«Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.938.5+515.164.15

Ошемков Андрей Александрович

Топология особенностей интегрируемых

гамильтоновых систем

01.01.04 — геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

академик РАН, профессор Фоменко Анатолий Тимофеевич Москва —

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Особенности интегрируемых гамильтоновых систем... 1.1. Топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем... 1.2. Невырожденные особенности................ 1.3. Почти прямые произведения................ Глава 2. Классификация седловых особенностей интегрируемых гамильтоновых систем................. 2.1. Атомы и f -графы

2.2. Обзор известных результатов о седловых особенностях...... 2.3. Построение инварианта.................. 2.4. Доказательство теоремы классификации............ 2.5. Алгоритм перечисления седловых особенностей......... 2.6. Сомножители минимальной модели.............. 2.7. Случай особенностей сложности 1.............. 2.8. Пример особенности, не являющейся почти прямым произведением.. Глава 3. Классификация потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях..................... 3.1. Классификация потоков Морса............... 3.2. Сравнение некоторых известных инвариантов.......... 3.3. Классификация потоков Морса–Смейла............ 3.4. Кодирование и перечисление потоков............. Глава 4. Топология множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы.................. 4.1. Особенности интегрируемой гамильтоновой системы как особенности набора сечений комплексного расслоения............ 4.2. Топологические свойства комплекса особенностей для систем с двумя степенями свободы.................... Глава 5. Примеры вычисления инвариантов интегрируемых систем......................... 5.1. Интегрируемый случай Соколова на so(4)........... 5.2. Задача двух центров на сфере................ 5.3. Многомерный волчок Эйлера–Манакова............

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация является исследованием в области топологии интегрируемых систем. В ней разрабатываются новые методы изучения особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, которые затем применяются для классификации некоторых типов особенностей, изучения их полулокальных и глобальных свойств, а также для исследования топологии нескольких конкретных интегрируемых систем.

Хорошо известно, что топологические свойства интегрируемой гамильтоновой системы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента. Прообразы регулярных значений этого отображения являются инвариантными многообразиями системы, диффеоморфными фактору Rn по некоторой решетке. Например, если фазовое пространство системы компактно, то, как следует из классической теоремы Лиувилля, такие инвариантные многообразия диффеоморфны n-мерным торам (называемым торами Лиувилля), на которых траектории системы являются условно периодическими.

Если рассматривать прообразы всех точек при отображении момента, то соответствующее слоение на фазовом пространстве системы (называемое слоением Лиувилля) имеет особенности. Кроме торов Лиувилля у него имеются слои, содержащие особые точки отображения момента. Слоение Лиувилля в окрестности этих особых слоев устроено более сложно как с топологической точки зрения, так и с точки зрения динамики.

Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна. А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент.

Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.

В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с полулокальной и глобальной топологией интегрируемых систем, которые активно исследовались в течение последних 20–25 лет.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней содержатся основные определения, описаны некоторые методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, а также изложены классические результаты.

В главе 2 решается задача классификации гиперболических особенностей ранга интегрируемых гамильтоновых систем.

Глава 3 посвящена классификации потоков Морса–Смейла на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до гомеоморфизма, сохраняющего траектории потока.

В главе 4 изучаются глобальные (алгебро-топологические) свойства множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы.

В главе 5 разработанные методы исследования топологии интегрируемых систем применяются к нескольким конкретным примерам (интегрируемый случай Соколова на so(4), задача двух центров на сфере, многомерное твердое тело).

Замечание о нумерации: каждая глава n диссертации разбита на разделы (n.1, n2,... ), а некоторые разделы n.m дополнительно разбиты на подразделы (n.m.1, n.m.2,‘... ), которые в тексте обычно также называются разделами; определения, рисунки, теоремы и т. п. занумерованы в тексте диссертации по порядку (без ссылок на главы и разделы).

Перейдем к более подробному описанию содержания и целей диссертации, а также истории вопросов, затронутых в ней.

В главе 2 рассматриваются невырожденные особенности ранга 0, имеющие только гиперболические компоненты. Одна из основных целей данной главы — получить полулокальную классификацию таких особенностей с точностью до лиувиллевой эквивалентности.

Более точно, задача классификации рассматривается для чисто гиперболических особенностей ранга 0, которые удовлетворяют условию нерасщепляемости (см.

определение 9) и для которых инвариантные окрестности состоят из компактных слоев. Особенности, удовлетворяющие этим условиям, мы называем седловыми особенностями.

Отметим, что с гиперболические особенности обладают более сложной топологической структурой по сравнению с другими типами особенностей. Например, классификация число эллиптических особенностей тривиальна, а структура фокусной особенности в случае двух степеней свободы однозначно определяется ее сложностью (т. е. количеством особых точек на слое). Классификация гиперболических особенностей ранга 0 уже в случае двух степеней свободы нетривиальна даже для сложности 1 (имеется 4 различных особенности такого типа).

В случае одной степени свободы классификация седловых особенностей эквивалентна (полулокальной) классификации особенностей функций Морса на двумерном многообразии. Удобный язык для описания таких особенностей был предложен в работе А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко [9], где для этого было введено понятие атома. Описание различных подходов к определению атомов и их классификации содержится в книге [12] (см. также раздел 2.1).

Первые результаты о полулокальной классификации седловых особенностей для большего числа степеней свободы были получены в работах Л. М. Лермана и Я. Л. Уманского [29]. Они показали, что в случае двух степеней свободы седловые особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны, и в результате получили полный список, состоящий из четырех попарно неэквивалентных особенностей.

Имеется другой естественный инвариант седловой особенности (в случае двух степеней свободы), называемый “круговой молекулой”. Смысл этого инварианта в том, что он полностью описывает топологию слоения Лиувилля на трехмерной границе инвариантной окрестности особого слоя в терминах особенностей с одной степенью свободы.

Круговые молекулы для всех четырех особенностей сложности 1 были вычислены А. В. Болсиновым в работе [72]. Все они различны, и поэтому также дают классификацию особенностей сложности 1 для систем с двумя степенями свободы.

В той же работе А. В. Болсиновым была получена полулокальная классификация особенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы. Оказалось, что для особенностей сложности 2 топология особого слоя уже не является полным топологическим инвариантом. Поэтому А. В. Болсинов ввел еще один инвариант седловой особенности, называемый “l-типом”, и в результате получил полный список особенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы, состоящий из особенностей. Круговые молекулы для всех 39 особенностей сложности 2 были построены В. С. Матвеевым [33]. Как и в случае сложности 1, оказалось, что все они различны.

Случай особенностей сложности 1 для трех степеней свободы исследован В. В. Калашниковым [24]. Он использует подход, основанный на разложении особенностей в почти прямое произведение, предложенный Н. Т. Зунгом [121] (см. также теорему 3). В работе [24] сформулирована теорема о том, что количество особенностей сложности 1 для случая трех степеней свободы равно 32, и приведен их список. Как было потом выяснено, в этом списке имеются ошибки (отметим, что рассуждения, использованные В. В. Калашниковым, правильны, а ошибки в списке, вероятно, возникли на последнем этапе доказательства, который сводится к перебору и в работе не приведен). Правильный список седловых особенностей сложности 1 для трех степеней свободы приведен в работе автора [48] (см. также таблицу 1 в разделе 2.7).

Отметим также обобщение упомянутого выше результата Л. М. Лермана и Я. Л. Уманского, полученное в работе [24] для систем с любым числом степеней свободы: особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны.

Для систем с двумя степенями свободы ни топология особого слоя, ни l-тип особенности уже не являются полными инвариантами (даже для особенностей сложности 2). Как было показано В. С. Матвеевым [34] (см. также [73]), пара {топология особого слоя, l-тип} (этот инвариант называется C-l-типом особенности) однозначно определяет седловую особенность с точностью до полулокальной лиувиллевой эквивалентности в случае двух степеней свободы. Отметим, что C-lтип особенности можно рассматривать и в случае любого числа степеней свободы, но неизвестно, будет ли этот инвариант полным для систем с числом степеней свободы больше двух.

Отметим также, что круговая молекула, которая является полным инвариантом для особенностей сложности 1 и 2, в общем случае таковым не является. Примеры неэквивалентных особенностей с одинаковыми круговыми молекулами были построены А. В. Грабежным (см. раздел 7.3 в обзоре [74]. Простейший из них имеет сложность 4.

Одним из важных результатов о полулокальной структуре седловых особенностей любой сложности является теорема Н. Т. Зунга [121] о разложении любой такой особенности в почти прямое произведение атомов (см. теорему 3). Для задачи классификации важен вопрос о единственности такого разложения. Н. Т. Зунг вводит понятие минимальной модели (см. определение 15) особенности (которую он также называет ее “канонической моделью”) и доказывает утверждение о том, что для каждой особенности существует единственная минимальная модель [121, Proposition 7.4]. Несмотря на то, что это утверждение сформулировано им для особенностей произвольного типа и ранга и в такой общности неверно (см. обсуждение в конце раздела 2.2), для седловых особенностей ранга 0 утверждение о единственности минимальной модели (и его доказательство, приведенное в работе [121]) верно. Это утверждение следует также из результатов диссертации (см. предложение 5).

Отметим, что язык почти прямых произведений очень удобен для описания списков особенностей и особенностей конкретных систем. Однако теорема Зунга не позволяет непосредственно получить список особенностей данного типа и данной сложности, поскольку не дает ответа на вопрос о том, как устроены сомножители почти прямого произведения и действие группы на них.

Задача полулокальной классификации седловых особенностей произвольной сложности и для произвольного числа степеней свободы решена в главе 2 (см. также [46]). А именно, каждой невырожденной седловой особенности ранга 0 сопоставляется комбинаторный объект (fn -граф), являющийся графом с дополнительной структурой в виде раскраски ребер и ориентации некоторых ребер (см. определение 16). Это сопоставление становится однозначным, если рассматривать fn -графы с точностью до применения к ним двух простых операций, называемых изменением ориентации и переворачиванием (см. определение 19). Тем самым задача полулокальной классификации седловых особенностей ранга 0 сводится к задаче перечисления fn -графов.

Один из основных результатов главы 2 — теорема 7 (теорема классификации), утверждающая, что седловые особенности интегрируемых гамильтоновых систем с n степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им fn -графы эквивалентны (при этом любой связный fn граф соответствует некоторой седловой особенности).

