Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и

Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

На правах рукописи

УДК 530.145 51-71 512.54

Алексеев Олег Вадимович

Физические состояния в некоторых точно решаемых

моделях двумерной квантовой теории поля

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Белавин Александр Абрамович Черноголовка 2012 Оглавление Введение......................................... Теория Лиувиллевской гравитации........................... Интегрируемые модели квантовой теории поля.................... Содержание работы.................................... 1 Минимальная Лиувиллевская гравитация M (2, 3) 1.1 Обозначения..................................... 1.2 БРСТ комплекс относительных когомологий.................. 1.2.1 Теоремы Лиана-Цукермана......................... 1.2.2 Процедура рекуррентного построения базисных состояний...... 1.2.3 Рекуррентные уравнения.......................... 1.2.4 Операторы, действующие на пространстве относительных когомлогий 1.2.5 Операторная алгебра............................ 1.3 Абсолютные когомологии.............................. 1.3.1 Базис в пространстве когмологических классов............. 1.3.2 Операторная алгебра............................ 1.4 Некоторые представители классов когомлогий.................. 2 Форм факторы локальных операторов в теория Тоды для аффинной алгебры AL1 (1) Теория Тоды для аффинной алгебры Ли AL1.................. 2. 2.2 Cвободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов 2.2.1 форм факторы экспоненциальных операторов.............. 2.3 Форм факторы операторов потомков....................... 2.3.1 Интегралы движения............................ 2.3.2 Свойство кластерной факторизации и асимптотическое поведение.. 2.3.3 Подсчет операторов потомков....................... 2.4 Альтернативная процедура бозонизации..................... 2.4.1 Рекуррентные соотношения и отражательные свойства для форм факторов экспоненциальных операторов................... 2.4.2 Уравнения движения............................ 2.5 Отражательные соотношения для форм факторов операторов потомков... 2.5.1 Решения для уравнений и форм факторы................ Операторы потомки на уровне (1, 0)........................ 2. 3 Форм факторы локальных операторов в модели Буллоу-Додда 3.1 Модель Буллоу-Додда................................ 3.2 Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов 3.2.1 Свойства форм факторов.......................... 3.2.2 Отражательные свойства форм факторов локальных операторов... 3.3 Альтернативная процедура бозонизации..................... 3.4 Реккурентные соотношения для форм факторов экспоненциальных операторов......................................... 3.4.1 Рекуррентные соотношения........................ 3.4.2 Уравнения движения для форм факторов................ 3.5 Явные выражения для форм факторов экспоненциальных операторов.... Минимальные модели, возмущенные оператором 12.............. 3. 3.6.1 Теория рассеяния.............................. 3.6.2 Форм факторы................................ 3.7 Модель Изинга в магнитном поле......................... 3.7.1 Теория рассеяния.............................. Введение Эта работа посвящена изучению некоторых вопросов, касающихся двумерных точно решаемых моделей квантовой теории поля. Обсуждаемые вопросы связаны с тремя конкретными моделями: двумерной Лиувиллевской гравитацией, двумерной теорией Тоды для аффинной алгебры AL1 и моделью Буллоу-Додда. Нами будет рассматриваться задача о классификации физических состояний в этих трех моделях. В частности, решение данной задачи является необходимым шагом для вычисления корреляционных функций в рассматриваемых теориях. Отметим, что рассматриваемые нами теории представляют собой как безмассовые (Лиувиллевская гравитация), так и массивные (теория Тоды и модель Буллоу-Додда) примеры точно решаемых двумерных моделей квантовых теорий поля. Однако, и в том и в другом случае задача определения пространства физических состояний и вычисления корреляционных функций для этих состояний является крайне нетривиальной.

Двумерная теория гравитации и двумерные интегрируемые модели квантовой теории поля являются темами, привлекающими постоянный интерес на протяжении последних лет. Обе эти темы оказываются связанными с конформными моделями квантовой теории поля. Например, ультрафиолетовый предел интегрируемых моделей может рассматриваться как конформная теория поля, возмущенная некоторым ‘интегрируемым’ релевантным оператором, в то время как теория гравитации в рассматриваемой нами формулировке представляет собой тензорное произведение трех конформных теорий поля, взаимодействующих в силу условия сокращения конформной аномалии. Приведем кратко основные сведения из теории Лиувиллевской гравитации и теории интегрируемых моделей, которые будут использоваться в дальнейшем.

Теория Лиувиллевской гравитации Начиная с Эйнштейна, под гравитацией динамическая теория метрики пространствавремени. Такая динамика может изучаться как на классическом уровне, так и квантовом, в последнем случае мы можем говорить о квантовой теории гравитации. Основными динамическим переменными являются компоненты метрического тензора gab.

Теория гравитации довольно сложная теория не только с математической точки зрения, но и с концептуальной. Даже в классической гравитации уравнения движения для метрики оказываются не линейными и приводят к решениям, которые обычно имеют особенности, в которых пространство-время крайне искривлено. Классическая теория Эйнштейна сама по себе не способна описывать физику вблизи таких сингулярностей. В квантовой гравитации ситуация даже хуже, особенно с точки зрения интерпретации. С потерей классического жесткого пространства-времени, наблюдатель сталкивается с необходимостью искать новые средства интерпретации наблюдений. Наиболее простая возможность состоит в том, чтоб забыть о координатах и сосредоточить внимание только на координатно-независимых наблюдаемых. Такой подход, который можно назвать топологической гравитацией в некотором расширенном смысле, достаточно последователен, но страдает только от одной проблемы: как его совместить с квазиклассическим пределом, в котором, не должно оставаться ничего от топологической гравитации. Так или иначе, проблема интерпретации, проблема правильного выбора наблюдаемых так и остаются одними из важнейших задач квантовой теории гравитации.

С этой точки зрения, любая упрощенная модель, которая смягчает строгие математические проблемы гравитации, но сохраняет актуальными проблемы интерпретации, может рассматриваться как полезная и заслуживающая изучения. Мы будем рассматривать гравитацию в двумерном пространстве-времени.

Двумерная теория гравитации С этого момента мы будем рассматривать двумерные многообразия с метрикой gab.

Кроме того, мы ограничимся только так называемой евклидовой гравитацией, в которой метрика предполагается положительно определенной g > 0. Основные отличия двумерной гравитации от гравитации в другом числе измерений состоят в том, что, во-первых, в двумерии Риманова кривизна полностью описывается скалярной кривизной и, во-вторых, метрика gab содержит только три независимые компоненты. Как следствие, выбором подходящей системы координат (двух параметрическая свобода), она может описываться только одной динамической компонентой. Например, локально всегда можно выбрать такую систему координат, в которой метрический тензор пропорционален символу Кронекера и поле (x) полностью описывает метрическую структуру на многообразии.

Функционал действия Для построения классической ковариантной теории гравитации необходимо, прежде всего, выбрать действие, которое должно быть ковариантным функционалом от метрики S[gab ]. На первый взгляд, кажется естественным выбрать локальное действие, т.е. действие в которой плотность является локальной функцией от метрики и ее производных. Требование ковариантности показывает, что эта плотность должна строиться из координатных тензоров, таких как метрика и Риманова кривизна, например где под многоточием понимаются члены более высокой степени по кривизне R и ее производных. Первый член в этом выражении является просто двумерным объемом поверхности. Поэтому, константа связи µ называется космологической константой связи. Второй член представляет собой обычное Эйнштейновское действие. Отметим, что Эйнштейновское действие в двух измерениях не приводит к какой бы то ни было локальной динамики метрического тензора. Действительно, теорема Гауса-Боннэ позволяет редуцировать Эйнштейновское действие к числу, которое полностью определяется топологическими характеристиками многообразия. В принципе, возможно рассмотреть следующие члены с более высокими степенями по кривизне и ее производным. Но, во-первых, эти члены играют незначительную роль при рассмотрении больших поверхностей и, во-вторых, представляется более естественным получить действие для гравитации как действие, индуцированное некоторыми полями материи, находящимися на многообразии.

Конформная материя Среди двумерных релятивистских теорий поля существует класс безмассовых теория, которые являются масштабно ковариантны, т.е. они не обладают каким-либо выделенным масштабом и ведут себя одинаковым образом при изменении масштаба. Обычно, такие теории обладают, помимо обычной релятивистской и масштабной ковариантности, более высокой конформной симметрией, которая в двух измерениях может быть расширена до бесконечно-мерной симметрии алгебры Вирасоро. Такие теории называются конформными теориями. Примерами таких теорий могут являться теории свободного бозонного или фермионного полей в двух измерениях. Однако, существуют нетривиальные взаимодействующие конформные теории. Благодаря существованию бесконечно мерной конформной симметрии в двух измерениях, такие теории изучены гораздо более полно, чем обычные релятивистские теории поля [3].

