«Совершенствование профиля поверхности катания колеса вагона на основе критерия контактной усталости ...»

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Брянский государственный технический университет

На правах рукописи

Сакало Алексей Владимирович

Совершенствование профиля

поверхности катания колеса вагона

на основе критерия контактной усталости

Специальность 05.22.07 – Подвижной состав железных дорог,

тяга поездов и электрификация Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор В.В. Кобищанов Брянск 2011 2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………….

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ, ПОСВЯЩЁННЫХ РЕШЕНИЮ

КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ И МОДЕЛИРОВАНИЮ НАКОПЛЕНИЯ

КОНТАКТНО-УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ………....... 1.1. Подповерхностные контактно-усталостные повреждения колеса………… 1.2. Критерии усталостной прочности……………………………………………. 1.3. Аналитические решения нормальной контактной задачи………………….. 1.4. Решение нормальной контактной задачи численными методами…………. 1.5. Быстрые алгоритмы решения контактных задач……………………………. 1.6. Методы уменьшения затрат машинного времени на решение контактных задач………………………………………………... 1.7. Выводы к главе 1…………………………………………………………….... 1.8. Постановка цели и задач исследования…………………………………….... 1.9. Допущения……………………………………………………………………..

ГЛАВА 2. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА УМЕНЬШЕНИЯ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ РАСЧЁТНОЙ СХЕМЫ КОЛЕСА..…...

2.1. Выбор типа конечного элемента……………………………………………... 2.2. Использование расчётных схем с редуцированными узлами……………… 2.3. Использование суперэлементов……………………………………………… 2.4. Выделение фрагмента, опирающегося на упругое основание……………... 2.5. Тестирование зависимостей для задачи с упругими связями……………… 2.6. Выводы к главе 2………………………………………………………………

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОЛЕСЕ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ

ФРАГМЕНТОВ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ…..…………….. 3.1. Приближённое определение жёсткости упругого основания……………… 3.2. Численное определение жёсткости упругого основания для конечноэлементных фрагментов различной толщины………………... 3.3. Решение контактной задачи методом поузловых итераций………………... 3.4. Математическая обработка результатов решения…………………………... 3.5. Тестирование…………………………………………………………………... 3.6. Выводы к главе 3……………………………………………………………....

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАКОПЛЕНИЯ КОНТАКТНО–

УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ КОЛЁС………………..….. 4.1. Определение характеристик усталостной прочности бандажной стали…... 4.2. Быстрый алгоритм решения нормальной контактной задачи………............ 4.3. Зависимость коэффициента внедрения от формы пятна контакта…...……. 4.4. Программная реализация алгоритма решения нормальной контактной задачи для колеса и рельса……………………………………... 4.5. Алгоритм FASTSIM решения тангенциальной контактной задачи качения………………………………………………………………… 4.6. Определение напряжений в области контакта колеса и рельса с использованием конечноэлементного фрагмента на упругом основании………………………………………………………. 4.7. Выводы к главе 4……………………………………………………………..

ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ ПОВЕРХНОСТИ КАТАНИЯ КОЛЕСА

НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЯ КОНТАКТНО-УСТАЛОСТНОЙ

ПРОЧНОСТИ……………………………………………………….. 5.1. Программа CONTFAT……………………………………………………….. 5.2. Моделирование движения полувагона……………………………………... 5.3. Профили поверхностей катания колёс……………………………………... 5.4. Тестирование колёс с различными профилями……………………………. 5.5. Выводы к главе 5…………………………………………………………….. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ…………………………………. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………... ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………….

ВВЕДЕНИЕ

Прочность и износостойкость деталей и узлов машин в ряде случаев определяется условиями их контактирования. Первое решение задачи о контакте двух твёрдых упругих тел дано Г. Герцем в 1882 г. [1]. Разработкой аналитических методов решения контактных задач занимались русские учёные А.Н. Динник [2], Н.М. Беляев [3], С.В. Пинегин [4], В.И. Моссаковский [5], Б.С. Ковальский [6], Л.А. Галин [7], И.Г. Горячева [8], В.М. Александров [9], Н.И. Мусхелишвили [10], И.Я. Штаерман [11], а также зарубежные учёные Р.Д. Миндлин [16], Д.Д. Калкер [17] и др.

В 80-х годах двадцатого столетия началось развитие численных методов решения контактных задач. Разработали алгоритмы решения с использованием конечноэлементных расчётных схем В.И. Кузьменко, Ю.Е. Власенко, Г.А. Фень [18], зарубежные специалисты О. Зенкевич, А. Франкавилла [19], С.К. Чен, И.С. Тьюбе [20], В. Ченг, Ф. Зу [21], Ж. Дьюмас [22], Х. Бей [23], Р. Торстенфельт [24] и др.

Моделирование движения железнодорожных экипажей предъявило особо жёсткие требования к затратам машинного времени на решение контактных задач. Были разработаны быстрые алгоритмы. Широкое применение для решения нормальной контактной задачи нашёл алгоритм, предложенный В. Киком и И. Пиотровским [25], а для решения тангенциальной задачи – алгоритм FASTSIM, разработанный Д.Д. Калкером [26].

Исследованием напряжённо-деформированного состояния колёс подвижного состава, обусловленного технологическими и эксплуатационными воздействиями, занимались С.Н. Киселёв, А.С. Киселёв [27,28], А.В. Саврухин [29], А.А. Хохлов [30] и др.

Успехи, достигнутые в разработке методов решения нормальных и тангенциальных контактных задач, позволили приступить к разработке методов моделирования процессов изнашивания и накопления усталостных повреждений в телах качения. Этими вопросами, а также оптимизацией профилей поверхностей катания колёс вагонов и локомотивов по критериям износостойкости и контактно-усталостной прочности занимались Т.К. Голутвина [31], А.К. Шафрановский [32], Н.А. Панькин [33], Е.П. Корольков [34,35], Е.В. Торская [36], С.М. Захаров [37], Д.П. Марков [38], И.А. Жаров [39], В.П. Есаулов [40], И.В. Царёв [41], Р.В. Ковалёв [42] и др., зарубежные специалисты А. Экберг [43,44,45], П.Д. Муттон [46], Д.Д. Наст [47] и др. За рубежом были предложены профили Хеймана-Лоттера, P8, KKVMZ. О. Креттеком [48], К. Касини [49] и другими были проведены исследования по разработке рациональных профилей.

Причиной некоторых распространённых дефектов деталей машин является контактная усталость. Проблеме контактной усталости посвящены многочисленные исследования во всём мире. Они касаются механизмов зарождения дефекта, испытаний и расчётов контактно-усталостной долговечности, оценки влияния на неё различных факторов.

Взаимодействие колеса и рельса характеризуется рядом особенностей. В этом контакте реализуются очень высокие давления (более 1000 МПа), приводящие при больших коэффициентах трения к пластическим деформациям поверхностей трения. Качение колеса по рельсу, особенно при движении в кривых, сопровождается значительным поперечным проскальзыванием, которое оказывает большее повреждающее действие, чем продольное. Кроме того, в паре колесо – рельс при торможении возможны случаи полного скольжения колеса по рельсу. Это приводит к термомеханическим повреждениям поверхности катания и достаточно быстрому выкрашиванию поверхностных повреждённых слоёв под действием контактных напряжений. В зарубежной литературе для обозначения такого распространённого повреждения поверхности используют термин spalling, подчёркивая, что выкрашивание происходит в поверхностном слое в отличие от подповерхностной контактной усталости, к которой относится термин shelling. В российском железнодорожном техническом лексиконе применяется термин «выщербины», объединяющий оба вида повреждений [37].

Классификация [50] выделяет три типа выщербин (рис. 1):

22-1 – по светлым пятнам, ползунам, наварам – выкрашивание твёрдых участков поверхности катания, образующихся в результате кратковременного скольжения заклиненных колёсных пар по рельсам; глубина обычно не превышает 2 мм;

22-2 – по усталостным трещинам – усталостное разрушение поверхностных слоёв под действием многократно повторяющихся контактных нагрузок, глубина достигает значительных размеров, имеются трещины, идущие вглубь обода;

22-3 – по сетке термотрещин – выкрашивание участков поверхности катания, на которых имеются поперечные термотрещины, возникающие вследствие нагрева тормозными колодками.

Рис. 1. Существующая классификация выщербин [50] Статистические данные, получаемые по запросу ЦВ МПС, об обточке колёсных пар, поступивших в плановый и текущий отцепочные ремонты, свидетельствуют о заметном перераспределении причин обточек за 10 лет (табл. 1) [37].

Доля обточек по выщербинам увеличилась в 1,8 раза, по ползунам – в 1,7 раза, а по тонкому гребню уменьшилась в 1,8 раза. И если причины уменьшения числа обточек по тонкому гребню объясняются широким внедрением лубрикации на Российских железных дорогах (РЖД), то существенное увеличение образования выщербин на колёсах грузовых вагонов требует детального исследования.

Более подробно распределение дефектов поверхности катания в 2001 г. по причинам, приведенным в классификаторе [50], показано на рис. 2. В 2001 г. из Ползуны – 21,5% Рис. 2. Распределение дефектов поверхности катания колёс грузовых 1 479 402 обточенных колёсных пар 519 270, т.е. 35,1%, обточены по выщербинам всех видов, а из-за наличия ползунов и наваров – 26,2%. Таким образом, дефекты поверхности катания, образовавшиеся в результате контактной усталости [37], составляют 61,3%.

В результате обработки сетевых статистических данных по колёсам за 2002 г. получены следующие показатели, касающиеся обода колеса: средняя толщина обода – 49,7 мм; среднее за год число обточек – 4,5; средняя толщина слоя, снимаемого при обточке – 7,62 мм [37].

Анализ 96 509 случаев отцепок грузовых вагонов с выщербинами, ползунами и наварами, выполненный в 1998 г., показал, что в зимние и переходные месяцы число отцепок по выщербинам возрастает соответственно в 2,2 раза и 1,3 раза по сравнению с летними месяцами (табл. 2), а по ползунам практически не меняется [37].

Распределение грузовых вагонов, поступивших в текущий и отцепочный ремонт, с выщербинами, ползунами и наварами по сезонам Увеличение образования выщербин на колёсах грузовых вагонов за эти годы происходило и на железных дорогах Северной Америки. Так за 10 лет с по 1999 г. количество колёс, изымаемых по выщербинам, на этих дорогах увеличилось в 2 раза, а по тонкому гребню – уменьшилось в 1,7 раза (табл. 3) [37].

Статистические данные по железным дорогам Северной Америки приводятся также в работе [51]. Примерно из 10 000 000 колёс грузовых вагонов, находящихся в ремонте, около 200 000 в год полностью выходят из строя и не подлежат ремонту по причине выщербин. За период с 1988 по 1997 г. количество таких колёс увеличилось на 10%.

