«ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ СМЕШАННОГО ТИПА И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМАЛЕЙ ...»

Федеральное государственное бюджетное

учреждение наук

и

Институт динамики систем и теории управления

Сибирского отделения РАН

На правах рукописи

Старицын Максим Владимирович

ПРИНЦИП МАКСИМУМА

ДЛЯ ЗАДАЧ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

С ОГРАНИЧЕНИЯМИ СМЕШАННОГО ТИПА

И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМАЛЕЙ

05.13.01 “Системный анализ, управление и обработка информации (в технике, экологии и экономике)” Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физ.-мат. наук, доцент Е.В. Гончарова Иркутск - Оглавление Введение 1 Импульсное управление при фазовых и смешанных ограничениях на меру и траекторию 1.1 Импульсная гибридная система (ИГС). Постановка задачи оптимального управления................................. 1.1.1 Формальная модель.......................... 1.1.2 Понятие решения дифференциального уравнения с мерами. Пополнение графика разрывной траектории............. 1.1.3 Задача оптимального управления ИГС............... 1.2 Преобразование задачи............................ 1.3 Необходимые условия оптимальности.................... 1.3.1 Формулировка результата...................... 1.3.2 Доказательство необходимых условий оптимальности...... 1.3.3 Обсуждение.............................. 2 Вычислительные методы оптимального импульсного управления 2.1 Улучшение дискретно-непрерывных процессов............... 2.1.1 Задача оптимального управления ДНС............... 2.1.2 Вспомогательные результаты..................... 2.1.3 Общая процедура улучшения дискретно-непрерывных процессов 2.2 Численные методы решения задач оптимального управления нелинейными дифференциальными уравнениями с мерами............ 3 Численный анализ модельных и прикладных задач 3.1 Решение тестовых примеров......................... 3.1.1 Базовый алгоритм улучшения.................... 3.1.2 Вычислительный эксперимент.................... 3.1.3 Замечания............................... 3.2 Прикладные задачи.............................. 3.2.1 Оптимальное импульсное управление популяцией паразитических организмов............................ 3.2.2 Телескопический манипулятор с блокируемой степенью свободы 3.2.3 Двузвенный манипулятор с блокируемой степенью свободы... Литература Введение Диссертационная работа посвящена исследованию задач оптимального управления импульсными гибридными системами. Этот класс моделей описывается дифференциальными уравнениями с мерами при ограничениях смешанного типа, связывающих фазовую траекторию и управляющую меру.

Данное исследование инспирировано, в первую очередь, работами [68–74, 123, 170–172] и ориентировано на решение следующих вопросов:

разработку методов эквивалентных преобразований задач импульсного управления с ограничениями новых типов, вывод необходимых условий оптимальности и построение вычислительных процедур поиска оптимального импульсного управления. В методологическом плане основной упор сделан на систематическое использование сингулярных пространственновременных преобразований.

Актуальность темы работы и обзор имеющихся результатов Задачи импульсного управления Объектом исследования теории оптимального импульсного управления выступают задачи оптимизации с разрывными траекториями и управлениями типа мер или более широко типа обобщенных функций (распределений). Исторически, задачи импульсного управления возникают при расширении некоторых классов вырожденных стандартных задач, решение которых не достигается в исходном множестве допустимых управлений (в первую очередь речь идет о системах с линейной зависимостью от неограниченного управления). Под расширением понимается взятие подходящего замыкания множества допустимых процессов исходной модели. При этом руководствуются желанием обеспечить существование оптимального решения в расширенной постановке.

Внимание к данной тематике было во многом обусловлено потребностями моделирования реальных объектов, управление которыми производится на протяжении пренебрежимо малых промежутков времени, таких что протекающие в них процессы можно идеализировать как мгновенные, а результаты управляющих воздействий выражаются в скачкообразных изменениях фазовой траектории. На практике импульсные системы возникают в различных высокотехнологичных отраслях, таких как ракетодинамика, лазерная технология, телекоммуникация, энергетика, робототехника, квантовая электроника, а также в экономике, экологии, при исследовании демографических и эпидемических процессов [39, 43, 52, 62, 107, 185, 193].

Основы теории импульсного управления были заложены в работах Н.Н. Красовского, С.Т. Завалищина, А.Б. Куржанского, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, Р. Ришела, Дж. Варги. Дальнейшее развитие этой теории связано с именами российских и зарубежных ученых А.В. Арутюнова, А.

Брессана, Р. Винтера, В.А. Дыхты, Б.М. Миллера, М. Мотта, Ф.Л. Перейра, Ф. Рампаццо, А.Н. Сесекина, Ж.Н. Силва, Т.Ф. Филипповой, А.Г.

Ченцова и др.

Наибольшую сложность и практический интерес представляют задачи импульсного управления с траекториями ограниченной вариации и управлениями типа векторной меры. Разные классы таких задач при фазовых ограничениях и некоторых типах смешанных ограничений изучались в работах Б.М. Миллера и Е.Я. Рубиновича, А.В. Арутюнова, Д.Ю. Карамзина и Ф.Л. Перейра, В.А. Дыхты и О.Н. Самсонюк и др. Важной спецификой подобных моделей является неоднозначная интерпретация условий фазового и смешанного типа, что порождает различные возможные постановки задач, типы локального оптимума и условия оптимальности.

Преобразование задач импульсного управления В оптимизации импульсных систем широко распространен следующий подход: задача с импульсами преобразуется к некоторой задаче с ограниченными управлениями, для исследования которой применяются уже известные регулярные методы. Последние могут быть впоследствии подвергнуты расшифровке с тем, чтобы можно было дать интерпретацию полученных результатов в терминах задачи импульсного управления. На сегодняшний день уже имеется ряд эффективных методов эквивалентного преобразования задач импульсного управления к задачам с ограниченными управлениями (и конструктивных методов расширения, если решение не достигается в исходном классе допустимых), в том числе, • метод преобразования Гурмана к производной задаче, предложенный В.И. Гурманом для вырожденных задач оптимального управления [30, 31, 34]. Для применения этого метода в задаче импульсного управления достаточно, чтобы векторные поля при неограниченном линейно входящем управлении были линейно независимы и обладали свойством инволютивности;

• нелинейный вариант преобразования Гоха [145,146], близкий по замыслу к методу В.И. Гурмана, но отличающийся большей симметрией. Разработка этого преобразования в задачах импульсного управления принадлежит В.А. Дыхте [36, 37, 39, 40]. Для применения нелинейного преобразования Гоха достаточно, чтобы в импульсной системе были выполнены условия полной интегрируемости Фробениуса (векторные поля при неограниченных управлениях коммутируют);

• метод разрывной замены времени в различных его вариация является эффективным инструментом преобразования в задачах с траекториями из BV. В основе метода разрывной замены времени лежит известная теорема Лебега о замене переменной под знаком интеграла Стилтьеса [74].

Этот подход берет свое начало, вероятно, в работах Р. Ришела [182] и Дж.

Варги [195]. В принятой нами форме метод замены времени был впервые предложен Б.М. Миллером сначала для задач со скалярным импульсным управлением [68] и затем для векторного случая [69]. Последующие обобщения метода были получены в работах А.Н. Сесекина [89–92]. Та же идея, что и в подходе Б.М. Миллера, облеченная в несколько иную форму, лежит в основе техники, которая применялась в работах А. Брессана и Ф. Рампаццо [125,127], а также Ф. Рампаццо и М. Мотта [173–175]. Для гибридных систем с односторонними ограничениями специальное сингулярное преобразование предложено Б.М. Миллером и Дж. Бентсманом как развитие метода пенализации [123, 171, 172]. В работах Р. Винтера, Ф.Л. Перейра и Ж. Силва [176–178, 180, 186, 188] техника разрывной замены времени была распространена на задачи, в которых динамика описывается нелинейным дифференциальным включением с мерами.

Метод замены времени успешно применялся при решении широкого круга задач, примыкающих к теории импульсного управления. Преобразования этого типа использовались при обосновании различных подходов к определению понятия решения дифференциальных уравнений с мерами, а также в качестве конструктивного приема расширения в моделях, описываемых уравнениями в распределениях (Дж. Дал Мазо, А. Брессан, Ф. Рампаццо, М. Мотта [128, 138, 173–175], С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин [43, 92], Т.Ф. Филиппова [141–143, 179], Р. Винтер, Ф.Л. Перейра и Ж. Силва [176, 186] и др.).

Рассмотрим задачу оптимального управления дифференциальным уравнением с мерами:

в предположении, что матрица G удовлетворяет условию корректности типа Фробениуса:

Здесь i, j = 1, m, G означает k-й столбец матрицы G, [·, ·] скобка Ли.

Метод разрывной замены времени В основе метода [74] лежит специальное сингулярное пространственновременное преобразование, при котором время в исходной модели становится новой фазовой переменной. Преобразование времени состоит в растяжении моментов приложения импульса в интервалы конечной длины, пропорциональной интенсивности соответствующего импульсного воздействия, и в “раскрытии” соответствующих сингулярностей. Это позволяет уложить в единую временную шкалу “быстрые движения” и процессы, протекающие в естественном масштабе времени. Соответствующая (0.1) редуцированная задача [74] определена на нефиксированном отрезке времени [0, S], T S T + M, и имеет вид Здесь управления (·) = (v(·), (·), e(·)) ограниченные измеримые по Борелю функции, траектории z(·) = ((·), y(·)) AC([0, S], Rn+1 ), B единичный шар в Rm с нормой | · | = · 1 и центром в нуле.

Любому допустимому процессу (z(·), (·), S) задачи (0.1) соответствует допустимый процесс задачи (0.2). Прямое преобразование осуществляется следующим образом. Определим на [0, T ] функцию (·):

Поскольку функция (·) монотонно возрастает, существует обратная к ней = 1. Функция (·) абсолютно непрерывна и не убывает на отрезке [0, (T )]. Положим S = (T ). Определим управление v(·) как суперпозицию u((·)), а в качестве управлений (·) и e(·) возьмем борелевские функции, такие что (s) = (s) и e(s) = l((s)) почти всюду по мере Лебега L на [0, S]. Здесь l(t) = производная Радона-Никодима меры d по мере полной вариации. Управление (·) = (v(·), (·), e(·)) удовлетворяет всем ограничениям в задаче (0.2). Решая задачу Коши, мы найдем допустимую траекторию z(·) = ((·), y(·)). Тем самым будет определен допустимый процесс в преобразованной задаче.

Наоборот, если процесс (z(·), (·), S) является допустимым в задаче (0.2), то набор (x(·), u(·), d), определенный соотношениями x(t) = y((t)), u(t) = v((t)), (t) = оказывается допустимым процессом задачи импульсного управления (0.1).

Утверждение 0.0.1 ( [74]) Пусть функция (·) абсолютно непрерывна на [0, S] и удовлетворяет условиям Тогда функция (·), определяемая условиями есть неубывающая, непрерывная справа функция, и выполняются соотношения:

((s)) = s, если t = (s) есть точка непрерывности (·).

Отображение (·) задает обратное преобразование времени.

