«КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВАХ МИНКОВСКОГО И (АНТИ)-ДЕ СИТТЕРА В РАМКАХ РАЗВЁРНУТОГО ФОРМАЛИЗМА ( ...»

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РАН

На правах рукописи

СКВОРЦОВ Евгений Дмитриевич

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ

В ПРОСТРАНСТВАХ МИНКОВСКОГО И (АНТИ)-ДЕ СИТТЕРА

В РАМКАХ РАЗВЁРНУТОГО ФОРМАЛИЗМА

(01.04.02 – теоретическая физика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н. М. А. ВАСИЛЬЕВ Москва - 2009 ii Оглавление Введение 0.1 Место теории полей высших спинов в современной теоретической физике 0.2 Теории поля в пространствах размерности большей четырёх...... 0.3 Развёрнутая формулировка полевых уравнений.............. 0.4 Цель и содержание поставленных задач.................. 0.5 Структура диссертации............................ 1 Релятивистские поля и частицы в пространстве Минковского и (анти)де Ситтера 1.1 Классификация частиц............................ 1.1.1 Классификация частиц в пространстве Минковского....... 1.1.2 Классификация частиц в пространстве анти-де Ситтера..... 1.1.3 Классификация частиц в пространстве де Ситтера........ 1.2 Полевые уравнения.............................. 1.2.1 Пространство Минковского...................... 1.2.2 Пространство анти-де Ситтера.................... 1.2.3 Пространство де Ситтера....................... 1.3 Поля в пространстве Минковского vs. (анти)-де Ситтер......... 1.3.1 Степени свободы............................ 1.3.2 Унитарность.............................. 1.4 К оффшельному описанию.......................... 1.5 Выводы..................................... 2 Развёрнутая формулировка 2.1 Общее определение.............................. 2.2 Связь с алгебрами Ли............................. 2.3 Фоновая геометрия в рамках развёрнутого подхода............ 2.4 Линеаризованная развёрнутая система................... 2.5 Интерпретация развёрнутых систем, -когомологии.......... 2.6 Примеры разворачивания. Поле спина s.................. 2.6.1 Поле спина (s + 1 ).......................... 3 Развёрнутая формулировка безмассовых полей произвольного типа симметрии в пространстве Минковского 3.1 Мотивация: проблемы и нерешённые вопросы метрического подхода.. iii 3.2 Построение развёрнутой формулировки.................. 3.2.1 Простейший пример поля смешанного типа симметрии...... 3.2.2 Схема построения развёрнутой формулировки в общем случае. 3.2.3 Реализация схемы в общем случае.................. 3.2.4 Решение тождеств Якоби....................... 3.2.5 Развёрнутая система уравнений................... 3.2.6 Вычисление -когомологий..................... 3.2.7 Интерпретация -когомологий................... 3.2.8 Редукция к уравнениям Лабастиды................. 3.2.9 Степени свободы............................ 3.3 Выводы..................................... 4 Реперная формулировка 4.1 Пример поля спина s............................. 4.2 Реперная формулировка........................... 4.3 Лагранжиан.................................. 4.3.1 Скалярное произведение....................... 4.3.2 Доказательство свойств...................... 4.3.3 Действие и калибровочная инвариантность............ 4.3.4 Уравнения движения......................... 4.4 Выводы..................................... 5 Геометрическое описание частично-безмассовых полей 5.1 Введение.................................... 5.1.1 Спин-два, гравитация......................... 5.1.2 Спин-s.................................. 6.3.1 Реализация для обобщённых связностей алгебры (анти)-де Введение 0.1 Место теории полей высших спинов в современной теоретической физике К настоящему моменту известны четыре типа фундаментальных взаимодействий:

гравитационное, сильное, слабое и электромагнитное. Все, кроме гравитационного взаимодействия, описываемого Общей теорией относительности (ОТО), были объединены в рамках так называемой Стандартной модели элементарных частиц. Многочисленные предсказания как ОТО, так и Стандартной модели находятся пока в отличном согласии с экспериментом. Поэтому наиболее важной фундаментальной проблемой физики высоких энергий представляется объединение этих двух теорий в рамках единой теории.

Фундаментальной задачей теории поля представляется поиск взаимодействующих (а следовательно нелинейных) теорий поля и построение на их основе последовательной квантовой теории, претендующей на описание всего круга явлений микромира. С этой точки зрения более последовательная программа состоит в том, чтобы сначала проклассифицировать все возможные релятивистские поля и построить их полевое описание, затем определить, какие возможны нелинейные теории с различным составом полей, и потом изучать вопросы квантования таких теорий, например, наличие или отсутствие аномалий. При этом класс изучаемых теорий, например, состав полей в них, может существенно отличаться от результатов, полученных на основе проведённых к настоящему времени экспериментов, поскольку часть полей может обладать массами, превышающими современные экспериментальные возможности или не взаимодействовать с видимым веществом.

В настоящее время наиболее развитой теорией, претендующей на объяснение всего круга явлений микромира, а также космологии, является теория струн. Парадигма теории струн состоит, грубо говоря, в том, что точечные объекты элементарные частицы заменяются протяжёнными объектами струнами, и размазанность струн приводит к улучшению ультрафиолетовых свойств амплитуд рассеяния.

Хотя теория струн в начале своего развития казалась имеющей мало общего с обычной теорией поля, дальнейшие исследования показали, что они тесно связаны:

AdSd /CF T d1 соответствие [1–3] связывает теорию струн в пространстве анти-де Ситтера с теорией поля на границе и позволяет использовать теорию струн как вычислительный метод для аномальных размерностей операторов в теории поля; активно развивается так называемая полевая теория струн, предложенная Виттеном в [4], которая представляет из себя формулировку теории открытых струн в полевых терминах. Результаты полевой формулировки для замкнутых струн пока не столь впечатляющие [5–9].

Ретроспективно можно придти к выводу о том, что переход от какой-либо линейной теории к нелинейной требует подчас кардинального пересмотра исходных принципов и приводит к появлению новых нетривиальных структур, не просматриваемых в исходной линейной теории.

Рассмотрим хорошо известные примеры, исчерпывающие на самом деле все известные примеры за пределами теории полей высших спинов. Свободное безмассовое поле спина 1 описывается уравнениями Максвелла в терминах напряжённостей Fµ или потенциалов Aµ. Однако нелинейная теория некоторого набора безмассовых полей спина 1 с необходимостью [10] является теорией Янга-Миллса [11], приводя к тому, что исходный набор U (1) невзаимодействующих полей должен составлять мультиплет, отвечающий присоединённому представлению некоторой алгебры Ли g.

Требование положительности энергии приводит также к тому, что g должна быть компактной алгеброй Ли. Дальнейшее развитие теории Янга-Миллса выявило связь полей-потенциалов с хорошо известным в математике понятием связности на расслоении со структурной группой. Следует отметить, что: (1) в исходной линейной теории тесная связь с алгебрами Ли и связностями на расслоениях оказывалась скрытой;

(2) нелинейная теория строится в терминах потенциалов Aµ, а не напряжённостей Fµ ; (3) введение взаимодействий с материей также требует введение потенциала Aµ.

Свободное массивное поле спина 1 описывается теорией Прока. Было показано [12,13], что непротиворечивая перенормируемая нелинейная теория массивных полей спина 1 возникает в результате спонтанного нарушения калибровочных симметрий в теории Янга-Миллса, этот факт является фундаментальным и играет ключевую роль в Стандартной модели.

Хотя в случае полей спина 2 исторически первой была построена как раз нелинейная классическая теория, более естественный пусть от линейной к нелинейной также был проделан. Свободное безмассовое поле спина 2 описывается теорией ФирцаПаули [14] (уравнения Фирца-Паули получаются линеаризацией уравнений Эйнштейна над плоским фоном, и именно Фирц и Паули показали, что свободный предел теории Эйнштейна представляет собой теорию безмассового поля спина 2). Можно поставить задачу о нелинейной деформации теории Фирца-Паули. При некоторых предположениях о порядке производных было показано [15, 16], что единственной непротиворечивой деформацией является теория Эйнштейна. Что касается соответствия линейной и нелинейной теории, необходимо отметить следующее: (1) аналогично случаю полей спина 1 можно было бы начать с некоторого мультиплета полей спина 2, однако оказывается [17], что нелинейную деформацию допускает лишь теория с одним гравитоном (есть ещё одна возможность с двумя гравитонами, отвечающая комплексификации теории Эйнштейна), таким образом, не существует a la ЯнгМиллс теорий спина 2; (2) исходное свободное поле спина 2 можно рассматривать наравне с другими полями без какого-либо отношения к геометрии пространствавремени, но в нелинейной теории поле спина 2 оказывается определяющим геометрию пространства-времени. Дальнейшие работы [18–21] выявили более тесную связь теории гравитации и теории Янга-Миллса, что будет описано подробнее ниже в разделах 2.3 и 5.1.1 настоящей диссертации. Оказалось, что, до некоторой степени, теория гравитации есть теория Янга-Миллса с калибровочной группой, отвечающей симметриям вакуумного пространства-времени.

1, m2 = 0 Электродинамика Янг-Миллс алгебры Ли, связности и, m2 =0 Рарита-Швингера Супергравитация супералгебры Ли, суперпространства, суперсимметрии 2, m2 = 0 Фирца-Паули Гравитация геометрия пространстваЭйнштейна- времени и калибрование 0,...,, Ещё более интересной теорией оказалась теория безмассовых полей спина 2, линейная версия которой была предложена Рарита и Швингером [22]. Долгое время не удавалось построить нелинейную теорию с полями данного спина. Исследования приводили к тому, что при добавлении нелинейных слагаемых распространение полей уходит со светового конуса и появляются новые степени свободы. Было сделано наблюдение [23], что проблему можно было бы решить введением поля спина 2.

Однако потребовалось ещё некоторое время для того, чтобы была построена первая теория супергравитации [24]. Само понятие суперсимметрии, требующее введение новых объектов супергрупп и супералгебр, а также пространств, где они действуют геометрическим образом, суперпространств, оказалось крайне содержательным.

Отметим, что вопрос о введении гравитационного взаимодействия фермионных полей спина 2 показал, что наиболее адекватными переменными теории гравитации являются поля тетрады и спин-связности, а не метрический тензор.

Наиболее общий вопрос состоит в том, чтобы выяснить какие возможны нелинейные теории, включающие в себя поля произвольного спина, именно это и составляет предмет теории полей высших спинов, где слово высший означает наличие полей спина больше 2. Сама теория полей высших спинов на начальных этапах развития была связана с именами П.Дирака, В.Паули, М.Фирца, Дж. Швингера, И.Е.Тамма, В.Л. Гинзбурга, Е.С.Фрадкина и других. Наиболее существенные результаты достигнуты в теории безмассовых полей высших спинов. Аналогично безмассовым полям спина 1, 3 и 2, безмассовые поля высших спинов оказываются калибровочными полями, обобщая Стандартную Модель и супергравитацию.