Изменение причин изъятия колёс на железных дорогах Северной Америки Прокат (высокий гребень + тонкий обод) В 2000 и 2001 г. было проведено обследование колёсных пар вагонов, проходящих плановый и отцепочный ремонт в депо Лосиноостровская Московской дороги и депо Череповец Северной дороги. Депо Череповец ремонтирует грузовые вагоны, перевозящие руду, окатыши и уголь. Через пункт технического осмотра проходят 10 – 11 составов в сутки, из них четыре с рудой, два с окатышами и пять с углём. В среднем в каждом составе 57 вагонов. Было обследовано 326 колёсных пар, проходящих деповские и текущие ремонты. При обследовании измеряли толщину гребня и прокат поверхности катания, описывали вид дефекта, его расположение на поверхности катания, размеры, дефект фотографировали и измеряли твёрдость поверхности в различных местах внутри светлых пятен и ползунов, а также для сравнения в других местах поверхности катания. Всего было обнаружено 332 выщербины на 274 колёсах, из которых расположены попарно на 92 колёсных парах, а у 90 колёс – по одной на колёсной паре. Таким образом, выщербин примерно в 1,2 раза больше, чем повреждённых колёс, и в 1,8 раз больше, чем обточенных колёсных пар (у колёсной пары обтачивают оба колеса для обеспечения их одинакового диаметра) [37].

В рамках выполнения диссертационной работы в 2010 г. было проведено обследование партии колёсных пар в ремонтном цехе вагонного депо БрянскЛьговский Московской железной дороги. Из 52 колёсных пар, поступивших на участок обточки, 31 содержала выщербины, ползуны и навары. Все перечисленные дефекты располагались в пределах дорожки катания, на контактирующих поверхностях гребней колёс подобных дефектов обнаружено не было.

Глубина некоторых выщербин достигала 5 мм. Фотографии обследованных колёс приведены на рис. 3.

Рис. 3. Колёсные пары вагонов с контактно-усталостными повреждениями, поступившие для обточки в вагонное депо Брянск-Льговский Московской железной дороги Доля железнодорожного транспорта в общем грузообороте РФ остаётся вне конкуренции и превышает 40%. Ежегодно по железным дорогам перевозится более 1,5 млрд. тонн грузов. В 2006 г. с учётом индексации тарифов доходы ОАО «РЖД» от грузоперевозок составили 648,4 млрд. рублей (23,9 млрд. долл.) Как видно из табл. 4 более половины вагонного парка России составляют полувагоны и цистерны [52]. Увеличение их срока службы – важная экономическая задача.

Структура вагонного парка России, январь 2008 г.

Контактно-усталостные повреждения могут привести к выходу из строя колёсной пары и нарушению безопасности движения на железных дорогах. Определение условий возникновения таких дефектов и поиск новых конструктивных решений, позволяющих снизить вероятность их появления, являются актуальными.

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ, ПОСВЯЩЁННЫХ РЕШЕНИЮ

КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ И МОДЕЛИРОВАНИЮ

НАКОПЛЕНИЯ КОНТАКТНО-УСТАЛОСТНЫХ

ПОВРЕЖДЕНИЙ

1.1. Подповерхностные контактно-усталостные повреждения колеса Контактно-усталостные повреждения этого вида (рис. 1.1) возникают на глубине 3 – 6 мм и более, а трещины обычно развиваются в сторону поверхности катания, вызывая выкрашивания в виде раковин. Однако трещина может развиваться внутрь колеса, что в случае многократно обточенного обода при действии ударных нагрузок может привести к его разрушению [53,54,55].

На поверхность катания колеса действует спектр сил, зависящих от нагрузки на колесо, положения его на рельсе, профилей колеса и рельса, сил сочетание изношенных профилей колеса и рельса при некоторых положениях колеса на рельсе является фактором, способствующем увеличению Одна из особенностей возникновения подповерхностных контактноусталостных повреждений колеса состоит в том, что материал обода под Рис. 1.1. Подповерхностное контактно-усталостное сил находится в сложном напряжённом состоянии, при котором направление главных напряжений за цикл нагружения меняется, а компоненты напряжений достигают максимальных значений в одно время [43].

В случае качения с проскальзыванием при сравнительно небольших коэффициентах трения максимальные касательные напряжения, вызывающие пластическое течение материала, находятся на глубине, связанной с величиной полуоси эллипса контакта. Моделирование повреждаемости выполняют степенной зависимостью [37] исходя из того, что скорость накопления усталостных повреждений связана с амплитудным значением максимальных касательных напряжений в рассматриваемой точке. Параметры зависимости определяют экспериментально, и верна линейная гипотеза суммирования повреждаемости.

Наиболее часто подповерхностные повреждения развиваются при наличии включений (пор, газовых пузырей), а также неоднородностей структуры. Моделирование упругопластического напряжённого состояния методом конечных элементов показывает [44], что в зоне, близкой к дефекту, местные напряжения возрастают, вследствие чего происходит пластическая деформация, вызывающая остаточные напряжения, которые могут быть растягивающими. Это способствует зарождению трещины [37].

Однако контактно-усталостные повреждения могут возникать и при отсутствии явных дефектов материала [46] на глубине примерно 4 мм от поверхности катания, там, где эквивалентные напряжения достигают максимальных значений, превышающих предел усталости материала в данной точке. Такие повреждения возникают при больших напряжениях в случаях неблагоприятных сочетаний изношенных профилей поверхностей колеса и рельса, особенно «корытообразного профиля износа» [37], когда нормальные напряжения при нагрузке на колесо 120 кН возрастают с 1100 до 2300 МПа и более. Контактные напряжения повышаются также при уменьшении диаметра колеса после многократных обточек.

Для предотвращения подповерхностных дефектов и их последствий, приводящих к разрушению колеса, рекомендуют следующие меры [37]:

увеличение контактно-усталостной прочности колёсной стали;

улучшение чистоты колёсной стали;

создание сжимающих напряжений в ободе колеса при его изготовлении;

исключение неблагоприятных видов износа (корытообразного) поверхности катания колеса (и рельса);

применение эффективных методов и оптимальных интервалов дефектоскопирования, особенно при минимальных диаметрах колеса после обточек.

1.2. Критерии усталостной прочности В программе WLIFE использован критерий касательных напряжений, базирующийся на критерии Данг Вана [45]. В соответствии с ним разрушение происходит, если комбинация значения a(t) касательных напряжений, действующих в опасной плоскости сдвига, и значения h(t) гидростатического давления в точке материала удовлетворяет одному или обоим следующим неравенствам в течение некоторого периода времени t1< t -1, то он не находится в контакте. Решение ведётся итерационным методом. На следующей итерации для элементов с внедрившимися узлами задаётся более высокое значение модуля упругости, а для не находящихся в контакте задают E = 10-4…10-6EB, G = E/2, где EB – модуль упругости материала тел. Зазорные элементы представляют собой узкие длинные четырёхугольники в плоской задаче и тонкие мембраны в трёхмерной задаче. Плохая форма этих элементов – недостаток метода.

В работе [63] предложен довольно универсальный алгоритм решения широкого круга контактных задач с нелинейностями, базирующийся на использовании метода поузловых итераций. Его описание приведено в разделе 3.3.

1.5. Быстрые алгоритмы решения контактных задач Появление быстрых алгоритмов для решения контактных задач связано с разработкой методов моделирования движения подвижного состава железных дорог [25,26,64]. Разработаны быстрые алгоритмы решения нормальной и тангенциальной задач. Для решения нормальной задачи предложено несколько алгоритмов. Как правило, они строятся следующим образом.

Поверхности одного тела задаётся смещение относительно поверхности другого. Находится линия пересечения поверхностей, одна из которых внедрена в другую. Эта линия рассматривается в качестве контура пятна контакта. На основе допущения, определённым образом связывающего контактные давления с внедрениями точек контактирующих поверхностей, находится распределение давлений в пятне контакта. Определяется равнодействующая этих давлений.

Если она не равна нормальной составляющей силы взаимодействия между колесом и рельсом, корректируется значение внедрения и решение повторяется.

Итерации выполняются до получения значения нормальной составляющей с заданной точностью.

В программе MEDINA [64] используется более простой алгоритм, предполагающий, что пятно контакта имеет форму эллипса. Для вычисления значения нормальной силы область контакта делится на полосы, ориентированные большей стороной в направлении качения, таким образом, пятно контакта представляется набором полос (рис. 1.8). Ширина полосы определяется полуосью контакта b, ориентированной в поперечном направлении, а размер полуоси a Герца. Суммарная нормальная сила получается сложением результирующих сил для всех полос.

Алгоритм, предложенный в работе [25], подробно рассмотрен в разделе 4.1.

Быстрые алгоритмы обеспечивают малые затраты машинного времени на решение контактных задач, но они используют довольно грубые расчётные схемы для определения формы и размеров контактного пятна и законов распределения контактных давлений.

1.6. Методы уменьшения затрат машинного времени на решение При моделировании процессов взаимодействия тел, их изнашивания, возникает необходимость решения контактных задач для тел со сложной геометрией контактирующих поверхностей. Такие задачи могут быть решены численными методами с использованием конечноэлементных расчётных схем. С применением конечноэлементных сеток постоянной густоты расчётные схемы имеют большую размерность и приводят к большим затратам машинного времени, что делает проблематичной возможность применения их, например, при моделировании процессов изнашивания. Уменьшить количество элементов расчётной схемы можно, применив грубые конечноэлементные сетки на удалении от контакта со сгущением к нему.

В работе [65] использован переходный элемент, полученный на основе восьмиузлового элемента введением 12 узлов на одной из его граней (рис.1.9).

Рис. 1.9. Переходный элемент, используемый для измельчения конечноэлементной сетки В его структуру входят 8 тетраэдров, 4 шестиузловых элемента и один восьмиузловой. Он позволяет перейти от одного крупного конечного элемента к мелким. Недостатки такого элемента: тетраэдр и шестиузловой элемент не являются совместными, тетраэдры имеют плохую форму. Такой элемент позволяет провести измельчение сетки по направлению к поверхности контакта.

При измельчении сетки по трём направлениям возникают затруднения в его применении.

Для понижения размерности конечноэлементной расчётной схемы в работе [66] предложен метод редуцирования узлов, а в работе [67] используется метод суперэлементов. По мере уменьшения размерности конечноэлементной схемы снижается размерность системы разрешающих уравнений, однако они становятся очень громоздкими.

1.7. Выводы к главе 1. Подповерхностные контактно-усталостные повреждения колеса являются опасными, т.к. могут привести к его разрушению. Одно из направлений работ по уменьшению таких повреждений – это снижение напряжений в зоне контакта колеса с рельсом.

2. Для применения подходов к анализу контактно-усталостной прочности железнодорожных колёс и рельсов на основе диаграммы приспособляемости материала к действию циклических нагрузок и на основе критерия Данг Вана при первом подходе необходимо иметь диаграмму приспособляемости с количественными характеристиками, а для построения диаграммы на основе второго подхода необходимы значения пределов выносливости при растяжениисжатии и симметричном цикле кручения.

3. Аналитические методы моделирования условий контактирования твёрдых тел обеспечивают минимальные затраты времени на решение задач, но применение их затруднено, если контактирующие поверхности имеют сложные геометрические формы, а тела не могут быть представлены расчётными схемами полупространств.

