла (1.52).

Для того чтобы выяснить, возникает ли в рассматриваемом случае указанное стационарное решение, необходимо провести исследование первого интеграла (1.52). Запишем его в такой форме:

того lim g( ) = + и lim g( ) = +0. Кроме того, при > 0 функция g монотонно убывает по (как сумма двух монотонно убывающих функций). Прямая f (, ; ) := 2 + (k2 + 1 ) при заданном = проходит через точку (0, 2 + k2 + 1) параллельно оси (см. рис. 1.3). Ясно, что lim f (, ; ) = k2 + 1. Отсюда следует, что для того, чтобы для всякого значения существовало решение (), необходимо и достаточно выполнение условия k2 + 1 > 0, откуда получаем Заметим, что при 0 это неравенство переходит в 2 < 2 (что соответствует линейному случаю, см. приложение Б), а при 0 получаем 2 < (что справедливо как раз для случая керровской нелинейности, см. п. 1.4.1).

Геометрически сказанное представлено на рис. 1. Ясно, что при возрастании 2 от max(1, 3) до 2 + 1 функция (; 2), найденная из первого интеграла, остается положительной и при фиксированном монотонно возрастает при возрастании 2.

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Пусть существует указанное выше стационарное решение. Этому решению отвечает некоторое значение (). Поскольку решение изменяется монотонно и непрерывно при возрастании, то либо а) никогда не примет значения, либо б) при каком-то значений 2 будет В случае (а) правая часть второго уравнения (1.51) будет положительной для всех 2, удовлетворяющих неравенству (1.53).

Случай (б) не может реализоваться, поскольку при непрерывной и дифференцируемой правой части фазовые траектории автономной системы x = F (x) либо не пересекаются, либо совпадают в ее фазовом пространстве [68].

Выясним, что дает предельный переход в дисперсионном уравнении (1.50) при 2 2 + 1. Пусть > 0 – достаточно малое число, возьмем 2 = 2 + 1 : второе уравнение (1.51) принимает вид первый интеграл (1.52) принимает вид Нам известно, что при 0 корень + при +0. Это Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Из этого следует, что в дисперсионном уравнении (1.50) Значение hmin определяется как где = (max(1, 3), 2 + 1).

Поскольку правые части системы являются аналитическими функциями при действительных значениях 0, и, получаем, что собственных значений задачи PE2 не более конечного числа. Известно [53, 80], что решения такой системы являются (вещественно) аналитическими функциями независимой переменной и параметра. В этом случае дисперсионное уравнение (1.50) на всяком конечном отрезке имеет не более конечного числа решений.

Замечание 1.10. Собственные значения i задачи PE2, для которых справедливо 2 < i2 < 2 + 1, могут отвечать новому типу поверхностных волн.

О предельных переходах 0 и 0. Поскольку при 0 имеем = 2 (это линейная задача и она исчерпывающе исследована, см. приложение Б), а при 0 имеем керровскую нелинейность, то возникает вопрос: возможен ли переход к пределу в каждом из указанных случаев (отдельно при 0 и отдельно при 0) в дисперсионном уравнении (1.50) и если возможен, то дает ли такой переход дисперсионное уравнение для линейной задачи и дисперсионное уравнение для керровской среды?

Используя первый интеграл (1.52), легко видеть, что lim = 0.

стремится равномерно по к w0 = (k2 + 2 )1. Теперь можно перейти к Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны пределу при 0 в дисперсионное уравнение (1.50). Этот переход дает После вычисления интегралов и перехода к пределу при 0 получаем формулу (1.41), взяв тангенс, приходим к известному дисперсионному уравнению (1.42) [3, 11, 26] (см. п. 1.4.1 и приложение Б).

Переходя к пределу при 0 в первом интеграле (1.52) получаем линейный случай, а именно Предельный переход при 0 в первом интеграле (1.52) дает что отвечает случаю керровской нелинейности (см. формулу ((1.38)).

Дисперсионные кривые. На рисунке 1.4 представлены (дисперсионные) кривые (см. теорему 1.8), характеризующие зависимость = (h).

Глава 1. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТЕ-волны Как видно из рис. 1.4, прямая h = 30 пересекает 14 дисперсионных кривых, таким образом, имеем 0 = {(0)}, 1 = {(1), (1), (1)}, множества k = {(k)} при k = 2, 13 содержат по одному элементу (все собственные значения отмечены черными точками), множества k = при k = 14, 15,... Множество k – это множество решений дисперсионного уравнения (1.50).

нелинейном случае. Интересным фактом является существование новых собственных значений именно в полосе 2 < < 2 + 1.