Нелинейное преобразование Гоха Нелинейное преобразование Гоха [37] упрощает вид сингулярностей в исходной задаче. Оно задается формулами где (t, x, ) = (t, x, ), а (t, x, ) есть решение допредельной системы Глобальная разрешимость допредельной системы обеспечивается предположением корректности. Результатом применения преобразования Гоха в задаче (0.1) является следующая задача оптимального управления [39] где g(t, y, u, l) = {t (t, x, l) + x (t, x, l)f (t, x, u)} x=(t,y,l), а dµ и l(·) новые управления. Здесь dµ мера, порожденная полной вариацией функции (·) (а значит, скалярная и неотрицательная). Исходная траектория x(·) восстанавливается по y(·) при помощи суперпозиции Комбинация замены времени с нелинейным преобразованием Гоха В задачах, где выполнено условие полной интегрируемости типа Фробениуса, метод разрывной замены времени можно применять в комбинации с модифицированным преобразованием Гоха. Замена времени в задаче (0.3) приводит к еще одному варианту редуцированной задачи с ограниченными управлениями и абсолютно непрерывными траекториями:

Соответствия между процессами задач (0.3) и (0.4) легко устанавливаются по аналогии с тем, как это делается для задач (0.1) и (0.2).

Продолжение редуцированной задачи на фиксированный отрезок времени Как отмечено выше, преобразование времени (как и его комбинация с преобразованием Гоха) приводят к стандартным задачам оптимального управления, которые, однако, рассматриваются на нефиксированных интервалах времени. Обратимся к постановке (0.2). Заметим, что множество скоростей редуцированной системы в (0.2) содержит нуль. Поэтому всякий процесс задачи (0.2) можно продолжить [74] на максимальный отрезок времени [0, S], S = T + M, полагая (s) = 0 и e(s) = 0 L-п.в. на (S, S] с сохранением свойства быть измеримыми по Борелю функциями.

Данный способ продолжения сохраняет информацию о реальном эффективном расходе ресурса импульсного управления. Такое доопределение процесса можно интерпретировать как выработку остаточного ресурса “на холостом ходу” системы. Таким образом, (0.2) может быть сведена к задаче на фиксированном отрезке времени [0, S] Здесь z(·) = ((·), y(·)), (·) = (v(·), (·), e(·)), и U = U [0, 1] B.

Оптимальная продолжительность времени в задаче (0.2) определяется величиной где (·), e (·) компоненты оптимального управления (·) в продолженной задаче (0.5). Для того чтобы восстановить оптимальное управление в (0.2), следует переопределить управления из (0.5) сдвигом влево по интервалам времени, где одновременно (s) = 0 и e (s) = 0 L-п.в.

Продолжение процессов задачи (0.4) осуществляется аналогично.

Необходимые условия оптимальности импульсных процессов Необходимые и достаточные условия оптимальности в теории импульсного управления были получены как для задач без ограничений на распределения (когда траектории являются функциями класса L ), так и при наличии таковых (с траекториями ограниченной вариации). Наиболее сильные необходимые условия первого порядка для импульсных и особых режимов в случае L - траекторного расширения принадлежат В.А. Дыхте и носят название вариационного принципа максимума [36, 37, 39, 40].

Квадратичные необходимые условия оптимальности получены в работах В.А. Дыхты и И.А. Никифоровой [36,78]. Вариационный принцип максимума высокого порядка и его обобщение на нелинейные системы и дифференциальные включения с неограниченной правой частью получены Г.А.

Колокольниковой [48].

Для задач с траекториями ограниченной вариации необходимые условия оптимальности в основном сконцентрированы вокруг различных вариантов принципа максимума, а развитие достаточных условий происходило через обобщение методов динамического программирования и условий типа К. Каратеодори и В.Ф. Кротова. Первые и наиболее полные результаты по необходимым условиям оптимальности в задачах с траекториями ограниченной вариации получены в серии работ Б.М. Миллера [70, 71]. В [74, 123, 171] содержатся необходимые условия оптимальности для специальных классов задач импульсного управления, в том числе, задач оптимального управления дискретно-непрерывными системами (в терминах обобщенных решений), задач с ограниченным числом импульсов, линейно выпуклых задач импульсного управления, задач оптимального управления гибридными системами с односторонними ограничениями, а также для задачи импульсного управления с траекториями ограниченной вариации при фазовых ограничениях. Близкие результаты для гладких задач импульсного управления с траекториями из BV получены А. Брессаном и Ф. Рампаццо [126, 127] с привлечением метода разрывной замены времени, а также в работах С.Т. Завалищина и А.Н.

Сесекина [43, 91].

Негладкие задачи оптимального управления в импульсных системах, не обладающих свойством корректности, с терминальными и промежуточными фазоограничениями на фиксированном и свободном отрезках времени рассматривались в [39], где для таких задач получены необходимые условия оптимальности. В этой работе рассматривается случай конечного числа импульсов и тривиальной сингулярной непрерывной компоненты управляющей меры. При обосновании условий оптимальности импульсная система трактуется как модель многоэтапного процесса. Квадратичные необходимые условия оптимальности в задачах импульсного управления с траекториями ограниченной вариации получены О.Н. Самсонюк [85].

Ряд вопросов, связанных с необходимыми условиями первого и второго порядков для задач оптимального управления нелинейными импульсными системами (в частности, проблема вырождения), исследовался в работах А.В. Арутюнова, Д.Ю. Карамзина. Условия второго порядка получены в [108], “невырожденный принцип максимума” в их совместной работе с Ф.Л. Перейра [109], и необходимые условия второго порядка без априорного предположения нормальности в работе А.В. Арутюнова, В.А. Дыхты и Ф.Л. Перейра [110]. В [160] исследуются метрические и топологические свойства пространства импульсных управлений.

Необходимые условия экстремума в задачах управления дифференциальными уравнениями с мерами, а также включениями с мерами получены в работах Р. Винтера, Ф.Л. Перейра, Ж. Силва с помощью специального обобщения метода разрывной замены времени [176,177,186,188,194].

Задачи с фазовыми ограничениями исследовались в [144, 187]. Необходимые условия оптимальности импульсных процессов в банаховых пространствах получены в [103, 104].

Приближенные методы оптимального управления Успех теории оптимального управления динамическими системами и ее активное применение во многих областях приложений естественным образом стимулировали и развитие вычислительных методов.

Для классических задач управления обыкновенными дифференциальными уравнениями большинство известных вычислительных алгоритмов можно условно разделить на два типа: локальные, в основе которых лежит та или иная процедура варьирования в пространстве управлений, и глобальные методы, связанные с построением приближенного синтеза управления. В ряде локальных методов широко распространен подход, основанный на использовании вариаций игольчатого типа. По-видимому, впервые этот подход, получивший название метода последовательных приближений, был предложен И.А. Крыловым и Ф.Л. Черноусько [57], и развивался в дальнейшем в [58], а также в работах А.А. Любушина [63–65], О.В. Васильева и В.А. Срочко [14–16,93]. Некоторые алгоритмы основаны на исследовании первой и второй вариаций функционала [17,18,87,93,96,102,156].

К ним относятся все методы градиентного спуска и их модификации. Такие алгоритмы оказываются эффективными в задачах без ограничений на управление, а также в случае, когда оптимальное управление содержится внутри допустимой области.

Одно из направлений развития глобальных вычислительных методов связано с принципом динамического программирования Беллмана и исследованием уравнения Гамильтона-Якоби [158]. Большая серия вычислительных методов опирается на достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова и принцип расширения, сформулированный в работах В.И. Гурмана. На основе принципа расширения развита серия методов слабого и сильного улучшения первого и второго порядков (В.И. Гурман, В.А. Батурин, И.В. Расина, Д.Е. Урбанович и др.

[4,11,32–35,51–56,153,161]). Эти процедуры позволяют улучшать не оптимальные (в локальном смысле) процессы даже в том случае, когда такие процессы удовлетворяют необходимым условиям оптимальности (принципу максимума Понтрягина, либо условиям стационарности). Близкие по технике методы улучшения, связанные с локальным оцениванием множеств достижимости, развивались в работах В.И. Гурмана, В.А. Батурина, Е.В. Гончаровой [5, 6, 35]. Методы из [4] были дополнены эффективными процедурами параметрического поиска [8]. В [41] предложена общая процедура нелокального улучшения, где для построения приближенного синтеза управления используется решение квазивариационного неравенства Гамильтона-Якоби и метод проксимального прицеливания.

На фоне внушительного списка работ по численным методам для классических задач оптимального управления библиографию, посвященную вычислительным аспектам исследования задач импульсного управления, едва ли можно назвать обширной. В [33,35,37,117–120] представлены алгоритмы улучшения для задач оптимального управления системами с линейно входящим неограниченным управлением и траекториями из L, использующие преобразование Гурмана к производной задаче и нелинейный вариант преобразования Гоха. Исследование задач управления многоэтапными процессами было проведено в работах [19, 61, 79]. В [7] были получены достаточные условия оптимальности многоэтапных управляемых процессов, на основе которых разработаны методы улучшения управления первого и второго порядков. Итеративные алгоритмы улучшения управления логико-динамическими системами предложены в [10,121,122].

Обзор приближенных методов оптимального управления в различных гибридных моделях дан в [9]. В [114, 115] для задач оптимального управления импульсными гибридными системами с априори конечным числом автономных переключений разработаны методы градиентного спуска. Среди последних работ выделим [38], где на основе аппроксимации многогранниками множеств достижимости и полярных множеств развиты численные алгоритмы синтеза импульсных управлений для линейной системы с траекториями ограниченной вариации. Отметим также диссертацию [197], посвященную, преимущественно, численному исследованию задач оптимального управления механическими системами в форме дифференциальных уравнений с мерами при комплементарных ограничениях.

Гибридные системы Термин гибридные системы объединяет в себе большое многообразие моделей, эволюция состояния которых во времени характеризуется взаимодействием обычной непрерывной динамики и динамики, определяемой выделенными “событиями”. Нам едва ли удастся охватить весь спектр работ, посвященных моделированию и исследованию качественных свойств гибридных моделей различных классов. Библиография по этим вопросам насчитывает сотни наименований, приведем лишь некоторые из известных нам: [74,105,106,112,124,140,154,166,167,169,183–185,192] (см. также цитируемую в них литературу). В [31, 74, 114–116, 129, 130, 133, 157, 162] изучались задачи оптимального управления для гибридных систем специального вида.

За подробной классификацией гибридных систем можно обратиться к работам М. Браники, см., например, [124]. Большинство гибридных систем можно записать в виде:

Дифференциальное уравнение (0.6) описывает непрерывную динамику состояния системы (или семейства подсистем, отвечающих разным режимам поведения моделируемого объекта). Соотношения (0.7) определяют схему переключений между подсистемами. Здесь f и g векторные функции со стандартным набором свойств, U и W заданные множества, ограничивающие выбор управляющих воздействий u и, Z подмножество расширенного фазового пространства, формирующее условия переключения.

Выделим частные случаи, наиболее типичные для практических приложений.

(M1 ) Функция g не зависит от управления. Объект управления подвержен естественным импульсным воздействиям, которые неизменно проявляются по достижении определенных фазовых состояний, что имеет место, например, в механических системах с ударами и сухим трением [123, 131, 166–168, 171, 172].

(M2 ) Функция g не зависит от x. В этом случае (0.7) превращается в ограничения на пределы траектории в точках разрыва (т.е. в моменты смены режима функционирования системы):

где Z+ = g(W ) := {g()| W }. Этот случай типичен для ряда моделей из механики. Скачкообразные изменения состояния могут иметь место только в моменты попадания траектории на заданное подмножество Z расширенного фазового пространства, называемое множеством переключения, англ. “resetting set”, “jump permitting set” [124, 137, 154] (к примеру, повышение или понижение передачи при управлении автомобилем возможно только по достижении определенной скорости). Результатом смены режима является перевод фазовой траектории на множество назначения Z+, англ. “jump destination set”. Эта ситуация характерна, в частности, для импульсных гибридных систем вида [114–116, 166, 167] и механических систем с переменным числом степеней свободы [196,197], возникающих в робототехнике при моделировании манипуляторов, передвижных механизмов и т.д. (см., например, [98, 100, 107, 152, 163, 164]).