4. Численные методы позволяют моделировать контактные напряжения без ограничений, связанных с геометрическими формами поверхностей тел. Однако для получения достаточной точности решения требуют использования расчётных схем большой размерности, что влечёт за собой большие затраты машинного времени.

5. Быстрые алгоритмы обеспечивают малые затраты машинного времени для решения контактных задач, однако для определения формы и размеров пятен контакта и законов распределения контактных давлений используют сильно упрощённые расчётные схемы.

6. Существующие методы уменьшения числа степеней свободы расчётных схем не обладают свойствами универсальности и приводят к системе громоздких разрешающих уравнений, что по мере преобразования расчётных схем может привести к увеличению затрат машинного времени.

1.8. Постановка цели и задач исследования Целью диссертационной работы является разработка рационального профиля поверхности катания колеса вагона, позволяющего снизить скорость накопления контактно-усталостных повреждений в колесе.

Задачи исследования:

– на основе анализа методов уменьшения размерности конечноэлементных расчётных схем разработать алгоритм, обеспечивающий простоту построения конечноэлементных моделей колеса и рельса и максимальные возможности по уменьшению их степеней свободы;

– разработать алгоритм моделирования контактных напряжений в колёсах вагонов, обеспечивающий существенное сокращение затрат машинного времени на решение контактных задач;

– с использованием современных средств программирования разработать программу моделирования накопления контактно-усталостных повреждений в колесе вагона, использующую в качестве входных данных результаты моделирования динамики движения железнодорожного экипажа в программном комплексе «Универсальный механизм»;

– с помощью разработанной программы определить скорость накопления контактно-усталостных повреждений в колёсах с различными профилями поверхностей катания.

В работе принимаются следующие допущения:

– материалы контактирующих тел являются однородными, изотропными и деформируются упруго;

– определяющее влияние на условия в контакте оказывают геометрические формы поверхностей контакта и они мало зависят от конструктивных форм колёс;

– при решении контактных задач выполняется условие попарного соответствия узлов, расположенных на противолежащих контактных поверхностях колеса и рельса;

– уровень температур, возникающих в колесе, не оказывает существенного влияния на напряжённо-деформированное состояние и физико-механические характеристики его материала.

ГЛАВА 2. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА УМЕНЬШЕНИЯ

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ РАСЧЁТНОЙ СХЕМЫ КОЛЕСА

2.1. Выбор типа конечного элемента При решении задач для массивных тел чаще всего используются трёхмерные конечные элементы сирендипового семейства [61]. Наиболее простым элементом этого семейства является восьмиузловой. Число элементов в расчётной схеме может быть значительно уменьшено без потери точности расчёта при использовании элементов высокой точности с 20 или 32 узлами. Использование таких элементов при решении контактных задач нецелесообразно в связи с тем, что точность определения размеров контакта и распределения давлений зависит от количества узлов, расположенных на поверхности контакта. Применение восьмиузловых элементов вызывает значительные затруднения построения сеток с участками измельчения в области контакта. В то же время при необходимости на основе восьмиузлового элемента могут быть построены шестиузловой элемент и тетраэдр путём слияния узлов. Использование таких элементов может несколько снизить влияние этого недостатка.

По сравнению с восьмиузловым элементом тетраэдр имеет преимущество, состоящее в простоте построения матрицы жёсткости для него. Её компоненты выражаются аналитическими зависимостями, не требующими операций интегрирования. Недостаток такого элемента заключается в том, что деформации и напряжения постоянны по его объёму, поэтому обычно их приписывают точке, совпадающей с центром тяжести тетраэдра, и для узлов, лежащих на поверхности контакта, они определяются весьма приближённо.

Для восьмиузлового элемента напряжения и деформации меняются по его объёму в соответствии с функциями формы, что обеспечивает их более точное определение в узлах элемента. Это очень важно для контактной задачи. На рис. 2.1 представлен восьмиузловой элемент в нормализованных координатах,,. Для задания связи между координатами x, y, z узлов и нормализованРис. 2.1. Изопараметрический восьмиузловой конечный элемент ными используются функции формы. Через функции формы выражаются также перемещения точек элемента. Если для задания геометрии конечного элемента и перемещений используются одни и те же точки, в обоих случаях используются одни и те же функции формы. Такой элемент называется изопараметрическим. Если для описания геометрии элемента используется больше точек, чем для описания перемещений, элемент называется суперпараметрическим. Если для описания перемещений используется больше узлов, чем для задания геометрии, элемент называется субпараметрическим. В двух последних случаях предполагается, что элементы содержат узлы не только в угловых точках, но и на рёбрах. При решении контактной задачи использование элементов, содержащих узлы на рёбрах, нецелесообразно. В связи с этим в работе использованы изопараметрические восьмиузловые конечные элементы.

Для выражения связи между нормализованными координатами,, и глобальными координатами x, y, z и перемещениями u, v, w точек изопараметрического конечного элемента используются функции формы где i, i, i – нормализованные координаты узла i, или Например, координаты x точек равны где x0, x1, …, x7 – координаты узлов элемента.

В выражение для функции формы подставляются нормализованные координаты точки. Аналогично выражаются перемещения где u0, u1, …, u7 – перемещения узлов конечного элемента.

Компоненты матрицы жёсткости элемента вычисляются через интеграл где B – матрица градиентов D – матрица упругости сдвиге, E – модуль упругости при растяжении, – коэффициент Пуассона, V – объём конечного элемента.

В выражение (2.1) входят производные от функций формы по глобальным координатам. С производными по локальным (нормализованным) координатам они связаны соотношением где J – матрица Якоби, она равна Производные в точке конечного элемента, координаты которой заданы в локальной системе, по глобальным координатам вычисляются следующим образом. В производные по локальным координатам, входящим в матрицу Якоби, подставляются координаты точки и находятся их значения в этой точке. В выражение (2.3) входят глобальные координаты узлов, которые известны. Это позволяет определить значение компонентов матрицы Якоби. Они вводятся в правую часть зависимости (2.2). В левую часть этой зависимости входят производные по локальным координатам, значения которых уже вычислены. Тогда уравнение (2.2) позволяет найти производные по глобальным координатам.

Компоненты матрицы жёсткости представляют собой усилия, возникающие в трёх наложенных на узел связях, вызванные единичными перемещениями узла по трём координатным осям. Поэтому блок матрицы жёсткости должен представлять собой матрицу размерностью 3 3, компоненты которой равны Матрица жёсткости всего элемента содержит восемь таких блоков в каждой строчке и столбце и имеет размерность 24 24. При вычислении компонентов интегрирование ведётся в локальной системе. Тогда вместо (2.4) имеем При численном интегрировании компоненты блока матрицы вычисляются с использованием зависимости где,, – локальные координаты точек интегрирования, n – порядок интегрирования, H – весовые коэффициенты. Численное интегрирование позволяет получить точный результат, если выполняется условие 2n 1, где n – число точек интегрирования, – степень интерполяционного полинома. Под интегралом (2.5) перемножаются производные от функций формы, в результате чего получается квадратный полином, тогда 2 и n. Т.к. n должно быть целым, оно принимается равным 2. В этом случае весовые коэффициенты H принимаются равными единице, а координаты точек интегрирования равны По каждой оси локальной системы берутся две точки интегрирования, всего для элемента используется 8 точек интегрирования.

Для вычисления компонентов блока K организуются следующие циклы: цикл по номеру узла, внутри него цикл по номеру узла, внутри них цикл по номерам точек интегрирования. Для точки интегрирования вычисляются следующие величины: производные от всех восьми функций формы по трём локальным координатам с подстановкой в выражения для них координат точки интегрирования; компоненты матрицы Якоби путём подстановки найденных значений производных и глобальных координат узлов в выражение (2.3); определитель матрицы Якоби. С использованием выражения (2.2), куда вводится матрица Якоби, определяются производные от функций формы N и N по глобальным координатам. При вычислении производных по глобальным координатам от N в левую часть уравнений (2.2) вводятся значения производных от N по локальным координатам, вычисленные в этой точке интегрирования.

Аналогично для функции формы N. Вычисленные значения производных по глобальным координатам позволяют получить матрицы B и B с использованием выражения (2.1). Полученные значения вводятся в выражение (2.6). В результате перемножения матриц получается матрица размерностью 3 3 с использованием первой точки интегрирования. К ней добавляются слагаемые после использования каждой точки интегрирования.

В табл. 2.1 представлена матрица жёсткости изопараметрического восьмиузлового конечного элемента с началом координат в узле 0. Нумерация узлов элемента показана на рис. 2.1. Размеры сторон элемента: по оси x 2 см, по оси y 1,5 см, по оси z 1 см. Характеристики материала: сталь, E = 2·1011 МПа, 0,25. Все компоненты матрицы жёсткости помножены на 10 -7 для удобства отображения.

Следует обратить внимание на то, что матрица жёсткости конечного элемента является симметричной относительно главной диагонали, т.е. k ij k T.

Компоненты матрицы жёсткости изопараметрического восьмиузлового конечного элемента. Размеры: 2 1,5 1 см.

Материал: E = 2·1011 МПа, 0,25. Все компоненты матрицы жёсткости помножены на 10 -7 для удобства отображения 2.2. Использование расчётных схем с редуцированными узлами Для уменьшения степеней свободы конечноэлементной расчётной схемы необходимо решить задачу перехода от мелких элементов в области, прилегающей к поверхности контакта, к крупным на удалении от неё. Для этого могут быть применены переходные элементы. В работе [65] для решения контактной задачи с учётом микронеровностей контактирующих поверхностей использован переходный элемент, позволяющий перейти от 9 мелких конечных элементов к одному крупному (рис. 1.11), описание которого дано в разделе 1.6.

Элемент может быть использован при измельчении сетки к поверхности контакта, но применение его по нескольким направлениям проблематично.

В работе [66] используется расчётная схема с редуцированными узлами.

Рассмотрим в качестве примера задачу перехода от 4 конечных элементов к одному более крупному (рис. 2.2а). В ряде работ предприняты попытки построения переходного элемента с 9 узлами на верхней грани и с 4 на нижней, что представляет собой довольно сложную задачу. Другой подход состоит в том, что узлы, показанные на рисунке светлыми кружками, рассматриваются как точки, принадлежащие нижнему восьмиузловому элементу.

Рис. 2.2. Схема редуцирования узлов: а) исходная конечноэлементная схема; б) схема после исключения «лишних» узлов Тогда их перемещения могут быть выражены через перемещения узлов этого элемента с использованием функций формы. В результате они исключаются, и получается расчётная схема, представленная на рис. 2.2б, которая позволяет перейти от 4 конечных элементов к одному более крупному.

