Главная >> Диссертации - все темы

Pages: |

| 2 |

«КИРЧЕЙ ИВАН ИГОРЕВИЧ ТЕОРИЯ СТОЛБЦОВЫХ И СТРОЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И ОБРАТНАЯ МАТРИЦА НАД ТЕЛОМ С ИНВОЛЮЦИЕЙ Специальность 01.01.06 - алгебра и теория чисел ДИССЕРТАЦИЯ на получение научной степени кандидата ...»

-- [ Страница 1 ] --

Институт прикладных проблем механики и математики

им. Я.С.Пидстрыгача НАН Украины

На правах рукописи

УДК 512.643.2

КИРЧЕЙ

ИВАН ИГОРЕВИЧ

ТЕОРИЯ СТОЛБЦОВЫХ И СТРОЧНЫХ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

И ОБРАТНАЯ МАТРИЦА НАД ТЕЛОМ

С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Специальность 01.01.06 - алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на получение научной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Сявавко М. С.

Киев Содержание Вступление 1. Обзор литературы. Теория некоммутативных определителей. 1.1. Аксиомы некоммутативного определителя. 1.1.1. Определитель Э. Стаде. 1.1.2. Определитель Ж. Дьедонне. 1.1.3. Представление обратной матрицы Й.С. Понизовским. 1.2. Квазидетерминанты Гельфанда-Ретаха. 1.3. Определитель как альтернированная сумма мономов от элементов матрицы. 1.3.1. Определитель А. Кэли. 1.3.2. Определитель Э. Г. Мура. 1.3.3. Определитель Л. Чена. 1.4. Выводы. 2. Теория столбцовых и строчных определителей матриц над телом с инволюцией. 2.1. Определение основного тела. 2.2. Определение строчных и столбцовых определителей. 2.3. Алгебра матриц над телом. Свойства транспонированной и сопряжённой матриц. 2.4. Общие свойства строчных и столбцовых определителей. 2.5. Определитель эрмитовой матрицы. 2.5. Свойства строчных и столбцовых определителей эрмитовой матрицы над телом. 2.7. Диагонализация эрмитовой матрицы. 2.8. Выводы. 3. Аналог классической присоединенной матрицы над телом. 3.1. Классическая присоединенная матрица для эрмитовой над телом. 3.2. Свойства правой и левой соответствующих эрмитовых матриц над телом. 3.3. Критерии вырожденности соответствующих эрмитовых матриц. 3.4. Ранг матрицы над телом. 3.5. Свойства двойного определителя квадратных матриц над телом. 3.6. Детерминантное представление обратной матрицы над телом через аналог классической присоединенной. 3.7. Правило Крамера для систем линейных уравнений над телом. 3.7.1. Решение правой системы линейных уравнений над телом. 3.7.2. Решение левой системы линейных уравнений над телом. 3.8. Выводы. Выводы. Список использованных источников.

ВСТУПЛЕНИЕ

Актуальность темы. Теория определителей матриц с некоммутирующими элементами, их еще называют некоммутативными определителями, уже на протяжении нескольких столетий приковывает к себе внимание математиков. Хронология работ, в которых вводится новое понятие некоммутативного определителя, начинается еще от работы А. Кэли 1845 года и продолжается и до сих пор. Наиболее известное определение некоммутативного определителя, а именно определителя квадратной матрицы над телом, принадлежит Ж. Дьедонне, который его значение предложил рассматривать не в самом теле, а в присоединенном к нему объекте – факторе по коммутанту. Такого же рода определение было введено Э. Стаде для квадратных матриц над телом кватернионов, а также обобщалось Й. С. Понизовским, который рассматривал определитель квадратной матрицы над произвольным кольцом, а в качестве присоединенного объекта - произвольную коммутативную полугруппу.

Кардинально другое определение некоммутативного определителя недавно было предложено И. М. Гельфандом и В. С. Ретахом, которые квадратной матрице n -го порядка над телом сопоставляют матрицу ее квазидетерминантов того же порядка. Таким образом, вместо одного определителя они вводят n 2 квазидетерминантов, перенося из коммутативного случая не самое понятия определителя, а его отношение к минорам порядка n 1.

Третий способ определения некоммутативного определителя – рассматривать его подобно коммутативному случаю, как альтернированную сумму мономов от элементов матрицы, фиксируя дополнительно порядок элементов в этих мономах. Наиболее основательно и успешно этот способ был разработан в роботах Э. Г. Мура и Ф. Д. Дайсона, но только для определенного класса матриц - а именно эрмитовых матриц над телом. Определенное обобщение такого определителя для произвольных квадратных матриц над телом кватернионов осуществил Л. Чен.

В то же время ни один из до сих пор введенных некоммутативных определителей не обобщает в полном объеме, в смысле сохранения всех свойств и применений, определитель комплексной матрицы. Более того, некоторые вопросы из теории матриц над некоммутативным кольцом до сих пор остаются открытыми, хотя аналогичные задачи находят своё решение посредством определителя в коммутативном случае. Так до сих пор нерешенными оставались такие актуальные проблемы линейной алгебры над телом, как аналитическое представление классической присоединенной матрицы и, как следствие, обобщение правила Крамера для систем линейных уравнений над телом. Разработке этих вопросов посвящена данная диссертационная работа.

Актуальность исследований, которые проводятся в линейной алгебре над телом (в частности, телом кватернионов), возрастает еще и вследствие нужд теоретической физики, особенно в контексте квантовой механики и теории поля, что отображено в роботах [41, 59, 65, 70, 75] С. Адлера Ф.

Гурси, С. Де Лео, П. Ротелли, Д. Финкельштейна и других. С появлением суперсимметричных теорий и квантовых групп [44] возникла насущная необходимость рассматривать матрицы, которые содержат антикоммутирующие или вообще некоммутативные элементы. Поэтому рассмотрение определителей таких матриц является важным обобщением понятия определителя. Все это и обуславливает актуальность и выбор темы диссертационного исследования.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Результаты диссертации получены в рамках выполнения госбюджетной темы Института прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Пидстрыгача НАН Украины: ”Развитие диференциально-геометрических и аналитических методов исследования инвариантных уравнений математической и теоретической физики” (номер госрегистрации 0101U000451).

Цель и задачи исследования. Целью диссертации являются определения и исследование свойств столбцовых и строчных определителей квадратных матриц над телом с инволюцией, которые бы обобщали определитель Э. Г. Мура, введенный для эрмитовых матриц; установление критерия обратимости квадратных матриц над телом в рамках построенной теории определителей и детерминантное представление обратной матрицы над телом через аналог классической присоединенной матрицы; обобщение правила Крамера для левых и правых систем линейных уравнений над телом с инволюцией, которое является ассоциативной композиционной нерасщепляемой алгеброй над своим центром - полем нулевой характеристики.

Для достижения этой цели осуществляется постановка и решения следующих задач:

• дать определения и исследовать свойства строчных и столбцовых определителей квадратных матриц над телом с инволюцией, которое является ассоциативной композиционной нерасщепляемой алгеброй над полем нулевой характеристики;

• в рамках теории столбцовых и строчных определителей дать определение определителя эрмитовой матрицы, который совпадает с определителем Мура, и исследовать его свойства выраженные через столбцовые и строчные определители;

• аналитически представить обратную к эрмитовой матрице над телом с инволюцией через классическую присоединенную;

• получить определение в рамках теории столбцовых и строчных определителей и исследовать свойства двойного определителя квадратной матрицы над телом с инволюцией;

• получить детерминантное представление обратной матрицы через аналог классической присоединенной для произвольной обратимой квадратной матрицы над телом с инволюцией;

• аналитически представить решения правой и левой систем линейных уравнений над телом, как обобщения правила Крамера.

Объектом исследования являются матрицы над телом, которое является ассоциативной композиционной алгеброй с делением над своим центром – полем нулевой характеристики.

Предметом исследования являются некоммутативные определители квадратных матриц над телом с инволюцией.

Методы исследования: методы теории некоммутативных колец и алгебр, теории матриц над телом.

Научная новизна полученных результатов. Научная новизна работы заключается в таких основных положениях:

1. Введены понятия и разработана теория новых матричных функционалов, - столбцовых и строчных определителей квадратных матриц над телом, которое является ассоциативной композиционной нерасщепляемой алгеброй над своим центром - полем нулевой характеристики.

2. В рамках теории столбцовых и строчных определителей введено понятие определителя эрмитовой матрицы, который совпадает с определителем Мура, а также двойного определителя квадратной матрицы над телом с инволюцией. Показано, что множество всех столбцовых и строчных определителей является полным и естественным обобщением определителя Мура для произвольной квадратной матрицы над телом. Двойной определитель представлен как определитель, который удовлетворяет как аксиомы некоммутативного определителя, так и свойство Лапласа разложения определителя по любому столбцу или строке матрицы.

3. Получено детерминантное представление обратной матрицы через классическую присоединенную для обратимой эрмитовой матрицы над телом с инволюцией.

4. Получено детерминантное представление обратной матрицы для произвольной обратимой квадратной матрицы над телом с инволюцией через аналог классической присоединенной.

5. Решения правых и левых систем линейных уравнений над телом изображено как обобщение правила Крамера.

Личный взнос соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическое значение полученных результатов. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Их можно использовать в дальнейших научных исследованиях алгебры матриц с некоммутирующими элементами, а также в исследованиях, которые применяют некоммутативные определители, в частности, в областях теоретической физики и квантовой механики.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на: Международной конференции из алгебры в Украине (г. Львов, 2003; г. Одесса, 2005; г. Каменец-Подольский, 2007), Международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г. Киев, 1994, 2002, 2004, 2006), Международной математической конференции им. В. Я. Скоробагатька (г. Дрогобыч, 2004, 2007), International Conference on Matrix Analysis and Applications (Dec. 14-16, 2003, Nova Southeastern University, Fort Lauderdale, Florida, USA), Международной алгебраической конференции посвященной 250летию Московского государственного университета (г. Москва, Россия, 2004), Международной алгебраической конференции посвященной 100летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина (г. Екатеринбург, Россия, 2005), III Всеукраинской научной конференции “Нелинейные проблемы анализа” (г. Ивано-Франковск, 2003), Международной школе-семинаре “Цепные дроби, их обобщение и применение” (п.г.т.

Верхнее Синевидное Львовской обл., 1994; г. Ужгород, 2002), заседаниях семинара им. В. Я. Скоробагатька Института прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Пидстрыгача НАН Украины (г. Львов, 2001заседаниях общеинститутского математического семинара Института прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Пидстрыгача НАН Украины (г. Львов, 2005, 2008), заседаниях Львовского городского научного семинара из алгебры (г. Львов, 2001, 2004), заседании семинара из алгебры Киевского национального университета им. Т.Г.Шевченко (г.

Киев, 2004).

Публикации. Результаты, которые включены в диссертацию, достаточно полно изложены в 17 публикациях, в том числе в шести статьях в профессиональных научных изданиях из перечня, утвержденного ВАК Украины и одиннадцати тезисах международных и всеукраинских конференций.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

ТЕОРИЯ НЕКОММУТАТИВНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Вопросы детерминантного представления обратной матрицы над телом через аналог классической присоединенной матрицы и, как следствие, решение систем линейных уравнений над телом по правилу Крамера и до сих пор остаются открытыми [45, 50, 51, 56, 95]. Ключевым в решении этой задачи является определение некоммутативного определителя, т.е. определителя квадратной матрицы с некоммутирующими элементами, и в этом плане исторически сложилось несколько подходов.

1.1. Аксиомы некоммутативного определителя Первый способ - это определение некоммутативного определителя, как образа отображения, которое удовлетворяет необходимую для определения и достаточную группу с трех аксиом, которая в современной литературе является общепризнанной [37, 45, 51, 56].

Обозначим через M( n, K) кольцо квадратных матриц n -го порядка над кольцом K.

Определение 1.1.1. Пусть функционал d : M (n, K ) K удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1. (Вырожденность.) d (A ) = 0 тогда и только тогда, когда A вырожденная (необратимая) матрица.

Аксиома 2. (Мультипликативность.) d (A B ) = d (A ) d (B ).

Аксиома 3. (Инвариантность.) Если матрица A получается из квадратной матрицы A через добавление к ее произвольной строке, умноженной слева на элемент кольца, ее другую строку, или через добавление к ее произвольному столбцу, умноженному справа на элемент кольца, ее другой столбец, тогда det A = det A.

Тогда значение функционала d (A ) K называется определителем квадратной матрицы A n -го порядка над кольцом K.