Имелось несколько классических препятствий к самой возможности существования нелинейных теорий с полями высших спинов: (а) из теоремы Колмана-Мандуллы [25, 26] следовало, что матрица рассеяния полей высших спинов единична, т.е. никакого рассеяния нет; (б) не получалось [27, 28] построить гравитационные взаимодействия полей высших спинов не удавалось добиться калибровочной инвариантности вершин, хотя были построены кубичные вершины рассеяния самих полей высших спинов [29–36], которые содержали как высшие производные, так и некоторый размерный параметр, их обезразмеривающий. Последнее выглядело странно, так как не было понятно, чему данный размерный параметр может соответствовать. Ввиду этих трудностей не исследовались теории супергравитации с более чем N = 8 суперсимметриями, так как представления N > 8 супералгебр содержат поля со спином больше двух.

Эти трудности были преодолены в работах [37, 38], где был построен кубичный лагранжиан для полей высших спинов, включающий в себя и гравитационные взаимодействия полей1. Ключевая идея состояла в том, чтобы отказаться от разложения над плоским фоном и рассматривать теорию над пространством анти-де Ситтера.

Космологическая постоянная или радиус пространства анти-де Ситтера играет роль размерного параметра, обезразмеривающего старшие производные в лагранжиане.

Отсутствие понятия S-матрицы в пространстве (анти)-де Ситтера снимало аргументы теоремы Колмана-Мандуллы. Хотя барьер и был преодолён, но кубичные вершины не гарантируют существование полной теории, поскольку в кубичном приближении не деформируется алгебра симметрий линейной теории и рассмотрение четвертичных и более высоких вершин может привести к противоречиям.

Отметим, что ключевым техническим ингредиентом, позволившим записать ответ в простой форме, было обобщение тетрадной формулировки гравитации на случай полей высших спинов, для которых также были построены аналоги тетрады и спин-связности, [40]. Далее, как естественное развитие такого тетрадного подхода к полям высших спинов, был предложен так называемый развёрнутый подход к уравнениям движения [41–43]. Развёрнутый подход это формулирование уравнений движения с использованием только языка дифференциальных форм (сами тетрада и спин-связность, а также поля Янга-Миллса являются дифференциальными формами степени один).

Далее были последовательно изучены в рамках развёрнутого формализма кубичные вершины [42], а затем и четвертичные вершины [44]. Здесь обнаружилась ещё одна особенность, выделяющая теории с полями высших спинов, а именно: наименьший мультиплет высших спинов содержал поля всех спинов от нуля до бесконечности с кратностью один. Следует отметить работу Р.Мецаева, который в рамках конусного формализма рассмотрел четвертичные вершины [34] и показал, что необходимым условием построения совместной теории с хотя бы одним полем высшего спина является введение полей всех спинов. Это означает, например, что не существует самодействующей теории спина 3 в противоположность теориям Янга-Миллса и гравитации как теориям самодействующих полей спина 1 и спина 2. Аналогичный результат был получен в [31].

Затем в рамках развёрнутого формализма были написаны полные нелинейные уравнения полей высших спинов, включающие в себя вершины произвольного порядПозднее было показано, что в найденных кубичных вершинах нет произвола [39].

ка [44–46]. Примечательно, что задача построения уже кубических взаимодействий без использования развёрнутого формализма оказывается чрезвычайно сложной технически, поэтому требуются либо серьёзные упрощения, связанные с подходом светового конуса [33,35,47–49], когда Лоренц-ковариантность становится, однако, неявной, либо компьютерные вычисления в рамках БВ-БРСТ [50, 51]. Что касается полной теории, включающей в себя все возможные вершины, то она на данный момент известна исключительно в рамках развёрнутого формализма, что и обеспечивает его актуальность.

Следует подчеркнуть, что обычные теории полей младших спинов автоматически включаются в теорию полей высших спинов; так, например, возникают обычные теории супергравитации (в исключительных размерностях) или (супер) ЯнгаМиллса.

Именно калибровочная симметрия накладывает ограничения на теорию, полностью определяя как свободную, так и нелинейную (т.е. взаимодействующую) теорию. Калибровочные теории с ненарушенной калибровочной симметрией описывают безмассовые поля. Теории с массивными полями могут быть получены из безмассовых путём хорошо известного механизма Хиггса, как это происходит в Стандартной модели. Конкретный механизм генерации масс в теории полей высших спинов ещё предстоит разработать.

В настоящее время существуют указания на конечность N = 8 супергравитации [52, 53], что, если подтвердится, будет говорить в пользу сокращения возможных аномалий и в теории высших спинов, возрождая одну из исходных мотиваций изучения теорий с полями высших спинов как теорий с высшими симметриями, приводящими посредством тождеств Уорда к сокращению аномалий. Также последние исследования [54–57] показывают, что теория гравитации сама по себе может оказаться непертурбативно перенормируемой, что внушает ещё больший оптимизм в отношении теории высших спинов, содержащей в себе и теорию гравитации.

Не вызывает сомнения, что теория полей высших спинов тесно связана с теорией струн2 : хорошо известно [59–63], что в пределе нулевого натяжения 1 0 теория струн приводит к теории безмассовых полей высших спинов. Поэтому некоторая теория высших спинов должна отвечать ненарушенной фазе теории струн, из которой уже посредством некоторого нарушения симметрий высших спинов получается сама теория струн [64–67]. Это говорит в пользу того, что именно теория высших спинов может быть искомой фундаментальной теорией, объединяющей все взаимодействия.

0.2 Теории поля в пространствах размерности большей четырёх По многим причинам в течении последних нескольких десятков лет постоянно возрастает интерес к теориям поля в пространствах, имеющих размерность отличную от четырёх. Так, например, теория суперструн непротиворечива в размерности десять.

Следует отметить недавнюю работу [58], в которой в рамках RNS подхода были построены вершинные операторы для некоторых полей высших спинов.

Переход к обычному четырёхмерному пространству осуществляется с помощью механизма компактификации, когда лишние измерения предполагаются имеющими малый размер и потому не детектируемыми в обычных экспериментах, или с помощью теории бран, в которой предполагается, что материя живёт на некотором трёхмерном подпространстве (бране) многомерного пространства. Многомерность пространства может сказываться как на малых расстояниях, сравнимых с радиусом лишних измерений, так и на космологических масштабах.

Со времён работы Вигнера 1939 года [68] было осознано, что классические невзаимодействующие (линейные) релятивистские поля в некотором пространстве-времени (в оригинальной работе [68] рассматривалось четырёхмерное пространство Минковского M4 ) находятся в тесной связи с группой G симметрий данного пространствавремени. А именно, элементарные релятивистские поля реализуют неприводимые представления G. Как хорошо известно [68], неприводимые бесконечномерные представления группы движений четырёхмерного пространства Минковского, т.е. группы Пуанкаре ISO(d 1, 1), характеризуются двумя параметрами: массой и спином.

Физические соображения, выражающиеся в требовании унитарности представлений, приводят к тому, что масса должна быть неотрицательной действительной величиной. Спин может принимать целые или полуцелые неотрицательные значения.

Классификация релятивистских полей в пространстве Минковского размерности большей четырёх также хорошо известна [69]. Поля по-прежнему характеризуются неотрицательным числом, имеющим смысл массы частицы. Однако понятие спина значительно усложняется. Спин частицы, живущей в многомерном пространстве Минковского, характеризуется не одним (полу)целым числом, а последовательностью таких чисел, которые задают тензор физических поляризаций частицы.

Тот факт, что тензор физических поляризаций определяется несколькими числами, связан с тем, что в пространствах большей размерности неприводимые тензоры наиболее общего вида не сводятся к только симметричным или антисимметричным, а имеют так называемую симметрию смешанного типа. Спиновые степени свободы в dмерном пространстве Минковского характеризуются представлениями малой алгебры Вигнера, которая есть so(d 1) для массивных полей и so(d 2) для безмассовых, большинство неприводимых тензоров которых имеют смешанный тип симметрии в d > 4 для массивных полей и в d > 5 для безмассовых.

Неприводимые тензоры смешанного типа симметрии (анти)симметричны по некоторым тензорным индексам и удовлетворяют также некоторым дополнительным условиям. Типы неприводимых тензоров могут быть описаны с помощью удобного графического представления диаграмм Юнга. Использование диаграмм Юнга значительно облегчает исследование полей смешанного типа симметрии и представление результатов, поскольку выражения даже для простейших операций, например, взятия производной с учётом последующей проекции на определённый тип симметрии, значительно усложняются в обычной тензорной записи.

Аналогично тому, что скалярные частицы (т.е. имеющие нулевой спин) описываются скалярными полями; фотоны, имеющие спин равный единице, описываются векторными полями (т.е. тензорными полями первого ранга); гравитон, имеющий спин равный двум, описывается симметричным тензором второго ранга, имеющим смысл метрики; частица произвольного спина в многомерном пространстве описывается некоторым тензорным полем, ранг которого связан со спином, а тензорные индексы имеют, вообще говоря, смешанный тип симметрии. Обычные поля спина s с более общей точки зрения полей смешанного типа симметрии описываются полностью симметричными тензорными полями.

На полевом языке протяжённость струн проявляется в том, что их спектр содержит бесконечное число всё более массивных возбуждений, отвечающих полям произвольного спина. Мерой квадрата массы является струнное натяжение. Стоит отметить, что спектр теории струн содержит массивные возбуждения полей всех спинов, включая в себя и всевозможные поля смешанного типа симметрии [70, 71], что также делает актуальным изучение таких полей. Исследования взаимодействий полей произвольного спина должны пролить свет на вопросы теории струн и на её взаимосвязь с теорией поля.

Наибольшую важность представляют теории поля в максимально симметричных пространствах: пространстве Минковского, пространствах де Ситтера и анти-де Ситтера, которые являются решениями уравнений Эйнштейна с нулевой, положительной и отрицательной космологической постоянной соответственно. Пространство (анти)де Ситтера имеет особую важность для теории высших спинов, а также для теории струн, так как непротиворечивые нелинейные теории высших спинов требуют ненулевой космологической постоянной. Последнее не означает, что теория высших спинов не имеет смысла в пространстве Минковского, а требует, чтобы симметрии полей высших спинов были нарушены до взятия предела нулевой космологической постоянной.

По сравнению с обычными симметричными или антисимметричными полями особенность безмассовых полей смешанного типа симметрии в пространстве Минковского состоит в том, что в закон калибровочных преобразований входит не один калибровочный параметр (если считать их по типу симметрии), а некоторое их число, связанное со спином поля.

Изучение теории поля в присутствии космологической постоянной преподнесло ряд сюрпризов:

(1) оказалось, что понятие безмассовости в пространстве (анти)-де Ситтера слегка размыто, поскольку космологическая постоянная сама может играть роль массового параметра, и явление безмассовости должно определятся в терминах калибровочной симметрии, появление которой у уравнений движения приводит к соответствующему уменьшению числа степеней свободы [72–74];

(2) многообразие калибровочных полей значительно расширяется:

(2а) появляются так называемые частично-безмассовые поля [75–88], характеризуемые тем, что, будучи неприводимыми, имеют число степеней промежуточное между массивными и безмассовыми полями. Явление частичной-безмассовости имеет место и для обычных полей спина s. С полем спина s ассоциировано семейство из (s1) частично-безмассовых полей, степени свободы которых интерполируют между массивным и безмассовым полями спина s. Например в d = 4 массивный, частичнобезмассовый и безмассовый гравитоны имеют 5, 4 и 2 степени свободы, отвечающие поляризациям ±2, ±1, 0, ±2, ±1 и ±2 соответственно. С формальной точки зрения безмассовое поле спина s естественно объединяется с частично-безмассовыми полями спина s в одно семейство калибровочных полей спина s.