Все конформные теории характеризуются некоторым числом c, называемым центральным зарядом, и набором локальных наблюдаемых, которые называются примарными полями i, где i конформная размерность соответствующего поля. Эти размерности описывают вариации поля при масштабных преобразованиях. Одной из важнейших особенностей конформных теории поля является очень просто и явный способ их взаимодействия с искривленным пространством-временем и их простая реакция на вариацию метрики.

Действие Лиувилля Простая и универсальная реакция конформных теорий поля на вариации метрики приводит к простой и универсальной форме эффективного действия для гравитации, генерируемого конформной материей, которое называется действием Лиувилля [1]. Если мы выберем некоторую фиксированную метрику gab, то где Необходимо отметить, что эффективное действие, будучи действием для безмассовой теории поля, является не локальным. Однако, Вейлевские фактор входит в эффективное действие формально локальным образом. Следовательно, появляется возможность интерпретации эффективного действия как локальной теории поля. Во-вторых, метрика g для любой заданной комплексной структуры может быть выбрана произвольным образом, в частности, в некоторых случаях она обладает дополнительными симметриями, упрощающими изучение модели. Например, в случае сферического многообразия, метрика g может быть выбрана максимально симметричной метрикой на сфере. Другой удобной возможностью является то, что сферу (за исключением одной точки) можно глобально отобразить на бесконечную плоскость, где метрику можно выбрать плоской gab = ab. Хотя это отображение и сингулярно в одной точке, плоская метрика открывает возможности использования методов теории поля в плоском пространстве.

Квантование гравитации Введя необходимые понятия, мы можем перейти к квантованию двумерной гравитации. Рассмотрим следующий функционал где SM конформно инвариантное действие для полей материи, взаимодействующее с гравитацией. В этом функционале мы символически поделили меру интегрирования на объем группы диффеоморфизмов двумерного многообразия. Для определения этого функционала необходимо определить меру интегрирования по полям X и метрики g. Можно определить такие меры, которые будут инвариантными при действии группы диффеоморфизмов, но они не будут инвариантными, относительно конформных преобразований gab e gab. Так как подынтегральное выражение инвариантно относительно группы диффеоморфизмов, для вычисления функционального интеграла необходимо воспользоваться процедурой фиксации калибровки. Тогда мера интегрирования } распадется на интегрирование по модулям, интегрирование по конформному фактору и на интегрирование по диффеоморфизмам. Для фиксации калибровки обычно используется метод Фадеева-Попова.

Таки образом, в рассматриваемой системе возникают духовые поля b(x) и и c(x), причем теория поля для этих полей является конформной. Опуская подробности процедуры фиксации калибровки, приведем итоговое выражение для статсуммы [2] некоторая фиксированная метрика, для которой определены меры интегрирования. Требование инвариантности этого функционала относительно действия группы дифеоморфизмов, приводит к соотношению центральных зарядов трех конформных теории поля, известному как условие сокращения конформной аномалии Интегрируемые модели квантовой теории поля Интегрируемые квантовые теории поля характеризуются бесконечным числом сохраняющихся зарядов. В классической механике, существование достаточного большого числа интегралов движения позволяло перейти от начальных координат и импульсов к переменным действие-угол и, как следствие, найти точные решения интегралов движения в квадратурах. Аналогично, если в квантовой теории поля существует бесконечное число сохраняющихся законов, можно получить точный спектр масс модели, вычислить Sматрицу процессов рассеяния, корреляционные функции, термодинамические величины и т.д. Стоит отметить, что нетривиальные интегрируемые квантовые теории поля могут существовать только в двух измерениях. В более высоких измерениях они оказываются либо свободными теориями, либо теориями с нелокальным взаимодействием.

Аналитическая теория рассеяния С релятивистской точки зрения, теория S-матрицы является обобщением теории рассеяния квантовой механики. Целью этой теории является выявление общих условий для амплитуд перехода процессов рассеяния, включающих многочастичные асимптотические состояния. В результате удается произвести вычисление этих величин без отсылки к лежащему в основе Лагранжеву формализму.

Для применения формализма S-матрицы для описания процессов рассеяния необходимо предположить, что взаимодействие является короткодействующим, так что начальные и конечные состояния, в которых частицы находятся довольно далеко друг от друга, состоят из свободно-частичных состояний. Эти многочастичные состояния могут быть заданы набором импульсов, входящих в них частиц, а так же другими возможными квантовыми числами.

Асимптотические состояния Рассмотрим релятивистскую теорию рассеяния, содержащую n сортов частиц Aa, a = 1,..., n с массами ma. Для каждой частицы из спектра теории мы введем обозначение Aa (), где быстрота, которая полностью определяет импульс частицы в двух измерениях, а именно В дальнейшем мы будем говорить о процессах рассеяния скалярных частиц. Так как мы рассматриваем процессы рассеяния физических частиц, импульсы частиц лежат на массовой оболочке Тогда n-частичные асимптотические состояния мы будем обозначать следующим образом В массивных теориях теориях взаимодействие предполагается короткодействующим и, как следствие, асимптотические состояния представляют собой набор свободных частиц, взаимодействующих только в моменты перекрытия волновых пакетов.

Начальные асимптотические состояния даются набором свободных частиц при t. Будем определять начальное состояние как асимптотическое состояние, в котором быстроты расположены в порядке убывания a 2... n. Конечные асимптотические состояния определяются аналогичным образом, только в этом случае частоты предполагаются расположенными в порядке возрастания 1 2... n.

Сохраняющиеся заряды Существование бесконечного количества сохраняющихся зарядов Q±s, находящихся в инволюции, является существенным следствием процессов рассеяния. Локальные сохраняющиеся заряды могут быть классифицированы значением спина s и могут быть представлены в виде интегралов от плотностей, т.е.

где Ts+1 (z, z ) и (z, z ) Аналогичным образом, мы можем определить сохраняющиеся заряды с отрицательным спином, обозначаемые как Qs, с помощью локальных полей Ts+1 и s1, которые удовлетворяют закону сохранения Ts+1 = s1. Отметим, что интегралы Q±1 совпадают с компонентами импульса в координатах светового конуса.

Так как эти заряды коммутируют друг с другом, их можно диагонализовать одновременно. Спектр возможных значений спинов s сохраняющихся величин зависит от модели и связан со структурой связных состояний. Действие интегралов движения на асимптотических состояниях имеет вид где s () называется собственным значением интеграла Qs для частицы сорта a.

Матрица рассеяния Матрица рассеяния, или S-матрица, определяется как унитарное преобразование, связывающее связывающее начальные и конечные асимптотические состояния. Мы ограничимся только случаем диагонального рассеяния. Тогда S-матрица диагональна в базисе асимптотических состояний, т.е.

Вследствие бесконечное числа интегралов движения в интегрируемых теориях поля, процессы рассеяния в них являются полностью упругими, т.е. конечное состояние содержит такое же количество частиц с теми же импульсами, что и начальное. Следовательно, n-частичные амплитуды рассеяния могут быть факторизованы в произведения n(n 1)/ двух-частичных, Уровнем вложения модулей Vak и Vbk мы будем называть значение k. Стрелка диаграммы, соединяющая две точки подчеркивает тот факт, что модуль V является подмодулем модуля V. В этом случае, вектор старшего веса |V, как вектор в модуле V, является особым вектором вида D, |V, причем оператор D, является линейной комбинацией произведений генераторов алгебры Вирасоро Lk, k > 0.

Лиан и Цукерман доказали [6], что классы относительных БРСТ когомлогий H rel (L ) не тривиальны тогда и только тогда, когда E. Для любого E размерность пространства когомологий H rel (L ) дается следующим выражением где мы предположили, что n > 0. В случае n = 0 размерность пространства относительных БРСТ когомологий равна в дальнейшем нам понадобится теорема Лиана-Цукермана для модулей Верма. Рассмотрим относительный БРСТ комплекс C rel (V ). В этом случае, как было доказано в [6], пространство относительных когомлогий H rel (V ) не тривиально тогда и только тогда, когда E. В этом случае, размерности пространств относительных когомлогий имеют несколько другие значения, а именно Для любого значения существует отображение V L из модуля Верма со старшим весом в неприводимый модуль алгебры Вирасоро с тем же значением старшего веса. Это отображение индуцирует отображения C rel (V ) C rel (L ) и H rel (V ) H rel (L ).

Сравнивая духовые числа, мы заключаем, что, при таком отображении, образ единственного класса из H rel (V ) является классом когомлогий с наибольшим возможным духовым числом в H rel (L ). Класс БРСТ когомлогий с наибольшим духовым числом из пространства относительных когомлогий H rel (L ) будет в дальнейшем называться старшей когомлогией.