Обозначим через I - единичную матрицу, Eij - матрицу на пересечении i -й строки и j -го столбца которой находится 1, а все другие элементы являются нулями. Тогда матрица Pij ( b ) = I + b Eij при i j отличается от единичной элементом b K, который находится на пересечении i -й строки и j -го столбца для всех i, j = 1, n.

Вместо аксиомы 3 также используют [45] эквивалентную ей следующую аксиому.

Аксиома 3'. Для произвольного элемента b K и для всех i, j = 1, n таких, что i j, имеем равенство d Pij ( b ) = 1.

Определение 1.1.2. Группа всех невырожденных (обратимых) квадратных матриц порядка n над кольцом K называется полной линейной группой и обозначается GL(n, K ). Матрицы Pij ( b ) (для всех i j и всех b K ) порождают подгруппу SL(n, K ), которая называется унимодулярной группой, а ее элементы называют унимодулярными матрицами.

Имеет место теорема.

Теорема 1.1.1. [45] Пусть d удовлетворяет аксиомы 1, 2, 3, тогда образ d (M (n, K )) является коммутативным подмножеством K.

Как уже вытекает из этой теоремы только посредством определителя, который удовлетворяет аксиомы 1, 2, 3, невозможно аналитически представить классическую присоединенную матрицу Adj[A ] для произвольной обратимой матрицы A GL(n, K ) над кольцом K. Поскольку, с одной стороны элементы матрицы Adj[A ] за определением классической присоединённой являются алгебраическими дополнениями, т.е. определителями соответствующих подматриц матрицы, а это за теоремой 1.1.1 означает, что они принадлежат коммутативному подмножеству кольца K. А с другой элементы присоединенной матрицы для произвольной матрицы A GL(n, K ) в общем являются произвольными элементами кольца.

Рассмотрим аксиому аддитивности детерминантного отображения относительно ее произвольной строки:

Аксиома 3*. Пусть для квадратных матриц A = aij, B = bij, C = cij, где {A, B,C} M (n, K ), существует индекс r I n = {,K, n} такой, что:

тогда d (A ) + d (B ) = d (C).

Имеет место теорема, которую доказал Фримен Дайсон.

Теорема 1.1.2. [49] Пусть K кольцо с единицей и без делителей нуля.

Если на матричном кольце M (n, K ) с n > 1 существует отображение d, которые удовлетворяет аксиомы 1, 2, 3*, тогда K является коммутативным кольцом.

Учитывая этот факт, - то, что над кольцом не существует детерминантного отображения, которое бы удовлетворяло аксиомы 1, 2, 3*, он предложил считать аксиому 1 необходимой и ключевой для определения некоммутативного определителя.

1.1.1. Определитель Э. Стаде. Одним из наиболее известных примеров определителя, как образа отображения, которое удовлетворяет аксиомы 1, 2, 3, есть определитель Стаде. Он ввел его (в работе [86]) для квадратных матриц над телом кватернионов H.

Его идея заключалась в том, чтобы квадратную матрицу n -го порядка над телом кватернионов трансформировать в комплексную квадратную матрицу порядка 2n.

Произвольную квадратную матрицу M M( n, H) можно однозначно подать в виде: M = A + j B, где {A, B} M( n,C), а C - поле комплексных чисел.

Стаде для квадратной матрицы M над телом кватернионов H, где A матрица, элементы которой сопряжены с соответствующими элементами матрицы A.

Кроме того, вводится иньективний гомоморфизм : M (n, C ) M (2n, R ) из кольца комплексных квадратных матриц n -го порядка в кольцо действительных квадратных матриц порядка 2n :

Имеет место теорема.

Теорема 1.1.3. [86, 45] Для произвольной комплексной матрицы N имеем и для произвольной матрицы M над телом кватернионов:

1.1.2. Определитель Ж. Дьедонне. Другой не менее известный пример детерминантного функционала, который удовлетворяет аксиомы 1, 2 и был введён Жаном Дьедонне. Он рассматривал [55] его для квадратных матриц над произвольным телом S.

Имеет место теорема.

Теорема 1.1.4.[1, 55] Произвольная обратимая матрица A GL(n, S ) может быть изображена в виде A = D(x ) B, где Следующая теорема утверждает, что SL(n, S ) является коммутантом группы GL(n, S ) :

Теорема 1.1.5.[1, 45, 55] SL(n, S ) = [GL(n, S ),GL(n, S )].

Теорема 1.1.6. [1,45, 55] Пусть S = S {0} - мультипликативная группа тела S. Тогда является коммутатором в группе GL(n, S ), т.е., D(x ) SL(n, S ) тогда и только тогда, когда x является коммутатором в S.

В разложении A = D(x ) B ни x, ни B не являются однозначными, но произвольному элементу x S однозначно ставится в соответствие его канонический образ x [ S, S ] фактор-группы S / [ S, S ] по коммутативной подгруппе [ S, S ] тела S. Это было использовано Дьедоннe в его работе [55]. Его целью было показать, как определитель можно выразить в терминах теории групп.

Теорема 1.1.7. [1, 45, 55] Для произвольного тела S существует изоморфизм:

Из этой основной теоремы Дьедоннe вытекает его определение определителя:

Если S H - тело кватернионов, тогда, определив гомоморфизм Дьедонне. Здесь x - евклидовая норма в теле кватернионов H.

Дьедонне показал [55], что произвольный детерминантный функционал d, который удовлетворяет аксиомы 1, 2, 3 определения 1.1.1, имеет вид d (M ) = Ddet r M, где r R - действительное число, и для произвольной матрицы M GL(n, H ), в частности, Sdet M = Ddet 2 M.

Из других свойств определителя Дьедонне отметим то, что этот определитель, как функция от некоторой строки матрицы, не является линейным. Обозначим эту функцию через D(a i. ), где a i. - i -я строка матрицы A M (n, S ), тогда справедливой является теорема:

Теорема 1.1.8. [1, 45, 55] D(a i. + a. ) D(a i. ) + D(a. ).

Нужно отметить, что определитель Дьедоннe имеет широкое применение в теории матриц над телом, что отображено во многих роботах, в частности [46, 47, 57, 61, 66, 74, 82, 83].

1.1.3. Представление обратной матрицы Й.С. Понизовским. В работе [37] Й. С. Понизовский, обобщая подход предложенный Дьйодонне квадратной матрице над кольцом K гомоморфно ставит в соответствие элемент некоторой коммутативной подгруппы, который и называет определителем. Построенный таким образом определитель, как и определитель Дьедонне, является корректно определённым, поскольку полностью удовлетворяет аксиомы 1, 2, 3 некоммутативного определителя. И в то же время, как делает замечание сам автор „такие свойства обычных определителей как разложение по минорам строки или столбца при нашем определении определителя не имеют содержания [37, стр. 4]“. Собственно, из этого, очевидно, следует невозможность введения понятия алгебраического дополнения элемента матрицы и, как следствие, невозможность построения присоединенной матрицы в рамках только этой теории определителей.

Й.С.Понизовским получено следующее аналитическое представление обратной матрицы:

Здесь D - точное неособенное представление кольца K над полем P степени d, M - матрица порядка n над K, M D - матрица порядка nd над P, которая получается с M заменой каждого элемента матрицей, отвечающей ему в представлении D и D (M ) = M D. Если представление D - точное и неособенное, то отображение D : K n Pnd является изоморфизмом, здесь K n - кольцо квадратных матриц порядка n над K, Pnd - кольцо квадратных матриц порядка nd над полем P. При этом представление D называют неособенным, если оно содержит обратимые матрицы. И как указывает автор „если задана конкретная матрица M над K и фактически задано точное представление D над полем P, то можно фактически вычислить M 1 [37, стр. 11]“. Но, очевидно, что такое аналитическое представление обратной матрицы не представляет собой именно детерминантное представление обратной матрицы через классическую присоединенную.

1.2. Квазидетерминанты Гельфанда-Ретаха Второй способ определения определителя матрицы над телом – это рассматривать его как определенную рациональную функцию от элементов матрицы. Таким способом строили свои определители А. Гейтинг [63] и А.

Р. Ричардсон [84]. Но наибольшего успеха здесь достигли И. М. Гельфанд и В. С. Ретах. В своих роботах [4, 5, 64], они утверждают, что ”вопрос об определении единого детерминанта квадратной матрицы в общей некоммутативной ситуации не имеет смысла, если рассматривать детерминанты со значениями в кольце [4, стр. 5]” и квадратной матрице n -го порядка над телом вместо одного определителя ставят в соответствие n 2 построенных ими квазидетерминантов, перенося из коммутативного случая не само понятия определителя, а его отношение к минорам порядка n 1.

Пусть I n, J n - упорядоченные множества индексов из n элементов.

Пусть A = aij, i I n, j J n, - матрица формальных некоммутативных элементов aij. Индукцией по n определяются n 2 рациональных выражений A pq, p I n, q J n, которые называются квазидетерминантами порядка pq.

Для n = 1, т.е., для одноэлементной матрицы A = aij, определяется единое выражение A ij = aij. Предположив, что определены квазидетерминанты всех матриц порядков меньше, чем n, определяются квазидетерминанты матрицы A = aij, когда i I n, j J n :

где A pq - матрица, которую получим из матрицы A, вычеркнув ее строку p и столбец q.

Показано, что для квадратных матриц над телом квазидетерминант A pq может быть определён и в случае, когда не определены некоторые из квазидетерминантов матрицы A pq. Для матриц над телом справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2.1. [5] Пусть A = aij матрица над телом. Квазидетерминант A pq определен, если определен и отличается от нуля хотя бы один из квазидетерминантов матрицы A pq. В этом случае в формуле (1.1) суммирование проводится по всем парам (i, j ), i p, j q, для которых квазидетерминант A pq определен и отличается от нуля.

И. М. Гельфанд и В. С. Ретах демонстрируют широкий спектр свойств и применений квазидетерминантов, призывая при этом не бояться их не полиномиальной, а “лорановской” зависимости от элементов матрицы. Рассмотрим те их результаты, которые относятся к обратимости матриц и решений систем линейных уравнений над телом. Имеют место теоремы.

Теорема 1.2.2. [5] Пусть определен квазидетерминант A ij матрицы A. Следующие условия, равносильны:

2) i -я строка матрицы A является левой линейной комбинацией других строк этой матрицы;

3) j -й столбец матрицы A является правой линейной комбинацией других столбцов этой матрицы.

Теорема 1.2.3. [4] 1) Обратная матрица B = A 1 существует тогда и только тогда, когда б) для каждого “строчного“ индекса p найдётся q такое, что квазидетерминант A pq определен;

в) для каждого “столбцового“ индекса s найдётся индекс r такой, что квазидетерминант A rs определен.

i, j = 1,K, n элемент bij равняется A ij, если квазидетерминант A ij определен, и нулю в противном случае.

Эта теорема раскрывает предложенный И. М. Гельфандом и В. С. Ретахом метод построения обратной матрицы над телом. Поскольку введенные квазидетерминанты также не удовлетворяют свойство Лапласа разложения по любой строке или столбцу, то очевидно, что для представления обратной матрицы в этом случае используется иная структура, чем присоединенная матрица.

Рассматривается [5] левая система линейных уравнений над телом:

Из теоремы 1.2.3 вытекает, что ее решение задается формулой:

Приводится и другой вариант решения этой системы - правило Крамера для квазидетерминантов.

Теорема 1.2.4.[5] Пусть A l ( ) - матрица, которая получается из матрицы A заменой l -го столбца на столбец = (1,K, n ). ТоT гда При этом правая часть не зависит от выбора j.

1.3. Определитель как альтернированная сумма мономов от элементов матрицы “Классический” способ определения определителя, как альтернированной суммы мономов от элементов матрицы взятых по одному с каждой строки и столбца, является наиболее очевидным. Но для матриц с некоммутирующими элементами при попытке его введения возникает проблема порядка элементов в каждом из мономов. Для многих математиков этот недостаток канонического определения стал признаком того, что такой способ непригоден в общей некоммутативной ситуации. Конечно, что при использовании этого метода были свои недостатки, но есть и весомые достижения.

1.3.1. Определитель А. Кэли. В 1845 году, через два года после открытия Гамильтоном кватернионов, Артур Кэли впервые таким способом дал [48] определение определителя матрицы над телом кватернионов. Он выбрал для него разложение по первому столбцу. Если обозначить его Cdet, тогда Но насколько корректным является такое определение? Кэли отметил, что если два строки 2 2 матрицы одинаковые, то Cdet b b = ab ba, и, вследствие некоммутативности, определитель в общем не равняется нулю. Все же эта причина не оттолкнула, ни Кэли, ни других его последователей от исследования этого определителя, впрочем, без успеха в сфере его применений. Более того, как показано в работе [45] определитель Кэли не удовлетворяет ни одной из указанных выше аксиом.