(2б) оказалось [72], что для поля смешанного типа симметрии имеется, вообще говоря, несколько возможных деформаций из пространства Минковского в (анти)-де Ситтер, т.е. в (анти)-де Ситтере существует несколько неэквивалентных безмассовых полей с одним и тем же спином, причём количество таких полей равно количеству калибровочных параметров для безмассового поля данного спина в пространстве Минковского. Суть в том, что появлению некоторой калибровочной симметрии в уравнениях движения для массивного поля какого-либо спина отвечает определённое критическое значение параметра массы, выраженное в единицах космологической постоянной. В пространстве Минковского = 0 и критические значения массы для всех калибровочных симметрией совпадают, однако в пространстве (анти)-де Ситтера, где = 0, это не так, и одновременно можно добиться инвариантности уравнений относительно только одной (но любой) калибровочной симметрии. Это, в частности, приводит к тому, что безмассовые поля смешанного типа симметрии имеют больше степеней свободы в пространстве (анти)-де Ситтера, чем в пространстве Минковского [74].

Следует сказать: что касается полей произвольного спина, представляющих случай общего положения в многомерных пространствах и потому имеющих, вообще говоря, смешанный тип симметрии, то их теория пока находится на начальном этапе развития, хотя соответствующие усилия прилагаются с момента появления интереса к теориям поля в многомерных пространствах [89, 90]. Хотя классификация их и известна, но необходимо сначала построить соответствующее теоретико-полевое описание свободной теории, а затем исследовать вопрос введения взаимодействий.

Изучение даже линейной теории в рамках многих подходов оказывается слишком сложной задачей, не говоря уже о построении нелинейной теории.

Наиболее распространённым подходом к описанию полей смешанного типа симметрии до некоторого момента был так называемый метрический подход [89, 90], поля в котором представлялись мировыми тензорами, аналогичными метрическому тензору gµ теории гравитации. Здесь следует выделить подход [91–94], который впоследствии привёл к появлению реперного (тетрадного) подхода к полям смешанного типа симметрии. Также представляет интерес метрический подход [59,62,95–97].

Поля в данном подходе представляются мировыми тензорами, на которые не наложено никаких следовых условий, т.е. алгебраических условий, вовлекающих фоновую метрику. Достоинством данного подхода является тесная связь с пределом нулевого натяжения теории струн [59–63], который прямо приводит к безмассовым тензорным полям без следовых условий. Однако в рамках данного подхода пока получены только свободные лагранжианы [98–101].

Среди других подходов к описанию полей высших спинов следует отметить БРСТ подход, последовательно развиваемый в работах [102–120]. Достоинство БРСТ подхода состоит в том, что он тесно связан с теорией струн. Касательно теории со взаимодействиями пока в рамках данного подхода известно немногое [121–124].

В рамках подхода светового конуса Р.Мецаевым получена классификация кубических вершин полей смешанного типа симметрии [35,47,125,125], что является первым шагом к теории взаимодействующих полей и даёт основания считать, что таковые полные нелинейные теории действительно существуют [126].

0.3 Развёрнутая формулировка полевых уравнений Основным методом, используемым в настоящей диссертации, является развёрнутая формулировка полевых уравнений [41–43].

Преимущество метода разворачивания состоит в том, что он позволяет контролировать калибровочную инвариантность и физические степени свободы крайне простым способом, что даёт возможность искать нелинейные теории, т.е. теории со взаимодействующими полями, как деформации линейной развёрнутой системы уравнений, при этом теория автоматически оказывается застрахованной от таких неприятностей как, например, изменение числа степеней свободы при нелинейных деформациях. В основе развёрнутого подхода лежит глубокая математическая структура свободные дифференциальные алгебры [127–130], частным случаем которых являются обычные алгебры Ли, используемые в теориях типа Янга-Миллса. Также использование языка дифференциальных форм делает подход координатно-независимым, что особенно полезно при работе с теориями, включающими в себя гравитацию. В частности, все рассмотрения в диссертации проходят в произвольной системе координат.

Немаловажно, что реперный (или тетрадный) подход к гравитации оказывается автоматически встроен в развёрнутый формализм. А именно: первые два поля, входящие в набор полей для развёрнутого описания теории безмассового поля спина 2, представляют собой тетраду и спин-связность. Аналогично, поле Янга-Миллса, понимаемое как один-форма, является первым полем из развёрнутой формулировки спина 1.

Ещё следует отметить и тот факт, что вычисления в развёрнутом или реперном подходах заметно проще аналогичных вычислений в рамках метрического формализма, поскольку поля являются дифференциальными формами со значениями в неприводимых представлениях, и поэтому существует гораздо меньше способов написать анзацы для, например, лагранжиана.

Разные сопутствующие вопросы, например, о сохраняющихся токах или лагранжианах [131], допускают чёткую постановку в рамках развёрнутого подхода для нахождения сохраняющихся токов необходимо вычислить когомологии некоторого оператора, определяющего развёрнутую систему уравнений.

0.4 Цель и содержание поставленных задач Темой настоящей диссертации является построение развёрнутой формулировки для полей произвольного спина, т.е., вообще говоря, смешанного типа симметрии, в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера произвольной размерности. Построение теории полей произвольного типа симметрии производится именно в рамках развёрнутого подхода, поскольку он оказался наиболее плодотворным в задаче о нелинейной теории полей спина s.

Случай полностью симметричных безмассовых полей (полей спина s) был всесторонне разобран в литературе, как в частных размерностях [43, 45, 132–146], допускающих спинорные реализации, так и в произвольной размерности пространства [46, 147–149].

В случае полей смешанного типа симметрии в пространстве Минковского результаты по развёрнутой формулировке в литературе отсутствовали. А в случае полей смешанного типа симметрии в пространстве (анти)-де Ситтера имелись следующие результаты: в [150] был разобран в рамках реперного формализма случай безмассовых полей, спин которых определялся двустолбцовой диаграммой Юнга; в [151] были разобраны поля в AdS5, при этом существенно использовалась спинорная реализация генераторов алгебры симметрии AdS5 ; наиболее общий результат [152], где обсуждалась реперная формулировка, относился к безмассовым полям первого семейства (напомним, что в (A)dSd с каждым спином ассоциируется несколько семейств полей).

Наиболее важными с точки зрения развёрнутой формулировки полей смешанного типа симметрии были работы Ю.М.Зиновьева [91–94], в которых, несмотря на метрический формализм, уже можно было узнать некоторые структуры, характерные для реперного подхода. Дальнейшее развитие, уже в рамках реперного подхода, было осуществлено в работах [85, 88, 153].

Следует отметить, что для случая симметричных полей деформация из Минковского в (анти)-де Ситтер и, наоборот, взятие плоского предела полей в (анти)-де Ситтере, были гладкими операциями. Развёрнутые формулировки для симметричных полей в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера отличались лишь слагаемыми пропорциональными космологической постоянной, в частности, спектр полей для обоих формулировок совпадает. Такой простой картины не следует ожидать для полей смешанного типа симметрии ввиду уже упомянутой нетривиальности деформации последних из плоского пространства в (анти)-де Ситтер [74]. Действительно, как будет показано, спектр полей кардинально различается.

Что касается частично-безмассовых полей, то в рамках развёрнутого подхода первые результаты были получены в работах, вошедших в данную диссертацию.

0.5 Структура диссертации Диссертация состоит из семи глав и приложения:

в Главе 1 рассматривается проблема классификации релятивистских полей в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера. Основное утверждение касается полной классификации полей в пространстве (анти)-де Ситтера;

в Главе 2 даётся определение развёрнутого формализма и находятся сведения, необходимые для понимания последующих глав;

в Главе 3 строится развёрнутая формулировка для безмассовых полей произвольного спина в пространстве Минковского;

в Главе 4 на основе результатов предыдущей главы выводится реперная формулировка для безмассовых полей произвольного спина в пространстве Минковского, строится лагранжиан;

в Главе 5 рассматривается достаточно простой и показательный случай обобщённых полей Янга-Миллса, с помощью которого можно построить простое геометрическое описание для частично-безмассовых полей спина s;

в Главе 6 всесторонне изучается общий случай обобщённых полей Янга-Миллса:

основные технические результаты, позволяющие связать обобщённые поля ЯнгаМиллса с калибровочными полями в рамках метрического формализма, заключаются в нахождении -когомологий и вычислении массовоподобного слагаемого в уравнениях. В этой же главе находится заключение, содержащее соображения относительно дальнейших исследований, направленных на построение нелинейной теории полей произвольного спина.

В приложениях собраны различные обозначения, например, мультииндексные обозначения, используемые в данном тексте, а также для удобства чтения в Приложении С собраны все необходимые факты о диаграммах Юнга, их отношении к классификации неприводимых (спин)-тензоров и некоторые другие утверждения из теории представлений.

Основные результаты диссертации перечислены в Заключении, после которого находится список публикаций автора.

Ссылки на работы автора заключены в фигурные скобки, например, {2}, тогда как ссылки на работы других авторов заключены в квадратные скобки, например, [56], и относятся к списку литературы в конце диссертации.

Глава Релятивистские поля и частицы в пространстве Минковского и (анти)-де Ситтера 1.1 Классификация частиц 1.1.1 Классификация частиц в пространстве Минковского Пространство Минковского Md определяется как однородное пространство G = ISO(d 1, 1)/H = SO(d 1, 1) группы Пуанкаре ISO(d 1, 1) по группе Лоренца SO(d 1, 1).

Согласно знаменитой работе Вигнера [68], совмещение постулатов специальной теории относительности с принципами квантовой механики требует, чтобы на гильбертовом пространстве состояний реализовывалось унитарное представление группы симметрии пространства-времени, т.е. группы Пуанкаре ISO(d 1, 1). В отсутствии взаимодействий достаточно ограничится неприводимыми представлениями, которые и принято называть элементарными частицами.

Нам будет удобно говорить о представлениях соответствующих алгебр, а не групп.

В стандартном базисе генераторов трансляций Pa и Лоренцевых вращений Lab коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре iso(d 1, 1) имеют вид Поскольку подалгебра Лоренца алгебры Пуанкаре некомпактна, из требования унитарности следует, что представления, ассоциируемые с элементарными частицами, бесконечномерны.

Неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре ISO(3, 1) четырёхмерного пространства Минковского были построены [68]. Представления строятся методом индуцирования, который может быть прямо обобщён на случай пространства Минковского произвольной размерности d, группа движений которого ISO(d 1, 1) (соответствующая алгебра Ли iso(d 1, 1)).

Алгебра трансляций Pa абелева, поэтому все её неприводимые унитарные представления одномерны. Зафиксировав значение оператора казимира Pc P c = m2, который имеет интерпретацию массы частицы, с учётом Лоренц-инвариантности теории, можно ограничится рассмотрением степеней свободы частицы для какого-либо фиксированного значения Pa, после чего применение преобразований Лоренца позволяет получить вид состояния частицы для любого другого значения Pa, такого что Pc P c = m2. Требование отсутствия тахионов влечёт m2 0. После фиксации Pa, степени свободы связаны с теми остаточными преобразованиями из алгебры Пуанкаре, которые оставляют Pa на месте. Такие преобразования образуют алгебру Ли, называемую малой алгеброй Вигнера. Для случая m2 > 0 массивной частицы малая алгебра есть so(d 1), а для случая m2 = 0 безмассовой частицы малая алгебра есть iso(d 2).

