«СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ...»

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Дуплий Степан Анатольевич

УДК 539.12

ПОЛУГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ В

СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

01.04.02 – Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков – 1999 2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 10 РАЗДЕЛ 1. Теория необратимых супермногообразий 1.1. Обратимые супермногообразия в терминах окрестностей 1.2. Необратимые супермногообразия.............. 1.2.1. Полусупермногообразия............... 1.2.2. Ориентации полусупермногообразий........ 1.2.3. Препятственность и полумногообразия....... 1.2.4. Полугруппа башенных тождеств.......... 1.2.5. Обобщенная регулярность и полукоммутативные диаграммы....................... 1.3. Необратимость и полурасслоения.............. 1.3.1. Определение полурасслоений............ 1.3.2. Морфизмы полурасслоений............. 1.4. Необратимость и полугомотопии.............. 1.5. Основные результаты и выводы.............. РАЗДЕЛ 2. Необратимое обобщение N = 1 суперконформной геометрии 2.1. Необратимость и N = 1 суперконформные преобразования 2.1.1. Супераналитические преобразования........ 2.1.2. Касательное суперпространство и варианты его редукций

2.1.3. Редуцированные N = 1 преобразования...... 2.1.4. Вырожденные преобразования............ 2.1.5. Альтернативная параметризация.......... 2.2. Суперконформные полугруппы............... 2.2.1. Локальное строение N = 1 суперконформной полугруппы......................... 2.2.2. Ann-полугруппа.................... 2.2.3. Квазиидеальный ряд................. 2.2.4. Обобщенные отношения Грина........... 2.2.5. Квазихарактеры.................... 2.3. Сплетающие четность преобразования........... 2.3.1. Касательное суперпространство и кручение четности........................... 2.3.2. Обобщенное редуцированное расслоение с кручением четности..................... 2.3.3. Компонентный анализ................ 2.4. Нелинейная реализация N = 1 редуцированных преобразований............................. 2.4.1. Движение нечетной кривой в C1|1......... 2.4.2. Глобальная суперсимметрия в C1|1......... 2.4.3. Редуцированные преобразования.......... 2.4.4. Диаграммный подход к связи между линейной и нелинейной реализациями.............. 2.4.5. Глобальная двумерная суперсимметрия в терминах нелинейных реализаций............... 2.4.6. Нелинейная реализация конечных редуцированных преобразований.................... 2.5. Дробно-линейные преобразования.............. 2.5.1. Суперконформные преобразования......... 2.5.2. Сплетающие четность преобразования....... 2.5.3. Супераналоги расстояния в C1|1.......... 2.5.4. Необратимый аналог метрики в C1|1........ 2.6. Основные результаты и выводы.............. РАЗДЕЛ 3. Необратимая геометрия расширенных редуцированных преобразований 3.1. N = 2 суперконформная геометрия............. 3.1.1. Классификация N = 2 расширенных супераналитических преобразований.................. 3.1.2. Компонентное представление и N = 2 супераналитическая полугруппа................. 3.1.3. Редукции N = 2 касательного суперпространства 3.1.5. Конечные обратимые и необратимые SCf преобразования и N = 2 SCf полугруппа.......... 3.1.6. Сплетающие четность N = 2 преобразования... 3.1.7. Дуальные супераналитические N = 1 преобразования и редуцированные N = 2 преобразования... 3.2. Редуцированные N = 4 преобразования.......... 3.2.3. Компонентное представление N = 4 редуцированных преобразований.................. 3.2.4. Киральные нерасщепленные преобразования... 3.2.5. Сплетающие четность N = 4 преобразования... 4.1. Альтернативная редукция суперматриц.......... 4.1.2. Мультипликативные свойства нечетно-редуцированных суперматриц................... 4.1.3. Унификация редуцированных суперматриц.... 4.1.4. Скаляры, антискаляры, обобщенные модули и сэндвичполугруппа редуцированных суперматриц..... 4.1.5. Прямая сумма редуцированных суперматриц... 4.2. Представление полугрупп связок суперматрицами.... 4.2.1. Однопараметрические полугруппы редуцированных 4.2.2. Скрученные прямоугольные связки......... 4.2.3. Представления прямоугольных связок....... 4.2.4. Непрерывные представления высших связок.... 4.2.5. Тонкое идеальное строение высших связок.... 5.1. Свойства scf-матриц и их перманентов........... 5.1.2. Ортогональные и scf-матрицы............ 5.1.3. Обратимость и доопределенные scf-матрицы... 5.1.4. Полугруппа N = 2 scf-матриц............ 5.2. Неэвклидова плоскость и scf-матрицы........... 5.2.1. Определение и свойства per-отображений..... 5.2.3. Per-аналог гиперболического расстояния на суперплоскости........................

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

А.1. Группоиды, полугруппы и идеалы............. А.2. Полугруппы и преобразования............... А.3. Обратимость, нильпотентность и регулярность..... А.4. Отношения и гомоморфизмы................. А.6. Свойства отношений Грина................. Приложение Б. Суперпространства, супермногообразия и Б.1. Алгебраический подход к супермногообразиям...... Б.2. Функциональный подход................... Б.3. Различия между алгебраическим и функциональным подходами............................. Б.4. Суперконформные многообразия.............. В.1. Линейная супералгебра.................... В.2. Суперматричная алгебра................... В.3. Суперслед и супердетерминант............... В.4. Странные супералгебра, след и детерминант....... В.6. Правые и левые -матрицы................. В.7. Полугруппа множеств редуцированных матриц...... В.8. Непрерывное суперматричное представление нулевых полугрупп............................ В.9. Отношение R -эквивалентности для прямоугольной (2|2)связки.............................. Приложение Д. Перманенты и их обобщения для матриц Д.1. Перманенты и детерминанты................ Д.2. Полуминоры и полуматрицы................ Е.2. (1|N )-мерное суперпространство.............. Е.4. Березинианы N = 4 редуцированных преобразований.. Ж.1. -суперконформные преобразования и нильпотентные суперполя............................. Ж.2.Полугруппа расщепленных N = 2 SCf преобразований. Ж.4.Расщепленные N = 4 SCf преобразования......... Ж.5.Дробно-линейные N = 4 преобразований и полуматрицы З.1. Смешанные условия согласованности и нечетные аналоги З.2. Деформации и TPt преобразования............. З.3. Нечетные аналоги препятствий и смешанные -коциклы

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Латинскими наклонными буквами обозначены четные величины a, b, Q и функции f, g, F, G; греческими буквами,,, — нечетные;

M, S, T, A, D... — матрицы и суперматрицы;

M, S, P, Q, R... — полуматрицы и полуминоры;

M, S, T, A, D... — множества с умножением ( );

M, S, T, A, D, I... — абстрактные полугруппы с умножением ();

S, T, A, D... — полугруппы преобразований;

T, U, A, B, H, G... — преобразования с умножением ();

Cn|m, Rn|m, Dn|m, V... — (супер)пространства и области в них;

n|m... — линейные суперпространства;

T Cn|m T Cn|m... — (ко)касательные суперпространства;

M, N, X, Y, U... — (супер)многообразия и области в них;

Z, K, N, 0, 1... — (супер)числовые поля;

L, R, D, H... — отношения Грина;

L, R, D, H... — классы эквивалентности с умножением ( );

r, d, D... — инвариванты;

,... — функции перехода с композицией ();

,,... — морфизмы и отображения;

(·) — умножение в грассмановой алгебре;

[x] — числовая часть величины x (отбрасывание нильпотентов);

SA — супераналитический;

SCf — суперконформный;

TPt — сплетающий четность (twisting parity of tangent space).

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Построение единой теории всех фундаментальных взаимодействий — электромагнитного, слабого, сильного и гравитационного — является важнейшей теоретической проблемой современной физики элементарных частиц. Существенным достижением в этом направлении явилось развитие методов суперсимметрии и супергравитации, которые позволили разрешить такие трудности предшествующих суперсимметрии калибровочных теорий фундаментальных взаимодействий (квантовой электродинамики, квантовой хромодинамики и модели Вайнберга-Салама), как включение гравитации и рассмотрение процессов при планковских энергиях.

Нелокальное многомерное обобщение супергравитации – теория суперструн – дала ответ на многие открытые вопросы, связанные с неперенормируемостью и космологической постоянной, а также с последовательной унификацией всех фундаментальных взаимодействий. В теории суперструн осуществился синтез разнообразных методов теоретической и математической физики. Тем не менее, дальнейший прогресс в понимании глубинных физических основ строения материи, в свою очередь, требует интенсивных поисков нестандартных путей разрешения известных проблем и привлечения принципиально новых теоретических идей.

Наиболее фундаментальными и общими являются абстрактные алгебраические свойства теории, лежащей в основе физики элементарных частиц. Как правило, вначале исследований такие свойства вводятся с математической точки зрения и лишь затем формулируются на языке физических законов и предсказаний результатов эксперимента.

Так произошло и в случае суперсимметрии: антикоммутирующие величины рассматривались многими математиками еще начиная с прошлого столетия. Но лишь после открытия суперсимметрии физиками в начале 70-х годов она превратилась из чисто математической теории в “индустриальную” основу современного “моделестроения” с физическими конструкциями и конкретными предсказаниями новых элементарных частиц — суперпартнеров. Настоящий “бум суперсимметризации” потряс теоретическую физику 70-х и 80-х: все, что могло “суперсимметризоваться”, незамедлительно “суперсимметризовалось”.

Основные ингредиенты теории после очевидных модификаций наделялись приставкой “супер”, а затем построение уже суперсимметричной модели, исключая несущественные и не принимаемые в расчет моменты, копировались шаг за шагом из подобной несуперсимметричной версии, и последняя обязана была быть некоторым ее непрерывным пределом.

Однако, при этом абстрактные алгебраические свойства физической теории или вовсе не претерпевали изменений, либо влияние “суперсимметризации” было просто символичным. Так предполагалось, что именно супергруппы представляют собой адекватное суперобобщение соответствующих групп. И это удивительно, поскольку среди основных переменных суперсимметричной теории изначально присутствуют необратимые объекты и делители нуля. В частности, концепция суперпространства, допускающего унификацию описания бозонных и фермионных секторов теории, основана на введении дополнительных нильпотентных координат, тогда многие отображения и функции становятся необратимыми по определению. И все же, как это ни странно и ни парадоксально с математической точки зрения, они искусственно и необоснованно исключались из рассмотрения. Данная процедура была названа “факторизацией по нильпотентам” в физике (в теории полугрупп эта процедура хорошо известна и называется факторизацией Риса) и она (в основном неаргументированно) применялась или подразумевалась при суперсимметризациях.

На самом деле, все преобразования множества, содержащего нильпотенты, или все отображения суперпространства сохраняющего вид определенной структуры образуют полугруппу (а не группу) относительно композиции. Поэтому категория групп, в рамках которой строились несуперсимметричные теории элементарных частиц, должна быть обобщена до категории полугрупп при математически строгом включении суперсимметрии в основополагающие принципы теории.

