«О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов ...»

Федеральное государственное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Башкирский государственный университет»

На правах рукописи

УДК 517.984

Ишкин Хабир Кабирович

О классах возмущений спектрально

неустойчивых операторов

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант д. ф.-м. н., проф.

З. Ю. Фазуллин Уфа – 2013 Содержание Введение.................................... Глава 1. Критерий безмонодромности................. 1.1. Критерий безмонодромности уравнения Штурма – Лиувилля на замкнутой кривой........................... 1.2. Критерий безмонодромности для систем Дирака.......... Глава 2. Операторы Дирака и Штурма – Лиувилля на кривой 2.1. Некоторые вспомогательные утверждения............. 2.2. Аналог теоремы Марченко...................... 2.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Штурма – Лиувилля 2.4. Критерий m-локализации спектра оператора Дирака на кривой. 2.5. Примеры................................ Глава 3. Комплексный ангармонический осциллятор....... 3.1. Спектр оператора 0......................... 3.2. О необходимости условий А) — Б) для 1-локализации спектра. 3.3. Критерий 1-локализации спектра оператора +........ Глава 4. Теоремы о локализации спектра в случае наличия непре­ рывного спектра и в квазиклассическом пределе........ 4.1. Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом 4.2. Модельный оператор, связанный с оператором Орра – Зоммер­ фельда................................. 4.3. Критерий расщепления спектра................... Литература................................... Введение Оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве, условимся называть близким к самосопряженному, если = 0 +, где самосопряжен, компактен относительно 0, то есть ( ) (0 ) и опе­ ратор (0 + )1 компактен. Если 0 полуограничен снизу и при некотором > 0 оператор (0 + )1/2 (0 + )1/2 компактен, то оператор = 0 +, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм. К настоящему времени спек­ тральная теория операторов, близких к самосопряженным, разработана доста­ точно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. [1, 25, 26, 28, 47, 48, 81], а также [64] и имеющиеся там ссылки). Так, со­ гласно известной теореме М.В.Келдыша [26], любой оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве и близкий к самосопряженному опера­ тору 0, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр 0 дискретен и функция (, 0 ) (количество собственных значений 0 (с учетом кратности) в интервале (, )) удовлетворяет некоторому условию ()1, то 1 ) система корневых векторов полна в ;

2 ) при любом > 0 спектр оператора вне углов {|arg| < } и {|arg | < } конечен и для функции (, ) — количества собственных значений оператора, с учетом их алгебраических кратностей, в круге || < — справедливо соотношение (1) (, ) (, 0 ), +.

Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор 0, удо­ влетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов, Это условие заключается в существовании некоторой функции (), такой, что (, 0 ) () при + и () удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша [26, 27], которые впоследствии были обобщены Б.И. Коренблюмом [30].

близких к 0 и обладающих свойством := 1 2.

Предположим теперь, что 0 не удовлетворяет какому-то из условий тео­ ремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство оператора 0 так, чтобы существовал нетривиальный класс возму­ щений, сохраняющих это свойство?

Как показывают многочисленные примеры (см. [77, 86, 95–100, 106, 110, 119–123, 126, 132, 137, 138] и др.), операторы, не являющиеся близкими к само­ сопряженным (для краткости: операторы, далекие от самосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма ( )1 может быть большой даже при, далеких от спектра. Поэтому в случае, когда — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор, для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициен­ ты соответствующего дифференциального выражения накладывать дополни­ тельное (гораздо более жесткое по сравнению с близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитичности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспоненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложений. Коль скоро мы собираемся описывать классы воз­ мущений, сохраняющих какое-либо спектральное свойство, то должны от­ ветить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектральной неустойчивостью)? В рам­ ках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным.

В связи с этим актуальной становится разработка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных.

В диссертации предложен метод, который позволяет в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференци­ альных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих опре­ деленное спектральное свойство. Оказалось, что этот метод с одинаковым успехом применим как к регулярным, так и к сингулярным дифференциальным операторам, спектр которых может быть как чисто дискретным, так и содер­ жать непрерывную часть. Метод оказался полезным и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциальных операторов в квазиклассическом пределе.

В работе рассматриваются 4 различных типа обыкновенных дифферен­ циальных операторов, не удовлетворяющих условиям теоремы Келдыша. Эти операторы были предметом исследований многих математиков. Так же, как в теореме Келдыша, для них получены достаточные условия на возмущения, при которых сохраняются некоторые спектральные свойства. Однако характер этих условий (аналитичность) сразу порождает вопрос о степени их необходимо­ сти. Нам удалось показать, что после незначительного ослабления эти условия становятся необходимыми и достаточными для выполнения соответствующего свойства. Приведем список этих операторов.

1) Оператор Дирака на кривой. Пусть — кривая с параметризацией Обозначим через 2, C2 гильбертово пространство 2-компонентных вектор­ функций со скалярным произведением (, ) = Оператором Дирака на кривой будем называть оператор, действующий в гильбертовом пространстве 2, C2 по правилу где = (1, 2 ), = (1, 2 ), штрих означает дифференцирование вдоль (см. (30)), 2, C2 — пространство Соболева (см. (39)), 2) Комплексный ангармонический осциллятор :

где > 0, || <.

3) Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом :

где 0 < < 2, |arg| <.

4) Модельный оператор, связанный с оператором Орра – Зоммерфель­ да:

где функция — непрерывна, вещественна и монотонна на [1, 1].

Оператор 2) является семейством, зависящим от 2 параметров и, но в обозначении мы выделяем только, имея в виду зависимость именно от пара­ метра, определяющего величину отклонения от самосопряженного оператора 0 (при = 0 числовая область Num() := {(, ) : ( ), = 1} есть угол {0 < sgn · arg < ||}). По той же причине оператор 3) обозначаем Рассмотрим оператор = +, где — оператор умножения на мат­ рицу () с суммируемыми на элементами (см. (38)). Ниже (см. формулы (40) и (41)) будет показано, что спектр оператора лишь постоянным множителем отличается от спектра оператора, действующего в пространстве 2 (0, 1); C по формуле и имеющего область определения Здесь = (1, ), = (1, ), · = 0, 0, 1 — квадратные матрицы 2-го поряд­ ка, элементы матрицы 1 суммируемы на (0, 1), 1 () = diag(1 (), 2 ()), функции 1 (), 2 (), 1 () 2 () непрерывны, не имеют нулей на [0; 1], и () функция () = arg (1 () 2 ()) непрерывна, монотонна на [0,1] и |(1) (0)| <.

Спектральная теория операторов вида восходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа [88, 89], Я.Д. Тамаркина [68, 136] и Дж.Д. Биркгофа, Р.Е.

Лангера [90]. Так, в работах [88, 89] для уравнения которое эквивалентно системе = с 0 =, был введен класс регулярных краевых условий и были найдены асимптотики собственных чисел и собствен­ ных функций соответствующей краевой задачи. Кроме того, было получено разложение достаточно гладкой функции в ряд по корневым векторам этой за­ дачи. Впоследствии в [68, 136] и [90] эти результаты были распространены на краевые задачи для систем вида где 0, 1 — достаточно гладкие матрицы, 0 () при каждом [0, 1] невырождена, диагонализуема и собственные значения 1,..., матри­ цы 1 () удовлетворяют условиям А именно, в [68] было показано, что если соотношения (15) верны, то фунда­ ментальная матрица решений (ФМР) системы (14) при больших допускает асимптотические разложения, равномерные по arg и [0, 1]. Это позволило определить и для системы (14) класс регулярных краевых условий где, — квадратные матрицы -го порядка. В дальнейшем краевые задачи для систем вида (14), а также для уравнения (13) изучались многими авторами с различных точек зрения (см.[53, 117] и имеющуюся там библиографию). При этом основные усилия были направлены на выяснение условий на матрицы, (и соответствующую матрицу, задающую краевые условия для уравнение (13)), при которых система корневых функций обладает свойством полноты [31, 46, 74, 78, 79]), базисности ([29, 80, 81, 118]), а также классов функций, разложимых по корневым функциям ([75] и др.). Однако, за редким исключением (об этом — чуть ниже), во всех этих исследованиях неизменно присутствовало условие (15). Между тем операторы вида 0, для которых условие (15) не выполняется, представляют как практический, так и теоретический интерес (см. [10, 115, 128, 135], а также главу X монографии [117]).

Если отказаться от условия (15), то возникают трудности, связанные с отсутствием асимптотических разложений для ФМР системы (14): непонятно, как определять краевые условия, что понимать под регулярностью. Обратимся к тем результатам, которые были получены без предположения условия (15).

Первая попытка отказаться от этого условия была предпринята Р.Е. Лангером в работе [114], в которой взамен условию (15) требуется аналитичность матриц 0 и 1 в некоторой окрестности отрезка [0, 1], такой, что для любой точки и пары (, ) существует кривая (), лежащая целиком в, соединяю­ щая точку с 0 или 1, при движении вдоль которой точки аргумент функции ( () () постоянен. При выполнении этого условия Лангер получает те же результаты, что в [90] и [68, 136]. Отметим также работы [4, 5], в кото­ рых найдена асимптотика спектра (всего или только части, расположенной в определенном угле) оператора второго порядка, порожденного в 2 ((0, 1); C ) [0, 2), ([0; 1]), ([0; 1]), и граничными условиями типа Дирихле в случае, когда собственные числа матрицы (все или только часть из них) меняются на фиксированных лучах. В работе [98] показано, что в случае, когда матрица 0 кусочно постоянна и 1 = 0, характеристическая функция спектра краевой задачи (14), (16) является квазиполиномом, так что (см. [38]) спектр допускает представление где N. При некоторых дополнительных условиях представление (17) сохра­ няет силу и в случае бесконечного числа «кусков» ( = ) [19]. Класс матриц 0, для которых спектр задачи (14), (16) удовлетворяет (17), не исчерпывается рассмотренными выше. В работе [12] показано, что формула (17) верна (при 1 = 0) для где функция кусочно аналитична на [0, 1] и бесконечно дифференцируема в точках «склейки».

В связи со сказанным возникает Задача 0.1. Выяснить, насколько необходимы фигурирующие в работах [12, 19, 98, 114] условия кусочной аналитичности матриц 0, 1, при которых спектр соответствующего оператора локализован около конечного числа лучей в смысле (17).

Решению этой задачи посвящена вторая глава: будет найдено необходи­ мое и достаточное условие на матрицу 0, удовлетворяющую условию (), и произвольную суммируемую матрицу 1, при котором спектр оператора ло­ кализован около конечного числа лучей.

Поясним выбор краевых условий в (12). Во-первых, как уже отмечалось, ос­ новная трудность обусловлена отсутствием асимптотических оценок для ФМР системы =, а не краевыми условиями. Поэтому нет необходимости вы­ бирать краевые условия наиболее общего вида. Во-вторых, при 1 = 0 система уравнений 0 = решается точно, при этом краевые условия в (12) облада­ ют таким же свойством, что и регулярные по Биркгофу условия, в частности, условие 1 ·2 ·1 ·2 = 0 не только достаточно, но и необходимо для дискретности спектра оператора. В-третьих, при преобразовании оператора в оператор краевые условия в (12) сохраняют свой вид (см. (5) и (6)).

Как уже было отмечено, спектры операторов и отличаются лишь постоянным множителем. есть оператор Дирака с матричным потенциалом = (0, 1 ), который, в зависимости от 0, 1, может быть сколь угодно гладким. Но в отличие от случая, когда — отрезок, невозмущенный опера­ тор является спектрально неустойчивым в следующем смысле: собственные числа { }+, имеющие асимптотику, ±, под действием сколь угодно гладких и малых (по норме) возмущений могут быть «разбросаны»

так, что они на бесконечности могут быть локализованы (в смысле (17) или Определения 0.1) около произвольного (конечного или бесконечного) числа лу­ чей (см. п. 2.5). Поэтому мы ожидаем, что спектр оператора, а значит, и может иметь вид (17) лишь для весьма узкого класса матриц 0, 1. Эта гипотеза для оператора с матрицей 0 вида (18) и 1 = 0 была высказана М.В.Федорюком еще в 1983 году [70, c.127]. Решая Задачу 0.1, мы фактически подтверждаем эту гипотезу.