Таким образом, спиновые степени свободы массивной частицы классифицируются согласно неприводимым унитарным представлениям малой алгебры Вигнера so(d 1), которая есть алгебра вращений Евклидова пространства. Неприводимые конечномерные унитарные представления so(d 1) суть неприводимые тензоры или спин-тензоры.

Требование конечности числа внутренних степеней свободы частицы в случае безмассовых частиц оказывается ограничительным. Малая алгебра для них есть iso(d 2), т.е. алгебра движений Евклидова пространства, которая ввиду некомпактности не имеет конечномерных унитарных представлений, если трансляции iso(d 2) реализуются нетривиальным образом. Поэтому эффективно iso(d 2) сводится к so(d 2), т.е. тоже ортогональной алгебре, но размерности на единицу меньше чем для массивных частиц.

Получаем, что представления ISO(d1, 1) характеризуются двумя типами параметров: массой m2 и спином S, где спин S определяет неприводимое представление so(d1), если m2 > 0, и неприводимое представление so(d2), если m2 = 0. В случае четырёхмерного пространства Минковского S задаётся одним (полу)целым неотрицательным числом, спином. Если d > 4, то спинов может быть много, что отвечает полям смешанного типа симметрии.

Поскольку спиновые степени свободы характеризуются неприводимыми конечномерными представлениями ортогональных алгебр, остановимся кратко на их классификации. Отсылая за подробными разъяснениями к Приложению Приложение C, лишь отметим, что неприводимые представления алгебр классической серии, в частности алгебры so(n), удобно классифицировать разбиениями целых чисел вида s = s1 +...+sn на суммы невозрастающих положительных чисел si, s1 s2... sn > 0.

Такие разбиения удобно обозначать графически диаграммами Юнга, которые состоят из выровненных по правому краю рядов клеток, i-ый ряд содержит si клеток. В тексте диаграммы Юнга обозначаются жирным шрифтом, например, X, S, а определяются выражениями вида S = Y(s1,..., sn ) (Y от Young). Диаграмма Юнга характеризует тип симметрии неприводимого (спин)-тензора относительно перестановок индексов. Так, например, симметричным тензорам ранга s отвечает диаграмма Юнга из одной строки длины s, Y(s), а полностью антисимметричным тензорам ранга p отвечает диаграмма Юнга из одного столбца высоты p, Y(1,..., 1). Все остальные типы диаграмм отвечают (спин)-тензорам так называемого смешанного типа симметрии. В общем случае ранг тензора, определяемого некоторой диаграммой Юнга, равен количеству клеток в ней. Для ортогональной алгебры so(n) количество строк (чисел si в разбиении ранга s) в диаграмме должно не превосходить1 [n/2]. Это легко понять, так как поведение некоторого объекта при вращениях задаётся его поведением относительно независимых вращений, которыми могут быть выбраны вращения в плоскостях, натянутых на пары {e1, e2 }, {e3, e4 } и т.д. ортогональных базисных векторов ek, k = 1,..., n.

В случае четырёхмерного пространства Минковского, учитывая, что малая алгебра Вигнера для массивных полей есть so(3), заключаем, что спиновые степени свободы определяются однорядной диаграммой Юнга, т.е. одним числом. Для безмассовых полей малая алгебра so(2) не является простой, и указанная выше классификация не полна в том смысле, что существуют не только однозначные (тензорные) и двузначные (спинорные) представления so(2), но и так называемые анионные представления. Последние не имеют отношения к классификации частиц в 4-х измерениях, поэтому формально результат об определении спина одним (полу)целым числом остаётся справедливым и для безмассовых частиц. В общем случае d > спин задаётся некоторой диаграммой Юнга. Таким образом спин в пространстве с d > 4 есть не одно число, а набор чисел (спинов).

Классификация неприводимых представлений ортогональных алгебр важна не только для определения спиновых степеней свободы, но также будет активно использоваться при полевом описании, поскольку поля, спин которых есть некоторый тензор малой алгебры Вигнера, будут описываться потенциалами, которые также являются тензорами, но уже алгебры Лоренца или алгебры (анти)-де Ситтера. Потенциал поля, как тензор, характеризуется своей диаграммой Юнга, и важно разделять понятия спин как характеристику бесконечномерного унитарного представления алгебры симметрий пространства-времени и спин как характеристику конечномерного неунитарного представления, определяющего тензорный тип потенциала поля.

Также существуют представления с так называемым непрерывным спином [68, 154]. Они соответствуют тем безмассовым полям Pc P c = 0, для которых трансляции малой алгебры Вигнера iso(d 2) представлены нетривиальным образом. Поэтому частицы с непрерывным спином имеют бесконечное число степеней свободы и, как правило, исключаются из рассмотрения. Интересный результат был получен в [154], где было показано, что представления с непрерывным спином могут пониматься как предел бесконечно большого спина безмассовых полей.

1.1.2 Классификация частиц в пространстве анти-де Ситтера Пространство анти-де Ситтера AdSd определяется как однородное пространство G = SO(d1, 2)/H = SO(d1, 1). Алгеброй Ли его симметрий является алгебра so(d1, 2).

В стандартном базисе коммутационные соотношения для so(d 1, 2)-вращений MAB Диаграммы с большим числом строк либо определяют представления эквивалентные диаграммам с числом строк меньше [n/2], либо вообще отвечают тензорам тождественно равным нулю, см.

Приложение C.

имеют вид Последние можно переписать, выделив явно генераторы Лоренцевых вращений Lab = Mab и трансляций2 Pa = Ma•, где есть обратный радиус пространства, Коммутационные соотношения для генераторов алгебры симметрий пространства де Ситтера имеют аналогичный вид, (отрицательный) положительный знак в (1.5) отвечает случаю (анти)-де Ситтера.

Дискретные серии представлений Как было показано Хариш-Чандрой в [155], некомпактная простая группа Ли G имеет представления старшего веса (ограниченной энергии), если фактор пространство G/K по максимальной компактной подгруппе K является симметрическим эрмитовым пространством, что верно для широкого класса некомпактных вещественных форм классических групп Ли и некоторых некомпактных форм групп Ли исключительной серии3. В частности, это верно для вещественной формы SO(d1, 2) группы SO(d+1, C). Алгебра Ли g таких некомпактных групп обладает три-градуированным разложением (структурой Йордана) по отношению к максимальной компактной подалгебре g g-модуль Dg () свободно порождается генераторами g+ из вакуума |, несущего неприводимое унитарное представление максимальной компактной подалгебры g0, g0 | = (g0 )|. Вакуум аннигилируется генераторами g, т.е. g | = 0. Таким образом Dg () = span(g+ g+...g+ | ). В случае алгебры анти-де Ситтера, g0 содержит прямое слагаемое so(2), следовательно как минимум один из генераторов имеет непрерывный спектр и поэтому называется энергией E. Обозначим собственное значение генератора энергии на вакууме через E0. Отложим на осях значения генератора энергии и других генераторов, характеризующих представление.

станет быть унитарным. Поэтому существует граница области унитарности, за пределами которой имеются состояния с отрицательной нормой, а на ней самой должны быть некотоE рые состояния с нулевой нормой. Состояния с нулевой нормой Символ • обозначает лишнее значения индексов A, B,... алгебры анти-де Ситтера по сравнению с индексами a, b,... алгебры Лоренца, A, B = 0,..., d; a, b = 0,..., d 1; • d.

Осцилляторные представления различных некомпактных алгебр широко изучались в работах Гюнайдина [156], [157].

нормой (иначе можно было бы построить состояние с отрицательной нормой, что противоречит определению границы области унитарности), следовательно они образуют подмодуль. Последнее означает, что в Dg () имеется сингулярный вектор g v = 0, где v Dg (), т.е. v сам удовлетворяет условиям вакуумности и подмодуль Dg (v) Dg () строится стандартным образом Dg (v) = span(g+ g+...g+ v). Неприводимый g-модуль может быть получен как фактор Hg () = Dg ()/Dg (v), при условии что отсутствуют сабсингулярные векторы, т.е. сингулярные векторы фактормодуля Hg (), как это будет в нашем случае. Появление таких сингулярных векторов происходит при вполне определённых соотношениях на веса, определяющие представление. Если продолжать движение из области унитарности, то могут появляться другие сингулярные векторы, соответствующие фактормодули будут, однако, неунитарными.

С полевой точки зрения появление сингулярных подмодулей отвечает появлению калибровочной инвариантности у полевых уравнений, на решениях которых реализуется данное представление [74].

В случае so(d1, 2), представленной эрмитовыми генераторами TAB, (TAB )† = TAB с коммутационными соотношениями максимальная компактная подалгебра есть g0 = so(d 1) so(2), и порождается генераторами E = T0d и Lab = iT ab подалгебр so(2) и so(d 1) соответственно.

Повышающие g+ и понижающие g генераторы соответствуют T ±a = 1 (M0 a ± iMd a ).

Коммутационные соотношения и свойства эрмитовости в новом базисе имеют вид [74] |E0, S, T a |E0, S = 0, который является неприводимым представлением so(d 1) so(2).

Поэтому вакуум есть собственный вектор оператора энергии с собственным значением, обозначенным E0. Также вакуум несёт неприводимое конечномерное представление S алгебры so(d1), т.е. является неприводимым тензором или спин-тензором алгебры so(d 1). Будем считать, что представление S алгебры so(d 1) задано некоторой диаграммой Юнга, обозначенной тем же символом S.

Последнее означает, что |E0, S преобразуется как неприводимый so(d 1)-тензор в представлении S под действием Lab. Очевидно, что so(d1), как алгебра, представления которой характеризуют внутренние степени свободы частиц, является аналогом малой алгебры Вигнера в случае пространства анти-де Ситтера.

Вычислив норму T +a |E0, S, которая не зависит от S, мы видим, что для унитарности представления необходимо как минимум чтобы E было неотрицательно.

Общая классификация сингулярных векторов, которые имеют теоретико-полевую интерпретацию как появление калибровочной инвариантности у уравнений движения, рассматриваемых в разделе 1.2, даётся следующей теоремой [158] Теорема. Пусть S0 S = Y(s1,..., sn ) диаграмма Юнга, определяющая неприводимое представление so(d 1). Для любого q = 1,..., n при условии sq sq+1 > (удобно определить sn+1 = 0) и любого t из диапазона 1,..., sq sq+1 существует значение вакуумной энергии E такое, что so(d 1, 2)-модуль D (E0 ; S0 ) приводим. Неприводимое представление H (E0 ; S0 ), которое будет называться безмассовой t = 1 или частично-безмассовой t > 1 частицей, определяется следующей точной последовательностью где веса so(2) so(d 1) определяются как Для доказательства теоремы мы воспользуемся вспомогательным утверждением Впервые поля произвольного типа симметрии в пространстве анти-де Ситтера рассматривались в [72], позднее в [74] было указано общее соответствие между сингулярными векторами в модулях D (E0 ; S) и появлением калибровочной инвариантности у уравнений движения. В [158], посвященной конформным полям в пространстве Минковского (конформная алгебра совпадает с алгеброй анти-де Ситтера), основываясь на результатах [159, 160], была дана полная классификация сингулярных векторов. Ниже, получая полную классификацию полей в пространстве анти-де Ситтера, мы объединяем результаты [158] с [74]. Ввиду того, что все необходимые ингредиенты уже присутствовали в литературе, результат о классификации частиц в пространстве анти-де Ситтера не рассматривается как самостоятельный результат, требующий помещения в одну из основных глав диссертации.

