«Утверждаю: Ректор _ 201 г. Номер внутривузовской регистрации Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 050100 Педагогическое образование Профиль подготовки ...»

Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C 2, 0, а также уравнения высоты x y и медианы x 1, проведенных из различных вершин.

2. Даны расстояния a, b, c от вершин A, B, C параллелограмма ABCD до некоторой прямой. Найдите расстояние до этой прямой от четвертой его вершины.

3. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна и равна.

4. Дан треугольник ABC. Прямая d пересекает прямые BC, CA, AB соответственно в точках A1, B1 и C1. На каждой прямой построены точки A2, B2, C2 симметричные точкам A1, B1, C1 относительно середины содержащих их сторон. Доказать, что точки A2, B2 и C принадлежат на одной прямой.

5. На сторонах прямого угла ACB даны две точки A и B так, что CA=CB. Найти множество точек M, расположенных внутри угла, для которых луч MC есть биссектриса угла AMB.

Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A5, 4, а также уравнения высоты 8 x y 9 0 и биссектрисы 2 x y 1 0, проведенных из одной вершины.

2. Докажите, что если m1 и m2 медианы прямоугольного треугольника, проведенные 3. Найдите множество точек плоскости, модуль разности квадоатов расстояний от которых до двух данных точек постояннен и равен.

4. Доказать, что никакие три вершины квадратов клетчатой бумаги не образуют равностороннего треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике ABC AB BC известны уравнения двух сторон AB : 3x 2 y 3 0, AC : 2 x y 5 0 и точки M 1,1, принадлежащей третьей стороне треугольника. Найти уравнение третьей стороны.

Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B2, 1, а также уравнения высоты 3 x 4 y 27 0 и биссектрисы 2 x y 5 0, проведенных из разных вершин.

2. Основания трапеции a и b. Определите расстояние между точками, делящими боковые стороны трапеции в отношении.

3. Найдите множество середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной окружности.

4. Методом координат доказать, что произведение длин любых двух сторон треугольника равно произведению длины его высоты, выходящей из общей вершины этих сторон, на диаметр описанной окружности.

5. Луч света направили по прямой, уравнение которой имеет вид 2 x 3 y 6 0. Найти уравнение прямой, которая содержит луч, отраженный от оси абсцисс.

Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C 5, 3, а также уравнения биссектрисы 2 x y 5 0 и медианы 4 x y 7 0, проведенных из одной вершины.

2. На графике функции y x найдите точку, ближайшую к точке A, 0.

3. Найдите множество концов B отрезков AB, исходящих из данной точки A, если известно, что их середины лежат на данной окружности.

4. Доказать, что каждая прямая, проходящая через основания высот, проведенных из двух вершин непрямоугольного треугольника, перпендикулярна прямой, проходящей через его третью вершину и центр окружности, описанной около треугольника.

5. Луч света направили по прямой, уравнение которой имеет вид 2 x 3 y 6 0. Найти уравнение прямой, которая содержит луч, отраженный от оси ординат.

Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B1, 5, а также уравнения биссектрисы x y 1 0 и медианы 2 x 11y 3 0, проведенных из разных вершин.

2. Докажите, что любая точка графика функции y одинаково удалена от точки A0, 2 и прямой y 2.

3. Найдите множество точек плоскости, сумма квадратов от которых до двух противоположных вершин данного прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до двух других его вершин.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C прямой) проведена высота CD.

Доказать, что медиана AA1 треугольника ADC перпендикулярна медиане CC1 треугольника CDB.

5. Даны вершины A1, 2 и B, 1 при основании равнобедоенного треугольника ABC и уравнение x y 1 0 прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла при основании. Написать урпавнения сторон треугольника.

Вариант 1. Напишите уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A4, 1 и уравнения двух биссектрис x 1 0 и x y 1 0.

2. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до вершин треугольника наименьшая. Выразить эту наименьшую сумму через длины a, b, c сторон треугольника.

3. Найдите множество точек, для которых сумма расстояний до прямых, содержащих две противоположные стороны прямоугольника, равна сумме расстояний до прямых, содержащих две другие его стороны.

4. Точка M середина основания AB равнобедренного треугольника ABC. Доказать, что если N середина перпендикуляра MP, проведенного из точки M на сторону BC, то CN перпендикулярна AP.

5. Луч света проходит через точку M 1, 1 и, отразившись последовательно от прямых x y 2 0 и 2 x y 1 0, проходит через точку N 2, 2. Найти уравнение прямой, падающей на первую прямую.

1. Напишите уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 3 x 2 y 6 0, концы которого лежат на осях координат.

2. На графике функции y x 2 найти точку, ближайщую к прямой 3 x 4 y 10 0.

3. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки A вдвое больше расстояния до данной прямой a, проходящей через точку A.

4. Четыре диагонали пятиугольника соотвественно параллельны четырем его сторонам. Доказать, что пятая диагональ плраллельна пятой стороне.

Задание 1. Не приводя к каноническому виду найти:

1) центр линии;

2) асимптотические направления;

3) написать уравнение касательной к кривой, проходящей через выбранную точку;

4) диаметр, проходящий через начало координат;

5) диаметр, сопряженный вектору i ;

6) уравнения главных диаметров.

Задание 2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и изобразить ее. Найти полуоси или параметр и эксцентриситет.

Варианты заданий 3. 3xy+6x+3y+ = 4xy+ y2+8x+6y–18= 11. 4x2+2xy+4y2+30 2 x+100= 14.

1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 0, 3), В(0, 2, 5), С(-1, 3, 2), D(5, 0, 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.

3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения 4. Даны вершины треугольника А(-6, 3), В(8, 10), С(2, -6) и прямая 3 x y 3 0. Определить, какие стороны треугольника пересекаются данной прямой.

1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(4, 2, 0), В(1, -1, 3), С(0, 2, 1), D(-1, -1, 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АС, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно грани ВСD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВС, е) вычислить длину высоты DН.

2. Определите взаимное расположение прямой, заданной как пересечение двух 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 1. Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 0, -4), В(0, 2, 3), С(-1, 1, 5), D(1, 0, 6). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АВ, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку С параллельно грани АВD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и ВD, е) вычислить длину высоты DН.

4. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3 x 2 y 5 0, 2 x 3 y 7 0 и одна из его вершин А(-2, 1). Найти площадь прямоугольника.

1.Даны вершины пирамиды АВСD: А(1, 1, 3), В(5, 2, 0), С(-1, 0, 1), D(-1, 3, 2). Найти а) уравнение грани АВС, б) уравнение прямой АD, в) уравнение высоты DН, г) уравнение плоскости, проходящей через точку В параллельно грани АСD, д) вычислить косинус угла между прямыми АВ и АС, е) вычислить длину высоты DН.

2.Найти проекцию точки А(3, 2, -1) на плоскость 5 x 2 y 3z 1 0.

4.Через точку М(1, 2) провести прямую так, чтобы она прошла на равных расстояниях от точек А(3, 3) и В(5, 2).

1. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы осевой симметрии, при которой прямая 3 x y 5 0 переходит в прямую 3 x y 4 0.

2. Найти координаты вершин A, B острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, если в прямоугольной декартовой системе координат C(1,0), точка A лежит на прямой y 1 0, точка B принадлежит окружности x 2 ( y 2) 2 1 0.

3. Составить формулы гомотетии, зная уравнение инвариантной прямой x 2 y 3 0 и координаты двух соответствующих точек M(2,2) и M(–4, –4).

4. Доказать, что формулы x 3x 2 y 2 0, y x 1 определяют родство. Написать уравнения инвариантных прямых, а также образа и прообраза оси абсцисс.

5. Постройте треугольник наименьшего периметра, имеющий данные основания и высоту.

1. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы скользящей симметрии, при которой прямая x–y=0 инвариантна, а образом точки M (0, 1) является точка M (2, 1).

2. Через точку пересечения окружностей, заданных в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями x 2 y 2 1, x 2 ( y 2) 2 5, проведена прямая l так, что ее отрезок, заключенный внутри окружностей, делится этой точкой пополам. Записать уравнение прямой l.

3. Найти координаты вершин треугольника A1B1C1, гомотетичного треугольнику ABC, если известно, что вершина A1 лежит на оси ординат, а вершины данного треугольника и центр гомотетии M 0 имеют координаты A(9,2), B(5,6), C(5,4), M 0 (3,2).

4. Доказать, что формулы x 3x 2 y 2, y 2 x y 2 определяют перспективноаффинное преобразование, и найти его инвариантные направления. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат, которая переходит при этом преобразовании в прямую, также проходящую через начало координат.

5. На данной окружности найдите точку, разность расстояний от которой до двух данных на этой окружности точек A и B равна длине данного отрезка.

1. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы движения первого рода, при котором прямая x y 4 0, переходит в прямую x y 0, а точка A(2, 0) инвариантна.

2. Найти координаты вершин ромба ABCD, если в прямоугольной декартовой системе координат задано уравнение его диагонали AC: x 2 0, длина этой диагонали AC = 6, а вершины B и D принадлежат соответственно оси ординат и окружности ( x 6) 2 ( y 3) 2 5.

3. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы гомотетии с коэффициентом m 2, переводящей прямую x 6 в ось ординат, если известно, что расстояние от центра гомотетии M 0 до оси абсцисс равно 2.

4. Найти все инвариантные прямые аффинного преобразования, заданного формулами 5. Вокруг данной окружности опишите правильный восьмиугольник.

1. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы движения второго рода, которое точку B(0, –1) переводит в точку B (2,1) и имеет инвариантные точки.

2. На окружностях, заданных в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями ( x 2) 2 y 2 1 и x 2 y 2 1, найти соответственно точки A и B так, чтобы AB имел координаты (2, 2).

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы гомотетии, переводящей окружность ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 в окружность ( x 4) 2 ( y 4) 2 4.

4. Найти инвариантные направления аффинного преобразования, заданного 5. Постройте треугольник ABC, зная сторону b, разность углов C и A и разность сторон c и a.

1. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы движения, при котором прямая x+y+2=0 переходит в прямую x y 6 0 и которое имеет единственную инвариантную точку A(4, 0).

2. Написать в прямоугольной декартовой системе координат уравнение окружности, вписанной в квадрат ABCD, если известно, что уравнение прямой AC имеет вид x 2, вершина B лежит на оси ординат, а вершина D удалена от точки E(6, 3) на расстояние 5.

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы гомотетии, при которой окружность с центром (1, 1) переходит в окружность с центром (4, 4) того же радиуса.

4. Записать уравнения инвариантных прямых аффинного преобразования, заданного 5. Вокруг данного четырехугольника опишите четырехугольник, подобный данному.

1. Написать в прямоугольной декартовой системе координат формулы движения, при котором инвариантна фигура, состоящая из двух окружностей:

2. На прямых, заданных в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями x y 4 0, 2 x y 6 0, найти точки, которые являются соседними вершинами квадрата с центром в точке (0, 1).

3. Записать формулы гомотетии, при которой прямые x y 3 0 и x 2 y инвариантны, а образом прямой y 2 x 0 является прямая y 2 x 15 0.

4. Найти координаты векторов, которые определяют инвариантные направление аффинного преобразования, заданного формулами:

5. В данный ромб впишите квадрат так, чтобы на каждой стороне ромба лежала одна вершина квадрата.

записанные в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами движения. Определить тип, и найти элементы этого движения и разложить его в композицию осевых симметрий. Записать в определенном порядке уравнения осей.

2. Дан острый угол AOB. Построить образ данной окружности S при нетождественном движении, которое этот угол переводит в себя.

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы подобия первого рода, при котором образами точек A(1, –1), B(–1,1), являются соответственно точки A (–1, 0), B(0, 1).

4. Написать формулы родства с осью 4 x y 3 0, при котором точка M(1,1) переходит в точку M (–7,33).

5. Постройте равнобедренный треугольник по двум медианам.

1. Доказать, что формулы x x 4, y y 2, записанные в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами движения. Определить тип этого движения, найти элементы, определяющие это движение, и разложить движение в композицию осевых симметрий (записать в определенном порядке уравнения осей).

2. Даны два противоположно направленных луча с началами соответственно в точках A и B. Построить образ данной прямой l при движении, которое имеет инвариантную точку на окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре, и переводит первый луч во второй.

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы подобия второго рода, при котором точки A (1, –1), B (–1,1), переходят соответственно в точки A (–1,0), B (0,1).

4. Написать формулы косого сжатия плоскости с коэффициентом k 1, при котором точки A (1,1), B (1,2) переходят соответственно в точки A (–1, –1), B (–1,0).

5. Постройте равнобедренный треугольник по двум высотам.

1. Доказать, что формулы x x, y y 6, записанные в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами движения. Определить тип этого движения, найти элементы, определяющие это движение, и инвариантные направления.

2. На плоскости даны два равных отрезка AB и CD. Построить образ данной точки M при движении первого рода, которое точки A, B переводит соответственно в точки C, D.

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы подобия первого рода с коэффициентом k = 2, которое луч AB переводит в луч CD, где A (1,1), B (2,2), C (–1,1), D (–2,2). Представить подобие в виде композиции движения и гомотетии с центром C (–1,1) и с положительным коэффициентом.

4. В прямоугольной декартовой системе координат записать формулы сжатия плоскости к прямой, если образом точки A (3,3) является точка A (2,2), а точка B (0,3) инвариантна.

5. Постройте равнобедренный треугольник по двум биссектрисам.

1. Доказать, что формулы x x 2, y y 1, записанные в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами движения. Определить его тип, найти элементы, задающие это движение, разложить движение в композицию осевых симметрий (записать в определенном порядке уравнения осей.

2. На плоскости даны две окружности S1, S 2, радиусы которых равны. Найти все движения, переводящие S1 в S 2. Какой упорядоченной парой ортонормированных реперов может быть задано любое такое движение?

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы подобия первого рода, переводящего отрезок с концами в точках A (1,1), B (3,1) в отрезок с концами в точках C (1,5), D (5,5).

4. Составить формулы сдвига плоскости с осью x y 2 0 и парой соответствующих прямых, заданных уравнениями x 1 0 и 2 x y 1 0.

5. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого данные точки были бы серединами сторон.

1. Доказать, что формулы записанные в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами движения. Определить его тип, найти элементы, определяющие это движение, и инвариантные направления.

2. Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Построить образ трапеции ABCD при гомотетии с коэффициентом m, где m < 1, переводящей одно основание трапеции в другое.

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы подобия второго рода с коэффициентом k = 2, которое луч AB переводит в луч CD, где A (1,1), B (2,2), C (–1,1), D (–2,2). Представить подобие в виде композиции гомотетии с центром A (1,1) с положительным коэффициентом и движения.

4. Составить формулы косого сжатия с коэффициентом k 1, осью 2 x y 1 0, при котором прямая, заданная уравнением x y 2 0, инвариантна.

5. Даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Постройте четырехугольник, для которого данные точки были бы серединами сторон.

1. Доказать, что формулы записанные в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами движения. Определить тип, найти элементы и инвариантные направления.

2. Построить образ данной точки M при гомотетии, которая задана парой соответствующих окружностей.

3. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы подобия второго рода, которое треугольник с вершинами в точках (0,0), (1,0), (0,1) переводит в треугольник соответственно с вершинами в точках (2,0), (2,2), (0,2). Разложить подобие в композицию гомотетии с центом (2,2) с отрицательным коэффициентом и движения.

4. Составить в прямоугольной декартовой системе координат формулы сжатия плоскости к прямой, содержащей биссектрису первого и третьего координатных углов, при котором ось ординат переходит в прямую y 2x.

5. Даны три пять, не лежащие на одной прямой. Постройте пятиугольник, для которого данные точки были бы серединами сторон.

1. Выяснить, каким движением является композиция осевой симметрии и параллельного переноса.

2. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Построить образ окружности, описанной около трапеции, при гомотетии, которая основание AB переводит в основание CD.

3. Образует ли группу множество всех аффинных преобразований вида 4. Найти все симметрии квадрата.

5. Даны шесть точек, не лежащие на одной прямой. Постройте шестиугольник, для которого данные точки были бы серединами сторон.

1. Выяснить, каким движением является композиция четырех поворотов плоскости на угол +90 с центрами в вершинах A, B, C, D данного квадрата.

2. На плоскости даны две окружности S1, S2 разных радиусов и касательная t к окружности S1. Построить образ этой касательной при гомотетии, которая окружность S переводит в окружность S2.

4. Найти все симметрии правильного шестиугольника.

5. Даны две вершины треугольника и прямая, содержащая биссектрису треугольника, не проходящую ни через одну из указанных вершин. Постройте треугольник.

1. Выяснить, каким движением является композиция трех осевых симметрий, оси l1, l2, l3 которого принадлежат одному пучку прямых.

2. Построить общие внутренние касательные двух данных окружностей (O1, r1 ) и (O2, r2 ), если O1O 2 r1 r2.

3. Написать формулы аффинного преобразования, которое точки A(1,0), B(–2,1), C(– 1,1), переводит соответственно в точки A(3,1), B(–4, –5), C(0,2).

4. Найти все симметрии равнобедренного треугольника.

5. Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих углов.

1. Выяснить, каким движением является композиция четырех осевых симметрий относительно прямых AB, BC, CD, DA, содержащих стороны данного квадрата.