Как мы отмечали, в другом варианте двумерной Лиувиллевской гравитации, пространство состояний в гравитационном секторе представлено модулями Фейгина-Фукса.

Пространством физических состояний в этом случае является H rel (F), где F это модуль Фейгина-Фукса с центральным зарядом cL = 26. В случае, когда c 25, модуль Фейгина-Фукса изоморфен либо модулю Верма, либо контрградиентному модулю Верма.

В первом случае пространство классов относительных когомлогий H rel (F) = H rel (V ) соответствует старшим когомлогиям из H rel (L ). Можно показать, что во втором случае когомлогии H rel (F) соответствуют младшим когомлогиям из H rel (L ). Это наблюдение позволяет сравнивать результаты, полученные нами, с результатами работ [8, 11, 12].

1.2.2 Процедура рекуррентного построения базисных состояний Мы полагаем, что существует связь между явными выражениями для физических состояний и видом соответствующих особых векторов. Эта связь приводит к явной рекуррентной процедуре построения классов БРСТ когомлогий. Точнее, мы покажем, что все классы когомлогий однозначным образом определяются только старшими когомлогиями.

Классы старших БРСТ когомлогий Процедура построения старших классов когомлогий упрощается в силу следующего предложения Предложение 1. Все старшие классы когомологий могут быть получены применением операторов c1, c2,... к вакуумным векторам, которые мы ввели в(1.1).

Это предположение легко следует из Предложения 1.11 работы [13]. Важной частью доказательства этого предложения является следующая конструкция классов старших когомлогий. Пусть K n это векторное пространство всех (возможно бесконечных) линейных комбинаций антисимметричных мономов Пусть d(ci1,...,in ) = i1 +i2 +· · ·+in это степень монома (1.5). Определим дифференциал : K n K n+1 следующим образом Легко доказать, что 2 = 0. Пространство когомлогий этого комплекса мы обозначим как H(K). Этот комплекс изоморфен стандартному комплексу БРСТ когомлогий алгебры Ли V ir>0 = L1, L2,.... Теорема Гончаровой [14] утверждает, что размерности пространств когомлогий H n (K) даются следующими числами Каждое пространство когомлогий H n (K) (n > 0) порождается двумя векторами un, vn со степенями однородности Например, Вектора un и vn определены с точностью точных членов.

Вернемся к построению классов старших БРСТ когомологий для неприводимых модулей алгебры Вирасоро Lan. Рассмотрим вектор с духовым числом n + 1 и конформной размерностью 0 (так как an + d(un ) 1 = 0, где an определено в (1.2), а d(un ) определено в (1.6)). Очевидно, что вектор un an является БРСТ замкнутым. Более того, можно показать, что этот вектор не является БРСТ точным.

Поэтому, состояние является представителем классов относительных когомологий Hn+1 (Lan ).

Старшие классы когомологий любого неприводимого модуля Верма Lbn могут быть построены подобным образом. Мы приведем явный вид некоторых старших классов когомлогий 1.2.3 Рекуррентные уравнения В этом разделе мы будем использовать следующие обозначения. Рассмотрим BRST вектор со старшим весом в этом модуле Верма. Мы определим вакуумный вектор в этом комплексе следующим образом Для того, чтобы подчеркнуть разницу между этим вакуумным вектором и вакуумным вектором, определенным в (1.1), мы будем обозначать последний как L.

Классы когомлогий, за исключением старших классов когомлогий, могут быть построены рекуррентно. Смысл этой процедуры в следующем. Мы берем резольвенту неприводимого модуля алгебры Вирасоро, состоящую из модулей Верма, и вычисляем БРСТ когомлогии с коэффициентами в этой резольвенте. Тогда когомологии неприводимых модулей Вирасоро можно получить с помощью спектральной последовательности, которая вырождается в первом члене. Эта конструкция позволяет находить явные выражения для классов когомлогий, относящихся к векторам старшего веса в модулях Верма диаграммы вложений, одно за другим, начиная с вершины и спускаясь все ниже. Ниже мы представим несколько первых шагов явно. Затем, мы опишем n-ый шаг.

Уровень вложения Вершина диаграммы вложений соответствует старшему весу a0 = 1. Размерность проrel странства когомлогий равна dim Hk (La0 ) = k,1. Нахождение представителей классов когомлогий является прямолинейной задачей. Однако, мы приведем процедуру вычисления этих представителей явно, так как в дальнейшем будем ссылаться на нее. Рассмотрим относительный БРСТ комплекс C rel (Va0 ). Легко проверить, что состояние является одним из представителей классов относительных когомлогий. Учитывая обсуждение в заключительной части раздела 1.2.1, можно проверить, что состояние является представителем классов когомлогий H rel (La0 ). Это состояние является простейшим. Оператор, соответствующий этому состоянию, состоит из примарного поля в материальном секторе (в нашем случае это единичный оператор), одетого подходящим примарным полем Лиувиллевского сектора.

Уровень вложения Точки на этом уровне диаграммы вложений соответствуют старшим весам a1 = и b1 = 1. Рассмотрим пространство когомлогий H rel (La1 ), связанное с первым из весов.

В силу результатов Лиана и Цукермана (1.3), мы заключаем, что нетривиальные классы когомологий принадлежат пространствам H0 (La1 ) и H2 (La1 ). Класс старших когомлогий Oa1 H2 (La1 ) приведен в (1.7). Классы когомлогий из пространства H0 (La1 ) могут быть построены с помощью следующей процедуры.

Шаг 1. Рассмотрим относительный БРСТ комплекс C rel (Va1 ). Модуль Верма Va1 содержит особый вектор на первом уровне. Этот особый вектор имеет вид Da0,a1 |Va1, причем Da0,a1 = L1. Определим состояние Отметим, что модули Верма со старшими векторами Da0,a1 |Va1 и |Va0 эквивалентны, так как оба модуля имеют один и тот же старший вес a0 = 1. Поэтому, можно рассматривать состояние (1.10) как состояние Ha0 V0, определенное на предыдущем уровне (1.8). Соотa ветственно, состояние (1.10) является БРСТ замкнутым, так как состояние (1.8) БРСТ замкнуто.

Шаг 2. Мы покажем, что состояние (1.10) так же является БРСТ точным. Действительно, согласно результатам Лиана и Цукермана (1.4), единственный нетривиальный класс БРСТ когомологий в пространстве H rel (Va1 ) имеет духовое число, равное 2, в то время как состояние (1.10) имеет духовое число, равное 1. Следовательно, это состояние БРСТ точно. Поэтому, существует некоторый оператор Ha1, такой что Правая часть этого уравнения полностью определяется классом когомлогий, определенным на предыдущем уровне, и структурой вложений модулей Верма. Поэтому, в дальнейшем это уравнение будет называться рекуррентным уравнением. Далее мы опишем, как решение этого уравнения, а именно, оператор Ha1 будет использоваться для вычисления представителей классов когомлогий пространства H0 (La1 ).

Шаг 3. Мы утверждаем, что состояние Oa1 = Ha1 L1 является представителем классов когомлогий пространства H0 (La0 ). Действительно, согласно (1.11) и (1.10) мы получаем Более того, можно показать, что состояние Oa1 не является БРСТ точным. Поэтому, оно является представителем классов когомлогий.

Таким образом, мы получили все классы когомологий в пространстве H rel (La1 ) и показали связь между этими классами и особыми векторами в неприводимых модулях алгебры Вирасоро La1.

Классы когомлогий пространства H rel (Lb1 ) могут быть получены аналогичным образом. Классы старших когомлогий приведены в (1.7). Остальная часть процедуры точно такая же, которую мы использовали для пространства H0 (La1 ). Поэтому, мы приведем только результаты. В модуле Верма Vb1 на втором уровне существует особый вектор, который может быть представлен в виде Da0,b1 |Vb1, причем Da0,b1 = (L2 + (2/3)L2 ). Рекуррентное уравнение имеет вид Решение этого уравнения позволяет нам найти оператор Hb10 и, следовательно, предстаa0 a вителей Ob1 = Hb10 L1 классов когомлогий пространства H0 (Lb1 ).

Уровень вложений Точки на этом уровне диаграммы вложений соответствуют старшим весам a2 = и b2 = 6. Мы рассмотрим относительные когомологии H rel (La2 ). Размерности и духовые числа классов когомлогий следуют из теоремы Лиана и Цукермана (1.3). Представитель старшего класса когомологий Oa2 приведен в (1.7).