Рассмотрим оператор. Известно (см., например, [36, 37, 99]), что соб­ ственные числа простые, лежат на луче arg = 2/(2 + ) и имеют асимп­ тотику:

система собственных функций { } полна в 2 (0, ). При = 0 { } об­ разуют ортонормированный базис в 2 (0, ), оператор 0 согласно теореме Келдыша является спектрально устойчивым: если — оператор умножения на функцию (), удовлетворяющую условию то собственные числа { } оператора = + при надлежащей нумерации имеют асимптотику Если 0 < || <, то (см. [99]) где — нормированная собственная функция, соответствующая собственному числу оператора *, 0, 1 — положительные числа. Так как почти норми­ рованность некоторого базиса влечет почти нормированность биортогонального ему базиса [8, c. 372], то из (22) следует, что при 0 < || < никакой базисно­ сти нет. Оценка (22) означает, что оператор является спектрально диким в смысле определения из [99]. В работах [100–102] показано, что если =, где 0 < / < 1, то Из результатов работ [92, 93, 120] следует, что соотношение (23) при = верно и тогда, когда уходит в по кривой = +, 1/3 < 1.

Численные расчеты, полученные в [93, 105], показывают, что постоянная 1/ является оптимальной. Аналогичная картина имеет место вблизи луча arg = 2/(2 + ).

Таким образом, оператор при = 0 является спектрально неустойчи­ вым. Поэтому так же, как в случае с оператором, следует ожидать, что класс возмущений, при которых имеет место (21), весьма узок. Из результа­ тов работ [9, 72] следует, что этому классу принадлежит оператор умножения на функцию, которая А) локально суммируема на [0, +), допускает аналитическое продолже­ ние в угол = {/(2 + ) < arg < 0}2, непрерывно продолжается до любой конечной точки границы, Б) удовлетворяет оценке () = ( ),, равномерно по /(2 + В связи с этим возникает Задача 0.2. Выяснить, насколько необходимы условия А) — Б) для выполне­ ния оценки (21).

Решению этой задачи посвящена третья глава.

Оператор вида, где вместо в качестве потенциала выступает про­ извольная комплекснозначная локально суммируемая на [0, +) функция, стремящаяся к 0 на +, условимся также называть оператором Шрединге­ ра с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП). Спектральная теория ОШКУП берет свое начало в работе М.А. Наймарка [54], в которой впервые бы­ ли обнаружены так называемые спектральные особенности и их особая роль в теоремах разложения. В дальнейшем результаты работы [54] уточнялись и обобщались В.Э. Лянце [40] — [44], Б.С. Павловым [55] — [57], Б.Я. Левиным [34], Дж. Шварцем [127], Х.Х. Муртазиным [51] и др. (более подробную библио­ графию см. в [53, c.490]).

Особый интерес к ОШКУП обусловлен, прежде всего, потребностями кван­ товой механики. Как известно (см., например, [62, §XI.3]), рассеяние в кванто­ вой механике описывается волновыми операторами ± (, 0 ), где 0, — га­ мильтонианы свободной и взаимодействующей систем соответственно. Одна из основных задач теории рассеяния — доказательство существования и (слабой) асимптотической полноты операторов ± (см. [62, §XI.1]). Ключевую роль при решении этой задачи играют оценки граничных значений резольвенты операто­ ра : ( ± 0)1, ess. Существует весьма изящная и эффективная Считаем, что 0 < < — случай < < 0 полностью аналогичен рассматриваемому.

конструкция, позволяющая не только исследовать поведение резольвенты вбли­ зи вещественной оси, но и построить (в случае аналитичных потенциалов) меро­ морфное продолжение резольвенты на нефизический лист, выявлять собствен­ ные числа, погруженные в существенный спектр, а также резонансы — полю­ са резольвенты на нефизическом листе. Речь идет о методе комплексного скей­ линга, в процессе применения которого и возникают ОШКУП. В дальнейшем нам понадобится только простейший — «обыкновенный» — вариант комплекс­ ного скейлинга (см. [76, §8.1]), применимый к гамильтонианам двухчастичных систем с центрально-симметричным потенциалом. Не вдаваясь в подробности, напомним лишь основные моменты этого метода на примере «обыкновенного»

комплексного скейлинга (подробное изложение можно найти в оригинальных статьях Дж. Агиляра и Дж. Комба [84], E. Балслева, Дж. Комба [87] и Б. Сай­ мона [130]).

В качестве 0 мы возьмем оператор 0 := |=0 и положим = 0 +, где — оператор умножения на вещественнозначную функцию, такую, что компактен относительно 0. Тогда ess () = [0, +) и disc () либо пуст, либо состоит из конечного или бесконечного числа отрицательных простых соб­ ственных чисел { }, которые могут скапливаться только к 0.

Рассмотрим однопараметрическое семейство унитарных растяжений из 2 (0, +) где () — оператор умножения на функцию ( 2 ). Предположим, что до­ пускает аналитическое продолжение в угол |arg| < так, что ()(0 + 1) является аналитической операторнозначной (со значениями на множестве огра­ ниченных операторов) функцией в полосе = { C : |Im| < }. Тогда () допускает продолжение до семейства операторов, аналитических в смысле Като в полосе (см. [63, c. 27]). В силу компактности (0 + 1)1 и анали­ тичности ()(0 + 1)1, оператор () при каждом компактен отно­ сительно 0, так что ess (()) = 2Im [0, +). Далее, так как — простое собственное значение оператора (0), то по Теореме XII.13 из [63] при малых C вблизи существует единственное собственное значение () операто­ ра (), аналитические около = 0. С другой стороны, при вещественных оператор () унитарно эквивалентен оператору, так что () при всех малых вещественных. Следовательно, () при всех достаточно малых C.

Невещественные собственные значения () называются резонансами.

Оказывается, резонансы — это в точности полюса резольвенты оператора на нефизическом листе (точнее, аналитического продолжения резольвенты). Что­ бы убедиться в этом, рассмотрим выражение где — произвольная функция, аналитичная в угле {|arg| < } и такая, что лосе { : min{, arg} < Im < min{, /2}, а потому не зависит от в ука­ занной полосе. Отсюда, выбирая любое 0 из полосы 0 < Im < min{, /2}, получим мероморфное продолжение функции () через [0, +) в угол, огра­ ниченный лучами [0, +) и ess ((0 )) = 2Im0 [0, +). Возникающие при этом полюса функции () совпадают с полюсами (() )1, то есть с резонансами оператора ().

При = оператор () лишь постоянным множителем 2 отлича­ ется от оператора с = (2). Следовательно, резольвента ОШКУП, а значит, и его функция Вейля допускают мероморфное продолжение с обла­ сти C( ) через луч ess ( ) = [0, +) на нефизический лист. Этот факт (еще до появления метода комплексного скейлинга) был установлен В.Э. Лян­ це в [43],[44] для ОШКУП в классе достаточно быстро (порядка ( ), > 2) убывающих потенциалов, допускающих аналитическое продолжение в некото­ рый угол. В 1982 г. результат В.Э. Лянце был распространен Х.Х. Муртазиным на случай потенциалов с произвольной скоростью убывания. Как в вышеупо­ мянутых работах, непосредственно посвященных ОШКУП, так и в огромном числе работ, где применяется метод комплексного скейлинга (см.,например, об­ зоры [139], [134], а также [116]), [133], [67] и имеющиеся там ссылки), неизмен­ но присутствует требование аналитичности коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений, что не может не вызвать вопроса о степени необходимости такого требования. Первая часть четвертой главы посвящена обсуждению этого вопроса на примере оператора и его (относительно ком­ пактных) возмущений.

Как известно (см., например, [103], [39]) линеаризация уравнения На­ вье – Стокса, описывающего плоскопараллельное течение жидкости в канале {(,, ) R3 : || 1}, приводит к задаче Орра – Зоммерфельда Здесь = /, () — скорость стационарного профиля жидкости в канале || 1, = 0 — волновое число, –— число Рейнольдса, обратно пропорцио­ нальное вязкости жидкости, — спектральный параметр. Подстановка приводит уравнение (25) к виду где Левая часть уравнения (26) отличается от выражения (10) лишь интегральным членом. По этой причине (подробности см. в [66] и [77]), оператор принято рассматривать в качестве упрощенной модели для оператора Орра – Зоммер­ фельда. Правомерность такой трактовки впервые была обоснована в работе [69], в которой было доказано, что при () = или 2 спектры операторов Орра – Зоммерфельда при больших > 0 и при малых > 0 накапливают­ ся около одного и того же множества, называемого предельным спектральным графом (ПСГ) и состоящего из трех кривых, соединяющих некоторую точку точками, и («спектральный галстук»). В дальнейшем в работе [129] этот результат был распространен на класс функций, которые a) вещественны и строго монотонны на отрезке [1, 1];

b) допускают аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [1, 1] такую, что (), непрерывна на замыкании области := 1 (), отображение : — биекция.

Если условие монотонности нарушается, то, как показано в [58] и [77], ПСГ операторов может иметь более сложную структуру. Однако и в том и в другом случае часть ПСГ, лежащая в области = { : | ( + )/2| }, при достаточно больших > 0 состоит из единственной кривой. Более того, если, то (см. [77], Лемма 2.6) это утверждение остается справедливым и в том случае, когда 0 по любому лучу arg = (это свойство назовем -свойством):

существует достаточно большое > 0, что множество (, ) — часть ПСГ операторов, arg =, лежащая вне круга {| ( + )/2| }, — состоит из единственной кривой (, ) = () {| ( + )/2| }, где кривая () определена по формуле то есть для любого > 0, || /2 найдется (, ) > 0 такое, что при всех 0 < < (, ) часть спектра оператора, =, лежащая вне круга {| ( + )/2| }, содержится в -окрестности кривой (, ).

С другой стороны, ПСГ операторов с кусочно постоянным потенциалом состоит из конечного или бесконечного числа лучей вида = { =, 0}, [19, 98, 119]. Наличие разрывов функции не по существу: из двух аналитических кусков можно склеить бесконечно гладкую функцию так, что (, ) при всех достаточно больших > 0 будет состоять из двух гладких кривых, имеющих единственную общую точку (см. Пример 1 из [12]).

Отсюда возникает предположение: ПСГ операторов с потенциалом обладает -свойством лишь в том случае, когда допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [1, 1]. Вторая часть четвер­ той главы посвящена проверке высказанной гипотезы.

Перейдем теперь к подробному изложению полученных результатов.

В первой главе доказывается критерий безмонодромности для уравнения Штурма – Лиувилля и системы Дирака, представляющий собой ядро метода, на котором будут основываться все утверждения о классах возмущений опера­ торов 1) — 4).

Кривую на комплексной плоскости договоримся называть кусочно - глад­ кой, если для нее существует параметризация удовлетворяющая следующим условиям: при некотором разбиении 0 = 0 < 1,. Такую параметризацию будем называть допустимой. Если функция () абсолютно непрерывна на кусочно гладкой кривой (относительно меры || на ), то функция () := (()) абсолютно непрерывна на [0, 1]. Функцию определенную почти всюду на, будем называть производной вдоль. Анало­ гично определим () и т.д. (в предположении что эти объекты существуют).

Отметим, что,,... не зависят от выбора допустимой параметризации. За­ фиксируем кусочно - гладкую кривую с допустимой параметризацией (29), удовлетворяющей условиям (0) = 0, (1) = 1, и рассмотрим спектральную задачу где 1 (). Обозначим через { } собственные числа этой задачи, пронуме­ рованные в порядке неубывания модулей с учетом кратностей. Если функция аналитична в области, ограниченной кривой и отрезком [0; 1], и непре­ рывна вплоть до границы, то спектр задачи (31) — (32) не меняется при деформировании кривой в отрезок [0, 1], так что Ясно, что для выполнения (33) вовсе необязательна аналитичность. На­ пример, при решения (31) выражаются через функции Бесселя полуцелого порядка [3], ко­ торые не имеют ветвления в точке, поэтому при замене на отрезок [0; 1] спектр задачи (31) — (32) не меняется, так что и в этом случае справедливо соотношение (33).