2. Построить общие внешние касательные двух данных окружностей (O1, r1 ) и (O2, r2 ), если O1O 2 r1 r2.

3. Написать общий вид формул всех аффинных преобразований, для каждого из которых ось абсцисс – инвариантная прямая, ось ординат – прямая инвариантных точек.

4. Найти все симметрии правильного пятиугольника.

5. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности между гипотенузой и другим катетом.

1. Выяснить, каким движением является композиция двух скользящих симметрий с параллельными осями.

2. Построить окружность, касающуюся сторон данного неразвернутого угла AOB и проходящую через данную внутри угла точку C.

3. Написать формулы аффинного преобразования, для которого оси координат являются инвариантными прямыми, а точки (2,0), (0,4) переходят соответственно в точки A (–6,0) и B (0,8).

4. Найти все симметрии пары параллельных прямых.

5. Постройте треугольник ABC по данным серединам сторон AB и AC и прямой, на которой лежит биссектриса угла A.

1. Выяснить, каким движением является композиция двух центральных симметрий (2n центральных симметрий), где n > 1.

2. В данный остроугольный треугольник ABC вписать квадрат KLMN, чтобы его вершины K и L лежали на основании AB, а вершины M и N на сторонах BC и CA этого треугольника.

3. Найти инвариантные прямые аффинного преобразования, заданного формулами 4. Найти все симметрии: а) окружности; б) пары окружностей равных радиусов, имеющих внешнее касание.

1. Выяснить, каким движением является композиция n скользящих симметрий, оси которых l1, l2, …, ln принадлежат одному пучку (n > 1).

2. Даны середины сторон A1,…, A5 пятиугольника. Построить его вершины.

3. Найти минимальную подгруппу группы всех аффинных преобразований плоскости, содержащую два данных сжатия с коэффициентами k1, k2 к одной и той же оси l. Является ли она коммутативной.

4. В треугольник вписан эллипс, касающийся всех сторон треугольника в их серединах. Найти отношение площади треугольника к площади фигуры, ограниченной эллипсом.

5. На данной прямой найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек, расположенных по одну сторону от этой прямой, наименьшая.

1. Пусть f – композиция шести симметрий относительно данных шести прямых.

Доказать, что f f – параллельный перенос.

2. В данную окружность вписать пятиугольник, стороны которого параллельны данным пяти прямым.

3. Найти минимальную подгруппу группы всех подобий плоскости, содержащую все гомотетии, центры которых принадлежат данной прямой. Является ли она коммутативной.

4. Около эллипса описан шестиугольник с попарно параллельными противоположными сторонами так, что все шесть точек касания являются серединами сторон описанного шестиугольника. Найти отношение площади описанного шестиугольника к площади фигуры, ограниченной эллипсом.

5. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

Контрольная работа №6 по теме «Элементы топологии. Линии в евклидовом Найдите для заданной кривой (номер задания – номер варианта):

а) кривизну и кручение; б) уравнения касательной, соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали, а также репер Френе в заданной точке t 0 ; в) точки спрямления и уплощения; г) натуральные уравнения, а если это невозможно, зависимости вида f (k, s ) 0, k, s 0 ; г) расстояние от точки t 0 до t1 :

x cost Контрольная работа № 7. «Поверхности в евклидовом пространстве»

1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке M 0.

2. Найти первую квадратичную форму поверхности: а) в произвольной точке, б) в точке M 0.

3. Вычислите угол: а) между координатными линиями в точке M 0, 4. Выбрать на линии две точки и найти длину полученной дуги.

5. Найти вторую квадратичную форму поверхности: а) в произвольной точке, б) в точке M 0.

6. Определите тип точки M 0.

7. Определите главные кривизны и главные направления поверхности в точке M 0.

8. Найдите полную и среднюю кривизны поверхности в точке M 0.

9. Вычислите нормальную кривизну линии в произвольной точке.

Задачи к экзамену по дифференциальной геометрии и топологии 1. Постройте несколько топологий на множестве, состоящем из трех элементов.

Назовите: открытые, замкнутые, неоткрытые и незамкнутые множества. Приведите примеры точки прикосновения и предельной точки множества.

2. Докажите, что множество 0,1 не открыто и не замкнуто на числовой прямой с естественной топологией, но представимо в виде пересечения открытых множеств.

3. Докажите, что A A.

4. Приведите примеры множеств A и B таких, что A B A B. Докажите, что для любых двух множеств A и B справедливо равенство A B A B.

5. Пусть X a, b, c, d. Докажите, что 0, X, a, b, a, c,a, b, a, b, c является топологией на X. Укажите какой-либо базис пространства X,. Докажите, что если к базису добавить открытое множество, то тоже получится базис.

6. Докажите, что естественная топология прямой и топология, индуцированная на ней естественной топологией плоскости, совпадают.

7. Связно ли пространство: а) с тривиальной топологией, б) с дискретной топологией, в) с концентрической топологией. Докажите, что на прямой с естественной топологией интервал связен.

8. Компактны ли на прямой с естественной топологией следующие множества:

а) конечное множество точек, и) множество точек с координатами 1,,,,...,,... ?

9. Компактно ли пересечение (объединение) двух компактных множеств?

10. Докажите непрерывность следующих отображений плоскости с естественной топологией в себя: а) движения, б) преобразования подобия. Являются ли эти отображения гомеоморфизмами.

11. Приведите примеры топологических инвариантов одномерных и двумерных многообразий.

перпендикулярных прямой x 2 y 13 0.

13. Найдите векторы сопровождающего трехгранника кривой 15. На поверхности z xy вычислите угол между линиями x const и y const.

16. Определите вид поверхности x 4u v, y 3u v, z 2uv, и найдите угол между 17. Найдите главные направления и главные кривизны поверхности z xy в точке (1,1,1).

18. Докажите, что если вторая квадратичная форма поверхности тождественно равна нулю, то поверхность есть плоскость или часть плоскости.

19. Найдите эллиптические, параболические и гиперболические точки поверхности 20. Найдите нормальную кривизну поверхности z x 2 в точке (0,0,0) в направлении вектора (1,1,0).

21. Напишите натуральное уравнение кривой x acos t, y asin t, z 0.

22. Вычислите кривизну плоской кривой x t 2, y t 3 в точке (1,1).

ортогональны.

24. Вычислите первую квадратичную форму поверхности x ucos v, y sin v, z u 2.

1. Доказать, что аксиома I1 не зависит от аксиом I2 – I8 группы I системы аксиом 2. Доказать, что в системе аксиом Гильберта аксиома III5 не зависит от остальных.

3. Сформулируйте определение прямого угла в системах аксиом А.В.Погорелова, Д.

Гильберта, Г. Вейля. Докажите в каждой из систем аксиом, что прямой угол 4. Сформулируйте определение отрезка в системах аксиом А.В.Погорелова, Д.

Гильберта, Г. Вейля. Докажите в каждой из систем аксиом на любой плоскости существует отрезок.

5. Если два утверждения эквивалентны в системе аксиом Д.Гильберта, будут ли эквивалентными: 1) в системе аксиом школьного курса, 2) просто эквивалентными? Докажите, что аксиома параллельных и утверждение о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, эквивалентны в системе аксиом школьного курса.

6. Доказать, что на плоскости Лобачевского существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность.

7. Даны две прямые. Докажите, что любые секущие равного наклона отсекают на них 8. Докажите, что на плоскости Лобачевского любой угол содержит полуплоскость.

9. Пусть ABCD и AB C D два четырехугольника Саккери. Доказать, что четырехугольники Саккери равны, если у них равны основания AB и AB и равны углы, прилежащие к соответствующим противоположным сторонам.

10. Пусть ABCD и AB C D два четырехугольника Саккери. Доказать, что четырехугольники Саккери равны, если у них равны основания AB и AB и равны соответствующие боковые стороны.

11. Пусть MN (где M середина стороны AB, N стороны AC ) средняя линия треугольника ABC. Докажите, что прямые MN и BC имеют общий перпендикуляр, проходящий через середину BC. Как расположены прямые MN и BC ?

Принадлежит ли это утверждение абсолютной геометрии?

12. В четырехугольнике ABCD углы A и B прямые. Докажите, что на плоскости Лобачевского если углы C и D равны, то AD= BC. Верно ли это утверждение в абсолютной геометрии?

13. В четырехугольнике ABCD углы A и B прямые. Докажите, что на плоскости Лобачевского если угол D больше угла C, то BC больше AD. Верно ли это утверждение в абсолютной геометрии?

14. Сколько общих точек могут иметь два орицикла? Две эквидистанты?

15. Докажите, что множество центров всех окружностей, касающихся двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым. Принадлежит ли это утверждение абсолютной геометрии?