Другими словами, переход от пространства к суперпространству должен сопровождаться одновременным переходом от групп к суперполугруппам, а не супергруппам — “супер” обобщение физической теории должно сопровождаться “полу” обобщением ее математики в целом.

Тогда в глобальном теоретико-групповом смысле суперсимметричные модели элементарных частиц обязаны иметь структуру полугруппы, в то время, как наблюдаемый их сектор при настоящих энергиях может удовлетворительно описываться их обратимой групповой частью.

Поэтому не следует ограничиваться исследованиями лишь последней, поскольку свойства идеальной и групповой частей взаимообусловлены и взаимозависимы. В этом контексте важным также является пересмотр стандартного анзаца “факторизации”, а именно — “факторизовать по не-нильпотентам”, т. е. изучать “негрупповые” (или идеальные) свойства суперсимметричных теорий.

Таким образом, построение и исследование таких суперсимметричных моделей элементарных частиц, которые, с одной стороны, обладали бы математической общностью и корректностью в рамках аппарата теории полугрупп, а с другой стороны, имели бы достаточную физическую предсказательную силу, представляет собой актуальную научнотеоретическую проблему.

Основной объект в теории суперструн — это мировая поверхность струны, следовательно построение и изучение необратимых и полугрупповых обобщений супермногообразий и суперконформной дифференциальной геометрии представляет собой первоочередную задачу.

В этой связи чрезвычайно актуальной является также проблема обратного влияния суперсимметрии на теорию полугрупп. Так, подробное исследование необратимых суперматриц приводит к новым и неожиданным результатам в идеальном строении и теории представлений суперматричных полугрупп, что, в свою очередь, может способствовать последовательному и корректному построению новых суперсимметричных моделей элементарных частиц, основанных на полугрупповых принципах.

Связь работы с научными программами, планами, темами.

Диссертация выполнена как часть исследований, проводимых на кафедрах теоретической и экспериментальной ядерной физики ХГУ в рамках координационного плана Министерства образования Украины “Комплексные исследования ядерных процессов и создание на их основе ядерно-физических методов для использования в энергетике и радиационной безопасности ядерных энергетических установок и технологий радиационной модификации материалов и экологии”.

Результаты диссертации вошли в отчеты госбюджетных тем “Исследования структуры атомных ядер и новых закономерностей в ядерных взаимодействиях” (тема №1-13-94, номер государственной регистрации 0194U018989) и “Исследования ядерных процессов с участием нуклонов и сложных частиц низких и средних энергий” (тема №1-13-97, номер государственной регистрации 0197U016494).

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является разработка и применение полугрупповых методов в суперсимметричных моделях элементарных частиц. Для этого решались такие задачи:

1. Подробный анализ необратимых свойств преобразований, возникающих при суперсимметризации физических теорий.

2. Поиск необратимых аналогов супермногообразий, расслоений и гомотопий.

3. Формулировка необратимой суперконформной дифференциальной геометрии и построение суперконформных полугрупп.

4. Классификация необратимых расширенных и нерасширенных суперконформных преобразований.

5. Нахождение нелинейных реализаций необратимых суперконформных преобразований.

6. Всесторонний анализ суперматричных полугрупп, поиск новых представлений и эквивалентностей.

7. Введение новых типов матриц, содержащих нильпотентные элементы и изучение их свойств.

8. Построение необратимого аналога гиперболической геометрии на суперплоскости.

Научная новизна полученных результатов. Научная новизна диссертационной работы состоит в построении нового направления в суперсимметричных моделях элементарных частиц, которое основано на включении полугрупп, идеалов и необратимых свойств в исследование математической структуры. Впервые определены необратимые аналоги супермногообразий, расслоений и гомотопий. Сформулирована новая необратимая суперконформная геометрия (и ее расширенные варианты), найдены новые типы суперконформных полугрупп и преобразований, которые сплетают четность касательного расслоения. Предложена альтернативная редукция суперматриц, которая приводит к новым абстрактным свойствам, полугруппам и супермодулям. Впервые суперматрицы используются для построения представлений полугрупп связок, при этом найдены новые обобщенные отношения Грина. Построен необратимый вариант гиперболической геометрии на суперплоскости, где найдены необратимые аналоги двойных отношений, инвариантов и расстояний.

Практическое значение полученных результатов. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для построения новых математически корректных моделей элементарных частиц, основанных на теории суперструн, переосмысленного анализа необратимости в уже имеющихся моделях, а также для поиска новых полугрупповых свойств и структур в суперсимметричных объектах и пространствах.

Личный вклад диссертанта. Все результаты получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались автором на 12 международных конференциях, 10 из которых проводились за рубежом:

1. МЕЖДУНАРОДНАЯ ШКОЛА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИГваделупа, Франция, 1993)

2. МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОЛЛОКВИУМ ПО ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫМ МЕТОДАМ

В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

3. МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНГРЕСС ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ (Париж, Франция, 1994)

4. МЕЖДУНАРОДНАЯ КРАКОВСКАЯ ШКОЛА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

(Закопане, Польша, 1995) 5. МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО КАЛИБРОВОЧНЫМ ТЕОРИЯМ, ПРИКЛАДНОЙ СУПЕРСИММЕТРИИ И КВАНТОВОЙ ГРАВИТАЦИИ (Леувен, Бельгия, 1995) 6. ЕВРОПЕЙСКАЯ ШКОЛА ПО ТЕОРИИ ГРУПП (Валладолид, Испания, 1995) 7. МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ-96 (Коллеж Парк, США, 1996) 8. МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО ВЫСШИМ ГОМОТОПИЧЕСКИМ СТРУКПокипси, США, 1996)

ТУРАМ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

9. МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕМИНАР ПО СУПЕРСИММЕТРИИ И КВАНТОВОЙ ТЕпамяти Д. В. Волкова (Харьков, Украина, 1997)

ОРИЯ ПОЛЯ

10. МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО СУПЕРСИММЕТРИИ И КВАНТОВЫМ

СИММЕТРИЯМ

11. МЕЖДУНАРОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ памяти Л. М. Глускина (Славянск, Украина, 1997) 12. МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНГРЕСС МАТЕМАТИКОВ (Берлин, Германия, 1998) Материалы диссертационной работы представлялись и всесторонне обсуждались на многих семинарах в Украине, России, Германии, Англии, Франции, США и других странах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах (из них 12 в зарубежных изданиях), а также в трудах упомянутых конференций. Все работы выполнены без соавторов. Большинство работ предварительно опубликовано также в интернете и хранится в международных электронных архивах США, Англии, Италии, Японии. Прямой доступ к ним возможен с интернетовской страницы автора: http://www-home.univer.kharkov.ua/~duplij.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 5-ти основных разделов, раздела Выводы и приложений. Объем основного текста (без приложений и литературы) составляет 292 страницы.

В работе имеется 3 рисунка, 3 таблицы и список литературы из названий.

Во Введении обоснована актуальность проблемы, сформулирована цель работы, ее научная новизна, практическая ценность и апробация, кратко изложено ее содержание.

В разделе “Теория необратимых супермногообразий” подробно анализируются обобщения понятий супермногообразия, суперрасслоение и гомотопии на необратимый случай. На языке карт и функций перехода вводятся понятие полусупермногообразия как необратимого аналога супермногообразия. Префикс “полу-” отражает тот факт что лежащие в основе морфизмы формируют полугруппы состоящие из известной групповой части и новой идеальной необратимой части, т.е.

рассматривается полугрупповое обобщение предыдущего формализма.

Полукарта определяется как пара из суперобласти U, и необратимого морфизма noninv. Тогда полуатлас есть объединение стандартных обратимых карт U, inv и полукарт U, Функции перехода на полусупермногообразии находятся не из стандартных выражений = 1 на пересечении суперобластей U U, а из системы уравнений В общем случае при нахождении и эти уравнения не могут быть решены с помощью = 1 в силу необратимых и. Вместо этого ищутся искусственные приемы его решения, например, разложением в ряд по генераторам супералгебры, либо используя абстрактные методы теории полугрупп, которые рассматривают решения необратимых уравнений как классы эквивалентности.

Ослабление обратимости позволяет естественно обобщать условия коцикла для функций перехода полусупермногообразий. Они строятся аналогично условиям регулярности для элементов полугруппы. Так, вместо стандартного n = 2 условия взаимной обратности функций перехода и в виде = 1 (где 1 — тождественное отображение на U ) имеем обобщенное условие на пересечениях U U. А вместо известного n = 3 условия коцикла = 1 на пересечении трех суперобластей U U U получаем его необратимый аналог Аналогично строятся условия коцикла при произвольных n, которое мы называем n-регулярностью отображений. Понятно, что 3регулярность совпадает с обыкновенной регулярностью.

Это позволяет сформулировать чрезвычайно общий анзац полукоммутативности для необратимых морфизмов, который при n = описывается следующей коммутативной диаграммой Обратимый морфизм Необратимый (регулярный) морфизм Получены также необратимые аналоги коциклов для рефлексивных полусупермногообразий.

Найден дополнительный нильпотентный тип ориентируемости на полусупермногообразиях, который обусловлен нильпотентностью березиниана функций перехода. Индекс нильпотентности березиниана позволяет нам систематизировать полусупермногообразия имеющие нильпотентную ориентируемость. Вводятся также башенные тождества и препятственность, с помощью которых удается проклассифицировать полусупермногообразия. По аналогии с суперчислами имеем следующую классификацию:

• Суперчисла.

1. Обыкновенные не равные нулю числа (обратимые).

2. Суперчисла, имеющие ненулевую числовую часть (обратимые).

3. Суперчисла, имеющие нулевую числовую часть (необратимые).

• Полусупермногообразия.

1. Обыкновенные многообразия (функции перехода обратимы).

2. Супермногообразия (функции перехода обратимы).

3. Препятственные полусупермногообразия (функции перехода Аналогичным образом вводятся полурасслоения, в которых необратимость возникает за счет необратимости функций перехода, связанной с нильпотентами и дивизорами нуля в подстилающей супералгебре. Далее рассматриваются морфизмы и условия соответствия полурасслоений. Обобщенные условия коцикла для функций перехода полусупермногообразий и полурасслоений могут приводить к построению необратимых аналогов коциклов Чеха и спектральных последовательностей, что тесно связано с когомологическими методами теории полугрупп.

Для описания обобщенных морфизмов на полусупермногообразиях определяются четные и нечетные полугомотопии с необратимым четным или нечетным суперпараметром соответственно. Полугомотопии приводят к рассмотрению фундаментальных полугрупп и играют ту же роль в изучении свойств непрерывности и классификации полусупермногообразий, которую обыкновенные гомотопии играют для обыкновенных (супер)многообразий.