Однако при нецелых является точкой ветвления для решений урав­ нения (31), поэтому собственные числа задачи (31) — (32) распадаются на две серии (см. [12]), которые при больших номерах локализуются около двух лучей:

Таким образом, вопрос о локализации спектра задачи (31) — (32) тесно связан с однозначностью решений уравнения (31) при всех значениях спектрального параметра.

Введем обозначения. Пусть функция мероморфна в некоторой области C. Выберем точку 0 =, где — множество полюсов, и рассмот­ рим фундаментальную систему решений (, ) = (1 (, ), 2 (, )) уравнения (31), аналитичную вблизи 0. Пусть после обхода точкой некоторой петли, лежащей в, с началом в 0 вектор-функция (, ) принимает вблизи 0 зна­ чение (, ). Тогда (, ) = (, ), где = () — невырожденная матрица 2 2. Уравнение (31) (или потенциал ) будем называть безмоно­ дромным в области, если (), где — единичная матрица.

При этом мы также будем говорить, что для полюсов выполняется условие безмонодромности. Множество безмонодромных в области потенциалов обозначим (). Через 0 () обозначим множество потенциалов из (), имеющих в конечное число полюсов.

Если функция определена и суммируема на некоторой замкнутой ку­ сочно-гладкой кривой, то уравнение (31) (или потенциал ) будем называть безмонодромным на кривой, если (), где () матрица монодромии для кривой. Обозначим через () множество безмонодромных на потен­ циалов.

Известно [104], что уравнение (31) безмонодромно в тогда и только тогда, когда для любого полюса функции где N, 0,..., 1 — некоторые числа, функция () аналитична в неко­ торой окрестности точки.

Обозначим через () множество функций, аналитичных в области.

Согласно (34), для любой функции 0 () найдется единственная функция () и конечный набор (, ) N, = 1,, такие, что Пусть () (). Обозначим В частности, если граница области — спрямляемая жорданова кривая, то в качестве () можно рассматривать классы Смирнова () [59, c. 205].

Из определения следует, что функция из () при 1 не имеет полюсов на границе. Поэтому и в случае 1 () спектр задачи (31) — (32) сохра­ няется при замене кривой на отрезок [0, 1]. Следовательно, для выполнения асимптотической оценки (33) достаточно, чтобы 1 ().

В связи с этим возникает Задача 0.3. Описать класс функций, безмонодромных на некоторой замкну­ той кривой, в частности, выяснить, насколько условие 1 () необхо­ димо для выполнения оценки (33).

Первая часть Задачи 0.3 решается в параграфе 1.1 (вторая будет решена во второй главе).

Теорема 0.1 (Основной результат параграфа 1.1). Если — выпуклая область с кусочно - гладкой границей, то () = 1 ().

В параграфе 1.2 мы распространяем утверждение Теоремы 0.1 на систему Дирака Для упрощения выкладок мы ограничимся случаем 2 ()3. Пусть — вы­ пуклая область с кусочно - гладкой границей. Безмонодромность уравнения (37) и матричного потенциала определяется так же, как и для уравнения (31).

Множество безмонодромных потенциалов в и на кривой будем обозначать через () и () соответственно. 0 () для уравнения (37) по-прежнему бу­ дет означать множество матриц из (), имеющих конечное число полюсов в. Для систем Дирака критерий типа (34) известен [108] только в случае, когда точка = является полюсом второго порядка для матрицы + (потенциала уравнения ( )2 = 2 ). Однако, эти условия имеют довольно гро­ моздкий вид. Кроме того, в отличие от скалярного случая, регулярная особен­ ность систем не исчерпывается полюсами второго порядка. Как видно из преды­ дущего параграфа, при формулировке критерия безмонодромности мы можем обойтись без явного вида этих условий. Положим 2 () = () 2 () и 2 () = { 0 () : 2 ()}. Справедлива Теорема 0.2 (Основной результат параграфа 1.2). Если — выпуклая область с кусочно - гладкой границей, то 2 () = 2 ().

Во второй главе, основываясь на Теоремах 0.1 — 0.2, мы находим необхо­ димое и достаточное условие локализации спектра оператора Дирака.

Пусть — кривая c параметризацией (2) — (3) и пусть для определен­ ности функция () не убывает. Обозначим 0 = (0), 1 = (1). Пере­ ходя при необходимости к новой переменной = можно считать, что /2 < 0 < 0 < 1 < /2. Пространство Соболева, фигурирующее в опре­ делении оператора Дирака (4), мы понимаем так: (скалярная) функция () принадлежит 2 () тогда и только тогда, когда (()) 2 ([0, 1]). В силу гладкости кривой, это означает, что 2 () = { () : 2 ()}, где — производная вдоль. Таким образом, Рассмотрим оператор, определенный по формулам (11), (12). В (11) без ограничения общности можно считать, что 11 = 22 = 0 (см. [83, Лемма 2.6]).

Введем обозначения:

1 () = 12 ()1 () ()/(), 2 () = 21 ()2 () ()/(), где () — обратная к () функция. Тогда подстановка преобразует уравнение = к виду (37), где штрих означает дифференцирование по вдоль кривой, в которую переходит отрезок [0, 1] при отображении ().

Как отмечалось выше, при преобразовании (40) вид краевых условий в (12) сохраняется:

при этом условие 1 · 2 · 1 · 2 = 0 принимает вид (6).

В силу (41), спектры операторов и отличаются лишь постоянным мно­ жителем. Если функция (), фигурирующая в (3), постоянна, то мы приходим к классическому оператору Дирака на отрезке. Этот случай мы исключим из дальнейшего рассмотрения.

Теорема 0.3. Предположим, что выполнены условия (6) и ()4. Тогда 1) — замкнутый оператор с компактной резольвентой, спектр кото­ рого за исключением конечного числа лежит внутри объединения двух углов 1 < arg(±) < 0.

2) Если при (1, 2 ) = (1, 2 ) = (1, 0) спектр оператора локализу­ ется около конечного числа лучей (в смысле (17)), то то же самое верно при любых 1, 2, 1, 2, удовлетворяющих условиям (6).

Теорема 0.3 позволяет ограничиться краевыми условиями специального вида Операторы и в этом специальном случае будем обозначать так же. Легко проверить, что характеристическая функция спектра оператора имеет вид 0 () = sin, так что ( ) = {0, ±, ±2,... }.

В дальнейшем нам удобнее будет локализацию спектра понимать в более широком, чем (17), смысле. Для этого введем характеристическую функцию спектра оператора :

где (, ) — решение уравнения (37), удовлетворяющее начальным условиям Тогда (см., например, [53, c. 29]) 0 — собственное значение оператора ал­ гебраической кратности тогда и только тогда, когда 0 является нулем () кратности. Таким образом, Задача 0.1 сводится к изучению распределения нулей целой функции экспоненциального типа (). Исходя из этого, примем следующее Определение 0.1. Будем говорить, что спектр оператора m-локализо­ ван тогда и только тогда, когда его характеристическая функция () яв­ ляется функцией вполне регулярного роста, сопряженная диаграмма которой есть невырожденный m-угольник5.

Пусть { } — собственные числа, пронумерованные в порядке воз­ растания модулей с учетом алгебраических кратностей, (,, ) — число в секторе { : || <, < arg < }. Тогда в силу известного [33, c. 205] свой­ ства функций вполне регулярного роста m-локализация спектра означает, что существует разбиение /2 < 1 < · · · < 1 < 3/2, такое, что функция что где (,,, ) и (, ) — число собственных значений оператора соот­ ветственно в секторе { < arg <, || < } и круге {|| < }.

Третья глава посвящена исследованию условий 1-локализации спектра воз­ мущений оператора. В параграфе 3.1 обсуждаются вопросы, связанные с асимптотикой спектра специальных классов возмущений оператора. Снача­ ла (пункт 3.1.1) мы устанавливаем один факт об условиях устойчивости свой­ ства 1-локализации спектра произвольного замкнутого оператора с компактной резольвентой.

Теорема 0.9. Пусть 0 — замкнутый оператор с компактной резольвентой, действующий в некотором гильбертовом пространстве H, удовлетворяет следующим условиям:

1. Спектр 0 локализован около луча arg = 0 и при некотором > 3. Существует неубывающая на [0; ) функция (), обладающая свой­ Тогда если спектр оператора = 0 +, где — 0 -ограничен с нулевой 0 -гранью, также локализован около некоторого луча arg = 0, то 0 = Рассмотрим теперь оператор 0 = + 0, где 0 — оператор умножения операторы 0 = и = 0 удовлетворяют всем условиям Теоремы 0.9, кроме, быть может, (61). Отсюда получаем Cледствие. Если спектр оператора 0 локализован около некоторого луча arg = 0, то 0 = 2/(2 + ) и Таким образом, для нахождения асимптотики спектра оператора 0 реша­ ющее значение имеет условие (61). Для его выполнения приходится наклады­ вать на 0 довольно жесткие ограничения:

Теорема 0.10. Пусть функция 0 () = 0 () · удовлетворяет усло­ виям А) — Б). Тогда для собственных чисел { } оператора 0 справедливо соотношение где {0 } — спектр оператора — задается формулой (19).

В пункте 3.1.3 мы доказываем теорему о спектральной неустойчивости оператора 0 : асимптотика спектра может сильно поменяться даже при сколь угодно гладких финитных возмущениях.

Теорема 0.11. Пусть функция 0 дополнительно к А) — Б) удовлетворяет условию Далее пусть — оператор умножения на финитную, квадратично суммиру­ емую на своем носителе [0; ] функцию (), которая в некоторой полуокрест­ ности точки допускает представление где 0, ( 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда спектр оператора = 0 + распадается на 2 серии { } и { }, имеющие асимптотики где { } — собственные значения оператора 0, а { } — лежащая в пра­ вой полуплоскости часть спектра задачи Редже Известно [32, 125], что при больших имеют разложение В параграфе 3.2 будут доказаны 2 теоремы, которые вместе с Теоремой 0.11 в некотором смысле «наводят» на критерий 1-локализации спектра оператора.

Первая из них представляет некий аналог теоремы Амбарцумяна [85]:

Теорема 0.12. Пусть выполнены условия А) — В) и — произвольная фи­ нитная и суммируемая функция. Тогда если спектр оператора состоит только из одной серии, имеющей асимптотику то = 0 п.в. на supp и, следовательно, =.

В следующей теореме мы доказываем, что условие подчинения Б), которое при выполнении А) кажется вполне естественным для сохранения асимптотики спектра, вовсе необязательно (по крайней мере, для операторов с потенциалом, имеющим логарифмический рост).

Пусть 0 — оператор с потенциалом Собственные числа 0 имеют асимптотику (Лемма 3.6) Теорема 0.13. Существует мероморфная в угле { : < arg < 0} функция () такая, что ся полюсами второго порядка функции ();

2) Для собственных чисел { } оператора = 0 + справедливо со­ отношение (21).

S 3.3 посвящен доказательству основного результата главы — теоремы, в которой дано полное описание класса возмущений, сохраняющих асимптоти­ ку спектра оператора.

Мы ограничимся гладкими возмущениями в следующем смысле: — опе­ ратор умножения на функцию (), которая, дополнительно к (20), удовлетво­ ряет условиям Обозначим () = + (), = { = (), [0, +)}. Известно (см., например, [70, c. 92]), что при выполнении условий (20) и (69) уравнение имеет решения и +, для которых справедливы асимптотические представле­ ния ± (, ) ±( )(1+2)/4 exp ± а) при + равномерно по из любого компакта C, не пересека­ ющегося с кривой, Ясно, что если функция удовлетворяет условиям (20) и (69) на неко­ тором луче arg =, то существуют решения ±, удовлетворяющие условиям (71), а),б) относительно этого луча.

тор, который получается из заменой краевого условия (0) = 0 на (0) = 0.

Далее обозначим через { }, { }, { } и { } — собственные числа операторов,, и соответственно, пронумерованные в порядке воз­ растания модулей с учетом их кратностей. Пусть 0 < < (случай < < аналогичен), обозначим (, ) = {|| < }.

