Математический институт им. В. А. Стеклова

Российская Академия Наук

На правах рукописи

УДК 512.754, 512.742, 511.23, 511.331

Зыкин Алексей Иванович

Асимптотические свойства глобальных полей

Специальность:

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в отделе математической физики Математического института имени В. А. Стеклова РАН Научные руководители:

д. ф.-м. н. Сергеев Армен Глебович.

д. ф.-м. н. Цфасман Михаил Анатольевич;

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н. Шабат Георгий Борисович;

к. ф.-м. н. Горчинский Сергей Олегович.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 7 октября 2010 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, 8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан 7 сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 в МИ РАН д. ф.-м. н. Н. П. Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы Асимптотическая теория глобальных полей была заложена в 80e– 90e годы С. Г. Влэдуцем и М. А. Цфасманом, сначала для функциональных, а затем и для числовых полей. Исходной точкой для развития теории послужила следующая проблема: для положительного целого числа g и степени простого числа q найти максимальное число точек на кривой рода g над конечным полем Fq. Задача оказывается весьма сложной и полный ответ в настоящее время известен лишь для g = 1 и g = 2. Также имеются частичные результаты для g = 3, которые получаются с помощью рассмотрения якобианов среди абелевых многообразий размерности 3, что является предметом изучения во второй части этой диссертации.

С. Г. Влэдуц, В. Г. Дринфельд1, а затем М. А. Цфасман2 получили интересные результаты, рассматривая эту проблему под несколько другим углом. Более конкретно, им удалось доказать асимптотические границы для максимального числа точек на кривых, когда g, а q фиксировано. Эти границы оказываются оптимальными, если q квадрат целого числа. Их идеи имели многочисленные приложения в теории кодирования, в теории упаковок сфер и т. п. Сама асимптотическая теория была развита далеко за пределы этих границ для числа точек и объединяет в настоящее время самые разнообразные результаты. Несколько примеров: обобщенная теорема Брауэра–Зигеля для функциональных и числовых полей, границы для регуляторов и дискриминантов, асимптотическая теория дзета-функций глобальных полей, границы для числа точек на Влэдуц, С. Г.; Дринфельд, В. Г. О числе точек алгебраической кривой. Функ. Анализ и Прил. 17 (1983), no. 1, 68–69.

Tsfasman, M. A. Some remarks on the asymptotic number of points. Coding Theory and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math. 1518, 178–192, Springer Verlag, Berlin 1992.

Tsfasman, M. A.; Vldu, S. G.; Nogin, D. Algebraic geometric codes: basic notions.

at Mathematical Surveys and Monographs, 139, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

многообразиях над конечными полями...

Классическая теорема Брауэра–Зигеля утверждает следующее:

если k пробегает последовательность конечных нормальных расширений поля рациональных чисел Q такую, что nk / log |Dk | 0, то log hk Rk / log |Dk | 1 (здесь nk степень, Dk дискриминант, Rk регулятор, а hk число классов идеалов поля k.).

Исследование вопросов, связанных с этой теоремой ведет свое начало от основополагающих работ К. Зигеля и Р. Брауэра. Оно было продолжено многими авторами. Упомянем особо работы Х.

Старка, рассматривавшего вопросы эффективности4, а также более поздние исследования С. Лобутена Одним из достижений в этом направлении было ослабление условий классической теоремы Брауэра–Зигеля. А именно, М. А.

Цфасман и С. Г. Влэдуц показали6, что, принимая во внимание вклад неархимедовых точек, можно обобщить теорему на случай расширений полей, для которых условие nk / log |Dk | 0 не выполняется. В нашей работе мы также изучаем возможность ослабления условий классической теоремы Брауэра–Зигеля и получаем новые результаты в этом направлении.

Упомянем также о попытках обобщения теоремы Брауэра– Зигеля на случай больших размерностей, появившихся в последнее время и представляющих особый интерес. Так, М. Андри изучал поведение порядка группы Шафаревича–Тейта и регулятора для эллиптических кривых, заданных над фиксированным числовым полем7. Предположив выполнение гипотез Берча и СвиннертонаДайера, Римана, Шпиро, ему удалось свести данный вопрос к некоторому вопросу об L-функциях эллиптических кривых, похожему на тот, что возникает в классической теореме Брауэра–Зигеля. М.

Stark, H. M. Some eective cases of the Brauer–Siegel Theorem. Invent. Math. 23(1974), 135–152.

Louboutin, S. R. Explicit lower bounds for residues at s = 1 of Dedekind zeta functions and relative class numbers of CM-elds. Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3079–3098.

Tsfasman, M. A.; Vldu, S. G. Asymptotic properties of global elds and generalized Brauer– Siegel theorem. Moscow Mathematical Journal, Vol. 2 (2002), Num. 2, 329–402.

Hindry, M. Why is it dicult to compute the Mordell–Weil group. Proceedings of the conference “Diophantine Geometry”, 197–219, Ed. Scuola Normale Superiore Pisa, 2007.

А. Цфасман и Б. Э. Кунявский изучали аналогичную проблему для семейств постоянных эллиптических поверхностей над конечными полями8. Даже в этом, казалось бы, простом случаем возникают весьма нетривиальные эффекты, связанные с поведением дзета-функций кривых на критической прямой и низколежащими нулями.

Явная форма теоремы Брауэра–Зигеля с контролем остаточного изучалась Ф. Лебаком как в случае числовых, так и в случае функциональных полей9. При этом важной оказывается теория предельных дзета и L-функций, развитая М. А. Цфасманом и С. Г. Влэдуцем в функциональном и в числовом случаях10.

Нули L-функций содержат важную информацию об арифметических свойствах объектов, с которыми эти L-функции ассоциированы. Вопрос о распределении этих нулей изучался многими авторами с различных точек зрения. Например, большое внимание уделялось обобщенной гипотезе Римана, утверждающей, что все нетривиальные нули L-функций лежат на критической прямой.

Немало внимания было уделено изучению более тонких свойств нулей дзета и L-функций, выходящих за рамки тех, что могут быть получены из обобщенной гипотезы Римана. Фундаментальными являются работы Х. Иванца, Н. Катца, Ф. Мишеля, П. Сарнака, в которых исследуются вопросы о низколежащих нулях, о расстояниях между последовательными нулями, а также связь с теорией случайных матриц11.

Распределение нулей на критической прямой для дзета-функций Дедекинда числовых полей изучалось С. Ленгом12 в асимптотичеKunyavskii, B. E.; Tsfasman, M. A. Brauer–Siegel theorem for elliptic surfaces. Int. Math.

Res. Not. IMRN 2008, no. 8.

Lebacque, P. Generalised Mertens and Brauer–Siegel Theorems. Acta Arith. 130 (2007), no.

4, 333–350.

Tsfasman, M. A.; Vldu, S. G. Asymptotic properties of zeta-functions. J. Math. Sci. (1997), Num. 5, 1445–1467.

Katz, N. M.; Sarnak, P. Random matrices, Frobenius eigenvalues, and monodromy. American Mathematical Society Colloquium Publications, 45, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

Lang, S. On the zeta function of number elds. Invent. Math. 12 (1971), 337–345.

ски плохом случае и М. А. Цфасманом и С. Г. Влэдуцем в асимптотически хорошем случае13. Подобный вопрос для случая большей размерности (эллиптические кривые над функциональными полями) рассматривался Ф. Мишелем14.

Проблема нахождения максимального числа точек на кривых данного рода изучалась и с неасимптотической точки зрения. Немалое количество усилий было сделано для получения оценок для конкретных родов. Один из подходов к проблеме, предложенный Ж.-П. Серром15, состоит в том, чтобы ответить на данный вопрос для абелевых многообразий (что несложно, благодаря теореме Хонды–Тейта), а затем, выбрать среди всех абелевых многообразий, те, которые соответствуют якобианам. Этой последней проблемой мы подробно занимаемся в одной из глав диссертации.

Для рода g = 1 проблема является тривиальной, а для g = вопрос был полностью решен Ф. Ортом, К. Уено, П. Локхартом для случая алгебраически замкнутых полей и Ж.-П. Серром для незамкнутых. Кроме того, для полей положительной характеристики важной вклад был сделан Э.Нартом, К. Ритценталером и Э.

Хоувом, которым удалось полность определить классы изогений, содержащие главнополяризованые абелевы многообразия.

Случай абелевых многообразий размерности 3 над алгебраически замкнутыми поля был полностью рассмотрен Ф. Ортом и К.

Уено16, доказавшими, что множество якобианов есть в точности множество неразложимых главнополяризованных абелевых многообразий, а также Д.-И. Игусой17, давшим (над C) характеризацию этого множества в терминах некоторых модулярных форм Зигеля.

Для незамкнутых полей данный вопрос рассматривался в одной Tsfasman, M. A.; Vldu, S. G. Asymptotic properties of global elds and generalized Brauer– Siegel theorem. Moscow Mathematical Journal, Vol. 2 (2002), Num. 2, 329–402.

Michel, P. Sur les zros de fonctions L sur les corps de fonctions. Math. Ann. 313 (1999), no. 2, 359–370.