Доказательство теоремы 7 основано на том, что построенное соответствие между невырожденными седловыми особенностями ранга 0 и fn -графами является естественным в следующем смысле: операция прямого произведения простейших особенностей (атомов) соответствует операции произведения f -графов (см. определение 22), а факторизация прямых произведений особенностей по свободному покомпонентному действию конечной группы соответствует аналогичной факторизации fn -графов. В силу теоремы Зунга все особенности, удовлетворяющие условию нерасщепляемости, могут быть получены из атомов при помощи этих двух операций.

Опишем кратко структуру главы 2.

В разделе 2.1 вводится понятие f -графа (это fn -граф при n = 1), с помощью которого решается задача классификации седловых особенностей для систем с одной степенью свободы (т. е. атомов). В разделе 2.2 приводится обзор известных ранее результатов о классификации седловых особенностей. В разделе 2.3 описано построение инварианта (fn -графа). Раздел 2.4 посвящен доказательству теоремы классификации.

В разделе 2.5 дана другая интерпретация построенного инварианта (на языке наборов перестановок, удовлетворяющих некоторым условиям коммутирования) и описан алгоритм, позволяющий получить список седловых особенностей сложности k для систем с n степенями свободы (в случае двух степеней свободы похожий алгоритм был предложен автором в совместной работе с В. С. Матвеевым [35]).

Некоторые результаты вычислений по разработанным алгоритмам для особенностей малой сложности и малого числа степеней свободы приведены в предложениях 8 и 13. Отметим, что программа, реализующая указанный алгоритм, выдает, конечно, не только количество, но и список особенностей. В частности, в разделе 2.7 приведен список из 32 особенностей сложности 1 для трех степеней свободы.

В разделе 2.6 исследуются вопросы, связанные с описанием сомножителей минимальной модели седловой особенности. В частности, доказано, что если атом V является сомножителем минимальной модели для седловой особенности сложности k интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы, то его сложность |V | удовлетворяет неравенству |V | k22k и является делителем числа k2n1 (теорема 9;

см. также [44]).

Отметим также следующий результат, полученный в разделе 2.6 (теорема 10):

если атом является сомножителем минимальной модели для некоторой особенности сложности k, то он также является сомножителем минимальной модели для некоторой особенности с числом степеней свободы n = 2k + 1 (в том числе, возможно, меньшей сложности). Это утверждение обобщает результат В. В. Калашникова [24] (на случай любой сложности) о том, что сомножителями минимальной модели особенности сложности 1 (для любого числа степеней свободы) могут быть лишь четыре атома B, D1, C2, P4 (которые “появляются” при классификации особенностей с тремя степенями свободы).

В разделе 2.7 более подробно исследованы особенности сложности 1. Доказано, что в этом случае в каждом классе эквивалентности fn -графов сложности 1 можно однозначно выбрать “простой” fn -граф (см. определение 24 и предложение 9).

Это позволяет упростить формулировку теоремы классификации для особенностей сложности 1, заменив в ней “эквивалентность” fn -графов на “изоморфность” (см.

теорему 11).

Еще один эффект, обнаруженный для особенностей сложности 1, заключается в том, что перестановки, соответствующие данному fn -графу сложности 1, задают на множестве его вершин структуру аффинного пространства (над полем Z2 ) и набор аффинных преобразований (см. предложение 11). Это позволяет переформулировать теорему классификации для особенностей сложности 1 в алгебраических терминах (см. теорему 13) и упростить алгоритм их перечисления (результат вычислений для малого числа степеней свободы приведен в предложении 13). В частности, таким образом получен список особенностей сложности 1 для трех степеней свободы (см. таблицу 1 в разделе 2.7.4).

Следует отметить, что для всех известных автору примеров интегрируемых гамильтоновых систем, возникающих в механике, физике, геометрии, условие нерасщепляемости выполнено (отметим также, что для невырожденных особенностей сложности 1 условие нерасщепляемости выполнено по определению). Поэтому рассмотрение такого класса особенностей и составление их списков вполне оправдано.

Однако с теоретической точки зрения вопрос о существовании и структуре особенностей, не удовлетворяющих условию нерасщепляемости, также представляет интерес.

В разделе 2.8 приведен пример особенности, не являющейся особенностью типа почти прямого произведения (и, в частности, не удовлетворяющей условию нерасщепляемости). При построении этого примера мы явным образом описываем 4мерное симплектическое многообразие и пару коммутирующих функций на нем.

Доказательство того, что построенная особенность не является особенностью типа почти прямого произведения (предложение 14) основано на том, что ее особый слой устроен иначе, чем особые слои почти прямых произведения. А именно, особый слой (как и в стандартной ситуации) имеет структуру двумерного комплекса, в котором точки ранга r образуют r-мерные клетки. Для особенностей типа почти прямого произведения двумерные клетки являются “четырехугольниками” (поскольку каждая из них тоже есть почти прямое произведение), а в построенном примере это не так.

В главе 3 рассматривается задача классификации потоков Морса–Смейла на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до гомеоморфизма, сохраняющего траектории потока.

Вопросы, связанные с качественным исследованием динамических систем на двумерных многообразиях (в частности, классификация таких систем) обсуждались многими авторами. Первые важные результаты в этом направлении были получены в работах А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера (см. [1], [27], [28], [31], а также [2], [3], [50], [100] об истории вопроса). В этих работах исследовались векторные поля достаточно общего вида. В дальнейшем С. Смейл [53], [54] выделил класс потоков (названных впоследствии потоками Морса–Смейла), которые на двумерном многообразии, с одной стороны, являются типичными, а с другой стороны, имеют достаточно простое качественное описание.

В работе [105] М. Пейксото ввел понятие “различающего графа”, сопоставляемого произвольному потоку Морса–Смейла, и сформулировал теорему о том, что этот граф является полным топологическим инвариантом, классифицирующим потоки Морса–Смейла на двумерных многообразиях с точностью до траекторной топологической эквивалентности (точные определения и описание инварианта Пейксото см. в разделах 3.1.1, 3.2.1, 3.3.1). В работе [105] доказана теорема реализации для таких графов и тем самым, как утверждает М. Пейксото, “задача классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях сводится к задаче классификации различающих графов”.

Однако инвариант, предъявленный М. Пейксото, имеет сложное описание. Поэтому трудно реализовать алгоритм сравнения двух таких графов или, например, алгоритм их перечисления для малого количества вершин. Более того, описанный М. Пейксото “различающий граф” является полным траекторным топологическим инвариантом на самом деле лишь для потоков Морса–Смейла без предельных циклов (иногда такие потоки называют потоками Морса). Утверждение о том, что классы эквивалентности потоков Морса–Смейла находятся во взаимно-однозначном соответствии с различающими графами в самой работе [105] не доказывается, но приводится ссылка на работу [107], где, как говорит М. Пейксото, “с точностью до обозначений доказана содержательная часть этого утверждения”. Однако все рассуждения в работе [107] проводятся для достаточно близких потоков и некоторые из них становятся неверными, если отбросить это условие. Для потоков Морса–Смейла с предельными циклами различающий граф Пейксото является инвариантом, но не полным, т. е. существуют траекторно топологически не эквивалентные потоки с одинаковым различающим графом (см. пример 8 и предшествующее ему обсуждение в разделе 3.3.1).

Позже появились другие описания инварианта Пейксото или похожих инвариантов. Так, например, Г. Флейтас в работе [82] описал некоторый инвариант для потоков Морса на двумерных многообразиях. Подход Г. Флейтаса отличается от подхода М. Пейксото, а предъявленный в работе [82] инвариант существенно проще, чем инвариант Пейксото (см. раздел 3.2.2). В работе К. Вонга [119] также предъявляется более простой чем у М. Пейксото инвариант для потоков Морса–Смейла на ориентируемых двумерных многообразиях. Но поскольку К. Вонг строит свой инвариант на основе работы М. Пейксото, этот новый инвариант также является полным инвариантом лишь для потоков Морса. Теорема 4.14 работы [119], утверждающая, что этот инвариант классифицирует потоки Морса–Смейла общего вида на двумерных многообразиях, неверна (в работе [119] она не доказывается).

Отметим, что позже предлагались и другие формы полных инвариантов для потоков Морса (см., например, [99], [108], а также недавний обзор этой тематики [21]), но мы ограничимся рассмотрением и сравнением упомянутых выше инвариантов Пейксото, Флейтаса и Вонга. Кратко сформулируем сказанное выше об этих инвариантах:

1) инвариант Пейксото, построенный для произвольных потоков Морса–Смейла на произвольных поверхностях, является полным траекторным топологическим инвариантом на множестве потоков Морса;

2) инвариант Флейтаса является полным траекторным топологическим инвариантом для потоков Морса на произвольных поверхностях;

3) инвариант Вонга, построенный для произвольных потоков Морса–Смейла на ориентируемых поверхностях, является полным траекторным топологическим инвариантом для потоков Морса на ориентируемых поверхностях.

Одна из целей главы 3 — дать аккуратное описание полного траекторного топологического инварианта, классифицирующего произвольные потоки Морса–Смейла на произвольных двумерных многообразиях.

Поясним еще одну цель, которая ставилась при написании главы 3.

В работах А. Т. Фоменко [62], [61] была получена классификация особенностей боттовских интегралов на изоэнергетических поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Позже, достаточно удобное и формальное описание этой классификации было дано в работе А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко [9], где были введены понятия атомов и молекул. Разработанный подход, терминология, система обозначений оказались удобными для классификации не только интегрируемых гамильтоновых систем, но и других естественных геометрических объектов. В главе 3 классификация потоков Морса–Смейла также проводится в терминах атомов и молекул. Сначала классифицируются каким-то образом достаточно простые объекты (мы называем их v-атомами), затем описываются правила “склейки” более сложных объектов (v-молекул) из этих v-атомов, и, наконец, классифицируются v-молекулы. Отметим, что для траекторной классификации потоков Морса достаточно v-атомов (см. определение 36 и лемму 23), а v-молекулы нужны для классификации потоков Морса–Смейла (см. определение 39 и теоремы 18, 19).

Таким образом, вторая цель главы 3 — продемонстрировать, как указанный подход может быть применен к решению задачи траекторной топологической классификации потоков Морса–Смейла на двумерных поверхностях. Отметим, что некоторые идеи, используемые в главе 3, были реализованы также в работе [76], но в другой форме.

Опишем кратко структуру главы В разделе 3.1 строится инвариант для потоков Морса (трехцветный граф; см.

определение 28), представляющий из себя граф, все вершины которого имеют степень 3, а ребра раскрашены в три цвета таким образом, что в каждой вершине сходятся ребра трех разных цветов. Два трехцветных графа считаются изоморфными, если они изоморфны как графы с сохранением раскраски. Цвета обозначаются буквами s, t, u, а циклы, на которые распадается трехцветный граф после выбрасывания всех ребер одного цвета, называются tu-циклами, su-циклами и st-циклами.