Теорема 0.14 (Основной результат главы 3). Пусть допускает меро­ морфное продолжение в угол так, что b) угловые граничные значения функции на луче arg = /(2 + ) таковы, что функция () = (/(2+) ) удовлетворяет условиям (20) и (69), уравнения (70), удовлетворяющие оценке (71) на лучах arg = 0 и arg = /(2 + ) соответственно.

Здесь и всюду далее в работе ветви корней · и степеней выбраны так, что, > 0 при > 0.

Тогда {2/(2+) } и {2/(2+) } являются собственными числами операторов 0 + и 0 +, где — оператор умножения на функцию () = 2/(2+) /(2+), так что Обратно, если существует функция () такая, что (i) для нее выполнены условия (20) и (69), (ii) {2/(2+) } и {2/(2+) } являются собственными числами опе­ раторов 0 + и 0 +, то функция допускает мероморфное продол­ жение в угол так, что выполняются a) — c), причем /(2+) = 2/(2+) ().

Основная цель первой части четвертой главы (§4.1) — распространение результатов второй и третьей глав на случай, когда спектр невозмущенного оператора не дискретен.

0, поэтому для корректного определения приходится использовать технику квадратичных форм. В п. 4.1.1 мы вводим в рассмотрение семейство квадра­ тичных форм с областью определения Напомним, что постоянную 0 < < 2 считаем фиксированной — мы будем изучать зависимость только от параметра C.

Лемма 0.3. — голоморфное семейство типа () на C, т.е. [24, c.494]:

1) при каждом C форма секториальна и замкнута;

Из п.1) Леммы 0.3 по теореме о представлении [24, с. 404] следует, что при каждом C существует -секториальный оператор, ассоциированный с формой. Семейство называется аналитическим семейством типа (В) (см.

[24, c. 494]).

Лемма 0.4. Оператор определяется по формулам (8) — (9).

Оператор при любом C является близким (в смысле квадратичных форм) к самосопряженному оператору 0 := |=0 :

Лемма 0.5. Пусть — оператор умножения на функцию. Тогда при любом > 0 оператор = (0 + ) 2 (0 + ) 2 компактен.

Следовательно, (см. [63, c. 133]) ess ( ) = ess (0 ) = [0, +) C. В заключение п. 4.1.1 будет доказана теорема о локализации дискретного спектра, который, в отличие от ess ( ), сильно зависит от параметра.

Теорема 0.15. Справедливы утверждения:

простых (геометрической кратности 1) собственных чисел, лежащих на луче где — пронумерованные в порядке возрастания собственные числа самосо­ пряженного оператора 1 (то есть |=1 ), которые имеют асимптотику 3) при всех C оператор на полуоси [0, +) не имеет ни собствен­ ных значений, ни спектральных особенностей [53, c. 456].

Введем в рассмотрение семейство операторов где — оператор умножения на комплекснозначную измеримую функцию (), удовлетворяющую условию В работе Л.А. Сахновича [65] при > 0, = 1 и вещественном, удовлетво­ ряющем оценке:

было показано, что { ()} — собственные числа оператора, пронумеро­ ванные в порядке возрастания, — имеют асимптотику (ср. с (73) и (74)) где 2/(2) > 0 при > 0, константа определена по формуле (74), — некоторая не зависящая от вещественная константа, которую называют кван­ товым дефектом [11, 121].

Легко проверить, что из (77) следует (76). В п. 4.1.2 мы показываем, что формула (78) остается справедливой и при комплексных, удовлетворяющих (76) и дополнительному условию, которое выполняется автоматически в случае вещественных (см. Замечание 0.1).

Теорема 0.16. Пусть > 0 и функция удовлетворяет оценке (76). Обо­ значим через ± () 2 линейно независимых решения уравнения удовлетворяющие асимптотическим оценкам Тогда если ± (0) = 0, то для собственных чисел () оператора (при надлежащей нумерации) справедливо разложение (78), где вычисляется по формулам (4.39), (4.26) и (80).

Замечание 0.1. Если функция вещественна, то условие ± (0) = 0 выпол­ где > 1 и — область, ограниченная спрямляемой жордановой кривой, — класс Смирнова [59, c. 203] — множество функций (), аналитичных в области и таких, что для некоторой последовательности спрямляемых кривых, где не зависит от.

Если [0, +), 1, то будем говорить, что допускает аналити­ ческое продолжение () в угол, если > 0 () ( ()) и при почти всех > 0 угловое граничное значение функции в точке совпадает с ().

Теорема 0.17. Пусть а) функция 2 (0, +) и допускает аналитическое продолжение () в угол так, что () 0, равномерно по arg 0 (на лучах arg = 0 и arg = предел понимается в смысле почти всюду);

б) функция () = ( ) удовлетворяет оценке в) ± (0) = 0, где ± получаются из ± заменой в (79) () + () на Тогда для собственных чисел () оператора (при надлежащей нуме­ рации) справедливо разложение (78), где вычисляется по формулам (4.39), (4.26) и (80) при () = 2 ().

Теоремы 0.16 и 0.17 показывают, как сильно отличаются условия на что это расхождение — по существу: после некоторого ослабления условия а) — в) становятся необходимыми и достаточными для выполнения некоторого, более сильного чем (78), свойства. Но прежде мы докажем 2 теоремы о финитных возмущениях, которые, с одной стороны, служат удобным «тестом»

на спектральную неустойчивость, с другой — позволяют «нащупать » свойство Теорема 0.18. Пусть финитна (supp [0, ]) и в некоторой полуокрест­ ности точки допускает представление где 0, ( 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда функция Вейля оператора допускает мероморфное продолже­ ние в угол {2 < arg < 2(+arg/(2))}, которое имеет неограниченную последовательность полюсов около луча arg = 2 :

Теорема 0.19. Пусть функция — финитна и суммируема на своем носи­ теле. Тогда если disc ( ) = disc ( ), то = 0 п.в. на (0, +).

Прежде чем сформулировать этот результат, заметим следующее: если 1 (0, +), то (см. Замечание 4.3) уравнение имеет решение (Йоста), которое при каждом [0, +) удовлетворяет оценке где Известно (см., например, [51] или [82, Гл. 2]), что при каждом фиксированном 0 функции (, ) и (, ) аналитичны в C[0, +) и непрерывны вплоть до верхнего и нижнего берегов разреза по > 0 и нули (0, ) образуют огра­ ниченное множество. Следовательно, — функция Вейля оператора — мероморфна в C [0, +), ее полюса об­ разуют ограниченное множество, могут скапливаться только к лучу [0, +) и рим оператор = +, где функция 1 (0, +).

Теорема 0.20 (Основной результат параграфа 4.1). Пусть функция имеет мероморфное продолжение () в угол так, что (a) каждый полюс функции () удовлетворяет условию безмонодром­ ности, (b) функция () := 2 ( ), > 0, суммируема на (0, +), (c) существует некоторое бесконечное множество { = 0 : arg 2}, имеющее хотя бы одну конечную предельную точку 0 = 0, что при всех где (, ) — решение Йоста уравнения (83) при > 0 и =.

Тогда () — функция Вейля оператора — имеет мероморфное про­ должение () c области C [0, +) в угол, такое, что является функцией Вейля оператора || +.

Обратно, если () имеет мероморфное продолжение () в угол так, что (87) является функцией Вейля оператора || + с некоторым 1 (0, +), то имеет мероморфное продолжение () в угол, при этом выполнены (a) (c), причем () ().

Параграф 4.2 посвящен вопросу о степени необходимости условия для выполнения -свойства. Сразу отметим, что поскольку условие позволяет получить гораздо более полную информацию о ПСГ, чем -свойство (см. [77, Теорема 2.2])7, то можно надеяться лишь на частичное обращение им­ пликации ( ) = ( -свойство).

Введем обозначения. Пусть > 0 и. Положим где — образ отрезка [1, 1] при отображении (88), () — функция, обратная к функции (, ).

Так как возрастает, то из (88) следует, что кривая при любом выпукла вверх. Обозначим через область, ограниченную кривой и отрезком [0, 1], соединяющим концы.

Теорема 0.21 (Основной результат параграфа 4.2). Пусть возраста­ ет на [1, 1] и [1, 1]. Тогда если ПСГ операторов при некотором Отметим, что в Теореме 2.2 рассмотрен только случай = 0, но, как уже отмечалось выше, из Леммы 2.6 указанной работы следует, что Теорема 2.2 остается верной и при произвольных = ±/4 +, Z.

0 (/2, /2]{±/4} обладает -свойством, то при любом функ­ ция (, ) допускает мероморфное продолжение с кривой в область с конечным числом полюсов.

В параграфе 4.3 мы продолжаем изучение свойств оператора в самосо­ пряженном случае. А именно, для оператора () := при = /4, > 0, с вещественнозначным потенциалом 2 [1, 1], имеющим несколько одинако­ вых минимумов (потенциальных ям), мы получим критерий (экспоненциально малого) расщепления спектра. Тот факт, что несколько симметричных потен­ циальных ям приводят к расщеплению спектра, был известен (как элемент ма­ тематического фольклора) практически с момента возникновения квантовой механики (см., например, [107, 109, 113]). Первое математически строгое дока­ зательство эффекта расщепления было дано в работах Э. Харрелла [111, 112]:

собственные числа оператора (), порожденного в 2 (, +) дифферен­ циальным выражением 2 /2 + 2 (1 )2, группируются парами + () и () так, что при каждом N В работе А.Г. Аленицына [2] был получен аналогичный результат для операто­ ра (), в случае, когда () — четная дважды непрерывно дифференцируемая на [1; 1] функция и имеет изолированный локальный максимум в точке = (потенциальный барьер). Метод работ [2, 111, 112] существенно связан с на­ личием ям одинаковой глубины и формы. Наша цель — выяснить, насколько необходимо это условие для расщепления спектра.

Введем обозначения. Без ограничения общности можно считать, что наи­ меньшее значение функции () равно 0. Пусть функция () обращается в нуль в точках 1 1 < · · · < 1 и положительна вне этих точек. Потенци­ альную яму (1, 1) будем называть регулярной, если найдутся некоторые положительные постоянные,, 1, 2, такие, что при всех | | < Точки ±1 будем называть регулярной потенциальной ямой, если неравенства вида (90) выполняются в соответствующей полуокрестности этих точек. Пусть ( ; +1 ), ( = 1, ), 0 = 1, +1 = 1. Обозначим через () самосопря­ женные операторы, порожденные в 2 ( ; +1 ) дифференциальным выражени­ и краевыми условиями ( ) = (+1 ) = 0, ( = 1, ). Далее, пусть { } и { } — собственные значения операторов () и (), пронумерованные в порядке возрастания.

Теорема 0.22 (Основной результат параграфа 4.3). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на [1; 1] и имеет n регулярных по­ тенциальных ям. Тогда оператор () имеет n экспоненциально близких при +0 собственных значений (),... +1 (), то есть () () = (/ ), +0 (, =, + 1), с некоторым > 0, тогда и только тогда, когда у операторов 1 (),..., () существуют собственные значе­ ния 11 (),..., (), где 1,..., не зависят от, также экспоненциально близкие при +0.

Достаточное условие существования экспоненциально близких собствен­ ных значений операторов () формулируется просто.

Теорема 0.23. Пусть (2) [1; 1] и имеет потенциальных ям в точках 1 < 1 < · · · < < 1. Далее пусть при некотором > 1 (),..., (), экспоненциально близкие при +0.

То, что существование нескольких потенциальных ям одинаковой глубины и формы не является необходимым, показывает следующий Пример. Пусть (0; 1). Положим и обозначим через 1 () и 2 () операторы, порожденные соответственно в 2 (0; ) и 2 (; 1) дифференциальным выражением 2 2 /2 + () и усло­ виями Дирихле. Обозначим через () ( = 1, 2, = 1, 2,... ), собственные значения операторов (). Тогда где < 0 — -й нуль функции Эйри. Отсюда видно, что если = ( / )3/ при некоторых,, то () ()!

В этой главе доказываются Теоремы 0.1 — 0.2. В параграфе 1.1 доказыва­ ется Теорема 0.1 — критерий безмонодромности уравнения Штурма – Лиувил­ ля на кусочно-гладкой кривой, являющейся границей некоторой выпуклой области. Доказательству критерия безмонодромности для системы Дирака на кривой (Теорема 0.2) посвящен параграф 1.2.

