На правах рукописи

Киселева Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В

ЭЛЕКТРОФОРЕТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКЕ С МАГНИТНОЙ

ЖИДКОСТЬЮ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин Негосударственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Северо-Кавказский гуманитарно-технический институт»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Кандаурова Наталья Владимировна

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Червяков Николай Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Шагрова Галина Вячеславовна

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Защита состоится «23» декабря 2006 года в 1500 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.245.09 при ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» по адресу:

355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероКавказского государственного технического университета.

Автореферат разослан «22» ноября 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.- мат. наук, доцент О.С. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Современный этап развития науки характеризуется исследованием различного рода нелинейных явлений. Однако к настоящему времени известно не много самоподдерживающихся в активной нелинейной среде волновых процессов, которые можно было бы наблюдать экспериментально за небольшой (порядка 1 минуты) период времени и параметры которого легко можно было бы изменять в лабораторных условиях. Математическая модель такого процесса состоит из ограниченного числа уравнений, т.е., с одной стороны, достаточно проста, а с другой, дает возможность описать и понять большой круг сложных явлений. Приэлектродный слой магнитного коллоида (магнитной жидкости), помещенный в электрофоретическую ячейку, при воздействии электрического поля представляет собой такую активную нелинейную среду, в которой наблюдался автоволновой процесс (АВпроцесс) [1].

Целью настоящей работы является математическое моделирование автоволн в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью, обоснование возможного механизма автоволнового процесса и численное решение уравнения автоволн.

В ходе достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

дано обоснование возможного механизма автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью;

построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической проведен сравнительный анализ методов решения уравнения автоволнового процесса и обоснована оптимальность выбранного выполнено численное решение уравнения автоволнового процесса;

разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Методы исследования Использованы численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, дискретизации областей и аппроксимации зависимостей, включенные в математические пакеты MathCad 13, MatLab 6.5 и Curve Fitting Toolbox 1.1.1, COMSOL Multiphysics.

Научная новизна результатов работы 1. Впервые предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц при зарядке и разрядке вблизи электрода и в объемном заряде, протекающего в электрофоретической ячейке.

2. Обоснован механизм автоволнового процесса, протекающего в электрофоретической ячейке, как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц в приэлектродном слое.

3. Обоснована оптимальность применения метода конечных элементов для решения уравнения автоволнового процесса и найдено его численное решение.

4. Разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Достоверность результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием обоснованных методов численных расчетов, а также качественным совпадением результатов численного решения с данными лабораторных экспериментов.

Практическая значимость Научно-практическая значимость работы заключается в возможности применения ее результатов при разработке более общих моделей автоволновых процессов, протекающих в физических и химических системах, экономике, природе, обществе. Разработанная программа позволяет наглядно представить численное решение нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса, что может быть использовано в том числе при изучении дисциплин «Синхронизация и хаотизация в нелинейных активных средах», «Теория нелинейных колебаний».

';

Положения, выносимые на защиту 1. Механизм автоволнового процесса как результат синхронизации автоколебательного процесса заряженной частицы дисперсной среды магнитной жидкости в приэлектродном слое электрофоретической ячейки в электрическом и магнитном полях.

2. Алгоритм расчета плотности поверхностного заряда, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением автоволнового процесса.

3. Результаты численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса и обоснование оптимальности выбранного метода решения.

дифференциального уравнения автоволнового процесса (программный код).

5. Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить физические параметры, влияющие на нелинейность модели.

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, из них 8 статей.

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: 11-ой и 12-ой Международных конференциях по магнитным жидкостям, г. Плес (сентябрь 2004 г., август-сентябрь г.); VII Международной конференции «Циклы» (2005 г.), 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северокавказскому региону», г. Ставрополь, СевКавГТУ; второй Международной научнотехнической конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке и технике», г. Ставрополь, СевКавГТУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, двух приложений. Основная часть работы изложена на 115 страницах.

Личный вклад соискателя Результаты, представленные в диссертации, получены автором лично;

выбор общего научного направления исследований и математическая постановка конкретных задач осуществлялись совместно с научным руководителем. Автору принадлежит самостоятельное численное решение поставленной задачи, обработка результатов и их интерпретация.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы основные цели и положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.

В первой главе («Современные представления о математическом моделировании автоколебательных и автоволновых систем») приведен обзор работ отечественных и зарубежных ученых, посвященный современным представлениям о моделировании автоколебательных и автоволновых систем, рассмотрены экспериментальные и теоретические исследования в этой области. В заключении главы поставлены задачи диссертационного исследования.

Во второй главе («Моделирование автоколебательного процесса в приэлектродном слое коллоидной среды (магнитная жидкость)») рассмотрена математическая модель автоколебаний проводящей частицы в приэлектродном слое магнитной жидкости, помещенной в электрофоретическую ячейку в электрическом и магнитном полях.

Рассмотренные движения частицы, заряженной в объемном заряде и движущейся к электроду, затем, перезарядившись от электрода, объясняют механизм автоколебаний. Частицы, находящиеся в автоколебательном режиме, рассматриваются как система связанных осцилляторов, что дает объяснение механизму моделируемого автоволнового процесса.