После этого описывается процедура сопоставления каждому потоку Морса (отличному от простейшего, т. е. не имеющего седел) некоторого трехцветного графа.

Сепаратрисы потока разрезают поверхность на “четырехугольники”, каждый из которых затем разрезается еще одной траекторией, идущей из источника в сток, на два треугольника. Стороны каждого из полученных треугольников имеют тип s (траектория из источника в седло), u (траектория из седла в сток) и t (траектория из источника в сток). Трехцветный граф, сопоставляемый потоку, можно рассматривать как граф, двойственный этому разбиению на треугольники, с естественной раскраской.

Далее в разделе 3.1 доказывается, что трехцветный граф является полным топологическим инвариантом для задачи траекторной классификации потоков Морса (теорема 14). Затем доказывается, что допустимыми инвариантами являются в точности трехцветные графы с su-циклами длины 4 (теорема 15) и вычисляются топологические инварианты поверхности в терминах трехцветных графов (теорема 16).

В разделе 3.2 дано описание других траекторных топологических инвариантов (Пейксото, Флейтаса, Вонга) для потоков Морса и, в частности, их выражение через трехцветный граф. Кроме того, здесь описана связь между классификацией потоков Морса и классификацией функций Морса на двумерных поверхностях (раздел 3.2.4).

Раздел 3.3 посвящен классификации потоков Морса–Смейла. Сначала обсуждается конструкция Пейксото и, в частности, приведен пример, показывающий, что различающий граф Пейксото не является полным топологическим инвариантом для потоков Морса–Смейла (раздел 3.3.1). Далее строится инвариант (v-молекула), классифицирующий потоки Морса–Смейла с точностью до траекторной топологической эквивалентности (разделы 3.3.2 и 3.3.3), после чего (в разделе 3.3.4) доказываются три утверждения, аналогичные приведенным выше утверждениям о потоках Морса: теорема классификации 3.23, утверждающая, что v-молекула является полным топологическим инвариантом; теорема реализации 3.24 о том, что любая vмолекула является допустимой; теорема 3.25, описывающая топологию поверхности через характеристики соответствующей v-молекулы.

В разделе 3.4 описан один из возможных способов составления списка для построенных в данной работе инвариантов. Для этого описывается представление трехцветных графов и v-молекул в виде простого кода (строчки символов некоторого алфавита) и алгоритм перечисления этих кодов. В качестве примера реализации этого алгоритма в разделе 3.4.3 приведен полный список этих кодов (а также соответствующих трехцветных графов и v-молекул) для потоков Морса с не более чем двумя седловыми точками (15 потоков) и для потоков Морса–Смейла с не более чем тремя критическими элементами (36 потоков).

Отметим, что материал главы 3 опубликован в совместной работе автора с В. В. Шарко [49]. При этом разделы 3.1.5, 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.3.2 содержат результаты, в получении которых влияние В. В. Шарко было определяющим, а результаты, содержащиеся в остальных разделах (и основные идеи, используемые в главе 3), принадлежат автору.

В главе 4 обсуждаются некоторые “глобальные” свойства интегрируемых гамильтоновых систем и их особенностей.

Вопрос о том как “классифицировать” системы на данном фазовом пространстве с точностью до лиувиллевой эквивалентности (т. е. получить “список” таких систем) в общем случае не решен. Перечислим некоторые результаты, полученные в этом направлении.

В случае одной степени свободы классификация гамильтоновых систем с невырожденными особенностями эквивалентна классификации функций Морса с точностью до послойного гомеоморфизма. Существуют различные описания такой классификации. Например, подробное изложение решения этой задачи на языке атомов и молекул дано А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [12]. Отметим также, что в случае одной степени свободы имеется классификация не только с точностью до гомеоморфизма (лиувиллева эквивалентность), но и с точностью до симплектоморфизма. Полный список симплектических инвариантов был получен в работах Ж.-П. Дюфура, П. Молино, А. Туле [80], [115].

Для случая двух степеней свободы А. Т. Фоменко и Х. Цишангом [63] построен полный топологический инвариант, решающий задачу классификации (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на трехмерных изоэнергетических поверхностях.

Имеется также полное описание интегрируемых гамильтоновых систем (для любого числа степеней свободы) в случае, когда соответствующее гамильтоново действие есть действие тора. Первые результаты в этом направлении были получены в работах М. Атьи [71], В. Гийемина, С. Стернберга [83], а классификация в случае действия тора (даже с точностью до симплектоморфизма) была получена Т. Дельзантом [79]. Отметим, что в случае действия тора все особенности системы являются эллиптическими.

Случай двух степеней свободы, когда система имеет только эллиптические и фокусные особенности (т. е. не имеет седловых особенностей) был исследован в работах Н. К. Леунг, М. Симингтон [90], [112]. Они получили список все возможных компактных фазовых пространств для этой ситуации и описали базы соответствующих слоений Лиувилля.

Отметим также еще один результат о системах с любым числом степеней свободы, принадлежащий Н. Т. Зунгу [123]. Он вводит понятие “характеристического класса Чженя” для интегрируемой гамильтоновой системы и доказывает, что этот инвариант является полным инвариантом систем, рассматриваемых с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Следует отметить, что инвариант, предложенный Н. Т. Зунгом, является полезным инструментом при сравнении двух систем, но не дает ответа на вопрос о том, как описать класс возможных систем, например, на данном конкретном фазовом пространстве.

В главе 4 мы рассматриваем множество всех особых точек интегрируемой гамильтоновой системы как комплекс в фазовом пространстве (комплекс особенностей). В случае, когда фазовое пространство компактно, а все особенности системы невырождены, этот комплекс можно представить в виде объединения погруженных трансверсально пересекающихся симплектических подмногообразий. В главе 4 изучаются некоторые свойства этих подмногообразий для систем с двумя степенями свободы.

Сначала в разделе 4.1.1 описывается классическая конструкция, связанная с геометрической интерпретацией классов Чженя комплексного векторного расслоения.

А именно, если набор сечений s = (s1,..., sk ) комплексного расслоения E ранга k над компактной базой удовлетворяет некоторым естественным условиям “общего положения”, то его цикл вырождения Dj (определяемый точками, в которых первые j сечений набора зависимы) двойствен по Пуанкаре классу Чженя ck+1j (E).

Мы применяем эту конструкцию к множеству особенностей интегрируемой гамильтоновой системы. В качестве расслоения рассматривается касательное расслоение к фазовому пространству, на котором вводится почти комплексная структура, согласованная с симплектической формой. В разделе 4.1.2, показано, что такая процедура корректна, поскольку множество почти комплексных структур, согласованных с симплектической формой, определено однозначно с точностью до гомотопии, а зависимость коммутирующих гамильтоновых векторных полей над R эквивалентна их зависимости над C. Отметим, что набор сечений sgrad F1,..., sgrad Fn даже для систем с невырожденными особенностями может не быть общим и, вообще говоря, не может быть сделан общим малым возмущением в классе коммутирующих гамильтоновых векторных полей.

В разделе 4.1.3 мы рассматриваем систему с двумя степенями свободы на компактном многообразии M 4 и с невырожденными особенностями. В этой ситуации роль цикла вырождения играет множество K 1, являющееся замыканием множества особых точек ранга 1. Оно является объединением замкнутых двумерных подмногообразий, погруженных в фазовое пространство M 4. Ориентируя подходящим образом эти двумерные подмногообразия мы получаем некоторый класс гомологий [K 1 ] в H2 (M 4, Z) и доказываем, что он двойствен по Пуанкаре первому классу Чженя c1 (M 4 ) H 2 (M 4 ) (см. теорему 24).

В разделе 4.2 исследуются некоторые другие свойства комплекса K, образованного особыми точками интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В частности, в разделе 4.2.1 доказано, что любое двумерное подмногообразие, входящее в состав комплекса особенностей K и заполненное гиперболическими особыми точками, имеет тривиальное нормальное расслоение в M 4 (см. теорему 25), а также получены некоторые соотношения на топологические характеристики подмногообразий, образующих комплекс K (см. теорему26).

В качестве примера использования полученных ограничений на классы гомологий двумерных подмногообразий, образующих комплекс особенностей K, в разделе 4.2.2 дано описание всех систем с невырожденными особенностями на комплексной проективной плоскости: это почти торические слоения с базой Dk (двумерный диск, граница которого имеет k “углов” и внутри которого имеется 3 k “узлов”, соответствующих фокусным особенностям), где k = 0, 1, 2, 3.

Глава 5 диссертации посвящена применению различных методов топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем к нескольким конкретным системам.

Имеется множество работ (как классических, так и современных), в которых исследуются различные топологические свойства интегрируемых систем, возникающих в геометрии, механике, математической физике. Новый этап в развитии этого направления начался примерно в 1970-80-х годах после работ Ю. Мозера [98], С. Смейла [55], Я. В. Татаринова [58], [59], М. П. Харламова [67].

В настоящее время исследование интегрируемых систем проводится различными методами (топологический анализ, аналитическое исследование решений, алгебраические конструкции, компьютерное моделирование). Мы используем в основном методы “теории топологической классификации”. Этот подход был предложен А. Т. Фоменко [61], [62] и разработан в дальнейшем совместно с Х. Цишангом, С. В. Матвеевым, А. В. Болсиновым (см. [63],[9], [16], [11]). Позже эта теория была подробно изложена в книге А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [12]. В частности, там определяются инварианты, описывающие топологию особенностей и изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (молекулы или инварианты Фоменко–Цишанга), а также приведено множество примеров систем, исследованных методами теории топологической классификации (см. также [68], [41], [42], [104], [103], [87], [10], [38], [120], [52], [39], [23]).

Глава 5 состоит из трех разделов 5.1, 5.2, 5.3, в которых исследуется топология трех различных систем. Выбор примеров, рассматриваемых в главе 5, был отчасти мотивирован тем, чтобы продемонстрировать применение различных методов, применяемых при топологическом анализе интегрируемых систем. (например, когда гамильтоновы поля неполны или когда система обладает бигамильтоновой структурой).

В разделе 5.1 главы 5 исследуется один из интегрируемых случаев уравнений Эйлера на семействе шестимерных алгебр Ли (содержащем so(4), so(3, 1), e(3)), обнаруженных сравнительно недавно А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым, В. В. Соколовым в работах [14], [56], [57] (см. также [15]). В разделе 5.1 мы рассматриваем один из них (на алгебре Ли so(4)), который обычно называют “случаем Соколова”.