1.3.2. Определитель Э. Г. Мура. Наиболее удачного построения определителя по этому принципу достиг Э. Г. Мур. Он заметил, что можно достичь успеха в каноническом определении определителя матриц с некоммутирующими элементами, когда применить его для определенного класса матриц, а именно для эрмитовых. Это открытие он сделал в работе [77], которая была длительное время забыта и результаты, которой позднее обобщил и изложил в более современной терминологии известный физик и математик Ф. Д. Дайсон [56], заметив важность применения определителя Мура в теоретической физике.

Определение 1.3.1. Пусть K является кольцом с инволюцией q q, это означает, что оператор удовлетворяет условие q = q для всех q K. Элемент q = q, q K, называется скаляром кольца. K является кольцом с коммутирующими скалярами, если каждый скаляр коммутирует со всеми элементами в кольце K.

Множество скаляров образует подкольцо P K.

Определение 1.3.2. Говорят, что кольцо K владеет свойством скалярного произведения, если скалярное произведение (q, r ) = qr + r q является симметричным, что означает: (q, r ) = (r, q ).

Определение определителя Мура вводится не только для эрмитовых матриц над кольцом K с коммутирующими скалярами и свойством скалярного произведения, но и для почти эрмитовых (самосопряжённых) матриц.

Определение 1.3.3. Матрица A = aij над кольцом K с коммутирующими скалярами и свойством скалярного произведения называется почти эрмитовой, если существует такой индекс k I n, что a ji = aij, когда i k и jk.

Определение 1.3.4. Пусть k I n удовлетворяет определение 1.3.3. Инnn дукцией по n почти эрмитовой матрице A = aij над кольцом K с коммутирующими скалярами и свойством скалярного произведения ставится в соответствие выражение, Mdet A, которое называется определителем Мура:

рая получается из матрицы A, сначала заменив ее j -й столбец ее k -м столбцом, а потом вычеркнув k -ю строку и k -й столбец.

Другое определение определителя Мура для эрмитовой матрицы эквивалентное определению 1.3.4 приводится [45] в терминах подстановок.

Определение 1.3.5. Пусть A = aij с коммутирующими скалярами и свойством скалярного произведения. Определителем эрмитовой матрицы называется выражение где S n - симметричная группа на множестве I n = {,K, n}, S n - подстановка n -й степени, - знак ее чётности. Циклическое представление подстановки в нормальной форме имеет вид:

где ni1 < nij для всех j > 1 при этом n11 > n21 > K > nr1.

Имеют место теоремы:

Теорема 1.3.1. [56] Пусть K - кольцо с коммутирующими скалярами и свойством скалярного произведения и пусть A - эрмитовая матрица с элементами из K. Тогда значение Mdet A, определенное равенством (1.2) независимо от k, а также Mdet A является скаляром.

Теорема 1.3.2. [56] Если A - почти эрмитовая матрица над кольцом K и имеет две одинаковые строки или столбца, тогда Mdet A = 0.

Из этих теорем Дайсон доказывает выполнение аксиом 1 и 3* для определителя Мура и аксиомы 2 при определенных строгих ограничениях на исходное кольцо K. В своей работе он также приводит перечень нерешенных проблем, связанных с определителем Мура, в частности следующие:

1) Какая зависимость между определителями Мура и Дьедонне?

2) Каким наиболее естественным путём можно обобщить определение определителя Мура для матриц, которые не являются самосопряжёнными?

Первый из приведённых вопросов на данное время уже нашёл свое решение. Что касается второй проблемы, то полный и обоснованный ответ на него является целью данной работы. Другой попыткой удовлетворительного ответа на этот вопрос является определитель Лонгхуан Чена.

1.3.3. Определитель Л. Чена. Для произвольной квадратной матрицы A над телом кватернионов H Л. Чен определил [49, 50] определитель следующим образом:

Следует отметить, что его определитель нарушает предостережение Дайсона - не удовлетворяет ключевую аксиому 1. Но для эрмитовой матрицы A его определитель, как и определитель Мура, является скаляром, det A R, где R - поле действительных чисел. Кроме того, для произвольной кватернионовой матрицы A вводится понятие двойного определителя, который обозначается A.

Определение 1.3.4. Для произвольной матрицы A H n m, A A A называется ее двойным определителем.

Здесь через H n m обозначается множество n m -матриц над телом кватернионов H. Имеют место теоремы, которые раскрывают свойства двойного определителя:

Теорема 1.3.4. [50] Для произвольной A H n n имеем A = A.

Теорема 1.3.5. [50] Для произвольных {A,B} H n n, Теорема 1.3.6. [50] Для произвольной A H n m имеем A 0.

Установлено необходимое и достаточное условие правой линейной независимости столбцов произвольной матрицы над телом кватернионов.

Теорема 1.3.7. [50] Если A = (1,K, m ) H n m, тогда необходимым и достаточным условием правой линейной независимости вектор-столбцов Имеет место также теорема, которая раскрывает предложенный Ченом метод построения обратной матрицы.

Теорема 1.3.8. [50] Необходимым и достаточным условием оборотности квадратной матрицы A = (1,K, m ) над телом кватернионов является то, чтобы ее двойной определитель A 0. Тогда существует обратная матрица A 1 = b jk, где b jk задаются формулами:

где i - i -й столбец матрицы A, k - n -мерный столбец с единицей в k -й строке и нолем во всех других.

Поскольку, свойство разложения Лапласа по любой строке или столбцу определителем Чена, за исключением n -й строки, также не выполняется, то и матрицу, которая используется для аналитического изображения обратной, нельзя определить как некоторый аналог присоединенной.

В работе [49] Чен также получает решение правой системы линейных уравнений над телом кватернионов, который он называет крамеровским.

Теорема 1.3.9. [49] Для правой системы линейных уравнений n =1 j x j = над телом кватернионов, если двойной определитель его матрицы коэффициентов A 0, существует единое решение Здесь i - i -й столбец матрицы A, - i -я строка матрицы A для всех i = 1, n, - n - мерная вектор-строка сопряжённая к вектор-столбцу свободных элементов.

1.4. Выводы 1 В первом подразделе рассматривается определение некоммутативного определителя через необходимую и достаточную группу аксиом.

Приводятся примеры определителей, которые удовлетворяют эти аксиомы, а именно определители Стаде и Дьедоннe. Приведено представление обратной матрицы для оборотной квадратной матрицы над кольцом, представленное Й. С. Понизовским в рамках теории определителя Дьедоннe.

2 Во втором подразделе вводятся определение и рассматриваются основные свойства квазидетерминантов Гельфанда-Ретаха. Рассматриваются полученные в рамках теории квазидетерминантов представление обратной матрицы и аналог правила Крамера для левой системы линейных уравнений над телом.

3 В третьем подразделе рассматриваются некоммутативные определители, определённые подобно коммутативному случаю, как альтернированная сумма произведений элементов матрицы, но фиксируя предварительно порядок элементов, а именно определители Кэли, Мура и Чена. Приводится проблема Дайсона, о полном и естественном обобщении для произвольных квадратных матриц над телом определителя Мура, введенного для эрмитовых матриц. Подается детерминантное представление обратной матрицы и аналог правила Крамера для систем линейных уравнений над телом кватернионов, полученные посредством определителя Чена.

4 Поскольку, ни один из представленных в этом разделе определителей не удовлетворяет свойство разложения Лапласа по любой строке или столбцу матрицы, то и определить алгебраическое дополнение элемента матрицы, а отсюда, и получить аналитическое представление классической присоединенной матрицы над некоммутативным кольцом в рамках теории любого из определённых выше определителей невозможно.

5 Чтобы получить детерминантное представление обратной матрицы над телом через аналог классической присоединенной матрицы, необходимо построить такой некоммутативный определитель, который, с одной стороны, удовлетворял бы свойство разложения по любой строке или столбцу матрицы и в то же время, как детерминантное отображение, удовлетворял бы аксиомы 1, 2, 3 определения 1.1.1.

ТЕОРИЯ СТОЛБЦОВЫХ И СТРОЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

НАД ТЕЛОМ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

2.1. Определение основного тела Определение 2.1.1. Отображение кольца K в себя называется инволюцией, если ( x + y ) = x + y, (x y ) = y x, x = x.

Пусть F - произвольное поле, A - векторное пространство ненулевой размерности над F.

Определение 2.1.2. Отображение f : A A F называется билинейной формой, если для произвольных x, x, y, y A и F выполняются следующие условия:

Определение 2.1.3. Билинейная форма f : A A F называется симметричной, если f (x, y ) = f ( y, x ) для произвольных x, y A.

Определение 2.1.4. Симметричная билинейная форма f : A A F называется невырожденной, если из того, что f (a, x ) = 0 для произвольного a A следует, что a = 0, и вырожденной в противном случае.

Определение 2.1.5. Отображение n : A F называется квадратичной формой, если 2) функция f (x, y ) = n(x + y ) n(x ) n( y ) является билинейной формой на A.

Определение 2.1.6. Квадратичная форма n(x ) называется невырожденной, если невырождена соответствующая ей симметричная билинейная форма, и вырожденной в противном случае.

Определение 2.1.7. Алгебра A с единицей 1 над полем F характеристики, которая не равняется 2, называется композиционной, если на векторном пространстве A определена невырожденная квадратичная форма n(x) : A F, которая удовлетворяет следующие два условий.

1) Она индуктирует невырожденную симметричную билинейную форму n(x, y ) := n(x + y ) n(x ) n( y ), т.е. определяет изоморфизм A A = Hom F ( A, F ), где Hom F ( A, F ) - группа гомоморфизмов из A в F.

Квадратичная форма n(x) допускает композицию Определение 2.1.8. F -алгебра A с единицей 1 называется квадратичной над F, если каждый элемент x A удовлетворяет равенство где t (x ) - линейная форма на A со значением в поле F. Если x F, то равенство (2.1) однозначно определяет формы t ( x ) и n( x ). При F положим по определению t ( ) = 2, n( ) = 2. Элементы n(x ) и t (x ) называют, соответственно, нормой и следом элемента x.

Утверждение 2.1.1. [7, 35] Линейное отображение кольца A x x = t (x ) x является инволюцией, которая оставляет неподвижными элементы поля F.

При этом элемент x A будем называть сопряжённым к элементу Определение 2.1.9. Алгебра A называется альтернативной, если для произвольных x, y со A справедливы равенства x 2 y = x(xy ), yx 2 = ( yx )x.

Утверждение 2.1.2. [7, 58] Произвольная композиционная алгебра A альтернативная и квадратичная.

Правильными являются и обратные утверждения.

Утверждение 2.1.3. [7, 58] Если A - альтернативная F -алгебра с единицей 1 и инволюцией x x квадратичная форма n(x ) удовлетворяет равенство (2.1).

Утверждение 2.1.4. [7, 58] Пусть A простая квадратичная альтернативная F -алгебра, которая содержит хотя бы три элемента. Тогда или A - композиционная алгебра, или A - некоторое поле характеристики 2.

Определение 2.1.10. Композиционная алгебра A называется расщепляемой, если в ней выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

3) A содержит нетривиальный идемпотент, т.е., такой элемент Поскольку, ассоциативная алгебра является альтернативной, то очевидным следствием утверждений 2.1.3, 2.1.4 и определения 2.1.10 есть следующее утверждение.

Утверждение 2.1.5. Пусть тело S как ассоциативная алгебра с делением над своим центром F - полем нулевой характеристики владеет инволюцией x x такой, что t (x) F и n(x) F для всех x S, тогда S является нерасщепляемой композиционной алгеброй.

Главной в теории композиционных алгебр является теорема Гурвица.

Теорема 2.1.1. (Гурвица) Конечномерная композиционная алгебра имеет размерности 1, 2, 4 или 8 над полем F.

Для описания всех композиционных алгебр воспользуемся процессом Кели-Диксона. Пусть A - алгебра над полем F с единицей 1 и инволюцией a a такой, что a + a F, a a F для произвольного a A. Зафиксируем F, 0, и определим на векторном пространстве A A операцию умножения:

Полученную алгебру ( A, ) называют алгеброй, которая получается из алгебры A с помощью процесса Кели – Диксона. Очевидно, что A изоморфно вкладывается в ( A, ) и dim ( A, ) = 2 dim A. Пусть v = (0, 1), отображение x x являются инволюцией алгебры ( A, ), которая продолжает инволюцию a a алгебры A. Если квадратичная форма n(a ) = a a невырожденная на A, то квадратичная форма n( x) = x x невырожденная на ( A, ) ; при этом форма n( x) = x x допускает композицию тогда и только тогда, когда A ассоциативная.