Раздел “Необратимое обобщение N = 1 суперконформной геометрии” посвящен построению необратимой суперконформной дифференциальной геометрии (1|1)-мерного комплексного суперпространства Z = (z, ) C1|1, которая исключительно важна в теории суперструн, суперримановых поверхностей и в двумерных суперконформных теориях поля.

Вначале строится полугруппа супераналитических преобразований C1|1 C1|1 и проводится их классификация по необратимости.

Вводятся локальные единицы и нули и анализируются их свойства.

Приведены соотношения на тройных пересечениях U U U для супераналитических полусупермногообразий. Получено выражение для необратимого аналога березиниана и проведена классификация супераналитических преобразований C1|1 C1|1 по индексу нильпотентности березиниана.

Далее подробно проанализированы все возможные редукции касательного (1|1)-мерного пространства без учета требования обратимости. Оказывается, что нетривиальных редукций имеется две, а не одна, как в обратимом случае. Это связано с фундаментальной формулой сложения березинианов редуцированных суперматриц касательного пространства где PA — полная суперматрица, PS и PT — треугольная и антитреугольная суперматрицы соответственно. Отсюда редуцированные (суперконформно-подобные) преобразования определяются проектированием березиниана на одно из слагаемых. Тогда в терминах преобразованных координат Z = z, получаем два условия где и D — обычная и суперпроизводная соответственно.

Первое из них определяет стандартные суперконформные преобразования TSCf (обратимые и необратимые), а второе условие приводит к новым необратимым преобразованиям TT P t, сплетающим четность в касательном и кокасательном суперпространствах. Действительно, если суперконформные преобразования индуцируют ковариантные преобразования супердифференциалов dZ = dz + d и суперпроизводных то сплетающие четность преобразования также дают ковариантные преобразования в касательном суперпространстве, но с вращением четности Первые два соотношения является ключевыми для построения теории распределения на суперримановых поверхностях, которые определяются уравнением (z, ) = 0. Другое условие Q (z, ) = 0 определяет необратимый аналог суперримановых поверхностей, в которых четность касательного пространства не фиксирована. Такая конструкция с функциями перехода из TSCf и TT P t может рассматриваться как частный случай введенных ранее полусупермногообразий. Кроме того, новые сплетающие четность преобразования возможно могут приводить к дополнительным вкладам в амплитуду фермионных струн специальной конфигурации.

Рассмотрены также левые вырожденные редуцированные преобразования TDegL, для которых оба условия (z, ) = 0 и Q (z, ) = 0 выполняются одновременно, а также правые вырожденные редуцированные преобразования TDeg, которые определяются условием D = 0.

Найдено единое описание обоих типов редуцированных преобразований с помощью альтернативной параметризации, в котором различие между ними определяется проекцией некоторого “спина редукции” n = ±1/2, где знак ± соответствует преобразованиям TSCf и TT P t соответственно. Приведена таблица умножения для “спина редукции” и описаны его свойства. Если суперконформные преобразования TSCf являются супераналогом голоморфных преобразований, то сплетающие четность преобразования TT P t можно трактовать как супераналог антиголоморфных преобразований комплексной плоскости, которые обязаны быть необратимыми.

Другим важным свойством сплетающих четность преобразований TT P t является незамкнутость композиции (как, впрочем, и антиголоморфных преобразований). Однако, на пересечении трех суперобластей U U U и T : U U, T : U U, T : U U выполняется следующий закон умножения преобразований TSCf TT P t = T T P t.

Отсюда видно, что множество сплетающих четность преобразований является правым идеалом для суперконформных преобразований. Кроме того, вместо стандартного условия коцикла на суперримановой поверхности D = D · D мы определяем “сплетенный коцикл” с множителями различной четности. Тогда возможно построение принципиально новых распределений и расслоений, которые не сохраняют четность, как в классическом случае.

Применяя анзац ослабления обратимости можно обобщить и сами суперконформные преобразования. Новая параметризация N = 1 суперконформной группы позволила расширить ее до полугруппы SSCf и унифицировать описание старых и новых преобразований. Мы нашли, что построенная полугруппа принадлежит к новому абстрактному типу полугрупп, удовлетворяющим необычному идеальному умножению где In — члены построенного идеального ряда, имеющего специфические свойства. Из этого умножения можно определить In как правый и двусторонний повышающий идеал, но обычный левый идеал, что говорит о нетривиальной идеальной структуре N = 1 суперконформной полугруппы.

Введены и изучены свойства обобщенных векторных и тензорных отношений Грина, также определены идеальные квазихарактеры в суперконформной полугруппе.

Исследование свойств дробно-линейных N = 1 редуцированных преобразований проводится в терминах нечетных аналогов миноров для суперматриц полуминоров, которые являются полуматрицами вида M= (a, b — четные,, — нечетные) и описывают вращающие четность отображения линейных двумерных суперпространств 2|0 1|1 и 1|1 2|0. Определено отображение — полутранспонирование, связывающее полуматрицы с матрицами M M. Полутранспонирование можно трактовать как извлечение квадратного корня из хорошо известного оператора смены четности — -транспонирования. Для описания сплетающих четность преобразований вводятся нечетные аналоги детерминанта и перманента от полуматриц — полудетерминант etM = a b и полуперманент erM = a + b, которые нильпотентны и удовлетворяют нетривиальным соотношениям. Полудетерминант дуален с детерминантом в том смысле, для необратимых преобразований полудетерминант etM играет роль, аналогичную той, которую корень из обычного детерминанта det M играет для обратимых преобразований. Найдена четно-нечетная симметрия дробно-линейных N = 1 суперконформных преобразований, которая состоит в симметрии относительно одновременной замены детерминанта на полудетерминант и четных координат на нечетные.

Найдены и исследованы необратимые супераналоги расстояния в (1|1)-мерном суперпространстве. Введен необратимый TPt аналог метрики ds по формулам и сформулирован необратимый аналог инвариантности — “полуинвариантность” введенной метрики.

Далее изучаются нелинейные реализации редуцированных суперконформно-подобных преобразований, и в дополнение к вышеупомянутым исследованиям, мы включаем в рассмотрение конечные преобразования и учитываем их необратимость. Рассмотрена трактовка нелинейных реализаций как движение нечетной кривой в суперпространстве C 1|1 и получены представления для конечных обратимых и необратимых N = 1 суперконформных преобразований, а также для сплетающих четность преобразований как уравнений для SCf голдстино и TPt голдстино.

Соотношение между линейной и нелинейной реализациями изучены в рамках диаграммного подхода Здесь преобразование G играет роль линейного преобразования, преобразование H является нелинейным (в обратимом случае — из подгруппы G ), в то время, как A и B соответствуют косетным преобразованиям с голдстоуновскими полями как параметрами. Для конечных редуцированных обратимых и необратимых преобразований с учетом их таблицы умножения получены следующие возможные представления (второе уравнение является новым) и соответствующие компонентные уравнения, которые решены в частных случаях.

В разделе “Необратимая геометрия расширенных редуцированных преобразований” рассмотрены N = 2 и N = 4 редуцированные обратимые и необратимые отображения. Получено общее выражение для березиниана расширенных преобразований в терминах полуминоров суперматриц касательного (1|N )-мерного пространства в комплексном базисе.

Сформулированы теоремы сложения N = 2 и N = 4 березинианов, откуда следуют возможные редукции (1|N )-мерных касательных пространств. Нетривиальных редукций оказывается N + 1, что приводит к N -обобщению понятия комплексной структуры: для N -редуцированных преобразований имеется 1 четный (обратимый или необратимый) суперконформный (SCf) супераналог голоморфных преобразований и N нечетных необратимых сплетающих четность (TPt) супераналогов антиголоморфных преобразований.

Подробно классифицированы N = 2 и N = 4 суперконформные преобразования с использованием перманентов. Получен общий вид березиниана для обратимых N -SCf преобразований где H — матрица производных Di k в комплексном базисе и k = ±1.

В частном случае N = 2 получено выражение березиниана через перманент Проведена классификация в терминах перманентов обратимых и необратимых расщепленных суперконформных преобразований, описывающих спиновые структуры на обыкновенной римановой поверхности и играющих важную роль в расчете суперструнных амплитуд.

Построены N = 2 и N = 4 суперконформные полугруппы в альтернативной параметризации и подробно исследованы их свойства. Приведено компонентное представление. Определены и обсуждаются свойства сплетающих четность преобразований и соответствующих супердифференциалов, дуальных соответствующим суперпроизводным.

Раздел “Суперматричные полугруппы, идеальное строение и редукции” посвящен построению и исследованию идеальных свойств суперматриц. На примере (1|1) (1|1) суперматриц изучено их необратимое строение и определяется два типа возможных редукций: четно-редуцированные (треугольные) суперматрицы S и нечетноредуцированные (антитреугольные) суперматрицы T. Для них справедлива теорема сложения березинианов Изучены мультипликативные свойства нечетно-редуцированных суперматриц, которые приводят к выводу о том, что нечетно-редуцированный морфизм может представляться в качестве произведения нечетнои четно-редуцированных морфизмов, таковых, что коммутативная диаграмма, которая ответственна также и за сплетенные коциклы в редуцированных суперконформных преобразованиях.

Построена полугруппа множеств редуцированных матриц. Множества четно- и нечетно-редуцированных суперматриц объединяются в некоторую сэндвич полугруппу с несимметричным умножением, зависящим от второго сомножителя. Полугруппа множеств редуцированных матриц изоморфна некоторой полугруппе правых нулей с сэндвич умножением.

Чтобы построить аналогичную сэндвич полугруппу с умножением не множеств, а самих суперматриц, вводится нечетный антикоммутирующий аналог E () (антискаляр) для скалярнойсуперматрицы E (x) мая сумма скаляра и анти-скаляра совпадает со странной подалгеброй Березина E (x)E () = Q (1). Определяется в этой связи также правое R и левое L антитранспонирования, которые имеют смысл корня из оператора смены четности, поскольку R L =. Тогда конкретная реализация нечетного правого, левого и двустороннего модулей имеет вид где, в отличие от стандартного супермодуля, в правой части появились антитранспонирования и оператор смены четности. Нахождение новых типов нечетных модулей является исключительно важным для построения и применения новых типов супермногообразий и полусупермногообразий.

Чтобы получить объединенное умножение четно- и нечетно-редуцированных суперматриц и построить соответствующую полугруппу, введенные антискаляры использовались наравне со скалярами. Если трактовать обычное умножение суперматриц как сэндвич-умножение со скаляром E (1), то сэндвич-умножение редуцированных суперматриц (с “суперполем” X = (x, )) определится как Поскольку сэндвич-умножение ассоциативно, редуцированные суперматрицы образуют полугруппу, которая изоморфна полугруппе правых нулей.

Рассмотрена также роль нечетных модулей и антискаляров в прямой сумме множеств редуцированных суперматриц, где введенны нечетные аналоги собственных чисел, характеристических функций (по формуле Ber (E () T) вместо Ber (E (x) S)) и сформулирована обобщенная теорема Гамильтона-Якоби.