16. Сформулировать понятие отрезка в системах аксиом А.В.Погорелова, Д.

Гильберта, Г. Вейля. Доказать, что отрезок содержит бесчисленное множество 17. В системе аксиом Г.Вейля доказать, что если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

18. В системе аксиом А.В.Погорелова доказать, что у любого отрезка существует середина и притом только одна.

19. В системе аксиом Вейля доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной 20. Докажите в системах аксиом Вейля и школьного курса, что если в пространстве E прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна плоскости.

21. Докажите в системе аксиом Вейля, что для любых двух скрещивающихся прямых существует единственная плоскость, содержащая одну из них, параллельная второй.

22. В системе аксиом Гильберта доказать первый признак равенства треугольников.

23. Найдите длину окружности радиуса r в эллиптической плоскости. Чему равно в этой геометрии отношение длины окружности к диаметру?

24. Докажите, что на плоскости Лобачевского между отрезками параллельности и углами параллельности существует функциональная зависимость.

25. Приведите пример модели окружности на сферической плоскости. Является ли постоянной отношение длины окружности к диаметру?

6.4. Контрольные вопросы и задания для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным разделам дисциплины.

Контрольные вопросы по темам «Элементы векторной алгебры в пространстве. Прямая линия на плоскости. Линии второго порядка» (1 семестр) 1. Направленные отрезки. Векторы.

2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

3. Линейная зависимость векторов (определение, свойства).

4. Теорема о коллинеарных векторах.

5. Теорема о компланарных векторах.

6. Теорема о разложении вектора по некомпланарным векторам, следствие.

7. Координаты вектора. Ортонормированный базис.

8. Скалярное произведение векторов.

9. Векторные подпространства. Двумерное векторное подпространство.

10. Различные способы задания прямой на плоскости.

11. Общее уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C.

12. Взаимное расположение прямых на плоскости.

13. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми на плоскости.

14. Эллипс.

15. Гипербола.

16. Парабола.

17. Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линии второго порядка с прямой.

18. Асимптотические направления.

19. Центр линии второго порядка.

20. Касательная к линии второго порядка.

21. Диаметры линии второго порядка.

22. Сопряженные диаметры и сопряженные направления.

23. Главные направления и главные диаметры.

24. Классификация линий второго порядка.

25. Приведение уравнение линии второго порядка к каноническому виду.

Контрольные вопросы по темам «Преобразование множеств. Прямые и плоскости в пространстве. Поверхности второго порядка» (2 семестр) 26. Отображение и преобразование множеств. Определение и свойства гомотетии.

27. Определение и свойства движений. Основные теоремы движения.

28. Два вида движений. Аналитическое выражение движения.

29. Классификация движений плоскости.

30. Преобразование подобия. Формулы преобразования подобия. Классификация преобразований подобия.

31. Аффинные преобразования (определение, основная теорема). Аналитические формулы аффинного преобразования.

32. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Декартовая система координат. Деление отрезка в заданном отношении.

33. Ориентация плоскости и пространства.

34. Угол между векторами на ориентированной плоскости.

35. Формулы преобразования координат на плоскости и в пространстве.

Преобразование прямоугольных систем координат.

36. Cмешанное произведение (определение, вычисление, cвойства).

37. Векторное произведение (определение, вычисление, свойства). Теорема о связи смешанного и векторного произведения.

38. Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

39. Особенности в расположении плоскости относительно системы координат.

Геометрический смысл знака многочлена Ax+By+Cz+D.

40. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями.

41. Уравнения прямой в пространстве.

42. Взаимное расположение прямых, взаимное расположение прямой и плоскости.

Угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью.

43. Поверхности второго порядка. Метод сечений.

44. Поверхности вращения.

45. Цилиндрические поверхности.

46. Конические поверхности второго порядка.

47. Эллипсоид.

48. Гиперболоиды.

49. Параболоиды.

50. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Домашняя контрольная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Из одной точки отложены направленные отрезки - представители некомпланарных векторов а, b, с. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих отрезков, перпендикулярна вектору р а, b b, c c, a.

2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A (2, 1, 1), B (5, 1, 2), C (3, 0, 3), D (6, 0, 1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты AH ; г) угол между ребрами AB и CD ; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

3. Написать уравнения прямой, пересекающей каждую из трёх прямых, заданных в аффинной системе координат уравнениями 4. Через линию пересечения плоскостей, заданных уравнениями x 5 y z 0 и x z 4 0, провести плоскость, образующую угол /4 с плоскостью, заданной уравнением 5. Найти расстояние между прямыми, заданными уравнениями и написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр этих прямых.

6. Доказать, что отрезки, соединяющие противоположные ребра тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

B (3, 4, 1), C (2, 3, 5), D(6, 0, 3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты AH ;

г) угол между ребрами AB и CD ; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

2. Найти расстояние от точки C (3, 2, 2) до прямой, проходящей через точки А(1,2,– 3) и В(5,2,0).

3. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости, заданной уравнением 3 x 6 y 2 z 14 0, и удалённой от неё на расстояние, равное 3.

4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку A(4, 0, 1), которая пересекает прямые, заданные в аффинной системе координат уравнениями 5. Написать уравнение плоскости, симметричной координатной плоскости 0xz относительно плоскости, заданной уравнением 3 x 4 y 5 z 5 0.

6. Пусть ребра AB, AC, AD тетраэдра ABCD взаимно перпендикулярны. Доказать, что центр сферы, описанной вокруг данного тетраэдра, лежит на прямой, соединяющей вершину A с центром тяжести треугольника BCD.

1. Найти объём шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью, заданной уравнением перпендикулярной к прямой, заданной уравнениями:

3. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2, 1, 1), B(5,–1,2), C(3,0,–3), D(6,1,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН;

г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

4. Написать уравнение плоскости, которая параллельна плоскостям и, заданным соответственно уравнениями x 2 y z 1 0 и x 2 y z 3 0, если известно отношение расстояний 5. Найти координаты точки, симметричной точке А(0,0,2) относительно прямой, заданной каноническими уравнениями 6. Доказать, что плоскости, перпендикулярные к ребрам тетраэдра и делящие их пополам, пересекаются в одной точке.

1. Найти площадь треугольника АВС, если AB m n, AC m n, где m 2, n 3, CAB 60.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям, заданным уравнениями 2 x y 5 z 3 0 и 3. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2, –1,1), B(5,–1,2), C(–3,0,–3), D(6,0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

4. Написать уравнения прямой, содержащей перпендикуляр, проведённой из точки 5. Даны координаты вершин тетраэдра АВСD: А(0,0,2), В(3,0,5), С(1,1,0), D(4,1,2).

Вычислить его объём и составить уравнение прямой, содержащей общий перпендикуляр прямых АС и BD.

6. В неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух противоположных сторон и середины диагоналей пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

1. При каком значении параметра векторы m 3 p q и n 3 p q :

а) коллинеарны, б) перпендикулярны, если известно, что p 2, q 3, ( p, q) 60 ?

2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2,1,–1), B(5,1,2), C(3,0,–3), D(6,0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой, заданной уравнениями:

4. Найти расстояние между прямыми, заданными уравнениями 5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4,0,–1), которая пересекает прямые, заданные уравнениями 6. В неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух противоположных сторон и середины диагоналей пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(–2,–1,1), B(5,–1,–2), C(3,0,–3), D(6,0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

3. Написать уравнение множества всех точек пространства, равноудалённых от двух плоскостей, заданных уравнениями 3 x y z 5 0 и 3 x y z 15 0.

плоскостью, заданной уравнением x y z 1 0.

5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М(2,–1,0), которая пересекает под прямым углом прямую, заданную уравнениями 6. Доказать, что две плоскости, проведенные через вершины A1BD и CB1D1, делят диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на три равные части.

1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(2,–1,2), B(5,1,2), C(3,0,–3), D(6.0,–1). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 3. Найти расстояние от вершины А до плоскости BMN, где М и N – середины рёбер DC и D1C1 соответственно.

3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(1,0,1) и перпендикулярной к плоскости, заданной уравнением 3 x 6 y 3z 10 0.

Найти расстояние между этой прямой и осью абсцисс.

4. Выяснить взаимное расположение прямых, заданных в аффинной системе координат уравнениями 5. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями 6. Доказать, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через центры тяжести треугольников A1BD и B1D1C.

1. При каком значении векторы p a b c, S b 4c, t b 2c компланарны, если известно, что аb с 0 ?

2. В треугольной призме ABCA1B1C1 векторы АВ (1,2,1), АС (3,0,2) определяют основание, а вектор АА1(–1, 0, 0) – боковое ребро. Найти объём призмы и площадь грани АВВ1А1.