Лемма. В условиях теоремы, при значении энергии (1.14) в модуле D (E0 ; S0 ) возникает сингулярный вектор вида где многоточие отвечает слагаемым с некоторыми перестановками индексов, обеспечивающих проекцию на симметрию S1, и у вакуумного вектора |E0, S0 мы явно выписали индексы алгебры so(d 1), |E0, S0 a(s1 ),...,u(sn ). Следовательно, у D (E0 ; S0 ) имеется подмодуль D (E1 ; S1 ).

Доказательство. Условие того, что вектор (1.18) является сингулярным, имеет вид T w v = 0 или Воспользуемся следствием коммутационных соотношений в алгебре (1.10) где второе слагаемое не будет играть роли, поскольку вакуум несёт неприводимое представление so(d 1). Также заметим, что слагаемые, обозначенные ”...” в (1.18), не дают вклада в первое слагаемое, и поэтому все вычисления можно проводить только с ним (что становится очевидным, если свернуть все висящие индексы с некоторым неприводимым тензором с симметрией S1 ), и, поскольку исходное выражение обладает определённой симметрией, то и конечное тоже будет ей обладать, т.е. слагаемые ”...” автоматически подстраиваются правильным образом (если все индексы свернуть, то их просто не будет). Простые вычисления приводят к откуда сразу следует утверждение леммы.

Доказательство теоремы после этого проводится последовательным применением данной леммы, т.е., найдя искомый сингулярный подмодуль D (E1 ; S1 ), обнаруживаем, что для него самого удовлетворяются условия существования подмодуля, если энергию и спин выбрать равными E2 и S2, т.е. имеется подмодуль D (E2 ; S2 ) и так Группа индексов, по которым некоторый тензор симметричен обозначается одной буквой, указывая количество симметричных индексов в круглых скобках, см. Приложение A. Запятой отделяются группы индексов, по которым предполагаются юнговские условия, см. Приложение C.2.

далее до D (Eq ; Sq ), для которого условия существования подмодуля не удовлетворяются ни для какого вектора, что завершает построение резольвенты (1.15).

Таким образом, неприводимые бесконечномерные представления алгебры (анти)де Ситтера, которые, как мы потом увидим, имеют теоретико-полевую реализацию, классифицируются тройками (S, q, t), где параметр q определяет строку в диаграмме Юнга S, характеризующей спин поля, от которой можно отрезать t клеток (не менее чем одну). В полевых уравнениях S0, S1 и Si>1 характеризуют симметрии полевого потенциала, калибровочного параметра и приводимых калибровочных параметров, соответственно, а параметр t будет равен количеству производных в законе калибровочных преобразований. Данная теорема обобщает все известные в литературе результаты по полям (S, q, 1) в [72] и по полям (Y(s), 1, t) в [77,79,83]. Заметим, что сам метод, явно связывающий калибровочные поля с появлением сингулярных векторов, был предложен в [74], где был проверен для полей (Y(s1, s2 ), q, 1).

Замечание. Фермионные поля рассматриваются аналогично, при этом диаграмме S отвечает неприводимый спин-тензор с одним спинорным индексом, тензорные индексы которого имеют симметрию S. При этом теорема остаётся верна, если все представления Si заменить на соответствующие спинорные представления, а значения энергии Ei заменить на Ei 1/2. Фермионные поля смешанного типа симметрии, принадлежащие к серии (S, q, t = 1) впервые были рассмотрены в [73].

В отличие от пространства Минковского, в пространстве анти-де Ситтера для калибровочного поля некоторого спина количество подмодулей (калибровочных симметрий) на первом уровне всегда равно 1. Таким образом, даже те поля, которые называются безмассовыми, поскольку закон калибровочных преобразований содержит одну производную, на самом деле представляются ближе к массивным, так как только одна из калибровочных симметрий безмассового поля в пространстве Минковского допускает деформацию в анти-де Ситтер.

Отсутствие частично-безмассовых полей в плоском пространстве объясняется тем, что закон калибровочных преобразований, содержащий старшие производные, неминуемо приводит к приводимым представлениям. Действительно, имея теорию поля с законом калибровочных преобразований = ()k, содержащим производные порядка k, её можно было бы представить как = с = ()k1, где есть стандартная симметрия первого порядка по производным. При этом важно, что производные коммутируют, в частности производные различных порядков не смешиваются друг с другом. Поскольку в пространстве анти-де Ситтера ковариантные производные не коммутируют, приведённое рассуждение не применимо.

Классификация калибровочных полей. Суммируя приведённые выше рассуждения получаем: в пространстве анти-де Ситтера со спином S ассоциируется N семейств калибровочных полей, где N количество строк в S, от которых может быть отрезана хотя бы одна клетка, т.е. N равно количеству калибровочных симметрий для безмассового поля спина S в пространстве Минковского (см. ниже). Первое поле каждого семейства называется безмассовым (t = 1), остальные поля называются частично-безмассовыми (t > 1).

По мере увеличения q и увеличения t при данном q, наименьшая энергия E0 в представлении уменьшается. Как показано в [72], из всех безмассовых полей тольE d + s1 p1 2 : 1-ое безмассовое 1-ая группа частично-безмассовых d + s2 p1 p2 2 : 2-ое безмассовое 2-ая группа частично-безмассовых частично-безмассовых Рис. 1.1: Показано взаимное расположение по энергии калибровочных полей (S, q, t) при фиксированном спине S, который удобно записывать в блочных обозначениях, см. Приложение C.1, S = Y{(s1, p1 ),..., (sN, pN )}, т.е. разбивая диаграмму на прямоугольные блоки. Количество семейств полей со спином S равно числу блоков в диаграмме. Поле с наивысшей энергией имеет q = 1, t = 1. Далее энергия убывает при увеличении t для поля с q = 1 до поля с самой большой глубиной частичнойбезмассовости. Ещё ниже находится безмассовое поле с q = 2, t = 1 и так далее.

На рисунке перечеркнутые клетки соответствуют тем клеткам, которые необходимо удалить, чтобы из спиновой диаграммы S получить диаграмму S1, определяющую тип симметрии калибровочного параметра.

ко имеющее q = 1 является унитарным в анти-де Ситтере. Частично-безмассовые поля неунитарны в пространстве анти-де Ситтера, но унитарны в пространстве де Ситтера.

1.1.3 Классификация частиц в пространстве де Ситтера Теория представлений алгебры so(d, 1) движений пространства де Ситтера dSd, определяющегося как однородное пространство G = SO(d, 1)/H = SO(d 1, 1), сильно отличается от теории представлений so(d 1, 2). В частности, у алгебры so(d, 1) не существует унитарных представлений старшего веса или ограниченной энергии, что приводит к многочисленным проблемам при попытках сформулировать теорию поля в пространстве де Ситтера, например, трудности в определении in-out состояний.

Некоторый смысл понятию наименьшей энергии всё таки может быть придан [77,79].

При этом формальные значения E0, соответствующие дискретным сериям представлений, имеют тот же вид (1.14). Мы не будем подробно освещать это место, так как с точки зрения полевых уравнений переход от пространства анти-де Ситтера к пространству де Ситтера легко осуществляется заменой знака космологической постоянной 2.

1.2 Полевые уравнения Итак, мы имеем общую классификацию элементарных частиц в пространстве-времени Минковского и (анти)-де Ситтера. Следующий вопрос, поднятый Баргманном и Вигнером в [161] и Гельфандом и Ягломом в [162] для случая четырёхмерного пространства Минковского, заключается в построении явно релятивистки ковариантных уравнений для некоторого тензорного поля abc... (x), на положительно-частотных решениях которых реализовывалось бы соответствующее неприводимое представление группы движений пространства-времени.

Оказывается, для данных (m2, S) поставленный вопрос может быть решён бесконечным числом способов, в том смысле, что есть счётный произвол в выборе представления алгебры Лоренца, в котором принимает значение поле abc... (x), даже если считать последнее неприводимым. Наиболее естественный выбор состоит в том, что поле abc... (x) как тензор алгебры Лоренца имеет симметрию той же диаграммы S, которая характеризует тензор физических поляризаций или спин. В этом случае поле abc... (x) удобно называть спин-S потенциалом, мы будем обозначать его S.

Например, поле спина 0 описывается скалярным полем (x); поле спина 1 описывается спинорным полем, где - индекс спинорного представления алгебры Лоренца; поле спина 1 описывается векторным полем a (x); поле спина 2 описывается полем ab (x), которое симметрично по индексам a и b.

Для калибровочных полей, например, для безмассовых полей в пространстве Минковского, существует ещё один естественный объект напряжённость, т.е. некоторый калибровочно-инвариантный тензор, построенный из производных наименьшего ранга от данного потенциала. Такие тензоры в дальнейшем будут называться обобщённым тензором Вейля. Однако уже пример векторного поля показывает, что описание в терминах потенциалов более фундаментально, так как для введения электромагнитного взаимодействия или взаимодействия Янга-Миллса необходим именно потенциал Aµ, а не напряжённость Fµ. Остальные описания, основанные не на потенциалах или напряжённостях, называются дуальными и сталкиваются с трудностями при попытке введения взаимодействий [163–166].

Рассмотрение вопросов гравитационного взаимодействия, а именно введение в теорию гравитации фермионных полей, которое возможно только в переменных тетрада-связность, показывает, что в общем случае и потенциалы не являются фундаментальными объектами и должны быть замены на соответствующие тетрадные аналоги. Данная операция тривиальна для скалярного и векторного поля ( и Aµ совпадают со своими тетрадными аналогами, если понимать как ноль-форму, а Aµ как один форму Aµ dxµ ), но оказывается нетривиальной для поля спина 2, для которого потенциал gµ должен быть заменён на один-формы тетрады ea dxµ и спинсвязности µ dxµ.

Пока стоит вопрос только о полевых уравнениях, т.е. не требуется, например, чтобы уравнения допускали лагранжиан без расширения состава полей, можно обойтись потенциалами S со значениями в неприводимых (спин)-тензорах алгебры Лоренца.

Для того чтобы обеспечить неприводимость представления, очевидно, необходимо наложить на потенциал S все локальные явно Лоренц-ковариантные условия, которые для потенциала спина S = Y(s1,..., sn ) имеют вид a(s1 ),...,mb(si 1),...,mc(sj 1),...,u(sn ) где 2 Dm Dm и Dm ковариантная производная в соответствующем пространстве.

Условия распадаются на два класса: алгебраические (1.22)-(1.24), которые гарантируют неприводимость S как тензора алгебры Лоренца, т.е. условия Юнга (юнговость) (1.22) и бесследовость (1.23)-(1.24), и дифференциальные (1.20)-(1.21). Уравнение (1.20) фиксирует значение оператора казимира, а (1.21) исключает представления с меньшим спином. Модуль алгебры симметрий пространства-времени, выделяемый из потенциала S наложением уравнений (1.20)-(1.21), мы будем обозначать D (m2 ; S). Условия алгебраической неприводимости (1.22)-(1.24) считаются наложенными по определению самого потенциала S.