1.1. Критерий безмонодромности уравнения Штурма – Лиувилля на замкнутой кривой 1.1.1. Обозначения, соглашения Всюду далее будет означать arg. Пусть = (), [0, 1], — па­ раметризация кривой. Если = ( ), = ( ) и ( < ), то будем писать ( < ) или ( > ). При < положим кривая, состоящая из дуги и отрезка [, ], — область, ограниченная кривой. Если = [, ], то =. Всюду, где будет появляться, будем считать, что = [, ]. Если, то будем говорить, что дуга содержит внутри точку = ( ). Так как — выпукла, то существует точ­ ка такая, что для всех, содержащих внутри точку, область непуста. Далее пусть * — область, симметричная относительно середины мума Если указанный максимум или минимум достигается не в 1 точке, то в качестве берем любую из них.

означать интеграл (()) (), если последний существует.

Если ( ), то через [](, ) обозначим решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям (, ) = 0, Обозначим через []() индикатор (см. [33, c. 72]) функции [](). Поло­ жим Пусть ± [](, ) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям:

Всюду, где равна фиксированной функции, мы будем опускать значок [] : (), () и т.д.

1.1.2. Доказательство утверждения 1 () () Пусть — замкнутая кривая, охватывающая все полюса. Обозначим через область, ограниченную кривыми и. Из определения 1 () следу­ ет, что функция принадлежит классу 1 ( ), следовательно (см. [59, c. 208]), любая ее первообразная аналитична в и непрерывна на. Далее, посколь­ ку является решением (31) тогда и только тогда, когда = (, + ) — то, в силу условия (i), уравнение (31), значит, и система (1.7) безмонодромны в области. Следовательно, система (1.7) имеет фундаментальную матрицу решений, аналитичную в области и непрерывную вплоть до. Но тогда таким же свойством обладает и уравнение (31), откуда следует его безмонодромность 1.1.3. Схема доказательства утверждения () 1 () Доказательство () 1 () гораздо сложнее. Поэтому мы сначала изложим краткую схему доказательства. Идея основана на (нелинейном) урав­ нении для где — оператор в 1 ( ), действующий по формулам (1.6), (1.4), () — угловое граничное значение (см. [59, c. 66]) функции () слева (при движении от к ).

Это уравнение обладает следующими свойствами:

1) Для достаточно малых дуг оператор является сжатием в 1 ( ) (Лемма 1.4);

3) «Свободный член» () почти при всех, допускает аналитиче­ ское продолжение в так, что 1 ( ) (Лемма 1.7);

Из свойства 1) следует, что последовательность будет сходиться в 1 ( ) к некоторой функции из в 1 ( ), удовлетворяющей уравнению (1.8). В силу единственности решения, = п.в. на ( Следствие из Леммы 1.4) Из свойств 2), 3) следует, что почти при всех, функции 0, 1,...

принадлежат классу 1 ( ). Воспользуемся следующей теоремой [59, c. 268]:

последовательность { ()} граничных значений функций () класса () сходится по мере на множестве, () > 0, и | ()| || <, где не зависит от, то последовательность { ()} равномерно сходится в области к функции () класса и последовательность { ()} сходится по мере на множестве к функции () — угловым граничным значениям функции ().

Достаточно просто доказывается (Лемма 1.9), что найдется = ():

Таким образом, функции удовлетворяют всем условиям вышеприведенной теоремы. Следовательно, для всех достаточно малых дуг, содержащих внут­ ри точку, функция принадлежит 1 ( ) при п.в.,. Так мы находим некоторую непустую область, куда продолжается как элемент 1 ( ). Далее, используя метод работы [13], построим мероморфное продол­ жение на всю область, удовлетворяющее требованиям Теоремы 0.1.

Теперь поясним вывод уравнения (1.8). Рассмотрим {,,, } — семейство операторов, которые каждой функции 1 ( ) ставят в соответ­ ствие по (1.2) целую функцию [](). Важный факт (Следствие 1.1 из Леммы 1.5), на котором будут основываться все дальнейшие выкладки, заключается в том, что если потенциал удовлетворяет условию безмонодромности, то где оценки остаточных членов равномерны по, и arg.

Из этих оценок и равенства имеем Отсюда следует, что функция () (см. (1.3) при = ) аналитична в области C[, ].

Будет доказано, что при любом 1 ( ) функция []() удовлетворя­ ет некоторому интегральному уравнению (Лемма 1.1), откуда будет следовать аналитичность []() в области и непрерывность на и абсолютная непрерывность на (Леммы 1.2, 1.3). Отсюда будет следовать, что функция имеет непрерывное продолжение () с области на, абсолютно непре­ рывное на. Следовательно, функция (), как интеграл типа Коши, допус­ кает непрерывное продолжение () на и слева (при движении от к ) от, которое связано с () формулой Сохоцкого – Племеля где Следовательно, функция () также абсолютно непрерывна на. Равенство (1.15) по непрерывности продолжается на :

Подставляя сюда (1.16) и дифференцируя по, получим (1.8).

1.1.4. Свойства функций [] и [] Лемма 1.1. Функция []() удовлетворяет уравнению Доказательство. Имеем (см., например, [35, c.12]) Подставляя (1.19) в (1.2), получим Положим в (1.3) =. Из (1.19) имеем Тогда функция 2() []() = () ( [](, ) [](, )) 1 огра­ не зависит от,,,. Следовательно, после подстановки (1.20) в (1.3) мы мо­ жем поменять порядок интегрирования по переменным и. Следовательно, Так как []() аналитична вне [, ], то правая часть (1.21) аналитична в области C, так что равенство (1.21) верно при всех C. Сравнивая (1.21) с (1.4), получим Так как отображение + область переводит в область *, то из (1.5) имеем мы можем заменить []( + ) в (1.22) правой частью (1.23).

Отсюда следует (1.18).

Cледствие. При любых, и 1 ( ) функция []() удовлетворя­ ет уравнению где Доказательство. Из определения функции []() следует, что []() по на. Поэтому Дифференцируя теперь обе части (1.22) по и учитывая при этом последнее равенство, получим (1.24).

Лемма 1.2. Функция []() аналитична в области и непрерывна на Доказательство. Зафиксируем, и введем в рассмотрение — множество функций (, ), непрерывных на и аналитичных по при каждом. Далее зафиксируем 1 ( ) и обозначим через 0 = 0 (, ) первый член правой части уравнения (1.18) и через оператор, действующий на по формуле Легко проверить, что 0 и. Покажем, что ряд сходится равномерно на. Отсюда будет следовать, что (, ) анали­ тична в, непрерывна на и является решением уравнения (1.18).

Поскольку при больших оценка очевидна, будем считать ||. Тогда инте­ грируя по частям, получим где ветвь логарифма любая фиксированная. Отсюда на основании очевидного неравенства легко следует (1.28).

Далее пусть (, ) — произвольная функция, непрерывная и ограниченная на. Тогда Индукцией по легко показать, что где кривой, а = (), [1, ] — его параметризация. Отсюда следует равномерная сходимость ряда (1.27).

Теперь докажем, что оператор, действующий в пространстве является вольтерровым.

откуда согласно (1.31) будем иметь Следовательно, 0, что и означает вольтерровость.

Таким образом, уравнение (1.18) имеет единственное решение, так что []() = (, ), откуда следует утверждение леммы.

Лемма 1.3. Функция []() абсолютно непрерывна на и ее производ­ ная []() удовлетворяет оценке где определяется по (1.29), 1 — та же константа, что в (1.31), = () — постоянная, зависящая только от.

Доказательство. Докажем, что [] 1 ( ). Отсюда (см. [59, c.208]) будет следовать абсолютная непрерывность []() на. Попутно получим оценку (1.32).

По определению [59, c.203], []() 1 ( ) тогда и только тогда, когда существует последовательность спрямляемых кривых, сходящихся к, где постоянная = (,,, ) не зависит от. Покажем, что в качестве в (1.33) можно взять кривую (), которая получается из границы области гомотетией относительно центра в точке ( + )/2 с коэффициентом 1 + 1/.

Далее введем множество функций и оператор, действующий на формуле (1.26).

Докажем, что при некотором = () Дважды интегрируя по частям выражение (1.25), будем иметь Отсюда, используя элементарную оценку () = {(,, ) :,, * }, получим (1.34). Далее положим раметризацией = (), [, ], к функции () = (()), учитывая при этом, что || 1, где 1 = 1 () — постоянная, фигурирующая в (1.31), и используя неравенство Гронуолла (см., например, [73, c. 37]), получим ( ) 0 () 1 ( ), что с учетом (1.34) влечет (1.32).

1.1.5. Сходимость последовательности в 1 ( ) Лемма 1.3, помимо оценки (1.32), утверждает, что если 1 ( ), то и [] 1 ( ). Отсюда на основании равенства (1.4) заключаем, что 1 ( ). Тогда из рекуррентных соотношений (1.10) следует, что 1 ( ) при всех N.

Лемма 1.4. Для любого положительного числа < 1 существует постоян­ Доказательство. Пусть,. Положим () = [ ]() []().

Согласно (1.24) где Интегрируя по частям два раза, получим где ветвь логарифма — любая, фиксированная.

Так как,, то рассуждая так же, как при выводе оценки (1.34), получим (), = 1, 2. (Здесь и далее в доказательстве 1 (), 2 (),... — постоянные, зависящие только от ). Далее, применяя к функции [ ]( + ) оценку (1.32), получим 3 3 ()2 1 ( ).

Отсюда и из уравнения (1.37), повторяя все рассуждения, проведенные при выводе оценки (1.32), получим Ясно, что в качестве (, ) можно взять /5 ().

Cледствие. Существует положительное число такое, что для любых,, удовлетворяющих неравенству | | <, Доказательство. Возьмем произвольное 0 < < 1 и подберем (, ), для которого верно утверждение (1.36). Пусть некоторое положительное число, удовлетворяющее неравенству Так как суммируема на, то найдется = () > 0 такое, что 1 ( ) < при | | < (). Тогда индукцией по легко убедиться, что 1 ( ) < при всех, откуда согласно (1.36) Следовательно, последовательность { } сходится в 1 ( ) к некоторому преде­ так что уравнение (1.16) может иметь только одно решение, так что =.

1.1.6. Аналитичность Утверждения Лемм 1.1 — 1.4 верны для любой функции 1 () (без предположения безмонодромности уравнения (31)). Начиная с этого момента до конца доказательства Теоремы 0.1 будем считать, что уравнение (31) безмо­ нодромно.

Лемма 1.5. Решения ±, введенные в п. 1.1.1, имеют асимптотики:

Доказательство. Докажем (1.41) для (для + доказательство — ана­ логично). Имеем где, в силу безмонодромности уравнения (31), интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Положим (, ) = [](, ). Тогда Так как функция (, ) и ее производная (по ) однозначны, то Отсюда и из определения точки следует, что любую точку мож­ но соединить с точкой дугой или дополнительной к ней дугой, |2() | 1, так что норма интегрального оператора в пространстве () — непрерывных на функций — допускает оценку (1 ) (равномерно по (; ]). Следовательно, откуда легко следует (1.41) при = 0. Для доказательства (1.41) при = 1 нуж­ но продифференцировать (1.42) и в полученном выражении заменить функцию [] ее асимптотикой согласно (1.41) при = 0.

Следствие 1.1. Для функции (, ) и ее производной справедливы асимп­ тотические представления (1.12a) и (1.12b), где оценки остаточных членов равномерны по,,.

Доказательство. Согласно Лемме 1.5 для вронскиана функций и + имеем (, + ) 2,, так что при больших Подставляя сюда (1.41), после несложных вычислений получим (1.12).

Следствие 1.2. Если уравнение (31) безмонодромно, то Доказательство. Согласно (1.45) (, ) = 1 + (1 ),, равномер­ но по и. Подставляя эту оценку в первое из (1.44), получим (1.47).

Лемма 1.6. Если 1 ( ), то [] 1 ( ).

Доказательство Пусть 1 ( ). Тогда любая ее первообразная, на­ пример, () = аналитична в и непрерывна на, поэтому то же самое верно для любого решения системы (1.7) с =, значит, и для [](, ). Следовательно, кривую в определениях []() и []()(см.