(M3 ) Множество Z совпадает со всем расширенным фазовым пространством. Такие модели называются дискретно-непрерывными системами [74], или системами “с толчками” [97]. Здесь в качестве управлений выступают измеримая функция u(·) и набор I = {, } моментов переключения динамики и параметров, подаваемых “на вход” при переключении и выбираемых из ограниченного множества W. Мы рассмотрим этот случай подробнее в § 2.1 в контексте построения численного метода решения соответствующей экстремальной задачи.

В (M2 ) и (M3 ) событие смены динамики, а также моменты переключения являются предметом управления и подлежат выбору. Подобные математические модели можно отнести к гибридным системами с управляемыми переключениями. С другой стороны, в моделях (M1 ), т.н. гибридных системах с автономными переключениями, достижение определенных состояний обязательно приводит к смене режима, при этом результат переключения может, по-прежнему, определяться выбором некоторого управления. Перечисленные случаи являются, в своем роде, пограничными. В практических приложениях часто возникают модели следующего вида.

(M4 ) Случай, когда часть компонент фазового вектора кусочно постоянные функции, описывается логико-динамическими, или переключательными системами (англ. “switched systems”) [12,13,124,129,133, Здесь Q некоторый конечный набор индексов (номер подсистемы), q(·) “логическая” компонента, задающая режим, в котором эволюционирует состояние x(t). Функция g определяет конечный автомат (“с памятью”): g(, x( ), i, ) = j(, x( ), ) Q, где задают некоторый набор условий переключения. Переключения логической переменной q(·) между различными значениями из Q трактуются как смена динамики. Точки множества Q могут рассматриваться, к примеру, как узлы некоторого графа, и мгновенный переход из одного узла в другой возможен лишь в случае, если существует ребро графа, связывающее эти узлы.

Дифференциальные уравнения с мерами как универсальный способ описания дискретно-непрерывной динамики В процессе развития теории гибридных систем были обнаружены обширные связи с теорией импульсного управления. На сегодняшний день можно наблюдать глубокое взаимное проникновение этих двух парадигм.

Вернемся к гибридной системе (0.6)–(0.8). Предположим, что g(x, ) при любых (x, ) удается трактовать как результат действия оператора сдвига по траекториям некоторого вспомогательного дифференциального уравнения, т.е. g(x, ) = (1; x, ), где (·; t, x, ) удовлетворяет на отрезке [0, 1] следующей предельной системе Тогда модель (0.6)–(0.8) эквивалентна дифференциальному уравнению:

с дискретной мерой dµ(t) = t (t )dt.

Описание скачка с помощью предельной системы в случае произвольной функции g остается для нас открытым вопросом. Подобное представление заведомо имеет место, если функция g обладает свойством робастности [74] (в частности, полугрупповым свойством по переменной ).

Матрица G тогда определяется условием В общем случае соотношения (0.7) можно рассматривать как смешанные ограничения, связывающие траекторию x(·), управления и некоторое импульсное управление.

Cмешанные ограничения на меру и траекторию как условия смены режимов в гибридных системах Пусть динамика состояния объекта описывается дифференциальным уравнением с мерами (0.10). Предположим, что в моменты приложения импульсного управления фазовая траектория подчинена дополнительным условиям:

Q (t, x(t)) = 0, Q+ (t, x(t)) = 0, (t, x(t)) 0 |dµ|-п.в., (0.11) где компоненты вектор-функций Q± неотрицательные функции (что не снижает общности). Условия (0.11) могут рассматриваться как некоторое обобщение смешанных ограничений типа равенств и неравенств в классических задачах с ограниченными управлениями.

Отметим, что смешанные ограничения, конечно, возникали в задачах импульсного управления (см., например, [36]), однако речь шла об условиях, содержащих обычное управление. Ограничения же (0.11) определяют зависимость между импульсным управлением и траекторией. При этом сама модель приобретает новое качество: управляющая мера теряет свойство быть “экзогенным” параметром.

Ю.В. Орлов рассматривал задачи оптимального управления уравнениями в распределениях нулевого порядка при ограничениях называемых в [80] смешанными. Управлениями при этом считались функции ограниченной вариации u(·). Мы склонны рассматривать условия (0.13) в модели (0.12) скорее как фазовые ограничения, каковыми они и становятся после введения нового управления v := u и доопределения системы тривиальным уравнением u = v. В ряде случаев не существенно, что рассматривать в качестве управления, меру, или функцию ее распределения. Для нас же важно различать эти случаи: ограничение (0.13) выполняется при всех t, в то время как в (0.11) мы налагаем условия на фазовую траекторию лишь в точках приложения импульса. Отметим также, что результаты в [80] получены в рамках концепции виброкорректных решений. Последнее, в частности, предполагает выполнение условий Фробениуса, которые, как известно, является весьма жесткими предположениями и существенно сужают круг возможных приложений.

В работе [111] рассматривается задача оптимального импульсного управления при смешанном ограничении вида R(t, x, u) C, где R некоторая аналитическая функция, а C замкнутое выпуклое множество.

Это ограничение трактуется в обобщенном смысле как система условий, которые накладываются на управляемые процессы в естественном и “быстром” времени (т.е. данное условие охватывает исходные траектории и управления, и такого же вида соотношение связывает некоторое управление и соответствующую траекторию в предельной системе, отвечающие каждому моменту приложения импульса).

Задача оптимального управления дифференциальным включением с мерами рассматривалась в [137] при смешанных ограничениях конусного типа. Последние представляют собой вариант нестандартных смешанных ограничений и могут быть переписаны в виде (0.11). Однако, задача оптимизации в [137] ставилась в специальном классе позиционных импульсных управлений вида d(t, x) векторных мер, определенных на [0, T ] Rn и непрерывных по x. Феномен позиционного импульсного управления на сегодняшний день малоизучен, а исследование задач позиционного импульсного управления представляет новое направление исследований.

Модели вида (0.10), (0.11) не встречались в известной нам литературе.

В связи с этим, их изучение представляет чисто академический интерес.

С другой стороны, ограничения вида (0.11) возникают как условия смены режимов в широком классе гибридных систем с управляемыми переключениями динамики. Для того чтобы пояснить это, вновь обратимся к соотношениям (0.6)–(0.8). Если представить скачки с помощью оператора сдвига не удается, их явное описание в (0.7) можно интерпретировать как смешанное ограничение где Z := {(x, y) : y g(x, W ), x Z }, и мера dµ сосредоточена на { }. При этом динамика определяется уравнением (0.10), где функция G отвечает за описание быстрых процессов, результаты которых мы интерпретируем как скачки траектории. В случае, когда характер быстрых движений не имеет содержательного смысла (скажем, как в логикодинамических моделях (M4 )), можно положить G(x) = I (единичная матрица), dµ(t) = t c (t )dt. Ясно, что допустимые управляющие параметры c в конечном счете имеют вид c = g(x( ), ) x( ), т.к.

учет смешанного ограничения не оставляет иных вариантов скачка, кроме тех, что описываются условием (0.7).

Очевидно, случаи (M1 ) и (M3 ) укладываются в приведенное описание.

Модель (M2 ) есть частный вариант системы (0.10), (0.11), когда мера dµ дискретна и = 0, а Qi, i {, +}, скалярные неотрицательные непрерывные функции, обращающиеся в нуль только на соответствующих множествах Zi. Функции Qi с требуемыми свойствами существуют.

Классический результат Х. Уитни утверждает, что для любого замкнутого множества найдется бесконечно гладкая функция, характеризующая его в указанном смысле. В (M4 ) переключения логической переменной можно понимать как скачки кусочно-постоянной траектории:

Поэтому эта модель также охватывается соотношениями (0.10), (0.11).

В дальнейшем условимся называть модели вида (0.10), (0.11) импульсными гибридными системами, сокращенно ИГС (термин принят из [124] и [116], эпитет “гибридные” подчеркивает наличие специфических смешанных ограничений (0.11)). Такая терминология наиболее точно отражает принятую в работе точку зрения, когда выделенные “события” (переключения динамики) в моделях гибридных систем трактуются как результат применения импульсного управления. На языке теории гибридных систем наша модель может быть охарактеризована как система с управляемыми переключениями. Отметим, что гибридные системы с автономными переключениями описывают многоэтапные процессы [135, 136, 190]. В случае конечного числа переключений многоэтапный процесс определяется простой конкатенацией движений, происходящих на отрезках функционирования каждой из непрерывных подсистем.

Предмет и объект исследования Объектом исследования являются задачи оптимального управления импульсными гибридными системами (ИГС), которые описываются дифференциальными уравнениями с мерами при ограничениях следующего вида:

Q(t, x(t)) = 0, Q(t, x(t)) = 0, (t, x(t)) 0 dµ-п.в.

Здесь x(·) фазовая траектория импульсной системы, удовлетворяющая дифференциальному уравнению с мерами, dµ скалярная неотрицательная мера Лебега-Стилтьеса (импульсное управление). Предмет исследования необходимые условия оптимальности для задач оптимального управления ИГС и численные методы решения нелинейных задач оптимального импульсного управления с траекториями ограниченной вариации.

Цель работы Целью диссертационного исследования является доказательство принципа максимума для задач оптимального управления импульсными гибридными системами и построение вычислительных методов импульсного управления в некоторых классах задач с траекториями ограниченной вариации.

Методы исследования Исследование базируется на принципе максимума для классических задач оптимального управления [82] и его варианте для задач с фазовыми ограничениями [46], серии методов численного решения классических задач оптимального управления [93], методе разрывной замены времени [72], а также модифицированном преобразовании времени (адаптированном для задач оптимального управления импульсными гибридными системами).

Метод разрывной замены времени сводит задачу импульсного управления к классической, а окончательные результаты получаются путем расшифровки в терминах исходной модели принципа максимума и алгоритмов улучшения в соответствующих преобразованных классических задачах.

Кроме того, в работе используются теория функции вещественного переменного и аппарат дифференциальных уравнений с мерами.

Научная новизна и полученные результаты Выделим основные положения, выносимые на защиту:

1. Построено преобразование задачи оптимального управления импульсными гибридными системами в форме дифференциальных уравнений с мерами при смешанных ограничениях на меру и траекторию к эквивалентной классической задаче оптимального управления.

2. Доказан принцип максимума для задачи оптимального управления импульсной гибридной системой.

3. Разработаны численные алгоритмы поиска экстремалей в классе слабых и понтрягинских вариаций управления для нелинейных задач импульсного управления. Получено численное решение задач оптимального импульсного управления динамикой конкурирующих популяций и быстродействия в моделях движения манипуляторов с блокируемыми степенями свободы.

В работе предложена новая модификация метода разрывной замены времени, подходящая для задачи оптимального управления ИГС. Отметим, что другие реализации метода замены времени не применимы в этой задаче.

Полученный в работе принцип максимума является первым из известных автору результатов по необходимым условиям оптимальности первого порядка для задач оптимального импульсного управления со смешанными ограничениями на меру и траекторию.