1.2.1 Пространство Минковского В пространстве Минковского решения (1.20) допускают разделение на положительнои отрицательно-частотные части. При m2 > 0 неприводимое представление H (m2 ; S) По повторяющимся сверху (или снизу) индексам подразумевается симметризация, например, в (1.22). Также (анти)симметризация подразумевается по индексам, заключённым в (квадратные)круглые скобки, см. Приложение A.

алгебры iso(d 1, 1), называемое массивной частицей спина S, реализуется на положительно частотных решениях D (m2 ; S). По модулю выбранной частотной ветви решений, D (m2 ; S) отождествляется с H (m2 ; S), При m2 = 0, D (m2 ; S) становится приводимым, т.е. появляются подпространства, инвариантные относительно действия iso(d 1, 1) (подмодули). На уравнениях движения это проявляется в появлении при m2 = 0 калибровочной инвариантности, которая сама может быть описана в терминах D (0; S ) c некоторыми S. Более того, в случае общего положения (S = Y(s1, s2,...), где s1 = s2 > 0) подмодули D (0; S ) сами являются приводимыми, т.е. возникает приводимость калибровочной симметрии, существование которой особенно очевидно в случае полностью антисимметричных полей. Например, для антисимметричного поля a,b ранга два с калибровочным преобразованием a,b = a b b a имеем a,b = 0, если калибровочный параметр первого уровня a представлен через параметр второго уровня в виде a = a.

Неприводимое представление H (0; S) алгебры iso(d 1, 1), называемое безмассовой частицей спина S, может быть определено следующим образом где r соответствует калибровочной симметрии на уровне r r, очевидно, отвечает калибровочным параметрам с симметрией диаграмм получаемых отрезанием по одной клетке от r различных рядов S.

В случае безмассового поля спина 2, например, имеем т.е. неприводимое представление H (0; ) определяется как фактор решений (1.20)где поле S есть симметричный бесследовый тензор второго ранга ab, по калибровочным симметриям вида ab = a b + b a, представленным решениями (1.20)-(1.24) с векторным полем a.

Количество калибровочных параметров на первом уровне, как видно из определения, равно количеству способов, которыми можно удалить одну клетку из диаграммы Юнга S так, что полученная диаграмма также обладает свойством юнговости, а количество уровней приводимости равно высоте диаграммы, т.е. n для S = Y(s1,..., sn ).

Важным в дальнейшем будет тот факт, что на самом глубоком уровне приводимости всегда находится лишь один калибровочный параметр (подмодуль), диаграмма S которого получается отрезанием одной клетки справа от каждой строки S, т.е. S имеет вид S без первого столбца, S = Y(s1 1,..., sp 1).

1.2.2 Пространство анти-де Ситтера В пространстве анти-де Ситтера решения (1.20) также допускают разделение на положительно- и отрицательно-частотные части. В случае общего положения, когда m2 не равно одному из значений дискретной серии, определяемой ниже, модуль D (m2 ; S) алгебры so(d 1, 2) неприводим и называется массивной частицей спина S, т.е. определение H (m2 ; S) совпадает с (1.25).

Вопрос о том, какие поля, удовлетворяющие (1.20)-(1.24), следует называть безмассовыми, более интересен, [74]. В пространстве Минковского безмассовость синоним калибровочности. Выбирая калибровочную симметрию как определяющий принцип и в пространстве анти-де Ситтера [74], следует называть поле безмассовым при тех значениях массового параметра m2 в (1.20), при которых у системы (1.20)-(1.21) появляется калибровочная инвариантность, что гарантирует уменьшение количества степеней свободы по сравнению с массивным полем. В общем случае калибровочная инвариантность появляется при ненулевых значениях параметра массы m2.

В работах [72,73] была получена общая формула, связывающая значения наименьшей энергии E0 и спина S = Y(s1,..., sn ) в модуле D (E0 ; S) со значением параметра массы m2 в уравнении (1.20). Привлекая интерпретацию [74] сингулярных векторов вида (1.18) как появление калибровочной симметрии у уравнений движения и классификацию сингулярных векторов из теоремы раздела 1.1.2, получаем {4}: для любого q = 1,..., n при условии sq sq+1 > 0 и любого t = 1,..., sq sq+1 существует значение параметра массы m2, однозначно определяемое E0 (1.14) и S, а именно, и такое, что (1.20)-(1.21) становятся инвариантными относительно калибровочных преобразований потенциала вида a(s1 ),...,u(sn ) = Dc...Dc a(s1 ),...,b(sq1 ),c(sq t),d(sq+1 ),...,u(sn ) +..., (1.31) где ’...’ обозначает члены с меньшим числом производных и члены с различными перестановками индексов так, чтобы выражение справа обладало юнговской симметрией S. Калибровочный параметр S1 является неприводимым тензором с симметрией диаграммы S1, т.е. Y(s1, s2,..., sq1, sq t, sq+1,..., sn ), получаемой отрезанием t клеток от строки с номером q, и удовлетворяет уравнениям аналогичным (1.20)-(1.21) с массовым параметром, определяемым формулой (1.30) для E1 и S1.

Из вида точной последовательности (1.15), задающей неприводимое представление H (E0 ; S) по значениям параметров (S, q, t), следует, что у уравнений (1.20)-(1.21) с m2 равным (1.30) имеется q уровней приводимости калибровочных симметрий. Калибровочный параметр на i-ом уровне имеет симметрию диаграммы Si. Полный набор поле плюс калибровочные параметры на всех уровнях имеет вид Параметр t определяет количество производных в калибровочном законе. При t = 1 поля принято называть безмассовыми, а при t > 1 частично-безмассовыми.

Хотя теория представлений однозначно определяет значение параметра массы и вид калибровочного закона, убедиться в появлении калибровочной симметрии у уравнений (1.20)-(1.21) можно, конечно, только с помощью свойств коммутации Dm, как это и было сделано для безмассовых полей в оригинальной работе [72], что технически труднее, чем теоретико-групповой анализ, так как параметр массы квадратичен по энергии.

При данных массе m2 и спине поля S, у (1.30) имеется два корня E0 и E0, связанные соотношением E0 + E0 = d 1, максимальный корень E0 отвечает массивному или (частично)-безмассовому полю, для которого решения волнового уравнения ведут себя регулярным образом на бесконечности, тогда как минимальный корень отвечает так называемому теневому партнёру [167], для которого решения волнового уравнения расходятся на бесконечности. Мы всегда будем подразумевать максимальный корень (1.30), говоря о связи массы и энергии.

Привлекая вновь теорему из раздела 1.1.2, можно показать, что точная последовательность (1.15) может быть продолжена справа это подразумевает, что для поля S0 с законом калибровочных преобразований (1.31) можно построить поле C S1, которое есть калибровочно-инвариантная комбинация производных наименьшего ранга от S0 такая, что C S1 не исчезает на уравнениях (1.20)-(1.21). Поле C S1 имеет симметрию S1, и получается взятием (sq sq+1 t+1) производных от S0. Поле C S1 называется обобщённым тензором Вейля, по аналогии с полем спина 2, для которого свободные уравнения Эйнштейна в вакууме эквивалентны занулению тензора Ричи Rµ, тогда как бесследовая часть тензора кривизны Rµ,, называемая тензором Вейля, ограничена только тождествами Бьянки и не равна нулю на уравнениях движения.

Следовательно, пространство калибровочно-инвариантных величин, построенных из производных поля S0, порождается уравнениями (1.20)-(1.21) и обобщённым тензором Вейля.

В качестве иллюстрации диаграммы Юнга S1, S0 и S1, соответствующие симметриям калибровочного параметра S1, потенциала S0 и обобщённого тензора Вейля C S1, имеют вид 1.2.3 Пространство де Ситтера Появление калибровочной инвариантности вида (1.31) у уравнений (1.20)-(1.21) в пространстве де Ситтера происходит при тех же значениях параметра массы что и в пространстве анти-де Ситтера при замене 2 2. Однако следует заметить, что (1.20) уже не допускает разделение решений на положительно- и отрицательночастотные части, алгебра де Ситтера смешивает их в один модуль, что и приводит к многочисленным трудностям для квантовой теории поля.

1.3 Поля в пространстве Минковского vs. (анти)-де Суммируя вышесказанное: поля в пространстве Минковского однозначно определяются парой (S, m2 ), где S характеризует неприводимое представление малой алгебры so(d 1), если m2 > 0, и so(d 2), если m2 = 0; поля в пространстве Вигнера (анти)-де Ситтера однозначно определяются триплетом (S, q, t), где S характеризует неприводимое представление малой алгебры Вигнера so(d 1) и параметры q, t определяют тип калибровочной симметрии.

1.3.1 Степени свободы Тот факт, что малая алгебра Вигнера в пространстве (анти)-де Ситтера как для массивных, так и для калибровочных полей есть so(d1), приводит к тому, что даже безмассовые поля имеют в общем случае больше степеней свободы в пространстве (анти)-де Ситтера, чем безмассовое поле того же спина в пространстве Минковского [74]. Теоретико-полевая интерпретация этого факта заключается в том, что калибровочные поля в пространстве (анти)-де Ситтера имеют меньше калибровочных симметрий, чем безмассовые поля того же спина в пространстве Минковского [72].

Количество степеней свободы для массивного поля в пространстве Минковского и (анти)-де Ситтера оказывается одинаковым. Для калибровочных полей равенство числа степеней свободы в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера достигается только для безмассовых полей первой серии, спин S которых характеризуется прямоугольной диаграммой Юнга, т.е. S = Y(s,..., s). Для таких полей количество калибровочных симметрий равно 1, и, следовательно, не происходит уменьшения калибровочной симметрии при переходе от пространства Минковского в (анти)-де Ситтер. В частности, это верно для полностью симметричных S = Y(s) и полностью анти-симметричных полей S = Y(1,..., 1).

1.3.2 Унитарность Массивные и безмассовые поля в пространстве Минковского унитарны. В пространстве анти-де Ситтера унитарны лишь: (1) безмассовые поля, т.е. t = 1, с минимально возможным значением параметра q, т.е. q равно номеру первой строки S, от которой можно отрезать одну клетку; (2) массивные поля, энергия которых выше значения энергии унитарного безмассового поля данного спина. Остальные безмассовые поля, все частично-безмассовые поля, а также массивные поля с энергией меньшей энергии унитарного безмассового поля неунитарны. В пространстве де Ситтера частичнобезмассовые поля по-видимому унитарны [83,84], хотя в общем случае данный вопрос не исследовался.

1.4 К оффшельному описанию Классификация решений системы уравнений (1.20)-(1.24) и их связь с неприводимыми представлениями алгебры симметрий пространства-времени дают полное решение проблемы on-shell описания полей произвольного спина в пространствах Минковского, де Ситтера и анти-де Ситтера по модулю всевозможных дуальных описаний, которые, как уже отмечалось, приводят к трудностям при построении теорий со взаимодействием и поэтому вряд ли могут играть фундаментальную роль.