Пусть U – вектор перемещений узлов исходной расчетной схемы, U – вектор перемещений узлов схемы с исключёнными редуцированными узлами. Эти векторы связаны соотношением Компоненты матрицы S представляют собой значения функций формы основных узлов, принадлежащих грани, где расположен редуцированный узел, при подстановке в них координат редуцированного узла. Например, перемещение узла 12 выражается через перемещения основных узлов следующим образом:

Функции формы узлов 0, 1, 2, 3 в узле 12 равны нулю. Тогда Решение для схемы, полученной после удаления редуцированных узлов ищется в виде:

где K ST KS, P ST P, K – матрица жёсткости исходной расчётной схемы, P – вектор узловых сил, приложенных к исходной расчётной схеме.

Метод редуцирования позволяет уменьшить число узлов конечноэлементной схемы, а значит и число степеней свободы, и понизить порядок системы уравнений МКЭ. В этом заключается достоинство метода. Недостаток его состоит в том, что уравнения становятся более громоздкими и для их решения увеличиваются затраты машинного времени. Это иллюстрируется примером бруса, показанного на рис. 2.3. На рис. 2.4а приведен след матрицы жёсткости для исходной конечноэлементной схемы, на рис. 2.4б – для матрицы жёсткости, полученной после редуцирования узлов.

Рис. 2.3. Конечноэлементная схема бруса с редуцированными узлами Рис. 2.4. След матрицы жёсткости: а) исходной конечноэлементной схемы – размер матрицы 63 63, количество ненулевых блоков 923; б) после редуцирования узлов – размер матрицы 42 42, количество ненулевых блоков В рассмотренном примере применением редуцирования двух слоёв узлов удается перейти от 16 мелких конечных элементов к одному крупному. При этом реализован вариант, когда к одному крупному элементу прилегают 4 более мелких, но приём редуцирования не ограничен по количеству мелких прилегающих элементов. Например, вместо 4 мелких можно рассмотреть 9 прилегающих элементов. Тогда, используя редуцирование по двум слоям элементов, можно перейти от 91 мелкого элемента к одному крупному. Таким образом, метод редуцирования узлов не имеет ограничений по возможностям изменения густоты сетки.

Процедура редуцирования узлов в одном направлении (например, от контактной поверхности в глубину) может быть осуществлена достаточно просто.

Она значительно усложняется, если редуцирование ведется в трёх направлениях и особенно в случае наличия двух измельчённых фрагментов сетки, прилегающих к областям контакта (при двухточечном контакте колеса и рельса).

2.3. Использование суперэлементов Для решения задач большой размерности может быть использован метод суперэлементов (МСЭ) [68]. МСЭ предполагает разбиение области на подобласти. Разбиение ведётся по нескольким уровням, начиная от базисного конечного элемента и кончая моделью всей области, являющейся объектом самого высокого уровня.

Применительно к рассматриваемой задаче, число уровней равно двум.

Объектом первого уровня является восьмиузловой конечный элемент, а второго – суперэлемент, представляющий собой либо весь выделенный фрагмент колеса или рельса, либо весь фрагмент за исключением области конечноэлементной сетки, прилегающей к поверхности контакта. С вычислительной точки зрения построение элемента сводится к исключению или конденсации внутренних узлов области, рассматриваемой в качестве суперэлемента. В системе алгебраических уравнений для суперэлемента фигурируют матрица жёсткости и узловые силы для граничных узлов. В качестве граничных могут рассматриваться:

узлы, лежащие на границе двух суперэлементов; узлы, на которые наложены связи; узлы, в которых приложены внешние нагрузки.

Пусть qi – вектор перемещений внутренних узлов, qs – вектор перемещений граничных узлов, pi, ps – векторы нагрузок, приложенных к внутренним и граничным узлам соответственно. Тогда систему алгебраических уравнений для суперэлемента можно представить в блочном виде или в виде двух уравнений Исключив из них перемещения внутренних узлов, получим Уравнения равновесия суперэлемента запишутся в виде Основная трудность построения матрицы жёсткости суперэлемента заключается в обращении матрицы kii. Одним из способов построения является прямая прогонка по Гауссу.

Пусть число внутренних узлов подобласти равняется m, а число всех узлов подобласти равно n. В верхней части системы уравнений равновесия узлов подобласти приведём уравнения для внутренних узлов. Для трёхмерной задачи их число равно 3m. Прямой прогонкой Гаусса исключаются перемещения внутренних узлов. В результате этой операции остаются 3(n-m) уравнений, содержащие перемещения граничных узлов.

В работе решение контактных задач построено на использовании алгоритма, базирующегося на методе поузловых итераций. В соответствии с этим уравнения равновесия узла строятся так, что в их левой части располагаются слагаемые, содержащие перемещения этого узла, а в правой части – узловые силы и слагаемые, содержащие перемещения соседних узлов, умноженные на соответствующие компоненты матрицы жёсткости. Эти компоненты хранятся в виде плотно упакованного массива, состоящего из блоков – матриц размерности 3 3. Для каждого узла составляется перечень номеров соседних с ним узлов. Пусть номер узла, для которого записана строка, i, а номер соседнего узла – j. Тогда блок матрицы Kij ставится на место, которое занимает узел j в перечне номеров соседних узлов для узла i. Сформированный массив не содержит нулевых блоков. При такой организации хранения компонент матрицы жёсткости использование прямой прогонки по Гауссу неудобно.

В работе [67] предложен метод исключения узлов, адаптированный к описанному выше способу хранения матрицы жёсткости. Рассмотрим порядок исключения узлов на примере плоской сетки, показанной на рис. 2.5. Исключается узел 10. Систему уравнений KU P представим в виде Рис. 2.5. Исключение узла представлены на рис. 2.6. Представив уравнения (2.7) в виде Рис. 2.6. След матрицы жёсткости плоской конечноэлементной схемы исключим из них U *. Получим Или в блочном виде Анализ показывает, что при вычислении компонентов модифицированной матрицы K 11 прибавки K12 K 1K 21 получаются ненулевыми лишь для строк матрицы K, соответствующих узлам, соседним с исключаемым, а остальные остаются неизменными. Т.е. при исключении узла 10 преобразуются, например, коэффициенты строк, соответствующих узлу 5, и столбцов, соответствующих узлам 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15. Модифицированная компонента матрицы жёсткости может вычисляться в соответствии с выражением где i, j – номера узлов, соседних с исключаемым; n – номер исключаемого узла;

k * – модифицированное значение компоненты матрицы жёсткости на этапе исключения узла n.

Очевидно, что при исключении всех внутренних узлов 6, 7, 10, 11 получится полностью заполненная матрица размером 1212.

При построении суперэлемента уменьшается число уравнений, однако они становятся более громоздкими, как и в рассмотренном ранее методе редуцирования узлов. На пути применения МСЭ к решению контактных задач нет принципиальных преград. В качестве суперэлемента даже может быть представлен фрагмент рельса полностью. Однако если в качестве граничных взять узлы, лежащие на поверхностях контакта, то число их может достигать нескольких сотен, а каждое уравнение равновесия узла будет включать слагаемые, связанные с перемещениями всех узлов суперэлемента. Это ставит под сомнение целесообразность применения этого метода.

2.4. Выделение фрагмента, опирающегося на упругое основание Снижение степеней свободы конечноэлементной сетки может быть достигнуто при использовании свойства контактной задачи, состоящего в том, что напряжения и деформации существенного уровня локализуются в сравнительно небольшом объёме, прилегающем к области контакта. Это позволяет представить контактирующие тела фрагментами, поверхности выделения которых удалены от пятна контакта так, что напряжения и деформации в расположенных на них узлах пренебрежимо малы. И всё же размеры такого фрагмента могут быть значительными. Их можно уменьшить, если узлы, расположенные на поверхностях выделения, опереть на упругое основание [69]. Тогда, при соответствующем выборе жёсткости упругого основания, задача решается с достаточной точностью, даже если фрагмент имеет небольшие размеры.

Проиллюстрируем это на примере стального стержня длиной l=4 см и площадью поперечного сечения F=1 см2, который подвергается растяжению силой P=104 Н (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пример введения в расчётную схему упругой связи Необходимо найти перемещение сечений стержня. Разделим стержень на линейных конечных элемента длиной a=1 см каждый. Рассмотрим половину стержня. На ней расположено два элемента с узлами 0, 1, 2. На узел 2 наложена упругая связь, жёсткость которой находится из следующего условия: при растяжении участка 2-4 стержня силой P перемещение узла 2 равно удлинению участка С другой стороны, оно должно равняться удлинению упругой связи, откуда Компоненты матрицы жёсткости ансамбля из двух конечных элементов равны Уравнения метода поузловых итераций [63] запишутся в виде:

для узла 0 K 00u0 K 01u1 P ;

для узла 1 K10u0 K11u1 K12u2 0 ;

для узла 2 K 21u1 K 22u2 cu 2.

Представим уравнение для узла 2 в виде К компоненту Kii матрицы жёсткости узла i, на который наложена упругая связь, прибавляется жёсткость этой связи. Это важный результат, который будет использоваться в дальнейших расчётах.

Запишем уравнения в удобной для итерационной процедуры форме:

При использовании метода Зейделя задаются начальные значения перемещений Из уравнения (а) находится первое приближение u0, оно подставляется в уравнение (б), откуда находится первое приближение u1. Далее u1 подставляется в уравнение (в), находится первое приближение u2 и т.д. Графики зависимостей перемещений узлов от номера итерации приведены на рис. 2.8. Перемещение узла 0 стремится к значению, равному удлинению стержня Рис. 2.8. Графики зависимостей перемещений узлов от номера итерации Теперь рассмотрим, как меняются уравнения метода поузловых итераций для узла, связанного с упругим основанием.

Пусть узел i принадлежит одному или нескольким конечным элементам.

Уравнение равновесия (будут приведены в разделе 3.3) для него имеет вид Введём узел k, расположенный на неподвижном основании k (рис. 2.9).

Компонента матрицы жесткости a11 представляет собой усилие в связи, наложенной на узел i, при смещении её временной заделки i на единицу вдоль оси x.

Оно возникает вследствие того, что прилегающие к нему конечные элементы препятствуют этому перемещению. Упругая связь также препятствует перемещению узла i и даёт добавку, равную cx. В правую часть уравнения входит комz Рис. 2.9. Связь, представляющая упругое основание понента узловой силы Pix и перемещения соседних узлов, умноженные на соответствующие компоненты матрицы жёсткости. С введением узла k уравнение принимает вид где cx – жёсткость упругой связи.

Если основание k неподвижно, тогда uk 0 и добавка в правой части равна c x ui, если основанию k, на которое опираются упругие связи, задано смещение, тогда uk равно этому смещению. В расчётной схеме узел k отождествляется с узлом i. Если основание k неподвижно, то он явным образом не влияет на вид уравнения, а если основанию задаётся перемещение, то им опосредствовано приложение узловой силы. Если на узел i накладываются упругие связи по трём направлениям, уравнения метода поузловых итераций имеют вид В простейшем случае жёсткости cx, cy и cz имеют одинаковое значение.