Таким образом, получим [7, 35, 36, 58, 67, 68, 90] следующие примеры композиционных алгебр над полем F :

1. F - поле характеристики, которая не равняется 2.

2. C ( ) = (F, ), 0. Если многочлен x 2 неприводимый над F, тогда C ( ) - поле; в противоположном случае C ( ) ~ F F.

3. H (, ) = (C ( ), ), 0 - алгебре обобщенных кватернионов. Эта алгебра ассоциативная, но некоммутативная.

4. О (,, ) = ( H (, ), ), 0 - алгебре Кели - Диксона. Эта алгебра уже неассоциативная, поэтому на ней индуктивный процесс построения композиционных алгебр завершается.

Поскольку, в дальнейшем всюду в работе алгебра A рассматривается как тело S с инволюцией, а его центр Z ( S ) = F - поле нулевой характеристики, то вследствие утверждения 2.1.5 получим следующие примеры композиционных алгебр.

1. Поле F.

2. C ( ) = (F, ), 0, - алгебра, которая получается из алгебры F с помощью процесса Кели – Диксона, при условии, что многочлен x 2 неприводимый над F. Тогда C ( ) - поле.

H (, ) = (C ( ), ), - алгебра обобщенных кватернионов или как принято в англоязычной литературе кватернионовая алгебра (the quaternion algebra), при условии, что 0, 0 берутся такими, чтобы выполнялось условие ее нерасщепляемости. Эта алгебра ассоциативная, но некоммутативная. Будем обозначать ее.

В общем, рассматриваемую F -алгебру S можно определить как алгебру образованную генераторами i та j, которые связанны соотношениями:

И эта алгебра есть множество всех возможных выражений вида Если = = 0, тогда dim F S = 1 и в каноническом базисе пространства S, которое в этом случае совпадает с полем F, форма n(x ) = x0. Если 0 и = 0, тогда dim F S = 2 и норма n(x ) в пространстве S C ( ) принимает вид n(x ) = x0 x12. Если 0 и 0, тогда dim F S = 4 и норма n(x ) в пространстве S, которое в этом случае является кватернионовой алгеброй, принимает вид Таким образом, единственным примером некоммутативной ассоциативной композиционной алгебры, которая рассматривается в работе, является кватернионовая алгебра (the quaternion algebra) с учетом условия ее нерасщепляемости. С другой стороны подтверждением этому есть следующая теорема.

Теорема 2.1.2. [72] Кватернионовая алгебра является телом тогда n(x) :

q2 : V2 F будем называть изометрическими, если существует изоморфизм : V1 V2 такой, что q2 ( (x )) = q1 (x ) для всех x V1. Отображение называется изометрией.

ются изоморфными тогда и только тогда, когда нормы в этих алгебрах являются изометрическими квадратичными формами.

В зависимости от выбора поля F и элементов и на множестве всех кватернионовых алгебр являются возможными два случая [42, 43, 53, 71, 72, 87, 91, 92]:

полем F. В этом случае кватернионовая алгебра расщепляемая.

Рассмотрим некоторые примеры [72] кватернионовых алгебр в зависимости от выбора поля F.

изоморфной M 2 C для всех ненулевых, C. Таким образом, алгебра - всегда расщепляемая.

Пусть R - поле действительных чисел. Алгебра являетR Пусть Fn - конечное поле, которое содержит n элементов. Алгебра 4. Пусть Q - поле рациональных чисел. Существует бесконечно много неизоморфных кватернионовых алгебр. При усQ ловии < 0 и < 0, (но не только), эти алгебры являются телами.

5. Пусть Q p - поле p -адических чисел, где p простое число. Для каждого простого числа p существует единственная кватернионовая алгебра, но только в случае p = 2 эта алгебра является алгеброй с делением.

Пусть K - поле алгебраических чисел. Существует бесконечно много неизоморфных кватернионовых алгебр над полем K.

Среди них есть как расщепляемые алгебры, так и алгебры с делением.

Все полученные результаты диссертационной работы, кроме теоремы 3.5.2, являются справедливыми для всех обозначенных нерасщепляемых кватернионовых алгебр. В теореме 3.5.2 требуется, чтобы поле F было максимальным упорядоченным полем. Поэтому, в частности, эта теорема не выполняется для, поскольку поле рациональQ ных чисел Q вместе со своим произвольным элементом в общем не содержит и его квадратный корень.

2.2. Определение строчных и столбцовых определителей Определение 2.2.1. Пусть S n - симметричная группа на множестве I n = {1,2,..., n}. Будем говорить, что подстановка S n записана прямым произведением независимых циклов, если ее запись в обычной двухрядной форме отвечает ее разложению в независимые циклы, т.е., Определение 2.2.2. Будем говорить, что представление подстановки S n произведением независимых циклов является упорядоченным слева, если элементы, которые замыкают каждый из ее независимых циклов, записываются первыми слева в каждом из циклов. Это означает, что когда запись подстановки прямым произведением независимых циклов имеет вид (2.2), то ее упорядоченное слева разложение в независимые циклы записывается в виде Определение 2.2.3. Будем говорить, что представление подстановки S n произведением независимых циклов является упорядоченным справа, если элементы, которые замыкают каждый из ее независимых циклов, записываются первыми справа в каждом из циклов, соответственно. Это означает, что когда запись подстановки прямым произведением независимых циклов имеет вид (2.2), то ее упорядоченное справа разложение в независимые циклы записывается в виде Определение 2.2.4. Строчным определителем по i -й строке квадnn ратной матрицы A = aij над телом S, (обозначим его rdeti A для произвольного i = 1, n ), будем называть альтернированную сумма n! мономов, - всех возможных произведений элементов матрицы A взятых по одному с каждой строки и столбца, и упорядоченных таким образом, что подстановка S n индексов элементов каждого монома в обычной форме записана прямым произведением независимых циклов. И если подстановка чётная, то моном берется со знаком “плюс”, а если нечётная - то с “минус”. Таким образом, rdeti A = Здесь S n - симметричная группа на множестве I n = {,2,K, n} и упорядоченная слева нормальная форма подстановки имеет вид При этом первый слева цикл начинает слева индексом i, а все следующие независимые циклы удовлетворяют условие:

для всех t = 2, r и s = 1,lt.

Определение 2.2.5. Пусть Ri j - сумма, которую получим, вынося из (n 1)! соответствующих мономов строчного определителя rdeti A матрицы A M ( n, S ) общий множитель ai j, размещенный в каждом из них первым слева, и будем называть ее правым алгебраическим дополнением элемента ai j. Тогда Будем использовать следующие обозначения. Пусть Ai j - подматрица матрицы A, которую получим, вычеркнув ее i -ю строку и j -й столбец. Обозначим через a. j - j -й столбец, а через ai. - i -ю строку матрицы A. И пусть A. j (b) - матрица, которую получим из матрицы A заменой ее j -го столбца столбцом b, а Ai.(b) - матрица, которую получим из матрицы A, заменив ее i -ю строку строкой b.

В следующей лемме строчный определитель rdet i A для всех i = 1, n разлагается по элементам i -й строки, кроме того вычисление строчного определителя квадратной матрицы n -го порядка над телом S сводится к вычислению строчного определителя матрицы на порядок ниже.

Лемма 2.2.1. Пусть Ri j - правое алгебраическое дополнение элемента ai j матрицы A M ( n, S ), тогда где матрица A. j a. i получается с A последовательным применением замены ее j -го столбца i -м и вычёркивания i -х строки и столбца, k = min{I n \ {i}}.

k = min{I n \ {i}}.

Если i = 1, тогда rdet1 A = a11 R11+ a12 R12 +K + a1n R1n. Рассмотрим те мономы определителя rdet 1A, которые начинаются слева множителем a11, а именно знак суммы, получим где 1 = 2 ik2 K ik2 + l2 K ikr ikr +1K ikr + lr - подстановки из r 1 независимых циклов. Здесь S n 1 симметричная группа на множестве I n \ {1}.

Количество множителей в каждом мономе суммы и количество независимых циклов уменьшились на единицу. Поскольку каждый моном начинается из элемента второй строки и среди его множителей отсутствуют элементы первой строки и первого столбца матрицы A, то Пусть теперь i 1, тогда Рассмотрим те мономы определителя rdet i A, которые начинаются слева множителем aii.

циклов для всех r = 2, n.

Снова вынося общий множитель ai i слева по знак суммы, получим где 1 = 1ik 2 Kik 2 + l 2 K ik r ik r +1 Kik r + l r - подстановки из r 1 независимых циклов. Здесь S n 1 - симметричная группа на множестве I n \ {i}.

Количество множителей в каждом мономе суммы и количество независимых циклов снова уменьшились на единицу. Каждый из мономов начинается из элемента первой строки, а среди его множителей отсутствуют элементы i -го строки и i -го столбца матрицы A, поэтому Объединив выражения (2.6) и (2.8), получим k = min{I n \ {i}}.

Пусть теперь i j. Докажем, что Rij = rdet j Ai.ij a.i. Рассмотрим те мономы определителя rdet i A в формуле (2.7), которые начинаются слева множителем ai j, где j I n \ {}.

тогда где 1 = j ik1 Kik1 + l1 K ik r ik r +1 Kik r + l r r независимых циклов для всех r = 1, n 1. Количество множителей в каждом мономе суммы уменьшилась на единицу. Среди элементов подстановки каждого из мономов отсутствует индекс i. И эта подстановка в силу (2.9) удовлетворяет условия (2.3)-(2.4) для строчного определителя по j -й строке матрицы A. j a. i, которую получим из матрицы A, сначала заменив ее j -и столбец i -м, а потом вычеркнув i -е строку и столбец.

Т.е., Поэтому, Rij = rdet j Ai.ij a.i, если i j.

Лемма доказана.

Определение 2.2.6. Столбцовым определителем по j -му столбцу для произвольного j = 1, n ), будем называть альтернированную сумму n! мономов, - всех возможных произведений элементов матрицы A взятых по одному с каждой строки и столбца и упорядоченных таким образом, что подстановка S n индексов элементов каждого монома в обычной форме записана прямым произведением независимых циклов.

И если подстановка парная, то моном берется со знаком “плюс”, а если непарная - то с “минус”. Таким образом, Здесь S n - симметричная группа на множестве J n = {,2,K, n} и упорядоченная справа нормальная форма подстановки имеет вид При этом первый справа цикл начинается справа индексом j, а все следующие независимые циклы удовлетворяют условия:

Определение 2.2.7. Пусть Li j - сумма, которую получим, вынося направо из (n 1)! соответствующих мономов столбцового определителя cdet j A матрицы A M ( n, S ) общий множитель ai j, размещенный в каждом из них первым справа, и будем называть ее левым алгебраическим дополнением элемента ai j. Тогда, Справедливой является следующая лемма, которая дает возможность раскладывать столбцовый определитель cdet j A по элементами j -й строки, а также вычислять столбцовый определитель квадратной матрицы n -го порядка над телом S через столбцовый определитель матрицы на порядок ниже.

Лемма 2.2.2. Пусть Li j - левое алгебраическое дополнение элемента ai j матрицы A M (n, S ), тогда где матрица Aijj a j. получается из матрицы A последовательным применением замены ее i -й строки j -й и вычеркивания j -х строки и столбца, k = min{J n \ { j}}.

Доказательство аналогично доказательству леммы 2.2.1.

Замечание 2.2.1. Особенностью столбцовых определителей является то, что при непосредственном их вычислении множители каждого из мономов записываются справа налево.

Замечание 2.2.2. Очевидно, что каждому моному любого определённого выше столбцового или строчного определителя квадратной матрицы над телом S отвечает моном любого другого определителя, столбцового или строчного, этой же матрицы такой, что оба они имеют одинаковый знак и являются произведением таких же самых множителей, - элементов матрицы, а отличаются только порядком их размещения. И, если элементы матрицы коммутируют, тогда все столбцовые и строчные определители квадратной матрицы равны между собой.

2.3. Алгебра матриц над телом. Свойства транспонированной и сопряжённой матриц Для матриц над телом S по теми же правилами, что и для комплексных [6, 32-34, 38, 40], вводятся операции суммы и произведения матриц.

Также обычным образом вводятся операции левого и правого произведения элемента тела на матрицу. Множество квадратных матриц n -го порядка над телом S образует некоммутативное кольцо M ( n, S ) с единицей I, где {0,1} F.

Аналогично комплексному случаю [6, 32-34, 38, 40] вводятся также понятия транспонированной и сопряжённой матриц над телом S и находятся их основные свойства.

Определение 2.3.1. Пусть A = aij j = 1, m. Транспонированной к A назовем матрицу AT = aji, где a ji = aij.