Известно, что проводящую коллоидную частицу, помещенную во внешнее электрическое поле, можно рассматривать как биполярный электрод с катодной и анодной полуповерхностями. В рассматриваемой модели частица имеет сферическую поверхность радиуса а (рис. 1).

x - расстояние между электродами, l – приповерхностный слой, l где s – максимальный заряд, отнесенный к единице поверхности; D – коэффициент диффузии; j(t) – вектор плотности тока направлен перпендикулярно расчетной поверхности.

Нелинейное дифференциальное уравнение (9) аналитически может быть решено только для стационарных автоволн (автомодельное решение) при условии, что 1 – время рефрактерности гораздо больше 2 – времени возбуждения.

Для численного решения исходной задачи применена полностью неявная разностная схема.

Вводится на прямоугольной области равномерная пространственновременная сетка:

G = {( xi = ix, yi = jy, t = k t ),| i = 0,1,..., n, j = 0,1,..., m, k = 0,1,..., s} (10) Задаются граничные и начальные условия первого рода:

Дискретизируя уравнение (9) для внутренних точек сетки:

где i = 2,..., n 1; j = 2,..., m 1; l = 2,..., s и записывая уравнение (12) для всех элементарных ячеек области интегрирования, приходим к системе из (m 1) (n 1) алгебраических уравнений с (m + 1) (n + 1) неизвестными.

Система (12) характеризуется пятидиагональной матрицей. В двумерном случае решение задачи (9) при соответствующих краевых условиях сводится к нахождению на каждом временном слое решения системы алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей.

Для проверки сходимости построенной вычислительной схемы был найден порядок ее аппроксимации по временной и пространственным переменным и исследована устойчивость. Доказано, что используемая разностная схема является абсолютно устойчивой и аппроксимирует исходную задачу с первым порядком точности по t и со вторым порядком точности по x, y.

Алгоритм блок-схемы для машинной реализации численного метода с использованием неявной разностной схемы представлен на рис. 4.

В данной главе также рассмотрены другие численные методы решения уравнения автоволнового процесса: метод переменных направлений и метод дробных шагов. В результате рассмотренных методов было установлено, что, с точки зрения программирования численных алгоритмов типа метода сеток, принципиальных ограничений нет. Самой главной проблемой при решении уравнения является существенное увеличение времени расчетов, т.к. простая оценка необходимого количества операций показывает, что ввод в уравнение второй пространственной координаты многократно увеличивает число разностных уравнений, которые должны решаться при реализации каждого шага по времени.

i = 0,…, n-1, j= 0,…, m-1, l= 0,…, s- Рисунок 4 – Блок-схема реализации алгоритма решения уравнения, с использованием неявной разностной схемы В качестве оптимального для решения уравнения автоволнового процесса был выбран метод конечных элементов, который позволяет учитывать непостоянство параметров внутри элементов рассматриваемой системы и существующую нелинейность, а в качестве инструмента исследования был использован комплекс инструментальных средств технологии научного моделирования – COMSOL Multiphysics.

В четвертой главе («Моделирование автоволновых процессов в приэлектродном слое электрофоретической ячейки с магнитным коллоидом») проведен численный эксперимент по моделированию и решению уравнения автоволнового процесса. Проведен сравнительный анализ полученных результатов численного решения с точки зрения качественного приближения к экспериментальным данным.

Было найдено численное решение уравнения автоволнового процесса (9) с использованием двух программных средств:

дифференциальных уравнений в частных производных COMSOL Multiphysics, в которой применяется конечноэлементная технология.

2. Математического пакета MatLab 6.5 с программной реализацией алгоритма численного метода, описанного в главе 3.

Оценка производительности решения (времени расчета) уравнения автоволнового процесса дает возможность более очевидно увидеть оптимальность применения метода конечных элементов по сравнению с методом сеток.

В уравнении (9) автоволновой процесс обусловлен наличием нелинейного слагаемого j(t) (рис. 5).

По графику на рис. 5 видно, что зависимость j (t ) включает две составляющие j (1) (t ) и j (2) (t ), где j (1) (t ) – ток заряда, характеризующий фазу рефрактерности, j (2) (t ) – ток разряда, характеризующий фазу возбуждения автоволнового процесса.

Ток заряда состоит из двух слагаемых: j (1) (t ) = j1 (t ) + j2 (t ), где j1 (t ) – абсорбционный ток, обусловленный накапливанием свободного заряда на поверхности раздела слоев, j2 (t ) – остаточный ток или ток проводимости, обусловленный только сквозной проводимостью.

j(t) является разрывной функцией по первой производной, поэтому для решения уравнения (9) было проведено ее сглаживание средствами программы MatLab 6.5.

Результат численного решения уравнения (9) в среде COMSOL Multiphysics представлен на рис. 6.

Из рис. 6 видно, что значение искомой величины S – максимального заряда, отнесенного к единице поверхности – изменяется в пределах от 8·10-5 до 1·10-3 Кл/м2, что согласуется с экспериментальными данными [3], [4], [5].