Важную роль в суперсимметричных теориях играют непрерывные полугруппы редуцированных суперматриц. Рассмотрена и подробно проанализирована идеальная структура многопараметрических полугрупп нечетно-редуцированных суперматриц. Показано, что общий вид суперматриц, образующих полугруппу (-полугруппу), есть и их подмножество T = T в множестве всех матриц M является слабым идеалом, который для некоторого 1 определяется следующим соотношением T M T T 1.

Обнаружено, что одно- и двухпараметрические полугруппы P нечетно-редуцированных идемпотентных суперматриц вида полугруппы левых нулей и прямоугольные связки соответственно. Это представление является неточным, поскольку нет редуктивности и сокращения. Поэтому стандартное отношение равенства заменяется на -отношение t u Ann. Полугруппа P обладает необычным свойством — она является регулярной, но не инверсной. Для нее также найдены отношения Грина: L -эквивалентность совпадает с универсальным отношением, а R -эквивалентность равна -отношению (а не ). Получено объединение однопараметрических полугрупп в некоторую нетривиальную полугруппу — скрученную прямоугольную связку, для которой выписана таблица Кэли и найдены все подполугруппы.

Рассматриваются суперматричные представления высших (n|n)связок как обобщений прямоугольных связок, которые не могут быть сведены к произведению последних. Для них определяются высшие n|n отношения, которым равны соответствующие R -эквивалентности.

Вычислены отношения Грина для (n|n)-связок и установлен смысл стандартных R, L, D, H -классов для суперматриц. Далее мы определяем более общие отношения R (i), L (i), D (i), H (i) и называем их тонкими отношениями эквивалентности. Такие обобщенные отношения Грина необходимы для описания всех возможных классов элементов в (n|n)связках, пропущенных в стандартном подходе. Из тонких эквивалентностей мы можем получать также и все известные отношения. Например, в случае (2|2)-связки, R (1) R (2) = R, L (1) L (2) = L, но дополнительно находим смешанные отношения вида H (i|j) = R (i) L (j), D (i|j) = R (i) L (j) и высших порядков Для каждого смешанного D -класса мы можем построить смешанную eggbox диаграмму тонких R, L -классов, которая будет такой размерности, сколько слагаемых имеет в своей правой части заданное смешанное отношение. А именно, eggbox диаграммы D (i|j) -классов двумерны, а диаграммы D (ij|k) и D (i|jk) -классов должны быть трехмерны.

В случае (n|n)-связки необходимо рассматривать все возможные k размерные eggbox диаграммы, где 2 k n 1. Введенные тонкие отношения эквивалентности допускают подполугрупповую интерпретацию: стандартные отношения Грина на подполугруппе U полугруппы S имеют как свой аналог продолженные образы в S, а именно тонкие отношения эквивалентности на S.

В разделе “Перманенты, scf-матрицы и необратимая гиперболическая геометрия” детально исследованы свойства матриц, содержащих нильпотентные элементы и делители нуля, вполне определенный тип которых возникает при анализе N -расширенных редуцированных преобразований. Для таких матриц перманенты начинают играть дуальную (по отношению к детерминантам) роль, поэтому важно рассмотреть эти дуальные свойства в общем случае нильпотентных матриц, что может быть применено и в других моделях, использующих суперсимметрию в качестве основополагающего принципа.

Введено понятие scf-матрицы Ascf из четных элементов, обладающих scf-свойством определенной ортогональности ее блоков между собой. В обратимом случае scf-матрицы подобны ортогональным матрицам. Так, для 2 2 матрицы scf-свойство состоит в ортогональности элементов столбцов, и для них имеет место дуальность между перманентом и детерминантом и между минорами и алгебраическими дополнениями Сформулирован критерий обратимости scf-матриц в терминах перманентов, а не детерминантов. Предложена новая формула для per-обратной scf-матрицы, которая в обратимом случае имеет вид Отличие от стандартного случая возникает лишь для необратимых scf-матриц. Получены формулы, связывающие след, перманент и детерминант, а также формула Бине-Коши для перманентов которая совпадает с аналогичной формулой для детерминантов только в случае scf-матриц. Определяется полугруппа scf-матриц SCF (N ), подгруппа которой изоморфна O (N ) и для которой найдены идеалы и условия обратимости при N = 2 и N = 4.

Далее предлагается использовать scf-матрицы для изучения дробнолинейных (обратимых и необратимых) преобразований суперпространств C1|0 C1|0, называемых per-отображениями. Показано, что для perотображений имеет место симметрия per det, Re Im во всех основных соотношениях гиперболической геометрии.

Найден новый инвариант per-отображений— правое двойное отношение D + (z1, z2, z3, z4 ), которое наряду с известным левым двойными отношениями D (z1, z2, z3, z4 ) является следующей функцией четырех точек Это приводит к новым морфизмам группы перестановок, зеркальной per-гармонической последовательности точек и к per-аналогу классической формулы Лаггера, а также функция, которую можно трактовать как per-аналог производной Шварца. Два двойных отношения дают два — правое и левое — гиперболических расстояния В терминах правого двойного отношения D + (z1, z2, z3, z4 ) и правого расстояния d+ (z1, z2 ) можно последовательно построить per-аналог гиперболической геометрии и тригонометрии на комплексной суперплоскости или в многомерных комплексных суперпространствах.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В Приложениях приведены необходимые сведения по супералгебрам, отдельные аспекты теории супермногообразий и суперримановых поверхностей, дополнительные факты из теории полугрупп, а также некоторые выкладки, не вошедшие в основной текст.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–21] и в трудах международных конференций, на которых докладывались работы автора.

РАЗДЕЛ

ТЕОРИЯ НЕОБРАТИМЫХ

СУПЕРМНОГООБРАЗИЙ

В данном разделе рассматривается обобщение понятий супермногообразия, расслоения и гомотопии на необратимый случай. Используемый язык карт и функций перехода позволяет определить полусупермногообразие как необратимый аналог супермногообразия в общепринятом определении функционального подхода. Вводятся необратимые карты, атласы и функции перехода, для которых предлагаются соответствующие уравнения. Находятся обобщенные условия коцикла, а также новый нильпотентный тип ориентируемости полусупермногообразий.

Формулируется общий принцип полукоммутативности для необратимых морфизмов. В терминах уравнений на функции перехода определяются морфизмы полурасслоений. Приводятся также условия рефлексивности для полусупермногообразий и полурасслоений. Вводятся четные и нечетные полугомотопии с необратимым четным или нечетным суперпараметром соответственно, которые играют важную роль в классификации полусупермногообразий и построении фундаментальных полугрупп.

Общепринятым считается [22, 23], что идея обратимых супермногообразий впервые была высказана неявно в работах [24, 25] в связи с обобщением классической динамики и дискуссией о классическом пределе для фермионов [26]. Математические аспекты групп и алгебр с антикоммутирующими переменными первоначально рассматривались в работах [27–29], но лишь в рамках формального правила “протаскивания знака” и предписания “о возможности обобщения всех основных понятий анализа, при котором образующие грассмановой алгебры стали бы играть роль, равноправную с вещественными или комплексными переменными” ( [30, c. 9]). Именно в этой широко известной фразе и заключалось ограничение на дальнейшее развитие теории супермногообразий в абстрактном направлении: “равноправие” подразумевало в качестве “супераналогов” тривиально подобные (с точностью до замены некоторых знаков с минуса на плюс и четных величин на нечетные) объекты и не позволяло даже предполагать существования иных абстрактых алгебраических и геометрических структур.

В начале 70-х в конкретных моделях элементарных частиц [31,32] отечественными физиками был открыт новый тип симметрии [33–39] — между коммутирующими бозонами, которые описывают калибровочные взаимодействия, и антикоммутирующими фермионами, которые соответствуют взаимодействующим с их помощью частицам. Однако действительное признание это фундаментальное направление получило только через несколько лет ), когда такая же бозон-фермионная симметрия, но в других моделях, была названа западными учеными красивым и эффектным словом “суперсимметрия” [41–46]. К моменту появления суперсимметрии в физике оказалось, что математический аппарат для ее описания (супергруппы и супералгебры Ли) уже был создан [27, 47]. После чего количество работ по суперобобщениям физических теорий стремительно начало возрастать (см., например, обзоры [48–58] и книги [59–63]). Элементам рассматриваемых теорий присваивалась завораживающая приставка “супер”, но реальное “усовершенствование” опять-таки сводилось к заменам знаков и добавлению нечетных величин при неизменных основных абстрактных конструкциях, что, казалось бы, подтверждало математическую гипотезу “равноправия” антикоммутирующих величин [22, 30], но лишь на первый Примечание. История этого периода подробно изложена в [40].

взгляд.

Важно, что суперсимметрия появилась благодаря ослаблению одного из условий теоремы Коулмена-Мандулы о числе симметрий S матрицы [64] — ограничению только коммутирующими генераторами так, что “...можно представить себе, что дальнейшее ослабление условий может привести к новым симметриям” [65, c. 2] (например, неассоциативные генераторы рассматривались в [66, 67]). Именно введение антикоммутирующих генераторов [27, 29, 36, 68] позволило единым образом рассмотреть внутренние и пространственно-временные симметрии [34, 41, 43], т. е. объединить бозоны и фермионы в обобщенные мультиплеты – суперполя [44, 46, 69] и ввести суперпространство [70] как главную арену для “суперпревращений” элементарных частиц [51, 61, 71–73]. Так, согласно феноменологии объединенных суперсимметричных [74–76] и суперструнных [77, 78] теорий, каждой наблюдаемой частице должен соответствовать “суперпартнер” с противоположной статистикой (хотя и есть попытки включить в число суперпартнеров имеющиеся частицы [79] или вообще их не вводить [80]). Многочисленные экспериментальные поиски таких частиц (см. обзоры [14,15,81,82]) пока не привели к их непосредственному обнаружению ) [87–90]. Это наводит на мысль о том, что, возможно, математические основания суперсимметричных теорий элементарных частиц нуждаются в дальнейшем внутреннем развитии.

Действительно, “равноправие” антикоммутирующих величин подразумевало однозначный ответ на вопрос “в каких категориях?” — в тех же, что и раньше: групп, топологических пространств и многообразий, хотя и “супер”. Существенным оказывается то, что эта впечатляющая приставка не изменяла самого абстрактного и теоретикокатегорного содержания понятий (“хотя ничего “супер” в суперматемаПримечание. Удивительно, однако, что структура генетического кода человека описывается супералгебрами Ли [83–86].

тике нет...” [91, c. 6]). Например, супергруппа [92–94] является группой и не более того, т. е. принадлежит к категории групп [95–99], пусть с некоторыми дополнительными свойствами. То же касается суперпространств и супермногообразий. Добавление необратимых нильпотентных координат и направлений не позволяло изменить сами категории, а только несколько модифицировать уже имеющиеся в жестких рамках “гипотезы равноправия” [22].