Линейный случай представлен на рис. 1.5. Здесь горизонтальная прямая линия = 3 является асимптотой. Все дисперсионные кривые лежат ниже этой прямой. Вертикальная прямая h = 30 соответствует толщине слоя, отмеченной на рис. 1.4. В линейном случае при h = имеется 14 собственных значений.

НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА,

ОПИСЫВАЮЩАЯ РАСПРОСТРАНЕНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В СЛОЕ

С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

2.1. Постановка задачи Рассмотрим монохроматические ТМ-волны Eeit, Heit, распространяющиеся вдоль границы однородного, изотропного, немагнитного диэлектрического слоя здесь комплексные амплитуды; – круговая частота; ( · )T – операция транспонирования.

Слой расположен в декартовой системе координат Oxyz между двумя полупространствами x < 0 и x > h. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны диэлектрические проницаемости = 1 0 и = 3 0 соответственно, где 0 > 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду µ = µ0, где µ0 > 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Диэлектрическая проницаемость волновода описывается следующим диагональным тензором 3 3:

элементы xx, zz имеют вид где f, g – постоянные (вещественные) составляющие диэлектрических проницаемостей xx, zz ; a, b, c, d – неотрицательные постоянные, не все равные нулю; свойства функций f, g будут указаны позднее1. Элемент yy не оказывает влияния на распространение ТМ-волн.

Комплексные амплитуды (2.1) удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает как O(|x|1) при |x|.

Считаем, что волны, распространяющиеся вдоль границы слоя, гармонически зависят от z. Подставляя комплексные амплитуды (2.1) в уравнения Максвелла, (2.4) убеждаемся, что их компоненты не зависят от y. Значит, компоненты векторов E, H имеют представление где – неизвестный (действительный) спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Произвольная диэлектрическая проницаемость рассматривалась, например, в [96, 99, 100].

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Подставим компоненты (2.5) в систему (2.4), получим Систему (2.6) можно привести к виду и Hy (x) = 1xx Ex (x).

Обозначим k0 := 2 µ0 0 и выполним нормировку системы (2.7) в соответствии с формулами Обозначим Z() := Ez, X() := iEx. Опуская значок тильды, полуx x чаем из системы (2.7) где с учетом предыдущего к уравнению в полных дифференциалах).

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны где утверждается, что многие типы нелинейностей удовлетворяют такому условию. В пункте 2.3 будет показано, что без этого условия можно обойтись.

f (0) = g(0) = 0.

Функции X, Z дифференцируемы так, что Под принадлежностью функции указанному пересечению понимается, что сужение функции на выбранный интервал (полуинтервал, отрезок) принадлежит соответствующему функциональному классу.

Указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций X и Z соответствуют физическому смыслу задачи и, как будет видно далее, следуют из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля на границах раздела сред и свойств решений при x < 0 и x > h.

Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez. Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем, что выражение z Ex x Ez непрерывно на границах раздела сред (см. первую формулу (2.6)). Учитывая выбор компонент полей, получаем условия сопряжения в следующей форме:

где [f ]|x=x0 = lim f (x) lim f (x).

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны В дальнейшем, когда это не будет приводить к неправильному толкованию, мы часто будем опускать явную зависимость рассматриваемых функций от аргумента или параметров.

Перейдем к строгой формулировке задачи сопряжения.

Определение 2.1. Число = такое, что при фиксированном значении X(0) = 0 (без потери общности можно считать X(0) > 0) существуют не равные тождественно нулю функции X(x; ), Z(x; ), которые удовлетворяют системе уравнений (2.8), условиям (2.10), (2.11) и затухают как O(|x|1 ) при |x|, будем называть собственным значением, а функции X(x; ), Z(x; ), соответствующие этому собственному значению, – собственными функциями.

Задача PM : доказать существование собственных значений, удовлетворяющих определению 2.1.

Совокупность всех собственных значений задачи PM будем обозначать через M.

Замечание 2.1. Определение 2.1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной операторфункции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [36]. Введенное определение является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной операторфункции, нелинейно зависящей от спектрального параметра; с другой стороны, соответствует физической природе задачи. Введенное понятие не связано с понятием точки бифуркации.

Объясним, почему необходимо рассматривать действительные значеT Как известно, |eiz | = 1 при Im = 0. Пусть = + i и Im = 0.

Тогда получаем |eiz | = |ei z | · |e z | = |e z |. Значит, система (2.8) Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны будет зависеть от z, что противоречит выбору Ex (x) и Ez (x). Заметим и z, а это противоречит предполагаемому типу разыскиваемых волн.

Разыскиваются такие положительные, что Это условие соответствует классической задаче распространения ТМволн в линейном слое с постоянной диэлектрической проницаемостью (см. приложение В), поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелинейного слоя.

