МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

кафедра математики

На правах рукописи

Петрова Юлия Юрьевна

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В МНОГОСВЯЗНЫХ

ВОЛНОВОДНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.П. Моденов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Б. Самохин, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.В. Лопушенко.

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

Защита диссертации состоится 20 апреля 2006 года в _ ч _ мин на заседании Диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы, д.1, стр. 2, МГУ, Физический факультет, аудитория СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «» 2006 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований Стремительный прогресс современной радиотехники и микроэлектроники сопровождается быстрым развитием теории и проектирования волноведущих систем и обладает ярко выраженной тенденцией к исследованию коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона. При изучении волноводно-резонансных процессов в этом диапазоне длин волн возрастает требование к точности проводимых расчетов и характеристик рассматриваемых систем. Размеры волноводных неоднородностей становятся соизмеримы с длиной волны, что требует рассматривать подобные задачи в многомодовом приближении, учитывая, таким образом, высшие типы волн и их дифракционное взаимодействие. Асимптотические методы и методы теории цепей не всегда могут обеспечить необходимую точность, а физический эксперимент часто является достаточно сложным, длительным и дорогостоящим, поэтому на первый план выходит разработка и обоснование математических методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке.

В последнее время теория волноводов интенсивно развивается.

Большое количество научных работ посвящено изучению волновых процессов и явлений, математическому моделированию различных систем и разработке математических методов и алгоритмов их исследования. Ряд основных вопросов математической теории волноводов был разработан в работах А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Г.В. Кисунько, П.Е. Краснушкина, Л.А. Вайнштейна, Б.З. Каценеленбаума. Весьма широкое применение в теории нерегулярных волноводов получил математически обоснованный А.Г.

Свешниковым неполный метод Галеркина. Обширный круг за-дач был решен на основе этого метода и его модификаций в работах А.С. Ильинс-кого, В.П. Моденова и других авторов.

В современной электронике широкое применение находят различные волноведущие системы: многоканальные линии передачи, устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и т.д.

Математическое моделирование физических процессов, происходящих в этих системах, приводит к необходимости постановки, теоретического исследо-вания и численного решения соответствующих краевых задач для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с границами, имеющими критические точки.

математическую специфику рассматриваемых краевых задач: бесконечность и многосвязность волноводных областей, учет условий Мейкснера в критических точках границ этих областей, учет при численном решении краевых задач многомодовости и резонансного характера электромагнитных процессов.

Возникает потребность в разработке и обосновании соответствующего математического аппарата, учитывающего эти особенности, в частности, необходимость обобщения хорошо себя зарекомендовавших при решении подобных задач неполного метода Галеркина, проекционного метода сшивания и метода многомодовых матриц рассеяния (метода S-матриц) на многосвязные волноводные области.

Все это определяет актуальность темы диссертации, посвященной математическому исследованию и разработке алгоритмов для численного решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях с кусочнопостоянными и кусочно-гладкими границами, имеющими критические точки, а также применению построенных алгоритмов при решении конкретных прикладных задач радиофизики и микроэлектроники.

Цели и задачи работы Основной целью настоящей работы является следующее.

волноводных областях, с границами, имеющими критические точки.

Разработка, математическое обоснование и численная реализация алгоритма решения исследуемой краевой задачи, основанного на применении интегральных условий проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-постоянной границей.

Разработка, математическое обоснование и реализация алгоритма решения рассматриваемой задачи, использующего неполный метод Галеркина и интегральные условия проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей.

Использование построенных алгоритмов на практике при решении конкретных радиофизических задач.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту 1. Математическая постановка и решение краевой задачи для уравнения критические точки.

математическое обоснование.

3. Применение рассматриваемых алгоритмов для решения некоторых задач радиофизики и микроэлектроники.