Разработанные в диссертации процедуры численного решения нелинейных задач импульсного управления с траекториями ограниченной вариации при ограничении на полный импульс управляющего воздействия являются новыми.

Предложены новые формализации задач оптимального импульсного управления динамикой численностей конкурирующих популяций и быстродействия в двух моделях манипуляторов с блокируемой степенью свободы.

Теоретическая и практическая значимость Полученные в работе результаты по преобразованию задачи оптимального управления ИГС к классической могут применяться для разработки методов качественного исследования задач оптимального управления ИГС (например, для получения условий оптимальности, инвариантности и др.). Принцип максимума может применяться при решении задач оптимального управления ИГС. Практическое значение полученных результатов определяется широким спектром прикладных задач импульсного управления, которые описываются классом моделей ИГС, и возможностью их численного решения на базе разработанных методов.

Проблематика работы является составной частью исследований, выполнявшихся в ИДСТУ СО РАН по базовому проекту “Методы оптимального управления при структурных воздействиях и неопределённостях с приложением к техническим и социально-эколого-экономическим системам” (№ гос. регистрации 01.2.007 08580) в рамках программы фундаментальных исследований СО РАН, 2007–2009, по проекту III.24.1.3. “Методы и вычислительные технологии исследования задач управления с приложениями к социальным, экономическим, природным и техническим системам” (№ гос. регистрации 01.2.010 01345), 2010, 2011 а также по проектам РФФИ 05–01–00477, 08–01–00156.

Апробация работы Результаты представлены на всероссийских и международных научных конференциях:

1. IX школе-семинаре “Математическое моделирование и информационные технологии”, Иркутск, 2007, 2. VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 3. Международном симпозиуме “Обобщенные решения в задачах управления” (GSCP’08), 2008, Улан-Удэ, (CONTROLO’2008), UTAD – Vila Real, Portugal, 2008, 5. X Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию, информационным технологиям и управлению, п.

Ханх, Монголия, 2009, 6. II Международной школе-семинаре “Нелинейный анализ и экстремальные задач”, Иркутск, 2010, 7. XIV и XV Байкальских международных школах-семинарах “Методы оптимизации и их приложения”, Иркутск-Северобайкальск, 2008 и Иркутск-Листвянка, 2011, 8. Российско-монгольской конференции молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению, Иркутск, Россия Ханх, Монголия, 2011, 9. The 18th IFAC World Congress, Milan, Italy, August 28 September 2, 10. The 5th International Conference on Physics and Control (PhysCon’2011), Len, Spain, September 5–8, 2011, а также на ежегодных конференциях “Ляпуновские чтения”, Иркутск, 2008–2010. Результаты обсуждались на семинаре в Институте математики Университета г. Севилья (Испания) (май, 2010) и регулярно на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН.

Публикации Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [21–28], [94, 147–151].

Структура работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на разделов, заключения и списка литературы, включающего 198 наименований. Общий объем работы составляет 143 страницы, включая 29 рисунков.

Во Введении обосновывается актуальность темы работы, дается краткий обзор литературы и анонсируются основные результаты. Здесь мы также обсуждаем некоторые вопросы, относящиеся к проблеме моделирования сложных процессов.

Первая глава содержит постановки задач и изложение основных теоретических результатов. В § 1.1 поставлена задача оптимального управления импульсной гибридной системой в форме дифференциального уравнения с мерами при фазовых и смешанных ограничениях на меру и траекторию. Раздел 1.2 посвящен развитию метода разрывной замены времени для задач оптимального управления ИГС. В § 1.3 мы докажем необходимые условия сильного экстремума в задаче со смешанными ограничениями. Глава завершается обсуждением основных теоретических результатов.

Вторая глава посвящена методам численного анализа задачи оптимального управления ИГС. Здесь дается описание концептуального подхода к разработке методов улучшения импульсных управлений на основе редукции с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований. Мы начинаем с рассмотрения простейшей гибридной системы модели с толчками. Описанию общей схемы улучшения управлений в таких моделях посвящен параграф 2.1. В § 2.2 рассматривается простейшая задача оптимального управления дифференциальным уравнением с мерами при ограничении на полный импульс управления и в предположении корректности. Решена задача о расшифровке локальных алгоритмов слабого варьирования в соответствующей редуцированной задаче. Формулируются алгоритмы улучшения импульсных процессов, исследуются их свойства.

Третья глава посвящена апробации разработанного метода редукции и предложенной вычислительной процедуры. Здесь идеи и методы, изложенные в предыдущих главах, применяются для численного исследования ряда иллюстративных и прикладных моделей. В § 3.1 описывается вычислительный эксперимент, приводятся результаты расчетов для некоторых тестовых задач оптимального управления ДНС. Параграф 3. включает анализ трех содержательных моделей из математической теории биологических систем и робототехники: исследуется задача оптимального импульсного управления популяцией паразитических организмов, проведен численный анализ двух моделей манипуляторов с блокируемыми степенями свободы.

Список обозначений • C([0, T ], Rn ) банахово пространство функций, непрерывных на отрезке [0, T ] и принимающих значения в Rn (сокращенно C([0, T ]), C, если T и n ясны из контекста);

• C k ([0, T ], Rn ) (C k ([0, T ]), C k ) пространство функций, определенных на отрезке [0, T ], принимающих значения в Rn и имеющих непрерывную производную порядка k ;

• AC([0, T ], Rn ) (AC([0, T ]), AC) пространство функций, абсолютно непрерывных на отрезке [0, T ] и принимающих значения в Rn ;

• Lp ([0, T ], Rn ) (Lp ([0, T ]), Lp ), p = 1,, банахово пространство nмерных вектор функций, суммируемых со степенью p, если p <, и существенно ограниченных измеримых по Лебегу, если p = ;

• BV ([0, T ], Rn ) (сокращенно BV ([0, T ]), BV ) банахово пространство n-мерных функций ограниченной вариации на отрезке [0, T ];

• BV + ([0, T ], Rn ) (сокращенно BV + ([0, T ]), BV + ) пространство nмерных вектор-функций класса BV, непрерывных справа на [0, T );

• A транспонированная матрица A;

• x(t) левый предел функции x(·) в точке t;

• [x(t)] := x(t) x(t) скачок непрерывной справа функции x(·) в точке t;

• Var[0,t] x полная вариация функции x(·) на отрезке [0, t];

• BA совокупность борелевских подмножеств множества A;

• (t ) дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке ;

• L(·) := dt мера Лебега на прямой;

• dµ мера Лебега–Стилтьеса, порожденная функцией ограниченной вариации µ(·);

• |dµ| мера, порожденная функцией Var[0,·] µ (мера полной вариации);

• dµac, dµsc и dµd соответственно, абсолютно-непрерывная, сингулярная непрерывная и дискретная (атомическая) компоненты разложения Лебега dµ = dµac + dµsc + dµd меры dµ;

• “dµ-п.в.” сокращенная запись для “почти всюду по мере dµ”, “L-п.в.” “почти всюду с точки зрения меры Лебега”;

• f (x) = ( x1,... xn ) градиент вектор-функции f в точке x;

• x f (x, y) частный субдифференциал Кларка функции f в точке (x, y), т.е. замыкание множества всех частичных пределов, которые можно получить при вычислении частной производной f (x, y);

• [H, G] := HG GH коммутатор (скобка Ли) векторных полей • A (·) характеристическая функция множества A: A (t) = 1, если Перечень специфических обозначений и сокращений • ДНС дискретно-непрерывная система, система с чисто импульсными управлениями, с “толчками”;

• ИГС импульсная гибридная система в узком смысле используется нами для обозначения импульсной модели, описываемой дифференциальным уравнением с мерами при смешанном ограничении на меру и траекторию;

• Sign(s), s R, “многозначная сигнатура”: Sign(s) = 1, если s > 0, Sign(s) = 1, если s < 0, и Sign(s) = [1, 1], если s = 0;

• символ псевдообращения: a = a1, если a = 0 и a = 0, если • Dµ := { : [µ( )] > 0} множество точек разрыва функции µ(·);

• supp{dµ} множество, на котором сосредоточена мера dµ, т.е. объединение носителя непрерывной компоненты dµc меры dµ (носитель dµc наименьшее замкнутое множество полной меры dµc ) и множества всех атомов меры dµ (точек, таких что dµ({ }) = 0).

Глава Импульсное управление при фазовых и смешанных ограничениях на меру и траекторию Глава содержит описание модели импульсной гибридной системы и постановку задачи оптимального управления. Здесь будут получены основные теоретические результаты. Нам предстоит выработать базовый инструмент исследования адекватную реализацию метода разрывной замены времени [74], что позволяет получить результат о редукции для задачи оптимального управления со смешаннымми ограничениями нового типа, связывающими фазовую траекторию и управляющую меру, а также при фазовых ограничениях в естественном и “быстром” времени. В завершение главы мы докажем необходимые условия оптимальности в этой задаче импульсного управления.

1.1 Импульсная гибридная система (ИГС). Постановка задачи оптимального управления Начнем с формального описания управляемой системы в форме дифференциального уравнения с мерами, которую в дальнейшем будем называть “импульсной гибридной системой”, подчеркивая ее родство с рядом гибридных систем с управляемыми переключениями. После того, как будет оговорено понятие решения системы, мы сможем дать полное описание модели и сформулировать задачу оптимального управления.

1.1.1 Формальная модель Пусть эволюция состояния объекта на отрезке времени [0, T ] определяется следующими условиями:

Здесь x0 Rn ; x(·) BV + ([0, T ], Rn ) являются непрерывными справа функциями ограниченной вариации; u(·) измеримые по Борелю функции; dµ неотрицательная мера Лебега-Стилтьеса, порожденная (неубывающей) функцией µ(·) BV + ([0, T ], R), µ(0) = 0, dµc непрерывная компонента разложения Лебега меры dµ; M положительное число. Мы предполагаем, что (0, x0 ) 0.

В дальнейшем будем считать все функции измеримыми по Борелю, для того чтобы не заботиться об их измеримости относительно различных мер Лебега–Стилтьеса.

Введем основные предположения на входные данные модели:

(H1 ) множество U Rk выпукло и компактно;

(H2 ) функции f и g непрерывны по совокупности переменных и удовлетворяют локальному условию Липшица по x:

(H3 ) функции f и g удовлетворяют следующим условиям роста: для любых x Rn, u U и t [0, T ] существуют такие положительные (H4 ) Qi, i {, +}, непрерывные неотрицательные вектор-функции;

(H5 ) вектор-функции и непрерывны по (t, x).

Отметим, что каждое из равенств Qk, (t, x(t)) = 0, Qj,+ (t, x(t)) = 0, k = 1, dim Q, j = 1, dim Q+, в векторных соотношениях (1.5) можно расценивать как описание некоторого замкнутого подмножества расширенного фазового пространства [0, T ] Rn (обозначим эти множества, соответственно, Zk, и Zj,+ ). Этот случай отвечает модели (M2 ) из Введения.

Отметим, что ограничения (1.5), (1.6) эквивалентны условию supp{dµ} {t [0, T ] : Q (t, x(t)) = 0, Q+ (t, x(t)) = 0, где supp{dµ} означает множество, на котором сосредоточена мера dµ.

Модели, в которых импульсы (или переключение динамики) могут иметь место только при попадании траектории на заданное замкнутое множество широко изучаются в теории гибридных систем [124, 155, 166] и находят применение, например, в робототехнике [152].