Однако хорошо известно, что необратимые объекты описываются не группами, а полугруппами ) [101–104], которые содержат группы как составную обратимую часть. Следовательно, категория групп [105] слишком узка для того, чтобы строить на ее основе суперсимметричные модели элементарных частиц (см. [4]). Основным и фундаментальным объектом таких моделей является понятие супермногообразия [47, 106– 110] (см. Приложение А). Здесь мы построим необратимый аналог супермногообразий — полусупермногообразия, а также аналоги сопутствующих объектов — расслоений и гомотопий.

Необратимое расширение понятия супермногообразия представляется естественным в связи с предположениями, сделанными во многих работах относительно внутренней необратимости конкретных конструкций. Например, “... общая суперриманова поверхность не имеет числовой части” [111], “... возможно не существует обратимых операторов проектирования (числового отображения [112]) вообще” [113], или “... числовая часть даже может не существовать в самых экстремальных примерах” [114]. В частности, при исследовании свойств необратимости суперконформной симметрии [5, 8] предполагалось [1, 13] возможное существование суперсимметричных объектов, аналогичных суперримановым поверхностям, но без числовой части, и предварительно показано, Примечание. Впервые полугруппы были введены харьковским математиком Сушкевичем еще в 30-х годах [100].

как их строить [9].

Необратимость в теории супермногообразий [115–118] в действительности является результатом добавления нечетных нильпотентных элементов [119,120] и делителей нуля [121–124], возникающих в алгебрах Грассмана-Банаха (см. [125, 126] для нетривиальных примеров). В бесконечномерном случае [127–131] имеются (топологически) квазинильпотентные нечетные элементы, которые на самом деле не нильпотентны [132], в некоторых супералгебрах можно построить чисто д`ховые элеу менты, которые не нильпотентны даже топологически [133] или ввести аналог обратимого нечетного символа [134], а также использовать методы нестандартного анализа [135, 136]. Высказывалась даже противоположная “равноправию” идея о том, что “четная геометрия = коллективному эффекту бесконечномерной нечетной геометрии” [137] (см. ее конкретную реализацию в [138]). Кстати, чисто нечетные многообразия рассматривались в [139–141], также вводились экзотические супермногообразия с нильпотентными четными координатами [142], супераналоги многообразий Фробениуса [143, 144] с нефиксированной метрикой [145, 146] и финслеровых пространств [147–151], рассматривалась гравитация [152] и супергравитация [153] с необратимым репером.

Список общих проблем с нечетными направлениями (и, следовательно, связанных с необратимостью) для супермногообразий приведен в [154].

Отметим, что делались попытки абстрактного обобщения супералгебр и супермногообразий на тернарные структуры [155] и моноидальные категории [156,157], а также исследовать нильпотентность [158–160], обратимость [161] и полугруппы теоретико-категорными методами [162,163]. С другой стороны, полугруппы возникали в теории супералгебр Ли [164], градуированных алгебр [165,166] и алгебр Ли [167,168], топологической квантовой теории поля [169], свободная полугруппа возникала при обобщении фермионных и бозонных коммутационных соотношений [170], суперполугруппа трансляций в R+ применялась при суперполевой формулировке характера Черна [171], полугруппа Брандта использовалась в тензорных конструкциях теории струн [172].

Необходимо также напомнить о возможности определения супермногообразия без введения понятия топологического пространства [173].

Здесь мы предлагаем пойти дальше в этом направлении и отказаться от рассмотрения конкретной внутренней структуры из подстилающих алгебр ) (грассмановых или более общих), а все определения необратимых супермногообразий давать в терминах абстрактной теории полугрупп [19].

1.1. Обратимые супермногообразия в терминах Рассмотрим стандартное определение супермногообразия M в терминах окрестностей [117, 175, 176], которое отличается от определения обычного многообразия [177, 178] лишь “супер” терминологией.

Следующее построение является общепринятым для описания многообразий [179] и супермногообразий [91, 174] в терминах окрестностей.

Супермногообразие покрывается набором суперобластей U, таких,что M= U. Затем в каждой области выбираются некоторые функции (координатные отображения) : U Dn|m Rn|m, где Rn|m представляет собой суперпространство,в котором существуют “супершары” и Dn|m открытая область в Rn|m. Далее, пара {U, } называется локальной картой, а объединение карт {U, } объявляется атласом супермногообразия.

Затем вводятся склеивающие функций перехода следующим обраПримечание. Названной в [174] “скелетом” супермногообразия.

К тому же, вышеупомянутые морфизмы ограничиваются : U : V V, которые необходимы, чтобы сделать следующую диаграмму коммутирующей, называются функциями перехода многообразия в данном атласе.

Здесь мы подчеркиваем, во-первых, что U M, а V, V Rn|m. Во-вторых, из (1.2) обычно делается вывод, что (Супер) функции перехода дают нам возможность к восстановить все (супер) многообразие M из индивидуальных карт и координатых отображений. В самом деле, они содержат всю информацию о (супер) многообразии. Они могут принадлежать к различным функциональным классам, что дает возможность уточнить более узкие классы многообразий и супермногообразий, например (супер) гладкие, аналитические, липшицевы и другие [179, 180]. В большинстве случаев “супер” только формально различает окрестностное определение многообразия и супермногообразия (что дает нам возможность записать его в скобках) и свойства функций, большинство же формул при этом остаются прежними [112,174,181]. Здесь мы не обсуждаем их подробно и пытаемся налагать минимум ограничений на, концентрируя наше внимание на их абстрактных свойствах и обобщениях, следующих из них.

Дополнительно, из (1.3) следует, что функции перехода удовлетворяют условиям коцикла на пересечениях U U и на тройных пересечениях U U U, где 1 = id (U ). Обычно предполагается, что все отображения являются гомеоморфизмами, и они могут описываться взаимооднозначными обратимыми непрерывными (супер) гладкими функциями (т. е. происходит “переход” в обоих направлениях между любыми двумя пересекающимися областями U U = ). Можно было бы предположить, что логично не отличать U и Dn|m, т. е. локально супермногообразия представляются как целостное суперпространство Rn|m. Однако, дело не только в более богатой структуре расслоении [182–184] и пучка [106, 185, 186] из-за рассмотрения всех построений над алгеброй Грассмана (или над более общей алгеброй [117, 126, 133, 187]). Проблема заключается в ином абстрактном уровне построений, если условия обратимости в некоторой мере ослаблены.

1.2. Необратимые супермногообразия Ранее существовал следующий общий рецепт: имеются готовые объекты (например вещественные многообразия, которые могут быть исследованы почти визуально), а затем, используя различные приемы и догадки, вычислялись ограничения на функции перехода (см., например, [177, 179, 188]). Несмотря на это, необратимые функции просто исключались из рассмотрения супермногообразий [110,189,190] (произнося магические слова “факторизуя по нильпотентам, мы опять получаем известный результат”), вследствие желания быть в наиболее близкой аналогии с интуитивно ясным и понимаемым несуперсимметричным случаем.

Здесь мы идем в обратном направлении: известно, что в суперматематике необратимые переменные и функции существуют. Какие объекты могут быть построены посредством них? Что дает “факторизация по ненильпотентам”, т. е. рассмотрение негрупповых особенностей теории? Как изменятся общий абстрактный смысл самых важных понятий, например многосвязных областей и расслоений? Мы сейчас попытаемся оставить в стороне внутреннее строение необратимых объектов, аналогичных супермногообразиям, и сконцентрируем наше внимание на общих абстрактных определениях.

Очевидно, что среди ординарных (несуперсимметричных) функций и отображений также существуют необратимые [191, 192] (и нереверсивные [193]), но тип необратимости, рассматриваемый здесь, весьма специальный: он возникает только из-за существования нильпотентов в подстилающей супералгебре [125, 126, 132]. Здесь мы не рассматриваем конкретные уравнения и способы их решения, мы только используем факт их существования, чтобы переформулировать некоторые определения и расширить известные понятия.

1.2.1. П о л у с у п е р м н о г о о б р а з и я. Теперь мы сформулируем окрестностное определение объекта, аналогичного супермногообразию, т. е. попытаемся ослабить требование обратимости координатных отображений [6]. Рассмотрим некоторое обобщенное (в каком смысле, будет пояснено ниже) суперпространство M, покрытое открытыми множествами U как M = U. Предположим, что отображения : U V Rn|m не все обратимые гомеоморфизмы, т. е. среди них имеются необратимые отображения. Именно в этом смысле суперпространство M является необратимо обобщенным, и вместо Rn|m можно рассматривать также некоторое его необратимое обобщение.

мый морфизм. есть пара Unoninv, noninv, где noninv — необратимые морфизмы.

Определение 1.2. {U, } есть объединение карт и поПолуатлас лукарт Uinv, inv Unoninv, noninv.

Определение 1.3. есть суперпространство Определим аналог функций перехода полусупермногообразий ). Мы должны рассматривать ту же диаграмму (1.2), но мы не можем использовать (1.3) из-за необратимости некоторых.

Определение 1.4. Склеивающие полусупермнофункции полуперехода гообразия определяются уравнениями Примечание. Отметим, что имеется сходная терминология для других (отличных от рассматриваемого) обобщений многообразий: полуримановы многообразия [194–196], полупсевдоримановы пространства [197], полуинвариантные подмногообразия [198–200].

Замечание 1.5. Чтобы найти, уравнение (1.6) не может быть решено с помощью (1.3). Вместо этого мы должны искать искусственные приемы его решения, как в предыдущем подразделе, разложением в ряд по генераторам супералгебры (см. например, [201–203]), либо используя абстрактные методы теории полугрупп [102, 204], которые рассматривают решения уравнений как классы эквивалентности.

Функции теперь находятся не из (1.4), где левая часть не вполне определена, а из коммутативной диаграммы и уравнения (1.7), следующего из нее. Однако теперь функции могут быть также необратимыми, и, следовательно, условия коцикла (1.4)– (1.5) должны быть модифицированы, чтобы не использовать обратимость [19].

Замечание 1.6. Даже в стандартном случае условия коцикла (1.5) для супермногообразий автоматически не удовлетворяются, когда условие (1.3) имеет место, и поэтому они должны быть наложены искусственно дополнительными требованиями [189].

Таким образом, вместо (1.4) и (1.5) мы получаем Утверждение 1.7. Функции полуперехода полусупермногообразия удовлетворяют следующим отношениям на U U пересечениях и на тройных пересечениях U U U и Здесь первое соотношение (1.9) призвано обобщить первое условие коцикла (1.4), тогда как другие соотношения соответствуют (1.5). Мы называем соотношения (1.9)–(1.16) башенными соотношениями [19].