(1.13) и (1.6)) можно заменить отрезком [, ]. Тогда область, фигурирую­ щая в формулировке Леммы 1.3, есть C[, ], откуда по той же лемме получаем [] 1 (C[, ]).

Лемма 1.7. При всех, функция допускает представление принадлежит классу Харди 2 ( ), где = { + ( ), Im < 0} и 1 = 1 () зависит только от.

Доказательство. В силу (1.9) имеем где Легко проверить, что уравнение (1.1) безмонодромно на тогда и только тогда, когда для всех решений (, ) уравнения (1.1) где =. Тогда согласно (1.12a) Следовательно, с равномерной по, оценкой остатка. Отсюда и из (1.3) при = () принадлежит 2 ( ) и удовлетворяет оценке где () — прямая, проходящая через точки,. Отсюда и из (1.51), (1.52) следуют (1.48) — (1.50).

где определена по (1.17), при любых и, аналитична в, непрерывна вплоть до и абсолютно непрерывна на.

Доказательство. Из (1.52) и (1.53) при любых, имеем где для функции () справедливы все утверждения Леммы 1.7 с =, =.

Возьмем и из. Согласно равенствам (1.4), (1.52) и Леммам 1.2 и 1.3, функ­ ция 0 () аналитична в, непрерывна вплоть до и абсолютно непрерыв­ на на. Отсюда в силу (1.56) функция () аналитична вне, непрерывна (извне ) вплоть до и абсолютно непрерывна на. Поэтому (), как интеграл типа Коши, непрерывен до и изнутри, и () — предел () изнутри — абсолютно непрерывен на. Поскольку то () обладает теми же свойствами, что и ().

Основной результат этого пункта:

Лемма 1.8. При почти всех,, для которых =, функции принадлежат классу 1 ( ).

Доказательство. Докажем, что 1 ( ) при почти всех,, от­ сюда по Лемме 1.6 будет следовать утверждение леммы. Так как выпукла, то функция () (см. (1.49)) имеет конечные угловые граничные значения (слева и справа) п.в. на (см. [59, c. 194]). Отсюда в силу равенств (1.48) — (1.50) следу­ ет, что при почти всех, функция имеет конечные угловые граничные значения почти всюду на и 1 (, ). Поэтому остается только доказать суммируемость на. Для этого достаточно показать, что ее первообразная абсолютно непрерывна на (см. [59, c.208]). Согласно (1.51), (1.52), (1.15) и на по Лемме 1.3, а функция () абсолютно непрерывна как первообразная суммируемой функции. Лемма доказана.

1.1.7. Аналитичность функции вблизи Основной результат этого пункта Лемма 1.9. Существуют точки,, такие, что область := = Доказательство. Сначала мы докажем лемму при дополнительном требо­ вании на и :

(OD) точку, удовлетворяющую условию из п. 1.1.1, можно подобрать Отметим, что условие (OD) выполняется, если строго выпукла, то есть = при всех,. Из условия (OD) следует, что функция () (см.

(1.49)) имеет конечное угловое граничное значение в точке. Тогда из пред­ ставления (1.48) будем иметь Пусть содержит внутри точку. Как было отмечено в пункте 1.1.3, для доказательства включения 1 ( ) достаточно установить оценку (1.11). Из Лемм 1.2 и 1.3 следует, что если 1 ( ), то функция []() принадлежит 1 (C[, ]). Обозначим через []() угловое граничное значе­ ние (изнутри ) функции []() в точке [, ]. Согласно (1.32) для любого < 1 найдется число = (, ) > 0 такое, что для всех 1 ( ), удовлетворяющих неравенству 1 (,) <, Используя (1.57) и Лемму 1.8, выберем,, так, что а) | | <, где удовлетворяет условиям Леммы 1.4, в) 1 (,) < (1 ), где — постоянная, фигурирующая в формули­ ровке Леммы 1.4.

По индукции легко доказывается, что 1 (,) < 1 (,). Отсюда сле­ дует (1.11), значит, и утверждение леммы в случае выполнения условия ().

Если условие () не выполнено, то доказательство сильно усложняется.

Пусть, удовлетворяют условиям а) и б). Тогда функции по Лемме 1.8 принадлежат множеству и равномерно сходятся на к () (следствие из Леммы 1.4). Докажем, что при достаточно близких к точках,, удовлетворяющих условиям а), б), где > 0 не зависит от. Отсюда согласно принципу компактности будет следовать, что некоторая последовательность { } будет сходиться к некоторой функции, которая на будет равна (). Тем самым будет доказано, [ ]() — угловое граничное значение (изнутри ) функции которое согласно формуле (1.30) существует всюду на [; ]. Из доказательства Леммы 1.2 следует оценка где 0 = 0 (), = sup | ()|. Отсюда и из равенства (1.59) следует, что для любого < 1 найдется = (), что для всех [, ] : < = < ·. Далее, поскольку при почти всех, функция Теперь, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве оценки (1.11), получим (1.58). Лемма доказана.

Замечание 1.1. Если — строго выпуклая дуга кривой (то есть не содер­ жит прямолинейных участков), то в качестве точки можно брать любую точку (включая концы) дуги, так что область, фигурирующую в фор­ мулировке Леммы 1.9, можно расширить до некоторой подобласти, имеющую в качестве части своей границы дугу, где, таковы, что содержит внутри себя.

1.1.8. Функция Пусть,, где — область, фигурирующая в формулировке Леммы 1.9. Обозначим через (, ) решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям Далее положим Лемма 1.10. Существует постоянная = () > 0 такая, что в полу­ плоскости П = { : Im[( )] } функция () не имеет полюсов где Доказательство. Так как () = 1/ (), то функцию () доста­ точно изучить в угле + := { : Re[( )] 0}.

где, означает вронскиан функций,. Отсюда, используя разложения (1.41), получим где =, =, оценка остаточного члена равномерная по (, ), arg. Подставляя эти оценки в (1.60), получим (1.61).

1.1.9. Функция и ее свойства Введем в рассмотрение функцию Лемма 1.11. Функция обладает свойствами 2) справедливо равенство Доказательство. Имеем Из (1.63) следует, что ( ) и оценка (1.66) для. Далее, по­ скольку ± () = (1 ), + равномерно по arg, то где = +, [0, +). Непосредственные вычисления дают где Отсюда следует 2).

Из формул (1.68), (1.69) видно, что при = 2 + ( ), > 0 первый член в правой части равенства (1.66) равен 0. Из оценки (1.63) следует, что при = 2+(), > 0, второй член также обращается в 0. Лемма доказана.

1.1.10. Уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко Если,, то [; ], так что ядро оператора преобразования (, ), определяемое соотношением удовлетворяет уравнению (см., например, [45]) которое называют [10, c.33] уравнением Гельфанда – Левитана – Марченко.

Но это уравнение, в силу определения (), имеет смысл для любой пары (, ). Если при некоторой паре (, ) это уравнение разрешимо, то мы можем функцию продолжить с области на отрезок [, ] как решение обратной задачи по функции рассеяния () оператора Штурма – Лиувилля на полупрямой c финитным потенциалом. Покажем, что уравнение (1.71) разрешимо при всех (, ) за исключением конечного числа таких пар.

Для дальнейшего нам удобнее перейти от (1.71) к уравнению, которому удовлетворяет функция (, ) = ( + ( ), + ( )):

Лемма 1.12. Функция (,, ) при любых фиксированных > 0 и аналитична по в области и где > 0 не зависит от,,.

Доказательство. Оценка (1.73) следует из представления (1.65) и след­ ствия из Леммы 1.7. Для доказательства утверждения об аналитичности заме­ тим, что согласно формулам (1.67) — (1.69) где Из оценки (1.63) имеем где 1 > 0 не зависит от,,. Из определения функции и представления (1.61) следует, что функция (,, ) при каждом (, ) R аналитична по в области. Далее, поскольку при фиксированных (,, ) R+ подынтегральная функция в (1.75) непрерывна по, то в силу известных свойств интеграла зависящего от параметра [49, c. 201], функция (,, ) при фиксированных > 0, аналитична в области. Отсюда, в силу формулы (1.74), следует, что (,, ) обладает таким же свойством. Лемма доказана.

Из представления (1.67) и следствия из Леммы 1.7 () непрерывна на Рассмотрим действующий в 2 (; 2 ) ( [0, 1)) оператор Лемма 1.13. При каждом фиксированном [0; 1) и (, ) — анали­ тичная в и непрерывная на оператор-функция, такая, что для каждой точки (, ) (, ) — компактный в 2 (, 2 ) оператор.

Доказательство. То, что (, ) компактен при каждом (, ), сле­ дует из того, что в силу оценки (1.73) (, ) - оператор Гильберта – Шмидта.

Далее, из той же оценки при каждом [0; 1] имеем поэтому, согласно известному критерию [24, с. 459], достаточно показать, что для любых,, непрерывных на [; 2 ], функция () = ( (, ), ) анали­ тична в. А это утверждение непосредственно следует из известных свойств интеграла, зависящего от параметра [49, с. 201].

1.1.11. Мероморфное продолжение функции в область Лемма 1.14. Функция аналитически продолжается с области на всю область как мероморфная функция с конечным числом полюсов, каждый из которых удовлетворяет условию безмонодромности (34).

Доказательство. 1). Рассмотрим сначала случай, когда не имеет прямо­ линейных участков, то есть для любых, область непуста. Тогда, со­ гласно Замечанию 1.1, существует некоторая двусвязная область с границей = 0, 0 =, такая, что 1 (). В этом случае в определении функции точки, равноправны, поэтому при каждом [0, 1) (, ) — аналитичная в 2 и непрерывная на 2 компактнозначная функция. Из (1.76) и (1.73) следует, что при всех, достаточно близких к, оператор ( (, ))1 существует. Отсюда, используя аналитическую теорему Фред­ гольма [60, с.224], заключаем, что для каждого найдется дискретное множество 0 (), которое может сгущаться только к границе, такое, что резольвента ( (, ))1 является мероморфной функцией (от ) в с по­ люсами в точках 0 (). Известно (см., например, [59, c. 292]), что если функция, отличная от константы, аналитична в области, ограниченной спрямляемой кривой и непрерывна на, то она может иметь на лишь конечное число ну­ лей. Поэтому функция (), введенная в доказательстве теоремы Фредгольма (см. [60, с.226]), в случае, когда не обращается тождественно в нуль, может иметь только конечное число нулей в. Следовательно, множество 0 () ко­ нечно.

достаточно близких к 0, оператор ( 0 (, 0 ))1 существует. Для краткости, [0 ; 2 0 ]. Уравнение (1.72) примет вид Снова применяя теорему Фредгольма, найдем конечное множество 0 = {1,..., } такое, что при всех из 0 уравнение (1.77) имеет един­ ственное решение = ( ())1 0, которое, в силу Леммы 1.13, представ­ ляет собой мероморфную в векторнозначную (как элемент 2 (0 ; 2 0 )) функцию с полюсами в точках 0. Далее, из (1.70) для функции (, ) =,0 ( + (0 )0, ) имеем поэтому (, ) при любом фиксированном аналитична в 0 с полюсами в 0. Но (, ) = 0 ( + (0 )0, ), где (, ) (см. п. 1.1.8) — решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (, ) =, (, ) =.

аналитически продолжается с кольца в область 0 = { = (10 )+0 0, }2, как мероморфная функция с полюсами в точках множества 0 = { = (1 0 ) + 0 0, = 1, 0 }. Выбирая теперь в качестве 0 любое (0; 1), мы построим семейство областей, обладающих такими же свойствами, что и 0.

При этом семейство, (0; 1), представляет собой открытое покрытие ком­ пакта. Действительно, для любой точки из найдется точка из такая, что лежит в интервале (, 0 ). Тогда = + (0 ), где (0, 1). Следова­ тельно,. Поэтому существует конечный набор областей { } в совокуп­ ности покрывающих, каждая из которых может содержать лишь конечное число полюсов функции 0 (, ). Обозначим через = {, = 1, } объ­ единение этих полюсов. Тогда функция 0 (, ) при каждом фиксированном мероморфна в области с полюсами в точках из.