Лемма 2.3.1. Пусть A и B - произвольные матрицы над телом S, тогда Доказательство аналогично доказательству подобных свойств транспонированной матрицы над комплексным полем С [6, 32-32, 38, 40].

Определение 2.3.2. Сопряжённой к матрице A = aij, где для всех i = 1, n и j = 1, m.

Лемма 2.3.2. Пусть A и B - произвольные матрицы над телом S, тогда г) Пусть A = aij Доказательство также аналогично доказательству подобных свойств сопряжённой матрицы над полем комплексных чисел [6, 32-32, 38, 40].

Замечание 2.3.1. Свойство произведения транспонированных матриц, а именно ( AB)T = BT AT, в случае матриц над телом вследствие некоммутативности элементов матриц в общем случае не имеет места.

Элементы алгебры матриц над телом кватернионов рассматривались во многих роботах, в частности в [46, 47, 52, 54, 60, 69, 70, 73, 88, 89, 93, 94, 95] 2.4. Общие свойства столбцовых и строчных определителей Рассмотрим основные свойства столбцовых и строчных определителей произвольной квадратной матрицы над телом S.

Теорема 2.4.1. Если одна из строк (столбцов) матрицы A M ( n, S ) состоит из нулей, то любой строчный определитель и любой столбцовый определитель такой матрицы равняется нулю, то есть для всех i = 1, n получим rdeti A = 0 и cdeti A = 0.

Доказательство. Пусть все элементы некоторой k -й строки ( k -го столбца) матрицы A равняются нулю для произвольного k I n. Поскольку, в каждый из мономов любого столбцового или строчного определителя матрицы A входит множителем некоторый элемент k -й строки ( k -го столбца ), то каждый моном равняется нулю и, итак, все строчные и столбцовые определители также равняются нулю.

Теорема доказана.

Теорема 2.4.2. Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы A M ( n, S ) умножить на произвольный элемент поля F, то строчный определитель по любой строке и столбцовый определитель по любому столбцу матрицы A умножается на.

Доказательство. Пусть A l. (a l. ) - матрица, которую получим из матрицы A, умножив все элементы ее l -й строки, для некоторого l I n, на произвольный элемент поля F. Поскольку, в каждый из мономов любого столбцового или строчного определителя матрицы A l. (a l. ) входит множитель alk, для некоторого k J n, а элемент поля F коммутирует, то можем его вынести по знак суммы. Поэтому для всех i = 1, n, получим Аналогично, рассматривается и случай, когда все элементы любого столбца матрицы A умножаются на произвольный элемент поля F.

Теорема доказана.

Теорема 2.4.3. Если A i. (b a i. ) - матрица, которую получим из квадратной матрицы A M ( n, S ), умножив слева ее i -ю строку (для произi I n ), на произвольный элемент Доказательство. Пусть матрица Ai.(b ai.) для произвольного i I n получается из матрицы A, если все элементы ее i -й строки умножаются слева на произвольный элемент b тела S, тогда Теорема доказана.

Теорема 2.4.4. Если A. j a. j b - матрица, которую получим из матрицы A M ( n, S ), умножив ее j -й столбец справа на произвольный элемент b тела S, тогда cdet j A. j a. j b = cdet j A b для всех j = 1, n.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4.3.

Теорема 2.4.5. Если все элементы i -й строки матрицы A M ( n, S ) представляются в виде суммы двух слагаемых aij = b j + c j, b j, c j S, для всех j = 1, n, тогда строчный определитель по любой строке (столбцовый определитель по любому столбцу) матрицы A равняется сумме двух строчных определителей по этой же строке (столбцовых определителей по тому же столбцу ) матриц, в которых все строки, кроме i -й, такие же как и в матрице A, а i -я строка в одной матрице состоит из элементов b j, а во второй - из элементов c j для всех Доказательство. Рассмотрим строчный определитель матрицы A по произвольной l -й строке для некоторого l I n. Каждый моном определителя rdetl A вследствие дистрибутивности можно представить в виде:

где {l, lk } I n для всех k = 1, n. Собирая вместе первые слагаемые этих сумм (с теми же знаками, что и соответствующие мономы определителя rdetl A ), получим строчный определитель по l -й строке матрицы, которая получается из матрицы A заменой ее i -й строки строкой b = (b1,K, bn ). Соответственно, вторые слагаемые образуют определитель по l -й строке матрицы, которая получается из матрицы A заменой ее i -й строки строкой c = (c1,K, cn ).

Итак, для произвольного l I n имеем где b = (b1,K,bn ), c = (c1,K, cn ).

Аналогично, можно доказать и для столбцового определителя по любому столбцу матрицы.

Теорема доказана.

aij = bi + ci,{bi, ci } S для всех i = 1, n, тогда строчный определитель по любой строке (столбцовый определитель по любому столбцу) матрицы A равняется сумме двух строчных определителей по той же строке (столбцовых определителей по тому же столбцу) матриц, в которых все столбцы, кроме j -го, такие же, как и в матрице A, а j -й столбец в одной матрице состоит из элементов bi, а во второй - из элементов ci для всех i = 1, n.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4.5.

Теорема 2.4.7. Если матрица A M ( n, S ) - нижняя квазитреугольная где A1k ) - матрица k -го порядка, а A (n k ) - матрица (n k ) -го порядi = 1, k множитель подстановки, в котором i1 является первым слева элементом цикла, который замыкает его. Обозначим также произведение, индексы которых образуют циклический множитель ai1i2 ai2i3 K ais i1 =: 1 (i1 ), тогда где {i, s,K, t} In, r - количество циклов в мономе.

Обозначим через L := {1,K, k } I n, M := {k + 1,K, n} I n подмножества множества индексов I n. По условию леммы alm = 0 для всех l L и m M. Из этого следует, что если пара индексов l m именно в такой последовательности войдет в один из циклических множителей, то соответствующий моном строчного определителя rdeti A будет равняться нулю. В свою очередь, вхождение пары m l в один из циклических множителей с необходимостью приводит к существованию последовательной пары l1m1, (где l1 L, m1 M ), в этом же циклическом множителе, который снова приводит к вырожденности соответствующего монома.

Таким образом, индексы из множеств L и M каждого из невырожденных мономов строчного определителя rdeti A размещаются в разных циклических множителях и по определению 2.2.5, получим t + p = r и l1 < K < lt 1 k, k + 1 < m1 < K < m p 1 n. Здесь S k - симметричная группа на множестве {1,K, k }, а через S n k обозначим симметричную группу на множестве индексов {k + 1,K, n}. При этом Положим a k + k + =: a, где a - элементы квадратной матрицы A (n k ) для всех, I n k = {,K\, n-k }. И обозначим 1 (k + 1) =: 1 (1), 2 (m1 ) =: 2 (m1 k ),…, p m p 1 =: p m p 1 k, где i ( ) - циклический множитель подстановки, которую образуют индексы монома строчного определителя rdet1 A (n k ) для произвольных I nk и i = 1, p. Отсюда, Здесь S n k симметричная группа на множестве {,K, n k }.

Теорема доказана.

Теорема 2.4.8. Если матрица A M ( n, S ) - верхняя квазитреугольная где A1k ) - матрица k -го порядка, а A (n k ) - матрица n k -го порядка, тогда сdeti A = сdet1 A (n k ) сdeti A1k ) для всех i = 1, k.

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 2.4.7.

Теорема 2.4.9. Если P(i, j ) - матрица перестановок, которая получается из единичной матрицы I перестановкой ее произвольной i -й строки с ее j -й строкой и A M ( n, S ), тогда Доказательство. По определению 2.2.4 для произвольного строчного определителя rdet i A = Матрица P(i, j ) A P T (i, j ) - это матрица, которая получается из квадратной матрицы A над телом S перестановкой ее i -й строки с ее j -й строкой и ее i -го столбца с ее j -м столбцом. Тогда по определению 2.2.4, получим, Аналогично, можно показать, что cdeti P(i, j ) A PT (i, j ) = cdet j A, непосредственно используя в этом случае определение столбцового определителя 2.2.5.

Теорема доказана.

Теорема 2.4.10. Если A M ( n, S ) и A - матрица сопряжённая с A, тогда cdeti A = rdeti A.

ном d столбцового определителя cdeti A для некоторого i = 1, n. Поскольку, bi j = a j i, то по определению следа элемента тела S, получим, Здесь d1 является некоторым мономом строчного определителя rdeti A. Поскольку, количество мономов определителя cdeti A совпадает с количеством мономов определителя rdeti A, то каждому моному столбцового определителя cdeti A однозначно отвечает моном определителя rdeti A. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Замечание 2.4.1. Теоремы 2.4.5 и 2.4.6 утверждают, что все столбцовые и строчные определители произвольной квадратной матрицы над телом S удовлетворяют аксиому 3.

Замечание 2.4.2. В силу невыполнения для столбцовых и строчных определителей произвольной квадратной матрицы над телом S аксиомы 1 необходимой, согласно [49], для корректного определения некоммутативного определителя, а также так как эти матричные функционалы определены подобно определителю комплексной матрицы будем рассматривать их как пред-определители.

2.5. Определитель эрмитовой матрицы Определение 2.5.1. Квадратную матрицу A = aij для всех i, j = 1, n, назовем эрмитовой, если она совпадает со своей сопряжённой, A = A.

Лемма 2.5.1. Пусть Tn - сумма 2n возможных произведений, каждый из n множителей которых является или hi S, или hi, (i = 1, n), причём возрастание индекса i внутри каждого произведения сохраняTn = h1 h2 K hn + h1 h2 K hn + K + h1 h2 K hn.

Tn = t (h1) t (h2 ) K t (hn ).

Доказательство. Количество 2 n слагаемых суммы определяется как число упорядоченных комбинаций из n элементов, каждый из которых может принимать два значения.

Доказательство проводим методом индукции по n.

1) Пусть n = 1, тогда T1 = h1 + h1 = t (h1).

2) Пусть утверждение верно для n 1 :

3) Покажем, что оно справедливо и при n.

Сгруппируем слагаемые суммы Tn и вынесем справа общие множители hn и hn, тогда Лемма доказана.

Доказательство. Раскроем следы элементов согласно определению 2.1.2.

Лемма доказана.

Теорема 2.5.1. Если A M ( n, S ) - эрмитовая матрица, тогда Доказательство. Заметим [34, 40], что у эрмитовой матрицы A над телом S элементы главной диагонали являются элементами поля, aii F для всех i = 1, n, а элементы симметричные относительно главной диагонали сопряжены, aij = a ji для всех i, j = 1, n.

Рассмотрим произвольный строчный определитель матрицы A, rdeti A. Разобьем множество мономов определителя rdeti A на два подмножества. К первому подмножеству отнесем те мономы, индексы множителей которых составляют подстановки, содержащие независимые циклы не больше второго порядка. Ко второму подмножеству отнесем те мономы, индексы множителей которых составляют подстановки, содержащие хотя бы один независимый цикл более, чем второго порядка.

Множители, индексы которых образуют циклы первого порядка - это элементы главной диагонали эрмитовой матрицы, а, по определению, они являются элементами поля F. Элементы матрицы, индексы произведения которых образуют цикл второго порядка, сопряжены:

aik ik +1 = aik +1ik, и их произведение равняется норме элемента тела, а потому принадлежит полю:

Таким образом, все мономы первого подмножества, как произведения элементов поля F, принадлежат ему.

Рассмотрим теперь произвольный моном d второго подмножества.

Пусть индексы его множителей составляют подстановку, которая содержит r независимых циклов и обозначим ik1 := i, тогда Очевидно, что если ls = 0, то hs = aik ik F, а когда ls = 1, то вольного s = 1, r, то получим моном первого подмножества. Пусть хотя Индексы элементов матрицы A в мономе d образуют подстановку, которая согласно определению строчного определителя в обычной s ik s := ik s ik s +1 Kik s + l s независимый цикл, который образуют индекhs.

1 iks = iks iks +ls Kiks +1 - независимый цикл, обратный к s ik s, и которому отвечает множитель hs. На множестве всех мономов определителя rdeti A, индексы которых образуют подстановки в обычной форме записанные прямым произведением независимых циклов s ik s или 1 ik s, сохраняя их последовательность по s от 1 к r, а в норs мальной форме - упорядочены слева согласно формул (2.2)-(2.3), найдутся еще 2 p 1 таких мономов, (где p = r, а - количество циклов первого и второго порядка), что их сумма C1, - этих мономов вместе с d, по лемме 2.5.1 равняется где F - произведение множителей, индексы которых составляют подстановки первого и второго порядка, и k {1,K, r} для всех k = 1, p.