Замечание 2.2. В линейной задаче можно считать спектральный параметр комплексным числом (см. приложение В).

2.2. Дисперсионное уравнение Пусть При x < 0 и x > h система (2.8) является линейной. Учитывая условие на бесконечности, получаем, что решения системы (2.8) в указанных областях имеют вид Считаем, что k1 > 0 и k3 > 0, в противном случае удовлетворить условию излучения будет невозможно (см. приложение В).

Постоянная A в (2.12) отвечает значению X(0) (см. определение 2.1) и предполагается фиксированной (известной), а постоянная B определяется условиями сопряжения (2.11).

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Внутри слоя система (2.8) принимает вид Приведем систему (2.13) к нормальной форме. Дифференцируем по x второе уравнение системы (2.13), получаем где fu = fX 2, fv = fZ 2 (далее эти производные понимаются в указанном смысле, пока явно не будет оговорено иное).

Используя последнее уравнение, систему (2.13) перепишем в виде Из системы (2.14) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение где ким образом, уравнение (2.15) является уравнением в полных дифференциалах. Найдем его решение – U (X, Z).

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Интегрируя по частям первое слагаемое, получаем отсюда Далее интегрируем по Z, получаем Значит, приводя подобные слагаемые и интегрируя, имеем Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Из последней формулы получаем окончательно Функция U (X, Z) является первым интегралом системы (2.14), мы будем использовать первый интеграл в следующей форме:

Введем обозначения предельных значений функций X и Z на границах слоя изнутри X0 := X(0 + 0), Xh := X(h 0), Z0 := Z(0 + 0), Zh := Z(h 0).

Поскольку решения в полупространствах x < 0 и x > h нам известны, то мы можем сразу вычислить Внутри слоя при x = 0 + 0 и x = h 0 выражение X(x) Z (x) может быть заменено правой частью второго уравнения (2.6).

Из всего сказанного получаем следующие условия сопряжения для функций X и Z:

Используя решения в полупространствах, предыдущие формулы можно записать так:

Выведем уравнения для неизвестных величин B и Xh.

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Поскольку постоянная A предполагается известной, то X0 определяется из первого уравнения (2.17) Обозначим f0 := f aX0 + bZ0 и G0 := G X0, Z0. Тогда, используя первый интеграл (2.16), подставляя x = 0, найдем Мы используем обозначения X0, Xh, Z0, Zh, однако обращаем внимание читателя, что это лишь обозначения. Значения этих величин не зависят от точек x = 0, h.

Для того чтобы определить неизвестную величину B, поступим следующим образом: на границе x = h имеем 3B = (f + fh)Xh. Используя первый интеграл (2.16) в точке x = h и пользуясь уже найденным значением постоянной C, окончательно получаем систему двух уравнений:

где fh := f (aXh + bZh ) и Gh := G(Xh, Zh ).

Из второго уравнения системы (2.19) видно, что величины Xh и Zh могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время при условии xx = f + f > 0 из первого уравнения системы (2.19) видно, что Xh и Zh должны быть различных знаков.

Решив систему (2.19) относительно Xh, Zh, легко найти постоянную B = k3 Zh.

Ниже доказано, что дисперсионное уравнение задачи PM имеет вид где Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны величины (0), (h) определяются формулами а функция w имеет следующий вид:

где функция () определяется из уравнения (см. формулу (2.24)) что и выше; постоянная C определяется формулой (2.18); n = 1, 2, 3,...

Левая часть дисперсионного уравнения (2.20) не зависит от h.

Формула (2.20) – дисперсионное уравнение справедливое для любого конечного h > 0. Фактически уравнение (2.20) является семейством (но не системой) уравнений для различных n. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений. Другими словами, пусть M – множество решений дисперсионного уравнения (2.20), тогда где j содержит все положительные решения (и только их) уравнения (; j) h = 0. Кроме того, i j = для всех возможных i = j.

Дисперсионное уравнение (2.20) получено при условиях:

Справедлива следующая теорема об эквивалентности, которая, в частD ности, утверждает, что M = M.

Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Теорема 2.1 (об эквивалентности). Значение = является собственным значением задачи PM тогда и только тогда, когда существует (; n) h = 0.

Кроме того, собственная функция Z(x; ) имеет в точности n нулей при x (0, h); если xi является i-м нулем функции Z(x; ), то Доказательство. Введем новые переменные:

тогда После перехода к новым переменным мы, естественно, считаем, что Система (2.14) в новых переменных принимает вид fZ 2 = bf ( ).

Первый интеграл (2.16) примет вид Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Замечание 2.3. Функция () может быть явно выражена из первого интеграла (2.24) лишь в исключительных случаях.