Однако для построения квантовой теории необходимо иметь так называемую oshell реализацию полевых систем, в которой на поля и калибровочные параметры не наложено никаких дифференциальных ограничений типа условий поперечности (1.21). Для этого оказывается необходимым расширить состав полей. В частности, это необходимо для построения лагранжиана. Собственно основная часть диссертации посвящена построению таких реализаций в рамках развёрнутого подхода, который показал себя наиболее эффективным при построении нелинейных теорий по линейным в случае полностью симметричных безмассовых полей.

Ниже приводятся некоторые примеры известных в рамках метрического подхода o-shell реализаций для калибровочных полей. Исключительно для простоты изложения примеры в основном относятся к полям в пространстве Минковского.

Поле спина s с поперечной калибровочной инвариантностью. Существует возможность формулировки промежуточной между on-shell и o-shell, в которой поля не подвержены никаким дифференциальным ограничениям, однако калибровочные параметры имеют нулевую дивергенцию. В случае поля спина 2 такая теория соответствует предложенной А.Эйнштейном в [168] теории гравитации инвариантной относительно преобразований координат, сохраняющих объём, [169, 170].

Обобщение данного подхода на случай полей спина s, описываемых симметричным тензорным полем µ1...µs ранга s, приводит к уравнениям и связям вида Как видно, поле описывается неприводимым тензором µ1...µs, что ведёт к дифференциальным условиям на калибровочный параметр, которые получаются взятием следа от закона калибровочных преобразований. Тем не менее, данные уравнения допускают лагранжиан и описывают правильное число степеней свободы, как было показано в {6}, а также могут допускать более широкий произвол при введении взаимодействий, чем классическая формулировка, рассматриваемая ниже.

Поле спина s, полностью o-shell формулировка. Как было показано впервые Фронсдалом в [171], безмассовое поле спина s может быть описано симметричным тензорным полем µ1...µs ранга s, на которое наложено условие дваждыбесследовости, т.е. только второй след поля должен обращаться в ноль. Уравнения Фронсдала, закон калибровочных преобразований и уже только алгебраические условия на поле и калибровочный параметр имеют вид Тот факт, что калибровочный параметр оказался неприводимым тензором, не является общим и представляет собой следствие того, что поле спина s относится к простейшему типу симметрии. Однако построить нелинейную теорию уже для данных полей оказалось сложной задачей, которая была решена Васильевым в [44–46] в рамках развёрнутого подхода.

Очевидно, что как модуль алгебры Лоренца поле Фронсдала µ1...µs раскладывается на два неприводимых представления, соответствующие бесследовым симметричным тензорам рангов s, s 2.

Антисимметричное поле ранга p. Наиболее простыми полями являются полностью антисимметричные поля, формально имеющие спин которые описываются антисимметричным тензорным полем [µ1...µp ]. Уравнения и закон калибровочных преобразований имеют вид Антисимметричные поля иллюстрируют такое свойство полей произвольного типа симметрии как приводимость калибровочной симметрии. Не все калибровочные параметры действуют на поле эффективно. Не сдвигают поле те параметры, которые сами имеют вид антисимметризованной производной от параметра второго уровня и т.д., вплоть до уровня p.

Уравнения, полученные из лагранжиана, имеют вид Gµ1...µs s(s1) (µ1 µ2 G µ3...µs ) = 0, где Gµ1...µs равно левой части (1.35). Обе формы полностью эквивалентны.

Простейшее поле смешанного типа симметрии, S = Y(2, 1). Простейший тензор смешанного типа симметрии имеет ранг три и симметрию диаграммы.

Данное поле, называемое по типу диаграммы крюком, было впервые разобрано в [89, 172]. Поле в данном случае представлено тензором [µµ],, который антисимметричен по первым двум индексам µ, = µ, и удовлетворяет условию Юнга µ, +,µ + µ, = 0 или [µµ,] = 0.

Поскольку для тензоров смешанного типа симметрии не существует уникального способа представления, имеется также эквивалентная форма, в которой тензор наоборот симметричен по первым двум индексам, S = S, S + S + S = или (µµ,) = 0. Два базиса связаны преобразованием S = 3 (A + A ), [µ], Уравнения движения инвариантны относительно калибровочных преобразований вида в которые входят уже два параметра, симметричный (µ) и антисимметричный [µ].

O-shell’ность приводит к тому, что как само поле, так и симметричный калибровочный параметр не являются неприводимыми. В данном простом случае на поле [µµ], не наложено никаких условий на следы. Таким образом, оно раскладывается на неприводимые so(d 1, 1)-тензоры как. Аналогично, для калибровочного параметра (µµ) •. Как и у полностью антисимметричных полей, калибровочная симметрия приводима, поле не сдвигается при преобразовании с векторным параметром µ затрагивающим оба параметра первого уровня.

Представление H 0; алгебры Пуанкаре описывается точной последовательностью Поле спина Y(s1, s2 ). Достаточно общим случаем поля смешанного типа симметрии является поле спина S = Y(s1, s2 ), т.е. случай когда два веса представления малой алгебры Вигнера отличны от нуля. Согласно гипотезе [90] поле спина Y(s1, s2 ) может быть описано тензорным полем a(s1 ),b(s2 ) a1...as1,b1...bs2, которое симметрично по индексам a1...as1 и отдельно по индексам b1...bs2, и также удовлетворяет условию Юнга (a1...as1,as1 +1 )b2...bs2 0, т.е. a(s1 ),b(s2 ) имеет симметрию диаграммы s2 1. Аналогично полностью симметричным полям Фронсдала, на поле a(s1 ),b(s2 ) наложены следовые условия таким образом, кросс-след по отношению к индексам из разных групп не обращается в ноль, и поэтому a(s1 ),b(s2 ) раскладывается на большое число неприводимых компонент Уравнения Лабастиды [90] удовлетворяют тем же следовым условиям и условиям симметрии, что и поле a(s1 ),b(s2 ).

Уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований соответственно и удовлетворяют следовым условиям a(s1 ),m b(s2 3) Из условий (1.44) и (1.45) следует, что след 1 1 с симметрией s2, а также Дополнительные слагаемые и коэффициенты возникают из-за того, что тензор, полученный простым взятием производной, уже как правило не обладает никакими определёнными свойствами симметрии. Чтобы восстановить правильную юнговскую симметрию, необходимо добавить с правильными коэффициентами слагаемые с всевозможными перестановками индексов.

имеют следы с типами симметрии s211 и s212. Из условий (1.46) и (1.47), следует что эти следы не независимы и пропорциональны друг другу.

Согласно общей схеме [90], типы симметрий калибровочных параметров получаются отрезанием всевозможными способами одной клетки от диаграммы, характеs s1 1 s ризующей спин поля, т.е. s2 1 даёт как раз s2 и s2 1.

Аналогично антисимметричным полям и уже разобранному простейшему полю смешанного типа симметрии, калибровочная симметрия приводима где калибровочный параметр второго уровня a(s1 1),b(s2 1) есть бесследовый тензор и имеет симметрию диаграммы, получаемой отрезанием двух клеток от разных строк диаграммы S, характеризующей спин поля, т.е. s211, a(s1 1),ab(s2 2) 0.

Общий случай поля смешанного типа симметрии. Гипотеза Лабастиды [90], как обобщение [89,171,173–175], состоит в том, что для описания поля произвольного спина S = Y(s1,..., sp ) можно взять тензорное поле того же типа симметрии, что и диаграмма, характеризующая спин поля. Как и в предыдущих двух случаях полей смешанного типа симметрии, поле реализует приводимое представление алгебры Лоренца, определяемое следовыми условиями Уравнения Лабастиды на поле a1 (s1 ),...,ap (sp ) имеют вид и инвариантны относительно калибровочной симметрии с параметрами симметрия которых характеризуется диаграммами, получаемыми отрезанием одной клетки от i-ой строки S при условии, что это не нарушает свойство юнговости диаграммы. Таким образом количество калибровочных параметров равно числу блоков в S, т.е. числу групп строк одинаковой длины.

Следовые условия на параметры i более сложные, чем (1.51). В частности, следовые условия связывают следы одного и того же типа у разных параметров i.

Все следовые условия получат простое объяснение в рамках развёрнутого подхода в Главе 3.

Поле спина s + 1. Фермионные поля смешанного типа симметрии разделяют такие свойства бозонных полей как приводимость калибровочных симметрий, расширение состава полей для o-shell формулировки. Основное отличие состоит в том, что уравнения движения имеют первый порядок и алгебраические условия накладываются с помощью -матриц9.

Фермионное поле, имеющее спин (s + 1 ), может быть описано o-shell [173] полностью симметричным спин-тензором ;(µ1...µs ). Уравнения, закон калибровочных преобразований и калибровочные условия имеют вид Поле ;(µ1...µs ) приводимо, так как лишь третий -след обращается в ноль. Как и в случае бозонных полей спина s, калибровочный параметр неприводим.

Антисимметричное фермионное поле ранга p. Полностью антисимметричное фермионное поле спина Y[p] 1 может быть описано o-shell антисимметричным спинтензором ;[µ1...µp ], удовлетворяющим Как и в бозонном случае, (1.55) обладают приводимыми калибровочными симметриями. Отличие состоит в том, что в фермионном случае можно было бы наложить некоторые -условия на ;[µ1...µp ], например, тройная -бесследовость, но из этого сразу бы следовало, что калибровочный параметр на первом уровне -бесследов, µ2...µp1 = 0, а, следовательно, калибровочный параметр на втором уровне удовлетворяет уравнению типа Дирака, µ1...µp2 = 0. Поэтому для полностью o-shell формулировки ни на поле, ни на калибровочные параметры не должны накладываться никакие -условия.

В настоящей главе были даны полные классификации частиц в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера, которые оказываются сильно различными.

Несмотря на то, что частично-безмассовые поля, по-видимому, должны быть исключены из любой разумной фундаментальной теории, они гармонично вписываются в общую картину классификации полей как случай промежуточный между массивным и безмассовым. Как мы увидим далее, все описанные типы калибровочных полей допускают простое геометрическое описание в рамках тетрадного µ удовлетворяют µ + µ = 2µ, / µ µ. -след - это свёртка одного спинорного и одного тензорного индекса -матрицы с некоторым спин-тензором, например, µ ;µ. Уравнения, полученные из лагранжиана [173], имеют вид Gµ1...µs 2 (µ1 Gµ2...µs ) s(s1) (µ1 µ2 G µ3...µs ) = 0, Gµ1...µs = / µ1...µs s(µ1 µ2...µs ) = 0, и полностью эквивалентны (1.55).

подхода и его далёкого обобщения развёрнутого подхода. Отсутствие частичнобезмассовых полей накладывает строгие ограничения на необходимый ингредиент полной нелинейной теории унитарных полей произвольного спина алгебру высших спинов [149, 176–178]. Таким образом, исследование простейших аспектов свободной теории не только для интересующего нас случая унитарных безмассовых полей, но и для частично-безмассовых должно помочь в поиске совместной нелинейной теории и исключении возможных вариантов, содержащих частично-безмассовые поля.