Рассмотрим пространство классов относительных когомлогий H1 (La2 ). Два базисных класса когомлогий могут быть построены способом, применявшимся на предыдущем уровне. Модуле Верма Va2 содержит два особых вектора. Один из них, который может быть представлен как Da1,a2 |Va2, находится на уровне 4, а второй, представимый в виде Db1,a2 |Va2, находится на уровне 3. В этом случае рекуррентные уравнения принимают вид Операторы Ha2 и Ha2 однозначно определяют представителей Oa2 = Ha2 L2 и Oa1 = Ha2 L2 классов когомологий пространства H1 (La2 ).

Процедура построения классов когомлогий пространства H1 (La2 ) несколько хитрее.

Шаг 1. Рассмотрим относительный БРСТ комплекс C rel (Va2 ). Как обсуждалось ранее, модуль Верма Va2 содержит два особых вектора. Рассмотрим состояния Можно считать эти состояния эквивалентными состояниям Ha1 V1 и Hb10 V1, которые были определены на предыдущем уровне. Поэтому, используя соотношения (1.10), (1.11) и (1.12), мы получаем Как обсуждалось выше, модули Va1 и Vb1 содержат особые вектора конформной размерности a0 = 1. Эти модули и, поэтому, сингулярные вектора содержаться в модуле Верма Va2.

Так как модуль Верма Va2 содержит только один сингулярный вектор со старшим весом a0, мы получаем операторное тождество Da0,a1 Da1,a2 = Da0,b1 Db1,a2. Следовательно, из (1.14) мы получаем и Oa0 = Ha2 L это представитель классов когомологий из пространства H1 (La2 ). Как мы видим, уравнение (1.15) позволяет определять классы когомологий на втором уровне, используя классы когомлогий на первом уровне.

Уровень вложения n Мы утверждаем, что можно получить рекуррентные уравнения, позволяющие вычислять когомлогии пространства H(Lan ). Базисные классы когомлогий и их духовые числа N g могут быть представлены в виде следующей диаграммы Пусть k и k это либо ak или bk. Введем следующую параметризацию для наборов классов когомлогий из пространства Han, Эти операторы являются многочленами от образующих алгебры Вирасоро и духовых операторов cn, bn с n < 0. Рассмотрим набор состояний Эти состояния могут рассматриваться как состояния Hn1 Vn1, т.е. как представители классов когомологий на предыдущем уровне n 1. Поэтому, согласно предположению о рекуррентном построении классов когомологий, набор операторов Hn1 предполагается уже определенным. Операторы Dn1, так же определены структурой вложения особых векторов в модуле Верма Van. Теперь мы можем сформулировать следующее предложение.

Предложение 2. Для классов когомологий из пространства H rel (Lan ) набор рекуррентных уравнений выглядит следующим образом:

причем состояния Oan = Han Ln образуют базис в пространстве H rel (Lan ).

Мы можем сформулировать аналогичное предложение для представителей классов когомлогий из пространства H rel (Lbn ). Как следует из Предложения 2, все классы когомлогий могут быть определены, используя только старшие когомлогии и операторы D,, явный вид которых найден в работе [15].

1.2.4 Операторы, действующие на пространстве относительных Ранее мы построили базис в пространстве относительных когомлогий H rel (Lan ). Для изучения операторной алгебры удобно выбрать другой набор представителей пространства когомлогий. Мы построим новый базис, используя некоторые операторы, действующие на пространстве когомлогий.

Рассмотрим следующие операторы Легко видеть, что эти операторы коммутируют с БРСТ зарядом Q. Действительно, оператор X эквивалентен коммутатору [Q, c0 ] и коммутирует с БРСТ зарядом в силу условия Q2 = 0. Коммутация оператора X+ с БРСТ зарядом может быть проверена напрямую.

Таким образом, эти операторы действуют на пространстве относительных когомлогий, т.е.

если w это когомлогия с духовым числом k, то Xw и X+ w это когомлогии с духовым числом k + 2 в том же пространстве.

Операторы X и X+ удовлетворяют соотношению в пространстве относительных когомлогий H rel (L ). Это соотношение может быть проверено следующим образом. Рассмотрим оператор Легко показать, что X · X+ = [Y, Q]. Поэтому, для любого представителя когомлогий w, мы имеем XX+ w = [Y, Q]w = QY (w), т.е. XX+ действует нулем на пространстве когомлогий.

На пространстве полубесконечных когомлогий H /2 (V ir, V ir0, L) действует алгебра обычных когомлогий H(V ir, V ir0, C). Операторы X и X+ образуют базис в двумерном пространстве H 2 (V ir, V ir0, C), где V ir0 = L0, c. Вся алгебра H(V ir, V ir0, C) порождается образующими X и X+ с соотношением X · X+ = 0.

Операторы X и X+, удовлетворяющие соотношению XX+ = 0, образуют алгебру, действующую на пространстве относительных когомлогий H rel (L ). Кроме того, эти операторы могут быть использованы для явного построения представителей классов относительных когомлогий. Рассмотрим пространство H rel (Lan ). Для краткости, класс когоa мологий с наименьшим духовым числом Oan мы будем обозначать как Oan. Базис в этом пространстве когомлогий может быть построен с помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Следующие классы когомлогий образуют базис в пространстве H rel (Lan ).

Эту теорему можно проиллюстрировать следующим образом:

Аналогичную теорему можно сформулировать для классов когомлогий из пространства H rel (Lbn ). Покажем, каким образом данная теорема позволяет находить классы когомлогий в пространстве H rel (La2 ). Используя явный вид когомлогий, приведенный в разделе 1.4, мы получаем Отсюда следует, что классы когомлогий Oa2, XOa2, X 2 Oa2, X+ Oa2 образуют базис в пространстве H rel (La2 ). Отметим, что базис, построенный с помощью Теоремы 1, отличается от базиса, построенного с помощью Предложения 2. Из Теоремы 1, помимо прочего, следует, что Oan = X n Oa0, где = 0, т.е. старшие классы когомлогий могут быть получены из когомологий с наименьшим духовым числом с помощью действия оператора X.

Напомним, что все классы когомлогий, за исключением старших, могут быть построены из представителей классов когомлогий на предыдущем уровне диаграммы вложений.

С другой стороны, как следует из Теоремы 1, все классы когомлогий (включая старшие когомлогии) пространства H rel (Lan ) могут быть построены из классов когомлогий с наименьшим духовым числом Oan с помощью действия операторов X и X+. Поэтому, все когомлогии могут быть найдены, начиная с простейшей Oa0 H rel (La0 ).

1.2.5 Операторная алгебра Используя соответствие состояние-оператор, мы можем определить операторы, которые соответствуют найденным ранее представителям когомлогических классов. Любому состояний из Гильбертова пространства теории соответствует некоторый локальный оператор. Например, Лиувиллевскому вектору со старшим весом соответствует Лиувиллевское примарное поле определенной конформной размерности.

Каждому представителю классов когомологий O мы можем поставить в соответствие некоторый локальный оператор O(z), который коммутирует с БРСТ зарядом Q. Этот оператор не зависит от точки z по модулю БРСТ точных членов. Действительно, Хорошо известно, что любой нетривиальный класс БРСТ когомлогий имеет конформную размерность, равную 0. Доказательство следующее. Предположим, что L0 O = O и = 0. Поэтому, мы имеем Операторным разложением называется следующее предположение. Рассмотрим два локальных оператора O1 (z) и O2 (w). Тогда при стремлении z w их произведение можно рассматривать как некоторый новый оператор в точке z = w, т.е.

где коэффициенты разложения An (w) это некоторые операторы конформной размерности n. Так как операторы O1 (z) и O2 (w) коммутируют с БРСТ зарядом Q, коэффициенты разложения An (w) так же коммутируют с БРСТ зарядом. Так как не существует БРСТ когомлогий с отличной от нуля конформной размерностью, только оператор A0 (z) может соответствовать некоторому нетривиальному представителю классов когомлогий.

Обозначим A0 (w) как O3 (w). Мы установили, таким образом, что операторное разложение обладает структурой кольца, определенной посредством соотношения которое в дальнейшем будет обозначаться как Это кольцо должно быть коммутативно и ассоциативно. Мы утверждаем, что операторная алгебра классов относительных когомологий не является ассоциативной. Рассмотрим простейший нетривиальный пример и покажем, что Левая часть этого неравенства равна 0 в пространстве когомлогий. Действительно, из правил слияния для полей теории Лиувилля и закона сохранения духового числа следует, что произведение Oa1 · Oa1 находится в пространстве H rel (La1 ) и имеет духовое число, равное 4. Согласно результатам Лиана и Цукермана (1.3), мы получаем, что H4 (La1 ) = 0.

Поэтому, Oa1 · Oa1 равно 0 по модулю БРСТ точных членов и, следовательно, вся левая часть (1.19) равна 0 по модулю БРСТ точных членов.