3. Найти расстояние от точки С(3,2,–2) до прямой, проходящей через точки А(1, 2, –3) и В(5, 2, 0).

4. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,–1), C(2,3,5), D(6,0,–3). Найти: а) объем параллелепипеда;

б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD;

д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку M (2, 1, 1) перпендикулярно прямым, заданным уравнениями:

6. В неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух противоположных сторон и середины диагоналей пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Вариант 9.

1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,–1), C(2,3,5), D(6,0,–3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

2. Написать уравнения прямой, которая проходит через точку А(1,2,–1) и параллельна прямой, заданной уравнениями:

3. Выяснить взаимное расположение прямых, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей, заданных уравнениями x y z 1 0 и 2 x 3 y z 2 0, и перпендикулярной к плоскости, заданной уравнением x y 2 z 1 0.

5. Написать уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр двух прямых, заданных уравнениями 6. Докажите, что в неплоском четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Вариант 10.

1. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от точки А(1,0,0) и плоскости, заданной уравнением x y z 1 0.

и плоскостью x y z 4 0.

3. Через точку A(2, 5, 3) проведена прямая a, параллельная прямой, заданной перпендикуляр прямой a и оси аппликат.

4. Найти точку, симметричную точке A(4, 3, 10) относительно прямой, заданной 5. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,1), C(2,3,–5), D(6,0,–3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

6. Пусть ребра AB, AC, AD тетраэдра ABCD взаимно перпендикулярны. Доказать, что центр сферы, описанной вокруг данного тетраэдра, лежит на прямой, соединяющей вершину A с центром тяжести треугольника BCD.

Вариант 11.

1. а) Найти координаты вектора m в ортонормированном базисе i, j, k, если известно, 2. Решить систему уравнений a, x = 0, b, x = 0, где a и b – данные векторы.

3. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4,–1), C(2,3,5), D(6,0,–3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

4. Написать уравнения прямой, содержащей высоту АН треугольника АВС, если известны координаты его вершин А(4,1,2), В(3,0,5), С(1,1,0).

5. Написать уравнение плоскости, которая касается сферы x 2 y 2 z 2 9 0 и проходит через прямую, заданную уравнениями 6. Найти расстояние между прямыми, заданными уравнениями:

7. Из вершины произвольного параллелепипеда проведены три диагонали прилежащих граней. Установить, какую часть объема параллелепипеда составляет объем пирамиды, боковыми ребрами которой служат эти диагонали.

Вариант 12.

1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4, –1), C(2,3,5), D(6,0, –3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

2. Написать уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и содержит перпендикуляр, проведённый из точки А(1, –1,0) к прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x z 3 0 и 3. Найти координаты центров и радиусы сфер, каждая из которых касается координатных плоскостей и плоскости, заданной уравнением 2 x 3 y 6 z 4 0.

4. Написать уравнения прямой, которая проходит через точку А(3, –1, –4) параллельно плоскости, заданной в аффинной системе координат уравнением y 2 z 0, и пересекает ось ординат.

5. Написать уравнение плоскости, которая касается сферы x 2 y 2 z 2 9 и проходит через линию пересечения плоскостей, заданных уравнениями x y z 1 0 и 6. Вершины параллелепипеда и центры трех противоположных для данной вершины граней служат вершинами пирамиды. Установить, какую часть объема параллелепипеда составляет объем этой пирамиды.

Вариант 13.

1. К какой из осей координат ближе располагается прямая, заданная как линия пересечения двух плоскостей с уравнениями x z 2 0 и 4 x 3z 0 ?

2. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,1,0), B(3, –4, –1), C(2,3,5), D(6,0, –3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

3. Написать уравнения прямой, которая симметрична прямой y z относительно плоскости, заданной параметрическими уравнениями x 2 s, y t 1, z 2 s 2t 2.

4. Написать уравнение плоскости, которая отстоит от точки А(1,1, –2) на расстоянии, равном 6, и проходит через линию пересечения плоскостей, заданных уравнениями x y и x z. Какой угол составляет с этой плоскостью ось аппликат?

одной из осей координат, радиус которой минимален.

6. Дан тетраэдр АВСD и точка К на ребре АВ. Доказать, что середины отрезков АК, ВС, КD, и КС лежат в одной плоскости.

Вариант 14.

1. Дан тетраэдр, вершины которого находятся в точках A(0,0,0), B(3,4, –1), C(2,3,5), D(6,0, –3). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину и уравнение высоты АН; г) угол между ребрами AB и CD; д) уравнения граней ABC и ABD и угол между этими гранями.

2. Вычислить расстояние от точки А(0,1,1) до оси пучка плоскостей, заданного 3. Написать уравнение той плоскости, касающейся сферы, заданной уравнением ( x 1) 2 ( y 1) 2 z 2 1 0, которая проходит через ось аппликат.

4. Найти уравнения прямой OM, образующей равные углы с осями координат прямоугольной декартовой системы Oxy и написать уравнения ее ортогональной проекции на координатную плоскость Oxz.

5. Написать параметрические уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр двух прямых, заданных уравнениями 6. Доказать, что во всяком неплоском четырехугольнике прямые, соединяющие середины смежных сторон, образуют параллелограмм.

1. Диагональ AC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 образует углы по 60 с ребрами AB и AD. Какой угол она образует с ребром AA1.

2. Доказать, что начало координат находится внутри тетраэдра, вершины которого в A(1, 1, 1), B(4, 2, 3), C (3, 4, 2), D(3, 0, 1).

3. Через точку A(1, 0, 7) параллельно плоскости, заданной в аффинной системе координат уравнением 3 x y 2 z 15 0, проведена прямая, пересекающая прямую с 4. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (3,4,2) и отсекает на осях координат отрезки равной длины.

5. Написать уравнения плоскостей, проектирующих прямую, заданную уравнениями 2 x 3 y 4 z 12 0, x 4 y 2 z 10 0, ортогонально на координатные плоскости.

6. Доказать, что три плоскости, каждая из которых проходит через ребро трехгранного угла перпендикулярно плоскости противолежащей грани, принадлежат одному пучку.

Вопросы к коллоквиуму по темам «Метод координат на плоскости и в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов»

1. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Декартовая система координат. Деление отрезка в заданном отношении.

2. Ориентация плоскости и пространства.

3. Угол между векторами на ориентированной плоскости.

4. Формулы преобразования координат на плоскости и в пространстве.

Преобразование прямоугольных систем координат.

5. Cмешанное произведение (определение, вычисление, cвойства).

6. Векторное произведение (определение, вычисление, свойства). Теорема о связи смешанного и векторного произведения.

7.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:

1. Атанасян Л.С. Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.

2. Атанасян Л.С. Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1986. – 352 с.

3. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1975. – 351 с.

4. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1975. – 367 с.

5. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2001. – 240 с.

6. Михайлов П.Н. Практические занятия по геометрии. 1 семестр – Уфа: Изд-во Баш ГУ, 2001. – 100 с.

7. Михайлов П.Н. Практические занятия по геометрии. 2 семестр – Уфа: Изд-во Баш ГУ, 2004. – 130 с.

б) дополнительная литература 1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия – М.: Наука, 1990. – 671 с.

2. Егоров И.П. Геометрия – М.: Просвещение, 1979. – 256 с.

3. Михайлов П.Н. Геометрические преобразования и их применение при решении задач.

– Уфа: Баш ГУ, 2001. – 116 с.

4.Сборник задач по геометрии / Под ред. В.Т. Базылева – М.: Просвещение, 1980. – 238 с.

5.Сборник задач по геометрии / Под ред. Л.С. Атанасяна – М.: Просвещение, 1975. – 256 с.

6.Шабаева А.Ф. Элементы векторной алгебры. – Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2000. – 36 с.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика» и профилю подготовки «Прикладная математика и информатика»

Авторы:

д.ф.-м.н, зав. кафедрой алгебры, геометрии и МОМ Михайлов П.Н., к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры, геометрии и МОМ Шабаева А.Ф., к.ф.-м.н., ст. преподаватель кафедры алгебры, геометрии и МОМ Шустрова Н.В.

Рецензент:

Программа одобрена на заседании от _ г., протокол №.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТЕРЛИТАМАКСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ ИМ. ЗАЙНАБ БИИШЕВОЙ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УТВЕРЖДАЮ

Методика обучения математике 050100 «Педагогическое образование»

Квалификация (степень) выпускника 1. Цели освоения дисциплины Целью освоения дисциплины является формирование готовности к применению современных методик и технологий ведения образовательной деятельности по предмету «Математика» в учреждениях общего среднего образования.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата:

Дисциплина «Методика обучения математике» относится к базовой части профессионального цикла (Б.3.Б.7).