Гамильтонианы всех этих случаев — квадратичные функции на алгебре Ли, а интегралы — полиномы степени 4. Алгебраические свойства этих интегрируемых случаев пока не очень понятны, хотя похоже, что имеются качественные отличия от известных ранее случаев интегрируемости (например, от случая Ковалевской, где дополнительный интеграл также имеет степень 4). Поэтому представляет интерес исследование этих интегрируемых случаев с топологической точки зрения.

В работах [64], [65] Г. Хагигатдуст исследовал топологию изоэнергетических поверхностей для случая Соколова, т. е. совместных поверхностей уровня инвариантов алгебры Ли so(4) и гамильтониана. В разделе 5.1 описано построение бифуркационных диаграмм отображения момента (теоремы 29 и 30 — результаты, полученные совместно с Г. Хагигатдустом), после чего изложены результаты автора: найдены типы критических точек ранга 0 (теорема 31), определены перестройки торов Лиувилля (теорема 32), а также вычислены инварианты Фоменко (теорема 33). Тем самым получена классификация изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.

В разделе 5.2 главы 5 исследуется задача двух центров на двумерной сфере.

Впервые вопрос о гравитационных взаимодействиях в пространствах постоянной кривизны был поставлен Н. И. Лобачевским, который изучал обобщения закона притяжения для пространства постоянной отрицательной кривизны.

Лобачевский пишет [30, стр. 159]: “... в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой Геометрии. Чтобы пояснить эту мысль, полагаем, как и многие в этом уверены, что силы притягательные слабеют от распространения своего действия по сфере. В употребительной Геометрии величину сферы принимают 4r для полупоперечника r, от чего сила должна уменьшаться в содержании к квадрату расстояния. В воображаемой Геометрии нашел я поверхность шара (er er )2, и такой Геометрии, может быть, следуют молекулярные силы... Впрочем, пусть это чистое предположение только, для подтверждения которого надобно поискать других убедительнее доводов... ” Лобачевский рассуждает здесь не о потенциале, а о силе, но первообразная функции, выписанной Лобачевским, есть (с точностью до коэффициента) cth r.

Именно такой потенциал рассматривается в настоящее время, как правильное обобщение ньютоновского потенциала для пространства Лобачевского (см., наприr мер, [77], [25], [89]).

В дальнейшем различные задачи механики на пространствах постоянной кривизны рассматривались многими авторами. Еще в XIX веке В. Киллинг [88] изучал движение точки в поле, создаваемом ньютоновским потенциалом на трехмерной сфере и трехмерном пространстве Лобачевского, а также динамику n-мерного твердого тела на пространствах постоянной кривизны. Отметим также работы Н. Е. Жуковского [22] о движении псевдосферической (“плоской”) пластинки на плоскости Лобачевского и Э. Шредингера [70] о квантовом аналоге задачи Кеплера на трехмерной сфере. Закон притяжения и законы Кеплера в пространствах постоянной кривизны неоднократно переоткрывались и обобщались уже в недавнее время многими авторами (см. [84], [110], [77], [89], [25], [116]).

Топология задачи о движении точки по двумерной сфере (со стандартной метрикой постоянной положительной кривизны) в поле, создаваемом двумя “ньютоновскими” центрами (т. е. с потенциалами, пропорциональными ctg r, где r — расстояние до центра) исследована в разделе 5.2. В частности, для этой задачи найдены инварианты Фоменко–Цишанга, которые полностью описывают топологию лиувиллевых слоений на изоэнергетических поверхностях системы.

Гамильтоновы поля, задающие эту систему не полны. Однако можно провести регуляризацию и после этого применить общую теорию. Используемая процедура регуляризации подробно описана в разделе 5.2.3 (см. теорему 34). Используя накрытие сферы тором (разветвленное в особых точках системы), мы, фактически, сводим задачу вычисления инвариантов Фоменко–Цишанга для исходной системы к задаче вычисления этих инвариантов для системы на торе, которая существенно проще в силу разделения переменных. Основным моментом в вычислении инвариантов является построение допустимых систем координат, описанное в разделе 5.2.7.

Ответ в виде списка инвариантов Фоменко–Цишанга для рассматриваемой задачи (при различных значениях параметров системы) приведен в теореме 37.

Материал раздела 5.2 содержит результаты, опубликованные автором в совместной работе с Т. Г. Возмищевой [17]. Теорема 34 (о регуляризации), теорема 35 (о боттовости) и построение допустимых систем координат для всех случаев (раздел 5.2.7) принадлежат автору. Некоторые из остальных результатов получены Т. Г. Возмищевой или совместно, что более точно отмечено в тексте раздела 5.2.

В разделе 5.3 главы 5 рассматривается система, описывающая динамику многомерного твердого тела (волчок Эйлера–Манакова на алгебре Ли so(n)). В частности, на этом примере продемонстрированы некоторые методы топологического анализа интегрируемых систем в многомерном случае. Кроме того при исследовании этой системы существенно используется тот факт, что она обладает бигамильтоновой структурой.

Отметим, что интегрируемость многих систем, возникающих в механике, геометрии, математической физике, тесно связана с их бигамильтоновостью. Основы такого подхода были заложены в работе Ф. Магри [93], после чего он развивался многими авторами (см. [5], [6], [78], [19], [94], [111]). Было обнаружено, что многие классические интегрируемые системы обладают бигамильтоновой структурой, и, наоборот, использование бигамильтоновой “технологии” помогло обнаружить много новых интересных примеров интегрируемых систем (см. [13], [85], [92], [109], [101], [102].

Использование бигамильтонова подхода помогает и при изучении особенностей интегрируемых систем (особенно в многомерном случае, когда прямые вычисления бывают чрезвычайно сложны). Основная идея заключается в том, что структура особенностей бигамильтоновой системы определяется особенностями соответствующего пучка согласованных скобок. Поэтому, например, для линейных скобок Пуассона многие вопросы о топологической структуре особенностей соответствующей системы можно переформулировать на достаточно простом алгебраическом языке и получить ответ в тех же простых терминах.

Сначала мы описываем общие понятия и факты, связанные с бигамильтоновыми системами (раздел 5.3.1). Затем (в разделе 5.3.2) приводится описание рассматриваемой системы (многомерное твердое тело).

Далее мы доказываем некоторые факты об особенностях достаточно произвольных бигамильтоновых систем (накладываемые ограничения перечислены в разделе 5.3.3), из которых затем выводятся соответствующие результаты для рассматриваемой системы.

В разделе 5.3.4 получено описание множества всех особых точек бигамильтоновой системы в терминах множества особенностей соответствующего пучка скобок Пуассона (теорема 41) и описание множества особенностей рассматриваемой системы (теоремы 42 и 43).

В разделе 5.3.5 исследуются положения равновесия, для которых получено описание в общем случае (теорема 44) и для многомерного твердого тела (теорема 45).

Кроме того, доказано достаточное условие невырожденности для рассматриваемой системы (теорема 47).

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации • Решена задача полулокальной классификации чисто гиперболических особенностей ранга 0 для интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы. В частности, построен новый топологический инвариант (fn -граф), решающий эту задачу, описан алгоритм, реализующий перечисление указанных инвариантов, эффективность этого алгоритма продемонстрирована на примере составления списков особенностей малой сложности.

• Для чисто гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы построен алгоритм нахождения сомножителей минимальной модели по fn -графу, а также получена оценка для сложности атомов, являющихся сомножителями минимальной модели особенности произвольной сложности, не зависящая от числа степеней свободы, что обобщает известный ранее результат об особенностях сложности 1.

• Описаны гомологические свойства комплекса особенностей для интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В частности, доказано, что циклы, заданные особыми точками интегрируемой гамильтоновой системы фиксированного ранга, двойственны по Пуанкаре соответствующим классам Чженя касательного расслоения фазового пространства. Также доказано, что подмногообразия, заполненные гиперболическими особенностями, имеют тривиальное нормальное расслоение в фазовом пространстве системы. В качестве следствия получено описание всех систем с невырожденными особенностями на комплексной проективной плоскости.

• Предъявлен новый топологический инвариант, классифицирующий потоки Морса–Смейла на двумерных поверхностях. В частности, получен список таких потоков для малой сложности.

• Проведен топологический анализ интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4). В частности, вычислены инварианты Фоменко для этой интегрируемой системы.

• Исследована топология задачи двух центров на двумерной сфере. В частности, вычислены соответствующие инварианты Фоменко–Цишанга. Тем самым на этом примере продемонстрирована возможность применения теории топологической классификации к интегрируемым системам, гамильтоновы потоки которых не являются полными.

• Для интегрируемых систем, обладающих бигамильтоновой структурой, получено описание в алгебраических терминах множества особенностей ранга 0 и условие их невырожденности. В частности, на основе этих результатов получено описание особенностей многомерной интегрируемой системы, описывающей динамику n-мерного твердого тела.

Результаты диссертации неоднократно излагались на семинаре «Современные геометрические методы» и Кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ, а также на научно-исследовательских семинарах в различных зарубежных научных центрах (Токио, Лейпциг, Бохум, Бремен, Бонн, Йена, Белград, Лафборо). Кроме того, были сделаны доклады на следующих международных конференциях:

• International conference dedicated to the 90th anniversary of L. S. Pontryagin (1998, Москва).

• Symposium dedicated to 150th anniversary of birthday of Soa V. Kovalevskaya (2000, Санкт-Петербург).

• International conference «Dierential Equations and Related Topics» dedicated to the Centenary Anniversary of I. G. Petrovskii (2001, Москва).

• International conference «Contemporary Geometry and Related Topics» (2002, Белград).

• International conference «Classical Problems in the Rigid Body Dynamics» (2004, Донецк).

• The 3rd Seminar on Geometry & Topology (2004, Табриз).

• International conference «Alexandro Readings» dedicated to 110th anniversary of birthday of P. S. Alexamdro (2006, Москва).

• International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems» (2008, Белград).

• International conference «Modern problems of mathematics, mechanics and their applications» dedicated to the 70th anniversary of rector of MSU acad.

V. A. Sadovnichy (2009, Москва).

Автор благодарен своему научному консультанту академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко за постоянное внимание к работе и поддержку, всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механикоматематического факультета МГУ за исключительно теплую и дружескую атмосферу, способствующую успешной работе, а также лично Алексею Викторовичу Болсинову за многочисленные полезные обсуждения вопросов, затронутых в диссертации.

Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ

ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

В этой главе содержится краткое описание необходимых для дальнейшего определений и результатов, связанных с интегрируемыми гамильтоновыми системами и их особенностями. (подробнее см., например, в книге [12] и обзоре [74]).