Правая часть неравенства (1.19) может быть вычислена с помощью явного вида операa торов, приведенного в разделе 1.4. Правая часть, как можно показать, равна 240 · Oa2. Это вычисление показывает, что операторная алгебра представителей классов относительных когомлогий не является ассоциативной.

Отсутствие ассоциативности операторной алгебры крайне нежелательно. Рассмотрим эту проблему подробно. До сих пор мы обсуждали классы относительных когомлогий w, по модулю Qw, где оба элемента w и w зануляются при действии b0. Отметим, что суa ществуют состояния вида Qw, такие что b0 w = 0. Например, состояние Oa1 имеет такой вид, Любая корреляционная функция, которая содержит такие состояния равна нулю. Можно сказать, что эти состояния не являются физическими. Поэтому, нам следует исключить такие состояния из рассмотрения. Для этого, мы рассмотрим абсолютный БРСТ комплекс.

1.3 Абсолютные когомологии 1.3.1 Базис в пространстве когмологических классов Мы рассмотрим абсолютный БРСТ комплекс C abs (L ). Как показали Лиан и Цукерман, когомлогические классы пространства H abs (L ) нетривиальны тогда и только тогда, когда параметр принадлежит некоторому множеству значений E. Напомним, что E это набор старших весов, которые появляются на диаграмме вложений модулей Верма (1.2). Возможно несколько расширить утверждение теорем Лиана и Цукермана и сформулировать следующую теорему Теорема 2. Если E, то размерность пространства абсолютных когомлогий H abs (L ) имеет следующие значения где предполагается, что n > 0. В случае n = 0 размерность подпространства дается следующим значением Мы докажем эту теорему для подпространства Hk (Lan ), потому что остальные случаи могут быть рассмотрены подобным образом. Следуя логике работы [13, 6], мы рассмотрим длинную точную последовательность, связывающую относительные и абсолютные когомлогии Из точности этой последовательности следует, что dim Hk (Lan ) = dim im(k ) + dim im(k ) = dim ker(k ) + dim Hk (Lan ) dim im(k1 ).

Так как размерности пространств dim Hk (Lan ) известны (1.3), достаточно изучить отображения k.

Отображение k : Hk1 Hk+1 определено как композиция действия духового оператора c0 и БРСТ заряда Q. Отметим, что [Q, c0 ] = X. Поэтому, отображение k эквивалентно действию оператора X. Из теоремы 1 следует, что ядро оператора k порождается классами когомлогий вида X+ Oan, где (1 j < n) и X n Oan. Образ этого отображения порождается классами когомлогий вида X j Oan (1 j n). Из этих рассуждений мы легко получаем искомые размерности классов когомлогий.

Смысл длинной точной последовательности заключается в следующем. Любой класс абсолютных когомологий может быть либо классом из H rel (L ), либо может быть представлен в виде c0 w+w, где w H rel (L ) и w C rel (L ). Некоторые классы относительных когомлогий не являются классами абсолютных когомлогий. Действительно, рассмотрим действие БРСТ оператора на состояние вида c0 w + w Поэтому, любой класс относительных БРСТ когомлогий вида Xw является БРСТ точным в пространстве абсолютных когомлогий. Из Теоремы 1 следует, что следующие представители классов относительных когомологий не представимы в виде Xw и, поэтому, образуют базис в пространстве H rel (Lan )H abs (Lan ).

Для того, чтобы дополнить набор (1.22) до базиса, нам потребуются состояния вида c0 w + w, где w H rel (Lan ) и w C rel (Lan ). Из (1.21) следует, что если Q(c0 w + w ) = 0, то Xw = 0 на пространстве относительных когомлогий H rel (Lan ). В силу Теоремы 1, такие состояния w являются линейными комбинациями следующих классов когомлогий X+ Oan, X+ Oan,..., X+ Oan, X n Oan. Тогда, все дополнительные базисные состояния имеn ют вид c0 X+ Oan, c0 X+ Oan,..., c0 X+ Oan, c0 X n Oan по модулю C rel (Lan ).

Рассмотрим следующий оператор который имеет духовое число 3. Легко проверить, что этот оператор коммутирует с БРСТ зарядом Q и, следовательно, действует на пространстве когомологий. Более того, если Набор элементов (1.22) может быть расширен до базиса в пространстве абсолютных когомлогий H abs (Lan ) добавлением элементов Действительно, Y Oan = c0 X+ Oan, Y X+ Oan = c0 X+ Oan,..., Y X+ Oan = c0 X+ Oan по модулю C rel (Lan ).

Таким образом, процедура построения абсолютных когомлогий, которая рассматривалась выше, может быть представлена в виде следующей диаграммы Пусть n это либо an, либо bn. Удобно выбрать базисные элементы для классов АБСОЛЮТНЫХ когомлогий следующим образом Как мы увидим далее, такой выбор базисных элементов упрощает вид структурных констант операторной алгебры. Действие оператора X+ на этих когомологиях имеет вид причем духовые числа этих классов когомлогий имеют вид 1.3.2 Операторная алгебра Как обсуждалось ранее, операторное алгебра имеет структуру кольца (1.18) на пространстве абсолютных когомлогий. Предполагается, что это кольцо является ассоциативным и коммутативным. В этом кольце содержится единичный элемент, а именно тождественный оператор Oa1 (z) = I(z).

Как мы покажем далее, операторная алгебра в пространстве абсолютных когомлогий почти определяется с помощью операторов X+ и Y. Поэтому, мы рассмотрим сначала эти операторы. Согласно соответствию операторов и состояний, любой оператор, действующий на Гильбертовом пространстве состояний, имеет образ, действующий на пространстве локальных операторов. Можно показать, что образ оператора X+ может быть представлен в виде следующего контурного интеграла где мы опустили БРСТ точные члены. Как следствие такого представление, мы заключаем, что оператор X+ дифференцирует произведение любых двух локальных операторов, то есть Теперь рассмотрим оператор Y. Легко проверить, что действие этого оператора эквиваcc 2 c :, т.е.

лентно взятию нулевой моды операторного разложения с по модулю БРСТ точных членов. Отметим, что оператор 1 :cc 2 c: это локальный оператор, соответствующий представителю классов когомлогий Na1 :

Поэтому, на пространстве когомологий мы имеем Рассмотрение операторной алгебры упрощается благодаря правилам слияния. Рассмотi рим операторы вида Oan. Соответствующие им состояния образуют базис в пространстве H rel (Lan ) H abs (Lan ). Учитывая правила слияния для вырожденных представлений алгебры Вирасоро [3] и условие сохранения духового числа, мы получаем с некоторыми структурными константами i,j.

Операторы X+ и Y почти определяют структурные константы операторной алгебры благодаря двум следующим предложениям Предложение 3. Предположим, что Тогда подкольцо H rel (Lan ) H abs (Lan ) изоморфно кольцу многочленов от Oa2 и Oa2. Более того, В этом предложении мы предполагаем, что операторное произведение не вырождено, а коэффициент в этом операторном разложении всегда может быть положен равным подходящей перенормировкой когомлогий с наименьшим духовым числом Oan.

Для доказательства этого Предложения достаточно доказать соотношение (1.29). Для n = 0 уравнение (1.29) эквивалентно тому, что Oa1 это единичный элемент. Для n = уравнение (1.29) очевидно выполняется. Из Предположения (1.28) следует, что Применяя оператор X+ к обеим частям это равенства и используя (1.25) и (1.25), мы получаем Повторно применяя X+ к обеим частям этого равенства, мы получим Таким образом, применяя оператор X+ i раз к обеим частям (1.30), мы получим (1.29).

Интересно сравнить эти результаты с результатами Канно и Сармади [8], где вместо неприводимых модулей алгебры Вирасоро в Лиувиллевском секторе рассматриваются модули Фейгина-Фукса. Как отмечалось, классы когомлогий из работы [8] соответствуют рассматриваемым нами классам когомлогий с наименьшими и наибольшими духовыми числами. Например, wn в их обозначениях соответствует элементу Oan+1 с n 0. Результаты работы [8] подтверждают, что произведение представителей классов когомлогий вида Oan+1 является невырожденным и, поэтому, предположение, которое мы сделали в Предложении 3, выполняется.

Структурные константы операторной алгебры на пространстве n>0 H abs (Lan ) определяются с помощью следующего предложения.

Предложение 4. При условии выполнения предположения о невырожденности операторного произведения из Предложения 3, мы имеем Докажем это Предложение. Первое равенство очевидным образом следует из (1.29).

Теперь умножим первое равенство на Na1 с обеих сторон. Из (1.26) и (1.22), мы получаем Последнее равенство из (1.31) очевидно следует из соотношений Nak+1 = Y Oak+1 = Na1 · Oak+1 и Na1 · Na1 = Y Na1 (z) = 0.

