«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМОВАНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ ПЛЕНОК В УСЛОВИЯХ ДВУХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ С УЧЕТОМ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ...»

Министерство образования и наук

и Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. И.И. ПОЛЗУНОВА»

На правах рукописи

УДК 535.529:541.64

Третьяков Илья Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМОВАНИЯ

ПОЛИМЕРНЫХ ПЛЕНОК В УСЛОВИЯХ ДВУХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ С

УЧЕТОМ ТЕПЛОПЕРЕНОСА

Специальность 01.04.14 — теплофизика и теоретическая теплотехника Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пышнограй Г.В.

Барнаул – Содержание Введение

1 Уравнения состояния в механике сплошных сред

1.1 Уравнения динамики деформируемых сплошных сред

1.2 Модели линейных полимеров

1.3 Уравнения динамики макромолекулы

1.3.1 Модель гауссовых субцепей

2 Статистическое моделирование динамики макромолекулы

2.1 Связь тензора напряжений с корреляционными моментами

3 Получение модифицированной модели Виноградова-Покровского

3.1 Плавление полимерных материалов в экструдере

3.1.1 Течение и теплообмен расплавов полимеров в винтовом канале экструдера

3.1.2 Движение и теплообмен полимера в зонах загрузки и задержки плавления

3.1.3 Плавление полимерных материалов в канале экструдера

3.2 Моделирование процесса формования полимерной пленки

3.2.1 Обезразмеривание и результаты

Заключение

Литература

Приложение А Акты внедрения

Введение Актуальность работы. Полимерами называют химические соединения с высокой молекулярной массой. Молекулы полимеров состоят из большого количества повторяющихся атомных группировок, поэтому их также называют макромолекулы. Полимеры можно разделить на синтетические – материалы, которые производятся химической промышленностью, и биополимеры – материалы, производимые органическими системами. Все типы полимеров формируются в виде пространственных, слоистых или линейных структур, образованных направленными химическими связями (ковалентными или ионноковалентными).

Полимеры являются удивительным классом материалов. Некоторые физические свойства определенного типа могут иметь огромную разницу в значениях не только для различных видов полимеров, но и для одного полимера в различных физических состояниях. В качестве примера можно привести модуль Юнга. Его значение для типичной резины в случае растяжения на несколько процентов будет в пределах 10 МПа. В аналогичной ситуации значение модуля Юнга для жидкокристаллического волокна будет в 35 000 раз больше. Также большой диапазон значений можно наблюдать у электропроводности полимеров:

самый лучший непроводящий электричество полимер имеет значение электропроводности 10-18 Ом-1м-1, тогда как у полиацетилена с небольшими добавками данное свойство может достигать значений 104 Ом-1м-1, что в 1022 раз больше. [1].

Некоторые синтетические полимеры были открыты еще в 19 веке. Но только в 1930 годах начался рост их производства на фабриках и, соответственно, стали расширяться сферы применения полимерных материалов. Причиной этому являлась необходимость в нахождении замены натуральным материалам, запасы которых иссякали по различным причинам. В это же время начинает увеличиваться количество научных исследований по изучению полимеров. В году Пеклес выдвинул предположение, что резина состоит из длинных цепочек молекул. Необходимо отметить, что в то время общепризнанной была теория о том, что резина состоит из небольших колец молекул. В 1920 годах на базе исследований структуры резины немецкий химик Герман Штаудингер переформулировал теорию цепочек молекул, ввел понятие «макромолекула», показал связь между молекулярной массой полимера и вязкостью его раствора.

Эти результаты были предметом дискуссий в течение целого десятилетия и были признаны благодаря работам Штаудингера, Флори, Майера и др. Последующие годы интерес к полимерным материалам только возрастал, поток научных исследований и практических результатов продолжает увеличиваться.

По данным федеральной службы государственной статистики Российской Федерации производство пластических масс составило в 2012 году 5407 тыс.

тонн, что на 9% больше по сравнению с 2010 годом и на 20% больше, чем в 2009 г. Произведено 1475 тыс. тонн (рост на 7% сравнивая с 2010 годом) синтетического каучука. Производство химических нитей и волокон составило 140 тыс. тонн (рост – 4,5%, сравнивая с 2010 годом). В 2012 году было произведено полимерных труб, трубок, шлангов, фитингов 701 тыс. тонн, что на 207 тыс. тонн больше, чем годом ранее [2]. Можно заметить, что рост производства полимерных материалов соответствует изменениям в различных областях. Например, в машиностроении (автостроение, авиастроение, судостроение и др.) возрастает с каждым годом спрос на детали из конструкционных полимерных материалов. Активно развивается строительная индустрия и жилищно-коммунальный сектор. В данных отраслях используется большое количество изделий из полимерных материалов[3, 4, 5].

промышленности РФ на период до 2015 года», разработанном в соответствии с поручением правительства РФ от 19.01.2005 г., указывается на огромные перспективы для предприятий производящих полимерные материалы и дается прогноз на двукратное увеличение производства данных материалов к 2015 году (в сравнении с 2006 годом).

Полимерные материалы являются только сырьем. Это сырье еще необходимо переработать, чтобы получить готовое изделие. В настоящее время существует несколько способов формования полимеров. Наиболее популярным является метод, при котором материал переводится в текучее состояние, и затем раствору или расплаву придается требуемая форма с последующим затвердеванием в форме изготовляемого изделия. Технологические процессы получения полимерных изделий постоянно совершенствуются. Поэтому закономерности движения и теплообмена таких материалов представляют не только теоретический интерес, но и большое практическое значение. Но поведение полимерных материалов отличается от поведения жидкостей и твердых тел. В силу особенностей строения полимеры обладают рядом уникальных свойств: способность к высоким обратимым деформациям, способность макромолекул к ориентации под действием направленного механического поля.

Поэтому для описания течений полимерных жидкостей, возникающих при производстве различных изделий, необходимо построение реологического феноменологического или статистического (микроструктурного) подхода.

Олдройд [6] и Максвелл [7] вместе с рядом других исследователей [8-12] внесли большой вклад в реализацию феноменологического подхода для полимерных сред. Теория движения макромолекул при данном подходе основывается на общих закономерностях, которые были найдены из опыта.

Положительной стороной данного подхода является сравнительная простота получаемых значений, а также хорошая согласованность экспериментальных и расчетных данных. Однако, при феноменологическом подходе, невозможно проследить связь между макрохарактеристиками и микрохарактеристиками изучаемого объекта. Несмотря на то, что теории, полученные при данном подходе, согласуются с результатами экспериментов, они обладают небольшой прогностической способностью.

Основы статистического подхода были заложены Флори, Каргиным и другими исследователями. При использовании данного метода описание объекта межмолекулярного взаимодействия. Затем, с помощью вероятностных методов, вводятся средние по ансамблю возможных реализаций характеристики, которые отождествляются с величинами, определяемыми на опыте. Положительной стороной данного подхода является возможность проследить связь между макрохарактеристиками и микрохарактеристиками изучаемого объекта. В сравнении с феноменологическим подходом теории, полученные с помощью подробностью описания. Однако статистический подход обладает и рядом недостатков. Это и уровень сложности получаемых уравнений, и математические трудности, возникающие при постановке и решении задач. Также при данном взаимодействия, которые не всегда достаточно обоснованы. [13].

Для комплексного и глубокого описания полимерных жидкостей применяется феноменологический и статистический подход. Для детального и всестороннего описания объекта исследования при математической постановке и феноменологических теорий. Также считается возможным сравнение моделей, которые были получены статистическими методами, с феноменологическими, для микроструктурный подход, в основе которого лежит обобщенная реологическая модель Виноградова-Покровского. Использование данных подходов можно встретить во многих современных исследованиях. Так, например, в работе [14] исследуются встречные течения вязкоупругой жидкости, подчиняющейся модели Олдройда, в крестообразных каналах. В основу моделирования положен метод коррекции давления в удобной для использования форме с простой топологией вычислительной сетки и формально доказанной сходимостью. В работе [15] рассматриваются течения тонких пленок вязкой жидкости по криволинейным вращающимся поверхностям и возможность получения пленки заданной толщины, изучается стационарное течение при больших и конечных числах Экмана. Проводится сравнение параметров течения пленки по плоскому диску и по криволинейной поверхности. В работе [16] предложена численная модель, разработанная на основе метода функции уровня, позволившая описать как нелинейные колебания одиночной капли жидкости, так и процессы дробления и слияния капель. В [17] также представлена математическая модель и результаты численных исследований течения вязкоупругих жидкостей в конвергентнодивергентных каналах. В [18] рассмотрена задача о двумерном нестационарном течении вязкой жидкости в зазоре между трансверсально и продольно перемещающимися твердыми плоскостями. В рамках класса Хименца точных решений уравнений гидродинамики найдены неавтомодельные решения этой задачи и описаны допускаемые ими законы движения подвижной плоскости. В [19] обсуждаются границы неустойчивого течения высоковязких расплавов термостойких полимеров в широком диапазоне скоростей сдвига. В [20] приведены результаты численного моделирования течения упруговязкой жидкости со свободной поверхностью на примере задачи об экструзии. В качестве реологической модели использована конститутивная модель упруговязкой жидкости, построенная на основе кинетической теории. Показано влияние на форму струи реологических свойств полимерной жидкости. В работе [21] рассмотрена и критически обсуждена совокупность экспериментальных данных, касающихся проблемы возникновения неустойчивости при течении растворов и расплавов полимеров. При этом под неустойчивостью понимаются как регулярные искажения формы поверхности струи, так и собственно турбулентность потока. В [22] разработана структурно-континуальная теория вязких жидкостей с произвольной анизотропией. В основу теории положена диссипативная функция для анизотропных жидкостей. Установлен ее канонический вид, включающий главные вязкости. В качестве простого частного случая рассмотрена трансверсально-изотропная несжимаемая жидкость, характеризующаяся одним предпочтительным направлением. Исследованы особенности реологического поведения этой анизотропной жидкости при направленных течениях сдвига и растяжения.

В трудах [23, 24] модель Виноградова-Покровского была проверена на соответствие вискозиметрическим течениям реальных полимерных жидкостей.

Было показано, что теоретические данные согласуются с результатами эксперимента в случае простого сдвига. В работе [25] адекватность реологической модели проверялась путем расчета наложения малых осциллирующих колебаний на простое сдвиговое течение в параллельном и ортогональном сдвигу направлениях. Проведенный численный эксперимент позволил получить зависимости тензора напряжений от времени и градиентов скорости, что позволило выполнить расчеты составляющих комплексного модуля сдвига, динамической вязкости и угла динамических потерь в зависимости от частоты вынуждающих колебаний, скорости сдвига и числа Деборы (De). Сравнение качественное соответствие теории и эксперимента. Эти результаты позволяют говорить об адекватности реологической модели, что позволяет использовать ее при расчете более сложных течений. Например, в работах [26, 27] было рассмотрено установившееся движение между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления и было показано, что модель предсказывает непараболический профиль скорости и наличие ненулевого перепада давления в поперечном потоку направлении. Достигнутые результаты позволяют рассматривать более сложные течения и применять к расчетам некоторых технологических процессов.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать цель работы:

обоснование реологического определяющего соотношения расплавов полимеров для описания их неоднородных течений в неизотермическом случае на примере получения математической модели процесса формования полимерных пленок.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

1. Обоснование выбора реологической модели, используемой для описания течений растворов и расплавов линейных полимеров.

2. Разработка математической модели процесса формования полимерных использования одномерного приближения при моделировании процесса формования полимерных пленок в режимах однородного и двухосного полимерной пленки в режиме двухосного растяжения.

4. Алгоритмическая реализация процесса решения полученных систем дифференциальных уравнений, исследование влияния параметров модели на вид получаемых зависимостей и проверка адекватности полученной математической модели путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными.

5. Определение значений параметра анизотропии потока для линейных полимеров по зависимостям полуширины пленки.

Научную новизну представляют следующие положения, выносимые на защиту:

1. Система уравнений динамики в одномерном приближении, при учете теплопереноса, когда продольная скорость, скорость удлинения, температура, ненулевые компоненты тензора напряжений являются функциями только продольной координаты, а реологические параметры модели являются известными функциями температуры.

2. Математическая модель и результаты численного исследования системы обыкновенных дифференциальных уравнений для зависимости ширины и толщины пленки от ее продольной скорости в случае анизотропного одноосного растяжения.

3. Закономерности влияния параметров модели на вид получаемых зависимостей продольной скорости, температуры, ненулевых компонент тензора напряжений от расстояния до выхода из экструдера и необходимость учета параметра анизотропии потока при моделировании процесса формования полимерной пленки в одномерном приближении.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая ценность работы заключается в развитии методологии математического моделирования процессов течений полимерных сред.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в возможности использования полученной модели на производстве для оптимизации процессов получения пленки из расплавов.

Полученные результаты могут использоваться в учебном процессе при организации специальных курсов для аспирантов и студентов.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, содержащихся в диссертации, обеспечивается корректностью постановок задач, использованием апробированных вычислительных методов и реологических моделей.

Для построения и обоснования реологических соотношений в диссертации применяется подход, который основывается на известных представлениях о поведении полимеров на молекулярном уровне, использует модели, которые учитывают строение полимера. Поэтому в рамках сделанных допущений и предположений это определяет адекватность полученных соотношений реальным полимерам.

Результаты, которые были получены в работе, сводятся, при упрощении, к известным результатам, используемых в теоретических и экспериментальных исследованиях полимерных пленок. Результаты расчетов для исследуемого технологического процесса качественно согласуются с известными экспериментальными данными.

Вклад автора.

Участие в постановке всех сформулированных и рассмотренных задач, получении математических моделей, алгоритмов, программ, обработке результатов исследования. Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. Обсуждение результатов и формулировка выводов. Все результаты, имеющие научную новизну и выносимые на защиту, получены автором лично.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены на следующих научных конференциях:

всероссийская научно-практическая конференция, посвященная технологии: производство, экономика, образование» (Бийск, Annual European Rheology Conference «AERC-2010» (Швеция, 7- потенциал молодежи – будущему России» (Волгодонск, 23 апреля VII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и Молодежь – 2010» (Барнаул, пятая всероссийская каргинская конференция «Полимеры — 2010»

Proceedings of the Polymer Processing Society 26th Annual Meeting «PPSКанада, 4-8 июля 2010 г.);

25 симпозиум по реологии (Осташков, 5-10 сентября, 2010 г.);

международная научно-практическая конференция «Математическое образование в регионах России» (Барнаул, 22 октября 2010 г.);

международная школа-семинар «Ломоносовские чтения на Алтае»

(Барнаул, 4-8 октября 2010 г.);

всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 26-27 ноября 2010 г.);

III конференция молодых ученых «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем» (Суздаль, 10-15 мая, 2011 г.);

Annual Meeting Polymer Processing Society «PPS-27» (Марокко, 10- мая, 2011 г.);

четырнадцатая региональная конференция по математике «МАКБарнаул, 24 июня, 2011 г.);

международная научная конференция «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 4-5 июля, 2011 г.);

международная школа-семинар «Ломоносовские чтения на Алтае»

(Барнаул, 8-11 ноября, 2011);

X Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и Молодежь – 2013» (Барнаул, 26 апреля, 2013 г.);

шестнадцатая региональная конференция по математике «МАК-2013»

(Барнаул, 28 июня, 2013 г.);

V всероссийская научная конференция (с международным участием) «Физикохимия процессов переработки полимеров» (Иваново, 16- сентября 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 печатных работ [28 в отечественных и зарубежных изданиях, в том числе 3 статьи в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ, свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения.

Работа изложена на 109 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков, 1 таблицу, список литературы состоит из 123 наименований.

1 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

1.1 Уравнения динамики деформируемых сплошных сред В механике сплошных сред предполагается, что реальные тела заполняют непрерывным образом некоторую часть пространства, т.е. заведомо игнорируется тот факт, что любое тело состоит из атомов и молекул. Такой подход к исследованию движения материальных тел называется феноменологическим.

Противоположностью ему является статистический подход. В настоящее время его с успехом применяют и развивают при решении задач статистической физики.

движение сплошных сред (например, растворов или расплавов полимеров), является выбор системы отсчета, так как движение среды считается известным, если известно движение каждой ее точки. В классической механике Ньютона существует два подхода для описания движения сплошной среды: представления Лагранжа и Эйлера [52, 53]. В то же время Трусделл выделяет четыре способа описания механики сплошной среды [54].

Рассмотрим точку зрения Лагранжа подробнее. Пусть в начальный момент времени t0 координаты точек тела равны X1, X2, X3 (цифры вверху являются индексами). Задавая координаты Xi (i = 1, 2, 3), мы тем самым индивидуализируем каждую точку сплошной среды. Затем нам необходимо следить за каждой частицей среды все время ее движения. При этом закон движения считается известным, если известны координаты xi каждой точки континуума в любой момент времени t, т.е.

xi=xi(X1, X2, X3, t) (i=1, 2, 3), здесь, Xi, t — переменные Лагранжа.

Подход Эйлера состоит в том, что, выбрав в пространстве некоторую систему координат, следят за фиксированной точкой пространства, через которую проходят различные частицы континуума. По Эйлеру, движение сплошной среды известно, если заданы скорость, температура, тензор напряжений и ряд других величин, таких как функция координат xi и времени t, которые являются переменными.

На практике по вполне очевидным причинам чаще используется эйлерово описание. Причем во многих случаях такого описания вполне достаточно, чтобы адекватно отобразить реальный процесс движения сплошной среды. К таким случаям в механике жидкостей относится течение чисто вязких сред. Однако при исследовании течения вязкоупругих жидкостей, которое обладает памятью о прошлых состояниях, приходится следить за движением каждой частицы, т.е.

использовать лагранжевы координаты.

Перейдем к формулировке уравнений движения сплошных сред.

рассматривается как сплошная среда, необходимо ввести плотность, вектор скорости v, энтропию s. Смысл данных характеристик состоит в том, что они величины, которые зависят от скорости и координат:

Основываясь на законах сохранения момента импульса, импульса, массы, энергии и плотности энтропии получим общий вид уравнений переноса в Здесь ik – тензор напряжений; k – плотность сторонних, действующих на жидкость объемных сил; S i k – плотность внутреннего момента количества движения;

движения; g ik l – плотность неконвективного потока внутреннего момента количества движения; N i k – плотность сторонних действующих на жидкость моментов сил, распределенных по объему; Е – полная энергия; q – плотность потока энергии; H k – плотность неконвективного потока энтропии; – производство энтропии.[13] Согласно результатам работы [57], можно предположить, что при движении исследуемой сплошной среды отсутствует запаздывание внутренних моментов. Поэтому из уравнения (1.4) получим В этом случае несимметричность тензора напряжений связана только с внешними моментами и закон сохранения момента импульса (1.3) выполняется автоматически, являясь следствием закона сохранения импульса (1.2).

Таким образом, система уравнений (1.1), (1.2), (1.5), (1.6) определена с конкретизации данной системы необходимо выразить производство энтропии и плотность потока энергии qk через тензор напряжений ik. Для этого можно использовать выражение, которое учитывает изменение энергии конкретной системы.

Согласно работе [57], в случае применения основных положений линейной неравновесной термодинамики, уравнения, которые замыкают систему (1.1), (1.2), (1.5), (1.6) имеют вид Уравнения (1.8) называют реологическим уравнением состояния или реологическим определяющим соотношением.

В результате получено определение исходной деформируемой среды в основе, которой лежат законы сохранения механики сплошных сред и линейной f i k, H i, g. Для того, чтобы уточнить вид этих функций, принципом Олдройдом[6]. Требование данного принципа состоит в том, что все процессы определяются одинаковым образом во всех системах координат, которые отличаются преобразованием где i k – зависящий от времени ортогональный тензор; ci – зависящий от времени вектор [57, 58]. С помощью данного утверждения можно определить некоторые ограничения на вид реологического уравнения состояния (1.8), связанные с тензором градиентов скорости ik. Тензор градиентов скорости удобно выражается в виде суммы симметризованного и антисимметризованного тензоров, определяемых как В результате, реологическое определяющее соотношение можно теперь записать в ковариантном по отношению к преобразованию (1.9) виде Полученная система (1.11) представляет собой дифференциальную форму записи реологического уравнения состояния и устанавливает в общем случае нелинейную вязкоупругую жидкость с точностью до неизвестных функций ik, h и Hi. Вид данных функций нельзя установить без дополнительных предположений.

Дальнейшая конкретизация записанных выражений возможна на основе информации о структуре исследуемого материала. В случае описания жидкостей, которые содержат гибкоцепные линейные полимеры, при микроструктурном макромолекул. Достоинства и недостатки данного подхода целиком определяются моделью, которая была выбрана, чтобы описать движение макромолекулы. Но в уравнения динамики, сформулированные данным образом, необходимо включить не только величины, характеризующие выбранную макромолекулу (обобщенных координат и импульсов), но и характеристики других макромолекул. На текущий момент при формулировке подобных уравнений динамики возникают принципиальные трудности, связанные с неясным характером длинномасштабных взаимодействий между макромолекулами, и она остается неразрешимой.

Существует и другой способ формулировки уравнений динамики макромолекулы. В этом случае применяется одномолекулярное приближение.

Суть данного способа состоит в изучении движения макромолекулы в среде, которая была образована остальными макромолекулами и растворителем, если он имеется[59, 9, 60-62]. В данном случае в рассмотрении должны обязательно участвовать предположения о характере движения макромолекулы или о свойствах окружения.

макромолекулы, является установление связи между микрохарактеристиками и макрохарактеристиками рассматриваемой физической системы. Другими словами, требуется установить выражение для тензора напряжений через статистические моменты решений найденной системы уравнений динамики макромолекулы.

представления. При этом сами уравнения динамики, после того, как выбрана та или иная модель макромолекулы, необходимо рассматривать как постулат, так как переход от совместного рассмотрения движения всех атомов в макромолекуле к модельному уравнению пока не может быть осуществлен.[13] На сегодняшний день существует множество различных способов моделирования динамики макромолекул. Модель Флори является одной из наиболее подробных[63-65]. Данная модель при описании равновесных свойств полимерной молекулы учитывает такие характеристики как длины химических связей, углы между связями и вращательные изомерные состояния. Но движение макромолекулы в равновесии намного проще, чем в потоке. Поэтому в работах по изучению реологических течений для описания релаксационных процессов используют более простые модели.

Согласно модели Крамерса [64, 65, 66] полимерная цепь представляет собой набор точечных масс, которые линейно соединены системой жестких стержней. Данная цепь является свободно сочлененной. Необходимо отметить, что узлы этой цепи – это не отдельные атомы в остове макромолекулы, а конечные участки молекулярной цепи. На текущий момент данная модель, при указании дополнительных предположений о типе взаимодействия точечных масс концентрированных монодисперсных и полидисперсных растворов и расплавов линейных полимеров.

Модель Кирквуда-Райзмана[64–67] похожа на модель Крамерса – соединение частиц цепи происходит посредством стержней. Однако, данная модель определяет положение каждой последующей связи – она должна лежать на поверхности конуса с заданным углом раствора.

Большое распространение получила модель в виде упругой гантели – две «бусинки» соединяются упругой силой – «пружинкой». С использованием данной модели проводятся аналитические исследования достаточно сложных эффектов.

Реологические определяющие соотношения, которые были сформулированы на ее основе, показывают хорошие практические результаты. Поэтому в современных исследованиях можно встретить использование данной модели[68, 70, 72].

Модель Каргина-Слонимского-Рауза представляет собой обобщение этой модели для случая большого количества «бусинок».

Ранее была отмечена необходимость включения в рассмотрение предположений о свойствах окружения, которое было образовано растворителем и другими макромолекулами, при одномолекулярном приближении. В описанных моделях данным окружением является жидкость с различными свойствами.

Существует и другой подход к описанию окружения макромолекулы. В его основе лежит концепция рептаций. Впервые данная концепция была введена Де Женом. Дальнейшее развитие получила в работах Дои и Эдвардсона [67].

Согласно модели Дои-Эдвардса каждая полимерная молекула описывалась как гибкая неудлиняющаяся цепь. Движение полимерной молекулы ограничивалось «трубкой», которую образовывали другие молекулы. Позже, Марручи и Гриззути [69] в своих исследованиях модифицировали исходную модель Дои-Эдвардса. В их модели учитывалась ориентация и удлинение каждого сегмента полимерной цепи. Модель, полученная в исследованиях Марручи и Гриззути, наиболее полно описывает динамику макромолекул, но, в то же время, очень сложна для численных расчетов реальных течений. В целях аппроксимации модели Реммелгасом, Харрисоном и Лилом [71, 72] была разработана дифференциальная векторная модель с нелинейным параметром упругости клубка макромолекул, которая моделировала эффект внутренних переплетений. В основе модели лежало предположение о том, что ориентационное время релаксации больше времени релаксации удлинения. Учитывая это предположение, появилась возможность рассматривать удлинение цепи и ориентацию раздельно. Для этого вводится вектор R=Ru, где R – расстояние между концами цепи, а u – единичный вектор[74, 75].

Теория микровязкоупругости лежит в основе прогресса, который был достигнут в последнее время при описании достаточно медленных течений линейных полимеров. При этом для описания окружения макромолекулы используется модель вязкоупругой жидкости (линейной или нелинейной) с одним временем релаксации. В работе [9] были удовлетворительно описаны различные данные по линейной вязкоупругости концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров. Результаты этой работы показали, что необходимо учитывать релаксационный характер взаимодействия макромолекулы со своим окружением при описании концентрированных полимерных систем, в случае, если присутствуют зацепления между макромолекулами.

Одним из главных результатов является то, что было установлено существование в плотных полимерных системах сверхмедленных времен релаксации. Исследование данного механизма на микроуровне показало, что присутствует связь между найденными сверхмедленными временами релаксаций с перегибом на линейном участке зависимости модуля упругости и частоты. В работах [76, 77] подтверждается согласованность теоретических и практических данных.

Поэтому, для изучения нелинейных эффектов в динамике растворов и расплавов линейных полимеров можно использовать микроструктурный подход, который был реализован в [76, 77]. Для этого рассмотрим далее его основные положения.

Модель «бусинок – пружинок» широко используется при описании медленных релаксационных процессов в системах, которые содержат линейные полимеры. Согласно данной модели воздействие среды на реальную макромолекулу аппроксимируется воздействием на линейную цепочку из N+ броуновских частиц. Каждая такая частица представляет собой достаточно большую часть макромолекулы. Эти частицы также называют «бусинками».

Последовательно упругие силы («пружинки») связывают их между собой. В первом приближении воздействие соседних частиц друг на друга описываются силой, которая пропорциональна расстоянию между ними. Силу, которая действует на частицу с номером, можно записать как где ri – i-ая компонента радиуса вектора -той броуновской частицы в цепи; 2T – коэффициент упругости модельной «пружинки». Силовая матрица A имеет вид Если броуновская частица движется со скоростью ui ri через жидкость, то возникает сила трения Pi. В простейшем случае сила трения имеет вид где – коэффициент сопротивления частицы в растворителе; i j rj – скорость несущей среды в точке пространства, где находится -ая частица, если бы последняя отсутствовала.

При формулировании уравнений динамики необходимо также не забывать о том, что через жидкость передаются воздействия других макромолекул на выделенную макромолекулу. Учесть все взаимодействия очень сложно, так для этого потребуется решить задачу о гидродинамическом воздействии многих частиц. В работе [78] описаны результаты подобного расчета для двух частиц в макромолекул при одномолекулярном приближении можно промоделировать анизотропной вязкоупругой жидкостью. В этом случае сила трения Pi будет иметь вид где Bi j (s) – матрица гидродинамического взаимодействия.

Суммирование в (1.15) по верхним индексам означает учет взаимодействия -ой броуновской частицы с другими частицами одной цепочки. Суммирование по нижним индексам Bi j (s) указывает на анизотропию окружения.

рассматривается движение некоторых достаточно удаленных по цепи точек, необходимо также учитывать, кроме внешнего трения (1.15), ещё и внутреннее относительно вращений макромолекулы как целого и имеет вид где Gi j (s) – матрица внутреннего трения.[13] В этом случае уравнения движения макромолекулы имеют вид где m – масса броуновской частицы; i – случайная сила.

Для того чтобы получить формальное решение данной системы, удобно перейти к нормальным координатам. Это можно осуществить с помощью линейного преобразования с такой матрицей R, которая позволит привести одновременно матрицы Bi j (s), Gi j (s) и A к диагональному виду. Известно ортогональное преобразование, приводящее к диагональному виду матрицу упругости A.

Следуя работе [78], предположим, что Bi j (s) и Gi j (s) также приводятся преобразованием (1.18) к диагональному виду.

Тогда в нормальных координатах i R ri уравнения (1.17) будут иметь вид где i j (s) – собственные значения матрицы Bi j (s) ; i j (s) – собственные значения матрицы Gi j (s) ;

– собственные значения матрицы A.[13] Уравнения (1.8) считаются статистически не определенными, пока не предположением данных процесс считается гауссовым с нулевым средним. Для того чтобы задать его статистические характеристики, необходимо определить его корреляционный тензор флуктуационно-диссипативных соотношений [79]. В рассматриваемом случае эти соотношения, согласно [78], имеют вид Для дальнейшей конкретизации уравнений (1.19) необходимо определить функции памяти i j (s) и i j (s). Получить наиболее достоверный вид этих функций можно при использовании более детальной модели полимера, чем модель субцепей. При этом понадобилось бы привлечь такие понятия, как химическая структура полимера, валентные углы, энергия химической связи и т.д.

Но исследования, проводимые в данном направлении, не показали какие-либо существенные результаты. В связи с этим необходимо использовать другой подход при определении функции памяти i j (s) и i j (s).

ij (s) (s) i j, уравнения (1.19) принимают известный вид [78] В этом случае задача свелась к определению зависимости двух скалярных функций (s) и (s) от времени. Эта зависимость имеет в нулевом приближении по градиентам скорости экспоненциально затухающий характер.

Количество экспонент или соответствующих им времен релаксации в выражениях для функций памяти (s) и (s) определяется спецификой полимерной системы. Существенный прогресс при исследовании низкочастотных внешних воздействий на монодисперсные растворы и расплавы линейных полимеров, когда существенны крупномасштабные движения цепей, был достигнут при использовании одного времени релаксации [80-92]. В этом случае вязкоупругие анизотропии подвижности «бусинок», определяются простыми выражениями [84– 88]:

где B – мера усиления коэффициента трения за счет вовлечения в движение окружающих макромолекул; E – мера внутренней вязкости; l, m – постоянные.[13] Следует отметить, что в рассматриваемом здесь случае внутренняя вязкость макромолекулы связана не с конформационными переходами, а с деформированием окружающих макромолекул, поэтому внутреннюю и внешнюю микровязкоупругость можно характеризовать одним временем релаксации

2 СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

МАКРОМОЛЕКУЛЫ

Как отмечалось в первой главе, гибкая макромолекула может быть представлена цепочкой последовательно соединенных броуновских частиц [93].

допущением, что соседние макромолекулы представляют собой однородную среду, а все межмолекулярные взаимодействия, влияющие на динамику внутримолекулярные взаимодействия с учетом последействия или запаздывания.

Таким образом, крупномасштабная стохастическая динамика единичной макромолекулы может быть рассмотрена как динамика одной макромолекулы «эффективной» среде, образованной другими макромолекулами.

Согласно [94], пренебрегая взаимным гидродинамическим взаимодействием частиц в линейном по скоростям приближении уравнение (1.17) будет иметь вид где m – масса броуновской частицы, которая моделирует участок макромолекулы длины M/N, r и u - координаты и скорость броуновской гидродинамического увлечения, i сила, 2Tµ - коэффициент упругости пружины между соседними частицами, T – температура в энергетических единицах. Матрица A описывает тот факт, что броуновские частицы связаны в единую линейную цепочку.[28] Согласно [28] сопротивление «мономерной» жидкости, а также, силы Fi и Gi представляют диссипативные силы в уравнениях (2.1). Причем эффективные силы соседних макромолекул ( Fi и Gi ) удовлетворяют уравнениям где – время релаксации. Сила Fi - это сила гидродинамического увлечения, в то время как Gi - сила внутренней вязкости, обладающая свойством Коэффициенты B и E введены как меры интенсивности внешних и внутренних добавочных диссипативных сил. Они определяются окружением рассматриваемой макромолекулы. В исключительных случаях зависят от длины соседних макромолекул.[28] Случайная сила в уравнениях (2.1) может быть представлена как сумма двух независимых процессов причем первое слагаемое – это гауссовский процесс с корреляцией и второе – также гауссовский, но не дельта-коррелированный процесс.

Введем в рассмотрение переменную тогда система уравнений (2.1) и (2.2) может быть записана как Сила в уравнениях (2.6) не статическая и может быть специально спроектирована в соответствии со вторым уравнением системы.

Случайный процесс в последнем стохастическом уравнении определяется, во выше введенном случайном процессе, уравнением Чтобы описать свойства случайного процесса i, нужно детализировать матрицы H ij и Gij в уравнениях (2.2) и (2.6). В линейном случае матрицы H ij и Gij являются числовыми, удовлетворяющими условию (2.3), так что простейший их вид может быть записан как где G - компоненты числовой матрицы В линейном приближении корреляционные функции стохастических сил в системе уравнений (2.1) могут быть легко определены из условия равновесия:

множество уравнений должно приводить к широко известным результатам (флуктуационно-диссипативная теорема).

Заметим, что Тогда, если соотношение выполняется, то коррелятор случайной силы, согласно уравнению (2.7) удовлетворяет следующему соотношению Уравнения (2.5) и (2.12) определяют корректный вид корреляционной функции случайной силы (2.10).

Заметим, что простые соотношения (2.8) - (2.12) правомерны в случае, когда нет ни глобальной, ни локальной анизотропии, то есть частицы имеют сферическую форму и среда изотропна. Если же локальная анизотропия берется в расчет, соотношения (2.8) следует записать в следующем виде где a e и ai параметры локальной анизотропии. В линейном случае, когда в среднем ei e ij, мы вернемся к соотношениям (2.8).

Для нелинейного случая локальной анизотропии соотношение (2.11) должно быть обобщено как где матрицы H ij и Gij определяются уравнениями (2.13) и имеют вид Характеры теплового движения макромолекулы в разбавленном растворе и в расплаве (среди других макромолекул) существенно отличаются. В первом случае макромолекула движется как броуновская частица в вязкой жидкости [93]. Такой способ движения макромолекул называют диффузным.

При рассмотрении расплава или концентрированного раствора, движение макромолекулы связано также с движением соседних молекул. Частица, представляющая часть макромолекулы, находящейся среди других макромолекул, обладает анизотропией подвижности: движение бусинки вдоль цепи облегчено по сравнению с движением в перпендикулярном направлении [93]. Это обстоятельство может быть учтено введением «трубки» с конечным диаметром, образованной окружающими макромолекулами, так что оказывается возможным только движение вдоль «трубки», так называемые рептации [95].

феноменологические параметры. Кроме характерного параметра теории Рауза – времени релаксации где R 2 - среднеквадратичное расстояние между концами макромолекулы, некоторые параметры введены для более точного определения влияния соседних макромолекул на поведение отдельной макромолекулы.

Согласно [54] выражения для коэффициентов вязкости, предельной вязкоупругости, времени релаксации и величины динамического модуля стабилизации вычислены как где n – концентрация броуновских частиц. Предельное время релаксации, которое представляет собой время дезориентации частей макромолекулы с длиной сегмента Куна, совпадает с постулированным временем релаксации, которое означает, что система характеризуется самосогласованностью.

Вышеизложенные результаты позволяют интерпретировать параметр как где M – длина макромолекулы и Me – длина макромолекулы между соседними спутанностями. Согласно экспериментальным данным, параметры B и E могут быть определены как функции параметра Заметим, что динамика системы очень длинных макромолекул (M>>10Me) определяется только динамическим параметром, поэтому приближенная зависимость может быть представлена отношением Для определения безразмерных величин в уравнениях воспользуемся временной шкалой * (время релаксации) и шкалой расстояния R R 2. Введем в рассмотрение переменную Также, в силу того, что инерциальными эффектами можно пренебречь, положим m = 0, тогда система уравнений динамики макромолекулы примет вид Запись выражений, определяющих случайные процессы, представлена ниже где gi (s), g ej ( s) и g ij (s) независимые гауссовы случайные процессы с дисперсией равной единице, a e и ai - параметры анизотропии.

Решим систему уравнений (2.21, 2.22) методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Конечно, можно воспользоваться и другими численными методами. Но метод Рунге-Кутта дает удовлетворительные результаты за приемлемое время.

Его достоинством является возможность изменять величину шага в процессе вычислений, что позволяет повысить точность получаемых результатов. В результате решения уравнений будем получать траектории частиц Эти траектории будут различными для разных реализаций случайных сил g i (s), g ej ( s) и g ij ( s). Для того, чтобы уменьшить влияние случайных сил и проанализировать релаксационные свойства полученной физической системы проводим достаточно большое количество вычислений, а затем находим среднее полученных траекторий. Для анализа воспользуемся нормальными координатами, определяемыми следующими соотношениями Матрица преобразования Q предполагается ортогональной и нормированной.

Нормальные координаты соответствующие нулевым характеристическим числам матрицы (режим диффузии) пропорциональны, для центров масс цепочки Для поиска эффективного времени релаксации макромолекулы, вычисляют корреляционные моменты, что приводит к теории с одним временем релаксации [96]. В рамках этой теории получают и подробно рассматривают аналитическое выражение для вычисления среднего смещения центра масс макромолекулы в нормальных координатах для модели (2.1) – (2.5) в линейном приближении, которое имеет вид где D0 – коэффициент диффузии, B – мера увеличения коэффициента трения частицы, – время релаксации среды.

Зададим начальные значения координат как где g i - гауссов случайный процесс с дисперсией равной единице. Начальные значения для отдельной случайной силы могут быть выбраны как макромолекулы во времени, проведено их усреднение и обнаружено, что результаты не зависят от числа N (N>10) субцепей в моделируемой макромолекуле. Это позволяет говорить о корректности выбранной модели дальнейшем вычисления проводились для N=20.

Для тестирования алгоритма были вычислены значения смещений центра масс макромолекулы для линейного случая с известным аналитическим решением, при значениях параметров = 23 и B = 2265, которые соответствуют зависимостям, изложенным в [97], для данной длины макромолекулы.

На рисунке 2.1 представлены результаты сравнения численных расчетов среднего смещения центра масс макромолекулы от времени при различных значениях анизотропии подвижности (сплошные линии) и кривая аналитического решения (пунктирная линия). Численные кривые обозначены буквами: a – результаты для ae 0, ai 0.2 ; b – результаты для ae 0.4, ai 0 ; c – для ae 0.31, ai 0.2.

Графики, которые показывают аналитическое и численное решение, очень близки. Качественное поведение данных решений идентично. В том и другом случае наблюдается явно выраженный горизонтальный участок (плато). Оно является показателем задержки в диффузии макромолекулы, которое связано с присутствием упругого взаимодействия между частями макромолекулы.

Положение плато характеризуется временем его возникновения или величиной смещения, при которой наблюдается отмеченная задержка. То есть, наличие такого плато показывает существование в полимерной системе внутреннего масштаба, который может быть как временным (время релаксации), так и пространственным (диаметр «трубки»). До и после плато наблюдаются участки, когда смещение центра масс макромолекулы пропорционально времени наблюдения.[28] Необходимо отметить, что анизотропия подвижности влияет на характер движения линейной макромолекулы в вязкоупругой среде, и это влияние учитывается при численном решении. В случае аналитического решения этого не удается достичь. Влияние анизотропии подвижности на величину смещения центра масс макромолекулы становится заметным с момента выхода зависимости на плато и продолжает ощущаться с увеличением времени наблюдения. Решение демонстрирует наличие в системе различных пространственных масштабов и соответствующих времен релаксации, которые вводились Де Женом и Эдвардсом в своих теориях [95], [98]. Как следует из [99] и рисунка 2.1, для модели полимерной системы возможно введение некоторого единого характерного времени релаксации, что не противоречит известным экспериментальным и теоретическим данным [99].

Рисунок 2.1 - Сравнение численных (сплошные линии) и аналитической (пунктирная линия) зависимостей среднего смещения центра масс Таким образом, была получена зависимость среднего смещения центра масс макромолекулы от времени при учете влияния анизотропии подвижности на поведение макромолекулы в поле действия случайных сил в окружении себе подобных. На ее основе показано наличие в полимерной системе характерного масштаба, который может быть интерпретирован как некоторое единое время релаксации или диаметр «трубки», что доказывает результативность мезоскопического подхода при моделировании динамики полимерных сред.

2.1 Связь тензора напряжений с корреляционными моментами При деформировании системы взаимодействующих броуновских частиц скорость диффузии броуновской частицы и средняя скорость среды в той точке, где находится частица, могут не совпадать. Это приводит к появлению объемных сил, которые приводят к дополнительным напряжениям.

Суспензии взаимодействующих броуновских частиц удобно рассматривать суперпозицию двух континуумов, один из которых с плотностью A и как плотностью импульса AvA представляет растворитель, а другой - совокупность взаимодействующих броуновских частиц с плотностью и плотностью импульса Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайной силы. Индекс v обозначает номер частицы.

Уравнения движения каждой из компонент имеют вид

AA AAA A

BB BBB B

где ik - макроскопический тензор напряжений растворителя; ik частицами; Rk – плотность силы, действующей со стороны жидкости на все частицы.

В целом рассмотренная система подчиняется уравнению движения напряжений системы в целом.

Прим малой объемной доле взвешенных в вязкой жидкости частиц тензор напряжений компоненты A имеет вид где pA – парциальное давление растворителя; v – форм-фактор, равный 5/ для сферических частиц [57].

Определим теперь тензор ik. Дифференцируя (31) по времени, находим Подставим теперь в полученную формулу значение mdukv / dt из уравнения [57] где ui скорость частицы с номером. В правой части уравнения (2.32) гидродинамического увлечения, внутренней вязкости, упругая и случайная силы.

Матрицы Bij, Gij, Fi зависят от разности координат различных частиц и могут быть разложены по этим разностям.

где сила Rk, с которой броуновские частицы увлекаются жидкостью, имеет вид Далее воспользуемся предположением о том, что система представляет собой разбавленную суспензию частиц (макромолекул), которые включают некоторое количество броуновских частиц (для гантели – две частицы). Поскольку внешние пренебрегаем, то Rk=0. Потому, из-за произвольного характера усреднения для каждой макромолекулы, из (2.34) следует, что Отсюда и из уравнения (2.32) находим, что в пренебрежении инерционными силами для каждой макромолекулы выполняется соотношение Далее разложим формально -функцию в ряд Тейлора около координаты центра масс -й макромолекулы R и ограничимся двумя членами разложения Теперь подставляя (2.36) в (2.33) и учитывая соотношение (2.35), находим уравнение, имеющее смысл закона сохранения импульса. Из этого уравнения, учитывая формулу (2.28) и определение тензора напряжений через поток импульса ik viB vkB ik, находим выражение для тензора напряжений Предполагаем, что для скоростей выполняется локально равновесное распределение. Тогда Где [n ( x R ) ] - плотность числа макромолекул; N+1 – число броуновских частиц в макромолекул.

Рассматривая теперь макромолекулу из двух броуновских частиц (N=1) и используя координаты записываем тензор напряжений В последнем члене выполнено усреднение по скоростям и заменено [(u 'j' u 'j ) / 2 ] средней скоростью j, которая определена уравнением [57]:

Учитывая также, что где и ` определяются выражениями Первое выражение определяет время релаксации ориентационного процесса, второе – деформационного.

Тензор напряжений выражается через моменты функции распределения.

Моменты второго порядка В стационарном случае с точностью до членов первого порядка по градиентам скорости с помощью функции распределения [57] находим где определяется выражением (2.39).

В общем случае моменты удобно находить из уравнений для моментов, которые определим далее. Например, умножая диффузионное уравнение на и интегрируя по всем переменным, находим Умножая уравнение (2.41) на 2 и интегрируя по всем переменным или же непосредственно суммируя уравнение (2.42) с одинаковыми индексами, находим При больших внутренних вязкостях, когда, i k 2 ei ek, уравнение (2.42) переходит в уравнение которое описывает ориентационный процесс.

Полученные системы уравнений оказываются незамкнутыми, т.е. для их решения необходимы дополнительные замыкающие соотношения. Только при 0 из (2.42) следует система уравнений, которая оказывается замкнутой. При малой внутренней вязкости, когда / 1, из уравнения (2.42), удерживая члены первого порядка по /, находим При малых градиентах скорости моменты функции распределения могут быть определены через градиенты скорости при произвольных значениях внутренней вязкости.

Найдем решение уравнений (2.42) и (2.43) для случая, когда моменты не зависят от координат. Для этого умножим уравнение (2.42) на e t / ', а уравнение (2.43) на e t / и проинтегрируем от t до -. После интегрирования по частям и замены переменных получаем соотношения В выражениях (2.45) все подынтегральные функции берутся в точке t-s.

Из соотношений (2.45) при малых градиентах скорости моменты функции распределения могут быть найдены в виде разложения в ряд по кратным интегралам. С точностью до членов первого порядка по градиентам скорости, используя формулы (2.40), находим В стационарном случае выражения для моментов можно определить с точностью до членов второго порядка по градиентам скорости сравнительно просто.

При малых / значения моментов с точностью до членов первого порядка по легко определяются из уравнения (2.44) с помощью известных в нулевом приближении по значений моментов,, и равны При больших значения моментов вычисляются с помощью функции распределения, получаемой из уравнения Смолуховского[57], и с точностью до членов второго порядка по 1/ и второго порядка по градиентам скорости равны Удобно записать выражения (2.47) и (2.48) совместно в виде Можно полагать, что Z является монотонной функцией.

3 ПОЛУЧЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ

ВИНОГРАДОВА-ПОКРОВСКОГО

Рассмотрим подробнее модель упругой гантели. В данной модели две макромолекулы имеют вид [57]:

где 2T - коэффициент упругости модельной пружинки, - коэффициент пропорциональности, T - температура; r j1, r j2 и u 1j, u 2 - радиусы-векторы и скорости бусинок гантели, соответственно; jk - тензор градиентов скорости;

u f du - средняя скорость бусинки с номером ; W - функция плотности вероятности того, что отдельные молекулы в полимерной цепи находятся в заданной конфигурации.

В случае учета наведенной анизотропии, анизотропию подвижности коэффициента трения [100]:

где - коэффициент трения (для сферических частиц 6R p, R - радиус частицы, p - вязкость растворителя); и - скалярные коэффициенты анизотропии; aik - симметричный тензор второго ранга, описывающий отклонение статистически неравновесной системы от состояния равновесия; ik - символ Кронекера.

Для отыскания и исследования аналитических решений системы (3.1) удобно перейти к нормальным координатам:

где i - описывает относительное движение бусинок, i0 - движение центра системе координат (3.2) принимает вид:

где i - относительная скорость диффузии бусинок, i0 - скорость диффузии центра масс гантели.

Из уравнении (3.1) после необходимых преобразований, имеем После того как найдены i и i0, можно записать диффузионное уравнение для функции распределения, исходя из уравнения Смолуховского:

Это уравнение описывает диффузию бусинок гантели относительно друг друга и, подставляя его в (3.3), позволяет получить релаксационные уравнения для корреляционных моментов i k W i k dp - моменты второго порядка, характеризующие в среднем ориентацию гантели. Тогда форму и ориентацию гантелей в потоке можно охарактеризовать следующим тензором:

Отсюда после преобразований получаем реологическое определяющее соотношение:

В трудах [23, 24] модель Виноградова-Покровского была проверена на соответствие вискозиметрическим течениям реальных полимерных жидкостей.

Было показано, что теоретические данные согласуются с результатами эксперимента в случае простого сдвига. В работе [25] адекватность реологической модели проверялась путем расчета наложения малых осциллирующих колебаний на простое сдвиговое течение в параллельном и ортогональном сдвигу направлениях. Проведенный численный эксперимент позволил получить зависимости тензора напряжений от времени и градиентов скорости, что позволило выполнить расчеты составляющих комплексного модуля сдвига, динамической вязкости и угла динамических потерь в зависимости от частоты вынуждающих колебаний, скорости сдвига и числа Деборы (De). Полученные зависимости сравнивались с экспериментальными данными, что показало качественное соответствие теории и эксперимента. Эти результаты позволяют говорить об адекватности реологической модели, что в свою очередь позволяет использовать ее при расчете более сложных течений. Например, в работах [26, 27] было рассмотрено установившееся движение между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления и было показано, что модель (3.1) предсказывает непараболический профиль скорости и наличие ненулевого перепада давления в поперечном потоку направлении.

3.1 Плавление полимерных материалов в экструдерах Сегодня изделия из полимерных материалов широко используются в быту и производственных процессах. Одним из наиболее ярких представителей полимерной продукции является пленка. Она является сырьем для производства упаковочных материалов, деталей автомобилей и промышленного оборудования – продолжать можно практически бесконечно. Поэтому процесс производства полимерных пленок достоин нашего внимания.

Большинство высококачественных пленок из полимерных материалов получают переработкой гранулята (гранулированного полимера), а именно его плавлением. Для плавления гранулированного полимера используют специальные машины – экструдеры. Существует большое количество различных конструкций экструдеров, которые используются при производстве пластических масс[101, 102]. Но в полимерном производстве наибольшее распространение получили одночервячные экструдеры.

Рисунок 3.1 – Принципиальная схема одночервячного экструдера ( 1 – червяк, 2 – цилиндрический корпус, 3 – гильза, 4 – нагреватели, 5 – головка с профилирующим инструментом, 6 – адаптер, соединяющий головку с корпусом, – пакет фильтрующих сеток, 8 – станина, 9 - шестеренчатый редуктор, 10 – блок упорных подшипников) На рисунке 3.1 изображена принципиальная схема одночервячного экструдера. Одной из главных деталей экструдера является червяк, который вращается внутри цилиндрического корпуса. Для работы экструдера необходим обогрев корпуса. Для этого устанавливаются специальные нагреватели, которые сгруппированы в несколько тепловых зон. На корпус в месте выхода расплава устанавливается головка с профилирующим инструментом. Вращение червяку придает электродвигатель через шестеренчатый редуктор. Корпус экструдера крепится к станине. Для подачи сырья для переработки на корпус экструдера устанавливается бункер. В зависимости от свойств перерабатываемого материала бункер могут оборудовать дополнительными приспособлениями. Так для материалов с низкой сыпучестью устанавливают устройства для предварительного уплотнения материала. В случае переработки материалов склонных к сводообразованию в бункер может быть установлено перемешивающее устройство.[103-105].

Основными деталями экструдера являются винт (шнек) и гладкий корпус.

Не смотря на то, что устройство экструдера может показаться простым, в нем происходят очень сложные, с точки зрения математического описания, процессы с фазовыми переходами. Гранулированный полимер в первой зоне экструдера сжимается и подается в зону с обогревом, где он начинает плавиться. По мере продвижения гранулята вдоль канала винта поверхность границы раздела фаз сначала возрастает, но по мере проплавления полимера – начинает уменьшаться, а затем и исчезает совсем, и готовый расплав выдавливается из экструдера. По мере продвижения гранулята нарастает давление и изменяется температура не только по длине, но и по поперечному сечению канала, причем в зоне расплава полимера формируются и все время перестраиваются профили скоростей, т. е. действуют законы механики жидкости, а в твердой пробке полимера – законы движения сыпучего материала. При плавлении различные полимеры ведут себя по-разному, поэтому часто требуется подгонка конструкции винта для каждого отдельного полимера.

Идеальным считается экструдер, который в течение длительного времени обеспечивает постоянную производительность по расплаву при заданном давлении и температуре на выходе. Но на практике это бывает редко из-за отключения отдельных мест машин, из-за засорения фильтров расплава, из-за изменения свойств гранулята и т. д. Как правило, после экструдера устанавливается шестеренный насос, с помощью которого регулирование экструдера осуществляется по датчику давления, устанавливаемому после экструдера. Регулируют не только число оборотов винта, но и температуру зон обогрева экструдера. Таким образом, экструдер в производстве полимерных пленок представляет собой сложную самоуправляющую машину, к которой предъявляются очень жесткие технологические требования.

В настоящее время математически хорошо исследована дозирующая зона экструдера, но зоны загрузки и плавления разработаны не достаточно полно и с большим числом допущений и ограничений.

3.1.1 Течение и теплообмен расплавов полимеров в винтовом канале Математическое представление процессов движения и теплообмена как растворов и расплавов полимеров, так и других жидкостей основывается на законах сохранения массы, количества движения и энергии [58]. Математизация этих трех законов сохранения приводит к системе дифференциальных уравнений, которые для несжимаемой жидкости и с учетом того, что силы трения во много раз превышают массовые силы, для стационарного течения имеют вид:

В уравнениях (3.5)–(3.9): – плотность; C – удельная теплоемкость; k – коэффициент теплопроводности полимера; v x, v y, v z – размерные компоненты вектора скорости; T – размерная температура; P – давление; ij –компоненты девиатора тензора напряжений.

напряжения и соответствующими значениями величин скоростей деформации.

Для того чтобы полностью охарактеризовать поведение деформируемого полимера, необходимо дополнить систему уравнений (3.5)–(3.9) уравнениями состояния. Поскольку в длинном винтовом канале экструдера происходит плавное изменение величин параметров процессов течения и геометрии канала, то упругие эффекты в полимере рассматривать не будем, тогда реологические уравнения принимают вид:

В выражениях (3.10) эффективная вязкость Э является функцией скорости сдвига и температуры и определяется уравнением где – коэффициент зависимости вязкости жидкости от температуры (предэкспонента); I2 – квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций; T – начальная температура (температура плавления).

Система уравнений (3.5)–(3.12) является связанной и существенно нелинейной. Решать задачу в такой постановке на сегодняшний день достаточно сложно. Поэтому в конкретных теоретических исследованиях делают ряд допущений, обоснованных физической сутью изучаемого процесса, которые приводят к упрощению и видоизменению исходной системы. Решение теоретических задач всегда основывается на определенных допущениях и развивается в направлении уменьшения их числа и значимости благодаря усовершенствованию математических методов и развитию вычислительной техники.

3.1.2 Движение и теплообмен полимера в зонах загрузки и задержки В зону загрузки (питания) полимер поступает из бункера машины в виде гранул, захватывается нарезкой шнека и перемещается вдоль него. Движение полимера, находящегося в твердом состоянии, обусловлено возникновением силы трения между полимером и внутренней поверхностью корпуса. На первых примерно полутора-двух, как правило, не обогреваемых, витках шнека частицы материала уплотняются и образуют твердый слой, «пробку» гранул, которая движется по винтовому каналу с постоянной скоростью [106-108].

При построении математической модели движения и теплообмена в канале зоны загрузки пластицирующего экструдера вводятся следующие допущения:

– процесс считается стационарным;

– скорость пробки гранул постоянна (первый виток шнека, где происходят процессы уплотнения, не рассматривается);

– винтовой канал разворачивается на плоскость, и используется принцип обращенного движения, то есть шнек останавливается, а корпус экструдера движется с той же скоростью, что и шнек, но в обратную сторону;

– диффузия тепла вдоль канала не рассматривается.[108] сосуществованием двух состояний вещества – твердого и жидкого в виде тонкой пленки расплава. Отличительной чертой этой зоны является замена процесса сухого трения на цилиндре экструдера (что соответствует зоне загрузки) на вязкое. По мере продвижения по зоне задержки плавления полимер продолжает разогреваться за счет тепла, подводимого извне и за счет внутреннего диссипативного источника. Толщина пленки расплава постоянно растет. Когда ее толщина превысит величину зазора между гребнем шнека и внутренней поверхностью корпуса, у толкающего гребня шнека образуется бассейн расплава и возникает циркуляционное движение жидкости. Считается, что с этого момента материал переходит в зону плавления экструдера.

Анализ процессов, протекающих в зоне задержки плавления, предполагает рассмотрение наряду с уравнением баланса энергии уравнений гидродинамики.

Поскольку течение в данной зоне можно рассматривать как течение между двумя бесконечными пластинами, роль которых играют внутренняя поверхность корпуса экструдера и поверхность пробки гранул у границы раздела фаз (рисунок 3.2), то определяющая система уравнений для жидкой фазы имеет вид[108]:

здесь k, C, – коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность материала соответственно.

Рисунок 3.2 – Схема канала в зоне задержки плавления 3.1.3 Плавление полимерных материалов в канале экструдера Движение и теплообмен полимера, как и в предыдущем пункте, рассматриваются в длинном прямоугольном канале, верхняя граница которого движется с постоянной скоростью 0 под углом оси канала (угол подъема винтовой линии). Пренебрегая деформационными процессами в твердой пробке, а также упругими эффектами в расплаве полимера, задачу о плавлении можно свести к трехмерной стационарной задаче о тепломассопереносе с фазовыми превращениями. Однако на сегодняшний день численная реализация задачи в такой постановке приводит к значительным трудностям, связанным с ограниченностью памяти ЭВМ, и, как следствие этого, к непомерно большим затратам машинного времени.[108] В работе [108] задача была существенно упрощена, принимая во внимание тот факт, что продольная скорость вдоль оси канала x изменяется медленно, а скорость пробки, которая определяется расходом G, согласно экспериментам, остается постоянной по всей длине канала (исключение составляет входная часть канала в зоне загрузки и при определенных режимах – «запруживании» – коническая часть зоны плавления). Для этого канал разбивается по длине на ряд участков и считается, что в пределах каждого из них скорость не зависит от координаты x.

Рисунок 3.3 – Схематическое изображение зоны плавления экструдера Таким образом, уравнения движения и энергии записанные в безразмерном виде через переменные вихрь и функция тока, принимают вид - числа Рейнольдса, Эйлера, Пекле и Эккерта; F – безразмерная функция диссипации:

Для твердой фазы уравнение (3.22) в процессе счета переходит в уравнение теплопроводности интенсификация процесса плавления начинается с момента, когда толщина пленки расплава в канале экструдера превысит величину зазора между гребнем шнека и корпусом. Та часть канала, где происходит интенсивное плавление полимера, отождествляется с зоной плавления. В рамках предложенной модели исследование процессов движения и плавления материала в рассматриваемой зоне осуществлялось при достижении пленки расплава заданной толщины.

Начальными условиями по скоростным характеристикам и температуре являлись поля скоростей, температур и давлений, полученные в конце зоны задержки плавления.

При решении задач теплопроводности с фазовым переходом важно как можно точнее подобрать аппроксимирующие функции для описания зависимости теплофизических характеристик материала от температуры. Кроме того, следует отметить, что точечные фазовые переходы характерны лишь для некоторых полимеров. Для большинства полимерных материалов фазовые превращения происходят в определенном температурном интервале. Следовательно, в области фазового перехода теплофизические характеристики материала являются непрерывными функциями температуры, а уравнение (3.22) будет справедливо для обеих фаз в области фазового перехода. В численных решениях задачи Стефана к подобному виду приводятся два уравнения теплопроводности для разных фаз и условие четвертого рода на границе раздела [110]. Эти уравнения получаются путем размазывания по температуре теплофизических характеристик в окрестности фазового перехода. Многие полимеры, в частности те, что являются предметом исследования, имеют отчетливо выраженный интервал фазовых превращений.[108] 3.2 Моделирование процесса формования полимерной пленки Использование математического моделирования при проектировании и производстве изделий из полимерных материалов дает ряд преимуществ, к которым можно отнести возможности управления качеством полимерных изделий и решения ряда оптимизационных задач производства. Его основой является математическая модель, которая должна быть достаточно простой и вместе с тем отражать все особенности исследуемого процесса.

Рисунок 3.4 - Схематичное изображение технологического процесса Одним из распространенных процессов переработки полимерных материалов является изготовление полимерной пленки. Для этого используется экструдер, через который продавливается полимерный расплав[112-116]. После выхода, полученная пленка попадает на охлаждающий барабан. В результате движения пленки от экструдера до барабана происходит её охлаждение, изменение ширины и толщины. При этом пленка растягивается неравномерно, что приводит к появлению «эффекта шейки»[113, 114], заключающегося в существовании двух участков на зависимости ширины пленки от расстояния до выхода из экструдера. На первом участке происходит существенное изменение ширины пленки за счет интенсивного деформирования, в отличие от второго участка, на котором это изменение незначительно и материал движется как единое целое. Так как все эти процессы происходят одновременно, то при их математическом моделировании необходимо совместное решение уравнений для скоростей, напряжений и теплопереноса. В отличие от предыдущего раздела, где рассматривается процесс плавления в экструдере и напряжения считались незначительными, при формовании полимерной пленки напряжения играют важную роль и необходим их учет.

Теперь применим модель (3.4) для описания процесса формования полимерной пленки. Так как при этом градиенты скорости неизвестны, то для замыкания системы уравнений (3.4) необходимо добавить уравнения сохранения массы:

где x, y, z – скорости вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно; – плотность. В неизотермическом случае система (3.4) должна быть дополнена уравнением переноса энергии[117-121]:

где сv – удельная теплоемкость при постоянном объеме; T – температура теплопроводности; – коэффициент теплообмена, h – отношение площади a b )[121]. Последнее слагаемое в (3.27) учитывает охлаждение пленки через ее поверхность. Отметим, что в (3.27) не учитывается диссипативная функция, характеризующая поток тепла, возникающий при ненулевых градиентах скорости.

Далее рассмотрим стационарную задачу в одномерном приближении. Такая постановка учитывает, что толщина пленки достаточно мала, и можно температуру по толщине пленки считать постоянной. Начало координат поместим в середине выходного отверстия экструдера, ось Ox направим вдоль движения пленки, а ось Оz направим вдоль щели экструдера и будем искать зависящее только от переменной x решение системы (3.4, 3.26, 3.27) Кинематику процесса при этом можно описывать в рамках одноосного растяжения, как это сделано в [118]. Однако, как показали расчеты, в этом случае при постоянной кратности удлинения k ( k v1 / v0, где v1 - скорость пленки на барабане, v 0 - скорость полимера на выходе из экструдера) ширина получающейся наблюдаемым данным [113]. Для преодоления этого недостатка модели в данной работе предлагается рассматривать движение полимерной пленки в режиме двуосного растяжения. Следует отметить, что в этом случае необходимо учесть дополнительное напряжение по оси Оz, величина которого определяется из условия совпадения с экспериментальными данными. Тогда тензор полных напряжений имеет вид:

где 11 – растягивающее напряжение, 33 – дополнительное напряжение и для 11 и 33 можем записать соотношения:

При этом скорость изменения ширины пленки будет отличаться от скорости изменения ее толщины, и тензор градиентов скорости будет иметь вид:

где – параметр, который характеризует анизотропию растяжения потока, и такой режим течения можно называть анизотропным растяжением.

В этом случае можно найти зависимость между скоростью пленки u(x) и После интегрирования последнего уравнения получим выражение для ширины пленки:

Рассуждая аналогично можно найти распределение для толщины пленки:

Учет всех этих факторов приводит к следующей математической модели процесса формования полимерной пленки в одномерном приближении, которая следует из (3.4, 3.26-3.29):

Система уравнений (3.32) представляет собой совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений, четыре из которых первого порядка и одно второго. Поэтому она должна быть дополнена шестью граничными условиями.

Четыре из них можно поставить достаточно просто. В случае v x эти условия имеют вид: vx(0)=v0; vx(l)=kv0, где k - коэффициент растяжения пленки.

Для температуры будем рассматривать граничные условия в случае, когда установившейся температурой барабана и равна температуре окружающей среды:

T(0)=T1; T(l)=T0. Здесь T1 - температура расплава на выходе из экструдера.

Два дополнительных условия для напряжений можно получить при расчете движения полимерной жидкости в головке экструдера, что представляет собой достаточно сложную задачу. Чтобы оценить напряжения a22 и a33 обратимся к работе [119], где были получены формулы для расчета плоскопараллельного Эти выражения приводят к средним значениям для напряжений и скорости:

В случае a33, h - ширина пленки, которая достаточно велика, и Противоположная ситуация наблюдается для a 22, когда h – это толщина пленки.

Если пользоваться этими выражениями, то получится, что a22. Это противоречие объясняется тем, что в работе [119] выражения для скорости и напряжений были получены с точностью до членов первого порядка по и, и они не справедливы при больших градиентах давления. В работе [120] было При проведении расчетов по модели (2.7) будем считать, что где n – число макромолекул в единице объема, k – константа Больцмана, R – универсальная газовая постоянная, H – энергия активации.

3.2.1 Обезразмеривание и результаты Пусть 0 x l, где l – расстояние от выхода из экструдера до охлаждающего барабана; V0 – скорость жидкости на выходе из экструдера, 0, 0 – вычисленные при T1 = 423 К значения времени релаксации и начальной вязкости. Тогда можно (характеризует отношение времени релаксации жидкости к характерному времени процесса) [122, 123].

С их использованием система уравнений (3.32) может быть переписана в безразмерном виде:

где 0 x 1, b0 – безразмерная (отнесенная к l) начальная толщина пленки, 0 – безразмерное время релаксации, 0 - безразмерная сдвиговая вязкость.

На основе модели (3.33) можно рассчитать зависимости скорости, температуры и напряжений от расстояния до экструдера. Наибольший практический интерес представляет изучение зависимости полуширины пленки.

Рассмотрим влияние параметров Pr, Re, Nu и We на эти зависимости.

Число Рейнольдса - важный показатель для распознания любого типа потока с выраженным профилем распределения скоростей. Оно определяет относительную значимость эффекта вязкости в сравнении с эффектом инерции.

Плотность в числителе выражения для вычисления числа Re характеризует инерцию частиц, отклонившихся от движения по прямой, а вязкость в отклонению.

Если проанализировать влияние числа Re на температуру пленки, то можно заметить, что при больших значениях Re образец не успевает остыть до температуры охлаждающего барабана. С уменьшением числа Re остывание образца происходит более интенсивно. При Re = 5·10-6 образец практически полностью остывает, проходя только 30% расстояния между головкой экструдера и охлаждающим барабаном. С ростом числа Re проявляется неравномерность в растяжении, и можно выделить 2 участка. На первом участке скорость меняется быстро, когда вязкость не велика. При установившейся температуре скорость изменяется незначительно. Это и приводит к проявлению шейки. На рисунке 3. изображена зависимость полуширины пленки при различных значениях напряжения – с ростом числа Рейнольдса напряжения уменьшаются.

Рисунок 3.6 – Влияние числа Re на скорость Рисунок 3.7 – Влияние числа Re на температуру Число Прандтля Pr – один из критериев подобия тепловых процессов в жидкостях и газах, учитывает влияние физических свойств теплоносителя на теплоотдачу. Число Прандтля — физическая характеристика среды и зависит только от её термодинамического состояния. У газов число Прандтля с изменением температуры практически не изменяется. У неметаллических жидкостей число Прандтля изменяется с изменением температуры тем значительнее, чем больше вязкость жидкости. На рисунке 3.10 можно заметить, что в случае увеличения Pr теплообмен с окружением уменьшается, влияние охлаждающего барабана сказывается меньше, что приводит к меньшему остыванию пленки. При больших значениях числа Pr теплообмен с окружением затруднен и температура образца при выходе из экструдера практически не изменяется за время движения пленки от головки экструдера до охлаждающего барабана. Если теплопередача не затруднена (например, при Pr = 106) то на графике появляется участок с интенсивным остыванием. Соответственно на этом участке происходит растяжение образца. На втором участке образец движется как единое целое и растяжения не происходит.

Рисунок 3.11 – Влияние числа Pr на напряжение Рисунок 3.12 – Влияние числа Pr на полуширину Число Нуссельта Nu - один из основных критериев подобия тепловых процессов, характеризующий соотношение между интенсивностью теплообмена за счёт конвекции и интенсивностью теплообмена за счёт теплопроводности. На рисунке 3.16 видно, что увеличение числа Nu приводит к более крутому уменьшению полуширины пленки, что объясняется ее более быстрым остыванием за счет отдачи тепла в окружающий воздух. В случае уменьшения параметра Nu наблюдается увеличение времени остывания пленки. С ростом числа Nu происходит более быстрый выход температуры на стационарное значение. Это влияет на вязкость образца в конечных точках и, как результат, сказывается на скорости пленки и её полуширине.

Рисунок 3.14 – Влияние числа Nu на температуру Рисунок 3.15 – Влияние числа Nu на напряжение Рисунок 3.16 – Влияние числа Nu на полуширину пленки Число Вайсенберга We — еще один критерий подобия, характеризующий вязкоупругое течение и выражающийся как соотношение между временем релаксации и сдвиговой скоростью. Оно указывает на степень анизотропии, порождённой деформацией, и подходит для описания потоков с постоянной историей растяжения, такой как простой сдвиг. Несмотря на то, что в модели присутствует так же и параметр We, при варьировании в интервале 0.001 – 0.1 его влияние незначительно.

Рисунок 3.17 – Влияние числа We на полуширину Рисунок 3.18 – Влияние числа We на скорость Рисунок 3.19 – Влияние числа We на температуру Рисунок 3.20 – Влияние числа We на напряжение Стоит обратить внимание, что изменение параметра анизотропии растяжения потока производит наибольшее воздействие на полуширину пленки (рисунок 3.21). При этом меньшие значения этого параметра соответствуют большей ширине пленки.

Обратимся к экспериментальным данным из работы [113], где было исследовано течение между экструдером и барабаном для различных образцов полиэтилена. Опыт проводился при следующих значения параметров l = 0,14 м, b0 = 0,0005 м, a0 = 0,051 м, v0 = 0,00082 м/с. На основе этих значений и коэффициентов теплопроводности и теплоемкости образцов из [123] были рассчитаны безразмерные числа Re, Pr, We, значения которых приведены в таблице 3.1. Число Нуссельта вычисляли по формуле Nu = 0,55(Al3t)0,25, где A является модулем конвекции и его величина для образцов равна 3610 6 (м3 С)-1, t – температура в С[122]. Параметр подбирался из условия наилучшего совпадения расчетных и экспериментальных данных.

Таблица 3. Exact Результаты расчетов приведены на графиках (рисунки 3.22 – 3.25), где видно хорошее соответствие теоретических кривых и значений, полученных в ходе эксперимента.

Рисунок 3.22 - Сравнение теоретических (линии) и экспериментальных (точки) зависимостей полуширины пленки от расстояния до головки экструдера при различных степенях растяжения (образец 1).

Рисунок 3.23 - Сравнение теоретических (линии) и экспериментальных (точки) зависимостей полуширины пленки от расстояния до головки экструдера при различных степенях растяжения (образец 2).

Рисунок 3.24 - Сравнение теоретических (линии) и экспериментальных (точки) зависимостей полуширины пленки от расстояния до головки экструдера при различных степенях растяжения (образец 3).

Рисунок 3.25 - Сравнение теоретических (линии) и экспериментальных (точки) зависимостей полуширины пленки от расстояния до головки экструдера Таким образом было исследовано влияние параметров модели, таких как:

начальная сдвиговая вязкость, начальное время релаксации, коэффициент температуропроводности, коэффициент теплообмена, коэффициенты наведенной анизотропии и коэффициент анизотропии потока на вид получаемых зависимостей продольной скорости, температуры и компонент тензора напряжений от расстояния до выхода из экструдера. При этом показано, что модифицированная модель Виноградова-Покровского описывает эффект появления «шейки» в процессе формования полимерных пленок, и адекватное описание этого процесса в одномерном приближении возможно только в рамках двуосного растяжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы состоят в следующем:

реологической модели Виноградова-Покровского для описания течений расплавов линейных полимеров в различных режимах деформирования.

одномерном приближении, при учете теплопереноса, когда продольная скорость, скорость удлинения, температура, ненулевые компоненты тензора напряжений являются функциями только продольной координаты, а реологические параметры модели являются известными функциями температуры.

Установлена зависимость ширины и толщины пленки от ее продольной скорости, что позволило применить одномерное приближение при получении модели формования полимерной пленки из расплава полимера.

Исследовано влияние параметров модели (начальной сдвиговой температуропроводности, коэффициента теплообмена, коэффициенты наведенной анизотропии и коэффициента анизотропии потока) на вид получаемых зависимостей продольной скорости, температуры, ненулевых компонент тензора напряжений от расстояния до выхода из экструдера:

а) установлено, что при больших значения Re (Re = 0,001;

Re = 5·10-4; Re = 5·10-5) образец не успевает остыть до температуры охлаждающего барабана. При Re = 5·10-6 образец практически полностью остывает, проходя только 30% расстояния между головкой экструдера и охлаждающим барабаном. При Re = 5·10-3 наблюдается неравномерность в растяжении. При увеличении числа Re в 200 раз изменение полуширины пленки в области интенсивного растяжения может достигать 30%;

при Pr > 105 теплообмен с окружением уменьшается, влияние охлаждающего барабана сказывается меньше, что приводит к меньшему остыванию пленки. При больших значениях числа Pr теплообмен с окружением затруднен, и температура образца при выходе из экструдера практически не изменяется за время движения пленки от головки экструдера до охлаждающего барабана. Если теплопередача не затруднена (при Pr = 106) то появляется участок с интенсивным остыванием. В случае уменьшении числа Pr в 100 раз изменение полуширины пленки в области интенсивного растяжения достигает 25%;

в) в случае уменьшения параметра Nu от 20 до 0,1 наблюдается уменьшение времени остывания пленки. С ростом числа Nu происходит более быстрый выход температуры на стационарное значение. При увеличении числа Nu в 200 раз изменение полуширины пленки в области интенсивного растяжения может достигать 20%;

г) изменение числа We в интервале 0.001 - 0.1 не оказывало значительного влияния на полуширину пленки.

моделировании процесса формования полимерных пленок в одномерном приближении. Вычислено значение параметра анизотропии потока для полимерных пленок участвующих в эксперименте: для Exxon Exact = 0,07; для Mobil NTX101 = 0,15; для Dow Affinity PL1880 = 0,2; для Dow Affinity PL1840 = 0,3.

Результаты расчетов показали удовлетворительное соответствие теоретических и имеющихся в литературе экспериментальных данных по замерам полуширины различных образцов полимерной пленки, что говорит об адекватности полученной модели, описывающей процесс формования полимерных пленок в условиях двухосного растяжения с учетом теплопереноса.

На основе данной модели предложена методика инженерного расчета процесса формования полимерной пленки из расплава, которая предназначена для использования на этапе входного контроля качества сырья. Результаты работы используются в ООО «Полимер-Декор» (г.Заринск).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bower D. An Introduction to Polymer Physics// Cambridge University Press. – 2002. – 468 P.

Россия в цифрах. 2013: Крат.стат.сб./Росстат- M., - 2013. - 573 с.

Калинычев Э.Л. Полимерные материалы – важный фактор химизации экономики страны // Пластические массы. – М: Закрытое акционерное общество Научно-производственное предприятие "Пластические массы", 2010.

- №1. С. 10-20.

Шабалин Е.Ю. Развитие и современное состояние технологии производства полипропилена / Э.А. Майер // Пластические массы. – М:

Закрытое акционерное общество Научно-производственное предприятие "Пластические массы", 2011. - №11. С. 5-9.

книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2009. – Т. 51. № 1. С. 106-136.

6. Oldroyd J.G. On the Formulation of Rheological Equation of State// Proc.

Roy. Soc. – 1950. – V. A200. – P. 523–541.

Демехин E.A. Исследование неустойчивости в вертикальных пленках жидкости как задачи с начальными данными / А.С. Селин, E.M. Шапарь // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – М:

Академический научно-издательский, производственно-полиграфический и книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2009. - № 3. С. 47-57.

8. Gennes P.G. de. Reptation of a Polymer Chain in the Presence of Fixed Obstacles // J. Chem. Phys. – 1971. – V. 55. – №2. – P. 572–579.

Покровский В.Н. Вычисление времен релаксации и динамического модуля линейных полимеров на основе одномолекулярного приближения с самосогласованием (новый подход в теории вязкоупругости линейных полимеров) / В.Н. Покровский, В.С. Волков // Высокомолек. соед. – 1978. – Т.

А20. – №12. – C. 2700–2706.

Ландау Л.Д. Статистическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц – М.

: Наука, 1976. – 583 с.

Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1985. – 194 с.

максвелловского типа для описания движений полимерных жидкостей // ПММ.

– 1984. – Т. 48. – №6. – C. 957–965.

Макарова М.А. Верификация мезоскопической модели в реологии полидисперсных вязкоупругих полимерных сред : дис. канд. физ.-мат. наук.Барнаул, 2007.- 134 с.

вязкоупругой жидкости с использованием метода корреляции давления // Механика жидкости и газов. 2011. №6 С. 31-42.

Могилевский Е.И. Течения тонких пленок вязкой жидкости по криволинейным вращающимся поверхностям / В.Я. Шкадов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – М: Академический книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2009. - № 2. С. 18-32.

Директор Л.Б. Численное моделирование динамики капли вязкой жидкости / И.Л. Майков // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – М: Академический научно-издательский, производственнополиграфический и книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2009. - № 5. С. 101-109.

Вачагина Е.К. Течение вязкоупругих сред в конвергентнодивергентных каналах / Г.Р. Галиуллина, Г.Р. Халитова. // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – М: Академический научноиздательский, производственно-полиграфический и книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2011. - № 3. С. 82-88.

Аристов С.Н. Течения вязкой жидкости между подвижными параллельными плоскостями / Д.В. Князев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. – М: Академический научно-издательский, производственно-полиграфический и книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2012. - № 4. С. 55-61.

высоковязких полимерных термопластов / А.П. Кисилев // Пластические массы.

– М: Закрытое акционерное общество Научно-производственное предприятие "Пластические массы", 2010. - №6. С. 38-43.

Снигерев Б.А. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью / Ф.Х. Тазюков, А.Г. Кутузов и др // Вестник Казанского технологического университета. – Казань: Казанский государственный технологический университет, 2007. - №1. С. 85-92.

Малкин А.Я. Неустойчивость при течении растворов и расплавов полимеров // Высокомолекулярные соединения. - М: Академический научноиздательский, производственно-полиграфический и книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2006. – Т. 48. № 7. С. 1241-1262.

Волков В.С. Реология сложных анизотропных жидкостей / В.Г.

Куличихин // Коллоидный журнал. – М: Академический научно-издательский, производственно-полиграфический и книгораспространительский центр Российской академии наук "Издательство "Наука", 2011. – Т. 73. №5. С. 608Пышнограй Г.В., Алтухов Ю.А. Микроструктурный подход в теории течения линейных полимеров и нелинейные эффекты на его основе.

//Высокомолекулярные соединения, серия А, 1996, т.38, № 7, c. 1185–1193.

24. G.V. Pyshnograi, A.S. Gusev, V.N. Pokrovskii Constitutive equations for weakly entangled linear polymers// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2009, v. 163, N1-3, p. 17-28.

Гусев А.С., Пышнограй Г.В. Частотные зависимости динамических характеристик линейных полимеров при простом сдвиге // Механика композиционных материалов и конструкций, 2001, № 2, с. 236-245.

Алтухов Ю.А., Гусев А.С., Макарова М.А., Пышнограй Г.В.

Обобщение закона Пуазейля для плоскопараллельного течения вязкоупругих сред// Механика композиционных материалов и конструкций (2007), Т. 13, №4, С. 581–590.

нелинейной упруговязкой жидкости в плоском канале под действием заданного градиента давления// Вычислительная механика сплошных сред, 2010, Т. 3, №2, С. 55-69.

Трегубова Ю.Б. К обоснованию рептационного механизма диффузии линейной макромолекулы в теории микровязкоупругости / Ю.А. Алтухов, И.В.

Третьяков // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. – Барнаул: АлтГТУ, 2011. – Т. 8. - №4. – С. 27-31.

Третьяков И.В. Математическое моделирование процесса формования полимерных пленок в условиях двуосного растяжения с учетом теплопереноса / Г.В. Пышнограй, Ю.А. Алтухов // Прикладная механика и техническая физика :

научн. журн. / Гл. ред. В.К. Кедринский. – Новосибирск: изд-во сибирского отделения РАН, 2012. - №2. – С. 84-90.

Афонин Г.Л. Мезоскопическая теория течения полимерных сред и следствия для задачи формования полимерных пленок / И.В. Третьяков, А.А.

Рыбаков, В.В. Ярмолинская, Г.В. Пышнограй // Инновационные технологии.

Производство, экономика, образование: материалы всероссийской научнопрактической конференции, посвященной 50-летию БТИ. - Бийск: Изд-во Алт.

гос. техн. ун-та, 2009. - С. 31-34.

[Электронный ресурс] / А.А. Рыбаков, Г. В. Пышнограй // Электронный Физико-Технический Журнал – Барнаул: АлтГТУ, 2010. – Т.5. – С. 7-14 - Режим доступа: http://eftj.secna.ru/vol5/100502.pdf.

32. Pyshnogray G. The statistical mechanics of suspension nonlinear dumbbells and modeling of process of polymer film casting on its basis / I.

Pyshnogray, I. Tretijakov, G. Afonin // Book of abstracts of Annual European Rheology Conference «AERC 2010». – P. 123.

Третьяков И.В. Одномерное приближение в задаче о формировании полимерных пленок [Электронный ресурс] / И.Г. Пышнограй, Ю.Б. Трегубова // Наука и молодежь – 2010 VII: материалы всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. – Барнаул: АлтГТУ, 2010. – С. 89-93. - Режим доступа: http://edu.secna.ru/media/f/povt2010.pdf.

Третьяков И.В. Мезоскопический подход в механике растворов и расплавов линейных полимеров и описание некоторых одномерных течений / Г.Л. Афонин, Г.В. Пышнограй // Научный потенциал молодёжи – будущему России : материалы и доклады межрегиональной научо-практической конференции / Волгодонский ин-т сервиса (филиал). – Шахты: ЮРГУЭС, 2010.

– С. 26.

Афонин Г.Л. Статистическая механика суспензии нелинейных релаксаторов и моделирование процесса двухосного растяжения и охлаждения полимерных пленок на его основе / Г.В. Пышнограй, И.Г. Пышнограй, И.В.

Третьяков // Сборник тезисов пятой всероссийской Каргинской конференции «Полимеры-2010». – М: Издательство МГУ, 2010. – С. 211.