2.5. Тестирование зависимостей для задачи с упругими связями Рассмотрено растяжение стального бруса длиной 4 см с размерами квадратного поперечного сечения b = 2 см, h = 2 см, силой P = 40 кН. Половина бруса представлена 8 конечными элементами (рис. 2.10а). На узлы, располоа) Рис. 2.10. Растяжение стального бруса: а) расчётная схема с упругими связями; б) перемещения поперечных сечений бруса женные в среднем сечении бруса, наложены упругие связи жёсткостью c1 2,5 108 Н/м в угловых узлах бруса, c2 5 108 Н/м в узлах, лежащих на рёбрах, и c3 109 Н/м – в центральном узле сечения. В узлах, расположенных в торце бруса, приложены силы P1 = 2,5 кН, P2 = 5 кН и P3 = 10 кН. Получено перемещение торцевого сечения, равное 2 10 5 м (рис. 2.10б). Оно должно равняться удлинению бруса Напряжения в точках бруса составили 100 МПа.

Для рассмотренной половины бруса решена также задача определения перемещения узлов при наложенных на торец упругих связях, жёсткость которых приведена выше. На среднее сечение бруса наложены жёсткие связи, основанию, на которое опираются упругие связи, задано смещение u0 2 10 5 м (рис. 2.11а). Получено смещение узлов, расположенных на торце бруса, равное 10-5 м, напряжение в точках бруса 100 МПа, нормальная сила в поперечном сечении 40 кН. Перемещения узлов бруса представлены на рис. 2.11б в цветовом изображении.

Таким образом, использование упругого основания позволяет решать задачу для расчётной схемы, к узлам которой непосредственно приложены внешние нагрузки. В случае если нагрузка задается перемещением основания, на которое опираются упругие связи, необходимое значение сил, действующих на брус, может быть найдено подбором задаваемого смещения.

Алгоритм выделения фрагмента, опирающегося на упругое основание, может быть использован при решении контактных задач. Он имеет ряд преимуществ по сравнению с ранее рассмотренными методами. В расчётах можно использовать фрагмент с малым числом узлов и элементов. Нет необходимости выполнять сложные преобразования конечноэлементной сетки. Практически не меняются зависимости метода поузловых итераций – изменения сводятся только к введению простых дополнительных слагаемых в левые и правые части Рис. 2.11. Растяжение стального бруса: а) расчётная схема с упругими связями; б) перемещения поперечных сечений бруса уравнений. В других методах исключение узлов схемы сопровождается усложнением основных уравнений. В методах редуцирования узлов и суперэлементов в качестве исходных используются большие конечноэлементные схемы. В алгоритме выделения фрагментов, опирающихся на упругое основание, используется сетка только самого фрагмента, который может иметь ограниченные размеры, как будет рассмотрено в главе 3.

2.6. Выводы к главе 1. Обоснована целесообразность использования для построения конечноэлементных моделей при решении контактных задач для колеса и рельса восьмиузловых конечных элементов первого порядка семейства Сирендипа.

2. Проведен анализ эффективности применения методов редуцирования и конденсации узлов для уменьшения размерности конечноэлементных моделей.

Со снижением порядка разрешающих уравнений МКЭ они становятся настолько громоздкими, что могут привести к увеличению затрат машинного времени на решение задач. Для колеса и рельса возникает необходимость применения метода редуцирования узлов по нескольким направлениям одновременно, что связано со значительными затруднениями.

3. Предложен метод уменьшения размерности конечноэлементных моделей колеса и рельса для решения контактных задач, в основу которого положено использование конечноэлементных фрагментов на упругом основании. Эффективность его применения обоснована тем, что он позволяет в расчётных схемах использовать малое число слоёв конечных элементов, вплоть до одного, и получать при этом удовлетворительное решение.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОЛЕСЕ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ

ФРАГМЕНТОВ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

3.1. Приближённое определение жёсткости упругого основания В главе 2 рассмотрены методы, позволяющие уменьшить количество конечных элементов фрагментов колеса и рельса. Значительные трудности встречаются на пути применения конечных элементов с редуцированными узлами, а также суперэлементов. Численные эксперименты показали, что эта задача может быть решена, если редуцирование осуществляется по одному направлению – к контактирующей поверхности. Если же операцию редуцирования проводить для конечных элементов, прилегающих к области контакта, по двум другим направлениям, задача сильно усложняется. Особенно в случае двухточечного контакта – при наличии двух областей для прилегающих элементов, с которыми нужно осуществлять эту операцию. Аналогично обстоит дело с использованием суперэлементов.

Существенные преимущества в этом отношении обеспечивает приём выделения фрагмента конечноэлементной сетки с измельчённой разбивкой, прилегающего к пятну контакта, опирающегося на упругое основание [70]. Упругое основание может быть смоделировано путём наложения упругих связей на узлы, расположенные на поверхностях выделения фрагмента. Упругие связи накладываются по направлениям трёх координатных осей. Жёсткости всех трёх связей, наложенных на узел, принимаются одинаковыми.

Проведём приближённую оценку жёсткости связи, наложенной на узел.

Наиболее просто это сделать для случая, когда пятно контакта имеет форму круга. Компоненты напряжений в точках, расположенных на оси z, проходящей через центр контакта внутрь тела, представлены на рис. 3.1 [3].

Рис. 3.1. Напряжения в точках оси z кругового контакта Из графиков видно, что на глубине z a напряжения x и y становятся малыми. При определении жёсткости упругой связи можно использовать только напряжение z, которое равно шой и малой полуосей пятна контакта; e 1 2 – эксцентриситет эллипса контакта; ctg.

В связи с тем, что мы пренебрегли напряжениями x и y, напряжённое состояние в точках оси z можно рассматривать как одноосное при z>a. Тогда относительная линейная деформация z равна где E – модуль упругости первого рода.

Рассмотрим точку i, лежащую на оси z на расстоянии h от поверхности контакта (рис. 3.2). Её перемещение равно Рис. 3.2. Определение жёсткости упругой связи при эллиптическом распределении контактных давлений Пусть в этой точке расположен узел конечноэлементной сетки. Узловая сила, действующая на него со стороны упругой связи, должна равняться где z (h) – напряжение z в узле i; x и y – размеры конечного элемента, прилегающего к узлу, по осям x и y. При делении этой силы на жёсткость упругой связи мы получаем перемещение узла i, т.е.

тогда жёсткость упругой связи равна или после подстановки сюда выражения (3.1) где h находится через ctg h.

Для пятна, имеющего форму круга, 1 и e 0, тогда равен Рассмотрен круговой контакт двух стальных цилиндров радиусов R1 = R2 = 367 мм со взаимно перпендикулярными осями при сжатии их нормальной силой, равной 100 кН (рис. 3.3). Размер контакта a составил 6,36 мм.

Тогда при размерах конечного элемента x y 1 мм получаем значение жёсткости упругой связи В случае сильно вытянутого контакта эксцентриситет e стремится к единице, тогда для жёсткости получаем Подставив в это выражение sin h 2, получим Эта оценка является весьма приближённой и она выполнена с целью установить порядок этой величины.

3.2. Численное определение жёсткости упругого основания для конечноэлементных фрагментов различной толщины В разделе 3.1 выполнена весьма приближённая оценка жёсткости упругого основания с целью установления порядка этой величины. Очевидно, она должна зависеть от размеров и формы контактного пятна, а также толщины выделяемого фрагмента. Уточнённые значения жёсткости основания в зависимости от перечисленных факторов определены численным методом.

Рассмотрены два варианта контакта: круговой с эксцентриситетом e = 0 и вытянутый контакт с e = 0,95. При решении задач задавалось смещение одного контактирующего тела относительно другого. В результате решения находились значения сил в узлах, попадающих в область контактного пятна. Значение нормальной силы P в контакте получалось суммированием узловых сил. Полученное численным методом решение сопоставлялось с точным решением Герца по двум параметрам: максимальному контактному давлению и размерам полуосей контакта a и b. Оценка точности решения по максимальному давлению выполнялась с высокой степенью надёжности, а по размерам контакта весьма приближённо в связи с тем, что она сильно зависела от размеров конечных элементов фрагмента.

Круговой контакт реализован путём сжатия двух цилиндрических тел с радиусами наружных поверхностей R1 = R2 = 367 мм со взаимно перпендикулярными скрещивающимися осями (рис. 3.3). При характеристиках упругости материала цилиндров E 2 1011 Па и 0,25 размеры контакта связаны с нормальной силой в контакте зависимостью Для определения максимального давления в контакте использовалась известная зависимость При расчётах, касающихся вытянутого контакта, моделировались условия контакта колеса вагона с радиусом поверхности катания R1 = 475 мм и рельса на участке, описанном радиусом R 2 = 80 мм (рис. 3.3). Для определения размеров полуосей эллипса контакта использованы зависимости где m = 1,926, n = 0,604 – коэффициенты, зависящие от радиусов кривизны тел.

Максимальные давления определяются зависимостью Необходимая жёсткость упругих оснований определялась для фрагментов толщиной 10, 5 и 1 мм, конечноэлементные сетки которых образованы восьмиузловыми конечными элементами с размером ребра 1 мм. В решениях использовалась система отсчёта с осью z, направленной внутрь тела. Большая полуось эллипса контакта располагалась вдоль оси x, а малая вдоль оси y. Размер фрагмента по оси x составлял 20 мм, по оси y 20 мм для кругового контакта и 10 мм для вытянутого.

Путём варьирования жёсткости упругого основания и смещения одного тела относительно другого по оси z найдены условия, при которых нормальная сила составила P = 100 кН, а численное решение дало значения a и p0 близкие к найденным из точного решения для кругового контакта. В табл. 3.1 приведены значения жёсткости упругого основания, обеспечивающие высокую точность соответствия результатов численного и точного решений.

Следует отметить, что жёсткость получена применительно к конечноэлементной сетке с шагом 1 мм. При использовании сеток с другим шагом её необходимо пересчитывать с использованием соотношения с0 = 1013 Н/м3; Fi – площадь грани i-го конечного элемента, прилегающего где к узлу, n – число прилегающих элементов.

Рекомендуемая жёсткость упругого основания в случае кругового контакта при нормальной силе P = 100 кН Толщина фраг- Точное решение Численное решение Жёсткость c, Выполнены исследования зависимости рекомендуемой жёсткости от значения нормальной силы в контакте. Варьирование нормальной силы достигалось за счёт задания различных значений смещения по оси z одного фрагмента относительно другого. Решения проведены при жесткостях, рекомендуемых в табл. 3.1 для фрагментов толщиной 10 и 5 мм. Их результаты представлены в табл. 3.2 и 3.3.

Анализ полученных результатов показывает, что при толщине фрагментов 10 и 5 мм можно найти значение жёсткости упругого основания, обеспечивающее высокую точность решения контактной задачи по определению размеров контакта и максимального давления.

Сопоставление результатов численного и точного решений для фрагмента толщиной 10 мм при жёсткости основания c 1,25 107 Н/м Смещение Нормальная сила P, Н Сопоставление результатов численного и точного решений для фрагмента толщиной 5 мм при жёсткости основания c 1,05 107 Н/м Смещение Нормальная сила P, Н При толщине фрагмента 1 мм выявилось существенное влияние величины нормальной силы на рекомендуемую жёсткость упругого основания. Получены значения жёсткости для широкого диапазона изменения нормальной силы. Они приведены в табл. 3.4.

Рекомендуемая жёсткость упругого основания в случае кругового контакта для фрагмента толщиной 1 мм в зависимости от нагрузки Смещение Нормальная сила P, Н Рекомендуемая жёсткость c, Н/м Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

если пятно контакта имеет форму круга, фрагменты толщиной 10 и 5 мм обеспечивают решение контактной задачи с высокой точностью при назначении жёсткости упругого основания в соответствии с табл. 3.1 независимо от значения нормальной силы. При использовании фрагментов толщиной 1 мм также может быть обеспечена достаточно высокая точность решения контактной задачи при выборе жёсткости упругого основания, зависящей от значения нормальной силы, в соответствии с табл. 3.4.

Аналогичные исследования проведены для случая вытянутого контакта с эксцентриситетом e = 0,95. В табл. 3.5 сопоставляются результаты точного и численного решения для фрагмента толщиной 10 мм при варьировании нагрузки от 30 до 100 кН. В этом случае жёсткость основания c 0,9 107 Н/м обеспечивает достаточно высокую точность решения в этом диапазоне изменения нагрузки.

Как следует из табл. 3.6, достаточная точность достигается и при использовании фрагмента толщиной 5 мм со значением жёсткости упругого основания c 1,0 107 Н/м.

Сопоставление результатов численного и точного решений для вытянутого контакта при толщине фрагмента 10 мм и жёсткости основания c 0,9 107 Н/м Смещение Нормальная сила P, Н Сопоставление результатов численного и точного решений для вытянутого контакта при толщине фрагмента 5 мм и жёсткости основания c 1,0 107 Н/м Смещение Нормальная сила P, Н Как и для кругового контакта, при использовании фрагмента толщиной 1 мм рекомендуемая жёсткость упругого основания зависит от величины нормальной силы. Её значения для диапазона изменения нормальной силы от 31 до 86 кН приведены в табл. 3.7.

Рекомендуемая жёсткость упругого основания в случае вытянутого контакта с эксцентриситетом e = 0,95 для фрагмента толщиной 1 мм в зависимости от нагрузки Смещение Нормальная сила P, Н Рекомендуемая жёсткость c, Н/м В случае вытянутого контакта использование фрагментов толщиной 10 и 5 мм позволяет получить необходимую точность решения при жёсткости основания, не зависящей от нормальной силы. При толщине фрагмента 1 мм жёсткость зависит также от значения нормальной силы.

3.3. Решение контактной задачи методом поузловых итераций В основу решения контактной задачи в работе положен алгоритм, использующий особенности метода поузловых итераций [63,71,72]. Он реализуется в форме метода перемещений.

На все узлы конечноэлементной расчётной схемы накладываются дополнительные связи, запрещающие любые их перемещения. Организуются два цикла:

внешний и внутренний. Во внешнем цикле выполняются итерации-прогонки для всей расчётной схемы. Во внутреннем цикле в определенной последовательности выполняются итерации для узлов. Узел освобождается от дополнительных связей, и находятся приращения его перемещений в равновесное положение в подобласти, образованной прилегающими к нему конечными элементами, при зафиксированных в смещённых положениях соседних узлах. Учитывается и приложенная к узлу внешняя сила. При решении задачи в приращениях перемещений они определяются из решения системы трёх уравнений где Ki – матрица жёсткости ансамбля элементов, прилегающих к узлу i;

UТ ui vi wi – вектор приращений перемещений узла i;

FiТ Fix Fiy Fiz – вектор внешней силы, приложенной в узле i;

Kj – матрица жёсткости конечного элемента, содержащего узлы i и j;

UТ u j v j w j – вектор приращений перемещений узла j;

n – число узлов, связанных с узлом i конечными элементами;

– коэффициент верхней релаксации.

Если узлу заданы некоторые компоненты начального перемещения, они сохраняются неизменными, а остальные определяются из этого уравнения. Полученные приращения перемещений прибавляются к перемещениям, найденным на предыдущей итерации.

Процедуре выполнения итераций соответствует монотонное приближение узлов к их равновесному состоянию, обусловленному приложенными нагрузками. После заданного числа прогонок определяется норма вектора невязок.

Компоненты вектора невязок для узла находятся из уравнения где RТ Rix Riy Riz – вектор невязки i-го узла;

Ui, Uj – векторы перемещений узлов i и j.

Определяется норма вектора невязок где Ri2 Rix Riy Riz ; m – число узлов схемы, за вычетом узлов, на которые наложены связи. Если норма вектора невязок становится меньше заданной, решение считается законченным.

Задача контакта твёрдых тел является нелинейной в связи с тем, что для неё неизвестны форма, размеры пятна контакта и распределение контактных давлений. Метод поузловых итераций удобен для учёта ряда нелинейностей, в том числе контактной. Алгоритм предоставляет хорошие возможности смоделировать процесс взаимодействия попарно соответствующих узлов при вхождении их в контакт. Он позволяет решать контактные задачи с учётом трения сжатых неквазиидентичных тел под действием сдвигающей силы.

Для решения контактной задачи методом поузловых итераций в алгоритм, рассмотренный выше, добавляется всего одна процедура: при выполнении итерации для узла проверяется, является ли этот узел контактным или нет. Если узел неконтактный, то его перемещение определяется, как описано выше. Если же узел контактный, программа обращается к модулю решения контактной задачи для пары контактирующих узлов. Изложение алгоритма, задействованного в этом модуле, приводится ниже. Оно выполнено А.Н. Прасоловым в векторном виде.

Из исходных данных для активного узла a берётся номер соответствующего ему пассивного узла p. Определяются приращения перемещений узлов a и p в предположении, что они являются свободными и ничем не ограничены Выполнению этой итерации соответствует перемещение узлов в положения a1 и p1 (рис. 3.4а).

Определяются радиус-векторы, соответствующие новым положениям узлов и их разность ra–rp (рис. 3.4б) где xa, xp, ua, up – координаты и перемещения узлов a и p.

Рис. 3.4. Схема взаимодействия пары контактных узлов Определяется орт нормали, проведенной из узла p внутрь пассивного тела, как векторное произведение векторов, соединяющих ориентирующие точки 3, и 4, 2 пассивной поверхности (рис. 3.4в) где r1, r2, r3, r4 – радиус-векторы точек 1, 2, 3, 4.

Чтобы определить, внедрился ли узел a в противолежащую контактную поверхность, вычисляется скалярное произведение ra r p n p. Если оно получается отрицательным, внедрения не произошло, и узлам приписываются вычисленные приращения перемещений u с, u с. Итерация для контактной паp a ры узлов выполнена.

Если произведение получается положительным, произошло внедрение.

Определяется перемещение узла a до встречи с пассивной поверхностью контакта в точке m (рис. 3.4г) В случае если узлы на предыдущей итерации находились в контакте, u m принимается равным нулю.

К узлу a прикладывается сила Ff такая, чтобы переместить его в точку встречи с пассивной поверхностью m (рис. 3.4д) При этом активный узел получил приращение перемещения u m, а пассивный – u с. Узлы вошли в контакт и в дальнейшем совершают совместное перемещение. Для компенсации ранее приложенной силы Ff приложим к активному узлу силу, равную ей по модулю и противоположно направленную (рис. 3.4е). Их совместное перемещение u ap определяется из уравнения Сила взаимодействия между контактирующими узлами равна Для того чтобы установить, есть ли скольжение в контакте узлов, определяются нормальная и касательная составляющая силы взаимодействия узлов Если fN>T, где N и T – модули нормальной и касательной сил, тогда скольжение в контакте отсутствует. Тогда сила взаимодействия между контактирующими узлами определяется выражением (3.4), а узлам приписываются приращения перемещений Если fN fpz, где f – коэффициент трения скольжения, то переопределяются составляющие 12. Определяются значения узловых контактных сил 4.6. Определение напряжений в области контакта колеса и рельса с использованием конечноэлементного фрагмента на упругом основании При решении отдельных задач, связанных с контактом колеса и рельса, размеры элементов используемых сеток выбраны такими, чтобы обеспечить минимальные затраты машинного времени при достаточной точности решения.

Профили поверхностей катания колеса и рельса заданы координатами точек, расположенных с шагом 0,1 мм по контурам. Для исследования напряжённого состояния в области контакта оказалось целесообразным для трёхмерных конечноэлементных расчётных схем применить сетки с размером элементов 1 мм.

Тем не менее, при использовании фрагментов, включающих области, прилегающие к поверхностям контакта, таких размеров, при которых напряжения малы на поверхностях выделения фрагмента, конечноэлементная сетка содержит большое число степеней свободы. В связи с этим в расчётах использовалась сетка, содержащая 7 слоёв конечных элементов, отсчитанных от поверхности контакта.

Построение конечноэлементной сетки начинается с построения плоской матрицы из четырёхугольных конечных элементов. Она создаётся на базе узлов, расположенных на профиле колеса, с шагом 1 мм (рис. 4.15). По профилю колеса она включает галтельную часть, участок профиля с уклоном 1:20 и часть участка с уклоном 1:7. Затем строится трёхмерная сетка методом драги с протягиванием матрицы по дуге окружности (рис. 4.16). В окружном направлении размер сетки составляет 50 мм. Этот размер выбран с учётом того, что в любых случаях длина контактного пятна не превышает 50 мм. Схема ограничена участком галтели, т.к. она предназначена для моделирования процесса накопления повреждений в материале колеса, а как следует из работы [37] усталостные повреждения в гребне не развиваются из-за его интенсивного изнашивания.

Рис. 4.15. Плоская матрица для построения конечноэлементной схемы Рис. 4.16. Трёхмерная конечноэлементная сетка фрагмента колеса При использовании упругого основания толщина фрагмента 7 мм обеспечивает достаточную точность решения. Наиболее вероятный размер a полуоси пятна контакта не превышает 10 мм, а точка с наибольшими касательными напряжениями располагается на глубине около 0,5a. При выбранном размере фрагмента удаётся охватить область наибольших напряжений. Тем не менее, полученная сетка характеризуется большим числом степеней свободы. Так, например, представленная на рис. 4.16 сетка содержит 33048 узлов и имеет степеней свободы. Затраты машинного времени на определение напряжений с использованием такой сетки составляют 34 с.

С целью снижения затрат машинного времени в расчётах использовался фрагмент описанной выше сетки (рис. 4.17а). Фрагмент выделяется после того, как с использованием быстрых алгоритмов определены форма и размеры пятна контакта и значения сил в узлах, расположенных на поверхности контакта. Размеры сетки, прилегающей к поверхности контакта, выбираются такими, чтобы они на 3 мм превышали размеры пятна контакта по каждому направлению. По толщине она имеет такой же размер, как и сетка, из которой выделяется фрагмент. Использование такого фрагмента позволяет снизить затраты машинного времени до 1 с.

При создании исходной конечноэлементной сетки вычисляются компоненты её матрицы жёсткости. На узлы, расположенные на всех поверхностях фрагмента, кроме прилегающей к поверхности контакта, накладываются упругие связи (рис. 4.17б). Жёсткость связей принимается равной 10 7 Н/м в соответствии с рекомендациями, приведенными в главе 3. Компоненты матрицы жёсткости ансамбля конечных элементов, прилегающих к внутреннему узлу фрагмента, берутся из матрицы жёсткости, построенной для исходной расчётной схемы. Для узлов, расположенных на поверхности фрагмента, они делятся пополам; для узлов, расположенных на рёбрах, они делятся на четыре.

Рис. 4.17. Выделение фрагмента конечноэлементной сетки (а);

фрагмент с наложенными упругими связями (б);

фрагмент с приложенными контактными силами (в) К узлам выделенного фрагмента, расположенным на поверхности контакта, прикладываются узловые контактные силы (рис. 4.17в). Перемещения узлов определяются методом поузловых итераций. Этот метод обеспечивает два преимущества: используются алгоритмы и программы, предназначенные для решения контактных задач; число итераций может быть огранич ено по достижении достаточной точности решения (двадцати итераций оказывается достаточно).

Напряжения вычисляются для узлов конечных элементов, прилегающих с каждой стороны к поперечной плоскости симметрии области контакта. По их значениям вычисляются эквивалентные напряжения по критерию Данг Вана DV для узлов, расположенных в плоскости симметрии. При моделировании процесса накопления усталостных повреждений они сопоставляются с повреждающими напряжениями.

Одновременно с моделированием процесса накопления повреждений моделируется процесс изнашивания колеса и рельса [88]. При моделировании этих процессов на шаге по пробегу колеса считается, что профиль колеса не меняется. После выполненного шага определяется работа сил трения для каждого узла и учитывается линейный износ путём изменения координат узлов, лежащих на поверхности контакта. Для этого использован блок моделирования изнашивания, являющийся составной частью программного комплекса «Универсальный механизм». Узел смещается по нормали к поверхности контакта на величину линейного износа. Перестраивается исходная конечноэлементная сетка. Теперь она строится на базе изношенного профиля колеса. Полученным узлам новой сетки приписываются повреждения, вычисленные путём интерполяции повреждений, накопленных в узлах предыдущей сетки.

Ниже приведены результаты решения задачи определения напряжений в точках колеса с использованием конечноэлементного фрагмента на упругом основании. Информация о значениях нормальной силы в контакте колеса и рельса, крипах и спинах получена путём моделирования движения полувагона с использованием программного комплекса «Универсальный механизм». В моделях использованы профили изношенных колеса и рельса. На одном из шагов моделирования движения для условий взаимодействия колеса и рельса получены следующие значения: нормальной силы N 97 кН, продольного крипа x 1,610-4, поперечного крипа y (-10-6); спина (-0,105). С помощью быстрого алгоритма решена нормальная контактная задача, определены форма и размеры пятна контакта и распределение контактных давлений. Размеры полуосей контактного пятна составили по направлению качения (оси х) 6,1 мм; по оси у 7,2 мм. Максимальное давление в точке начального контакта р0 = 1083,4 МПа.

С использованием алгоритма FASTSIM решена тангенциальная задача качения, получено распределение касательных сил в точках поверхности контакта. Определены составляющие узловых сил Fix, Fiy, Fiz, приложенных к узлам конечноэлементной сетки фрагмента на упругом основании. Суммарные узловые силы показаны на рис. 4.18. Решена задача по определению напряжений в узлах конечноэлементной сетки фрагмента. В качестве критерия при моделировании накопления усталостных повреждений используются эквивалентные наy Рис. 4.18. Распределение узловых сил на поверхности контакта колеса при нормальной силе 97 кН, продольном крипе x = 1,610-4 и спине пряжения по Данг Вану в узлах, расположенных в поперечной плоскости симметрии области контакта. Области равных DV в цветовой заливке и изолинии этих напряжений показаны на рис. 4.19. Наибольшее DV = 135 МПа получено для узла, расположенного на глубине 3 мм под поверхностью контакта.

Рис. 4.19. Области равных DV в поперечном сечении колеса, проходящем по плоскости симметрии контакта; 1-6 – номера линий равных DV, Применение в качестве расчётной схемы конечноэлементного фрагмента на упругом основании позволяет определить напряжения и деформации в трёхмерной области, прилегающей к поверхности контакта, не прибегая ко всякого рода упрощающим предположениям таким, как пятно имеет форму круга или эллипса, выделению критической плоскости, допущению о том что она находится в состоянии плоской деформации. Затраты машинного времени при решении задачи в упругой постановке составляют около 1 с.

4.7. Выводы к главе 1. Путём обработки результатов испытаний образцов колёсной стали, используемой для изготовления колёс грузовых вагонов, на контактную выносливость численным методом получены параметры кривой её контактной усталости. Полученная кривая может быть использована для моделирования накопления контактно-усталостных повреждений в колесе вагона, например, при выборе рационального профиля колеса по критерию контактной усталости.

2. Методом конечных элементов решена задача качения цилиндрического ролика по тороидальному при упругопластическом деформировании материала образца из бандажной стали. Анализ результатов вычислительного эксперимента позволяет высказать предположение о возможности решения задачи повторных контактов колеса и рельса в упругой постановке.

3. При вычислении накопленной повреждённости в точке колеса в работе используется линейная гипотеза суммирования повреждений.

4. Для уменьшения затрат машинного времени в быстром алгоритме решения нормальной контактной задачи, предложенном В. Киком и И. Пиотровским [25], можно использовать распределение давлений по квадратичной параболе, что и реализовано в диссертационной работе.

5. Выполненное в работе исследование позволяет для определения формы и размеров контактного пятна при решении нормальной контактной задачи рекомендовать коэффициент внедрения равным 0,53 независимо от значения нормальной силы при форме пятна контакта близкой к эллиптической.

6. Решение тангенциальной контактной задачи качения для колеса и рельса методом конечных элементов выполняется с достаточной точностью, однако требует больших затрат машинного времени, что делает проблематичным использование его при моделировании процессов изнашивания и накопления усталостных повреждений. Поэтому в работе для решения этой задачи используется быстрый алгоритм FASTSIM [82].

7. В целях уменьшения затрат машинного времени решение контактной задачи в работе выполняется следующим образом: с помощью быстрых алгоритмов решения нормальной и тангенциальной контактных задач определяются силы, действующие в контакте колеса и рельса, которые затем прикладываются в узлах конечноэлементной сетки фрагмента, опирающегося на упругое основание. После этого решается упругая задача МКЭ, и определяются напряжения DV в узлах, расположенных в плоскости симметрии фрагмента.

8. Применение в качестве расчётной схемы конечноэлементного фрагмента на упругом основании позволяет определить напряжения и деформации в трёхмерной области, прилегающей к поверхности контакта, не прибегая ко всякого рода упрощающим предположениям. Затраты машинного времени при решении задачи в упругой постановке составляют около 1 с.

ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО

ПРОФИЛЯ ПОВЕРХНОСТИ КАТАНИЯ КОЛЕСА

НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЯ КОНТАКТНО-УСТАЛОСТНОЙ

ПРОЧНОСТИ

5.1. Программа CONTFAT Для решения задачи накопления контактно-усталостных повреждений в колесе разработана программа CONTFAT [89], написанная в программной среде Visual C++ с использованием объектно-ориентированного подхода [90-101].

При разработке программы также использовались функции графической библиотеки OpenGL [102,103,104]. Программа предназначена для работы в 32разрядных версиях системы Windows.

Для расчёта необходимы следующие входные данные.

1) Геометрические характеристики профилей:

– радиус колеса;

– координаты точек исходных профилей колеса и рельса;

– координаты точек профиля колеса после снятия материала в результате 2) Массив параметров, полученных в результате моделирования движения железнодорожного экипажа. Размер массива зависит от пробега, т.е. от числа проделанных шагов через определённые промежутки времени, на каждом из которых моделировались условия в контакте колеса и рельса. Каждый шаг по времени содержит следующую информацию:

– шаг по времени (с);

– скорость экипажа (м/с);

– радиус кривизны рельсового пути (м);

– коэффициент трения;

– номер точки начального контакта на профиле колеса;

– номер точки начального контакта на профиле рельса;

– нормальная сила в контакте (Н);

– угол наклона колеса на рельсе (рад);

– продольный крип;

– поперечный крип;

Моделирование движения железнодорожного экипажа и процесса изнашивания колеса выполняется в программном комплексе «Универсальный механизм».

Программа CONTFAT полностью автоматизирована: достаточно загрузить из файлов входные данные и запустить задачу на счёт. Процессы вычисления напряжений DV на шаге по пробегу и накопления контактно-усталостных повреждений в колесе отображаются в рабочей области окна в виде цветовой заливки и изолиний. При желании для ускорения расчёта пользователь может отключать эти режимы отображения с помощью кнопок на панелях инструментов или пунктов меню. Для облегчения работы пользователя с программой используются различные виды подсказок, общепринятых в стандартных приложениях системы Windows. Интерфейс программы представлен на рис. 5.1.

5.2. Моделирование движения полувагона На железных дорогах России около 75% прямых участков пути и 25% кривых. Статистические данные, полученные в результате обработки некоторых маршрутных карт, приведены в табл. 5.1. Из неё видно, что наибольший удельный вес имеют кривые радиусом около 600 м.

Распределение кривых участков рельсового пути Для моделирования взята кривая радиуса R = 600 м. Она имеет форму радиоидальной спирали [105] где x – абсцисса средней линии рельсовой колеи; y – её ордината; C l0 R ; l0 – длина переходной кривой.

В кривой радиуса 600 м предусмотрена максимальная скорость Vmax движения пассажирских поездов 120 км/ч, грузовых поездов 90 км/ч. Возвышение наружного рельса h0 не должно превышать 150 мм. В расчётах оно принято равным 120 мм. Возвышение линейно меняется на длине переходной кривой.

Длина переходной кривой рассматривалась из условия ограничения вертикальной скорости подъёма колеса где f принимается равным 1/8…1/10 км/ч.

Принято f = 1/8 км/ч, тогда Длина кривой постоянного радиуса принята равной 200 м.

Для разбивки кривой по координатам вычисляются сдвижка p круговой кривой относительно прямой и расстояние n от начала переходной кривой A до проекции F центра круговой кривой на прямую (рис. 5.2) Рис. 5.2. Параметры кривого участка рельсового пути После подстановки постоянной C l0 R 0,69 105 м2 в уравнение (5.1) окончательно получаем Исследованы профили поверхностей наружных рельсов, уложенных в кривой участок пути радиуса 600 м, с боковыми износами 5; 8,8; 12 и 14 мм и прокатами 2; 2,5; 5,1 и 4,2 мм соответственно. Установлено, что на участках, прилегающих к выкружке у внутренней грани головки рельса, профили практически совпадают независимо от значения бокового износа. Профили с достаточной точностью описываются дугами окружностей. На рис. 5.3 представлен профиль рельса с боковым износом 5 мм. В табл. 5.2 и 5.3 приведены координаты характерных точек профиля и центров дуг окружностей.