Таким образом, для произвольного монома второго подмножества определителя rdeti A среди других его мономов можем выбрать еще 2 p 1 таких, что их сумма вместе с выбранным мономом принадлежит полю F, а потому и строчный определитель rdeti A, - как сумма всех мономов первого и второго подмножеств, также принимает значение в поле F, rdeti A F.

Докажем равенство между собой всех строчных определителей матрицы A. Рассмотрим произвольный rdet j A такой, что j i для произвольного j = 1, n. Снова разобьем множество мономов определителя rdet j A на две подмножества по тому же правилу, что и для rdeti A.

Поскольку, мономы первого подмножества являются произведениями множителей – элементов поля, которые коммутируют, то каждому моному первого подмножества строчного определителя rdeti A отвечает равный ему моном первого подмножества строчного определителя rdet j A.

Среди мономов второго подмножества определителя rdet j A таких, что индексы их множителей составляют подстановки с r независимыми циклами, можно найти один такой моном d1, который состоит из тех же множителей что и d, но размещенных в другом порядке. Рассмотрим все возможные случаи размещения множителей в мономе d1.

1. Если индексы его множителей составляют подстановку из таких же r независимых циклов, отличающуюся от подстановки монома d только порядком размещения циклов, тогда где {µ,K, } = {1,K, p }. Среди мономов второго подмножества определителя rdet j A найдутся еще 2 p 1 таких, что каждый из них является произведениями скалярного множителя ( 1 )n r на все множители вида hs или hs, где s {µ,K, }, и для суммы C2, - этих мономов вместе с d1, по лемме 2.5.1 получим 2. Если индексы множителей монома d1 составляют подстановку из тех же r независимых циклов, но отличающуюся от подстановки монома d не только порядком размещения циклов, но и тем, что индекс j содержится в середине некоторого цикла подстановки индексов монома d. Пусть j m ik m и положим j := ik m + q, тогда моном d1 можно записать в следующем виде Каждому множителю hµ,K, h монома d1 из формулы (2.12), кроме равный ему множитель из множества h1,K, h p монома d из формулы Поскольку, по лемме 2.5.2 имеем равенство следов тогда для суммы C2 всех 2 p возможных мономов аналогично предыдущему случаю по лемме 2.5.1 получим 3. Если в отличие от случая 1 моном d1 отличается от d не только порядком размещения циклов, но и тем, что индекс i не начинает один из циклов подстановки индексов его элементов, тогда применим лемму 2.5.2 к произведению элементов этого цикла. И, аналогично предыдущему, среди мономов второго подмножества определителя rdet j A, обнаружатся 2 p таких, что их сумме по лемме 2.5.1 будет отвечать равная ей сумма 2 p соответствующих мономов определителя rdeti A.

Очевидно, что к этому же выводу мы придем и при объединении двух предыдущих случаев, тогда лемму 2.5.2 применим дважды.

Итак, в любом случае каждой сумме 2 p соответствующих мономов второго подмножества определителя rdet j A отвечает равная ей сумма 2 p мономов определителя rdeti A, где p - количество циклов более, чем второго порядка в каждом из мономов. Кроме того, значение такой суммы принадлежит полю F.

Таким образом, rdeti A = rdet j A F для всех i, j = 1, n.

Докажем теперь равенство cdet i A = rdet i A для всех i = 1, n. Снова разобьем множество мономов определителя cdet i A на два подмножества по тому же правилу, что и для rdeti A. Каждому моному первого подмножества определителя cdeti A отвечает такой моном определителя rdeti A, что оба они, как произведения, отличаются только порядком размещения n k одинаковых множителей. Здесь k - количество циклов второго порядка. Цикл второго порядка отвечает произведению сопряжённых элементов, который равняется норме элемента. Поскольку множители мономов, как элементы поля F, коммутируют, то эти мономы равны между собой.

Среди мономов второго подмножества определителя cdet i A таких, что индексы их множителей составляют подстановки с r независимыми циклами, можно найти один такой моном d 2, что он состоит из тех же множителей, что и моном d 2 из формулы (2.11), но их последовательность упорядочена справа согласно определению столбцового определителя.

Пусть - количество циклов первого и второго порядка в подстановке индексов монома и p = r, также обозначим ik1 := i, тогда где - произведение множителей, индексы которых образуют подстановки первого и второго порядка. Тогда для всех s = 1, r имеем Среди мономов второго подмножества рассмотрим еще 2 p 1 мономов, которые имеют тот же знак, что и d 2, и каждый из которых является произведением скалярного множителя ( 1 )n r на каждый из множителей h s или сопряжённого к нему h s для всех s = 1, p, сохраняя их последовательность. Найдем по лемме 2.5.1 сумму C3, - этих мономов вместе с мономом d 2, учитывая коммутативность следов элементов тела.

Итак, каждой сумме 2 p мономов второго подмножества определителя cdeti A отвечает равная ей сумма 2 p мономов определителя rdeti A, и наоборот. И каждая такая сумма C3 F.

Таким образом, cdeti A = rdet i A F для всех i = 1, n.

Теорема доказана.

Замечание 2.5.1. Поскольку, все столбцовые и строчные определители эрмитовой матрицы равны между собой, то для нее можем однозначно ввести понятие определителя матрицы, который будем раскрывать как строчный по любой строке, или как столбцовый по любому A M ( n, S ) - произвольная эрмитовая матрица над телом S.

Замечание 2.5.2. По лемме 2.2.1, раскрывая определитель det A по некоторой k -й строке, получим Сравнивая выражения (1.2) и (2.13) для эрмитовой матрицы A над телом кватернионов и учитывая, что оба они не зависят от индекса k, а также и l (поскольку, A kk - эрмитовая), очевидно, что введенный определитель эрмитовой матрицы совпадает с определителем Мура и является его обобщением в ассоциативной композиционной алгебре S. А множество всех строчных и столбцовых определителей произвольной квадратной матрицы над телом с инволюцией S является полным и естественным обобщением определителя Мура (введенного для эрмитовых матриц) на множестве квадратных матриц над телом S.

2.6. Свойства строчных и столбцовых определителей эрмитовой матрицы над телом с инволюцией Теорема 2.6.1. Пусть P(1,i ) - матрица перестановок, которая получается из единичной матрицы перестановкой ее i -й строки для некоторого i = 2, n с ее первой строкой, и A M ( n, S ) - эрмитовая матрица над телом S. Тогда rdet i (P(1,i ) A ) = det A.

Доказательство. Матрица P(1,i ) A - это матрица, которая получается из эрмитовой матрицы A перестановкой ее i -й строки с ее первой строкой. Обозначим первую и i -ю строку матрицы P(1,i ) A, соответственно как ~1. = a11,K, a1n и ~i. = ai 1,K, ai n. Другие ее строки совa a падают со строками матрицы A.

Будем раскрывать определитель эрмитовой матрицы A, как строчный по первой строке. Рассмотрим произвольный моном d определителя rdet1 A. Пусть индексы его множителей составляют подстановку, которая в обычной форме записана прямым произведением r независимых циклов. Рассмотрим все возможные случаи размещения элемента ее i -й строки, как множителя, в мономе d.

1. Пусть элемент i -й строки расположен в мономе d так, что индекс i находится в том же цикле, что и индекс 1, т.е., где, для всех k = 2, r, h k - произведения множителей, индексы которых образуют другие независимые циклы. Поскольку, по условию, a1i1 = ai i для всех i1 I n и ai is = a1is для всех is I n, то среди мономов определителя rdet i (P (1, i) A ) найдётся такой моном g, что выполняется равенство Моном d противоположный моному g в силу того, что индексы монома g составляют подстановку, которая содержит r + 1 независимый цикл, в то время как моном d содержит r независимых циклов.

2. Пусть теперь элемент i -й строки расположен в мономе d так, что его индекс i начинает независимый цикл, в который не входит индекс 1, т.е., где для всех = 1, и t = 1, p таких, что + p = r 2, u и vt - произведения множителей, индексы которых образуют, соответственно, и p независимых циклов. Или такие произведения могут отсутствовать. Для d на множестве мономов определителя rdet1 A существует следующий моном Обозначим x := a1i1 K aik 1 и y := ai is K ais + m i, тогда сопряжённый к y будет иметь вид y = ai is + m K ais i. Рассмотрим сумму этих мономов:

Среди мономов определителя rdet i (P (1,i ) A ) можно выбрать мономы g и g1 такие, что отвечают мономам d и d1, и индексы которых содержат r 1 независимый цикл.

Тогда получим Итак, в этом случае сумме двух мономов определителя rdet1 A отвечает противоположная к ней по знаку сумма двух соответствующих мономов определителя rdet i (P(1,i) A ).

3. Пусть теперь элемент i -й строки размещенный в мономе d так, что его индекс i входят в иной независимый цикл, чем индекс 1, но не начинает его где для всех = 1, и t = 1, p таких, что + p = r 2, u и vt - произведения множителей, индексы которых образуют и p независимых циклов соответственно. Или такие произведения отсутствуют. Для d на множестве мономов определителя rdet1 A найдём следующий моном := aiq iq +1 K ais i, y := aiq iq +1 K ais i ai i s +1 K aiq 1 iq =, тогда сопряжённый к y будет иметь вид y = aiq iq 1 K ais +1i ai is K aiq +1 iq. Рассмотрим сумму этих мономов:

На множестве мономов определителя rdet i (P( 1,i ) A ) снова можно выбрать мономы g и g1, что отвечают мономам d и d1, индексы которых содержат r 1 независимый цикл.

y1 := a1is +1 K aiq 1 iq aiq iq +1 K ais i, тогда y1 =. Поскольку a1i1 = ai i1, ai is = a1is, ai i s +1 = a1i s +1, тогда y 1 := a1is K aiq +1 iq aiq iq 1 K ais +1 i. Найдем сумму этих мономов C1 = C. Таким образом, возможны два случая: или произвольному моному определителя rdet1 A отвечает противоположный к нему по знаку моном определителя rdet i (P( 1,i ) A ), или паре мономов определителя rdet1 A отвечает такая пара соответствующих мономов определителя rdet i (P( 1,i ) A ), что их суммы будут противоположны по знаку. Тогда и определители rdet1 A и rdet i (P( 1,i ) A ), как суммы таких мономов также отличаются только знаком.

Теорема доказана.

Теорема 2.6.2. Если P(i,1) - матрица перестановок и A M ( n, S ) эрмитовая матрица, тогда cdeti (A P(i,1) ) = det A для всех i = 2, n.

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 2.6.1.

Теорема 2.6.3. Если матрица A j.(ai.) получается из эрмитовой матрицы A M ( n, S ) заменой ее j -го строки - i -м строкой, тогда rdet j A j. (a i. ) = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство. Будем считать, что эрмитовая матрица A имеет порядок выше третьего. Для эрмитовых матриц второго и третьего порядков утверждения теоремы легко получается непосредственной проверкой.

Рассмотрим произвольный моном d определителя rdet j A j.(ai.) для некоторых i, j = 1, n таких, что i j. Пусть индексы его множителей составляют подстановку, которая содержит r независимых циклов и обозначим is := i. Рассмотрим все возможные случаи размещения элемента is -й строки как множитель в мономе d.

1. Пусть элемент is -й строки расположен в мономе d так, что индекс is начинает независимый цикл где для всех = 1, и t = 1, p таких, что + p = r 2, u и vt - произведения множителей, индексы которых образуют, и p независимых циклов соответственно. Или такие произведения могут отсутствовать.

Для d среди мономов определителя rdet j A j.(ai.) найдём еще три следующие мономы Обозначим a j i1 K aik j =: x и ai s i s +1 Kai s + m is =: y, тогда для сопряжённого к y получим y = aisis + m K ais +1is. Учитывая, что по условию теоремы a j i1 = ais i1, a ji s 1 = ai s i s 1, a jis +1 = ais is +1, рассмотрим сумму этих мономов:

Итак, для монома d среди мономов определителя rdet j A j.(ai.) обнаружились еще три таких, что их сумма вместе с d равняется нулю.

В случае, когда в формуле (2.14) m = 0 или m = 1, то, соответственно, получим мономы И для них на множестве мономов определителя rdet j A j.(ai.) найдутся следующие мономы Учитывая, что a j i1 = ais i1, a j is = ais is, a j is +1 = ais is +1 и то, что ai s is F, ais is +1 ais +1is = n ais is +1 F, получим Итак, в этом случае соответствующие пары мономов определителя rdet j A j.(ai.) равняются нулю.