Мы рассматриваем операторную алгебру состояний из подпространства n>0 H abs (Lan ).

Этого оказывается достаточным, так как существует изоморфизм между пространствами H abs (Lan ) и H abs (Lbn ). Этот изоморфизм реализуется с помощью оператора где b1 (z) = 1,2 (z) это Лиувиллевской примарное поле, соответствующее состоянию |Lb1. Действительно, из правил слияния для вырожденных представлений алгебры Вирасоро в Лиувиллевском секторе и из закона сохранения духового числа, мы получаем где i 1,an+1 и i 1,bn+1 это структурные константы. Для того, чтобы показать, что эти константы не равны 0, мы умножим обе части первого уравнения в (1.32) на оператор Ob1.

Учитывая ассоциативность операторной алгебры, мы получаем Так как где C(1,2),(1,2) это структурная константа теории Лиувилля [16, 31], мы заключаем, что Мы можем перенормировать локальные операторы Obn таким образом, что Применяя операторы X+ и Y к обеим частям этого равенства, мы получаем Используя Предложение 4 и выражения (1.33), (1.34) можно легко вычислить операторные произведения любых двух локальных полей.

1.4 Некоторые представители классов когомлогий В этом разделе мы приведем явные выражения для некоторых представителей классов относительных когомлогий. Явные выражения для старших классов когомлогий были приведены ранее (1.7). Для нахождения остальных состояний мы будем использовать рекуррентную процедуру, описанную ранее.

Уровень вложения 1. Рассмотрим пространство когомологий H rel (La1 ). Легко проверить, что представитель классоа когомлогий с духовым числом 0 может быть представлен в следующем виде Можно показать, что Q(Oa1 ) = L1 L1 = 0, так как L1 |Va модуле Верма Va1 и, следовательно, в неприводимом модуле L1 |La1 = 0.

В пространстве H rel (Lb1 ) представителем классов когомлогий с духовым числом 0 может быть выбрано следующее состояние Легко проверить, что Q(Ob1 ) = (L2 + (2/3)L2 )L1 = 0, так как (L2 + (2/3)L2 )|Vb1 = это особый вектор в модуле Верма Vb1 и, поэтому, в неприводимом модуле (L2 + (2/3)L2 )|Lb1 = 0.

Уровень вложения 2. На этом уровне мы рассмотрим только пространство когомлогий H rel (La2 ). Явный вид представитель класса старших когомлогий приведен в (1.7).

Рассмотрим остальные состояния.

Легко проверить, что следующие состояния являются представителями классов когомлогий с духовым числом Oa2 = Ha2 L2 = c1 b1 L Oa1 = Ha2 L2 = c2 b1 L2 6c2 b2 L1 + 4c3 b1 L1 12c2 b3 + 16c4 b1 L2.

Действительно, можно проверить, что Q(Oa2 ) = Db1,a2 L2 = 0 and Q(Oa1 ) = Db1,a2 L2 = 0.

Явный вид операторов Da1,a2 и Db1,a2 можно найти в работе [10].

Представитель класса когомологий с духовым числом 1 имеет вид Можно проверить, что что согласуется с результатам рекуррентной процедуры.

Глава Форм факторы локальных операторов в теория Тоды для аффинной алгебры AL Эта глава построена следующим образом. В разделе 2.1 мы кратко опишем двумерную теорию Тоды для аффинной алгебры AL1, введем используемые в дальнейшем обозначения и напомним основные результаты Лукьяновского свободно-полевого представления.

В разделе 2.3 мы представим вспомогательную коммутативную алгебру, которая позволит построить свободно-полевое представление для форм факторов операторов потомков.

Мы обозначим некоторые основные следствия этой конструкции и произведем подсчет операторов потомков, определяемых с помощью полученных решений. В разделе 2.4 мы рассмотрим альтернативное свободно-полевое представление, которое является важным элементом при доказательстве отражательных соотношений в разделах 2.4.1, 2.5. В разделе 2.4.1 мы используем некоторые рекуррентные соотношения для доказательства отражательных соотношений для экспоненциальных операторов, а в разделе 2.5 эти соотношения используются для доказательства отражательных соотношений для форм факторов операторов потомков. В явном виде отражательные соотношения рассмотрены в разделе 2. для операторов потомков на первом уровне.

2.1 Теория Тоды для аффинной алгебры Ли AL это (L 1)-мерная Картанова подалгебра простой алгебры Ли AL1. ДуПусть h альную подалгебру обозначим как h. Определим скобку ·, · как форму Киллинга, ограниченную либо на подалгебру h, либо на дуальную ей подалгебру h. Обозначим простые корни алгебры как i h, i = 1,..., L 1. Эти корни удовлетворяют следующим соотноL Пусть – это полусумма положительных корней, которая может быть представлена в виL1 i(Li) весов первого фундаментального представления 1 алгебры, i, Hs = is i,s1, причем i = Hi Hi+1.

Рассмотрим (L 1)-компонентное действительное поле (x) hR с действием Подчеркнем, что сумма в правой части идет по всем простым корням аффинной алгебры Ли AL1, включая аффинный корень 0. Описываемая этим действием теория называется аффинной теорией поля связанной с алгеброй Ли AL1.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения где предполагается, что параметр p является иррациональным числом. Кроме того, мы будем использовать координаты светового конуса и производные по этим координатам, то есть Спектр рассматриваемой модели содержит из L1 различных частиц, причем массы этих частиц могут быть найдены точно [22] В этом выражении мы использовали общепринятые q-числовые обозначения Масса легчайшей частицы M1 пропорциональна µ1/2(1b ). Точное соотношение между массой M1 и µ было установлено в работе [35].

Пространство локальных операторов рассматриваемой модели состоит из экспоненциальных операторов и их потомков, т.е. линейной комбинации полей для любых целых чисел r, s 0 и l1,..., s > 0. Пару чисел (l, определенных следующим образом мы будем называть уровнем оператора потомка, в то время как числа l и по отдельности будут называться киральными уровнями. Разность s = l оператора, в то время как сумма = Q2 a+, a+ +l + в ультрафиолетовой области. Операторы потомки с = 0 будут называться киральными потомками, в то время как операторы потомки с l = 0 будут называться антикиральными.

В формализме радиального квантования, любому оператору в какой-нибудь точки, например x = 0, ставится в соответствие вектор из вспомогательного векторного пространства. А именно, поле (x) может быть разложено в некоторое подобие ряда Лорана в окрестности точки рассматриваемой точки1, причем операторы Qi, Pi, ain и ain образуют алгебру Гейзенберга со следующими коммутационными соотношениями В формализме радиального квантования экспоненциальный оператор Va (0) соответствует вектору со старшим весом |a rad, который определяется с помощью следующих соотношений конечно, это разложение справедливо только для малой окрестности рассматриваемой точки, |z|, |z | M1, в которой поле (x) может рассматриваться как безмассовый свободный бозон с точностью до некоторого числового множителя, операторы потомки (2.6) соответствуют векторам Этот модуль может быть представлен в виде тензорного произведения Fa Fa двух киральных компонент. Модуль Fa это Фоковский модуль натянутый на вектора (2.11) с = 0. Аналогично, модуль Fa свою очередь, каждый из этих модулей может быть разложен в прямую сумму уровневых подпространств, например, Fa Fa,l, где каждое подпространство Fa,l натянуто на вектора кирального уровня l. Размерности пространств Fa,l даются хорошо известной производящей функцией Кроме того, существует естественный изоморфизм: T : Fa Fa, вследствие отображения ain ain. Этот изоморфизм сохраняет уровень T : Fa,l Fa,l.

Для любого вектора v Fa Fa мы определяем оператор a [v](x) как некоторый Гипотеза об отражательной симметрии [31, 32, 33, 34] утверждает следующее свойство Тогда, для параметра a в общем положении и для любого элемента w W существует отображение Ra (w) : F F F F, такое что Так как это свойство следует из конформной теории поля, оно сохраняет уровни операторов Кроме того, рассматриваемое отображение факторизуется в прямое произведение киральных компонент Существует другое биективное отображение между Fa и Fa, которое естественно с точки зрения форм факторного формализма. Пусть w W это элемент, определяемый соотношением Как известно, группа Вейля порождается отражениями wi, такими что Используя эти генераторы, элемент w может быть представлен в виде Так как w = 1, то можно определить автоморфизм группы Вейля такой что Для общих значений параметра a существует биективное отображение Ta : Fw a Fa, сохраняющее уровень Ta Fw a,l = Fa,l, так что свойство факторизации для отражательного оператора принимает вид Данное соответствие, которое кажется на первый взгляд весьма неестественным с точки зрения Лагранжевого формализма, оказывается симметрией, которой обладают форм факторы.

Рассмотрим экспоненциальные операторы. Так как dim F0 = 1 мы получаем где Ga = Va (x) это вакуумное ожидаемое экспоненциального оператора Va (x), которое известно точно [34].

2.2 Cвободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов 2.2.1 форм факторы экспоненциальных операторов Теперь мы можем перейти к задаче о вычислении форм факторов. Напомним кратко свободно полевое представление для форм факторов, предложенное Лукьяновым [30] для модели (2.1). Рассмотрим набор экпоненциальных операторов s (), s = 1,..., L и определим для них двух-точечные следовые функции где R() двух-точечный минимальный форм фактор а функция F () имеет вид Многоточечные функции вычисляются по теореме Вика, причем мы определим процедуру нормального упорядочивания следующим образом и пусть : · · · : – это соответствующая процедура нормального упорядочивания. Мы так же будем писать обозначаться как Da, в то время, как Фоковское пространство, порождаемое генераторами dn, n > 0, из вакуума |1 будет обозначаться как Da. Эти пространства допускают

R R L L R R

Рассмотрим следующие экспоненциальные операторы Отметим, что экспоненты в правой части этого выражения не нуждается в нормальном упорядочивании в силу того, что все элементы dn с данным s коммутируют друг с другом.

Легко проверить, что В этих выражения мы вели следующую функцию Пусть Отметим, что экспоненциальный оператор 12...L (z) не равен единице и будет играть важную роль в дальнейшей конструкции. Его важным свойством является следующее соотношение Необходимо подчеркнуть, что коэффициент в правой части этого выражения не зависит от s.

Теперь мы можем ввести альтернативные токи W алгебры, а именно Поэтому, ‘физические’ подпространства также можно определить как 2.4.1 Рекуррентные соотношения и отражательные свойства для форм факторов экспоненциальных операторов Первым шагом в доказательстве отражательных свойств будет являться доказательство этих свойств для форм факторов экспоненциальных операторов. Так как выражения (2.26) и (2.63) не являются явным образом инвариантными относительно действия группы Вейля, нам понадобится другое представление для JN,a функций. Оказывается, что такое Вейль инвариантное представление может быть найдено в виде рекуррентных соотношений между форм факторами с различным числом частиц, причем начальные условия для этих соотношений окажутся явным образом инвариантными. Мы будем использовать следующие обозначения I = (1,..., N ), X = (x1,..., xN ). Кроме того, In = I \ {n}, Xn = X \ {xn }.

В дальнейшем будет показано, что любая функция JN,a (...)k1...kN может быть выражена с помощью функций J ki,a (...)1...1. Поэтому, достаточно получить рекуррентные соотношения для любого подмножества J функций, которое содержит функции с k1 = · · · = kN = 1. Мы выбираем такое подмножество, которое содержит функции с произвольным k1 и фиксированными k2 = · · · = kN = 1. Именно, рассмотрим функцию которые будут рассматриваться как аналитические функции, зависящие от переменной z, в то время, как остальные переменные X будут рассматриваться как параметры.

Общий множитель в этом выражении введен для сокращения лишних полюсов. Действительно, рассмотрим произведение двух экспоненциальных операторов tk (z)t1 (x). Это произведение имеет четыре простых полюса, расположенных в точках (k 2) двойных полюса, расположенных в точках и, наконец, 2(k 1) простых нулей в точках Другие простые полюса не имеют строго определенного местоположения и зависят от матричного элемента. Произведение сокращает все фиксированные нули и все полюса, кроме тех, которые расположены в точках z = x ±(k+1)/2. Поэтому, все полюса произведения расположены в точках z = x ±(k+1)/2, а вычеты в этих полюсах пропорциональны tk+1 (x):

где мы ввели обозначение Это означает, что общий множитель в выражении (2.77) существенно сокращает количество полюсов рассматриваемой функции.

При k = L 1 оба полюса совпадают, так как x ±L/2 = x. С физической точки зрения, этот полюс соответствует кинематическому, а не динамическому полюсу форм фактора. Вычет в этом полюсе имеет вид Таким образом, общий множитель в выражении (2.77) существенно упрощает аналитическую структуру функции Jk,N +1,a (z; X). Единственными полюсами этой функции являются динамические полюса, расположенные в точках z = xi ±(k+1)/2. Уравнение (2.81) позволяет вычислить вычеты в этих полюсах где Для особого случая, а именно, для k = L 1 мы имеем так как JL,N,a (x; Xn ) = J1,N 1,a (Xn ) согласно (2.61). К счастью, нет необходимости рассматривать этот случай отдельно при выводе рекуррентных соотношений. Он будет учитываться явным образом благодаря циклическому свойству этого набора функций (2.98), обсуждаемому далее.

Можно выделить вклад полюсов и регулярную часть функции, а именно где функция Jk,N +1,a (z; X) является регулярной функцией, зависящей от переменной z, во всех точках комплексной плоскости, кроме точек z = 0,. Отметим, что сумма по полюсам функции имеет порядок O(z 1 ) при z. Поэтому, асимптотическое поведение функции Jk,N +1,a (z; X), как функции аргумента z, полностью определяется регулярной частью Jk,N +1,a (z; X):

Мы можем рассмотреть разложение той же функции, но около другой точки, а именно где функция Jk,N +1,a (z; X) является регулярной на всей комплексной плоскости, кроме точек z = 0,. Очевидно, что поведение функции Jk,N +1,a (z, X) вблизи точки z = определяется функцией Jk,N +1,a (z; X), а именно В дальнейшем, мы будем использовать следующие обозначения Из определений (2.87) и (2.89) легко получить следующее соотношение Это соотношение показывает, что обе рассматриваемые функции почти одинаковы, за исключением нулевой моды по z. Это, в свою очередь, означает, что достаточно вычислить сингулярные части J (0) и J () вблизи точек z = 0 и z = соответственно и, кроме того, нулевую моду любой из этих функций.

Все вышесказанное равным образом относится как к форм факторам экспоненциальных операторов, так и форм факторам операторов потомков. Теперь мы ограничим внимание только на случай экспоненциальных операторов. Для того, чтобы однозначно определить функции Jk,N +1,a (z; X) и Jk,N +1,a (z; X), необходимо вычислить асимптотики функции Jk,N +1,a (z; X) при z 0 и z. Так как f (0) = f () = 1, эти асимптотики конечны в рассматриваемых пределах и мы имеем где Более удобным будет использовать не индукцию по числу частиц N, а индукцию по переменной k + N. Предположим, что уравнение (2.105) справедливо для некоторого значения M = k + N для произвольных k = 1,..., L 1. Вычисляя производные от обеих частей рекуррентного соотношения (2.96) мы получаем Умножая это выражение на S1 (z, X)S1 (z, X) и используя тождество (2.95) мы получим В силу гипотезы индукции, мы имеем Поэтому, сумма первого и третьего члена в правой части уравнения (2.107) равна в то время как для двух оставшихся членов мы получаем Собирая эти члены вместе мы получаем S1 (z; X)S1 (z; X)Jk,N +1,i (z; X) = A sin Это почти то, что нам нужно. Для доказательства уравнений движения для k +N = M + осталось доказать, что Рассмотрим для начала случай k = 1. Тогда функция J1,N +1,i (xN +1 ; x1,..., xN ) является симметричной функцией по отношению ко всем переменным x1,..., xN +1. Поэтому, любая из этих переменных может быть выбрана в качестве z. Это значит, что Левая часть этого выражения зависит от xN, в то время как его правая часть не зависит от xj. Это значит, что функция J1,N +1,i (S1 (X); X) является константой для всех своих N переменных. Поэтому, достаточно доказать, что эта функция равна нулю, например при xN. Рассмотрим рекуррентное соотношение Так как левая часть этого выражения является константой, мы можем вычислить ее в пределе xN. В этом пределе единственными не исчезающими членами суммы в правой части являются те, для которых n = N. Учитывая, что при xN, мы получаем Поэтому, J1,M,i (S1 (X); X) = 0. Теперь можно легко проверить соотношение (2.108), рассматривая операторное разложение токов t1 в ток tk. Именно поэтому мы рассматривали индукцию по переменной k + N, а не по переменной N.

2.5 Отражательные соотношения для форм факторов операторов потомков Доказательство отражательного соотношения повторяет основные этапы доказательства в модели синус-Гордона [27]. Основная идея доказательства основывается на предположении, сделанном в работе [39], и далее развитом в [40]. Данное предположение утверждает, что все форм факторы могут быть получены из форм факторов примарных операторов, как коэффициенты разложения при больших значениях быстрот.