интегрируемых гамильтоновых систем 1.1.1. Интегрируемые гамильтоновы системы Симплектическое многообразие (M, ) — это гладкое 2n-мерное многообразие M с заданной на нем невырожденной замкнутой 2-формой, которая называется симплектической формой (или симплектической структурой).

Любая гладкая функция H на симплектическом многообразии (M, ) задает на нем векторное поле, называемое косым градиентом функции H (обозначение:

sgrad H). Это поле двойственно дифференциалу функции H относительно симплектической формы.

Если поле sgrad H является полным на M, то оно задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов t : M M, являющихся сдвигами на время t вдоль траекторий поля sgrad H (гамильтонов поток ). Эта динамическая система называется гамильтоновой системой с гамильтонианом H на фазовом пространстве M.

Если dim M = 2n, то говорят, что гамильтонова система имеет n степеней свободы.

В локальных координатах (x1,..., x2n ) гамильтонова система задается уравнениями xi = ( 1 )ij xj, где 1 — матрица, обратная к матрице симплектической формы.

Для симплектического многообразия (M, ) можно задать билинейную кососимметрическую операцию на пространстве C (M ) гладких функций на M по формуле {f, g} = ( 1 )ij xi xj. Эта операция называется скобкой Пуассона и задает струкf g туру алгебры Ли на C (M ). В терминах скобки Пуассона гамильтонова система с гамильтонианом H записывается в виде xi = {xi, H}.

Функция F на фазовом пространстве M называется первым интегралом (или просто интегралом) гамильтоновой системы с гамильтонианом H, если F постоянна вдоль траекторий системы (т. е. вдоль траекторий векторного поля v = sgrad H).

Это означает, что v(F ) = 0. В терминах скобки Пуассона это условие переписывается следующим образом: {F, H} = 0.

Если скобка Пуассона двух функций тождественно равна нулю, то говорят, что функции коммутируют (относительно данной скобки Пуассона). Таким образом, интегралы гамильтоновой системы — это в точности функции, коммутирующие с ее гамильтонианом.

Определение 1. Гамильтонова система на 2n-мерном симплектическом многообразии (M, ) (т. е. система с n степенями свободы) называется интегрируемой по Лиувиллю (или просто интегрируемой), если для нее существует n попарно коммутирующих функционально независимых интегралов F1,..., Fn, для которых соответствующие векторные поля sgrad Fi полны на M.

Отметим, что условие полноты векторных полей на многообразии M автоматически выполнено, если M компактно.

Функциональная независимость интегралов F1,..., Fn означает, что для почти всех точек x M дифференциалы функций dF1 (x),..., dFn (x) в точке x линейно независимы. Точки, в которых интегралы зависимы, называются особыми точками системы.

Смысл определения 1 проясняет следующая классическая теорема.

Теорема 1 (Теорема Лиувилля). Пусть v = sgrad H — интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на симплектическом многообразии (M 2n, ) с интегралами F1,..., Fn. Пусть L — неособая (т. е. не содержащая особых точек ) связная компонента совместной поверхности уровня интегралов F1,..., Fn. Тогда L диффеоморфно прямому произведению k-мерного тора T k и Rnk.

Более того, если многообразие L компактно, то оно диффеоморфно n-мерному тору T n, и некоторая окрестность U этого тора диффеоморфна прямому произведению T n и n-мерного диска Dn, причем существуют координаты s1,..., sn на диске Dn и угловые координаты 1,..., n на торе T n, в которых симплектическая структура на U имеет вид в виде si = 0, i = ci (s1,..., sn ).

Торы T n, описанные в теореме 1, называются торами Лиувилля (или лиувиллевыми торами). Координаты s1,..., sn, 1,..., n называются координатами действие-угол.

Замечание 1. Хотя выбор интегралов для конкретной гамильтоновой системы неоднозначен, обычно мы будем считать, что они фиксированы. Более того, как правило, мы не будем выделять гамильтониан среди набора интегралов. Таким образом, говоря об интегрируемой гамильтоновой системе, мы будем иметь в виду набор данных (M,, F1,..., Fn ), подразумевая, что гамильтониан H есть некоторая функция от F1,..., Fn.

Отметим, что выбор гамильтониана важен, если интересоваться динамикой на инвариантных многообразиях системы. Однако мы будем рассматривать лишь топологические свойства слоения, порождаемого этими инвариантными многообразиями, и игнорировать динамику на них (см. определение 4).

С любой интегрируемой гамильтоновой системой (M,, F1,..., Fn ) связано следующее действие коммутативной группы Rn на фазовом пространстве M, порожденное гамильтоновыми потоками первых интегралов.

Определение 2. Любой элемент = (1,..., n ) группы Rn задает диффеоморфизм 1 : M M, являющийся сдвигом на 1 вдоль траекторий косого градиенF та функции F = 1 F1 + · · · + n Fn. Поскольку векторные поля sgrad F1,..., sgrad Fn коммутируют и полны на M, отображение 1 является гомоморфизмом Rn Di M и, следовательно, определяет действие группы Rn на многообразии M.

Мы будем называть это действие гамильтоновым действием 1 группы Rn, порожденным функциями F1,..., Fn (или соответствующим интегрируемой системе (M,, F1,..., Fn )).

По-видимому, здесь нет единой терминологии. В различных работах это действие называют как “гамильтоновым”, так и “пуассоновым”.

Как видно из этого определения, интегрируемая гамильтонова система (M,, F1,..., Fn ) однозначно определяет соответствующее гамильтоново действие группы Rn. Переход от гамильтонова действия группы Rn на симплектическом многообразии (M, ) к интегрируемой гамильтоновой системе (M,, F1,..., Fn ) эквивалентен выбору базиса в Rn (если, конечно, нам не важен выбор гамильтониана;

см. замечание 1). В этом смысле понятия интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы и гамильтонова действия группы Rn эквивалентны.

Интегрируемой гамильтоновой системе (M,, F1,..., Fn ) соответствует отображение F : M Rn, определяемое формулой F(x) = (F1 (x),..., Fn (x)). Оно называется отображением момента.

Основным объектом исследования при изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем является слоение (с особенностями), определяемое следующим образом.

Определение 3. Слоение на фазовом пространстве M интегрируемой гамильтоновой системы (M,, F1,..., Fn ), образованное связными компонентами прообразов F1 (y) при отображении момента (т. е. связными компонентами совместных поверхностей уровня первых интегралов F1,..., Fn ), называется слоением Лиувилля, соответствующим этой системе.

Обозначим множество критических точек отображения момента F через K = {x M | rk dF(x) < n}. Множество критических значений = F(K) (образ множества K при отображении F) называется бифуркационной диаграммой отображения момента F.

Слои слоения Лиувилля, не содержащие критических точек отображения момента, называются регулярными. Все остальные слои называются особыми (или сингулярными).

По теореме Лиувилля все компактные регулярные слои являются торами Лиувилля. Если точка y в образе отображения момента движется по гладкой кривой, не пересекая бифуркационную диаграмму, то торы Лиувилля в ее прообразе гладко трансформируются. Если же точка y пересекает, то происходит некоторая бифуркация этих торов.

Основная задача при топологическом (качественном) исследовании интегрируемой гамильтоновой системы состоит в том, чтобы описать топологию соответствующего слоения Лиувилля. Теорема Лиувилля дает полный ответ на этот вопрос в окрестности лиувиллевых торов, но не содержит почти никакой информации о структуре слоения Лиувилля в окрестности особых слоев.

Чтобы “классифицировать” интегрируемые гамильтоновы системы в какомнибудь смысле, необходимо определить для них некоторое отношение эквивалентности.

Определение 4. Две интегрируемые гамильтоновы системы на U1 and U2 называются лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм : U1 U2, отображающий каждый слой слоения Лиувилля на U1 в слой слоения Лиувилля на U2.

Рассматривая другие классы отображений, мы получим другие отношения эквивалентности. Например, можно заменить “гомеоморфизм” в определении 4 на “диффеоморфизм” или “симплектоморфизм” (см. [74]).

Кроме того, можно по-разному выбирать множества U1 и U2 в определении 4.

При изучении “глобальных” свойств интегрируемых систем в качестве такого множества естественно рассматривать все фазовое пространство или изоэнергетическую поверхность системы (т. е. поверхность уровня гамильтониана). Например, для изоэнергетических поверхностей имеется полный топологический инвариант (решающий задачу классификации в этом случае), построенный в работе [63].

Выбирая в качестве множеств U1 и U2 окрестности особых точек или окрестности особых слоев соответствующих слоений Лиувилля, мы, фактически, говорим об “эквивалентности особенностей” интегрируемых систем. Более точно, локальная и полулокальная классификации особенностей интегрируемых гамильтоновых систем означают их классификацию относительно следующих отношений эквивалентности.

Определение 5. Пусть x1 и x2 — критические точки отображений момента для интегрируемых гамильтоновых систем на (M1, 1 ) и (M2, 2 ) соответственно, а L1 x1 и L2 x2 — особые слои соответствующих слоений Лиувилля. Будем говорить, что эти особенности локально (соотв. полулокально) лиувиллево эквивалентны, если существуют такие окрестности U1 и U2 точек x1 и x2 (соотв. слоев L1 и L2 ), что системы на U1 и U2 лиувиллево эквивалентны, причем отображение из определения 4 отображает точку x1 в точку x2 (соотв. слой L1 в слой L2 ).

Как и в определении 4, здесь можно определять другие отношения эквивалентности, рассматривая различные классы отображений. Мы рассматриваем классификацию особенностей только с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Поэтому в дальнейшем мы иногда будем называть “лиувиллеву эквивалентность” просто “эквивалентностью”.

Критические точки отображения момента F, соответствующего интегрируемой системе (M,, F1,..., Fn ), являются ее особыми точками. Если rk dF(x) = r, то говорят, что x является особой точкой ранга r (или особой точкой коранга nr). Это условие равносильно тому, что орбита Ox соответствующего гамильтонова действия группы Rn, проходящая через точку x, имеет размерность r.

Ясно, что каждый регулярный слой слоения Лиувилля для интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы является n-мерной орбитой соответствующего гамильтонова действия. Особый слой L может быть объединением нескольких орбит (разных размерностей). Если r = min dim Ox, то говорят, что L является особенностью ранга r (коранга n r).

Как обычно, чтобы говорить о классификации особенностей, необходимо выделить некоторый класс “особенностей общего положения”. Напомним сначала определение невырожденности для особенностей ранга 0 (см. [12], [74]).

Пусть x M — особая точка ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы (M,, F1,..., Fn ), т. е. dFi (x) = 0 для всех i = 1,..., n. Тогда для каждой функции Fi можно определить линейный оператор AFi : Tx M Tx M по формуле AFi = 1 d2Fi (x). Этот оператор является линеаризацией векторного поля sgrad Fi в точке x и может быть интерпретирован как элемент алгебры Ли sp(Tx M ) (т. е.