Для освоения дисциплины «Методика обучения математике» студенты используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин «Педагогика», «Психология», «Возрастная анатомия, физиология и гигиена», «Педагогическая риторика», «Профессиональная этика», «Элементарная математика» а также дисциплин вариативной части профессионального цикла (Б.3.В.1).

Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения дисциплин по выбору студентов, прохождения педагогической практики, подготовки к итоговой государственной аттестации.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля):

– осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОПК-1);

– способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2);

– способен нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4);

– способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);

– готов применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);

– способен применять современные методы диагностирования достижений обучающихся и воспитанников, осуществлять педагогическое сопровождение процессов социализации и профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к сознательному выбору профессии (ПК-3);

– способен использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4);

– готов включаться во взаимодействие с родителями, социальными партнерами, заинтересованными в обеспечении качества учебно-воспитательного процесса (ПК-5);

– способен организовывать сотрудничество обучающихся и воспитанников (ПК-6);

– способен к решению задач воспитания средствами учебного предмета (ПК-12).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

– содержание и принципы построения школьных программ и учебников математики;

– формы организации учебно-воспитательного процесса по математике;

– основные направления развития школьного математического образования;

– особенности преподавания математики в различных возрастных группах учащихся на разных ступенях школьного обучения и в разных типах образовательных учреждений;

– методику преподавания школьного курса математики;

– определять учебно-воспитательные задачи изучаемого материала по математике;

– анализировать результаты учебно-воспитательной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации;

– адаптировать научное содержание учебных материалов по математике с учетом возраста учащихся;

– использовать в процессе обучения математике методы проблемного и развивающего обучения;

– разрабатывать различные модели уроков, способствующие реализации поставленных целей с учетом основных идей модернизации школьного образования;

– проводить анализ различных моделей уроков;

– способами ориентации в профессиональных источниках информации (журналы, сайты, образовательные порталы и т.д.);

– различными средствами коммуникации в профессиональной педагогической деятельности;

– способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем использования возможностей информационной среды образовательного учреждения, региона, области, страны.

4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Методика обучения математике Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц 324 часов.

Общая характеристика ШКМ (цели, содержание, математике. Методы познания математики.

математическим доказательствам.

действительные числа.

преобразований выражений на различных этапах обучения в ШКМ.

Функциональная пропедевтика. Исследование 3- свойств элементарных функций. Числовые последовательности.

математики. Общая характеристика ШКГ. Первые уроки систематического курса планиметрии.

Методика изучения геометрического материала в 5х классах четырехугольники, правильные многоугольники, - описанные и вписанные многоугольники) математики. Измерительные работы на местности стереометрии. Первые уроки стереометрии.

изображение стереометрических фигур. Построение сечений фигур Формы текущего, промежуточного и итогового контроля:

1) собеседование во время индивидуальных занятий со студентами (ИР);

2) устный опрос на практических занятиях (УО);

3) рецензирование планов-конспектов (Рец);

4) проведение самостоятельных работ (СР);

5) проведение экспресс-опроса на лекции (ЭО);

6) домашних контрольных работ (ДКР);

7) собеседование по темам, предложенным на самостоятельную работу (СРС);

8) проверка курсовых работ по ТиМОМ (КР);

9) проведение коллоквиумов (Кол.) 5. Образовательные технологии Для эффективного осуществления учебно-воспитательного процесса используются различные методы обучения (технологии): локальные (технология работы с понятиями, теоремами, задачами и т.п.); общие (технологии развивающихся коопераций, технология коллективного способа обучения, технология укрупнения дидактических единиц, информационно-коммуникационные и т.п.) с использованием активных и интерактивных форм проведения занятий (компьютерных симуляций, деловых и ролевых игр, разбор конкретных ситуаций) в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

1. КАКОВО СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МЕТОДИКОЙ И ТЕХНОЛОГИЕЙ

2. КАКОВЫ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ, РАЗВИВАЮЩИЕ И

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ?

3. НАЗОВИТЕ ЭМПИРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ.

4. НАЗОВИТЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ.

5. НАЗОВИТЕ РЕПРОДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ.

6. НАЗОВИТЕ ПРОДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ.

7. КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ ПРОДУКТИВНОГО

8. ЧТО ТАКОЕ СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ?

9. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ЛЮБОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ,

РАСКРОЙТЕ ЕГО СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ.

10. ЧТО ЗНАЧИТ ОПРЕДЕЛИТЬ ПОНЯТИЕ? КАКОВЫ СПОСОБЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЯ?

11. КАКОВЫ ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОНЯТИЙ?

12. КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ?

13. ЧТО ТАКОЕ ТЕОРЕМА?

14. ВЫДЕЛИТЕ ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ТЕОРЕМ.

15. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ТЕОРЕМЫ-СВОЙСТВА.

16. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ТЕОРЕМЫ-ПРИЗНАКА.

17. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР ТЕОРЕМЫ-КРИТЕРИЯ.

18. НАЗОВИТЕ ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ.

19. КАКОВА РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ?

20. ОХАРАКТЕРИЗУЙТЕ ВИДЫ ЗАДАЧ.

21. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ РАЗНЫХ ВИДОВ.

22. В ЧЕМ СОСТОИТ СУЩНОСТЬ ЗАДАЧИ?

23. КАКОВЫ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ?

24. В ЧЕМ СОСТОИТ СУЩНОСТЬ ОБУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ЗАДАЧИ?

25. КАКОВЫ ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ?

26. ПРИВЕДИТЕ КЛАССИФИКАЦИЮ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ.

27. В ЧЕМ СОСТОИТ СУЩНОСТЬ СИНТЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ?

28. ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ?

29. НАЗОВИТЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ.

1. ПЕРЕЧИСЛИТЕ ВОПРОСЫ, ТРЕБУЮЩИЕ АКЦЕНТИРОВАНИЯ ПРИ

ИЗУЧЕНИИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ.

2. Перечислите способы введения натуральных чисел.

3. Перечислите способы введения обыкновенных дробей.

4. Как вводятся операции «сложения», «вычитания», «умножения» и «деления» на множестве натуральных чисел.

5. Каковы правила сравнения обыкновенных дробей?

6. Каковы правила сравнения десятичных дробей?

7. Перечислите способы введения десятичных дробей.

8. Перечислите способы введения отрицательных чисел.

9. Перечислите способы введения иррациональных чисел.

10. Перечислите свойства операций на множестве действительных чисел.

11. Какие приемы быстрого счета имеются в Вашем арсенале?

12. Приведите различные трактовки понятия тождества.

13. Приведите различные трактовки понятия функции в математике, в ШКМ 14. Приведите различные подходы к определению уравнений и неравенств.

15. Как читается аксиома параллельности.

16. Сформулируйте задачу существования параллельных прямых на плоскости.

17. Перечислите признаки параллельности прямых на плоскости.

18. Сформулируйте задачу существования перпендикулярных прямых на плоскости 19. Перечислите признаки перпендикулярности прямых на плоскости.

20. Перечислите основные задачи на построение в 5-6 классах.

21. Перечислите основные задачи на построение в 7-9 классах.

22. Сформулируйте задачи существования параллельных прямых в пространстве, параллельных прямой и плоскости, параллельных плоскостей.

23. Сформулируйте задачу существования скрещивающихся прямых в пространстве.

24. Сформулируйте признаки параллельности в пространстве.

25. Сформулируйте задачи существования перпендикулярных прямых в пространстве, перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей.

26. Сформулируйте признаки перпендикулярности в пространстве.

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

ОБЩАЯ МЕТОДИКА

1. СОДЕРЖАНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ (ШКМ). АНАЛИЗ

ПРОГРАММ ПО МАТЕМАТИКЕ, ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В ШКОЛЬНЫХ

УЧЕБНИКАХ. БАЗИСНЫЙ ПЛАН ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ

ЗАВЕДЕНИЙ. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ.

2. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ.

РЕПРОДУКТИВНЫЙ И ПРОДУКТИВНЫЙ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ.

3. ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЕМОВ МЫШЛЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ

МАТЕМАТИКЕ. МЕТОДЫ ПОЗНАНИЯ.

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДИКА ИХ ВВЕДЕНИЯ.

ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОНЯТИЙ.

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ, ВИДЫ ТЕОРЕМ.

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ.

6. ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ, ИХ РОЛЬ. ОБУЧЕНИЕ

ПРИЕМАМ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ ЧЕРЕЗ

7. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ. УРОК МАТЕМАТИКИ,

ТРЕБОВАНИЯ К НЕМУ. ТИПЫ УРОКОВ. НЕСТАНДАРТНЫЙ УРОК (ЕГО

8. СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ, ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ.

9. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ ПО

10. КОНТРОЛЬ И УЧЕТ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ.

11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОДЫ ПРИ

ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ.

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ. ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ

РАСШИРЕНИЯ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ДО КОМПЛЕКСНЫХ

3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ В ШКМ.