2. Пусть теперь элемент is -й строки расположен в мономе d так, что индекс is входит в другой независимый цикл, чем индекс j, но не начинает его где для всех = 1, и t = 1, p таких, что + p = r 2, u и vt - произведения множителей, индексы которых образуют, соответственно, и p независимых циклов (или такие произведения отсутствуют). Среди мономов rdet j A снова можем выбрать еще три следующие aiq iq+1 K ais 1is ais is +1 K aiq 1iq =: y, Учитывая, что a j i1 = ais i1, a jis 1 = ais is 1, a jis +1 = ais is +1, рассмотрим сумму:

3) Если же в выбранном мономе d индекс is находится в том же цикле, что и индекс j, то d, очевидно, совпадает с одним из следующих мономов: d1, d1, d1, или d1. И как показано выше, для каждого из них на множестве мономов определителя rdet j A j.(ai.) обнаружатся еще один или три таких ему соответствующие, что сумма этой пары или четверки мономов равняется нулю.

rdet j A j. (a i. ) и для каждого из них обнаружился один или три таких соответствующих монома, что сумма этой пары или четверки мономов равняется нулю, тогда rdet j A j. (a i. ) = 0 для некоторых i, j = 1, n таких, Теорема доказана.

Аналогично доказывается и следующая теорема:

Теорема 2.6.4. Если матрица A. i a. j получается из эрмитовой матрицы A M ( n, S ), заменой ее i -го столбца - j -м столбцом, тогда cdeti A.i a. j = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Следствие 2.6.1. Если эрмитовая матрица A M ( n, S ) содержит две одинаковые строки (столбца), тогда det A = 0.

Доказательство. Пусть у эрмитовой матрицы A M ( n, S ) ее i -я строка совпадает с ее j -й строкой, т.е., aik = a jk для всех k I n и {i, j} I n, если i j. Тогда aik = a jk. А это означает, что aki = akj для всех k I n и {i, j} I n, когда i j, поскольку матрица A - эрмитовая.

Т.е., если у эрмитовой матрицы совпадают два ее строки, тогда также совпадают два ее соответствующие, - с теми же индексами, столбцы.

Матрицу A можно представить также, как A j. (a i. ), - матрицу, которую получим из матрицы A заменой ее j -й строки - i -й строкой. Тогда в силу теоремы 2.5. 3 и рассматривая определитель эрмитовой матрицы det A = rdeti A = rdeti A j. (a i. ) = 0.

Следствие доказано.

Теорема 2.6.5. Если Ai. b a j. - матрица, которую получим из эрмитовой матрицы A M ( n, S ), заменив ее i -ю строку ее j -й строкой умноженной слева на элемент b тела S, тогда rdet i A i. b a j. = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство. По теореме 2.4.3 для всех i, j = 1, n таких, что i j, rdeti A i. a j. = 0, как определитель по i -й строке матрицы A i. a j., которую получили с эрмитовой, заменив ее i -ю строку - j -й строкой.

Теорема доказана.

cdet j A. j a.i b = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 2.6.5, опираясь на теоремы 2.4.4 и 2.6.4.

Рассмотрим произвольный моном d определителя rdet j A. j a.i b для некоторых i, j = 1, n таких, что i j. Пусть индексы его множителей составляют подстановку, которая содержит r независимых циклов и обозначим is := i. Рассмотрим все возможные случаи размещения элемента is -й строки, как множителя в мономе d.

1. Пусть элемент is -й строки расположены в мономе d так, что индекс is начинает независимый цикл где для всех = 1, и t = 1, p таких, что + p = r 2, u и vt - произведения множителей, индексы которых образуют, соответственно, и p независимых циклов (или такие произведения могут быть отсутствуют).

Для d среди мономов определителя rdet j A j.(ai.) обнаружатся еще три следующих монома Обозначим a j i1 K aik j =: x и ai s i s +1 K ai s + m is =: y, тогда сопряжённый к y имеет вид y = aisis + m K ais +1is. Учитывая, что по условию теоремы aik j = aik is, ai s + m j = ai s + m is, ais +1 j = ais +1is, рассмотрим сумму этих мономов rdet j A. j a.i b нашлись еще три таких, что их сумма вместе с d равняется нулю.

В случае, когда в формуле (2.15) m = 0 или m = 1, то, соответственно, получим мономы И для них на множестве мономов определителя rdet j A. j a.i b найдём следующие мономы Учитывая, что aik j = aik is, ais j = ais is, ais +1 j = ais +1is и то, что ai s is F, ais is +1 ais +1is = n ais is +1 F, получим Итак, в этом случае соответствующие пары мономов определителя rdet j A. j a.i b равняются нулю.

2. Пусть теперь элемент is -й строки расположены в мономе d так, что индекс is входит в другой независимый цикл, чем индекс j, но не начинает его где для всех = 1, и t = 1, p таких, что + p = r 2, u и vt - произведения множителей, индексы которых образуют, соответственно, і p независимых циклов. Или такие произведения могут отсутствовать.

Среди мономов rdet j A. j a.i b снова можем выбрать еще три следующие ai s is 1 K aiq +1iq = и aiq iq 1 K ais +1i s =. Учитывая, что по условию теоремы aik j = aik is, ai s 1 j = ais 1i s, ais +1 j = ais +1is, найдем сумму этих мономов в) Если же в выбранном мономе d индекс is находится в том же цикле, что и индекс j, тогда d представляется в виде d 2 или d 3, d или d 3, и или d1, или d1. И как показано выше, для каждого из них на множестве мономов определителя rdet j A. j a.i b обнаружатся еще один или три таких ему соответствующие, что сумма такой пары или четверки мономов равняется нулю.

Поскольку, мы рассмотрели все возможные, в зависимости от размещения элемента i -й строки, типы монома d определителя rdet j A. j a.i b и для каждого из них существует один или три таких соответствующих монома, что сумма этой пары или четверки мономов равняется нулю, тогда rdet j A. j a.i b = 0 для всех i, j = 1, n таких, что Теорема доказана.

Следствие 2.6.2. Если матрица A. j a.i получается из эрмитовой матрицы A M ( n, S ) заменой ее i -го столбца ее j -м столбцом, тогда rdet j A. j a.i = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство следствия, очевидно, вытекает из теоремы 2.6.7, положив b = 1.

Теорема 2.6.8. Если Ai. b a j. - матрица, которую получим из эрмитовой матрицы A, заменив ее i -ю строку j -й строкой умноженной слева на произвольный элемент b тела S, тогда сdeti A i. b a j. = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 2.6.7.

Следствие 2.6.3. Если матрица A i. a j. получается из эрмитовой матрицы A M ( n, S ) заменой ее i -й строки j -м строкой, тогда сdeti A i. a j. = 0 для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство следствия, очевидно, следует из теоремы 2.6.8, положив b = 1.

Лемма 2.6.1. Если A.i a.i b - матрица, которую получим из эрмитовой матрицы A M ( n, S ), умножив справа ее i -й столбец на произвольный элемент b тела S, тогда для произвольного i = 1, n получим Доказательство. Рассмотрим произвольный моном d строчного определителя rdeti A.i a.i b для произвольного i = 1, n, где A.i a.i b матрица, которую получим из эрмитовой матрицы умножив ее i -й столбец справа на произвольный элемент b тела S. Обозначим ik1 := i.

где hs = aik ik +1 K aik + l ik для всех s = 1, r.

тогда hs = aik ik F. Пусть хотя бы при некотором s выполняется неss равенство ls 2.

Индексы элементов матрицы A в мономе d образуют подстановку, которая согласно определению строчного определителя в обычной форме записана прямым произведением независимых циклов, а в нормальной форме является упорядоченной слева. Обозначим через s ik s := ik s ik s +1 Kik s + l s независимый цикл, который образуют индекhs.

1 iks = iks iks +ls Kiks +1 - независимый цикл, обратный к s ik s, и которому отвечает множитель hs. На множестве всех мономов определителя rdeti A.i a.i b, индексы которых образуют подстановки в обычной форме записанные прямым произведением независимых циклов s ik s или 1 ik s, сохраняя их последовательность по s от 1 к r, а в нормальной форме - упорядоченные слева согласно (2.2)-(2.3), найдутся еще 2 p 1 таких мономов, (где p = r, а – количество циклов первого и второго порядка), что их сумма C1, - этих мономов вместе с d, по лемме 2.5.1 равняется:

где F - произведение множителей, индексы которых составляют независимые циклы первого и второго порядка. Поскольку t ( h k ) F для всех k {1,K, r}, и k = 1, p. Тогда все множители C, кроме b, являются элементами поля F, а потому b коммутирует с ними. Поскольку это выполняется для произвольного d, то для rdeti A.i a.i b, как для суммы всех возможных мономов вида (2.16) выполняется равенство Равенство rdet i A. i b a. i = b rdet i A = b det A очевидно справедливо в силу теоремы 2.4.3.

Лемма доказана.

Лемма 2.6.2. Если A i. b a i. - матрица, которую получим из эрмитовой матрицы A M ( n, S ), умножив слева ее i -ю строку на произвольный элемент b тела S, тогда для произвольного i = 1, n получим Доказательство аналогичное доказательству леммы 2.6.1.

Теорема 2.6.9. Если i -ю строку эрмитовой матрицы A M ( n, S ) заменить левой линейной комбинацией ее других строк, то строчный определитель по i -й строке и столбцовый определитель по i -му столбцу такой матрицы равняется нулю для произвольного i = 1, n.

Доказательство. Пусть A i. c1 a i1. + K + ck a ik. - матрица, которую получим из эрмитовой матрицы A, заменив ее i -ю строку левой линейной комбинацией ее других строк, где il I n \ {} для всех l = 1, k таких, что k < n, тогда по теореме 2.4.4 для произвольного i = 1, n выполняются равенства а также Но по теореме 2.6.5 rdeti A i. cl a il. = 0 и по теореме 2.6. cdeti A i. cl a il. = 0 для всех l = 1, k и для произвольного i = 1, n, тогда Теорема доказана.

Теорема 2.6.10. Если все элементы j -го столбца эрмитовой матрицы A M ( n, S ) заменить правой линейной комбинацией ее других столбцов, то столбцовый определитель по j -му столбцу и строчный определитель по j -й строке такой матрицы равняется нулю для произвольного j = 1, n.

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 2.6.9.

Следствие 2.6.4. Если i -я строка (столбец) эрмитовой матрицы A M ( n, S ) для произвольного i = 1, n является левой линейной комбинацией ее других строк (является правой линейной комбинацией ее других столбцов), тогда det A = 0.

Это означает, что для произвольного j I n выполняется равенство aij = c1 ai1 j + K + ck aik j, тогда в силу того, что матрица A M ( n, S ) эрмитовая, a ji = aij = ai1 j c1 + K + aik j ck, т.е., где cl S для всех l = 1, k таких, что k < n. Таким образом, если у эрмитовой матрицы i -я строка является левой линейной комбинацией ее строк с индексами i1,K, ik, то тогда ее i -й столбец является правой линейной комбинацией ее других столбцов с теми же индексами i1,K, ik.

Матрицу A можно представить также, как A i. c1 a i1. + K + ck a ik.

- матрицу, которую получим из матрицы A заменой ее i -й строки - левой линейной комбинацией ее строк с индексами i1,K, ik, тогда по теореме 2.6.9, получим A.i a.i1 c1 + K + a ik. ck, которую получим из матрицы A заменой ее i -го столбца - правой линейной комбинацией ее столбцов с индексами i1,K, ik, тогда по теореме 2.6.10 получим Следствие доказано.

Теорема 2.6.11. Если к i -й строке эрмитовой матрицы A M ( n, S ) прибавить произвольную левую линейную комбинацию ее других строк, то строчный определитель по i -й строке и столбцовый определитель по i -му столбцу такой матрицы равняются определителю эрмитовой матрицы A (для произвольного i = 1, n ).

Доказательство. Пусть A i. a i. + c1 a i1. + K + ck a ik. - матрица, которую получим из эрмитовой матрицы A, прибавив к ее i -й строке левую линейную комбинацию ее других строк, где cl S для всех l = 1, k таких, что k < n, тогда по теореме 2.4.5 для произвольного i = 1, n а также Поскольку, по теореме 2.6.9 rdeti Ai. c1 a i1. + K + ck a ik. = 0 и сdeti Ai. c1 a i1. + K + ck a ik. = 0, то для эрмитовой матрицы A получим Теорема доказана.

Теорема 2.6.12. Если ко всем элементам j -го столбца эрмитовой матрицы A M ( n, S ) прибавить произвольную правую линейную комбинацию ее других столбцов, то столбцовый определитель по j -му столбцу и строчный определитель по j -й строке такой матрицы равняется определителю эрмитовой матрицы A (для произвольного j = 1, n ).

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 2.6.11, опираясь на теоремы 2.4.6 и 2.6.10.

2.7. Диагонализация эрмитовой матрицы det A = det Pij (b ) A Pij (b ) для всех i, j = 1, n таких, что i j.