Определение 1.8. Полусупермногообразие — если, в дополнение к (1.9)–(1.16), функции полуперехода удовлетворяют условиям рефлексивности на U U пересечениях и на тройных пересечениях U U U и Замечание 1.9. Можно было бы считать, что условия рефлексивности (1.17)–(1.24) отличаются от (1.9)–(1.16) лишь индексом перестановки, однако, это так. Функции, входящие в эти две системы уравнений, являются теми же самыми, и, следовательно, последние представляют собой систему независимых уравнений, накладываемых на.

Предложение 1.10. Соотношения, аналогичные (1.9)–(1.24), но имеющие два или более множителей в правой части, следуют из предыдущих.

Доказательство. Например, рассмотрим Умножая справа на, мы выводим Затем, используя (1.9), мы получаем что совпадает с (1.10).

Замечание 1.11. В любых действиях с необратимыми функциями мы не имеем права сокращать, поскольку полугруппа функций представляет собой полугруппу без сокращений, и мы вынуждены использовать методы, подобные [205–208].

Следствие 1.12. Соотношения (1.9)–(1.24) удовлетворяются тождественно в стандартном обратимом случае, т. е. когда условия (1.3), (1.4) и (1.5) выполняются.

Замечание 1.13. Уравнения (1.6)–(1.7), определяющие функции полуперехода, могут не иметь единственных решений, и в таком случае должны рассматриваться, в качестве соответствующих множеств функций.

Следствие 1.14. Функции, удовлетворяющие (1.9)–(1.24), могут быть рассмотрены как некоторое необратимое суперобобщение функций перехода для коциклов в чеховских когомологиях покрытий [209, 210].

1.2.2. О р и е н т а ц и и п о л у с у п е р м н о г о о б р а з и й. Известно, что ориентации обычных многообразий определяется знаком якобиана функций перехода, записанным в зависимости от локальных координат на U U пересечениях [177, 178, 188]. Поскольку этот знак принадлежит Z2, существуют две ориентации на U. Две перекрывающиеся карты называются согласованно ориентироваными (или сохраняющими ориентацию), если имеет положительный якобиан, и многообразие называется ориентируемым, если его можно покрыть такими картами. Следовательно, обычных многообразий имеется два типа: ориентируемый и неориентируемый [177, 211].

В суперсимметричном случае роль якобиана играет березиниан [22, 30], который имеет “знак”, принадлежащий к Z2 Z2 [110, 212], и таким образом здесь имеется четыре ориентации на U и пять соответствующих типов ориентируемости супермногообразия [173, 213].

Определение 1.15. В случае, если не обращающийся в нуль березиниан функций является нильпотентным (и поэтому не имеет определенного знака в предыдущем смысле), существует дополнительная нильпотентная ориентация полусупермногообразия на U и, соответственно, шестой (по классификации [173, 213]) тип ориентируемости — ориентируемость.

Степень нильпотентности березиниана позволяет нам систематизировать полусупермногообразия, имеющие нильпотентую ориентируемость.

Полусупермногообразия, определенные выше, представляют собой аналог так называемых препятственных полумногообразий [214–219]. Однако здесь мы определим препятственность в несколько ином смысле, чем определяется препятствие в [30], связав ее с необратимостью.

Запишем (1.3), (1.4) и (1.5) в виде следующего (бесконечного) ряда Определение 1.16. Полумногообразие M — если некоторые из условий коцикла (1.28)–(1.31) нарушаются.

Замечание 1.17. Введенное понятие препятственного многообразия не должно смешиваться с понятием препятствия для обыкновенных многообразий [214, 220] и супермногообразий [30, 221] или препятствием к расширению [209,222] и в теории характеристических классов [223,224].

Пусть, начиная с некоторого n = n, все условия коцикла высшего порядка выполняются.

Определение 1.18. полумногообразия представляет собой максимальное n, для которого условия коцикла (1.28)–(1.31) нарушаются. Если все из их выполняются, то n = 0.

Следствие 1.19. Обычные многообразия (с обратимыми функциями перехода) имеют нулевую препятственность, и степень препятственности для них равна нулю, т. е. для них n = 0.

Предположение 1.20. Препятственные полумногообразия могут также иметь ненулевое обычное препятствие которое может быть вычислено с помощью расширения общепринятых методов вычисления препятствий [30, 215, 220] на необратимый случай.

Поэтому, используя степень препятственности n, мы имеем возможность систематизировать полумногообразия должным образом.

В поиске аналогий мы можем сопоставить полусупермногообразия с суперчислами как в Таблице 1.1.

Далее учтем тот факт, что чистые духовые суперчисла существуют только при наличии нечетных направлений [174, 175, 225, 226].

числа (обратимые) Суперчисла, имеющие не обраСупермногообразия (функции щающуюся в нуль числовую часть (обратимые) Чистые духовые суперчисла Препятственные без числовой части (необрати- полусупермногообразия (функмые) ции перехода необратимы) Замечание 1.21. Препятственные полусупермногообразия имеют не равную нулю нечетную размерность.

Более того, очевидно чистые духовые суперчисла не содержат единицу.

Замечание 1.22. Препятственные полусупермногообразия не могут иметь тождественных функций полуперехода.

Как возможные функции полуперехода для препятственных полусупермногообразий можно рассматривать преобразования, вращающие четность касательного пространства введенные в [1, 7, 9]. Объекты, полученные таким образом, могут быть рассмотрены как необратимые аналоги суперримановых поверхностей [111, 227, 228].

вида Мы будем называть e башенными тождествами, которые вытекают из башенных соотношений (1.9)–(1.16).

Из формул (1.28)–(1.31) следует Утверждение 1.23. Для обычных супермногообразий все башенные тождества совпадают с обычным тождественным отображением Замечание 1.24. В тривиальном случае, когда все являются тождественными отображениями, очевидно, что соотношения (1.32)–(1.35) удовлетворяются тождественно.

Степень препятственности может трактоваться в качестве максимального n = n, для которой башенные тождества отличаются от тождества, т. е. соотношение (1.36) нарушено. Таким образом, башенные тождества задают меру отличия полусупермногообразия от обыкновенного супермногообразия. Будучи внутренней характеристикой, башенные тождества играют важную роль в описании полусупермногообразий [19].

Исследуем некоторый их свойства более подробно.

Предложение 1.25. Башенные тождества являются единицами для функций полуперехода Доказательство. Следует прямо из соотношений (1.9)–(1.16) и определений (1.9)–(1.16).

Предложение 1.26. Башенные тождества являются идемпотентами Доказательство. Мы доказываем утверждение для n = 2 и для другого n его можно доказать по индукции. Запишем (1.39) как Затем, используя (1.37), мы получаем Несуперсимметричные функциональные уравнения подобного вида были исследованы в [229].

Определение 1.27. соответСопряженные башенные тождества ствуют тому же разбиению полусупермногообразия и состоят из функций полуперехода, взятых в противоположном порядке Сопряженные башенные тождества также играют роль башенных тождеств, но для условий рефлексивности (1.17)–(1.24).

По аналогии с (1.37)–(1.38) мы имеем Предложение 1.28. Сопряженныя башенные тождества являются рефлексивными единицами, но для функций полуперехода Предложение 1.29. При одном и том же разбиении сопряженные башенные тождества аннулируют башенные тождества в следующем смысле Доказательство. Рассмотрим пример n = 3. Используя определения, мы выводим Для остальных n утверждение доказывается по индукции.

Определение 1.30. Полусупермногообразие называется если башенные тождества не зависят от разбиения.

Умножение башенных тождеств для точного полусупермногообразия определяется следующим образом Утверждение 1.31. Умножение (1.47) ассоциативно.

Следовательно, мы можем дать Определение 1.32. Башенные тождества точного полусупермногообразия образуют относительно умножения (1.47).

Таким образом, мы получили количественное описание внутренних свойств необратимости полусупермногообразий.

Предположение 1.33. Введенная башенная полугруппа играет ту же роль для полусупермногообразий, что и фундаментальная группа для обыкновенных многообразий [209, 230, 231].

общее значение для любого числа необратимых отображений.

Расширение n = 2 коцикла, задаваемое (1.9), может быть рассмотрено как некоторая аналогия с регулярными [232–235] или псевдообратными [236] элементами в полугруппах [237–240] или обобщенными обратными в теории матриц [241–245] и в теории обобщенных инверсных морфизмов [246, 247].

Соотношения (1.10)–(1.16) с высшими n могут рассматриваться как необратимый аналог регулярности для коциклов высшего порядка.

Следовательно, по аналогии с (1.9)–(1.16), естественно сформулировать общее Определение 1.34. Отображение называется если оно удовлетворяет условиям на пересечениях U U... U.

В этом определении формула (1.9) описывает 3-регулярные отображения, соотношения (1.10)–(1.12) соответствуют 4-регулярным отображениям, и (1.13)–(1.16) дают 5-регулярные отображения.

Замечание 1.35. Очевидно, что 3-регулярность совпадает с обычной полугрупповой регулярностью [104, 204].

Иное определение n-регулярности может задаваться формулами (1.37)–(1.38). Условия регулярности высшего порядка существенно изменяют общий диаграммный метод для морфизмов, когда используются необратимые единицы ).

В самом деле, коммутативность диаграмм для обратимых морфизмов основана на зависимостях (1.28)–(1.31), т. е. на том факте, что башенные тождества являются в этом случае обычными тождествами (1.36). Когда морфизмы необратимы (полусупермногообразие имеет не обращающуюся в нуль препятственность), мы не можем “вернуться в ту же точку”, поскольку в общем случае e(n) = 1, и мы вынуждены рассматривать “незамкнутые” диаграммы из-за того факта, что соотношение e(n) = теперь несократимо.

Подводя итог, мы предлагаем следующую интуитивно непротиворечивую замену стандартного диаграммного метода в применении к необратимым морфизмам [6, 19]. В каждом случае мы добавляем новую Примечание. Отметим, что в несуперсимметричном случае похожая конструкция (“multiply wrapped cycles”) для многообразий Калаби-Яу рассматривалась в [248].

стрелку, которая соответствует дополнительному множителю в (1.37).

Таким образом, для n = 2 мы получаем обобщение диаграммного исчисления как на Рис. 1.1, что описывает переход от обратимого морфизма (1.29) к необратимому (1.9) и с абстрактной точки зрения представляет собой условие регулярности для морфизмов [246].

Рис. 1.1. Переход от обратимого к необратимому морфизму при n = Более необычной полукоммутативной диаграммой является треугольная на Рис. 1.2, которая обобщает на необратимый случай условие коцикла (1.5).

Рис. 1.2. Обобщение условия коцикла на необратимый вариант составляющих морфизмов По аналогии мы можем представить полукоммутативные диаграммы для n-регулярности более высокого порядка, что можно рассмотреть также в рамках обобщенных категорий [154, 249–255].

1.3. Необратимость и полурасслоения Подобный принцип замены обратимости морфизма на его регулярность может быть использован для необратимого расширения суперрасслоений [184, 256, 257], если определять их глобально на основе открытых покрытий и функций перехода [182, 258].