Мы не рассматриваем массивные поля как таковые в виду того, что теория массивных полей допускает реализацию в терминах безмассовых. Например, лагранжиан, массивного поля может быть получен как сумма лагранжианов некоторого набора безмассовых полей, дополненных членами без производных и с первыми производными, [84]. Спектр спинов безмассовых полей, необходимых для описания массивного поля спина S получается редукцией представления S алгебры so(d 1) на одно измерение, т.е. к малой алгебре Вигнера so(d 2) безмассовых полей. Данное описание обладает рядом преимуществ: безмассовые поля проще массивных, и массивное поле описывается как калибровочная теория (со Штюкельберговыми симметриями), что позволяет легко контролировать неизменность количества степеней свободы, требуя чтобы вершины взаимодействия были калибровочно-инвариантными. Следует отметить, что даже построение лагранжиана для массивного полностью симметричного поля спина s было технически сложной задачей [179,180], так как потребовало введений дополнительных полей (полей Фирца-Паули), которые равны нулю на уравнениях движения, но позволяют получить правильные уравнения для самого массивного поля. Лагранжиан же Зиновьева [84] однозначно фиксируется требованием калибровочной инвариантности. Фиксацией калибровки часть полей можно положить равными нулю, после чего воспроизводится лагранжиан Синга-Хагена [179, 180].

Мы сосредоточимся на описании полей в терминах потенциалов, точнее на реперной и развёрнутой формулировке, редукция которых даёт в том числе формулировку в терминах потенциалов, так как все другие (дуальные) формулировки приводят к трудностям при построении взаимодействующих теорий.

Глава Развёрнутая формулировка Как уже отмечалось во введении, развёрнутый формализм обладает рядом преимуществ по сравнению, например, с метрическим подходом. Данная глава посвящена общим элементам формализма разворачивания, также рассматриваются теоретикополевые примеры.

2.1 Общее определение Говорится, что некоторый набор дифференциальных уравнений имеет развёрнутый вид [41–43], если он может быть записан как равенство нулю напряжённостей вида где W A набор дифференциальных форм на некотором многообразии Md со значениями в некоторых векторных пространствах, которые обозначаются индексами A (обозначения Пенроуза [181]), так что A, B,... обозначают к векторное пространство, а не к конкретным компонентам в базисе1 ; |A| есть степень W A как дифференцивнешний дифференциал на Md ; F A (W ) (|A| + 1) от W, которая предполагается разложимой только в терминах внешних произведений форм где f AB1...Bn некоторые независящие от координат на Md элементы из Hom(B... Bn, A), т.е. отображения из тензорного произведения B1... Bn в A.

Для того чтобы обеспечить формальную совместность (2.1) с d2 0, требуется, чтобы F A (W ) удовлетворяло условию интегрируемости (на которое мы будем Верхние индексы отвечают векторному пространству, а нижние дуальному к нему. Повторяющийся сверху и снизу индекс подразумевает спаривание между элементом пространства и элементом дуального к нему пространства.

Сам символ внешнего произведения мы будем опускать в дальнейшем.

ссылаться как на обобщённое тождество Якоби или как на тождество Бьянки), получаемое применением d к (2.1) где подразумевается сумма по индексу B, нумерующему векторные пространства.

Любое решение (2.3) определяет так называемую свободную дифференциальную алгебру (СДА) [127–130]. СДА представляет собой категориальное расширение алгебр Ли и тесно с ними связана. Если тождество Якоби (2.3) удовлетворяется независимо от размерности3 Md, то СДА называется универсальной [182, 183]. В дальнейшем мы будем рассматривать только развёрнутые уравнения на базе универсальных СДА, которые, как следствие универсальности, хорошо определены в любой достаточно большой размерности.

Как следствие универсальности развёрнутые уравнения (2.1) инвариантны относительно калибровочных преобразований где калибровочный параметр A поля W A является формой степени (|A| 1) и принимает значение в том же векторном пространстве A, что и W A.

Отметим, что все формы W A степени большей нуля, |A| > 0, представляют собой калибровочные поля, так как с каждым ассоциирован калибровочный параметр. Второе слагаемое в (2.4) и единственное в (2.5) соответствуют некоторым сдвиговым преобразованиям, которые могут отвечать алгебраическим (Штюкельберговым) калибровочным симметриям. Формы степени ноль могут преобразовываться только сдвиговым образом и поэтому не являются, строго говоря, калибровочными полями.

Как будет видно в дальнейшем, они играют специальную роль.

Также отметим, что условие W A = 0 инвариантности W A относительно (2.4) можно рассматривать как развёрнутую систему уравнений по отношению к A, калибровочные преобразования A которой, с (|A| 2)-формой A, представляют собой приводимые калибровочные симметрии исходной системы, т.е. W A 0, если = A. Следовательно, приводимость калибровочных симметрий явно заложена в развёрнутую систему уравнений, и поле W A степени большей нуля, |A| > 0, имеет ровно |A| уровней приводимости в калибровочной симметрии.

Тождество Якоби (2.3) может быть переписано как тождество для напряжённостей, что позволяет ссылаться на (2.3) и как на тождество Бьянки.

Поскольку дифференциальные формы степени, превышающей размерность многообразия d, тождественно равны нулю, существуют некоторые тождества, например, Wn Wn 0, если n + m > d, которые могут сделать оператор W A плохо определённым, или, наоборот, обеспечивают зануление некоторых слагаемых в (2.3).

Сохраняющиеся величины. Легко могут быть описаны и сохраняющиеся величины, ассоциированные с какой-либо развёрнутой системой [131], а именно: условие сохранения для некоторой функции C(W A ) полей W A имеет вид т.е. сохраняющиеся токи отвечают когомологиями оператора Q = F B (W ) W B. ДейA ствительно, условие сохранения C(W ) есть условие Q-замкнутости, а добавление к C(W A ) точной формы C(W A ) + dG(W A ), которая не даёт вклада в заряд, получаемый интегрированием C(W A ) по гиперповерхности, на уравнениях движения эквивалентно добавлению Q-точной формы. Все калибровочно-инвариантные сохраняющиеся токи полей высших спинов в четырёхмерном пространстве Минковского были получены в {7}, [184].

Использование языка дифференциальных форм позволяет описывать полевые системы в координатно-независимой форме, что особенно важно для систем, включающих в себя взаимодействие с гравитацией. Вся нетривиальная информация о динамике системы оказывается закодированной в алгебраической функции F A (W ).

Отметим, что размерность d многообразия Md на самом деле явно нигде не фигурирует, что позволяет, например, легко переходить с одного базового многообразия на другое [183, 185, 186].

Среди применений развёрнутого подхода особо отметим полученное в [187, 188] координатно-независимое описание чёрнодырных решений всех известных типов, не апеллирующее к какой бы то ни было явной форме метрики, а также решение чёрнодырного типа в полной нелинейной теории высших спинов, полученное недавно в [189].

Очевидно, всегда возможно переписать любой набор дифференциальных уравнений в развёрнутой форме, вводя достаточное количество вспомогательных полей, хотя это может быть технически трудно, или требовать, как это имеет место для полевых систем, введения бесконечного количества вспомогательных полей.

2.2 Связь с алгебрами Ли Свободные дифференциальные алгебры имеют прямое отношение к алгебрам Ли, объединяя в себе алгебры Ли, их представления и когомологии Шевалье-Эйленберга.

Алгебры Ли. Пусть µ dxµ есть один-форма со значением в некотором векторном пространстве, а I представляют компоненты в некотором базисе. Наиболее общие развёрнутые уравнения, которые можно наложить на без введения других полей, имеют вид где fJK - некоторые постоянные коэффициенты, антисимметричные по индексам J, K, так как один-формы антикоммутируют. Из обобщённого тождества Якоби (2.3) следует, что fJK удовлетворяют обычному тождеству Якоби и следовательно задают некоторую алгебру Ли g со структурными константами fJK.

Таким образом, замкнутый сектор один-форм развёрнутой системы определяет некоторую алгебру Ли. Развёрнутые уравнения (2.8) не что иное, как условие плоской связности (нулевой кривизны), т.е. равенство нулю напряжённости Янга-Миллса для Как будет подробно объяснено в следующем разделе, с помощью один-форм I можно эффективно описывать геометрию пространства-времени, т.е. фоновая геометрия задаётся как часть развёрнутых уравнений.

Стягиваемые СДА. Линейные по полям развёрнутые уравнения имеют вид Путём надлежащего выбора базиса в векторных пространствах мы всегда можем расщепить уравнения на два сорта где второе уравнение (2.11) является на самом деле следствием тождеств Бьянки (2.6) для первого уравнения. В первом случае калибровочные преобразования (2.4) Wq = dq1 A, Wq+1 = dA позволяют добиться Wq = 0, а решение dWq+1 = имеет вид чистой калибровки. Во втором случае, опять посредством леммы Пуанкаре, решения имеют вид чистой калибровки. Свободные дифференциальные алгебры, приводящие к уравнениям такого рода, называются стягиваемыми [127]. С динамической точки зрения такие развёрнутые уравнения не описывают степеней свободы и могут играть лишь вспомогательную роль.

Представления алгебр Ли/Уравнения ковариантного постоянства. Пусть некоторый подсектор q-форм калибровочных полей и связность I некотоWq рой алгебры g удовлетворяет (2.8). Наиболее общие линейные по Wq развёрнутые уравнения имеют вид Из обобщённого тождества Якоби (2.6), которое в секторе Wq может быть получено применением d к (2.13), после чего dI и dWq подставляются из (2.8) и (2.13), соответственно, следует Следовательно, fI AB реализуют некоторое представление алгебры g. Таким образом, линейные развёрнутые уравнения в секторе q-форм однозначно определяются заданием некоторого представления алгебры g или g-модуля, а сами уравнения имеют вид условия ковариантного постоянства и (D )2 = 0 в силу (2.8).

В случаях, рассматриваемых ниже, индексы A отвечает некоторым (спин)-тензорным модулям алгебры Лоренца, на которые разлагаются некоторые конечномерные представления алгебры Пуанкаре или (анти)-де Ситтера. В случае пространства (анти)-де Ситтера, алгебра симметрий которого сама имеет (спин)-тензорные представления, более эффективно работать сразу со связностями (или обобщёнными полями ЯнгаМиллса) алгебры (анти)-де Ситтера, что будет подробно рассмотрено в Главе 6.

Склейки модулей/Когомологии Шевалье-Эйленберга. Рассмотрим теперь наиболее общий вид развёрнутых уравнений линейных по всем полям, обозначенным W A, кроме I. Совокупность полей W A удобно разбить на подсекторы, каждый из которых содержит формы одной и той же степени. Наиболее общий вид уравнений на поля в каждом таком подсекторе есть условие ковариантного постоянства (2.15) плюс возможные слагаемые, смешивающие поля из разных подсекторов. Такие слагаемые могут быть полиномиальны по I для обеспечения необходимой степени по формам. Если отбросить случай стягиваемых СДА, то I должны входить как минимум квадратично.

Предположим, что наборы форм Wp, Wq и Wr, p > q > r, принимают значения в g-модулях R1, R2 и R3, которые реализованы операторами T1, T2 и T3 соответственно.

Тогда наиболее общие линейные по W A уравнения имеют вид где мы собрали d + T () в ковариантные производные в соответствующих модулях. Два g-модуля R1 и R2 оказываются склеенными посредством оператора f12 (,..., ) Hom(pq+1 (g)R2, R1 ). Из обобщённых тождеств Якоби (2.3) следует [183], что f12 (,..., ) это некоторый представитель класса когомологий ШевальеЭйленберга со значениями в Hom(R2, R1 ), и также что f12 (,..., )f23 (,..., ) = 0.