Зафиксируем теперь любое 0 C. По доказанному, функция (, 0 ) мероморфна в, следовательно, имеет там конечное число нулей 1, 2,...,, каждый из которых является простым. Обозначим это множество. Поскольку (, 0 ) удовлетворяет уравнению (31) в, то Область представляет собой кольцевую область, которая получается из гомотетией с центром в точке 0 и коэффициентом 0, и «вырезает» из некоторую полосу.

Отсюда следует, что функция () мероморфно продолжается с в область с особенностями в точках из и. Ясно, что в точках из функция име­ ет полюс второго порядка, который удовлетворяет условию (34). Что касается особенностей в точках из, то они на самом деле являются устранимыми.

Действительно, так как функция () := (, ) целая, то она отлична от при всех из достаточно малой проколотой окрестности 0. Выбирая такое в (1.78), мы получим аналитическое продолжение функции в точке.

2). Допустим теперь, что существуют точки, такие, что = [, ], причем любой отрезок [, ], содержащий внутри себя отрезок [, ], не содержится в. Тогда в качестве области в формулировке Леммы 1. можно взять, где, таковы, что содержит внутри себя точку.

Согласно оценке (1.73), найдется некоторое число > 0, такое, что при всех, [, ], удовлетворяющих неравенству | |, и [0, 1), норма оператора (, ) в пространстве 2 (, 2 ) меньше 1.

Пусть =. Положим 1 =, если | |, в противном случае положим 1 = +( ). Тогда при любом (0, 1) оператор ( (, 1 )) существует. Поэтому при каждом фиксированном [0, 1) оператор () = (, 1 ) обратим при всех, достаточно близких к, так что по теореме Фредгольма (())1 мероморфна в и имеет в конечное число полюсов.

Теперь, повторяя все рассуждения пункта 1) (вместо имеем [, 1 ], а вместо — [, 1 ]), построим мероморфное продолжение в область 1 с конечным числом полюсов. Далее пусть 2 = при |1 |, и 2 = + 2( ) при | 1 | >. Ясно, что все предыдущие рассуждения останутся в силе, если вместо и [, 1 ] взять соответственно 1 и [1, 2 ]. Повторяя этот прием достаточное число раз, мы получим мероморфное продолжение функции в область с конечным числом полюсов.

Поскольку точки, абсолютно равноправны, то допускает мероморф­ ное продолжение и в область, где : содержит внутри себя точку Так как кривая кусочно - гладкая, то она может иметь только конечное число прямолинейных участков. Проделав предыдущую процедуру для каж­ дого такого отрезка, с учетом Замечания 1.1 построим кольцевую область, имеющую такой же вид, как в п. 1), в которой функция мероморфна, имеет конечное число полюсов, удовлетворяющих условию (34). Далее, действуя так же, как в п. 1), построим мероморфное продолжение в область. Отсюда следует, что 0 ().

Докажем, что 1 (). Так как () непрерывна на [, 2 ] при всех и почти всех, то из (1.71) и (1.70) следует, что любое (мероморфное в ) решение (, ) уравнения (1.1) имеет угловые граничные значения почти всюду на. Но на самой кривой функция (, ) имеет абсолютно непрерыв­ ную производную, следовательно [59, c.208], 1 (), для любой области, примыкающей к и не имеющей полюсов ни внутри себя, ни на границе.

Взяв в качестве (, ), например, (, ), которое при достаточно больших не имеет нулей на, получим () = (, )/(, ) + 2, так что 1 ().

Теорема доказана.

1.2. Критерий безмонодромности для систем Дирака 1.2.1. Предварительные замечания В этом параграфе мы распространим утверждение Теоремы 0.1 на систему Дирака (37).

преобразует уравнение (37) к виду где = diag(1, 1), (p1, p2 ), где p1, p2 2 (). Обозначим через [p](, ) = (1 [p], 2 [p]) ре­ шение уравнения (1.80) при 1 = p1, 2 = p2, удовлетворяющее условиям и положим Далее пусть Всюду, где p1 = 2, p2 = 2, значок [p] будем опускать: []() = () и т.д.

1.2.2. Доказательство утверждения 21 () 21 () Пусть — замкнутая кривая, охватывающая все полюса. Обозна­ чим через область, ограниченную кривыми и. Из определения 2 () следует, что функция принадлежит классу 2 ( ). Пусть, (, ) — ФМР уравнения (37), удовлетворяющая условию (, ) = 0, где 0 опреде­ ляется формулой (1.79). Тогда где 0 (, ) = 0 diag((), () ), (,, ) = 0 (, )01 (, ).

Обозначим через интегральный оператор в правой части (1.87). Тогда 0 2 ( ), 2 ( ) 2 ( ). Отсюда, в силу вольтерровости оператора 2 ().

Доказательство обратного включения 1 () (), как и в предыду­ щем параграфе, проведем в несколько этапов.

1.2.3. Уравнение для p Лемма 1.15. Если p 21 (), то где [p] аналитична в, непрерывна на и принадлежит 2 ( ).

Доказательство. Имеем где матрица P получается из матрицы заменой 1 на p1 и 2 на p2. Подставляя (1.90) в (1.83) и (1.84), получим для [p](), [p]() систему уравнений Зафиксируем, и введем — множество вектор-функций (, ) = (1 (, ), 2 (, ) таких, что Далее, на определим оператор, действующий по правилу Тогда из (1.86), (1.91) и (1.92) следует где [p] = ( [p], [p]), Легко проверить, что [p]0 [p] и. Тогда, действуя так же, как при доказательстве Леммы 1.2, покажем, что уравнение (1.93) однозначно разрешимо в. Отсюда будет следовать утверждение леммы.

Замечание 1.2. Из доказательства Леммы 1.15 видно, что в условиях лем­ ствами, что и [p].

Из доказанной леммы на основании формул Сохоцкого – Племеля получа­ ем уравнение для p где — предельное значение слева (при движении от к ).

1.2.4. Аналитичность вблизи Лемма 1.16. Пусть матрица, определенная по формуле (1.81), принадле­ жит 2 (). Тогда при любых, функция = (1, 2 ), равная p (p) при p = (1, 2 ), допускает аналитическое продолжение в область (1.80) в следующее:

Пусть — точки, введенные в п. 1.1.1. Введем в рассмотрение матрицу (, ) со столбцами + (, ) и (, ), которые являются решениями урав­ нения (1.97), удовлетворяющими начальным условиям Имеем где Так как 2 (), то уравнение (1.97) безмонодромно на кривой.

Поэтому все рассуждения, проведенные при доказательстве Леммы 1.5, без су­ щественных изменений применимы и к уравнениям (1.99). В результате мы по­ по arg асимптотическое представление при больших :

Согласно (1.82) Далее из (1.83) и (1.80) имеем () = () 2 (, ) + 1, () = () 1 (, ) 1. Подставляя сюда (1.104) и (1.101), получим где Используя эту оценку, из (1.84) имеем где () аналитична в области C[, ], в каждой точке [, ] имеет предел () изнутри области так, что () 2 ([, ], причем Отсюда, в силу (1.95), следует, что функция допускает аналитическое про­ )()) + (), где обладает такими же свойствами, что и (), то исполь­ зуя формулы (1.89), (1.105) и учитывая Замечание 1.2, непосредственными вы­ числениями убеждаемся, что 2 ( ) и справедлива оценка (1.96). Лемма доказана.

Замечание 1.3. Из доказательства Леммы 1.5 следует, что ФМР систе­ мы (1.80), допускающее представление (1.101) — (1.103), существует и в слу­ чае, когда есть некоторый отрезок.

Далее, основываясь на оценке (1.96), так же как в п. 1.1.7, построим ана­ литическое продолжение в некоторую область, примыкающую к.

1.2.5. Уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко Для построения мероморфного продолжения на всю область так же, как и в пп. 1.1.8 — 1.1.11, применим метод обратных задач. Выведем аналог уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко.

Пусть матрица в уравнении (1.80) определена на отрезке [, ], где, C, и принадлежит 2 ([, ]). Обозначим через (, ) ФМР системы (1.80), удовлетворяющую начальным условиям (, ) = diag((), () ). В силу Замечания 1.3 система (1.80) имеет ФМР, удовлетворяющее оценкам (1.101) — (1.103). Так как (, ) = (, )1 (, ) 0 (, ), то из соотношений (1.101) — (1.103) при имеем Положим где ( ),, = 1, 2, — набор прямых, по которым интегрируется элемент подынтегральной матрицы : = {Im( ) = (1)1 }, — любое положительное число. Из оценки (1.106) следует, что (, ) = 0 при всех = где Рассмотрим (, ) — решение уравнения (1.80), удовлетворяющее условию (1.82). Пусть (, ) = (, )(). Тогда () = 1 (, )(1, 1).

где 1 () = 1 ()/2 (), 2 () = 2 ()/1 (). Обозначим через = (1, 2 ) -й столбец. Так как 11 22 12 21 = 1, то Согласно (1.106) функции () при достаточно большом > 0 не имеют полюсов в полуплоскостях () = {(1)1 Im( ) }, причем если = arg( ), то Введем в рассмотрение матрицу где = {Im( ) = (1)1 }, число > 0 выбрано так, что в полуплос­ кости () функция () не имеет полюсов.

Лемма 1.17. Пусть 21 [, ]. Тогда ядро (, ) оператора преобразова­ ния (1.107) при каждом [, ] обращается в нуль (по ) на луче 2, а на отрезке [, 2 ] удовлетворяет уравнению где 2 [, ].

Доказательство. Согласно (1.106), () = (1 2|Im()| при по, что влечет равенство () 0 при. Из той же формулы (1.106) имеем где 2 ( ()). Отсюда следует, что 1 2 [, ]. Утверждение для доказывается так же.

Докажем (1.112). Рассмотрим функцию Так как 2 [, ], то из формулы (1.104) и оценки (1.101) имеем равномерно по [, ] и arg. Согласно (1.106) 2 () 1 + (1 ),, равномерно по 0 arg(( )). Поэтому равномерно по 0 arg(( )). Следовательно, при всех С другой стороны, (, ) = 2 0 (1 1) 1 ( 1 0 ), где 0 определены по формуле (1.100). Отсюда, учитывая (1.107), получаем Пусть. Тогда из оценки (1.106) следует, что Далее, Отсюда имеем Аналогично доказывается равенство Лемма доказана.

1.2.6. Завершение доказательства Теоремы 0. Ясно, что рассуждения п. 2) доказательства Леммы 1.14 относительно то­ го, что область можно расширить до некоторой «кольцевой» области, при­ мыкающей к, переносятся без изменений на случай системы Дирака.

Возьмем произвольные 2 точки, и по формулам (1.109), (1.110) образуем функцию (). В силу (1.101), разложения (1.113) для 1 () и ана­ логичные для 2 () сохраняют силу, так что функция (), определенная по формуле (1.111), будет обладать всеми свойствами, перечисленными в Лемме 1.17. Поэтому для интегрального оператора в уравнении (1.112) справедливы все утверждения, полученные для аналогичного оператора в п. 1.1.11. Так что повторяя все рассуждения, проведенные в ходе доказательства Леммы 1.14, полностью докажем Теорему 0.2.

Операторы Дирака и Штурма – Лиувилля на В этой главе будут получены необходимые и достаточные условия на функ­ цию и матрицу, при которых спектр операторов Штурма – Лиувилля и Дирака на кривой с параметризацией (2) — (3) локализуется (в смысле (17) или Определения 0.1) около одного или нескольких лучей. В параграфе 2.1 до­ казываются Лемма 0.1 о связи спектров операторов Дирака и Штурма – Лиувилля + в случае 1 = const и Теорема 0.3, позволяющая ограничиться краевыми условиями специального вида, а также Теорема 0.4, показывающая, что 2-локализация спектра оператора Дирака может быть реализована в точности так же, как при = [0, 1]. В параграфе 2.2 доказывается Теорема 0.5 — критерий 1-локализации (в смысле (17)) спектра оператора Штурма – Лиувилля на кривой. Параграф 2.3 посвящен доказательству Теоремы 0. — критерия 1-локализации спектра в широком смысле (Определение 0.1). Наи­ более общий критерий m-локализации спектра оператора Дирака (Теорема 0.7) доказывается в параграфе 2.4.