Научная новизна В данной работе математически поставлена, теоретически исследована и решена численно краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных двумерных областях с кусочно-постоянной и кусочно-гладкой границами, имеющими критические точки, в которых выполнены условия Мейкснера, и кусочно-постоянным или кусочнонепрерывным заполнением. Различия геометрии рассматриваемых многосвязных областей определяют математические особенности используемых алгоритмов. Для областей с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением впервые разработан, математически обоснован и реализован алгоритм решения поставленной задачи, основанный на использовании метода нормальных волн с применением проекционных условий сшивания в интегральном виде. Для областей с кусочно-гладкой границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и численно реализован алгоритм решения рассматриваемой краевой задачи, который опирается на неполный метод Галеркина и повторяющейся нерегулярностью и кусочно-постоянным заполнением впервые разработан и реализован вычислительный алгоритм решения исследуемой краевой задачи, который базируется на методе многомодовых матриц рассеяния (метод S-матриц) с использованием проекционного метода сшивания для анализа элементарного базового блока.

Практическая значимость Приведенные в диссертации алгоритмы реализованы в виде комплекса ЭВМ программ и использованы на практике для решения задач дифракции в нерегулярном и локально-нерегулярном плоском волноводе. Получены новые интересные физические результаты. Разработанные в работе алгоритмы, созданные на их основе программы и полученные результаты математическом моделировании и создании систем автоматизированного проектирования различных устройств СВЧ диапазона (многоканальных делителей и сумматоров мощности, многозвенных фильтров, линий передачи, волноводно-диэлектрических резонаторов, базовых элементов и функциональных узлов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ и оптического диапазонов, и других), а также в радиофизике (при исследовании волноводно-резонансных процессов).

международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах:

VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000». Москва. Апрель 2000.

распространению волн. Москва. Декабрь 2001.

X Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот». Фрязино. Август 2002.

IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн».

Звенигород. Май 2003.

II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара. Сентябрь 2003.

III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Волгоград. Сентябрь 2004.

III Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва. Январь 2005.

XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005». Москва.

Апрель 2005.

Работа «Компьютерное моделирование плоскослоистых металлодиэлектрических волноведущих структур», представленная на Всероссийский конкурс научных работ студентов в области телекоммуникаций за 2001 год, награждена дипломом лауреата конкурса IV степени.

Результаты работы докладывались на научных семинарах:

Семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ имени М.В.

Ломо-носова под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С.

Ильинского. Март 2005.

Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова. Март 2005.

Публикации Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 114 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащий 126 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор существующих математических методов волноводных областях. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и численного решения краевых задач в многосвязных волноводных областях и областях со сложной геометрией области и границ.

Приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

Первая глава диссертации посвящена математическому исследованию и решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей, имеющей критические точки, и кусочно-постоянным заполнением.

В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле. Постановка проведена в общем виде с учетом многосвязности области и особенностей границы. Условия излучения на бесконечности, выделяющие единственное решение краевой задачи, сформулированы в виде парциальных условий излучения. Поставлено условие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестности разрешимости краевой задачи.

Математическую задачу поставим на примере базовой задачи о конечной толщины. Итак, требуется найти решения u ( x, z ) = U j ( x, z ), где u ( x, z ) - компонента электромагнитного поля Е y ( x, z ), уравнения Гельмгольца:

в двусвязной области = U U с границей, где Решение будем искать в виде суммы разложений падающего и рассеянного полей по системе нормальных волн:

где An 0, Bn, Cn - заданные, а Rn, Qn, Tn - искомые коэффициенты разложения, причем Rn - коэффициенты отражения, Qn, Tn - коэффициенты прохождения электромагнитной волны, n0 = 1, { nj ( x )} - системы собственных функций, Дирихле на границе S j :

где nj = k 2 j ( x, z ) (nj ) 2 - постоянные распространения, k - волновое число.