Рис. 5.3. Профиль рельса Р65 с боковым износом 5 мм и прокатом 2 мм точки Обозначение окружности Таким образом, в работе приняты следующие характеристики пути: дистанция, проходимая железнодорожным экипажем, состоит из прямого и кривого участков рельсового пути.

подуклонкой 1:20. Для рельсов, уложенных в кривой участок пути, взят профиль с боковым износом 5 мм и прокатом 2 мм (рис. 5.3). Неровности пути приняты как для пути хорошего содержания по нормам UIC.

В программном комплексе «Универсальный механизм» моделировалось движение гружёного полувагона общей массой 90 т с постоянной скоростью 90 км/ч на описанной выше дистанции, состоящей из прямого и кривого участков пути (рис. 5.5). В качестве объекта для исследования накапливаемых повреждений было выбрано переднее левое колесо полувагона, которое катилось по наружному рельсу при прохождении кривого участка пути.

Рис. 5.5. Модель гружёного полувагона, созданная в программном комплексе «Универсальный механизм»

Накапливаемые усталостные повреждения приписывались одному радиальному сечению колеса, которое контактировало с рельсом один раз за один оборот колеса. После прохождения всей дистанции накопленные повреждения умножались на весовой коэффициент, что соответствовало пробегу 200 км. В блоке моделирования изнашивания, являющемся составной частью программного комплекса «Универсальный механизм», учитывался линейный износ путём изменения координат узлов профиля колеса, лежащих на поверхности контакта. С изменённым профилем поверхности катания колеса полувагон снова запускался по заданной дистанции до прохождения следующих 200 км. Процедура повторялась до тех пор, пока значения повреждений в колесе не достигали единицы, что соответствовало началу образования усталостной трещины в критической точке колеса. На этом моделирование накопления контактноусталостных повреждений в колесе полувагона считалось законченным.

5.3. Профили поверхностей катания колёс Для тестовых задач были выбраны неизношенное колесо со стандартным профилем (рис. 5.6) и колесо, профиль поверхности которого на участке от круга катания до галтели описан кривой переменного радиуса.

улучшения условий контактирования колеса и рельса и поисков способов снижения интенсивности изнашивания колеса не является новой. ВНИИЖТом рекомендовано Рис. 5.6. Стандартный профиль неизношенного колеса высокоскоростных линий Японии ДМеТИ разработан специалистами Днепропетровского металлургического института совместно с работниками Института черной металлургии и Приднепровской железной дороги [107]. Он получен на основе исследования колёсных пар, поступивших в обточку из-под вагонов, эксплуатировавшихся в поездах пяти направлений, подвижного состава внутризаводского транспорта и горнообогатительных комбинатов, с прокатом от 0,6 до 9 мм. С 200 колёс сняты отпечатки, характеризующие изношенные поверхности катания. По нанесенным точкам кривой профиля проката получено уравнение кривой поверхности катания.

В работе выполнены исследования форм изношенных поверхностей колёс и рельсов с помощью гипсовых слепков [108]. Установлено, что профили колёс с прокатом от 1 до 5 мм на участках от круга катания до вершины гребня близки по очертанию. Профили рельсов, уложенных в кривой участок пути радиуса 600 м, с боковыми износами 5; 8,8; 12 и 14 мм практически совпадают. На рис. 5.7 показаны контрслепки поверхностей колеса с прокатом 1 мм и рельса с Рис. 5.7. Контрслепки изношенных колеса и рельса боковым износом 5 мм и прокатом 2 мм. В результате изнашивания профили колеса и рельса, уложенного на кривом участке пути, становятся близкими, что обеспечивает снижение контактных напряжений. Предложен профиль колеса, отличающийся от стандартного лишь участком, расположенным между кругом катания и началом галтели радиуса 15 мм, построенным с использованием профилей изношенных колёс с различными прокатами (рис. 5.8). Он описан кривой, радиус кривизны которой уменьшается от 500 мм на круге катания до Рис. 5.8. Рациональный профиль поверхности катания колеса вагона 15 мм в районе выкружки. Координаты характерных точек, используемых для построения профиля: центров окружностей, их радиусов и точек сопряжения, приведены в табл. 5.4.

Координаты характерных точек рационального профиля колеса окружности На рис. 5.9 сопоставлены рациональный профиль и стандартный профиль неизношенного колеса вагона.

Рис. 5.9. Сопоставление рационального профиля и стандартного профиля неизношенного колеса вагона Профили колёс и рельсов задавались дискретно координатами точек с шагом 0,1 мм по контуру профиля. Для определения координат точек использовались уравнения прямых и окружностей.

5.4. Тестирование колёс с различными профилями Выполнены сравнительные расчёты накопления повреждений в материалах колёс двух типов: со стандартным (рис. 5.6) и рациональным профилем (рис. 5.8). Параметры колёс при значении накопленной в них повреждённости, равном единице, приведены в табл. 5.5.

Области равных значений накопленных контактно-усталостных повреждений в виде изолиний и в цветовой заливке в плоскости симметрии колёс со стандартным и рациональным профилем показаны на рис. 5.10. Для обоих колёс накопленная повреждённость достигла максимального значения в критической точке, находящейся на глубине 3 мм под поверхностью контакта.

Рис. 5.10. Области равных значений накопленных контактно-усталостных повреждений в виде изолиний и в цветовой заливке в плоскости а – со стандартным профилем; б – с рациональным профилем;

изолинии 1 – 0,143; 2 – 0,286; 3 – 0,429; 4 – 0,572; 5 – 0,715; 6 – 0, В табл. П.1 приложения показаны области равных значений накопленных повреждений в виде изолиний и в цветовой заливке в плоскости симметрии колёс со стандартным и рациональным профилем через каждые 200 км пробега.

Приращение повреждённости в критических точках колёс со стандартным и рациональным профилями через каждые 200 км пробега представлено графиками на рис. 5.11а. Накопленная повреждённость в критических точках колёс двух типов с увеличением пробега представлена на рис. 5.11б.

Перед моделированием накопления повреждений в колесе вагона выполнялось моделирование движения полувагона на дистанции общей протяжённостью 20000 км, поэтому сведения об износе представлены в более широком диапазоне по пробегу. Значения максимального износа, отсчитываемого от точПовреждённость, 10- Рис. 5.11. Накопление повреждённости в критических точках колёс со ки профиля по нормали, на каждом пробеге 200 км для колёс двух типов представлены на рис. 5.12. Изменение проката и бокового износа колёс с увеличением пробега представлено на рис. 5.13.

На рис. 5.14 сопоставлены исходные профили колёс и полученные в результате износа после пробега, соответствующего значению накопленной повреждённости в колесе, равному единице, и пробега 20000 км.

Максимальный износ, мм Прокат, мм Рис. 5.13. Изменение проката (а) и бокового износа (б) колёс со стандартным и рациональным профилями в зависимости от пробега Рис. 5.14. Сопоставление исходных профилей и полученных в результате износа: а – колесо со стандартным профилем; б – колесо с Значения проката и бокового износа после пробега 20000 км составили соответственно: для колеса со стандартным профилем – 0,233 мм и 2,2 мм; для колеса с рациональным профилем – 0,208 мм и 0,4 мм.

Как следует из табл. 5.5 запас по накоплению контактно-усталостных повреждений при всех равных условиях на 25% больше у колеса с рациональным профилем, чем у колеса со стандартным профилем. При этом тенденция накопления повреждений у колёс обоих типов одинакова: до пробега первых 1000 км в результате интенсивного износа происходит приработка профилей колеса и рельса, что приводит к уменьшению напряжений в контакте и, соответственно, снижению уровня накапливаемых повреждений (рис. 5.11а). Затем повреждённость, накапливаемая в интервалах через каждые 200 км пробега, начинает расти, однако для колеса с рациональным профилем этот процесс является более медленным.

Распределение накопленных повреждений в сечении колеса со стандартным профилем (рис. 5.10а) говорит о том, что зарождение усталостной трещины наиболее вероятно на круге катания, что действительно подтверждается практическими наблюдениями.

Следует признать, что замена участка профиля колеса от круга катания до выкружки кривой переменного радиуса не привела к значительному снижению напряжений в контакте колеса и рельса. Если напряжения DV в колесе со стандартным профилем достигали 160-180 МПа, то в колесе с рациональным профилем они зачастую превышали значение 200 МПа. Это объясняется тем, что для колеса со стандартным профилем контакт с рельсом является двухточечным, а при моделировании накопления повреждений учитывался только один контакт – на круге катания. Сплошное скольжение в боковом контакте приводит к интенсивному изнашиванию, поэтому накопление повреждений в гребне колеса не рассматривалось. Рациональный профиль обеспечивает контактирование по всему участку от круга катания до выкружки, и даже включая выкружку. При этом, как правило, реализовывался одноточечный контакт, который в процессе износа при больших значениях боковой силы переходил в конформный. Но чаще всего реализовывался контакт на участке между кругом катания и выкружкой, и условия в нём были менее благоприятными, чем в контакте по кругу катания. Несмотря на это, рациональный профиль имеет неоспоримое преимущество: циклически меняющиеся контактные давления действуют с большим разбросом на более протяжённом участке профиля, в отличие от стандартного профиля, где контактирование постоянно происходит на ограниченном участке в районе круга катания. Поэтому характер накопления контактно-усталостных повреждений в колёсах с различными профилями разный, что показывает картина распределения накопленной повреждённости на рис. 5.10.

Для улучшения условий в контакте колеса и рельса рациональный профиль можно совершенствовать, изменяя параметры кривой, описывающей участок от круга катания до галтели.

Таким образом, предложенный рациональный профиль значительно улучшил характеристики колеса по критерию контактной усталости. Однако в процессе моделирования движения полувагона в программном комплексе «Универсальный механизм» было получено улучшение и по критерию износа. Максимальный износ, рассчитываемый в интервалах через каждые 200 км пробега, практически на всей дистанции 20000 км ниже у колеса с рациональным профилем, чем у колеса со стандартным профилем (рис. 5.12). И если по прокату (рис. 5.13а) разница между профилями не очень значительна, то по боковому износу они отличаются в несколько раз: при достижении накопленной повреждённостью в колёсах максимального значения – в 3 раза (табл. 5.5), после пробега 20000 км – в 5,5 раза (рис. 5.13б). Оценить характер износа профилей колёс в целом позволяет рис. 5.14.

5.5. Выводы к главе 1. Разработана программа CONTFAT, позволяющая моделировать накопление контактно-усталостных повреждений в колесе вагона.

2. Выполненные в работе исследования форм поверхностей изношенных колёс и рельсов с помощью гипсовых слепков показали, что профили рельсов, уложенных в кривой участок пути радиуса 600 м, с различными боковыми износами практически совпадают. Профили колёс с прокатом от 1 до 5 мм на участках от круга катания до вершины гребня близки по очертанию.