Теорема 6. Для общих значений параметра a существует представление группы Вейля ra на алгебре A такое, что для любых h, h A выполняется следующее соотношение На первом этапе доказательства теоремы мы докажем, что все пространство Фок алгебры Гейзенберга (2.52) может быть натянуто на вектора, порождаемые произведением операторов tk (x), 1 k L. Точнее, рассмотрим разложение Для краткости, мы будем писать = (k1, 1,..., kK, K ). Мы хотим доказать, что для общих значений параметра a и достаточно больших значений K мы можем выбрать набор (i), i = 1,..., dim Dn, такой, что вектора Во-первых, докажем это утверждение в пределе a = a( ), +, который уже рассматривался ранее в разделе 2.3.3. В этом пределе мы имеем что есть полный аналог выражения (2.49). Поэтому, где функция F (z2,..., zK ) – это произведение функций f с подходящими аргументами.

Точный вид этого произведения не важен в контексте рассматриваемой задачи. Вычислим состояния в последней строке где Рассмотрим разложение Тогда с некоторыми положительными константами Cn1...nr. Это означает, в частности, что все возможные произведения операторов dn возникаю в правой части этого выражения.

Для достаточно больших чисел #{i|ki = s}, 1 s L, функции n, 1 s L, n n являются функционально независимыми и могут рассматриваться как независимые переменные. Кроме того, мономы n11 · · · nrr являются линейно независимыми. Поэтому, для любого, отличного от нуля набора чисел As1...srr, r = 1,..., n, n1,..., nr > 0, n1 + · · · + nr = n, мы имеем для некоторых значений переменных n. Поэтому, вектор, порождаемый набором чисел An1...srr не ортогонален по крайней мере хотя бы одному, порождаемому числами n11 · · · nrr. Это означает, в свою очередь, что в Dn не существует вектора, ортогональs ) ного всем векторам, порождаемым произведениями njj. Это доказывает, что существует базис () l; (I) | в пространстве DlR. Применяя деформационный аргумент, мы доказываем это утверждение для общих значений параметра a.

базис в пространстве DlR, связанный с любым частным набором значений параметров {l |I = 1,..., dim DlR }. Из отражательных свойств для экспоненциальных операторов (2.102), мы немедленно заключаем, что для любых неотрицательных целых чисел l, мы имеем Это тождество порождает отображение ra (w) : DlR DlR, такое что ra (w)(a l; I|) = wa l; I|.

Отметим, что левый индекс a в этих векторах важен, так как элемент пространства DlR, порождаемый l зависит от его значения. Теперь нашей целью является доказательство того, что это отображение совместно с ограничением (2.75), которое отбирает ‘физические’ вектора, порождаемые (2.64).

ния (2.74) мы имеем 1|tk1 (x1 )... tkM (xM )Dn tkM +1 (xM +1 )... tkN (xN )| Мы получаем Поэтому, и существует элемент hw, такой что Аналогично, существует элемент hwa,, такой что Наконец, мы приходим к Поэтому, мы получили отображение ra (w) на подпространствах DR,phys, DL,phys Сравнивая это выражение со свойством (2.38), которое выполняется как для J функций, так и для J функция, мы можем определить Это, в свою очередь, снова доказывает факторизованный вид (2.17) отражательного отображения.

Альтернативная конструкция. Легко получить следующие коммутационные соотношения где коэффициенты все не равны нулю для иррациональных значений p. Кроме того, отношение хорошо определено (и равно k) для n LZ.

Коммутационные соотношения (2.120) означают, что произведение (2.110) удовлетворяет соотношениям при выполнении следующих условий Поэтому, Если мы так же определим то мы получим при условии выполнения следующих уравнений Мы заключаем, что эти вектора порождают Вейль инвариантные матричные элементы которые являются форм факторами некоторых операторов потомков для 1 n l, с условиями (2.124) являются линейной оболочкой всего пространства Dn for Действительно, рассмотрим бра-вектор. Учитывая (2.124), коэффициенты n удовлетворяют уравнению Это означает, что правая часть уравнения (2.115) содержит только разности dn как и должно быть. Кроме того, эта правая часть зависит только от L 1 параметров для заданного n, например n, i = 1,..., L 1. Теперь та же аргументация убеждает нас, что эти оставшиеся параметры могут рассматриваться как независимые переменные, и та же аргументация доказывает, что не существует вектора, ортогонального набору мономов.

После чего, мы снова применяем деформационный аргумент. В результате, мы получаем следующую теорему Теорема 8. Для любых l существует аналитическое по параметру a семейство наборов {hinv Al }dim Al, которые являются базисами в Al для общих значений параметра a, a,l,µ такими что ra (w)hinv = hinv.

Альтернативная конструкция имеет два преимущества. Во-первых, она доказывает существование аналитического по параметру a Вейль инвариантного базиса в пространстве операторов Vag. Во-вторых, она обуславливает рецепт получения форм факторов этих базисных элементов вне зависимости от представления. Более того, легко видеть, что необязательно разрешать уравнения (2.124) и (2.128) в явном виде. Ниже мы покажем, что форм факторы могут быть представлены с помощью некоторого набора независимых переменных. Мы опишем конструктивный способ получения форм факторов, используя эти независимые переменные.

2.5.1 Решения для уравнений и форм факторы Так как уравнения (2.124) и (2.128) имеют одинаковый вид, мы рассмотрим только то, которое включает в себя бра-вектора.

Так как ток tk (z) для k = 2,..., L1 может быть получен путем слияния достаточного количества токов t1 (z) согласно (2.81), достаточно рассмотреть только токи t1 (z) и tL (z) без потери всеобщности. Кроме того, так как разности tL (z) tL (z) так же возникают в таких слияниях согласно (2.83), достаточно рассмотреть только ‘симметризованную’ версию тока tL (z), а именно которая является операторнозначной функцией, зависящей от переменных z L. Аналогично выражению (2.110), рассмотрим разложение Уравнения (2.124) в данном случае сводятся к для 1 n l. В этих выражениях мы ввели переменные, = 1,..., = l/L, которые будут удобны в дальнейшем. Согласно тождествам Ньютона-Жирара, для n l величины n равны нулю, если n LZ, в то время как L, 2L,..., L находятся во взаимно однозначном соответствии с 1,...,. Величины n for n = 1,..., так же находятся во взаимно однозначном соответствии с 1,..., и, поэтому, с L, 2L,..., L.

форм факторы являются рациональными симметрическими функциями, зависящими от переменных 1,..., r и переменных 1,..., s, то есть они являются отношениями симметричных полиномов. Поэтому, если мы сможем вычислять элементарные симметричные полиномы n = n (1,..., r ), n = 1,..., r, и n = n (1,..., s ), n = 1,..., для решения уравнений (2.132), мы сможем вычислять и форм факторы.

Мы имеем r + s переменных и l уравнений, то есть r + s l независимых переменных.

в качестве независимых переменных. Тогда переменные 1,..., r and 1,..., s являются решениями для уравнений Рассмотрим уравнения (2.133) для m = 1,..., r0 как систему r0 линейно неоднородных уравнений для r0 переменных L, 2L,..., L, l+1, l+1,..., r. Для общих значений 1,..., r эти уравнения являются не вырожденными и могут быть решены посредством полиномов Шура. Теперь, используя тождества Ньютона-Жирара, мы можем выразить 1,..., как полиномы от переменных L,..., L. Поэтому, уравнения (2.134) для m = 1,..., s становятся s0 линейными неоднородными уравнениями для s0 переменных +1,..., s, которые так же могут быть решены с помощью использования полиномов Шура.

Наконец, мы выразили все симметричные полиномы n, n и, как следствие, форм факторы посредством рациональных функций независимых переменных 1,..., r0, 1,..., s0, что и требовалось доказать. Отметим, что хотя для простоты мы и не приводим некоторые явные формулы, процедура, описанная нами, является полностью конструктивной.

2.6 Операторы потомки на уровне (1, 0) Здесь мы рассмотрим форм факторы операторов потомков на уровне (1, 0). Для начала, мы получим рекуррентные соотношения для этих операторов и, после этого, мы построим Вейль инвариантные комбинации операторов с помощью первого из подходов, рассмотренных ранее. Отметим, что получение рекуррентных соотношений не обязательно для получения явного вида форм факторов, но, в то де время, рекуррентные соотношения часто оказываются полезными для доказательства теорем.

Как мы уже отмечали, все предложенное построение (2.84)–(2.92) справедливо для J функция, относящихся к произвольным операторам. Рассмотрим функцию Jk,N1 (z; X) = Эта функция допускает разложения в ряд (2.87) и (2.89) с подходящим образом выбранными функциями J (0) и J (). Поэтому, для того, чтобы получить рекуррентные соотношения для этой функции достаточно вычислить ее асимптотики при z 0 или z.

Перепишем выражение (2.135) в следующем виде Jk,N1 (z, X) Из (2.65a) мы получаем