Примерами моделей, в которых естественно возникают ограничения на правые пределы траектории в точках приложения импульсов, могут служить механические системы с блокируемыми степенями свободы, а также модели антропоморфных устройств. Простейшие модели такого типа рассматривались в [196, 197].

Пример 1.1.1 Движение телескопичекого манипулятора с блокируемой линейной степенью свободы [197] описывается соотношениями где и x соответственно, угловая и линейная координаты центра масс S2 внутреннего звена поступательной пары, (x) = 1 +2 +m1 a2 +m2 x2, mi масса i-го звена, a линейная координата центра S1 масс внешнего звена; i осевые моменты инерции относительно осей, проходящих через центры масс. Управляющая сила u приложена к шарниру. Импульсное управление dµ 0 отвечает действию фрикционной силы. В результате применения имульса происходит мгновенная остановка поступательного движения:

Данную модель и еще ряд моделей ИГС мы обсудим подробнее в Главе 3.

Модель (1.1)–(1.7) имеет своим прототипом гибридную систему (0.6)– (0.8). При исследовании моделей (1.1)–(1.7) и связанных с ними задач оптимизации целесообразно изучить круг вопросов, типичных для теории импульсного управления. В этот круг входят методы эквивалентного преобразования ИГС к системам с ограниченными управлениями, необходимые условия оптимальности в задачах оптимального управления ИГС и методы приближенного решения таких задач. В работах [25, 27] показано, что при стандартных предположениях и условиях робастности [74] рассматриваемая нами модель ИГС описывает все обобщенные решения гибридных систем типа (0.6)–(0.8), т.е. все слабые- пределы последовательностей траекторий дискретно-непрерывной системы (случай (M3 ) из Введения), удовлетворяющие смешанным ограничениям вида (1.5). Другими словами, модель ИГС есть результат расширения гибридной системы.

1.1.2 Понятие решения дифференциального уравнения с мерами. Пополнение графика разрывной траектории Уравнение (1.1) содержит произведение борелевской функции на обобщенную. Чтобы придать смысл этому произведению обычно прибегают к пополнению графика разрывной траектории, полагая, что левый и правый ее пределы в каждой точке разрыва соединяет своего рода “путь” результат движения в быстром масштабе времени. В общем случае такое пополнение графика не единственно, что приводит к возникновению интегральной воронки траекторий при заданном управлении. Мы будем придерживаться понятия решения [74], которое ввиду неотрицательности меры dµ допускает следующее уточнение: под траекторией системы (1.1), (1.2) при управлениях u(·), dµ мы понимаем непрерывную справа функцию x(·) ограниченной вариации, удовлетворяющую всюду на отрезке времени [0, T ] интегральному соотношению Cуммирование в (1.10) ведется по всем точкам Dµ [0, t]. Здесь мы обозначаем Dµ = { [0, T ] : [µ( )] = 0} множество точек разрыва функции µ(·). Интеграл по мере понимается в смысле Лебега–Стилтьеса.

Скачки функции x(·) в точках Dµ определяются равенствами где T = [µ( )], а функции (·) AC([0, T ], Rn ) удовлетворяют системе Систему (1.11) назовем предельной, а семейство будем называть пополнением графика разрывной траектории x(·). Будем рассматривать (1.1), (1.2) как компактную (хотя и весьма условную) форму записи соотношений (1.10), (1.11), полагая, что с каждой разрывной траекторией ассоциировано некоторое пополнение ее графика. Условия (H2 )–(H4 ) обеспечивают глобальное существование и единственность решения системы (1.10), (1.11) при заданных u(·), dµ и X(·).

Скажем, что пополнение X(·) графика траектории x(·) является допустимым, если при каждом Dµ оно удовлетворяет ограничениям Замечание 1.1.1 Формальная запись (1.1)–(1.7), вообще говоря, не содержит условия (1.12). При описании модели ИГС мы вводим данное ограничение в определение допустимого пополнения графика.

Замечание 1.1.2 Пусть x(·) некоторая траектория импульсной системы (1.1), (1.2), отвечающая управлениям u(·) и dµ, и X(·) пополнение ее графика. Предположим, что набор (x(·), u(·), dµ, X(·)) удовлетворяет всем ограничениям (1.3)–(1.12), и (H6 ) множество F(t, x, U, [0, 1]) := {F(t, x, u, )| u U, [0, 1]}, где выпукло при всех (t, x).

Тогда существует [74] последовательность управлений {ui (·), wi (·)}, где ui (·) и wi (·) борелевские функции, удовлетворяющие условиям такая что соответствующая последовательность {xi (·)} траекторий обычной управляемой системы сходится к функции x(·) в слабой- топологии пространства BV ([0, T ], Rn ). Отметим, что точно также как в [74] мы не предполагаем удовлетворения ограничений (1.4)–(1.6), (1.12) на элементах аппроксимирующей последовательности, требуя, чтобы эти условия выполнялись в пределе. С этой точки зрения данные ограничения являются “слабыми” в терминологии [74].

Замечание 1.1.3 Заметим также, что для произвольной последовательности скалярных мер, слабо- сходящихся к некоторой мере dµ, соответствующая последовательность мер |dµi | полной вариации не обязана сходиться к |dµ|. Однако ввиду неотрицательности всех dµi и dµ, мы имеем Это наблюдение позволяет уточнить понятие решения [74] применительно к рассматриваемой нами модели. А именно, при определении предельных траекторий мы полагаем T = [µ( )]. Если бы мера была знакопеременной, то длины T интервалов быстрых движений, отвечающих каждому моменту приложения импульса, следовало бы, вообще говоря, рассматривать как дополнительные управляющие параметры.

Сделаем ряд комментариев относительно предложенной модели импульсной гибридной системы.

В ИГС имеется два типа управлений. Управления u(·) подчинены жестким (поточечным) ограничениям. Импульсное управление мера Лебега-Стилтьеса dµ. Условие (1.7) представляет собой ограничение на полный “импульс” управления, называемое также мягким и энергетическим. Здесь M имеет смысл предельной величины некоего ресурса.

Ключевую роль в системе (1.3)–(1.12) играют условия (1.5), (1.6). Эти условия можно рассматривать как нестандартные фазовые ограничения.

“Нестандартность” их проявляется в том, что выполнение этих условий требуется лишь вдоль множества, где сосредоточена мера dµ. Поскольку сама мера dµ выступает в роли управления, то в контексте задачи оптимизации ограничения (1.5), (1.6) естественно трактовать как ограничения смешанного типа. Они могут рассматриваться как некоторое обобщение смешанных ограничений типа равенств и неравенств в классических задачах с ограниченными управлениями. Ограничения (1.5), (1.6) определяют ту качественную особенность, которая роднит нашу модель с гибридными системами. C содержательной точки зрения, эти условия могут служить формализацией естественных или конструктивных свойств моделируемого объекта. Они описывают множество “маневров”, которые объект может совершить под воздействием импульсного управления. Отметим, что мы трактуем ограничения типа равенства (1.5) как “условия переключения” и не требуем выполнения их аналога вдоль процессов предельной системы.

Условия (1.4) и (1.12) естественно интерпретируются как фазовые ограничения, соответственно, в “естественном” и быстром времени (т.е.

на протяжении акта импульсного воздействия). Учет таких ограничений позволяет охватить ряд моделей из механики систем с ударами (см.

[131,168,197]). В частности, соотношения вида (1.3)–(1.12) дают описание обобщенных решений в гибридных системах с односторонними ограничениями [74,123,171] (типичная ситуация = ). В таких моделях скачкообразные изменения компонент скорости фазового вектора, возникающие при упругом соударении с препятствием, интерпретируются как результаты быстрого движения в запрещенной области (внутри препятствия).

Независимые фазовые ограничения в быстром времени предъявляют дополнительные требования к “пути”, который проходит тело, погружаясь в препятствие.

1.1.3 Задача оптимального управления ИГС Сформулируем задачу оптимального управления импульсной гибридной системой:

Здесь мы дополнительно предполагаем, что (H7 ) функция F (x) непрерывна.

Набор = (x(·), u(·), dµ(·), X(·)), удовлетворяющий всем условиям (1.3)– (1.12), будем называть допустимым процессом задачи (P ). Множество допустимых управляемых процессов обозначим через (P ) и будем предполагать, что (P ) =.

Пример 1.1.2 В классических задачах импульсного управления оптимизация по обычному ограниченному управлению, как правило, производится независимо от поиска оптимальной импульсной стратегии. При этом задача, фактически, разбивается на две самостоятельные подзадачи.

Следующий пример показывает, что в задачах оптимального управления ИГС имеет место принципиально иная ситуация:

Этой модели можно условно дать следующую интерпретацию. Пусть требуется как можно скорее спуститься со второго этажа здания на нулевой уровень. Для спуска можно воспользоваться скоростным лифтом, который “мгновенно” (по сравнению со скоростью обычного движения) перемещается между этажами. Однако, лифт не совершает остановок на первом и втором этажах (как это часто бывает в российских многоэтажках), так что ближайшая к нам точка доступа к лифту располагается на третьем этаже. Здесь обычное управление u(·) скорость “пешего” передвижения, u и u абсолютные значения максимальных скоростей спуска и подъема, а применение импульсного управления dµ означает использование лифта, который может “мгновенно” перенести нас с третьего этажа на нулевой без промежуточных остановок.

Задача имеет очевидное решение, которое легко обнаружить, построив множество достижимости системы (1.13)–(1.15): если u < 1 u, то оптимальное управление u u, dµ нулевая мера, т.к. условие (1.15) вообще не реализуется (спускаемся пешком). Если же u > u, то u u и dµ = 3(t 1/u) (разумнее сначала подняться на третий этаж, а оттуда уже спуститься на лифте). В случае равенства u = 1 u обе указанные управляющие стратегии дают оптимальное решение. Итак, если скорость подъема достаточно высока, то найденная нами стратегия u противоречит цели управления.

Этот простейший пример иллюстрирует одну из особенностей задач оптимального управления импульсными гибридными системами, отличающую их от классических постановок. А именно, при решении таких задач оптимизация по ограниченному и импульсному управлениям уже не может проводиться независимо.

1.2 Преобразование задачи Как показано в работах В.И. Гурмана, Б.М. Миллера, В.А. Дыхты, С.Т. Завалищина, А.Н. Сесекина, Ф.Л. Перейра, А. Брессана и др., при изучении задач импульсного управления методы редукции играют ключевую роль. При этом базовые инструменты исследования, такие как необходимые и достаточные условия оптимальности, условия инвариантности, а также процедуры численного анализа, могут быть получены “расшифровкой” соответствующих условий и процедур в преобразованной задаче оптимального управления.

Одним из основных результатов работы является редукция задачи оптимального управления импульсными гибридными системами на основе разрывной замены времени. При обосновании этого результата используются идея растяжения моментов импульса в интервалы и техника “расшифровки” [74]. Невозможность напрямую применить метод [74] объясняется наличием смешанных ограничений (1.5), (1.6), причем основную сложность доставляют ограничения типа равенства. Для учета последних предлагается технический прием “расщепления” фазовой траектории вдоль интервалов “быстрых” движений растянутых моментов импульса, что формально приводит к расширению фазового пространства. Модификация и дополнение метода Б.М. Миллера [74] с целью учета новых нестандартных ограничений потребовали использования замены времени, отличной от применяемой Б.М. Миллером, и приводят к существенно иному виду редуцированной задачи, что является развитием метода разрывной замены времени применительно к рассматриваемому классу задач.

Полезно привести следующие комментарии относительно прямого пространственно-временного преобразования задачи (P ):

• каждый момент импульса растягивается в интервал, длина которого равна удвоенной величине интенсивности [µ( )] соответствующего импульса;

• вдоль таких интервалов “нового времени”, отвечающих быстрым движениям в исходной модели, траектория системы “расщепляется” (фактически, это ведет к удвоению размерности фазового пространства, см. Рис. 1.1) так, чтобы к окончанию интервала растяжения обе ветви расщепленной траектории соединились;

• на протяжении первой половины каждого интервала растяжения (отвечающего, скажем, моменту импульса) мы сохраняем информацию о том, что в исходном времени имело место Q (, x( )) = 0:

как это показано на рисунке, первая ветвь y (·) сохраняет на этом подынтервале постоянное значение y (s) = x( );

• вдоль второй половины интервала быстрого времени другая ветвь y+ (·) сохраняет информацию о правом пределе x( ) траектории x(·) в точке ее разрыва и о выполнении условия Q+ (, x( )) = 0.

Предположим также, что наряду с (H1 )–(H7 ) выполнено условие (H8 ) функции f и g удовлетворяют условиям Липшица и линейного роста и будем считать для простоты, что Q± скалярные функции.

На нефиксированном отрезке времени [0, S], T S, рассмотрим задачу при ограничениях Здесь траектории (·), yi (·) и i (·), i {+, }, являются абсолютно непрерывными функциями, управления v(·), (·) и i (·) измеримые по Борелю, условия (1.19)–(1.21) выполняются L-п.в. на [0, S], функции j в (1.22) имеют вид (напомним, что функции Q+ и Q предполагаются неотрицательными в своих областях определения). Остальные входные данные в (RP ) те же, что и в задаче (P ). Через (RP ) будем обозначать множество процессов = (z(·), (·); S), допустимых в задаче (RP ), т.е. удовлетворяющих условиям (1.16)–(1.22). Здесь z = (, y, ) и = (v,, ), y = (y+, y ), а и определяются аналогично.

Замечание 1.2.1 Подчеркнем, что редуцированная задача рассматривается на нефиксированном отрезке времени. Это стандартная задача оптимального управления при ограничениях смешанного, фазового и функционального типа. Смешанное ограничение (1.20) отвечают фазовому ограничению (1.4), накладываемому на процессы исходной задачи (P ) в естественной временной шкале. Траектории + и есть две ветви преобразованной траектории, которые отвечают функции распределения µ меры dµ, подобно тому как y+ и y отвечают фазовой траектории x. Управления, + вводятся для того, чтобы выделять упомянутые “ветви”. Условие (1.20) соответствует системе ограничений (1.6) и (1.12). Совокупность условий (1.22) отвечает смешанным ограничениям типа равенства (1.5) в исходной задаче (P ). Фазовое ограничение + 0 играет здесь ключевую роль (см. доказательство теоремы 1.2.2, п. iii)), а его учет в редуцированной задаче позволяет, в частности, различать скачки исходной фазовой траектории “c множества” и скачки “на множество”. Это ограничение не имеет прообраза в исходной задаче и не возникает как результат интерпретации какого-либо условия в ней, но отражает внутренние взаимоотношения траекторий редуцированной системы. Условие (S) M отвечает ограничению на полный импульс управления. Остальные терминальные ограничения в (1.18) призваны обеспечить равенства y+ (S) = y (S), + (S) = (S) и условие (S, y+ (S)) = (T, x(T )) 0 в случае, когда в исходной задаче имеет место импульс в последний момент времени.

Для того чтобы избавиться от смешанных ограничений (1.20), (1.21) можно применить стандартный прием: введем в рассмотрение функции “срезки”,, где и определяется аналогично. Тогда условия (1.20), (1.21) преобразуются к функциональным ограничениям Ввиду условия (1.22), терминальные ограничения + (S) = (S) и y+ (S) = y (S) эквивалентны одному скалярному условию Предположим, в исходной задаче отсутствуют фазовые ограничения (1.4) (а значит, и в задаче (RP ) нет условия (S, y+ (S)) 0). Переписав терминальные условия в указанном виде, получим задачу, концевой блок в которой будет, как нетрудно заметить, регулярным [2, 3].

Замечание 1.2.2 При редукции фазовое ограничение (1.4) исходной задачи можно интерпретировать по-разному: условие (1.20) отвечает понятию слабого решения исходной системы (говорят [74], что траектория удовлетворяет фазовым ограничениям в слабом смысле). Эпитет “слабое” связан с тем, что фазовое ограничение может нарушаться в быстром времени. Если же мы заменим смешанное ограничение (1.20) фазовым то о соответствующих траекториях исходной импульсной системы можно будет сказать, что они удовлетворяют ограничению (1.4) в сильном смысле (т.е. как в обычном времени, так и вдоль процессов предельной системы). Ввиду наличия независимых условий (1.12), наложенных на процессы в быстром времени, мы пользуемся понятием слабого решения.

Редуцированная задача (RP ) эквивалентна (P ) в следующем смысле.

Теорема 1.2.1 Пусть задан процесс Тогда в задаче (RP ) найдется допустимый процесс = (z, ; S), где S = (T ), (t) = t + 2µ(t), t [0, T ], такой, что равенства выполняются всюду на отрезке времени [0, T ].

Доказательство использует замену переменной под знаком интеграла Лебега-Стилтьеса и утверждение 0.0.1. Искомое допустимое управление (·) в редуцированной задаче может быть определено с помощью следующей процедуры прямого перехода.

Рассмотрим объединение = где D = { [0, T ] : [( )] > 0}, и обозначим Управления v(·) и (·) можно определить следующими соотношениями где (·) = 1 (·) функция, обратная к (·),, (s) = s ( ) и,+ (s) =, (s) [µ( )]. В качестве искомого управления (·) может быть выбрана борелевская функция, такая что = L-п.в. на [0, S].

Остается проинтегрировать систему (1.16)–(1.18) при определенных выше управлениях и убедиться, что выполнены условия (1.19)–(1.22). Это делается элементарно по аналогии, например, с [74]. Таким образом, полностью определен допустимый в задаче (RP ) процесс.

Теорема 1.2.2 Каждому процессу (RP ) отвечает некоторый набор (P ) такой, что выполняются равенства (1.25), в которых (t) = inf{s [0, S] : (s) > t}, t [0, T ), и (T ) = S.

Доказательство. Искомые управления в задаче (P ) можно определить соотношениями где T = [µ( )], и D. Покажем, что полученный процесс является допустимым в задаче (P ).

i) Управления u(·) и u (·), очевидно, удовлетворяют ограничениям (1.3) и (1.11). В качестве v(·) можно взять подкласс управления v(·) такой, что включение v((t)) U выполняется почти всюду с точки зрения меры Лебега и непрерывной компоненты dµc меры dµ, порожденной функцией µ(·) из (1.30).

ii) Из (1.30), (1.16) вытекает представление для функции µ(·):

Отсюда ясно, что скачки функции µ(·) определяются соотношениями непрерывная же компонента µc (·) имеет вид Очевидно, имеет место включение Dµ D, которое на самом деле выполнено как равенство. Действительно, замена переменной под интегралом в условии J1 = 0 из (1.22) дает нам Отсюда, в частности, следует, что + ((t)) = ((t)) всюду на [0, T ] (это так, поскольку суперпозиции i ((·)) есть непрерывные справа функции ограниченной вариации). Ясно, что (s) = 0 L-п.в. на влекло бы + (s) = 1 L-п.в. на этом интервале, и мы имели бы (( )) = + (( )).

Следовательно, множество точек разрыва функции µ(·) совпадает с D.

Для функции x(·) = y ((·)) заключаем Производя замену переменной под знаком интеграла Лебега–Стилтьеса, получим Точно так же, Функция скачков xd (·) имеет вид где Из (1.31) и последнего равенства мы получим т.е. функции (·) удовлетворяют предельной системе (1.11), и [x( )] = (T ) x( ), (( )) = T. Вообще говоря, s () разрывная замена времени. Однако, вдоль интервалов постоянства обратной функции (·) = s1 (·) мы имеем (s) = 0 L-п.в., и, следовательно, y = 0, т.е. y (·) сохраняет на каждом из таких интервалов постоянное значение. Значит, y (s ()) = y (s ()). Заключаем, что траектория x(·), определенная равенством (1.30), удовлетворяет (1.10), (1.11).

iii) Покажем теперь, что определенные выше x(·) и dµ удовлетворяют смешанным ограничениям (1.5), (1.6). Преобразуя интегралы в равенствах J2 = 0 и J3 = 0, получим Первая пара условий (1.34) эквивалентна соотношениям Поскольку Dµ = D, то, для того чтобы убедиться в выполнении смешанных ограничений (1.5), достаточно установить равенства Q (, x( )) = 0 и Q+ (, x( )) = 0 для каждого D. Другими словами, покажем справедливость включения D A A+, где Предположим, что найдется D \ A и рассмотрим множество A = {s [0, S] : Q ((s), y (s)) = Q (, y (s)) = 0}, которое, очевидно, замкнуто. Тогда на интервале найдется самая левая точка s корень уравнения Q (, y (s)) = 0. Эта точка, конечно, не может совпадать с левым концом s = ( ) интервала, т.к. Q (, y (( ))) = Q (, x( )) > 0. Тогда Q (, y (s)) > 0 на некотором подынтервале = [( ), s) положительной меры Лебега. Второе соотношение в (1.34) предполагает, что + (s) = 0 L-п.в. на. В таком случае функция + (·) сохраняет на постоянное значение + (s) = + (( )), в то время как (·) возрастает на этом подынтервале (т.к. (s) = (s) = 1+ (s) = L-п.в. на ). Но ввиду равенства + (( )) = (( )) подобная ситуация противоречит фазовому ограничению (s) + (s) в (1.22), и следовательно, Dµ A. Включение Dµ A+ проверяется аналогично.

Таким образом, при нарушении хотя бы одного из условий (1.5), точка [0, T ] не является атомом управляющей меры dµ.

iv) Рассмотрим функциональное условие (1.23). Замена переменной под интегралом Лебега-Стилтьеса, а также учет (1.30) и (1.32) дает В силу неотрицательности отсюда следует равенство (t, x(t)) = 0 Lп.в. на [0, T ], которое на самом деле выполняется при всех t [0, T ], т.к.

суперпозиция (·, x(·)) есть функция ограниченной вариации. Принимая во внимание определение функции, приходим к соотношению (1.4).

v) Проверим выполнение условия (1.6) и фазовых ограничений (1.12) в быстром времени. Эти соотношения вытекают из равенства (1.24):

Неотрицательность функции предполагает обращение в нуль каждого из слагаемых в последней сумме. Замена переменной под знаком интеграла в первом из них дает Равенство нулю последнего интеграла эквивалентно условиям (1.6).

Наконец, равенства имеющие место при каждом D, предполагают (, ()) = 0 L-п.в.

на [0, T ], что в силу определения срезки совпадает с (1.12). На этом мы завершаем доказательство.

Замечание 1.2.3 Отметим, что доказательство теоремы получено без предположений о выпуклости правой части редуцированной системы. Такое предположение необходимо в случае, если мы хотим обеспечить существование оптимального решения, но не при обосновании эквивалентности.

Легко устанавливается следующий результат.