5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА В ШКМ.

6. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА В ШКМ.

7. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ШКМ. РАЗЛИЧНЫЕ

ПОДХОДЫ К ТРАКТОВКЕ ПОНЯТИЯ «ТОЖДЕСТВО».

8. МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ

ПОНЯТИЙ В ШКМ. РАЗЛИЧНЫЕ ТРАКТОВКИ ПОНЯТИЯ «ФУНКЦИЯ» В

МАТЕМАТИКЕ И В ШКМ. СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ

9. МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

10. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ

11. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ

ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ.

12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКМ И ИХ СИСТЕМЫ.

РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

13. СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ В 3-5 КЛАССАХ И В 6 КЛАССЕ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В 7-11 КЛАССАХ.

14. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ В ШКМ.

1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ:

СУЩНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ, РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ В РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ,

АНАЛИЗ ЛОГИЧЕСКОГО СТРОЕНИЯ ДЕЙСТВУЮЩИХ УЧЕБНИКОВ.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ШКГ (ЦЕЛИ, ИДЕЙНЫЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ, СОДЕРЖАНИЕ ДЕЙСТВУЮЩИХ УЧЕБНИКОВ). ПЕРВЫЕ УРОКИ

СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ.

3. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(КЛАССИФИКАЦИЯ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ, ОФОРМЛЕНИЕ).

4. ПОНЯТИЕ ТЕОРЕМЫ. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ И ВЗАИМНО

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ТЕОРЕМЫ, ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ. ЛОГИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРЕМЫ. НЕОБХОДИМЫЕ И

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ТЕОРЕМЫ-ПРИЗНАКИ, ТЕОРЕМЫ-СВОЙСТВА,

5. МЕТОДИКА РАБОТЫ С ТЕОРЕМОЙ. СПОСОБЫ МОТИВАЦИИ

НЕОБХОДИМОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ. ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К

ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НА УРОКЕ.

6. КУРСЫ «НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ» И «ПРАКТИЧЕСКОЙ

7. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ ИДЕИ ФУЗИОНИЗМА.

8. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЗАИМНОГО (УЧЕБНИК В.А. ГУСЕВА, И.М.

9. МЕТОДИКА ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМЫХ НА

ПЛОСКОСТИ. ЗАДАЧИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ.

10. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. РАЗЛИЧНЫЕ

ПОДХОДЫ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ «МНОГОУГОЛЬНИК».

11. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР НА

ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.

12. МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ

ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

13. РОЛЬ ВЕКТОРОВ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ «ВЕКТОР». МЕТОДИКА

ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ВЕКТОР».

14. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО

КУРСА ГЕОМЕТРИИ.

15. МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ КООРДИНАТ. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ.

16. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ.

1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ И

ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. ЗАДАЧИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И

ЕДИНСТВЕННОСТИ.

2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ И

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ И ИХ СВОЙСТВА.

3. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ И

ПЛОСКОСТЕЙ. ЗАДАЧИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ.

4. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ. РАЗЛИЧНЫЕ

ПОДХОДЫ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ «МНОГОГРАННИК».

5. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К

ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ «ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ».

6. ПОНЯТИЕ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ

ОБЪЕМОВ МНОГОГРАННИКОВ И ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ.

1. ТиМОМ как наука. Общая характеристика ТиМОМ, предмет, задачи, разделы, содержание.

2. Основные современные проблемы ТиМОМ.

3. Краткая история развития ТиМОМ. Реформы математического образования школьников в нашей стране.

4. Математика как наука и учебный предмет. Цели обучения математике в общеобразовательной школе. Воспитательные и развивающие функции обучения математике.

5. Содержание ШКМ. Анализ программ по математике для 1-4-х, 5-9-х, 10-11-х классов средней школы. Государственный образовательный стандарт.

6. Внутрипредметные и межпредметные связи ШКМ. Реализация идей УДЕ.

Сущность интеграции в обучении школьников.

7. Принципы обучения математике.

8. Методы обучения математике, их классификация.

9. Развитие приемов мышления и исследовательских умений в обучении математике.

10. Математические понятия и методика их введения в средней школе.

11. Математические суждения. Теоремы. Обучени математическим доказательствам.

12. Задачи в обучении математике, их роль. Обучение приемам поиска решения задач. Обучение математике через задачи.

13. Организация обучения математике. Урок математики, основные требования.

Типы уроков математики. Современные тенденции в совершенствовании урока математики.

14. Анализ урока, его цели, содержание, виды анализа.

15. Календарное и тематическое и поурочное планирование работы учителя.

16. Средства обучения математике, их классификация.

17. Внешкольная и внеклассная работа по математике.

18. Дифференцированный подход при обучении математике: профильная дифференциация, особенности изучения математики в классах различного профиля.

19. Факультативные курсы по математике. Содержание факультативных занятий и методика их проведения (на примере одного из факультативных курсов).

20. Дифференцированный подход при обучении математике: уровневая дифференциация, особенности изучения математики в классах различного уровня. Школы и классы с углубленным изучением математики и специфика их работы.

21. Индивидуальные особенности и способности школьников в контексте изучения курса математики.

22. Соотношение методики и технологии. Современные концепции и технологии обучения математике (технология укрупнения дидактических единиц; технология Р.Г.

Хазанкина, технология коллективного способа обучения, технологии развивающего обучения и др.).

23. Методические особенности обучения математике школьников в условиях национального региона на примере РБ.

24. Методика изучения числовых систем в ШКМ. Возможные пути расширения множества N до C. История возникновения и развития понятия числа. Основные вопросы, акцентируемые при анализе изучения числовых множеств в школьных учебниках.

25. Методика изучения натуральных чисел.

26. Методика введения и изучения обыкновенных дробей.

27. Методика введения и изучения десятичных дробей в ШКМ.

28. Методика введения и изучения положительных и отрицательных чисел.

29. Методика введения и изучения иррациональных чисел. Множество действительных чисел в ШКМ.

30. Развитие вычислительных навыков учащихся. Точные и приближенные вычисления.

31. Тождества и тождественные преобразования в ШКМ. Различные подходы к трактовке понятия тождества. Методика формирования навыков тождественных преобразований на различных этапах обучения.

32. Обучение учащихся различным методам доказательства тождеств и неравенств.

33. Различные трактовки понятия функции в математике и ШКМ. Функциональная пропедевтика в 1-6-х классах.

34. Методика введения, изучения функций и функциональных понятий в 7-9-х классах 35. Методика введения и изучения алгебраических функций.

36. Уравнения и неравенства и их системы в курсе математики средней школы.

37. Числовые последовательности и прогрессии в ШКМ.

1. Общая характеристика школьного курса планиметрии. Анализ школьных учебников 2. Методика изучения пропедевтического курса геометрии в 1- 6-х классах.

3. Сущность проблемы аксиоматического метода в обучении математике. Анализ логического строения учебников геометрии (А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна и др., А.Д.

Александрова и др.). Общая характеристика ШКГ.

4. Анализ построения первых разделов систематического курса планиметрии (по различным действующим учебникам): методика изучения неопределяемых и определяемых понятий, методика изучения аксиом, первых теорем.

5. Методика изучения взаимного расположения прямых на плоскости. Методика изучения параллельности на плоскости.

6. Методика изучения взаимного расположения прямых на плоскости. Методика изучения пересекающихся прямых. Методика изучения перпендикулярности на плоскости.

7. Методика изучения геометрических построений (роль, классификация задач на построение, методы решения, основные задачи на построение, основные этапы решения задач на построение).

8. Методика изучения треугольников.

9. Методика изучения четырехугольников.

10. Методика изучения многоугольников.

11. Методика изучения геометрических преобразований (движений).

12. Методика изучения геометрических преобразований (подобий).

13. Методика изучения равенства фигур.

14. Измерительные работы на местности. Описание приборов, лабораторных работ.

Основные геометрические факты, используемые при измерении на местности.

15. Методика изучения векторов. Векторный метод решения задач.

16. Декартовы координаты на плоскости. Координатный метод доказательства теорем и решения задач.

1. ТиМОМ как наука. Общая характеристика ТиМОМ, предмет, задачи, разделы, содержание. Основные современные проблемы ТиМОМ.

2. Краткая история развития ТиМОМ. Реформы математического образования школьников в нашей стране.

3. Математика как наука и учебный предмет. Цели обучения математике в общеобразовательной школе. Содержание ШКМ. Государственный образовательный стандарт.

4. Методы обучения математике, их классификация.

5. Развитие приемов мышления и исследовательских умений в обучении математике.

6. Математические понятия и методика их введения в средней школе.

7. Математические суждения. Теоремы. Методика обучения математическим доказательствам.

8. Задачи в обучении математике, их роль. Обучение приемам поиска решения задач. Обучение математике через задачи.

9. Организация обучения математике. Урок математики, основные требования к нему. Типы уроков математики. Современные уроки математики.

10. Внутрипредметные и межпредметные связи ШКМ. Реализация идей УДЕ.

Сущность интеграции в обучении школьников.

11. Дифференцированный подход при обучении математике: уровневая и профильная дифференциация, особенности изучения математики в классах различного профиля.

12. Методика изучения числовых систем в ШКМ. Возможные пути расширения множества N до C. Основные вопросы изучения числовых множеств в школьных учебниках.

13. Методика изучения натуральных чисел.

14. Методика введения и изучения обыкновенных дробей.

15. Методика введения и изучения десятичных дробей в ШКМ.

16. Методика введения и изучения положительных и отрицательных чисел.

17. Методика введения и изучения иррациональных чисел. Множество действительных чисел в ШКМ.

18. Тождества и тождественные преобразования в ШКМ. Различные подходы к трактовке понятия тождества. Методика формирования навыков тождественных преобразований на различных этапах обучения. Методы доказательств тождеств и неравенств.

19. Различные трактовки понятия функции в математике и ШКМ. Функциональная пропедевтика в 1-6-х классах.

20. Методика введения и изучения алгебраических функций. Исследование функций элементарными методами, построение графиков.

21. Методика введения и изучения неалгебраических функций.

22. Уравнения и неравенства и их системы в курсе математики средней школы.

23. Числовые последовательности и прогрессии в ШКМ.

24. Методика изучения тригонометрических вопросов в курсе геометрии. Методика изучения тригонометрических функций в 10-11 классах.

25. Тригонометрические тождества. Методика их изучения и методы доказательства.

26. Тригонометрические уравнения и неравенства и методы их решения.

27. Методика изучения показательной функции.

28. Методика изучения логарифмической функции.

29. Показательные уравнения и неравенства и методы их решения.

30. Логарифмические уравнения и неравенства и методы их решения 31. Предел и непрерывность в средней школе. Методика изучения производной в средней школе. Приложения производной в средней школе.

32. Первообразная и интеграл. Приложения интеграла.

33. Общая характеристика школьного курса планиметрии. Методика изучения пропедевтического курса геометрии в 1- 6-х классах. Общая характеристика ШКГ.

34. Сущность проблемы аксиоматического метода в обучении математике. Анализ логического строения учебников геометрии. Методика изучения основных понятий, методика изучения аксиом, первых теорем.

35. Методика изучения взаимного расположения прямых на плоскости и в пространстве. Методика изучения параллельности.

36. Методика изучения взаимного расположения прямых на плоскости и в пространстве. Методика изучения пересекающихся прямых. Методика изучения перпендикулярности.

37. Методика изучения геометрических построений (роль, классификация задач на построение, методы решения, основные задачи на построение, основные этапы решения задач на построение).

38. Методика изучения треугольников.

39. Методика изучения четырехугольников.

40. Методика изучения многоугольников. Правильные многоугольники.

41. Окружность и круг. Комбинации многоугольников и углов с окружностью.

42. Методика изучения геометрических преобразований (движений). Методика изучения равенства фигур.

43. Методика изучения геометрических преобразований (подобий).

44. Методика изучения векторов на плоскости и в пространстве. Векторный метод решения задач.

45. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координатный метод доказательства теорем и решения задач.

46. Общая характеристика систематического курса стереометрии. Цели и задачи изучения стереометрии в средней школе. Начала систематического курса стереометрии.

Первые уроки стереометрии.

47. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей в пространстве.

48. Методика изучения параллельности плоскостей.

Перпендикулярность плоскостей.

50. Методика изучения многогранников в средней школе.

51. Методика изучения призм и пирамид, правильных многогранников.

52. Методика изучения цилиндров, конусов. Усеченный конус. Сфера и шар.

53. Методика изучения комбинаций многогранников и тел вращения.

54. Методика изучения скалярных геометрических величин в ШКГ.

I–Е НАПРАВЛЕНИЕ. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ

ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ (ПО УКАЗАНИЮ НАУЧНОГО РУКОВОДИТЕЛЯ) ШКМ.

II-Е НАПРАВЛЕНИЕ. ИЗУЧЕНИЕ ТЕМ ШКОЛЬНОГО КУРСА

МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ УРОВНЕВОЙ И ПРОФИЛЬНОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ.

III-Е НАПРАВЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ РАБОТЫ НАД

МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ, ЗАДАЧАМИ И ТЕОРЕМАМИ.

IV-Е НАПРАВЛЕНИЕ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

РАЗРАБОТКИ И ОРГАНИЗАЦИИ ДЕЛОВЫХ ИГР В ШКОЛЕ И ВУЗЕ.

V-Е НАПРАВЛЕНИЕ. АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ

МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ (ГУМАНИТАРИЗАЦИЯ

ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГИОНАЛЬНОГО

КОМПОНЕНТА ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ, МЕЖПРЕДМЕТНЫХ

СВЯЗЕЙ, ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ

ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ, МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ И ДР.).

VI-Е НАПРАВЛЕНИЕ. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ

ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ (ТЕХНОЛОГИИ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ,

УКРУПНЕНИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ, КОЛЛЕКТИВНОГО СПОСОБА

ОБУЧЕНИЯ, ОПЕРЕЖАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ, ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ И

VII-Е НАПРАВЛЕНИЕ. КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ. НОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ.

ДИАГНОСТИКА И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ.

VIII-Е НАПРАВЛЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПЕРЕДОВОГО

ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОПЫТА.

IX-Е НАПРАВЛЕНИЕ. МЕТОДИКА КОНСТРУИРОВАНИЯ

САМОДЕЛЬНЫХ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ И ДИДАКТИЧЕСКИХ

МАТЕРИАЛОВ. ОБОРУДОВАНИЕ КАБИНЕТА МАТЕМАТИКИ ШКОЛЬНОГО

X-Е НАПРАВЛЕНИЕ. ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ВНЕУРОЧНОЙ

РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ.

XI-Е НАПРАВЛЕНИЕ. РЕАЛИЗАЦИЯ ВОСПИТЫВАЮЩИХ И

РАЗВИВАЮЩИХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) Имеются: кабинет школьного типа, оборудованный техническими средствами (интерактивная доска, мультимедийный проектор, видеомагнитофон с телевизором, графопроектор, наглядные пособия, таблицы, стеллажи с оборудованием для уроков математики), компьютерный класс и учебный кабинет методики обучения математике, в котором имеется учебно-методическая литература для подготовки к занятиям по ТиМОМ, периодические издания, компьютеры, проекционная аппаратура, измерительные приборы:

астролябия, эккер, эклиметр, пантограф и другие, необходимые для проведения лабораторных работ по ТиМОМ, наглядные пособия, разработки лабораторных и практических занятий по ТиМОМ.

а) основная литература:

1. Валитова, С. Л. Теория и методика обучения математике: решение текстовых алгебраических задач Учеб. пособие для студ. высших учебных заведений, обучающихся по специальности «050201.65 (032100) – математика / С. Л. Валитова. – Стерлитамак:

Стерлитамак. гос. пед. академия, 2008. – 127 с.

2. Воистинова, Г.Х. Обучение решению задач на построение с практическим содержанием: Учебное пособие по курсу теории и методики обучения математике для студентов 4-5 курсов специальности «032100 – Математика с дополнительной специальностью» и 2032200 – Физика с дополнительной специальностью» / Г.Х.

Воистинова, М.Ю. Солощенко. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2007. – 80 с.

3. Гусев, В.А. Методика преподавания курса «Геометрия 6-9» / В.А. Гусев. – М.:

Авангард, 1995. – Часть 1. – 100 с.

4. Гусев, В.А. Методика преподавания курса «Геометрия 6-9» / В.А. Гусев. – М.:

Авангард, 1996. – Часть 2. – 128 с.

5. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы в обучении математике / В.А. Гусев. – М.: ООО «Изд-во «Вербум-М», ООО «Изд. центр «Академия», 2003. – 432 с.

6. Епишева, О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе:

Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / О.Б. Епишева. – Тобольск - Изд. ТГПИ им. Д.И. Менделева, 1997. – 191 с.

7. Епишева, О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.

Вузов / О.Б. Епишева. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000. – 126с.

8. Избранные вопросы теории и методики обучения математике и физике: Учеб.

пособие для студентов 3-5-х курсов физико-математического факультета / С.Л. Валитова, Г.Х. Воистинова, Р.А. Касимов и др.; отв. ред. С.С. Салаватова. – Стерлитамак:

Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 2003. – 161 с.

9. Каплан, Б. С. Методы обучения математике: Некоторые вопросы теории и практики. /Б.С. Каплан, Н.К. Рузин, А.А. Столяр; Под ред. А. А. Столяра.— Ми.: Нар.

асвета, 1981.—191 с.