Serre, J.-P. Rational points on curves over Finite Fields. Notes of Lectures at Harvard University by F. Q. Gouva, 1985.

Oort, F.; Ueno, K. Principally polarized abelian varieties of dimension two or three are Jacobian varieties. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 20, (1973), 377–381.

Igusa, J.-I. Modular forms and projective invariants. Amer. J. Math, 89, (1967), 817–855.

из работ Ж.-П. Серра18, где и были сформулированы вопросы, на которые мы отвечаем в рамках одной из глав диссертации.

Цель работы Цель работы изучение асимптотических свойств дзета-функций, L-функций, глобальных полей и многообразий над глобальными полями, а также изучение якобианов среди трехмерных абелевых многообразий над не алгебраически замкнутыми полями.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения и двух частей, включающих в себя пять глав. Библиография включает 70 наименований.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано обобщение классической теоремы Брауэра–Зигеля на случай почти нормальных расширений числовых полей.

2. В предположении обобщенной гипотезы Римана доказана асимптотическая формула для логарифмических производных дзета-функций в области Re s > 1 с явным остаточным членом.

3. В предположении обобщенной гипотезы Римана доказано, что нули L-функций модулярных форм становятся равномерно распределенными на критической прямой, когда уровень N или вес k (или оба) стремятся к бесконечности.

Lauter, K. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over nite elds, with an appendix by J. P. Serre. Journal of Algebraic Geometry 10 (2001), 19–36.

4. Изучены асимптотические свойства семейств дзета и Lфункций над конечными полями в контексте трех проблем: основное неравенство, результаты, обобщающие теорему Брауэра–Зигеля и распределение нулей. В частности, обобщены результаты Ф. Мишеля о равномерной распределенности нулей L-функций эллиптических кривых над Fq (t), а также результаты Я. Ихары об асимптотическом поведении постоянных Эйлера–Кронекера функциональных полей.

5. Получен ответ на вопрос Ж.-П. Серра о характеризации якобианов среди трехмерных абелевых многообразий над не алгебраически замкнутыми полями характеристики ноль.

Основные методы исследования Для исследования асимптотических свойств дзета и L-функций используется аппарат явных формул, теория обобщенных функций, методы Х. Старка и С. Лобутена из аналитической теории чисел, подходы М. А. Цфасмана и С. Г. Влэдуца к асимптотическим задачам в алгебраической геометрии и теории чисел. Для изучения якобианов среди абелевых многообразий используются свойства пространств модулей кривых и абелевых многообразий, теория модулярных форм Зигеля и Тейхмюллера Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории чисел, алгебраической геометрии и теории кодирования. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, ИППИ РАН, ГУ ВШЭ.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Конференция “Zeta Functions” (Москва, Россия, 2006). Доклад:

“The generalized Brauer–Siegel theorem”.

2. Конференция “Global Fields” (Москва, Россия, 2007). Доклад:

“Asymptotic problems in the theory of global elds”.

3. Семинар по теории чисел в Математическом институте Фурье (Гренобль, Франция, 2007). Доклад: “Probl`mes asymptotiques en thorie des corps globaux”.

4. Конференция “Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory”(Марсель, Франция, 2007). Доклад: “On the Brauer– Siegel Theorem for Varieties over Global Fields”.

5. Семинар по теории чисел в Математическом Институте Люмини (Марсель, Франция, 2007). Доклад: “Sur le Thor`me de Brauer–Siegel pour des Varits sur des Corps Globaux”.

6. Семинар по теории чисел в Иерусалимском Университете (Иерусалим, Израиль, 2008). Доклад: “On the generalized Brauer–Siegel theorem and limit zeta functions”.

7. Семинар по алгебраической геометрии в Университете Бар– Илан (Тель-Авив, Израиль, 2008). Доклад: “Jacobians among abelian threefolds”.

8. Конференция “Zeta Functions-2” (Москва, Россия, 2008). Доклад: “On the Euler–Kronecker constant and limit zeta functions”.

9. Конференция “Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory” (Марсель, Франция, 2009). Доклад: “On the asymptotic properties of zeroes of L-functions”.

10. Семинар отдела алгебры МИАН (Москва, Россия, 2009). Доклад: “Якобианы и абелевы многообразия размерности три”.

Публикации автора по теме диссертации Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата [1–6].

Краткое содержание работы Диссертация состоит из введения и двух частей, включающих в себя пять глав. Первая часть посвящена изучению асимптотических свойств дзета-функций, L-функций, глобальных полей и многообразий над глобальными полями. Цель второй части изучение якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Дадим описание каждой главы.

Глава 1.

В этой главе мы изучаем обобщения классической теоремы Брауэра–Зигеля для числовых полей. Мы называем поле алгебраических чисел почти нормальным, если существует конечная башня числовых полей Q = K0 K1 · · · Km = K такая, что все расширения Ki /Ki1 являются нормальными. Ослабляя условие одно из условий классической теоремы Брауэра–Зигеля, мы доказываем следующее ее обобщение на случай почти нормальных расширений числовых полей:

Теорема 0.1. Пусть K = {Ki } семейство почти нормальных числовых полей, для которого nKi / log |DKi | 0, когда i.

Тогда где hK, RK и DK число классов идеалов, регулятор и дискриминант поля K соответственно.

Асимптотически хороший случай (т. е., когда lim nk / log |Dk | > 0) был уже известен в этой общности благодаря работам С. Г. Влэдуца и М. А. Цфасмана. Однако, их методы оказываются неприменимыми в асимптотически плохом случае. Мы используем идеи Х. Старка, а также некоторые неравенства С. Лобутена для доказательства нашего результата.

Затем, используя подход, предложенный К. Мэром и Ф. Хаджиром, мы строим башни асимптотически хороших расширений (башни полей классов) со значениями отношения Брауэра–Зигеля lim logk Rk, меньшими, чем в примерах известных ранее.

Глава 2.

Эта глава выполнена в соавторстве с Филиппом Лебаком.

В этой главе мы изучаем асимптотическое поведение логарифмических производных дзета-функций в семействах глобальных полей. Эта задача важна и интересна так как, с одной стороны, она связана с основным неравенством Цфасмана–Влэдуца (в случае функциональных полей оно дает оценку на число точек на кривых над конечным полем), а, с другой стороны, с явной теоремой Брауэра–Зигеля. Наш основной результат таков:

Теорема 0.2. Для всякого глобального поля K, целого числа N 10 и = 0 + i 1 такого, что 0 = Re > 0, имеет место:

1. в случае функционального поля K, являющегося расширением 2. в случае числового поля K в предположении обобщенной гипотезы Римана для дзета-функций Дедекинда Здесь q число идеалов поля K с нормой q, gK род поля K в функциональном случае и gK = log |DK | в числовом случае, ZK (s) = K (s)/K (s) логарифмическая производная дзетафункции Дедекинда поля K.

Кроме того, в той же главе получены результаты, улучшающие остаточный член в явной теореме Брауэра–Зигеля, доказанной ранее Ф. Лебаком.

Основной метод доказательств в этой главе явные формулы А. Вейля. Однако, применение их в числовом случае сопряжено с весьма тонкими аналитическими рассмотрениями.

Глава 3.

Эта глава посвящена изучению распределения нулей L-функций модулярных форм. Каждой примитивной модулярной форме f веса kf относительно 0 (Nf ) сопоставляется мера где t() = 1 1, а пробегает все нетривиальные нули Li функции Lf (s); здесь a обозначает атомарную меру (меру Дирака), сосредоточенную в a.

Мы доказываем следующий результат:

Теорема 0.3. В предположении обобщенной гипотезы Римана для L-функций модулярных форм, для любого семейства {fj (z)} примитивных форм веса kj и уровня Nj с kj + Nj предел существует в пространстве мер медленного роста на R и равен мере с плотностью 1 (т. е. нули L-функций модулярных форм становятся равномерно распределенными).

Глава 4.

В этой главе мы изучаем асимптотические свойства семейств дзетаи L-функций над конечными полями. Мы занимаемся следующими тремя проблемами: основное неравенство, результаты, обобщающие теорему Брауэра–Зигеля и распределение нулей. Мы аксиоматически определяем класс дзета и L-функций, к которым применимы наши методы, таким образом, что большинство предыдущих результатов С. Г. Влэдуца, Ж. Лашо и М. А. Цфасмана касательно сходных проблем для дзета-функций кривых и многообразий над конечными полями включаются в нашу схему. Мы изучаем, до какой степени их результаты для кривых остаются верными в этом общем контексте.

Далее мы даем несколько конкретных приложений. Самый интересный случай это случай L-функций семейств эллиптических поверхностей, недавно изучавшийся Б. Э. Кунявским, М. А.

Цфасманом, М. Андри и А. Пачеко. Полученные нами результаты позволяют приблизиться к доказательству некоторых их гипотез, связанных с обобщением теоремы Брауэра–Зигеля на подобные семейства и описывающих асимптотическое поведение группы Шафаревича–Тейта и регулятора эллиптических поверхностей.