Теорема 1.2.3 В задаче (P ) существует оптимальный процесс, если и только если существует оптимальный набор в редуцированной задаче (RP ), причем, Если процесс оптимален в (P ), то процесс, определенный с помощью прямого перехода, будет оптимальным в (RP ). И наоборот, если есть оптимальный процесс в (RP ), то и процесс, полученный в результате обратного преобразования, оптимален в (P ).

Доказательство. В силу теорем 1.2.1 и 1.2.2, как только процессы и связаны соотношениями прямого или обратного перехода, мы имеем равенства которые немедленно следуют из (1.25). Из (1.35) ясно, что функционалы в обеих задачах имеют один и тот же инфимум. Действительно, пусть (P ) оптимален. Предположим, что соответствующий процесс, полученный в силу прямого перехода (и, следовательно, допустимый), не является оптимальным в задаче (RP ). Тогда найдется (RP ), на котором значение целевого функционала меньше:

Но по теореме 1.2.2 такому процессу будет отвечать набор (P ), для которого, согласно (1.35), имеем Мы пришли к противоречию с тем, что оптимальный процесс в задаче (P ). Симметричный случай исключается аналогично.

Метод преобразований может быть использован для качественного анализа исходной задачи, скажем, для получения необходимых условий оптимальности.

1.3 Необходимые условия оптимальности В настоящем параграфе мы сформулируем необходимые условия сильного экстремума в классе допустимых процессов задачи (P ).

1.3.1 Формулировка результата Для простоты изложения будем считать, что, также скалярные функции и не зависят явно от времени t. Предположим дополнительно, (H9 ) функции f, g, Q± имеют непрерывные частные производные по t, x, (H10 ) F, и непрерывно дифференцируемы.

Введем в рассмотрение функции Понтрягина вида расширенные функции Понтрягина а также соответствующие гамильтонианы Здесь = ( t, x, µ ) вектор, сопряженный к (t, x, µ) (µ формально считается фазовой переменной), l,, q некоторые скалярные параметры, = max{0, }, и обозначение имеет аналогичный смысл.

Теорема 1.3.1 Пусть (P ) оптимальный процесс. Тогда найдется нетривиальный набор множителей Лагранжа, т.е.

• неубывающая функция b(·) BV + ([0, T ], R), b(0) = 0;

• неотрицательные числа c [b( )], Dµ ;

• скалярные неотрицательные меры d и d, определенные на B[0,T ] и абсолютно непрерывные относительно мер Лебега и dµ, соотc ветственно;

• скалярные неотрицательные меры d, Dµ, каждая из которых определена на B[0,T ], T = [µ ( )], и абсолютно непрерывна относительно меры Лебега;

• а также функция (·) BV + ([0, T ], R2n+3 ) с компонентами = такой что выполнены условия a)-e). Эти условия имеют вид:

a) Справедливы равенства меры d и d локализованы, соответственно, на множествах при любом Dµ мера d локализована на множестве b) Компоненты µ (·), i {+, }, вектор-функции (·) имеют вид Функции t (·), x (·) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с мерами при условиях В уравнениях (1.38) производные функций H a, His подсчитываются ственно, а производные функций и вычисляются в точке x.

Скачки функций t (·), x (·) в точках Dµ определяются соотi ношениями Функции pt,i (·), и px,i (·), i {+, }, удовлетворяют на отрезке [0, T ] сопряженной предельной системе:

при условиях c) Равенства выполняются, соответственно, L-п.в. и dµ -п.в. на [0, T ].

d) Неравенство выполняется L-п.в. на [0, T ] \ supp{dµ }, а неравенство справедливо dµ -п.в. на [0, T ]. Здесь функции Ha и H± вычисляются s вдоль наборов (t, x, t, x+x ) и (t, x, x, µ ; 3, 5 ), соответственв точках (t, x, x, µ ; 3 ).

e) При каждом Dµ условия выполняются L-п.в. на [0, T ].

Предлагаемые условия оптимальности близки по форме к принципу максимума для слабых решений в задачах импульсного управления с фазовыми ограничениями и необходимым условиям оптимальности обобщенных решений гибридных систем с односторонними ограничениями [74].

Условия a) представляют собой условия дополняющей нежесткости. В них, в частности, фигурируют неизвестные меры Лебега-Стилтьеса. Последние выполняют роль множителей Лагранжа, соответствующих фазовым ограничениям в задаче (P ) в обычном и быстром времени.

Двойственные траектории удовлетворяют сопряженному дифференциальному уравнению с мерами, а их скачки определяются с помощью решений сопряженной предельной системы.

Возникновение в качестве множителя Лагранжа неизвестной функции ограниченной вариации b(·), а также повышение размерности сопряженных переменных связаны со смешанными ограничениями (1.5), (1.6).

Условия максимума c) имеют стандартный вид.

Условия d) оптимальности носителя непрерывной компоненты управляющей меры устанавливают приоритеты между возможными режимами поведения системы.

Группа условий e) отвечает за локализацию моментов импульсов и правильный выбор пополнения X (·) = { (·), u (·)} Dµ графика траектории x (·).

1.3.2 Доказательство необходимых условий оптимальности Обоснование теоремы 1.3.1 представляет собой непосредственную расшифровку необходимых условий оптимальности в задаче (RP ). Поскольку ограничения (1.23), (1.24) содержат негладкие функции срезки и, мы воспользуемся слабой формой принципа максимума [47] для негладких задач оптимального управления. Отметим, что расшифровка становится возможной в силу результатов теорем 1.2.1 и 1.2.3.

Для задачи (RP ) введем следующие конструкции:

• концевая функция Лагранжа • функция Понтрягина Здесь i, i = 0, 7, некоторые числа, = (, y, ) вектор двойственy y ных переменных, где y = (+, ), и имеет аналогичный смысл.

Сформулируем необходимые условия понтрягинского минимума в задаче (RP ) [46].

Утверждение 1.3.1 Пусть процесс = ( (·), (·), S ) оптимален в задаче (RP ). Тогда существует набор множителей Лагранжа (, da, (·)), где = (0,..., 7 ), i R, da мера, порожденная функцией a(·) BV ([0, S ], R), a(0) = 0, а (·) вектор–функция с вышеупомянутыми компонентами, определенная на [0, S ], такой что выполнены условия:

Условия неотрицательности и нетривиальности:

Условия дополняющей нежесткости:

Компоненты (·), y (·) = (+ (·), (·)) вектор–функции (·) абсолютно непрерывны и удовлетворяют L-п.в. на [0, S ] системе Компонента (·) = (+ (·), (·)) является непрерывной справа функцией ограниченной вариации и удовлетворяет da-п.в. и L-п.в.

на [0, S ] дифференциальному уравнению с мерами Условия трансверсальности Условия максимума Сделаем ряд замечаний относительно последнего утверждения.

Фазовое ограничение (z) := + 0 согласовано с терминальными условиями (1.18), и выполнены условия управляемости в концевых точках относительно фазового ограничения [2, 3]. Действительно, где F означает правую часть редуцированной системы (1.16). Очевидно, существуют допустимые управления, такие что для любой траектории z выполняется (z), F(z, ) < 0 (например, при = 0 и + = 1 это скалярное произведение равно 1), и такие, что (z), F(z, ) < (скажем, при = 0 и = 1 это выражение есть 1 для любого z).

В формулировке утверждения 1.3.1 фигурирует неизвестная мера Лебега-Стилтьеса da, которая играет роль множителя Лагранжа, отвечающего фазовому ограничению + 0.

В условии (1.53) через y h обозначен субдифференциал функции h по переменной y, т.е. замыкание множества всех частичных пределов, которые можно получить при вычислении соответствующей частной производной [47]. Используем стандартное представление для субдифференциала [74]: найдутся измеримые функции a (·), a (·) такие, что L-п.в. на [0, S ], и субдифференциалы yj h можно представить в виде При этом дифференциальное включение (1.53) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Решение системы (1.54), (1.55) на отрезке [0, S ] легко найти:

Гамильтониан h редуцированной задачи (RP ) имеет вид и (z, ) Arg max h(z,, ) определяется формулами Здесь hi (z, ) = max hi, i = 0, 1, h0 (z, ) = max h0, j {, +}, где hi и h0 определены в (1.49). В (1.59) мы используем обозначения = h1 h0, Доказательство теоремы 1.3.1. Согласно теореме 1.2.1 оптимальному процессу отвечает набор (RP ), полученный из с помощью процедуры прямого перехода. При этом соответствующие траектории связаны равенствами По теореме 1.2.3 процесс оптимален в задаче (RP ), и, следовательно, он удовлетворяет условиям утверждения 1.3.1.

Пусть i, i = 0, 5, da, и (·) некоторые множители Лагранжа, отвечающие процессу. Определим следующие числа и функции:

Меры d (t) и d (t) зададим равенствами а меры d () с помощью их функций распределения Покажем, что искомый набор можно определить с помощью (1.61)– (1.63). В самом деле, по теореме 1.2.1, процесс удовлетворяет соотношениям a) Неотрицательность множителей 0, 2 и условие дополняющей нежесткости (1.36) непосредственно следуют из (1.51) и (1.61).

Установим свойства локализации мер d и d и выясним их связь с мерами Лебега и dµ. Из представления (1.62) следует, что d абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Из (1.20) заключаем, что (s) = 0 L-п.в. на множестве {s : (y+ (s)) > 0}. С другой стороны, a (s) = при L-п.в. s таких, что (y+ (s)) < 0. Тогда имеем Отсюда вытекает, что d сосредоточена на множестве {t : (x (t)) = 0}.

Точно так же проверяется свойство локализации мер d, каждая из которых, как явствует из вида ее функции распределения, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Рассмотрим меру d, порожденную функцией По определению d абсолютно непрерывна относительно dµc. Из последнего представления видно, что мера d сосредоточена на множестве {t : (x (t)) = 0}. В самом деле, в силу смешанного ограничения (1.21) неравенство (y (s)) > 0 влечет (1 (s)) (s) = 0, а по определению (1.57), (y (s)) < 0 предполагает a (s) = 0, так что интеграл совпадает с т.е. d (t) = {t: (x (t))=0} (t)a ( (t)) dµ (t), что и доказывает свойство локализации меры.

b) Замена переменной s = (t) в (1.58), а также учет (1.61) и соотношений замены времени приводят нас к представлению (1.37). Сопряженные уравнения (1.38), (1.39) можно получить из (1.52), (1.55), применяя обратное преобразование времени s = (t) и стандартный прием замены переменной под знаком интеграла Лебега-Стилтьеса. Рассмотрим, например, траекторию x (·). Из (1.52), (1.55) следуют соотношения В силу (1.61) и (1.65) имеем где = D [ ( ), ( )]. Ввиду (1.27) и (1.28) интеграл I3 можно представить в виде:

Здесь множества, i {, +}, определяются по так же, как в (1.26).

Отметим, что x Q+ (, y+ ( ( ))) = Q+ (, x ( )) = 0, поскольку Dµ.

Введем обозначения где s, () = + ( ), s,+ () = s, () + [µ ( )]. С учетом равенств имеем Но + = Q+ (, y+ ( ( ))) = 0 на, cледовательно, и мы получаем представление (1.39) для скачков функции x (·). Полученное интегральное представление для функции x (·) отвечает принятому понятию решения импульсной системы. Уравнения для остальных компонент сопряженной траектории (·) выводятся аналогично.

c) и d). Из формул (1.61), (1.65) следуют равенства H a (t, x (t), t (t), x (t) + x (t), u (t); 4 ) = h1 (z (s), (s), (s))|s= (t), В силу допустимости процесса и определения функций, на [0, T ] справедливо (x (t)) = 0 всюду и (x (t)) = 0 dµ -п.в. Как следствие, на [0, T ], то же верно и для соответствующих гамильтонианов.