Мы предполагаем функции f и g таковыми, что правая часть второго уравнения системы (2.23) положительна. На первый взгляд это условие может показаться достаточно жестким, однако это не так. Например, если f и g – многочлены от двух переменных с положительными коэффициентами, то этого достаточно для выполнения требования о положительности. При определенных условиях вектор поляризации в материальных уравнениях в системе Максвелла имеет разложение в ряд по степеням |E| (см., например, [40, 48, 62, 86]), значит, многочлены в качестве f и g являются достаточно общим типом нелинейности. Нужно ограничения на вид многочленов f и g. Заметим, что активно исследуются нелинейности, отличные от полиномиальных, в частности, нелинейности с насыщением (см. с. 40, а также [5]).

Для дальнейшего необходимо определить (0) и (h). Учитывая непрерывность (f + f )X и Z на границах x = 0 и x = h и используя (2.17), получаем Нетрудно видеть, что правая часть второго уравнения системы (2.23) строго положительна, значит, функция (x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (2.25), получаем, что функция (x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.

Ясно, что точками разрыва являются нули функции Z. Не равные тождественно постоянным функции X и Z не могут обращаться в нуль одновременно, так как X 0, Z 0 являются стационарным решением системы (2.14) и поэтому не могут пересекаться с непостоянными решеГлава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны ниями X и Z (см., например, [68]). Предположим, что имеется n точек разрыва x1,..., xn на интервале x (0, h).

Из второго уравнения системы (2.23) и формул (2.26) следует, что Обозначим где () выражается из первого интеграла (2.24).

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения второго уравнения (2.23) на каждом из (полу)интервалов [0, x1 ), (x1, x2),..., (xn, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1 0, x = h в уравнения (2.27) (в первое, второе и третье соответственно), находим Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны С учетом найденных постоянных уравнения (2.27) принимают вид (xi +0) Подставляя x = x1 0, x = xi + 0, x = xn + 0 в уравнения (2.29) (в первое, второе и третье соответственно), получаем Принимая во внимание формулы (2.25) и (2.26), находим из (2.30) Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны Формулы (2.31) дают явные выражения для расстояний между нулями функции Z. Действительно, из формул (2.31) следует, что если xi есть i-й нуль функции Z, то (это доказывает соответствующую часть утверждения теоремы).

Более того, из формул (2.31) следует сходимость всех рассматриваемых несобственных интегралов.

Далее, складывая все соотношения (2.31), получаем Уравнение (2.32) может быть легко преобразовано в дисперсионное уравнение (2.20).

Поскольку (2.20) является следствием задачи PM, то всякое собственное значение рассматриваемой задачи является также и корнем уравнения (2.20). Также ясно, что всякий корень уравнения (2.20) удовлетворяет всем условиям, указанным в формулировке задачи PM. Таким образом, совпадение множеств M и M доказано.

Наличие n точек разрыва у функции имеет следствием то, что собственная функция Z(x; ) имеет n нулей при x (0, h).

Замечание 2.4. Из теоремы получаем, что собственная функция Z(x; ) имеет n нулей, если n. Таким образом, из формулы (2.21) ясно, что множество всех собственных функций задачи PM можно естественным образом разбить на множества, каждое из которых содержит собственные функции с одним и тем же числом нулей. В рассматриваемой Глава 2. Нелинейная однопараметрическая задача на собственные значения. ТМ-волны нелинейной задаче могут существовать собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, но имеющие одно и то же число нулей. Можно показать, что в линейном случае (см. приложение В), т.е.

при f 0, g 0, для любого целого n > 1 существует не более одной собственной функции, которая имеет n нулей.

Теорема 2.2. Пусть – собственное значение задачи PM. Если собственная функция Z(x; ) имеет более двух нулей при x (0, h), тогда функция Z(x; ) периодическая с периодом 2T2.

Доказательство. Рассмотрим систему (2.14). Легко проверить, что если пара (X(x), Z(x)) является решением этой системы, то пара функций (X(2T2 + 2x1 x), Z(2T2 + 2x1 x)) также является ее решением.

Пусть пара (Y (x), Z(x)) является решением системы (2.14) и функция Z(x) имеет три нуля x1, x2, x3 (0, h), причем x1 < x2 < x3 и Сначала рассмотрим отрезок [x1, x3]. Построим пару функций X(x) и Z(x) следующим образом:

(X(x), Z(x)) = В силу системы (2.14) в точке x = x2(= x1 + T2) функции X(x) и X(2T2 + 2x1 x), также Z(x) и Z(2T2 + 2x1 x) склеены с первым порядком гладкости. Учитывая полученный результат, из системы (2.13) видим, что функции Z(x) и Z(2T2 +2x1 x) склеены со вторым порядком гладкости.