Рисунок 6 – Значение величины максимального заряда, отнесенного к единице поверхности, На рис. 7 представлен один из элементов интерфейса системы COMSOL Multiphysics, позволяющий выводить конечные элементы расчетной сетки в режиме постпроцессорной обработки и визуализации результатов решения.

Рисунок 7 – Визуализация численного решения уравнения (9) с генерированной сеткой конечных элементов заданной расчетной области В математической среде MatLab 6.5 была разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса (рис. 8).

Рисунок 8 – Визуализация динамики распределение заряда S В конце 4 главы рассматривается динамика и взаимодействие автоволн, найден подход к объяснению механизма рождения и разрыва спиральных волн – ревербераторов, пейсмекеров.

В заключении сделаны основные выводы по результатам диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц, протекающий в электрофоретической ячейке, который представляет собой движение заряженной в объемном заряде частицы к электроду, перезарядки ее у электрода и движения обратно к границе приэлектродного слоя. Показано, что вследствие постоянства приложенной внешней силы и периодичности рассматриваемого движения заряженных частиц данный процесс можно отнести к автоколебаниям.

2. Рассчитана скорость движения заряженной частицы в приэлектродной области, которая зависит от проводимости и от напряженности приложенного электрического поля. В математической среде MathCad решено трансцендентное уравнение для определения расстояния, пройденного частицей в приэлектродном слое.

3. Показано, что приложенное неоднородное магнитное поле компенсирует действие электрического поля: при определенных значениях противоположно направленного электрического поля частицы = 0.

4. Обоснован механизм автоволнового процесса, который представлен как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц, рассматриваемых как система связанных осцилляторов. В этом случае автоволновая система представляет собой цепочку из конечного числа взаимодействующих элементов.

5. Построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью.

6. Выполнен сравнительный анализ методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса с обоснованием оптимальности выбранного метода решения, в результате чего был применен метод конечных элементов.

7. Найдено численное решение уравнения автоволнового процесса, в результате чего была найдена искомая величина S – максимальный заряд, отнесенный к единице поверхности.

8. Разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса, позволяющая наглядно представить распределение заряда S на поверхности электрофоретической ячейки.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В., Кандауров В.С. Решение многомерной задачи распространения автоволн // Журнал «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки».

2006. Приложение №1. с.21-24.

2. Чеканов В.В., Ильюх П.М., Кандаурова Н.В., Киселева Т.В.

Агрегирование частиц в диэлектрическом и слабопроводящем магнитном коллоиде // Материалы 11 международной конференции по магнитным жидкостям. – Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2004. – с.85-89.

3. Киселева Т.В. Методы расщепления в решении уравнения автоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Сборник научных трудов: Вып. V, Т.2. – Ставрополь: СевКавГТИ, 2005. – с.40-46.

4. Киселева Т.В., Кандауров В.С. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном поле / Материалы VII Международной конференции «Циклы». – Ставрополь, 2005. – Т.2, с. 7-10.

5. Киселева Т.В., Кандауров В.С. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое / Материалы VII Международной конференции «Циклы». – Ставрополь, 2005. – Т.2, с. 10-13.

6. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В., Кандауров В.С., Рокотов Ю.В.

Моделирование автоволнового процесса в приповерхностном слое магнитной жидкости в электрическом поле в системе FEMLAB // Материалы 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - северокавказскому региону», Ставрополь:

СевКавГТУ, 2005. – с.150.

7. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Алгоритмы численных методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Вып. 6. – Ставрополь: СевКавГТИ, 2006. – с. 262-266.

8. Чеканов В.В., Киселева Т.В., Кандауров В.С. Решение двумерного уравнения автоволнового процесса методом конечных элементов на базе пакета для научного моделирования FemLab // Сборник научных трудов второй международной научно-технической конференции по инфокоммуникационным технологиям в науке, производстве и образовании: – Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. – с.186-189.

9. Чеканов В.В., Киселева Т.В., Дискаева Е.Н. Математическое моделирование изменения интерференции света на границе магнитной жидкости с электродом в электрическом поле // Сборник научных трудов 12-ой Международной Плесской конференции по магнитным жидкостям (август - сентябрь 2006 г., г. Плес). – Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2006. – С. 85-90.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В., Бондаренко Е.А. Динамическая модель приэлектродного слоя магнитной жидкости как электроактивная среда // 10-я Международная конференция по магнитным жидкостям: Сб.

научных трудов. – Плес, 2002. – С. 86-89.

2. Духин С.С., Эстрела-Льопис В.Р., Жолковский Э.К.

Электроповерхностные явления и электрофильтрование. – Киев: Наук.

думка, 1985. – 288 с.

3. Вегера Ж.Г., Диканский Ю.И. Эффекты структурообразования и особенности переноса заряда в тонких слоях магнитной жидкости // Материалы 50 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука – региону». – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. – С. 11-15.

4. Чеканов В.В., Бондаренко Е.А., Кандаурова Н.В. Накопление заряда в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLIII научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону». – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. – С. 3-4.

5. Падалка В.В., Ерин К.В. Изучение приэлектродных процессов в диэлектриках с магнитными коллоидными частицами // VII Международная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей». – С.-Перербург, 2003. – С. 208-