алгебры Ли группы линейных симплектических преобразований касательного пространства Tx M ).

Легко проверяется, что если {Fi, Fj } = 0, то [AFi, AFj ] = 0. Поскольку интегралы F1,..., Fn попарно коммутируют, мы получаем, что каждая особая точка x ранга 0 задает коммутативную подалгебру hx в sp(Tx M ) порожденную операторами AF1,..., AFn.

Определение 6. Особая точка x M 2n ранга 0 называется невырожденной, если hx является подалгеброй Картана в алгебре Ли sp(Tx M ).

Определение 6 можно также переформулировать следующим образом.

Определение 6. Особая точка x M 2n ранга 0 называется невырожденной, если билинейные формы d2 F1 (x),..., d2 Fn (x) линейно независимы и существует линейная комбинация 1 d2 F1 (x) + · · · + n d2 Fn (x), для которой корни ее “характеристического многочлена” попарно различны.

Теперь сформулируем определение невырожденности в общем случае.

Пусть x M — особая точка ранга r интегрируемой гамильтоновой системы (M,, F1,..., Fn ). Тогда орбита Ox соответствующего гамильтонова действия, проходящая через точку x, имеет размерность r.

Рассмотрим следующие два линейных подпространства в касательном пространстве Tx M : подпространство Lx = Tx Ox (порожденное косыми градиентами функций F1,..., Fn в точке x) и его косо-ортогональное дополнение Lx. Поскольку функции F1,..., Fn коммутируют, Lx есть ядро ограничения симплектической структуры на Lx. Отсюда следует, что индуцирует симплектическую форму на факторпространстве Lx /Lx.

Размерность стабилизатора Stx точки x (при гамильтоновом действии, порожденном функциями F1,..., Fn ) равна nr. Связная компонента единицы группы Stx изоморфна Rnr и ее действие на M порождает действие на Tx M линейными симплектическими преобразованиями. Поскольку Lx и Lx инвариантны относительно этого действия, мы получаем симплектическое (относительно формы ) действие группы Stx = Rnr на пространстве Lx /Lx размерности 2(n r).

Таким образом, после описанной редукции ситуация становится аналогичной случаю особенностей ранга 0. В частности, мы получаем коммутативную подалгебру hx в алгебре Ли sp(Lx /Lx, ).

Определение 7. Особая точка x M 2n ранга r называется невырожденной, если hx является подалгеброй Картана в алгебре Ли sp(Lx /Lx, ).

Особый слой L слоения Лиувилля L будем называть невырожденным, если все его точки являются невырожденными.

Для невырожденных особенностей интегрируемых гамильтоновых систем задача локальной классификации решена (даже с точностью до симплектической эквивалентности). Ответ содержится в следующей теореме (см. [81], [117], [96], [124]).

Теорема 2 (теорема Элиассона). Пусть x — невырожденная особая точка ранга r интегрируемой гамильтоновой системы (M,, F1,..., Fn ). Тогда в некоторой окрестности точки x M существуют симплектические координаты q1,..., qn, p1,..., pn и интегралы F1,..., Fn (задающие то же слоение Лиувилля, что и интегралы F1,..., Fn ) такие, что функции Fi (q1,..., qn, p1,..., pn ) при i = 1,..., r задаются формулой а при i > r — одной из следующих формул:

Из теоремы Элиассона следует, что локальная структура невырожденной особенности однозначно характеризуется ее рангом r и типом, т. е. тройкой чисел (m1, m2, m3 ), равных количеству эллиптических, гиперболических и фокусных компонент соответственно. (Отметим, что в случае двух степеней свободы особые точки ранга ноль называются также точками типа центр-центр, центр-седло, седло-седло, фокус-фокус для типов (2, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1) соответственно.) Задача полулокальной классификации особенностей гораздо сложнее. Даже “малые” окрестности особых слоев могут иметь сложную топологию и не задаются однозначно простыми числовыми характеристиками (такими как ранг, количество особых точек на слое и т. п.).

Опишем теперь некоторый метод, позволяющий конструировать “сложные” особенности из “простых”.

Пусть (M 2k,, F1,..., Fk ) и (M 2l,, F1,..., Fl ) — интегрируемые гамильтоновы системы. Рассмотрим прямое произведение M 2k M 2l. Интегралы Fi, Fj и 2-формы, естественным образом поднимаются на многообразие M 2k M 2l (сохраним для них прежние обозначения). В результате мы получаем новую интегрируемую систему (с k + l степенями свободы) Точка (x, x) M 2k M 2l является особой точкой системы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек x, x является особой. Более того, особая точка (x, x) является невырожденной тогда и только тогда, когда x и x являются невырожденными (или неособыми), причем ранг особой точки (x, x) равен сумме рангов точек x и x.

Интегрируемая гамильтонова система, полученная описанным способом, называется прямым произведением. Аналогичным образом эту операцию можно определить для произвольного числа сомножителей.

Особенность интегрируемой гамильтоновой системы, рассматриваемая с локальной (соотв. полулокальной) точки зрения, называется особенностью типа прямого произведения, если она локально (соотв. полулокально) эквивалентна прямому произведению систем на некоторых окрестностях соответствующих точек (соотв.

слоев).

Из теоремы Лиувилля следует, что любую интегрируемую гамильтонову систему с n степенями свободы в окрестности тора Лиувилля можно рассматривать как прямое произведение n тривиальных систем с одной степенью свободы. Теорема Элиассона говорит о том, что локально каждая невырожденная особенность может быть разложена в прямое произведение базисных невырожденных особенностей (двумерных и четырехмерных).

Как было доказано Н. Т. Зунгом (см. теорему 3), аналогичное описание топологии невырожденных особенностей существует и в полулокальном случае. Это описание дается в терминах “почти прямых произведений”, которые определяются следующим образом.

Рассмотрим особенность U = W1 · · · Wm, являющуюся прямым произведением особенностей, и действия 1,..., m конечной группы G на ее сомножителях, удовлетворяющие следующим условиям:

• каждое отображение i (g) : Wi Wi является симплектоморфизмом, сохраняющим функции, которые определяют слоение Лиувилля на Wi ;

(g)(x1,..., xm ) = (1 (g)(x1 ),..., m (g)(xm )), свободно.

Факторизуя пространство U = W1 · · · Wm по действию группы G, мы получаем гладкое многообразие U/G, причем симплектическая структура и коммутирующие функции, определяющие слоение Лиувилля, переносятся естественным образом с U на U/G.

Определение 8. Особенности вида (W1 · · · Wm )/G называются почти прямыми произведениями. Особенности, лиувиллево эквивалентные почти прямым произведениям, будем называть особенностями типа почти прямого произведения.

Оказывается, что все невырожденные особенности, удовлетворяющие некоторому естественному “условию нерасщепляемости”, лиувиллево эквивалентны почти прямым произведениям простейших (двумерных и четырехмерных) особенностей.

Далее мы будем в основном рассматривать гиперболические особенности ранга 0. Поэтому сформулируем здесь “условие нерасщепляемости” (определение 9) и “теорему о разложении” (теорема 3) лишь для этого случая (соответствующие определения и формулировки в общем случае см. в [121], [12], [74, раздел 4.3]).

Пусть L — невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы. Это означает, что все особые точки x(1),..., x(k), лежащие на слое L, являются гиперболическими особыми точками ранга 0 (будем предполагать, что число особых точек конечно; см. раздел 1.5).

Рассмотрим “локальную бифуркационную диаграмму” для точки x(j), т. е. бифуркационную диаграмму отображения момента F, ограниченного на малую окрестность точки x(j). Она имеет стандартный вид, поскольку в силу теоремы Элиассона она задается уравнением F1 ·... · Fn = 0, где F1,..., Fn можно рассматривать как координаты в окрестности образа точки x(j) при отображении момента F. Ясно, что F отображает все точки x(1),..., x(k) в одну и ту же точку. Однако локальные бифуркационные диаграммы для точек x(1),..., x(k), вообще говоря, могут быть различны.

“Условие нерасщепляемости” заключается в том, чтобы они были в точности одни и те же для всех точек x(1),..., x(k). Более точно это условие можно сформулировать следующим образом.

Определение 9. Будем говорить, что невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 для системы с n степенями свободы удовлетворяет условию нерасщепляемости, если для некоторой окрестности U особого слоя L бифуркационная диаграмма отображения момента F : U Rn может быть переведена некоторым диффеоморфизмом Rn Rn в объединение координатных гиперплоскостей.

Отметим, что для всех известных нам примеров интегрируемых гамильтоновых систем, возникающих в механике и физике, условие нерасщепляемости выполнено.

“Искусственный” пример системы, для которой это условие не выполнено, можно построить уже в случае двух степеней свободы (см. раздел 2.8). ( Теперь мы можем сформулировать “теорему о разложении” (отметим еще раз, что мы приводим формулировку не для произвольных невырожденных особенностей, а лишь для гиперболических особенностей ранга 0).

Теорема 3 (Н. Т. Зунг [121]). Любая невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 (для системы с n степенями свободы), удовлетворяющая условию нерасщепляемости, полулокально эквивалентна почти прямому произведению гиперболических особенностей систем с одной степенью свободы.

Сформулируем еще один результат для систем с двумя степенями свободы, который, формально говоря, следует из “общей” теоремы Зунга о разложении, но был получен гораздо раньше и, фактически, являлся одним из источников развития теории топологической классификации, в рамках которой, в частности, была получена и теорема Зунга.

Определение 10. Пусть (M 4,, H, F ) — интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы, а Q3 = {x M 4 | H(x) = h} — ее неособая изоэнергеh тическая поверхность. Интеграл F называется боттовским на Q3, если его критиh ческие точки (как функции на Qh ) образуют подмногообразия, а ограничение F на малую трансверсальную площадку к этим подмногообразиям является функцией Морса.

Не сложно понять, что условие боттовости интеграла эквивалентно тому, что критические точки интеграла F на Qh являются для рассматриваемой интегрируемой гамильтоновой системы невырожденными особыми точками ранга 1 (в смысле определения def-nondeg) — эллиптическими или гиперболическими.