Искомые функции должны удовлетворять:

уравнению (1) в двусвязной области ;

граничным условиям Дирихле на идеально проводящих поверхностях:

условиям излучения и возбуждения на бесконечности в виде (2) (в рассеянном поле отсутствуют волны, приходящие из ± );

проекционным условиям сшивания в плоскости стыка волноводов, обеспечивающим непрерывность потока энергии:

условию Мейкснера в окрестности критических точек границы (в точках изломов боковой поверхности и угловых точках металлических электромагнитного поля в любой окрестности V, содержащей критическую точку:

ортогональны. Нормировка выбирается в следующем виде:

Характерной особенностью исследуемой краевой задачи является критических точках. Поэтому во втором параграфе также как в работах В.П.

Моденова и С.И. Абгалдаева вводится понятие обобщенного решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. В третьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования и единственности для обобщенного решения.

Теорема. Обобщенное решение u ( x, z ) задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (1) в области существует и единственно.

В четвертом параграфе рассматривается реализация вычислительного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Подставляя разложения (2) в проекционные соотношения (4) и пользуясь условием нормировки (5), получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения искомых коэффициентов разложения:

где введены блочные операторы и векторы коэффициентов Элементы матричных операторов имеют вид:

, - транспонированные к, матрицы, I - единичная матрица.

Приближенное решение u N ( x, z ) = U N ( x, z ) в каждой частичной области ищется в виде конечного ряда:

граничным условиям (3), условиям возбуждения и излучения в виде (2).

Уравнение (6) решается методом редукции, проводится его замена на приближенное уравнение An x = B n y, в котором все бесконечные матрицы заменяются на усеченные, а число учитываемых волн в каждом волноводе соответственно равно N = N + N.

В пятом параграфе проводится обоснование сходимости решения редуцированной СЛАУ относительно амплитуд нормальных волн к точному решению задачи. Для амплитуд нормальных волн вводятся координатные гильбертовы пространства, элементами которых являются бесконечные последовательности комплексных чисел:

задаются следующим образом:

Утверждение 1. Для сходимости решения редуцированной СЛАУ относительно амплитуд нормальных волн An x = Bn y к точному решению задачи достаточно существования и непрерывности обратного оператора A рассматриваемой системы (6) в координатном пространстве f1.

Вторая глава диссертации посвящена математическому исследованию и решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязной волноводной области с кусочно-гладкой границей, имеющей критические точки.

постановка краевой задачи. Рассматривается задача о распространении электромагнитной волны H10 в нерегулярном волноводе, состоящем из трех частей: регулярный полубесконечный волновод A шириной a соединяется с нерегулярным переходным участком L длинной l, который в свою очередь соединяется с волноводом шириной h, разветвленным серией металлических волноводов B j шириной b j, j = 1, 2,K M.

Требуется найти решение уравнения Гельмгольца u ( x, z ) = E y ( x, z ) :

в области с границей где L( z ) - уравнение боковой поверхности переходного участка;

( x, z ) - в общем случае комплексная кусочно-постоянная функция координат, функция L( z ) выбирается исходя из влияния геометрии переходного участка на величину коэффициента отражения падающей волны:

Искомое решение должно удовлетворять следующим условиям:

граничному условию Дирихле на границе области :

условиям возбуждения и излучения:

nA ( x), n ( x) - собственные функции волновода A и каждого из волноводов B j ;

условиям сопряжения ( z1 = 0, z2 = l плоскости сочленения подобластей):

условию Мейкснера в окрестности критических точек границы :

где V - любая окрестность, содержащая критическую точку.

Во втором параграфе рассматривается численный алгоритм решения краевой задачи. Приближенное решение задачи строится на основе неполного метода Галеркина, применение которого к задаче дифракции в нерегулярном волноводе было разработано в работах А.Г. Свешникова. В этом методе краевая задача для уравнения в частных производных сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Суть приближенного метода решения краевой задачи заключается в выполнение в энергетическом смысле условий сшивания в плоскости сочленения волноводов и граничных условий на стенках.

Представление для приближенного решения в области нерегулярности выбирается по системе функций, не зависящих от формы волновода. Для этого за счет перехода к другой системе координат производится отображение внутренней области волновода с нерегулярностью на регулярную полосу Координаты преобразуются следующим образом: