«Владыкин Сергей Николаевич ПОРТФЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И КРАТКОСРОЧНЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ НА ФРАКТАЛЬНОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ РФ специальность 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики Диссертация на ...»

4) Цены отражают комбинацию краткосрочного технического анализа и долгосрочной фундаментальной оценки.

Таким образом, в краткосрочной перспективе изменения цен будет более волатильно, чем в долгосрочной перспективе. Определенный тренд на рынке отражает изменения в ожидаемом доходе, базирующимся на изменении экономической ситуации. Краткосрочные тренды в большей краткосрочный тренд отражает долгосрочный экономический тренд.

5) Если риск не связан с экономическим циклом, то не будет существовать долгосрочных трендов. Торговля, ликвидность и информация для короткого инвестиционного горизонта будет доминировать.

Если рынок связан с экономическим ростом в долгосрочной перспективе, то риск будет снижаться постоянно, потому что экономический цикл доминирует. Экономический цикл менее волатилен чем торговая активность, который делает доход в долгосрочной перспективе менее волатильным.

Цель FMH создать модель поведения инвестора и движения рыночных цен, которая соответствует наблюдениям. Когда рынок стабилен, EMH и CAPM работают достаточно хорошо. Но как только наступает паника и обвал рынка, эти модели дают сбой. Это не является неожиданностью, так как приспособлены к нестабильным условиям. Нестабильность имеет место, когда рынок теряет свою фрактальную структуру и для всех участников инвестиционные горизонты становятся одинаковые.

На наш взгляд, одной из важнейших задач фундаментальной экономической науки является разработка моделей, максимально близко отражающих реалии современного мира. Если говорить более конкретно о моделях финансовых рынков, то можно заметить, что на данный момент не осталось ни одной классической модели, на которую бы еще не обрушивалась критика, и при этом нет какой-то единой новой модели, которая бы устранила недостатки прошлых моделей. Такая модель могла бы сыграть положительную роль для науки, экономики и финансовой системы, как мировой, так и любой национальной.

Подход к моделированию финансовых рынков, предложенный в данной работе, предполагает использование неоднородного, гетерогенного инвестора как инвестора, который устанавливает цены на рынке. То есть, он олицетворяет собой совокупность различных инвесторов, присутствующих на рынке. А индивидуальные инвесторы по-разному влияют на рынок.

Степень их влияния зависит от того, каким состоянием они обладают, как они относятся к риску, и какова их скорость реакции на внешние события и на рыночные колебания, а также как они оценивают будущие доходности финансовых инструментов, каков у них горизонт инвестирования.

Исследование Тверски (Tversky, [211]) говорит о том, что когда потери приемлемы, люди идут на риск: они больше похожи на азартных игроков, если эта игра не грозит обернуться большими потерями Таким образом, справедливо предположение Петерса [79], что люди не признают трендов и не реагируют на них до тех пор, пока эти тренды хорошо не установятся. Они не начинают экстраполировать явление в течение некоторого времени его развития. Затем они принимают решение, которое обусловлено накопленной, но до некоторого момента игнорируемой информацией. Такое поведение отличается от предполагаемых действий рационального инвестора, который немедленно использует новую информацию. Утверждение о том, что люди не признают обоснованной информации, если она не совпадает с их прогнозом, в большой мере соответствует человеческой природе, и это согласуется со взглядом Тверски, полагающим, что люди в своих собственных предсказаниях склонны быть слишком самоуверенными.

В связи с этим и возникает основной вопрос построения моделей построения портфеля инвестора – каким образом сформировать сам портфель и стратегию его управления, чтобы показатели и возможности инвестирования, характеризующие индивидуальных инвесторов, были оптимизированы соответственно показателям, характеризующим рынок, соответствовали кластерному характеру реакции различных групп инвесторов на рыночные реалии (в отличие от гипотезы мгновенной реакции рационального инвестора в теории эффективного рынка).

1.2 Фундаментальный и технический анализ финансовых рынков инструментов для анализа и прогнозирования финансовых активов: это фундаментальный, технический и количественный виды анализа [81].

Начиная с 1920-x и вплоть до середины 1970-х гг. в рыночном анализе доминировали фундаменталисты (последователи фундаментального анализа) и техники (последователи технического анализа). В 1950-е годы к ним добавилась третья группа – сторонников количественного стохастического анализа (последователи Башелье). Один из основателей фундаментального анализа Бенджамин Грехем был также и одним из первых пропагандистом количественного метода. Грехем утверждал, что, анализируя компанию, никогда не следует разговаривать с ее руководством, а сфокусироваться стоит исключительно на числах, так как руководство всегда может убедить аналитика в своей точке зрения.

С развитием компьютерных технологий чистый фундаментальный анализ начал сдавать свои позиции, технический анализ расширяться за счет количественный стохастический анализ окончательно отделился от фундаментального. Количественники стали покупать и продавать акции исключительно на основании количественного анализа, не обращая внимания на реальный бизнес компании или ее текущую рыночную стоимость (так, http://www.deshaw.com, используя сложные алгоритмы отыскания малейших приращений цен на рынке, порой отвечает за целых 50% объема торгов на Нью-йоркской фондовой бирже за день). Рассмотрим данные подходы более подробно.

основывается на изучении общих экономических условий, состояний отраслей экономики, положении отдельных компаний, чьи ценный бумаги обращаются на рынке. Фундаментальный анализ применяют в основном среднесрочные и долгосрочные инвесторы. Отличительной чертой фундаментального анализа является изучение сущности происходящих на рынке процессов, ориентация на установление глубинных причин изменения экономической ситуации путем выявления сложных взаимосвязей между различными явлениями.

В применении к анализу ценных бумаг можно выделить следующие уровни проведения фундаментального анализа [29].

Первый уровень - анализ состояния экономики в целом. Эта информация помогает выяснить, насколько общая ситуация благоприятна для инвестирования. Макроэкономическая ситуация имеет огромное значение, и неустойчивость на этом уровне может повлиять на ожидаемый доход даже по перспективным активам. К факторам влияющим на макроэкономическую обстановку относятся не только экономические, но и политические и социальные факторы.

макроэкономических индикаторов, воздействие которых оказывает ощутимое влияние на финансовые рынки Отметим, что для того, чтобы правильно понять смысл изменения экономических индикаторов и оценить их последствия, необходимо учитывать циклический характер экономики [62]. Одно и тоже значение экономического индикатора может иметь разный экономический смысл в зависимости от того, на какой стадии экономического цикла (рецессии, восстановления или подъема) оно наблюдается.

Второй уровень фундаментального анализа – отраслевой анализ. В результате проведения данного анализа инвестор выбирает отрасль, представляющую для него интерес. Ведь даже в условиях мощного экономического подъема инвестирование совсем не в любую отрасль может гарантировать прибыль и позволит избежать потерь.

Третий уровень фундаментального анализа – анализ компаний, в ходе которого изучаются финансово-хозяйственное положение компаний за несколько последних лет, эффективность управления, прогнозируются перспективы развития. Исследователь пытается оценить определить истинную, справедливую стоимость исследуемого актива. Сравнивая такую справедливую стоимость с текущей оценкой рынка (рыночной ценой), делается вывод о переоцененности или недооцененности товара.

Основоположниками такого "стоимостного" инвестирования считаются Бенджамин Грехем и Дэвид Додд.

Несмотря на то, что, фундаментальный анализ, является попыткой объективно отразить экономические условия функционирования компаний, отметим, что сама фундаментальная информация часто «нечеткая» и «размытая», и, как следствие, интерпретация такой информации зависит от субъективного мнения человека ее интерпретирующего. Кроме того, те, кто пользуются этим типом инвестирования, основывают свои решения на информации, которая, как правило, уже известна всем основным участникам рынка, а значит, информация может быть уже учтена в цене акций.

Тем не менее, на рынке можно заметить, что компании, имеющие фундаментальные преимущества, в долгосрочном плане имеют рост котировок акций, превосходящий среднерыночную динамику. Если же рынок «упал», то акции именно таких компаний падают медленнее, а при возобновлении роста быстрее остальных возвращаются к своей прежней стоимости. Эти причины указывают на полезность применения фундаментального анализа при оценке финансовых инструментов для долгосрочной работы стратегического инвестора.