Ввиду оптимальности процесса, условия c) и d) вытекают из соотношения (1.56), формул (1.59) для экстремального управления (·) и равенств (1.68). Действительно, пусть t [0, T ] \ supp{dµ }. По опредеc следовательно, на этом множестве. Но согласно (1.59), ( (t)) = 1 предполагает Учет (1.56) и (1.68) дает нам L-п.в. вдоль [0, T ] \ supp{dµ }, где функции Ha и H± вычисляются, соотs ветственно, в точках (t, x, t, x +x ; 4 ) и (t, x, x, µ ; 3, 5 ). Для того чтобы получить искомое условие (1.44), остается принять во внимание (1.69). Наконец, в силу (1.56) равенство эквивалентно соотношению (1.42).

Пусть теперь t supp{dµ }. Рассмотрим меру V(·), которая определеc на на борелевых подмножествах E отрезка [0, T ] с помощью соотношения Здесь = на любом E B[0,T ]. В самом деле, подынтегральная функция обращается в нуль при (0, 1], что очевидно, если (s) = 1. Если же (0, 1), то, согласно (1.59), h1 = h0. Здесь мы можем воспользоваться (1.59), поскольку = (z, ) по теореме 1.3.1. Таким образом, величина V(E) может быть отличной от нуля, только если найдется подмножество A {s : (s) E} \, имеющее положительную меру Лебега и такое, что (s) = 0 на A. Но в силу все той же формулы (1.59), (s) = 0 влечет h1 h0. Следовательно, подынтегральная функция неположительна, и V(E) 0. В силу (1.18) и (1.65) непрерывная компонента dµ меры dµ может быть определена функцией Применяя стандартный прием замены переменной под знаком интеграла Лебега–Стилтьеса, получим цепочку соотношений где Поскольку мера dµ неотрицательна, а E пробегает все борелевские подмножества отрезка [0, T ], то из последнего неравенства следует что эквивалентно условию (1.45). Отсюда же вытекает равенство (1.43).

e) Пусть теперь t = Dµ. Рассмотрим разбиение = + интервала :

Напомним, что (s) = 0 и (s) = L-п.в. вдоль. В силу соотношений (1.28) прямого перехода на подынтервале имеем + = 1, = 0.

Cледовательно, на этом множестве Поскольку с очевидностью то в силу условия дополняющей нежесткости (1.51) мера da множитель в точке s = ( ). Для удобства приведем вид сопряженной системы на. На этом интервале функция (·) удовлетворяет уравнениям с начальными условиями ( ( ) + [µ ( )]). Аналогично, на интервале справедливо + = 0, = 1, и Но в силу последнего неравенства и условия (1.51) на мера da может быть локализована лишь в точке s = ( ). Тогда интересующие нас компоненты сопряженной траектории (·) удовлетворяют системе с начальными условиями Замена s = s,i () в соответствующих уравнениях и учет (1.66) позволяют установить вид сопряженной предельной системы (1.40), (1.41).

Поскольку = (z, ) = 0 L-п.в. на, то из (1.59) следует, что Замена переменной s = s, () в первом соотношении (1.70) дает равенство “” из (1.46) и неравенство (1.47). Условие с индексом “+” в (1.46) и неравенство (1.48) вытекают из второго соотношения (1.70) в силу преобразования s = s,+ ().

1.3.3 Обсуждение Условия оптимальности 1.3.1 трудны для непосредственного применения.

Подобная “трудоемкость” естественная плата за общность: мы допускаем счетное множество точек приложения чистых импульсов и наличие сингулярной непрерывной компоненты меры, а также рассматриваем фазовые и смешанные ограничения общего вида. В диссертационной работе данный результат позиционируется, главным образом, как иллюстрация предлагаемого здесь метода преобразования.

Отметим, что в редуцированной задаче любая допустимая траектория обладает свойством (0) = + (0), (S) = + (S) и, значит, т.е.

выходит в концевых точках на границу области, определяемой фазовым ограничением + 0. Однако, выполняются условия управляемости в концевых точках относительно фазового ограничения. Если условие (S, y(S)) 0 таково, что концевой блок задачи остается регулярным, то справедливо [2, 3] усиленное условие нетривиальности: 0 + L(A ) > 0, где A := {s [0, S ] : (s) = 0}. Другими словами, либо экстремаль является нормальной, либо условие максимума (1.56) становится “информативным” на некотором подмножестве отрезка [0, S] положительной лебеговой меры. Таким образом, необходимые условия оптимальности в редуцированной (а следовательно, и в исходной задаче) не утрачивают своей информативности.

Отметим также, что теорема 1.3.1 дает принцип максимума для задач, где реакция на импульсное управления не единственна и является одним из объектов оптимизации. При управлении гибридными системами (0.6)–(0.8), в которых возможные переключения полностью определяются состоянием системы до скачка, возникновение анормальных экстремалей (в смысле теоремы 1.3.1), по-видимому, должно быть естественным. Это иллюстрирует следующий простой пример.

Пример 1.3.1 Рассмотрим задачу При T < 1 множество достижимости системы (1.71), (1.72) представляет собой отрезок 2 + [T, T ], а в случае T 1 совпадает с [1 T, 2 + T ].

Очевидно, что при T < 1 оптимальное ограниченное управление имеет вид u (t) 1, импульсы отсутствуют, поскольку условие x = 3 не реализуется. Если T > 1, то u (t) = 1, t [0, 1), u (t) = 1, t [1, T ], и оптимальное импульсное управление имеет вид dµ = 3(t 1)dt.

Зафиксируем T = 1 и применим теорему 1.3.1. Поскольку x(t) [0, 3] на [0, 1], можно положить Q+ (x) = x и Q (x) = 3 x (производные функций Q± нигде не обращаются в нуль, мы учтем это в сопряженной предельной системе). Гамильтонианы имеют следующий вид Решение сопряженной системы легко находится:

Тогда условие максимума c) превращается в следующее включение:

Экстремаль, отвечающая управлению u (t) 1, анормальна (0 = 0). Это объясняется тем, что скачкообразное изменение состояния вполне детерминировано (т.к. единственно возможный результат применения импульса определяется условиями x(t) = 3, x(t) = 0).

Рассмотрим теперь эту задачу в предположении, что смешанное ограничение в (1.72) накладывается только на левые пределы траектории:

и требуя дополнительно, чтобы µ(1) 3. В такой задаче процесс, отвечающий управлению u 1, dµ = 3(t 1), есть уже нормальная экстремаль, удовлетворяющая условиям теоремы 1.3.1 со следующим набором множителей Лагранжа:

Действительно, в этом случае Ha, H, t (·), x (·) и µ (·) имеют тот же вид, что и выше, + (t) = 0, и H+ (, x) =. Условия c)–e) превращаются в соотношения:

траектории предельной и сопряженной предельной систем имеют вид:

px (3) = x (1) = 0 (уравнение для px (·) выглядит так, потому что x Q (x ( )) = 1 = 0). Отсюда p () = 4/3(3 ). Наконец, Как легко видеть, условия максимума выполняются наряду с требованиями оптимальности носителя меры.

Как отмечено в [74], метод замены времени позволяет деликатно обойти проблему варьирования в пространстве функций ограниченной вариации, что позволяет без особых трудностей работать с фазовыми ограничениями. Отметим также, что как сильные (игольчатые), так и слабые вариации управлений (·) и (·) в редуцированной задаче (непосредственно участвующих в определении импульсного управления) порождают, фактически, один и тот же тип вариации управляющей меры. Это связано с тем, что редуцированная задача билинейна по (, ). Особенно наглядно это свойство проявляется в численных методах. Как будет показано в следующей главе, методы улучшения, основанные на процедурах слабого и игольчатого варьирования, порождают в исходной задаче итеративные процессы с одинаковыми свойствами.

Глава Вычислительные методы оптимального импульсного управления Глава посвящена построению вычислительных методов поиска оптимального импульсного управления.

Будем рассматривать задачу улучшения управления. Пусть 0 (опорный) допустимый процесс задачи (P ). Требуется найти допустимый процесс такой, что Решая эту задачу итеративно, мы генерируем последовательность допустимых управляемых процессов, для которой соответствующая последовательность значений целевого функционала убывает.

Опишем простейший подход к разработке вычислительных методов для задачи (P ):

• преобразование опорного импульсного процесса к процессу стандартной задачи оптимального управления с помощью методов редукции, • применение подходящей базовой процедуры для улучшения опорного управления в преобразованной задаче, • восстановление нового импульсного процесса с помощью обратного преобразования времени.

2.1 Улучшение дискретно-непрерывных процессов Начнем с простейшего класса гибридных моделей (M3 ) из Введения. Речь пойдет о системах с дискретными мерами (с “чисто импульсными” управлениями) и явным описанием скачков. Такие модели называют системами с толчками [97], или дискретно-непрерывными системами [74].

2.1.1 Задача оптимального управления ДНС Рассмотрим частный вариант задачи (P ):

Здесь t [0, T ], x(·) BV ([0, T ]; Rn ), u(·) борелевские функции со значениями в выпуклом компактном множестве U Rr. Моменты i приложения импульса не фиксированы и вместе с векторами i Rm подлежат определению в результате оптимизации критерия качества (2.1). Будем предполагать, что точки i удовлетворяют условию т.е. моменты скачка отделены друг от друга интервалами. Функция · некоторая конечномерная норма.

Последовательность I = {(i, i )i=1,k } полностью определяет импульсное управление. Через = (x(·), u(·), I) обозначим допустимый процесс системы (2.2)–(2.4), где управления u(·) удовлетворяют ограничениям (2.4), и x(·) системе (2.2), (2.3).

Здесь действуют предположения (H1 )–(H3 ), и дополнительно считается, что (H11 ) функция F (x) непрерывно дифференцируема, (H12 ) для любых x Rn и t [0, T ] справедливо (H13 ) для любых x Rn,, Rm и t [0, T ] функция g(t, x, ) удовлетворяет полугрупповому соотношению (H14 ) производные x g(t, x, ), t g(t, x, ) и g(t, x, ) существуют при всех x Rn, Rm и t [0, T ], и удовлетворяют локальному условию Липшица по (x, ), т.е. для любого ограниченного множества C Rn Rm существует константа L(C) > 0 такая, что для любых (H15 ) функция G(t, x) = g(t, x, )|=0 дважды непрерывно дифференцируема по (t, x);

Условия (H13 )–(H15 ) являются достаточными для робастности ДНС (2.2)–(2.4) (см. [74]). Основным следствием отказа от робастности является возможно неоднозначная реакция системы на импульсное воздействие.

Отметим, что из условий робастности, сформулированных в терминах функции g, следует выполнение условий Фробениуса для матрицы G.

Утверждение 2.1.1 ( [74]) Для любой интегрируемой на [a, b] функции e(·) система имеет единственное решение и Это утверждение вытекает из полугруппового свойства решения системы (2.6), обусловленного (H13 ), (H15 ).

Множество достижимости системы (2.2)–(2.4), вообще говоря, не компактно, поэтому минимум функционала (2.1) может не достигаться в классе чисто импульсных управлений, и требуется расширение множества допустимых управляемых процессов. Такое расширение состоит в переходе к слабым- пределам траекторий системы (2.2)–(2.4), что приводит к понятию обобщенного решения.