Кроме того, наши методы позволяют получить обобщение результатов Ф. Мишеля о равномерной распределенности нулей Lфункций эллиптических кривых над Fq (t).

В классическом случае кривых над конечным полем, как следствие более общих результатов, нам удается получить теорему о предельных дзета-функциях, являющуюся обобщением одного из результатов Я. Ихары об асимптотическом поведении постоянных Эйлера–Кронекера функциональных полей.

Глава 5.

Эта часть выполнена в соавторстве с Ж. Лашо и К. Ритценталером.

Основной вопрос, изучающийся в этой главе: как определить, является ли заданное абелево многообразие размерности 3 якобианом кривой над данным не алгебраически замкнутым полем k. Эта проблема, кроме самостоятельного интереса, имеет приложения к вопросу о максимальном числе точек на кривых малого рода над конечными полями.

Используя модулярные формы Зигеля мы даем полный ответ на данный вопрос в случае, когда g = 3 и поле определения абелевых многообразий k содержится в C. Более точно, мы реализуем следующую стратегию. Для поля k и модулярной формы Зигеля f над k веса h 0 и рода g > 1 мы определяем инвариант k-классов изоморфизма главнополяризованных абелевых многообразий (A, a). Кроме того, если (A, a) является якобианом гладкой плоской проективной кривой, мы показываем, как сопоставить f классический плоский инвариант.

Как первое следствие этих конструкций, для g = 3 и k C мы получаем новое (строгое) доказательство формулы Клейна, связывающей модулярную форму Зигеля 18 с дискриминантом плоских квартик.

Вторым следствием является ответ на основной вопрос этой главы. Он дается с помощью модулярных форм Зигеля 18 и 140, которые были определены Д.-И. Игусой как произведение всех функций тета-нуль с четными характеристиками и как тридцать пятая элементарная симметрическая функция от восьмых степеней функций тета-нуль с четными характеристиками соответственно.

Мы доказываем следующий критерий:

Теорема 0.4. Пусть (A, a) главнополяризованное трехмерное абелево многообразие, определенное над полем k C. Пусть 1, 2, 3 произвольный базис 1 [A], а 1,... 6 симплектичеk ский базис (для поляризации a) пространства H1 (A, Z), так что является матрицей периодов (A, a). Положим = 1 1 H3.

1. Если 140 ( ) = 0 и 18 ( ) = 0, то (A, a) разложимо над k. В частности, оно не является якобианом.

2. Если 140 ( ) = 0 и 18 ( ) = 0, то существует гиперэллиптическая кривая X/k такая, что (Jac X, j) (A, a).

3. Если 18 ( ) = 0, то (A, a) изоморфно якобиану над k тогда и только тогда, когда является квадратом в k.

Эта теорема дает ответ на вопрос Ж.-П. Серра о характеризации якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Ее доказательство использует, во-первых, формулу Клейна, а, во-вторых, описание действия изоморфизмов на значения модулярных форм Зигеля.

Благодарности Я благодарю моих научных руководителей Михаила Анатольевича Цфасмана и Армена Глебовича Сергеева за постоянное внимание к данной работе и многочисленные советы. Выражаю благодарность Ж. Лашо, Ф. Лебаку и К. Ритценталеру за возможность работать в соавторстве. Также благодарю М. Балазара, С. Г. Влэдуца, С.

Лобутена и Э. Руае за полезные обсуждения.

Публикации по теме диссертации [1] А. И. Зыкин, “Brauer–Siegel and Tsfasman–Vladut theorems for almost normal extensions of global elds”. Moscow Mathematical Journal, т. 5 (2005), номер 4, 961–968.

[2] А. И. Зыкин, “On the generalizations of the Brauer–Siegel theorem”. Труды конференции AGCT 11 (2007), Contemp.

Math. series, 487 (2009), 195–206.

[3] А. И. Зыкин, “Асимптотические свойства дзета-функции Дедекинда в семействах числовых полей”. Успехи математических наук, 64:6(390) (2009), 175 176.

[4] А. И. Зыкин, “Теорема Брауэра–Зигеля для семейств эллиптических поверхностей над конечными полями”. Математические Заметки, 86:1, 148–150.

[5] А. И. Зыкин, Ф. Лебак, “Логарифмическая производная дзетафункций в семействах глобальных полей”. Доклады Академии Наук, т. 431 (2010), номер 2, с. 162–164.

[6] А. И. Зыкин, Ж. Лашо, К. Ритценталер, “Якобианы и абелевы многообразия размерности 3: формула Клейна и вопрос Серра”. Доклады Академии Наук, т. 431 (2010), номер 3, с. 313–315.