На протяжении всей главы будем считать, что функция (), фигурирую­ щая в формуле (2), дополнительно к (3) удовлетворяет условиям Это ограничение несущественно, поскольку при необходимости можно перейти к новой переменной 2.1. Некоторые вспомогательные утверждения 2.1.1. Доказательство Леммы 0. 1) Непосредственно проверяется, что = (0, 0 ), 0 = exp является собственной функцией оператора, соответствующей собственному значению 1.

( ) и = (1, 2 ) — соответствующая собственная функция. Тогда 1 = 0. Действительно, если = (0, 2 ), то из равенства = следует, что = 1. Поскольку = 2, то согласно (48) и (43) + 1 = 2 1 и 1 (0) = 1 (1) = 0, то есть 1 () — собственная функция оператора +, соответствующая собственному значению 2.

Обратно, пусть 2 (+ ) и () — соответствующая собственная функ­ ция. Положим ± = ( ± )(, 0) = ((1 ± ), + 2 ). Отсюда видно, что ± = 0 и ( )± = 0, так что ± ( ). Далее, введем в рассмотрение ха­ рактеристическую функцию спектра оператора + : () = (1, ), где (, ) — решение задачи + =, (0) = 0, (0) = 1. Тогда для характеристической функции () спектра оператора (см. (44)) будем иметь () = (1 +)(), откуда следует утверждение о кратности.

2.1.2. Доказательство Теоремы 0. Пусть, как и в первой главе, = arg.

Лемма 2.1. Пусть (). Тогда уравнение (37) имеет ФМР, для которой справедливо представление где = ( + 0 2 ), = diag(1, 1), матрицы 0 и определены по (1.79) и (1.81), оценка остаточного члена равномерна по и [0, Доказательство. Докажем для [0, 1 ] (случай [, 1 ] аналогичен).

Пусть 0 (, ) = diag,. Применяя метод вариации постоянных, для ФМР уравнения (1.97) будем иметь где () = ( ()), 11 = 22 = 12 = 0, 21 = 1, каждый элемент подынте­ гральной матрицы интегрируется по соответствующему пути.

где () интегральный оператор, действующий по формуле Легко проверить, что при указанном выборе путей интегрирования и при [0, 1 ] экспоненциальные множители, входящие в ядро оператора (), ограничены. Поэтому для нормы оператора () в пространстве () справедлива оценка () = (1 ),, равномерно по [0, 1 ].

Отсюда следует утверждение леммы.

Следствие 2.1. Если (), то уравнение (37) имеет решение, удо­ влетворяющие следующим асимптотическим соотношениям, 2 ( ), ) =, где — точка кривой, в которой достига­ ет минимума функция Im( ) (в п. 1.1.1 эта точка была обозначена ).

Оценка (2.4) доказывается так же, как и Лемма 2.1: в силу определения при =,, = 1, 2, все экспоненциальные множители в ядре соответствующего оператора () будут ограничены при [1, 1 ].

Следствие 2.2. При выполнении условий (6) спектр оператора вне углов 1 < ± < 0 конечен.

исследуется аналогично). Характеристическая функция спектра оператора в случае краевых условий (5) имеет вид где — решение уравнения (37), удовлетворяющее начальным условиям Полагая =, где — ФМР, удовлетворяющая оценке (2.2), получим равномерно по 0 1. Отсюда и из (2.2) следует, что равномерно по 0 1, откуда и следует доказываемое утверждение.

Тем самым п. 1) Теоремы 0.3 доказан.

Лемма 2.2. Для функции (), определенной по формулам (44) и (45), спра­ ведливо представление где — замкнутая кривая, лежащая в замыкании области, ограниченной прямыми = tg и = tg ( 1), = 0, 1, и проходящая через точки 0, 1, функция суммируема на и не аналитична в точках 0, 1.

Доказательство. Пусть =, где имеет представление (2.2), откуда равномерно по [0, 1 ] [0, 1 ]. Отсюда и из (2.2) получаем равномерно по [0, 1 ] [0, 1 ]. Введем функцию Из оценки (2.9) следует, что функция () аналитична в полуплоскости Im( + 1)0 < 0 и квадратично суммируема на прямой Im( + 1)0 = 0.

Далее, из той же оценки следует, что функция аналитически продолжа­ ется во внешность области, причем 2 (). Отсюда, учитывая, что 1 () = (( + 1)/2) есть функция, ассоциированная по Борелю с (), на основании известной формулы [33, c.114] получаем (2.8). То, что не анали­ тична в точках ±1 следует из оценки (2.9).

Лемма 2.3. Если функция () — вполне регулярного роста, то тем же свойством обладает и функция ().

Доказательство. То, что () — функция вполне регулярного роста вне углов 1 < arg(±) < 0, следует из доказательства следствия 2.2 (см.

(2.7)). Докажем утверждение леммы для угла 1 < < 0 (для угла 1 < < 0 доказательство такое же). Из (45) и (2.4) имеем Здесь и всюду до конца доказательства леммы оценки равномерны по [1, 0 ]. Так как (, )(, ) = const, то откуда, учитывая (2.4), будем иметь Тогда из (45), (2.4) и условий (2.6) получим Подставляя теперь эти оценки в (2.12), учитывая (2.4), (2.11), после несложных вычислений получим Обратимся теперь к формуле (2.8). Возможны 2 случая:

1) Функция аналитична в C[1, 1], 2) Множество особых точек шире чем отрезок [1, 1].

В первом случае сопряженная диаграмма функции () есть отрезок [, ]. Из соотношения (2.13) следует, что сопряженная диаграмма функции () содержится в [, ]. Покажем, что = [, ]. Действительно, если бы = [, ], где, например, < 1, то для функции имело бы место представ­ где 1 — контур, охватывающий отрезок [, ], функция 1 аналитична вне отрезка [, ]. Отсюда при + имели бы () = (exp(( + ))) со сколь угодно малым > 0 в противоречии с (2.7).

Равенство = [, ] означает, что функция () имеет тригонометриче­ ский индикатор на полуплоскостях Im > 0 и Im < 0. Кроме того, в силу (2.7) () – функция вполне регулярного роста в угле 0 1 (аналогич­ ное утверждение верно и при 0 1 ). Следовательно (см.[33, c.

213]), () — функция вполне регулярного роста на полуплоскостях Im > 0 и Im < 0. Так как множество лучей, на которых функция () вполне регуляр­ ного роста, замкнуто [33, c. 214], то () — функция вполне регулярного роста на всей плоскости.

В случае 2) для индикатора функции () имеем () > | sin | при всех 1 < < 0. Тогда поскольку функция () — вполне регулярного роста, то ± = (()), когда уходит в по любому фиксированному лучу arg =, 1 < < 0. Отсюда и из формулы (2.13) следует, что функция () — вполне регулярного роста на любом луче arg =, 1 < < 0. Лемма и Теорема 0.3 доказаны.

2.1.3. Доказательство Теоремы 0. Допустим, что = 1. Тогда, согласно определению 0.1, сопряженная диа­ грамма функции () есть отрезок. Из доказательства Леммы 2.3 следует, что этот отрезок есть [, ]. Это означает, что спектр локализован около лучей arg = 0 и arg = с одинаковыми плотностями 1/.

2.2. Аналог теоремы Марченко Цель этого параграфа — доказательство Теоремы 0.5.

2.2.1. Достаточность условий (i) и (ii) Обозначим через (, ) решение уравнения (31), удовлетворяющее началь­ ным условиям Тогда спектры операторов и совпадают с нулями функций () = (1, ) и () = (1, ) соответственно. В силу условий (i), (ii) уравнение (31) безмонодромно, следовательно, () = [0,1] (1, ) и () = (1, ), где [0,1] решение уравнения + [0,1] = 2, [0, 1], удовлетворяющее усло­ виям (2.14). Отсюда следуют соотношения { } = ( ()), { } = ( ()) при = [0,1] и формулы (52), (53).

2.2.2. Необходимость условий (i) и (ii) До конца этого пункта условимся говорить, что выполнено условие (), если с некоторым 1 [0, 1].

Лемма 2.4. Если выполнено условие (), то при всех C Доказательство. При необходимости, сдвигая спектральный параметр в уравнении (31), можно считать, что, = 0 при всех. Так как () и () четные целые функции порядка 1, то где 0, 1 — некоторые постоянные. Из соотношений (52), (53) в силу известной формулы [50, c. 225] имеем равномерно по < |arg| < /2. С другой стороны (см. [12]), при arg = / Отсюда 0 = 1 = 1, следовательно, Так как по условию леммы [0,1] (1, ) = 0 (), (1, ) = 1 () с некоторы­ ми постоянными 0 и 1, то, повторяя предыдущие рассуждения для функции [0,1] (, ), получим откуда следует утверждение леммы.

Доказанная лемма означает, что функция вместе со своей производной при всех не меняет своего значения при обхо­ де кривой = [0, 1]. Наша цель — построить еще одно решение, линейно независимое с (, ) и обладающее указанным свойством. Отсюда будет следо­ вать безмонодромность уравнения (31), что в соответствии с Теоремой 0.1 даст (i), (ii).

Но прежде мы сформулируем одно важное для дальнейшего следствие из отмеченного выше свойства функции (, ).

Лемма 2.5. При выполнении условия () для больших справедливы асимп­ тотические оценки равномерные по и arg.

Доказательство. В случае [0, 1] оценки (2.18) и (2.19) следуют из известных (см., например, [35, c. 13]) ВКБ – оценок для решений уравнения Штурма – Лиувилля на отрезке.

считать, что |arg| /2. Имеем Пусть (см. (2.1)) 0 arg /2 (случай /2 arg 0 аналогичен).

Положим Тогда где 0 = 1 2, () — интегральный оператор, действующий по формуле Легко проверить, что при указанных норма интегрального оператора в пространстве () имеет порядок (1 ). Следовательно, Отсюда, переходя обратно к функции (, ), получим (2.18).

Пусть теперь 0 arg < 0. Легко проверить, что все предыдущие рас­ суждения относительно уравнения (2.20) останутся справедливыми, если вме­ сто всей кривой рассматривать только дугу 0. Остается изучить поведение (, ) на дуге 1. Для этого заметим, что равенства (2.15) равносильны ра­ Тогда уравнение (2.20) мы можем переписать следующим образом:

где — дуга, дополнительная к дуге 0, пробегаемая от 0 до (по часовой стрелке). Замена (2.21) приводит к уравнению вида (2.22), откуда по аналогии с предыдущим получим (2.18).

В случае 1 arg < 0 вместо (2.21) нужно сделать замену (, ) = 2 (, ).

Оценка (2.19) получается дифференцированием (2.20) и подстановкой туда (2.18). Лемма доказана.

Cледствие. При условии () Доказательство. Из равенства (2.23) со знаком и оценки (2.18) будем Отсюда следует (2.25).

Обозначим через (, ) решение уравнения (31), удовлетворяющее началь­ ным условиям Далее через и будем обозначать сужения (, ) соответственно на и [0, 1].

Лемма 2.6. При условии () справедливы равенства Доказательство. Докажем равенство (2.27) для (для доказательство такое же). Пусть (, ) решение уравнения (31), удовлетворяющее начальным условиям Тогда если то (0, ) = 2 (). Подставляя (2.28) в (2.26), будем иметь (() ()). Лемма доказана.

Лемма 2.7. Если выполнено (), то Доказательство. Введем обозначения ± (, ) = (, ±), ± (, ) = (, ±). Согласно (2.26), Полагая в этих равенствах = 0 и вычитая из первого равенства второе, с учетом (2.27) получим Нам понадобятся асимптотики функций (0, ), + (0, ), = 0, 1, при боль­ ших из верхней полуплоскости.

В случае классической задачи Штурма – Лиувилля на отрезке эти асимп­ тотики хорошо известны (см., например, [50, c. 54]):

равномерно по 0 arg.

Покажем, что при условии () аналогичная оценка верна и для функции + (0, ). Имеем где, — решения уравнения (31), введенные в п. 2.1.3. Непосредственные вычис­ ления дают Подставляя сюда (2.18) и (2.19), а также оценки для и (см. [13, Лемма 2]), получим равномерно по 0 arg.