Следуя стандартным определениям расслоений [180, 223, 259], но ослабляя обратимость, построим новые объекты, аналогичные суперрасслоениям ).

представляют собой полное (расслоенное) суперпространство и базовое полусупермногообразие соответственно, и : E M представляет собой полупроективное отображение, которое не обязательно обратимо (но может быть гладким). Обозначим Fb множество точек E, которые отображаются в b M (прообраз b), т. е. полуслой над b есть Fb = {x E | (x) = b}. Тогда, F = Fb представляет собой полуслой.

Определение 1.36. определяется следующим набором L = (E, M, F, ).

Сечение s : M F расслоения (E, M, F, ) обычно определяется соотношением (s (b)) = b, которое в виде s = 1m весьма похоже на (1.4), (1.29) и выполняется тождественно только для обратимых отображений и s. Следовательно, очень мало обыкновенных нетривиальных расслоений допускают соответствующие сечения [223].

Таким образом, используя аналогию с (1.9), мы приходим к следующему определению [6].

Определение 1.37. s полурасслоения L = (E, M, F, ) Примечание. В дальнейшем мы будем отбрасывать “супер”, если это не влияет существенно на ход рассуждений.

определяется уравнением Рефлексивное полусечение sref l удовлетворяет дополнительному условию Пусть : M F M представляет собой канонический индекс полуоператора проектирования на первый множитель (b, f ) = b, f F, тогда приводит к расслоению-произведению. Если : E M F представляет собой морфизм (называемый тривиализацией), тогда =, и полурасслоение L = (E, M, F, ) является тривиальным. Если существует непрерывное отображение : M F, тогда полурасслоение (M F, M, F, ) допускает сечение s : M M F заданное формулой s (b) = (b, (b)).

Пусть для заданной суперобласти U в полусупермногообразии имеем соответственную суперобласть в базе (здесь мы намеренно не используем стандартное обозначение 1 (U ) для E, так как теперь допускается, чтобы было необратимым), где : E U представляет собой сужение отображения на суперобласть U, т. е. = |U.

Определение 1.38. Полурасслоение, определяемое L = (E, M, F, ), называется если b M существуют суперблалокально тривиальным, сти U b такие, что можно найти тривиализирующие морфизмы Так что диаграмма коммутирует.

Определение 1.39. локально тривиального полурасслоеПолусечение ния L дается отображениями s : U E, которые удовлетворяют условиям совместимости Теперь пусть {U, } представляет собой тривиализирующее покрытие такое, что U = M и U U = E E =. Тогда мы требуем, чтобы тривиализирующие морфизмы находились в соответствии, и это значит, что диаграммы должны коммутировать,где и — отображения, действующие вдоль полуслоя F.

Определение 1.40. Склеивающие функциилокально триполуперехода виального полурасслоения L = (E, M, F, ) определяются уравнениями Утверждение 1.41. Функции полуперехода полурасслоения L удовлетворяют следующим соотношениям на U U пересечениях и на тройных пересечениях U U U и Определение 1.42. Полурасслоение L называется если, в дополнение к (1.57)–(1.64), функции полуперехода удовлетворяют условиям рефлексивности на U U пересечениях и на тройных пересечениях U U U и Для заданного b U U склеивающие функции перехода описывают морфизмы полуслоя F в себя условием где L : U U F и f F. Функции L удовлетворяют обобщенным условиям коцикла аналогичного (1.57)–(1.72).

Замечание 1.43. Сечения и функции перехода расслоения необратимы даже в стандартном случае [260, 261]. Но такой вид необратимости имеет природу, отличную от той, которая может иметь место в суперсимметричных объектах.

Это можно сравнить с необратимостью обычных функций [192, 262] и необратимостью суперфункций, что имеет место из-за присутствия нильпотентов и делителей нуля. Подразумевается, что стандартные функции перехода должны быть гомеоморфизмами, а сечения должны быть во взаимооднозначном соответствии ) с отображениями из базы в слой [267,268]. Наши определения (1.9)–(1.24) и (1.49)–(1.72) расширяют их, допуская включение в рассмотрение должным образом также и необратимые суперфункции.

два полурасслоения L = (E, M, F, ) и L = (E, M, F, ).

Определение 1.44. f : L L состоит из двух морфизмов f = (fE, fM ), где fE : E E и fM : M M, удовлетворяют fM = fE, так что диаграмма коммутативна.

тогда fE (Eb ) EfM (b) для каждого b, и полуслой над b M переносится в полуслой над fM (b) M, так, что fE представляет собой морфизм слоя. Если полурасслоение имеет сечение (что может быть не всеПримечание. Интересные примеры невзаимооднозначных (несуперсимметричных) отображений и диффеоморфизмов приведены в [263– 266].

гда), то морфизм fE действует следующим образом s (b) s (fM (b)).

В большинстве приложений расслоенных пространств морфизм fM есть тождество, и f0 = (fE, id) называется b-морфизмом [260]. Тем не менее, в случае полурасслоений может иметь место обратная ситуация, когда fM представляет собой необратимый морфизм.

Для каждого заданного b M существуют тривиализирующие которые приводят к отображению полуслоя hb, определяемого коммутативной диаграммой Чтобы локально описать морфизм полурасслоений L L, мы тривиализациями и (см. (1.51)). Тогда связь между функциями полуперехода и (1.55)–(1.56) двух полурасслоений L и L может быть найдена из коммутативной диаграммы где морфизмы h определяются диаграммой Из (1.76) мы имеем соотношение между функциями полуперехода которое выполняется тождественно также и для необратимых h, тогда как в обратимом случае [260,261] уравнение (1.78) решается относительно стандартным образом = h h1, что может рассматриваться как эквивалентность коциклов. Однако в общем случае (1.78) представляет собой систему суперуравнений, которые должны решаться стандартными [30] либо расширенными [269] методами суперанализа [91].

Предположим, M допускает тривиализирующие покрытия {U, } и {U, }. В общем случае они не связаны между собой, и функции полуперехода и независимы. Однако, если M представляет собой базовое суперпространство для двух полурасслоений L и L, коf торые связаны b-морфизмом L L, тогда и должны находиться в соответствии.

Предложение 1.45. Функции полуперехода и двух полурасслоений находятся в соответствии, если существуют дополнительные отображения : U U и : U U связанные между собой соотношениями на U U пересечениях.

Условия соответствия для и имеют вид на тройных пересечениях U U U и на U U U пересечениях.

Доказательство. Конструируем сумму тривиализирующих покрытий {U, } и {U, }, а затем используем (1.57)–(1.64).

Предложение 1.46. Функции полуперехода и рефлексивно находятся в соответствии, если существуют дополнительные рефлексивные отображения : U U и : U U связанные между собой (в дополнение к (1.79)–(1.80)) рефлексивными отношениями на U U пересечениях.

Рефлексивные функции полуперехода и должны удовлетворять (в дополнение к (1.81)–(1.98)) следующим соотношениям рефлексивной согласованности на U U U пересечениях.

Аналогично мы можем определять и исследовать главные и ассоциированные полурасслоения со структурной полугруппой.

1.4. Необратимость и полугомотопии Здесь мы кратко остановимся на некоторых возможностях расширения понятия гомотопии на необратимые непрерывные отображения [19].

Гомотопия [188,209,230,231] представляет собой непрерывное отображение между двумя отображениями пространств f : X Y и g : X Y в пространстве C (X, Y ) отображений X Y таковых, что t=0 (x) = f (x), t=1 (x) = g (x), x X. Отображения f (x) и g (x) называются гомотопными. Другими словами [210] гомотопия из X в Y представляет собой непрерывную функцию : X I Y, где I = [0.1] единичный интервал. Для заданного t I имеются шаги t : X Y определяемые, как t (x) = (x, t).

Гомотопическое отношение, делящее C (X, Y ) на множество классов эквивалентности (X, Y ), называется гомотопическими классами, которые представляют собой множество связных компонент из C (X, Y ). Поэтому для (•, Y ) (где • представляет собой точку) гомотопические классы соответствуют связным компонентам Y. Если C (X, Y ) связны, тогда гомотопия между f (x) и g (x) может выбираться как их среднее, т. е.

Два отображения f и g гомотопически эквивалентны, если f g и g f гомотопны тождественному отображению.

Теперь предположим X и Y — супермногообразия в некотором из определений [111, 112, 117, 181] или полусупермногообразие в нашей формулировке (см. Определение 1.3), тогда существует возможность расширения понятия гомотопии ) [19]. Идея заключается в том, чтобы расширить определение параметра t. В стандартном случае единичный интервал I = [0, 1] выбирался для простоты, поскольку любые два отрезка на оси вещественных чисел гомеоморфны, и поэтому они топологически эквивалентны [231].

В случае супермногообразий [273–275], а особенно полусупермногообразий [19] ситуация существенно отличается. Мы имеем три топологически разделенных случая:

1. Параметр t 0 четный и имеет числовую часть, т.е. (t) = 0.

2. Параметр t 0 четный и не имеет числовой части, т.е. (t) = 0.

3. Параметр 1 нечетный (любой нечетный элемент не имеет числовой части).

Первая возможность может быть сведена стандартному случаю посредством соответствующего гомеоморфизма, и такой t может всегда рассматриваться в единичном интервале I = [0, 1]. Однако следующие две возможности топологически не связаны с первой и между собой.

Определение 1.47. между двумя отображеЧетная полугомотопия ниями полусуперпространств f : X Y и g : X Y представляет собой необратимое (в общем случае) отображение X Y, зависящее от нильпотентного четного параметра t 0 без числовой части и двух четных констант a, b 0 без числовой части таПримечание. Для различных несуперсимметричных обобщений гомотопии см. [270–272].

ких, что где Определение 1.48. между двумя отобраНечетная полугомотопия жениями f : X Y и g : X Y представляет собой необратимое (в общем случае) отображение X Y, зависящее на нильпотентного нечетного параметра 1 и двух нечетных констант µ, таких, что где Замечание 1.49. В (1.121) и (1.123) величины I ab и I не являются отрезками в обычном смысле, так как среди переменных без числовой части нет возможности устанавливить отношение упорядоченности [181, 268, 276], и поэтому I ab и I только формальные обозначения обозначения.

Тем не менее, мы можем привести пример аналога среднего (1.119) для нечетной полугомотопии который может удовлетворять условиям супергладкости.

Замечание 1.50. В (1.120) и (1.122) нельзя сокращать левую и правую части на I ab и I соответственно, потому что решения для полугомотопий teven и рассмотриваются как отношения эквивалентности.

Это отчетливо видно из (1.124), где деление на ( ) невозможно, тем не менее решение для (x) существует.

Наиболее важное свойство полугомотопий — это их возможная необратимость, которая следует из нильпотентности t и и определений (1.120) и (1.122). Поэтому, Y не может быть супермногообразием, оно может быть только полусупермногообразием [6, 19].

Предположение 1.51. Полугомотопии играют ту же роль в изучении свойств непрерывности и классификации полусупермногообразий, какую обычные гомотопии играют для обычных многообразий.

1.5. Основные результаты и выводы 1. Сформулирована теория полусупермногообразий в терминах атласов и функций перехода.

2. Найдены обобщенные условия коцикла и рефлексивности.

3. Предложен новый тип ориентируемости — нильпотентная ориентируемость.

4. Сформулирован общий принцип полукоммутативности для необратимых морфизмов.

5. Проведена классификация полусупермногообразий в терминах новой характеристики — препятственности.

6. Построены необратимые аналоги расслоений — полурасслоения — в терминах уравнений на функции перехода.

7. Изучены морфизмы полурасслоений и рефлексивность.

8. Введены полугомотопии с необратимым четным или нечетным суперпараметром.

РАЗДЕЛ

НЕОБРАТИМОЕ ОБОБЩЕНИЕ N =

СУПЕРКОНФОРМНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В этом разделе формулируется необратимая N = 1 суперконформная геометрия на суперплоскости, играющая важную роль в теории суперструн и в двумерных суперконформных теориях поля. Прежде всего, строится полугруппа супераналитических преобразований, проводится их классификация по необратимости, дается формулировка супераналитических полусупермногообразий в терминах необратимых функций перехода. Далее анализируются все возможные редукции касательного суперпространства при ослаблении требования обратимости, что приводит к новым редукциям и необратимым аналогам антиголоморфных преобразований — сплетающим четность касательного пространства преобразованиям, которые характеризуются нильпотентным березинианом и наличием нового типа коциклов с разными стрелками. Единое описание обоих типов редуцированных преобразований проводится с помощью альтернативной параметризации, и переключение между ними происходит с помощью введенного спина редукции, равного 1/2 для N = 1 преобразований. В альтернативной параметризации строится суперконформная полугруппа, которая принадлежит к новому абстрактному типу полугрупп, удовлетворяющим необычному идеальному умножению. Для нее определяются обобщенные векторные и тензорные отношения Грина, а также идеальные квазихарактеры.

Исследование дробно-линейных необратимых редуцированных преобразований проводится в терминах полуминоров и полуматриц — нечетных аналогов обычных. Для них определяются функции полуперманента и полудетерминанта, которые дуальны стандартным матричным функциям в рамках введенной четно-нечетной симметрии дробнолинейных N = 1 суперконформных преобразований. Находятся необратимые супераналоги расстояния в N = 1 суперпространстве и формулируется необратимый аналог инвариантности — “полуинвариантность” введенного необратимого аналога метрики для сплетающих четность преобразований.

Нелинейные реализации редуцированных преобразований рассматриваются в рамках двух подходов — как движение нечетной кривой в суперпространстве и диаграммное описание необратимого аналога индуцированного представления. Находятся уравнения для двух типов голдстино и для связи между линейной и нелинейной реализациями.

Идея суперконформной симметрии [277–280] играет ключевую роль в построении суперструнных [281] моделей элементарных частиц [282– 286], в рамках которых удается объединить ) непротиворечивым образом все фундаментальные взаимодействия [288–291]. В последнее время значение суперконформной симметрии было переосмыслено из-за ее исключительной роли в построении M -теории [292–300], описании Dбран [301–305] и черных дыр [306–308], а также в ее связи с предельными теоремами в пространствах анти-Де Ситтера [309–318].

С одной стороны, суперконформная симметрия исключительно важна в теории суперримановых поверхностей [111, 176, 227, 319–322] как локального подхода для вычисления древесных [323–325] и многопетлевых [326–332] фермионных амплитуд в формализме Полякова [333–336].

С другой стороны, двумерные суперконформные теории поля [337–340] описывают квантовую геометрию мировой поверхности струны [341– 345] и позволяют свести вычисление струнных амплитуд в критичеПримечание. Впервые использование струн для построения фундаментальной теории, описывающей в низкоэнергетическом пределе все существующие взаимодействия, было предложено в [287].

ской размерности [346] к интегрированию по суперконформному пространству модулей [347–355]. Возникшие здесь трудности с нечетными модулями [356–358] (а фактически, с нильпотентными направлениями [359–361]), несмотря на то, что некоторые многопетлевые вклады и были заново получены в [362–364], позволяют предположить ) возможность необратимого обобщения суперконформной геометрии [9, 18].

2.1. Необратимость и N = 1 суперконформные Основным ингредиентом суперконформной симметрии является специальный класс редуцированных отображений двумерного (1|1)-мерного комплексного суперпространства, суперконформные преобразования [111, 345, 355, 366]. В локальном подходе к построению суперримановых поверхностей, представленных как семейства открытых суперобластей, суперконформные преобразования используются как склеивающие функции перехода [324, 341, 343]. С другой стороны, они возникают в результате специальной редукции структурной супергруппы [367, 368]. Аналогичный подход применяется и для клейновых поверхностей [369] и суперповерхностей [370–373].

Здесь мы рассматриваем альтернативную редукцию касательного пространства, что приводит к новым преобразованиям (см. также [1,8]).

Мы используем функциональный подход к суперпространству [91, 112, 117] (см. также Приложения Б.2 и Б.4), который допускает существование нетривиальной топологии в четных и нечетных нильпотентных направлениях [175,268] и может быть подходящим для физических приПримечание. В связи с этими трудностями было высказано такое предположение: “может случиться, что основные конструкции должны быть модифицированы...” [365].

ложений [374, 375].

Кроме того, необратимые преобразования (см. также, [263, 376]) могут служить аналогом функций перехода для полусупермногообразий, введенных в Разделе 1, что позволяет последовательным образом сформулировать необратимый аналог суперримановой поверхности [9]. Отметим, что исследование четных нильпотентных направлений в суперсимметричной механике [16, 377] и квантовой механике [378–380] играет важную роль в прояснении общих механизмов нарушения суперсимметрии; они также возникают в контракциях групп [381–383] и в конкретных полевых моделях [384–387].

2.1.1. С у п е р а н а л и т и ч е с к и е п р е о б р а з о в а н и я. Локально суперпространство C1|1, имеющее размерность (1|1), на координатном языке описывается парой Z = (z, ), где z четная координата и нечетная.

В функциональном определении суперпространства существуют дховые части в четной координате z = zbody +zsoul, zbody = (z), zsoul = z zbody, где представляет собой числовое отображение [112], зануляющее все нильпотентные генераторы подстилающей супералгебры.

Числовое отображение действует на координатах следующим образом (z) = zbody, () = 0 (см. также Пункт Б.2). Это позволяет нам рассматривать нетривиальную дховую топологию в четных направлениях на равных началах с нечетными [175, 181, 268].

Используя условия голоморфности, общее супераналитическое преобразование TSA : C1|1 C1|1 можно представить (см., например, [388]) где нет зависимости от комплексно сопряженной координаты.

где четыре координатные функции f (z), g (z) : C1|0 C1|0 и (z), (z) :

C1|0 C0|1 удовлетворяют супергладким условиям, обобщающим C (см. [112, 226, 389] и Пункт Б.2).

Очевидно, что нечетные функции (z), (z) по определению необратимы (см. [120], хотя имеются и некоторые контрпримеры [132– 134]). Таким образом, обратимость супераналитического преобразования TSA (2.1) контролируется четными функциями f (z), g (z). Обычно они выбираются обратимыми [111, 355]. Здесь мы не будем ограничивать их обратимость и рассмотрим оба случая на равных началах.

Определение 2.1. Множества обратимых и необратимых преобразований C1|1 C1|1 (2.2) образуют супераналитических преобразований TSA относительно композиции.

Обратимые преобразования принадлежат подгруппе этой полугруппы, тогда как необратимые преобразования принадлежат ее идеалу [1, 5]. Будем классифицировать все преобразования следующим образом [7].

Определение 2.2. супераналитические преобразования определяются условиями Определение 2.3. супераналитические преобразоПолунеобратимые вания определяются условиями Определение 2.4. супераналитические преобразования определяются условием Замечание 2.5. Полунеобратимые супераналитические преобразования могут разрешаться, но только лишь относительно, а не относительно Очевидно, можно использовать координатные функции из (2.2) для соответствующей параметризации полугруппы супераналитических преобразований TSA.

Определение 2.6. Элемент s SSA может быть параметризован четверкой функций и действие в SSA есть где и штрих ( ) означает дифференцирование по аргументу.

Ассоциативность в SSA нетривиальна для (2.7) и требует проверки.

Предложение 2.7. Умножение (2.7) ассоциативно.

Доказательство. Соотношение (2.9) состоит из четырех уравнений, соответствующих четырем функциям в (2.6).

Используя (2.7) для 1-1 элемента, мы находим Открывая скобки, раскладывая в ряд Тэйлора и учитывая нильпотентность входящих нечетных функций, мы имеем Далее группируем элементы различным способом и получаем Аналогичные вычисления могут быть проведены и для других элементов, это доказывает ассоциативность (2.7) и тот факт, что параметризация (2.6) задает действительно полугруппу.

Замечание 2.8. Умножение (2.7) содержит два произведения: суперпозицию (2.8) и произведение в подстилающей алгебре Грассмана (·).

Поэтому супераналитическая полугруппа не принадлежит ни к классу полугрупп непрерывных функций [262,390,391], ни к классу мультипликативных полугрупп [205, 392–394].

Наличие двух умножений, делителей нуля и нильпотентов делает анализ абстрактных свойств супераналитической полугруппы ) (и суперконформной полугруппы, рассматриваемой ниже) гораздо более сложным по сравнению с хорошо исследованными полугруппами функций [191, 208, 262, 399].

Предложение 2.9. Двусторонняя единица в SSA есть и двусторонний нуль представляет собой матрицу (2.6), имеющую нулевые элементы.

Доказательство. Это можно легко проверить, используя (2.7).

Рассмотрим гомоморфизм супераналитической полугруппы SSA в полугруппу TSA супераналитических преобразований : SSA TSA.

Предложение 2.10. Как это и должно быть ker = e.

При изучении суперчисловых систем, содержащих делители нуля Примечание. Полугруппы несуперсимметричных аналитических эндоморфизов рассматривались в [395–398].

и нильпотенты, обычно говорят магические слова “факторизация по нильпотентам” или “по модулю нильпотентов” и исключают дополнительные экзотические свойства [117, 174, 187], являющиеся результатом тщательного рассмотрения последних. В системах рассматриваемых функций ситуация более тонкая и требует дополнительных абстрактных исследований.

Например, в супераналитической полугруппе SSA наряду со стандартными элементами e и z мы можем вводить элементнозависимые “локальные” единицы и нули.

Определение 2.11. Для заданного элемента s супераналитической деляются равенствами где elef t, eright, es SSA.

Определение 2.12. Для заданного элемента s супераналитической деляются равенствами где zlef t, zright, zs SSA.