[ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ» выявляет знания соискателем состояния и современных тенденций
развития теории и практики математического моделирования природных и социально-экономических процессов и явлений.
В основе настоящей программы лежит материал курсов «функциональный
анализ», «уравнения математической физики», «теория вероятностей и математическая статистика», «численные методы», «геометрия и топология», «вариационное исчисление и методы оптимизации», «теория игр и исследование операций». Вопросы к экзамену и программа подготовки представлены следующими разделами: математические основы; информационные технологии; компьютерные технологии; методы математического моделирования.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» разработана на основе паспорта научной специальности и на основе программы кандидатского экзамена рекомендованной экспертным советом Высшей аттестационной комиссии по управлению, вычислительной технике и информатике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова.
Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Элементы теории функций и функционального анализа. Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана—Банаха. Экстремальные задачи.
Задачи на минимакс. Принцип динамического программирования. Теория вероятностей. Математическая статистика. Аксиоматика теории вероятностей.
Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов. Элементы теории случайных процессов. Элементы многомерного статистического анализа. Основные понятия теории статистических решений.
Основы теории информации. Методы вычисления топологических характеристик многообразия. Связь между топологией и кривизной риманова многообразияэ Раздел 2. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Принятие решений. Общая проблема решения. Функция потерь. Байесовский и минимаксный подходы. Метод последовательного принятия решения.
Исследование операций. Классификация математических моделей поддержки принятия решений. Информационная структура при принятии и реализации решений. Модели поддержки принятия решений при асимметрии информированности ЛПР. Вариационное расширение задач поддержки принятия решений.
Численные методы при поиске оптимальных решений с информационными ограничениями. Прикладные модели поддержки принятия решений при информационных ограничениях.
Раздел 3. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Численное дифференцирование и интегрирование. Численные методы поиска экстремума. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Сплайнаппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов. Техника символьных вычислений. Решение типовых задач. Визуализация результатов вычислений.
Раздел 4. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Основные принципы математического моделирования. Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей. Методы исследования математических моделей. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей.
Основная литература Самарский А. А. Михайлов. А. П.Математическое моделирование : идеи, методы, 1.
примеры. - М. : Физматлит, 2005. – 320 с.
Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: ИВТ CO РАН, 2.
2011 URL: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/SharyBook.pdf.
Гончарова О.Н., Пухначёв В.В. и др Современные математические модели конвекции. М.: Физматлит, 2008. – 368 с.
Алгазин Г.И. Модели системного компромисса в социально-экологических исследованиях. – Барнаул: Азбука. 2010.
Мамченко О.П., Оскорбин Н.М. Моделирование иерархических систем: учебник 5.
для вузов. – Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007 – 317 с.
Дополнительная литература Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
6.
Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
7.
Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984.
8.
Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
9.
10. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
11. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др.
М.: Изд-во МГУ, 1993.
12. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: ИЗОГРАФ, 1997.
13. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.
14. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительновычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.
15. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
16. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высш. школа, 1989.
17. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.
18. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
19. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1984.
20. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.
Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997.
21.
Дополнительная литература 22. Кузнецов В.В., Пухначев В.В. Новое семейство точных решений уравнений НавьеСтокса // Доклады РАН. 2009. Т. 425, №1. С. 40-44.
23. Барахин В.Б., Федотов А.М. Информационная система: взгляд на понятие // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Информационные технологии. – 2007. – Том 5, выпуск 2. – С. 12–19.
24. Папин А.А. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двухфазной фильтрации // Сиб.журн. индустр. математики. 2009. Т. 12 №. 1 C. 114- 25. Петрова А.Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // Сиб. журн. индустр. математики.
2009. Т. 12., № 2. С. 111-119.
26. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Выпуклые многогранники пространства Лобачевского и интерполяция функций // Доклады Академии Наук. 2011. Т.
441. №6, С. 1–4.
27. Алгазин Г.И., Алгазина Ю.Г. Моделирование поведения экономических агентов в системе «производитель–посредник–конкурентный рынок» // Управление большими системами. Вып. 32. 2011. С. 83-108.
28. Максимов А.В., Оскорбин Н.М. Многопользовательские информационные системы: основы теории и методы исследования. – Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2005.
Вопросы к экзамену Элементы теории функций и функционального анализа.
Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана-Банаха.
Экстремальные задачи.
Задачи на минимакс.
Принцип динамического программирования.
Теория вероятностей. Математическая статистика.
Аксиоматика теории вероятностей. Случайные величины и векторы.
Элементы корреляционной теории случайных векторов.
Элементы теории случайных процессов.
Элементы многомерного статистического анализа.
Методы вычисления топологических характеристик многообразия Основные понятия теории статистических решений.
Основы теории информации.
Принятие решений. Общая проблема решения. Функция потерь.
Метод последовательного принятия решения.
Задачи искусственного интеллекта.
Экспертизы и неформальные процедуры.
Принятие решений при информационных ограничениях.
Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей.
Численное дифференцирование и интегрирование.
Численные методы поиска экстремума.
Вычислительные методы линейной алгебры.
Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.
Сплайн-аппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов.
Преобразования Фурье, Лапласа, Хаара и др.
Численные методы вейвлет-анализа.
Вычислительный эксперимент. Принципы проведения вычислительного эксперимента.
Алгоритмические языки. Представление о языках программирования высокого уровня.
Основные принципы математического моделирования.
Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике.
Универсальность математических моделей.
Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей.
Методы исследования математических моделей. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей.
Математические модели в научных исследованиях. Математические модели в статистической механике, экономике, биологии.
Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем.
Задачи редукции к идеальному прибору. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Проверка адекватности модели измерения и адекватности результатов редукции.
Модели динамических систем. Особые точки. Бифуркации. Динамический хаос.
Эргодичность и перемешивание.
Диссипативные структуры.
«