Технический анализ. Исторически технический анализ имел два места рождения [90,100]. Более раннее – это феодальная Япония XVII века, где был разработан метод «Росоку но аси» или более просто - «японские свечи».

Здесь он применялся для прогноза цен на рисовой бирже. Позже, только в 80-х годах двадцатого века этот метод переживет свое возрождение благодаря С. Нисону, описавшему «японские свечи» в своей книге [76]. Для западного человека предпосылки появления технического анализа появились в 90-х годах XIX века с серии передовиц Чарльза Доу в "Уолл Стрит Джорнал". Принципы, изложенные Доу [74], пользовались им для анализа индексов. В настоящее время суть этих принципов может быть выражена тремя постулатами технического анализа:

1. Рыночная цена учитывает все. Суть этого утверждения состоит в том, что любые факторы (экономические, политические, психологические и т.д.) уже учтены рынком и включены в цену. Из аналогичного предположения исходит и теория эффективного рынка, где данное утверждение по отношению к этой теории будет подробно рассмотрено. Из первого постулата следует, что единственное, что требуется для прогнозирования – это анализ графика цены финансового актива. Но, как справедливо замечает Э.Найман [75], у этого утверждения есть спорные моменты. Так, существует естественное ограничение информативности и знаний, присущее как отдельному человеку, так и рыночному сообществу в целом. Кроме того, существует обратная связь между рынком и людьми, торгующими на нем.

Изменение цены оказывает прямое влияние на поведение трейдеров. Кроме того, существуют примеры того, как отдельные маркетмейкеры, используя свое знание о торговых системах, «двигают» рынком [90]. Поэтому данный постулат является лишь только неким вероятностным допущением и оценкой того, что большую часть информации рынок уже точно оценил.

2. Рынок подчиняется тенденциям. В общем случае под тенденцией понимается зависимость курса финансового актива от времени. Большинство методов технического анализа направлены на выявление тенденции и следование ей в течение всего времени существования последней. Второй постулат отражает тенденциозность, свойственную человеку и предполагает следующие следствия:

- действующий тренд, по всей вероятности, будет развиваться далее, нежели изменит направление;

- действующая тенденция будет развиваться до тех пор, пока не ослабнет.

Выделяют три типа трендов:

- «Бычий тренд» - продолжительное движение цены вверх. Определение "бычий" возникло по аналогии с быком, поднимающим вверх на своих рогах цену;

- «Медвежий тренд»- продолжительное движение цены вниз. Здесь аналогия в том, что медведь вставая на задние лапы, наваливается сверху, подминая передними лапами жертву под себя. «Медведи» своими действиями способствуют движению цены сверху-вниз;

- «Боковой тренд» - точней это даже и не тренд, а просто «боковое движение» без определенного направления, как бы «в бок». Еще такое движение называют «флэт». Это движение цены, являющееся самым сложным периодом для торговли, превалирует по времени (примерно занимает две трети от всего периода времени) и зачастую способствует разорению неопытных трейдеров. Отметим, что на определение тренда и направленно большинство методов технического анализа.

целесообразность распознавания паттернов (типичных графических позиций) на графике цены и является необходимым условием не только для технического, но и для статистического анализа. Фактически на этом основаны все экстраполяционные методики прогнозирования будущего.

повторяемость их реакций. Получается, что технический анализ является средством статистической оценки массовой человеческой психологии.

Справедливая критика этого постулата связана с тем, что массовое поведение на рынке основано не только на массовой психологии, но и на методах, которыми пользуется сообщество трейдеров, а эти методы в свою очередь достаточно быстро меняются и модифицируются, создаются новые. Тем самым многие паттерны и торговые стратегии перестают приносить доход по прошествии определенного промежутка времени.

Фигурами (или ценовыми моделями) в техническом анализе называются устойчивые комбинации пиков и впадин, появления которых позволяет с определенной долей вероятности предположить о дальнейшем ходе движения и ценовом ориентире этого хода. На сегодняшний день создано несколько тысяч индикаторов, расчеты которых унифицированы на базе похожих компьютерных алгоритмов. По значениям трендовых индикаторов и наклону кривых к оси времени можно судить о силе тренда и его невозможности спрогнозировать дальнейшее развитие рынка на их базе.

Все индикаторы трендового анализа хорошо работают в пределах устойчивого тренда и практически бесполезны во флэте. Как показывает практика [90], на рынке менее 30% времени господствует тенденция, а все остальное время – боковое движение, когда цены двигаются в пределах узкого диапазона. С целью охвата флэта и для успешного существования на нем, был разработан класс индикаторов, называемых осцилляторами. Как следствие, осцилляторы хорошо работают на боковом рынке и плохо во время тренда (подают много ложных сигналов).

В целом, любые индикаторы и осцилляторы являются ничем иным как цифровыми фильтрами, так как они изменяют частотный спектр сигнала в некотором направлении. И техническому аналитику приходится сталкиваться с серьезной проблемой нестационарности временных рядов, и, как следствие, возможностью, что оптимизированные технические инструменты, хорошо нестационарность приводит к тому, что спектр ценовых колебаний одного и того же рынка будет зависеть от времени его вычисления.

При сравнении пользы от фундаментального и технического анализа, отметим, что они различаются в двух ключевых моментах [75]: цели анализа и дальности взгляда. В фундаментальном анализе главной целью является определение истинной, справедливой стоимости исследуемого актива.

Сравнивая такую справедливую стоимость с текущей оценкой рынка (рыночной ценой), делается вывод о переоцененности или недооцененности актива.

В техническом анализе главной целью является исследование текущего состояния рынка, определение господствующей тенденции и ключевых ценовых уровней.

При сравнении целей технического и фундаментального анализа видно, что они учитывают в своей работе разные временные горизонты. Первый дает возможность спрогнозировать ближайшее будущее, второй же позволяет заглянуть в далекое. И только в сочетании этих двух взглядов аналитик пробует получить наиболее реальную картину будущего. Из-за разницы временных горизонтов фундаментальный анализ используется, в основном, инвесторам, рассчитывающими на реализацию долгосрочных стратегий, а технический анализ используется игроками, как правило, для краткосрочных и среднесрочных спекуляций.

В диссертации разработана портфельная стратегия инвестирования расчитанная на стратегических инвесторов и опирающаяся на выбор оптимального горизонта инвестирования и частоты реинвестирования, зависящие от степени склонности инвестора к риску и максимизирующая устойчивый темп роста рисковой части капитала.

В важном частном случае нейтральности инвестора к риску получается известная стратегия максимизации средней доходности Гарри Марковица.

В диссертации предлагается также векторный вариант теории CAPM, исследующий рынок ценных бумаг с позиций групп инвесторов с различными горизонтами инвестирования и числа реинвестирований в долгосрочном периоде рискованной части капитала.

Хорошо известно, что осуществлять удачный прогноз цен акций в любой момент времени невозможно, так как рынок в подавляющем большинстве случаев непредсказуем. Этот тезис является основой теории эффективного рынка. Поэтому, во второй части работы предлагается краткосрочная стратегия для спекулятивных игроков, основанная на выявленных устойчивых скрытых Марковских состояниях рынка, позволяющих с определенной вероятностью в некоторые моменты времени получать удовлетворительные краткосрочные прогнозы рыночной динамики.

1.3. Теория эффективных рынков «Математическая теория спекуляций» [122]., французского математика, представившего свои тезисы в отделение наук Парижской Академии марта 1900 г. для получения степени доктора математики. Его учителем был Пуанкаре, один из величайших математиков своего времени.

Основная идея работы состоит в том, что, выражаясь современным языком, вероятностные методы математической физики могут быть использованы для анализа динамики рыночных цен, если от самих цен активов перейти к их приращениям [58]. Л. Башелье [106, стр. 46] считал, что цены S ( ) = ( S k ) ) меняют свои значения в моменты времени t =, 2,…, (где - интервал времени) следующим образом:

где ( i ) - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значение ± с вероятностями. Предельным переходом по 0 получаем случайный процесс:

где характеристикой волатильности выступает 2 (дисперсия процесса), W (t ) - стандартный винеровский процесс, то есть случайный процесс с начальным значением W0 и с независимыми на непересекающихся определил вероятность ценовых изменений, записав уравнение, которое положение было переоткрыто Эйнштейном в его статье 1905 года о броуновском движении).

В случае наличия локального тренда модель Башелье имеет вид где µ - коэффициент дрейфа тренда.

То есть, в диссертации утверждалось, что рыночные цены являются случайным процессом со стационарными приращениями, что теперь принято называть броуновским движением, или виннеровским процессом (названного так в честь Н. Виннера, построившего данный процесс в 1927 году). Стоит отметить, современниками работа Башелье была проигнорирована и получила должное признание лишь спустя полвека.

различными авторами, начиная с 1950 годов., когда математики начали проявлять интерес к моделированию цен на фондовых рынках. Исходное предложение Башелье о гауссовском распределении ценовых изменений было скоро заменено моделью, в которой цены акций имели логнормальное распределение, т. е. следовали геометрическому броуновскому движению.

В 1953 году появилась работа М. Кенделла [159] с которой, можно характеристик. В то время среди торговцев на финансовом рынке бытовало мнение, что движение цены подвержено неким циклам и ритмам, и только благодаря выявлению этих закономерностей, и возможно движение цен.

М.Кенделл хотел изучить эту цикличность в поведении цен акций. Он проанализировал статистические данные цен по двум десяткам акций за период 10 лет с 1928 по 1938 гг. и так и не обнаружил ни ритмов, ни циклов, и более того, поведение цен выглядело так, как если бы «…демон Случая извлекал случайным образом число… и добавлял его к текущему значению для определения цены… в следующий момент». То есть [106, стр. 44], логарифмы цен S = S n ведут себя как случайное блуждание, и если где H n есть сумма независимых случайных величин h1,..., hn.

После работ М. Кенделла интерес к изучению динамики финансовых показателей резко увеличился, появлялось все больше работ, содержащих аргументы в пользу гипотезы случайного блуждания [180]. Особенно стоит логарифмическим или экономическим) где t 0, Wt - стандартное броуновское движение; St - цена акции, предложения.

Работы Самуэльсона устраняли недостаток модели Башелье, в которой цены активов могли принимать отрицательные значения.

Позже, в теории Блэка-Шоулса [126] расчетов стоимости опциона модель рыночных цен как броуновского движения была уже основной, какой она является и для более поздних исследований стохастической финансовой математики.

В результате исследований Башелье и теоретических построений, вытекающих из теорий общего экономического равновесия и теории рациональных ожиданий, появилась гипотеза эффективного рынка (Efficient Market Hypothesis – ЕМН). Работы, ставшие основой EMH, были собраны Кутнером [133,134] в его труде под названием «Случайный характер цен фондового рынка». В этой книге содержатся логические предпосылки того, что в 60-х годах было формализовано Фамэ как EMH. Говоря об эффективном рынке, Фамэ [146-147] имеет в виду его эффективность относительно имеющейся у участников рынка и относящейся к делу информации (то есть мы имеем дело не с операционной, а с информационной эффективностью рынка).

бесполезно тратить усилия по добыче и анализу любой информации для получения таких доходов. Этим утверждением они «выбили почву из под ног» у профессионального сообщества инвесторов, и не удивительно, что новость о бесполезности фундаментального и технического анализа для прогнозирования рынка это сообщество восприняло не очень дружелюбно.

Однозначное принятие гипотезы эффективного рынка сталкивается, однако, с рядом препятствий. Одно из наиболее известных среди них состоит в наличии аномалий финансового рынка: общепризнанных, но необъяснимых структур в рядах доходностей. Список наиболее часто встречаемых аномалий включает календарные эффекты, такие как “эффект января”, указывающий на более высокие доходности в течение первого месяца по отношению к другим месяцам года, и “эффект выходного дня”, согласно которому во второй половине дня в пятницу и в понедельник утром активы имеют тенденцию продаваться по несколько завышенной цене. Так, «январский эффект», который описывает избыточную доходность акций американских компаний в декабре-январе каждого года, можно объяснить поведением в период уплаты бонусов. Инвесторы, как правило, предпочитают не рисковать в последний месяц бюджетного года и до момента выплаты годового бонуса. Так, финансовый год инвестиционных фондов начинается в ноябре: в течение месяца управляющим фондами выплачивают бонусы за предыдущий год, а в середине декабря они начинают работать на бонус следующего года на фоне недостатка аппетита на риск у маркетмейкеров, чей бонусный период заканчивается в середине января. Вследствие неликвидности рынок акций растет на небольших объемах.

Говоря об искажениях рынка, связанных с мотивацией, необходимо особо отметить нелегальные практики, такие как коррупция и фальсификация отчетности. Но даже если исключить аномалии, компенсационных схем, следует обратить внимание на то, что, ожидая значительный приток денег от нерациональных источников, рациональные трейдеры часто вместо того чтобы противостоять им, объединяются с ними (momentum trading), желая заработать.

Арбитраж на рынках может быть лимитирован и в силу того, что рациональные трейдеры не могут откорректировать поведение менее опытных и менее рациональных (noise traders — от английского слова noise, означающего шум нерациональных трейдеров.

Другим примером неэффективности, влияющей на рынок в целом, является поведение фонд-менеджеров. Поскольку контракты на управление деньгами заключаются на год, менеджеры не заинтересованы в долгосрочных вложениях, опасаясь краткосрочной волатильности [206].

Можно также упомянуть “эффект размера”, в соответствии с которым небольшие предприятия часто обеспечивают более высокую доходность по отношению к крупным предприятиям. Существует также свидетельство наличия индикаторов недооцененности акций, таких как высокое отношение цена — доходность (Р/E) и дивидендный выход. Вопрос возможности использования этих аномалий для извлечения сверхнормальной прибыли остается открытым. Трансакционные издержки, а также синхронная попытка других инвесторов использовать те же аномалии, могут помешать достичь желаемого результата. Другой вызов гипотезе эффективного рынка проистекает из изучения психологии поведения, лежащей в основе решений инвесторов и использующих ее для объяснения таких феноменов, как избыточная и недостаточная реакция цен на новую информацию.

Многие исследования подтвердили, например, что такие неточные реакции участников рынка на информацию ведут к возникновению предсказуемости на рынке, что может привести к получению дополнительной доходности. Влияние психологии на рыночную эффективность является в настоящее время одним из направлений активных исследований на финансовом рынке.

Одним из наиболее признанных явлений является феномен толпы, указывающий на возможность длительных отклонений цены финансового актива от его фундаментальной стоимости в результате подражательного поведения экономических агентов. Кроме того, по наблюдению Петерса (1996), можно выделить еще один фактор, ведущий к неточной реакции цен на поступление новой информации, а именно излишнюю уверенность инвесторов в собственных субъективных оценках, которая не является полностью обоснованной имеющейся у них информацией. По этой причине участники рынка могут реагировать на новую информацию не немедленно (вследствие неготовности отказаться от своих предшествующих оценок), а с некоторым запозданием. Таким образом, в качестве альтернативы традиционному представлению, согласно которому все колебания цены актива связаны только с появлением новой неожиданной информации, предлагается подход, делающий упор на психологические особенности поведения участников рынка. В любом случае, очевидно, что традиционная теория финансовых рынков, как и любая экономическая модель, пытается упростить реальность. При этом важно, чтобы такого рода упрощения не препятствовали корректному восприятию картины реального мира в целом.

Представляется, однако, что в рассматриваемом случае искажения оказываются достаточно значительными. По меткому замечанию Бернстайна, “колоссальный объем торговли на сегодняшних рынках является важным индикатором того, что эффективность рынка в чистом виде нерелевантна реальному миру инвестиций”. Так, например рынок производных инструментов в десятки раз превышает рынок реальных инвестиционных вложений.

внутреннее противоречие. Для того чтобы прийти к этому заключению, необходимо сформулировать условия эффективности рынка. Рынки не становятся эффективными автоматически. Эффективность рынка возникает за счет действий инвесторов, осуществляющих торговлю и реализующих методы, направленные на попытку переиграть рынок. Можно перечислить следующие условия, необходимые для устранения неэффективности. Вопервых, неэффективность рынка должна обеспечивать основу для создания метода, позволяющего переиграть рынок и получить дополнительную доходность. Для этого нужно, чтобы актив, являющийся источником неэффективности, торговался, и трансакционные издержки реализации упомянутого выше метода были ниже прибыли, ожидаемой от его реализации. Во-вторых, должны существовать инвесторы, максимизирующие прибыль, которые обнаруживают потенциальную дополнительную доходность и оказываются в состоянии воспроизвести метод, обеспечивающий такую отдачу, а также имеют ресурсы, достаточные для того, чтобы участвовать в торговле данным активом вплоть до устранения неэффективности.

Таким образом, существует внутреннее противоречие, состоящее в утверждении, что возможность переиграть рынок отсутствует, с одной стороны, при одновременном требовании, чтобы инвесторы непрерывно искали пути переигрывания рынка и таким образом делали его эффективным, — с другой. Если бы рынки были эффективными, а инвесторы – рациональными, то инвесторы должны были бы прекратить поиск неэффективности, что привело бы к тому, что рынки вновь потеряли бы свою эффективность. Решение состоит в постулировании того, что агенты ведут себя так, как если бы рынки не были эффективными. Логичным кажется представлять эффективный рынок как самокорректирующийся механизм, где неэффективность периодически возникает, но и быстро исчезает, как только инвесторы ее обнаруживают и используют в торговле. Сейчас поиском признаков неэффективности (возможности арбитража) занимаются уже в большей степени не отдельные трейдеры, а многочисленные торговые роботы, ищущие малейшие арбитражные возможности на финансовых рынках всего мира.

Ранее мы уже упоминали о том, о работах посвященных попыткам определить, являются ли те или иные рынки эффективными, но, как было отмечено Э. Ло, “она обезоруживающе проста для постулирования, имеет далеко идущие последствия, как для академических исследований, так и для повседневной деловой практики, и в то же время она оказывается удивительно стойкой к попыткам как подтвердить, так и опровергнуть ее эмпирически”. Однако эта констатация не означает, что следует отказаться от любых попыток проверки гипотезы эффективного рынка, напротив, такая проверка является чрезвычайно интересным полем для деятельности всех исследователей в области финансовых рынков.

В течение последних десятилетий XX века теория эффективных рынков подверглась доработке для того, чтобы описать различные ситуации неэффективности. Была разработана общепринятая к настоящему времени система классификации рыночной эффективности, согласно которой насчитывается три формы эффективного состояния рынка, описываемых различными вариантами гипотезы рыночной эффективности в зависимости от вида используемой информации:

• слабая форма гипотезы предполагает использование информации полученной в результате исследования изменений цен, объемов торгов, и др.

в прошлые периоды. Тот факт, что в течение последних трех дней цена какой-либо акции возрастала, никак не поможет спрогнозировать ее завтрашнюю цену. Если на рынке имеется слабая форма EMH, то не имеет смысла заниматься техническим анализом.

• умеренная форма гипотезы предполагает использование всей доступной информация всем участникам рынка: официальная отчетность о финансово-производственном положении компании и перспективах компании, различные фундаментальные экономические индикаторы (значения процентных ставок, обменных курсов, данные ВВП и т.д.). При этом в процессе поиска дополнительной информации участниками рынка, последняя меняет свой статус с конфиденциальной (инсайдерской) на публичную и отражается в ценах.

возможная информация, относящаяся к делу, которая может быть известна (включая инсайдерскую информацию, известную только сотрудникам руководством компании). Сильная форма гипотезы, в отличие от умеренной формы, говорит о том, что рынки являются эффективными не только вследствие проводимого поиска и анализа информации, а вообще, по своей фундаментальной и объективной природе.

Наиболее приемлемой для сообщества инвесторов оказалась умеренная форма гипотезы. Эта форма не исключала полезность поиска информации и получение дополнительной прибыли в течение временного промежутка, когда и конфиденциальная информация постепенно становилась публичной и приводила к благоприятному для информированных заранее инвесторов поведению цены.

информированным», и, кроме того, он редко оперативно реагирует на поступление новой информации, относящейся к делу (что, как известно, в гипотезе эффективного рынка и является причиной изменения цен).

Благодаря этому, EMH привела к появлению и широкому распространению новых финансовых инструментов, зачастую отражающих пассивное управление капиталом, включая и так называемые «индексные фонды».

Оптимальной инвестиционной стратегией в условиях эффективного рынка оказывается стратегия «купи и держи». Специфика же работы индексных фондов и состоит в том, что выбирается определенный индекс акций (например, для американского рынка ценных бумаг, это может быть индекс DJI30 или S&P500 и др.), и средства клиентов диверсифицируются в пропорции близкой к пропорции распределения акций в соответствующем индексе.

Ниже, в соответствующем разделе диссертации, мы покажем, что стратегия «купи и держи» при наличии финансовых резервов не является оптимальной.

1.4. Статистические законы на фондовом рынке В данном параграфе рассматривается теория статистических законов фондового рынка охватывающая распределение доходностей инструментов, объемов торговли и числа совершаемых сделок. Появление этой теории было мотивировано многочисленными эмпирическими подтверждениями о степенном характере законов распределения доходностей инструментов, объемов торговли, числа и размеров совершаемых сделок на различных рынках.

Приведем пример, который показывает, что распределения доходностей значительно отличаются от классических распределений (нормального, принятого за эталон в теории эффективного рынка и распределения Коши, рассматривавшегося на первых порах как альтернатива нормальному). Приведем график нормализованного (в отклонениях ) распределения доходности индекса SP-500 за период 1996-2003 гг и соответствующие графики нормального и Коши распределений построенные по эмпирическим данным Рис. 1. Графики эмпирического, нормального и Коши распределений построенные по данным доходностей индекса SP-500 за период 1996гг.[203] 1. Степенные распределения доходностей. Пусть Pt обозначает цену акции или величину индекса рынка. Определим доходность на временном интервале t как rt = ln(Pt/Ptt). Эмпирические исследования1,) показывают, f ( x )dx для акций 1000 крупнейших компаний США и нескольких индексов основных международных финансовых рынков имеет порядок убывания r 3. Тот же результат справедлив для положительных и отрицательных доходностей в отдельности.

Рис. 2. Распределение доходности индекса SP500 ([ Рис.3.Распределение положительных и отрицательных приращений индекса NYSE, NASDAQ, AMEX [69] Gopikrishnan, Parameswaran, Vasiliki Plerou, Luis Amaral, MartinMeyer, and H. Eugene Stanley, “Scaling of the Distribution of Fluctuations of Financial Market Indices,” Physical Review E, LX (1999), 5305-5316.

На рис. 3 анализировались также базы данных трех главных американских бирж: Нью-Йоркской Фондовой биржи (NYSE), Американской Фондовой биржи (AMEX), и Национальной Ассоциации Дилеров Ценных бумаг с Автоматизированым Предложением (NASDAQ) за полный двухгодичный период с января 1994 по декабрь 1995: всего примерно 40 млн. записей курсов акций [69].

Имеются достаточно плотные по времени данные по фондовым индексам (РТС), а также по курсам акций – голубых фишек (на ММВБ) Рис. 4. Распределение доходностей акций Сбербанка и Норникеля После масштабирования по величине флуктуации все распределения доходностей становятся похожими. Все распределений укладываются в диапазон от x 2.16 для положительных 15-мин. доходностей до x 3.33 для отрицательных 1-мин доходностей. Однако при больших временных промежутках t можно отметить приближение распределения к гауссовому Рис. 5. Куммулятивное распределение доходности на бирже РТС (ось х – нормализованная доходность Сплошная кривая отвечающая гауссовому распределению доходности практически совпадает с распределением месячных доходностей. В целом эмпирические результаты по распределению доходности на финансовых рынках при достаточно больших значениях x характеризуется кубическим законом убывания вероятности распределения 2.Эмпирический закон распределения объемов торговых сделок имеет вид:

Эти результаты были получены (Gopikrishman и др.)3 и по данным французского рынка Напомним, что, введенные шведским математиком Миттаг-Леффлером, символы, и ~, которые мы используем в диссертации, означают соответственно равенство в асимптотике, приближенное равенство и равенство в асимптотике с точностью до константы.Выражение f (x) g (x) означает что f (x) /g (x) стремится к некоторой положительной постоянной (не обязательно к единице) при x.

Gopikrishnan, Parameswaran, Vasiliki Plerou, Xavier Gabaix, and H. Eugene Stanley, “Statistical Properties of Share Volume Traded in Financial Markets,” Physical Review E, LXII (2000), R4493-R4496.

Plerou, Vasiliki, Parameswaran Gopikrishnan, Xavier Gabaix, and H. Eugene Stanley, “Quantifying Stock Price Response to Demand Fluctuations,” Physical Review E, LXVI (2002), 027104.

плотности объемов сделок со степенью убывания x 2,5, что согласуется с формулой (1.6).

Рис.6. Плотность вероятности объема индивидуальных сделок размера qдля акций 30 крупнейших компаний на Парижской бирже с января 1995 по октябрь 1999. Рассчитано по 35 миллионам операций. Метод наименьших квадратов дает плотность распределения q (1+ m) для m=1,5 ± 0,1. Источник (Plerou и др. 2002) 3. Эмпирический закон распределения числа n сделок на финансовом рынке может быть также представлен степенным законом распределения 4.Существует весьма тесная связь между изменением цены p и ростом соотношением:

5. Наконец, число крупных инвесторов на рынке (например, число хеджевых и паевых фондов) подчиняется закону Ципфа. Пусть S –величина капитала под управлением фонда. Тогда вероятность того, что фонд управляет капиталом величиной x и более подчиняется закону:

Классическая теория рынка, например, теория CAPM оценивает доходность с позиции оценки индивидуального и общерыночного риска. В работе (Plerou и др. 2004)5 предлагается теория объясняющая сильные движения рынка поведением крупных инвесторов. С позиции этой теории правдоподобно объясняется, например, как следует закон (1.6) для рыночных объемов сделок и закон распределения доходности (1.5) из закона (1.8) описывающего влияние больших объемов сделок на изменения цены инструмента.

Когда крупные инвесторы хотят за разумное время купить или продать крупные объемы акций, на рынке формируется направленное сильное движение, тренд. Неторопливая торговля приводит к более слабым движениям рынка. Но при этом могут быть нежелательные последствия в части потери доходности из-за информационных утечек.

Приведем набросок рассуждений для доказательства кубического закона распределения доходности. Пусть формула (1.8 ) имеет вид Так как доходность крупным сделкам в заданном интервале, u - влияние других факторов рынка.

Предполагая в простейшем случае независимость всех слагаемых и предполагающих, что сумма устойчивых законов снова образует случайную Plerou, Vasiliki, Parameswaran Gopikrishnan, Xavier Gabaix, and H. Eugene Stanley, “On the Origins of Power-Law Fluctuations in Stock Prices,” Quantitative Finance, IV (2004), C11— C15.

доказательства кубического закона распределения доходности при крупных объемах торговли.

предположение, что для крупных игроков с большими объемами торговли справедливо соотношение (1.8). Попытаемся вывести данную формулу Предположим, при отсутствии дрейфа µ T в изменении цены актива инвестор. который хочет продать или купить актив объема V, должен будет рассчитывать на линейную реакцию рынка за время T:

где m - количество торгуемых активов в каждый момент времени, которое считается постоянным, и зависит от степени ликвидности рынка, P -цена актива. M = mPT - некоторая рыночная константа для данного времени T.

Тогда, имеем Далее, предполагая отрезок времени T достаточно большим, и наличие дрейфа цен в виде слагаемого µ T, доходность от купли –продажи крупного рационального трейдера, торгующего в соответствии с существующим трендом (дрейфом), и влияющего на рынок в виде ценовой реакции p противоположной направлению сделки, можно записать в виде Так как крупный трейдер выберет промежуток времени T для проведения своих операций, чтобы максимизировать доходность B, то Что и требовалось доказать.

Приведем в качестве примера график зависимости абсолютных приращений дневных цен акций компании Лукойл от объемов торгов (при достаточно больших приращениях цены >10 и объемах >800) за период 12.11.2001 -12.11.2009. Полученное уравнение p = 0,66 * V 0,47 достаточно хорошо отражает теоретическое соотношение (1.11).

Рис.7. График зависимости y = 0,659 * x 0,479 приращений дневных цен от объемов продаж для акций Лукойла с 2001 по 2009 год при больших объемах и ценовых приращениях.

Следующую теорему приведем без доказательства.

Теорема. Предположим, что выполнены следующие предположения:

1.Размер (количество средств находящее в распоряжении) больших распределения) с показателем ;

2. Большие объемы сделок V на рынке и изменение вследствие этого цен инструмента связаны зависимостью p ~ V ;

3.Крупные участники рынка торгуют объемами, находящимися в степенной зависимости от количества средств находящихся под их управлением V = S для некоторого > 0 ;

4. Частота сделок и величина транзакционных издержек предполагаются постоянными величинами:

Тогда доходность r и объемы Q сделок подчинены степенным законам распределения вида:

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы при дополнительных условиях: =1 и =0,5. Тогда Итак, кажется уже не остается сомнений, что статические законы на финансовых рынках – степенные. Однако, в 2001 году B.Le Baron показал, что распределения доходностей, которые на вид кажутся степенными, могут быть порождены смесью нормальных законов распределения, заданных на различных временных шкалах [164]. В этой работе предполагалось, что дневные доходности удовлетворяют соотношению:

где (t ) - независимая нормально распределенная переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Далее функция является суммой трех случайных процессов на различных временных шкалах. Процесс y1 (t ) - это AR(1) – процесс вида где 1 = 0:999 и 1 (t ) независимая гауссова переменная, подобранная таким образом, чтобы дисперсия y1 (t ) была равна 1. В то время как AR(1) – процесс экспоненциально убывающий, подобранное значение 1 (t ) имеет полупериод убывания до нуля примерно 2,7 года. Аналогично, где 2 (t ) такой процесс, что дисперсия y2 (t ) равна 1, в то время как 2 =0: и y2 (t ) имеет полупериод убывания до нуля примерно 2,5 недели. Наконец, независимая нормально распределенная переменная с нулевым y3 (t ) средним и единичной дисперсией представляющей однодневные всплески волатильности.

Нормализованное правило для коэффициентов модели было выбрано в виде данные, которые представляли собой значения индекса Доу за период с по 2000 годы.

Был получен удивительный результат. Оказалось, что расчетная переменная x(t ) модели подчиняется степенному закону распределения с параметрами степени от 2.98 до 3.33 при агрегировании данных на промежутках от одного дня до двадцати дней.

Рассматриваемая проблема тесно связана с мультифрактальным анализом временных шкал временного ряда. Мультфрактальность временного ряда проявляется прежде всего в отсутствии самоподобия на различных временных шкалах, то есть в непостоянстве характеристик случайного процесса на разных временных интервалах. Например, изменяются такие характеристики ряда, как показатели Гельдера, постоянная Херста, показатель степени закона распределения, индекс фрактальности и др. Кроме того, можно считать ряд мультифрактальным, если указанные выше характеристики изменяются в широком диапазоне на различных временных участках ряда. Это означает, изменение во времени состояний в которых находятся финансовые рынки и соответственно степень их прогнозируемости. Примеры мультифрактальности были найдены в ряде мультифрактальных финансовых рядов является одним из «горячих»

направлений исследований в области финансовой эконофизики.

Однако в экономической литературе есть ряды, которые можно признать монофрактальными. То есть их фрактальные характеристики остаются стабильными на протяжении долгого времени. К таким рядам относятся ряды урожайностей сельскохозяйственных культур [112] и погодные фьючерсы на Чикагской бирже CME.

ГЛАВА ТЕОРИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ

ПОРТФЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ

В дальнейшем этот подход получил развитие в работах Дж. Тобина, У.

Шарпа и др. Меры оценки ожидаемой доходности финансовых активов инвестором выбираются индивидуально, наиболее же известные: метод капитализации доходов, модели нулевого, постоянного или переменного роста, метод, основанный на соотношении «цена-доход» и др.

В рамках данной теории [72] предполагается, что инвестор стремится максимизировать ожидаемую доходность портфеля при заданном уровне риска либо минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности при помощи диверсификации своих вложений. Риск в модели оценивается стандартным отклонением требует нормального распределения прибылей), и чем оно больше, тем рискованнее вложение в данный портфель.

Для демонстрации этого подхода, называемого «риск-доходность», применяемого для выбора наиболее желаемого портфеля из n инструментов со случайными доходностями ri и с долями xi, i=1,…,n участия i-ого инструмента в капитале портфеля, используются так называемые кривые безразличия. Кривые безразличия – это линии описывающие отношение инвестора к риску и доходности, представляющие собой двухмерный график, где по одной оси откладывается риск (мерой которого является стандартное отклонение P портфеля), по другой оси вознаграждение µ p (мерой которого является средняя ожидаемая доходность портфеля). Каждая кривая представляет собой множество равноценных портфелей соответствующих приемлемому для инвестора уровню риска и доходности.

Рис. 8. График кривых безразличия инвестора Имеются следующие предположения относительно предпочтений инвестора [104]:

1. Предположение о «ненасыщаемости инвестора». То есть инвестор делающий выбор между двумя идентичными во всем, кроме ожидаемой доходности, портфелями, выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.

2. Предположение об избегании риска инвестором. То есть при выборе между двумя идентичными во всем, кроме риска, портфелями, инвестор выберет портфель с меньшим риском.

Данные предположения выражаются в том, что кривые безразличия имеют положительный наклон и выпуклы вниз.

Таким образом, инвесторы с кривыми безразличия, изображенными на рис. 8, портфели A и B будут считать равноценными. Портфель D, имеет большее стандартное отклонение, чем портфель A при почти той же самой ожидаемой доходности и потому является менее привлекательным. В случае избегания риска, портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей привлекательным портфелем. Таковым, в нашем примере, оказывается портфель C.

достижением заданной доходности µ p с минимальным риском называется задачей Марковица и имеет следующий вид (данная математическая формализация предложена Дж. Тобином):

Выражение:

является условием нормировки искомых переменных.

оптимальную структуру портфеля среди всех возможных портфелей с ожидаемой доходностью µ p и - матрицей ковариаций доходностей ri портфеля. Отметим, что аналитически эта задача минимизации непрерывной неопределенных множителей Лагранжа [68, 71].

Множество всех портфелей, которое можно сформировать из N ценных бумаг, называется достижимым множеством (см. рис. 9).

Портфели, являющиеся оптимальными в смысле данной задачи, Г.

Марковец называет эффективными (другое название – оптимальными) портфелями. Эффективные портфели формируют эффективное множество портфелей. На рис. 9 такое множество формирует фронт эффективных портфелей – множество между точками E и S, лежащие на верхней и левой границах достижимого множества.

Какой же портфель из этого бесконечного множества выберет инвестор? Что бы ответить на этот вопрос, необходимо на множество эффективных портфелей наложить кривые безразличия конкретного инвестора (рис. 10). Среди множества портфелей, оптимальные для инвестора те, в которых происходит пересечение кривых безразличий и фронта эффективных портфелей. На рис. 10 такими являются портфели A, C, и D. Самым эффективным среди них является портфель C, поскольку он лежит на кривой, что выше и левее, кривой, на которой находятся портфели A и D.

Рис. 9. Достижимое и эффективное множество портфелей Рис. 10. Выбор оптимального портфеля с учетом кривых безразличия Позже работа Марковица была дополнена исследованиями Д. Тобина [209], который включил в теорию об оптимальной структуре портфеля проблему распределения капитала между рисковыми и безрисковыми долями. Портфель, сформированный не только из рискового актива, но и безрискового, называется комбинированным. Его структура задается следующим выражением:

где X = ( x1, x2,..., x N )T - вектор, определяющий структуру рисковой части портфеля инвестора; x0 - доля безрисковых вложений.

Cтруктура оптимального в смысле «риск-доходность» портфеля будет являться решением задачи, известной как задача Тобина:

где R0 - ставка доходности безрискового актива за один период владения; µ P - ожидаемая доходность портфеля.

Рис. 11. Множество оптимальных комбинированных портфелей Портфель в точке пересечений линий R0T безрискового актива и фронта эффективных портфелей называется T-портфелем. Этот портфель включает только рисковые активы, что означает, что он принадлежит множеству оптимальных портфелей, а его координаты ( µT, T ) являются общими и для множества оптимальных комбинированных портфелей и для фронта эффективных рисковых портфелей. Тобин доказал, что оптимальная структура рискового портфеля единственная, причем не зависящая от склонности инвестора к риску.

Инвестор, который хочет часть капитала сохранить в безрисковых инструментах выбирает оптимальный портфель на прямой R0T. Чем больше доля безрисковых инструментов в портфеле, тем ближе к точке R выбирается оптимальная структура портфеля.

2.2. Портфельный анализ с учетом инвестиционного горизонта Как было показано выше построение классического портфеля Тобина– Марковица сводится либо к максимизации арифметической средней доходности портфеля (выборочного математического ожидания портфеля, включая безрисковые инструменты) и ограниченности дисперсии портфеля, либо – к минимизации дисперсии портфеля при заданном уровне средней (арифметической) доходности. Инвестор, использующий портфель с такими характеристиками, предполагает, что он будет составлять однопериодные портфели на одну и ту же сумму средств (балансировать портфель с постоянными оптимальными долями инструментов и с постоянным капиталом вначале периода) в течение многих периодов, а число прогнозных будущих периодов определяется числом предыдущих периодов, по которым вычислялась средняя доходность. При такой постановке - главное предположение – это вера в то, что числовые характеристики портфеля средняя доходность и дисперсия остаются постоянными на всем прогнозном периоде инвестирования. Мы не подвергаем в данной работе сомнению этот постулат теории Тобина-Марковица.

Но даже в традиционной постановке, к сожалению, портфель с положительной средней доходностью может быть убыточен для долгосрочного инвестора. Приведем простой пример. Пусть долгосрочный первый инвестор вкладывает единицу капитала в портфель Тобина– Марковица на два периода, а второй краткосрочный инвестор вкладывает в каждом периоде в портфель Тобина–Марковица единицу капитала сроком на один период. Предположим, что в первом периоде потери портфеля составили 50% капитала, а во втором периоде доходность портфеля составила 70% вложенных средств. Тогда в результате потери первого инвестора за два периода составили 1- 0,5*1,7=0,15, то есть 15% первоначального капитала, а прибыль второго инвестора (0,5+1,7)- 2=0,2, то есть 10% от вложенного за два года капитала.

Таким образом, максимизация арифметической средней доходности в долгосрочном периоде, состоящем из N краткосрочных периодов, не означает, что построенный портфель при любой схеме управления капиталом портфеля даст наибольший рост капитала за тот же период. Наибольший прирост капитала за N периодов без ребалансировки обеспечит портфель с максимальным средним геометрическим темпом прироста, то есть портфель для которого где d i доходность портфеля в i-ом периоде (положительная или отрицательная) измеренная в долях капитала в конце (i-1) -ого периода;

(1 + d i ) - окупаемость портфеля за i-ый период.

Следовательно, максимизация средней арифметической доходности в портфеле Марковица-Тобина: во-первых дезориентирует наивного инвестора, ожидающего в каждом периоде средний рост капитала соответствующего средней доходности; во-вторых, долгосрочный инвестор, рефинансирующий весь капитал портфеля, использующий портфель соответствии с выделенными на каждый инструмент долями) портфеля в каждом периоде, строит (на исторических данных) портфель не с максимально растущим приростом капитала, а с ростом капитала меньше максимального, так как для портфеля Марковица-Тобина не выполнено условие (1).

Далее, очевидно, что устойчивость роста капитала портфеля с учетом реинвестирования, связана не с разбросом доходностей вокруг среднего значения, а с отклонением TP - среднего темпа прироста капитала за долгосрочный период от показателя, совпадающего с темпом прироста в случае постоянного роста капитала в каждом периоде (также как для случая постоянного инвестированного капитала в каждом периоде, абсолютно устойчив портфель с нулевой дисперсией, когда все значения совпадают со средним). Так как для портфеля с постоянным темпом прироста капитала выражение (1) совпадает со средней доходностью (среднее арифметическое совпадает со средним геометрическим), то колеблемость портфеля V можно определить как отношение Очевидно, что колеблемость V 0, в силу соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим конечного набора положительных чисел.

Приведем, в качестве примера, три графика отражающих зависимость колеблемости от длины N последовательности цепных индексов для положительной последовательности чисел.

Рис. 12. Колеблемость ряда цепных индексов функции f ( n ) = n sin(n ).

Финансовая электронная библиотека www.mirkin.ru Рис. 13. Колеблемость ряда цепных индексов функции значений плотности в точке n нормального распределения с математическим ожиданием n и средним квадратическим отклонением 0,2n.

Рис.14. Колеблемость ряда цепных индексов пятиминутных значений фьючерса на индекс РТС в 2007 году 2.3 Портфели с оптимальным темпом роста капитала Сформулируем теперь оптимизационную задачу построения портфеля с оптимальным темпом роста капитала.

предназначаемых для использования в портфеле. Предположим, что имеется информация по N наблюдениям (обучающей выборке для построения портфеля с оптимальным темпом роста). Обозначим цену i-ого инструмента в j-ый период за d ij. Тогда окупаемость (темп роста цены) i-ого инструмента в j-ый период равна инвестора. Тогда задача нахождения оптимального портфеля с параметрами л i, i = 1,2..., k состоит в максимизации темпа роста портфеля за исторический период, состоящий из N наблюдений при фиксированном уровне риска портфеля – отклонения среднего темпа роста капитала за один период (среднего геометрического доходностей за N периодов) от арифметической средней доходности записывается в виде:

Если портфель финансовых инструментов не предполагает «коротких продаж», то есть игру на понижение темпа роста инструмента, то к условиям (2.10) добавляется условие (2.11) Итак, краткосрочный портфельный инвестор, входящий в рынок, например, ежедневно с определенной фиксированной суммой денежных средств и закрывающий свои позиции в конце рабочего дня, может руководствоваться моделью Тобина-Марковица для средней дневной доходности портфеля, а долгосрочный инвестор, в конце дня проводящий только ребалансирование портфеля, без изменения величины накопленного капитала в течение года, может ориентироваться на портфель (4)-(5) с максимальным дневным темпом роста (средней геометрической дневных доходностей).

Для теории управления капиталом это означает, что инвестор реинвестирующий весь капитал полученный в прошлом периоде и в каждом периоде проводящий ребалансировку портфеля, придерживается стратегии портфеля с оптимальным геометрическим темпом роста, а инвестор инвестирующий в каждом периоде фиксированную сумму капитала с учетом ребалансировки, использует модель Тобина –Марковица.

К сожалению, построение портфеля с оптимальным темпом роста сводится к решению задачи нелинейного программирования, а не квадратичного программирования, как задача построения портфеля Тобина – Марковица. Но современные программные средства, например, пакетов МATLAB или МATCAD позволяют преодолеть вычислительные сложности Применение приближенных методов поиска решения задачи, таких как генетические алгоритмы или метод направленного поиска (Direct Search) реализованные, например, в пакете МATLAB. В диссертации для решения данной задачи впервые используется метод стохастического лучевого поиска использовался при нахождении коэффициентов нейросетей).

В отличие от портфеля Марковица, где колеблемость портфеля вычисляется через дисперсию, учитывающую только парные взаимодействия между инструментами, в задаче (2.10)-(2.11) в определении колеблемости появляется возможность учесть и вероятности катастрофических событий, возникающих при неблагоприятном сочетании нескольких факторов.

Как и в модели Тобина, один из финансовых инструментов может предполагаться безрисковым, а темп роста этого инструмента будет в данном случае постоянным в течение всех N периодов. Если предположить, что одним из инструментов, скажем, x1 являются денежные резервы портфеля с долей л1, а вторым инструментом x2 с долей л2 является участие инвестора в некотором рискованном инвестиционном проекте, то решение задачи (4) сводится к определению оптимальной доли участия инвестора в рискованном проекте для получения максимального темпа роста капитала инвестора за N периодов с учетом степени рискованности стратегии (2.10). Похожая задача нахождения оптимальной доли участия капитала в проекте (оптимального f) рассматривалась в работах Ральфа Винса [19], однако в этих работах оптимальная доля инвестирования связывалась с максимальными потерями допускаемыми инвестором в процессе инвестирования, и не проводился выбор инвестором уровня колеблемости капитала.

Графический анализ оптимальных портфелей (2.10)-(2.11) приведен на рисунке 4.

Рис.15. Область треугольника QбезрAВ – возможные портфели с участием безрисковой компоненты. Выделенная часть границы треугольника – паретовское множество оптимальных портфелей.

2.4. Портфели с оптимальным горизонтом инвестирования и транзакционные издержки Наконец, рассмотрим поведение инвестора с промежуточным горизонтом инвестирования капитала. Предположим, что общее число рассматриваемых периодов равно N, но горизонт реинвестирования капитала для инвестора равен m периодам. Для простоты изложения будем считать, что n = N / m целое число.

Тогда задача максимизации темпа роста постоянного портфеля за все N периодов инвестора с промежуточным горизонтом инвестирования сводится к максимизации выражения при условии то есть максимизации дохода приходящегося на один элементарный период, при колеблемости не более заданной постоянной величины и неизменных i, i=1,…n..

Для m = 1 ( n = N ) задача (2.13)-(2.14) превращается в классическую модель нахождения оптимального портфеля Тобина – Марковица.

На практике построение портфеля с промежуточным горизонтом инвестирования обычно состоит не только в ребалансировке и к фиксации постоянной стоимости портфеля, но и в обновлении коэффициентов модели л i, i = 1,2..., k на каждом из n промежуточных этапов построения модели.

При такой постановке нахождение оптимальных параметров портфеля в задаче (2.13)-(2.14) в первые n 1 периодов не имеет практического смысла, и мы возвращаемся к задаче (2.10)-(2.11) нахождения портфеля с оптимальным темпом роста на предыдущем n -ом периоде длины m.

Однако, в данном случае, может быть поставлена содержательная задача оптимального выбора горизонта инвестирования длины m.

Задача формулируется следующим образом: найти число n интервалов инвестирования в портфель с обновляющимися (или, в частном случае, постоянными) параметрами л i, i = 1,2..., k, для которого максимален рост капитала на элементарный период, который рассчитывается по формуле (2.13) при выполнении условия устойчивости роста, формула (2.14).

Решением задачи является оптимальный интервал инвестирования m опт = N / n опт портфеля. Оптимальный интервал инвестирования можно инструментов, отраслевых индексов и рыночного индекса в целом.

Для практического применения представленных выше алгоритмов переформированию портфеля в конце каждого атомарного периода и каждого периода длины m. Эти издержки прямо пропорциональны числу периодов N, числу подпериодов n и состоят из биржевых сборов, вознаграждения брокера и издержек выхода из рынка и входа в рынок, входящего в портфель.

Так как в числителе формулы (2.13) полный доход за все время инвестирования, то, обозначив общий размер транзакционных издержек переменной P, получим следующую формулу для расчета темпа роста капитала за элементарный период относительных единицах, то есть вычисляется как где PA — общая величина транзакционных издержек, выраженная в деньгах, а Y - денежная стоимость единицы капитала, по сути, равна изначальному размеру размещаемого капитала.

Порядок расчета транзакционных издержек специфичен для каждого брокера, поэтому единой методики их определения не существует. Тем не менее, наиболее простыми и распространенными подходами являются либо фиксированная стоимость обслуживания за период времени при отсутствии комиссии на торговые операции, либо некая комиссия на торговые операции в виде определенного процента от объема каждой сделки.

определяться как где P1A - денежная стоимость одного элементарного периода.

Во втором случае величина транзакционных издержек рассчитывается по формуле где p — это доля от объема сделки, удерживаемая брокером, y – начало подпериода длиной m для текущего атомарного периода s.

необходимо учесть издержки на изначальное размещение денег (первое слагаемое, равное единице). Далее в каждом периоде длиной m кроме изначального значения вне зависимости от знака дохода за этот период (второе слагаемое). Также необходимо учесть балансирование портфеля в инструментов и соответственно нарушением пропорций портфеля (третье слагаемое). В последнем периоде необходимо вывести итоговую сумму обратно в деньги (четвертое слагаемое).

Так же зачастую используется комбинированная схема, когда присутствуют и постоянные издержки, и зависимые от объема торговых операций. В этом случае общие издержки считаются как 2.5. Расчеты оптимальных портфелей на российском фондовом рынке Рассмотрим результаты описанных выше расчетов для некоторых инструментов фондовой секции ММВБ. Определим оптимальные периоды инвестирования в обыкновенные акции российских эмитентов. В расчете принимали участие последние 240 торговых дней 2007 года, то есть практически полный торговый год. Для расчета коэффициента величина безрисковой ставки бралась равной 5%, для расчета транзакционных издержек величина брокерской комиссии принималась равной 0,08% от объема сделки (тарифы ЗАО «ВТБ24» на 20.01.2009 г.). В таблицах 1 и приведены соответственно наилучшие и наихудшие длины периодов инвестирования.

Наилучшие длины периодов инвестирования для инструментов Российского фондового рынка Ростелеком 240 1 0.00195322 0.00197660 0.46877350 0. НК Роснефть 1 240 0.00006622 0.00400259 0.01589311 0. Норникель 240 1 0.00220628 0.00202523 0.52950631 0. Наихудшие длины периодов инвестирования для инструментов Российского фондового рынка Ростелеком 10 24 0.00168144 0.002267 0.40354610 0. НК Роснефть 240 1 -0.00005673 0.001590 -0.01361494 0. Норильский 48 5 0.00192709 0.0019715 0.46250261 0. никель Как видно из таблицы 2, 240 дней является оптимальной длиной периода инвестирования в акции кампании «Ростелеком». Так как в данном расчете 240 дней — это максимальная длина периода, то имеет смысл рассматривать и более длительные периоды. По доходности инструмент превосходит рынок почти в два раза, тогда как колеблемость незначительно больше.

Для акций кампании «Аэрофлот» можно сделать вывод, что длина периода инвестирования в 30 дней является наиболее оптимальной.

Инструмент является более доходным по сравнению с рынком в целом, но его колеблемость превышает рыночную в два раза.

Результаты расчетов для акций НК «Роснефть» показывают, что данный инструмент во всех случаях является менее доходным, чем безрисковый актив, при колеблемости больше рыночной, а при длительных периодах инвестирования и вовсе становится убыточным.

Акции кампании «Газпром» даже при оптимальной длине периода инвестирования в 12 дней являются менее доходными, чем рынок в целом, при более высокой колеблемости.

инструментом при горизонте инвестирования в 240 дней, доходность превышает рыночную больше чем в 2 раза, колеблемость тоже значительно высокорисковым инструментам.

Расчеты по акциям кампании «Лукойл» показывают, что доходность этого инструмента была меньше, чем доходность безрискового актива на любых инвестиционных горизонтах.

Приведем пример расчета оптимального портфеля для инструментов стохастического лучевого поиска с эмуляцией «отжига».

В расчете принимали участие обыкновенные акции следующих эмитентов: Аэрофлот, Северсталь, Газпром, Норильский Никель, Лукойл, МТС, Полюс Золото, Роснефть, Ростелеком, Сургутнефтегаз. В таблице приведены результаты расчетов оптимального портфеля за первые 24 недели следующих 24 неделях. В данном случае колеблемость ограничивается сверху значением 0,0003, а доходность максимизируется, атомарный период – одна неделя.

Оптимальный портфель для акций ММВБ ния(недель) Следует отметить, что результаты в таблице 3 получены без учета транзакционных издержек, которые в значительной степени зависят от периода реинвестирования.

2.6. Обобщенные портфели из квазипортфелей с различными периодами реинвестирования возможности для восстановления капитала портфеля, то есть максимально уклоняющегося от риска (стратегия «купил и держи») предлаоженный выше новый двупараметрический критерий заключается в максимизации темпа роста доходности портфеля (а не максимизации средней доходности), а устойчивость измеряется при помощи расхождения между средней арифметической доходностью и средней геометрической доходностью (средним темпом роста капитала).

Как видно, в данном подходе портфель заранее не предполагается самофинансируемым, так как необходимое количество свободных средств лежащих на безрисковой ставке регулируется не объемом, а числом возможных рефинансирований портфеля и графиком вывода капитала из портфеля, предусмотренного стратегией.

Степень уклонения рационального инвестора от риска на финансовом рынке зависит от величины капитала подверженного риску и от процентного соотношения возможных доходов к возможным убыткам.

Из сказанного выше вытекает, что величина риска зависит от величины свободных средств находящихся в распоряжении инвестора и возможностью восстанавливать капитал портфеля в случае неблагоприятного стечения обстоятельств, что согласуется с трактовкой приемлемого риска как обладание некоторым достаточным для покрытия возможных потерь ресурсом.

В диссертации была выбрана одна из возможных стратегий реинвестирования, когда на протяжении одного длительного промежутка времени инвестор приводит капитал портфеля до первоначального уровня k раз (забирая накопленный излишек в случае удачи или дополняя капитал в случае неудачной торговли). В дальнейшем планируется исследовать оптимальность портфелей и в других ситуациях (например, пополняя портфель в случае неудачи до уровня капитала в предыдущем периоде, то есть представляя капитал портфеля в виде неубывающей функции на всем промежутке инвестирования).

Еще одна особенность нашего подхода состоит в том, что для оценки устойчивости портфеля учитывается представление об идеальном портфеле инвестора, которое может быть разным. Один инвестор считает идеальным постоянный темп роста капитала внутри промежутка реинвестирования и на разных промежутках реинвестирования этот постоянный темп роста капитала одинаков. (Идеален одинаковый постоянный экспоненциальный рост капитала внутри каждого промежутка реинвестирования) Другая точка зрения состоит в том, что мы считаем идеальным постоянный процент прироста капитала портфеля на каждом промежутке инвестирования по отношению к первоначальной сумме капитала. То есть идеальной считается постоянная на промежутке реинвестирования норма отдачи прироста капитала портфеля на первоначально вложенный капитал.

Этот новый вариант расчета устойчивости портфеля использован в дальнейших расчетах.

Расчет оптимального портфеля выполнялся для акций эмитентов ММВБ с полугодовым инвестиционным горизонтом на первую половину 2008 года с атомарным периодом в одну неделю: Аэрофлот (AFLT);

Северсталь (CHMF); Газпром (GAZP); ГМК Норильский Никель (GMKN);

Лукойл (LKOH); МТС (MTSI); Полюс Золото (PLZL); Роснефть (ROSN);

Ростелеком (RTKM); Сургутнефтегаз (SNGS).

Обозначим d i - текущую стоимость портфеля в момент времени i.

Квазипортфелем, следуя В.В. Давнису, будем называть портфель из одного инструмента, но с различным числом реинвестирований портфеля на протяжении всего инвестиционного горизонта. Обобщенный портфель – это портфель составленный из квазипортфелей разных инструментов. Чтобы составить наилучший портфель, с точки зрения темпа роста капитала, с учетом ограничения по колеблемости, из квазипортфелей инструментов, f ( ) = {Q ( );V ( ) V max ; = arg max f ( ), вектор весов обобщенного портфеля.

Пусть L - количество вариантов натуральных чисел n и m таких, что n*m = N, а – доля капитала, инвестируемая в каждую стратегию управления данным инструментом и данным периодом реинвестирования, тогда формула квазипортфелей инструментов Для всех i it = 1,где it – доля капитала, инвестируемая в стратегию t для Очевидно, что в данном случае сначала рассчитываются итоговые доходы для каждой стратегии по каждому инструменту независимо друг от балансирования капитала здесь не производится.

Колеблемость (устойчивость) портфеля вычислялась по формуле :

Очевидно, колеблемость равна нулю при оптимального обобщенного портфеля.

Оптимальный обобщенный портфель. Ограничение по колеблемости V = 0.0003, недельный темп роста капитала Q = 0.0067 ;итоговая доходность 16,14% Оптимальный обобщенный портфель. Ограничение по колеблемости V =0,0007, недельный темп роста капитала Q = 0,01345; итоговая доходность 32,3% Оптимальный обобщенный портфель. Ограничение по колеблемости V = 0,00045, недельный темп роста капитала Q = 0,0116; итоговая доходность 27,86% оптимальных портфелей на основе метода стохастического лучевого поиска с эмуляцией «отжига»

При решении реальных задач в общем случае даже приблизительная оценка глобального минимума оказывается неизвестной. По этой причине возникает необходимость применения методов глобальной оптимизации.

Рассмотрим один из современных подходов к глобальной оптимизации:

метод имитации отжига (можно было бы использовать также генетические алгоритмы, метод дифференциальной эволюции или метод роя частиц).