Теорема 4 (А. Т. Фоменко, Х. Цишанг [63]). Пусть F — боттовский интеграл на компактной неособой изоэнергетической поверхности Q3 интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Слоение Лиувилля в окрестности критического уровня интеграла F в Q3 имеет один из следующих видов (с точностью до полулокальной лиувиллевой эквивалентности):

1) A S 1, где A — эллиптическая особенность системы с одной степенью свободы;

2) V S 1, где V — гиперболическая особенность системы с одной степенью свободы;

3) (V S 1 )/Z2, где инволюция, определяющая действие группы Z2, имеет неподвижные точки только в некоторых особых точках точках ранга 0 на V и действует как сдвиг на S 1.

Перечисленные в теореме 4 три типа слоения Лиувилля (на трехмерных кусках изоэнергетической поверхности) иногда называют 3-атомами (в отличие от “двумерных” атомов, которые подробно обсуждаются в разделе 2.1).

Глава 2. КЛАССИФИКАЦИЯ СЕДЛОВЫХ

ОСОБЕННОСТЕЙ ИНТЕГРИРУЕМЫХ

ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

В этой главе рассматриваются невырожденные особенности ранга 0, имеющие только гиперболические компоненты. Основная цель — получить полулокальную классификацию таких особенностей с точностью до лиувиллевой эквивалентности.

Опишем более точно класс особенностей, для которых решается задача классификации:

1) рассматриваемый особый слой невырожден и содержит лишь конечное число особых точек ранга 0, причем все они чисто гиперболические;

2) в некоторой окрестности рассматриваемого особого слоя все слои слоения Лиувилля компактны;

3) рассматриваемая особенность удовлетворяет условию нерасщепляемости (см. определение 9).

В силу теоремы Зунга о разложении (теорема 3) особенность, удовлетворяющую условию 3), можно рассматривать как почти прямое произведение двумерных особенностей. Именно это свойство особенности мы будем использовать, и можно было бы потребовать его выполнения вместо условия 3). Однако при исследовании конкретных систем удобнее проверять условие 3). Особенности, для которых выполнены условия 1)–3), будем называть седловыми особенностями.

Ясно, что имеется бесконечное число неэквивалентных седловых особенностей.

Поскольку n (число степеней свободы) и k (сложность, т. е. количество особых точек ранга 0 на слое) являются инвариантами седловой особенности относительно лиувиллевой эквивалентности, имеет смысл говорить о классификации особенностей для данной пары чисел n и k. Тем самым бесконечный “список” всех особенностей можно разбить на конечные части.

Задача полулокальной классификации седловых особенностей с точностью до лиувиллевой эквивалентности может быть сформулирована следующим образом:

описать алгоритм, позволяющий для данных n и k получить полный список неэквивалентных седловых особенностей сложности k для систем с n степенями свободы.

Отметим, что кроме алгоритма необходим “простой язык” для описания самих списков особенностей, а также особенностей конкретных систем. Представление особенностей в виде почти прямых произведений достаточно удобно для такого описания. Однако теорема о разложении не дает ответа на вопрос о том, как получить список особенностей данного типа и данной сложности.

2.1.1. Атомы как особенности систем с одной Простейшими седловыми особенностями являются особенности систем с одной степенью свободы. Все такие системы являются интегрируемыми по определению и задаются просто функцией (гамильтонианом H) на симплектическом многообразии (M 2, ). Слоями соответствующего слоения Лиувилля являются связные компоненты линий уровня гамильтониана H.

Особые точки системы (M 2,, H) — это критические точки функции H. Их невырожденность (как особых точек системы) означает невырожденность второго дифференциала функции H в этих точках.

Определение 11. Класс полулокальной лиувиллевой эквивалентности невырожденной особенности для системы с одной степенью свободы называется атомом.

Представителей класса эквивалентности мы также будем называть атомами.

Иными словами, атом можно рассматривать как гамильтонову систему (V,, H) с особенностью, где H — функция Морса с одним критическим значением 0, а V = H 1 [, ] — (замкнутая) связная окрестность особого слоя.

Очевидно, что для систем с одной степенью свободы существует лишь одна эллиптическая особенность (с точностью до лиувиллевой эквивалентности). Все остальные невырожденные особенности являются седловыми атомами. Для краткости будем называть их просто атомами. Количество седловых точек на особом слое (они также называются вершинами атома) называется сложностью атома.

Пример 1. На рис. 1 и рис. 2 изображены все атомы сложности 1 и 2 соответственно. Они изображены в виде пары (V, L), где L — особый слой. Очевидно, что пара (V, L) однозначно определяет атом как класс полулокальной лиувиллевой эквивалентности.

Рис. 1: Эллиптический атом A и седловой атом B сложности В работе [43] рассматривалась задача классификации функций Морса на замкнутых двумерных поверхностях, имеющих единственный седловой критический уровень, с точностью до послойного гомеоморфизма. Как легко понять, для ориентируемых поверхностей эта задача эквивалентна задаче полулокальной классификации седловых особенностей систем с одной степенью свободы, т. е. атомов (определение 11).

В работе [43] было введено понятие f -графа и построен инвариант, решающий указанную задачу классификации (как для ориентируемых, так и для неориентируемых поверхностей). Кроме того, в работе [43] было описано соответствие между f -графами и подгруппами конечного индекса в группе Z Z2. Обобщение этой конструкции на многомерный случай содержится в разделе 2.4.

Поскольку при классификации особенностей интегрируемых систем нас интересует только ориентируемый случай, общую конструкцию можно упростить. Приведем некоторые определения и результаты из [43] с учетом этих упрощений.

Определение 12. Конечный граф, некоторые из ребер которого ориентированы, называется f -графом, если все его вершины имеют степень 3 и в окрестности каждой вершины он имеет следующую структуру: среди трех ребер, инцидентных вершине, имеется одно неориентируемое, одно входящее и одно выходящее (при этом одно и то же ориентированное ребро может быть одновременно входящим и выходящим для некоторой вершины, т. е. граф может иметь ориентированные петли).

Из определения f -графа следует, что его ориентированные ребра образуют непересекающиеся циклы, а каждое неориентированное ребро соединяет пару различных вершин. Сложностью f -графа называется число его неориентированных ребер. Очевидно, любой f -граф сложности k имеет 2k вершин и 3k ребер.

Замечание 2. Определение f -графа, данное в работе [43], отличается от определения 12, поскольку при изучении гамильтоновых систем нам достаточно рассматривать только ориентируемый случай. В исходном определении из работы [43] ребра f -графа были снабжены метками ±1. Такой объект (f -граф с метками) также рассматривается в диссертации (в разделе 3.2.4) в связи с классификацией потоков Морса на поверхностях и назван там меченым f -графом.

Рассмотрим седловую особенность гамильтоновой системы с одной степенью свободы, т. е. гамильтонову систему (V,, H), где H — функция Морса с одним критическим значением 0, а V = H 1 [, ] — замкнутая связная окрестность особого слоя. Опишем конструкцию, сопоставляющую этой седловой особенности некоторый связный f -граф.

Рассмотрим уровень H 1 () как набор циклов, ориентированных потоком sgrad H. Рассмотрим также сепаратрисы векторного поля grad H (относительно любой метрики), начинающиеся на этих циклах и входящие в седловые точки на особом слое L = H 1 (0). Вершинами f -графа будут концы сепаратрис, лежащие на уровне H 1 (). Каждая пара сепаратрис, входящих в одну и ту же особую точку, образует неориентированное ребро f -графа. Ориентированными ребрами будут отрезки циклов H 1 () между вершинами.

Определение 13. Будем говорить, что построенный f -граф соответствует гамильтоновой системе (V,, H) (или седловой особенности, заданной этой системой).

Подчеркнем, что f -граф, соответствующий атому (V,, H), не предполагается вложенным в V, а является абстрактным графом, удовлетворяющим условиям определения 12.

Два f -графа считаются одинаковыми (или изоморфными), если существует биекция множества вершин одного f -графа на множество вершин другого, при которой неориентированные ребра переходят в неориентированные, а ориентированные — в ориентированные с сохранением ориентации.

Если f -графы и, соответствующие гамильтоновым системам (V,, H) и (V,, H ), одинаковы, то эти системы эквивалентны. Обратное утверждение “почти верно”. А именно, если система (V,, H ) эквивалентна системе (V,, H), то соответствующий ей f -граф совпадает с одним из четырех f -графов, соответствующих четырем системам (V, ±, ±H).

Это приводит к следующему определению.

Определение 14. Два f -графа и называются эквивалентными, если можно получить из, применяя одну из следующих двух операций (или их композицию):

• изменение ориентации f -графа, т. е. изменение ориентации у всех его ориентированных ребер;

• переворачивание f -графа, т. е. замена окрестностей всех его неориентированных ребер по правилу Отметим, что изменение ориентации f -графа соответствует изменению знака у, а операция переворачивания — изменению знака у H и у. Обе операции, очевидно, являются инволюциями.

Пример 2. На рис. 3 изображены все f -графы сложности 1 и 2. Они соответствуют атомам B, C1, C2, D1, D2, приведенным на рис. 1 и 2. При этом f -графы сложности 1 переходят друг в друга при операции переворачивания. Два из пяти f -графов сложности 2 (они соответствуют атому D1 ) также переходят друг в друга при переворачивании, а остальные три при переворачивании не меняются. Отметим, что минимальная сложность f -графа, который не переходит в себя при изменении ориентации, равна 4.

Теперь соответствие между седловыми особенностями гамильтоновых систем с одной степенью свободы и f -графами можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Теорема 5 ([43]). Седловые особенности гамильтоновых систем с одной степенью свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие им f -графы. При этом любой связный f -граф соответствует некоторой седловой особенности.

Теорема 5 означает, что связный f -граф, рассматриваемый с точностью до переворачивания и изменения ориентации, является полным инвариантом для задачи классификации атомов. Поскольку f -граф является комбинаторным объектом, можно предъявить простой алгоритм для составления списка всех f -графов данной сложности k. Приведем один из возможных способов алгебраического описания f графов, который удобен для их перечисления с помощью компьютера.

Пусть — f -граф сложности k. Рассмотрим некоторую нумерацию его вершин 1, 2,..., 2k. Тогда ориентированные ребра f -графа задают перестановку µ S2k (где Sm — симметрическая группа степени m), которая переводит i в j, если существует ориентированное ребро, идущее из вершины с номером i в вершину с номером j. Аналогично, неориентированные ребра задают перестановку S2k, переставляющую местами i и j, если существует неориентированное ребро, соединяющее вершины с номерами i и j.

По паре перестановок, µ S2k исходный f -граф однозначно восстанавливается. А именно, в качестве множества вершин рассмотрим множество {1, 2,..., 2k}, неориентированные ребра задаются (неупорядоченными) парами {i, (i)}, а ориентированные ребра — упорядоченными парами {i, µ (i)}, где i = 1, 2,..., 2k. Очевидно, что эта процедура (построение f -графа по паре перестановок, µ S2k ) корректно определена, если перестановка “разбивает вершины на пары”, т. е. является инволюцией без неподвижных точек.