Доказательство. Сначала заметим, что для произвольной квадратной матрицы U M ( n, S ) и эрмитовой A M ( n, S ), матрица U AU - эрмитовая. Действительно, из свойств сопряжённой матрицы по лемме 2.3. Умножение матрицы A слева на элементарную унимодулярную матрицу Pij (b ) равносильно прибавлению к i -й строке матрицы A ее j й строки умноженной слева на b S. Умножение матрицы A справа на матрицу Pij (b ), в свою очередь, равносильное прибавлению к i -му столбцу матрицы A ее j -го столбца умноженного справа на b. Таким образом, Тогда, в силу теорем 2.4.5 и 2.4.6, получим из матрицы A последовательным применением замены ее i -го столбца ее j -м столбцом, а потом замены i -й строки полученной матрицы ее j й строкой умноженной слева на элемент b S. Таким образом, ее i -й строкой является b a j., а ее j -м строкой есть строка a j., поэтому по теореме 2.6.8 cdeti A.i a. j cdeti A.i a. j = 0 и по теореме 2.6.8 cdeti A i. b a j. = 0.

Теорема доказана.

U SL(n, S ) - произвольная унимодулярная матрица, тогда Доказательство. Отметим, что для произвольной унимодулярной матицы U SL(n, S ) существует такой ряд {P1,K, Pm } SL(n, S ) элементарных унимодулярных матриц Pk = Pij (bk ), т.е. существует такое натуральное число m N, что для произвольного k = 1, m существует элемент тела bk S, и существуют индексы i I n, j I n при этом i j, что Докажем формулу (2.17) индукцией по m.

а) Случай m = 1 доказывает теорема 2.7.1.

б) Пусть теорема выполняется для m 1, т.е., U = Pm 1 K P1 и Обозначим Pm 1 K P1 A P1 K Pm 1 := A, как следует из теоремы 2.7.1, матрица A - эрмитовая.

в) Докажем теперь равенство (2.17) для случая m. Пусть U = Pm K P1, тогда в силу теоремы 2.7. Теорема доказана.

Доказательство. Пусть произвольная унимодулярная матрица факторизируется следующим образом где Pk = Pij (bk ) - элементарные унимодулярные матрицы. Т.е., существует такое m N, что для всех k = 1, m существуют элементы bk S и индексы i I n и j I n такие, что i j, для которых выполняется равенство (2.18). Тогда Лемма доказана.

Определение 2.7.1. Будем говорить, что эрмитовая матрица A унимодулярно подобная эрмитовой матрице B, если существует такая унимодулярная матрица U SL(n, S ), что A = U B U.

Отношение “эрмитовая матрица A унимодулярно подобная эрмитовой матрице B ” будем обозначать: A ~ B.

Теорема 2.7.3. Отношение унимодулярного подобия эрмитовых матриц является отношениям эквивалентности, а именно оно а) рефлексивное: A ~ A ;

б) симметричное: A ~ B B ~ A ;

Доказательство. Пункт а) теоремы доказан теоремой 2.7.2.

Докажем пункт б). Пусть A ~ B. Это означает, что существует такая унимодулярная матрица U SL(n, S ), что A = U B U. Умножив это B = U 1 A ( U ) 1. Поскольку, в силу леммы 2.7.1, U 1 SL(n, S ) и ( U ) 1 SL(n, S ), то утверждение пункта б) доказано.

Докажем пункт в). Поскольку, A ~ B означает существование унимодулярной матрицы U SL(n, S ) такой, что A = U B U, а с B ~ C вытекает существование V SL(n, S ) такой, что B = V C V. Тогда, умножив последнее равенство слева на матрицу U и справа на U, получим Понятно, что матрица UV SL(n, S ), поэтому равенство (2.19) доказывает пункт в).

Теорема доказана.

Теорема 2.7.4. Если A M ( n, S ) - эрмитовая матрица, тогда A унимодулярно подобная некоторой диагональной матрице с элементами поля F на главной диагонали, т.е., существует такая унимодулярная diag (µ1,K, µ n ) - диагональная матрица с элементами µ i F для всех i = 1, n на главной диагонали. При этом det A = µ1 K µ n.

Доказательство. Рассмотрим первый столбец матрицы A. Возможны следующие случаи:

1. Пусть a11 0, тогда положим µ1 = a11 F. Умножая последовательно матрицу A слева на элементарные унимодулярные матрицы Pi1 i1 для всех i = 2, n получим матрицу, в которой все элементы первого столбца, кроме диагонального, нулевые.

Поскольку, i1 = 1i, то Pi i1 = P1i 1i. Умножая последовательно матрицу A справа на элементарные унимодулярные матриa цы Pi i1 для всех i = 2, n получим нулевыми все элементы первой строки, кроме диагонального. При этом, учитывая теорему 2.7.1, матриa a ца Pi1 i1 A Pi i1 остается эрмитовой.

Pages: |

| 2 |

Главная >> Диссертации - все темы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«МАРКОВА Галина Вячеславовна СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УСЛОВИЙ ВОСПРОИЗВОДСТВА В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями и комплексами - АПК и сельское хозяйство) Диссертация на соискание ученой степени доктора...»

«БУЯНКИН ПАВЕЛ ВЛАДИМИРОВИЧ ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАТФОРМ И НАГРУЗОК В ОПОРНО-ПОВОРОТНЫХ УСТРОЙСТВАХ ЭКСКАВАТОРОВМЕХЛОПАТ Специальность 05.05.06 – Горные машины ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель : профессор, доктор технических наук Богомолов Игорь...»

«Браилов Юрий Андреевич УДК 513:944 Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли 01.01.04. – геометрия и топология Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители академик А. Т. Фоменко, д. ф.-м. н. А. В. Болсинов МОСКВА – 2003 Оглавление 0 Введение 3 1 Cдвиги инвариантов на алгебре su(3) 10 1.1 Уравнения движения.......»

«vy vy из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Шейгал^ Елена Иосифовна 1. Семиотика политического дискурса 1.1. Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2005 Шейгал^ Елена Иосифовна Семиотика политического дискурса [Электронный ресурс]: Дис.. д-ра филол. наук: 10.02.01 10.02.19 - М.: РГБ, 2005 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Русский язык; Общее языкознание, социолингвистика, психолингвистика Полный текст: http://diss.rsl.ru/diss/02/0004/020004014.pdf Текст...»

«Юрчук Галина Владимировна ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОЙ ЯЗЫКОВОЙ КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТОВ МЕДИЦИНСКОГО ВУЗА 13.00.08 – Теория и методика профессионального образования ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель : доктор педагогических наук,...»

«ВЕЧКАНОВА НАТАЛЬЯ ВАЛЕРЬЕВНА КОНСТИТУЦИОННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ И СУДЕБНАЯ ЗАЩИТА ЛИЧНЫХ ПРАВ И СВОБОД В СТРАНАХ СНГ Специальность 12.00.02 – конституционное право; конституционный судебный процесс; муниципальное право Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель доктор юридических наук, профессор Умнова...»

«Сальникова Евгения Александровна ФОРМИРОВАНИЕ КОНЦЕПЦИИ АКТИВНОГО ПОТРЕБИТЕЛЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ Специальность: 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – промышленность) Диссертация на соискание ученой степени кандидата...»

«Королев Виктор Васильевич АДСОРБЦИОННЫЕ И МАГНИТОТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ВЫСОКОДИСПЕРСНЫХ МАГНЕТИКОВ 02.00.04 – физическая химия 02.00.01 – неорганическая химия Диссертация на соискание ученой степени доктора химических наук Иваново – 2014 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.. 6 Глава 1. Высокодисперсные магнетики. 1.1. Строение кристаллической решетки и структура...»

«ВОРОБЬЕВА АНАСТАСИЯ КОНСТАНТИНОВНА БИОЛОГИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ ЭФИРНЫХ МАСЕЛ ОРЕГАНО И ЧАБЕРА В ОПЫТАХ IN VIVO 03.01.02 Биофизика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научный руководитель : д.б.н., проф. Бурлакова Е.Б. Москва ОГЛАВЛЕНИЕ Список использованных сокращений ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ Роль растительных...»

«Бабарыкин Петр Валерьевич ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ СОЗДАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ САЙТОВ СЕТИ ИНТЕРНЕТ Специальность 12.00.03 – Гражданское право; предпринимательское право; семейное право; международное частное право Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель : кандидат юридических наук, доцент Н.Н. Костюк Санкт-Петербург ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава 1. Правовой режим сайта Интернет §1.1....»

«МИХЕЕВ Геннадий Викторович КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ И УПРУГИХ ТЕЛ, ПОДВЕРЖЕННЫХ МАЛЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ Специальность 01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Погорелов Д.Ю. Брянск - 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ В...»

«РЕУТ Григорий Александрович ВЕДОМСТВЕННЫЕ НАСЕЛЕННЫЕ ПУНКТЫ МИНИСТЕРСТВА СРЕДНЕГО МАШИНОСТРОЕНИЯ СССР В СИБИРИ (1949–1991 гг.) Специальность 07.00.02 – Отечественная история Диссертация на соискание ученой степени доктора исторических наук Научный консультант – доктор исторических наук, профессор В.В. Гришаев Красноярск СОДЕРЖАНИЕ ВЕДЕНИЕ... Глава 1. ПРОЦЕСС...»

«Бердыган Антонина Вячеславовна ДИНАМИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ МОТИВАЦИИ СТУДЕНТОВ (на примере студентов железнодорожных специальностей) Специальность 19.00.03 – - Психология труда, инженерная психология, эргономика (психологические наук и) Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук Научный руководитель : доктор психологических наук, профессор Терехова Т.А. Хабаровск - ОГЛАВЛЕНИЕ...»

«Усачёва Ольга Александровна Оценка андрогенного статуса и качества эякулята у мужчин после оперативного лечения варикоцеле 14.01.23. – урология Диссертация на соискание учёной степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : доктор медицинских наук,...»

«Витальева Елена Михайловна СПЕЦИФИКА РЕКЛАМНЫХ КОММУНИКАЦИЙ УЧРЕЖДЕНИЙ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА РЫНКЕ ТРУДА 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель Доктор экономических наук, доцент Гущина Елена Геннадьевна Волгоград – 2014 Содержание Введение 1. Теоретические основания институциональной ориентации систем...»

«Покачалова Анна Сергеевна ДОГОВОР ОБ ОБЯЗАТЕЛЬНОМ ПЕНСИОННОМ СТРАХОВАНИИ: ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЙ АСПЕКТ 12.00.03 — гражданское право; предпринимательское право; семейное право; международное частное право Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель – кандидат юридических наук, доцент...»

«ИЗМОДЕНОВА Светлана Викторовна КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С УЧАСТИЕМ ЭЛЕКТРОННО-ВОЗБУЖДЁННЫХ МОЛЕКУЛ В СИСТЕМАХ НАНОСТРУКТУРИРОВАННЫХ АДСОРБЕНТОВ И КЛАСТЕРОВ Специальность: 01.04.05 – Оптика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель : д.ф.-м.н., проф. Кучеренко М.Г....»

«НАУМОВ Андрей Витальевич СПЕКТРОСКОПИЯ ОДИНОЧНЫХ МОЛЕКУЛ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДИНАМИКИ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ СРЕД Специальность 01.04.05 – Оптика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Научный консультант : д.ф.-м.н. Вайнер Ю.Г. Троицк - 2009 г. E-MAIL: [email protected] WEB-PAGE: www.single-molecule.ru ОГЛАВЛЕНИЕ -2ОГЛАВЛЕНИЕ Список...»

«Юмагузин Валерий Валерьевич Смертность от внешних причин в России в постсоветский период Специальность 22.00.03 – Экономическая социология и демография Диссертация на соискание ученой степени кандидата социологических наук Научный руководитель : д.с.н. И.В. Журавлева Москва - Оглавление Введение Глава 1. Внешние причины смерти как индикатор...»

«Кулдыбаева Ирина Ураловна ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ГОСУДАРСТВЕННЫХ УСЛУГ Специальность 12.00.14 — административное право; административный процесс Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель : доктор юридических наук...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

КИРЧЕЙ

ИВАН ИГОРЕВИЧ

ТЕОРИЯ СТОЛБЦОВЫХ И СТРОЧНЫХ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

И ОБРАТНАЯ МАТРИЦА НАД ТЕЛОМ

С ИНВОЛЮЦИЕЙ

ДИССЕРТАЦИЯ

ВСТУПЛЕНИЕ

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

ТЕОРИЯ НЕКОММУТАТИВНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

ТЕОРИЯ СТОЛБЦОВЫХ И СТРОЧНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

НАД ТЕЛОМ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)