Итак, каждая пара перестановок, µ S2k, для которой — инволюция без неподвижных точек, однозначно задает некоторый f -граф (, µ). При этом различные пары могут задавать одинаковые f -графы, поскольку перенумерация вершин не влияет на топологию f -графа. Любую перенумерацию можно рассматривать как сопряжение пары перестановок, µ при помощи некоторой перестановки g S2k, т. е. как замену перестановок, µ на g g 1, gµg 1. Получаем следующее простое утверждение.

Предложение 1. Два f -графа (, µ) и (, µ ) изоморфны тогда и только тогда, когда = g g 1 и µ = gµg 1 для некоторой перестановки g S2k.

Очевидно, что все перестановки, являющиеся инволюциями без неподвижных точек, сопряжены. Поэтому нумерацию вершин можно выбрать так, чтобы перестановка приняла некоторый стандартный вид. Будем считать, что (2i 1) = 2i и (2i) = 2i 1, где i = 1,..., k. Зафиксировав таким образом перестановку, получаем, что каждая перестановка µ S2k однозначно задает некоторый f -граф (µ) = (, µ). Следующее утверждение также легко проверяется.

Предложение 2. Два f -графа (µ) и (µ ) изоморфны тогда и только тогда, когда µ = gµg 1 для некоторой перестановки g Z, где Z — централизатор перестановки в группе S2k.

Предложение 2 означает, что f -графы сложности k “нумеруются” орбитами действия группы Z сопряжениями на S2k. Поскольку нас интересуют не сами f графы, а атомы, которые им соответствуют, необходимо еще провести факторизацию по операциям изменения ориентации и переворачивания.

Легко понять, что при изменении ориентации f -графа (, µ) получается f -граф (, µ1 ), а при переворачивании f -графа (, µ) — f -граф (, µ). Здесь мы считаем, что при операции переворачивания соответствие между “старыми” и “новыми” вершинами f -графа устанавливается следующим образом:

т. е. для каждого ориентированного ребра сохраняется номер вершины, являющейся его началом.

Таким образом, для перестановки µ имеются еще две операции (кроме сопряжений элементами из Z ), не меняющие f -граф (µ) = (, µ): замена µ на µ1 и замена µ на µ. Легко проверить, что обе эти операции коммутируют с любым сопряжением (элементом из Z ), а их коммутатор переводит µ в µ, т. е. является сопряжением перестановкой. В результате получаем следующее утверждение.

Теорема 6. Перестановки µ и µ из S2k задают эквивалентные f -графы (а значит, в силу теоремы 5, и одинаковые атомы) тогда и только тогда, когда либо µ = gµ±1 g 1, либо µ = g µ±1 g 1 для некоторой перестановки g Z, где Z — централизатор перестановки в группе S2k.

Как видно из теорем 5 и 6, описание особенностей при помощи f -графов (или перестановок) позволяет легко составлять списки атомов (т. е. седловых особенностей для систем с одной степенью свободы). При увеличении сложности их количество растет довольно быстро. Приведем следующий результат, полученный с помощью компьютера.

Предложение 3. Для k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 количество (седловых ) атомов сложности k равно соответственно 1, 4, 10, 58, 322, 3044, 33917.

Начиная с двух степеней свободы классификация седловых особенностей сильно усложняется. Приведем некоторые результаты, полученные в этом направлении (см. также [12] и [74, раздел 5.2]).

Первые результаты о полулокальной классификации седловых особенностей были получены в работах Л. М. Лермана и Я. Л. Уманского [29], где рассматривались особенности сложности 1 для систем с двумя степенями свободы.

Ясно, что топология особого слоя является инвариантом особенности. Особый слой представляет из себя двумерный комплекс, клетками которого являются орбиты гамильтонова действия. В случае особенностей сложности 1 особый слой содержит одну 0-мерную клетку (особая точка), четыре 1-мерные клетки и четыре 2-мерные. При этом каждая 2-мерная клетка является “четырехугольником”, т. е. ее граница разбита на четыре отрезка, внутренность каждого из которых гомеоморфно отображается на 1-мерную клетку при характеристическом отображении.

Л. М. Лерман и Я. Л. Уманский показали, что в случае двух степеней свободы седловые особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны. Исследовав все возможные варианты, они получили полный список, состоящий из четырех попарно неэквивалентных особенностей.

Имеется другой естественный инвариант седловой особенности (в случае двух степеней свободы), называемый “круговой молекулой”. Этот инвариант можно кратко описать следующим образом (подробнее см. в [121], [12], [74]). Пусть образ особого слоя при отображении момента F есть точка P R2. Бифуркационная диаграмма в окрестности точки P состоит из двух гладких кривых, трансверсально пересекающихся в точке P, которые можно считать координатными линиями (см. определение 9). Рассмотрим маленькую окружность с центром в точке P и ее прообраз при отображении момента. Круговая молекула — это инвариант, описывающий топологию слоения Лиувилля в трехмерном многообразии F1 ().

Круговые молекулы для всех четырех особенностей сложности 1 были вычислены в работе А. В. Болсинова [72]. Как оказалось, все они различны, и поэтому также дают классификацию особенностей сложности 1 для систем с двумя степенями свободы.

В силу теоремы о разложении каждая из четырех особенностей сложности может быть представлена в виде почти прямого произведения атомов. Оказывается, для этого достаточно использовать лишь атомы сложности 1 и 2 (см. рис. 1 и рис. 2).

Ответ получается следующий:

Здесь Z2 действует на сомножителях как центральная симметрия, а Z2 Z2 (в последнем случае) действует следующим образом: одна образующая действует на первом сомножителе как центральная симметрия, а на втором — как инволюция, оставляющая вершины атома на месте; вторая образующая, наоборот, действует на первом сомножителе как инволюция, а на втором — как центральная симметрия.

Описание четырех особенностей сложности 1 с помощью инварианта, построенного в данной работе (см. раздел 2.3), приведено на рис. 5.

Полулокальная классификация особенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы была получена А. В. Болсиновым в работе [72]. Он получил их полный список, состоящий из 39 особенностей.

Оказалось, что для особенностей сложности 2 топология особого слоя уже не является полным топологическим инвариантом, т. е. некоторые из 39 попарно неэквивалентных особенностей имеют гомеоморфные особые слои. Поэтому в работе [72] был введен еще один инвариант седловой особенности, называемый “l-типом”. Как уже отмечалось (см. предыдущий раздел), бифуркационная диаграмма в окрестности образа особого слоя состоит из двух трансверсально пересекающихся кривых 1 и 2. Для каждой из этих кривых критические точки отображения момента в ее прообразе образуют двумерное симплектическое подмногообразие. Слоение Лиувилля исходной системы индуцирует на этих подмногообразиях слоение, которое можно рассматривать как слоение Лиувилля для системы с одной степенью свободы. При этом особые точки ранга 0 исходной системы будут седловыми особыми точками для индуцированных слоений. Таким образом, мы получаем два атома V и V2, соответствующие кривым 1 и 2 (см. определение 11). Эта пара атомов (V1, V2 ) называется l-типом особенности (см. также [12]). (Отметим, что атомы V1, V2, задающие l-тип особенности, могут быть несвязными, т. е., строго говоря, они являются наборами атомов.) Круговые молекулы для всех 39 особенностей сложности 2 были построены В. С. Матвеевым в работе [33] (см. также [73]). Как и в случае сложности 1, оказалось, что все они различны. Поэтому для седловых особенностей сложности круговая молекула является полным инвариантом полулокальной эквивалентности.

Представление 39 особенностей сложности 2 в виде почти прямых произведений атомов было получено в работе В. В. Корнеева [26] (см. также [74, табл. 4]). Отметим, что для некоторых из 39 особенностей порядок группы, по которой необходимо проводить факторизацию прямого произведения, равен 8, причем эта группа не обязательно коммутативна.

2.2.3. Три степени свободы, сложность Этот случай был исследован В. В. Калашниковым [24]. Он использует подход, основанный на разложении особенностей в почти прямое произведение (отметим, что классификация особенностей сложности 1 и 2 для систем с двумя степенями свободы, описанная в разделах 2.2 и 2.3, была получена без использования теоремы о разложении).

В работе [24] сформулирована теорема о том, что количество особенностей сложности 1 для случая трех степеней свободы равно 32, и приведен их список. Список особенностей, составленный В. В. Калашниковым, содержит 32 особенности, представленные в виде почти прямых произведений атомов (см. также [12] и [74, табл. 5]).

Как выяснилось недавно, в этом списке пропущены некоторые особенности, а некоторые из почти прямых произведений, указанных в списке, на самом деле задают эквивалентные особенности.

Правильный список седловых особенностей сложности 1 для трех степеней свободы можно получить, используя подход, предлагаемый в данной работе. Для особенностей сложности 1 общая конструкция (изложенная в §3) упрощается. Кроме того, как оказалось, особенности сложности 1 обладают интересными алгебраическими свойствами. Результаты, связанные с исследованием особенностей сложности 1 (для любого числа степеней свободы), и, в частности, их список для трех степеней свободы будут опубликованы автором отдельно.

Отметим, что рассуждения, использованные в работе [24], правильны, но доказательство теоремы о классификации сводится к некоторому перебору, который в работе не приведен. По-видимому, ошибки в списке возникли именно на этом последнем этапе доказательства.

Приведем некоторые результаты более общего характера, чем классификация особенностей данной сложности и данного типа.

1) Для систем с двумя степенями свободы ни топология особого слоя, ни l-тип особенности не являются полными инвариантами (уже для особенностей сложности 2). Однако, оказывается, что пара {топология особого слоя, l-тип} (этот инвариант называется также C-l-типом особенности) однозначно определяет седловую особенность с точностью до полулокальной эквивалентности. Этот факт был доказан В. С. Матвеевым [34] (см. также [73]).

Отметим, что C-l-тип особенности можно рассматривать и в случае любого числа степеней свободы. Неизвестно, будет ли этот инвариант полным для систем с числом степеней свободы больше двух.

Отметим также, что круговая молекула, которая является полным инвариантом для особенностей сложности 1 и 2, в общем случае таковым не является. Примеры неэквивалентных особенностей с одинаковыми круговыми молекулами были построены А. В. Грабежным (см. [74, раздел 7.3]). Простейший из них имеет сложность 4.

2) Несколько полезных утверждений об особенностях сложности 1 было доказано В. В. Калашниковым [24] для любого числа степеней свободы.

Приведем одно из них: особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны.